Analisis-de-eficiencia-a-traves-de-fronteras-no-parametricas--DEA-Aplicacion-al-mercado-de-las-AFOREs

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA 
 DE MÉXICO 
 
 
 
 
 
 FACULTAD DE CIENCIAS 
 
 
 
 
Análisis de Eficiencia a través de Fronteras no 
Paramétricas: DEA. Aplicación al mercado de las 
AFOREs 
 
 
 
 
 
 
 
T E S I S 
 
 QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE: 
 M A T E M Á T I C O 
 P R E S E N T A : 
 
 JOSÉ BENJAMIN MEDINA VERA 
 
 
 
 
 
 
DIRECTOR DE TESIS: 
 
ACT. RUBÉN UGALDE FRANCO 
 
2007 
 
 
 
 
 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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Hoja de Datos del Jurado 
 
 
1. Datos del alumno 
Medina 
Vera 
José Benjamin 
21612925 
Universidad Nacional Autónoma de México 
Facultad de Ciencias 
Matemáticas 
094236158 
 
 
2. Datos del tutor 
Act. 
Rubén 
Ugalde 
Franco 
 
 
3. Datos del sinodal 1 
Mat. 
Adrián 
Girard 
Islas 
 
 
4. Datos del sinodal 2 
Act. 
Ma. del Rosario 
Espinosa 
Tufiño 
 
 
5. Datos del sinodal 3 
M. en A. 
Oscar 
Aranda 
Martínez 
 
 
6. Datos del sinodal 4 
Act 
Salvador 
Pérez 
Maldonado 
 
 
7. Datos del trabajo escrito 
Análisis de Eficiencia a través de Fronteras no Paramétricas: DEA. 
Aplicación al mercado de las AFOREs 
100 p 
2007 
 
 
AGRADECIMIENTOS 
 
 
Mi más profundo agradecimiento a: 
 
 Mis Padres (Raquel Vera y Benjamin Medina) 
 Rubén Ugalde Franco (Tanta bondad de este hombre) 
 Ma. del Rosario Espinosa Tufiño 
 Adrián Girard Islas 
 Oscar Aranda 
 Salvador Pérez 
 Cesar Guevara 
 Mi Banda Científica: 
• Gaby (la pequeña gigante de la Fac.) 
• Mariana (todo una mujer calculadora) 
• Guillermo (gran habilidad para componerlas en el aire … todo un artista) 
• Alfredo (conocido dentro del gremio como “el amigo Beto”… como no!!!!!) 
• Benjamin (siempre estimado …tocayo) 
• Mara (gran amiga) 
• José Luis 
 Familia Segura Chavarria 
 Pilar Trujillo Andrade 
 
 
¿Por qué? ............ c/u lo sabe … muy dentro de su ser inmaculado (supongo) Y SI NO 
…. algún día … algún día … comprenderán … por que del cielo y las tinieblas…. 
 
 
Análisis de Eficiencia a través de Fronteras no Paramétricas: DEA. 
 Aplicación al mercado de las AFOREs 
 
Índice General 
 
Capítulo 1 
Concepto y Medición de la Eficiencia 
1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 
1.2 Definición de Conceptos: Eficacia, Productividad y Eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 
1.3 Comparativo de Eficiencia vs. Eficacia y Productividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 
1.4 Descomposición de la Eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 
 1.4.1 Económica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 
 1.4.2 Productiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 
1.5 Derivados del concepto de Eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 
1.6 Estudio de la Medición de Eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 
 1.6.1 Koopmans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 
 1.6.2 Debreu-Farrell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 
1.7 Medición de la Eficiencia de Farrell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 
 1.7.1 Orientación input . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 
 1.7.2 Orientación Output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 
1.8 Función de Distancia de Shephard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 
 1.8.1 Orientación-Input . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 
 1.8.2 Orientación-Output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 
 1.8.3 Representación Grafica de las Funciones de Distancia Orientación-Input . . . . . 13 
 1.8.4 Representación Grafica de las Funciones de Distancia Orientación-Output . . . . . 14 
1.9 Interpretación de los Índices de Eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 
1.10 La Utilidad de las Medidas de Eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 
1.11 Métodos de Estimación de las Fronteras de Eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 
 1.11.1 Fronteras Determinísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 
 1.11.2 Frontereras Estocásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 
1.12 Cálculo Empírico de las Fronteras de Eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 
 1.12.1 Paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 
 1.12.1.1 Programación matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 
 1.12.1.2 Mínimos Cuadrados Ordinarios Corregidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 
 1.12.1.3 Máxima Verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 
 1.12.2 No Paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 
 
 1.12.2.1 Análisis Envolvente de Datos (DEA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 
 1.12.2.2 Free Disponsal Hull (FDH) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 
1.13 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 
 
 
Capítulo 2 
Análisis Envolvente de Datos (DEA) 
2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 
2.2 Modelos CCR (Rendimientos Constantes a Escala) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 
2.3 Modificaciones a los Modelos Iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 
2.4 Holguras (slacks) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 
2.5 Comparación y Contraste delModelo (CCR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 
2.6 Modelos BCC (Rendimientos Variables a Escala) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 
2.7 Comparativo de los Modelos CCR vs. BCC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 
2.8 Tipos de Variables en el Análisis de Eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 
2.9 Variables no Controlables y Variables Ambientales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 
2.10 Modelos DEA para Variables de Entorno o Ambientales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 
2.11 Etapas del DEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 
 2.11.1 Definición y Selección de las DMU’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 
 2.11.2 Selección de los Factores de Entrada y Salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 
 2.11.3 Aplicación del Modelo y Análisis de Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 
2.12 Software DEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54 
2.13 Valoración del Análisis Envolvente de Datos (DEA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 
2.14 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 
2.15 Concentrado de los Modelos CCR y BCC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 
 
 
 
Capítulo 3 
Análisis de Eficiencia Técnica en las Administradoras de Fondos para 
el Retiro (AFORES), a través del Análisis Envolvente de Datos (DEA) 
3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 
3.2 Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 
 3.2.1 Reforma de 1992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 
 
 3.2.2 Reforma de 1997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 
3.3 Beneficios de la Reforma de 1997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 
3.4 Características del Mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 
3.5 Características de las Empresas y Estructura del Mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 
3.6 Análisis de Eficiencia técnica de las AFOREs. Aplicación del DEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 
 3.6.1 Definición de las unidades de medición (DMU’s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 
 3.6.2 Definición de la variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 
 3.6.3 Modelo DEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 
3.7 Análisis de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 
3.8 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 
 
A n e x o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 
B i b l i o g r a f í a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introducción 
 
 
Para toda organización es de indudable importancia el conocimiento de su desempeño productivo, 
siendo este el que determina una buena actuación en su fin o no. En este sentido surge el término 
eficiente, que cataloga dicha actividad, siendo el nivel de producción alcanzado, el que valora su 
actividad. 
 
Definiendo a la Eficiencia Productiva como: la habilidad para producir un producto a un costo 
mínimo. A su vez, para minimizar el costo de producción la unidad productiva debe: 
 
 Utilizar la menor cantidad de insumos para producir un nivel dado de producto (eficiencia 
técnica). 
 Elegir la combinación de factores adecuada (eficiencia en la asignación), dado el precio 
relativo de los mismos. 
 
El concepto de eficiencia está relacionado con la economía de recursos. Es frecuente definir la 
eficiencia como la relación entre los resultados o productos obtenidos y los recursos o insumos 
utilizados. Dado que las empresas suelen producir múltiples productos a partir de múltiples insumos, 
la eficiencia será en cualquier caso una magnitud multidimensional. Por ello, cabe preguntarse 
¿Cómo medir la eficiencia? 
 
Los trabajos realizados por Koopmans Farrell y Debreu son el punto de partida para la evaluación de 
la eficiencia, siendo Farrell el pionero de la medición de la eficiencia. Farrell propuso que se visualice 
la eficiencia desde una perspectiva real y no ideal, donde cada unidad productiva sea evaluada con 
respecto a un grupo homogéneo, es decir su actividad productiva es similar variando únicamente en la 
combinación de sus factores productivos. Por tanto el índice de eficiencia obtenido será relativo, y no 
absoluto. Así mismo Farrell descompone a la eficiencia en dos componentes: técnica y asignativa, 
que en conjunto generan la eficiencia productiva global 
 
A partir de esta propuesta se han desarrollado varias técnicas de medición de eficiencia, denominados 
métodos frontera. En términos generales, los estudios de fronteras tecnológicas pueden ser 
clasificados atendiendo a diferentes características, dependiendo de la forma en que la frontera es 
especificada y estimada. Es decir, estos enfoques difieren en la definición o no de una forma 
funcional a priori sobre la tecnología y en la presencia o no de error aleatorio (en la práctica, esto se 
traduce en que la frontera se estime con herramientas econométricas o de programación matemática). 
 
La utilización de modelos de frontera se ha extendido considerablemente en los últimos años, 
aplicándose a diversos sectores productivos (públicos y privados). Son varias las razones que 
justifican tal desarrollo, entre las que pueden destacarse las siguientes: 
 
 El concepto de frontera es consistente con la teoría económica del comportamiento 
optimizador de las empresas. 
 Las desviaciones de la frontera pueden interpretarse directamente como una medida de la 
eficiencia con la que las empresas consiguen sus objetivos. 
 La información que proporcionan en términos de eficiencia relativa de las empresas, es de 
indudable valor ya que tiene importantes aplicaciones políticas para gestores y reguladores. 
 
Las características de estas técnicas han permitido comparar unidades productivas en áreas concretas, 
analizar el crecimiento económico en zonas específicas e incluso comparar en áreas no tradicionales, 
y en situaciones donde no existe un consenso de qué elementos tienen mayor peso, como puede ser el 
sector público. 
 
Dentro del conjunto de métodos frontera existen ciertas discrepancias por parte de los investigadores, 
en cuanto, a cual es la mejor metodología y la que determina mayor alcance dado un determinado 
campo de estudio. En este sentido la eleccióndel análisis envolvente de datos (DEA) como 
metodología de análisis para esta tesis, obedece a que la no se requiere la especificación de una forma 
funcional de la tecnología de producción, por ser una técnica no parametrica. Además, permite 
asumir rendimientos constantes y variables a escala, sobre las tecnologías de producción, aunado a 
esto es posible determinar el nivel de eficiencia a escala, lo cual no es posible con los métodos 
parametricos. 
 
Los modelos DEA básicamente son técnicas de programación matemática, las cuales están basadas en 
los principios de la medición de eficiencia propuesta por Farrell, Debreu y Koopmans 
 
Por otro lado, la propuesta de análisis de eficiencia técnica, esta enfocada a las administradoras de 
fondos para el retiro (AFOREs), dado el interés que representa el nuevo sistema de pensiones a casi 
10 años de darse la reforma de 1997 de la ley del Seguro Social, en donde se adopta un sistema de 
capitalización basadas en cuentas individuales, dejando atrás el sistema de beneficio definido. El 
análisis propuesto se basa en la identificación de puntos de acumulación de fondos y trabajadores 
afiliados al sistema, por parte de las AFOREs, generando de esta forma un score de eficiencia. 
 
La estructura de la tesis en cuanto a su contenido es la siguiente: 
 
Capitulo 1 
 
Se realiza una revisión de los conceptos de eficacia, productividad y eficiencia, como parte 
introductoria al análisis de eficiencia, para posteriormente introducir el marco teórico del estudio de 
la eficiencia, introducido por Koopmans, Farrell y Debreu. Además se realizará una revisión de la 
propuesta hecha por Farrell respecto a la medición de la eficiencia. Finalmente se revisarán los 
métodos frontera empleados para la medición de la eficiencia, concluyendo con un comparativo de 
los métodos frontera en cuanto a sus ventajas de uso y a la información que se requiere para utilizar 
alguno de los métodos antes expuestos. 
 
 
Capitulo 2 
 
En este capítulo se analiza detalladamente la metodología DEA (Data Envelopment Analysis), 
concentrando la investigación en el desarrollo de los Modelos CCR (Rendimientos Constantes a 
Escala) y Modelos BCC (Rendimientos Variables a Escala) en ambas orientaciones Input – Output, 
además de énfatizar en las etapas de un análisis de eficiencia técnica a través del DEA, así como el 
tipo de variables que intervienen en los procesos productivos. Adicional a esto se complementa con la 
exposición del software –DEA existente para la evaluación de los índices de eficiencia técnica. 
Finalmente se consideran las ventajas y limitantes que se presentan al trabajar con esta metodología. 
 
 
Capitulo 3 
 
Se realiza un análisis de eficiencia técnica en las Administradoras de Fondos para Retiro (AFOREs), 
iniciando con una detallada explicación de los antecedentes y después de la reforma generada del 
Seguro Social en 1997, además de hacer notar las ventajas existentes que se han tenido con está 
nueva reforma, asi mismo se realiza un detallado análisis histórico de las administradoras que han 
gestionado bajo este nuevo régimen de pensiones durante el periodo 1997-2005. Finalmente se 
plantea el análisis de eficiencia técnica enfocando a la valoración financiera ligada al número de 
afiliados que ha tenido cada una de las administradoras en diferentes periodos de gestión. 
 
No está de más expresar que otras dos intenciones de esta tesis, además de lo que ya fue mencionado, 
son la de contribuir en el campo del mercado de pensiones y la formación de un acervo académico de 
referencia en el campo del análisis de eficiencia. 
 
Análisis de Eficiencia a través de Fronteras no Paramétricas: DEA. Aplicación al mercado de las AFOREs. 
 
___________________________________________________________________________________ 
 
1
 
 
 
 
Capítulo 1 
 
 
 
 
 
 
 
Concepto y Medición de la 
Eficiencia 
 
 
 
 
 
1.1 Introducción 
La idea de comparar empresas según su comportamiento de producción, es de indudable interés para el análisis 
económico. En este sentido, surgen conceptos como: productividad, eficiencia y eficacia. Los cuales son 
analizados para determinar el nivel de producción alcanzado, dentro de un conjunto de unidades productivas 
(homogéneas) en estudio, siendo el nivel de producción el que determina el mejor o el peor productor. 
Generando un “score de producción” asociado a cada unidad productiva según sus niveles de producción. La 
medición del conjunto de unidades productivas, se basa en la construcción de fronteras de producción de forma 
empírica, en donde su estimación se obtiene a través de métodos paramétricos o no paramétricos, los cuales 
pueden tener un carácter, determinístico o bien estocástico, respectivamente. 
Análisis de Eficiencia a través de Fronteras no Paramétricas: DEA. Aplicación al mercado de las AFOREs. 
 
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2
Ahora bien, es necesario establecer las diferencias que existen en los conceptos de productividad, eficiencia y 
eficacia ya que es el punto de partida para un análisis de comparación, dado que estos términos suelen ocuparse 
como sinónimos, ya sea en sentido general o económico. Considerando el aspecto cualitativo, es decir: de lo que 
funciona bien, del resultado que soluciona satisfactoriamente un problema de producción (ya sea de bienes o 
servicios). La inferencia que subyace aquí es el aspecto cuantitativo ya que la manera en la cual relacionan sus 
insumos-productos para alcanzar sus objetivos lo hacen de diferente forma, es aquí donde difiere la definición de 
cada uno de estos términos. Por lo que es indispensable definir y analizar cada uno de estos conceptos, además 
de verificar las diferencias existentes en cada uno de estos términos. 
 
 
1.2 Definición de Conceptos: Eficacia, Productividad y Eficiencia 
 
Eficacia 
 
La eficacia se refiere únicamente a la obtención de los resultados, sin tomar en cuenta los recursos empleados 
por parte de una organización productiva. Es decir, una determinada iniciativa es más o menos eficaz según el 
grado en que cumple sus objetivos, teniendo en cuenta la calidad y la oportunidad, sin considerar los costos. 
 
Por ejemplo, supongamos que se desea evaluar las actividades académicas en universidades. Se fija un 
determinado objetivo, como por ejemplo el incremento en las publicaciones de investigación científica, a aquella 
institución que consiga un nivel de realización mas próximo al objetivo será la mas eficaz; sin embargo, puede 
ocurrir que algunas instituciones hayan obtenido un mismo nivel de publicaciones, una con dos y otra con diez 
investigadores, lo que implica diferentes costos, tiempo, etc. 
 
 
Productividad 
 
Ahora, por otro lado el término productividad está de igual manera asociado al de eficiencia encontrando una 
relación directa con ésta, en el sentido de la producción, e indirecta con los productores más o menos eficientes, 
o mas o menos productivas. 
 
Lovell (1993) define a la productividad de una unidad productiva como el cociente entre sus productos y sus 
insumos, donde valores mayores del cociente están asociados a un mejor desempeño. Este cociente tiene como 
objetivo evaluar el grado de aprovechamiento de los recursos físicos empleados. Un ejemplo típico es la 
productividad media del trabajo, que cotidianamente se calcula dividiendo el total de la producción por la 
cantidad de empleados que han formado parte de la producción, entonces podemos decir que la productividad, 
no es más que una mera medición de la relación entre el total producido y los recursos empleados en un 
momento dado del tiempo y dada la escala de producción elegida. 
 
 
Eficiencia 
 
La eficienciaes un concepto relativo, que se obtiene por comparación con otras alternativas posibles, 
considerando los recursos empleados en la consecución de los resultados; en el caso de la actuación de una 
unidad productiva, se puede indicar que ésta es económicamente eficiente cuando es capaz de producir un 
producto a un menor costo, que el costo que de producirlo con el resto de las alternativas existentes en el 
mercado. 
 
En la teoría económica el concepto empleado es la eficiencia de Pareto: Se considera que una unidad es eficiente 
si no existe otra en la muestra que produzca más de alguno de los outputs sin producir menos de algún otro y sin 
utilizar más de alguno de los recursos productivos, o bien, si no existe alguna unidad que produzca los mismos 
outputs con menos cantidad de algún factor productivo y no más de los restantes, es decir: 
Análisis de Eficiencia a través de Fronteras no Paramétricas: DEA. Aplicación al mercado de las AFOREs. 
 
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3
ea m el número de insumos que utiliza la j-ésima unidad de toma de decisión para elaborar s productos. Sean 
la cantidad del r-ésimo producto elaborado y la disponibilidad del i-ésimo recurso utilizado por la j-ésima 
unidad productiva, para y . Se dice que: 
rjy
ijx
mi ,...,1= sr ,...,1=
 
 La -ésima unidad productiva es eficiente Pareto, bajo una orientación Output, si no existe otra 
j-ésima unidad productiva, ≠ j tal que , para algún 
0j
0j
0'' jrjr yy > 'r , y para todo 0rjrj yy > rr ≠' . Siempre 
que , i. 
0ijij xx ≤ ∀
 La -ésima unidad productiva es eficiente Pareto, bajo una orientación Input, si no existe otra j-ésima 
unidad productiva, ≠ j tal que , para algún i’, y . para toda . Siempre que 
, r. 
0j
0j
0'' jiji xx < 0ijij xx ≤ 'ii ≠
0rjrj yy > ∀
 
Por lo tanto, la eficiencia de Pareto se puede resumir como: Una combinación de recursos es eficiente si y sólo si 
no existe otra que mejore los niveles de productividad. 
 
La eficiencia se trata por lo tanto de un concepto económico que viene justificado por la tradicional escasez de 
recursos susceptibles de empleo en usos alternativos. No tiene un carácter absoluto ya que viene determinado por 
las alternativas existentes. 
 
Cada unidad productiva elige la combinación de insumos que le permite obtener una producción de bienes y 
servicios. La evaluación de cómo una empresa consigue su producción se realiza con la medición de su 
eficiencia productiva. 
 
Un tipo particular de eficiencia es la denominada “Eficiencia X”, cuyo origen se encuentra en Leibenstein 
(1966), la cual se deriva de la inexistencia de incentivos y mecanismos de evaluación que aseguren el máximo 
rendimiento de los trabajadores y, en consecuencia, garanticen la consecución del menor coste posible. 
 
Los individuos pueden limitar su esfuerzo, en su propio interés, de manera que hagan falta más horas de trabajo 
de las necesarias por cada factor de producción. 
 
 
1.2 Comparativo de Eficiencia vs. Eficacia y Productividad 
 
Comparativo de Eficiencia y Eficacia 
 
Si la eficacia mide el grado en el que se cumplen los objetivos y eficiencia el grado en que se cumplen los 
objetivos al menor costo posible, es obvio que la diferencia radica en que la eficiencia conlleva un sentido 
económico y la eficacia no, esto implica que una organización o iniciativa para ser eficiente debe ser eficaz, 
concretamente, se considerara que la eficacia es necesaria (sin ser suficiente) para lograr la eficiencia. 
 
En tanto que la eficiencia es el grado en que se cumplen los objetivos de una organización productiva al menor 
costo posible. El no cumplir cabalmente con los objetivos y/o el manejo no adecuado de los recursos o insumos 
hacen que la iniciativa resulte ineficiente (o menos eficiente). De tal manera que la eficiencia guarda una 
relación directa con el resultado generado. 
 
 
 
 
 
 
Análisis de Eficiencia a través de Fronteras no Paramétricas: DEA. Aplicación al mercado de las AFOREs. 
 
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4
Comparativo de Eficiencia y Productividad 
 
Supongamos el caso simple de una unidad productiva, el cual utiliza la relación de un solo input (X), para 
producir un único output (Y), como se muestra en la siguiente figura. 
 
La curva f representa la función de producción. Tanto la DMU1 A como la B presentan la misma productividad. 
La DMU B es eficiente, ya que no hay otra que, con el mismo o menos consumo de input, produzca mayor 
cantidad de output, o que produzca el mismo output con menos input. En cambio, la DMU A no es eficiente, ya 
que con su nivel de input, el output óptimo que debería alcanzar sería el de la DMU C, o bien, podría llegar a 
producir la misma cantidad de output con el consumo de input de la DMU D. Así pues, la ineficiencia de una 
DMU puede evaluarse desde el punto de vista de los inputs o de los outputs. Por último, obsérvese que la DMU 
E presenta una menor productividad que A y B, no siendo tampoco eficiente. 
 
Así pues, cuando el objetivo es evaluar la actividad de una DMU respecto a otras, en el sentido del nivel de 
efectividad en el uso de sus recursos, el cálculo del nivel de eficiencia aporta información más relevante que el 
de productividad y el de eficacia. 
 
 
1.4 Descomposición de la Eficiencia 
 
La eficiencia maneja dos vertientes, el aspecto económico y el productivo. En este sentido se habla de dos tipos 
de eficiencia: la económica y la productiva. 
 
⎩
⎨
⎧
 Productiva 
Económica 
 Eficiencia 
 
1.4.1 Eficiencia Económica 
 
Este tipo de eficiencia analiza si se debe producir o no un bien o servicio comparando beneficios y costos. La 
necesidad de comparar procesos que utilizan insumos diferentes o que utilizan múltiples insumos en 
proporciones diferentes ha conducido al concepto de eficiencia económica. Esta medida concreta el criterio de 
eficiencia en una medición de unidades de producto (logro o efecto) por costo de los diversos insumos y recursos 
necesarios para generarlo así como los costos sociales. El criterio de eficiencia económica, entonces, se puede 
relacionar con un índice costo-efectividad y mide el logro de los objetivos por un lado y, por otro, los costos 
antes de producir dicho bien. 
 
 
 
 
1 Del inglés Decisión Making Unit (DMU), es el término con que se denota a las unidades productivas que son objeto de análisis. 
 
Análisis de Eficiencia a través de Fronteras no Paramétricas: DEA. Aplicación al mercado de las AFOREs. 
 
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5
 
1.4.2 Eficiencia Productiva 
 
La eficiencia productiva es la habilidad de una unidad productiva, para producir un determinado producto o 
servicio a un costo mínimo. Para alcanzar el mínimo costo se deben utilizar los insumos de la manera mas 
eficiente, es decir escoger cierta combinación de insumos correctamente, en donde se pueda alcanzar una cierta 
producción satisfactoria (eficiencia técnica) y además, cuidar que dicha combinación sea tal que se minimicen 
los costos dado el precio en el mercado de los mismos (eficiencia asignativa). 
 
 
1.5 Derivados del Concepto de Eficiencia 
 
En relación con las extensiones del concepto de eficiencia pueden citarse las nociones de economías de escala y 
de alcance, la eficiencia de los programas y la idea de competitividad. 
 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
idadCompetitiv 
programas los de Eficiencia 
alcance de Economías 
escala de Economías 
 
Eficiencia de
concepto del Derivados
 
 
Una de las posibles causas de los ahorrosen términos de costos o de recursos productivos puede provenir de la 
escala de operaciones. Las economías de escala2 se producen cuando, como consecuencia de un aumento de los 
recursos en una determinada proporción, se producen aumentos más que proporcionales en la producción, lo que 
asegura una disminución de los costos medios y marginales. Otra posible causa puede provenir de la producción 
de más de un bien o servicio, puesto que en ocasiones el uso de recursos que se comparten en la generación de 
los mismos puede reducir el costo de la producción conjunta. Son las denominadas economías de alcance que 
están también relacionadas con la escala de las operaciones. 
 
Una parte de los estudios de eficiencia realiza un análisis en dos etapas, que hace que sea posible separar la parte 
de la ineficiencia debida a la gestión y la originada por el diseño de los programas. El resultado de la segunda 
fase se interpreta como la eficiencia de los programas y proviene de realizar estimaciones de eficiencia una vez 
que todas las unidades productivas forman parte de la frontera inicial de producción. 
 
Todos los derivados del concepto de eficiencia definidos hasta ahora reflejan una dimensión interna de la 
eficiencia, entendida como la obtenida como consecuencia del mejor aprovechamiento de los recursos en un 
entorno organizativo similar. Álvarez Pinilla (2001) señala que puede ocurrir que existan dos empresas igual de 
eficientes desde el punto de vista asignativo, pero que obtengan distintos resultados de explotación. Las 
empresas obtendrán el mínimo costo de producción para los precios que se hayan fijado como referencia para la 
venta, pero su nivel de beneficios depende de la capacidad de vender los productos en el mercado. 
 
La competitividad representaría la dimensión externa de la eficiencia. En un entorno institucional que favorezca 
la competencia, las empresas tienen escasa capacidad para jugar con el margen de beneficios extraordinarios, lo 
 
2 En este caso se producirían rendimientos crecientes a escala. Si el aumento se produce en igual proporción a las de los recursos serian 
constantes y si se genera en menor proporción la producción, que los recursos serían decrecientes. 
Para expresar estos hechos de forma matemática considere lo siguiente: 
Rendimientos Crecientes a Escala: )()( XfXf αα > 
Rendimientos Constantes a Escala: )()( XfXf αα = 
Rendimientos Decrecientes a Escala: )()( XfXf αα < 
Análisis de Eficiencia a través de Fronteras no Paramétricas: DEA. Aplicación al mercado de las AFOREs. 
 
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6
 
que les llevara a competir ofreciendo productos de calidad mediante la reducción de sus costos3. Otra posible 
estrategia competitiva seria diferenciar el producto ofrecido mediante la calidad asociada a la marca, lo que 
puede conducir a mantener un precio superior al de empresas del mismo sector sin que delimite la demanda de la 
empresa. 
 
 
1.6 Estudio de la Medición de Eficiencia 
 
La medición de la eficiencia se basa en la idea de comparar la actividad productiva real de la(s) empresa(s) con 
respecto a un óptimo. Sin embargo al no conocer con exactitud ni la tecnología ni algunas restricciones sobre la 
producción, el análisis de medición se realiza sobre una comparación del conjunto de empresas a evaluar, 
asumiendo que se maneja un grupo homogéneo, es decir su actividad productiva es similar variando únicamente 
en la combinación de sus factores productivos. Esta fue la idea en la cual se baso Farrell (1957) para determinar 
empíricamente un estándar de referencia, la frontera, con el que comparar las empresas para determinar si son 
eficientes o no. Las medidas de eficiencia calculadas de esa manera definen lo que se conoce como eficiencia 
relativa, es decir, miden la eficiencia de una empresa comparando su actuación con la de las “mejores” empresas 
observadas, que son las que definen la frontera eficiente. 
 
Esta idea de medir la eficiencia por parte de Farrell, es considerada como el origen de todos los estudios en este 
campo. Recalcando la importancia que tuvieron los trabajos previos hechos por Koopmans y Debreu en esta 
área, dado que Farrell tomó como punto de partida a su definición de medición de eficiencia los conceptos dados 
por estos dos autores. 
 
 
1.6.1 La Eficiencia de koopmans 
 
El estudio formal de la eficiencia se inicio en los años 50’s con los trabajos de Koopmans4 (1951) el cual define 
a la eficiencia de la siguiente manera: un productor es técnicamente eficiente si un incremento en cualquier 
producto requiere una reducción en al menos algún otro producto o un incremento en al menos algún otro 
insumo o una reducción en al menos un producto. Entonces, un productor técnicamente ineficiente podría 
producir los mismos productores con menos de al menos un insumo, o podría utilizar los mismos insumos para 
producir más de al menos un producto. Esta definición coincide con la dada por Pareto citada anteriormente. 
 
Fare, Grosskopf y Lovell (1994) advierten que desde el punto de vista empírico la definición de Koopmans debe 
tratarse como una noción relativa, donde la eficiencia técnica se evalúa en relación a las mejores prácticas 
observadas en la muestra. 
 
 
1.6.2 La Eficiencia de Farrell y Debreu 
 
La medida introducida por Debreu 5(1951) y Farrell 6(1957) se define como uno menos la máxima reducción 
equiproporcional en todos los insumos que todavía permite la producción del nivel dado de productos. Una 
medida igual a uno indica un cien por ciento de eficiencia técnica, ya que no es factible realizar ninguna 
reducción equiproporcional en los insumos, mientras que una medida menor a uno, da una idea de la magnitud 
de la ineficiencia técnica, considerando que la medida de ineficiencia está en un rango cero y menor que uno. 
 
 
3 Por este motivo el análisis de la eficiencia asignativa en los mercados de competencia perfecta se enfoca desde la perspectiva de la 
reducción de costos, dado que los precios de una empresa se entienden prefijados por el Mercado. En consecuencia, el punto máximo de 
beneficios conduce al punto mínimo de costos. 
4 Koopmans, T. C. (1951) “Analysis of Production as an Efficiency Combination of Activities”, en T. C. Koopmans (ed.), Activity 
Analysis of Production and Allocation , Wiley, New York. 
5 Debreu, G. (1951), “ The coefficient of resource Utilization”, New York 
6 Farell, M.J. (1957) “The Measurement of Productive Efficiency”, Journal of the Royal Statistical Society 
Análisis de Eficiencia a través de Fronteras no Paramétricas: DEA. Aplicación al mercado de las AFOREs. 
 
___________________________________________________________________________________ 
 
7
 
Por ejemplo (en un enfoque hacia los inputs) un índice de eficiencia de 0.85 indicaría que esa DMU debería 
reducir el consumo en todos sus inputs en un 15% (quince por ciento) para lograr ser “eficiente”7
 
La medida de Debreu-Farrell es un ejemplo de una medida radial de eficiencia técnica, las medidas radiales 
tienen la ventaja de ser independientes de la unidades de medida y una de sus desventajas, sería la discrepancia 
con la definición de Koopmans-Pareto de eficiencia técnica, es decir, la primer definición identifica 
correctamente a todas las unidades productivas eficientes en el sentido de Koopmans-Pareto como técnicamente 
eficientes, pero también identifica como técnicamente eficientes a otras unidades productivas situadas en la 
isocuanta, fuera del subconjunto eficiente, es decir situaciones en las que, a pesar de lograrse la máxima 
reducción proporcional en todos los insumos o el máximo incremento en todos los productos, queda lugar para 
reducir la utilización de algunos inputs o incrementar la producción de algunos outputs, por lo tanto el conceptode eficiencia ofrecido por Koopmans-Pareto es más estricto que el definido por Debreu-Farrell, es decir, toda 
unidad eficiente en el sentido de Koopmans-Pareto lo es en el de Debreu-Farrell, mientras que la afirmación 
contraria no se cumple en general. 
 
Farell propuso que se visualice al índice de eficiencia desde una perspectiva real y no ideal, en donde cada 
unidad productiva sea evaluada en relación con otras unidades tomadas de un grupo representativo y 
homogéneo. De esta manera, la medida de eficiencia será relativa y no absoluta, donde el índice de eficiencia 
logrado por una unidad productiva determinada corresponde a una expresión de la desviación observada respecto 
a aquellas consideradas como eficientes. 
 
 
1.7 Medición de la Eficiencia Propuesta por Farrell 
 
El trabajo de Farell (1957) contiene dos grandes aportaciones. Por un lado desarrolla un método para el cálculo 
empírico de los índices de eficiencia y por otro lado, propone descomponer la eficiencia productiva en: eficiencia 
técnica y eficiencia asignativa, a través de una medición radial. 
 
 Eficiencia técnica: Se refiere a la habilidad de una unidad productiva para obtener el máximo nivel de 
producción dado un conjunto de insumos o bien, a partir de un nivel dado de producto(s), obtenerlo(s) 
con la menor combinación de insumos. 
 
 Eficiencia asignativa: Muestra la habilidad de una unidad productiva para utilizar los factores en 
proporciones óptimas, considerando sus precios, y obtener un determinado nivel de producción con el 
menor costo o bien, para un determinado nivel de costos, obtener la máxima cantidad de producto(s). 
 
 Por lo tanto se tiene que: 
 
Eficiencia Productiva global = (Eficiencia Técnica) (Eficiencia Asignativa) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 Es decir pertenecer a la isocuanta. 
Análisis de Eficiencia a través de Fronteras no Paramétricas: DEA. Aplicación al mercado de las AFOREs. 
 
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8
1.7.1 Orientación - Input 
 
El cálculo de la medición de eficiencia propuesta por Farrell, parte del supuesto de la existencia de rendimientos 
constantes a escala en la tecnología de producción, muestra a través de una isocuanta unitaria 8'SS las 
combinaciones eficientes de dos inputs que permiten producir una unidad de input , y suponiendo 
además el conocimiento de la restricción de costos en los factores de producción 
),( 21 XX )(Y
'AA 9. Farrell muestra el 
desempeño (in)eficiente de una unidad productiva , como se muestra a continuación: )(P
 
Dada la ubicación de la empresa P, dentro del conjunto de combinaciones eficientes y presupuestales, es decir la 
isocuanta unitaria y la restricción presupuestal 'SS 'AA , respectivamente. Definimos el desempeño eficiente en 
función del conjunto eficiente (asignativo y técnico) de esta DMU. 
 
P Es técnicamente ineficiente ya que su combinación de inputs para producir una unidad de Output, es 
 superior a cualquier combinación perteneciente al conjunto eficiente, es decir a aquellas que pertenecen 
 a SS’. 
 
Q Es técnicamente eficiente, dado que resulta de la proyección de la DMU P al origen, manejando la 
 misma combinación de inputs de forma proporcional que la DMU P, además teniendo como límite de 
 reducción en los inputs, la frontera eficiente. 
 
QP Es la ineficiencia técnica de la DMU P, es decir, la cantidad en que se puede reducir proporcionalmente 
 los insumos sin reducir la cantidad producida. 
OP
OQ Es el índice de eficiencia técnica, teniendo como referente eficiente a la DMU Q. 
OP
QP Es el índice de ineficiencia técnica, es decir, el porcentaje en que deben de reducir sus inputs, para 
 poder pertenecer al conjunto eficiente. Este índice es el resultado de uno menos el índice de eficiencia 
 técnica, es decir: 
OP
QP
OP
OQ
=−1 
 
Q’ Es asignativamente eficiente. Siendo esta, la única DMU que maneja la combinación de inputs que 
 minimiza el costo de la producción. 
 
8 Esta curva será el referente eficiente, la cual nos permitirá medir la eficiencia técnica de alguna empresa que se encuentre 
fuera de este conjunto. 
9 determina el nivel de eficiencia asignativa de todas aquellas unidades productivas dentro y fuera del conjunto 
eficiente técnico. 
'AA
Análisis de Eficiencia a través de Fronteras no Paramétricas: DEA. Aplicación al mercado de las AFOREs. 
 
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9
RQ Representa la reducción en el costo de producción, de la DMU P, para poder alcanzar un 
índice de eficiente asignativa. 
 
OQ
OR Es el índice de eficiencia asignativa, de la DMU P. Se define el índice con respecto a la DMU Q. 
OQ
RQ Es el índice de ineficiencia asignativa el cual resulta de 
OQ
RQ
OQ
OR
=− )1( .Se interpreta como el 
 porcentaje en que se puede reducir el costo de producción asociado a la proyección Q----Q’ 
 
Cabe destacar que las DMU’s P y Q tienen el mismo grado de eficiencia asignativa, aunque la primera no sea 
técnicamente eficiente y la segunda si. Esto se debe a que para medir la eficiencia asignativa se elimina primero 
su ineficiencia técnica. 
 
Por otro lado una DMU se considerara eficiente (global) cuando lo sea desde la doble perspectiva: técnica y 
asignativa. En este caso se puede definir la eficiencia global de la DMU P como: 
 
OP
OQx
OQ
OR
OP
OR
= 
 
Eficiencia global = (eficiencia asignativa) (eficiencia técnica) 
 
 
1.7.2 Orientación - Output 
 
De forma análoga que en el caso anterior (orientación-input), Farrell supone la existencia de rendimientos 
constantes a escala en la tecnología de producción, ahora para un análisis bajo una orientación hacia los outputs, 
muestra a través de una isocuanta unitaria 'ZZ las combinaciones posibles de producción eficientes para 
producir dos outputs utilizando un solo insumo y suponiendo además el conocimiento del máximo 
nivel de ingresos obtenido en la producción, la línea . Farrell muestra el desempeño (in)eficiente de una 
unidad productiva , como se muestra a continuación en la siguiente grafica: 
),( 21 YY )(X
'DD
)(A
 
A Es técnicamente ineficiente, dado que su nivel de producción está por debajo que cualquier otra unidad 
 productiva perteneciente a la frontera eficiente ZZ’. 
 
B Es técnicamente eficiente, resulta de haber proyectado la DMU ineficiente (A), del origen hasta la 
 frontera eficiente. 
 
Análisis de Eficiencia a través de Fronteras no Paramétricas: DEA. Aplicación al mercado de las AFOREs. 
 
___________________________________________________________________________________ 
 
10
AB Es la ineficiencia técnica, es decir la cantidad en que se pueden aumentar proporcionalmente los 
 productos sin aumentar la cantidad de insumos. 
 
OB
OA Es el índice de eficiencia técnica, teniendo como referente eficiente a la DMU B 
OB
AB Es el índice de ineficiencia técnica, es decir, el porcentaje en que se pueden aumentar sus outputs, para 
 poder pertenecer al conjunto eficiente. Este índice es el resultado de uno menos el índice de eficiencia 
 técnica, es decir: 
OB
AB
OB
OA
=−1 
 
B’ Es asignativamente eficiente 
 
AC Representa el aumento en el ingreso de la producción que se tendría si se tuviera eficiencia técnica y 
asignativa, por parte de la DMU A 
 
OC
OB Índice de eficiencia asignativa de la DMU P. Se define el índice con respecto a la DMU B. 
 
OC
AC Es el índice de ineficiencia asignativa. Es el porcentaje en que se pudiera aumentar los ingresos por parte 
de la DMU A. Este índice se da como resultado de uno menos el índice de eficiencia asignativa 
OC
AC
OC
OA
=− )1( 
 
Finalmente la Eficiencia Total de la DMU P, está dada por el producto de la eficiencia técnica y asignativa, es 
decir:OC
OBx
OB
OA
OC
OA
= 
 
 
1.8 Caracterización de la Tecnología (Función de Distancia de Shephard) 
 
A diferencia de una función de producción, una función de distancia impone una forma funcional a la distancia 
existente entre un vector de outputs y un vector de inputs e intenta maximizar dicha distancia (Coelli y 
Perelman). 
 
Las funciones distancia, introducidas por Shephard (1970), toman los (múltiples) productos como fijos y buscan 
contraer el vector de inputs lo máximo posible, respetando la factibilidad tecnológica del vector contraído (la 
conversión a la máxima expansión del vector de productos, dados los factores, es directa). Proporcionan así una 
caracterización completa de la estructura de la tecnología de producción eficiente (en entornos multiproducto y 
multifactores), y una medida recíproca de la distancia de cada empresa a dicha tecnología eficiente, según Färe, 
Grosskopf y Lovell. Cumple de esta manera, con dos objetivos simultáneamente: construir la frontera eficiente y 
medir la eficiencia en relación a dicha frontera. 
 
En este sentido, esta técnica permite la inclusión de más de un producto, y el hecho de estar orientado a los 
factores permite considerar a los productos como dados (exógenos) y a los inputs como variables de control. 
Éste, en principio, es un supuesto más razonable que el que está detrás de una función de producción (donde el 
Análisis de Eficiencia a través de Fronteras no Paramétricas: DEA. Aplicación al mercado de las AFOREs. 
 
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11
producto se considera endógeno, ya que la empresa produce más o menos de acuerdo a su elección de factores) 
para los sectores regulados donde las empresas deben atender una cantidad “exógena” de clientes. 
 
 
Conjunto de Posibilidades de Producción 
 
Supongamos que un conjunto de unidades productivas utilizan un vector de insumos para 
producir un vector de productos . 
n
n Rxxxx +∈= ),...,,( 21
m
m Ryyyy +∈= ),...,,( 21
 
1.8.1 Orientación - Insumo 
 
La tecnología de producción que transforma dichos insumos en productos puede representarse por el conjunto 
de todos los vectores de insumos x que producen al menos el vector de productos y. )(yL
 
 L (y)= {x: es factible} ),( xy
 
Sobre este conjunto de insumos puede definirse una función de distancia , que tome al vector de 
productos fijo, y busque contraer el vector de insumos lo máximo posible, respetando la factibilidad tecnológica 
del vector contraído, es decir que siga perteneciendo al conjunto L(y). Esta función de distancia definida por 
Shephard se define como: 
),( yxDI
)}(:max{),( yLxxyDI ∈= θ
θ ; donde 1),( ≥xyDI
La medida original de Debreu-Farrell definida como una función de distancia está dada por: 
 
)}(:min{),( yLxxyDFI ∈= θθ ; donde 1),( ≤xyDFI 
 
Dado que la función de Shephard es la recíproca definida por Debreu-Farrell se tiene la siguiente relación entre 
ambas funciones de distancia: 
 
1),(),( −= xyDxyDF II 
 
Para cada vector de inputs definiremos al conjunto referente que genera a la frontera eficiente (isocuanta), de la 
siguiente forma: 
 
{ } { } { }1),(:1),(:)1,0[),(),(:)( ====∈∉∈= xyDFxxyDxyLxyLxxyIsoqL IIθθ 
 
La cual representa aquellas combinaciones mínimas de inputs necesarias para obtener un mismo vector de 
outputs fijos. 
 
Los elementos eficientes de ambos conjuntos de posibilidades de producción están definidos por: 
 
{ }xxyLxyLxxyefiL ≤∉∈= '),('),(:)( donde )()( yIsoqLyefiL ⊆
 
 
 
 
 
 
 
Análisis de Eficiencia a través de Fronteras no Paramétricas: DEA. Aplicación al mercado de las AFOREs. 
 
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12
1.8.2 Orientación – Producto 
 
Para la definición de la función de distancia bajo una orientación outputs, la tecnología de producción puede ser 
representada por un conjunto de productos tal que: 
 
),(:{)( yxyxP = es factible} 
 
De manera análoga a la definida para el conjunto de inputs, definimos la función de distancia sobre este conjunto 
de productos dada por Shephard de la siguiente forma: 
)}(:min{),( xPyyxDP ∈= φ
φ donde 1),( ≤yxDP 
La medida original de Debreu-Farrell definida como una función de distancia es: 
 
)}(:max{),( xPyyxDFP ∈= φφ donde 1),( ≥yxDFP
 
Teniendo la siguiente relación entre ambas funciones de distancia: 
 
1),(),( −= yxDyxDF PP 
 
La isocuanta, definida por el conjunto referente de eficiencia del vector de productos esta dada por 
 
{ } { } { }1),(:1),(:),1(),(),(:)( ====+∞∈∉∈= yxDFyyxDyxPyxPyyxIsoqP PPφφ 
 
Finalmente el conjunto eficiente se define como: 
 
{ }yyxPyxPyyxefiP ≥∉∈= '),('),(:)( donde: )()( xIsoqPxefiP ⊆
 
Este conjunto de posibilidades de producción -P(x)- considera las siguientes propiedades: 
Para cada x, se supone que P(x) satisface: 
 
i) Las producciones nulas están incluidas en el conjunto de posibilidades de producción: 
 0 P(x)∈
 
ii) La producción no puede realizarse sin el empleo de al menos un input, es decir: 
. 0 si )(0 >∉ yxP
 
iii) Disponibilidad fuerte en inputs, significa que un aumento de los recursos conducirá siempre a un 
aumento de producción. También puede interpretarse como que un nivel de producción cualquiera 
puede producirse con un vector X de inputs o por cualquier otro vector que implique un mayor 
consumo de recursos ( si todos sus elementos son mayores que los de X o si al menos uno es 
mayor y el resto iguales). 
)' XX ≥
 
iv) Disponibilidad fuerte en outputs, que implica que si un vector de inputs X sirve para producir Y 
también podrá producir una cantidad menor Y’: 
 )(' entonces ;' ),( XPYYYXPY ∈≤∈ 
 
v) es un conjunto convexo, limitado y cerrado. Convexo porque las combinaciones lineales de 
outputs pertenecientes a unidades en la frontera de producción forman parte del conjunto factible. Se 
considera limitado, porque no existe posibilidad de producir infinitamente. Y finalmente cerrado 
porque esta acotado para cualquier valor del input. 
 P(x)
Análisis de Eficiencia a través de Fronteras no Paramétricas: DEA. Aplicación al mercado de las AFOREs. 
 
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13
Supuestos similares se realizan para el caso del conjunto de necesidades de inputs 10L(y) que se utiliza para 
definir la función de distancia orientada a los inputs. 
 
La función de distancia orientada al output definida por Debreu-Farrell, se define en términos del conjunto de 
posibilidades de producción P(x): 
 )}(:max{),( xPyyxDFP ∈= φφ 
 
Para esta función, se definen las siguientes propiedades: 
 
 i) es no decreciente en outputs y creciente en inputs. ),( yxDFP
 ii) es linealmente homogéneo en outputs. ),( yxDFP
 iii) Si . 1),()( ≥⇒∈ yxDFxPy P
 iv) si y pertenece a la frontera de P(x). 1),( =yxDFP
 
 
1.8.3 Representación Grafica de las Funciones de Distancia: 
 Medida Orientada a los Insumos 
 
Para mostrar gráficamente la definición de eficiencia dada por Debreu-Farrell a través de funciones de distancia, 
bajo una orientación-inputs. Suponemos que tres unidades productivas emplean dos inputs ),( 21 xxx = para 
generar un único output . Como se muestra en la siguiente grafica. y
 
Considerando el desempeño de las DMU’s B y C según la grafica, estas pertenecen al grupo eficiente, es decir 
son el grupo referente de eficiencia, las cuales generan la frontera de eficiencia .Los vectores de inputs de 
estas DMU’s no pueden ser contraídas radialmente. Para el caso de la DMU A si es posible contraer radialmente 
su vector de insumos , ya que esta unidad productiva se encuentra fuera del conjunto . Al contraer este 
vector a la frontera eficiente la medida de eficiencia definida por Debreu-Farrell de la DMU A será igual a 
es decir, , por supuesto permitiendo la producción del vector (fijo) de productosy. 
)(yL
Ax )(yL
1* <θ
1),( * <= AAI xyDF θ
 
Una vez contraído el vector de inputs , el grupo eficiente resultante está dado por el siguiente conjunto: Ax
{ }1),(),(),()( * ==== AICIBI xyDFxyDFxyDFyEfiL θ 
 
 
 
 
10 A excepción del punto que se refiere a que el conjunto es limitado. 
 
Análisis de Eficiencia a través de Fronteras no Paramétricas: DEA. Aplicación al mercado de las AFOREs. 
 
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14
1.7.4 Representación Grafica de las Funciones de Distancia: 
 Medida Orientada al Producto 
 
En cuanto a la representación grafica bajo la orientación de Inputs, consideraremos la actividad productiva de 
tres DMU’s las cuales hacen uso de un único input x para generar dos productos como se muestra a 
continuación. 
),( 21 yyy =
 
El desempeño eficiente en este conjunto de unidades productivas está representado por las DMU’s B y C, es 
decir, según la definición dada por Debreu-Farrell a través de funciones de distancia 
, las cuales generan la frontera eficiente (al conjunto ). Por otra parte el 
vector de productos perteneciente a la DMU A, , puede ser expandido radialmente al conjunto sin 
modificar la utilización de sus recursos. Su medida de eficiencia está dada por . Finalmente 
el conjunto eficiente estará definido de la siguiente manera: 
1),(),( == CPBP yxDFyxDF )(xP
Ay )(xP
1),( * >= AAP yxDF φ
 
{ }1),(),(),()( * ==== APCPBP yxDFyxDFyxDFxEfiP φ . 
 
 
1.9 Interpretación de los Índices de Eficiencia 
 
La mayoría de los estudios en este campo tienen como objetivo la medición de la ineficiencia, pero son muy 
escasos los estudios que ofrecen alguna reflexión sobre cual es la naturaleza de esa ineficiencia, es decir, los 
análisis parten de la existencia de ineficiencia sin preocuparse del origen de la misma. 
 
Para encontrar alguna reflexión sobre este tema es necesario retroceder a los primeros artículos sobre economía 
de la producción. En concreto, Marshack y Andrews (1944) mencionan que la eficiencia técnica depende del 
“conocimiento técnico, el esfuerzo y la suerte”. 
 
Farrell (1957) no es muy específico sobre el significado de la eficiencia técnica “the technical efficiency 
indicates the gain that can be achieved by simple gingering-up the management”. Lo que si indica Farrell 
explícitamente es un aspecto que muchas veces parece olvidarse: “La eficiencia técnica de una empresa refleja la 
calidad de sus inputs”. Es decir, el índice de eficiencia técnica recoge el efecto de la distinta calidad de los 
factores productivos en caso de que no se hayan incluido como variables explicativas en el modelo. 
 
Algunos autores rechazan el concepto de eficiencia técnica. Stigler (1976) ha negado la existencia de la 
eficiencia argumentando que toda la ineficiencia es asignativa. Incluso este autor niega la noción de ineficiencia. 
 
 
 
Análisis de Eficiencia a través de Fronteras no Paramétricas: DEA. Aplicación al mercado de las AFOREs. 
 
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15
1.10 La Utilidad de las Medidas de Eficiencia 
 
Gran parte del trabajo que se ha realizado en los últimos años ha tenido como principal objetivo discutir los 
problemas que genera la obtención de un índice de eficiencia, considerando los múltiples factores que puedan 
influir en la obtención de éste, que frecuentemente son de tipo exógeno. 
 
Sin embargo, un indicador que identifica una empresa o unidad productiva como ineficiente solo puede servir 
como señal de alerta de que algo se está haciendo mal. 
La cuestión entonces es ¿ qué se está haciendo mal? O ¿Cómo se puede llegar a ser eficiente ? 
 
Cuando una empresa no es eficiente, generalmente concluimos que podría utilizar menos cantidades de inputs en 
referencia a la unidad productiva que se está considerando eficiente, perteneciente al grupo de unidades 
eficientes, de esta manera obligaríamos empíricamente a que la unidad ineficiente produzca como una unidad 
eficiente y así pertenezca al grupo eficiente. Sin embargo, no es del todo cierto que si la empresa ineficiente 
disminuye su consumo de inputs se vuelva eficiente. Esto se debe a que la eficiencia técnica no es un problema 
de que cantidades de inputs se utilizan, sino de cómo se usan. Si la empresa ineficiente reduce radialmente su 
consumo de inputs hasta situarse en la frontera pero sigue haciendo las cosas de la misma manera 
indudablemente producirá una cantidad menor de outputs y seguirá siendo ineficiente. Por lo tanto, la conclusión 
en los estudios de eficiencia en donde las empresas ineficientes pudieran utilizar menores cantidades de inputs 
no seria la principal causa de una ineficiencia si no es, como se están malgastando esos inputs. 
 
Es decir cuando se compara la actividad de una unidad productiva con las mejores practicas observadas, 
implícitamente se esta suponiendo que dicha empresa debería comportarse como las empresas de la frontera. 
Dicho comportamiento maneja dos componentes: cuanto hacen esas empresas y como lo hacen. La ineficiencia 
se mide en términos de cuanto, pero si se quiere subsanar el problema es necesario disponer de información 
sobre el como, y en general no se dispone de este tipo de información. Evidentemente, la solución para la 
empresa ineficiente pasa por identificar que se está haciendo mal y como puede hacerlo bien. 
 
Así pues, la cuestión es como la empresa ineficiente puede llegar a ser eficiente en la práctica. Una forma de 
abordar el problema es que, una vez que la empresa se sabe que es ineficiente, estudie la operatividad de los 
procesos de producción de las empresas eficientes y los compare con sus propios procesos de producción. 
 
La mayoría de los estudios han utilizado medidas radiales para calcular la (in)eficiencia técnica (relativa). Por 
tanto, uno puede pensar que la empresa más similar es la proyección radial de la unidad productiva ineficiente 
sobre la isocuanta. La radialidad es una propiedad de similiradad en sus combinaciones de factores productivos, 
es decir las empresas pertenecientes al mismo radio vector comparten la misma combinación de inputs a 
diferentes escalas. Sin embargo, los datos disponibles presentan en general un grado significativo de agregación 
que cuestiona la interpretación anterior de radialidad como similaridad. Por ejemplo, el capital definido como 
input, suele contener varios tipos de distintos de activos sintetizados en una variable, es decir, supongamos que 
dos empresas con el mismo cociente de inputs pero con cantidades muy distintas de capital no pueden 
considerarse similares. . 
 
 
1.11 Métodos de Estimación de las Fronteras de Eficiencia 
 
El análisis teórico de la producción se ha enfocado siempre en la actividad de producción como un proceso de 
optimización en el cual los productores de bienes o servicios optimizan desde un punto de vista tecnológico. 
 
El uso de las fronteras tecnológicas ha tenido un gran desarrollo debido a las ventajas que representa esta, para la 
medición de eficiencia relativa a estas fronteras, existiendo una basta literatura referente a este tema en diversos 
campos como: salud (hospitales), transporte, educación, bancos, deporte, industria eléctrica, etc. Permitiendo la 
toma de mejores decisiones en los procesos de producción y de servicios a través de los factores de producción. 
 
Análisis de Eficiencia a través de Fronteras no Paramétricas: DEA. Aplicación al mercado de las AFOREs. 
 
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16
Los estudios sobre fronteras de producción se pueden clasificar de acuerdo a la manera en que se especifica y 
estima la frontera. 
 
Respecto a la especificación (es decir, si se define o no una forma funcional sobre la tecnología), es necesarioprecisar si la frontera se determina a partir de una función de producción o de una función de costos. Una 
función de producción muestra las cantidades producidas como función de los factores utilizados, mientras que 
una función de costos muestra el costo total de producción como función del nivel de producto y del precio de 
los factores. 
 
En algunos estudios, a veces también se utilizan las funciones de distancia. Éstas imponen una forma funcional a 
la distancia existente entre un vector de productos y un vector de inputs e intentan maximizar dicha distancia. 
 
Adicionalmente, en la elección de la especificación a estimar, se encuentra implícita otra discusión referida a la 
noción del tipo de eficiencia. La estimación de funciones de producción aporta información sobre eficiencia 
técnica, pero no de eficiencia asignativa, mientras que la estimación de funciones de costes brinda información 
del costo adicional en el que se incurre debido tanto a ineficiencias técnicas como asignativas, es decir, brinda 
información sobre eficiencia económica (al igual que las funciones distancia). 
 
Por otro lado, la estimación se refiere a si la frontera de producción, es estimada con carácter determinista o 
estocástico, en este sentido es indispensable entender la forma funcional de ambos métodos: 
 
 
1.11.1 Fronteras Determinísticas 
 
Este tipo de fronteras atribuyen toda la desviación de la frontera a la ineficiencia técnica, motivo por el cual se 
les denomina determinísticas. La medición aportada por Farell es un claro ejemplo de este tipo de fronteras. Una 
función de producción frontera determinista puede expresarse de la siguiente forma: 
 uxfy −= )( i) 
Donde es la tecnología asociada a la función de producción y u el término aleatorio que mide el grado de 
ineficiencia de una empresa en el uso de los factores a través de la distancia que la separa de la frontera de 
producción eficiente. 
)(xf
 
 
1.11.2 Fronteras Estocásticas 
 
Las fronteras estocásticas o también llamados de error compuesto consisten en postular una función de 
comportamiento eficiente (función de producción, de costos o de beneficios), a la que añaden dos 
perturbaciones: una simétrica, que recoge el ruido aleatorio (éste puede tomar tanto valores positivos como 
negativos) y otra sesgada que refleja la ineficiencia (no negativo). Un modelo estocástico de frontera de 
producción sería el siguiente: 
 iv
iu
 
 ii) )(),( ii uvii exfy −= β
Donde: 
)(),( ivi exf β Es la frontera estocástica. 
iy Es la producción generada de la unidad productiva i , con ni ,...,1= 
β Es un vector de parámetros que debe ser estimado. 
 
El índice de eficiencia técnica de cada una de las unidades productivas esta dada por : 
 
Análisis de Eficiencia a través de Fronteras no Paramétricas: DEA. Aplicación al mercado de las AFOREs. 
 
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17
 i
i
ii
i
u
v
i
uv
i
v
i
i
i e
exf
exf
exf
y
ET −
−
===
),(
),(
),(
)(
β
β
β
 iii) 
 
Donde , entonces . 0≥iu 10 ≤≤ iET
 
Este tipo de fronteras fueron desarrolladas inicialmente por Aigner, Novell y Schmidt (1977) y Meeusen y Van 
Den Broeck (1977). 
 
 
1.12 Cálculo Empírico de las Fronteras de Eficiencia 
 
A su vez estos dos tipos de fronteras se pueden especificar de forma paramétrica y no paramétrica: 
 
 
1.12.1 Paramétrica 
 
Si se especifica como una función paramétrica concreta de los factores productivos. En este enfoque, se pueden 
realizar las estimaciones mediante programación matemática o técnicas econometricas, basadas en dos métodos: 
mínimos cuadrados ordinarios corregidos y máxima verosimilitud. 
 
 1.12.1.1 Programación Matemática 
 
 La utilización de la programación matemática en la estimación de fronteras paramétricas se inicia con el 
 trabajo de Aigner y Chu (1968), que ajustan una función Cobb-Douglas con el siguiente modelo que se 
 da en términos logarítmicos: 
 Donde ∑ −++=
j
iijiji uvxy )ln()ln( 0 ββ 0≥iu
Siendo el índice de eficiencia técnica, ya que es el cociente entre la producción actual y la 
potencial . 
iue− )( iy
)( *iy
 *
i
iu
y
y
e i =− 
 
 1.12.1.2 Mínimos Cuadrados Ordinarios Corregidos 
 
Este método, sugerido por Greene (1980), consiste en estimar en primer lugar una función de producción 
media por MCO y corregir el término independiente añadiéndole el máximo residuo positivo obtenido 
en la estimación. De esta forma, tomadas las observaciones se encontrarán por debajo de la frontera, a 
excepción de la correspondiente al máximo residuo, que será considerada como la más eficiente. 
 
El problema que plantea la estimación de la ecuación i) por MCO es que al ser , la media de los 
residuos no puede ser cero. Si 
0≥iu
µ es la media de la distribución de u, una función de Cobb-Douglas 
puede escribirse como: 
 Donde )()ln()()ln( 0 µβµβ −−++−= ∑
j
iijiji uvxy 0≥iu
El término de error de la ecuación transformada )( µ−iu tiene media cero, por lo que la aplicación de 
MCO proporciona estimaciones insesgadas de todos los parámetros a excepción de 0β . Corrigiendo 
Análisis de Eficiencia a través de Fronteras no Paramétricas: DEA. Aplicación al mercado de las AFOREs. 
 
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18
este por el máximo residuo positivo, se obtiene una estimación consistente del término constante de la 
frontera. 
 1.12.1.3 Máxima Verosimilitud 
 
La ecuación i) puede estimarse econométricamente bajo ciertos supuestos sobre la perturbación aleatoria 
. Suponiendo que las X son independientes del término de error, solo resta encontrar una distribución 
para que tenga en cuenta el hecho de que no pueden existir residuos positivos. Por tanto, hay que 
suponer que la perturbación sigue una distribución de una cola, lo que permite estimar el modelo por 
máxima verosimilitud. Afriat (1972) empleo este método suponiendo una distribución Beta para . 
Richmond (1974) demostró que eso era equivalente a suponer una distribución gamma para u . Schmidt 
(1976) utilizó una exponencial y una seminormal. Greene (1980) también supuso una distribución 
gamma para . 
u
u
iue−
u
 
 En el caso de las fronteras estocásticas, dada una función de producción con carácter estocástico definida 
como: ε+= )(xfY , Donde uv −=ε . El problema para estimar por máxima verosimilitud es que, para 
formar la función de verosimilitud de Y , hay que calcular previamente la función de densidad del error 
compuesto )( uv −=ε . Aiger, Novell y Schmidt (1977) calculan esta función de densidad, para el caso 
en que se distribuye v ),0( vN σ y se distribuye u ),0( uN σ : 
 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛Φ−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
σ
λε
σ
εφ
σ
ε 12)(f 
Donde )(⋅φ y )(⋅Φ son, respectivamente, la función de densidad y la función de distribución de una 
 . Así mismo, y )1,0(N 222 vu σσσ +=
v
u
σ
σ
λ = . 
 
 
1.12.2 No Paramétrica 
 
En este caso la frontera no se construye paramétricamente, sino que se realizan supuestos sobre las propiedades 
de la tecnología que permiten definir el conjunto de procesos productivos factibles, cuya frontera envuelve a los 
datos observados. 
 
Dentro de los métodos no paramétricos se encuentran el Análisis Envolvente de Datos (DEA11) y el Free 
Disposal Hull (FDH). El primero de éstos está basado en el método de Farell (1957) “La medición de la 
eficiencia productiva” y se puede considerar al DEA como una generalización de la eficiencia técnica de una 
entrada y una salida considerada por Farrell, y ampliada al caso de múltiples entradas y múltiples salidas 
(Charnes, Cooper, Lewin y Seiford, 1994). Aunque hay que destacar la diferencia entre ambos métodos: el DEA 
usa algoritmosde programación lineal para estimar los índices de eficiencia y Farell lo hace a través de métodos 
algebraicos. 
 
 1.12.2.1 Análisis Envolvente de Datos (DEA) 
 
 Esta metodología fue introducida por Charnes, Cooper y Rhodes en el año de 1978. Se trata de un 
método no paramétrico, basado en técnicas de programación lineal, para la estimación de fronteras de 
producción y evaluación de la eficiencia de una muestra de unidades de producción homogéneas 
llamadas DMU’s. En este tipo de análisis se calcula la eficiencia relativa para cada DMU comparando 
sus inputs y outputs respecto a todas las demás DMUs. 
 
 
11 Del ingles Data Envelopment Análisis. 
Análisis de Eficiencia a través de Fronteras no Paramétricas: DEA. Aplicación al mercado de las AFOREs. 
 
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19
 Es un método de frontera, es decir que se evalúa la producción respecto a las funciones de producción, 
donde por función de producción se entiende el máximo nivel de output alcanzable con una cierta 
combinación de inputs, o bien, el mínimo nivel de inputs necesario en la producción de un cierto nivel 
de outputs. Por tratarse de un método no paramétrico, no requiere ninguna hipótesis sobre la frontera de 
producción, siendo la eficiencia de una unidad definida con respecto a las unidades “observadas” con 
mejor comportamiento, las cuales forman la frontera eficiente, en donde su índice de eficiencia va a 
tomar un valor de uno. Las entidades ineficientes son comparadas contra DMU’s ubicados en la frontera 
eficiente para determinar el índice de (in)eficiencia de éstas. De aquí radica el termino de eficiencia 
relativa y no absoluta. El tipo de eficiencia obtenido con este método coincide con el de Pareto-
Koopmans. 
 
 En este método, se asume que el conjunto de DMU’s utilizan ciertos recursos (variables de entrada) para 
generar bienes o servicios (variables de salida), ambas diferente de cero. Estas entadas y salidas se 
asocian cada una con un peso y se construye una suma ponderada de entradas (entrada virtual) y una 
suma de ponderada de salidas (salida virtual). La eficiencia relativa de cada DMU se obtiene mediante 
entre el cociente12 formado por la salida virtual y la entrada virtual, además, haciendo uso de la 
programación lineal se obtienen los pesos correspondientes a cada entrada y salida, que dan como 
resultado el valor mas grande de eficiencia que se puede obtener dadas ciertas restricciones, que evitan 
que los índices de eficiencia de cualquier DMU sean mayores que uno. 
 
 Esta forma de construir el índice de eficiencia fue el propuesto inicialmente por Charnes, Cooper y 
Rhodes (1978) con el supuesto de rendimientos constantes a escala, como lo hizo Farell en la medición 
de eficiencia. En concreto el programa de programación lineal esta definido de la siguiente forma: 
 
0202101
0202101
1
0
1
0
0 ...
...
max
mm
ss
m
i
ii
s
r
rr
xuxuxu
yvyvyv
xu
yv
+++
+++
==
∑
∑
=
=θ 
 Sujeto a: 
 1
...
...
2211
2211 ≤
+++
+++
mjmjj
sjsjj
xuxuxu
yvyvyv
 nj ,...,1= 
 
 0...21 ≥+++ mvvv 
 0...21 ≥+++ suuu 
 
 Donde 10 0 ≤≤ θ 
 En un caso particular de cinco DMU’s bajo estudio (P,Q,R,S, y T), el comportamiento respecto al 
conjunto eficiente está determinado por las proyecciones hacia la frontera, como se muestra en la 
siguiente gráfica: 
 
12 En este caso se obtiene un índice de eficiencia con una orientación output. Si se desea obtener un índice con orientación 
input, se invierte el cociente, así como la restricción . 
Análisis de Eficiencia a través de Fronteras no Paramétricas: DEA. Aplicación al mercado de las AFOREs. 
 
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20
 
 Siendo Q la única DMU eficiente y las restantes ineficientes, su proyección asociada a cada uno de sus 
índices determina la ubicación de cada una DMU en la frontera eficiente, es decir: 
 
 { }),(),(),(),(),( ****Eficiente Conjunto TTTSSSRRRQQPPP YXYXYXYXYX θθθθ ===== 
 
 Además de medir la eficiencia relativa, usando el DEA se obtiene: 
 
 Una superficie envolvente empírica (convexa), que representa el comportamiento de los 
 mejores. 
 Una métrica eficiente para comparar resultados. 
 Proyecciones eficientes sobre la frontera, para cada DMU ineficiente. 
 Un conjunto de referencia eficiente para cada DMU, definida por las unidades eficientes más 
 próximas a ella. 
 
Mas adelante Banker, Charnes y Cooper (1984) añadieron una restricción al modelo anterior con el fin 
de poder trabajar con una función de producción que presente rendimientos variables a escala. 
 
La gran practicidad de esta metodología ha generado gran desarrollo en modelos DEA, siendo el más 
estudiado en la teoría económica dentro del campo de la eficiencia. 
 
 
 1.12.2.2 Free Disposal Hull (FDH) 
 
Este método fue desarrollado por Deprins, Simar y Tulkens (1984). Al igual que el DEA identifican 
como ineficiencia toda desviación a la frontera sin establecer variables aleatorias, por este motivo se 
considera también determinístico. 
 
Se considera una variante del DEA con la diferencia de que no admite las combinaciones lineales, es 
decir aquí no se forma un espacio convexo, dado que se van escalando los índices de producción en 
función de las unidades eficientes por lo que, no toda DMU ineficiente para el caso del DEA. lo será 
para el FDH , como se muestra en la siguiente grafica (orientación-input): 
 . 
Análisis de Eficiencia a través de Fronteras no Paramétricas: DEA. Aplicación al mercado de las AFOREs. 
 
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21
 
Frontera DEA vs Frontera FDH 
 
Entre las ventajas de la aproximación no paramétrica hay que mencionar que no hay que suponer una forma 
funcional concreta para la frontera. Esta sería el principal atractivo de utilizar este tipo de métodos, aunque la 
flexibilidad de construir de forma empírica la frontera de producción genera otras limitantes, como pueden ser el 
manejo apropiado de las variables. 
 
Algunos estudios han encontrado que los índices de eficiencia son sensibles a la especificación de la forma 
funcional. Por otra parte, la aproximación no paramétrica permite el tratamiento sencillo de tecnologías multi-
insumos y multi-productos. 
 
Los dos principales enfoques difieren en muchos aspectos (entre otras cosas, en la presencia o no de error 
aleatorio y en la determinación o no de una forma funcional a priori sobre la tecnología), pero las diferencias 
principales provienen básicamente de dos características: 
 
 El enfoque econométrico es estocástico, y por esto pretende distinguir el efecto del ruido estadístico de 
la ineficiencia en la distancia existente entre cada observación y la frontera. La programación 
matemática es no estocástica (es decir, es determinística), con lo cual llama ineficiencia a toda la 
distancia que encuentre entre cada observación y la frontera. 
 
 El enfoque econométrico es paramétrico, y por tanto confunde el efecto de errores en la especificación 
de la forma funcional con ineficiencia. La programación matemática es no paramétrica y por esto menos 
propensa a errores de especificación. 
 
Considerando lo anterior se ha decido realizar un estudio mas detallado, referente al Análisis Envolvente de 
Datos (DEA) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análisis de Eficiencia a través de Fronteras no Paramétricas: DEA. Aplicación al mercado de las AFOREs. 
 
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1.13 Conclusiones 
 
El campo de la medición de la eficiencia productiva ha experimentado significativos avances desde el trabajo 
pionero de Farrell. La principal