Modelamiento-y-optimizacion-dinamica-del-proceso-de-polimerizacion-de-metilmetacrilato-en-un-reactor-de-placas

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO 
 
 
PROGRAMA DE MAESTRIA Y DOCTORADO EN 
INGENIERIA 
 
 
 
 
FACULTAD DE QUÍMICA 
 
 
 
MODELAMIENTO Y OPTIMIZACIÓN DINÁMICA DEL 
PROCESO DE POLIMERIZACIÓN DE 
METILMETACRILATO EN UN REACTOR DE PLACAS 
 
T E S I S 
 
QUE PARA OPTAR POR EL GRADO DE 
 
 
DOCTOR EN INGENIERIA 
INGENIERIA QUIMICA-INGENIERIA DE PROCESOS 
 
P R E S E N T A: 
 
MARTÍN RIVERA TOLEDO 
 
 
 
TUTOR: 
 
DR. ANTONIO FLORES TLACUAHUAC 
 
 
2008 
 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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Todo el material contenido en esta tesis esta protegido por la Ley Federal 
del Derecho de Autor (LFDA) de los Estados Unidos Mexicanos (México). 
El uso de imágenes, fragmentos de videos, y demás material que sea 
objeto de protección de los derechos de autor, será exclusivamente para 
fines educativos e informativos y deberá citar la fuente donde la obtuvo 
mencionando el autor o autores. Cualquier uso distinto como el lucro, 
reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el 
respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
 
Agradecimientos 
 
 
Deseo manifestar un amplio agradecimiento al Dr. Antonio Flores Tlacuahuac por su tiempo y paciencia 
dedicados en la dirección de este trabajo a lo largo de mi formación en el doctorado. Me siento muy honrado 
de pertenecer al grupo de trabajo del Dr. Flores, de quien admiro su gran ímpetu de trabajo y creatividad para 
generar conocimiento. 
 
Quiero agradecer al Comité tutoral, conformado por el Dr. Leopoldo Vílchis Ramírez y el Dr. Rafael Herrera 
Nájera, por sus sugerencias y observaciones hechas durante el desarrollo del trabajo de investigación; al Dr. 
Ciro Humberto Ortiz Estrada y al Dr. Juan Zamora Mata por sus valiosos comentarios en el examen de 
candidatura; al Dr. David Juárez Romero por sus observaciones sobre la parte de optimización y al Dr. 
Eduardo Vivaldo Lima por su paciencia dedicada durante la revisión del documento escrito final y por sus 
aportaciones sobre los modelos cinéticos; al Centro de Investigación y Desarrollo (CID-KUO) y Plastiglass 
de México, S.A. por permitir emplear sus instalaciones para la realización de los experimentos en el horno 
piloto; a la M.C. Andrea Silva Beard por sus valiosos comentarios y experiencia compartida sobre el área de 
Ingeniería de Sistemas de Proceso; al M.C. Rodrigo López Negrete de la Fuente por su apoyo y sugerencias 
sobre el uso de herramientas de computo en el ambiente de LINUX; al Ing. René Huerta Cevallos por sus 
sugerencias y tiempo dedicado en los ensayos para las presentaciones de las evaluaciones semestrales; a 
Isabel Gutierrez Fernández por su apoyo en la preparación de material para las presentaciones de las 
evaluaciones semestrales; al Dr. Enrique Chávez Castellanos por su amistad y por compartir conmigo su 
experiencia durante su formación doctoral; a mis amigos Alejandro Méndez Dueñas y Marco Antonio 
Rodriguez Chida por su confianza y apoyo en mi arranque en la Ingeniería Química; a las diversas 
instituciones que me brindaron el apoyo para asistir en Agosto de 2005 al "Pan American Advanced Studies 
Institute Program on Process Systems Engineering on Process Systems Engineering”, realizado en Iguazú, 
Argentina; a la Universidad Iberoamericana por el apoyo brindado en Junio de 2007 para asistir al “8th 
International Symposium on Dynamics and Control of Process Systems”, realizado en Cancún, México; y de 
manera muy especial al Mtro. Juan Abud Saint-Martín y la M.C. Andrea Silva Beard por la confianza que 
me tuvieron para ser apoyado por FICSAC en el programa de superación académica de la Universidad 
Iberoamericana. 
 
 
Dedicatoria 
 
Quiero dedicar este trabajo a mis padres: Javier Rivera Cervantes, Guadalupe Toledo Gómez; a mis 
hermanos: Rosa, Angélica, Evelyn, Javier y Mario; a mi esposa Margarita Ortiz Rojas y mis hijos Martín y 
Valentina. 
 
Índice general
1. Introducción 1
1.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Reactores de polimerización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Usos del Poli(metacrilato de metilo) . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Contenido general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Contribuciones de este trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Antecedentes 7
2.1. Modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2. Optimización dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. Descripción del proceso y modelos matemáticos 16
3.1. Proceso de producción de placas de acŕılico . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2. Derivación del modelo para la producción de placas de acŕılico . . . . . 19
3.2.1. Modelo cinético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.2. Modelo para el reactor de placas . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.3. Estrategia de solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3. El modelo de optimización dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
i
ÍNDICE GENERAL ii
3.3.1. La función objetivo y sus restricciones . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.2. Estrategia de solución para el problema NLP . . . . . . . . . . . 31
4. Resultados del modelado 38
4.1. Discusión de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.1. La validación experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.2. Respuesta dinámica para T , X, I, λk y µk . . . . . . . . . . . . 45
4.1.3. Respuesta dinámica sobre Mw, polidispersidad y contracción de
la placa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.1.4. Análisis sobre la variación de parámetros cinéticos . . . . . . . . 59
4.2. Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5. Resultados de la optimización dinámica 63
5.1. Discusión de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.1.1. Caso 1: Formulación 1 (P1), 6 mm, 65 y 78
◦C . . . . . . . . . . 67
5.1.2. Caso 2: Formulación 2 (P2), 6 mm, 65 y 78
◦C . . . . . . . . . . 72
5.1.3. Caso 3: Formulación 1 (P1), 18 mm, 65 y 78
◦C . . . . . . . . . . 78
5.1.4. Caso 4: Formulación 2 (P2), 18 mm, 65 y 78
◦C . . . . . . . . . . 84
5.1.5. Caso 5: Análisis de variación de parámetros cinéticos . . . . . . 89
5.2. Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6. Conclusiones 96
A. El modelo general de optimización dinámica 99
A.1. Definición del problema de optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
A.1.1. Función objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
A.1.2. Modelo matemático para el proceso . . . . . . . . . . . . . . . . 100
A.1.3. Restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
ÍNDICE GENERAL iii
A.2. Soluciones del problema de optimización dinámica . . . . . . . . . . . . 101
A.2.1. Métodos anaĺıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
A.2.2. Métodos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
A.3. Formulación del problema de programación no lineal (NLP) . . . . . . 108
B. El modelo de optimización dinámica y IPOPT 115
B.1. El problema de optimización dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
B.2. El algoritmo de IPOPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
C. Comparación de modelos cinéticos: CCS vs VHW 120
D. Art́ıculos publicados y/o enviados 128
. Bibliograf́ıa 144
Índice de Tablas
1. Nomenclatura 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
2. Nomenclatura 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
3. Nomenclatura letras griegas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x
4. Nomenclatura sub́ındices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x
5. Abreviaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
4.1. Datos para la simulación del reactor por lotes . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2. Datos para la simulación del reactor de placas . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3. Cinética para el esquema de reacción de Poli(metacrilato de metilo) . . 41
4.4. Ecuaciones para propiedades f́ısicas dependientes de T y X . . . . . . 42
5.1. Datos de diseño para la optimización del reactor de placas . . . . . . . 64
5.2. Resumen de los resultados (CPU) de optimización . . . . . . . . . . . . 65
C.1. Parámetros para el modelo VHW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
iv
Índice de figuras
2.1. Reactor de placas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1. Esquema tradicional para producir placa de acŕılico . . . . . . . . . . . 19
3.2. Volumen de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3. Malla de discretización para el método de ĺıneas . . . . . . . . . . . . . 26
4.1. Comparación experimental de temperaturas vs resultados de simulación 43
4.2. Respuesta dinámica de los perfiles de temperatura . . . . . . . . . . . . 45
4.3. Respuesta dinámica de los perfiles de temperatura . . . . . . . . . . . . 46
4.4. Puntos de referencia para el reporte de resultados de simulación . . . . 47
4.5. Respuesta dinámica de los perfiles de conversión de monómero . . . . . 48
4.6. Respuesta dinámica de los perfiles de concentración de iniciador . . . . 50
4.7. Respuesta dinámica de los perfiles de momentos de poĺımero vivo . . . 51
4.8. Respuesta dinámica de los perfiles de momentos de poĺımero muerto . . 52
4.9. Respuesta dinámica de los perfiles de peso molecular Mw . . . . . . . . 54
4.10. Respuesta dinámica de los perfiles de peso molecular Mn . . . . . . . . 55
4.11. Respuesta dinámica de los perfiles de la polidispersidad . . . . . . . . . 56
4.12. Respuesta dinámica de la variación de espesor . . . . . . . . . . . . . . 57
v
ÍNDICE DE FIGURAS vi
4.13. Predicción de conversión y temperaturas del monómero . . . . . . . . . 58
4.14. Comparación de resultados experimentales vs análisis de sensibilidad . 60
5.1. Puntos de interés para el reporte de resultados . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2. Caso 1. Respuesta óptima a Ta0 = 65
oC para 6 mm de espesor . . . . . 69
5.3. Caso 1. Cargas térmicas a Ta0 =65
◦C para 6 mm de espesor . . . . . . 70
5.4. Caso 1. Respuesta óptima a Ta0 = 78
oC para 6 mm de espesor . . . . . 71
5.5. Caso 1. Cargas térmicas a Ta0 =78
◦C para 6 mm de espesor . . . . . . 72
5.6. Caso 2. Respuesta óptima a Ta0 = 65
oC para 6 mm de espesor . . . . . 74
5.7. Caso 2. Cargas térmicas a Ta0 =65
◦C para 6 mm de espesor . . . . . . 75
5.8. Caso 2. Respuesta óptima a Ta0 = 78
oC para 6 mm de espesor . . . . . 76
5.9. Caso 2. Cargas térmicas a Ta0 =78
◦C para 6 mm de espesor . . . . . . 77
5.10. Caso 3. Respuesta óptima a Ta0 = 65
oC para 18 mm de espesor . . . . 79
5.11. Caso 3. Cargas térmicas a Ta0 =65
◦C para 18 mm de espesor . . . . . . 80
5.12. [Caso 3. Respuesta óptima a Ta0 = 78
oC para 18 mm de espesor . . . . 82
5.13. Caso 3. Cargas térmicas a Ta0 =78
◦C para 18 mm de espesor . . . . . . 83
5.14. Caso 4. Respuesta óptima a Ta0 = 65
oC para 18 mm de espesor . . . . 86
5.15. Caso 4. Cargas térmicas a Ta0 =65
◦C para 18 mm de espesor . . . . . . 87
5.16. Caso 4. Respuesta óptima a Ta0 = 78
oC para 18 mm de espesor . . . . 88
5.17. Caso 4. Cargas térmicas a Ta0 =78
◦C para 18 mm de espesor . . . . . . 89
5.18. Caso 5. Respuesta del análisis de sensibilidad para Ta con θp ±5% . . . 90
5.19. Caso 5. Análisis de sensibilidad en T , X y Mw con θp ±5% para 6 mm
de espesor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.20. Caso 5. Análisis de sensibilidad en T , X y Mw con θp ±5% para 18 mm
de espesor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.21. Caso 5. Respuesta del análisis de sensibilidad para Ta con θt ±5% . . . 93
ÍNDICE DE FIGURAS vii
5.22. Caso 5. Análisis de sensibilidad en T , X y Mw con θt ±5% para 6 mm
de espesor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.23. Caso 5. Análisis de sensibilidad en T , X y Mw con θt ±5% para 18 mm
de espesor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
A.1. Principio de optimalidad de Bellman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
A.2. Puntos de colocación sobre elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . 110
C.1. Comparación de modelos cinéticos: 50◦C, I0=0.0258 mol/dm
3 . . . . . 122
C.2. Comparación de modelos cinéticos: 50◦C, I0=0.01584 mol/dm
3 . . . . . 123
C.3. Comparación de modelos cinéticos: 70◦C, I0=0.0258 mol/dm
3 . . . . . 124
C.4. Comparación de modelos cinéticos: 70◦C, I0=0.01584 mol/dm
3 . . . . . 125
C.5. Comparación de modelos cinéticos: 90◦C, I0=0.0258 mol/dm
3 . . . . . 126
C.6. Comparación de modelos cinéticos: 90◦C, I0=0.01584 mol/dm
3 . . . . . 127
ÍNDICE DE FIGURAS viii
Nomenclatura y abreviaturas
Tabla 1: Nomenclatura
Śımbolo Descripción Unidades
Ak Coeficientes para las ecuaciones 3.10-3.12, k=1,2,...,5 [adimensional]
Bi Número de Biot en las coordenadas x o z [adimensional]
Cp Capacidad caloŕıfica isobárica [Jkg
−1K−1]
D Parámetro de difusión para el modelo VHW
f Eficiencia del iniciador [adimensional]
h Coeficiente convectivo de transferencia de calor [Wm−2K−1]
H Espesor de la placa de acŕılico [m]
I Concentración molar del iniciador [moldm−3]
k Conductividad térmica [Wm−1K−1]
kd Coeficiente cinético para el iniciador [min−1]
kf Coeficiente cinético para la transferencia
de cadena hacia el monómero [dm3min−1mol−1]
ki Coeficiente cinético para la reacción
de iniciación [dm3min−1mol−1]
kp Coeficiente cinético para la propagación [dm
3min−1mol−1]
ktc Coeficiente cinético para la terminación
por adición [dm3min−1mol−1]
ktd Coeficiente cinético para la terminación
por desproporción [dm3min−1mol−1]
L Longitud de la placa [m]
M Concentración molar del monómero [moldm−3]
Mn Peso molecular promedio en número [kgkmol−1]
Mw Peso molecular promedio en peso [kgkmol−1]
Mmw Peso molecular del monómero [kgkmol
−1]
Nc Número de puntos de colocación [adimensional]
Tabla 2: Nomenclatura
Śımbolo Descripción Unidades
nc Número de componentes [adimensional]
Ne Número de elementos finitos [adimensional]
Nx Número de puntos de discretización
en la coordenada x [adimensional]
Ny Número de puntos de discretización
en la coordenada y [adimensional]
Nz Número de puntos de discretización
en la coordenada z [adimensional]
Pr Número de Prandtl [adimensional]
P̄n Promedio en número de la longitud de cadena acumulada [adimensional]
P̄w Promedio en peso de la longitud de cadena acumulada [adimensional]
Q Calor liberado por las reacciones
de polimerización [Wm−3]
R Constante universal de los gases [kJ mol−1K−1)]
Re Número de Reynolds [adimensional]
T Temperatura del poĺımero [K]
Ta Temperatura del aire [K]
Tg Temperatura de transición v́ıtrea
para el poĺımero puro [K]
T0 Temperatura incial del monómero [K]
t Tiempo de reacción [min]
Vf Volumen libre fraccional [adimensional]
Vfcr2 Volumen libre fraccional para el efecto v́ıtreo [adimensional]
wT Factor de peso para la temperatura
de polimerización en la ecuación 3.14 [adimensional]
wA Factor de peso para la temperatura
del aire en la ecuación 3.14 [adimensional]
wM Factor de peso para Mw en la ecuación 3.14 [adimensional]
X Conversión del monómero
x Coordenada x para el espesor
de la placa [m]
y Coordenada y para el ancho
de la placa [m]
z Coordenada z para el largo
de la placa [m]
Tabla 3: Letras griegas
Śımbolo Descripción Unidades
α Difusividad térmica [m2min−1]
∆Hr Calor de reacción [kJmol−1]
² Factor de expansión volumétrica [adimensional]λ0 Momento viviente cero-e’simo [moldm
−3]
λ1 Momento viviente primero [moldm
−3]
λ2 Momento viviente segundo [moldm
−3]
µ0 Momento muerto cero-e’simo [moldm
−3]
µ1 Momento muerto primero [moldm
−3]
µ2 Momento muerto segundo [moldm
−3]
ν Viscosidad cinemática [m2min−1]
ρ Densidad [kgm−3]
θ Temperatura [adimensional]
Θp Tiempo de difusión del monómero
para la etapa de propagación [adimensional]
Θt Tiempo de difusión del monómero
para la etapa de terminación [adimensional]
τ Tiempo de operación adimensional
ξ Coordenada en la dirección x [adimensional]
ζ Coordenada en la dirección z [adimensional]
Tabla 4: Sub́ındices
Sub́ındice Descripción
a Aire
i Posición en la dirección x o la especie qúımica i
j Posición en la dirección z
k k-ésimo momento del poĺımero vivo o muerto
m Propiedades del monómero o número de elementos finitos
n Número de puntos de colocación
M Propiedades de la mezcla polimérica
p Propiedades del metil-metracrilato
t El total de la propiedad
V HW Parámetro correspondiente al modelo de Vivaldo-Hamielec-Wood
Tabla 5: Abreviaturas
AIBN 2,2’-azo-bis-isobutirilnitrilo
BCI Iteración en la condición de frontera
BPO Peróxido de benzoilo
CBI Iteración del vector de control
CCS Modelo cinético reportado por Chiu, Carrat y Soong
CONOPT Algoritmo de optimización para resolver problemas no lineales de
gran escala (CONstraint OPTimization)
CPU Unidad Central de Procesamiento (por sus siglas del inglés
Central Processor Unit)
DP Programación dinámica
IPD Índice de PoliDispersidad
IPOPT Algoritmo de optimización basado en el método de punto interior
(Interior Point OPTimizer)
IV P Problema de Valor Inicial
MINOS Algoritmo de optimización para resolver problemas Lineales y No Lineales
MMA Monómero de Metacrilato de Metilo
NLP Programación No Lineal (Non-Linear Programming)
P1 Formulación tipo 1 para el problema de optimización dinámica
Min
∫ τ
0
[(1− θ/θd)2 + (1− θa/θ
d
a)
2] dτ
P2 Formulación tipo 2 para el problema de optimización dinámica
Min
∫ τ
0
[(1− θ/θd)2 + (1− θa/θ
d
a)
2 + (1−Mw/M
d
w)
2] dτ
PDAEs Sistema de Ecuaciones Algebraicas y Diferenciales Parciales
PDEs Sistema de Ecuaciones Diferenciales Parciales
PMMA Poli-(metacrilato de metilo)
PMP Principio del Mı́nimo de Pontryagin
PSE Ingenieŕıa de Sistemas de Procesos (por sus siglas de inglés)
SOP Poĺıtica Simple de Operación
TPBV P Dos Puntos del Problema de Valores a la Frontera
V HW Modelo cinético de Vivaldo-Hamielec-Wood
Resumen
En este trabajo se presenta el modelado dinámico y la validación experimen-
tal para el proceso de producción de placas de acŕılico. Este se basa en el
mecanismo de reacción de polimerización con los pasos de iniciación qúımica,
propagación y terminación. El proceso de polimerización para la placa fue re-
presentado por un modelo matemático dinámico en dos dimensiones, capaz de
predecir la conversión de monómero, la temperatura, y los pesos moleculares
promedio. El modelo matemático esta dado por un conjunto de ecuaciones
diferenciales parciales (PDEs) que es discretizado a través de la aplicación
del método numérico de ĺıneas, éste genera un conjunto de ecuaciones dife-
renciales ordinarias, que representan los balances de masa y enerǵıa para el
sistema de polimerización, y es resuelto por algoritmos de cálculo comunes. Se
muestra la comparación de las capacidades de predicción del modelo contra
valores experimentales de temperaturas tomadas en los extremos de la hoja
plástica producida. También se formuló el modelo de optimización dinámica,
con la intensión de obtener perfiles óptimos de calentamiento para producir
una placa de acŕılico con propiedades mecánicas lo más homogéneas posible.
Éste modelo matemático corresponde a un problema de optimización dinámi-
ca con sistemas de parámetros distribuidos, el cual se resolvió bajo el enfoque
simultáneo. La discretización total de las variables generó un problema de
programación no lineal, que fue resuelto por medio de la herramienta de cál-
culo IPOPT. Los resultados son presentados para la optimización dinámica
en dos placas con espesores diferentes y son comparados contra poĺıticas de
operaciones más simples.
Abstract
The dynamic modeling and experimental validation of the model response
of the poly(methyl methacrylate) (PMMA) cell-cast process for plastic sheet
production is presented. It is based on the straightforward initiation, propaga-
tion, and termination reaction polymerization mechanism. The sheet molding
process was modeled by a two-dimensional dynamic mathematical model able
to predict conversion, temperature, and molecular weight averages. The mat-
hematical model is cast as a system of partial differential equations (PDEs)
that is discretized using the numerical method of lines. The resulting set
of ordinary differential equations, representing the heat and mass balances
for this polymerization system, is then solved by using standard ordinary
differential equations (ODE) solvers. Comparison of the model prediction ca-
pabilities against experimental data of temperature measurements taken at
the extremes of the PMMA sheet being produced are presented. The dyna-
mic optimization of a heating process for plastic sheet production is modeled.
The formulation is based on the representation of the two-directional heating
process taking place in this system, and includes kinetic equations for the
reaction of methylmethacrylate. The mathematical model is cast as a Par-
tial Differential Equation (PDE) system, and the optimal profile calculation
turns out to be a dynamic optimization problem with distributed parameter
systems. A simultaneous approach was selected to solve the dynamic opti-
mization problem. By the full discretization of all variables, a Non-Linear
Programming (NLP) model is obtained and solved by using the IPOPT sol-
ver. Results about the dynamic optimization for two plastic sheets of different
thickness are presented and compared against simpler operating policies.
Capı́tulo 1
Introducción
La economı́a global y la alta presión comercial demandan productos más baratos y
con una mayor calidad, además de la reducción en los costos de capital y operación.
Desde el punto de vista de la Ingenieŕıa de Sistemas de Procesos (PSE por sus siglas
del inglés Process Systems Engineering) [1, 2], hay un amplio campo de estudio para la
mejora de procesos usando técnicas avanzadas de modelado matemático. Una vez que
un modelo matemático es confiable, éste puede ser usado para lograr varios objetivos
en las áreas de simulación, control, śıntesis de procesos, optimización de procesos en
régimen permanente y dinámico, etc.
1.1. Generalidades
1.1.1. Reactores de polimerización
En las últimas décadas el campo de los poĺımeros sintéticos ha crecido fuertemente.
Actualmente, los poĺımeros se encuentran presentes en una gran cantidad de productos,
por ejemplo, los automóviles, pinturas, prendas de vestir, etc. E incluso, los poĺımeros
han reemplazado a los metales en muchos casos, sobre todo con la formulación de
1
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 2
aleaciones, se han tenido áreas de gran desarrollo para aplicaciones especiales. Las
aplicaciones nuevas y las altas aplicaciones especializadas junto con las tendencias de
mejorar la calidad y la competitividad globales, han servido para satisfacer de mejor
manera las necesidades de los consumidores. El desarrollos de estas tendencias han
obligado a operar los procesos de polimerización de manera eficiente; aqúı es donde
nace la necesidad de operar en forma óptima los procesos de produccción de poĺımeros.
La ingenieŕıa de reactores de polimerización constituye un campo donde se pueden
lograr mejoras a los procesos a través de un uso apropiado del modelado matemático.
Un producto polimérico con caracteŕısticas uniformes es calificado como un produc-
to de buena calidad, desafortunadamentelas variaciones en la calidad de la materia
prima, aśı como las variaciones en las condiciones de operación en los procesos de pro-
ducción provocan que los productos presenten propiedades heterogéneas, lo cual tiene
como consecuencia que disminuyan los márgenes de ganancia debido a la mala calidad
del producto polimérico. El desarrollo de modelos de polimerización confiables, pue-
de permitir determinar las condiciones de operación tal que generen un producto con
caracteŕısticas homogéneas. Por supuesto que un modelo matemático confiable en su ca-
pacidad predictiva tendrá un buen impacto económico sobre el proceso de producción.
Nunes, Martin y Johnson [3] han reportado que importantes propiedades mecánicas
(resistencia a la tensión, compresión, etc.) de los poĺımeros dependen fuertemente de la
distribución de pesos moleculares. Los objetivos t́ıpicos en la operación de reactores de
polimerización consisten, entre otros, en maximizar la rapidez de polimerización, mini-
mizar la polidispersidad y alcanzar un valor mı́nimo para Mw de alrededor de 1x10
6,
para producir un poĺımero con propiedades reológicas y mecánicas superiores. Estos
mismos autores, también encontraron que las propiedades térmicas y mecánicas, aśı co-
mo la resistencia al impacto y la dureza de peĺıculas de PMMA y poliestireno mejoran
con la reducción de la dispersión en la distribución de los pesos moleculares. Por otra
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 3
parte, se ha reconocido extensamente que la operación en régimen no permanente en
equipos de procesamiento puede ser mejorada al aplicar poĺıticas de operación óptimas
dinámicas [4]. Hasta ahora, la mayor parte de las aplicaciones de técnicas de optimi-
zación dinámica han estado orientadas al estudio de la conducta transitoria óptima de
sistemas de varios parámetros. Como ha mejorado la potencia de cálculo y se tienen
mejores algoritmos para resolver problemas de gran escala, uno de los próximos pasos
naturales consiste en dirigir la atención en el estudio de optimización dinámica de sis-
temas con parámetros distribuidos [5], como es el caso del reactor de placa presentado
en este trabajo.
1.1.2. Usos del Poli(metacrilato de metilo)
El Poli(metacrilato de metilo) (PMMA) es usado, por ejemplo, en las luces traseras
de los automóviles. Las protecciones para espectadores en los estadios de hockey sobre
hielo, también son hechas de PMMA, aśı como algunas ventanas de acuarios alrededor
del mundo. Este material también es usado para producir discos para se léıdos con
láser, y a veces para DVDs. El PMMA tiene un buen grado de compatibilidad con
el tejido humano y puede ser usado para el reemplazo de lentes intraoculares para
el ojo cuando la lente original ha sido removida en el tratamiento de cataratas. En
la ortopedia, el cemento de hueso [6] de PMMA es usado para reparar implantes y
remodelar el hueso perdido. La dentadura postiza a menudo es hecha de este material,
también. La producción comercial de placas de PMMA puede ser realizada por procesos
como vaciado en molde (ya sea en una operación por lotes o continua), calandrado, y
extrusión. El proceso de vaciado en molde es el que ha cobrado más importancia debido
a su flexibilidad en la producción de placas de PMMA con diversas propiedades f́ısicas
y mecánicas [7].
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 4
1.2. Contenido general
En el caṕıtulo 2 de este trabajo se mencionan los antecedentes existente en la li-
teratura abierta sobre la parte de modelado y optimización dinámica del proceso de
producción de placas de acŕılico. Este proceso de casi ocho décadas de existencia, se
ha operado durante mucho tiempo de manera emṕırica, como se mencionó en la sec-
ción 1.1, actualmente se tiene la necesidad de mejorar el proceso y la calidad de la placa
a producir. A partir de esta necesidad, se desarrolló un acuerdo de colaboración no
formalizado entre tres instituciones: Platiglass de México, S.A., Centro de investigación
y desarrollo (DESC-KUO) y la Universidad Iberoamericana Ciudad de México. Debido
a la gran complejidad del sistema de polimerización, se decidió abordar el problema de
manera aproximada, es decir, se tuvieron que hacer una serie de suposiciones que per-
mitiŕıan representar el problema de una forma menos compleja, sin perder los aspectos
relevantes del proceso. En el caṕıtulo 3 se describen con detalle la serie de suposicio-
nes sobre la formulación del modelo matemático para una modificación del proceso
tradicional de producción de placas de poli(metacrilato de metilo), dicho modelo se
derivó partir de los principios de conservación de masa y enerǵıa. Para garantizar la
confianza del modelo matemático dinámico bidimensional, se validó su respuesta frente
a datos experimentales reportados por Rivera, Flores y Vı́lchis [8]. Los resultados sobre
las aproximaciones del modelo aśı como la validación experimental, son presentados y
discutidos en el caṕıtulo 4. También se formuló un modelo matemático de optimiza-
ción que permitió determinar la poĺıtica óptima de operación, los resultados obtenidos
son mostrados y discutidos en el caṕıtulo 5. Finalmente, se presentan las conclusiones
generales obtenidas durante el desarrollo de este trabajo.
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 5
1.3. Contribuciones de este trabajo
Muchos procesos qúımicos son caracterizados por la fuerte dependencia entre las
ecuaciones que describen los procesos de transporte de enerǵıa y masa. Las técnicas
de solución para este tipo de sistemas se enfoca en la descripción de los mecanismos
cinético-qúımicos sin considerar la dependencia espacial con el fenómeno de transpor-
te involucrado (difusivo o convectivo). Este fue uno de los grandes retos afrontados
en el desarrollo del presente trabajo. ¿Qué tan significativo es considerar una mezcla
homogénea para la polimerización?, si las propiedades f́ısicas de la mezcla de reacción
dependen de la posición, ¿como se verá afectada la formulación y solución del modelo?;
estas fueron algunas de las preguntas que surgieron durante el estudio inicial del reactor
de placas. La consecuencia de considerar un modelo matemático muy detallado en su
comportamiento, es un tiempo de cálculo requerido muy alto, si es que se puede resolver
numéricamente. Desde el punto de vista práctico, se deben tener modelos que permitan
obtener una respuesta en un tiempo razonable, es decir, que no sea mayor al tiempo
en el cual se lleva a cabo el proceso de estudio, de lo contrario, no será posible tomar
una decisión en forma anticipada. El producto de estos cuestionamientos, aśı como las
estrategias formuladas para resolver los modelos aproximados que permiten representar
el proceso de producción de placas de acŕılico, generó las siguientes contribuciones al
campo de Modelado y análisis de reactores de polimerización:
1. La derivación de un modelo matemático dinámico bidimensional capaz de predecir
las distribuciones de rapidez de conversión, temperaturas y pesos moleculares para
la reacción de metacrilato de metilo en un reactor de placas (Caṕıtulo 3). Este
modelo emplea la cinética de polimerización reportada por Chiu, Carrat y Soong
(CCS)[9]. La comparación de resultados del modelo contra datos experimentales
reportados [8] es satisfactoria para aplicaciones industriales (Caṕıtulo 4). Durante
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 6
la revisión bibliográfica en la literatura abierta solamente se identificó un trabajo
similar, y fue reportado por Zhou, Guptam y Ray [10] para un modelo unidirec-
cional, sin embargo, los resultados correspondientes a las variaciones dinámicas de
temperatura no son f́ısicamente factibles para el proceso de fabricación de placa
acŕılica. Se puede considerar que el modelo que se reporta en este trabajo es un
refinamiento del caso anteriormente mencionado.
2. La formulación de un modelo de optimizacióndinámica que permite calcular la
poĺıtica óptima de operación para cumplir con una distribución lo más homogé-
nea posible para el promedio de peso molecular en peso deseable en la placa de
poli(metacrilato de metilo)(Caṕıtulo 5). Sobre esta parte no existe algún trabajo
reportado, por lo tanto, esta es una contribución original.
Capı́tulo 2
Antecedentes
A nivel industrial el proceso de producción de lamina de acŕılico se lleva a cabo en
una serie de etapas que se describirán brevemente a continuación (vea la figura 3.1). El
monómero de metacrilato de metilo (MMA) junto con el o los iniciadores apropiados,
como pueden ser 2,2-Azo-bis-IsoButiroNitrilo (AIBN), peróxido de benzóılo (BPO),
etc., se mezclan y hacen reaccionar en un reactor por lotes donde se lleva a cabo una
prepolimerización del MMA hasta conversiones de alrededor del 30%, lo cual es nece-
sario para evitar derrames durante el llenado del molde. La mezcla prepolimerizada se
descarga del reactor por lotes y se procede a llenar moldes que están hechos con placas
de vidrio en una estructura tipo “sandwich”. Las placas son selladas lateralmente con
una liga de latex para evitar fugas de materia prima. Estos moldes que contienen la
mezcla prepolimerizada, se introducen en cubas donde se hace circular agua caliente
para proporcionar la enerǵıa necesaria para incrementar la conversión del monómero
hasta valores de alrededor de 80-90%.
A pesar de que durante mucho tiempo este proceso ha sido empleado en la industria
para producir lámina de acŕılico, se tienen las desventajas siguientes:
7
CAPÍTULO 2. ANTECEDENTES 8
1. El proceso de producción de acŕılico tiende a demandar tiempos largos de procesa-
miento.
2. El costo asociado con el uso de servicios auxiliares (vapor, agua, etc) tiende a ser
elevado.
3. Debido a variaciones naturales en la composición de la materia prima, y al empleo
de diferentes poĺıticas de operación por parte de los operadores, la calidad del
acŕılico formado tiende a ser no homogénea.
De todos estos factores mencionados, probablemente el más serio corresponde a la pro-
ducción de placas con propiedades no homogéneas. Cabe aclarar que por propiedades
de la lámina de acŕılico se refiere especialmente a la distribución de pesos moleculares
del poĺımero formado. E incluso puede ocurrir la situación no deseable, en la cual una
sección de la placa presente pesos moleculares promedio distintos de los obtenidos en
alguna otra sección de la misma placa. Esta situación puede ocasionar que el material
pueda ser rechazado por el comprador. Es clara, entonces, la necesidad de producir
láminas de acŕılico con propiedades tan homogéneas como sea posible minimizando si-
multáneamente los costos de operación del proceso. Para reducir la magnitud de los
problemas mencionados anteriormente para la producción de placas de PMMA por el
método de cubas, se ha propuesto la sustitución de las cubas de agua caliente por hor-
nos de convección calentados por aire. A estos hornos de calentamiento se les denomina
“reactores de placas”. En datos reportados para pruebas realizadas en plantas piloto [8]
se ha demostrado que el empleo de reactores de placas es una alternativa viable para la
producción de lámina de acŕılico. Empleando reactores de placas se puede ejercer mayor
control sobre la conversión del monómero, aśı como la distribución de pesos molecu-
lares, las cuales cambian en relación al tiempo de procesamiento. El reactor de placas
funciona completamente como un reactor por lotes. Otra de las ventajas asociadas al
CAPÍTULO 2. ANTECEDENTES 9
uso de reactores de placas consiste en la reducción de los tiempos de polimerización de
la lámina. Debe señalarse claramente que las anteriores mejoras en el proceso de forma-
ción de lámina de acŕılico han sido obtenidas de forma completamente heuŕıstica. Esto
quiere decir que las mejoras al proceso se han determinado siguiendo un procedimiento
enteramente por prueba y error, a través del empleo de la experiencia adquirida al ope-
rar el proceso. Aún con las desventajas que el empleo de heuŕısticas presentan para la
mejora del proceso, resulta claro que el uso de la tecnoloǵıa de reactores de placas para
la fabricación de lámina de acŕılico ofrece una alternativa prometedora para mejorar
la eficiencia del proceso [11]. A excepción de unos cuantos estudios publicados sobre el
proceso de producción de lámina de acŕılico usando reactores de placas [10] aún quedan
muchos aspectos que no han sido abordados de manera amplia. Hasta la fecha sola-
mente se han publicado trabajos sobre el modelado dinámico de este proceso. Se debe
señalar que incluso estos trabajos presentan algunas desventajas ya que los resultados
reportados en ellos no son representativos del proceso a escala piloto. Wanwanichai, et.
al. [12] reporta un proceso de curado para láminas en una y dos etapas, basados en
sistemas con agua y aire-agua.
Tal como se mencionó anteriormente el proceso de producción de láminas de acŕılico
usando reactores de placas es un proceso susceptible de mejoras importantes. En este
proyecto se propone el uso de herramientas del área de Ingenieŕıa de Sistemas de Proceso
(PSE) como una forma de obtener mejoras importantes en el proceso de formación de
acŕılico. Dichas mejoras se verán principalmente reflejadas en los siguientes aspectos: (i)
Producción de lámina de acŕılico de calidad homogénea, y (ii) reducción en los costos
de operación del proceso.
CAPÍTULO 2. ANTECEDENTES 10
2.1. Modelado
El mecanismo básico de reacción qúımica mediante el cual ocurre la polimerización
del MMA es el de radicales libres [9]. Normalmente en este tipo de mecanismo se acos-
tumbra suponer que el proceso para iniciar la polimerización puede ser tanto térmico
como qúımico. Una vez formada una cantidad apropiada de radicales libres, estos pue-
den crecer hasta formar cadenas de material polimérico cuyas longitudes tienden a ser
diferentes y a concentrarse sobre un valor promedio. La diferencias que se presentan
en longitud de cadena del poĺımero se reflejan en los valores de la distribución de los
pesos moleculares y en el ı́ndice de polidispersidad del mismo poĺımero. Después de que
el promedio de cadenas de poĺımero formado ha alcanzado cierto peso molecular, la
reacción de crecimiento del poĺımero se interrumpe mediante los mecanismos clásicos
de terminación [13]. Durante el proceso de formación de cadenas de poĺımero del MMA
se pueden liberar grandes cantidades de enerǵıa, dado que la reacción de polimerización
del MMA es altamente exotérmica. Un problema importante asociado al proceso de po-
limerización en general, y al del MMA en particular, se refiere al surgimiento del efecto
de autoaceleración, también llamado efecto “gel”. El efecto “gel”es el término usado pa-
ra denotar la condición en la cual ocurre un aumento importante en la viscosidad del
poĺımero. Dicho aumento es causa de que el transporte de moléculas de poĺımero sea
más dif́ıcil. El resultado de este efecto consiste en aumento de peso molecular por parte
de las cadenas de poĺımero ya que, debido al aumento de viscosidad, la probabilidad
de que dos cadenas de poĺımero colisionen entre si para que ocurran las reacciones de
terminación es cada vez menor. Se ha demostrado que muchos de los efectos no-lineales
que ocurren en reacciones de polimerización se debe a la presencia del efecto de autoace-
leración [14]. Aunque si bien el proceso básico de polimerización a través del mecanismo
de radicales libres está bien entendido [15], al menos para propósitos ingenieriles donde
CAPÍTULO 2. ANTECEDENTES 11
muchas veces no se requiere un modelo muy detallado del mecanismo cinético, desde el
punto de vista de la operación óptima del proceso de formación de acŕılico en reactores
de placas, se considera que este sistema noha sido modelado de manera eficiente y, aún
más importante, no se ha ofrecido una comparación de las capacidades predictivas de
los modelos reportados contra resultados experimentales. En los pasados 30 años, varios
modelos han sido publicados, tratando la description matemática del comportamiento
cinético controlado por la difusión en el proceso de polimerización bajo el mecanismo de
radicales libres [16]. El mecanismo de reacción adoptado aqúı consiste de una aproxima-
ción simple de la bien conocida cinética de polimerización en masa v́ıa radicales libres
con las reacciones de iniciación, propagación, transferencia de cadena al monómero, y
las reacciones de terminación. Aunque hay modelos más complejos para la cinética de
polimerización reportados en la literatura [17], el modelo propuesto por Chiu, Carrat y
Soong (CCS) [9] es suficiente para reproducir los datos experimentales de planta piloto
obtenidos para la hojas de PMMA[8]. Debido a que en este trabajo se tiene interés en
el empleo del modelo matemático del proceso de producción de acŕılico en reactores
de placas, para propósitos de optimización dinámica, el tipo de modelo a emplear es
dinámico. También debe mencionarse que el proceso de transferencia de calor a través
de la materia prima se supone que ocurre solamente por el mecanismo de conducción
sobre ambos ejes de coordenadas (x,z) tal como se muestra en la figura 2.1
De acuerdo con la descripción anterior del proceso de reacción y de transferencia
Figura 2.1: Reactor de placas para el proceso de producción de lámina de PMMA.
CAPÍTULO 2. ANTECEDENTES 12
de calor en el reactor de placas, el modelo matemático continuo determińıstico es un
modelo de parámetros distribuidos donde el tiempo de procesamiento es otra variable
independiente. Schiesser [18] muestra de manera clara el procedimiento para la formu-
lación de un modelo de ecuaciones de tipo diferencial parcial y algebraico (PDAEs)
en uno algebraico y diferencial ordinario(ODEs) a través de la aplicación del método
de ĺıneas (MOL). En este trabajo el modelo está formado por las ecuaciones de ba-
lances de materia que describen la forma de variación de concentración de las todas
las especies involucradas en el medio de reacción, las cuales cambian con respecto a
las coordenadas longitudinal y perpendicular en la lámina y, además, con respecto al
tiempo. El modelo también incluye el balance de enerǵıa que describe las variaciones de
temperatura en los puntos interiores de la placa . Debido a la complejidad del sistema
de ecuaciones y a las caracteŕısticas no-lineales del modelo, no existe alguna manera
de obtener una solución a través de técnicas anaĺıticas. Por esta razón, se recurrió a la
técnica numérica del método de ĺıneas para transformar el modelo de PDAE como un
sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias y algebraicas (DAEs), donde el tiempo
es la única variable independiente, ya que se aplicó la aproximación de las derivadas
de la posición como ecuaciones algebraicas con diferencias finitas [19]. Debido a que
experimentalmente se han observado fuertes variaciones en composición y temperatura,
la región espacial de solución del modelo se dividirá en un número de puntos tal que
sea posible modelar variaciones pronunciadas en los estados del sistema (temperatura,
conversión de monómero,...,etc.). El sistema de DAE resultante se integró usando un
algoritmo impĺıcito de Runge-Kutta [20]. Una vez que se dispuso del esquema de solu-
ción numérica del modelo descrito anteriormente, se procedió a comparar la capacidad
predictiva del modelo contra la información experimental reportada por Rivera, Flores
y Vı́lchis [8] para un reactor de placas. El esquema numérico de solución, junto con la
validación experimental del modelo, constituyen las aportaciones originales al área de
CAPÍTULO 2. ANTECEDENTES 13
modelado de reactores de polimerización [8].
2.2. Optimización dinámica
¿Qué es la optimización y qué son los problemas de optimización? En un problema
de optimización, uno trata de aminorar o llevar al máximo una caracteŕıstica global de
un proceso, como pueden ser el tiempo de procesado, el costo de producción, etc., a
través de manipular ciertos grados de libertad disponibles bajo un conjunto de restric-
ciones (limitaciones). Los problemas de optimización surgen en casi todas las ramas de
la industria, por ejemplo, en el diseño de procesos y productos, en la programación de
producción, la loǵıstica e incluso y en la planeación estratégica, entre otros. Mientras
que la palabra optimización, en el idioma no técnico, a menudo es utilizada en el sen-
tido de mejorar, para la comunidad de optimización matemática, el significado de la
palabra está relacionada con encontrar la mejor solución globalmente o por lo menos
en una vecindad local. Excepto para casos muy sencillos, los problemas de optimización
no pueden ser resueltos por simulación [21]. Expertos en las áreas de simulación que
están a cargo del estudio de problemas de optimización, han desarrollado habilidad y
experiencia para seleccionar escenarios apropiados para ser evaluados, y con los pro-
gramas de simulación han generado resultados razonables, pero no hay garant́ıa de que
obtuvieron una solución óptima o que se encuentra en la vecindad del óptimo. ¿Qué se
necesita para resolver un problema verdadero del mundo por optimización matemática?
Lo primero es describir el problema de interés a través de un modelo matemático, es
decir, un conjunto de relaciones matemáticas (por ejemplo, ecuaciones de igualdad, de
desigualdad y condiciones lógicas) que representan una abstracción, y muchas veces en
forma aproximada, sobre el problema real. En relación a esto, en la literatura se reportan
varios art́ıculos sobre la optimización de reactores de polimerización de MMA en una
CAPÍTULO 2. ANTECEDENTES 14
operación por lotes [22, 23, 24, 25, 26], pero ninguno corresponde con las caracteŕısticas
del reactor de placas descrito en la sección 2.1. A partir de las pruebas reportadas para
una planta piloto [8] de un reactor de placas, se ha corroborado que la temperatura a
la que circula el aire, que proporciona la enerǵıa necesaria para que se lleven a cabo las
reacciones de polimerización, constituye el principal factor para determinar la calidad
homogénea de la lámina de acŕılico formada. Normalmente en las pruebas realizadas en
la planta piloto, la temperatura de alimentación del aire al reactor se mantuvo constan-
te a través de todo el periodo de reacción, aunque en ocasiones puede modificarse por
medio de cambios tipo escalón, previamente seleccionados por el operador del proceso.
Aún con las restricciones que puede presentar el mantener constante la temperatura
del aire alimentado, experimentalmente se ha observado que la calidad de la placa de
PMMA tiende a ser más homogénea en relación a la producida por el proceso tradicional
por cubas. Una manera factible de mejorar la eficiencia del proceso de producción de
placa de acŕılico en reactores de placas, consiste en formular un problema de optimiza-
ción dinámica para obtener una distribución más homogénea de los pesos moleculares.
Choi [27] y Cohen [28] reportan los avances que se han tenido en el área de la ingenieŕıa
de reactores de polimerización, sobre el modelado y control de las propiedades de los
poĺımeros. En particular, ya que el tiempo es una variable independiente, el tipo de
problema de optimización será dinámico no lineal [29]. Normalmente en los procesos
industriales de producción de poĺımeros, un objetivo de operación deseable consiste en
obtener cierta distribución de pesos moleculares en el menor tiempo posible minimi-
zando, simultáneamente, los costos de operación asociados al proceso; en este sentido,
Swartz [30] muestra los resultados obtenidospara el estudio de optimización dinámica
de un horno de arco para la producción de acero, mostrando la conveniencia de definir
una poĺıtica óptima de operación a través de la manipulación de variables apropiadas.
En el caso del reactor de placas, la variable a manipular será la temperatura del aire
CAPÍTULO 2. ANTECEDENTES 15
alimentado. En este trabajo la optimización dinámica se realizó fuera de ĺınea, es decir,
la trayectoria óptima de calentamiento se calculó empleando como restricciones de la
optimización el modelo matemático del proceso descrito en la sección 2.1. En la actuali-
dad los problema de optimización dinámica no pueden resolverse directamente, es decir,
en su formulación original, aśı que éstos deben transformarse en uno que si se pueda
resolver en forma directa. Para resolver el problema de optimización dinámica el sistema
de ecuaciones diferenciales parciales y algebraicas (PDAEs) que constituyen el modelo
del proceso, se descretizarán los términos correspondientes a la coordenada espacial a
través del método de ĺıneas (MOL) [19]. Para discretizar la componente temporal se
empleara la técnica de colocación ortogonal sobre elementos finitos [31, 32]. Este pro-
cedimiento de discretización transformara el problema de optimización dinámica (con
su forma de PDAEs) para el reactor de placas en un problema de Programación Mate-
mática No-Lineal (NLP) [33, 34, 35]. Los problemas NLP resultantes de discretizar el
problema de optimización dinámica, generalmente son problemas de gran escala, donde
el número de variables de decisión están en el orden de miles. Para resolver este tipo de
problemas de gran escala se recomiendan procedimientos especiales [36], espećıficamente
se pueden emplear los algoritmos comerciales de (i) Optimización basado en el método
de punto interior (IPOPT de sus siglas del inglés Interior Point OPTimizer) [37, 38].
En el apéndice B se puede ver el fundamento de este algoritmo, (ii) gradiente genera-
lizado reducido (GRG) conocido como CONOPT (de sus siglas del inglés CONstraint
OPTimization) [39] y (iii)GRG en combinación con un Quasi-Newton conocido como
MINOS [40].
Capı́tulo 3
Descripción del proceso y modelos
matemáticos
Tradicionalmente el proceso de fabricación de placas de acŕılico consiste en colocar
los moldes que contienen el monómero de metacrilato de metilo (MMA) en baños de
agua caliente para permitir que la polimerización se lleve acabo hasta consumir el MMA
y los iniciadores. Sin embargo, la experiencia industrial indica que la calidad de las hojas
de poli(metacrilato de metilo) (PMMA) tiende a mostrar grandes variaciones en la dis-
tribución de pesos moleculares (MWD) debido a que no se tiene una uniformidad en el
patrón de calentamiento. Para lograr que las propiedades del poĺımero sean uniformes,
se ha recomendado llevar a cabo el proceso de polimerización de MMA en un horno de
convección, a través del cual circule aire caliente. En pruebas iniciales reportadas para
una planta piloto [8] se ha visto que al emplear el horno de convección, se puede lograr
una uniformidad en la distribución de pesos moleculares. En este caṕıtulo, se muestra
la derivación del modelo dinámico bidimensional que permitirá reproducir la respuesta
dinámica industrial para el proceso de producción de placas de acŕılico. Este modelo
está expresado en términos de un sistema dinámico de ecuaciones diferenciales parcia-
16
CAPÍTULO 3. DESCRIPCIÓN DEL PROCESO Y MODELOS MATEMÁTICOS 17
les bidimensional, cuya solución fue obtenida al aplicar el método de ĺıneas (MOL) [19]
para generar un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (ODEs). Los resultados
obtenidos son mostrados en el caṕıtulo 4. También se describe en este caṕıtulo la for-
mulación del modelo de optimización dinámica para determinar la poĺıtica óptima de
operación para obtener placas con una distribución uniforme de pesos moleculares. En
la formulación se tiene una función objetivo que esta sujeta a las restricciones corres-
pondientes a los balances de masa y enerǵıa del proceso de polimerización. Este modelo
matemático está expresado por un sistema de ecuaciones diferenciales parciales (PDEs)
y ordinarias (ODEs) y es expresado como un problema de programación matemática
no lineal (NLP) a través de la aplicación de las técnicas de MOL y colocación ortogonal
sobre elementos finitos [36]. La discusión sobre los resultados de solución numérica de
esta última formulación se encuentra en el caṕıtulo 5.
3.1. Proceso de producción de placas de acŕılico
Descripción del proceso. Como se puede ver en la figura 3.1a, en el proceso t́ıpico
para la producción de placas de acŕılico, el MMA y pequeñas cantidades de iniciador re-
accionan en un sistema por lotes, en donde se lleva a cabo la pre-polimerización hasta un
20% de conversión, aproximadamente. El objetivo de esta etapa de pre-polimerización
es mezclar los reactivos, para eliminar el inhibidor que normalmente está contenido
en el MMA comercial y, también, para aumentar la viscosidad del poĺımero, ya que
la mezcla resultante será vaciada en moldes hechos con placas de vidrio. Después de
colocar el material pre-polimerizado en el interior de los moldes, estos son sumergidos
en cubas con agua caliente. Se ha reportado que este proceso tiende a producir placas
no uniformes (i.e. medido en términos de la MWD) porque la polimerización no se lleva
a cabo con la misma rapidez en todas partes de la misma[41, 42, 43]. La variación de
CAPÍTULO 3. DESCRIPCIÓN DEL PROCESO Y MODELOS MATEMÁTICOS 18
temperatura del reactor es la razón principal para explicar la heterogeneidad en las
propiedades del poĺımero. Aśı que el control riguroso de las condiciones de operación
deberá ayudar a disminuir esta heterogeneidad en la placa. Además, el proceso tradicio-
nal para la polimerización de MMA utiliza baños de agua caliente que provocan algunos
defectos (como la formación de burbujas) que no podŕıan ser disminuidos empleando
sistemas avanzados de control. Por esta razón, se ha tenido un gran interés en idear nue-
vos procesos y dispositivos eficientes para mejorar las propiedades de homogeneidad en
las placas de acŕılico. Una variación interesante del proceso de polimerización de MMA
descrito anteriormente, consiste en utilizar una configuración del reactor como la que
se muestra en la figura 3.1b, en este sistema el calor es proporcionado por convección
forzada a través de la circulación de aire caliente sobre el reactor de placas. En el pre-
sente trabajo se postula que se puede imponer un perfil de calentamiento (previamente
calculado) a lo largo de la placa y por medio de un sistema de control, este perfil podŕıa
ser seguido. En este trabajo se postuló que al operar el reactor de placas en forma apro-
piada, se podrá incrementar la homogeneidad de la placa y se reducirá el tiempo total
de operación para la polimerización. Además, las variaciones de temperatura serán más
rápidas y más fáciles de lograr cuando se use el horno de convección que cuando se
emplee el baño de agua caliente como medio de calentamiento. Este aspecto llegará a
ser importante en la producción de placas con espesores grandes, ya que se tendrá una
mayor resistencia al flujo de calor y será necesario anticiparse a posibles incrementos
súbitos de la temperatura que podŕıan provocar defectos (por ejemplo la fromación de
burbujas) en la placa.
CAPÍTULO 3. DESCRIPCIÓN DEL PROCESO Y MODELOS MATEMÁTICOS 19
3.2. Derivación del modelo para la producción de
placas de acŕılico
3.2.1. Modelo cinético
Tanto la cinética qúımica como los fenómenos f́ısicos relacionados con la difusión de
varias especies reactivas son importantes en los procesos de polimerización por radicales
libres. De hecho, en conversiones altas de monómero, casi todas lasreacciones elemen-
tales que involucran macromoléculas pueden llegar a ser dominadas por el proceso de
difusión molecular. Las reacciones que son afectadas por el fenómeno de difusión son: la
terminación entre macro-radicales“vivos”[15], la propagación de una cadena creciente, y
las reacciones qúımicas de iniciación. Este conjunto de reacciones han sido relacionadas
a los efectos de autoaceleración [44, 45] y v́ıtreo. En los pasados 30 años, se han publi-
cado varios modelos que abordan la description matemática sobre el comportamiento
cinético controlado por la difusión en la polimerización bajo el mecanismo de radica-
(a) (b)
Figura 3.1: a. Esquema tradicional para producir placas de acŕılico, b. Horno de convección
CAPÍTULO 3. DESCRIPCIÓN DEL PROCESO Y MODELOS MATEMÁTICOS 20
les libres [16]. El mecanismo de reacción adoptado aqúı consiste de una aproximación
simple de la cinética de polimerización en masa v́ıa radicales libres, con las reacciones
de iniciación qúımica, propagación, transferencia de cadena al monómero, y las reac-
ciones de terminación. Aunque hay modelos más confiables para la interpolación de
la temperatura sobre la cinética de polimerización, por ejemplo el modelo de Vivaldo,
Hamielec y Wood (VHW) [17], el modelo propuesto por CCS [9] permitió predecir un
comportamiento satisfactorio para los datos experimentales reportados para una planta
piloto [8]. En el apéndice C se muestran, de forma muy condensada, las expresiones
de los coeficientes cinéticos para el modelo de VHW. El mecanismo cinético de una
reacción qúımica de polimerización v́ıa radicales libres, puede ser descrito en términos
del conjunto de reacciones elementales siguiente [9]:
Iniciación:
I k−→ 2R•
R• + M
ki
−→ R1
Propagación:
Rn + M
kp
−→ Rn+1 n = 1, 2, ...
Transferencia de cadena hacia el monómero:
Rn + M
kf
−→ Pn + R1 n = 1, 2, ...
Terminación por desproporción:
Rn + Rm
ktd
−→ Pn + Pm n,m = 1, 2, ...
Terminación por combinación:
Rn + Rm
ktd
−→ Pn+m n,m = 1, 2, ...
La reacción de iniciación involucra la descomposición del iniciador, I, para producir
radicales libres primarios R•, los cuales reaccionan con las moléculas de monómero M ,
CAPÍTULO 3. DESCRIPCIÓN DEL PROCESO Y MODELOS MATEMÁTICOS 21
para dar inicio a una nueva cadena de poĺımero vivo (radical) R1. Cabe hacer notar
que R1 y en general Rn son radicales libres poliméricos, y estrictamente debeŕıan deno-
tarse como R•1 y R
•
n, respectivamente, pero por simplicidad al describir las ecuaciones
cinéticas, se omitirá el śımbolo de radical libre. Durante el paso de propagación, las
moléculas de monómero son adicionadas, una a la vez, para generar las cadenas vivas
de poĺımero Rn y Rm. El crecimiento de las cadenas termina cuando los radicales libres
poliméricos pierdan su actividad a través de las reacciones de terminación, tanto por
combinación como por desproporción, las cuales generan cadenas de poĺımero muerto
Pn, Pm y Pn+m.
Para obtener la distribución total de tamaños de cadena de poĺımero, se deben
resolver un gran número de ecuaciones de balances de masa. En la práctica, sin embargo,
es suficiente con calcular solamente los momentos de la distribución de tamaños de
cadena que sean necesarios, donde el k − esimo momento de poĺımero vivo (λk) y los
momentos de poĺımero muerto (µk) están dados, respectivamente, por [46]:
λk =
∞
∑
n=1
nkRn, µk =
∞
∑
n=1
nkPn, k = 1, 2
Para obtener los promedios de peso molecular a partir de los momentos calculados con
el modelo, se emplearon las ecuaciones siguientes:
Mn =
(
µ1 + λ1
µ0 + λ0
)
Mmw , Mw =
(
µ2 + λ2
µ1 + λ1
)
Mmw
donde λ0, λ1 y λ2 son el cero-ésimo, primero y segundo momentos para la población de
poĺımero vivo (radicales poliméricos), y µ0, µ1 y µ2 son el cero-ésimo momentos para la
población de poĺımero muerto, y Mmw es el peso molecular del monómero, en este caso
de MMA.
CAPÍTULO 3. DESCRIPCIÓN DEL PROCESO Y MODELOS MATEMÁTICOS 22
3.2.2. Modelo para el reactor de placas
El modelo fue derivado suponiendo que la generación de calor es producto de la
reacción de polimerización y es una función de la temperatura local. Además, se ha
supuesto que el flujo de calor cambia en las direcciones del espesor (eje x) y a lo largo
de la placa de acŕılico (eje z), como se puede ver en la figura 3.2. Por simplicidad se
ha supuesto que la placa de acŕılico es homogénea e isotrópica, i.e. las propiedades f́ı-
sicas son iguales en cualquier dirección de la misma (conductividad térmica, capacidad
caloŕıfica isobárica, densidad) y corresponden a valores promedio para el MMA y el
PMMA. Para obtener el balance de enerǵıa dinámico bidimensional, se aplicó el mé-
todo de balance de coraza [47] para el volumen de control antes mencionado, y bajo
la consideración que el mecanismo dominante en el interior de la mezcla de reacción
es la conducción, descrita por la ley de Fourier. También se ha considerado que existe
una difusión simétrica de enerǵıa, aśı que solamente se tomará en cuenta la mitad del
espesor de la placa (del centro hacia la superficie externa en la dirección x) para el aná-
lisis. El conjunto de ecuaciones de balance de masa y enerǵıa, acoplados con la cinética
de polimerización [48], describen la respuesta dinámica para los cambios térmicos, la
conversión de monómero y la distribución de pesos moleculares. El aire que circula por
el exterior de la placa transfiere la enerǵıa necesaria para se lleven a cabo las reacciones
de polimerización. Las ecuaciones que describen la respuesta dinámica bidimensional
para los cambios térmicos y la conversión del monómero están dadas como sigue:
Balance de enerǵıa
∂T
∂t
= α
(
∂2T
∂x2
+
∂2T
∂z2
)
+
Qrxn
ρMCpM
(3.1)
CAPÍTULO 3. DESCRIPCIÓN DEL PROCESO Y MODELOS MATEMÁTICOS 23
Figura 3.2: Volumen de control para el balance de enerǵıa
Balances de masa
dI
dt
= −kdI −
²I
1 + ²X
λ0(kp + kf )(1−X) (3.2a)
dX
dt
= λ0(kp + kf )(1−X) (3.2b)
dλ0
dt
= −
²λ20
1 + ²X
(kp + kf )(1−X) + 2fkdI − ktλ
2
0 (3.2c)
dλ1
dt
= −
²λ1λ0
1 + ²X
(kp + kf )(1−X) + 2fkdI − ktλ0λ1 +
(kp + kf )λ0M0
1−X
1 + ²X
(3.2d)
dλ2
dt
= −
²λ2λ0
1 + ²X
(kp + kf )(1−X) + 2fkdI − ktλ0λ2
+kpM0
1−X
1 + ²X
(2λ1 + λ0) (3.2e)
dµ0
dt
= −
²µ0λ0
1 + ²X
(kp + kf )(1−X) + ktdλ
2
0 +
1
2
ktcλ
2
0 (3.2f)
dµ1
dt
= −
²µ1λ0
1 + ²X
(kp + kf )(1−X) + ktdλ0λ1 + ktcλ0λ1 (3.2g)
dµ2
dt
= −
²µ2λ0
1 + ²X
(kp + kf )(1−X) + ktdλ0λ2 + ktc(λ2λ0 + λ
2
1) (3.2h)
CAPÍTULO 3. DESCRIPCIÓN DEL PROCESO Y MODELOS MATEMÁTICOS 24
y las condiciones iniciales y de frontera están dadas por
CI: t = 0 T = T0
I = I0, X = X0, (3.3a)
λ0 = λ00 , λ1 = λ10 , λ2 = λ20 ,
µ0 = µ00 , µ1 = µ10 , µ2 = µ20 , ∀x ∈ [0, H], z ∈ [0, L]
CF1: x = 0
∂T
∂x
= 0 (3.3b)
CF2: x = H −kM
∂T
∂x
= ha(T − Ta), ∀z ∈ [0, L], t > 0 (3.3c)
CF3: z = 0 −kM
∂T
∂z
= ha(T − Ta) (3.3d)
CF4: z = L
∂T
∂z
= 0, ∀x ∈ [0, H], t > 0 (3.3e)
donde T es la temperatura de la mezcla de reacción, T0 es la temperatura inicial de la
mezcla monomérica, Ta es la temperatura del aire que circula a lo largo de la placa, t es
el tiempo de polimerización, z es la coordenada de variación a lo largo de la placa, X
es la conversión del monómero, λk (k = 0, 1, 2) son los momentos cero-ésimo, primero
y segundo, respectivamente, para el poĺımero vivo, µk (k = 0, 1, 2) son los momentos
cero-ésimo, primero y segundo, respectivamente, de poĺımero muerto, I es la concen-
tración del iniciador, L es la longitud de la placa, H es el espesor de la placa, k es la
conductividad térmica, ρ es la densidad, Cp es la capacidad caloŕıfica isobárica, y estas
tres últimas propiedades son valores promedio (entre MMA y PMMA) para la mezcla
de reacción, f es la eficiencia del iniciador, ² es el factor de expansión volumétrica, α es
la difusividad térmica, h es el coeficiente de transferencia de calor, kd, kp, kt son los coe-ficientes cinéticos para las reacciones qúımicas de iniciación, propagación y terminación,
respectivamente, y Qrxn es el calor liberado por las reacciones de polimerización.
CAPÍTULO 3. DESCRIPCIÓN DEL PROCESO Y MODELOS MATEMÁTICOS 25
3.2.3. Estrategia de solución
La aplicación del método de ĺıneas (MOL) [19] es un enfoque alternativo para resolver
el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (ODEs) y parcial(PDEs) que describen
el proceso de polimerización de MMA en un reactor de placas. Este método fue empleado
para discretizar ambas coordenadas espaciales, es decir eje x y eje z, en la PDEs que
describe las variaciones térmicas en el sistema de polimerización, correspondiente a la
ecuación 3.1, y también para las condiciones de frontera (Ecuaciones 3.3). Este conjunto
de ODEs y PDEs, ahora ha adoptado la forma de un sistema de ecuaciones algebraicas
y diferenciales (DAEs), que puedes ser integradas por algún algoritmo común [20, 49]
para DAEs con valores iniciales. Cuando las derivadas parciales de la temperatura con
respecto a la posición son aproximadas por el método de ĺıneas en la ecuación 3.1, se
obtiene la expresión siguiente:
dTij
dt
= α
(
Ti−1j − 2Tij + Ti+1j
∆x2
+
Tij−1 − 2Tij + Tij+1
∆z2
)
+
Qij
ρMCpM
(3.4)
i = 2, ..., Nx − 1, j = 2, ..., Nz − 1
y con el mismo método, las condiciones de frontera e inicial son transformadas y escritas
como sigue:
−3T1j + 4T2j − T3j
2∆x
= 0 (3.5)
kM
3TNxj − 4TNx−1j + TNx−2j
2∆x
= ha(TNzj − Ta) (3.6)
kM
3Ti1 − 4Ti2 + Ti3
2∆z
= ha(Ti1 − Ta) (3.7)
3TiNz − 4TiNz−1 + TiNz−2j
2∆z
= 0 (3.8)
t = 0 Tij = T0 i = 1, ..., Nx ; j = 1, ..., Nz (3.9)
donde ∆x = H/(Nx − 1) y ∆z = L/(Nz − 1). Se emplearon las aproximaciones por
diferencias finitas de segundo orden para las derivadas de segundo orden a lo largo de
CAPÍTULO 3. DESCRIPCIÓN DEL PROCESO Y MODELOS MATEMÁTICOS 26
las direcciones x y z. Para las condiciones de frontera en x = 0 y z = 0 se aplicaron
las aproximaciones de diferencias finitas hacia atrás, y para las condiciones en x = H
y z = L se aplicaron las diferencias finitas hacia adelante. En la definición de las
diferencias finitas, el punto de referencia es tomado para la condición donde se tiene
Tij de acuerdo a la figura 3.3. Después de algunas pruebas de cálculo, se encontró que
8 y 20 puntos son suficientes para representar la respuesta del sistema dinámico en las
direcciones correspondientes al espesor (coordenada x) y el largo de la placa (coordenada
z), respectivamente.
Figura 3.3: Notación empleada para identificar los puntos en la malla para el método de ĺıneas.
3.3. El modelo de optimización dinámica
Nunes [3] y Cohen [28] han reportado que importantes propiedades mecánicas de
los poĺımeros, como las resistencias a la tensión y compresión, entre otras, dependen
fuertemente de la dispersión en los pesos moleculares (MWD), esta es una de las razones
por la cual los objetivos t́ıpicos en la operación de reactores de polimerización consisten
en minimizar la polidispersidad y simultáneamente, lograr un valor mı́nimo paraMw de
alrededor de 1x106 para producir un poĺımero con propiedades reológicas y mecánicas
CAPÍTULO 3. DESCRIPCIÓN DEL PROCESO Y MODELOS MATEMÁTICOS 27
deseables. Estos mismos autores, también encontraron que las propiedades térmicas
y mecánicas, aśı como la resistencia al impacto y la dureza de peĺıculas de PMMA
y poliestireno mejoran con la reducción de la MWD. Aunque las caracteŕısticas de
proceso de moldeo pueden ser mejoradas mezclando poĺımero de cadenas cortas con
poĺımero de cadenas largas, esto siempre causa pérdidas de enerǵıa. Debido a esto, en
muchas industrias es deseable tener una metodoloǵıa que permita ajustar la MWD de
un poĺımero durante la operación del reactor. Dependiendo de la demanda, y también de
los diversos usos de los materiales poliméricos, se tiene una calidad diferente al modificar
el valor de valor de la MWD [50, 51]. Por otra parte, se ha reconocido extensamente
que la operación en régimen no permanente en equipos de procesamiento puede ser
mejorada al aplicar poĺıticas de operación dinámica óptimas [4]. Hasta ahora, la mayor
parte de las aplicaciones de técnicas de optimización dinámica han estado orientadas
al estudio de la conducta transitoria óptima de sistemas de varios parámetros. Como
ha mejorado la potencia de cálculo de la computadoras y se tienen mejores algoritmos
para resolver problemas de gran escala, uno de los próximos pasos naturales consiste en
dirigir la atención en el estudio de optimización dinámica de sistemas con parámetros
distribuidos [5, 11], como es el caso del reactor de placas presentado en este caṕıtulo.
A continuación se muestra la derivación del modelo en su forma adimensional para el
proceso de polimerización, esto se hace con la intensión de disminuir la rigidez del siste-
ma. Se ha propuesto expresar en forma adimensional el modelo matemático definido por
las ecuaciones 3.1-3.3. Las variables adimensionales para el tiempo de polimerización,
la posición, la temperatura de reacción, la temperatura del aire, la concentración del
iniciador, los momentos cero-ésimo, primero y segundo para el poĺımero vivo y muerto
CAPÍTULO 3. DESCRIPCIÓN DEL PROCESO Y MODELOS MATEMÁTICOS 28
están definidos como sigue:
τ =
αt
H2
, ξ =
x
H
, ζ =
z
L
θ =
T
T0
, θa =
Ta
T0
, Ī =
I
I0
λ̄k = ln(λk), µ̄k = ln(µk), k = 0, 1, 2
Cabe hacer notar que los momentos fueron expresados en forma logaŕıtmica para que
tuvieran un orden de magnitud semejante, por ejemplo, si λ1 = 1x10
−1 y λ2 = 1x10
5,
entonces se tendrán en su forma adimensional los valores de λ̄1 = −1 y λ̄2 = 5, los cuales
son una magnitud semejante que permite resolver el problema matemático con menor
dificultad. Finalmente, el conjunto de ecuaciones diferenciales y algebraicas para los
balances de masa, enerǵıa y las condiciones iniciales y de frontera (ecuaciones 3.1-3.3),
son expresados en términos de las variables adimensionales, obteniéndose las expresio-
nes siguientes:
Balance de enerǵıa en forma adimensional
∂θ
∂τ
=
∂2θ
∂ξ2
+ a2
∂2θ
∂ζ2
+ A5Q̄ (3.10)
CAPÍTULO 3. DESCRIPCIÓN DEL PROCESO Y MODELOS MATEMÁTICOS 29
Balances de masa en forma adimensional
dĪ
dτ
= −A1k̄dĪ − A1(k̄p + k̄f )²Ī
1−X
1 + ²X
eλ̄0 (3.11a)
dX
dt
= A1(k̄p + k̄f )(1−X)e
λ̄0 (3.11b)
dλ̄0
dτ
= −A1(k̄p + k̄f )²
1−X
1 + ²X
eλ̄0 + A3k̄dĪe
−λ̄0 − k̄te
λ̄0 (3.11c)
dλ̄1
dτ
= −A1(k̄p + k̄f )²
1−X
1 + ²X
eλ1 + A3k̄dĪe
−λ1 − A1k̄te
λ̄0
+A4(k̄p + k̄f )
1−X
1 + ²X
eλ̄0−λ̄1 (3.11d)
dλ̄2
dτ
= −A1(k̄p + k̄f )²
1−X
1 + ²X
eλ̄0 + A3k̄dĪe
λ̄1 − A1k̄te
λ̄0
+A4(k̄p + k̄f )
1−X
1 + ²X
(2eλ̄1−λ̄2 + eλ̄0−λ̄2) (3.11e)
dµ̄0
dτ
= −A1
[
(k̄p + k̄f )²
1 +X
1 + ²X
eλ̄0 + (k̄td +
1
2
k̄tc)e
2λ̄0−µ̄0
]
(3.11f)
dµ̄1
dτ
= −A1
[
(k̄p + k̄f )²
1−X
1 + ²X
eλ̄0 + k̄te
λ̄0+λ̄1−µ̄1
]
(3.11g)
dµ̄2
dτ
= −A1(k̄p + k̄f )²
1−X
1 + ²X
eλ̄0 + k̄tde
λ̄0+λ̄2−µ̄2
−A1k̄tc(e
λ̄2+λ̄0−µ̄2 + e2λ̄1−µ̄2) (3.11h)
Condiciones iniciales y de frontera en forma adimensional
CI: τ = 0 θ = θ0
Ī = 1, X = X0,
λ̄0 = ln(λ00), λ̄1 = ln(λ10), λ̄2 = ln(λ20), (3.12a)
µ̄0 = ln(µ00), µ̄1 = ln(µ10), µ̄2 = ln(µ20), ∀ξ ∈ [0, 1], ζ ∈ [0, 1]
CF1: ξ = 0
∂θ
∂ξ
= 0 (3.12b)
CF2: ξ = 1
∂θ
∂ξ
= Bix(θ − θa), ∀ζ ∈ [0, 1], τ > 0 (3.12c)
CF3: ζ = 0
∂θ
∂ζ
= Biz(θ − θa) (3.12d)
CF4: ζ = 1
∂θ
∂ζ
= 0, ∀ξ ∈ [0, 1], τ > 0 (3.12e)
CAPÍTULO 3. DESCRIPCIÓN DEL PROCESO Y MODELOS MATEMÁTICOS 30
donde Bix = hH/k y Biz = hL/k son los números de Biot adimensionales para las
coordenadas x y z, respectivamente. La forma adimensional de las expresiones para los
coeficiente cinéticos son las siguientes [9, 48, 52]:
1
k̄p
=
1
k̄p0
+Θpexp
(
λ̄0 −
2,3φm
A+ 0,03φm
)
(3.13a)
1
k̄t
=
1
k̄t0
+Θtexp
(
λ̄0 −
2,3φm
A+ 0,03φm
)
(3.13b)
Θp = 5,4814x10
−16exp
(
13982
T0θ
)
(3.13c)
Θt =
1,1353x10−22
I0
exp
(
17420
T0θ
)
(3.13d)
A = −8,0x10−6T20 (θ − θg)
2 + 0,1678 (3.13e)
k̄p0 = 2,95x10
7exp
(
−
2190,5
T0θ
)
(3.13f)
k̄t0 = 5,88x10
9exp
(
−
352,8
T0θ
)
(3.13g)
k̄d = 6,32x10
16exp
(
−
15398,6
T0θ
)
(3.13h)
φm =
1−X
1 + ²X
(3.13i)
k̄t = k̄tc + k̄td (3.13j)
k̄td = k̄t/
[
1 + 3,956x10−4exp
(
2058,2
T0θ
)]
(3.13k)
k̄f = k̄t/
[
1 + 3,956x10−4exp
(
2058,2
T0θ
)]
(3.13l)
donde B es el parámetro de la ecuación de Fujita-Doolittle [52] y θg es la temperatura
adimensional de transición v́ıtrea, cuyos valores son 0.03 y 1.198, respectivamente.
3.3.1. La función objetivo y sus restricciones
Como se se mencionó al principio de este caṕıtulo, es conveniente disminuir la di-
versidad del promedio en peso de peso molecular (Mw) para mejorar las propiedades
mecánicas de la placa de acŕılico [3]. También, es importante resaltar que se ha observado
CAPÍTULO 3. DESCRIPCIÓN DEL PROCESO Y MODELOS MATEMÁTICOS 31
de datos experimentales reportados [8] que hay una mejor respuesta en las propiedades
de la placa cuando se lleva a cabo la polimerización alrededor de una temperatura de
50◦C. Considerando este antecedente, se ha decidido involucrar esta temperatura de
polimerización, además de la temperatura del aire de calentamiento, como variables de
decisión en el modelo de optimización dinámica. Para calcular los perfiles óptimos de
calentamiento, se ha propuesto la función objetivo escrita en su forma adimensional
como sigue:
mı́n
θa,θ,Mw
∫ τ
0
[
wT
(
1−
θ
θd
)2
+ wA
(
1−
θa
θda
)2
+ wM
(
1−
Mw
Mdw
)2
]
dτ (3.14)
la cual está sujeta a las restricciones asociadas a los balances de masa, enerǵıa y condi-
ciones iniciales y de frontera dados por las ecuaciones 3.10-3.12. En ésta función objetivo
θd, θda y M
d
w representan los valores deseados de la temperatura adimensional para la
polimerización, la temperatura adimensional del aire y el promedio en peso del peso
molecular, respectivamente; wT , wA y wM son los factores de peso correspondientes a
los términos de temperatura de reacción, temperatura del aire y promedio en peso de
peso molecular, respectivamente. El objetivo es calcular la temperatura adimensional
del aire como función del tiempo θa(t), de tal forma que permita que la temperatura
adimensional de polimerización, θ, alcance su valor deseado en todos los puntos de la
placa.
3.3.2. Estrategia de solución para el problema NLP
Comúnmente para sistemas de gran escala, dominan dos metodoloǵıas para resolver
problemas de optimización dinámica. Una manera consiste en integrar numéricamen-
te [53] el conjunto de ecuaciones diferenciales y algebraicas (DAE) que comprenden el
modelo matemático dinámico, habiéndose discretizado parcialmente las variables mani-
puladas o de decisión. Este enfoque es conocido como el enfoque secuencial de control
CAPÍTULO 3. DESCRIPCIÓN DEL PROCESO Y MODELOS MATEMÁTICOS 32
óptimo. Por otro lado, en el enfoque conocido como simultáneo, se discretizan por com-
pleto las ecuaciones del modelo, lo cual genera un conjunto de ecuaciones algebraicas
con una estructura general de programación no lineal [4]. A pesar de que se ha resalta-
do que el enfoque secuencial es fácil de aplicar, tiene algunas desventajas, por ejemplo,
no puede resolver sistemas a lazo abierto que sean inestables, a menos que se estabi-
licen previamente. Por el contrario, se ha reportado que el enfoque simultáneo puede
manejar eficientemente sistemas inestables [54]. Sin embargo, el enfoque simultáneo de-
manda una inicialización eficiente para el conjunto de variables de decisión y una buena
estrategia para delimitar el dominio de las variables del problema. Afortunadamente, el
adelanto en el desarrollo de algoritmos para sistemas de gran escala han permitido re-
solver problemas grandes y el incremento en la potencia de cálculo de las computadoras
han permitido resolver problemas de programación no lineal (NLP), por estas razones
se considera que el enfoque simultáneo será utilizado extensamente para resolver pro-
blemas de gran escala, aśı como problemas de optimización dinámica fuertemente no
lineales. Justamente, en este trabajo el enfoque simultáneo fue utilizado para determinar
la poĺıtica óptima de operación para la producción de placas de acŕılico.
Al aplicar el enfoque simultáneo para resolver el problema de optimización dinámica
dado por la función objetivo (Ecuación 3.14) y las restricciones correspondientes al
problema DAEs (Ecuaciones 3.10-3.12), este fue convertido en un problema NLP a
través de la aproximación del DAEs que tiene como funciones (θ,X, Ī, λ̄k, µ̄k), además
de la variable de control (θa) por medio del empleo de los métodos de ĺıneas [19] para
las coordenadas espaciales (x y z) y el de colocación ortogonal sobre elementos finitos
para la coordenada temporal. El problema NLP discretizado está dado por la función
CAPÍTULO 3. DESCRIPCIÓN DEL PROCESO Y MODELOS MATEMÁTICOS 33
objetivo siguiente:
mı́n
θamk
θmkij
Mwmkij
Ne
∑
m=1
∆τm
Nc
∑
k=1
Nx
∑
i=1
Nz
∑
j=1
[
wT
(
1−
θmkij
θd
)2
+ wA
(
1−
θamk
θda
)2
+ wM
(
1−
Mwmkij
Mdw
)2
]
(3.15)
Los balances de enerǵıa discretizados están dados por las dos ecuaciones algebraicas
siguientes:
θmkij = θ
0
mij +∆τmτtr
Nc
∑
n=1
Ankθ̇mnij (3.16)
donde θ0mij es la temperatura en los puntos iniciales de cada elemento, ∆τm es la longitud
del m−ésimo elemento finito, τtr es el tiempo de operación , y θ̇mnij tiene la expresión:
θ̇mnij =
1
∆ξ2
(θmni+1j − 2θmnij + θmni−1j) +
a2
∆ζ2
(θmnij+1 − 2θmnij + θmnij−1) + A5Q̄mnij (3.17)
i = 2, 3, ..., Nx − 1, j = 2, 3, ..., Nz − 1
donde ∆ζ es el espaciamiento de la discretización para la longitud adimensional. Las
ecuaciones algebraicas siguientes corresponden a las condiciones de frontera:
−3θmn1 + 4θmn2 − θmn3
2∆ζ
+Bi(θmn1 − θamn) = 0 (3.18a)
4θmnNz − 3θmnNz−1 + θmnNz−2 = 0 (3.18b)
m = 1, 2, ..., Ne, n = 1, 2, ..., Nc
para cumplir con la continuidad de temperaturas entre los elementos finitos, se utilizó el
polinomio ortogonal de Lagrange con la condición de igualdad de las primeras derivadas
parciales para la temperatura con respecto al tiempo, es decir, ( ∂T
∂t
)m,N = (
∂T
∂t
)m+1,1.
CAPÍTULO 3. DESCRIPCIÓN DEL PROCESO Y MODELOS MATEMÁTICOS 34
Aśı que las ecuaciones correspondientes son las siguientes:
θ0mij = θ
0
m−1ij +∆τm−1τtr
Nc
∑
n=1
AnNcθ̇m−1nij (3.19)
y los valores iniciales son θ01ij = θ0, θa11 = θa0. Al aplicar la técnica de discretización
para las ecuaciones de balance de masa para la conversión del monómero, la concentra-
ción del iniciador, los momentos cero-ésimo, primero y segundo para el poĺımero vivo y
muerto se tienen las expresiones siguientes:
Īmkij = Ī
0
mij +∆τmτtr
Nc
∑
n=1
Ank
˙̄Imnij (3.20a)
Xmkij = X
0
mij +∆τmτtr
Nc
∑
n=1
AnkẊmnij (3.20b)
λ̄0mkij = λ̄
0
0mij
+∆τmτtr
Nc
∑
n=1
Ank
˙̄λ0mnij (3.20c)
λ̄1mkij = λ̄
0
1mij
+∆τmτtr
Nc
∑
n=1
Ank
˙̄λ1mnij (3.20d)
λ̄2mkij = λ̄
0
2mij
+∆τmτtr
Nc
∑
n=1
Ank
˙̄λ2mnij (3.20e)
µ̄0mkij = µ̄
0
0mij
+∆τmτtr
Nc
∑
n=1
Ank ˙̄µ0mnij (3.20f)
µ̄1mkij = µ̄
0
1mij
+∆τmτtr
Nc
∑
n=1
Ank ˙̄µ1mnij (3.20g)
µ̄2mkij = µ̄
0
2mij
+∆τmτtr
Nc
∑
n=1
Ank ˙̄µ2mnij (3.20h)
donde X0mj, λ̄
0
0mj
, Ī0mj son evaluados en los puntos iniciales de cada elemento y las ex-
CAPÍTULO 3. DESCRIPCIÓN DEL PROCESO Y MODELOS MATEMÁTICOS 35
presiones para ˙̄Imnij, Ẋmnij ,
˙̄λkmnij y ˙̄µkmnij , con k = 0, 1, 2, son las siguientes:
˙̄Imnij = −A1k̄dmnij Īmnij − A1(k̄pmnij + k̄fmnij)²mnij Īmnij
1−Xmnij
1 + ²mnijXmnij
eλ̄0mnij(3.21a)
Ẋmnij = A1(k̄pmnij + k̄fmnij)(1−Xmnij)e
λ̄0mnij (3.21b)
˙̄λ0mnij = −A1(k̄pmnij + k̄fmnij )²mnij
1−Xmnij
1 + ²mnijXmnij
eλ̄0mnij
+A3k̄dmnij Īmnije
−λ̄0mnij − k̄tmnije
λ̄0mnij (3.21c)
˙̄λ1mnij = −A1(k̄pmnij + k̄fmnij )²mnij
1−Xmnij
1 + ²mnijXmnij
eλ1mnij + A3k̄dmnij Īmnije
−λ1mnij −
A1k̄tmnije
λ̄0mnij + A4(k̄pmnij + k̄fmnij)
1−Xmnij
1 + ²mnijXmnij
eλ̄0mnij−λ̄1mnij (3.21d)
˙̄λ2mnij = −A1(k̄pmnij