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7.10.2022

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Física matemática

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE
MÉXICO

Facultad de Ciencias

Aplicación
del Modelo Constructivista
en Matemáticas 1
de la Educación Secundaria

T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
M A T E M Á T I C A S

P R E S E N T A:

REINA ENRIQUETA VELÁZQUEZ SOTO

Directora de Tesis
M en C. María de Lourdes Guerrero Zarco

2007

UNAM – Dirección General de Bibliotecas
Tesis Digitales
Restricciones de uso

DERECHOS RESERVADOS ©
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL

Todo el material contenido en esta tesis esta protegido por la Ley Federal
del Derecho de Autor (LFDA) de los Estados Unidos Mexicanos (México).
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fines educativos e informativos y deberá citar la fuente donde la obtuvo
mencionando el autor o autores. Cualquier uso distinto como el lucro,
reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el
respectivo titular de los Derechos de Autor.

Dedico este trabajo a mis amores y familiares
A mis profesores, en especial al la
M en C María del Lourdes Guerrero Zarco
por su gran apoyo, por creer en mi trabajo,
por fortalecer mi confianza y
guiarme con su profecionalismo
Agradezco a la UNAM, a la Facultad de Ciencias.

A MI HIJO
José Jenaro

Vive...
Vive con amor y en armonía; sé feliz,
Dios te ama.
Tú eres el responsable de tus actos
y de tu vida...
Dios te la dio para que la vivas con amor,
sé apasionado... tú vida es maravillosa,
es tu regalo, aprovéchalo,
es tu única oportunidad...
Dios te ama.
Dios te dio esta única vida para que la ames,
la disfrutes, la vivas con respeto
y la cuides con amor...
es la única oportunidad, no la pierdas.
No hay más que ver... no mires el pasado,
ni al futuro, solo vive intensamente.
Vive con amor, vive con pasión,
no esperes ser amado... ámate a ti mismo,
usa tus virtudes para encontrar la esencia de la vida
y tendrás la llave para entrar al Universo...
sé felíz, Dios te ama.

Datos del Jurado
1. Datos del alumno
Velázquez
Soto
Reina Enriqueta
12 85 65 38
Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ciencias
Matemáticas
078287914
2. Datos del tutor
M de C
María del Lourdes
Guerrero
Zarco
3. Datos del sinodal 1
Mat.
Luis Alberto
Briseño
Aguirre
4. Datos del sinodal 2
Mat.
María Juana
Linares
Altamirano
5. Datos del sinodal 3
M en C
José Luis
Navarro
Urrutia
6. Datos del sinodal 4
Mat.
Esteban Rubén
Hurtado
Cruz
7. Datos del trabajo escrito
Aplicación del Modelo Constructivista en Matemáticas 1 de la Educación
Secundaria
350 p
2007

INDICE PÁGINA
INTRODUCCIÓN................................................................................ 1

CAPÍTULO 1.-
IMPORTANCIA DE LAS MATEMÁTICAS EN LA EDUCACIÓN
SECUNDARIA
1.1 Propósito del estudio de las Matemáticas en la Educación
Secundaria ....................................................................................... 11
1.2 Las Matemáticas en la vida diaria............................................... 18

CAPÍTULO 2.- ARITMÉTICA Y LOS SISTEMAS DE
NUMERACIÓN
2.1 Números Naturales N................................................................. 26
2.1.1 Lectura y escritura de los Números Naturales................... 29
2.1.2 Operaciones elementales................................................... 31
2.1.3 Múltiplos y divisores........................................................... 35
2.1.4 Cuadrados y cubos............................................................. 43
2.2 Sistemas de numeración............................................................. 49
2.3 Números decimales
2.3.1 Concepto de número decimal............................................. 58
2.3.2 Lectura y escritura de números decimales......................... 59
2.3.3 Operaciones con números decimales.................................. 61
2.3.4 Truncamiento y redondeo de números decimales............... 66
2.4 Fracciones
2.4.1 Significado, noción y uso de las fracciones........................ 68
2.4.2 Operaciones elementales y sus algoritmos......................... 72
2.4.3 De fracción a decimal y viceversa........................................ 81
2.5 Aplicación de las fracciones: Proporciones.................................. 85
2.6 Números con signo
2,6,1 Introducción.......................................................................... 92
2.6.2 Números con signo.............................................................. 94
2.6.3 Aplicación de los números con signo................................... 96

CAPÍTULO.- 3 PREÁLGEBRA
3.1 Jerarquía de las operaciones elementales (+, - , x, ÷).................. 102
3.2 Lenguaje algebraico...................................................................... 105
3.3 Expresiones algebraicas............................................................... 107
3.4 Tabla de valores............................................................................ 113
3.5 Plano cartesiano........................................................................... 116

CAPÍTULO 4.- GEOMETRÍA
4.1 Dibujos y trazos geométricos
4.1.1 Origen de la geometría........................................................ 119
4.1.2 Vocabulario básico de geometría........................................ 124
4.1.3 Uso correcto de instrumentos de geometría........................ 129
4.1.4 Construcción y clasificación de figuras geométricas........... 131
4.2 Simetría......................................................................................... 145
4.3 Perímetros y áreas........................................................................ 156
4.4 Sólidos
4.4.1 Origen y características de los sólidos................................. 176
4.4.2 Área, volumen y capacidad de un poliedro.......................... 189

CAPÍTULO 5.- TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN
5.1 Probabilidad.................................................................................. 198
5.2 Presentación y tratamiento de la información............................... 211

CAPÍTULO 6.- FUNDAMENTOS PEDAGÓGICOS
6.1 Características psicológicas del adolescente............................... 224
6.2 Desarrollo cognoscitivo................................................................. 235
6.3 Pensamiento crítico....................................................................... 256
6.4 Herramientas para el proceso enseñanza-aprendizaje................ 271

CONCLUSIONES............................................................................... 294

ANEXO 1.- OPERACIONES MENTALES Y FUNCIONES
COGNOSCITIVAS.............................................................................. 302

ANEXO 2.- PROGRAMA DE ESTUDIOS DE LA SEP..................... 315

ANEXO 3.- HERRAMIENTAS PARA LA EVALUACIÓN.................. 320

BIBIOGRAFÍA.................................................................................... 346

INTRODUCCIÓN
Mi trabajo de tesis es una propuesta para impartir la Materia de
Matemáticas 1 en al Educación Secundaria. El desarrollo de mí práctica
docente a través de la “Aplicación del Modelo Constructivista en
Matemáticas 1 de la Educación Secundaria” es la recopilación de
evidencias durante los dos últimos años frente a grupo.
Con la finalidad de desarrollar el potencial del alumno, mí propuesta se
contextualiza bajo los siguientes puntos:
El aprendizaje debe partir de las ideas y conocimientos previos que el
alumno debe llevar al aula.
Que el alumno desarrolle su conocimiento y habilidades a través del
lenguaje.Promover un razonamiento lógico al momento de guiarlo.
Que analice, evalúe y comparta sus conocimientos.
Que mejore su calidad de vida a través de haberse apropiado del
conocimiento.
Crear personas pensantes, guiándolos hacia una nueva forma para
adquirir su conocimiento.
Crear adolescentes con un pensamiento crítico utilizando diferentes
estrategias a través del constructivismo.

Lo anterior se realiza a partir de que el alumno Aprenda a Aprender, es
decir, cuyo significado trasciende a través de interpretar, evaluar,
representar, analizar, clasificar y memorizar. Herramientas fundamentales
para el proceso de Aprender a Enseñar y Enseñar a Aprender.
El marco teórico que contextualiza ésta propuesta define el proceso de
aprendizaje bajo el Constructivismo, basándose en la Teoría de Jean
Piaget con su postura psicogenética; a Vigotsky, quien incorpora los
1
determinantes sociales en el desarrollo; a Ausubel, quien considera el
aprendizaje significativo para el sujeto y a Reuven Feuerstein con la
teoría de la Modificabilidad Cognoscitiva Estructural y la Experiencia
del Aprendizaje Mediado [TAN05]
Basándome en el contexto del párrafo anterior, limito mi búsqueda en los
adolescentes que cursan su Educación Secundaria a partir del desarrollo
psicogenético y la problemática que engloba su entorno social.
La “Aplicación del Modelo Constructivista en Matemáticas 1 de la
Educación Secundaria” es sólo una propuesta que quiero compartir con
maestros que realizan su actividad en éste nivel, con la finalidad de
enriquecer sus clases para que el aprendizaje de las matemáticas sea
significativo en nuestros alumnos. Los invito a que brindemos a los
alumnos espacios y experiencias donde vayan descubriendo procesos,
permitirles que se integren a sus actividades cotidianas de trabajo; a que
se vuelvan aprendices autónomos, independientes y autorregulados,
capaces de Aprender a Aprender.
Es importante mencionar que bajo este mismo contexto, la Secretaria de
Educación Pública (SEP) estableció en educación básica el desarrollo de
las “Competencias para la vida” las cuales se conciben como el conjunto
de habilidades y actitudes que los sujetos desarrollan para poder integrarse
a un mundo heterogéneo, incierto, cambiante, inestable y complejo.
Competencias que a su vez son necesarias para poderse incorporar a
diversos ámbitos como: la familia, la escuela, la comunidad o el trabajo.
Durante el desarrollo de ésta tesis se podrá observar que la reforma
educativa que implanta la SEP y mi propuesta en éste trabajo de tesis
están vinculadas bajo los mismos objetivos pero desde posturas diferentes.
Es pertinente dar a conocer que la entrada a la Escuela Secundaria lleva al
adolescente a una serie de emociones contradictorias; alegría, curiosidad,
2
ilusión, nervios, junto con los cambios biológicos que presentan en ésta
etapa, sin embargo en ésta etapa, el adolescente ha alcanzado a
desarrollar ciertas habilidades de conocimientos y actitudes en el campo de
las matemáticas.
Durante mucho tiempo se creó la idea que el aprendizaje de las
matemáticas radica en proporcionar definiciones y procedimientos de
problemas modelo explicados por el profesor o tomados de libros de texto,
haciendo que los estudiantes ejerciten en forma mecánica una y otra vez
dichos procedimientos hasta lograr que los puedan repetir con un mínimo
de errores.
Bajo este esquema se cree que a la enseñanza del profesor le corresponde
directamente el aprendizaje de los alumnos. Lo anterior ha convertido las
matemáticas en una materia incomprensible, tediosa, aburrida, aislada de
necesidades e intereses propios de la edad por la falta de un aprendizaje
significativo que no puede reducirse a la memorización de los hechos,
definiciones, teoremas, ni tampoco a la aplicación mecánica de ciertas
técnicas y procedimientos que llevan al estudiante a interrogantes de la
forma...
¿Y esto para que me sirve?...
Los alumnos no deberán ser receptores pasivos de las explicaciones del
profesor o solamente ejercitarse en la aplicación técnica y procedimientos
convencionales, es necesario cederles el papel protagónico de la clase.
A través de mi práctica docente en la escuela secundaria he revisado
algunos libros de texto. En algunos casos se enfocan a un proceso
mecánico, a la ejercitación repetitiva de una serie de ejercicios y pocas
veces a una aplicación constructivista para lograr un proceso significativo.
Esta propuesta es “Aprendizaje por competencia” Su objetivo principal
radica en:
3
“Iniciar a los estudiantes en la utilidad, fuerza y belleza de la
asignatura. El lenguaje de las matemáticas como medio para
estructurar sucesos y situaciones, ayudarlos a comprender el mundo
en que vivimos. Equipar al alumno con una base sólida de
conocimientos, destrezas y actitudes que le permitan adaptarse a
mediada que surjan sus necesidades”.
Para cubrir estas necesidades se requiere una serie de conocimientos y
comprensión de conceptos que les ayuden a tomar decisiones personales
a través de un aprendizaje cognitivo, un pensamiento crítico, un
conocimiento metacognitivo, y como ya mencione; un aprendizaje
significativo.
Motivada por la propuesta del Constructivismo y por la trayectoria
docente que me respalda quiero compartir mi tesis para mostrarles esta
corriente metodológica. Cabe mencionar que la metodología se sustenta
en tres conceptos fundamentales:

APRENDIZAJE HOLÍSTICO: donde el estudiante pueda aplicar tanto las
matemáticas como las operaciones mentales en muchos aspectos de su
vida y establecer vínculos con otras asignaturas.
CONCIENCIA INTERCULTURAL: promueve una comprensión de cómo los
factores culturales, sociales e históricos influyen en el pensamiento
matemático y su evolución.
COMUNICACIÓN: para adquirir conocimientos matemáticos; donde el
alumno sea capaz de usar el lenguaje y los símbolos a través de una
variedad de tecnología y medios de comunicación, que comprenda que
este lenguaje es universal.

4
Para lograr ampliar la experiencia de los estudiantes, insertando el
aprendizaje dentro del contexto; ayudarles a desarrollar actitudes y valores
basados en su conocimiento previo y destrezas. Se propone que la
asignatura utilice “Las áreas de interacción” para su aplicación:

Áreas de Interacción:
Aprender a Aprender: es el desarrollo eficaz de técnicas de estudio para
formar un pensamiento crítico, coherente e independiente y la capacidad
de resolver problemas y tomar decisiones.
Servicio comunitario: ayuda a los estudiantes a aplicar y fomentar la
participación responsable de sus conocimientos en la vida cotidiana.
Salud y educación social: fomenta el respeto por el cuerpo y la mente,
capacitando al individuo para tomar decisiones coherentes y responsables.
Medio ambiente: a través de la investigación matemática y del análisis de
datos, los estudiantes podrán examinar el impacto ambiental y sugerir
medidas para solucionar algunos problemas.
Homo faber: (temas interdisciplinarios a través de proyectos que buscan
conexiones con otras materias, por ejemplo: la geometría y el arte)
desarrolla la capacidad del ser humano para inventar, crear, transformar,
disfrutar y mejorar la calidad de vida estudiando la historia y sus
personajes, quienes han contribuido al desarrollo del pensamiento
matemático en diferentes épocas.

La interacción de estas áreas debe estar bien coordinada para evitar salir
del contexto que la asignatura persigue.
Como ya se mencionó el estudio de las matemáticas es fundamental en la
formación de los estudiantes. Estas notas se restringen exclusivamente a
aplicar la metodología al 1er. Año de Educación Secundaria, tomando
5
como parámetro el plan de estudio que realiza la Secretaria de Educación
Pública (SEP), agrupado en cinco áreas:

Aritmética, Álgebra,Geometría, Presentación y tratamiento de la
información
y Nociones de Probabilidad.

Durante el desarrollo de cada capítulo se puntualiza el objetivo que debe
alcanzar el proceso enseñanza y aprendizaje. Se describe el
conocimiento declarativo y conocimiento procesal que se utiliza en
cada tema incluyendo los recursos, técnicas y actividades. Se dan a
conocer las herramientas que en su momento se utilizaron para un
aprendizaje por competencias, así como los procesos para evaluar la
unidad temática y la relación que tiene con la vida práctica.
A continuación doy a conocer la introducción de cada uno de los capítulos
que presento como parte de mi trabajo de tesis: “Aplicación del Modelo
Constructivista en Matemáticas 1 de la Educación Secundaria”:

CAPÍTULO 1. “IMPORTANCIA DE LAS MATEMÁTICAS EN LA
EDUCACIÓN SECUNDARIA”
Describe la importancia de las matemáticas en la Educación
Secundaria.
Generaliza la aplicación de la asignatura en las áreas de interacción a
través del aprendizaje Holístico.
Con el objetivo de despertar el interés de la asignatura el alumno
conoce los propósitos formativos.

CAPÍTULO 2. “ARITMÉTICA Y LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN”
A través de un bosquejo histórico de los sistemas de numeración, del
desarrollo e invención de nuevas matemáticas que responden a la
evolución de las necesidades del hombre, se introduce la historia de las
matemáticas.
Propone ejercicios sobre lectura y escritura de los números naturales
para explorar los conocimientos adquiridos en años anteriores.
Plantea actividades lúdicas que enriquecen los procesos de los
algoritmos en las operaciones elementales y problemas de aplicación.
Establece una relación entre los números decimales y los fraccionarios.
Se plantean actividades para reafirmar las operaciones elementales bajo
problemas de aplicación (porcentajes y proporcionalidad, descuentos,
aumentos, impuestos etc.)

CAPÍTULO 3.“PREÁLGEBRA”
A través de actividades lúdicas el alumno conoce la forma como se
operan los números con signo, jerarquía de las operaciones y la
eliminación o reducción de paréntesis.
Plantea la necesidad de utilizar un lenguaje algebraico para resolver
problemas, se introduce la noción de ecuación a partir de la igualdad de
expresiones algebraicas.
Se esquematiza el proceso para resolver una ecuación lineal y su
gráfica.
CAPÍTULO 4. “GEOMETRÍA”
Inicia con la historia de la geometría a través de las necesidades que
debe cubrir el ser humano para su desarrollo.
7
Menciona los principales filósofos de la historia que aportaron gran parte
de su conocimiento.
Detalla el uso correcto de los instrumentos geométricos y la aplicación
de la geometría en el mundo actual.
Describe diversas actividades que conduce al alumno a construir sus
conceptos partiendo del planteamiento de un problema o bien de lecturas
previas que posteriormente organiza y aplica en problemas diversos.
A través de actividades, herramientas y estrategias que se utilizan en
clase, el alumno conoce la importancia de la “simetría”.
Se conduce al alumno en diversos procesos para identificar las
características de las figuras y los cuerpos geométricos, así como el
cálculo de áreas, perímetros, volúmenes y capacidades respectivamente
(unidades de medida y la conversión de una unidad a otra)
Se resuelven problemas extraídos de diferentes fuentes aplicando los
conocimientos adquiridos.
En la última sección del capítulo se describen las herramientas y
estrategias lúdicas utilizadas en el proceso enseñanza-aprendizaje que
involucran a la aritmética y la preálgebra.

CAPÍTULO 5. “TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN”
En éste capítulo de mi tesis se compagina los temas: decimales,
fracciones, proporciones, porcentajes y geometría en problemas de la
vida diaria.
Los juegos de azar como herramienta fundamental se utilizan para
introducir el concepto de probabilidad y la forma de obtenerla.
A partir de ejemplos, el alumno conoce el proceso para organizar la
información de un evento y las representaciones gráficas
correspondientes.
8
Describe las actividades, herramientas y estrategias que me ayudaron
a la comprensión del tema y su aplicación en problemas de rutina.

CAPÍTULO 6. “FUNDAMENTOS PEDAGÓGICOS”
Éste capítulo de “Aplicación del Modelo Constructivista en
Matemáticas 1 de la Educación Secundaria” doy a conocer las
características de la personalidad de mis alumnos y el sustento
pedagógico de los adolescentes basado en la teoría de Jean Piaget y
seguidores en la actualidad.
Describe la importancia del “Modelo Constructivista” que hoy en día se
ha reestructurado para darle mejor enfoque al aprendizaje, con la
finalidad que crear alumnos con pensamiento crítico y analítico.
Describe las diferentes herramientas y estrategias para el proceso de
“enseñanza-aprendizaje” que sustentan la base pedagógica.
Describe el enfoque pedagógico de las Matemáticas en el
Constructivismo.

Con éste trabajo de tesis, invito al lector a que conozca la trayectoria y el
desarrollo de la “Aplicación del Modelo Constructivista en
Matemáticas 1 de la Educación Secundaria”:
Que realice observaciones sobre la aplicación de herramientas y
estrategias del Constructivismo; conozca los obstáculos a los que me
enfrente en su momento con la finalidad de enriquecer mi trabajo frente a
grupo en cursos futuros.
9

CAPÍTULO 1
IMPORTANCIA DE LAS MATEMÁTICAS
EN LA
EDUCACIÓN SECUNDARIA

1.1 PROPÓSITO DEL ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICASEN LA
EDUCACIÓN SECUNDARIA
Al inicio del ciclo escolar se experimentan nuevas experiencia, distintas
entre cada grupo debido a las características particulares. Al presentarme
por primera vez con los alumnos es importante platicarles un poco sobre
mi trayectoria como profesora de la asignatura, con la finalidad de que
conozcan el perfil de la persona que estará con ellos durante todo un curso
escolar, sobre todo, porque la comunicación es importante en el
aprendizaje.
Antes de que el estudiante conozca el plan de estudio necesita saber la
importancia de las Matemáticas en la Educación Secundaria para poder
responder a la pregunta...
¿Cuál es el propósito del estudio de las Matemáticas en la
Educación Secundaria?...
La respuesta podría restringirse...
Es fundamental para tu formación...
Esta respuesta tan breve los conduce a otra pregunta...
¿Y porqué es importante para mi formación?...
Con el propósito de no llegar hasta esta interrogante, despertar el interés,
motivarlos y conducirlos hacia una nueva expectativa de la asignatura
inicio con una pregunta Arrancador [VER FIGURA 6.4.6]
-¿Para qué sirven las matemáticas?- les pregunté.
Estas son algunas de las respuestas más comunes que dieron mis
alumnos:
Para contar, medir, sumar, resolver problemas, hacer figuras, para
reprobar... etc.
11

Las respuestas me reflejaron un panorama donde el alumno desconoce
que las Matemáticas son parte de su formación y que persigue propósitos
esencialmente formativos que consisten en:
Desarrollar habilidades
Promover actitudes positivas
Adquirir conocimientos matemáticos

Estos propósitos no se desarrollan en forma jerárquica, sino forman un
todo en relación dialéctica. La asignatura pretende que los estudiantes
desarrollen habilidades operatorias, de comunicación y descubrimiento en
forma permanente e independiente para adquirir la agilidad de resolver
problemas y en un futuro puedan utilizarlas en forma consciente e
inconsciente. Promueve actitudes positivas que posteriormente lo
manifiesten de alguna manera espontánea en su conducta. Que adquieran
conocimientos matemáticos a fin de lograr una cultura significativa y
funcional que pueda aplicar en la vida cotidiana.
Para consolidarla información y crear desde su inicio un panorama claro
sobre la asignatura, preparé una exposición (documentándome en el
“Libro para el maestro” que edita la SEP) sobre la importancia de las
Matemáticas en la Educación Secundaria, posteriormente elaboré en clase
los siguientes organizadores gráficos con el objetivo de conducirlos desde
el inicio a un aprendizaje constructivista.
Partiendo de una lectura previa en mi exposición sobre el tema y las
aportaciones de mis alumnos, se estructura la información más relevante
sobre la importancia de las Matemáticas en la Educación Secundaria
representada en la siguiente Figura 1.1.1 cono resultado de la actividad.

Figura 1.1.1. - Mapa Conceptual
“IMPORTANCIA DE LAS MATEMÁTICAS EN LA EDUCACIÓN SECUNDARIA”

Enseñanza y aprendizaje de las
Matemáticas en la Escuela Secundaria
¿Por qué es fundamental?
Porque persigue propósitos formativos.
El retroceso en uno de ellos repercute de alguna manera en el otro.
PROMUEVE ACTITUDES
POSITIVAS ADQUIERE CONOCIMIENTOS
Á
DESARROLLA HABILIDADES

Las habilidades parten
de las capacidades
generales de cada
individuo. Se desarrollan
por medio del uso
consciente o
inconsciente en forma
automática.

Las actitudes son los
valores que expresa el
ser humano a través de
lo que siente, piensa y
ha adquirido en la vida.

A través de las ramas de
Matemáticas se pretende
que el estudiante consolid
procesos de formación
básica con el fin de lograr
una Cultura Matemática
significativa y funcional.
las

La siguiente Figura 1.1.2 es el resultado de las intervenciones de los
alumnos durante mi exposición y muestra la organización del desarrollo de
habilidades que se estimulan en la materia de Matemáticas.

Figura 1.1.2 Mapa Mental “DESARROLLO DE HABILIDADES”

DESARROLLO DE HABILIDADES
Calcular
Formular
Generalizar
Estimar Imaginar
Inferir
Medir
Comunicar
Posibilidad de
establecer relación
entre datos explícitos
e implícitos que
aparecen en un texto
o figura.

Utiliza la simbología y
los conceptos para
interpretar o trasmitir
información cualitativa y
cuantitativa
Relación entre
magnitudes para
calcular longitudes,
superficies, áreas,
volúmenes, masas,
etc.
Trabajo mental
de idear trazos,
formas y
transformaciones
geométricas
planas y
espaciales
Resultados
aproximados de
ciertas medidas,
operaciones y
ecuaciones.
Descubrir
regularidades,
reconocer patrones,
formular
procedimientos y
resultados.
A = b x h
2

Establecer hipótesis,
encadenar
razonamientos y
demostrar fórmulas
4x + 2 = -2
4x = -2 -2
4x = - 4 ⇒ x = -1 Propiedad 1 x 0 =1
A=bxa
a
b
¿Trapecio?
П = 3.14159
Estimado = 3.14
h
Resultados
aproximados
de ciertas
operaciones,
ecuaciones,
etc.
a
La suma de dos
números
consecutivos
n + (n + 1)
c b
b

15
Posteriormente explique las actitudes positivas e importancia que
promueve la enseñanza de las Matemáticas para su desarrollo, sin
embargo la mayoría de las ideas provinieron de mis alumnos, aunque no
fue el mismo impacto en todos los grupos, en uno de ellos fue difícil
despertar el interés debido a las características e inmadures del grupo. En
ese instante desconocía las características de mis alumnos y la relación
entre ellos; lo que sí pude observar era la apatía hacia la materia.
Continué con la exposición y utilizando Arrancadores [VER FIGURA 6.4.6]
los fui guiando a lo que necesitaba que respondieran, entonces fue más
fácil desarrollar la actividad y poder alcanzar mi objetivo que culminó con la
elaboración de la Figura 1.1.3 que presento a continuación.

16
Figura 1.1.3. - Mapa Mental
PROMOVER ACTITUDES POSITIVAS

PROMOVER
ACTITUDES
POSITIVAS
Colaboración Respeto
Investigación
Perseverancia Autonomía
Sana
autoestima

Responsabilidad de trabajo en
equipo

Reconocer el valor
del trabajo propio
para fortificar la
seguridad personal y
la confianza a sí
mismo
Expresar ideas y escuchar a los
demás
Buscar y
verificar
diferentes
estrategias para
resolver
problemas
Llevar a buen término el trabajo, aún
cuando los resultados no sean muy óptimos
Asumir responsabilidad de la validez de
los procedimientos y resultados
adquiridos
¿ Qué?Yo explico
Comenzaré de nuevo
¡Lo logré!
¿Qué hice mal?
Pongámonos de acuerdo
Tengo una idea!!!

La siguiente Figura 1.1.4 muestra las generalidades curriculares de los
conocimientos que debe adquirir el alumno durante su educación
Secundaria en la matería de Matemáticas. Los datos de éste organizador
gráfico fueron tomados de la estructura curricular del programa que marca
la SEP.
Figura 1.1.4 Mapa Mental “CONOCIMIENTOS MATEMÁTICOS”
CONOCIMIENTOS MATEMÁTICOS
ARITMÉTICA
GEOMETRÍA
ÁLGEBRA
PROBABILIDA
PRESENTACIÓN Y
TRATAMIENTO DE
LA INFORMACIÓN
Ejercitación del cálculo mental,
operaciones elementales,
reglas de los signos y
propiedades de los números
Explora regularidades y patrones
para que aprenda a expresarlos
simbólicamente. Obtenga información
que pueda representar en tablas y
gráficas.
Conocerá las formas
geométricas que utilizó el
hombre en la antigüe
como contribuyó en el
desarrollo de la geomet

dad y
ría Aplicará las matemáticas en
diversas áreas del
conocimiento y actividades
humanas
Calculará, estimará y,
desarrollará
procedimientos en
situaciones al azar
¿7 + 3- 5 =?
J = 2T¿La edad de Juan
es 2 veces la edad
de Tania?
•
•

85%

La figura anterior [1.1.4] la utilicé como herramienta para dar a conocer al
alumno los temas principales en los que se involucraría durante el ciclo
escolar y la conexión con las diferentes ramas de las Matemáticas.
En el transcurso de éste tema, la recopilación de datos relevantes sobre los
propósitos formativos que las Matemáticas persiguen se facilitó gracias a la
estructura que presntan los organizadores gráficos, que en su momento
fueron de gran utilidad. Sin embargo no quiero dejar de mencionar la
participación activa del estudiante gracias a los conocimientos previos e
investigaciones que realizaron. Para su evaluación se consideraron las
investigaciones y sus aportaciónes durante la exposición del tema.
Para concluir la introducción sobre la Importancia de las Matemáticas en la
Educación Secundaria solo resta por responder a la siguiente interrogante:
¿Cuál es la utilidad de las Matemáticas en la vida diaria?
La respuesta se encuentra involucrada en el desarrollo de la siguiente
sección de éste capítulo.

1.2 LAS MATEMÁTICAS EN LA VIDA DIARIA
Ésta sección del capítulo describe el proceso que desarrollé durante la
explicación del tema, incluye: las actividades en clase; la participación de
los alumnos y las herramientas utilizadas para su evaluación.

OBJETIVO: Que el alumno indague en forma general la aplicación de las
Matemáticas en la vida diaria, así como su desarrollo e impacto durante la
historia.

Una vez los estudiantes obtuvieron una idea más clara sobre los propósitos
formativos que persiguen las Matemáticas, utilicé el siguiente Arrancador
con la finalidad de conectar ambos temas:
18

-¿Dónde se utilizan las matemáticas?-
Para dar respuesta a la interrogante construimos en clase un S.Q.A (Lo
que SÉ; Lo que QUIERO saber; Lo que APRENDÍ) [VER FIGURA 6.4.8]
La herramienta del S.Q.A se puede estructurar de tal forma que
MATEMÁTICAS pueda ser un objeto o alguien a quien se le puede
cuestionar, sin embargo no se pudo realizar el ejercicio como lo había
programado. Surgieron más preguntas que ampliaban el tema y me
concreté a restringirlo a las MATEMÁTICAS como asignatura.
La primerafase de la estrategia S.Q.A. la inicié a través de una nueva
pregunta: ¿Qué sabes de las matemáticas?
Las respuestas más comunes fueron:
Se usan en la biología
Se usan para medir y calcular
Son muy complicadas
Se usan en la arquitectura
Se usan en la vida diaria
Porque son importantes
Cuando observé las respuestas anteriores, me di cuenta que los alumnos
tienen idea de la aplicación de las matemáticas, pero desconocen a
ciencia cierta muchas de sus aplicaciones, por ejemplo: la relación con la
música, el deporte, la historia etc. Antes de dar respuesta a la pregunta
anterior programé la siguiente actividad: ésta consistió en proyectarles la
película de “Donald y el mundo de las matemáticas”, de Disney con el
objetivo de que mis alumnos visualizaran en forma creativa y divertida el
inicio de las Matemáticas, su aplicación en la antigüedad y repercusión en
la vida actual.

“La película relata la influencia de Pitágoras en el inicio de las
matemáticas y su aplicación en la música e instrumentos musicales.
La relación entre las fracciones y notas musicales que pusieron la
base en la música actual. Describe el emblema pitagórico como base
fundamental de la geometría. El rectángulo como la sección de oro,
su importancia y aplicación en la arquitectura antigua y su influencia
en la actual. Identifica figuras geométricas en los diseños de las
canchas de los deportes de beis-ball, baske-ball, foot-ball americano.
Señala una serie de estrategias y habilidades matemáticas a partir de
operaciones con fracciones para el juego del ajedrez. Describe
algunas estrategias y habilidades que utilizan los jugadores de billar a
partir de la suma y resta de fracciones propias. Utiliza el círculo y el
triángulo en revolución a través de los cuales realiza una serie de
cortes dando origen a otras figuras y a la aplicación de estas en la
tecnología que hoy en día utilizamos. La película concluye con un
pensamiento de Pitágoras: ”Todo está regido por formas y números”.

Para su evaluación los alumnos elaboraran cinco preguntas sobre la
película, posteriormente escogimos en grupo las más relevantes y
tomándolas como base redactaron un escrito (resumen o sinopsis) sobre la
película. Los trabajos que presentaron contenían información de mucha
calidad y por cuestiones de espacio en lo que respecta al trabajo sobre mi
práctica docente no me fue posible integrarlos, sin embargo fueron de gran
ayuda como fuente de información para mis alumnos.
La experiencia fue positiva, ayudó a los alumnos a ampliar sus
conocimientos y poder responder a las siguientes preguntas en forma clara
y concisa. Así, las respuestas que arrojaron después de haber visto la
película como parte de su investigación fueron:
20

¿Dónde nacieron las matemáticas? En la antigüedad, cuando aparece el
hombre, en el momento que comienza a cubrir sus necesidades de
sobrevivencia.
¿Cómo surgieron? En el momento que el hombre comienza a cubrir sus
primeras necesidades (la caza, medir territorios, trueque, música, juegos,
etc.)
¿Quién inventó las Matemáticas? El hombre, al utilizar su capacidad de
crear, su necesidad de evolucionar y trascender.
¿Cómo funcionan las Matemáticas? Utilizando la lógica, el
razonamiento y la mente a partir de conocimientos previos.
¿Para qué las necesitamos? Para crear, sobrevivir y hacer más fácil la
vida cotidiana ordenando el pensamiento.
¿Por qué son tan complicadas? Porque carecemos de un pensamiento
lógico constructivista para facilitarlas.
¿Dónde más se utilizan?
Biología.- para medir experimentos
Química.- en fórmulas, reacciones químicas, medidas, etc.
Física.- en medidas y resolución de ecuaciones.
Bancos.- valor del dólar, pagarés, préstamos hipotecarios, tarjetas de
crédito, porcentajes, intereses, etc.
Tiendas.- para impuestos, descuentos, recargos, pagos al contado y a
plazos.
Fábricas y talleres.- en la manufactura, maquinaria, producción de
artículos, etc.
Hospitales.- Rayos X, quirófano y todos los aparatos que se utilizan deben
de llevar una exactitud matemática para su funcionamiento.
Escuelas y prestadores de servicio.- en los programas de estudio, la
administración, la organización, etc.
21

Comunicación.- en radio, televisión, satélites, Internet, teléfonos, etc.
Deporte.- en pelotas de diferentes tamaños y formas; equipo para los
deportes (raquetas, bat, etc.) En la figura, forma y tamaño que se utiliza
para el diseño de las canchas deportivas, etc.
Música.- en el diseño de las notas musicales; en la construcción de
instrumentos y aparatos para emitir diferentes sonidos, etc.

La tercera fase de la actividad consiste en recopilar la información más
relevante a partir de la investigación y de las respuestas obtenidas en la
fase anterior del S.Q.A. y llenar la última columna bajo la pregunta:

¿QUE APRENDÍ?
Las Matemáticas surgen en la antigüedad, a partir de que el hombre utiliza
su razonamiento lógico para cubrir sus necesidades. Las Matemáticas
antiguas se fueron estructurando a través del tiempo y son la base
fundamental de las Matemáticas modernas y gracias a ellas el hombre ha
trascendido a través del tiempo.
Las conclusiones que obtuvimos como parte de ésta fase son:
Están relacionadas con nuestra vida diaria, son parte de nuestro
entorno, crecimiento y desarrollo
Son parte de nuestra capacidad creativa, de nuestra necesidad de
evolucionar.
Son un medio para trascender en la vida.
Nos ayudan a pensar y ejercitar la mete.
Es una herramienta útil en otra materia e indispensable para cualquier
carrera.
Hoy en día se puede hacer música con las matemáticas.
22

Importante para el deporte de alta resistencia.
Las Matemáticas han evolucionado en cualquier época.
Son indispensables en cualquier juego, incluyendo los juegos de mesa.
Son fundamentales para la evolución de la tecnología.

La última parte del ejercicio se realizó con la participación activa del grupo:
estructuramos la información y obtuvimos como resultado la siguiente
Figura 1.2.1. que describe algunas aplicaciones de las Matemáticas en la
actualidad.

Herramienta fundamental para el desarrollo de las disciplinas científicas y técnica
Desarrollo de la capacidad creativa y la necesidad de evolucionar y trascender.
s.

INDUSTRIA
Empresas
Casa de
Bolsa
Fábricas
Talleres
PRESTADORES DE
SERVICIO
Bancos, Comercio
Hospitales, Escuelas
Aeropuertos

MEDIOS DE
COMUNICACIÓN
Televisión
Radio
Internet
Teléfono
Satélite
DEPORTES DE ALTA
RESISTENCIA
Competencias
Canchas
Equipo deportivo
MÚSICA Y
ARTE
Notas
musicales
Pintura
Arquitectura
Figura 1.2.1.- Mapa Conceptual “LAS MATEMÁTICAS EN LA VIDA DIARIA”
MATEMÁTICAS

Para evaluar ésta actividad se tomaron en cuenta los siguientes aspectos:
lecturas previas, escritos sobre la película y la participación activa del
alumno durante la construcción de los organizadores gráficos.
23

Al concluir ésta actividad pude observar que el objetivo se había cumplido;
es decir, él alumno pudo comprender que:

Nuestros antepasados nos abrieron el camino para trascender.
Desperté el interés del alumno sobre la materia
Amplié sus conocimientos sobre la aplicación de las Matemáticas.
Su aplicación e importancia en la vida cotidiana.
La relación de las Matemáticas con otras ciencias.
La importancia para su formación.

Gracias a que mis alumnos tenían una información clara sobre lo que
persigue la materia y el objetivo general de la misma, en particular la línea
que yo, como maestra frente a grupo seguiría durante el ciclo escolar, fue
más fácil para mí comenzar con el plan de estudio [VER CAPÍTULO 2, 3, 4 Y 5]

CAPÍTULO 2
ARITMÉTICA
LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN25
CAPÍTULO 2.- ARITMÉTICA Y LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN
El objetivo del capítulo es describir en forma general las estrategias,
métodos, técnicas y herramientas [VER CAPÍTULO 6.4] que se aplican
durante mi práctica docente a través del Modelo Constructivista [VER
CAPÍTULO 6.2] con la finalidad de crear un pensador crítico [VER CAPÍTULO
6.3] como lo propone. Asimismo, compartir con el lector los obstáculos y
dificultades que se presentan durante la trayectoria de mi práctica docente
en el Tema “Aritmética y Los Sistemas de Numeración”.

2.1 NÚMEROS NATURALES
OBJETIVO GENERAL:
El alumno definirá el concepto de número, características, estructura y los
símbolos para su representación, asimismo la lectura y escritura de
números grandes. Posteriormente ejercitará las operaciones elementales
en forma mental y escrita para números mayores. Concluirá con
algoritmos que lo conduzcan a resolver las operaciones elementales.

Antes de dar inicio a este tema me percate de que el alumno tuviera claro
el concepto de “número”, fue entonces cuando recurrí al los
Arrancadores [VER FIGURA 6.4.6] como herramienta para obtener la
información que a continuación presento:
¿Qué es número? o bien ¿Qué entiendes por número?
R= Es un símbolo que representa cantidad.
R=Es un ente, no existe en materia pero sirve para enumerar.
R= Es la representación simbólica de objetos o cosas que se contaron.
R= Expresa una cantidad con relación a una unidad.
R= Es la forma de escribir cierta cantidad.

26
¿Qué es un número Natural?
R= Son los números con los cuales contamos.
R= Se utilizan los símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 para su
representación.
R= Se leen de izquierda a derecha.
R= Se escriben de izquierda a derecha.
R= Sé grafican en la recta numérica.
R= Se denotan con la letra N
R= Van de menor a mayor.

Al observar las respuestas continué escribiendo en el pizarrón algunas de
las características de los números Naturales, posteriormente ordenamos en
grupo la información para elaborar un organizador gráfico que nos condujo
a un Mapa Semántico [Figura 2.1.1]
Este Mapa es el resultado del conocimiento previo y de la participación
activa del grupo en general, así como de mis aportaciones sobre el tema y
coordinación para la construcción del mismo:

Una vez que construimos nuestro Mapa Semántico (Figura 2.1.1) el
siguiente paso fue el desarrollo de los números, cuyas estrategias y
herramientas para su aprendizaje se describen en la siguiente sección de
éste capítulo.

NÚMEROS NATURALES
Asignan un orden ⇒ ordinal
1o,2º, 3º, 4º, 5º...
Se construyen
sumando la unidad
0 + 1 = 1
1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 1 = 4...
Todos tienen un sucesor Todos tienen un
antecesor excepto el 0
Van de menor a mayor
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . ∞
Se denotan con la letra N
Conjunto de números que nos sirven para contar
Sé grafican en la recta numérica
.___. ___. ___. ___. ___. ___. ___. ____ ...
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Figura 2.1.1 Mapa Semántico “NÚMEROS NATURALES”
28
2.1.1 LECTURA Y ESCRITURA DE LOS NÚMEROS NATURALES
El desarrollo de los números inicia desde su lectura, escritura, valor
relativo, valor absoluto, notación desarrollada y notación científica. Para
iniciar el tema, recurrí a exponer ante el grupo varios ejemplos. Donde el
alumno pudiera identificar cada uno de los conceptos a estudiar y partiendo
de los ejercicios continué con la estructuración del siguiente organizador
gráfico como resultado de la actividad.
Figura 2.1.2 Mapa Semántico “SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL”

SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
Se lee de izquierda a derecha según su posición
Es el que actualmente utilizamos Es de base 10
Se forma con los símbolos
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Llamado también
VALOR RELATIVO:
es el valor que ocupa el número en la tabla
llamado también valor posicional.
Valor relativo de 9 es: 9 000
Valor relativo de 6 es: 6000 000 000
VALOR ABSOLUTO:
es el valor real o numérico
que tiene el número
Valor absoluto de la decena de millar: 1
Valor absoluto de la centena de mil

lón: 8
NOTACIÓN DESARROLLADA: representación de un número como la suma de los valores relativos
200 000 000 000 + 40 000 000 000 + 6 000 000 000 + 800 000 000 + 30 000 000 + 5 000 000 + 10 000 + 9 000 + 700
NOTACIÓN CIENTÍFICA: es la expresión de un número en potencias de 10
2x 1011 + 4x 1010 + 6x 109 + 8x 108 + 3 x 107 + 5 x 106 + 1 x 10 4 + 9 x 103 + 7 x 10 2
Millares de
Billones
Billones Millares de
Millones
Millones Millares Unidades
BILL0 NES MILLO NES UNID ADES
C D U C D U C D U C D U C D U C D U
2 4 6 8 3 5 0 1 9 7 0 0
29
La ejercitación del tema se llevó a cabo con el siguiente juego:
Objetivo: Ejercitación de la lectura y escritura de números Naturales en
cantidades grandes
Cada alumno elaborara diez cartas de 5cm X 5cm c/u con los dígitos del
0 al 9.
Se forman equipos de 5 personas.
Se dictan cantidades para que entre ellos acomoden los números en el
orden correspondiente [Figura 2.1.3]

Figura 2.1.3 “JUEGO DE LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS”
ACOMODO DE TARJETAS LECTURA Y ESCRITURA DEL NÚMERO

Veinte millones ciento setenta y cinco
mil cuatrocientos noventa y tres

Diecisiete millones doscientos cinco mil
trescientos cuarenta y nueve

Noventa y tres millones quinientos
diecisiete mil veinticuatro

Cincuenta y un mil millones un mil
doscientos seis
0 0 1 5
2
2 1 0 6
4
0 7 9
0 1 7 5 4
3 1 5
3 5 0 2
3
7 1
4 2
9
9

Una vez que los alumnos ejercitaron la lectura y escritura de los números
a través del juego, observé que sirvió para que reafirmaran el tema e
interactuaran entre ellos. La evaluación se realizó desde sus aportaciones
en la construcción del Mapa Semántico y la participación durante el juego.
El dominio de éste tema es primordial en las operaciones con números
naturales, cuyo desarrollo describo en la siguiente sección del capítulo.

30
2.1.2- OPERACIONES ELEMENTALES
Al comenzar a desarrollar el tema, observé que los alumnos contaban con
un conocimiento previo sobre las operaciones elementales, lo cual facilitó
mi tarea frente a grupo. Gracias a sus aportaciones y la participación activa
de mis alumnos pudimos recabar la información que posteriormente
organizamos a través de un Mapa Conceptual [Figura 2.1.4] que describe
las opresiones elementales en los Números Naturales.

Figura 2.1.4 Mapa Conceptual
“OPERACIONES ELEMENTALES DE LOS NÚMEROS NATURALES”

OPERACIONES DE LOS NÚMEROS NATURALES
SUMA RESTA MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN
Símbolo
+
Símbolo
-
Símbolos
X, ( ) , •
Símbolos
/, ÷

Sumando
+Sumando
Sumando
Suma total
Minuendo
Sustraendo

Resta
Factor
X Factor
Producto
Cociente

Divisor Dividendo
Residuo
Son
Sus elementos son Sus elementos sonSus elementos sonSus elementos son
Para reafirmar conocimientos y ejercitar el proceso en cada una de las
operaciones anteriores, los alumnos realizan diferentes ejercicios en clase.
Con el objetivo de intercambiar ideas, la dinámica se lleva a cabo en
31
equipo de dos y tres alumnos cada uno, esto les ayuda a rectificar errores
y modificar su aprendizaje. Posteriormente revisamos los ejercicios en la
clase para que detecten y corrijan sus errores. A continuación presento
algunos de los ejercicios que ayudaron a los alumnos a reafirmar estos
algoritmos. Para su elaboración el alumno utiliza las Operaciones Mentales
(la comparación; el análisis y síntesis; la representación mental;
razonamiento hipotético, entre otras)Figura 2.1.5 “EJERCICIOS DE OPERACIONES ELEMENTALES (+, –, x, ÷)“
Problemas y aplicaciones diversas
Práctica del cálculo mental y estimación de resultados
Revisión de algoritmos
ii) Analiza con tus compañeros estrategias
para llenar los espacios vacíos con los
números adecuados y completa el
siguiente cuadro:

90 - 50 = 40
+ - +
10 30+
-
=
20
=
100
=
40 =
= 80
i) CUADRADO MÁGICO
Llena la siguiente tabla con los números
del 2 al 10 de tal forma que la suma de las
filas, columnas y las diagonales sean, cada
una, igual a 18:

9
5
4
10
8 6
3
7 2

iii) Instrucciones: Coloca dentro del cuadro el dígito correspondiente, verifica los
resultados haciendo la comprobación:

3 7 5 1 6 1 8 0 9 0 0 5 0
+ 2 3 4 X 2 1 5 7 2 8 3 1
6 0 9 8 0 9 0 0 1 7 2 1 9
1 6 1 8 0
3 2 3 6 0

3 4 7 8 7 0 0

2 6 2

2 8 7 3 4 5
1 7 4
0 6 5
0 9

iv) EL PROBLEMA DE LOS CUATRO CUATROS
En uno de sus viajes, Beremiz, el hombre que calculaba, entró a una tienda en donde
todos los artículos eran vendidos en cuatro dinares (tipo de moneda) En la puerta había
un vistoso letrero que decía: “LOS CUATRO CUATROS”.
La descripción de ese cartel le recordó una de las maravillas de la aritmética:
“empleando cuatro cuatros podemos formar un número cualquiera”
¿Podrías demostrar, utilizando las cuatro operaciones fundamentales, que para el caso de
los dígitos se cumple la aseveración de Beremiz?

Dígito Procedimiento
0 4x4 - 4
4

1 4 + 4 − 4
4

2 4 x 4
4 + 4

3 4 + 4 + 4
4

4 4 ( 4 – 4 ) + 4

5
4 x 4 + 4
4

[SAN03]
33
v) TABLA MÁGICA.- Lo que vas hacer:
1. Sobre la celda sombreada de esta tabla escribe cualquier número.
2. Sobre la más obscura, escribe lo doble del primero.
3. Después de cada uno de ellos, aplica las operaciones propuestas.

Operaciones

Multiplica por 25

1 125

2 250

Suma al resultado anterior 33

1 158

2 283

Resta al resultado anterior 19

1 129

2 254

Multiplica el resultado anterior
por 19

21 451

42 826

Resta al resultado anterior 2 667

18 784

40 159
Multiplica el resultado anterior
por 10

R 1 = 187 840

R 2 = 401 590

4. Del resultado 2 resta el resultado 1: R2 – R1 =_213 750
5. A lo que resulte de la resta, divídelo entre 4 750: 45
6. El resultado que verás será el número que elegiste originalmente.
45 90

Los ejercicios de la Figura 2.1.5 ayudaron a los alumnos a reafirmar los
algoritmos de las operaciones elementales, sin embargo quiero reconocer
que al principio se les dificultó, me refiero a la construcción del Cuadrado
Mágico (i), debido a que no contaban con la habilidad para acomodar los
números. Una vez que deducimos la estrategia a través de un ejemplo que
les expuse en clase, fue más fácil para ellos construir otros Cuadrados
Mágicos con números más grandes. En las operaciones del ejercicio (iii) no
hubo dificultad alguna, pero el que sí les costó trabajo fue el ejercicio (iv)
“Los Cuatro Cuatros”, al inicio no tenían ni la más remota idea de lo que
tenían que hacer, a través de un ejemplo que les expuse durante el
desarrollo de la actividad fue más fácil para ellos comprender y dar otros
procesos diferentes entre sí, pero que llegaban al mismo resultado. El
34
ejercicio (v) fue divertido debido a que no pudieron encontrar cuál era la
“magia” para adivinar o llegar al mismo número.
Quiero compartir con el lector la gran satisfacción que sentí como maestra,
al observar que mis grupos durante ésta actividad mostraban entusiasmo,
dinamismo y motivación en la materia. Al aplicar este tipo de ejercicios el
alumno ejercita de forma divertida y a manera de juego las operaciones
elementales en los Números Naturales [VER CAPÍTULO 6.2] asimismo,
estimula, reafirma y modifica su aprendizaje como lo señala el Modelo
Cognoscitivo [VER CAPÍTULO 6.3]
Al observar el desarrollo de la actividad y los resultados de la misma, me
sentí satisfecha por el logro alcanzado de mis alumnos.

2.1.3 MÚLTIPLOS Y DIVISORES
Una vez que los alumnos reafirmaron los algoritmos de las operaciones
elementales, el siguiente paso fue inducirlos al tema de esta sección:
Múltiplos y Divisores.
Para ello, fue necesario que mis alumnos realizaran previamente la lectura
de las páginas 72 y 73 del libro de Texto[LIM03] Posteriormente a partir de
la lectura, elaboraron individualmente en su libreta de apuntes, 10
preguntas Circunstanciales [VER FIGURA 6.4.6] con su respectiva respuesta,
con el fin de que construyan su propio conocimiento. Las preguntas que
obtuvieron variaron de un alumno a otro, algunos no se enfocaron al tema
y obtuvieron preguntas sin relevancia alguna.
Concluida la tarea, el siguiente paso consiste en elaborar durante la clase
una tabla descriptiva tomando como base las preguntas del cuestionario.
La construcción de la tabla descriptiva se inicia con la “lluvia de ideas”
partiendo de las preguntas: ¿Qué es un múltiplo?
¿Qué es un divisor?
35
A partir de estas preguntas se desata una polémica acerca del tema y los
alumnos se involucran en su totalidad, en algunos casos corrigen sus
errores y en otros reafirman su conocimiento.
La siguiente Figura 2.1.6 es una forma clara de estructurar la información
más relevante del tema.

Figura 2.1.6 Tabla Descriptiva “MÚLTIPLOS Y DIVISORES”
MÚLTIPLO DIVISOR
D
E
F.
Número natural que resulta de
multiplicarlo por cualquier número otro
número Natural

Número Natural que divide a otro en forma
exacta, es decir Residuo = 0
P
R
O
P
IE
D
A
D
E
S
El cero es múltiplo de cualquier número Natural
Todo número natural es múltiplo
de sí mismo
Todo número natural diferente de
cero tiene un número infinito de
múltiplos.

El cero no es divisor de número natural
alguno porque la división entre cero no
está definida.
El uno es divisor de todos los números
naturales.
Todo número natural tiene un número
finito de divisores.
Todo número natural diferente de cero
es divisor de sí mismo.
El número 12 es múltiplo de 1, 2, 3,
4,6 y 12
1, 2,3, 4, 6 y 12 son divisores del 12,
debido a que cada uno de ellos lo dividen
en un número exacto.
E
JE
M
P
LO

1 x 12 = 12
2 x 6 = 12 12 ÷ 6 = 2 12 ÷ 4 = 3 12 ÷ 12 = 1
3 x 4 = 12

Después de haber obtenido el concepto, propiedades y las diferencias
entre Múltiplos y Divisores, recurrimos a completar durante la clase una
tabla comparativa para identificar cada uno de los criterios de Divisibilidad,
como lo presenta la siguiente figura.

36
Figura 2.1.7 “PRINCIPIOS DE DIVISIBILIDAD”
Ejercicio # 1
En la siguiente tabla están las series del 2, 3, 4, 5, 6, 8 y 9 incompletas. Complétalas y analiza
las reglas de Divisibilidad:
se
ri Regla de divisibilidad

Cualquier número par

45
Si la suma de sus cifras
da un múltiplo de 3

60
Si las dos últimas cifras
son múltiplo de 4 o bien
termina en 00

7075

Si termina en 5 ó 0

90
Si es múltiplo de 2 y de 3
al mismo tiempo

104

112

120
Si sus dos o tres últimas
cifras son múltiplo de 8 o
doble cero

99
Si las suma de sus cifras
son múltiplo de 9 108 117 126 135
[GON00]

A través de la tabla anterior [VER FIGURA 2.1.7] mis alumnos pudieron
obtener el concepto de Divisibilidad a partir de las propiedades de cada
una de las series numéricas, es decir, los alumnos comprendieron la
definición de Divisibilidad que les proporcioné una vez que completaron la
tabla. Posteriormente juntos respondimos a la siguiente pregunta:
¿Qué es Divisibilidad?
Es la característica de los números de ser divisibles en forma exacta, sin
residuo.
Para reafirmar las características (almacenamiento) que se describen en la
Tabla de la Figura 2.1.7 se realizaron en clase los siguientes ejercicios.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Ejercicio #1
“CRIBA DE ERATÓSTENES”
Colorea el 1 de la lista
Encierra el 2 en un círculo y colorea todos los múltiplos de 2
Encierra el 3 en un círculo y colorea todos los múltiplos de 3
Encierra el número 5 y colorea todos sus múltiplos
Continúa con el 7 y así sucesivamente y contesta
¿ Qué obtuviste? Los números menores que 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,
37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 91, y 97.
Figura 2.1.8 “EJERCICIOS DE DIVISIBILIDAD”
Ejercicio #2

En A están los divisibles entre 2
En B están los divisibles entre 5
En C están los divisibles entre 4
En D están los divisibles entre 3
Instrucciones: Observa el siguiente
diagrama y colorea el conjunto A de
verde, el conjunto B de morado, C de
color azul y D de color naranja y
después responde a las siguientes
preguntas:

¿Por qué el 20 está en B, en C y en A?
Porque es divisible entre 2, 4 y 5
¿Por qué el 2, 14, 22 y 26 no están
incluidos en otros cuadros?
porque solo son divisibles entre 2
¿Por qué crees que el 7, 11, 13, 23, 29 y 31 están fuera de todas las figuras?
Porque no son divisibles entre 2, 3, 4 y 5.
¿Sabes cómo se llaman los números que no aceptan divisores diferentes al 1 y a él mismo?
Números primos

7
31
29
11 23

3
9 33
21 27 3 D
B 5
25 35

15
A 2 14 10 26

22 18 30 6
C 4 16 20
8
28 32 24 12

El ejercicio # 1 tuvo como finalidad el de obtener la definición de números
primos. El ejercicio # 2 corrobora la definición de los números primos y el
ejercicio # 3 comprueba el criterio de divisibilidad para los múltiplos de 6.
Los ejercicios anteriores ayudaron a los alumnos a reafirmar el
conocimiento y desarrollar habilidades en los criterios de divisibilidad,
asimismo, para adquirir herramientas y contexto para estructurar la
siguiente tabla (Figura 2.1.9) que representa un Cuadro Descriptivo de los
Criterios de Divisibilidad. Su elaboración se realizó con las participaciones
de los alumnos, apoyados en los ejercicios que resolvieron anteriormente
[VER FIGURA 2.1.8] El cuadro se considera como la conclusión generalizada
de las actividades.

Ejercicio # 3
Coloca dentro de los
círculos los números
menores de 100 según
sus múltiplos.
Colorea de azul los
múltiplos de 2
Colorea de amarillo los
múltiplos de 3
¿Qué color obtuviste?
Los números que se
encuentran en el centro
son los múltiplos de 6.
¿Cuál es tu conclusión?
Todos los números que
son múltiplos de 2 y de 3
también son múltiplos de
6.
2 4 8 10
14 16 20
22 26 28
32 34 38
40 44 46
50 52 56
58 62 64
68 70 74
76 80 82 86
88 92 94 98
6 3 9
12 18 15 21 27
24 30 33 45 51
36 42 48 57
54 60 66 63 69 75
72 78 84 81 87 93
90 96 99
[GONOO] Págs. 20 y 21
39

Figura 2.1.9 “TABLA DESCRIPTIVA DE LOS CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD”
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 2 3 4 5 8 9
Si el número termina en 0
Si el número termina en 00
Si el número termina en 2, 4, 6, 8 u 0
Si la suma de sus cifras es un múltiplo
de 3
Si las dos últimas cifras son un múltiplo
de 4
Si el número termina en 5 o 0
Si el número formado por las tres últimas
cifras es múltiplo de 8
6

Si el
númer
o es
divisib
le
entre
2 y 3
a la
vez
Si la suma de sus cifras es un múltiplo
de 9
Si las tres últimas cifras son 000

Para que el alumno reafirmara sus conocimientos sobre los criterios de
divisibilidad se construyó una tabla similar a la de la Figura 2.1.9,
colocando números en el lugar de los criterios, de esa manera, sin
efectuar la descomposición en factores primos (como se verá más
adelante) pudieran identificar los factores que dividen al número utilizando
la tabla de la Figura 2.1.9 como herramienta. A través de la actividad
observé que contaban con la habilidad de identificar y aplicar cada uno de
los criterios. Sin embargo reconozco que la tarea no fue fácil, algunos
alumnos se confundieron por la falta de representación mental [OM] a la
tabla y tuve que repetir en tres ocasiones este tipo de ejercicio hasta lograr
su comprensión.
Inclusive el mismo formato fue utilizado en el examen bimestral para su
evaluación.
A continuación presento una tabla que se trabajaron durante la clase:

Figura 2.1.10 “EJERCICIOS SOBRE LOS CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
I Indicaciones: Coloca dentro de cada
cuadro una si el número cumple el criterio de
divisibilidad según sea el caso, utiliza
la tabla que elaboramos en clase sobre
Los Criterios de Divisibilidad.

Una vez que los alumnos identificaron y ejercitaron cada uno de los
criterios, el siguiente paso consistió en realizar una serie de ejercicios
sobre la descomposición de los números en factores primos utilizando del
mínimo común múltiplo (MCM) y el máximo común divisor (MCD) en la
forma tradicional de la cual ya tenían conocimiento, facilitándome la tarea
durante la exposición en clase y la elaboración de la siguiente tabla que
presento en la Figura 2.1.11.

Figura 2.1.11 “MÚLTIPLOS Y DIVISORES”
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
de
fin
ic
ió
n

Es el mayor de los divisores de dos o
más números

Es el menor de los múltiplos que
corresponden a los números que
intervienen en el cálculo

pr
oc
es
o
20, 50, 40 2

10 25 20 2
5 25 10 2
5 25 5 5
1 5 1 5
1
MCD = 2 x 5 = 10
20, 50 , 40 2

10 25 20 2
5 25 10 2
5 25 5 5
1 5 1 5
1
MCD= 2 x 2 x 2 x 5 x 5 = 200
Divisibilidad
Cifra

2 3 4 5 6 8 9
11 701985 340
999 999 000
988 000 706
123 457 788
576 328
937 877
783 240
678
4 095
41
El siguiente ejercicio [FIGURA 2.1.12] es uno de mis favoritos, porque
representa la aplicación de todos los conceptos que se manejan en ésta
sección. El desarrollo y la solución se realizaron sin ningún contratiempo,
considerando que se evalúa la habilidad, estrategia e intuición de los
alumnos. Estos ejercicios también forman parte del examen Bimestral y
final del curso escolar.

Figura 2.1.12 “EJERCICIO DE EXAMEN”
Ejercicio para examen Bimestral
A 24 B 20 3
4 C
Instrucciones: Resuelve el siguiente cuadrado mágico
sustituyendo las letras por números. 25 D 16
Todas las columnas y filas suman lo mismo: E 5 F 21 G
10 18 H 14 22
I

A) Primer número primo de dos cifras
6 19 2 J

11 24 7 20 3
4 12 25 24 16
17 5
B) MCD (14, 21, 35)
C) MCM (6, 4, 3)
D) MCM de (D, 3) = 24
E) Número primo menor que 20, tal que
la suma de sus cifras sea 8
13 21 9
10 18 15 14 22
23 6 19 2 15
SO
LUCIÓ
N

F) Número primo anterior a E
G) Número cuyos divisores son. 1, 3 y 9
H) MCD de 2 números primos entre sí
I) Número primo comprendido entre 20 y 25
J) MCM (3, 5, 15)

NOTA: Para resolver éste ejercicio el alumno utilizó las propiedades de los números primos, la tabla que
se elaboró en clase sobre los criterios de divisibilidad y la tabla de MCM y MCD respectivamente.

[GON00] Página 30

El siguiente tema a desarrollar se encuentra dentro de la estructura
curricular del programa, tiene como objetivo familiarizar al alumno en las
potencias, es decir, en la multiplicación de un número por sí mismo y poder
definir a la RAÍZ CUADRADA como una operación inversa a la potencia
de un número.

42
2.1.4 CUADRADOS Y CUBOS
Para introducir el concepto de raíz cuadrada recurrí al área de un cuadrado
utilizando la siguiente estructura:

2
2 √4=2
3

√9= 3 4
4
√16=4
3
Sin embargo la pregunta que surgió fue: ¿Qué pasa para números dónde
la raíz no es exacta?... Utilizando la misma estructura proseguí... el
proceso es el mismo... –observa como se obtiene √3, √5, √6, √10,√20,√32
Con esta misma estructura se resolvieron varios ejemplos hasta aumentar
el grado de dificultad y llegar a generalizar el proceso para raíces con tres
dígitos como se observa en el siguiente ejemplo al calcular √537:

El objetivo es que el alumno compara los dos procesos y que se justifiquen
cada uno de los pasos que se realizan en el algoritmo a partir del área del
cuadrado y del rectángulo. Que comprenda que la raíz (origen) cuadrada
1
1
1 < √3 < 2
⇒ 1 <12/3< 2
2 < √5 < 3 ⇒ 2 < 2 1/6 < 3
1 de 6 partes que se anexan para
completar el cuadrado 2
2

400
60 537
- 400

√ 537 23 (20X20)
137
- 120 (2x60)
17
- 9 (3x3)
8

-400
137 43
-129
8
3
9
60
3
20
20
43
consiste en buscar el número o bien las dimensiones del cuadrado y así
generalizar el proceso.
Para continuar con el tema de esta sección los alumnos leyeron las
páginas 17, 18 y 20 de su libro de texto[LIM03] Posteriormente elaboraron
preguntas Circunstanciales [VER CAPÍTULO 6.4.6] que a la vez tuvieran las
siguientes palabras como respuesta, con la finalidad de que construyan
su propio conocimiento:

Potencia Exponente Base Factor
Cuadrado Cubo Raíz Cuadrada Radical
Radicando Siglo XVII William Oughtred Multiplicación

Una vez elaboradas las preguntas Circunstanciales, el siguiente paso de
la sistematización del proceso aprendizaje es estructurar la información a
través de un organizador gráfico [VER FUIGURA 2.1.13] el cual se realizó con
la participación activa de los alumnos y mi coordinación. Este proceso de
aprendizaje ayuda al alumno a reafirmar y modificar conceptos previos; a
motivarlos a través de la dinámica que se desarrolla durante y después de
la actividad y lo más importante: que sean los protagonistas de la clase.

23 = 8
BASE: Número que se
multiplica por sí mismo
según el valor del
exponente
EXPONENTE: Número de
veces que se multiplica por sí
mismo la base
POTENCIA: Resultado del
número que se multiplica por sí
mismo según el exponente
Figura 2.1.13 Mapa Conceptual “POTENCIA y EXPONENTE”
44
Una vez estructurado el Mapa Conceptual de la Figura 2.1.13 los alumnos
realizaron ejercicios en clase y como tarea para reafirmar los conceptos,
utilizando el mismo modelo. Posteriormente les hablé sobre las
operaciones y sus inversas, recordando que la resta es la operación
inversa a la suma; la división es la operación inversa a la multiplicación
y cuestionándolos bajo la siguiente pregunta:
¿Cuál será la operación inversa a la potencia?
“La raíz cuadrada”, respondieron.
Continué con el desarrollo del tema y apoyada de las aportaciones sobre el
mismo, construimos conjuntamente durante la clase el siguiente Mapa
Conceptual (Figura 2.1.14) que representa la estructura y las partes de la
raíz cuadrada, sin antes definir la Raíz Cuadrada como la operación
inversa a la potencia de un número o bien cuál es el origen (raíz) del
número que al multiplicarlo por sí mismo nos da el valor (radicando)
Figura 2.1.14 Mapa Conceptual “RAÍZ CUADRADA”

Los alumnos realizaron ejercicios obteniendo la raíz exacta de números
perfectos y la aproximación de raíces inexactas utilizando el mismo patrón
(área del cuadrado y rectángulo)
Después de haber ejercitado el proceso estructuramos un algoritmo para
obtener la raíz cuadrada de cualquier número de más de tres cifras, pero
√9 3
RADICAL: Signo que
representa la operación
inversa a la potencia
RADICANDO: Número del que
obtenemos la raíz cuadrada
RAÍZ: Número que al multiplicarlo por
sí mismo es igual o se aproxime al valor
del radicando
45
debido a su corta edad y a la falta de madurez en la materia, solo me
concreté a números pequeños de no más de cuatro cifras, organizando el
proceso a través del siguiente algoritmo (Figura 2.1.15) para calcular la raíz
de cualquier número.
Cabe mencionar que antes de elaborar el algoritmo fue necesario realizar
conjuntamente ejercicios previos a la estructura del mismo, con el objetivo
de que al elaborarlo aportaran sus conocimientos y reafirmaran el proceso
en forma mecánica, pero con el conocimiento de la operación que se
registra en cada uno de los pasos del proceso. El siguiente algoritmo o
procedimiento, funciona para calcular la raíz cuadrada de cualquier
número y se realizó obteniendo la raíz cuadrada de 6 784

46
47
Se coloca el número dentro del símbolo de la
raíz y se separa en grupos de dos (periodo), de
derecha a izquierda. Es posible que el último
grupo de la izquierda conste de un solo dígito.
√67,84
Se trabaja con el primer grupo comenzando p
la izquierda. Se busca la raíz entera que má
se aproxime a ese periodo, y se anota en
línea de la derecha
√67,84 8
or
s
la
Debajo de la línea de la raíz se escribe el do
de ésta. Se baja el siguiente periodo.
√67,84 8
3 84 16
ble
Se multiplica el número escrito debajo de
línea de la raíz por el cociente anterior y se
resta este producto al número que se obtuvo a
bajar el periodo (el producto debe ser men
que este número; si no lo es se hace con el
número anterior)
√67,84 8
3 84 162
60
la

l
or

Se separa la última cifra del periodo que se
bajó al grupo de la izquierda (38) se le divide
entre el doble de la raíz (16) El cociente se
anota a continuación del número que está
debajo de la línea de la raíz (sí el cociente tiene
más de dos cifras se escribe 9)
√67,84 8
3 84 162
El cuadradode esta raíz se anota o bien se
resta en forma directa al primer periodo.
√67,84 8
3
Puesto que 82 =
entonces
√67 = 8
a
64
proximado
El cociente de
38 entre 16
es 2
Si el producto 162 X 2
hubiera sido mayor qu
384, entonces se
tendría que hacer con el
producto 161 X 1
e
El cociente que se haya usado en el paso anterior se
sube a la línea de la raíz.

√ 67,84 82
3 84 162
60
Si hay más grupos se siguen bajando
terminar con el último periodo. Como el re
es menor que 82, entonces se ha concluid
raíz con residuo = 60
√6784 = 82 aproximadamente puesto
que 822 = 6 724 y 6 784 – 6 724 = 60
hasta
siduo
o la
[BOS02]
Figura 2.1.15 “ALGORITMO PARA EL CÁLCULO DE LA RAÍZ CUADRADA”
Durante esta sección, como mencioné, los alumnos reafirmaron las
operaciones elementales de los Números Naturales, ejercitaron y
estructuraron algoritmos con el objetivo de lograr la habilidad, destreza y
estrategia para el cálculo de cualquiera de sus operaciones, alcanzando el
objetivo del tema.
Durante el desarrollo del tema, se sugiere en la mayor parte, la
construcción del conocimiento propio a través del planteamiento de un
problema o investigaciones de acuerdo a los intereses de cada uno de los
alumnos pero sin descuidar la guía que sugieren las herramientas o
estrategias del Modelo Constructivista. Posteriormente recabar la
información más relevante y representarla en un Organizador Gráfico. Por
último aplicar el conocimiento a través de ejercicios que le ayuden a
pensar, crear y desarrollar habilidades involucradas en las Operaciones
Mentales [OM]
La siguiente sección es una aplicación general de cada una de las
operaciones elementales en los números naturales a través de los
sistemas de numeración, es aquí donde podremos realizar la aplicación
directa en el momento que se construye un sistema de numeración.
48
2.2 SISTEMAS DE NUMERACIÓN
OBJETIVO GENERAL: Que el alumno conozca los primeros indicios que
llevaron al hombre a la necesidad de construir un sistema de numeración,
así como su estructura, aplicación y repercusión en la vida actual.
Para dar inicio a éste tema preparé un bosquejo histórico sobre los
sistemas de numeración. Les hable del hombre como el principal
protagonista, bajo la necesidad de contar y medir, utilizaba símbolos para
representar cantidades. Es así como se inician los primeros sistemas de
numeración.
Durante mi exposición algunos alumnos me interrumpían a través de sus
aportaciones, observé que contaban con un conocimiento previo sobre el
tema y la clase se convirtió en una plática sobre las necesidades del
hombre para subsistir y de esa manera trascender. Tal motivo me condujo
a llevar a cabo la técnica del S.Q.A. [VER FIGURA 6.4.7] para obtener una
visión más clara del punto de partida y posteriormente enriquecer el tema.
El Arrancador que utilicé para iniciar la técnica del S.Q.A. fue:
¿Qué sabes de los Sistemas de Numeración?...
A partir de la pregunta, surgieron aportaciones muy valiosas, tomé nota en
el pizarrón de cada una de ellas y posteriormente las organizamos en
grupo [VER FIGURA 2.2.1 "¿QUÉ SÉ?" ] Considerando únicamente la
información más relevante. Una vez que obtuvimos ésta parte de la
estrategia, el siguiente paso fue conducirlos hacia lo que queríamos saber
a partir de preguntas concretas para delimitar la información a investigar.
Estas preguntas se organizaron jerárquicamente [VER FIGURA 2.1.1 “¿QUÉ
QUIERO SABER?”] y fue el punto de partida para la investigación que mis
alumnos realizarían en casa. Durante su investigación mis alumnos pueden
recurrir a cualquier fuente: libro de texto, libros de Matemáticas, Internet,
etc.
49
Figura 2.2.1 S.Q.A “SISTEMAS DE NUMERACIÓN”
¿QUÉ SÉ? ¿QUÉ QUIERO SABER? ¿QUÉ APRENDÍ?

Hay diferentes sistemas
Se usan diferentes
métodos entre ellos
No todos son decimales
Comienzan cuando el
hombre tiene
necesidades de contar
Que algunos sistemas
carecen de números
Unos sistemas son más
complicados que otros

¿Qué es un sistema de
numeración?
¿Quién creó los sistemas de
numeración?

¿Para qué los crearon?
¿Cuántos sistemas de
numeración hay?
¿Para qué nos sirven?
¿Por qué hay que
aprenderlos?
¿Cómo funcionan?
¿En qué época se iniciaron?
¿Dónde surgieron los
primeros indicios?

Para responder a la sección ¿QUÉ APRENDÍ? mis alumnos tomaron la
lectura del su libro de texto [LIM03] de la página 24 a la 27, en grupo de 4
personas cada uno. Después de la lectura surgieron más preguntas que
pudieron responder gracias a la información que recabaron de diversas
fuentes. Estas respuestas fueron organizadas en grupo durante la clase y
utilizando el formato que nos señala la estrategia del S.Q.A [VER FIGURA
6.4.8] obtuvimos la siguiente FIGURA 2.2.1

50
Continuación... Figura 2.2.1.
¿QUE APRENDÍ?

Son símbolos con propiedades, reglas y orden para expresar cantidades.
Fueron creados por el hombre hace más de 4000 años, para poder contar,
agrupar e ir cubriendo sus necesidades.
Existen varios sistemas de numeración que surgieron paralelamente y que se
fueron modificando a través del tiempo por el mismo hombre para facilitarse el
trabajo.
Hay muchos pero solo estudiaremos los más relevantes: el babilónico, que surge
en Mesopotamia y es el más antiguo; el egipcio en Egipto; el romano en Roma; el
maya en México y el decimal que es el que actualmente usamos y que proviene
de los Árabes.
Es importante su estudio ya que debemos saber como surgió el sistema que
actualmente utilizamos.
Actualmente usamos el sistema de numeración Arábigo o bien Decimal, en la
tecnología (computación) el sistema Binario cuya estructura está basada en la de
los sistemas antiguos.

Una vez convencidos y motivados por el tema proseguimos a estructurar
toda nuestra información a través de un ORGANIZADOR GRÁFICO [VER
CAPÍTULO 6.4] El Mapa Conceptual lo elaboramos durante la clase, con la
participación activa del grupo y sus respectivas aportaciones, obteniendo
como resultado la Figura 2.2.2 que presento a continuación.
51
Figura 2.2.2 Mapa Conceptual “
SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Después de haber estructurado la información más relevante, proseguí a
explicar con ejemplos cada uno de los sistemas de numeración. La
exposición me llevó varios días y transcurrió describiendo: la base,
características, construcción, propiedades y símbolos de cada sistema.
Posteriormente se realizaron ejercicios en el pizarrón, en forma grupal e
individual, de cada uno de los sistemas que se estudiaba en ese momento.
Estos ejercicios fueron sencillos: la fecha de su nacimiento, la fecha del día
y algunas efemérides que han acontecido en la historia de las ciencias.
Una vez detallado cada uno de los sistemas de numeración con sus
respectivos ejemplos, aún existía confusión entre ellos, fue entonces
cuando recurrí a estructurar de nuevo la información que teníamos. Esta
Conjunto de símbolos con propiedades, reglas
y orden para expresar cantidades
Cubrir las necesidades
del hombre y hacer
más fácil su vida
Hace 4000 años en
Mesopotamia y culturas
contemporáneas
Simplifica el conteo a
través de la agrupación
de símbolos
Mesopotámia los
números babilónicos
Egipto los
números egipcios
México los números
mayas
Roma los números
romanos Arabia los números arábigos
Son
surgen utilidad para
en
52
53
vez utilizando otra estrategia, y me refiero al CUADRO COMPARATIVO
[VER FIGURA 6.3.6] La elaboración de éste CUADRO COMPARATIVO [VER
FIGURA 2.1.3] transcurrió con la participación activa del grupo, apoyándose
en los apuntes que habían tomado en clases anteriores acerca de cada
uno de los sistemas. A través de la actividad hicieron comparaciones,