Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Lea materiales sin conexión, sin usar Internet. Además de muchas otras características!
ECONOMETRIA 2
Maria Gomez
Compartir
Vista previa del material en texto
í )
, t
1 )
1 1
(
( )
( )
1 )
1 )
( )
( )
( )
, )
( )
1 )
1 )
1 )
( )
( )
( )
( 1
1
< )
( )
()
()
()
( )
( ,
()
.. ,
' )
)
\ )
.
,/
l )
\ )
' 1
<.. '
( )
n
( )
n
()
Íl
(,
(
(l
í
(
C'
(\
o
('
(
()
(
n
o
n
()
( ,,
o
e'>
j
()
u
()
()
l
( )
1
( )
u
( )
u
( )
( )
( )
u
u
¡_ )
1 )
\,)
u
u
u
(J
u
u
l)
u
',J
l.._)
()
l
)
( )
( l
( .
Material Econometría
Cursillo de Gretl
Teoría fundamental
Problemas para pizarra
1. Toyota
2. Gasto en espectáculos
3. Urbano - Rural
4. Pizzería
5. Lion Forest
6. Intervalos de confianza y contrastes
7. Multicolinealidad y Predicción por punto e intervalo
8. Problema fundamental (está resuelto en fotocopias para centrarnos en lo importante)
a. ejemplos de cálculos de inversa de 2 por 2
b. ejemplos de matrices X'X
c. cálculo estimador MCO "a mano" en modelos con un solo regresor, ejemplo con
un examen final
9. Contrastes con modelos restringidos, propiedades modelo que cumple todas las
hipótesis básicas, omisión relevantes, inclusión de irrelevantes, restricciones ciertas,
restricciones falsas
10. Teoría heterocedasticidad, Miles: ejercicio Heterocedasticidad (no para GE)
11. Income/Exphealth: ejercicio resuelto Heterocedasticidad (no para GE)
Cuando acabemos con estos problemas, empiezo a resolver exámenes en la pizarra.
Exámenes resueltos para trabajar en casa y preguntar dudas
Son exámenes de varios tipos y de diverso enfoque y dificultad, con y sin gretl. Los ficheros
necesarios os los entrego yo
1. Parcial ApE diciembre 2013, Atractivo físico, beauty2.gdt
2. Parcial ADE diciembre 2014. Diamantes, diamantes2.gdt
3. Examen 2013/2014 Distancia. Entero a mano, sin gretl
4. Final Julio 2016 GE. Entero a mano, último problema muy interesante, todo a mano.
5. Final Mayo 2016 MK. Corto, para un repaso rápido a la asignatura, todo a mano.
6. Final ADE enero 2015. Resuelto, no necesita Gretl
7. Final ADE julio 2015, resuelto. Tiene los pantallazos de gretl. Ramanathan7-10 lo trae
Gretl de serie
1
2
{ )
( '
1 1
{ \
(
o
( )
( )
1
( )
()
( ,1
( 1
( ¡
1 1
1 1
. ( \
\ 1
( )
1 1
( )
(_)
' )
1 )
\ )
( )
1 )
1
)
( )
( 1
( 1
( )
( 1
)
( 1
( 1
( J
( )
( 1
)
( J
Maternas - Econometría - Gretl 1
Gretl lo que hay que saber
Básico
1 Crear el cuadrado de una variable
2 Crear el logaritmo de una variable
3 Crear una variable de interacción (producto de dos variables)
4 Restringir la muestra a un número determinado de datos
5 Recuperar la muestra original
6 Restringir la muestra en función de los valores de una variable cuantitativa
7 Restringir la muestra en función de una variable ficticia
Estadística
8 Manejo de tablas:
a. t-student
b. N(0,1)
c. F
d. Chi-Cuadrado
9 Estadísticos principales
a. Media
·b. Media de una variable ficticia (proporción)
c. Desviación típica
d. Media para una determinada clase de una variable cualitativa (con
ficticias)
10 Coeficiente de correlación entre dos variables
Estimación por MCO
11
a.
b.
12
13
14
15
16
17
18
Estimar modelo por MCO
Guardar a sesión como icono
Cambiar de nombre el modelo estimado
Guardar sesión
Gráficas de los residuos
Variable observada - estimada - residuos
Intervalos de confianza para parámetros
Matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores
Contraste general de restricciones con p-valor
Modelo con doble logaritmo
Centro de Estudios Maternas www.academiamatemas.com 634507303
3
Maternas - Econometría - Gretl 2
1 Manejo fundamental de Gretl
Archivo de muestra: Ramanathan data7-10
n gretl
Hmamientas }'er il.f;_a dir hl•Jestrn Variable Ayy_da
,_ :: ·. · ·: '.);:j Archivo de usuario.. . Ctr!•O
1 -- .... ..
1 Gretl Greene Ramanathan
l < .. = - 4 Tipo 4 "
1
data7-2 Saracy and employrnent characteristics
data7-3 Sale price o( singlefamíry hcrnes
data7-4 V'icmen's labcr force participati-on
;..::..:',):.:,:::;,.u;.;ri, :;=.;.;.::::::
\-
1
1 •;:
data7-9 First·year GPA. of students
cro-ss section, n=49
cross sect¡on, n:::: 14
cross. section: n= 100
time: series, T:B9
cross s.ection, n= 11 ó
cross section, n:2:22
cross se.ction, n:.104
cross section, n=427
1-
1 data7·11 Singlefamily hcuses, prices etc. cro;s section, "" l9
t Archfvc Herramientas .Q.atoi Yer Añadir Mi.iertra 'lariahle MQ.delo Ay¡Jda '2.1
1 - -- -- C:\Ust::rs\ 34ó34\0neDrive - Academi.:: ... - - ------ -- -·- --- - - -
Nombre de variable 4 Etiqueta de:;criptiva
1 O con;t
pepln pcpufaticn in thou.sands (Range 372 - 11529)
valadd value by indl. manufactur5 (1972, SOOOs)
4 rain rain falf in inche5 t Z.63 - 62-. 13)
coast :: 1 fer SMSAi on the ccast, O cthen."ise
den$¡ty p.cpulation per niile (Range 271 .59 - 12957.5-)
medincm me:dian per capita inccme (Range S-5-3 - S94:50)
povei'tj 100 x the % cf familic.s with inccme belcw fevel
9 electr electric.ity ccnsumed by indl, manufactureri (tvtW hrs;)
lD fueloil COOs barreis cf fuel oi l ccnsumed in indl. sector
11 indestab number cf indl. establi:;hments with 20 or mor! empfoyees
Son los datos de 30 ciudades del estado de California, para cada ciudad se tienen los siguientes datos:
airqual: peso de la materia suspendida en el aire en microgramos por metro cúbico
popln: población en miles
indestab: número de empresas con más de 20 empleados
Centro de Estudios Matemos www.academiamatemas.com 634507303
4
, )
1 )
)
)
)
•
( )
( )
( )
n
( )
()
( )
( )
( l
( )
( )
)
)
1
( )
u
(._)
l. )
)
)
\. i
\. J
Maternas - Econometría - Gretl 3
coast: 1 si la ciudad es costera, O si no es costera
rain : lluvia caída en pulgadas por metro cúbico
1 Crear el cuadrado de la variable rain
.8rchivo Herramientas Qato; l!er Muestra Variable M¡¡delo Aygda ' !EJ
_ _ _ _ ______ _ j de variabls ;eleccionadas r-
;ID#• Nombredevañablc 4 4 :
i O const L. d J
1 -
' 1 airqual weight O: d1ferenc1.as de !as ¡ar1able; Í
l pcpln .Qffe.rencra:; de iogaritmos de fas ;e:fe.ccic nadas
vafadd value adli Ric-:c10-r.ada$
4 ram rain fu!l i
5 coa.st
6 density
medincm
= 1 for S
populati l
median d
f crc.entaje cambio dE:
!ndit:.es bJ:;ado:; en_ 100 de l.a.s :;eleccion.Jdas
Eital)darizar. las variab_lcs seleccionadas
Nos aparece la variable sq_rain
10 fueloil
11 indestab
C:lC:\..tll\..ll)' '-.VH'.JU.UtC:U U'j lllUf, UfOllUlQ\.LUIC:I;:,, \IVlO IU::J-)
OOOs b<3rrels of fue! ofl consumed in indl. sector
number of indl. establishments with 20 or more emplcyees
12. sq_rain = rain cuadrado
2 Crear el logaritmo de la variable popln
.Archi·.ro Herramientas Qatos
¡ 10 # • Nombre de variable • Etiqueto
O const
1 airqual
;
' w•ightoj
2 popln populati
vala.dd
4 rain
5 coas!
vatue
rain fall
= 1 torSI
Muffira Varia ble MQdelo Aygda
Cuadrad.os variables
B.e:tardcs de
E.rime.ras diferencias d-€ las variables 5E:IE::ci::icnadas
de de lai variables
Diferencias s;st3cipn,<;3_l_e,? 1?5 s.c!ecdonada:;:
de cambio de la:s. varlabll.5 sefe.c.cicn:'!d;,s
fndices en 1C.4l de la'> vcriabfes ; i!ieccio:iadc:;
Nos aparece la variable l_popln
11 índestab
12 sq_rain
number of indf. establishments with 20 or more employees
= rain cuadrado
B !__poptn = logaritmo de popln
atemas\ Documentos: ...
• 1
Centro de Estudios Matemos www.academiamatemas.com 634507303
5
Maternas - Econometría - Gretl 4
3 Crear una variable de interacción coast*popln
___ ·-- -·--- ¡. - . ...
JO= i Nombre de variable 4 Etiqueta ci Cuadrado-; de las variables ,?eleccionadas ! - -- - ··-
O const
1
d.:_¡;.:; '.«Hi ab! e:; s.;:!::c;:!ontd.?i
1
¡
weight lJs ;e.le..c-·:icn-aciai
pcpln dt L: gi!ríi".rnc...;: de 1
valadd value adJ ci"! f.?1" 1.
rain rain f all i( 2.cr:;i::ntaj:: 6:? otnbic d.:: ids. •./arlabio
indices e!"l 10;) Ó.e s:ele':Ócnada:; Jmillll!llillllllilllllil!lll ': ·s. · ccast ...·• ..... •• .. · :· • ::.. l far
íD
11
12
1l
d<ruity
medincm
pov&f
clectr
iucloil
indestab
.sq_rain
!_peplo
tOOx thd
'
0005.bari ..
i
number i
=rain cuj
::;
E¡tandarizu las variables sd&cicnadas
Variable 1hdice
lij grett: añadir variable
Introduzca la fórmula pa.ra fa nueva variable
(o sólo el nombre, si va a introducir !os datos manualmente)
-·---¡
'
L .--......
8ceptar
X
Nos aparece !a variable CoastPopln, ojo los nombres de las nuevas variables
no pueden tener huecos ni símbolos salvo el guion bajo nombre_ permitido
13 l_popln = logaritmo de popln
4 Restringir la muestra a un número determinado de datos, del 1 al 16
O
airqual
l
weight of suspenJ
R.§stringir, a partir de criterio ...
Submuestra aleatoria,"
Centro de Estudios Maternas www.academiamatemas.com 634507303
( )
( \
( 1
l
6 < ) ' )
' )
( )
l
( '¡
( )
( 1
( \
1 )
( )
, )
( )
(
)
)
( 1
( )
( 1
( )
( )
l )
( _)
)
}
( )
( )
J
1 J
)
( )
( >
1)
( '
1 J
1 ,
( 1
Maternas - Econometría - Gretl 5
11 gretl: establecer muestra X
Estabfecer rango muestra!
ln¡cio: Final:
r;;¡ 4
Observaciones: 30
! J j . J
En la pantalla de las variables, en la parte de abajo debe indicar la muestra
que hemos determinado
Sin fecha: Rango completo 1 - 30; muestra actual 1 - 16
5 Recuperar la muestra original
En la parte de abajo debe aparecer la muestra completa
Sin fecha: Rango comp!i:to 1 - 30
@.il EJ E fx L: 8
6 Restringir la muestra en función de los valores de una variable cuantitativa:
muestra con las ciudades con población mayor a 1.500
n gretl D X
Centro de Estudios Maternas www.academiamatemas.com 634507303
7
Maternas - Econometría - Gretl 6
'1 gretl: restringir muestra X
@ Introduzca condición booleana para seleccionar casos:
--··- _____________ _
O Utilizar una variable fictic ia: ; coa:;t. -·:_-;J
O Hacer que esta restricción sea permanente
Ayy<la 1 Aceptar
fi gret!: infom1ació.n X
Se han quitado 19 observaciones
Sin fecha: rango completo n = 30; muestra actual n= 11
l@J [tl tJ !ffi1 tx @ L il la
Recupera la muestra una vez que hagas lo que se te pide
7 Restringir la muestra en función de una variable ficticia . Muestra con
ciudades costeras, en la muestra se quedan las que tienen la ficticia igual a
1, es decir !as ciudades costeras
. -.-.;.·J: · ··
Archive Herramienta, Datos Ver Añadir !M'tiéitfa} Variable M><de! c Aygda
- - - - ::. • ...::::.::'·:·; ::"':! -
,_,
-------------------
··-·· ____ ___ . __ J Estabfecerrango...
'. ID # • Nombre de variable • Etiqueta de>criptivj Recuperar ei rango i;cmpieto I
: O const ' l
airqual weight of
nnnln nnn11l:-tinn in thr\1 1 Submuestra ªJeatona...
Ojo!!! en la ecuación aparecen dos iguales coast == 1
gretl: restringir muestra X
@ Introduzca condición booleana para seleccionar case»;
J coast==11
O Utilizar una vartable ficticia: <;j
O Hacer que erta restricción sea permanente
Si queremos una ciudad que no está en la costa hacemos coast==O
Centro de Estudios Maternas www.academiamatemas.com 634507303
8
(
( 1
e
(
(_
\ 1
( l
(
()
1)
( )
)
( )
( )
n
( )
o
o
n
()
()
\ .
( )
u
u
u
()
( ,
o
u
)
()
()
(1
u
(,
u
1
)
\,
Maternas - Econometría - Gretl 7
2 Estadística
8 t-student 23 g.d.I (Herramientas - Tablas Estadísticas)
a. Dos colas ¡-· ;r;;: LJ
·¡ Normal t chi-cuadradc F binomial Poisson WeibuH ow
91 n
Probabilidad en la cola derecha 0.025
b. Cola de la derecha
Probabilidad en la cola derecha ! 0.05 -·
8ceptar
1 " gretl: valores cmicos o X
::·
·¡ ¡ ! t (23) ------.
! Probabilidad en la cela derecha O. 025
! Probabilidad complementaria - 0.975 i Probabilidad a dos colas = O. 05
n gretl: valores cn1:icos o
: t (23)
Probabilidad en la cola derecha = 0.05
Probabilidad complementaria = 0 .95
Probabilidad a colas = 0.1
Valor crítico = 1.71387
X
C.1
c. Cola de la izquierda, mismo resultado que cola de la derecha, cambiamos
el signo
9 N(0,1)
a. Dos colas
Normal t chi-cuadrado F binomial Poisson Weibull DW
media O
desv. típica 1 --
Probabilidad en la cola derecha : 0.1l25
b. Cola de la derecha
1 a gretl: cnticos o
! ra § 'Gi <éi.
I
r . .... .. --- . ··---··· - ·--···- ·--· · - ·--- .
j Distr.ibución :normal está:nda:::
j P:::obabilidad en la cola de:::echa = 0.025
¡ Probabilidad complementaria 0.975
· P:::obabilidad a dos colas = 0.05
Valor crítico= 1.9599&
Centro de Estudios Matemos www.academiamatemas.com 634507303
9
Maternas - Econometría - Gretl 8
Normal chi-cuadradc F binomial Poisson Weibull DW
media ,O
j gretl: valores eritreos D X ., l
1 Q --------- ',::J 1
Di$CiibUGión normal estándar l __ _
Probabilidad e:i la co·la derecha = O. 05 f
d<sv. típica 1
Probabilidad en la cela derecha ' 0.05
í:;errar
Probabilidad complementaria= 0 .95 l
P::obabilidad a do" celas = O. l ¡
·1
1
-- ---------· --- ----------- --- - ------------ --J 1
1·
¡: Valo::
I'
1------
c. Cola de la izquierda, mismo resultado que cola de la derecha, cambiamos
el signo
10 Chi-Cuadrado 9 grados, cola de la derecha
Normal t chi-cuadrada F binomial Poisson Weibull DW
g
l ¡-;----·-- --------·
l ¿ -----·------- ------ ---
Probabilidad en la cola derécha fo.os ________ -----··--
berrar
i fi gretf: valores entices o
1 G?il § o e:._
¡ t -- --··· -·-- - ---- - ·- - ···---- -- --·
!: Ch1-cuad::radc (9) ! Prot-abilidad en la cola derecha = o. o s
\ ' Frcbab<ilidad complementaria= 0.95
1- Valor crit:ico = 2.6.919
11 F 9 grados en el numerador, 12 en el denominador
l'ij. gretl: valores entices D X
Normal t chi-cuadrado F binomial Poisson Weibull DW
gin 9
gld 12
Probabilidad en !a cola derecha O.OS 1
1
...... _-f!,_-c-ep-ta_r_,,,,JI
F (9, 12 )
Probabi lidad en. l.a cola der-.::cha. = 0. 05
&r cbabilidad = 0 .95
Valor critico = 2.79638
Centro de Estudios Matemos www.academiamatemas.com 634507303
X
,··.
1 _ _¡
\_ )
( J
10 1 )
1 )
(
(
n
<
( )
()
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
()
()
()
< )
()
{ )
( 1
( 1
()
( 1
u
( )
u
( )
( )
u
( ,
u
)
u
u
( .
\ ,
(
( 1
( 1
Maternas - Econometría - Gretl 9
12 Estadísticos principales para airqual, popln, rain, coast, índestab. La
media de una variable ficticia es una proporción. En nuestro problema coast
es ficticia, su media es la proporción de ciudades que están en la costa.
Archivo Qatos Añadir .Mu!stra Variable MQdelo
---- - ------.
data7-10.gclt •
ID# '4 Nombre de variabfe
O con<!
Vis!• de !conos
•
1 a.irqual we! Graficos múltiples. ' t. ;s _
2 popln
valadd
R grotl: Estad(sticos principales
' popln
¡ valadd
1 • rain
coast
den>ity
medincm
p.overty
electr
fueloil
· indestab
: sq_rain
¡ l_popln
Estadístico> principales
airqual
pop In
¡ rain
i coa·st
1 indestab
i Coastl'opln
.--.- - - ----:
._limpiar ¡ 1:ancelar
n gretl
:Aceptar
X
O Mostrar !os estadísticos más importantes ;:
!
9ncetar Aceptar
X
A gretl: Estadirticcs principales o
: a1rqua.l
: pcpl:t
i ::a1n
· cca..3C
airqual
pcp.ln
<1i:rqua.l
¡ =ai!'l
: ==ca.9t:
inde.3-Cab
Media
104. 70
2 16€: . 9
36. D"1e
o. 70000
147;:. a
Desv. Típica.
2e. 02a
2·H-e:.5
13 . "le5
0 .4i609
2057 .1
Pe::c. 5\
59. 000
463.85
l2.63U
º·ºªºº" 267 .2 0
.Me-d.ia..'"';.d
114.00
1313.0
3é. g6i)
l. 00>)(<
790.SG
c.·.;.
0 .26170
1.1300
o. 37387
Cl.Q65S.S
l. 3911
Pe::c. :-st
l.54 .ov
305.$. -6
€;3 . .526
l. O•JOO
7.513. 5
5!!. O.JO
37.Z . O<J
12. 63iJ
o.oooao
221.GD
M.ixir:..0
.l65.00
11529
63. l3Q
l.OOtJO
'S-466. ij
de c;,¡ ::-cc.;ii3
2.4562 5.3203:
- ú . Oi3531 O. 02-1 517
2. é6?0
-.l.23Sl
Rao.qc
.:ie. 1s.:i
1356.IJ
12 .:2 18
1.0000
X
ª
Centro de Estudios Matemos www.academiamatemas.com 634507303
11
Maternas - Econometría - Gretl 1 O
13 Coeficiente de correlaciónentre popln e índestab
14 Calcula:
Archivo Herramientas Qatos ::*á} Añadir .Muestra Variable MQdelo AY!
e""''"'---- ---------- ---,
_ _j Vista de ]conos
!ID= Nombre de variable Eticj > j
O ccnst §.ráficos ¡
i Gráficos múltiples 1
9 16
_
airqual we¡ 5 - o)
popln poi fátadísticos principales
valadd
,.,;,.,. ni..l T:21hub.riAn rrH7;iirfa ,.
Jt gretl: Matriz de correlac iones
Matrit:·de correlacicncs
airquaJ
pe pin
valadd
rain
ccast
den1ity
medincm
pcvut-¡
1!.ledr
fueloil
indestab
5q_rain
l_pop:rn
CcartPopln
Ayyda Limpiar
lfi gretl; Matriz de
pcpln
indrnab
cor.r(popln, indc.stab} = 0 .98422331
x !
'
.. 1
_ j
Sajo la hip6tesis de ne correlación:
o
t(28) = con valor p a dos c r:>laa 0.0000
X
'
a. la media de la población: ver -estadísticos principales
' Estadi3ticca U3andc las l - 3 G
. para la vari.!bl. e 1 popl::. ' (30 cbs.:rvacionl!.! válida.5}
Hedía
He diana
Minirr.c
MáxJ.In1:>
Desviación típica
c.v.
Asim.et:ria
Exc. de curtcsi .s
Percentil del 5%
del 95%
Rango
2lQ6 . !t
1313. ';o
372. vo
ll-529 .
2443.5
1-130,j
2.-4562
5 . .
46-3. es
90.55.6
1356 .0
o
Centro de Estudios Matemos www.academiamatemas.com 634507303
( 1
(
12
1 1
' )
(
n
( \
()
t )
( )
1 )
( )
( )
( )
( )
()
( ,
( )
( )
( )
( ;
)
( 1
()
< )
( )
( )
( 1
()
( J
( )
u
()
( J
( >
( J
u
( J
(1
l '
( l
\ )
\.. 1
b.
Maternas - Econometría - Gretl 11
la media de la población en las ciudades costeras.
• Restringimos la muestra a las ciudades costeras coast= = 1
• Ver - estadísticos principales
Eatadi.3tico.s principales, usando las observaciones 1 - 21
para la variable 'popln' (21 observaciones válidas)
Media
He diana
Minimo
Máximo
Desviación típica
c.v.
Asimetría
Exc. de
Percentil del 5%
Percentil del 95%
intercuartílico
Observaciones ausentes
• Recuperamos la muestra completa
2137 . 0
1420.0
609.00
11529.
2593.7
1.0643
2.4333
5.5443
€20.20
110?-9.
1723 . 0
o
c. media de la población en las ciudades no costeras
• restringimos la muestra a ciudades no costeras coast= =O
• ver - estadísticos principales
D gretl: Estadisticos principales D
j Estadísticos principales, usando las observacione3 1 - 9
l para la variable 'popln' (9 válidas)
1
i ¡ Media 1536.3
Mediana 827.00
Minimo
Máximo
De3viación típica
c.v.
Asimetría
Exc. de curtosi3
Rango· in-c-cxcuart:ílico
Observaciones auBences
• recuperamos la muestra completa
372 . 00
6979 .o
2ú€8.l
1.3457
:;¡. 3519
3.7754
7(;7.00
o
):
Centro de Estudios Matemos www.academiamatemas.com 634507303
13
Maternas - Econometría - Gretl 12
3 Estimación por MCO
Para el modelo que estima airqual en función de popln, rain, coast
15 Estima el modelo por MCO y guarda a sesión como icono
árchívo Herramíen!as Qatos ker Afiadir .Muestra Variable Ayyda t2:
data ___ ______ _ ___
¡I D# 4 Nombre de variable '4 Etiqueta des¡;ripttva !· ·· · i '4
litA gretl: e;pecificar O X [
1--:- - - - --·-·--
MCO
ccnst
airqual
, P"Pln
valadd
rain
- dependiente '.
; "'-.-- - por defecto-
. coast
· demity
medincm
poverty
electr
fuelo il
inde5tab
sq_rain
l_popln
CoastPcpln
¡;
; pcpln
1 ra in
1 coa.si:
,--. --
O típicas. robustas
¡
!
1 . r
1
Ay!!da - - -- - 1
1RMcdolc1
'1 - f;rchivo _t:ditar Contrastes Quardar .(iraficc> f;nálisis i,_oTe!.
1 Hod.:lo l : HCO, usanclo la.3 ob.5ervacionea l - 30 ¡ Va=iabl e
i cce.ficience De.sv . típica Estadístico t. p i -----------------------------------------------------------------
1;
¡; rai:1 Q.24€'332
í ¡ coa.se.
i
! Media de la vble. dep .
!surr..a de cuad. residuos
¡ R- c uad:;:ado
1
F ( 3, 26 )
: L-oq-vercsimi.licud
1 Críte:-io de Sc:n,¡a.z:z
l i
J. 325<irJB 0.7573
9.51.587 -3.606
l0'! . 700 0
13790.2 2
(l . 39-:696
5.65120 7
- 134.5259
232.65é6
D.T. áe l a dep.
D.!. de la re:g::esión
R- cuadrado corregido
Valor p (de F).
de
:j.'!55i
0 . 0 011
2e.02e.5 0.
23 .03026
0.00-i0.51
277 . 051-S
o
Centro de Estudios Matemos www.academiamatemas.com 634507303
X
: 'I
';:J
( )
e
( ,
\.....'
14
}
( )
)
)
)
1 )
)
)
()
)
( )
( )
)
)
)
( '
()
( 1
( )
< 1
( ,
( )
( >
1
( )
<
)
( )
(_)
()
u
( '
(_ l
lJ
u
( 1
Maternas - Econometría - Gretl 13
Guarda siempre el modelo como icono, y si es necesario cambia el nombre,
con el botón derecho en la Vista de iconos
R gretl: modelo 1
fditar Contrastes §uardar §ráficos
. 1-----
1 liij §uardar como... r icnes
Í Guardar la se;ión como jcono
1 Guardar c.Qmo icono y cerrar lueron
! fmerimir .. ;
1 Ver como ecuación •
! X Ctrt+W
;-Í _ _.....,,.. ..... ...,.,,.,.... _ _..,,,....,.,.... Ji 6:3286
:rain· - 0 . 70249'1 O. 262461
n gretl: Vista de iconos o X
í?'i
L:!.J
Información ...
Tabla de mod ...
16 Guardar la sesión
f4 gretl
m ' -
Conjunto de .•.
Escalares
m1.,,_ª' ' ) ' : J iiJ. 1
Resumen
11 . .
Notas
Correlaciones
Añadir a la tabla de modelos
Renombrar
Borrar
Herramientas Qatos Y..er Aftadir MuMtra Variable M.Qdelo Ayyda
[lbrir archivo de datos
Afi.adir datos ...
1 §uardar datos
J Gyardar datos como ...
J gport.r datos-.
;
El En:tiara ...
1 t!uEl.'c ccnjunto d;:;
----., ., ..... __
Ctri+S r
Ctrl+N
f ded particular matter (Range 59 - 165)
(Range 372 - 11529)
di . manufactures (1972, SOOOs)
(Range 12.63 - 68.13)
the coast. O othen.vise
are mile (Range 27159 - 12957.5) j ¡fü Borrar el de datos
! .. - • . • : t 1
j Qirectorio de trabajo... ilies with income bclow poverty levcl
J Archivos de gujon • by
j >
¡ .a¡ Ctrl+Q ! 1. Gretl Basi.co.gretl 1
l 2. hetero clase.gretl ¡
Centro de Estudios Matemos www.academiamatemas.com 634507303
15
Maternas - Econometría - Gretl 14
17 Gráficas de los residuos frente a popln
:· rtfi Modele 1 o X
,5rchi'lc fditar §.uardar ¿na!fois _ _______ -···,
f Modele ¡;-Mee:- ·usa;do Grifico de. i
' Va riabl '! <!> i rq-:J{ Grifico y • ! fer numero de: observación 1
¡ r . . airquai
110.3.39 2.3 . 5891 13 . 1:23 l . 3Je-C 1
popl:n O.OO'i.S403$! •J . 00l'18S02 z .S39 0 .0:17'!
Sep?ración > 1
J de
f (.3, 26 }
toq- -;,.·e=o5.;.clli t. u d
C:rit::ric de
! n 9mf: gfitíco
!
l .
':':-
1 0 .;. 700rJ
.l.3790.22
D.!'. de le;. dep.
D. T. le r-: q :eaió!l
O. 3S-i69'6 R-cu.ad=ado cc.:-=>!:gido
3 , 651207 Valo:: {de F}
- .l.S4 • .s2.s; Crit:e::::ic
2e.o:as5i:•
2.3 .03 02e
(i .J24..S:53
211 .os.:...a
X
11. :_'_''''_:-=-.. ·----'-·---·--··
_i;.;r: : ·: :
¡:opln - ----·
18 Variable observada estimada residuos
11Modelo1 o X
Centro de Estudios Matemos www.academiamatemas.com 634507303
[ l
16
1)
'}
' ()
n
()
')
n
')
()
()
( )
()
n
()
( l
(
(
)
( )
()
( )
( )
( )
q
( )
()
n
( 1
( )
<
()
( )
u
( )
(_)
u
u
u
u
' J
( )
L
\
( 1
Maternas - Econometría - Gretl 15
l'til grotl: mostm datos
-··-- --- -- .
Rango de estimación del modelo: l - 30
De3viacíón típica de la = 23.0303
airq-v.a l Ese.imada i:esiduo
1 104.00 35 .07 ..!.S. 93
2 es.oo 93.13 - 6. 43
3 127.00 J.Ol.37 25.63
4 145.00 150.25 -5. 25
5 84.00 ftl.08 - 7.QS
6 135.00 119.61 15.39
7 83.00 95.8':! -7.S<l
e 118.00 125.10 -7 .1 0
7'!.00 .33 . 71 - H,71
10 104. üO 110.55 -6.55
19 Intervalo de confianza para los parámetros
n Modelo1 o X
Archivo f.ditar Contrastes §uardar §ráficos l,a T eX
Hodelo l: HCO, usando las observac.i Mostrar variable observada, estimada, residuos 1·'
Variable dependiente: airqual 1 fredicciones.. . :
1 , coeficiente Desv. t ,o&·.......t: ..... ... ....... .... -.:...,.. .. .r-;;.r.,.o.;.oN _ .......... ..... .............
: f.hpse de confianza... , --------------------------------1 ,......,.,q,. 1 H• ':!'.!><'< 1 "I c:. i<cd Matriz de covarianzas de [os coeficientes
llj gretl: de confianza para los coeficientes
t(26, 0.025) = 2.056
const
poplnrain
coa.st
COEFICIENTE
110.339
0 .00454033
0.246432
-34.3840
o
INTERV";ú.0 DE CONFIANZA 95%
82 .45 66 138.322
0 . 000865044 0,00321571
-0.422453 0.915317
-5 4 .4441 -15.3233
20 Matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores
A Mod•lo1 D
X
X
archivo Editar Con!rastes fluardar flráficos l • T <.X !C:
.. --- -
j Modelo l: HCO, usando las Mostrarvañable observada, estimada, residuos
j Var1a:ble dependiente: airqual J E_redicciones. ..
l lnter1alos de para fos coeficientes
coe:ficient.e Dea:Y. , Elipse de confianza... ._.
:;
popln o. OOÚ403S o . 001i l:;olin•alidad ·•
;:;:" _,: ::::" :::::1 '·;
! M.edia de la vble. 104. 7000 -·--!!- oo_ ts_tr_op_ ..
Centro de Estudios Maternas www.academiamatemas.com 634507303
17
Maternas - Econometría - Gretl 16
l li gretl: 1.os: coffici l!.ntes O
1
&61 [J
de covarianzas de -- ··
1:
1 con:it pop.ln rain. c o a!! C
- 0 .00736119 -3.539q5 -S3.33e l cons t
3 7 . .57293e-05 - o . 00323372 popl:i
o . 1058? - 0. ó3564 rain
SI0.5517 coa.st
21 Contraste general de restricciones (relaciones lineales)
X
Contrasta si beta(2)+beta(3)=1, en Gretl se escribe b[popln]+b[rain]=l. Son
corchetes obligatoriamente.
R Modelo1
gditar guardar .§ráficos bnálisis ).a T
Modelo i :
!va=iable cted
!
Qmitir variables
añadir va.riabfe.s ¡ . 1 ;luma de 105 coeficientes i . .
________ __
con.se : No linealidad (fuadrados) f 8 .12.3 l
J(i gretl: restricciones lineales
O Usar bcob-trap
¡-- .. -· -··
: A)l!!d•
Especificar
(Por favor, consulte la Ayuda para más información)
Pulsar con el botén derecho para- ver alguno5 atajos:
l '°'
X
Centro de Estudios Matemos www.academiamatemas.com 634507303
' '
\ 1
( 1
( 1
18
( 1
(
()
1)
()
()
(\
n
(
n
()
()
n
()
(
()
( )
( )
()
()
()
()
( )
( )
( )
()
< )
( )
o
( )
()
u
( 1
u
< 1
o
( 1
()
(1
( )
(
u
(J
u
( J
L
\.. >
l>
Maternas- Econometría - Gretl 17
'1 qretl: Restricciones lineales O
Restríccién:
b[popln] + b[raín] - l
E3tadístico de F(l, 2i ) • 5.29061, con valo= p: 0 . 02 91188
COn:5t .5:5.3372 5.74 Sl l 9.755
popln o.ooso97e6 Q.0019010 9 2 . 673
z:a.i:l 0.994902 521. 7
-39. 3969 1 0 .02<!0 -3 . 930
22 Contrasta si beta(2) =O, beta(4)=0
A gretl: restricciones ílncales.
b {popln ] •')
b f coasc J-ci
O Usar bo-oW:rap
EspKificar restricc:ion6:
(Por favor, consulte la Ayuda para m.is informdción)
Pulsar con el botón pan ver algunos atajos
2 .1le-Ql0
0 .012 6
l . 3 6e-055
0.0005
Ayyda !Jrnpiar _ : :
lft grEtl: Restriccicnl!s lineales
! Conjunto de =e3tricciones ! l : b!popln ] o
! 2: bfcoas t ] - O
¡
X
X
o
i Estadíatico de contraste: F(2,
:
con valor p 0.00147755
! Estimacion-es restr.ingida3:
'
coef·icient:e
l0ó.6éó
popln 0.000000
rai.n. - o. 054497 7
coa!lt 0.000000
Des"'"r. tipica
15.0BS.5
0 . 000000
0.392565
0.000000
Estadístico t "7a1or p
7.06 9 l.09e-07
NA NA
-0.1388 o.esoti
NA NA
Centro de Estudios Maternas www.academiamatemas.com 634507303
19
Maternas - Econometría - Gretl 18
23 Añade ahora al modelo el regresar población al cuadrado
• Creamos la variable sq_popln
• Creamos otro modelo con dicha variable
• Guardar a sesión como icono y cambia r nombre
MCO
3whl• i
1
'
airqual
Jt gretl; especificar mcdclc
O Selección por defecto - .! ª: .. ---- 11
. indertab
; sq_rain
· l_pcpln
CoastPcpln
sq_popln
O Desviaciones tlpic.as robustas
sq_popln
1
1
Ayyda !:impiar ¿\ceptar
i
1
IQ Mcdelc2
Archive fditar Contrastes .§uafdar §.réificcs An<!tisis 1.aTe:<
2: HCO, l a .3 ob.5e-::vac io=:e3 l--30
Variable dependie:ite: ai :rq,.ial
coefi cie :lte Desv . t ípica Estadiat ico t Yalc= p
c on.:it 10 3.509 6 . 516
popln 0 . 0,:195;337
rain Q. 311301 0 .3359i 2 o. 9206
c oa3t -3€.7-595 -3.7q.:
.;i:q_popln -4.-S.3772.::-07 5. ?SLSü2e-07 - 0 .8490
Media de la vble. 104 . 7000 D. T . de la vble. dep.
de cuad. D.!. de la regresión
R-c-a.adrado O. '!116'50 R-cua.d..::ado
F(tJ., 25 ) "1. 313l ü 5 ,.·lalor p (d e: f )
7 97 e-07
ü.363 0
0. 0 010
0 . 4039
2B . ü 2 -350
23.154 91
0 .317 525
:) . 0081 0 3
278.1991
C::::::iterio de Sc'.:1.'.·1arz 235.2 0 51 Crit . d e Ha:U"lé.n- Q">..li:m.
o
Centro de Estudios Matemos www.academiamatemas.com 634507303
20
( )
(
e
r '
()
()
(\
(\
()
n
()
()
" ()
n
( )
()
()
1)
( )
( )
( )
()
( )
()
n
( )
()
( 1
()
o
( 1
( 1
u
o
o
()
( )
u
( )
u
u
)
u
)
u
l'
u
(_1
\. 1
(,_'
l'
l'
Maternas- Econometría - Gretl 19
24 Para el modelo airqual= alfal *popln"beta2*rain"beta3*e"u
a. Linealiza el modelo
b. Crea las variables logarítimicas
c. Estima el modelo
I
gretl: especificar modelo
, 'Íl' : MCO
D X
; airqual
'. popln ; --·- _______ _
: valadd
rain
coast
dem ity
medincm
: poverty
electr
¡ fuelcil
. indestab
s.q_rain
l_pcpln
sq_popln
O Seleccíén por defecto
Regresor6
conrt
l_popln
l_rain
1 :' . -- --- -- -·-
1 O Oesviacion« típicas robustas ·f1fo:
1 =--iy¡¡da j r_
"' gretl: modelo S
8rchivo .Editar Conirastes Y.ua rdar .§ráficos 8nálisis .bo T eX
Modelo S: MCO , observaciones l - 3G
Variable depe ndie=tc: l_ai r qual
c.o-.=fici e nt-e Desv. típica Estadí.!lticc t •Jalor p
con.st
l _ popln
3. 954 :39
0 . 0€403$0
• i raí- 0.04€09BC
l'!Me::a d: la vele. dep. \ Suma d e c\A.ad. .R- cu.adrad•:i
\ F(2, 27)
\ Loq-vero3imilitud
: Crice.rio de Schwarz
0.690€20
0 . 0667916
0.1196€6
5 . 770
O. SSS8
0.3$SZ
4. 6136•)6 D. T. de l.a. vble:. dep.
2.270441 D.!. de la
0 . 0.34 99Q R- cuadrado cor r egido
Valor p (de F )
- 3.849305 de
17.90320 Crit . de
3 . 39e-06
o.
0.7>J3l
0.28-18:33
0.239983
·j . 6.18271)
13.69961
d. Guardar a sesión como icono y llamar Modelo 3
e. Contrasta si beta2+beta3= 1
11 Modelo 3
!;ditar §uardar §ráficos 8nálisis !,aTeX
¡
- ----- - - - -¡
C0!13t
Qmitir variables
8ñadir varrables
de lo.s coeficientes
Restricciones lineales
No linealidad {fuadrados)
¡ --·- -·---"-· ---·--
t vali:n
r-----------------r 3.89€
o X
Centro de Estudios Maternas www.academiamatemas.com 634507303
21
Maternas - Econometría - Gretl 20
ft gretl: restricciones lineales
Especificar restricciones:
(Pcrfavor, consulte la Ayuda para m.ls información)
Pulsar con el botón derecho para ver algunos atajos
1 l f(i gretl: Restricciones !in.ea/es
l .. •.
o
- _ -·• O{l._ra.i.:n] ""'
1 d• contra3t.:: F(l, 27) = 37 . .396d, c<>n nl•n p l. 36222e- 0 0é
1
1 - -o. 0 3257-93 0 .3:23 (1 1.S
o . oe230 0 3
(¡ .
- V . .l009
¡
11
Do:.s..,·:iac:..ón tí pie-a de la = i).
o. 92Cl4
0.0010
X
X
Centro de Estudios Maternas www.academiamatemas.com 634507303
22
( )
(
('
(_,
1 \
23
24
({J)aóQD(JJ) e
Econometría Notas y Esquemas
k • V : .... [!!!!' 8 b: ..., ____ ;:;;i:wi:i= s· ¡¡ O'DOO....aO\ 0\000 ..... 0\ "",,. w.J t-.J -i• • IZ .cpppp CI - ??.º.º.? p_cppp "" .. O\ a\ O\ °" O\ o CD ¡;-a _,....a ""-1 °' 00 00 00 00 00 °'O\ O\°' Q\ ...., ....a...,¡ .......... :.., ,I>. ••l\C - ........... '.f.,. 00 00 00 00 \Q \C)\Q\Q\,Q\Q 88S::=;;;; NAO\-CI i: ,,..t..I\""°'°' -.J0000\00 -N•\h....a ...... - ""'°' "' ... 3 l> CI Q; ,. . 1 _ ...
'°a Ci:Ct; ----- ----- ----- ----- ----w :; \.,Wt,,,WW Wt..W'Wt,., w \.,t.,\,;,\., o 0000\0Q wwwww ·.ia.t,.,Ó\boO ..,, .. o=w•t:: ___ ..,.h) ...,toJt..IWW &' i t-.1\00\W O\OO'G-w v.ooow...¡ ....,, °"\O - ..... w..., 00 ..... e: ..., w ..... "" o a :l .,, ¡:¡- ._.., .... " .. o: 17'- 1 • :l
f ---- ----- ----- ----- ----- !" !" '""' !" ?'- o. Bf o ., .. :S:S8Sg o--_..., 0-w..at.1 " o. """'oo - A ""°' ..... 00\0 ¡::;¡:: -W.t.nltJ-". oo-,,. ....a- w--NQ\ "' E! e. g.. Vll..._.....,0_,., <... 1T !! l ..., e: ....
--NJ-> !" ]'> ]'> t-> ]'> ...,...,..., .....,..., ]'> !" ]'> .!" !" "-'J'>...,NN ltJtoJWAt::Í o: ____ ....,
1::1 - .... +.
:l
c.=- S"' ..., O\ O\ ..... DO ...... + . -o. Q - toJ\AOONO. ...., ..... oo·o o .. !l O \O AO O\.W-OO CIO tri..t O\ \A ...... - O\ NW O" V\ ..
§"'< = 1 '<,,.. ......__... ¡;¡
:; ;' ""--i < - " ....,....,....,...., WN tJ..., tJ ... .. !I o ,.. ...,.....,....,...,..., !" ·"" .!" .!" ]'> !" ]'> ]'> .... ...,...,..., ..... ...., -· ¡;¡ a -< t-,,ww-. WWA°'- o ""'""'-"V.U\ S"'"'"'-....., ;,, ... r::r ... U.t-J8oo ..,_ tJW"-"0...00 tJt.Aoo- "' ¡¡-""e ...., ..., .....,.., '° 00\QN....,¡w o-o: ...... \A...., _V\_ ... ·-a. o. a =- .. ª' i ...,....,...,...,..., ...,...,...,.,;.,""' tJ....,...., ...,...., .......... www .,_ . o en AAVt.lrQW• e: \lJ\c 2 :s "' "' ............ 00\QQI -w AO\.....W\QN -tJWA-.J a. ................. \Q - V.-OQlao- !i::i ¡::; O\\AV.\00 W ANV. "' CD a .. \OOVt.\Q.....W ...., - ""'""' º . f "' o Ro \.IWWW ww ...... ww W ...... WWA _..,.., ...... ...,...,, "' "' "' :.., A A A A O\C:OtJ-0\ ;,, "' ..,a .................. 00 "' " ... ...,.,..°''°- :sen: e:;:;; "' ... '"""" ..... ...., '° ... .....a--\A\Q \Q o- 00\C "' _ ...
TABLA A-6. Función da distribución de 111 v11ri11ble F, perc1mtiles 95•
Grados de libertad del numerador
1 .. ··,:'i. 3 4 . s. ... 6 7 8 9 10 12 IS ; ·20 24 30 .40 . 60 120 '°
1 161 200 216 2.l.S 230 234 237 239 241 242 244 246 248 :?49 250· 251 252 2S3 254
2
J
4
5
18,S 19.0 19,2 1°.2 19.3 19,3 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19.4 19,S· 19,5 19,S 19.S 19,S 19,S
10.1 9,SS 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,RI 8,79 8,74 ·3,10 8,66 a.64 8,62 8,59 8,57 &,SS 8,53
7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 S,96 S,91 S,86. S,80 5,77 5,7S 5,72 5;69 S,66 S,6l
6,61 S,19 S,41 _;,19 s,os 4,9S 4,88 4,82 4,77 4,74 4,68 4,62 4,S6 4,S3 4,50 4,46 4,43 4,40 4,37
6 .. 7 o 8 "CI .. 9 e ·e 10
5,99 S,14 4,76 4,S3 4,39 "4,28 4,21 4,15 4,10 4;06 4,00 3,94 3,87 3,84 3,81 3,77 3,74 3,70 3,67
S,S9 4,74 4,3S 4,12 3,97 3,87 3,79 J,73 J,68 3,64 3,S7 3,SI 3,44 3,41 3,38 3,34 3,30 3,27 3.23
5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,SO 3,44 3,39 3,35 3,28 3,22 3,IS 3,12 3,08 3,04 3,01 2,91 2,93
S,12 4,26 3,86 3,63 3,48 J,37 3,29 3,23 3.18 3,14 3,07 3,01 2.,94 l,90 2.,86 2.,83 2.,79 2,75 2.71
4,96 4,10 3.71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 2.91 2.,85 2,77 2.74 2.,70 2.66 2,62 2.,58 2,54
o 11 e
" 12 "CI
ü 13
"CI 14
"CI IS ..
4,84 3,98 .3.59 3,36 3,20 3,09 3.01 1,95 2,90 2.8s 2,79 2,72 2,65 2,61 2.,57 2,53 2,49 2,45 2,40
4,7S 3,89 3.49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,7S 2,69 2.62 2,54 2,51 2,47 2,43 2,38 2,34 2,30
4,67 3.81 3.41 3,18 3,03 2,92 2,83 2.77 2.71 2,67 2,60 2,53 2.46 2,38 2,30 2,25 2.21
4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2.BS 2.76 2.70 2.65 2,60 2.53 2.46 2,39 2.35 2.31 2,22 2,18 2,13
4,54 l,68 3,29 l,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 2,48 2.40 2,33 2,29 2,25 2,20 2,16 2,11 2,07
t: 16
17
" 18 "CI 19 .. 20 o
4,49 l.63 3,24 3.01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,42 2,35 2,28 2,24 2,19 2,15 i,11 2,06 2.01
4;4S 3,59 J,20 2,96 2,81 2,70 2.61 2,55 2.49 2,45 2,38 2,31 2.,23 2,19 2,lS 2,10 2,06 2,01 1,96
4,4J 3,5S 3,16 2,93 2,77 2.66 2,58 2,SI 2,46 2,41 2,34 2.27 2,19 2,IS 2.1 r 2.,06 2,02 1,97 1,92
4,38 3,52 3,13 2.74 2,63 2,54 2,48 2.,42 2.38 2,31 2,23 2,16 2.11 2.,07 2.03 1,98 1,93 1,88
4,35 3,49 3.10 2,87 2.,71 2,6) 2.51 2,45 2,39 . 2,35 2,28 2.20 2,12 2.08 2.,04 1,99 1,95 1,90 1,84
]· 21 .. o 22
23
24
2S
4,32 3,47 3,07 2.84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 2,32 2.,'l5 2.,18 2.10 2,05 2,01 1,96 1,92 1,87 1,81
4,30 3,44 3,0S 2;82 2,66 2.55 2,46 2.40 2.34 2,30 2,23 2.,15 2,07 2,03 1,98 1,94 1,89 1,84 l,78
4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32 2,27 2,20 2.13 2,05 2,01 1,96 1,91 1,86 1.81 1,76
4,26 3,40 3.01 2,78 2,62 2,51 2.,42 2,36 2,30 2,25 2,18 2,11 2,03 1,98 1,94 1,89 1,84 1,19 1,73
4,24 3,:9 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 2,24 2,16 2,09 2,01 1,96 1,92 1,87 1,82 1,77 1,71
30
40
60
120
00
4,17 3,32 2,92 2,69 2.,53 2,42 2.,33 2,27 2,21 2.,16 2.,09 2,01 1,93 1,89 1,84 1,19 1,74 1,68 1,62
4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2.18 2,12 2,08 2.00 1,92 1,84 1,79 1,74 1,69 1,64 1,58 1.51
4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2.25 2,17 2;10 2,04 1,99 1,92 1,84 t,7S 1,70 1,65 1,59 1,53 1,47 1,39
3,92 3,07 2,68 2.,t5 2,29 2,18 2,09 2,02 1,96 1,91 1,83 1,75 1,66 i,61 1,55 l,SO 1,43 1,35 ·1.2s
3,84 3,00 2,60 2,37 2.,21 2,10 2,01 1,94 1,88 l,83 1,75 1,67 l,S1 1,52 1,46 1,39 1,32 1,22 1,00
La interpolacij11 debe llevarse • a.b 1 utilizando el lnveno del número de arados de libcrta'1.
• Esta tabla csti tomada con el pcrmÍ$0 de Biometrika Trustecs írom M. Merrington. C. M. Thompson, •Tables o( perc:cn11ge points oí lhe. beta (F)
distribution•. Blomttrlh. vol. ll. pág. 73, 1943. ·
.·
. ·_, ·
¡:
Fuñ..ción."° cte' l'.a.
· _ ... - .
--- . ....... . - --··- . • ..
-· . ·.
.· .... .: ,o;_9i:.-= .. ·
· d·e .dístri'buciá"n de' ta . . . . . . .j( .
dc:iil;u:r-f.ad .. <i.Cl.. .. . . . . •. . . .
··-i· · ' ·4·. · .. _§ 6.' . . _ I· s. {) .. · 10 .12
•• •• • i_ .• . · ·. L!·!
Estadístico; de ·©urbin.:... Watson-
.. . - ..
.. s%
...
(
(
{
1 )
(
(
()
()
( )
<) .
(
e)
n
e)
q
o
()
()
()
()
( ' u
()
1
()
( }
u
u
()
()
u
u
)
u
)
)
\1
)
\1
\1
\. J
l
(
1 Modelo de Regresión Lineal General
Tienes aquí unas notas de teoría que complementan los problemas de clase. Esta teoría por sí sola
no vale para nada, una vez que hagas los problemas vuelve a leerte la teoría.
Donde se considera adecuado se prescinde de cierto rigor para que los conceptos se entiendan mejor.
1.1. Componentes de un modelo de regresión
Si partimos del modelo
Variable endógena o a explicar, es la variable que estamos estudiando y que queremos predecir
o estimar. Es una variable aleatoria, pues depende de la perturbación Ui
X u, X2¡ · Regresores, variables exógenas o variables explicativas. Son las variables que usamos para
estudiar la variable endógena, se les llama también variables independientes. Por hipótesis no son
aleatorias, decimos que son fijas.
,Bo,!31 , /32 Coeficientes o parámetros del modelo. Son desconocidos, estudian el impacto que tiene
cada uno de los regresares en la variable endógena. Son constantes, no cambian con la muestra.
u¡ Perturbación aleatoria (estocástica). Recoge todas aquellas variables que no están en el modelo,
y la parte no controlable debida al azar, fluctuaciones del mercado, cambios en · los gustos del
consumidor, etc.
N Tamaño de la muestra, número de observaciones
k Número de parámetros del modelo.
• Si los datos son de serie temporal se usa el subíndice t , el tamaño de la muestra es T. Por
ejemplo, cuando tenemos las datos del PIB y el IPC de un país a lo largo de varios años
• Si los datos son de sección cruzada o corte trasversal se usa el subíndice i , el tamaño de la
muestra es N . Por ejemplo, cuando tenemos los ingresos, número de empleados y beneficios de
varias empresas para un mismo año
• En ambos tipos de datos las fórmulas son las mismas, solo cambian los subíndices.
1.2. Hipótesis básicas de las perturbaciones
Las hipótesis básicas indican el comportamiento ideal de los componentes de un modelo. Suponemos
que se cumplen salvo que el enunciado indique lo contrario, lo sugiera de manera indirecta o podamos
contrastarlo.
l. Esperanza cero: E [ui] = O Vi , esta hipótesis la damos siempre por cumplida.
2. Homocedasticidad: todas las perturbaciones tienen la misma varianza:
var(u;) =E [uT] = a 2 Vi
Si se incumple estamos en Heterocedasticidad
3 25
1 Modelo de Regresión Lineal General
3. Incorrelación o No autocorrelación: las perturbaciones están incorreladas entre sí:
Cov [u;, u1 ] =E [ui.Uj] = O i =/:- j
Si se incumple estamos en Autocorrelación
" De manera abreviada podemos decir: las perturbaciones son homocedásticas e incorreladas, es
decir esféricas. Si lo escribimos de manera matemática: Uí ""íid(O, cr2 )
• Además se supone por hipótesis básica que las perturbaciones tienen distribución Normal.
'" La expresión Ui "" NI D(O, cr2) indica que las perturbaciones son homocedásticas, incorrelaclas y
con distribución Normal, que son las hipótesis básicas quepueden cumplir las perturbaciones
1.3. Hipótesis básicas de los regresares
Se supone que los regresores son variables fijas o no estocásticas, y que son independientes entre sí.
Es decir que ningún regresor es combinación lineal exacta de otros regresores .
• Si en el modelo no hay relaciones lineales entre los regresores, entonces la matriz de elatos X es
de rango completo, esto hace que se puedan estimar de forma única los parámetros del modelo.
• Si en el modelo hay relaciones lineales entre regresores, entonce::: hay relaciones lineales entre las
columnas de la matriz de datos X , esto hace que no sea de rango completo, y no se pneden
estimar ele forma única los parámetros del modelo. A esta situación se le llama "Problema de
multicolinealidad exacta o perfecta".
1.4. Otras hipótesis básicas del modelo
'" Los parámetros son fijos y no cambian con el tiempo. Es decir que el valor de ios parámetros
para una muestra concreta es el mismo que el valor de los parámetros en la población. Y que
dichos valores no cambian con el tiempo.
'" El modelo es lineal en los coeficientes
1.5. 1 nterpretación de los coeficientes del modelo
" E [Y;/ X1; =O, Xzi =O] = f30 (término independiente) valor medio o esperado de la variable
endógena cuando todos los regresores valen cero
8E[Y;] " = /31 (pendiente, propensión marginal, efecto marginal) variación en la media o valor es-
0X1;
perado de la variable endógena cuando el regresor X 1 se incrementa en una unidad permaneciendo
los demás regreso res constantes ( ceteris pari bus)
BE [Y;] f3 ( d" ·' · l e . ') . . ' l d. l " {)Xz; = 2 pen iente, propens1on margma, eiecto margmal vanac1on en a me ia o va ores-
perado de la variable endógena cuando el regresor X2 se incrementa en una unidad permaneciendo
los demás regreso res constantes ( ceteris paribus)
4
( l
26
,,
¡'I
(\
(J
(
(\
(
n
(
(
(
()
(
( )
( )
<)
<)
()
()
(
<)
<)
<)
q
n
()
)
()
o
()
u
o
( l
(1
u
u
( '
( )
( )
)
)
)
( J
\)
.J
\,.
u
L
1 Modelo de Regresión Lineal General
1.6. Estimación del modelo por M CO Mínimos Cuadrados Ordinarios
Tenemos las siguientes definiciones:
• Modelo de Regresión Lineal General MRLG, Modelo teórico
Y; = /30 + /31.Xli + /32X2í +u¡ i = 1, 2, ... , N
• Llamamos Función de Regresión Poblacional FRP, a la parte del modelo sin la perturbación
E(Y;) = /30 + /31X1¡ + /32X2i i = 1, 2, .. . , N
• Una vez estimado el modelo, tenemos la Función de Regresión Muestral FRM, o Modelo
Estimado
f'i = rJo + f31X1; + f32X2;
• El residuo es u¡ = Y,; - f'i . A la perturbación también se le puede llamar error, así que es mejor
no usar la palabra error para no confundirnos .. Usaremos perturbación llí y residuo Ú:i .
• En un modelo , la expresión que queremos minimizar es
mjn L ui2 =mjn L (Yi - fi)2
.B f3
De esta L:Xpresión se obtienen las distintas demostraciones para el estimador r-.'ICO.
El estimador MCO es aquel que minimiza la suma de los errores al cuadrado.
= (X' X)- 1 X'Y
Interpretación de los coeficientes estimados
Es prácticamente lo mismo, ahora interpretamos valores numéricos concretos obtenidos a partir de
una muestra dada. En vez de hablar de valores esperados hablamos de valores estimados
• E [Y;/ Xli =O, X2í =O] = Po (termino independiente) valor estimado (o media estimada) de
la variable endógena cuando todos los regresores valen cero
fJE [Yi] 13' ( d. -- · 1 " · l) • "ó t· d d 1 d. • -
8
-- = i pen lente, propens1on margma , e1ecto margma variac1 n es 1ma a e a me ia
X1;
de la variable endógena cuando el regresar X 1 se incrementa en una unidad permaneciendo los
demás regresores constantes ( ceteris paribus)
8 E [Yil 13' ( d. · · , · 1 " · 1) · · • t· d d 1 dº • {) = 2 pen iente, propens1on margma , 8lecto margma vanac1on es ima a e a me la X2;
de la variable endógena cuando el regresar X2 se incrementa en una unidad permaneciendo los
demás regresores constantes ( ceteris parí bus)
1.7. Propiedades que un estimador puede tener
Cuando tomamos una muestra, el valor de un estimador no suele coincidir con el verdadero valor del
parámetro. Si queremos estimar la edad media de los alumnos de Sarriko, cogemos una muestra y nos
puede quedar que la edad media en la muestra es de 20,9 años (estimación del verdadero valor) , pero
si tomamos otra muestra nos puede quedar una edad media estimada de 19,8 años. Es decir, el valor
del estimador cambia de muestra a muestra, pero el verdadero valor del parámetro, por hipótesis, es
siempre el mismo. El problema es que dicho valor es desconocido y no se puede calcular, lo podemos
estimar. Por eso son importantes las propiedades de los estimadores, nos indican si la estimación es o
no "buena". Y si tenemos dos estimadores distintos, nos permiten elegir el "mejor" estimador.
En esta asignatura estimamos los parámetros de los modelos /30, (31 , (32 , ... y a2.
5 27
1 Modelo de Regresión Lineal General
Las propiedades ideales de un estimador son:
Lineal en la perturbación La linealidad es una propiedad matemática que indica que un estimador es
combinación lineal ele las perturbaciones. Conviene que sea así para poder hacer inferencia válida
(contrastes e intervalos de confianza para los parámetros del modelo). Para abreviar diremos que
el estimador es lin6'l.L
lnsesgado Un estimador es insesgado si E [S] = /3 , es decir, si esperamos que el valor del estimador
coincide con el verdadero valor del parámetro que estamos estimando. Si no se cumple decimos
que el estimador es sesgado E [S] -:j:. /3. Si tenemos un estimador sesgado ya no podemos
hacer inferencia válida con muestras finitas con las técnicas habituales.
Eficiente Un estimador es eficiente si es el ele mínima varianza entre los insesgados.
• Si un estimador es segado ya no puede ser eficiente.
• Entre dos estimadores insesgados elegimos el de menor varianza.
• Si uno es insesgaclo y otro es sesgado, en principio preferimos el insesgaclo. Aunque técnicamente
es mejor el de menor Error Cuadrático Medio, pero se sale de esta asignatura.
Cuando hablamos de la precisión de un estimador nos referimos a su variabilidad, medida por la
varianza y la desviación típica. Así, es más precisa una báscula que nos estima nuestro peso entre 60,5
y 63,5 kilos, que otra que lo estime entre 57 y 67 kilos. La media de ambos intervalos es la misma 62
kilos , pero el primer intervalo es más preciso, tiene menos variabilidad.
Ojo, un estimador con "poca" varianza no es necesariamente un buen estimador, depende de si es o no
insesgaclo. Por ejemplo, si tenemos un reloj roto que siempre marca las 12:30, su varianza (variabilidad)
es cero, sin embargo es muy mal reloj (estimador de la verdadera hora)
1.8. Propiedades del estimador MCO cuando las perturbaciones son
homocedásticas e incorreladas
Si los regresares son fijos y las perturbaciones son homoceclásticas e incorreladas, entonces los esti-
madores por IvICO son:
" Lineales ,Buco = /3 +(X' x)- 1 X'u
"' Insesgado E [,eMco] = /3
" De mínima varianza entre los insesgados, es decir eficiente. Se demuestra a través del teorema de
Gauss-Markov, que no hay que saber.
Que las perturbaciones tengan o no distribución Normal no afecta a las propiedades anteriores.
6 28
(
(
)
(
1 1
)
(
( )
(
(
<)
!)
(
()
C)
q
n
( )
()
()
)
u
o
)
(l
o
( l
u
J
( l
l
u
u
}
)
>
( )
l
1 Modelo de Regresión Lineal General
1.9. Estimación de la varianza de las perturbaciones por MCO
Definiciones previas
• Suma de Cuadrados Total
SCT = L(Y; - f) 2 = Y'Y - N ·p = I: Y? - Nf2
• Suma de Cuadrados Residual
SCR = ú'ú = L u;2 = L (Y; - Y;) 2 = Y'Y - /3' X'Y
• Suma de Cuadrados Explicada
SCE = L(fi - Y)2
Cuando el modelo tiene término independiente se cumple: SCT = SCR + SCE , de manera que en
los problema5 calculamos
SCE = SCT - SCR
Estimación de la varianza
Como norma general la varianza común de las perturbacionesu 2 es desconocida.
Una vez hemos realizado los cálculos para el estimador l\ICO,
Propiedades
. > SCR
U!,¡co = T- f(
Si los regresores son fijos y las perturbaciones son homocedásticas e incorreladas, entonces la esti-
mación de la varianza por l\ICO es insesgacla, es decir , E = u 2
Esta propiedad nos permite hacer inferencia (contrastes e intervalos de confianza para los parámetros)
válida.
1.10. Matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores MCO
Si las perturbaciones son homocedásticas e incorreladas:
Normalmente u'.l es desconocida, y ya la hemos estimado, tenemos:
Si las en las perturbaciones hay heterocedasticidad y / o autocorrelación esta fórmula ya no vale . Hay
otra fórmula que aquí no se usa y se sale ele esta asignatura.
7 29
30
\ 1
(
(
(
( 1
\
\ )
(
( \
\_ '
(;
' ,
(
[
(
(
<)
(
(
()
( )
<)
n
o
<)
o
()
()
)
()
( '
()
u
()
() .
u
( }
( l
)
(>
()
u
)
1
1
-¡-. -, - .. , Ejercicio \ 1 ó \ /\
Se quiere analizar el gasto de reparación acumulado de los coches Toyota ( G), en función de
la edad del coche (A) y de la distancia recorrida (M) 1. La descripción de las variables que se
emplean es:
G: Gasto de reparación acumulado (en dólares)
A : Antigüedad del auto (en semanas)
M: Cantidad de millas recorridas (en miles de millas)
Algunas de las observaciones disponibles están recogidos en la siguiente tabla:
i 1 2 3 4 5 .. . 57
Gi 11 16 55 66 76 ... 3425
A; 5 12 30 40 42 . .. 538,0
Mi 0,8 3 4,9 7, 1 7,6 ... 74,4
y el siguiente cuadro muestra los resultados de la estimación mínimo cuadrática del modelo
i = l, ... ,N
Cuadro 1: Resultados de la estimación
Variable dependiente: G
Constante
A
M
26,1888
(114,201)
28,0163
(2,77558}
-154,63
(20,6882)
Suma de Cuadrados de los Residuos 3637880
R2 0,950980
f(_2 0,949165
(*) Desviaciones típicas estimadas entre paréntesis.
l. ¿Los datos son de sección cruzada o de series temporales? ¿Cuál es el tamaño muestral?
2. ¿Cuál es el gasto de reparación del cuarto coche? ¿Cuántas millas ha recorrido?
3. ¿Cuál es la variable endógena del modelo? ¿Y las variables explicativas? ¿Qué elementos
de este modelo son aleatorios?
4. Escribe la función objetivo a minimizar para estimar el modelo por Mínimos Cuadrados
Ordinarios. Obtén las ecuaciones normales.
1 Fuente de datos: Ramanathan (2002).
1
31
5. ¿Cuál es el orden de la matriz de datos del modelo? Completa la matriz de da.tos (las cinco
primeras filas y la última).
¿
( )(
6. Rellena la expresión matricial teórica del estimador MCO.
- 1
h1co = (
l
' 7. Escribe la Función de Regresión Muestra!.
8. ¿Cuál es el gasto de reparación estimado para el primer coche de la muestra? ¿Y el residuo?
9. Interpreta los coeficientes estimados. ¿Tienen los signos esperados?
\ ,
(
( '
(
1 1
32
)
(
(
(
(
()
()
<)
e)
( >
o
()
()
o
()
u
()
()
()
()
()
()
()
l
()
(J
()
)
)
)
)
u
l
Problemá 1
Se desea estudiar la función de gasto en espectáculos de las economías familiares. Para ello
se dispone de observaciones para 100 familias en el año 2004 sobre las siguientes variables:
Y;: Gasto en espectáculos (cine, teatro y ópera) de la: familia i, medida en cientos de euros.
X2i:
X3i:
X4i:
Renta disponible, medida en miles de euros, de la familia i. ·
Gasto en compra y alquiler de vídeos y DVD en cientos de euros de la familia i.
Años del cabeza de familia.
Se propone el siguiente modelo:
El resumen de la información disponible es el siguiente:
[
100 200,48 17,97 l
(X' X) = 200, 48 468, 15 35, 54
17,97 35,54 3,6 [
o, 1736 -0, 0342 -0, 5294 l
(X'X)-1 = -0,0342 0,0152 0,0200
-0, 5294 o, 0200 2, 7232
L y¡ = 3125 L YiX2i = 7092 2: Y? = 112262, 89 L }iX3; = 551
l. Interpreta los parámetros del modelo propuesto. ¿Qué signos esperarías que tuvieran?
(1)
2. Escribe la función a minimizar que se corresponde con el criterio mínimo cuadrático ordi-
nario.
3. Estima el modelo propuesto por el método de mínimos cuadrados ordinarios.
4. Calcula una medida de la bondad del ajuste e interprétala.
5. Estima la matriz de varianzas y covariarizas del estimador de los coeficientes del modelo.
:
:
33
34
(
(
/
(
(
( 1
(
(
( )
(
)
n
(
(
(
l)
( )
()
o
( )
()
()
u
()
o
( )
()
()
u
( .
()
()
()
()
()
(}
()
)
( )
)
(._ I
(
(
Econometría
Problema
PARA TRABAJAR VARIABLES FICTICIAS:
URBANO-RURAL
Se quiere estudiar la relación de los años de educación de los jóvenes (E) con la renta
familiar (R) y la procedencia geográfica, Rural (RUR) o Urbana (URB)
E, = /30 + {J¡URB, + /32R, +u, para t = 1, ... ,T
BLOQUE 1: Con objeto de acabar de describir el modelo:
1) Explica como se ha incluido la variable procedencia geográfica en el modelo
2) Indica que significan las siguientes, expresiones
a) T f) LR,'
b) LURB,
g) LR,
c) LURB: T
d) LRUR, h) LR, URB,
LURB,
e) LR,URB,
3) Determina las matrices X, XX y X'Y
4) Interpreta los parámetros del modelo
BLOQUE 2: Para poder estimar este modelo se cuenta con la siguiente información
muestra!:
(XX) =[!
68 42
681 42
652 [
1131 X'Y = 66
1024
4
4
En base a la información suministrada, responde a las siguientes preguntas:
1) ¿Cuántos individuos hay en la muestra? ¿Por qué?
2) ¿Cuántos individuos proceden o viven en la zona urbana? ¿Por qué?
3) ¿Cuál es el valor de la media muestra! de la renta famil iar? ¿Por qué?
BLOQUE 3: Con la información que se añade ahora:
[
1.256 0.369 - 0.154761
(XXr1 = 0.369 0.881 -0.0952
- 0.15476 -0.0952 0.0238
T
-Y)2
T
t=l t=l
1) Estima los parámetros del modelo por MCO y escribe la función de regresión
muestra!
2) Calcula la Suma de los Cuadrados Residuales
3) Calcula <72
4) Bondad del ajuste
35
( 1
(,
36
l)
()
ll
(
(')
()
n
(
o
(
n
(
(
(
(
(
o
(
o
o
(
(
o
(
o
o
o
o
()
()
)
u
)
u
)
<J
u
u
u
<.._1
u
(.l
l
y !: A Miembros del grupo: ______________________ _
Ejercicio 4
El dueño de un restaurante italiano que sirve a domicilio desea modelar el consumo
anual de pizza de los residentes de su área ( Cii en euros) para lo que ha realizado una
encuesta a 40 de sus clientes y encarga un estudio a un experto. 1
1) R;.: renta anual en miles de euros.
2) Ei: edad en años.
3) El género (hombre o mujer)
4) El nivel de estudios que se agrupa en cuatro categorías (sin estudios, estudios pri-
marios, estudios secundarios y estudios superiores o universitarios).
Cuadro 1: Primeras observaciones
Obs. ci R¡ Ei Género Nivel de Estudios
1 109 15 45 Mujer Sin Estudios
2 o 30 20 Mujer Sin Estudios
3 o 12 28 Mujer Sin Estudios
4 108 20 25 Mujer Sin Estudios
5 220 15 35 Mujer Estudios Primarios
6 189 30 40 Mujer Estudios Primarios
7 64 12 22 Mujer Estudios Primarios
8 262 12 30 Mujer Estudios Primarios
9 64 28 21 Mujer Estudios Primarios
10 35 22 40 Mujer Estudios Secundarios
11 94 44 21 Mujer Estudios Secundarios
12 71 10 45 Mujer Estudios Secundarios
13 403 222 36 Mujer Estudios Superiores
: :
El experto opina que debería utilizar toda la información disponible, es decir, debería
incluir todas las variables explicativas del Cuadro ?? y estima, por lo tanto, el siguiente
modelo de regresión.
Modelo 2: estimaciones MCO utilizando las 40 observaciones 1-40
Variable dependiente: C
Variable Coeficiente Desv. típica Estadístico t valor p
const 439,872 56,2518 7,8197 0,0000
R 0,283674 0,0428834 6,6150 0,0000
E - 8,8409 1,49434 - 5,9163 0,0000
M -181,85 25,8175 -7,0438 0,0000
EP 73,1179 37,1903 1,9661 0,0578
ES - 6,4715 40,2046 -0,1610 0,8731
EU -48,752 59,1766 . -0,8238 0,4159
1 Los datos ha.n sido obtenidos del libro Hill, Griffiths and Judge (2001) "Undergraduate Econometrics",
Wíley.
37
Suma de cuadrados de los residuos
Desviación típica de los residuos ( 0-)
R2
F(6, 33)
215476,80,8059
0,772621
18,6887
l. Escribe el modelo de regresión lineal general que se ha propuesto. Define las variables
ficticias
2. ¿Cuántas variables explicativas hay en el modelo?; ¿cuáles son cuantitativas y cuáles
cualitativas?
3. Escribe la función de regresión muestra!.
4. Interpreta el coeficiente estimado que acompaña a la variable EP.
5. ¿Cuál es el consumo estimado de una mujer con estudios universitarios según el
Modelo 2 (realmente según el Ajuste 2)?
38
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
( 1
(
(
(.
(,)
(
n
)
(
()
(
<)
C)
o
()
()
(
( )
u
u
u
()
o
u
()
( )
)
()
( )
u
u
( ,
u
)
( 1
1
u
c.. 1
u
l
(1
Lion Forest 1
P6 Lion Forest
Lion Forest ha sido un jugador profesional de golf. Empezó a los 20 años, actualmente tiene 45 años
y quiere analizar cómo ha evolucionado su juego
Considera el siguiente modelo:
Score = P1 + P2 age +u (1)
Score = Puntuación actual - par en 250 torneos
age = edad en décadas que tenía el jugador en el torneo
En Golf, cuantos menos puntos saques mejor estás jugando. Una puntuación negativa significa que
estás por debajo del par del hoyo, es decir estás jugando "bien", y una puntuación positiva indica que
estás jugando "mal". Si la puntuación es cero es que estás jugando "normal".
const
age·
Modelo 1: MCO, usando las observaciones 1-150
Variable dependiente: score
Coeficiente
- 17,7077
4,62949
Desv. Típica Estadístico t
1,65105 - 10,7251
0,503331 9,1977
Media de la vble. dep.
Suma de cuad. residuos
R-cuadrado
- 2,893333
2924,586
0,363708
D.T. de la vble. dep.
D.T. de la regresión
R-cuadrado corregido
1-Analiza la linealidad del modelo
valor p
<0,0001
<0,0001
***
***
5,554062
4,445302
0,359409
2-Determina el efecto marginal de age sobre score, e indica si es constante
39
2
3 - Interpreta la nube de puntos
10
.
o
.5 rl :
·10
-15
2.5 3,5 ...
4- Interpreta el gráfico de residuos frente a age
ReSduos de la reg:resiÓn {•seora obsor.tnda ·estimada)
10
...
'·'
Lion Forest
40
(
(
(
(
(
(
(
(
(
( J
<)
e
()
<)
o
o
()
()
o
()
()
u
()
o
o
( )
o
()
( )
( )
u
()
(J
u
)
()
()
Modelo cuadrático
const
age
sq_age
Modelo 2: MCO, usando las observaciones 1-150
Variable dependiente: score
Coeficiente
42,2793
-34,8681
6,1715
Desv. Típica
5,94301
3,84326
0,597498
Estadístico t
7,1141
-9,0725
10,3289
Media de la vble. dep.
Suma de cuad. residuos
R-cuadrado
- 2,893333
1694,668
0,631297
D.T. de la vble. dep.
D.T. de la regresión
R-cuadrado corregido
5 - Analiza la linealidad del modelo.
valor p
<0,0001
<0,0001
<0,0001
Lion Forest 3
***
***
***
5,554062
3,395343
0,626280
6 - Determina el efecto marginal de la edad sobre la puntuación e indica si es constante
7 -Interpreta el gráfico de los residuos, ¿qué conclusión obtienes?
... ..
.. .. • .. .. t
... . .
·•
·• _ __,
Z.5 J,5 ...
41
¿Qué miden f32, ... ,f3K?
La respuesta depende de . la forma funcional del modelo.
Nombre
li neal
Log-log
Lag-linea l
Lineal-log
Modelo
y= a:+ {3X
ln(Y ) = a: + f3 ln(X)
ln(Y) = a + {3X
Y = a+ ,B ln(X)
Efecto marginal
dY
dX
f3
ex.. ·X
{3Y
{3
X
1 n terpre ta ci ón. .. .
Si X aumenta én:;útif{;'tlnidad, Y varía en
{3 unidades . .
Si X aumenta en
Si X aumenta en una Y.
un 100{3 3
Si X aumenta en un 1 %, Y varía en
,B/100 unidades
o
. David Hoyos! Departamento de Economía Aplicada lll (UPV/EHU) Tema 6. Modelo de. regresión lineal general: espedfü;:ación .
42
( 1
( )
1 )
(
( )
(
r -...· .......... -.....-.....-.....ce ' ' '
Práctica 6 Econometría (GADE)
El gerente de una empresa está realizando un estudio sobre el salario ( S) de sus empleados.
Para ello recoge la información de sus '166 empleados 1 sobre las siguientes variables:
S;,: Salario actual del empleado i-ésimo (en miles de euros)
A,: Antigüedad del empleado i-ésimo (en meses)
D,: Total de meses que ha pasado el empleado i-ésimo desempleado antes de ser con-
tratado
E,: Nivel de estudios máximo alcanzado por el empleado i-ésimo: básico (B) , medio
(M) o superior (L)
Se especifica el siguiente modelo <le regresión lineal:
S, = f3o + f31A + f32D; + (33B; + (34M; +u.;·, i = 1, .. ·., 466
donde B, = 1 si el individuo i tiene estudios básicos, M, = 1 si el individuo i tiene estudios
medios y L, = 1 si el individuo i tiene estudios superiores.
La estimación por MCO es:
Modelo 1: MCO, usando las observaciones 1 -466
Variable dependiente: S
Coeficiente
const 43,8309
A 0,175723
D -0,0164511
B -32,5211
M -24,7521
Media de la vble. dep.
Suma de cuad. residuos
Rz
F( 4, 461)
Lag-verosimilitud
Criterio de Schwarz
Desv. Típica Estadístico t Valor p
4,25453 10,3022 0,0000
0,0509199 3,4510 0,0006
0,00489295 -3,3622 0,0008
1,25910 -25,8288 0,0000
1,36615 -18,1181 0,0000
34,49716 D.T. de Ja vble. dep.
54372,24 D.T. de la regresión
O, 604097 R2 corregido
175,8566 Valor p (de F)
17,18572
10,86021
0,600662
2,46e-91
3550,342
3558,497
-1770,171 Criterio de Akaike
3571,063 Hannan-Quinn
Matriz de covarianzas de los coeficientes
const
18, 101
A
-0,20939
0,0025928
D
-0,0017378
-4,3940e- 006
2,3941e- 005
B
-0,94198
-0,0010251
0,00019266
1,5853
M
- 1,1089 const
0,0022703 A
-0,00094810 D
0,99964 B
1,8664 M
.¡;,. 1 Fuente: Pérez C. "Métodos Estadísticos Avanzados con SPSS". Ed. Paraninfo (2005).
w
- - - - - ' - ' ' -...,,V
(fl)(LÓ)jD(l/)
BJ) 944757424 Econometría ADE 1
1 Intervalos y contrastes de hipótesis 11
1. Escribe la Función de Regresión Poblacional y la Función de Regresión Muestra/
2. Estima la varianza de las perturbaciones
3. Interpreta el coeficiente de determinación
4. Indica Ja expresión de la fórmula del estimador MCO
5. Indica cómo se ha calculado la matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores
6. Determina el intervalo de confianza para el parámetro /31
7. Dado el intervalo anterior, ¿es el tiempo pasado en desempleo una variable relevante para
explicar el salario?
B. Contrasta si la antigüedad es una variable significativa para explicar el salario
9. Contrasta si p1 = 0,50
10. Contrasta si /31 <0,10
11. Contrasta si /33 >-30
12. Contrasta si las variables son conjuntamente significativas
13. Contrasta si el impacto que tiene un mes más de antigüedad es el mismo que estar un
mes más en desempleo, pero de signo contrario.
44
( 1
( 1
( )
í)
n
(J
n
1
n
(
(
()
(
(
n
o
()
(
o
()
(
(
o
o
o
()
o
()
o
o
o
o
o
u
()
o
()
(J
u
u
()
u
)
u
u
u
1._)
u
u
u
\_)
l
Problema
PROBLEMA PARA TRABAJAR:
Multicolinealidad
Tenemos definidas las siguientes variables:
C¡ = Consumo mensual en euros
R¡ = Renta mensual en euros
{
1 si es hombre H -
; - O si es mujer
{
1 si fuma
F; = O si no fuma
1. Determina la matriz de datos X
2. ¿Qué dicen las hipótesis básicas de los regresores?
Econometría
3. ¿Qué ocurre en la matriz X, cuando entre sus columnas hay relaciones lineales?
4. ¿Qué ocurre si todos son hombres?
5. ¿Qué ocurre si nadie fuma en la muestra?
6. ¿Qué ocurre cuando todos los individuos de la muestra ganan 800 euros al mes?
7. ¿Qué ocurre si todos los hombres fuman y ninguna mujer lo hace?
8. ¿Qué ocurre si ningún hombre fuma y todas las mujeres fuman?
45
Econometría
Problema
PROBLEMA PARA TRABAJAR:
Predicción por punto y por intervalo
i = l, 2, .... N
FRM: riiii$; = -391.55+ 14.201/ncome; + 15.741Age; i= 1,2, .... N
1. Una familia tiene 3 hijos pequeños, la edad media de los adultos es de 42 años y tiene una
renta familiar de 85.000 $. Da una predicción o estimación por punto de las millas que viaja
al año e indica como harías la predicción por intervalo.
2. Un compañero de trabajo con 4 hijos, una renta familiar de 100.000 $y con edad media de
los adultos de 39 añosafirma que viaja 2.100 millas al año. ¿Es esta afirmación razonable?
46
(
(
o
( 1
(
(J
n
(
n
n
( )
(
o
( )
(
(
(
l
)
)
)
)
( )
( )
<)
()
()
( )
( )
)
( )
)
e >
( )
' }
Econometría
Problema Fundamental
1. Tenemos los datos de cinco empresas. Las ventas Y en miles de€, y de los gastos de
publicidad X en miles de €.
t 2 3 4 5
X, 30 50 50 60 60
Y, 200 400 800 1200 900
1. ¿Cuánto se ha gastado la segunda empresa en publicidad?
2. ¿Cuál es el importe medio de las ventas?
3. Dibuja la nube de puntos (diagrama de dispersión)
Ventas observada y estimada
1200
1000
800
600
observada •
Recta RegresiOn -----
---------400 ------------ •
200 • ------ ----..........
30 35 40 45 50
Gastos Publicidad
•
55 60
Si planteamos el modelo Y, = (30 + (31X, +u, t = 1, 2,. . ., 5 u, : iid(O, a 2 ) (1)
4. En el modelo anterior, identifica y define cada elemento
5. Indica las hipótesis básicas de las perturbaciones
6. Indica las hipótesis básicas de los regresores
7. Escribe el modelo de forma matricial, indica qué significa cada elemento y calcula la
matriz X y el vector Y.
8. Interpreta los coeficientes del modelo
11
47
Econometría
9. Estima los parámetros por Mínimos Cuadrados Ordinarios del modelo con las fórmulas
específicas sabiendo que
:¿(X¡ - X) 2 = 600 ; :¿(X¡ - X)(y; -Y) = 11000
1 O. Si tomas otra muestra, ¿obtienes los mismos resultados?
11. Interpreta los parámetros estimados. ¿Tienen los signos esperados?
12. Sabiendo que la Suma de Cuadrados Residuales SCR=158.333, calcula la varianza
estimada de las perturbaciones.
13. Estima la varianza del coeficiente que acompaña al regresar con su fórmula específica
14. Sabiendo que la Suma de Cuadrados Totales es 639.987'87 calcula e interpreta el
coeficiente de determinación o bondad del ajuste
Vamos a volver a estimar el modelo con las fórmulas generales con matrices
15. Estima los parámetros del modelo
16. Calcula la Suma de cuadrados de los residuos
17. Estima la varianza de las perturbaciones
18. Estima la matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores
19. Calcula la Suma de Cuadrados Totales
20. Calcula e interpreta el coeficiente de Determinación, indica la fórmula usada.
El programa gretl da los resultados de dicha estimación
Modelo 1: MCO, usando las observaciones 1-5
Variable dependiente: Ventas
Coeficiente Desv. Típica Estadístico t
const - 716,667 480,066 - 1,4929
Gastos Public 28,3333 9,37886 3,0210
Media de la vble. dep. 700,0000 D.T. de la vble. dep.
Suma de cuad. residuos 158333,3 D.T. de la regresión
R-cuadrado 0,752604 R-cuadrado corregido
F(l, 3) 9,126316 Valor p (de F)
Log-verosimilitud - 33,00224 Criterio de Akaike
Criterio de Schwarz 69,22336 Crit. de Hannan-Quinn
Valor p
0,2323
0,0567 *
400,0000
229,7341
0,670139
0,056715
70,00448
67,90802
48
1 1
( 1
( '
( )
f
'
)
)
( )
( )
( )
()
( )
( )
o
()
( )
( )
()
()
o
' )
l)
)
)
)
l )
)
)
( )
l
l
l
t
! ¡_ i 1
I UAJ I ! -\:.
:
1 i 1 j 1
12.I
! 1
1
! 1 1 1
1 1 i 1
1 i ,f' 1 i ! 1
1 ! ! !
i ¡ l.h ,._ !__. ••
i 1 i 1 ' '
1 1
¡ í
1 ! !
1 1 1 1 1
!
i 1
1
1 1
1 !
1 i
¡
1
1 l
i 1
1 ! 1 !
¡ 1 1 1 1 1 i
1 1 1 1 1 ! i ¡ 1
1 1 1 ' 1 1 ¡ 1
i 1 l ! 1 1
1 1 1 1 1
! 1 1 1 1 i
l ! 1 l 1 1 ! 1
i 1 1 ! 1 ! 1 1
! .Lh 1 ft-..,. ¡ 1 1 1 ! 1 : 1 1 i
i ! 1 1 ! : i 1 ! i 1 ¡ 1 ' 1
' 1 1 1 1 1 ! 1 i ¡ i 1 i i ! 1 1 1 ¡ 1
1 1 1 1 1 1 1 1 ! 1 1 1
' 1
1 t i fT 1 i ! ' ' ' ,
1 1 1 1 1 1 1
1
1
' i 1 1 1
· ,rr l v l 1 ! 1 1 1
1r-t \ /'' 1 ! 1 '
1 l 1
i
1 1 1
i ! 1 ¡ ¡ l 1 1 1 1 i i
i 1 1 1 1 1 1 ' 1 : i : i 1 1
! 1 1 1 (J .j 1 \ : \ 1 ! '.) 1 1 ' 1\ 1 i
: 1 1 1 1 ¡ i ! ! ! i 1 1 l ! i i 1 i 1
.f 1
! ! 1 1 ' 1 1 i 1 '- l i 1 1 1 1 1 i
1
1 ! h-..l. el '-11 1 K- ,. (¡ 1 1
¡ i i ! , ! 1 i ! ! 1 1 1 1 1 i 1 i / 1 I / ! 1
i Jlf l 4- i 1:v-,,ri'.Ah J. L' )l- ilC\ 1 h 1 .c1:r ·,ch r- ll\ du::. ( 11\. cb('\I i
i i 1 i ! i ¡ i 1 '-1 i 1 ¡ ' i 1 I' '· ,
1 i J / ·L L 1r ' ir ;·1J ·lbr (' .J P/, ! nkh', hlh h Je 1 · 1" 1 TI Á-
1 i 1 1 1 i 1· ! ¡ - 1 1 i 1 1rT1 l \ \ l I '
' : l_ ' \ 1 ,,,. ! 1 1 ' 1 1 1 1 . ' 1 1 1 ' h ! ¡ .1 1 i - 1.r d rrhrl1' 1.+. 1 1 ! 1 1 1 ' r 1 i 1 i 1 ' , l
!
(
( 1
( 1
{ )
' I •
( )
1 )
)
)
{ )
( )
( )
( )
()
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( '
l )
( )
( )
( )
( )
( )
'
)
)
( I
(
\
(
H ,
1 ! 1
© -,j; lk \'f.('\ ¡
1
f---h'T-+-+--+---+--+-------+--+----'--f""'--+-t--''"r"--+-'-----+--+--+ 1
1
' 1
1 ¡
1 i
1 i
1 ¡ i
1 '
' 1
1 \
(
e
(
(_
(
(
( )
( )
( )
()
1 )
( )
()
o
( )
()
( )
()
( )
)
( )
( )
( )
{ )
)
( '
)
--- ) l
i J
J' - ¡ ¡ i 1 1' 1 i 1 : l ! 1 1
1 i 1 . 1 ' · ·! '1 ¡' ! 1 ¡' i 1 1' 1 ! PAlif· • " -,. , 1 i i
! 1 1 1 ! 1 1 1 i 1 1
! 1 1 i i 1
, lu 1 i 1 1 1 1
' . ¡, 1 rlt l ¡ .. ,¡ ; \ . 'h l\ i<r-·h
. 1 J . '
1 1 ¡ 1 ! 1 1 ! 1
! 1 Ao! ( 1\r;, t<kn ¡Li¡-.l . \Ao"\ '
1 1 1 1 1 1 r ., 1
l(,L \ . A '1 1 1 ! 1
1 1 l '
<¡;,. 1
\ i 1 '
t 1
1
1
1 1
1
\ 1 '
1 \
1 1
1 -
1
1 ¡ 1 i i
1 !
¡
1
1 1\- \<.. ,
1 i
l 1 1 ' ' 1 . 1 ¡ ¡ ,, ¡
1
_ ,1.___J l . 1 __ ,1_..L . • ., 11.. 1,1...,• 1'1::'"' r•u ''- q::,Y::aniTh-...J;!: el-Y'">"'' huh\
1 1 i r r i 1 l ¡
1 1 ' ! i j 1 1 t 1
1 ! \ 1 \ ' ; 1 1 ! ' 1 [ i 1
1
1
1 1 ! l 1 1 j - ¡ i 1 1 1 1 ¡ 1
! il-=i' , \thri(r.i--11 · J ¡ i _ , .... ctGk 1 ( -oh
1 1 1 1 ! : i ! 1 1
1 ! ¡ 1 ¡· 1 \ - 1 1 1 i 1 i 1 1
1 1 ! 1 1 ! i 1 \ 1 l 1- ..
PACSA
1 i
!
-+-------1
i 1 1 ! 1
,-i
1 ' !
___¡______;
1
1 1
54
\ 1
(l
(
( )
(
(
1 )
( )
(
( )
(
(
<.
e
<...
l
(
(
I )
( )
( )
)
( )
C)
()
< )
( l
()
( )
()
(l
( )
()
()
()
o
()
()
()
u
{ l
( )
\..)
'
u
)
u
( )
)
(
1
!
i 1
1
1
i
1
!
1
' l , 1' 1 1
1 ! 1 i 1 ' 1 \ 1 l 1 i 1 1 1 1
. J ' i I! 1 ¡......a. "". ('\ ! ' il 1 : ' 1 ' ' 1 ' ' l ¡ i 1 1 !
! 1 1 1 1 : i
i ! i
1 1 LJ 1 ' i ! 1 1 W le 1J
1 ! 1 1 ! 1 i i 1
1
1
1 1
1 1 1
(
1
1
!
¡
!
1
1 1 1 [ 1 1 ! 1 1 l ¡ ¡
i - ! '¡ J ¡' / lT bl' 1 1,. IL '')( 1 )('")\ 1 ..11 !f ' 1 \ 1 1 1
l i nb- b , ·- ! 6 lo. i 1 1 1 i
¡ i 1 ' 1 ! ,... l !" ! ¡ 1 1 i 1 1 i
1 1 1 ¡ 1 l 1 i 1 1 1 i 1 ! i 1 ¡ 1 i i ¡
1
1 ! ¡' ¡ ' 1 : il
1 1 ¡J, i l 1 : ,, 1 1 '7 y !,, 1 ¡ 1 ¡ !) !
1 1 1 ! ! : 1
¡ 1
l
l i ,1 1
1 ¡ i 1
L l. I '\ j i ' ¡ i -
1 i 1 1 !
1 ¡
1 1 i
¡
' 1
! ! ¡
1 i 1 1 i 1 1
I j 1
•-:/TY"I ' ! 1 1 i
1 1
'
'::> ' l
1 ' ! ! 1 1 1 1 !
1 1 1 1
1
1
¡ 1
1 1 ' '
1 i 1 1
1 1
\ . 1 I 1 / ! ' ':-- j
1 i 2_.,,r-. ..... 11 1 2.1 l
1 1 1 1 1
i 1 1 l=°"I 2.1\1
i 1
i 1 -... ±J- - l."c1 J !.+-. ? <' \ 1 .....
r--+-+---+-, -+--+--r--+--+-' - t-,I -+l-+--t--+l--,--t---1" 1 ! .1 1 1
1 1 i 1
1 1 i. 1 1 1 1 i
1
1
1 ¡ i ' ¡ ¡ ' 1 ! i ¡ 1 1 i i 1 !
1 C.L R i ....,¡ J ( if\ ! - 5 íL: ._¡ ,_ l '-t ... ¡ - ) .f . it' f.t \ -J
¡ 1 1' 1 ' 1 1 1 ! ¡
! i
1 1 f ! ¡- 1 ! i l i ., i
1 1 1 1 1 1 ! 1 1 1 1 1 1 i 1 i l 1 ! ! i' l ¡
1
'1 1· 1 , 1 i 1 ' 1 , 11 , '1 1 . i i . r.- 1 1 • J..it ..{ 2 ' : . i 1 1 1 ·
, __
PAC$A
1 !
1 :
1 ;
¡ ¡
+--+---+-t+--+--+-----+---+----t-
i
1 ¡
i 1 ¡ i l
1 l 1 ! . 1. : 1 1
, . '-l---1 -----, -'-, ---+-¡,-+--+1--t, ¡-----. -----\---: -+-1 -1 -----+¡ ------+¡ ----r, ---+1-¡r--r+--11_ _,!.'_·-1'
i ron1"'ª , d.o !> :oo \!)): _ ..... c'-"'·f ... .. · c.....u: Q::;..o¡-)!! ___.,______,
1 1 i : 1 1, ¡ i i i :
+- -+--+--+----+-1 -----+------+ 1 '¡ 11 ' 1 '
1
' ¡ ; l 1
1 ' 1 1 t ( ' :
i
1
ql
1 1
1
H H
56
( )
(
( )
(
(_
l
(_
I )
(
( )
l)
()
()
( .
()
( )
( '
( )
( )
( 1
()
u
( )
o
( 1
)
( )
( l
( )
)
)
)
( l
\ )
(_ J
(_
l '
l Q/ , irh'.,"'Wn In :r'., ,. , 1 <tt :J
1 ¡ ! 1 1 1 1 1 1 1 11
11 ' 1 ' '¡ T"lO!A•,.. 1 rh i Í ! 1 1 l i
1 1 ! 1 ! 1 1 ¡ i !
! : i ! 1 l li l l ; /1 ! 1 ¡ T - i t · ! l
1 1 1 ¡ i 1 1 1 1 ¡ j i
vL J ,t__r-
1 1 i 1 i 1 1 1
1
i ! ! ! l 1 1 1
! i i 1 !
i 1 1 ¡ 1 ! 1 1 1 1
! ¡ ! 1 i ! ! i ! 1
! 1
! i 1 J, 1 1 1 1
1 ! 1 1
1 ¡ i i !
1 ' 'l' 1 1 1 1 l
! 1 1
1 l ·
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1 1 ! 1 1
i
1 ' 1 -+- 1
1 '
i
/ i 1 1 l) 1
1 1
1 1 1
! 1 1 1 1 i
c\orlí-<J "°' I
! 1 i \ 1 '
1
l
1 1
! 1
1 '
1
, 1
1
1
! i
i l 1 1 1 1
' ! 1 1
l
1
!
1 i
! 1 !
¡ t [
¡ 1 !
1 ¡
1 1 i
¡ 1 1
1 1 ' 1 1 1 1 l i i 1 1 ! 1 ! 1 i i 1
1 : i 1 i 1 ! 1 i
i 1 1 !
i ! 1 ! 1 ¡ i !
i
1 1 i
1 1 1 ! 1 1
1 1
1 i
1
1 1
,J.. l.-\o Lr.
1 1
1 1
\ i
;
1 1 '
!
i 1
1 1
i l 1 !
! 1
1 !
!
PAC:SA I
1 1 1 1 1 1 1
1 ' 1 ¡
1
1
¡
1
l
( l
1
1 1
1
1
1
1
1
1 1
i 1 ' 1
1
' i i 1 i
!
i
l
l
1
! !
1
i
1
1 ¡
ru--t!1 +-H-t-++-H-++_[¡¡ J:J I¡ ! : ¡ 1i,_ li, 1 1.
1 1
1 rfTl
l
. Ti 1 t+I ' ! .1.11· -t' __L_, 1=1 1 ! 1 --+-__¡._- ; - 1 : 1 . H-t-H-1 -t1 ++-+--1-µ_u!_!
1 1
! ! 1 ¡ i ¡ITii-¡-H-+--H--+-LLl¡ _J'
1
1
1
1
1
1 l 1
!
!
i 1 1
1
1
: ! LJI 1
1 ; _' _ 1 __ 1 1 -:--¡-f--!--t--'----LL
( ( ( ( ()
()
( o ) () o q o o ) ) • ) , ) ) ) } ) )
-t
1 1
1
1
.
1
1
1
.
1
1
•
1
1
1
1
1
1
' ! l 1 1
'al >¡
11 ! ! !
1
1
1
1
i
1
!
'
!
'
!
'
'
.
¡ ¡ !
.
1
:
.
1
1
1
1
!
.
!
1
1
1
!
i
'
1
:
'
!_),
J 1v-¡
1
¡
.-.1
! .-O'! lv ·
11
! i
f. I i
(
!
!
i i
!
i
il
! 'ol '·
'· '
'
1
1
i
.... i)
\ .r
'
1
!
·
Jt
íál :
i
:-
N"
it-i
¡
"'
1 ""+-+-'
1
i
1
1
'
¡
¡
J.
,) \ 1
1
!
1
:
¡
¡
!
: •
1 1=-
!
1
¡
1
i
!
! '
1
"'b 1l3'
¡ rtlJ.
il
1 fl" i 1
1
1 .... \)1
1
'
¡ 1
! 'f
1 íÍ
'
.
1 ¡
¡;;
1,
' I:! •¡.
I j<)i
11
i
1¡ 1
1 r
1 + , , ....
1 :t':
1
d
!
'
1
¡.;¡
_....
_rl!
·1
.,
'
y
1
\ ¡
!•
I
ri
I
'
,.9!,:1
o
,
'
J
,.,
J;Z¡
1
1
1 ""'I
, ,
1'" ..).
1
1
1
1 -..J.
.Y
i
! ··1
1
11
!1
¡
·¡
1 !
!
1 +.
i
1¡.
r-;'
1;!
!
'
:
\..i
¡
of
!
' ':
! ;J;
i _.......:
; "'
: J:
1
;
1 i 1
-¡)
.>.
! t1 J
1 ¡
e
"
\
'
!
i
.
1
•
'
i .....+--¡
1 -f 9
!
-4
1
¡
¡
i
1 ''i
!
¡ XÍ
! tx;
.
! ' ¡
¡
¡
1 ! ¡ i
i
.
k-1
1\
¡l....-31
!
i
1
1
.
1
1
'
1
!
!
1
1
¡ \)J¡
1
i
1
1
i
1
1
:
1¡
1
1
1
1
1
i
¡
!
!
¡
..,.¡
1
cli
'
1
1 ;
i :i-
! i ;j'
1
'
1
1
.
'
l &.
! j
¡ vi
: 1
..,1
IJ !1 1 l"I 1 1 (í¡ 1'1
lÁ
1 i 1
:¡
1
14
; ...&>
i
i
•
1
! ! 1.
1
;;;¡.
1
:
1
:
¡
:>¡
1
,J.
1
""
ij
1
'
i
1 i
;
i
i
1
i
1
1
1
i
1
1
1
i
!
1,
1
1
i
1
!
i,
i 1 1
¡
;
al¡
ir
¡
¡
i
!
!
¡;,¡
f)
' i
01
:
.
,, \ll t" .,
!
1
¡_
;
1
.
;u--
1
1
!
1 l
'
¡>
1..9
¡V
)!
k
1 q rs i
¡ .... 1 !.t t-
1
1
'
1
1
1
! l ''!
.
1
1
¡
1
j
1
1
1
1
1
1
1
!
1
!
1
1
1
1
!
1
1
1
1
!
d VII
--;:):
i ::r"¡
:
U
I
i
.J
.
'
! i ,.,):
1 _
\):
: n
'
! ,,¡
!
'
i-1':
'
!
¡ \)-¡
'
! i;;,'¡
1
\
: rJ:
¡
1
;
u!
l
1
'o!
'
¡
¡
¡
!
'
1
1
'·
! i
i.......-t-l
i
1
l
i
j
¡
1,
!
_vii
1
'-1:),
1
1
1 rii :t¡
1
1
i
1
!
1
i
1
!
QI
·i
!
1
i
!
i
QI ,1
¡. ¡ : ['11.
'
I'·
K
U
1
1
!
i
.!"
¡
:
l
i
!
: X
i
Í
!
¡ ... -'(
i
i
: v
i
't
:
i
i
!.
!
:
!
1 ¡ 1 1 1 1 1 1 i 1 1
' 1 i
i,
i
1
;
1
1
!
¡
1
'
!
l l
1
1 !
1
i
1
1
j
i : !
i
1
1 ¡.J
1
1
·-t
¡
1 ¡
1
1
1
1
j
1 1
1
1
1
l<
i
.
! i
.....
'
:_s:
:
i
\,
.•
.
'
¡
:-
¡
:;
-
1
: "
!
...
..
; r
J
l
1
-
!
r'
:
:<..
__j
1
11
1
1 1
1
1
1
+
-1
-L
L
U-1
1
1
¡1
1
1
1
1
1
11
¡'
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
l
1
1
1
1
li
¡
1
1
1
1
1
.
1
1
1
'
1
'
1
1
1
1
'
1
1
'
1
1
1
lr
l
1
1
1
1
1
1
1
1
1'
1
1
1
1
i
1
1
1
1
1
1
l
1 1
1
1
1
1
i
1
1
1
i
1
1
1
!
i
!
1
1
i
1
1
1
i
!
1
1
1
1
i
1
1
1
1
1
i
1
¡
1
1
1
i
1
i
1
1 1
1
1
1
1
1
1
¡
1
1
i
i
1
1
1
1
1
1
1
1
1
¡
1
1
1
!
i
¡
1
1
1 l
1
1
1
1
1
i
1
1
1
1
1
1
1
1
i
1
1
1
1
1
1
1
!
1
i
1
1
1
1
1 1
1
1
1
i
1
1
1
1
1
1
1 1 1
1
1
1
1
1
!
!
1
1
!
1
1
1
1 1
¡
¡ 1
1
1
-e¡
1 1
1
1
1
i i ! 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ! ¡ i 1 1 1 ¡ 1 i 1 1 1 1 1 1 i i 1 1 1
1
i
1
¡·1
¡
.1
!
!
i
!
i
1
1
•
l ¡ 1
1
1
i
1
1 1
1 1 1 i ¡ ! ' ¡ i !
1
1
1 1
! ¡ 1
1 1 1 1 ! 1 1 i i
1
'
1
1
;
1 1
1
1
i i
!
1
i
i i
1
1
1 !
1
i ¡
!
1
1
1 1
!
1 i 1 !
i 1 1 1 1 1 1 1 1 1
j
i
1
1 1
1
1
1 1 1
i
!
!
1
!
i i ! 1 1 1 ¡ i i i 1 !
i ¡ ! i n ¡.> p ir11 i""' 1 ,., !10 1- r r><-.- ix r ir !., Pl ! 1 ¡ 1 1 1 1 ! 1 \-
v
6ff
(
( ( ( ( ( \ ( ( (_
( \.
( {
1
1
i
!
11
i
r· 1
'¡
1
1
1
11 •
/
1
I ·•:
.
1,
1
1
-l
!
1
1
1
i 1
!
1
i
1
1
1
·1
''!
1
1
1
1
1
1
1..:>1 · .1
1
1 ¡, 1
1
I,
-
;
1
1
¡'
·.1.
1
1
1
i
1,
1
¡ l
1
¡
11 , ¡
¡
1
1.
1
1
"
"
1 I
'.)<!
! o
1 '>I
/1
1
.2.1
1
1
¡
"'I
i :
"!
1
,
i
oi,
1
Q!
i ol si
i
:
¡
1 ,
.
,, d
:
l e+-
1 \91 "' 1
¡ 2 I .
j
J
)
L
1
,,,
¡
I -1
2.
1
µ
1-rt
! t-1 l?t
¡><
.
i
¡
:
1
,
1
1
1 -¡-
1
"
! ·'H
1 1111 i)
1
1_'.-1 i
1
: :
l.,ll
1 l!I 1 { '1 ---1 1i1
1 ll
1
i
1
1
:.
1 r I
1
1
'_j
o ;1/ 1
..
, . X
(, ),
' i¡' ,,:1 r,
i,
i, ;I! i-=
1
-f ·'.x ,
:
:
il
1
1
1 p i i
I ¡
_.
(
)
·1
1
!
1
'¡
1
'¡
'i
1
'¡
1
1
!
1
'¡
!
1
1
1
1
1
( )
1
1
'
1
1
1
1
()
<
)
()
--t
()
()
(1
( )
, 1
( )
(
)
(
)
(_)
(!
(
)
(_
I
(1
1 ¡ ( ¡
1
!
'
1
1
1
1
'
'
'
¡
l '..)i
<J
1
:
e
i 1+.
1
i
! O!
1
1 :a
4
¡
1
¡
d ! !
g
1 J_J
1 1j 1 .1
i
1
¡ ¡ i
1
lt
!
'
... 1 -t-i , .¡ '* 1 "i 1. 4 1-r! : 1
>;;
w
•
¡ ..¿_
:,J
!
i
! /:'X¡
L
¡1
¡
:
Q!
¡
• ¡
' k
.
.
i
'
"'
.Jiv?
' >< !
¡
_
..::·
e.1v
: __,;
, \)!
'
!w
1
. "'
i
e:!
'
!
1
:
1ll
!
1
!
v1
i
d
i
.¡..:i
.
.....:---t
¡
i,-;r
Vl)li
j t-tf
4
¡
¡
•
rt
!
12::. ,"'J
1
!_..::¡
i L.!
1
!
íi
1
:.
'
i
1
•
,¿'!
I>
l.
'¡ 1.0¡,
i
'l ¡ll.i {
1
¡
¡ ./ 1
1
1
f
._
;,
---"'1;
!
;
.
¡
I
1
¡'
1
', ><
' <' .. ¡
i
i
¡
VY
I .
,:3
t
1
1
!
!
¡-
:
__¡
•
i
a'!
1
y
¡
!IW
1
\ 11 ¡
.
l-'i
i
j
'
1i
'1
:.
1
1,
1
11!
1
;I
'
;
•
_¿;
•
¡1
o!.
1
!
i
1
<-V
.
¡
¡--
;<
1
¡
i
1
!
i
¿1
6
; __l_
i.
! !
¡ ¡
¡ ¡
¡ v
i
¡ v
¡
;
i
!
!
!
¡
i_p1
9
i
'
.
.
!
: ..1i
¡
i
J
1
1
l.
'\H
1
.
'
j
¡
í
1
1
i
¡ 1
i
r
\Vi
¡
!
¡
.
i '!
1 -1!
¡ ··!
i
1
1
.
' 61
'/'""""'¡ : l :
1 :
;
¡
i
1
' 1
1 i
1 1 V'I ! ¡ (",! p i i : ! -;;'!I
!'' ! ¡ i 1 lJ 1 ! i ! IV\¡
·,. . 1 ! _;,__, 1
G ' -Y ! lt-t'
1 .Jil ti\ i 1 !
1 •'; J,.l.f"' I A ¡
e.I... ' ' 1: ttr , ...iM
V !""1 f- !u J..,. F! : L.J ,
' 1 ... '• ; , i ''í' ¡o
1 : .+¡ ivr ; .i ro
1 • 1 1 lé
¡111
P' ..Materiales relacionados
135 pag.T4203e
Francisco Rosales
Compartir