Ensenanza-del-algebra-mediante-representaciones-graficas-en-la-solucion-de-problemas

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AUTÓNOMA 
PROGRAMA DE MAESTRÍA Y DOCTORADO EN PSICOLOGÍA 
RESIDENCIA EN PSICOLOGÍA ESCOLAR 
"ENSEÑANZA DEL ÁLGEBRA MEDIANTE 
REPRESENTACIONES GRÁFICAS EN LA SOLUCIÓN 
DE PROBLEMAS" 
REPORTE DE EXPERIENCIA PROFESIONAL 
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: 
'M A E S T RÍA E N PSI COL O G Í A 
p R E s E N T A: 
RAÚL CASTELLANOS CRUZ 
DIRECTORA: DRA. ROSA DEL CARMEN FLORES MACÍAS 
MÉXICO. D.F. 
JURADO DEL EXAMEN: 
MTRA. HILDA PAREDES DÁVILA 
DRA. GLORIA SILVIA MACOTELA FLORES 
DRA. MA. GUADALUPE MARES CÁRDENAS 
DRA. L1ZBETH VEGA PÉREZ 
DR. MIGUEL LÓPEZ OLIVA 
MTRA .. JUDlTH SALVADOR CRUZ 
SEPTIEMBRE DE 2005 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
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~'racias il/fil/itas a mi Paárej1 rturo por que sin sllapoyo y can"lo 110 ¡ill!jielil sidc) posi6(e esle ¡(1/Jm ell mi 'viera, 
mi amor)' agradecimiento sincero. 
gracias II mis 1I1amvi{{oso (Padres Inés)' }1ffonso por darllle Sil pa.-iencla, t1l11or ,Y (()/~/iúlI:::'1. 
(os 111110 y '''{lIIiro, 
jI mis (¡ermanos}l.!JoI/SO, 'Rpsa, <f,,{e(porque (¡all sidO siempre 1111 ejemp{(l defuen:.t1), Je '{.""(IIIII.ac( 
jI {a memoria de mi (¡erm(lllo j! lItollio (fJa <JlIien llllllca o(vido, 
)1 qui{(e ya '(ani" por ser fi/ellte de paz, a{egria y serenid(ld ellmi 'vi,(a. 
mi amor y gratitlld: 
q!J<JlCI}tS: 
ji. mi tlltom, maestra y llllliga ~sa l(c{ Carmell 'lIores, l/Ii proJulldi., IIjraclCclmiel/!o jI"r t;, (01//,111/ ;;11 que me 
6ri!/{(ó para Gl rea[¡;;acióll l(e este prvyec/o. 
ji. mis profesores de ra 1/Iaestría, Vra. Si{via ~l1.acoteGI, IDr. ~1ig//eí Lájll';;, 'Urll. rJklliídi: ( ·,,6rero. ~·)1 tra. Si/Sal/il 
'EfJilía, Vm. J{ell/;a Seda, Vr. P.SJáolJo (¡/// ierre;:., lOra. L/;;6et{¡ 'rlega, q//imes me 6núlf"clli l l/ //i/{/ o!'ortlll/itf"c¡,f tf"c! 
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}lllárés por compartir tll [J0zo, tus suellos y espera l/zas 
(feoroil/a por tus pa(a6ras {[ellas de ca ríii o y 01'/ imismo 
5I1óIlica por compartir tllS sel/timielltos, areOrías y iristezas col/l/lÍj" 
'E[¡za6etn por lel/er siemprc II//II/il/llto pam eSC/ic{¡orlllc y acol/sejarme 
Cristil/a por 11/ paciellcia y serwidaá compartílf"c! (Eía tras dIO 
1?pciila por tl/ col/fial/za y pa(a6ms {[el/as lre expericl/cia 
)'loradez co a Vios ra oportuniáad de cOllocer a cada Ul10 de ustedes y por [;, ocasiól/ de poder áecir(es: "LOS 
Q'VI'E!R..P 'jl-/'VCJ{O". Siempre serán mis {¡cml,lIlOs. 
I 
íNDICE 
RESUMEN 
INTRODUCCiÓN 
CAPíTULO I 
lAS MATEMÁTICAS EN lA ACTUALIDAD 
1.1. Condiciones actuales de la Educación Secundaria en México 
1.2. las matemáticas en la Educación Secundaria 
1.3. Enfoque 
1.4. Organización de la asignatura 
1.5. Propósitos 
1.6. Solución de problemas 
1.7. Estrategias de Solución de Problemas 
1.8. Resolución de Problemas en Alumnos con Problemas de Aprendizaje 
CAPíTULO" 
ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DEL ÁLGEBRA 
Álgebra y su enseñanza 2.1 
2.2 
2.3 
2.4 
2.5 
2.6 
Resolución de Problemas Algebraicos 
Concepto de Función 
Concepto de Variable 
Dificultades en la Enseñanza-Aprendizaje del Álgebra 
Propuestas de Enseñanza del Álgebra. 
3.1 Pregunta de Investigación 
3.2 Descripción de Variables 
3.3 Tipo de Estudio 
3.4 Objetivo 
3.5 Población 
3.6 Escenario 
3.7 Diseño 
3.8 Procedimiento 
3.9 Ejemplo de una sesión típica 
CAPíTULO 111 
MÉTODO 
lPá9l 
1 
2 
7 
9 
10 
11 
12 
12 
14 
16 
19 
24 
29 
30 
32 
35 
41 
41 
41 
41 
41 
42 
42 
43 
49 
CAPíTULO IV 
ANÁLISIS DE RESULTADOS 
4.1 Descripción de Resultados 
ANEXOS 
REFERENCIAS 
CAPíTULO V 
DISCUSiÓN Y CONCLUSIONES 
48 
53 
69 
76 
90 
RESUMEN. 
La presente investigación tuvo como objetivo que los alumnos analizaran y 
comprendieran problemas algebraicos de una incógnita y lo resolvieran con un 
esquema de solución algebraico a partir del empleo de una estrategia de solución de 
problemas y de representaciones gráficas. Para el logro de este objetivo se enfatizó la 
representación algebraica como la propuesta para resolver problemas. 
Se trabajó con 12 alumnos de Segundo Grado de Educación Secundaria que Asistían al 
PAES (Programa Alcanzando el Éxito en Secundaria). Se formaron dos grupos (Control 
y Experimental); durante la intervención se enfatizó el LISO de representaciones y 
soluciones algebraicas por parte de los alumnos que participaron en el grupo 
experimental. 
Con base en los datos obtenidos se discute la evolución de la representación que va 
desde una representación no canónica a una representación algebraica . 
Finalmente se realiza una reflexión sobre las posibles implicaciones y limitaciones del 
presente trabajo. 
INTRODUCCiÓN 
Durante mucho tiempo la enseñanza de las matemáticas ha sido blanco de diversas 
propuestas y reflexiones teniendo . como principal finalidad que los alumnos logren una 
comprensión y un aprendizaje que les permita no solo memorizar los contenidos y 
aplicar un algoritmo, sino que exista un proceso de comprensión de los significados 
matemáticos. 
Tal y como menciona el Plan y Programa de Educación Secundaria (1993), el propósito 
central de la enseñanza de las matemática es que el alumno aprenda a utilizarlas paré) 
resolver problemas, no sólo con los procedimientos y técnicas aprendidas en la 
escuela, sino también con aquellos cuyo descubrimiento y solución necesitan de la 
curiosidad y la imaginación. Por ello, se han realizado diversas propuestas en las 
cuales la solución de problemas ha sido el medio para que el alumno adquiera las 
habilidades básicas que plantea la Secretaría de Educación Pública (SEP, 1993) como 
son analizar, planear, razonar predecir, verificar y generalizar resultados; elaborar 
conjeturas, comunicarlas y validarlas; identificar patrones y situaciones similares; 
desarrollar la imaginación espacial; así como tener un pensamiento deductivo. 
Por necesidades del propio conocimiento matemático, se ha creado a lo largo de ¡a 
historia una simbología que permite dar al lenguaje matemático brevedad y precisión, 
acompañada de un modo diferente de operar, es el lenguaje algebraico; de pronto los 
alumnos entran en un mundo de significados diferentes, con una sintaxis diferente él la 
que conocían en las expresiones aritméticas. 
El conocimiento matemático comienza a desprenderse de lo concreto y utiliza apoyos 
de abstracción; es así como aparece la necesidad de símbolos nuevos y diferentes de 
ios números. Símbolos que pueden sustituir si se requiere, a un número, o a varios. Son 
las letras: a, b, c, ....... x, y, z. 
2 
El álgebra inicial utiliza unas formas particulares de expresar relaciones entre símbolos 
y uno procedimientos nuevos para los alumnos que les exige capacidad para utilizar el 
razonamiento utiliza'ndo esos símbolos; y esto , se convierte en una barrera para una 
( 
gran cantidad de alumnos. 
Por lo anterior, se han realizado diversas propuestas (Witzel, 20003; Swafford y 
Langrall 2005; Callaghan, 1998; Weaver y Kintsch, 1992; Elichiribehety y Otero, 2004; 
Pizón y Gallardo, 1999) que abordan la enseñanza del álgebra por medio de materiales 
impresos o manipulativos, juegos, programas multimedia , etc., los cuales tienen como 
finalidad que los alumnoslibren el obstáculo y adquieran un significado de una de las 
herramientas más indispensables de las matemáticas. 
Todo trabajo que refiera la enseñanza del álgebra considera dos temas nuevos para el 
alumno, uno es el simbolismo específico (forma de representar expresiones y 
situaciones desconocidas) y el otro es una forma nueva de resolver problemas por 
medío del uso de los símbolos del álgebra que son las ecuaciones. 
Autores como Alcalá (2002) señalan que cua!quíer propuesta de enseñanza del álgebra 
debe considerar los siguientes objetivos: 
• Procurar la ínmersión en el lenguaje algebraico; y 
• Alcanzar cierto dominio en la resolución de problemas desde los procedimientos 
algebraicos, centrándose en la resolución de problemas como eje central en la 
conducción de la resolución de ecuaciones. 
Debido a lo anterior en el presente trabajo se desarrolla un estudio de tipo 
cuasiexperimental, donde el objetivo fue que los a!umnos analizaran y comprendieran 
problemas algebraicos de una incógnita y lo resolvieran con un esquema de solución 
algebraico a partir del empleo de una estrategia de solución de problemas y de 
representaciones gráficas. 
3 
La investigación se dividió en tres fases: Conformación de los grupos del diseño de 
investigación y evaluación inicial; en trenamiento en estrategias de Solución de 
problemas por medio del tablero y Evaluación final de los grupos. 
La fase de intervención se diseño a partir del uso de apoyos concretos y a través de !a 
propuesta de Pallincsar y Brown (1989) de enseñanza recíproca; es decir, resolver los 
problemas del álgebra en una situación de aprendizaje cooperativo medianie la 
asignación de diversos roles (análisis y planificación, ejecución y monitoreo, y 
evaluación de la solución). 
El presente reporte consiste en dos partes: la primera parte incluye la revisión teó¡ica y 
en la segunda parte se describe la fase de intervención y los resultados que se 
obtuvieron por medio de la misma. 
La revisión teórica consiste en dos capítulos. El primer capítulo se titula "Matemáticas 
en la actualidad" en su primer apartado se describe ia situación actual de las 
matemáticas en el mundo cotidiano y sobretodo sus situación dentro de la realidad 
escolar. En los siguientes apartados se retoma y se describe las características y los 
contenidos del currículo de matemáticas de secundaria . Los últimos apartados hacen 
mención al papel que tiene la solución de problemas en la enseñanza de las 
matemáticas. 
En el segundo capítulo llamado "enseñanza-aprendizaje del álgebra", se describen los 
aspectos conceptuales involucrados en la enseñanza y el aprendizaje de álgebra; así 
como las principales dificultades que los alumnos muestran cuando se trabaja con 
esta asignatura. Además, se realiza un análisis de las diversas propuestas que se han 
realizado para abordar la enseñanza del álgebra. 
El tercer capítulo se describe la metodología empleada en la realización de el presente 
trabajo, además de explicar el procedimiento para la íealización de la investigacióll. 
4 
El siguiente capitulo, describe los datos que se obtuvieron antes y después de la 
intervención; en dicho capítulo se menciona cómo se identificaron las seis diferentes 
representaciones que los alumnos utilizan cuando resuelven un problema, a saber: a) 
No Canónico; b) No Algorítmica; c) Aritmética correcta; d) Aritmética Error en el 
Cómputo; e) Algebraica Correcta; y f) Algebraica Error en el Cómputo. Una vez 
identificadas los tipos de representación se procedió a identificar cuales de éstas 
fueron utilizadas por los alumnos antes y después de la intervención. 
En el sexto capítulo, se realiza la discusión de resultados, comparando lo obtenido en 
el análisis de resultados con lo propuesto en el plan y programa de matemáticas de 
educación básica y también con referencia a algunos autores. En dicha discusión se 
menciona que el tipo de representación que utiliza un alumno depende de las 
experiencias a las que se ha enfrentado en experiencias previas. 
5 
CAPíTULO I 
LAS MATEMÁTICAS EN lA ACTUALIDAD. 
Azcarate ' (1994) menciona que las matemáticas son una manera de conceptuar el 
mundo real y que no puede ser concebida como un objeto de estudio comprensible por 
sí mismo, fácil de ser transmitido e independiente del contexto ; el conocimiento 
matemático es, en cambio una forma de pensamiento a desarrollar en el individuo; esta 
formación matemática facilitará el desarrollo de sus capacidades intelectuales y su 
integración al entorno. 
En la actualidad, los preocupantes resultados obtenidos por los alumnos en la materia 
de matemáticas, demandan un cambio en su forma de enseñanza. Se debe hacer a un 
lado los modelos que han predominado hasta ahora y en los cuales se concibe a la 
enseñanza como una simple transmisión de conocimientos. Ramírez (1996) señala que 
las estrategias que se utilizan para la enseñanza de las matemáticas se inclinan hacia 
la mecanización de reglas, algoritmos y fórmulas, dando como consecuencia la 
incapacidad de los alumnos para resolver problemas cotidianos. 
Es necesario destacar que la educación básica (preescolar, primaria y secundaria) es la 
etapa de formación de las personas en la que se desarrollan las habilidades del 
pensamiento y las competencias básicas para favorecer el aprendizaje sistemático y 
continuo, así como las disposiciones y actitudes que regularan su vida (SEP, 2001); por 
lo que es indispensable que en la escuela se creen situaciones que favorezcan el 
desarrollo de estas habilidades. 
La información disponible acerca del aprovechamiento escolar (lectura y matemáticas) 
muestra que, aunque existen avances importantes en los últimos años, los niveles 
alcanzados están por debajo de lo que se espera que los alumnos de educación básica 
aprendan; es indispensable reconocer que la pobre adquisición de las competencias 
básicas (lectura y matemáticas) es prioridad de la educación básica y fundamental para 
otros logros educativos, y que, además, es un problema generalizado; es decir, se 
presenta en todos los tipos de escuela . 
1.1 Condiciones actuales de la educación secundaria en México. 
Guevara Niebla (1991) realizó una investigación en 1990 entre alumnos de primaria y 
secundaria, donde encontró que el promedio de calificaciones del examen aplicado a 
alumnos de primaria en el área de matemáticas fue de 4.39; el porcentaje de aprobados 
fue de 15.3%. Por otro lado, en el nivel secundaria el promedio fue de 3.47, con un 
nivel de aprobación del 7% de los alumnos. En éste nivel los estudiantes manejaron con 
facilidad las cuatro operaciones básicas, sin embargo presentaron problemas en: 
• Resolver problemas de fracciones. 
• Resolver problemas de álgebra, geometría y estadística. 
• Utilización adecuada de signos diferenciales. 
• Realización de operaciones con conjuntos. 
Por su parte Sylvia Schmelkes (citada en Ornelas 1995), realizó en Puebla una 
investigación con alumnos de cuarto y sexto de primaria durante el periodo escolar 
1991-1992. El índice de reprobación en comunicación (interpretación de imágenes, 
comprensión y expresión escrita) fue de entre 50% y 66% respectivamente, mientras 
que en matemáticas fue entre 73% y 77%. 
Respecto a lo anterior, Melgar (2001) señala que en 1995 se llevó a cabo una 
evaluación a nivel mundial por parte de la Asociación Internacional para la Evaluación 
del Logro Educativo. Los resultados ubicaron a México en los últimos lugares con más 
de 100 puntos por debajo de la media mundial. Por ejemplo, en primero de secundaria , 
México se colocó en último lugar en matemáticas con 375 aciertos frente a 483 de la 
media mundial y 604 que obtuvo Singapur el primer lugar; mientras que en segundo 
año, se ubicó en último lugar con una diferencia de 115 aciertos con respecto a la 
media mundial. 
7 
Ahora bien, existe la preocupación por mejorar esta situación, en los propósitos delplan de estudios de educación secundaria (SEP, 1993), se menciona que es necesario 
colaborar a elevar la calidad de la formación académica de los estudiantes, a través del 
fortalecimiento de aquellos contenidos que forman parte de las necesidades básicas de 
aprendizaje de la población joven del pais y que de alguna manera sólo ofrece la 
escuela. 
Al respecto, Diaz (2005) señala que la Organización para la Cooperación y el Desarrollo 
Económico (OCDE) inició el Programa Internacional para la Evaluación de los 
Resultados de los Alumnos (programme for lnternational Student Assessment, PISA), el 
cual tiene como objetivos: la producción de indicadores educativos que brinden 
información acerca del rendimiento académico de los alumnos de los paises miembros; 
y, de esta forma contribuir al logro de las destrezas necesarias para tener éxito en el 
contexto laboral. 
El proyecto PISA pretende, a través del trabajo de expertos, que sus instrumentos 
tengan validez internacional y respeten el contexto curricular y cultural de los paises 
miembros de la OCDE. Basa su evaluación en tres áreas de competencias: lectura, 
matemáticas y ciencia. 
Sin embargo, la educación secundaria pese a la reforma de 1993 mantiene su carácter 
enciclopédico heredado de su condición original de ser un tramo propedéutico para el 
ingreso a la educación superior. Es aceptado que los contenidos tienen poca relacíón 
con los intereses vitales de los adolescentes, con sus posibilidades de aprendizaje, y, 
sobretodo con su desarrollo integral; datos recientes evidencian que los estudiantes 
alcanzan un escaso desarrollo de las competencias básicas de lectura, escritura y . 
matemáticas (SEP, 2001). 
8 
1.2 Las matemáticas en la educación secundaria 
Los p'lanes y programas de educación secundaria (1993) plantean que la enseñanza de 
las matemáticas tiene una gran importancia dentro del currículum establecido para este 
nivel. 
La SEP (2000), explica que la enseñanza de las matemáticas tiene intenciones 
principalmente formativas, las cuales son: 
* Desarrollar habilidades. Es importante el desarrollo de habilidades pues esto le 
permitirá comprender y resolver problemas. Se trata que el alumno desarrolle las 
habilidades que le permitan resolver problemas y aprender de una forma permanente y 
autónoma. 
Específicamente en matemáticas se desea desarrollar habilidades corno: 
o Calcular. Establecer relaciones entre las cifras de una operación o de una 
ecuación para producir o verificar resultados 
o Inferir. Determinar la relación que existe entre los datos explícitos o implícitos 
dados en un texto, figura geométrica, tabla, gráfica o diagrama para solucionar 
un problema. 
o Comunicar. Utilizar la simbología y los conceptos matemáticos para lograr 
transmitir información tanto cualitativa como cuantitativa. 
o Medir. Establecer relaciones entre magnitudes para estimar medidas tanto en el 
plano como en el espacio. 
o Imaginar. Idear trazos, formas y transformaciones geométricas planas y 
espaciales. 
o Estimar. Encontrar resultados aproximados de operaciones, ecuaciones y 
problemas. 
o Generalizar. Descubrir regularidades, reconocer patrones y lograr expresar 
procedimientos y resultados. 
<) 
o Deducir. Establecer hipótesis y demostrar teoremas sencillos. 
Al respecto, el Plan Nacional de Educación 2001-2006 (2001) señala como uno de los 
objetivos primordiales de la educación básica, fortalecer la capacidad de reconocer, 
plantear y resolver problemas, así como las habilidades necesarias para predecir, 
verificar y generalizar resultados; elaborar conjeturas , comunicarlas y validarlas; 
identificar patrones y situaciones similares; desarrollar la imaginación espacial; asi 
como tener un pensamiento deductivo. 
1.3 Enfoque. 
El propósito central de la enseñanza de las matemáticas como ya se menciono 
anteriormente, es que el alumno aprenda a utilizarlas para resolver problemas, no sólo 
con los procedimientos y técnicas aprendidas en la escuela , sino también con aquellos 
cuyo descubrimiento y solución necesitan de la curiosidad y la imaginación (SEP, 
1993). 
Por otro lado, Latapí (1998), señala que uno de los cambios más significativos que 
experimentaron los planes y programas en matemáticas es que se negó la enseñanza 
de éstas en forma mecánica y reiterativa, cambiándose por un enfoque que se 
fundamenta en la solución de problemas y en desarrollar el razonamiento matemático a 
partir de situaciones prácticas. 
Lo anterior, según el mismo autor, coincide con los propósitos generales de la materia 
que busca que los alumnos adquieran la capacidad de anticipar resultados, desarrollar 
la imaginación espacial, habilidad para estimar resultados de cálculo y mediciones y el 
desarrollo de habilidades para razonar en forma abstracta. 
Respecto a la utilidad de las matemáticas en la resolución de problemas, Broitman, 
Itzcovich y Parra (1997) señalan que por muchos años se ha considerado que los niños 
deben primero aprender a realizar las cuentas y luego a resolver los problemas en los 
10 
que se aplica cada operación; desde esta perspectiva , los problemas se presentaban 
como ejercicios de aplicación y evaluación de las operaciones; sin embargo, no basta 
con saber hacer las cuentas, es necesario además convertir a los problemas en una 
herramienta indispensable dentro del salón de clases para que los alumnos puedan ver 
la utilidad de las matemáticas dentro de diversas situaciones. 
1.4 Organización de la asignatura. 
Los temas de la asignatura están agrupados en cinco áreas (SEP, 1993): 
• Aritmética 
• Álgebra 
• Geometría (Trigonometría se agrega en tercero) 
• Presentación y tratamiento de la información 
• Nociones de probabilidad. 
En lo que corresponde a aritmética se destaca la comprensión de las operaciones con 
números naturales y, especialmente con decimales, debido a la importancia en la vida 
cotidiana, en otras ciencias y en las matemáticas mismas. Esta comprensión se debe 
de dar a partir de la solución de diversos problemas permitiendo de esta forma el 
desarrollo de estrategias de conteo, cálculo mental, estimación de resultados y el uso 
inteligente de la calculadora (SEP, 1993). 
En secundaria se quiere fortalecer el manejo de los algoritmos para la solución de 
problemas; para lograr lo anterior se proponen a los alumnos actividades y problemas 
que le permitan ponerlos en práctica y al mismo tiempo desarrollar habilidades como 
son la estimación y el cálculo mental. Se considera que en cuanto los alumnos logran 
identificar, las operaciones que son necesarias para resolver cierto tipo de problemas, 
desarrollaran las habilidades necesarias para solucionar posteriores problemas de una 
mayor complejidad . 
11 
El profesor debe promover en sus alumnos la resolución de ciertos problemas mediante 
el cálculo mental, la estimación de resultados y el uso de alguna forma de 
representación gráfica. Es conveniente proponer el uso de la calculadora para examinar 
ciertos procedimientos básicos de la aritmética como el efecto de multiplicar varias 
veces por un mismo número o los procedimientos abreviados para multiplicar por 10, 
100, 1000, etc. (SEP, 2000) 
1.5 Propósitos. 
El propósito general es el desarrollo de las habilidades operatorias, comunicativas y de 
descubrimiento, para lo anterior deben (SEP, 1993): 
• Adquirir destreza en el uso de técnicas y procedimientos básicos mediante la 
solución de problemas. 
Reconocer y analizar los distintos aspectos que componen un problema. 
Elaborar conjeturas, comunicarlas y validarlas. 
Reconocer situaciones similares. 
• Escoger y adaptar estrategias para la resolución de problemas. 
• Comunicar estrategias, procedimientos y resultados. 
Predecir y generalizar resultados. 
• Desarrollar el razonamiento deductivo. 
Debido a la enorme importancia que se la ha brindado a la solución de problemas 
dentro de los Planes y Programas dela SEP (1993) es necesario analizar esta las 
variables más importantes relacionadas con esta actividad. 
1.6 Solución de problemas. 
En la actualidad, se ha justificado la propuesta del uso de problemas como una de las 
metas más importantes para mejorar la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas 
dentro del salón de clases. La resolución de problemas un aspecto esencial en el 
12 
desarrollo de las ideas matemáticas (NCTM, 1989 y 1995 citado en Santos, 1997, 
citados por Parra, 2004). 
Un problema matemático puede definirse como la narración de una situación cotidiana 
donde existe la relación entre dos variables y requiere de manipulación de datos 
numéricos para llegar a una solución; una de las variables puede ser manipulada o 
planteada como interrogante (Flores, 1999). 
El aprendizaje de conceptos y principios relacionados con la resolución de problemas 
es una herramienta útil para atender problemas de la vida diaria y es la base para otros 
más complejos como los relacionados con el álgebra (Flores , 2004). 
Solucionar problemas aplicando de forma correcta el conocimiento matemático es 
complicado, pues el alumno necesita relacionar conceptos y principios matemáticos con 
problemas específicos y diversas formas de simbolización. 
Para Polya (1969, citados por Parra, 2004), existen dos clases de problemas: por 
resolver y por demostrar. 
a) Los problemas por resolver involucran a los problemas de rutina y los problemas 
prácticos. Los problemas de rutina sólo requieren conocimiento matemático, mientras 
que los problemas prácticos requieren el uso de conocimientos formales, y de 
conocimientos previos. Los problemas por resolver tienen el propósito de descubrir la 
incógnita del problema (que puede ser de diversos tipos tales como encontrar, obtener, 
adquirir, producir o construir) Sus elementos son la incógnita, los datos y la condición. 
Su importancia se encuentra en las matemáticas elementales. 
b) Los problemas por demostrar tienen el propósito de demostrar de modo concluyente 
la exactitud o falsedad de una determinada información, sus elementos son la hipótesis 
y la conclusión. Su mayor importancia se encuentra en las matemáticas superiores. 
13 
Por su parte, Fredericksen (citado en Parra, 2004,) sugier~ tres categorías en la 
clasificación de problemas: 
1. Problemas bien estructurados: son aquellos que aparecen claramente 
formulados, se pueden resolver con la aplicación de algún algoritmo conocido, y 
existen criterios para verificar si la solución es correcta. Estos problemas 
aparecen en los libros de texto de matemáticas. 
2. Problemas estructurados: requieren un "pensamiento productivo". Son parecidos 
a los bien estructurados, la diferencia radica en que el alumno necesita diseñar 
todo el proceso de solución o parte de éste. No existe un algoritmo que produzca 
directamente la demostración. 
3. Problemas mal estructurados: carecen de una clara formulación, carecen de un 
procedimiento que garantice una solución, y no existen criterios definidos para 
determinar cuándo se ha obtenido la solución. 
1.7 Es1rategias de solución de problemas 
Para explicar la respuesta de un alumno al trabajar un problema, es necesario explicar 
dos conceptos que son fundamentales: el esquema de entendimiento y el esquema de 
solución; el primero hace referencia al significado que se le da al problema y la 
identificación de un cálculo determinado. El segundo concepto describe lo que se 
decide y hace conforme avanza la solución del problema, procurando la congruencia 
entre el entendimiento original y el resultado (Flores, 2001). 
Flores (2002) describe en su trabajo tres categorías de representación que los 
estudiantes utilizan cuando se enfrentan a la resolucíón de un problema matemático: 
a) Representación no canónica. El niño aplica su conocimiento de una clase de 
problema que no corresponde al que se le plantea. 
14 
b) Representación canónica no algoritmica. Esta representación refleja un 
conocimiento rudimentario sobre las relaciones expresadas en el problema y es 
congruente con el significado del problema que se la plantea. En el esquema de 
solución generalmente se imita , mediante objetos o marcas gráficas, los 
elementos y las relaciones matemáticas contenidas en el problema. 
c) Representación canónica algorítmica. Esta representación indica que el niño 
puede emplear las herramientas de la matemática formal para solucionar el 
problema. En el esquema de entendimiento se entienden las relaciones 
planteadas al interior del problema y en el esquema de solución se selecciona 
un algoritmo. 
De acuerdo con Flores (2003), la preferencia por una solución no algoritmica se vincula 
con el hecho de que los alumnos no han entendido ciertos conceptos y principios 
matemáticos, y no comprenden los significados de un mismo algoritmo en diferentes 
contextos matemáticos. 
Para Polya (1969), el proceso de solución consiste en cuatro fases (descritas a 
continuación a grandes rasgos): 
1) Comprender el problema. Se requiere identificar la incógnita, los datos y la 
condición en que se encuentran. Se debe analizar si es posible satisfacer la 
condición. Se recomienda dibujar una figura donde se introduzca los datos 
indicados y con base en ello, separar en varias partes la condición. 
2) Concebir un plan de solución. Es necesario encontrar la conexión entre los datos 
y la incógnita, se recomienda al alumno recordar si ha tenido un problema con 
características semejantes y preguntarse si conoce algún teorema que le pueda 
ser de utilidad. Se recomienda sustituir los datos a una situación más sencilla 
para probar posibles procedimientos. 
3) Llevar a cabo el plan. Revisar cada paso de la ejecución del plan para asegurase 
de que el proceso es correcto y hacer las comprobaciones necesarias. 
15 
4) Examinar la respuesta obtenida. Consiste en examinar el resultado y compararlo 
con lo que se pidió en el problema. 
Flores (2002, 2004) propone una estrategia de solución de problemas que puede 
ayudar al alumno a estructurar sus acciones en la tarea. El cuadro 1 muestra un 
desglose de los componentes de esta estrategia, la cual contempla la planificación, la 
ejecución y el monitoreo, así como la evaluación de la solución. 
Cuadro 1.Componentes de la estrategia de solución de problemas. 
Fases de la estrategia Habilidades requeridas Auto-instrucciones 
- -
1 Leer sin errores Leo el problema I 
Lectura del problema Parafrasear el contenido Lo platico -¡ 
2 Identificar la interrogante Digo la pregunta -1 Identificación de la Identificar los datos numéricos Busco los datos 
información relevante 
J 
Representar gráficamente el Hago un dibujo 
problema 
3 Establecer en la representación 
I 
Planificación de la solución una relación entre variables Con mi dibujo busco una 
! 
Seleccionar el algoritmo apropiadc operación 
Escribir la operación Escribo 
--
Realizar la operación Resuelvo 
4 Comprobar el resultado 
Ejecución y evaluación del Analizar la correspondencia entre Compruebo I 
plan de solución resultado y pregunta I 
Redactar el resultado Escribo completa la respuesta J 
Hasta el momento, se han expuesto la importancia de la solución de problemas, y 
algunas estrategias que su pueden utilízar al enfrentarse a problemas; ahora es 
necesario describir las características que presentan los alumnos con problemas de 
aprendizaje, al enfrentarse a problemas matemáticos. 
16 
1.8 La resolución de problemas en alumnos con problemas de aprendizaje 
Diferentes autores (Montague & Boss, 1986; Mercer, 1997; Jordan & Montani, 1997; 
Aguilar y Navarro, 2000; citados por Flores 2004) han encontrado que las dificultades 
de los alumnos con problemas de aprendizaje también se relacionan con carencias en 
una estrategia de solución de problemas. Estos autores coinciden en que estos 
alumnos presentan las siguientes dificultades 
• Dificultad para memorizar conocimientos numéricospor ejemplo las tablas de 
multiplicar. 
• Dificultad para hacer cálculos numéricos rápidos. 
• Las estrategias que utilizan son rudimentarias y restringidas. 
• Son impulsivos y erráticos al resolver un problema. 
• No monitorean ni evalúan sus soluciones. 
• Se basan en un análisis superficial de las relaciones expresadas en el texto del 
problema. 
• No reconocen con frecuencia el vocabulario matemático. 
• Sustentan sus soluciones en información, creencias o experiencias irrelevantes cuya 
relación con el texto es muy ambigua. 
• No emplean representaciones gráficas que les apoyen en la comprensión y solución 
algorítmica del problema. 
• Cometen errores en los algoritmos y no identifican espontáneamente su origen. 
• No generalizan su experiencia con problemas similares. 
• Su motivación hacia la tarea es muy pobre. 
• Se dan por vencidos fácilmente. 
Es común encontrar que los alumnos con problemas de aprendizaje dediquen muy 
poco tiempo a la resolución de un problema. Y como consecuencia de ello se esfuerza 
poco en la realización de la tarea. El alumno no enfrenta retos intelectuales, pues son 
percibidos como pérdida de tiempo, dedica solo un tiempo corto a la solución del 
problema, después de ese tiempo, si no ha llegado a la solución entonces considera 
que no puede resolverlo (Schoenfeld , 1992 y Cordero, 2000, citados por Parra, 2004) 
17 
No obstante, cuando los alumnos con dificultades aprenden en contextos diseñados 
para apoyarlos, su involucración en tareas matemáticas es más exitosa, incluso hasta 
volverse autónomo y motivado en las tareas. 
Para que los alumnos aprendan a solucionar problemas se han diseñado, aplicado y 
evaluado programas basados en la enseñanza estratégica (Montague & Boss, 1986; 
Case, Harris & Graham, 1992; Montague, Applegate & Marquard, Hutchinson, 1993; 
citados por Flores 2004). Los programas coinciden en aplicar una estrategia que 
considere planificar una solución, llevarla a cabo y evaluar su eficacia. 
Para que el alumno logre lo anterior se emplean generalmente apoyos mnemónicos 
que cumplen la función de autoinstrucciones que le permitan al alumno recordar los 
pasos de la estrategia, y se trabaja en una rutina que incluye el ensayo, la repetición, la 
práctica y la revisión de la estrategia. 
Ahora bien, la situación antes descrita de los alumnos con problemas de aprendizaje es 
necesario analizar cuál es la situación de la enseñanza del álgebra con respecto a su 
enseñanza, aprendizaje y dificultades que los alumnos pueden enfrentar; lo anterior, se 
abordará en el siguiente capítulo. 
i 8 
CAPiTULO 11 
ENSEÑANZA· APRENOIZAJE OEl AlGEBRA. 
2.1 El álgebra y su enseñanza 
En la antigüedad, el Álgebra fue una parte inseparable de la Aritmética; esta es la razón 
por la que en gran parte de la literatura científica a la hora de estudiar ambas ramas se 
hace de una manera conjunta. 
Sin embargo un elemento que distingue al álgebra de la aritmética es la presencia de 
letras; se suele decir que el álgebra es todo lo referente a las ·x· y de forma insolente se 
dice que el álgebra es el estudio de la 26th letra del alfabeto (Kieran 2000). 
la aritmética se define como la ciencia que se ocupa de los numeros relacionados a los 
objetos concretos. En cambio el Álgebra se ocupa de las operaciones matemáticas 
analizadas desde un punto de vista abstracto en la que los numeros adquieren 
significados distintos pues se relacionan con las letras que simbolizan incógnitas. 
Cuando vemos una expresión tal como 3(x + 5) + 1, en ciertas situaciones 
probablemente puede ser vista como una secuencia de procesos: sumamos 5 al 
numero por un lado, multiplicamos el resultado por tres y sumamos uno. En otro 
escenario se puede ver de forma diferente: la ecuación 3(x + 5) + 1 representa un cierto 
numero cuyo valor se desconoce y que es el producto de un proceso (siempre y cuando 
este producto no pueda ser especificado) (Sfard y Unchevsky, citado por Kieran, 2000), 
Con respecto a lo anterior Schwarts y Yerushalmy (citado por Kieran, 2000), señalan 
que cuando se ve una expresión como x + 3, no se puede decir que es un numero tal 
como concebimos a un numero, porque no se puede decir que tan grande es. Se 
sugiere que cuando se vea una expresión como x + 3, se conciba un algoritmo para la 
busqueda de un numero que involucra reglas precisas en el procedimiento con el fin de 
producir un nuevo numero. 
19 
El álgebra es llamada algunas veces "aritmética generalizada" debido a que involucra 
principios y teoremas generales que representan a los números y las operaciones de 
aritmética. Los componentes del estudio inicial del álgebra son aquellos que introducen 
la notación algebraica a los estudiantes y les ayudan a desarrollar conciencia numérica 
sobre las reglas de operación de los números; ayudandoles a conocer el tipo de 
manipulaciones que se puede llevar a cabo con las expresiones algebraicas. Primero, 
explorando hechos numéricos y relaciones, propiedades y patrones numéricos y 
geométricos y segundo, expresando generalidad de estas relaciones y patrones por 
medio de representaciones algebraicas (Kieran, 2000). 
Bell (citado por Kieran, 2000) sugiere que el álgebra utiliza tres actividades de 
enseñanza principalmente: generalización, en cuanto que las reglas de la aritmética son 
aplicadas al álgebra; formación y resolución de problemas como uno de los principales 
caminos para su enseñanza y aprendizaje y. trabajo con fórmulas y funciones, pues es 
una de las caracteristicas que demuestran la superioridad del álgebra sobre la 
aritmética. 
No obstante, propuestas como la anterior (Laderosa y Malara, 2005) muchas veces por 
su forma de enseñanza en las escuelas, los alumnos aceptan las reglas y técnicas del 
álgebra de fomla pasiva sin considerar el significado de éstas. 
Con respecto a su enseñanza se dice que el álgebra tiene varios aspectos entrelazados 
(Nathan, y Koedinger, 2000.): 
1. el álgebra puede ser vista como una aritmética generalizada incluyendO el uso de 
simbolos literales tales como letras para referirse a cantidades desconocidas y la 
generalización de las operaciones aritméticas aplicadas a letras. 
2. El álgebra se refiere al uso de estructuras para representar relaciones e incluye 
los procedimientos que operan en aquellas estructuras. 
2U 
3. El álgebra puede ser definida como un significado formal Que describe las 
relaciones entre cantidades. 
En coincidencia con lo anterior, Usiskin (citado por Kieran, 2000) añade Que el álgebra 
puede ser vista de tres formas diferentes: álgebra como aritmética generalizada (las 
reglas de la aritmética son aplicables al álgebra); álgebra como un estudio de 
procedimientos para resolver ciertas clases de problemas (por medio de expresiones 
algebraicas y de procedimientos que son propios del álgebr<l); álgebra como estudio de 
relaciones entre cantidades (por cuanto es necesario Que se establezcan relaciones 
entre las cantidades conocidas y desconocidas). 
Por lo anterior, Kieran (2000) señala que el álgebra debe verse como el curso de 
matemáticas en el cual los estudiantes son introducidos al principal camino en el cual 
las letras son usadas para representar números y relaciones numéricas en expresiones 
con cantidades desconocidas y, además se aprenden las correspondientes actividades 
involucradas con este uso de letras. 
En los Planes y Programas de Educación Secundaria (1993), se plantea Que es 
importante Que durante el aprendizaje de las matemáticas, los alumnos aprendan a 
resolver prOblemas utilizando el lenguaje y los procedimientos propios del álgebra, 
contemplándose una aproximación menos abrupta, proponiéndose desde el primer 
grado de secundaria algunos contenidos de preálgebra con el fin de aprovechar las 
oportunidades que brinda la geometria y la aritmética para que los estudiantes se 
inicien de forma gradual en el uso de literales como por ejemplo cálculode áreas y 
resolución de problemas. 
La idea de la enseñanza del álgebra en el programa oficial de matemáticas es 
comenzar con una breve revisión de las principales reglas de escritura algebraica y con 
el tratamiento de ecuaciones lineales, comenzando a operar con expresiones en una 
variable, sin grados complicados, como por ejemplo la resolución de ecuaciones tal 
como 2x + 5 = 11 . 
21 
En este sentido, los programas de educación secundaria están pensados de forma que 
los alumnos tengan la oportunidad de revisar y utilizar constantemente las nociones y 
proCedimientos básicos del álgebra (SEP, 1993), tales como representación y 
manipulación de incógnitas y comprensión del concepto de variable y función. 
Una de las principales criticas que se realiza a la enseñanza como la planteada en los 
Planes y Programas de la SEP es su énfasis en los simbolismos. habilidades 
manipulativas, memorización de hechos y el desarrollo de conceptos y habilidades para 
resolver problemas pues su enseñanza se basa principalmente en la mecanización de 
los procedimientos algebraicos y en la resolución de ecuaciones desligados de la 
aplicación a situaciones problematicas, olvidando que el asunto central en la enseñanza 
del álgebra y de las matemáticas en generai es la resolución de problemas, (Kieran, 
2000). 
Otero y Elichiribehety (2004) mencionan que los textos de matemáticas de educación 
secundaria tienen muy poco en cuenta la situación de los destinatarios y las 
complejidades que supone el cambio en la "manera de mirar" y abordar los problemas. 
Las caracteristicas de la utilidad del álgebra deben ser explicadas al alumno, (como por 
ejemplo el desarrollo del razonamiento sobre los números por medio de simbolos y 
signos de abreviación) mostrándole cuáles son sus ventajas; en este sentido, se 
considera que los textos deben incluir una variedad de ejemplos y situaciones que 
muestren los diferentes sentidos que adquieren las ecuaciones. 
Pannizza y Drouhard, (1998) proponen que para ser hábiles en el dominio del álgebra 
los estudiantes deben disponer de tres tipos de conocimientos: 
Conocimientos de Primer Orden 
Para hacer matemáticas uno tiene que conocer las correspondientes afirmaciones y 
definiciones; es decir considerar las afirmaciones verdaderas de las matemáticas como 
son los axiomas, las definiciones propias del álgebra, propiedades y teoremas. En la 
solución de problemas es necesario que el alumno comprenda la forma de 
representación de la diferente información contenida en el problema. 
22 
Conocimientos de Segundo Orden 
Se refieren a conocimiento de las reglas de las matemáticas: en terminas generales es 
lo que permite que el discurso matemático funcione como debe funcionar. 
Dentro de este orden de conocimientos existe uno llamado semiótico: en el caso del 
sistema simbólico de la escritura algebraica, las expresiones no son simples hileras de 
letras en lugar de eso tienen una denotación y los estudiantes tienen que conocerla: 
deben saber que la misma letra indica el mismo número en el contexto del cálculo y que 
dos diferentes letras tienen una denotación diferente, por ejemplo el alumno debe 
comprender que en la ecuación x + y = 5, tanto la "x~ como la "y" lienen valores 
diferentes. 
Conocimientos de Tercer Orden 
Hace referencia a la naturaleza del primer y segundo orden de conocimientos: puede 
resumirse como sigue: la actividad matemática consiste en jugar con el conocimiento 
(primer orden de conocimientos) de acuerdo a las reglas del juego (segundo orden de 
conocimientos). 
Kieran (2000) indica que las demandas conceptuales que demanda el álgebra son los 
siguientes: 
a) pasar de una representación verbal a una simbólica que involucra el uso de letras 
como una variable para representar cualquier número. 
b) Saber cómo manipular las expresiones algebraicas y convertirlas a expresiones 
equivalentes más simples. 
e) Estar consciente de que el resultado algebraico constituye una justificación del 
resultado que se obtuvo al tratar varios números particulares empíricamente. 
23 
Por lo mencionado anteriormente es necesario realizar una revisión sobre la 
importancia de la resolución de problemas algebraicos como eje central en la 
enseñanza de las matemáticas. 
2.2 Resolución de problemas algebraicos 
Se han rastreado varias tradiciones de planteamiento de problemas con formato de 
enigmas o pasatiempos y de tecnicas para su resolución , presentes desde la época 
babilónica hasta la Edad Media. Nathan, y Koedinger (2000). 
Para entender las dificultades al aprender álgebra es importante entender la 
complejidad que se presenta en la solución de problemas; en este sentido, los faclores 
que influyen en la complejidad de los problemas algebraicos son: 1) la posición de la 
cantidad desconocida del problema en la ecuaCión que representa al problema y b) la 
presentación lingüística del problema. 
La solución aritmética de un problema descansa en la elección de lo dalas adecuados y 
la operación adecuada. Mientras que en una solución algebraica se requiere una 
representación simbólica de las relaciones involucradas en el problema para generar 
una ecuación y calcular el valor de la incógnita (Vergnaud, 1990). 
Por lo anterior, una clasificación de problemas algebraicos que es útil para el presente 
trabajo es la propuesta por Nathan, y Koedinger (2000) pues permite realizar una 
distinción de las situaciones problemáticas que se plantean en los libros de texto de 
educación secundaria y que son destinadas al aprendizaje del álgebra: 
' ·1 
Tipo de problema Enunciado 
Problema 1 Cuando Juan llegó a casa de su trabajo de mesero, multiplicó su 
Inicio desconocido sueldo de cada hora por las seis horas que el trabajó aquel día. 
. Problema con narración de Entonces él sumo $46 pesos de propina y encontró que había 
una historia. ganado $181 .90. ¿Cuánto gano Juan por hora? 
Problema 2 Empezando con algún número, si lo multíplico por 6 y le sumo 66, 
Inicio desconocido obtengo 81 .90. ¿Con cuánto empecé? 
Ecuación de palabra 
Problema 3 Resuelve para x: x - 134 + (34 -140) = 59 
Ecuación simbólíca 
Problema 4 Cuando Juan llegó a casa de su trabajo de mesero, tomó los 
Final desconocido $181 .90 que había ganado y le restó $46 que recibió en propinas. 
Problema con narración de Entonces el dividió el dinero restante entre las seis horas que él 
una historia trabajó y encontró su sueldo por hora. ¿Cuánto ganó por hora 
Juan? 
Problema 5 Empezando con 81.90 reste 66 y entonces dividí entre 6, ¿cuánto 
Final desconocido obtuve? 
Ecuación de palabra 
Problema 6 Resuelve para x: (81 .90 - 66)/6 = x 
Final desconocido 
Ecuación simbólica 
Por su parte, Langrall y Swafford (2000) clasifican los problemas en términos de las 
situaciones matemáticas y de las variables que las definen: 
• Problemas de proporcionalidad o variación directa. Ejemplo: si por regresar cada 
lata de refresco me reembolsan .70 pesos, ¿cuánto me reembolsaran por regresar 
12 latas? 
• Problemas de relación lineal. El salario básico de María es de $320 pesos por 
semana, y gana 34 pesos por cada hora extra que ella trabaja. ¿cuál será su 
sueldo total de una semana si trabajó 6 horas extras? 
25 
• Problemas de relación lineal' contexto geométrico. H~y una rejilla de 10 por 10. 
¿cuántos cuadros hay en un borde? 
• Problemas de secuencia aritmética. la primera fila de una sala de conciertos tiene 
10 asientos, cada fila después tiene 2 asientos más que la fila de enfrente. 
¿Cuántos asientos hay en la fila 10? 
• Problemas exponenciales. Si doblamos una pieza de papel por la mitad y la 
abrimos. ¿cuántas regiones se harán? 
• Problemas de variación indirecta. los 36 lavadores de carros de un negocio lavan 
108 vehículos en una hora. ¿en cuánto tiempo los lavaran 9 lavadores? 
la clasificación de los diversos problemas es útil pues permite de alguna forma 
comprender cuáles son los problemasque representan mayores dificultades para los 
estudiantes, asi como entender las diversas demandas que implica cada uno de los 
diferentes problemas. 
la solución de problemas de álgebra es dificil, frecuentemente los estudiantes quienes 
son buenos en matemáticas los odian, y usualmente ni los profe50res ni los libros de 
texto saben cómo enseñarlos; tipicamente los profesores dan a los alumnos 
indicaciones como ~Iee y relee el problema hasta que quede claro" (Weaver, 1992). 
De esta manera, debido a la dificultad que presentan los alumnos al resolver problemas 
algebraicos, es preciso analizar los aspectos involucrados en esta actividad. 
De acuerdo con Kieran (2000) la dificultad de la solución de problemas de álgebra 
estriba en las operaciones que hay que realizar; los dos principales aspectos 
conceptuales involucrados en la resolución de problemas son la transformación desde 
una representación usualmente verbal a una ecuación y resolver esta ecuación. 
26 
Transformación en una ecuación. Los niños de educación elemental cuando se les 
presenta un problema, comunmente llegan a la solución espontáneamente sin ser 
conscientes del proceso que han generado para llegar a la respuesta . No necesitan 
escribir una ecuación que represente las operaciones estructurales del problema. 
Usualmente representan las operaciones y llegan al resultado final del problema. A 
diferencia de los estudiantes de álgebra que deben. encontrar la solución manipulando 
una ecuación con olro grupo de operaciones simplificadas. La diferencia principal entre 
resolver problemas aritméticamente y resolverlas algebraicamente. es la obligación que 
impone el álgebra de describir primero y entonces resolver. 
Por ejemplo para resolver un problema como: En una escuela hay un edificio con 2 
aulas abajo y 3 aulas arriba. y otro edificio con 3 aulas. En total hay 72 alumnos. en 
caso de que en todas las aulas hubiera igual numero de alumnos. ¿cuántos 
corresponden a cada aula. los alumnos deben primero describir por medio de una 
ecuación las relaciones que se establecen entre el numero de aulas y el numero de 
alumnos y, posteriormente resolver dicha ecuación para llegar al resultado. 
Así, uno de los principales obstáculos al usar el álgebra para resolver problemas es la 
transformación de una representación verbal del problema a una algebraica. Esta 
actividad también requiere llegar a ser consciente de cómo usar letras para representar 
cantidades desconocidas en una ecuación que contengan las cantidades desconocidas 
y otros datos de la situación problemática. 
La tarea se puede facilitar si el alumno basa su solución en ejemplos. Weaver, (1992) 
realizó una investigación en la cual noló que los estudiantes de secundaria mejoran su 
aprendizaje del álgebra cuando hay una previa exposición a problemas similares o se 
usan ejemplos como guias. 
Al respecto, Chaiklin (citado por Kieran, 2000) menciona que existen dos clases de 
procesos que los estudiantes usan al transformar problemas verbales a ecuaciones: 
27 
• El enfoque de transformación directa. Involucra una transformación frase por 
frase del problema dentro de una ecuación que contenga numeros letras y 
operaciones. 
• El enfoque de esquema dirigido. Usa un principio matemático para organizar la 
cantidad desconocida y los numeros de un problema. Estos principios malematicos 
son conocidos en la literatura como esquemas . 
• :. Resolución de la ecuación. Existen dos clases principales de demandas 
conceptuales asociadas con resolución de problemas: simplificar expresiones y trabajar 
con equivalencias e igualdades. Cuando los estudiantes aprenden a resolver 
ecuaciones, debe enfrentarse con dos diferentes clases de equivalencias e igualdades: 
a) una es la igualdad del lado derecho e izquierdo de cada ecuación. la cual esta 
representado por el signo igual. que significa para algunos valores de "x" los valores 
resultantes de ambos lados son los mismos (ejemplo, en la ecuación 1 + 5x + 3 = 2x + 
7, la expresión 1 + 5x + 3 es igual a la expresión 2x + 7, cuando x vale 1); y b) la otra es 
la equivalencia de ecuaciones sucesivas en la resolución de la ecuación, esto se 
obtiene remplazando una expresión por otra equivalente, (ejemplo en 1 + 5x + 3 = 2x + 
7 donde la expresión izquierda 1 + 5x + 3 es remplazada por una expresión equivalente 
5x + 4). 
Otra fuente de dificultad conceptual es el significado de las cantidades que aparecen 
en las ecuaciones, Kaput y Schawrts (citados por Weaver, 1992) las clasifican en 
cantidades extensivas e intensivas: las cantidades extensivas involucran mas de un 
componente, como por ejemplo la velocidad; es decir, la velocidad implica una relación 
entre dos o más componentes, tal como millas por kilómetro. Las cantidades 
intensivas, tienen sólo un componente, como por ejemplo la distancia (pulgadas, 
centímetros metros ... ) o el tiempo (horas, segundo, minuto ... ), esto es particularmente 
claro en la aplicación de las matemáticas a la física. 
Ahora bien, es necesario considerar dos aspectos importantes en la enseñanza del 
álgebra como son et concepto de función y el de variable, pues permiten a los alumnos 
comprender las principales reglas de representación y de m;¡nipulación algebraicas. 
2.3 El concepto de función. 
El concepto de función es esencial en el curriculum de álgebra y es considerado por 
muchos como el concepto más importante de lodas las matemáticas (Callaghan, 1998). 
Thompson (citado por Callaghan, 1998) menciona que la caracleristica principal en la 
construcción de conocimiento matemático es la creación de relaciones, la cual es el 
sello de la resolución de problemas en matemáticas. De esta forma , las funciones son 
herramientas matemáticas usadas para describir las relaciones entre cantidades cuyo 
vator es variable dependiendo de las relaciones que guardan entre sí. 
Algunos aulores como Callaghan (1998) señalan que el concepto de función se refiere 
a una relación de dependencia que involucra las diversas variables del problema . 
. Confrey and Smith (1991) añaden que las función puede ser vista como una operación 
utilizada para analizar o resolver un problema. 
Sin embargo, varios investigadores han afirmado que la definición de función es poco 
usada por los maestros y en los libros de texto es demasiado formal y carente de 
sentido para los estudiantes, quienes tienden a ignorar u olvidar esta definición cuando 
resuelven problemas, los educadores argumentan que la definición de función como 
una relación de variables resulta relevante y significativa para los estudiantes. 
La función puede ser representada usando una variedad de sistemas de 
simbolización; los tres más comunes son ecuaciones, labias y graficas, los estudiantes 
deben ser habiles para entender la información presentada en estos diferentes 
formatos. 
29 
El modelo de enseñanza del concepto de función propuesto por Callaghan (1998) 
consiste de cuatro competencias : 
Modelamiento. La resolución de problemas incluye un cambio de una situación 
problema a una representación matemática de la situación. Esta habilidad pMa 
representar una situación problema usando funciones es el primer componente 
del modelo (las tres representaciones usadas frecuentemente son ecuaciones, 
labias y gráficas). 
Interpretación. La capacidad de interpretar es el segundo componente, Jo 
problemas requieren que el estudiante haga diferentes tipos de interpretación o 
centrarse en diferentes aspectos de un gráfica. 
Traducción. La habilidad para moverse de una form<l de representación de ulla 
función a otra. 
I Reificación. El componente final es la reificación definida como la creación de un 
objeto mental de lo que fue inicialmente percibido como un proceso o 
procedimiento. 
2.4 Concepto de Variable 
Trigueros y Ursini (2000) mencionan que el concepto de variable es multifacético y es 
uno de los aspectos considerados como más relevantespara un manejo competente 
del álgebra. 
De forma similar Janvier (citado por MacGregor y Stacey, 2000) señala que hayal 
menos tres formas de interpretar las letras en el álgebra escolar: corno iniciales en 
identidades (O es igual a Daniel), como incógnitas especificas en problemas (x número 
desconocido) y como variables en funciones (f(x)= 3 puede adquirir valores diferentes 
dependiendo del valor asignado a ~x"). 
30 
MacGregor y Stacey, (2000) comentan que los alumnos frecuentemente desconocen 
qué cantidad del problema podrían o deberían simbolizar como la incógnita o a qué 
cantidad se refiere determinado simbolo. Si x representa una cantidad que no está 
claramente definida, o más de una incógnita. entonces los alumnos son incapaces de 
comprender la lógica del álgebra. Necesitan saber que la incógnita es un objeto 
matemático. con un referente fijo a lo largo de un procedimiento de solución. 
Al respecto Trigueros y Ursini (2000), concluyen en su estudio que para los alumnos de 
primer y segundo grado de secundaria que empiezan a aprender álgebra, es más fácil 
interpretar correctamente la variable en sus distintos usos que simbolizarla o 
manipularla. Esto sugiere que cuando los estudiantes se enfrentan por primera vez con 
el concepto de variable su preocupación fundamental es darle sentido a los sfmbolos 
que se usan para representarlos. la gran mayoría logran hacerlo de manera 
satisfactoria sólo cuando se trata de traducir al lenguaje algebraico enunciados 
sencillos. 
l os resultados anteriores no sugieren que las dificultades que manifiestan los 
estudiantes parecen tener su origen en la manera cómo se tratan los distintos usos de 
la variable en los cursos de álgebra. pues si bien se trabaja con los distintos usos de la 
variable, las caracteristicas que los hacen diferentes no suelen hacerse explicitas. 
Se considera que una mala conceptualización de la variable puede ser una causa 
importante de las múltiples dificultades que suelen tener los estudiantes en los cursos 
de matemáticas. Es necesario repensar el contenido de los cursos de álgebra así como 
las estrategias de enseñanza que actualmente se emplean y buscar acercamientos que 
favorezcan un aprendizaje significativo del concepto de variable. Los estudiantes 
deberían trabajar de forma simultánea con los Ires usos de la variable. y sería 
importante indicarles cuáles son las características que los hacen diferentes. 
JI 
2.5 Dificultades en la enseñanza - aprendizaje del álgebra. 
Cuando los alumnos comienzan a estudiar algebra, se les enseña él usar letras para 
representar incógnitas especificas o conjunto de posibles valores de las variables. Hay 
alumnos que aprenden rapida y facilmente el álgebra escolar, mientras que otros no 
logran hacerlo. MacGregor y Stacey (2000) consideran que las estrategias de los 
alumnos para resolver problemas se limitan a realizar calculos independientes, en 
donde se busca la respuesta partiendo de lo conocido, esta forma de pensar y operar 
con números especificos es la principal dificultad para los aprendices del álgebra. 
En el aprendizaje del álgebra, uno de los obstáculos iniciales es el hecho de que los 
estudiantes no aprenden fácilmente cómo expresar operaciones y relaciones simples 
en una notación algebraica (MacGregor y Price, 1999). 
Por su parte Otero, Elichiribehety y Roa (2000) señalan que las dificultades en el 
aprendizaje y enseñanza del álgebra pueden tener causas epistemológicas, 
psicológicas o didacticas, con relación a estas últimas, es posible que las dificultades 
surjan desde la misma presentación y podrían deberse a la complejidad del tema y 
IElmbién al modo de enseñarlos. En la practica escolar, los profesores elaboran sus 
clases guiados totalmente por los libros de textos escolares y posiblemente sin realizar 
un análisis previo de los mismos ni de los conocimientos de sus alumnos. 
Con respecto a lo anterior Sazzini (2005) menciona que existe evidencia acerca de que 
el uso de expresiones simbólicas puede ser una causa importante del origen de las 
dificultades en los estudiantes, ya que los estud iantes que son hábiles para expresar 
relaciones correctamente entre los elementos dados en un problema pueden ser poco 
hábiles para expresar la misma relación a través de un código algebraico. 
l as dificultades que los alumnos muestran durante la resolución de problemas en 
algebra son los siguientes (Pizón y Gallardo, 2000): 
32 
• Esquema de cuasiigualdad. Los alumnos manejan el signo de igual como un 
mandato operacional, una señal de hacer algo. Se les hace dificil aceptar el 
significado de la igualdad como un equilibriO entre los dos miembros de la 
ecuación. En esquema de cuasiigualdad se enfatiza la noción de operador y no de 
equivalencia. Se construye la regla ~ tlO importa dónde se realicen las operaciones, 
con tal de que se ejecuten alguna vez~ . Dicho esquema surge de la visualización 
del signo de igual como señal que ordena ciertas operaciones, más que un 
simbolo de equivalencia. 
• Concatenación de terminos algebraicos. La concatenación en aritmética 
denota adición, por ejemplo 45 significa 40 + 5; sin embargo en álgebra se refiere 
a la multiplicación, por ejemplo 5b es 5 x b: esto conduce a los alumnos a 
malinterpretar el sentido de los términos algebraicos. 
• Naturaleza numérica de expresiones algebraicas. Operar los negativos 
representa serias dificultades en los sujetos que se inician en el álgebra. La 
extensión del dominio numérico de los naturales a los enteros positivos y 
negativos. durante el proceso de adquisición del lenguaje algebraico por el 
estudiante de secundaria, constituye un elemento esencial para lograr la 
competencia algebraica en la resolución de problemas y ecuaciones. 
• Conjunción de terminas no semejantes. En el lenguaje algebraico es común 
que el estudiante opere letras y números. por ejemplo: 3 + 5x=8x. 
• Pérdida del denominador de la ecuación. Esto sucede cuando se trabaja con 
ecuaciones cuyos términos (al menos uno de ellos) lienen denominador y al 
operarlos. ignoran el denominador trabajando sólo con el numerador. 
• Aplicación incorrecta de la regla multiplicativa de los signos. Puede ocurrir 
que la expresen correctamente pero se realiza una mala aplicación de las mismas. 
33 
• Confusión entre operac iones en los dominios <lditivo y multiplicativo. Este 
error sucede al considerar la división como sustracción, también surge la 
confusión de multiplicación con suma. 
• Inversión incorrecta de operaciones. Es la transposición errónea de términos de 
un miembro a otro utilizando la operación inversa. 
• Evitamiento de una de las dos ocurrencias de la incógnita. Los estudiantes no 
perciben la incógnita en el segundo miembro en ecuaciones con dos ocurrencias 
de la x. ejemplo; x + 2x = 3 + x, en éste los alumnos no loman en cuenta la ~x~ de 
uno de los lados de la ecuación al momento de sumar las "x"s, 3x = 3 
• Compensación de errores. Se refiere a fallas en el proceso que permiten arribar 
al resultado correcto. 
• Ausencia del concepto de ecuación . No comprenden que la ecuación es una 
igualdad, una equivalencia entre dos expresiones. un equilibrio entre el primer 
miembro y el segundo. En algunos casos utilizan el signo como operador y no 
como dualidad. 
• Diferenciación de la incógnita respecto a su coefi ciente. Decodifican a x como 
1x, ante la expresión x + x =, el estudiante comete el error x + x = X2. 
• No aceptación de la solución fraccionaria. El alumno acostumbrado a encontrar 
números enteros como resultado o valor de la equis en las ecuaciones, cuando 
obtiene una fracción no la acepta como posible solución. 
• Rechazo a la solución nula. No le parece lógico el estudiante. que después de 
operar los términos, obtenga en el resultado al cero como valor de equis. 
34 
Además, MacGregor y Slacey (2000) mencionan Que en el primer üño de educación 
secundaria se lesenseña a usar letras para represenlar los números desconocidos o 
generalizados; se les da la oportunidad de aprender a escribir expresiones sencillas y 
ecuaciones con letras, números, signos de operaciones y paréntesis. En la literatura se 
describen los siguientes comportamientos frecuentemente observados' 
• La letra se percibe como una palabra abreviada (ejemplo: 3c puede representar 
~tres carros") 
• Se ignora la letra o se le asigna un valor numérico que seria razonable en el 
contexto. 
• Se le asigna a la letra un valor numérico relacionado con su posición en el 
alfabeto. 
• La letra tiene el valor de 1 a menos Que se especifique otro. 
• La misma letra se usa para representar diferentes cantidades en una expresión o 
ecuación. 
Otra fuente de erTor es el referente a los signos ~+" y ~-~ pues crea errores de 
interpretación ya Que en el lenguaje algebraico estos signos no se usan solamente 
para las operaciones (suma y resta); ahora pueden ser también parte del número 
mismo (Malara y Laderosa 2005). 
2.6. Propuestas de enseñanza del álgebra. 
Se han realizado diversos estudios en los cuales se ha intentado Que el aprendizaje del 
álgebra se facilite para los alumnos; también, se presentan propuestas de enseñaza 
alternas y novedosas Que han provocado resultados satisfactorios en al aprendizaje del 
álgebra. 
Witzel (2003) menciona Que para Que los estudiantes entiendan los conceptos 
abstractos más fácilmente es necesario transformar estos conceptos abstractos en 
representaciones pictográficas y manipulaciones concretas y es necesario considerar 
estos aspectos cuando se realiza una intervención en el ámbito de la enseñanza de las 
matemáticas. 
Swafford y Langrall (2005) investigaron el uso de ecuaciones por parte de estudiantes 
para describir y representar situaciones problemáticas previo a la instrucción formal del 
álgebra. Los estudiantes en este estudio mostraron una destacada habilidad para 
generalizar las situaciones problemáticas y para escribir ecuaciones usando variables; 
también los estudiantes se mostraron hábiles para escribir ecuaciones: sin embargo, 
ellos rara vez usaron sus ecuaciones para resolver problemas similares. Esta 
investigación muestra la gran importancia Que tiene considerar el conocimiento previo 
que los estudiantes tienen antes de enfrentarse a la enseñanza formal del algebra. 
Por su parte, Callaghan (199B) examinó los efectos de un modelo instruccionalllamado 
Computer-Intensive A/gebra (CIA) sobre la comprensión del concepto de función por 
parte de los estudiantes, el modelo contenía los componentes de modelamiento 
(traducir una situación a lenguaje matemático), interpretación (poder entender tablas o 
gráficas centrandose en diferentes aspectos como por ejemplo: puntaje individual y/o 
puntaje global) y traducción (se refiere a la capacidad de moverse de una forma de 
representación a otra). 
Los resultados indican que aquellos estudiantes Que participaron en el CIA lograron un 
mejor entendimiento del concepto de función. No se encontraron en este estudio 
diferencias significativas en cuanto al concepto de reifjcation , el cual se mostró como el 
componente más dificil en el modelo de función propuesto; Más allá de los resultados. 
las estudiantes mostraron mejora en su actitud hacia las matemáticas, se mostraron 
menos ansiosos y percibieron sus clases más interesantes. Un alto porcentaje de 
estudiantes completaron exitosamente el curso de CIA. 
En cuanto a la estructura conceptual de los problemas algebraicos. Weaver y Kintsch 
(1992) realizaron un experimento para investigar la habilidad de los estudiantes para 
clasificar y resolver problemas similares de álgebra. Los datos obtenidos indican que 
J6 
las personas muestran habilidad para percibir similitudes en problemas algebraicos en 
el nivel de estructura conceptuaL Ademas, unas sesiones de tratamiento en las cuales 
los principios estructurales relevantes son explicados puede ser bastante efectivo. Sus 
resultados contrastas con aIras (Reed, 1987; Dempster y Ettinger. ·1985; citados por 
Weaver y Kintsch, 1992) en los cuales se menciona que la relación entre problemas 
algebraicos en el nivel de ecuación son difíciles de reconocer y usar. 
Los resultados mostrados en el estudio anterior. muestran un aspecto importante 
pocas veces considerado, y que se refiere a que los estudiantes logren resolver 
problemas centrándose en el análisis de las relaciones del problemas mas que en 
intentar resolverlos tratando de reproducir las ecuaciones; es decir intentar solucionar 
un problema de forma similar a otro cuando las relaciones Que plantea el nuevo 
problema son diferentes al anterior. 
De acuerdo con lo anterior, Elichiribehety y Otere (2004) reali~aron un estudio acerca 
de los marcos de resolución empleados por los estudiantes de enseñanza secundaria 
en la solución de dos problemas. La investigación se basó en la Teoria de los Modelos 
Mentales de Johnson (Citado por Elichiribehety y Otero, 2004). Los resultados muestran 
que, sín importar la edad, un gran número de estudiantes resuelven los problemas 
orientados por los procesos estratégicos de comprensión del enunciado. Cuando la 
transformación del enunciado verbal no puede realizaíSe en un marco algebraico, los 
alumnos emplean con éxito el marco aritmético. Cuando los estudiantes lograban la 
ejecución en un marco algebraico se considero que se debía a una instrucción escolar 
adecuada. 
Al igual que en el trabajo de Weaver y Kintsch, se destaca en el estudio anterior la 
importancia de considerar los marcos de resolución que emplean los estudiantes para 
resolver problemas. Si bien es cierto que los marcos de resolución aritmético son igual 
de importantes que los algebraicos, es necesario destacar que para emplear este último 
la situación se vuelve más compleja pues necesitan tener en cuenta las relaciones del 
enunciado para poder expresar algebraicamente la información del problema. 
37 
Siguiendo la linea de ensenanza del algebra a traves de la resolución de problemas, 
Mayorga (1987) comparó la efectividad de proporcionar sugerencias generales (como 
por ejemplo: ¿Cual (es) son la (s) incógnita (s)?) y de proporcIonar sugerencias 
específicas (por ejemplo: ¿Cual información estas bu&cando?, ¿Con cual letra 
representas las incógnitas?) para resolver problemas algebraicos. la conclusión de 
este estudio es que las sugerencias de cualquier tipo tienen un efecto positivo en la 
solución de problemas, y que mas que las sugerencias, los tratamientos pueden estar 
condícionados por la aptitud y conocimiento de los estudiantes. 
En términos de estrategias de solución de problemas algebraicos, es importante el 
estudio citado anteriormente pues muestra una ventaja en el uso de las sugerencias a 
estudiante en el momento de enfrentarse a situaciones problematicas; pues bien es 
cierto que muchos estudiantes muestran grandes dificultades para enfrentarse a 
resolución de problemas, lo cual puede ser atribuido a deficiencias en las estrategias 
que se utilizan para enseñarlos a resolver problemas o a la dificultad de transferir los 
métodos de solución a situaciones nuevas. Estudios de esla indole son de gran 
relevancia para mejorar la situación actual de la enseñama-aprendizaje del algebra. 
Con respecto a lo anterior y con relación al trabajo de Mayorga (1987), Miller (1992) 
realizó una investigación con el propósito de examinar los beneficios que se obtienen al 
utilizar las respuestas escritas espontaneas de los alumnos durante la clase de álgebra; 
en este estudio se concluyó que la evaluación que realizaron los profesores de la 
comprensión de los estudiantes en algebra, fue mejorada al leer la respuestas 
espontáneas escritas de los alumnos. 
El estudio anterior describe como es que se pueden mejorar las practicas 
instruccionales de algunos profesores cuando examinan los escritos de los estudiantes 
durante lasclases, pues los datos que se obtienen en investigaciones de este tipo 
muestran que la escritura de los alumnos puede convertirse en un rica fuenle de 
información para 105 profesores sobre el desempeño de sus estudiantes en la clase de 
matemáticas. 
Continuando con los diferentes abordajes en la enseñanza del álgebra. se puede 
destacar el trabajo de Bullo y Rojano (2004), quienes realizaron un estudio sobre la 
transición de la aritmética al algebra basada en un modelo de enseñanza que 
considera fuentes de significados relacionados con el razonamiento numérico y 
geométrico; en el cual se hace explicita la vinculación entre diferentes dominios 
matemáticos. Como por ejemplo utilizar la geometria como una herramienta para 
resolver una incógnita en el cálculo de áreas. 
Los resultados de este estudio sugieren que es importante una introducción temprana al 
álgebra y además, interconectar tres dominios: el aritmético, el geométrico y el 
algebraico. pues los alumnos frecuentemente se encuentran obstáculos en el camino 
como por ejemplo, el tránsito de la aritmética al álgebra. En este sentido otros dominios 
como el geométrico puede contribuir a superar esos obstáculos al abordar secuencias 
geométricas. (Bulto y Rojano, 2004). 
Con respecto a lo anterior, es necesario ayudar a los niños a llegar al pensamiento 
algebraico a temprana edad, ya que muchas dificultades en la escuela secundaria se 
deben en gran parte a la introducción tardía de este contenido matemático. En sus 
estudios, Carraher, Sch1ieman y Brizuela (citados por Bullo y Rajano, 2004) señalan 
que se ha retrasado la introducción al álgebra en las escuelas por concepciones 
error leas acerca de la naturaleza de la aritmética, del álgebra y de la capacidad de los 
niños para tratar con ella. 
Bulto y Rojano (op.cit) afirman que la aritmética es algebraica, porque proporciona 
elementos para construir y expresar generalizaciones. Los niños operan con 10 
desconocido y son capaces de entender las relaciones funcionales que involucran lo 
desconocido. Los autores aseguran que los niños son capaces de razonar sobre las 
variables involucradas en el problema; cuestionando la creencia por parte de los 
educadores matemáticos, de que la aritmética debe enseñarse antes que el álgebra 
39 
debido a que la primera Irala de operaciones que involucran numeras particulares y el 
álgebra trata de numeras generalizados, variables y funciones. 
Por su parte, Pizón y Gallardo (1999) utilizaron un modelo de enseñanza de ecuaciones 
concreto llamado "tablero con fichasH • Estos autores partieron del análisis de las 
dificultades conceptuales y operativas presentadas por los estudiantes de secundaria. Y 
encontraron que los sujetos que participaron en el estudio aprendieron a resolver 
ecuaciones lineales con un modelo concreto y todos prescindieron finalmente de él al 
lograr comprender las reglas del álgebra. 
En el estudio anlerior se destaca la utilidad que proporciona el usar un modelo de 
ensenanza concreto ya que en un primer momento les da la oportunidad a los alumnos 
de manipular los objetos y que vayan comprendiendo poco a poco Iss reglas y las 
representaciones propias det álgebra. 
En referencia a otro concepto importante durante el aprendizaje del álgebra, se realizó 
una investigación (Trigueros y Ursini, 2000) en el cual se analizó la comprensión del 
concepto de variable; los resultados muestran que las concepciones de la variable que 
tienen los estudiantes no muestran una comprensión de este conceplo. Atribuyendo lo 
anterior a las prácticas docentes y al contenido de los cursos de álgebra. 
Los resultados que se reportan en el trabajo antes citada, sugieren que una mala 
conceptualización de la variable puede ser una causa de las dificultades que pueden 
tener los estudiantes en los curses de matemáticas. Por lo que es necesario repensar el 
contenido de los cursos de álgebra asi como las estrategias de enseñanza que 
actualmente se emplean (Trigueros y Ursini, 2000). 
41l 
CAPíTULO 111. 
MÉTODO 
3.1 Pregunta de Investigación: 
¿Cuál es el efecto de la aplicación de un taller de enseñanza del álgebra a través de 
representaciones gráficas y una estrategia de solución de problemas en el tipo de 
esquemas de solución empleado en problemas que implican el empleo de ecuaciones 
de primer grado? 
3.2 Descripción de Variables 
V. I Taller de Álgebra basado en el empleo de una estrategia de solución de problemas 
y de representaciones gráficas. 
V. O tipo de solución empleado en los problemas presentados 
3.3 Tipo de estudio 
Estudio de tipo explicativo, ya que pretende analizar el efecto del taller de álgebra en la 
adquisición de una estrategia de solución de problemas algebraicos. 
3.4 Objetivo 
Que los alumnos analicen y comprendan problemas algebraicos de una incógnita y lo 
solucionen con un esquema de solución algebraico a partir del empleo de una 
estrategia de solución de problemas y de representaciones gráficas. 
4 1 
3.5 Población: 
12 alumnos que asisten al Programa Alcanzando el Éxito en Secundaria (PAES; Ver 
Anexo 1) 
3.6 Escenario: 
Centro comunitario "Julián Mc. Gregor y Sánchez Navarro". 
3.7 Diseño 
Pre - Post tests (G. Control y G. Experimental). 
En este estudio se utilizó un diseño cuasi-experimental pretest- postest con grupo 
control. Al grupo expeíirnental se le aplicó el programa instruccional de álgebra y el 
grupo control continuo con sus actividades académicas regulares. (Ver esquema de 
Diseño) 
1. Esquema de Diseño. 
Entrenamiento (10 Evaluación Final 
, 
I 
I 
1-cr.:u~Evalllación Inicial 
sesiones) 
-Evaluación de la prueba I Con"·o' In=6iE""'U2c;ón de la prueba No 
de 11 problemas de 11 problemas 
I aigebraicos. algebraicos. 
¡Experimental -r -Evaluación de la prueba Si -Evaluación de la prueba 
(n=6) I de 11 problemas de 11 problemas J 
I algebraicos. algebraicos. 
42 
3.8 Procedimiento 
En la pre-evaluación se evaluó el tipo de solución que los alumnos de los grupos 
emplearon para resolver 11 problemas de tipo algebraico con distinto gracia ele dificultad 
(vease Anexo 3; problemas MONEDAS, CONVIVIO, EXCURSiÓN, BoLíGRAFOS, 
NÚMERO DESCONOCIDO, SUELDO, CANARIOS, FLORES Y CUMPLEAÑOS, 
ECUACIONES Y LOS SIETE AMIGOS.). La evaluación se realizó de forma individual. 
La intervención fue realizada durante las sesiones de tutoría . Se desarrollaron 10 
sesiones de 50 minutos de duración. Durante las sesiones los alumnos practicaron 
problemas correspondientes a diversas situaciones. Emplearon lápiz, papel y el tabiero 
de fichas. En terminos generales la intervención se conformo de tres fases. 
Fase 1. Conformación de los grupos del diseño de investigación y evaluación inicial. 
De los estudiantes que asisten al PAES, se seleccionaron a alumnos que cursaban el 
segundo grado de educación secundaria ya que es e! grado en el cual el álgebra 
comienza a ser parte fundamental del programa de secundaria . Se formaron dos 
grupos conformado pOi 6 estudiantes cada uno. 
Una vez conformados los grupos experimental y control a cada uno de los sujetos de 
ambos grupos se les aplicaren las taieas de evaluación inicial. 
Fase 2. Entrenamiento en estrategias de Solución de problemas por medio del tablero. 
Con los sujetos del grupo experimental se realizó el entrenamiento de solución de 
problemas por medio del tablero de fichas el cual es una adaptación de Pizón y 
Gallardo (2000). 
El programa de entrenamiento se llevó a cabo en 10 sesiones efectivas (aplicadas en 
10 semanas). La duración de cada sesión fue aproximadamente de 50 minutos. 
43 
El tablero de fichas es un rectángulo de 65 cm. pO!" 41 cm. dividido en dos partes 
iguales, lado izquierdo, lado derecho, con un signo igual en medio. Las fichas utilizadas 
fueron de dos figuras: Triángulos y círculos . Los colores de las fichas son blancos y 
negros. 
Los símbolos se representan de la siguiente manera: 
6.. Representa la x (equis