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Simetrías y cantidades conservadas Ahora volteemos a ver las formas en que las simetrías llevan a cantidades conservadas. Recordemos que comenzamos con un funcional de la forma f(y; y0; x) satisfaciendo la ecuación de Euler-Lagrange d dx � @f @y0 � = @f @y ; (1.34) con simple generalización al caso en que se tengan más variables dependientes de x en el funcional. La forma más simple de conservación se da cuando el funcional no depende de la variable y. En ese caso se tiene que @f=@y = 0 y entonces d dx � @f @y0 � = 0; (1.35) por lo que @f=@y0 es igual a una constante. Esto lo aprovechamos para el caso de demostrar que la distancia más corta entre dos puntos en el espacio es una recta (la constante es la pendiente de la recta), así como en el caso de la braquistocrona (ahí la constante era p 1=(2a)). Lo que nos interesa por el momento subrayar es que gracias a la presencia de una invariancia en el Lagrangiano ante cierta transformación (en este caso que cambies y por cualquier otro valor), la ecuación relevante queda como @f @y0 = const: (1.36) que se menciona a menudo como primer integral de la ecuación de Euler- Lagrange. Para el caso especí�co en que el funcional es el Lagrangiano L = L( _q�; q�; ; t), y que no dependa de alguna de las coordenadas q�, entonces tenemos que p� = @L @ _q� = const: (1.37) se conoce como momento generalizado. Obviamente, el caso más simple sería el cartesiano. Por ejemplo, supongamos que tenemos una partícula y estamos utilizando coordenadas cartesianas. Si el potencial no depende de la coordenada y, entonces la parcial con respecto a esa coordenada es cero. Y puesto que py = @L=@ _y = m _y, tenemos que la componente de momento en 1 dicha dirección es una constante. Si en general la fuerza sobre la partícula es igual a cero, tenemos que las tres componentes cartesianas de momento lineal son conservadas, resultado ya esperado. Es más interesante ver qué sucede en otros sistemas coordenados. Tomemos el caso de una partícula en un potencial radial, de manera que U = U(r). Entonces, la simetría del sistema te lleva a considerar que las coordenadas más aptas para tratar tal problema son las coordenadas esféricas. De tanto recitarlo, ya debemos saber cómo es la rapidez en coordenadas esféricas, y por lo tanto la forma del Lagragangiano: L = m 2 � _r2 + r2 _� 2 + r2 sin2 � _� 2 � � U: (1.38) Como el potencial es radial, es la única que va a poseer un término de fuerza. La ecuación de Lagrange para las tres componentes (r; �; �) son, respectiva- mente: d dt (m _r) = m � r _� 2 + r sin2 � _� 2 � � dU dr ; d dt � mr2 _� � = mr2 sin � cos � _� 2 ; (1.39) d dt (mr2 sin2 � _�) = 0: Recuerden que antes obtuvimos las componentes en coordenadas esféricas para el vector de aceleración. Por segunda Ley de Newton, dichas compo- nentes llevan a m � �r � r _�2 � r sin2 � _�2 � = Fr; r�� + 2 _r _� � r sin � cos � _�2 = 0; (1.40)� r��+ 2 _r _� � sin � + r cos � _� _� = 0: Comparando las dos tríadas de ecuaciones, vemos que expresan lo mismo. Sin embargo, hay una distinción: En las (1.39) lo que está en paréntesis en la parte izuierda de las ecuaciones, son los momentos generalizados para las coordenadas r, � y �, y lo que está a la derecha de la igualdad son las fuerzas generalizadas. En particular, al comparar las dos primeras relaciones en cada conjunto de ecuaciones, se debe notar que la fuerza radial Fr no es igual a la fuerza generalizada para la coordenada radial, así como que mientras que no 2 hay componente de fuerza en la dirección �, sí que se tiene una componente de fuerza generalizada. Todo esto tendrá relevancia tanto en la unidad sobre fuerzas centrales así como en la que versa sobre sistemas de referencia no inerciales. Para la tercera ecuación, simplemente nótese que la tercera ecuación en (1.39) es más elegante y nos da la integral de la ecuación correspondiente en (1.40): mr2 sin2 � _� es constante. Esto es lo mismo que decir _� = l mr2 sin2 � : (1.41) ¿Recuerdas qué es? Exacto, l es la componente z del momento angular, y de hecho si tuviéramos algo girando en el plano x-y, entonces esto es equivalente a decir que l = mr2!. Para este caso de fuerza central, puesto que podríamos girar el sistema mediante cualquier transformación tipo SO(3), debería ser obvio que las ecuaciones se mantendrían invariante. Esto es lo mismo que decir que las tres componentes de momento angular se conservan. Si la última ecuación de (1.39) no fuera igual a cero, se cumple d dt (mr2 sin2 � _�) = �@U @� : (1.42) Como ya sabemos para estas fechas, el gradiente de U en coordenadas esféri- cas tiene la forma ~rU = @U @r r̂ + 1 r @U @� �̂ + 1 r sin � @U @� �̂: (1.43) En general (1.41) es lo mismo que _� = l=m�2, y de hecho el paréntesis en (1.42) sigue siendo la componente z del momento angular, por lo que podemos reexpresarla como d dt (m�2 _�) = d dt (Lz) = �F�; (1.44) que es interpretada como una componente del momento de fuerza, o torca (véase la versión 2-D en Taylor). Ahora volvamos a las ecuaciones de Euler Lagrange. Como sabemos, f = f(y0; y; x), de manera que tenemos df dx = @f @y0 dy0 dx + @f @y dy dx + @f @x : (1.45) 3 Por la ecuación de Euler-Lagrange, el término del medio puede modi�carse y tenemos df dx = @f @y0 dy0 dx + y0 d dx � @f @y0 � + @f @x ; (1.45) por lo que los dos primeros términos forman una derivada total. Así: df dx = d dx � y0 @f @y0 � + @f @x ; (1.45) Si el funcional no depende explícitamente de x, entonces el último término es cero, por lo que tenemos que y0 @f @y0 � f = const: (1.46) Y esta es una segunda forma integral de el funcional (no aparecen segundas derivadas respexto a x). Como sabemos, para el caso especial de que el funcional es el Lagrangiano y la variable independiente el tiempo, tenemos que esto es el Hamiltoniano, y la cantidad conservada es la energía. En general, como hay más coordenadas posibles, tenemos que el Hamiltoniano está dado por H = p� _q � � L; (1.47) Esta es un caso especial de (el negativo de una) transformación de Legen- dre. Considere la siguiente �gura, en donde mostramos una función arbitraria de x. Un punto dado de la curva está especi�cado a través de (x; f(x)), pero cada punto especí�co de la curva también posee una recta tangente única (dibujada 4 en verde), con forma general y = mx+b, que interesecta a la curva, en donde para cada x tenemos que m = df=dx es la pendiente de dicha tangente y b es el punto en donde dicha recta corta al eje de las ordenadas. Puesto que en general estas dos cantidades variarán, las llamaremos p = df=dx y g en lugar de m y b, respectivamente. Así, la relación entre las variables mencionadas en el punto x arbitrario es g = f � df dx x: (1.48) A esto se le conoce como la transformación de Legendre de la función f con respecto a la variable x. (Si f depende de más variables, hay qué poner derivada parcial en el segundo término.) Nota: La transformación de Legendre aparece en otros lu- gares. Por ejemplo, en termodinámica sabemos que la Primera Ley algunas veces toma la forma dE = TdS � pdV; en donde reemplazamos el calor debido a la de�nición de entropía dS =�Q=T , para procesos reversibles. Esta relación te está di- ciendo por ejemplo que E = E(S; V ), y de manera más impor- tante que @E=@S = T y @E=@V =. Pero en varios sistemas es más útil tener una dependencia distinta. Por ejemplo, pueden ser más útil describir al sistema en términos de (T; V ). Expresando TdS = d(TS)� SdT , tenemos d(E � TS) = SdT � pdV; en donde lo del paréntesis se conoce como energía libre de Helmholtz, F = E � TS. Sin embargo, vemos directamente que esto es pre- cisamente la transformación de Legendre de la energía interna con respecto a la entropía S, ya que sabemos que @E=@S = T y entonces F = E � (@E=@S)S. Algo totalmente análogo sucede para la entalpía H = E +pV , en donde ahora tenemos la transformación respecto al volumen V , o para la función de Gibbs A = E + pV � TS, pero en este caso es la transformadade Legendre respecto al volumen y a la entropía. 5 Como dijimos, el Hamiltoniano es el negativo de la transformación de Legendre con respecto a las velocidades generalizadas, pues (1.47) es lo mismo que H = @L @ _q� _q� � L; (1.49) de tal manera que no se hizo nada con respecto a las mismas coordenadas generalizadas q�. Proximamente veremos que esta expresión es muy similar a una que aparece en el teorema de Noether. De hecho, si notaron, ya apareció algo sobre la conservación de energía, momento angular y energía, desde el punto Lagrangiano. La tía Noether permite una generalización de todo lo anterior. 6
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