Fisica Walter Teoria y practica Perez Terrel

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FÍSICA
Autor: Francisco Ramos Ttito.
 
© Derecho de autor reservado 
 Empresa Editora Macro EIRL
© Derecho de edición, arte gráfico y diagramación reservados 
 Empresa Editora Macro EIRL
Edición a cargo de:
Empresa Editora Macro EIRL
Paseo de la República 5613 – Miraflores
Lima - Perú
(511) 719-9700
ventas@editorialmacro.com
http://www.editorialmacro.com
Primera edición: Junio 2008 - 1000 ejemplares
Segunda edición: Mayo 2010 - 1000 ejemplares
Impresión en los Talleres Gráficos de
Empresa Editora Macro E.I.R.L
Lima - Perú
ISBN Nº 978-612-4034-58-9
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2010-06444
Prohibida la reproducción parcial o total, por cualquier medio o método de 
este libro sin previa autorización de la Empresa Editora Macro EIRL.
( 
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Datos del Autor
Francisco Ramos Tt.
Bachiller en Física de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional 
de Ingeniería y estudiante de Maestría en Ciencias Físicas (UNI)
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 Física
Agradecimientos:
Agradezco a los distintos colaboradores del 
libro, dedicados a la enseñanza de la física 
en colegios y centros pre-universitarios 
reconocidos, que con su experiencia permitieron 
hacer las correcciones necesarias para obtener 
el producto final que es el presente texto. 
Agradezco a la Editora Macro por permitirme 
difundir esta obra a la juventud estudiosa del 
país, esperanza del mañana.
Dedicatoria: 
Dedico especialmente este libro a mi madre, mi 
mas preciado tesoro; a mi padre, compañero y 
guía; y a mis hermanos, las personas que mas 
quiero en la vida.
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Física
Introducción
FÍSICA
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Introducción
Introducción
La física, es la ciencia fundamental sistemática que estudia las propiedades de la naturaleza con 
ayuda del lenguaje matemático. Es también aquel conocimiento exacto y razonado de alguna 
cosa o materia, basándose en su estudio por medio del método científico. Dada la amplitud del 
campo de estudio de la física, así como su desarrollo histórico en relación a otras ciencias, se 
la puede considerar la ciencia fundamental o central, ya que incluye dentro de su campo de 
estudio a la química y a la biología, además de explicar sus fenómenos. Es gracias a los avances 
en la física que disponemos en la actualidad de los adelantos científicos y comodidades de la 
vida moderna; como viajar grandes distancias en modernos aviones, alumbrarse y calentarse por 
las noches con bombillas eléctricas y calefactores, explorar el infinito del universo con sondas y 
naves espaciales, comunicarse instantáneamente en cualquier lugar del planeta mediante el uso 
de celulares satelitales, etc. 
La razón de realizar este texto de física pre-universitaria, el cual es parte de la colección SIGNOS, 
surgió ante la necesidad que existe entre muchos estudiantes de nuestro país que recién acaban 
de culminar sus estudios de secundaria por alcanzar un mejor nivel en el conocimiento de esta 
ciencia. Este libro pretende cubrir el gran vacío existente entre los conocimientos recibidos en 
el colegio y los necesarios para la universidad, especialmente para aquellas de mayor exigencia 
académica. A base de una teoría breve pero concisa de los distintos temas de la física y numerosos 
problemas resueltos y propuestos, el alumno logrará alcanzar conocimientos sólidos y básicos, 
pero suficientes para afrontar con éxito su examen de ingreso a la universidad. Gran parte de 
los problemas resueltos y propuestos del libro son similares a los tomados en los exámenes de 
admisión de las universidades mas exigentes del país.
El libro esta conformado por diecinueve capítulos, clasificados en cinco partes: mecánica, 
hidrostática, termodinámica, electromagnetismo, Luz y óptica.
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Física
Prólogo
FÍSICA
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Prólogo
Prólogo
El presente libro de física pre-universitaria se encuentra dividido en diecinueve capítulos, 
dieciocho de los cuáles se encuentran clasificados en cinco partes que son: mecánica, mecánica 
de fluidos, termodinámica, electromagnetismo y por último el de “óptica y luz”.
En el primer capítulo se presentan los conceptos de magnitudes físicas, análisis dimensional, 
vectores y las matemáticas necesarias para una buena comprensión del libro.
En la primera parte, correspondiente a la mecánica, se desarrollan los capítulos de cinemática, 
estática, dinámica, trabajo, energía, gravitación, cantidad de movimiento, colisiones, movimiento 
armónico, oscilaciones y ondas. 
En la segunda parte se estudia a los fluidos en reposo o Hidrostática. La parte correspondiente 
a la dinámica de fluidos se desarrolla en libros de física superior debido a que se necesita de 
matemáticas avanzadas.
En la tercera parte, correspondiente a la termodinámica, se desarrollan los capítulos de 
“temperatura y calor” y el de “leyes termodinámicas y teoría cinética de los gases”.
En la cuarta parte, correspondiente al electromagnetismo, se desarrollan los capítulos de 
electrostática, corriente eléctrica y electromagnetismo.
En la quinta y última parte, correspondiente a la “Luz y óptica”, se desarrollan los capítulos 
de “luz y leyes de la óptica”, “óptica geométrica”, “ondas electromagnéticas y fenómenos 
ondulatorios de la luz”.
En el desarrollo de todos los problemas y ejercicios se considera a todas las unidades de las 
magnitudes físicas en el sistema internacional (S.I.), a menos que se especifique lo contrario. 
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Física
Índice
FÍSICA
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Índice
Índice
Capítulo 1
Magnitudes de la Física y Vectores ............................................................................ 23
1.1. Introducción ................................................................................................................. 23
1.2. Magnitudes físicas ....................................................................................................... 23
1.3. Ecuaciones Dimensionales ........................................................................................... 24
1.4. Sistema de Unidades de Medida .................................................................................. 26
1.5. Vectores ........................................................................................................................ 29
1.6. Operaciones gráficas y analíticas ................................................................................. 38
Problemas Resueltos .......................................................................................................... 42
Problemas Propuestos ........................................................................................................ 69
Parte I: Mecánica
Capítulo 2
Cinemática ........................................................................................................................... 76
2.1. Introducción ................................................................................................................ 76
2.2. Elementos para la descripción del movimiento mecánico .......................................... 76
2.3. Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U) .................................................................. 79
2.4. Análisis e interpretación de las gráficas...................................................................... 80
2.5. Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V) ..................................... 81
2.6. Ecuaciones y gráficas del M.R.U.V ............................................................................ 83
2.7. Movimiento de Caída Libre ........................................................................................ 85
Problemas Resueltos .......................................................................................................... 87
Problemas Propuestos (M.R.U, M.R.U.V, M.C.L) .......................................................... 117
Capítulo 3
Cinemática – Movimiento en dos dimensiones ................................................... 123
3.1. Introducción.............................................................................................................. 123
3.2. Movimiento en dos dimensiones con aceleración constante .................................... 123
3.3. Movimiento compuesto ............................................................................................ 124
3.4. Movimiento Parabólico ............................................................................................ 125
3.5. Movimiento circular ................................................................................................... 127
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 Física
3.6. Movimiento circular uniforme (M.C.U) ................................................................... 129
3.7. Movimiento Circular Uniformemente Variado (M.C.U.V) ....................................... 131
3.8. Aceleración tangencial y aceleración centrípeta ....................................................... 132
Problemas Resueltos ........................................................................................................ 134
Problemas Propuestos ...................................................................................................... 165
Capítulo 4
Estática ................................................................................................................................ 171
4.1. Introducción .............................................................................................................. 171
4.2. La primera ley de Newton y el concepto de fuerza .................................................. 171
4.3. Fuerzas básicas de la naturaleza .............................................................................. 172
4.4. Primera condición de equilibrio para una partícula .................................................. 172
4.5. Tercera Ley de Newton (Ley de acción y reacción) ................................................. 173
4.6. Momento (Torque) de una fuerza y equilibrio de un cuerpo rígido ......................... 173
4.7. Diagrama de cuerpo libre (D.C.L) ............................................................................. 175
4.8. Máquinas simples ..................................................................................................... 179
4.9. Fuerzas de rozamiento o fricción .............................................................................. 180
4.10. Centro de gravedad (C.G) ........................................................................................ 182
Problemas Resueltos ........................................................................................................ 186
Problemas Propuestos ...................................................................................................... 224
Capítulo 5
Dinámica ............................................................................................................................. 233
5.1. Introducción .............................................................................................................. 233
5.2. Conceptos previos ...................................................................................................... 233
5.3. Segunda Ley de Newton ........................................................................................... 235
5.4. Máquina de Atwood ................................................................................................... 236
5.5. Dinámica circular ...................................................................................................... 237
Problemas Resueltos ........................................................................................................ 239
Problemas Propuestos ...................................................................................................... 268
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Índice
Capítulo 6
Trabajo y Energía ........................................................................................................... 274
6.1. Introducción .............................................................................................................. 274
6.2. Trabajo ...................................................................................................................... 274
6.3. Potencia ..................................................................................................................... 276
6.4. Energía ...................................................................................................................... 276
6.5. Teorema del Trabajo y la Energía Cinética ............................................................... 278
6.6. Fuerzas Conservativas .............................................................................................. 279
6.7. Conservación de la Energía Mecánica ...................................................................... 280
Problemas Resueltos ........................................................................................................ 281
Problemas Propuestos ...................................................................................................... 298
Capítulo 7
Gravitación Universal ................................................................................................... 302
7.1. Introducción ............................................................................................................... 302
7.2. Ley de Gravitación Universal .................................................................................... 302
7.3. Variación de la aceleración de la gravedad con la altura ........................................... 302
7.4. Energía Potencial Gravitatoria ................................................................................ 303
7.5. Leyes de Kepler ......................................................................................................... 305
Problemas Resueltos ........................................................................................................ 306
Problemas Propuestos ...................................................................................................... 313
Capítulo 8
Cantidad de Movimiento y Choques ....................................................................... 315
8.1. Introducción .............................................................................................................. 315
8.2. Cantidad de movimiento y su conservación ............................................................. 315
8.3. Impulso ..................................................................................................................... 317
8.4. Choques o colisiones ................................................................................................. 317
Problemas Propuestos ...................................................................................................... 333
Problemas Resueltos ........................................................................................................ 321
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 Física
Capítulo 9
Movimiento Armónico Simple (M.A.S) .................................................................. 335
9.1. Introducción .............................................................................................................. 335
9.2. Definición de M.A.S ................................................................................................. 335
9.3. Elementos del M.A.S ................................................................................................ 335
9.4. Relación del M.A.S y el M.C.U ................................................................................ 336
9.5. Dinámica del M.A.S ................................................................................................. 338
9.6. Energía en el M.A.S ..................................................................................................339
9.7. Péndulo Simple ......................................................................................................... 341
9.8. Asociación de Resortes ............................................................................................. 344
Problemas Resueltos ........................................................................................................ 346
Problemas Propuestos ...................................................................................................... 368
Capítulo 10
Movimiento Ondulatorio ............................................................................................. 373
10.1. Introducción ............................................................................................................ 373
10.2. Concepto de onda .................................................................................................... 373
10.3. Función de Onda ..................................................................................................... 374
10.4. Tipos de ondas ......................................................................................................... 374
10.5. Elementos de una onda transversal ......................................................................... 375
10.6. Ecuación de una onda transversal ........................................................................... 377
10.7. Velocidad de las ondas en una cuerda ..................................................................... 377
10.8. Reflexión y refracción de las ondas mecánicas ....................................................... 378
10.9. Ondas sonoras ......................................................................................................... 381
Problemas Resueltos ........................................................................................................ 383
Problemas Propuestos ...................................................................................................... 392
Parte II: Mecánica de Fluidos
Capítulo 11
Hidrostática ....................................................................................................................... 396
11.1. Introducción ............................................................................................................ 396
11.2. Características de los fluidos ................................................................................... 396
11.3. La presión ................................................................................................................ 397
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Índice
11.4. Presión Atmosférica ................................................................................................ 398
11.5. Presión Hidrostática ................................................................................................ 399
11.6. Variación de la presión dentro de un líquido en reposo .......................................... 399
11.7. Vasos comunicantes ................................................................................................ 400
11.8. Principio de Pascal .................................................................................................. 400
11.9. La Prensa Hidráulica ............................................................................................... 401
11.10. Principio de Arquímedes ....................................................................................... 401
Problemas Resueltos ........................................................................................................ 404
Problemas Propuestos ...................................................................................................... 433
Parte III: Termodinámica
Capítulo 12
Temperatura y Calor ..................................................................................................... 440
12.1. Introducción ............................................................................................................ 440
12.2. Concepto de temperatura ........................................................................................ 440
12.3 Ley cero de la Termodinamica ................................................................................. 441
12.4. Termómetros y Escalas de Temperatura .................................................................. 441
12.5. Dilatación Térmica .................................................................................................. 443
12.6. Calor ........................................................................................................................ 444
12.7. Unidades de calor .................................................................................................... 445
12.8. El equivalente mecánico del calor .......................................................................... 445
12.9. Calor específico y Capacidad calorífica .................................................................. 446
12.10. Calor latente .......................................................................................................... 447
12.11. Transferencia de calor ........................................................................................... 447
Problemas Resueltos ........................................................................................................ 449
Problemas Propuestos ...................................................................................................... 459
Capítulo 13
Leyes Termodinámicas y Teoría Cinética de los Gases .................................... 462
13.1. Introducción ............................................................................................................ 462
13.2. Ecuación de los gases ideales ................................................................................. 462
13.3. Calor específico de los gases ................................................................................... 463
13.4. Primera ley de la termodinámica ............................................................................ 464
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 Física
13.5. La Segunda Ley de la Termodinámica y Máquinas Térmicas ................................ 466
Problemas Resueltos ........................................................................................................ 471
Problemas Propuestos ...................................................................................................... 484
Parte IV: Electromagnetismo
Capítulo 14
Electrostática ..................................................................................................................... 488
14.1. Introducción ............................................................................................................ 488
14.2. Carga Eléctrica ........................................................................................................ 488
14.3. Formas de electrizar un cuerpo ............................................................................... 489
14.4. Conservación de la carga eléctrica .......................................................................... 490
14.5. Cuantificación de la carga eléctrica ........................................................................ 491
14.6. Leyes Electrostáticas ............................................................................................... 491
14.7. Materiales conductores y aislantes .......................................................................... 493
14.8. Campo Eléctrico ...................................................................................................... 495
14.9. Principio de superposición de campos eléctricos .................................................... 497
14.10. Potencial Eléctrico ................................................................................................ 498
14.11. Potencial eléctrico debido a unacarga puntual ...................................................... 499
14.12. Diferencia de Potencial Eléctrico .......................................................................... 499
14.13. Potencial de una distribución de cargas puntuales ................................................ 500
14.14. Energía Potencial Electrostática ............................................................................ 501
14.15. Energía potencial electrostática de un conjunto de cargas .................................... 502
14.16. Superficies Equipotenciales ................................................................................... 503
14.17. Características electrostáticas de los conductores .................................................. 505
14.18. Equilibrio electrostático entre esferas conductoras ................................................ 508
14.19. Capacitancia Eléctrica ............................................................................................ 509
Problemas Resueltos ........................................................................................................ 518
Problemas Propuestos ...................................................................................................... 560
Capítulo 15
Electrodinámica ............................................................................................................... 571
15.1. Introducción ............................................................................................................. 571
15.2. Corriente Eléctrica .................................................................................................. 571
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Índice
15.3. Resistencia y Ley de Ohm ....................................................................................... 573
15.4. Modelo de Conducción Eléctrica ............................................................................. 575
15.5. Variación de la resistencia con la temperatura ......................................................... 576
15.6. Conductores y elementos no - óhmicos .................................................................. 576
15.7. Asociación de resistencias en serie y en paralelo .................................................... 577
15.8. Fuerza Electromotriz (f.e.m) ................................................................................... 578
15.9. Circuitos de Corriente Continua .............................................................................. 579
15.10. Leyes de Kirchhoff ................................................................................................ 580
15.11. Potencia eléctrica .................................................................................................. 582
15.12. Efecto Joule ........................................................................................................... 582
15.13. Potencia en circuitos ............................................................................................. 583
15.14. Instrumentos de medida: Amperímetro y Voltímetro ............................................ 583
Problemas Resueltos ........................................................................................................ 585
Problemas Propuestos ...................................................................................................... 623
Capítulo 16
Electromagnetismo ......................................................................................................... 628
16.1. Introducción ............................................................................................................ 628
16.2. Experimento de Oersted .......................................................................................... 628
16.3. Campo magnético ................................................................................................... 629
16.4. Fuerza magnética sobre una carga eléctrica ............................................................ 631
16.5. Fuerza magnética sobre un cable conductor con corriente ..................................... 633
16.6. Torque sobre una espira de corriente eléctrica ........................................................ 633
16.7. Campo magnético de un conductor rectilíneo ........................................................ 634
16.8. Fuerza electromotriz inducida ................................................................................. 637
16.9. Ley de Inducción de Faraday .................................................................................. 638
16.10. Ley de Lenz ........................................................................................................... 639
16.11. Generador de corriente alterna .............................................................................. 640
16.12. Valores eficaces de la corriente y voltaje .............................................................. 641
16.13. Transformadores ................................................................................................... 642
Problemas Resueltos ........................................................................................................ 643
Problemas Propuestos ...................................................................................................... 680
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 Física
Parte V: Óptica
Capítulo 17
Naturaleza de la Luz y Las Leyes de la Óptica ................................................... 688
17.1. Introducción ............................................................................................................ 688
17.2. Naturaleza de la luz ................................................................................................. 688
17.3. Fenómenos de la luz ................................................................................................ 689
A) Reflexión ............................................................................................................ 689
B) Refracción .......................................................................................................... 691
C) Reflexión Total Interna ...................................................................................... 692
Problemas Resueltos ........................................................................................................ 694
Problemas Propuestos ...................................................................................................... 717
Capítulo 18
Óptica Geométrica .......................................................................................................... 724
18.1. Introducción ............................................................................................................ 724
18.2 Objeto e Imagen ....................................................................................................... 724
18.3. Espejos .................................................................................................................... 725
18.4. Lentes ...................................................................................................................... 735
Problemas Resueltos ........................................................................................................ 744
Problemas Propuestos ...................................................................................................... 767
Capítulo 19
Ondas electromagnéticas y Fenómenos Ondulatorios de la luz ................... 773
19.1. Introducción ............................................................................................................ 773
19.2. Generación y propagación de ondas electromagnéticas ......................................... 773
19.3. El espectro de las ondas electromagnéticas ............................................................ 774
19.4. Fenómenos ondulatorios de la luz ...........................................................................777
19.5. Comportamiento corpuscular de las ondas electromagnéticas ............................... 782
Problemas Resueltos ........................................................................................................ 786
Problemas Propuestos ...................................................................................................... 794
Apéndice .............................................................................................................................. 797
Bibliografía ........................................................................................................................ 800
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Capítulo 1: Magnitudes de la Física y Vectores
Magnitudes de la Física y Vectores
1.1 Introducción
En este primer capítulo abordaremos el estudio de las magnitudes físicas, el análisis 
dimensional, los vectores y las herramientas matemáticas básicas usadas en la física.
Comenzaremos estudiando las ecuaciones dimensionales, de gran utilidad en la deducción 
de relaciones entre magnitudes físicas, las cuales a su vez han sido clasificadas y explicadas 
según el Sistema Internacional de Unidades (S.I.). Luego estudiaremos a los vectores, 
entes matemáticos muy usados en las representaciones de interacciones físicas. Finalmente 
resumiremos algunas fórmulas matemáticas muy usadas, así como funciones y gráficas. 
Es importante siempre recordar que las matemáticas estarán ligadas a la física y cuanto más 
las dominemos, mejor será nuestra comprensión de los fenómenos físicos.
1.2 Magnitudes físicas
Magnitud.- Una magnitud es todo aquello que se puede expresar cuantitativamente o medir. 
Medir.- Es la acción por medio de la cual asignamos un número a una propiedad física, 
como resultado de una comparación de dicha propiedad con otra similar tomada como 
patrón, la cual es adoptada como unidad.
1.2.1 Clasificación de las magnitudes
Las magnitudes se clasifican:
A) Por su origen:
• Magnitudes Fundamentales: Son aquellas que se eligen como base para fijar 
las unidades de un sistema de unidades y en función de éstas se expresan las 
demás magnitudes de dicho sistema.
El S. I. de unidades tiene las siguientes magnitudes fundamentales:
a) [Longitud] = L
b) [Masa] = M
c) [Tiempo] = T
d) [Intensidad de corriente] = I
e) [Intensidad luminosa] = J
f) [Temperatura] = 
g) [Cantidad de sustancia] = N
Capítulo 1
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 Física
• Magnitudes Derivadas: Son aquellas que se expresan en función de las 
fundamentales.
Ejemplos: 
 Velocidad = longitud / tiempo = L.T -1
 Aceleración = longitud / tiempo2 = L.T -2
 Fuerza = masa x aceleración2 = M.L.T -2 
 
B) Magnitudes por su naturaleza
• Magnitudes Escalares: Son magnitudes físicas que por estar bien definidas 
solo necesitan de un número y una unidad física.
Ejemplos: masa, tiempo, volumen, etc.
• Magnitudes Vectoriales: Son magnitudes físicas que además de tener un 
número y una unidad física necesitan tener una dirección y un sentido para quedar 
bien definidas. Estas magnitudes se representan mediante vectores.
Ejemplos: Velocidad, fuerza, intensidad de campo eléctrico, etc.
1.3 Ecuaciones Dimensionales
Se denomina dimensión de una cantidad física a la expresión de la forma:
 [x] = La . Mb . Tc . Jd . Ie . Of . Ng . α (Ecuación dimensional)
 Donde 
 “[x]” : se lee dimensión de x
 a, b, c, d, e, f, g y α : son números reales
 L, M, T, J, I, O y N : son cantidades fundamentales
El análisis dimensional se usa para verificar si una fórmula esta correctamente escrita y 
para construir una expresión o ley física a partir de datos experimentales.
1.3.1 Reglas del Análisis dimensional
a) Las ecuaciones dimensionales cumplen las leyes del álgebra a excepción de la 
suma y la resta. Si A y B son magnitudes físicas, entonces se cumple:
• [A.B] = [A] . [B] • [An] = [A]n • = 
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Capítulo 1: Magnitudes de la Física y Vectores
b) Todo número real, ángulo o función trigonométrica es adimensional, es decir, su 
ecuación dimensional es igual a 1.
Ejemplo: [π2 – sen a] = 1
c) Principio de homogeneidad: Si una ecuación física es de la forma A + B = C – D, 
se dice que es dimensionalmente correcta si:
[A] = [B] = [C] = [D]
(En otras palabras, cada uno de los términos debe tener la misma ecuación 
dimensional).
d) Las constantes físicas tienen una ecuación dimensional que no es 1 ya que éstas si 
poseen unidades:
Ejemplos: G = 6,67 x 10–11 (constante de gravitación universal)
 K = 9 x 109 (constante de Coulomb)
1.3.2. Algunas ecuaciones dimensionales
Entre las más importantes tenemos:
• [Velocidad] = LT–1 
• [Aceleración] = LT–2
• [Fuerza] = MLT–2
• [Trabajo] = [energía] = ML2T–2
• [Potencia] = ML2T–3
• [Área] = L2
• [Volumen] = L3
• [Presión] = ML–1T–2
• [Densidad] = ML–3
• [Velocidad Angular] = T–1
• [Carga Eléctrica] = IT
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 Física
1.4 Sistema de Unidades de Medida
1.4.1 Sistema de unidades 
Conjunto consistente de unidades de medida. Definen un conjunto básico de unidades 
de medida a partir de la cual se derivan el resto. Existen varios sistemas de unidades:
- Sistema internacional de unidades.
- Sistema métrico decimal.
- Sistema cegesimal o CGS.
- Sistema natural.
- Sistema técnico de unidades.
- Sistema inglés.
1.4.2 Sistema legal de unidades de medida del Perú (SLUMP)
El sistema legal de unidades de medida del Perú (SLUMP), Ley 23560, esta constituido 
básicamente por:
A) Sistema internacional de unidades (S.I.)
El Sistema Internacional de Unidades, abreviado S.I., es el sistema de unidades 
más extensamente usado. El S.I. también es conocido como sistema métrico, 
especialmente en las naciones en las que aún no se ha implantado para su uso 
cotidiano. Fue creado en 1960 por la Conferencia General de Pesas y Medidas, 
que inicialmente definió seis unidades físicas básicas o fundamentales. En 1971, 
fue añadida la séptima unidad básica, el mol. Clasifica sus unidades en: 
Unidades de Base
MAGNITUD FÍSICA UNIDAD BASE SÍMBOLO
Longitud metro m
Tiempo segundo s
Masa kilogramo kg
Corriente Eléctrica ampere A
Temperatura kelvin K
Intensidad Luminosa candela cd
Cantidad de sustancia mol mol
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Capítulo 1: Magnitudes de la Física y Vectores
Unidades Suplementarias
Unidades Derivadas
MAGNITUD FÍSICA UNIDAD BASE SÍMBOLO
Ángulo plano radian rad
Ángulo sólido estereorradian sr
MAGNITUD 
FÍSICA UNIDAD BASE SÍMBOLO
EN UNIDAD 
BASE
Frecuencia hertz Hz s–1
Fuerza newton N m.kg.s–2
Trabajo, energía, 
cantidad de calor
joule J m2.kg.s–2
Presión y tensión pascal Pa m–1.kg.s–2
Potencia watt W m2.kg.s–3
Carga eléctrica coulomb C s.A
Potencial eléctrico 
(fuerza electromotriz)
volt V m2.kg.s–3.A–1
Capacitancia farad F m–2.kg–1.s4.A2
Resistencia eléctrica ohm Ω m2.kg.s–3.A–2
Conductancia siemens S m–2.kg–1.s3.A2
Flujo de inducción 
magnética
weber Wb m2.kg.s–2.A–1
Inducción Magnética tesla T kg.s–2.A–1
Inductancia henry H m2.kg.s–2.A–2
Flujo luminoso lumen lm cd.sr
Iluminación lux lx cd.m–2.sr
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- 28 -
 Física
Los prefijos en el S.I. se usan para obtener unidades que son múltiplos o submúltiplos de las 
unidades base y derivadas, se escriben junto a la unidad sin dejar espacios.
Ejemplos:
 Kilogramo ≡ kg
 miliampere ≡ mA
 microtesla ≡ mT
 
B) Las unidades fuera del S.I. que se consideran necesarias y convenientes en el país, se 
encuentran en concordancia con las resoluciones de la XI Conferencia General de Pesos 
y Medidas (CGPM), realizada en Paris (Octubre de 1960).
PREFIJO SÍMBOLO VALOR NOTACIÓN CIENTÍFICA
exa E 1 000 000 000 000 000 000 1018
peta P 1 000 000 000 000 000 1015
tera T 1 000 000 000 000 1012
giga G 1 000 000 000 109
mega M 1 000 000 106
kilo k 1 000 103
hecto h 100 102
deca da 10 101
deci d 0,1 10–1
centi c 0,01 10–2
milim 0,001 10–3
micro m 0,000 001 10–6
nano n 0,000 000 001 10–9
pico p 0,000 000 000 001 10–12
femto f 0,000 000 000 000 001 10–15
atto a 0,000 000 000 000 000 001 10–18
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Capítulo 1: Magnitudes de la Física y Vectores
1.5 Vectores
En principio, podemos considerar un vector como un segmento de recta con una flecha en uno 
de sus extremos. En la fisica son usados para representar a las magnitudes vectoriales. 
 Representación gráfica
Los vectores se caracterizan por poseer: 
a) Un origen (O), también denominado punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el 
que actúa el vector. 
b) Una longitud (| |), la que es representada por un valor numérico al que llamaremos 
módulo.
c) Una dirección, que viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo 
contiene con respecto al sistema de coordemadas. Se define mediante el ángulo θ con 
respecto a la horizontal (eje X +).
d) Un sentido, representado por una flecha. La recta posee dos sentidos, generalmente 
estos se indican mediante signos “ + ” para un lado y “ – ” para el otro. 
e) Una línea de acción, que es la recta que contiene al vector . 
 
Los vectores pueden situarse en el plano (dos dimensiones) o en el espacio (tres 
dimensiones).
Un vector es una herramienta matemática que permite el desarrollo y comprensión de 
muchos fenómenos físicos.
Notación:
 ≡ : “Vector A”
| | ≡ | | ≡ A : “Módulo del vector A”
sentido
dirección
m
ód
ul
o
origen
y
x
O
P
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- 30 -
 Física
1.5.1 Tipos de vectores
a) Vectores colineales
Son aquellos dos o más vectores que están contenidos en una misma línea de 
acción. 
 
b) Vectores paralelos 
Son aquellos dos o más vectores que tienen sus líneas de acción respectivamente 
paralelas. 
c) Vectores iguales
Dos vectores serán iguales cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección y 
el mismo sentido. Si es igual a , entonces: = 
 
 
 
 
 
 
 
, y son colineales
Notación:
// : “ es paralelo a ”
// // : “ , y son 
 paralelos entre sí”
// //
// // //
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Capítulo 1: Magnitudes de la Física y Vectores
d) Vectores opuestos
Dos vectores son opuestos cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección 
pero sentidos contrarios. Si y son opuestos, entonces: = – o = – 
 Se cumple siempre que: | | = | | = |– | = A
 e) Vectores coplanares
Dos o más vectores son coplanares cuando todos ellos están contenidos en un 
mismo plano P . 
 f) Vector unitario
Es cualquier vector de módulo igual a la unidad. Este tipo de vectores se 
representan con un “sombrero”, así: .
Si | | = A = 1 ⇒ es unitario
Notación: , 
El vector unitario en la dirección de un 
vector cualquiera, viene dado por:
 = 
// //
P
, 
1 u
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- 32 -
 Física
 (Ley de 
cosenos)α
1.5.2 Operaciones con Vectores
1.5.2.1 Suma de vectores
Dados dos vectores, estos pueden ser sumados mediante una operación llamada 
suma de vectores. Aunque recibe el mismo nombre que la suma de números, se 
trata de una operación distinta.
En general la suma de vectores da como resultado un solo vector llamado vector 
resultante ( ).
 = Σ 
VECTORES
Existen diversos métodos para sumar vectores:
A) Método de Paralelogramo
En este método se suman 2 vectores. El método se describe a continuación:
1.- Se dibujan los dos vectores con sus origenes coincidentes. 
2.- Los vectores forman de esta manera los lados adyacentes de un 
paralelogramo, los otros dos lados se construyen dibujando líneas 
paralelas a los vectores de igual magnitud.
3.- La resultante se obtendrá de la diagonal del paralelogramo a partir del 
origen común de los vectores. 
 
 
Casos particulares: 
• Si α = 0º (Resultante máxima)
 R = A + B (Suma de módulos)
 = + 
| | = R = 
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Capítulo 1: Magnitudes de la Física y Vectores
• Si a = 180º (Resultante mínima)
 
 R = A – B (Resta de Módulos)
 
• Si a = 90º 
 
 R = (Teorema de Pitágoras)
B) Método del polígono 
Este método es una generalización del método del paralelogramo, el cual 
resulta un caso particular. Se emplea, sobre todo, cuando se desean sumar 
varios vectores a la vez. En el extremo del primer vector se sitúa el punto 
de aplicación del segundo, sobre el extremo del segundo vector se coloca 
el punto de aplicación del tercero y así hasta terminar de dibujar todos los 
vectores. El vector resultante es el que se obtiene al unir el punto de aplicación 
del primero con el extremo del último.
 = + + + 
¡Para hallar el módulo R, debemos valernos 
de la geometría del polígono!
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- 34 -
 Física
Casos particulares: 
• Si los vectores forman un polígono cerrado, la resultante será nula. 
 = + + + = 
 = (Vector nulo)
• Para el caso en que el polígono resulte ser un triángulo, se cumple la ley de 
senos para los módulos de los vectores. 
 
 
1.5.2.2 Resta de vectores 
Al igual que en el caso de los números, la resta es una operación derivada de 
la suma. Restar dos vectores consiste en sumarle al primero, el vector opuesto 
del segundo: – = + (– ). Gráficamente si empleamos el método 
del paralelogramo, la otra diagonal del paralelogramo obtenido representa la 
sustracción de los dos vectores, y dependiendo del sentido se tratará de – , 
si el punto de aplicación comienza en el final del vector , o – , si el punto 
de aplicación lo colocamos en el extremo del vector A.
 = – 
 D = 
 
a
a
q
b
 = = (Ley de senos)
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Capítulo 1: Magnitudes de la Física y Vectores
1.5.2.3 Producto de un vector por un escalar
El resultado de multiplicar un escalar (número real) c por un vector A, expresado 
analíticamente por cA, es otro vector con las siguientes características:
1.- Tiene la misma dirección que A (son paralelos).
2.- Su sentido coincide con el de A, si c es un número positivo, y es el opuesto, 
si c es un número negativo.
3.- El módulo es c veces la longitud que representa el módulo de A. (Si c es 0 el 
resultado es el vector nulo.
1.5.3 Representación de un vector por coordenadas y componentes 
 rectangulares 
En el plano cartesianol (x-y) un vector se puede representar de dos formas:
 Por coordenadas: 
 = (u,v) 
 Por vectores unitarios:
 = u + v o
 = x + y
“ es el vector unitario en la dirección x ” ( | | = 1 )
“ es el vector unitario en la dirección y ” ( | | = 1)
“ x y y son las componentes de o vectores componentes rectangulares de ”
v
y
x
q
P(u,v)
u
c c
Si c > 0 Si c < 0
y
x
o
 
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- 36 -
 Física
Luego, cualquier vector V se puede descomponer en dos vectores: Vx y Vy. Susrespectivos módulos (del gráfico) vienen dados por: 
 Vx = V.cos q (componente rectangular de V en el eje x)
 
 V
y
 = V.sen q (componente rectangular de V en el eje y) 
Además: 
 V = Vx
2 + V
y
2
Vectores en el espacio 
En el espacio tridimensional un vector se puede representar de dos maneras distintas 
(análogo al espacio bidimensional).
 = (u, v, w) = ( Vx , Vy , Vz )
 = u + v + w
“ es el vector unitario en la 
dirección Z” (| | = 1)
 “ x, y y z son las componentes del vector ”
 = x + y + z
 V = 
Observación: “Las propiedades y métodos estudiados para vectores en dos 
dimensiones se extienden también para los vectores en tres dimensiones”
x
z
y
P (u,v,w)
o
v
w
u
y
 
z
x
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- 37 -
Capítulo 1: Magnitudes de la Física y Vectores
Suma de vectores por el método de las componentes 
También llamado método algebraico. Éste es otro de los métodos que se usan para 
sumar vectores. En este método se descomponen cada uno de los vectores a sumar 
en sus respectivos vectores componentes rectangulares. Luego, las componentes 
rectangulares del vector resultante: x y y , se determinan de la siguiente manera: 
- x es igual a la suma algebraica de los vectores en el eje x . 
 x = Σ vectores en el eje x
- 
y
 es igual a la suma algebracia de los vectores en el eje y. 
 
y
 = Σ vectores en el eje y
- Como consecuencia el módulo de la resultante será :
 R = 
 
Por ejemplo, para tres vectores: 
Sean , y los vectores que deseamos sumar: 
x = x + x + x 
 Rx = Ax + Cx – Bx
y
 = 
y
 + 
y
 + 
y
 R
y
 = A
y
 + B
y
 – C
y
 R = 
y
x
y
x
y
x
y
x
• Regla de signos 
Por convención, los vectores que tienen el sentido apuntando a los ejes 
x+ e y+ se consideran con signo mas (+) , en caso contrario apunten a 
los ejes x- e y- se considerarán con signo menos (-). 
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- 38 -
 Física
1.6 Operaciones gráficas y analíticas
Aquí presentaremos algunas referencias matemáticas y fórmulas trigonométricas de uso 
frecuente en el estudio de la física.
1.6.1 Funciones y gráficas
Función.- Es una forma de expresión de la relación entre 2 o más cantidades físicas.
Gráfica de una función .- Es la representación de una función en el plano cartesiano 
x-y. Entre las gráficas de funciones más elementales están: la recta y la parábola.
A) La recta, es una función lineal de la forma: 
 y = mx + b 
donde:
 y , x : cantidades físicas (variables)
 m : pendiente
 b : intercepto con el eje y
Pendiente : m = = tan q
Longitud o distancia entre 2 puntos: d
(P1,P2)
 = 
Posiciones relativas entre dos rectas (L
1
 y L
2
): 
 Paralelismo Ortogonalidad
 
 L
1
 // L
2
 ⇔ m
1
 = m
2
 L
1
 ⊥ L
2
 ⇔ m
1
 . m
2
 = – 1
x
1
x
y
q
x
2
P
1
P
2
y
2
y
1 (x
1
;y
1
)
(x
2
;y
2
)
L
2
L
1
y
x
 
q
L
1
q
L
2
y
x
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Capítulo 1: Magnitudes de la Física y Vectores
B) La parábola, es una función cuadrática de la forma: 
 y = Ax2 + Bx + C ; A, B, C ∈ IR
Cuando el eje de la parábola es 
paralelo al eje y, la función es de 
la forma:
y = a (x – h)2 + k
Si: a > 0: parábola se abre hacia arriba
 a < 0: Parábola se abre hacia abajo
1.6.2 Relaciones trigonométricas
Razones trigonométricas de un ángulo agudo a:
 sen a = cos a = tan a = 
 csc a = sec a = cot a = 
Identidades trigonométricas:
• tan a = 
• sen2 a + cos2 a = 1; sec2 a – 1 = tan2 a
• sen(a ± b) = sen a.cos b ± cos a.sen b
• cos(a ± b) = cos a.cos b m sen a.sen b
• sen a ± sen b = 2sen . cos
y
r
x
h
x
k
y
Parábola
Vértice (h;k)
Eje de la Parábola
α
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- 40 -
 Física
• cos a + cos b = 2 cos .cos
• cos a – cos b = – 2 sen .sen
• sen a.sen b = [cos(a – b) – cos(a + b)]
• cos a.cos b = [cos(a – b) + cos(a + b)]
• sen a.sen b = [(sen(a – b) – sen(a + b)]
• sen 2a = 2 sen a.cos a ; cos 2a = cos2a – sen2a
• sen2 = ; cos2 = 
1.6.3 Triángulos rectángulos notables
Sea k un número real cualquiera (no nulo).
K
60º
30º 45º
45º
37º
53º
74º
82º
8º
2 K
K
K
K 4 K
3 K
5 K
7 K
24 K
25 K 5 K
7 K
K
K
16º
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Capítulo 1: Magnitudes de la Física y Vectores
Ángulo 
notable
sen cos tan
30º
60º
45º 1
37º
53º
16º
74º
8º
82º 7
Razones trigonométricas de ángulos notables
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- 42 -
 Física
Problemas Resueltos
VECTORES
 1. Calcular el módulo del vector resultante 
para los vectores establecidos.
SOLUCIÓN:
Sea la resultante de los dos vectores con 
módulo igual a 1. Aplicando el método 
del paralelogramo: 
y = 
 ⇒ y = 1
Ahora tenemos solo dos vectores:
Aplicando nuevamente el método del 
paralelogramo:
R2 = 12 + ( )2 + 2(1)( ).cos45º
 \ R = u 
 2. Sea “G” el baricentro del triángulo. Si el 
vector resultante para los mostrados es n , 
halle “n”.
SOLUCIÓN:
Sea el vector resultante “ ”:
 = + + … (i)
(Propiedades del baricentro)
 = ; = 
Ahora tenemos en el triángulo GMN:
 ⇒ = + 
 ⇒ + = 
Reemplazando en (i):
 = + ( + ) = + 
⇒ = = n
 \ n = 
105º
15º
1 u
 u
60º 45º
15º
1
1
45º
y 
= 
1
G
G
P
Q N
M
G
M
N
1 u
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- 43 -
Capítulo 1: Magnitudes de la Física y Vectores
 3. Determinar el vector , en función de los 
vectores y .
SOLUCIÓN:
En el triángulo PQR:
 = + … (i)
En el triángulo PRS:
 = + … (ii)
De (i) y (ii):
 – = – 
 \ = 
 
 4. Calcular el valor de “ ”, tal que la suma 
de los vectores mostrados sea de módulo 
 u.
SOLUCIÓN:
Sean los vectores , y :
Donde: y son los vectores unitarios 
de los ejes x e y’ respectivamente.
En el triángulo MPN:
 = – 3 = – 3 – 3 … (i)
En el triángulo PNR:
 = + 1 = – 3 + 1 … (ii)
Por condición del problema: 
| + + | = u
Reemplazando de (i) y (ii):
 + + = (– 3 – 3 ) – 3 + (– 3 + 1 )
⇒ + + = – 9 – 2
Por el método del paralelogramo:
⇒ ( )2 = 92 + 22 + 2(9)(2).cos 
⇒ cos = 
 \ = 60º
 
 
 
 
 
 
P
Q
R
S
 
3 u
 =
 –
 3
 – 3 1
M R
P
y’
x
 
1 u
N
3 u
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- 44 -
 Física
 5. Encuentre el módulo de la resultante de 
los vectores y , donde = + y 
 = – . Además | | = 8 u, | | = 7 u 
y forman un ángulo de 60º.
SOLUCIÓN:
Ambos vectores y forman 60º. 
Gráficamente se tiene: 
Ahora trasladamos el vector + y 
usamos el método del polígono:
 = ( – ) + ( + )
⇒ = 2
⇒ | | = |2 | = 2| | = 2(8) 
 \ R = 16 u
 6. Dos vectores y forman entre si un 
ángulo de 45º y | | = B = u. Hallar el 
módulo de = + , sabiendo que 
y forman un ángulo de 30º.
SOLUCIÓN:
En este caso, 
usaremos una 
construcción 
g e o m é t r i c a , 
con ayuda de 
los triángulos 
notables.
Hallamos la resultante por el método 
del paralelogramo:
El vector es paralelo a , por ello, el 
ángulo Q P = 45º.
Además: | | = B = u
Como el triángulo OQP es notable (45°):
 | | = = k
⇒ k = = | | = | |
Para hallar | | = | | usamos el 
triángulo notable MQP (30° y 60°):
 | | = = k
⇒ | | = 2 k = 2( )
 \ R = 2 u
60º
 
 + 
 
60º
 – 
⇒
y
60º
 
 – 
 
 
 + 
 
 
8
7
45º
45º
 = 
 + 
30º
M O P
QN
B 
= 
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- 45 -
Capítulo 1: Magnitudes de la Física y Vectores
 
 7. Dos vectores de módulos “a” y “2a” 
forman un ángulo de 60º y suresultante es 
de módulo “R”. Hay otro vector de módulo 
“S” que actúa en el origen de la resultante, 
con S > R. Si el máximo y mínimo valor 
de la resultante total de y es 26 u y 
12 u respectivamente, hallar “a”.
SOLUCIÓN:
En total tenemos tres vectores, pero se 
pueden reducir a solo dos, si sumamos los 
que forman 60º (vector de modulo “R”):
Para dos vectores de módulos “R” y “S” 
sabemos que:
 Resultante máxima = S + R = 26 u
 Resultante mínima = S – R = 12 u
 ⇒ 2 S = 38 
 Luego: S = 19 u y R = 7 u
Calculamos la resultante “R” usando la 
ley de cosenos:
 R = 
⇒ R = 
⇒ R = a
Finalmente igualando: 
 R = 7 = a
⇒ a = 
 \ a = u
 8. Si el módulo de un vector es “a”. Hallar el 
módulo de otro vector que forme 127º con 
el primero de manera que la resultante de 
ambas sea mínima. (El módulo de este 
vector desconocido en función de “a”).
SOLUCIÓN:
El módulo del vector buscado “ ” puede 
ser:
Vemos que la resultante es mayor cuando a 
es menor o mayor que 90º .
Por lo tanto, la resultante mínima se 
obtiene cuando a = 90º:
En el triángulo notable MNP:
 
 sen 37º = = 
⇒ b = 
 \ b = 0,6 a
60º
2a
a
S
¡S esta colocado 
arbitrariamente 
pues no sabemos 
su dirección!
a
a
a
a
R MI
N
127º
b
a
P
N
M
37º
b
a
b
Posibles 
resultantes
Posibles 
127º
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- 46 -
 Física
 9. Se muestra un cubo de lado “a”. Hallar 
| – | si los extremos de ambos vectores 
parten de los puntos medios de las aristas.
SOLUCIÓN:
Como solo nos interesa el módulo, 
podemos “desplazar” el vector según 
nuestra conveniencia. ¡Pero sólo a 
direcciones paralelas a éste!
Sea el vector que va de N a P . 
 = 
Luego, del gráfico: 
 = + (– ) = – 
⇒ R = | – |
Aplicando el teorema de Pitágoras en el 
triángulo rectángulo PMN: 
R = = 
 \ R = 
 10. Si la resultante de los vectores mostrados 
es nula. Hallar el ángulo “a”.
SOLUCIÓN:
En este caso los vectores forman un 
polígono cerrado de 3 lados (triángulo).
Para hallar “a”, primero calculemos el 
valor del angulo “x”:
Aplicando la ley de cosenos:
 70 = 
⇒ 4900 = 900 + 2500 – 3000.cos x
⇒ – 1500 = – 3000.cos x
a
–a/2
a/2
M N
P
30 u 50 u
70 u
a65º
30 u
50 u
a65º
70 u x
a
//
//
x
y
y
x
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- 47 -
Capítulo 1: Magnitudes de la Física y Vectores
⇒
 
 cos x = 
⇒ x = 60º
Usando la propiedad del ángulo llano: 
 x + a + 65º = 180º
⇒ (60º) + a + 65º = 180º
 \ a = 55º
 11. Dados 2 vectores y que forman 60º y 
| | = 2| |. Hallar el ángulo que forman 
los vectores: = + y = – .
SOLUCIÓN:
Los vectores y que forman 60º y 
cuyos módulos cumplen: a = 2b, satisfacen 
la condición de formar un triángulo 
notable de 30° y 60° (por semejanza de 
triángulos).
En el siguiente gráfico ubicamos los 
vectores y . Sea “ ” el ángulo 
formado por la interseccion de ambos:
En el triángulo rectángulo sombreado: 
 cos q = 
⇒ cos q = 
⇒ cos q = 
Módulo de = + :
 | | = 
⇒ u = 
⇒ u = b
Módulo de = – :
 | | = 
⇒ v = 
⇒ v = b
⇒ cos q = = 
 \ q = arc cos
60º
PO
M
Q 
RP
q
q
M
O 
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- 48 -
 Física
 12. El módulo de la resultante de los vectores 
mostrados es R = 15 m. Hallar q si 
AM = MB, AC = 9 m y BD = 12 m.
SOLUCIÓN:
Podemos descomponer y 
ayudándonos de la geometría del 
triángulo:
 = + 
 = + 
 = + 
⇒ = ( + ) + ( + )
Como | | = | | (M es punto medio) y 
poseen sentidos opuestos:
 + = 0
⇒ = + 
Hallando “α”: (Por dato: | | = R = 15 m)
Por ley de cosenos:
 R = 
⇒ 152 = 81 + 144 + 216.cos a
⇒ 0 = cos a
⇒ a = 90º
Usando la propiedad de la suma de 
ángulos en un triángulo:
 a + q + 64º = 180º
⇒ (90º) + q + 64º = 180º
 \ q = 26º
 13. Si el módulo de la resultante del sistema de 
vectores mostrado es 6 u y el triángulo
ABC es equilátero de lado 5 u. Además 
| | = 5 u. Hallar el valor del ángulo x.
64º q
BA M
C D
9 m 12 m
a
64º
M
| | = 9 m | | = 12 m
a
60º x 60º
B
5 u
A CP
q
O
Q
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Capítulo 1: Magnitudes de la Física y Vectores
 
SOLUCIÓN:
Podemos reducir el sistema de seis a sólo 
dos vectores. Del gráfico tenemos:
 + = y
 + = 
La resultante del sistema se reduce a:
 = 2( ) + 2( )
La resultante del sistema vendrá dada por 
la suma de los vectores 2 y 2 , 
ambos de módulo igual a 10:
Por ley de cosenos:
R = 
(Por dato: R = 6 u)
⇒ (6 )2 = 200 + 200cos α
⇒ 160 = 200cos α
⇒ cos α = ⇒ α = 37°
Sumando los ángulos interiores en el 
triángulo ABP:
 α + 60º + x = 180º
⇒ (37º) + 60º + x = 180º
 \ x = 83º
 14. En el gráfico se muestran tres vectores. Si 
la componente de la resultante en el eje x 
(Rx ) es 10 u, calcule el ángulo “α”.
SOLUCIÓN:
Descomponemos los vectores en sus 
componentes rectangulares:
x
B
A CP
5
5
O
α
α
10
10
12 u 52 u
12 sen α 52 sen α
52 cos α
20 sen α
20 cos α
12 cos α
20 u
αα
α
Q
5
5
y
x
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- 50 -
 Física
Solo nos interesa Rx:
Rx = 52 cos α – 12 cos α – 20 cos α
⇒ Rx = 20 cos α
(Por dato: Rx = 10). Reemplazando:
⇒ 10 = 20 cos α ⇒ = cos α
\ α = 60º
 15. Si la resultante en el sistema mostrado es 
nula. Hallar el ángulo “x”.
SOLUCIÓN:
Antes de descomponer los vectores 
debemos hallar el valor de “b”:
 tan 37º = b/8
⇒ b = 8.tan 37º
⇒ b = 8.(3/4) = 6
Descomponiendo los cuatro vectores:
• El vector – 6 + 8 tiene componentes 
6 en el eje X y 8 en el eje Y.
• Para descomponer , se define “ ”:
 
Como la resultante es nula:
 R
y
 = 8 + 6 – A sen q – 10 cos 45º = 0 … (i)
 Rx = 8 + A cos q – 6 – 10 sen 45º = 0 ... (ii)
De (i):
14 = A sen q + 10 .
⇒ 14 = A = A sen q + 10 ⇒ A sen q = 4
De (ii):
2 + A cos q = 10 .
⇒ 2 + A cos q = 10 ⇒ A cos q = 8
Dividiendo ambos resultados:
 = 
⇒ tan q = 
⇒ q = 
Reemplazando:
 x = 37º + 
 \ x = 100,5º
37º
45º
x
(8;b) – 6 + 8 
10 u
37º
b
Asen q
10 cos 45º
10 sen 45º
6
8
6 8
Acos q
37º
A
(8;6)
q
En el gráfico:
x = 37º + q
x
y
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- 51 -
Capítulo 1: Magnitudes de la Física y Vectores
 16. Los vectores de la figura representan 
fuerzas. Hallar el valor del ángulo “x” y 
el módulo de la resultante, sabiendo que 
ésta se encuentra sobre la línea de acción 
de la fuerza de 90 N.
SOLUCIÓN:
Podemos simplificar el problema rotando 
los tres vectores un ángulo de 12º:
“La resultante ( ) estará sobre la línea 
de acción de la fuerza de 90 N, que ahora 
está en la dirección del eje Y.”
Descomponiendo el vector de 100 N:
Como R = R
y
 ⇒ Rx = 0
12º
12º
100 N
80 N
90 N
x
x–
12
º
100 N
80 N
90 N
100 cos(x–12º)
100 sen(x–12º)
90 N
80 N
⇒ Rx = 80 – 100 sen(x – 12º) = 0
⇒ 80 = 100 sen(x – 12º)
⇒ sen(x – 12º) = 
⇒ x – 12º = 53º \ x = 65º
Para la resultante: 
 R = R
y
 = 90 – 100 cos(65º – 12º)
⇒ R = 90 – 100 cos 53º
⇒ R = 90 – 100.
 \ R = 30 N
 17. Calcular | – 2 |, para los vectores 
mostrados:
SOLUCIÓN:
Graficamos el vector – 2 , así:
Luego sumamos ambos vectores: y – 2 .
Y calculamos su módulo, así:
| – 2 | = 30
 \ | – 2 | = 30 u
40º
10º 
 
30 u
90 u
40º
40º
120º
60
 = 
30
(2)
30
50º 10º90 = 30(3)
 
 
// //
x
y
– 2 
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- 52 -
 Física
 18. En la figura se muestra un triángulo 
rectángulo isósceles ABC, donde G es el 
baricentro de éste. Si se cumpleque: 
| + 3 | = 8 u, hallar | |.
SOLUCIÓN:
Como el baricentro es la intersección de 
las medianas de un triángulo. Si trazamos 
, se cumple que: | | = | | = 
Usamos ahora la propiedad del baricentro: 
 = 
Como: 
| | = b ⇒ | | = 
Además: 
| | = | | + | | = + b = b
En la figura tenemos que:
 = + + = 
⇒ | | = = 
⇒ | | = 4 u
Como el triángulo rectángulo ABC es 
isósceles (notable de 45º):
 | | = | | = a
 | | = 4 = a 
 \ a = 4 u
 19. En el hexágono regular de lado “a”, halle 
el módulo del vector: 
 = – + + – 
SOLUCIÓN:
 = – + + – 
⇒ = ( + ) + ( – ) – 
De la figura, reemplazamos: 
⇒ = + – = 2 – 
A
B
C
G
/2
A
B
C
G
/2
/2
M
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- 53 -
Capítulo 1: Magnitudes de la Física y Vectores
 
Vemos que:
 + = 
 – = 
Tanto como – forman un triángulo 
rectángulo notable de 30° y 60°: 
Como |– | = | | = a 
⇒ | | = a 
Finalmente la resultante | |:
 | | = 
⇒ | | = 
 \ | | = a
 20. En la figura se muestran dos vectores:
 = 3 + 2 y = 2 – 3
 Si | | = 30 u y | | = 25 u. Hallar | |, 
donde = 7 – 4 .
SOLUCIÓN:
Tenemos que usar y para hallar :
 + 2 = 3 + 2 + 2(2 – 3 )
⇒ + 2 = 3 + 2 + 4 – 6
⇒ + 2 = 7 – 4
⇒ + 2 = 
Entonces, podemos construir gráficamente:
“El vector 2 es paralelo a , por lo 
tanto el ángulo no varía”
Por ley de cosenos:
 | | = 
⇒ | | = 
⇒ | | = 
 \ | | = 70 u
– 
VU
W
– 
30º
60º
– 
U
|– | = a 
60º
 
2
 
60º
|2 | = 2a 
 =
 2
 –
 
 
V
W
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- 54 -
 Física
 21. Calcular el vector resultante en el cubo de 
lado igual a 1 u.
SOLUCIÓN:
Descomponiendo los vectores y en sus 
respectivas componentes rectangulares:
Del gráfico:
 = 1 – 1
 = 1 – 1 + 1
⇒ + = 2 – 1
⇒ | + | = 
 \ | + | = u
22. Los vectores , y ubicados sobre 
un rombo de lado “L” constituyen una 
resultante cuyo módulo es “2L ”. 
Determinar el módulo de para tal 
efecto, si M y N son puntos medios y la 
resultante pasa por la diagonal mayor.
SOLUCIÓN:
Descomponemos los vectores , y 
en las direcciones de los ejes x e y’:
Del gráfico:
 = + L
 = L – 
 = x
1
 + x
2
– 1
1
– 1
1
1
y
z
x
 
 
 
M
N
120º
120º
L
L –
x 2
x 1
y’
x
( ) 
(
) 
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- 55 -
Capítulo 1: Magnitudes de la Física y Vectores
⇒ + + = + 
La resultante ( ) pasa por la diagonal 
mayor y biseca el ángulo de 60º
Observando del gráfico, los triángulos 
OPT y OQT son congruentes:
⇒ + x
2
 = + x
1
⇒ x
2
 – x
1
 = L … (i)
Aplicando el método del paralelogramo
(2L )2 = 2 + 2 cos 60º
⇒ 2 L = 
⇒ x
2
 = 
Reemplazando en (i):
⇒ x
1
 = 
Finalmente tenemos:
 = x
1
 + x
2
 = + 
⇒ | |2 = + + 2 cos 60º
\ | | = 
 23. Sea ABC un triángulo equilátero de lado 
igual “a”. Si el lado se divide en “n” 
partes iguales por “n – 1” puntos, que 
representan los extremos de los “n – 1” 
vectores trazados desde el vértice A. 
Calcular el módulo del vector resultante (R).
SOLUCIÓN:
Si descomponemos el primer vector:
 
1
 = – a
Si descomponemos los dos primeros 
vectores y los sumamos:
2
 = – a + 
1
Si descomponemos los “n – 1” vectores y 
los sumamos:
 = (n – 1) – a + ... 
2
 + 
1
Reemplazando y simplificando:
 = (n – 1)a + [1 + 2 + ... + (n – 1)]
⇒ = (n – 1)a + 
⇒ = (n – 1)a + 
 + x
2
 + x
1
2L
30º30º
y’
x
O
(a/n)
– a
60º
B
A
y’( )
C
P
Q
T
x( )
(2a/n)
. . . .
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- 56 -
 Física
Gráficamente:
Aplicando el método del paralelogramo:
R = 
 \ R = (n – 1) a
 24. Dado el sistema de vectores. Hallar el 
módulo de la resultante si: 
| | = 2 u , | | = 10 u y | | = 10 u
SOLUCIÓN:
Observamos que los ángulos que forman 
los vectores con los ejes no son notables. 
Entonces cambiamos nuestros ejes de 
coordenadas x–y por x’–y’, tal que el eje 
y’ coincida con el vector .
Descomponiendo los vectores en x’–y’:
En el eje y’:
Ry’ = | | – | |sen 45º – | |sen 53º
Reemplazando valores:
⇒ Ry’ = 10 – 2 – 10
⇒ Ry’ = 0 u
En el eje x’:
Rx’ = | |cos 45º – | |cos 53º
⇒ Rx’ = (2 ) – (10) 
⇒ Rx’ = – 4 u
Luego la resultante será:
R = 
⇒ R = 
 \ R = 4 u
(n – 1)a
y’
x
120º
 
25º 20º
28º
| |sen45º
|
|co
s4
5º
|
|
| |sen53º
|
|co
s5
3º
 
25º
45º
28º
y’
y
x’
x
25º
x
y
x’
y’
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- 57 -
Capítulo 1: Magnitudes de la Física y Vectores
 26. Hallar una expresión para la velocidad 
(v) de una onda mecánica que se propaga 
en una cuerda. Experimentalmente se ha 
encontrado que depende de la tensión (t) 
de la cuerda y de la densidad lineal (m). 
SOLUCIÓN:
La tensión tiene unidades de fuerza: 
[t] = [fuerza] = MLT–2
Para m tenemos: [m] = = ML–1
Supondremos la fórmula para “v”:
 v = ltxmy ... (i)
(donde l = constante numérica) 
⇒ [v] = [l][tx][my]
⇒ [v] = 1.[t]x[m]y
⇒ LT–1 = (MLT–2)x(ML–1)y
⇒ LT–1 = Mx.Lx.T–2x.My.L–y
⇒ LT–1 = Mx+y.Lx–y.T–2x
 25. Calcular el ángulo y el módulo de la 
fuerza resultante, sabiendo que ésta se 
encuentra sobre la fuerza de 40 N.
SOLUCIÓN:
Como no hay ángulos notables, 
cambiamos convenientemente los ejes de 
coordenadas:
Como la fuerza resultante “ ” se 
encuentra sobre el eje x’; entonces la 
resultante sobre el eje y’ deberá ser cero:
Ry’ = 24 – 30 cos( + 20º) = 0
⇒ cos( + 20º) = = cos 37º
\ = 17º
24 N
30 N
40 N
20º
20º
y
x
30 co
s ( +
 20º)
30 se
n ( +
 20º)
30 + 20
º
40
24 x’
y’
Para la resultante:
 Rx’ = 40 – 30sen( + 20º)
⇒ Rx’ = 40 – 30sen 37º
⇒ Rx’ = 40 – 30 = 22 N
Finalmente:
 R = 
⇒ R = 
 \ R = 22 N
ANALISIS DIMENSIONAL
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 Física
Igualando los exponentes:
• L1 = Lx–y ⇒ x – y = 1 ... (ii)
• M0 = Mx+y ⇒ x + y = 0 ; x = – y ... (iii)
• T–1 = T–2x ⇒ – 2x = – 1 ... (iv)
 ⇒ x = 
Reemplazando (iv) en (iii):
 (– y) – y = 1
⇒ y = – 
Reemplazando valores en (i):
 v = lt1/2 m–1/2
⇒ v = l 
 \ v = l
 27. Si justo después del BIG BANG se mide 
el tiempo de Planck (t
p
) dado por: 
t
p
 = Ca.Gb.hd , donde:
C = 3 x 108 m/s
G = 6,67 x 10–11 Nm2/kg2 
h = 6,63 x 10–34 J.s ; hallar el “t
p
” estimado.
SOLUCIÓN:
Aquí C, G y h son constantes físicas
[C] = LT–1
[G] = M–1L3T–2
 [h] = ML2T–1
Las dimensiones, en la fórmula, son:
[t
p
] = [Ca][Gb][hd]
M0L0T1 = 1. [C]a [b]b [h]d
M0L0T1 = (LT–1)a. (M–1L3T–2)b. (ML2T–1)d
M0L0T1 = La.T–a.M–b.L3b. T–2b. Md. L2d. T–d
M0L0T1 = La+3b+2d . Md–b . T–a–2b–d
Igualando los exponentes:
De:
 M0 = Md–b ⇒ d – b = 0 ; d = b … (i)
 L0 = Ma+3b+2d ⇒ a + 3b + 2d = 0 … (ii)
 T1 = T–a–2b–d ⇒ – a – 2b – d = 1 … (iii)
Reemplazando (i) en (ii):
a + 3b + 2b = 0
⇒ a + 5b = 0 … (iv)
Reemplazando (i) en (iii):
– a – 2b – b = 1
⇒ – a – 3b = 1 … (v)
Sumando (iv) y (v):
 a + 5b = 0
– a – 3b = 1
⇒ 2b = 1
⇒ b = = d
En (iv): a + = 0 ⇒ a = – 
Reemplazando a,b y d en la fórmula:
⇒ t
p
 = .C–5/2 . G1/2 . h1/2
⇒ t
p
 = 
⇒ t
p
 = 
\ t
p
 = 5,34.10–44 s
(+)
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Capítulo 1: Magnitudes de la Física y Vectores
 28. Dada la ecuación: 
W = BL2sen + B2.q 
donde: W = energía ; L = longitud
Si esta ecuación es dimensionalmente 
homogénea, hallar las dimensiones de 
“B” y “q”.
SOLUCIÓN:
Para la energía: [W] = ML2T–2
En la ecuación, cada sumando tiene las 
mismas dimensiones:
[W] = [B][L2] … (i)
[W] = [B2][q] … (ii)
De (i):[W] = [B] [L]2.1
⇒ ML2T–2 = [B].L2 
 \ [B] = MT–2 
Hallando [q], de (ii):
 [W] = [B]2[q]
⇒ ML2T–2 = (MT–2)2[q]
⇒ ML2T–2 = M2T–4[q]
⇒ [q] = 
 \ [q] = M–1 L2 T2
 29. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente 
correcta, hallar las dimensiones de “A”.
 = 
Donde: 
B = fuerza; m
o
 = masa; g = aceleración; 
W = trabajo y V = volumen
SOLUCIÓN:
Por el principio de homogeneidad; sen q y 
sen φ tienen las mismas dimensiones:
 [sen q] = 
⇒ 1 = [sen φ]
⇒ 1 = (1)
⇒ [W] = [A] [V] ⇒ [A] = 
Sabemos que: [W] = ML2T–2
 y [V] = L3
⇒ [A] = 
 \ [A] = ML–1T–2
 30. En la ecuación dimensionalmente correcta: 
Sx + Vy2 + H = 
Hallar las dimensiones de x e y; si: 
S: área ; V: volumen ; p: presión y 
m
o
: masa.
SOLUCIÓN:
Por el principio de homogeneidad las 
dimensiones de cada término son las 
mismas:
[Sx] = [Vy2] = [H] = 
Determinando las dimensiones de x:
 [Sx] = [H]
⇒ [x] = ... (i)
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 Física
Para [H]:
[H] = 
Por el principio de homogeneidad: 
[p – fa] = [p] = [fa] 
⇒ [H] = = 
⇒ [H] = (L–1T–2)2 ⇒ [H] = L–2T–4
Reemplazando en (i):
[x] = = 
 \ [x] = L–4T–4
Hallando las dimensiones de y:
 [Vy2] = [H]
⇒ [y]2 = ⇒ [y] = 
⇒ [y] = 
⇒ [y] = L–5/2 . T–4/2 
 \ [y] = L–5/2T–2
 31. Si la siguiente expresión es dimensional-
mente homogénea:
P = qz.R–y.Sx
Donde:
 P: presión q: fuerza
 R: volumen S: longitud
Hallar: “x – 3y”
SOLUCIÓN:
Se sabe que:
[P] = ML–1T–2 [q] = MLT–2
[R] = L3 [S] = L
En la expresión:
 P = qzR–ySx
⇒ [P] = [q]z[R]–y[S]x
Reemplazando:
 ML–1T–2 = (MLT–2)z(L3)–y(L)x
⇒ ML–1T–2 = MzLz–3y+xT–2z
Comparando los exponentes:
• M = Mz ⇒ z = 1
• L–1 = Lz–3y+x ⇒ z – 3y + x = –1
 ⇒ (1) – 3y + x = – 1
\ x – 3y = – 2
 32. Halle la dimensión de “A” y “B” en la 
siguiente fórmula física.
 = + F
Donde: 
W: trabajo F: fuerza
V: volumen
SOLUCIÓN:
Aplicando el principio de homogeneidad
 = = [F]
Determinando “[A]”:
 = [F]
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- 61 -
Capítulo 1: Magnitudes de la Física y Vectores
⇒ = MLT–2
\ [A] = L
Determinando “[B]”:
 = [F]
⇒ [B] = 
⇒ [B] = 
 \ [B] = M–2LT4
 33. Halle la dimensión de A, B y C en la 
siguiente fórmula física. 
E = AF + Bv2 + C.a
Donde:
E: trabajo F: fuerza
v: velocidad a: aceleración
SOLUCIÓN:
Aplicando el principio de homogeneidad.
[E] = [AF] = [Bv2] = [C.a]
Determinando “[A]”:
[E] = [AF] = [A].[F] 
⇒ [A] = ⇒ [A] = 
 \ [A] = L
Determinando “[B]”:
[E] = [Bv2] ⇒ [B] = 
⇒ [B] = 
\ [B] = M
Determinando “[C]”:
[E] = [C.a] ⇒ [C] = 
⇒ [C] = 
\ [C] = ML
 34. Determinar las dimensiones que debe 
tener “Q” para que la expresión para “W” 
sea dimensionalmente homogénea.
W = 0.5mCx + Agh + BP
Siendo Q = Ax
Además:
W: trabajo h: altura
m: masa P: potencia
C: velocidad g: aceleración
A, B: constantes dimensionales
SOLUCIÓN:
Aplicando el principio de homogeneidad:
[W] = [m][C]x = [A][g][h] = [B][P]
Determinando “[A]”:
[W] = [A][g][h] ⇒ [A] = 
⇒ [A] = = M
Determinando “[B]”:
[B][P] = [W] ⇒ [B] = 
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- 62 -
 Física
⇒ [B] = ⇒ [B] = [t]
⇒ [B] = T
Determinando “x”:
 [W] = [m][C]x
⇒ (ML2T–2) = M(LT–1)x
⇒ ML2T–2 = MLxT–x
⇒ x = 2
Finalmente en “Q”:
 [Q] = [A]x[B]1/x
⇒ [Q] = MxT1/x
 \ [Q] = M2T1/2
 35. Si la siguiente ecuación es dimensional-
mente homogénea:
a = vtx(1 + ky–x)
Hallar: “x – 2y”
Siendo:
a: aceleración; t: tiempo y
v: velocidad
SOLUCIÓN:
Dimensionalmente se tiene:
 [1] = [k]y–x ⇒ 1 = [k]y–x
⇒ y – x = 0 ⇒ y = x
Luego:
 a = vtx(1 + ky–y)
⇒ a = 2vtx
Dimensionalmente:
⇒ [a] = [2][v][t]x
⇒ LT–2 = (1)(LT–1)(T)x
⇒ LT–2 = LT x–1
⇒ – 2 = x – 1 ⇒ x = – 1
Como y = x ⇒ y = –1
Piden “x – 2y”. Reemplazando: 
x – 2y = (– 1) – 2(– 1)
 \ x – 2y = 1
Conversión de Unidades – Operaciones 
gráficas y/o analíticas
 36. Un cabello humano crece a razón de 1,08 mm 
por día. Expresar este cálculo en Mm/s.
SOLUCIÓN:
 v = = 
 = 
 = 
 = 0,125 x 10–7 
 = 
 \ v = 1,25 x 10–14 
 37. Convertir 1 KW – h a Joule (J) 1 KW = 1 
kilowatt, además Watt = .
SOLUCIÓN:
1 KW – h = KW x h
1 1
1
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Capítulo 1: Magnitudes de la Física y Vectores
⇒ = KW x h x x 
⇒ = 36 x 105 W x s
⇒ = 36 x 105 W x s x 
 \ 1KW – h = 36 x 105 Joule
 38. Convertir 54 km/h a m/s.
SOLUCIÓN:
Para esto recordemos que: 
 1km ≡ 103 m y
 1h ≡ 60 min ≡ 36 x 102 s
⇒ 54 = = 
⇒ = 
 \ 54 = 15
 39. Convertir 30 mA a mA.
SOLUCIÓN:
Recordemos que: 
1 mA ≡ 10–3 A
y 1A ≡ 106 mA
⇒ 30 mA = 30 x 10–3 A
⇒ 30 x 10–3 A = 30 x 103 mA
\ 30 mA = 30 000 mA
 40. Convertir 420 kW/h a dW/s.
SOLUCIÓN:
Recordemos que: 
 1kW ≡ 1000 W 
y 1W ≡ 10–1 dW
⇒ 420 = 420 x 103
⇒ 420 x 103 = 420 x 102
⇒ 420 x 102 = 
\ 420 kW/h = 11,67 dW/s
 41. Convertir 0,32 T/m a mT/cm.
SOLUCIÓN: 
Recordar:
 1 T = 106 mT
 y 1 m = 102 cm
⇒ 0,32 = 0,32 x 106
⇒ 0,32.106 = 0,32 x 104
 \ 0,32 T/m = 3200 mT/cm
1
1
1
1
1
15
1
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 Física
 42. Convertir 151 a Ω/cm2.
SOLUCIÓN:
Recordar:
 1MΩ = 106 Ω
 y 1m2 = 104 cm2
⇒ 151 = 151 x 106
⇒ 151 x 106 = 151 x 102
 \ 151 = 15100 Ω/cm2
 43. Hallar la ecuación de la recta en 
el siguente gráfico. Sabiendo que las 
coordenadas de A son (0;12), además la 
m ฀ ABO es 37º y el punto G es baricentro 
de la región triangular AOB.
SOLUCIÓN:
y
A
G
37º
O B
x
8
12
N
2 a
a
G
37º B
A
y
x
C
O
M
El  AOM es semejante al  ACG:
 = 
Además: OM = 8.
⇒ ON = 8 = 
También por semejanza:
 = 
⇒ GM = 
En la figura: AO = 12. Reemplazando:
⇒ GM = = 4
Luego, el punto G es .
Ahora analizando pendientes:
 m = – = – 
Además ⊥ . Luego:
 m .m
L
 = – 1
⇒ m
L
 = 
Finalmente:
⇒ = 
\ 2x – 3y + = 0 
 44. Hallar la ecuación cartesiana de la recta 
, si es diámetro y además las 
coordenadas de A y C son respectivamente: 
(1;1) y (3;3).
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- 65 -
Capítulo 1: Magnitudes de la Física y Vectores
A(1;1)
C(3;3)
B
B(1;2)
A(6;4)
x
O(0;0)
y
B(1;2)
A(6;4)
y
x
O(0;0)
M(1/2;
1)
D
D
~
~
•
•
SOLUCIÓN:
Del gráfico, la pendiente de es:
m = = 1
Además, como ⊥ (propiedad de la 
semicircunferencia), se cumple:
m .m
L
 = – 1
⇒ m
L
 = – 1
Finalmente, como el punto C ∈ :
 = – 1
 \ x + y – 6 = 0
 45. Se tiene un trapecio ABOD ( // ), 
las coordenadas de A son (6;4) y las de B 
son (1;2). Hallar la ecuación de la recta 
que contiene a la base media del trapecio.
B
C
A
SOLUCIÓN:
Como // (propiedad del trapecio)
⇒ m = m
L
 ... (i)
Además, de la gráfica:
 m = = 
Reemplazando en (i):
⇒ m
L
 = 
El punto medio de es M = (1/2;1), 
el cual pertenece a la recta . Entonces 
reemplazando:
 = 
 \ 2x – 5y + 4 = 0
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 Física
3
–2
y
x
B(3;6)6
–1A(–2;–1)
 47. Hallar la ecuación de la recta que pasa por 
los puntos: A = (– 2; –1) y B = (3; 6); y la 
distancia entre estos dos puntos.
SOLUCIÓN:
Hallamos la pendiente de la recta “m”, 
usando las coordenadas de A y B.
m = = 
La ecuación de la recta queda:
 y = m.x + b
⇒ y = x