ÁLGEBRA_S7_Ecuaciones de segundo grado

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ÁLGEBRA
11 Álgebrasan marcos semesTral 2022 – iii
ecUaciones De
segUnDo graDo
ESQUEMA - FORMULARIO
Ecuación dE sEgundo grado
Vértice y conjunto imagen de la función
ax2 + bx + c = 0
ax2 + bx + a = 0
ax2 + c = 0
D = b2 – 4ac
(a ≠ 0)
Raíces {x1; x2}
{x1; – x2} →
Raíces recíprocas
Raíces inversas aditivas
x1; 1x1
 →

x1 . x2 = 
c
a
x1 + x2 = – 
b
a
xv = – 
b
2a
yv = – 
D
4a
(a > 0) punto mínimo (a < 0)
y
x
0
v
D
4a–
b
2a–
y
x
0
vD
4a–
b
2a–
IM(F) = 





 y ∈ R/ y ≥ – D
4a





IM(F) = 





 y ∈ R/ y ≤ – D
4a





EcuacionEs dE sEgundo grado
22Álgebra san marcos semestral 2022 – iii
nivEl 1
1. Resolver la ecuación:
 
2
2 – x
 + 
1
2
 – 
4
x(2 – x)
 = 0
a) {1} b) {2, 3} 
c) {3, 4} d) {4} 
2. Resolver para x en la ecuación
 2m(1 + x2) – (1 + m2)(x + m) = 0
a) )m, 
1 – m2
2m
3 b) )m, 
1
m
3
c) )m, 
1 + m2
m
3 d) {m, 2m}
3. Si la diferencia de las raíces de la ecuación 
2x2 –(a + 1)x + a – 1 = 0 es igual a su 
producto entonces el valor de "a" es:
a) 1 b) 2 
c) 3 d) 4 
4. Si la media aritmética de a y b es 3 y la 
media geométrica es 2. Entonces la ecua-
ción cuadrática cuyas raíces son a y b es:
a) x2 + 6x + 4 = 0
b) x2 – 6x + 4 = 0
c) x2 – 3x + 2 = 0
d) x2 + 3x + 2 = 9
nivEl 2
5. Si Tana, Tanb son las raíces de
 x2 – px + q = 0 y 
 cota cotb son las raíces de x2 – rx + 5 = 0,
 entonces encontrar el valor de rs en tér-
minos de p y q.
a) pq2 b) pq 
c) 
p
q2
 d) 
p
q
 
6. El valor de a para el cual la ecuación:
 (a + 5)x2 – (2a + 1)x + (a – 1) = 0
 tiene raíces de igual magnitud pero opues-
tas en signo, es:
a) 7/4 b) 1
c) –1/2 d) –5 
7. Para a ≠ b, si la ecuación x2 + ax + b = 0 
y x2 + bx + a = 0 tienes una raíz común, 
entonces el valor de (a + b) es:
a) –1 b) 0 
c) 1 d) 2 
8. El valor de p para los cuales las raíces de 
la ecuación:
 4x2 – 20px + (25p2 + 15p – 66) = 0
 sean menores que 2, se encuentran en:
a) 〈4/5, 2〉
b) 〈2, +∞〉
c) 〈 –1, – 45 〉
d) 〈– ∞, –1〉
9. Se a, b son las raíces de la ecuación 
 (x – a)(x – b) = c, c ≠ 0. Entonces las raíces 
de la ecuación (x – a)(x – b) + c = 0
 son:
a) a, c b) b, c
c) a, b d) a + c, b + c
10. Si a, b son las raíces de la ecuación 
 8x2 – 3x + 27 = 0. 
pRObLEMAS pROpUESTOS
EcuacionEs dE sEgundo grado
33 Álgebrasan marcos semestral 2022 – iii
 Entonces el valor de <da2
b
n
1/3
+ d
b2
a
n
1/3
 < 
es:
a) 1/3 b) 1/4
c) 1/5 d) 1/6 
nivEl 3
11. El número de soluciones de la ecuación
 x2 – x – cosx = 0, x ∈ R, es igual a:
a) 2 b) 1 
c) 0 d) 3 
12. En un sistema de coordenadas car-
tesianas, el punto R se desplaza so-
bre el eje de las ordenadas a par-
tir del punto (0,30), en dirección al 
origen 0 con velocidad de 1 cm/s, 
y el punto S se desplaza sobre el eje de 
las abscisas, moviendo del punto (2,0) 
con el doble de esa velocidad, ellos par-
ten en el mismo instante. Vea la figura 
siguiente.
 
30
R
0 2 S x
 ¿En cuánto tiempo el triángulo ROS alcan-
zará el área máxima?
a) 13 s b) 14 s 
c) 14,5 s d) 15 s 
13. El gráfico de una función polinomial F 
de segundo grado tiene a la recta x = 3 
como eje de simetría. Si el módulo de la 
diferencia entre las raíces de f es 6 unida-
des y f tendrá un valor máximo igual a 12, 
entonces:
a) F(x) = – 4x2 + 5x – 1
b) F(x) = – 
4
3
x2 + 48x
c) F(x) = – 
4
3
x2 – 8x
d) F(x) = – 
4
3
x2 + 8x