I2 2008 - 02 (Pauta)

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas
Segundo Semestre 2008
Curso : Probabilidad y Estad́ıstica
Sigla : EAS200A
Pauta : I2
Profesores : Osvaldo Ferreiro (Sec. 01) y Ricardo Olea (Sec. 02)
Ayudantes : Daniela Morel - Daniela Zúñiga (Sec. 01), Pablo Flores - Susana Opazo (Sec. 02)
Problema 1
(a) Suponga que de 2500 cuentas comerciales del Banco Internacional CATP (Confianza a Toda Prueba),
125 han sido alteradas fraudulentamente. Las alteraciones son lo bastante sutiles como para que sólo
una auditoŕıa muy detallada las pueda descubrir. Se elige al azar 50 cuentas comerciales para la revisión
detallada.
(i) La selección se realiza, como es habitual, sin reemplazo. ¿Qué distribución exacta seguiŕıa la
variable “no de cuentas alteradas existentes entre las seleccionadas”? ¿Cuál es la probabilidad de
que se haya seleccionado al menos una cuenta alterada?
(ii) Adicionalmente, determine la misma probabilidad asumiendo una selección con reemplazo esta
vez. Señale expĺıcitamente cuál es la distribución exacta que utilice.
(b) Un cartero recorre diariamente en bicicleta el sector asignado para repartir correspondencia. La dis-
tancia X en kilómetros que debe recorrer para lograr entregar toda la correspondencia del d́ıa es una
variable aleatoria de la cual se sabe que su logaritmo natural se distribuye Normal(0, 1). Determine
expĺıcitamente la Función de Densidad y el Recorrido de la variable X.
Solución
(a) Tenemos una población de tamaño N = 2500 de cuentas comerciales del Banco Internacional CATP,
la cual está dividida en dos grupos: (1) Cuentas alteradas fraudulentamente (N1 = 125) y (2) Cuentas
No alteradas fraudulentamente (N2 = 2500−125 = 2375). De esta población se selecciona una muestra
de tamaño n = 50.
(i) Sea X la variable aleatoria que determina el número de cuentas alteradas existentes entre las 50
seleccionadas. Como la selección es sin reemplazo se deduce que
X ∼ Hipergeométrica(2500, 125, 50) [0.8 ptos]
Se pide
P (X ≥ 1) = 1− P (X < 1)
= 1− P (X = 0) [0.4 ptos]
= 1−
(
125
0
)(
2500− 125
50
)
(
2500
50
) [0.2 ptos]
= 1−
(
2375
50
)
(
2500
50
)
= 1−
2375!
50! 2325!
2500!
50! 2400!
= 1− 2375! · 2400!
2325! · 2500!
[0.1 ptos]
1
(ii) Si el muestreo es con reemplazo se deduce que
X ∼ Binomial
(
n = 50, p =
125
2500
= 0.05
)
[0.8 ptos]
Luego, la probabilidad solicitada es
P (X ≥ 1) = 1− P (X < 1)
= 1− P (X = 0) [0.4 ptos]
= 1−
(
50
0
)
0.050 (1− 0.05)50−0 [0.2 ptos]
= 1− 0.9550
= 0.923055 [0.1 ptos]
(b) Del enunciado se tiene que Y = lnX ∼ Normal(0, 1). Se pide determinar fX(x).
Alternativa 1
Tenemos que X = g(Y ) = eY , con X > 0 [1.0 ptos]. Como la función g( · ) es invertible en R, por
teorema de cambio de variable la función densidad de X es
fX(x) = fY (g−1(x))
∣∣∣∣ ddxg−1(x)
∣∣∣∣
= fY (lnx)
∣∣∣∣ 1x
∣∣∣∣ [1.0 ptos]
=

1√
2π
1
x
e−
(ln x)2
2 [0.5 ptos], x > 0 [0.5 ptos]
0, en otro caso
Alternativa 2
Tenemos que Y = lnX es una variable aleatoria Normal(0, 1) y X = eY es otra variable aleatoria con
X > 0 [1.0 ptos]. La función distribución acumulada de X por definición es
FX(x) = P (X ≤ x)
= P (eY ≤ x)
= P (Y ≤ lnx)
= FY (lnx). [0.5 ptos]
Luego, derivando FX(x) con respecto a x se obtiene la función densidad de X como sigue:
fX(x) =
d
dx
FX(x) =
d
dx
Fy(lnx) = fY (lnx)
1
x
. [0.5 ptos]
Por lo tanto
fX(x) =

1√
2π
1
x
e−
(ln x)2
2 , [0.5 ptos] x > 0 [0.5 ptos]
0, en otro caso
+ 1 Punto Base
2
Problema 2
Al servidor computacional de una institución, llegan e-mails a una tasa promedio de 34.1 por cada 10
segundos.
(a) Determine la probabilidad de que lleguen al menos dos e-mails en un segundo.
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre dos mails consecutivos transcurra 1.2 segundos a lo más?
(c) ¿Cuál es el valor esperado del tiempo hasta recibir el décimo e-mail de ahora en adelante? ¿Cuál es la
distribución precisa, con parámetros, que permite determinar dicho valor?
Solución
(a) Sea X la variable aleatoria que determina el número de e-mails recibidos en 10 segundos. Es decir,
X ∼ Poisson(λ = 34.1) [0.5 ptos]
Si consideramos Y como el número de e-mails recibidos en un segundo, de la distribución de X se tiene
que
Y ∼ Poisson
(
λ =
34.1
10
= 3.41
)
[0.5 ptos]
Se pide
P (Y ≥ 2) = 1− P (Y < 2)
= 1− P (Y = 0)− P (Y = 1) [0.4 ptos]
= 1− (3.41)
0 e−3.41
0!
− (3.41)
1 e−3.41
1!
[0.3 ptos]
= 1− 4.41 e−3.41
= 0.8542883 [0.3 ptos]
(b) Sea T el tiempo transcurrido entre la llegada de dos e-mails consecutivos. Es decir,
T ∼ Exp(λ = 3.41). [1.0 ptos]
Se pide
P (T ≤ 1.2) = FT (1.2)
= 1− e−3.41·1.2 [0.6 ptos]
= 0.9832942 [0.4 ptos]
(c) Sea T el tiempo transcurrido desde ahora en adelante hasta la llegada del décimo e-mail. Es decir,
T ∼ Gamma(α = 10, λ = 3.41) [1.0 ptos]
Por lo tanto su valor esperado es
E(T ) =
α
λ
=
10
3.41
= 2.93 segundos [1.0 ptos]
+ 1 Punto Base
3
Problema 3
Ud. bien sabe que por estos d́ıas las Bolsas de Valores están muy “volátiles”. Es muy dif́ıcil predecir si el
ı́ndice correspondiente del valor de las acciones va a subir o bajar. Asuma que la probabilidad de que en un
d́ıa determinado cualquiera suba el ı́ndice es π. Se asume (parece ser cierto por estos d́ıas) que los sucesos
asociados al precio de las acciones en d́ıas diferentes, son independientes.
(a) ¿Qué distribución sigue la variable aleatoria X: no de d́ıas (hábiles) en que el ı́ndice sube en un mes
(de 22 d́ıas hábiles)?
(b) Casi todos los d́ıas están “a la baja”. Por ello, Ud. espera con ansias un d́ıa en que el ı́ndice accionario
suba. Justificando su planteamiento, ¿Qué distribución seguiŕıa la variable aleatoria Y : no de d́ıas de
espera hasta que sube el ı́ndice? Siempre con π = 0.25, determine la probabilidad de que haya que
esperar al menos 3 d́ıas.
(c) La gente corre apresuradamente para llegar a comprar acciones y se ha detectado que el tiempo que usa
en trasladarse a la Bolsa es Normal con media de 24.6 minutos y desviación estándar de 6.0 minutos.
¿Qué valor de tiempo de traslado produce que sólo el 20 % de las personas demoran menos que dicho
tiempo?
Solución
(a) La variable aleatoria X tiene distribución Binomial(n = 22, π). [2.0 ptos]
(b) La variable aleatoria Y tiene distribución Geometrica(π = 0.25) [1.0 ptos]. Luego, la probabilidad
solicitada es
P (Y ≥ 3) = 1− P (Y < 3)
= 1− P (Y = 1)− P (Y = 2) [0.5 ptos]
= 1− π (1− π)1−1 − π (1− π)2−1
= 1− π − π (1− π)
= 1− 2π + π2
= 1− 2 0.25 + 0.252
= 0.5625 [0.5 ptos]
(c) Sea T el tiempo en trasladarse a la Bolsa. Del enunciado se tiene que
T ∼ Normal(µ = 24.6, σ2 = 62)
Se pide encontrar el valor de c tal que P (T ≤ c) = 0.2 [0.5 ptos] que es equivalente a P
(
Z ≤ c−24.66
)
=
0.2 con Z ∼ Normal(0, 1) [0.5 ptos].
De la tabla normal estándar se tiene que
c− 24.6
6
≈ −0.84 [0.6 ptos] ⇔ c ≈ 24.6− 6 · 0.84 = 19.56 minutos [0.4 ptos]
+ 1 Punto Base
4