Álgebras Geométricas e suas Aplicações

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ÁLGEBRAS GEOMÉTRICAS
Manuel Berrondo
Brigham Young University
Provo, UT, 84097
berrondo@byu.edu
Aplicaciones físicas:
• Mecánica: péndulo de Foucault
• Electro-magnetostática
• Dispersión y difracción E.M.
• Mecánica Cuántica: precesión spin
• Teoría de Campos: ecuación Dirac
• (Relatividad General)
Ejemplos de álgebras geométricas
• Números complejos C 
• Cuaterniones de Hamilton H
• Álgebra de Pauli
• Álgebra de Dirac
Extensión del espacio vectorial
• inverso de un vector 
• reflexiones, rotaciones, transf. de Lorentz
• integrales: Cauchy (≥ 2 d), Stokes general
Basado en la idea de MULTIVECTORES:
incluyendo métrica: 
...321 aaa ∧∧
21 aa ⋅
11 , −− ∇A
Producto geométrico o matricial
abba
babaab
bababa
≠
∧−⋅=
∧+⋅=
Propiedades Algebraicas R
+
• cerradura
• conmutatividad
• asociatividad
• cero
• negativo
• y + distributividad
Espacios vectoriales:
•
• cerradura
• conmutatividad
• asociatividad
• unidad
• recíproco
combin. lineales
Extensión a álgebras
• incluir métrica:
• definir producto geométrico 
PRIMER PASO: Inverso de un vector a ≠ 0
ba ⋅
aaa
a
a
a
aa ⋅====− 222
1 ,
ˆ
a
a
a-1
a 1 20
Base ortonormal
3d: ê1 ê2 ê3
êi • êk = δi k
êi-1 = êi
Euclidiano
4d: γ0 γ 1 γ 2 γ 3
γ µ • γ ν= gµν (1,-1,-1,-1)
Minkowski
1
Ejemplo: (ê1 + ê2)-1 = (ê1 + ê2)/2
Electrostática: método de imágenes
wr




−
+
→−
+
→
+
→+→
2
ˆ
ˆ
12
2
ˆ
ˆ
1
ˆ
1ˆ 1
1
1
11
1
e
er
e
erer
err
•
q
•
- q
•
q
•
ql
Plano: carga -q en cê1, imagen (-q) en -cê1
Esfera radio a, carga q en bê1, encontrar imagen (?)
Escalas en r y en w libres
q’ = ??-c
qbc
V = 0a0
cargawr




−
+
=
2
ˆ
ˆ/
12 1
1
e
er
w
c
a
β








−
−
−
=
ba
q
b
a
b
qV
/ˆˆ4
1)(
1
2
10 ewew
w
πε
SEGUNDO PASO: FÓRMULAS DE EULER
⊥⊥
× ×+= AkAk )ˆ sen(cosˆ θθθe
⊥⊥ −=×× AAkk )ˆ(ˆ
1ˆ senhˆcosh
1)ˆ( senˆcos
2
2
=+=
−=+=
bb
aa
b
a
bbe
iaiaei
En 3-d:
'ˆ AAk =×θe
dado que
En general, girando A alrededor de θ k:
Ejemplo 1: Ecuación de Lorentz
 ˆ :desoluciónes
)(ˆ)( :Derivando
)( 0
ˆ
vkv
vkv
vv k
×−=
×−=
=−= ×−
qBm
tt
ett t
&
& ω
ωθ ω
q
B = B k
m
qB
B
 ,ˆ == ωBk
⊥⊥= ×−+= 000 )(sen)(cos)( vkvvv
)
ttt ωω
Ejemplo 2: Péndulo de Foucault
rωSgr &&& ×−+= mmm 2
ρωρρ &&& ×−≅ zmmm 2
2
0ω
s
hz
zz
5
22
107
24
2 
sen 
0
−×≈=−=
=+=
πωωβ
λωωωωα
ml
S=0ω
•Coriolis
S
mg
l
0)( ρρ
k×−=
)
tti eet βα
TERCER PASO: PRODUCTO ANTISIM.
ab ∧
ba ∧
barrido
bar
rido
a
b
a
b
• anticonmutativo
• asociativo
• distributivo
• valor absoluto = área
Producto geométrico o matricial
2
1
2
a
a
aa
aaaa
bababa
babaab
=
=⋅=
∧−⋅=
∧+⋅=
−
• no conmutativo
• asociativo
• distributivo
• cerradura:
extender espacio vect.
• unidad 1
• inverso (condicional)
Ejemplos de álgebras de Clifford
2m+nsignatura (m,n)Clm,n
16DiracCl1,3
8PauliCl3
4cuaternionesCl0,2
2complejosCl0,1
4planoCl2
Dim.GeometríaNotación
bivector
vector
escalar1
1ê 2ê
I==∧ 2121 ˆˆˆˆ eeee
{ }
III
ikikkiki
aa
eeeeee
−=−=
=+=
 1
2ˆˆˆˆˆ,ˆ
2
δ R
I R
R2
C = álgebra par = espinores
C isomorfo a R2
1 e1
I e2
• z
• z*
⇔
a
z = ê1a
ê1z = a
Reflexión: z z*
a a’ = ê1z* = ê1a ê1
En general, a’ = n a n, con n2 = 1
Rotaciones en R2
Euler:
e1
e2
a
a’
φ
2/2/'
'
ϕϕ
ϕϕ
II
II
ee
ee
aa
aaa
−
−
=
==
ϕϕϕ senˆˆcos 21
)ˆˆ( 21 eeee +=e
Inverso de un multivector en Cl2
Conjugado:
AA
A
AA
AA
AAAA
IAIA
~
~
~
~
 
escalar ~~
~ 
1 ==
=
−−=⇔++=
−
βαβα aa
2
1
a
aa =−Generalizando
pseudoescalar
bivector
vector
escalar
ê3ê1 ê1ê2
ê3
1ê1ê2ê3= i
3
3
1
ê2
ê2ê3
ê1
1
{ }
iii
ikikkiki
aa
eeeeee
=−=
=+=
 1
2ˆˆˆˆˆ,ˆ
2
δ
RiR
R3
H = R + i R3 =
= álgebra par = espinores
iR3
En Cl3 , el producto geométrico:
babaab ×+⋅= i 
babababa ∧−=××=∧ ii , 
ϕϕ
ϕϕ
nn
nn
aa
aaa
aaanna
ˆˆ
ˆˆ
2
1
2
1
'
'
)ˆ(ˆ
ii
ii
ee
ee
−
⊥
−
⊥⊥
⊥=
=
==
+==Rotaciones:
e B/2 genera rotaciones respecto al plano B,
para el bivector B 
Espinores
C x C3-d
C2-d
C∈



→


 βα
β
α
β
α
, ,
'
'
con matriz Pauli, σ
i êk pj σk ( )
i p ê3j ( )
êk p ê3σk ( )
p0 + i p = p( )
Cl3Pauli
Interacción de spin con campo magnético B
• Hamiltoniano cuántico de Pauli:
A potencial vectorial
p p – q A, acoplamiento mínimo,
AB
BAp
×∇=
+⋅−−=
 
2
)(
2
1 2 Vσ
m
qq
m
H I
momento magnético: µ = γ S = ħγσ/2
Precesión de spin con B uniforme:
En Cl3, espinor (cuaternión) Ψ, 
Ψ=Ψ=Ψ Be γγ iiB kk 2121 ˆ&
 )( 02
1
Ψ=Ψ tiet BγSolución en Cl3
El spin precede en el plano i B con frec. angular:
Bγω 210 = ¡ independiente de ħ !
γ1γ2 γ3 γ0γ1 γ3γ2 γ3 γ0
γ1γ3γ2 γ3γ1γ2
γ1
4γ0γ1 γ2
γ0γ2 γ0γ3
γ3
1γ0γ1 γ2γ3
6
4
1
γ2
γ0γ1
γ0
1
{ }
IIII
gg
µµ
µννµ
γγγγγγ
γγ
−=−==
−−−==
 1 
)1,1,1,1( diag 2,
2
3210
Los 6 bivectores se dividen en: 
êi = γ i γ 0 e I êk = γ i γ j
Relatividad especial y paravectores en Cl3
• Paravector p = p0 + p
Ejemplos de paravectores:
ρ + jj
φ + AA
E + pp
γ + uu
ct + rx
21
1
v−
=γ
Transformaciones de Lorentz
)(senˆ)(cos
)(senhˆ)(cosh
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
θiθeR
wweB
i θ
w
θ
w
−==
+==
−
transforman el paravector
p = p0 + p = p0 + p= + p┴ en:
B p B = B2 (p0 + p=) + p┴
R p R† = p0 + p= + R2 p┴
Cálculo Geométrico
∇ es un operador diferencial vectorial
ϕ (r) – campo escalar
E(r) – campo vectorial
EE
EEE
×∇+⋅∇+∇=
=∧∇+⋅∇+∇=+∇
iϕ
ϕϕ
 
)(
Funciones de Green de primer orden
2
1
∇
∇=∇ − )(4
12 rδ
π
=



−∇
r
Para espacios euclidianos:
ng yx
yxyx
−
−
Ω
= 1),( es solución de
)(),( )( yxyx −=∇ ng δ
Inverso de paravectores diferenciales
2
2
2
1 ,
∇−
∂
∂
∇−
∂
∂
=∂∇+
∂
∂=∂ −
t
t
t
Helmholtz:
( )
r
e
k
jkjk
rkj±
− −=
+∇
+∇=−∇
π4
1', ,)( 22
1 xxG
onda esférica (saliente o entrante)
Ecuación de Maxwell
• Multivector de Maxwell F = E + i c B
• paravector corriente J = (ε0c)-1(cρ + j) 
La ecuación de Maxwell se escribe como: 
JF
~
=∂
( ) ( )jBE cic
tc
−=+



 ∇+
∂
∂ ρ
ε 0
11
Electrostática




∇
∇=



∇==∇ − ρ
ε
ρ
ε
ρ
ε 0
2
0
1
0
111 1 EE
Ley de Gauss. Solución usando la función
de Green de primer orden
Explícitamente:
'con ')'(
4
1)( 3
0
xxrrxxE −== ∫ τ
ρ
επ
d
r
Magnetostática
jjBjB 20200
11 
∇
×∇−=∇
∇
==∇ µµµ ii
Ley de Ampère. Solución usando la función
de Green de primer orden:
Explícitamente:
'con ')'(
4
)( 3
0 xxrrxjxB −=×= ∫ τπ
µ d
r
Teorema Fundamental del Cálculo
• Caso Euclidiano:
dX = volumen orientado, p.ej. ê1 ê2 ê3
dS = superficie orientada, p.ej. ê1 ê2 = iê3
F – multivector, ∂V – frontera de V
GGFF ∫ ∫∫ ∫
∂∂
=∇=∇
V VV V
dSdXdSdX &&&& 
Caso general: proyección tangente, )(∇=∂ P
Ejemplo: teorema de Gauss
• dX = d3 x = i dτ , donde dτ = |d3 x| 
• dS = d2 x = i nda , donde da = |d2 x| 
• G = v(r)
daddaiid
V VV V
 ˆ ˆ ∫ ∫∫ ∫
∂∂
⋅=⋅∇=∇ vnvvnv ττ
Teorema de Green (caso Euclidiano)
• donde la función de Green de primer 
orden está dada por:
 
)'(')',(
)(
)(
)'('')',(
)(
)(
1
1
∫
∫
∂
+
+
−−
+∇−=
V
n
V
n
dSg
I
dXg
I
xxx
x
xxx
x
x
F
F)F(
n
n
g
'
'1)',(
xx
xxxx
−
−
Ω
=
Teorema de Cauchy en n dimensiones
• Caso particular: F = f y ∇ f = 0
donde f (x) es un campo multivectorial
monogénico
 
)'('
'
'1
)(
)( 1∫
∂
−
−
−
Ω
−=
V
n
n
n
n
fd
I
f xx
xx
xx
x
x)(
Difracción electromagnética
• Ecuación de Helmholtz de primer orden:
• Principio de Huygens exacto:
para el caso homogéneo J = 0
 
 para ')'(ˆ)'(∫ +=−−=
S
icdaG BExnxxx FF)F(
FJF jk+=∇ ~
Ecuación de Dirac en Cl1,3
• Vector en espacio de Minkoski:
• Cuantización:
( ) 22000 con , pγp −=//⋅−=/ ppppp γ
)( 0 ∇⋅−∂→/ γtjp γh
Propagador – función de Green 1er orden• El propagador representa la amplitud de 
probabilidad condicional
• Transformada de Fourier:
)'()'()( )4( xxxxSmp F −=−−/ δ
)0(lim ,1)( →
+−/
= ε
εjmp
pSF
• Incluyendo campo externo A la ecuación 
de Dirac se escribe como:
• y el propagador:
da origen a la polarización del vacío
)'();'()( )4( xxAxxSmAqp F −=−−/−/ δ
'|1|)',( x
jmAqp
xxxSF ε+−/−/
=
•
• Referencias:
• www.clifford.org
www.mrao.cam.ac.uk/~clifford
• modelingnts.la.asu.edu
•