Clase_Eq General_2009_2

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
INSTITUTO DE ECONOMÍA
Equilibrio General en Economı́a de Intercambio Puro
(Arrow-Debreu) y con Producción
Profesor: José Miguel Sánchez Agosto de 2009
Introducción
Los modelos de equilibrio general pretenden entender como funciona una economı́a en
su totalidad cuando hay más de un mercado, estudiando las interacciones entre ellos. En
particular, los modelos de equilibrio general suponen que todos los precios son endógenos
de tal forma que los mercados se aclaran (o vaćıan). La metodoloǵıa de análisis que emplea
inicia con el análisis del comportamiento individual de los agentes (consumidores y firmas),
para posteriormente evaluar como se comportan en su conjunto: es una estrategia que va de
lo particular a lo general.
Para asir los conceptos de eficiencia y equilibrio se consideran dos tipos de equilibrio que
serán estudiados en las partes 1 y 2:
1) Equilibrio de intercambio: sólo dotaciones, no hay producción ni mercados de bienes.
Se busca establecer las asignaciones eficientes (en algún sentido) de las dotaciones.
2) Equilibrio en sistemas de mercados competitivos: sólo dotaciones y todas las
transacciones se llevan a cabo en mercados competitivos, donde los todos los agentes
perciben los precios como dados. Aqúı se encuentra la asignación de equilibrio que resul-
ta ser eficiente (nuevamente, en cierto sentido) y los precios que vaćıan los mercados.
Finalmente, en la parte 4 de este apunte se generalizan los resultados obtenidos de las
partes 2 y 3 al considerar la posibilidad de que parte de la dotación de los individuos sea
empleada como factor productivo de alguna firma.
1
Parte 1
Equilibrio de Intercambio
Tal como se dijo en la introducción, este modelo supone que no hay producción, sólo hay
dotaciones de bienes y que los consumidores son tomadores de precios1.
Los agentes intercambian entre ellos con el objetivo de maximizar su función de utilidad (o
equivalentemente, encontrar la canasta más preferida dentro de su conjunto presupuestario).
1.1. Caja de Edgeworth
Una manera conveniente de representar las asignaciones posibles en el caso de dos con-
sumidores, I = {1, 2}, la entrega la caja de Edgeworth.
Considérese un modelo con las siguientes caracteŕısticas:
Dos consumidores: i = 1, 2.
Dos bienes x1 y x2.
Preferencias representadas por la función de utilidad ui, con i = 1, 2, que es continua,
estrictamente creciente y estrictamente cuasicóncava en R2+.
La dotaciones del individuo i es wi = (wi1, w
i
2) para i = 1, 2.
Los sub́ındices denotarán al bien y los supráındices denotarán consumidor. Aśı xik es el
consumo del bien k por parte del consumidor i.
Definición 1.1
Una asignación es una canasta de consumo para cada consumidor:
X = (x1,x2) ≡
(
(x11, x
1
2), (x
1
2, x
2
2)
)
1Se dejan fuera consideraciones de carácter estratégico.
2
Definición 1.2
Una asignación es factible si solo si:
x11 + x
2
1 = w
1
1 + w
2
1 ≡ w1
x12 + x
2
2 = w
1
2 + w
2
2 ≡ w2
donde wi es la cantidad total disponible de bien i para i = 1, 2.
Con este modelo, la caja de Edgeworth se representa en la figura 1.1 donde la curva verde
es la curva de contrato, la cual une los puntos tangenciales de las curvas de indiferencia. Cada
punto dentro de la caja (incluso sus bordes) es una asignación factible.
Figura 1.1: Caja de Edgeworth
Definición 1.3
Se define el conjunto ε = {ui, wi}i∈I como una economı́a de intercambio. Donde ui es la
función que representa las preferencias del individuo i.
Definición 1.4
Una asignación factible X = (x1,x2) se dice que es Pareto superior a otra asignación
factible Z = (z1, z2) si
∀ i ∈ I ui(xi) ≥ ui(zi) y
uj(xj) > uj(zj) para algún j ∈ I
3
Definición 1.5
Una asignación factible X es un óptimo de Pareto (o es Pareto eficiente) si no existe
ninguna otra asignación factible que sea Pareto superior a ella.
Figura 1.2: Distinción entre Eficiencia Paretiana y Pareto Superior
Notar que las asignaciones Pareto eficientes no son únicas. La diferencia entre estos dos
conceptos se ilustra en la figura 1.2. En donde el área amarilla representa el conjunto de asig-
naciones Pareto superiores a dotación inicial w. Notar que en tanto el intercambio reasigne
las dotaciones entre consumidores dentro de esta área, el bienestar de ambos consumidores
aumentará o quedará igual. Por su parte, la recta verde dentro del área amarilla es el con-
junto de asignaciones Pareto eficientes2, que claramente no son únicas.
El conjunto de asignaciones Pareto eficientes viene dada por la curva de contrato que es
definida impĺıcitamente por la ecuación:
∂u1
∂x1
(x1, x2)
∂u1
∂x2
(x1, x2)
=
∂u2
∂x1
(w1 − x1, w2 − x2)
∂u2
∂x2
(w1 − x1, w2 − x2)
en donde se igualan las tasas marginales de sustitución de cada consumidor.
Una generalización de este esquema para n consumidores se puede hallar en Jehle y Reny
(2001)3.
2Notar que esta afirmación es condicional en la dotación inicial de cada individuo.
3“Advanced Microeconomic Theory”, sección 5.1.
4
Parte 2
Equilibrio en Mercados Competitivos
Sea k la cantidad de bienes y supóngase que hay n consumidores indexados según I =
{1, 2, ..., n}. Cada consumidor i ∈ I cuenta con una dotación wi = (wi1, wi2, ..., wik) con wi ≥ 0
y enfrenta mercados competitivos (tomador de precios). Notar que la riqueza del consumidor,
el valor de su dotación, es endógena porque depende de los precios que también lo son.
Supuesto 2.1
Las preferencias de cada consumidor pueden ser representadas por una función de utilidad
ui que es continua, estrictamente creciente y estrictamente cuasicóncava en Rk+.
2.1. Problema del Consumidor
Sea p ≡ (p1, p2, ..., pk) � 0 el vector de precios de mercado. Entonces el consumidor i
resuelve:
máx
{xi∈Rk+}
ui(xi) s.a. p · xi ≤ p ·wi
cuya solución viene dada por:
xi(p,p ·wi)
que corresponde a la demanda del consumidor i.
Teorema 2.1
Si ui cumple el supuesto 2.1, entonces para cada p � 0, el problema del consumidor tiene
una única solución xi(p,p ·wi). Además, xi(p,p ·wi) es continua en p ∈ Rk++.
Demostración: La existencia de la solución se sigue directamente del hecho que p� 0,
por lo que el conjunto presupuestario es acotado. Del teorema del máximo se sigue la con-
tinuidad de xi(p,p ·wi). La unicidad viene del supuesto 2.1 pues al ser la función objetivo
cuasicóncava y el conjunto presupuestario convexo. Notar que xi(p,p ·wi) no es necesaria-
mente continua en Rk+ pues si algún precio tiende a cero, el hecho que ui sea estrictamente
creciente lleva a que la demanda por algún bien de precio nulo tienda a infinito.
5
Se ilustra lo anterior con el caso particular k = 2 e i = 1, 2. El conjunto presupuestario del
individuo 1 viene dado por:
B1(p) = {x1 = (x11, x12)|p · x1 ≤ p ·w1}
La recta presupuestaria viene dada por:
p1 · x11 + p2 · x12 = p ·w1
aśı, w1 = (w11, w
1
2) está siempre sobre la recta presupuestaria.
Definición 2.1
Un equilibrio walrasiano para una economı́a de intercambio ε = {ui, wi}i∈I es un precio p∗
y una asignación factible X∗ = (x1,x2, ...,xn) tal que:
i) Los n consumidores actúan acorde a la maximización de su función de utilidad. Es decir
∀ i = 1, 2, ..., n se tiene que xi resuelve:
máx
{xi∈Rk+}
ui(xi) s.a. p · xi ≤ p ·wi
ii) Los mercados de los k bienes se aclaran. Es decir ∀ l = 1, 2, ..., k se tiene que:
n∑
i=1
xil = wl
A continuación se incluyen un ejemplo de una situación de desequilibrio y una de equi-
librio walrasiano.
Notar que en el caso de la figura 2.1, como x11 + x
2
1 > w1 hay exceso de demanda por el
bien uno. Asimismo, es fácil notar que hay un exceso de oferta del bien 2. Por su parte, en la
figura 2.2 se cumplen ambas condiciones para un equilibrio walrasiano. Notar que más aún,
dicho equilibrio es Pareto eficiente1.
1Esto será demostrado como un teorema más adelante.
6
Figura 2.1: Ejemplo de una situación de desequilibrio
Figura 2.2: Ejemplo de una situación de equilibrio walrasiano2.2. Equilibrio Walrasiano
En esta sección se aborda el problema del equilibrio walrasiano. De particular interés
resulta responder preguntas sobre existencia, unicidad, estabilidad y convergencia hacia el
equilibrio. Sin embargo, sólo se estudiará el tema de existencia y el cómo caracterizarlo. De
particular interés para ambas interrogantes resulta ser la siguiente función.
Definición 2.2
Se define la función de exceso de demanda agregada del bien j como la siguiente función
real valorada:
zj(p) ≡
n∑
i=1
xij(p,p ·wi)︸ ︷︷ ︸
Demanda Agregada bien j
−
n∑
i=1
wij︸ ︷︷ ︸
Oferta agregada bien j
7
Notar que cuando zj(p) > 0 hay exceso de demanda por el bien j y que cuando zj(p) < 0
hay exceso de oferta de bien j.
Definición 2.3
Se define la función de exceso de demanda agregada como la función vectorial:
z(p) ≡

z1(p)
z2(p)
...
zk(p)

Notar que las condiciones i) y ii) de la definición 2.1 se satisfacen en la medida que algún
p∗ cumpla con:
z(p∗) = 0
Teorema 2.2
Si para cada consumidor i ∈ I, su función de utilidad ui cumple con el supuesto 2.1 y las
dotaciones son tales que ∀ l = 1, 2, ..., k wl > 0 (dotaciones agregadas positivas de cada
bien) entonces la función z(p) posee las siguientes propiedades para cualquier p� 0:
i) z(p) es continua en p.
ii) z(λ · p) = z(p) para cualquier λ > 0. Es decir, z(p) es homogénea de grado cero.
iii) p·z(p) = 0 Este resultado se conoce como ley de Walras: el valor del exceso de demanda
agregado es cero. En particular se cumple para el precio de equilibrio.
iv) (Condición de borde) Si {pm}∞m=0 es una secuencia de vectores de precios en Rk++ que
convergen a p 6= 0 con pl = 0 para algún bien l. Entonces, para algún bien l′ con pl′ = 0,
la secuencia de excesos de demanda de dicho bien asociada a la secuencia de precios
{pm}∞m=0, denotada {zl′(pm)}∞m=0, no tiene cota superior.
A continuación se demuestran cada uno de las propiedades anteriores.
Demostración i) Las funciones de demanda individuales, xi(p,p ·wi), son continuas por
lo que la suma de ellas también es una función continua.
Demostración ii) Las demandas individuales son homogéneas de grado cero en precios
por cuanto el conjunto presupuestario no se ve alterado cuando los
precios aumentan todos en un factor de λ :
p · xi ≤ p ·wi ⇔ λp · xi ≤ λp ·wi
8
y como en la función de utilidad no influyen los precios de los bienes,
la solución al problema del consumidor es la misma usando una u otra
restricción y aśı para todo i ∈ I y cualquier λ > 0:
xi(p,p ·wi) = xi(λp, λp ·wi)
y es sencillo notar que la suma de funciones homogéneas de grado cero
es también una función homogénea de grado cero. De esta manera, sólo
los precios relativos importan, lo que permite normalizar de alguna
forma arbitraria. La más conocida y simple de ellas es hacer de un bien
el numerario de la economı́a al fijar su precio en uno, aśı el vector de
precios es de la forma p = (1, p2, ..., pk).
Demostración iii) La ley de Walras se sigue del supuesto que ui es estrictamente creciente
y aśı todo el ingreso se gasta. De la definición de z(p) se tiene:
z(p) =
n∑
i=1
(xi(p,p ·wi)−wi)
/
p · (·)
⇒ p · z(p) = p ·
(
n∑
i=1
(xi(p,p ·wi)−wi)
)
=
n∑
i=1
p · (xi(p,p ·wi)−wi)
= 0
donde la última igualdad se debe al hecho que cada individuo agota
su ingreso. La ley de Walras implica que de haber equilibrio en k − 1
mercados, necesariamente el k está en equilibrio.
Demostración iv) En otras palabras, la propiedad iv) significa que si los precios de al-
gunos pero no de todos los bienes se acercan arbitrariamente a cero,
entonces el exceso de demanda de alguno de esos bienes crece sin ĺımite
alguno. Ahora se procede a su demostración
Supóngase que las preferencias de los individuos satisfacen el supuesto 2.1.Con-
sidere una secuencia de vectores de precio estrictamente positivos {pm} ,
que convergen a p 6= 0 tal que pk = 0 para algún bien k . Como
I∑
i=1
wi � 0, debe cumplirse que p ·
I∑
i=1
wi > 0 y consecuentemente,
p ·
I∑
i=1
wi =
I∑
i=1
p · wi > 0 entonces debe haber al menos un consumi-
dor i para el cual p ·wi > 0. Considere la demanda del consumidor i,
xi(pm,pm ·wi) a lo largo de la secuencia de precios.
Ahora suponga por contradicción, que esta secuencia de vectores de
demanda está acotada. Entonces por teorema de secuencias acotadas
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en Rn, debe existir una subsecuencia convergente. Se puede asumir sin
pérdida de generalidad que la secuencia original de demanda converge
a un punto que se denotará x∗. Esto es xi(pm,pm ·wi)→ x∗. Para sim-
plificar notación sea xm ≡ xi(pm,pm · wi) para todo m. Ahora como
xm maximiza ui sujeto a la restricción presupuestaria del consumidor i
dados los precios pm y como ui es estrictamente creciente, la restricción
presupuestaria debe cumplirse con igualdad. Esto es:
pm · xm = pm ·wi
para cada m. Tomando ĺımite cuando m→∞ se tiene
p · x∗ = p ·wi > 0 (2.1)
Donde la desigualdad estricta viene de nuestra elección del consumidor
i. Ahora sea x̂= x∗+(0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) donde el uno está en la posición
k. Entonces como ui es estrictamente creciente en Rn+,
ui(x̂) > ui(x∗) (2.2)
Adicionalmente, como pk = 0 la ecuación (2.1) implica que:
p · x̂ = p ·wi > 0 (2.3)
Entonces como ui es continua las ecuaciones (2.2) y (2.3) implican que
existe un t ∈ (0, 1) tal que:
ui(tx̂) > ui(x∗) (2.4)
p · (tx̂) < p ·wi > 0 (2.5)
Pero como pm → p, xm→ x∗ y uies continua esto implica que para m
suficientemente grande:
ui(tx̂) > ui(xm) (2.6)
pm · (tx̂) < pm ·wi (2.7)
Esto contradice el hecho que xm resuelve el problema del consumidor
a los precios pm. Se concluye entonces que la secuencia de vectores de
demanda, {xm} , no tiene cota.
Como la secuencia de vectores de demanda del consumidor i no
tiene cota y es no negativa, debe existir algún bien k ′ tal que {xmk′} no
tenga cota superior. Como el ingreso del consumidor i converge a p ·wi
la secuencia de ingreso {pm ·wi} está acotada. Luego se debe tener
pmk′ → 0 ya que esta es la única manera que la demanda por el bien k ′
no esté acotada y sea alcanzable. Entonces pk′ = ĺımm→∞ p
m
k′ = 0
Finalmente notar que como la oferta agregada del bien k ′ está fija
10
y es igual a su dotación agregada y todos los consumidores demandan
cantidades no negativas del bien, el hecho que la demanda del consum-
idor i por el bien k ′ no tenga cota superior implica que el exceso de
demanda agregada por el bien k ′ no tiene cota superior. Consecuente-
mente partiendo del supuesto que pm → p 6= 0 y que pk = 0 para
algún k se ha demostrado que existe algún bien k ′ con pk′ = 0 tal que
el exceso de demanda agregada por este bien no tiene cota superior a
lo largo de la secuencia de precios {pm} .
Resumen
Se resaltan aqúı los puntos más notables de esta sección.
(a) Las demandas y ofertas dependen solamente de los precios relativos.
(b) El equilibrio de mercado requiere la compatibilización simultánea de acciones individ-
uales, independientes y decentralizadas de agentes que maximizan su utilidad. Más aún
el equilibrio walrasiano requiere una cantidad de información mucho menor que en el
caso del equilibrio de intercambio, pues los agentes en el primer caso requieren conocer
sólo k−1 precios relativos, mientras que en el segundo se requiere conocer las dotaciones
de cada individuo y sus preferencias (es decir, se requiere conocer la economı́a completa
ε).
(c) Si la asignación inicial es w, la acción individual de agentes en mercados impersonales
lleva a una distribución del producto de la economı́a que está dentro del “lente” for-
mado por las curvas de indiferencia de la figura 1.2 (área amarilla) y sobre la curva de
contrato. Son asignaciones factibles en las cuales cada agente está mejor o igual que
con la asignación inicial (la dotación) y a partir de las cuales es imposible mejorar a al-
guien sin empeorar a otro. Esto implica que el equilibrio walrasiano tiene una propiedad
socialmente deseable: es eficiente en el sentido de Pareto.
2.3.Existencia del Equilibrio Walrasiano
Para comenzar esta sección, conviene recordar que la ley de Walras no es una condición
de equilibrio. De hecho, Leon Walras2 no resolvió el problema de existencia pues señaló que
el sistema z(p) = 0 al tener k ecuaciones (una para cada bien) y k incógnitas (cada precio)
siempre tiene solución. No obstante, esto es claramente falaz. Un contraejemplo sencillo es
pensar que las ecuaciones anteriores son lineales en p por lo que el sistema es:
A · p = 0
con A alguna matriz (k×k). Si ella no es invertible, entonces no existe el equilibrio walrasiano.
Como ejercicio sencillo, se demuestra la existencia del equilibrio walrasiano para el caso k = 2.
Esta demostración consta de dos partes:
2“Elements dé Economie Politique Pure” (1874)
11
(a) Se demuestra que cuando p1 → 0 se tiene que z1(p1, 1)→ +∞.
(b) Para un p1 suficientemente grande, z1(p1, 1) < 0 (exceso de oferta)
y debido a que z1(p1, 1) es una función continua, por el teorema del valor intermedio, se tiene
que existe al menos un precio p∗ = (p∗1, 1) tal que z1(p
∗) = 0. Este precio es el equilibrio
walrasiano.
Demostración (a) A medida que p1 → 0, el exceso de demanda para algún bien se va a
infinito por la propiedad iv) del teorema 2.2. Los consumidores tienen
riqueza finita, luego deben tener demandas acotadas por el bien 2 que
tiene precio uno. Aśı:
ĺım
p1→0
z1(p1, 1) = +∞
Demostración (b) Considérese el vector de precios normalizados según p = (1, 1/p1). A
medida que p1 → +∞, claramente el precio relativo del bien 2 se va a
cero:
ĺım
p1→+∞
1
p1
= 0
y aśı, el exceso de demanda del bien 2 se va a infinito, mientras que el del
bien 1 está acotado mediante un argumento análogo a la demostración
de (a). Aśı, para p1 suficientemente grande se tiene:
z2(1, 1/p1) > 0
pero por la ley de Walras:
p1 · z1(1, 1/p1) = −p2 · z2(1, 1/p1) < 0
luego
z1(p1, 1) < 0
para p1 suficientemente grande.
El siguiente teorema resulta vital para probar la existencia del equilibrio walrasiano.
Teorema 2.3
(Teorema de Punto Fijo de Brouwer) Sea S ⊂ Rn un conjunto no vaćıo, compacto3
y convexo. Sea f : S → S una función continua. Entonces existe al menos un punto fijo en
S; esto es, existe al menos un punto x∗ ∈ S tal que:
f(x∗) = x∗
Para el caso n = 1, este teorema se reduce al teorema del valor intermedio de los cursos
de cálculo diferencial.
3I.e. cerrado y acotado.
12
2.4. Demostración Existencia del Equilibrio Walrasiano
para el caso de k bienes
En esta sección se demostrará el siguiente teorema.
Teorema 2.4
Suponga que z(p) satisface las siguientes cuatro condiciones:
i) z(·) es continua en Rk++.
ii) (Homogeneidad) z(λp) = z(p) para todo λ > 0.
iii) p · z(p) = 0 para todo p� 0.
iv) (Condición de Borde) Si {pm} es una secuencia de vectores de precio en Rk++ que
converge a p 6= 0, con pj = 0 para algún bien j , entonces, para algún bien j ′ con pj′ = 0
la secuencia asociada de exceso dedemanda en el mercado del bien j ′, {zj′(pm)} , no
tiene cota superior.
Entonces existe un vector de precios p∗ � 0 tal que z(p∗) = 0.
Antes de pasar a la demostración del teorema notar que la ausencia de continuidad de la
función demanda y por lo tanto de la función de exceso de demanda agregada, en la frontera
de los vectores de precios no negativos exige realizar un trabajo adicional para alejarse de
ese ĺımite. Para lograrlo, primero se define zj(p) = mı́n {zj(p), 1} para todo p � 0, y sea
z(p) = (z1(p), ..., zk(p)). Con esto se ha asegurado que zj(p) está acotado por arriba por 1.
Ahora se define el conjunto Sε fijando ε ∈ (0, 1) y haciendo:
Sε =
{
p :
k∑
j=1
pj = 1 y pj ≥
ε
1 + 2k
∀j
}
En este conjunto se está excluyendo aquellos vectores de precios que contengan algún precio
que se aproxima o es igual a cero. Además se está normalizando los precios, esto lo hacemos
porque como la función de exceso de demanda agregada es homogénea de grado cero en
precios estos pueden normalizarse y expresar las demandas en función de los precios relativos.
Esto puede hacerse de muchas maneras, una de ellas es hacer:
pj =
p̂j
k∑
m=1
p̂m
donde p̂j es el precio absoluto. Note que
k∑
j=1
pj = 1.
Demostración: Se ha restringido la búsqueda del Equilibrio Walrasiano de un precio
p∗ � 0 tal que z(p∗) = 0 al conjunto Sε. Esto lo se ha hecho porque de este modo se ha
13
construido un conjunto compacto y además convexo y no vaćıo. Por teorema de Punto Fijo
de Brouwer 2.3 se sabe que toda función continua desde un conjunto convexo y compacto a
ese mismo conjunto tiene al menos un punto fijo. Para demostrarlo la existencia, se construye
una función continua tal que su punto fijo sea el Equilibrio Walrasiano. Hay muchas funciones
que lo hacen pero sólo se necesita una. Se construye la siguiente función vectorial:
f : Sε → Sε
Donde,
f(p) ≡

f1(p)
f2(p)
...
fk(p)

Para j = 1, ..., k, fj(p) viene dado por:
fj(p) ≡
ε+ pj + máx(0, zj(p))
kε+ 1 +
k∑
m=1
máx(0, zm(p))
j = 1, ..., k
La función f puede interpretarse como la variación en los precios que producen los mercados
cuando no hay equilibrio. Si p es un vector de precios que no es de equilibrio y si zk(p) > 0,
es decir hay exceso de demanda por ese bien, entonces su precio relativo debe aumentar.
Notar que
k∑
j=1
fj(p) = 1:
k∑
j=1
fj(p) ≡
k∑
j=1
[ε+ pj + máx(0, zj(p))]
kε+ 1 +
k∑
m=1
máx(0, zm(p))
=
kε+ 1 +
k∑
j=1
máx(0, zj(p)))
kε+ 1 +
k∑
m=1
máx(0, zm(p))
= 1
Además notar que se cumple que fj(p) ≥ εkε+1+k ya que zj(p) ≤ 1 ∀ j entonces fj(p) ≥
ε
1+2k
.
Por lo tanto se cumple que f : Sε → Sε. Notar que fj(p) es continua en Sε ya que por la
condición i) del teorema 2.4 zj(p) es continua en Sε, por lo tanto zj(p) es continua en Sε ya
que la función de máximo es continua, entonces por composición de funciones fj(p) también
son funciones continuas en Sε. Luego f(p) es una función continua que mapea el conjunto
no vaćıo compacto y convexo Sε sobre si mismo. Por el teorema de punto fijo de Brouwer 2.3
se sabe que existe un pε ∈ Sε tal que f(pε) = pε. Esto es equivalente a que fj(pε) = pεj para
j = 1, ...., k.
ε+ pεj + máx(0, zj(p
ε))
kε+ 1 +
k∑
m=1
máx(0, zm(pε))
= pεj j = 1, ..., k
pεj
[
kε+
k∑
m=1
máx(0, zm(p
ε)
]
≡ ε+ máx(0, zm(pε)) (2.8)
14
Ahora se hace tender a cero a ε y se considera la secuencia de vectores de precios {pε} que
satisfaga (2.8). Notar que la secuencia de precios está acotada, porque pε ∈ Sε lo que implica
que el precio en cada mercado está siempre entre 0 y 1. En consecuencia por teorema de
secuencias acotadas alguna subsecuencia de {pε} debe converger. Supóngase, sin pérdida de
generalidad, que {pε} converge a p∗. Se sabe que p∗ ≥ 0 y p∗ 6= 0 porque sus componentes
suman uno. Se quiere mostrar que p∗ � 0. Se procede por contradicción: Supóngase que no
es el caso que p∗ � 0. Entonces para algún bien j se tiene p∗
j
= 0. Por condición iii) del
teorema 2.4 entonces debe existir algún bien j′ con p∗j′ = 0 tal que la secuencia asociada
de exceso de demanda en el mercado del bien j′, {zj′(pε)} , no tiene cota superior cuando
ε tiende a cero. Pero note que como pε → p∗, p∗j′ = 0 implica que pεj′ → 0. Luego el
lado izquierdo de (2.8) para j = j′ debe tender a cero ya que el término entre paréntesis
está acotado por la definición de z. Sin embargo el lado derecho aparentemente no tiende a
cero ya que zj′(p
ε) no está acotado por lo cual zj′(p
ε) toma su valor máximo de 1. Esto es
una contradicción porque ambos lados de la condición son iguales para todo ε. Se concluye
entonces que p∗ � 0. Entonces pε → p∗ � 0 a medida que ε → 0. Como z(·) es continua
en Rk++ se puede tomar ĺımite a (2.8) con ε→ 0 y se obtiene:
p∗j
k∑
m=1
máx(0, zm(p
∗)) ≡ máx(0, zj(p∗)) j = 1, ..., k
multiplicando ambos lados por zj(p
∗) en cada una de estas k ecuaciones:
zj(p
∗)p∗j
k∑
m=1
máx(0, zm(p
∗)) ≡ zj(p∗) máx(0, zj(p∗)) j = 1, ..., k
sumando sobre j = 1, ..., k bienes se tiene :
k∑
m=1
máx(0, zm(p
∗))
k∑
j=1
zj(p
∗)p∗j≡
k∑
j=1
zj(p
∗) máx(0, zj(p
∗))
Pero por Ley de Walras se tiene que:
k∑
j=1
zj(p
∗)p∗j = 0
Luego:
k∑
j=1
zj(p
∗) máx(0, zj(p
∗)) = 0
Cada término de esta sumatoria es no negativo ya que es cero o (zj(p
∗))2 . Pero si algún
término fuera estrictamente mayor que cero la igualdad no se cumpliŕıa luego para que se
cumpla la igualdad cada término de la sumatoria debe ser igual a cero lo que implica que
15
zj(p
∗) ≤ 0 para j = 1, ..., k y p∗ � 0. Pero claramente no puede ser que zj(p∗) < 0 y p∗ � 0.
Proposición: Si p∗ es un equilibrio walrasiano y zj(p
∗) < 0, entonces p∗j = 0, es decir, si
algún bien está en exceso de oferta, en el equilibrio walrasiano, debe ser bien libre.
• Demostración: Suponga que p∗ es un equilibrio walrasiano y que z(p∗) ≤ 0 entonces
p∗ · z(p∗) =
k∑
j=1
p∗jzj(p
∗) ≤ 0 porque los precios son no negativos. Si zj(p∗) < 0 y p∗j > 0
se tendŕıa que p∗ · z(p∗) < 0 lo que contradice la Ley de Walras. Entonces si p∗ � 0 y
p∗ es un equilibrio walrasiano z(p∗) = 0. Luego, mientras la función de exceso de demanda
agregada sea continua en Rk++ satisfaga la Ley de Walras y no tenga cota superior a medida
que un precio, pero no todos, se aproximan a cero entonces existe un Equilibrio Walrasiano
con todos los precios estrictamente positivos.
16
Parte 3
Teoremas Fundamentales de Bienestar
3.1. Primer Teorema de Bienestar
Teorema 3.1
(Primer Teorema de Bienestar) Para la economı́a de intercambio ε = {ui, wi}i∈I si
ui es estrictamente creciente en Rk+, entonces todos los equilibrios walrasianos entregan una
asignación que es eficiente en el sentido de Pareto.
Este teorema señala que:
Equilibrio Walrasiano⇒ Eficiencia Paretiana
y para demostrarlo se requiere un supuesto muy débil sobre las preferencias de los consum-
idores: que existe no-saciedad local1. Algunos aspectos vitales que sustentan este teorema
son la inexistencia de externalidades (y por tanto no hay bienes públicos), hay competencia
perfecta y que la información es perfecta. La presencia de externalidades y sus efectos en
este teorema serán estudiados más adelante.
Definición 3.1
La relación de preferencias �i presenta no-saciedad local si para cada xi ∈ Rk+ y cada � > 0,
existe un xi′ tal que xi′ �i xi y que
‖xi′ − xi‖ < �
Esta propiedad impide que las curvas de indiferencias sean “gruesas”2.
1Esta propiedad es más laxa que el supuesto de estricta monotonicidad de � .
2No existe un entorno de un punto en la curva de indiferencia que tenga sólo canastas que son igualmente
preferidas.
17
Demostración Teorema 3.1: Se demuestra por contradicción. Supóngase que hay un
equilibrio walrasiano p∗,X∗ que no es Pareto óptimo. Aśı, hay otra asignación factible Z
que es Pareto superior. Entonces por definición:
∀ i ∈ I ui(zi) ≥ ui(xi)
y para algún j ∈ I uj(zj) > uj(xj)
Por equilibrio walrasiano, cualquier asignación estrictamente preferida debe costar más (ar-
gumento de preferencias reveladas) dado que, por la no-saciedad local, el individuo gasta
todo su ingreso. De lo contrario, el consumidor la hubiese escogido en lugar de xi. Luego
debe darse que:
∀ i ∈ I p∗ · zi ≥ p∗ · xi
(por no-saciedad local, si p∗ · zi < p∗ · xi, entonces existe alguna canasta xi en el conjunto
presupuestario que seŕıa estrictamente preferida a zi y, por tanto, a xi, lo que viola el
supuesto que xi maximiza la utilidad en el conjunto presupuestario.)
Por otro lado, debe darse que para aquellos consumidores con
uj(zj) > uj(xj)
que
p∗ · zj > p∗ · xj
porque de otra forma el consumidor hubiese escogido zj violando el supuesto de maximización
de utilidad. De esta forma, a nivel agregado debe cumplirse que:
p∗ ·
n∑
i=1
zj > p∗ ·
n∑
i=1
xj
y como cada consumidor agota su ingreso (no-saciedad local)
p∗ · xi = p ·wi
luego la desigualdad de arriba se transforma en:
p∗ ·
n∑
i=1
(zi −wi) > 0 (3.1)
Por otra parte, como Z es una asignación factible se cumple que:
n∑
i=1
zi =
n∑
i=1
wi
y por tanto
p∗ ·
n∑
i=1
(zi −wi) = 0 (3.2)
contradiciendo a la desigualdad (3.1).
Consecuentemente, no puede haber una asignación Z Pareto superior a la asignación del
equilibrio walrasiano, por lo que ésta es Pareto eficiente de acuerdo a la definición 1.5.
18
3.2. Segundo Teorema de Bienestar
Un equilibrio competitivo consigue explotar todas las posibles ganancias del intercambio
pero la distribución resultante es un reflejo de la dotación de cada individuo.
Es posible modificar las condiciones iniciales de forma que se llegue a una asignación final
con una distribución de los recursos predeterminada. Bajo este respecto conviene notar que:
(a) Las dotaciones deja de ser exógenas y son variables del problema.
(b) Abre la posibilidad de conseguir asignaciones eficientes predeterminadas respetando el
sistema de precios y variando solamente el derecho de propiedad. Esto permite com-
patibilizar dos objetivos sociales importantes y muchas veces conflictivos: eficiencia y
equidad.
El primer teorema establećıa que el equilibrio walrasiano es una condición suficiente para
la eficiencia paretiana bajo ciertas circunstancias. Una pregunta natural es si esta condi-
ción es a su vez necesaria. Sin embargo esto es falso, pues el equilibrio walrasiano depende
de la asignación de la riqueza y nada garantiza que cualquier asignación sea factible para
cada individuo. Para que lo último sea cierto debe redistribuirse la dotación mediante un
impuesto de suma alzada que en la práctica es un “first best” imposible, ya que requiere
gravar todos los bienes con la misma tasa (para no cambiar los precios relativos y aśı no
alterar el comportamiento de los agentes). Pero un bien (al menos) no puede gravarse: el
ocio. Existe una numerosa literatura en finanzas públicas sobre el “second best” que señala
que para disminuir el problema, puede gravarse con una tasa mayor aquellos bienes que son
complementarios con el ocio.
Obviando la dificultad anterior, se enuncia el segundo teorema de bienestar.
Teorema 3.2
(Segundo Teorema de Bienestar) Considere una economı́a de intercambio ε = {ui,wi}i∈I
con dotación agregada w � 0 y con funciones de utilidad que satisfacen el supuesto 2.1.
Supóngase que se considera una asignación X que es eficiente en el sentido de Pareto para
dicha economı́a y tal que las dotaciones han sido redistribuidas de tal forma que el nue-
vo vector de dotaciones es X. Entonces X es un equilibrio walrasiano de la economı́a de
intercambio ε′ = {ui,xi}i∈I.
Demostración Teorema 3.2: Como X es Pareto óptimo, por definición es factible∑
i∈I
X =
∑
i∈I
wi = w � 0
Por el teorema de existencia del equilibrio walrasiano, dado que ui satisface el supuesto 2.1
y w � 0 se tiene que existe al menos un vector p∗ tal que z(p∗) = 0 por lo que la economı́a
ε′ tiene una asignación de equilibrio walrasiano denotada X̂. Se demostrará que X̂ = X.
Debe ser cierto que ∀i ∈ I
ui(x̂i) ≥ ui(xi) (3.3)
19
con x̂i factible. Como X es una distribución de equilibrio walrasiano factible para la economı́a
ε′ entonces: ∑
i∈I
x̂i =
∑
i∈I
xi =
∑
i∈I
wi
por lo que X̂ es factible para la economı́a original ε. Además como X es Pareto óptimo se
tiene que (3.3) se cumple con igualdad.
⇒ ∀i ∈ I ui(x̂i) = ui(xi)
Ahora se procede a demostrar que x̂i = xi. Supóngase que x̂i 6= xi, entonces un consumidor
puede tomar una combinación lineal de las canastas, que es factible y que gracias a la
estricta cuasiconcavidad de ui entrega una mayor utilidad, negando el hecho que X es Pareto
eficiente.
⇒ x̂i = xi
Una manera equivalente de plantear el segundo teorema es la siguiente.
Teorema 3.3
Considérese las mismas premisas que en el teorema 3.2. Entonces hay un vector de precios
p tal que cuando la asignación de dotaciones es X, cada consumidor i ∈ I maximiza ui(xi)
sujeto a p · xi ≤ p · xi eligiendo xi = xi.
La figura 3.1 muestra como una redistribución de riqueza que lleva a las dotaciones a
los puntos w′ o a X cambia el equilibrio walrasiano (tanto el vector de precios de equilibrio
como la asignaciónresultante).
Figura 3.1: Ejemplo de redistribución para el caso de dos consumidores y dos bienes
20
Parte 4
Equilibrio Walrasiano con Producción
Al igual que antes hay k bienes y los I consumidores están indexados con I = {1, 2, ..., I},tienen
preferencias que satisfacen el supuesto 2.1 y tienen dotaciones wi. Sin embargo, ahora hay
firmas J indexadas con el conjunto J = {1, 2, ..., J} que se les supone:
i) Tomadoras de precio.
ii) Maximizadoras de beneficio.
Sea yj ∈ Rk un plan de producción para la firma j y notar que los supráındices indexan una
firma. Recordar que en:
yj =

yj1
yj2
...
yjk

se dice que si yjk < 0, entonces el bien k es un insumo neto para la empresa j y que cuando
yjk > 0 se dice que el bien k es un producto neto para la empresa j. Por su parte, las
ganancias de las firmas constituyen parte del ingreso de los consumidores y los consumidores
son también oferentes de insumos.
Supuesto 4.1
Cada firma j ∈ J tiene un conjunto de posibilidades de producción Y j ⊆ Rk tal que:
i) 0 ∈ Y j. Esto garantiza que las ganancias están acotadas por debajo en cero, permitiendo
el cierre de la firma.
ii) Y j es un conjunto compacto. Esto permite que Y j contenga sus bordes por lo que los
ĺımites de los planes de producción son posibles, al tiempo que impone continuidad. El
hecho que Y j sea acotado pretende capturar el hecho que los recursos son limitados.
iii) Y j ∩Rk+ = {0}. Esto significa que la producción siempre requiere de insumos, a menos
que la empresa cierre.
21
iv) Y j es estrictamente convexo. Esto es:
∀ yj1,y
j
2 ∈ Y j y ∀ λ ∈ (0, 1), ∃ y ∈ Y j tal que y � λy
j
1 + (1− λ)y
j
2
Eliminando los retornos constantes y crecientes a escala y de esa forma asegura que
existe un único máximo de beneficios que se alcanza con algún plan de producción.
Ahora se busca caracterizar el equilibrio walrasiano. Como el ingreso del consumidor
depende de la utilidad de las firmas en las que posee, conviene iniciar con el problema de la
firma para encontrar la función de beneficio.
4.1. Problema de la Firma
Cada firma j ∈ J enfrenta un vector de precios p ∈ Rk++ y elige un plan de producción
para resolver:
máx
{yj∈Y j}
p · yj
Notar que por la convención de signos de insumos y productos, lo anterior sigue siendo
ingresos menos costos. Como la función objetivo es continua y el conjunto de restricciones
es compacto, por el teorema de Weiertrass se sigue que un máximo existe. Luego, para cada
p ∈ Rk++ se define la función de beneficio:
πj(p) ≡ máx
{yj∈Y j}
p · yj
Por el teorema del máximo1 se tiene que πj(p) es continua en Rk+. la convexidad estricta
asegura que el plan yj(p) que maximiza los beneficios es único para p ∈ Rk++. A su vez, el
teorema del máximo asegura que yj(p) es continua en p ∈ Rk++. Notar que yj(p) es una
función vectorial, cuyos componentes son la oferta de la firma y la demanda de insumos. Lo
anterior se resume en el siguiente teorema.
Teorema 4.1
Si Y j satisface el supuesto 4.1, entonces para todo p ∈ Rk++ la solución al problema de la
firma es único y lo denotamos por yj(p). Más aún yj(p) es continua en Rk++. Adicionalmente,
p · yj(p) está bien definida, es continua en Rk++ y es homogénea de grado uno en el vector
de precios. Por su parte, yj(p) es homogénea de grado cero en precios.
Definición 4.1
Suponiendo la inexistencia de externalidades en la producción entre firmas, se define el
conjunto de posibilidades de producción agregada como:
Y ≡
y∣∣y = ∑
j∈J
yj , con yj ∈ Y j

1Ver “Advanced Microeconomic Theory” (2001) de G. Jehle y P. Reny; Apéndice A2, página 505.
22
Teorema 4.2
Si cada Y j con j ∈ J cumple con el supuesto 4.1, entonces Y también las cumple.
Como no hay externalidades en producción, cada plan de producción y ∈ Y se puede
expresar como la suma de los J planes individuales de las firmas: y1,y2, ...,yJ . Un plan
y ∈ Y si y sólo si y puede escribirse como:
y =
J∑
j=1
yj
con yj ∈ Y j para todo j ∈ J.
Teorema 4.3
Un plan de producción agregado y =
∑
j∈J
maximiza los beneficios agregados p ·y para y ∈ Y
si y sólo si cada plan de producción individual yj maximiza las ganancias individuales p ·yj
sobre todos los planes yj ∈ Y j para todo j ∈ J.
La demostración de este teorema se deja de ejercicio al lector2.
4.2. Problema del Consumidor
Se deben introducir dos nuevos elementos: la oferta de insumos y la distribución de
los beneficios. El siguiente ejemplo ilustra las modificaciones pertinentes al problema del
consumidor.
Ejemplo: Considérese un modelo con dos bienes, uno de consumo y ocio, y con un sólo
individuo. Sean L̄ la dotación de tiempo del individuo, l las horas dedicadas a la producción
de bien de consumo, w el salario por unidad de trabajo (notar que es el precio del ocio a su
vez) y c̄ la dotación del bien de consumo. Notar que el ocio viene dado por:
L̄− l
Sea u( c
(+)
, L̄− l
(+)
) donde los signos debajo de los argumentos de u(·) señalan el signo de la
derivada parcial de dicho argumento.
En este caso, el problema a resolver es:
máx
{c,l}
u(c, L̄− l) s.a. p · c = w · l + p · c̄︸ ︷︷ ︸
ingreso
2Ayuda: Una forma sencilla de lograrlo es mediante la contradicción.
23
de cuya solución se extrae la demanda de bien de consumo y la oferta de trabajo.
La restricción presupuestaria puede ser reescrita como:
p · c+ w · (L̄− l) = w · L̄+ p · c̄
y al término w · L̄ + p · c̄ se le conoce como “ingreso completo” que corresponde al valor de
la dotación.
Ahora se procede a desarrollar un modelo general. Sea wi el vector de dotaciones del individuo
(incluye el tiempo) i ∈ I, p el vector de precios (con el precio del ocio). Se supone que existe
un sistema de propiedad establecido que permite la distribución de los beneficios. Sea θij la
participación del individuo i en la firma j, para todo i ∈ I y j ∈ J. Esta asignación para
todo j ∈ J debe satisfacer : ∑
i∈I
θij = 1
De esta forma, los beneficios que recibe el consumidor i por su propiedad en las firmas es:
J∑
j=1
θij · p · yj(p)
por lo que la recta presupuestaria del consumidor i es:
p · xi = p ·wi︸ ︷︷ ︸
Valor de la dotación
+
J∑
j=1
θij · p · yj(p)︸ ︷︷ ︸
Ingreso por propiedad de la firma
y de este modo, el problema que resuelve cada individuo i ∈ I es:
máx
{x∈Rk+}
ui(xi) s.a. p · xi = p ·wi +
J∑
j=1
θij · p · yj(p)
donde ui satisface el supuesto 2.1. De esta forma, la función xi(p) está bien definida, es
continua y homogénea de grado cero en precios3.
4.3. Caracterización del Equilibrio Walrasiano con Pro-
ducción
La economı́a con producción se queda descrita por la colección:
ε = {ui,wi, θij,Y j}i∈I,j∈J
3Además de las otras propiedades enunciadas en el apunte “Repaso de Microeconomı́a”.
24
Definición 4.2
Al sumar las demandas agregadas de los I consumidores se obtiene la demanda agregada,
denotada X(p) :
X(p) ≡
∑
i∈I
xi(p)
Definición 4.3
Se define la oferta agregada de los consumidores como:
W ≡
∑
i∈I
wi
Por su parte, se define la oferta agregada neta de las firmas como:
Y (p) ≡
∑
j∈J
yj(p)
Definición 4.4
Se define la función de exceso de exceso de demanda agregada como:
z(p) ≡X(p)− Y (p)−W
Si un componente de z(p) es negativo se dice que el bien respectivo está en exceso de oferta
neta y si es mayor que cero se dice que está en exceso de demanda neta.
Esta función de exceso de demanda agregada cumple con las cuatro propiedades del
teorema 2.2.
Teorema 4.4
Si para cada consumidor i ∈ I, su función de utilidad ui cumple con el supuesto 2.1 y las
dotaciones son tales que y +
∑
i∈I w
i � 0 para algún vector de producción agregada y ∈ Y
entonces la función z(p) definida en 4.4 posee las siguientes propiedades para cualquier
p� 0:
i) z(p) es continua en p.
ii) z(λ · p) = z(p) para cualquier λ > 0. Es decir, z(p) es homogénea de grado cero.
iii) p·z(p) = 0 Este resultado se conoce como ley de Walras: el valor del exceso de demanda
agregado es cero. En particular se cumple para el precio de equilibrio.
25
iv) (Condiciónde borde) Si {pm}∞m=0 es una secuencia de vectores de precios en Rk++ que
convergen a p 6= 0 con pl = 0 para algún bien l. Entonces, para algún bien l′ con pl′ = 0,
la secuencia de excesos de demanda de dicho bien asociada a la secuencia de precios
{pm}∞m=0, denotada {zl′(pm)}∞m=0, no tiene cota superior.
De esta forma, acorde al teorema 2.4, existe al menos un equilibrio walrasiano.
Ahora se busca demostrar que z(p) cumple las propiedades anteriores. La demostración
de i) y de ii) es directa, pues se sigue del teorema 4.1 y del hecho que X(p) es continua y
homogénea de grado cero. Sólo queda demostrar la veracidad de iii) y de iv).
Demostración III): Esta demostración se llevará a cabo por construcción.
p · z(p) = p ·X(p)− p · Y (p)− p ·W
= p ·
∑
i∈I
xi(p)− p ·
∑
j∈J
yj(p)− p ·
∑
i∈I
wi
pero se sabe que la restricción presupuestaria de cada individuo se cumple con igualdad, por
lo que para todo i ∈ I:
p · xi(p) = p ·wi +
J∑
j=1
θij · p · yj(p)
reemplazando esto en la suma inicial se obtiene:
p · z(p) = p ·
∑
i∈I
wi +
∑
i∈I
J∑
j=1
θij · p · yj − p ·
∑
j∈J
yj(p)− p ·
∑
i∈I
wi
=
J∑
j=1
p · yj(p) ·
I∑
i=1
θij︸ ︷︷ ︸
=1
−
J∑
j=1
p · yj(p)
∴ p · z(p) = 0
Demostración IV): Considérese la secuencia {pm}∞m=1 de vectores de precios en Rk++
que converge a p 6= 0, con pl = 0 para algún bien l. Se quiere demostrar que para algún
bien l′ con pl′ = 0 la secuencia asociada de excesos de demanda {zl′ (pm)}∞m=1 no tiene cota
superior. Al igual que en la demostración del teorema 2.2 se encuentra a algún consumidor
con ingreso estrictamente positivo para el vector de precios ĺımite p La existencia de dicho
consumidor está asegurada, ya que
p ·
(
y +
∑
i∈I
wi
)
> 0
para algún vector y ∈ Y gracias a la premisa(
y +
∑
i∈I
wi
)
� 0
26
y como el ingreso del consumidor i al precio ĺımite p es
mi(p) = p ·wi +
∑
j∈J
θijπj(p)
se tiene:
∑
i∈I
mi(p) =
∑
i∈I
p ·wi +∑
j∈J
θijπj(p)

=
∑
i∈I
p ·wi +
∑
j∈J
πj(p)
≥
∑
i∈I
pwi + p · y
= p ·
(
y +
∑
i∈I
wi
)
> 0
donde la desigualdad débil viene del hecho que al ser y un vector cualquiera que pertenece
a Y ,las ganancias agregadas serán mayores o iguales a p ·y pues y no necesariamente maxi-
miza las ganancias agregadas. Aśı, como la suma de los ingresos de los individuos es positiva
al precio p, entonces existe al menos un consumidor cuyo ingreso es positivo a dicho precio.
El resto de la demostración es análoga a la del teorema 2.2.
Como se cumplen las premisas del teorema 2.4, se sigue que existe al menos un equilibrio
walrasiano en la economı́a con producción.
Teorema 4.5
(Existencia del Equilibrio Walrasiano con Producción) Considere a una economı́a
ε = {ui,wi, θij,Y j}i∈I,j∈J. Si cada ui cumple con el supuesto 2.1, cada Y j cumple el
supuesto 4.1 y Y +
∑
i∈I w
i � 0 para algún vector y ∈
∑
j∈J Y
j, entonces existe al menos
un vector de precios p∗ � 0 tal que z(p∗) = 0.
4.4. Economı́a Robinson Crusoe
Se procede a caracterizar el equilibrio general en una economı́a simple. En particular,
se considera un solo consumidor que produce y consume. El consumidor vende h horas de
trabajo al productor, el cual usa el trabajo para producir el bien “cocos” y que se lo vende
al consumidor. Los beneficios que obtiene esta firma son de propiedad del consumidor.
27
4.4.1. Tecnoloǵıa
El conjunto de posibilidades de producción de la firma (y de la economı́a a su vez)
está dada por:
Y = { (−h, y) | 0 ≤ −h ≤ b ; 0 ≤ y ≤ (−h)α}
donde b > 0 y α ∈ (0, 1). Por ejemplo, el plan de producción (−2, 2α) usa dos horas de
trabajo y obtiene 2α unidades de cocos.
Figura 4.1: Función de Producción
4.4.2. Preferencias
Sea u : R2+ → R la función de utilidad del único consumidor definida según:
u(h, y) = h1−βyβ
donde β ∈ (0, 1), h son las horas de ocio (no dedicadas al trabajo) e y es la cantidad de cocos
consumidos.
4.4.3. Dotaciones
La dotación inicial del consumidor es w = (T, 0), es decir, consta de T > 0 horas y 0
unidades de cocos. A los precios (w, p), la recta presupuestaria se representa en la figura 4.2
como la recta entrecortada.
Se escoge b (cota del conjunto de producción) de manera que b > T. De esta manera,
en cualquier equilibrio walrasiano, la restricción h ≤ b no será activa porque el número de
horas demandadas por la firma no ha de exceder el número de horas totales T. Sean p > 0
el precio de los cocos y w > 0 el precio del ocio.
Problema de la Firma
Con los elementos anteriores, el problema de la firma es:
máx
{h≥0}
p · hα − w · h
28
Figura 4.2: Recta Presupuestaria
Cuando α < 1, se tiene que h = 0 no es un máximo del problema anterior. Esto se
comprueba a continuación con las condiciones de primer orden:
d (p · hα − w · h)
dh
= αphα−1 − w = 0
⇔ αphα−1 = w
A partir de lo cual se obtiene la demanda por trabajo de la firma que se denotará hf :
hf =
(αp
w
) 1
1−α
y usando que y = hα se obtiene la oferta de producto como función de los precios w y p,
denotada yf :
yf =
(αp
w
) α
1−α
Luego, la función ganancia de la firma es:
π(w, p) =
(
1− α
α
)
· w ·
(αp
w
) 1
1−α
(4.1)
Notar que debido a que las ganancias son positivas si los precios son positivos, se tiene que
h = 0 no es óptimo.
Problema del consumidor
El ingreso del consumidor proviene de dos partes; la primera de ellas es el valor de la
dotación y la segunda son las ganancias de la firma:
Ingreso = w · T + π(w, p)
por lo que la restricción presupuestaria es:
p · y + w · h = w · T + π(w, p)
29
y el problema a resolver es:
máx
{(h,y)∈R2+}
h1−β · yβ s.a. p · y + w · h = w · T + π(w, p)
En este caso, se puede demostrar4 que la solución a dicho problema es:
hc =
(1− β) · (wT + π(w, p))
w
yc =
β(wT + π(w, p))
p
Caracterización del equilibrio
Se busca ahora el precio de equilibrio. Por homogeneidad de grado cero en precios de la
oferta y demanda de la firma y del consumidor, sólo se busca un precio relativo. Sea p∗ = 1
la normalización impuesta y gracias a la ley de walras, el imponer la condición de vaciado en
un sólo mercado (e.g. el del trabajo) asegura que el otro (e.g. el de cocos) esté en equilibrio.
De esta forma, se busca un w∗ tal que:
(1− β)(w∗ · T + π(w∗, 1))
w∗
+
( α
w∗
) 1
1−α
Reemplazando la ecuación (4.1) en esta condición, se tiene que:
(1− β)(1− α)
α
·
( α
w∗
) 1
1−α
+
( α
w∗
) 1
1−α
= T
⇒ (1− β)(1− α)
α
·
( α
w∗
) 1
1−α
+
( α
w∗
) 1
1−α
= βT
⇒ w∗ = α ·
(
1− β(1− α)
αβT
)1−α
> 0
De esta manera, el equilibrio walrasiano de esta economı́a está dado por los precios:
(1, w∗)
y las asignaciones:
(y∗c(1, w∗), hc(1, w∗)) y (y∗f (1, w∗), hf (1, w∗))
El equilibrio anterior que se muestra en la figura 4.3.
4Se plantea como ejercicio al alumno.
30
Figura 4.3: Representación del Equilibrio General
4.5. Condiciones de Primer Orden para la optimalidad
paretiana
Considérese una economı́a con producción:
ε = {ui, wi, θi, j,Y j}i∈I,j∈J
Definición 4.5
Una asignación (x,y) =
(
(x1, x2, ..., xI), (y1, y2, ..., yJ)
)
de canastas de consumo para los
consumidores y planes de producción para las firmas es factible si para todo xi ∈ Rk+ con
i ∈ I y para todo yj ∈ Y j con j ∈ J se tiene que:∑
i∈I
xi =
∑
i∈I
wi +
∑
j∈J
yj
Definición 4.6
Una asignación factible (x,y) es Pareto eficiente si no existe ninguna otra asignación
factible (x,y) tal que ui(xi) ≥ ui(xi) para todo i ∈ I con al menos una desigualdad estricta.
Supóngase que las canastas de consumo de cada consumidor posibles están dadas por Rk+
y que las preferencias están descritas por funciones de utilidad ui(xi) que son doblemente
diferenciables y estrictamente monotónicas.
El conjunto de producción de la firma j toma la forma:
Y j =
{
y ∈ Rk+ : F j(y) ≤ 0
}
donde F j(y) = 0 define la frontera de producción de la firma de forma impĺıcita. Suponga
que F j : Rk+ es doblemente diferenciable con segundas derivadas continuas5.
5No se requieren supuestos, por el momento, de convexidad
31
El problema de encontrar asignaciones pareto óptimas para esta economı́aconsiste en
elegir asignaciones de la forma:
(x,y) = (x1,x2, ...,xI ,y1,y2, ...,yJ) ∈ Rkn+ × Rkn+
que resuelvan el siguiente problema:
máxu1(x11, x
1
2, ..., x
1
k) s.a.
(1)ui(xi) ≥ ui para i = 2, 3, ..., I
(2)
∑
i∈I
xil ≤ wl +
∑
j∈J
yjl para l = 1, 2, ..., k
(3)F j(yj1, y
j
2, ..., j
j
k) ≤ 0 para j = 1, ..., J
(4.2)
Sean (δ2, ..., δI) ≥ 0, (µ1, ..., µk) y (γ1, ..., γJ) los multiplicadores de Lagrange asociados,
respectivamente, a las restricciones (1), (2) y (3). Sea δ1 ≡ 1. El Lagrangeano asociado al
problema 4.2 es:
£ = u1(x1) +
∑
i∈I
δi · (ui(xi)− ui) +
k∑
l=1
µl ·
wl +∑
j∈J
yjl +
∑
i∈I
xil
+∑
j∈J
δj · (−F j(yj))
cuyas condiciones de primer orden, asumiendo una solución interior, son:
xil : δl ·
∂ui
∂xil
− µl = 0 ∀i ∈ I, l = 1, 2, ..., k
yjl : µl − γj ·
∂F j
∂yjl
= 0 ∀j ∈ J, l = 1, 2, ..., k
De esta manera, las condiciones pueden ser reescritas de tal forma que la eficiencia paretiana
puede ser interpretada de tres formas.
1. Asignación eficiente de los bienes entre consumidores:
∂ui/∂xil
∂ui/∂xil′
=
∂ui
′
/∂xi
′
l
∂ui′/∂xi
′
l′
para cualquier i, i′ ∈ I y l, l′ = 1, 2, ..., k
2. Producción eficiente a través de tecnoloǵıas de distintas firmas:
∂F j/∂yjl
∂F j/∂yjl′
=
∂F j
′
/∂yj
′
l
∂F j′/∂yj
′
l′
para todo j, j′ ∈ J
3. Nivel de producción agregado óptimo:
∂ui/∂xil
∂ui/∂xil′
=
∂F j/∂yjl
∂F j/∂yjl′
para cualquier i,∈ I , l, l′ = 1, 2, ..., k y j ∈ J
32
4.6. Generalización de los teoremas de bienestar.
4.6.1. Primer teorema del bienestar con producción
Teorema 4.6
Si cada ui es estrictamente creciente en Rk+, entonces cada asignación de un equilibrio
walrasiano es pareto óptima.
Demostración Teorema 4.6: Se muestra por contradicción. Supóngase que la asig-
nación (x,y) y el precio p∗ es un equilibrio walrasiano pero la asignación resultante no es
pareto óptima. Como (x,y) es la asignación del equilibrio walrasiano, se sigue que es factible.
Aśı: ∑
i∈I
xi =
∑
j∈J
yj +
∑
i∈I
wi
Pero (x,y) no es Pareto eficiente, existe alguna otra asignación factible (x̂, ŷ) tal que:
ui(x̂i) ≥ ui(xi)
para todo i ∈ I con al menos una desigualdad estricta para algún i′ ∈ I. Al igual que en la
demostración del teorema 3.1, por un argumento de preferencias reveladas, se sigue que la
canasta de los consumidores i′ debe costar más que su asignación de equilibrio walrasiano.
Para el resto de los consumidores, la asignación x̂i cuesta a lo menos lo mismo que la canasta
xi. De esta forma, se tiene que para todo i ∈ I:
p∗ · x̂i ≥ p∗ · xi
con al menos una desigualdad estricta. Al sumar sobre todos los consumidores:
p∗ ·
∑
i∈I
x̂i > p∗ ·
∑
i∈I
xi
Empleando la condición de factibilidad de las asignaciones (x̂, ŷ) y (x̂, ŷ), la desigualdad
anterior se traduce en:
p∗ ·
∑
j∈J
ŷj +
∑
i∈I
ŵi
 > p∗ ·
∑
j∈J
yj +
∑
i∈I
wi

⇔ p∗ ·
∑
j∈J
ŷj > p∗ ·
∑
j∈J
yj
Para que la anterior desigualdad ocurra se requiere que para algún j ∈ J:
p∗ · ŷj > p∗ · yj
con ŷj ∈ Y j. Sin embargo, esta última desigualdad contradice la premisa que yj era el
plan de producción del equilibrio walrasiano, puesto que dicha desigualdad señala que yj no
maximiza los beneficios de la firma a los precios p∗, quedando aśı demostrado el teorema.
33
4.6.2. Segundo teorema del bienestar con producción 6
Teorema 4.7
Supóngase que:
(a) Cada ui satisface el supuesto 2.1.
(b) Cada Y j satisface el supuesto 4.1.
(c) y +
∑
i∈I
wI � 0 para algún vector agregado de producción y.
(d) La asignación (x̂, ŷ) es pareto eficiente
Entonces, hay transferencias de ingreso T1, T2, ..., TI con
∑
i∈I
Ti = 0 y un vector de precios
tal que:
i) Para todo i ∈ I, xi resuelve:
máxui(xi) s.a. p · xi ≤ p ·wI +
∑
j∈J
θij · πj(p) + Ti
ii) Para todo j ∈ J, yj resuelve:
máx p · yi s.a. yj ∈ Y j
6 La demostración de este teorema se puede hallar en Jehle y Reny (2001) “Advanced Microeconomic
Theory”, pág. 219.
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	Equilibrio de Intercambio
	Caja de Edgeworth
	Equilibrio en Mercados Competitivos
	Problema del Consumidor
	Equilibrio Walrasiano
	Existencia del Equilibrio Walrasiano
	Demostración Existencia del Equilibrio Walrasiano para el caso de k bienes
	Teoremas Fundamentales de Bienestar
	Primer Teorema de Bienestar
	Segundo Teorema de Bienestar
	Equilibrio Walrasiano con Producción
	Problema de la Firma
	Problema del Consumidor
	Caracterización del Equilibrio Walrasiano con Producción
	Economía Robinson Crusoe
	Tecnología
	Preferencias
	Dotaciones
	Condiciones de Primer Orden para la optimalidad paretiana
	Generalización de los teoremas de bienestar.
	Primer teorema del bienestar con producción
	Segundo teorema del bienestar con producción La demostración de este teorema se puede hallar en Jehle y Reny (2001) ``Advanced Microeconomic Theory'', pág. 219.