368-POZOS-DE-OSCILACION-EN-OBRAS-DE-TOMA

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 
UNIDAD ZACATENCO 
“POZOS DE OSCILACIÓN EN OBRAS DE 
TOMA” 
T E S I S 
PARA OBTENER EL TITULO DE: 
I N G E N I E R O C I V I L 
P R E S E N T A: 
S A L D I V A R H E R N Á N D E Z A N T O N I O 
DIRECTOR: M. en C. Ing. Lucio Rosales Ramírez 
México D. F. A 03 de Octubre de 2003
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 
UNIDAD ZACATENCO 
T E S I S 
PARA OBTENER EL TITULO DE: 
I N G E N I E R O C I V I L 
P R E S E N T A: 
S A L D I V A R H E R N Á N D E Z A N T O N I O 
DIRECTOR: M. en C. Ing. Lucio Rosales Ramírez 
Tesis producto del proyecto de investigación: 
COMPROBACIÓN EXPERIMENTAL DE LA VARIACION DE PRESIÓN EN UN POZO 
DE OSCILACIÓN CGPI 200678 
México D. F. A 03 DE OCTUBRE DE 2003
Agradecimientos: 
Antes que otra cosa quiero agradecer de la manera más atenta y preciada al M. en 
C. Ing. Lucio Rosales Ramírez, por su gran labor al frente de este proyecto de tesis; así 
por su desempeño para  lograr esta  tesis, brindándome asesoría  técnica, experimental y 
de su apoyo didáctico y académico, para elaborar cada capitulo. 
Gracias a  su  conocimiento  se hizo posible elaborar este  trabajo de  investigación 
aplicando  su  experiencia  profesional  y  su  amplio  conocimiento  en  el  tema  de 
investigación. 
Por  todo  esto  hoy  obtenido,  le  doy  las  gracias  por  su  atenta  atención  que  me 
brindo para lograr este trabajo de investigación , y que hizo posible lograr la meta final. 
Gracias M. en C. Ing. Lucio Rosales Ramírez 
Agradezco  a  todos  los  Maestro  que  formaron  cada  parte  de  este  conocimiento 
obtenido  durante  mi  carrera  de  estudiante  para  lograr  ser  parte  de  una  sociedad  de 
grandes retos. 
A mi Institución, gracias por darme la oportunidad brindada para lograr conquistar 
un  sueño  hecho  realidad  en  mi  vida  particular,  y  por  ser  parte  de  la  comunidad 
Politécnica, de  la cual me siento orgulloso de pertenecer, así como representarla en  la 
sociedad con mucha honestidad, y pertenecer a la gran familia del Instituto Politécnico 
Nacional que siempre representare con mucho entusiasmo y valor.
Gracias Esia Zacatenco
Dedicatorias: 
Dedico este gran trabajo de investigación a mi querida Madre que siempre estuvo 
conmigo  en  los  momentos  más  difíciles  de  mi  vida,  para  lograr  alcanzar  esta  meta  y 
sentirme orgulloso de ella, por ser parte de ella y de cumplir un sueño hecho realidad con 
tu  deseo  de  que  me  convirtiera  en  un  hijo  con  grandes  logros  y  con  una  educación 
profesional, y por conquistar una meta trazada Diez años atrás, para hacer posible todo 
esto hoy, siempre y mañana. 
Gracias  Madre  por  estar  conmigo  y  por  darme  esta  vida  tan  grande,  que  sin  ti 
nunca hubiera logrado esto, de la cual me siento orgulloso de que tu seas mi Madre y de 
compartir este momento imborrable de nuestras memorias. 
Gracias por contar contigo desde el primer día que me viste nacer y cuidar de mi 
cuando era un niño, por darme grandes ideales para triunfar, por sembrar una semilla de 
triunfo en mi ser, por tu corazón aunque estuvo lejos de mi, pero siempre estuvo conmigo 
en los momentos más difíciles de mi vida, de los cueles supere gracias a  la experiencia 
obtenida a lo largo de mi vida. 
Gracias Sra. Marielena Hernández Álvarez, Gracias Mama. 
Gracias a mi Abuela Celia que me cuido mucho cuando era un niño, ella estuvo 
conmigo en los momentos  iniciales de mi vida, cuando llegue a este mundo por primera 
vez,  gracias  Abuela  por  cuidarme  cuando  era  un  pequeño,  este  es  un  gran  logro,  te 
dedico este trabajo, por todo tu esfuerzo y cuidado que me diste, gracias Abuela. 
También  dedico  este  trabajo  a  todos  mis  amigos  que  siempre  me  tendieron  la 
mano  cuando  más  necesite  de  ellos,  brindándome  su  ayuda,  apoyo  incondicional,  su 
confianza y todos esos consejos que alguna vez me dieron para llegar a ser una persona 
de  bien,  en  especial  a  un  amigo  que me  tendió  la  mano,  y  toda  su  confianza  cuando 
llegue por primera vez a esta cuidad y que ahora se encuentra muy  lejos de aquí, pero 
que  desde el cielo esta observando este gran triunfo logrado. 
Gracias a todos mis amigos. 
Gracias Sr. Jesús Antúnez Quebrado
1.­ INTRODUCCIÓN A LAS OBRAS DE TOMA. 
1.0 INTRODUCCIÓN A LAS OBRAS DE TOMA. 
1.1 LAS OBRAS DE TOMA MÁS EMPLEADAS. 
1.2 OBRA DE TOMA EMPLEANDO TUBERÍAS A PRESIÓN. 
1.3 OBRA DE TOMA CON TORRE Y GALERÍA. 
1.4 OBRA DE TOMA EMPLEANDO GALERÍA Y LUMBRERA. 
1.5 GALERÍA QUE ALOJE A UNA TUBERÍA A PRESIÓN. 
1.6 TÚNEL TRABAJANDO  A PRESIÓN. 
1.7 OBRA DE TOMA ALOJADA EN UNA CORTINA DE SECCIÓN GRAVEDAD. 
1.8 GENERALIDADES RESPECTO A LAS REJILLAS 
1.9 OBRA LIMITADORA 
1.10 OBRAS DE TOMA EN TÚNELES. 
1.11 OBRAS DE TOMA (TIPO CÁUCASO) 
2.­ OBJETIVO DE LAS OBRAS DE TOMA 
2.0 OBJETIVO DE LAS OBRAS DE TOMA 
3.­ ELEMENTOS DE LAS OBRAS DE TOMA 
3.0 ELEMENTOS DE LAS OBRAS DE TOMA. 
3.1 ESTRUCTURA DE ENTRADA. 
3.2 CONDUCTOS. 
3.3 MECANISMOS DE REGULACIÓN. 
3.4  EMERGENCIA  CON  EQUIPO  DE OPERACIÓN  Y  DISPOSITIVOS  PARA  DISIPACIÓN  DE 
ENERGÍA. 
4.­ COMPONENTES DE LAS OBRAS DE TOMA 
4.0 COMPONENTES DE LAS OBRAS DE TOMA 
5.­ FENÓMENO DEL GOLPE DE ARIETE EN UNA TUBERÍA A 
PRESIÓN 
5.0 FENÓMENO DEL GOLPE DE ARIETE EN UNA TUBERÍA A PRESIÓN. 
5.1 TEORÍA DE LA COLUMNA RÍGIDA 
5.2 TEORÍA DE LA COLUMNA ELÁSTICA 
5.3 ECUACIONES DIFERENCIALES DEL GOLPE DE ARIETE 
5.3.1  INTERPRETACIÓN  FÍSICA  DE  LAS  ECUACIONES  INTEGRALES  DEL  GOLPE  DE 
ARIETE 
5.3.2 ECUACIONES GENERALES DE ALLIEVI 
5.3.3 DESARROLLO EN CADENAS DE ALLIEVI 
5.3.4 LEYES PARA MANIOBRAR DE CIERRE Y DE APERTURA 
5.3.4.1 LEY PARA UNA MANIOBRA DE CIERRE UNIFORME O LINEAL 
5.3.4.2 LEY PARA UNA MANIOBRA DE APERTURA UNIFORME O LINEAL 
5.3.4.3 LEYES PARA MANIOBRAS DE CIERRE O APERTURA NO UNIFORMES 
5.3.5 CELERIDAD  DE  ONDA 
Tabla 1 valores del módulo de elasticidad et para algunos materiales. 
Tabla  2  valores  comúnmente  usados  del  modulo  de  elasticidad  volumétrico  ev  y  de  la 
densidad ρ para algunos líquidos. 
Tabla 3 valores del modulo de elasticidad er y relación de poisson µr, para algunas rocas. 
5.4  GOLPE DE ARIETE EN EL ÓRGANO DE CONTROL
5.4.1 GOLPE DE ARIETE PARA MANIOBRAS RÁPIDAS 
5.4.2 GOLPE DE ARIETE EN MANIOBRAS LENTAS 
5.50 CARTAS DE ALLIEVI PARA MANIOBRAS DE CIERRE O APERTURA UNIFORME. 
6.­ POZOS DE OSCILACIÓN EN OBRAS DE TOMA 
6.0 ECUACIONES DEL POZO DE OSCILACIÓN 
6.1 ECUACIÓN DINÁMICA DEL POZO DE OSCILACIÓN 
6.1.2 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD 
6.1.3 SOLUCIÓN TEÓRICA DE LAS ECUACIONES DEL POZO DE OSCILACIÓN 
6.1.4 ESTABILIDAD DEL POZO DE OSCILACIÓN 
6.1.5 TIPOS DE INSTALACIÓN 
6.1.6 CONDICIONES PARA UN BUEN DISEÑO 
6.1.7 ESTABILIDAD DEL POZO DE OSCILACIÓN 
6.2 SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LAS ECUACIONES DEL POZO DE OSCILACIÓN 
6.2.1 MÉTODO NUMÉRICO DE SCIMEMI PARA RESOLVER LAS ECUACIONES DEL POZO DE 
OSCILACIÓN 
6.3 FÓRMULAS PARA CALCULAR LAS OSCILACIONES EXTREMAS EN POZOS 
6.3.1 FÓRMULAS DE FORCHHEIMER 
6.3.2 FORMULAS DE BRAUN. 
7.­ DISPOSITIVOS DE ALIVIO 
7.0 DISPOSITIVOS DE ALIVIO 
7.1 DESCRIPCIÓN DE VÁLVULAS 
7.1.2 VÁLVULAS DE NO RETORNO 
7.1.3 VÁLVULAS DE SEGURIDAD 
7.1.4 VÁLVULAS ALIVIADORAS DE PRESIÓNO SUPRESORAS DEOSCILACIÓN. 
7.1.5 VÁLVULAS REGULADORAS DE PRESIÓN. 
7.1.6 VÁLVULAS DE ADMISIÓNDE AIRE. 
7.1.7 INSTALACIÓN ADECUADA DE VÁLVULAS. 
7.2 MÉTODO PARA LA SELECCIÓN DE VÁLVULAS DE SEGURIDAD 
7.2.1 VÁLVULAS ENCONDUCTOS PORGRAVEDAD 
7.3 TANQUES DE OSCILACIÓN 
7.3.1 DESCRIPCIÓNDE LOSTANQUES DEOSCILACIÓN 
7.3.2 TIPOS PRINCIPALES DETANQUES DEOSCILACIÓN. 
7.3.3 REQUISITOS PARA LA OPERACIÓNCORRECTA DE UN TANQUE DEOSCILACIÓN. 
7.4  ECUACIONES  DIFERENCIALES  PARA  SISTEMAS  HIDRÁULICOS  CON  TANQUES  DE 
OSCILACIÓN 
7.4.1 ECUACIÓNDINÁMICA 
7.4.2 ECUACIÓNDE CONTINUIDADDEL SISTEMA 
7.4.3 SISTEMAS SIN FRICCIÓN 
7.5 CARTAS PARA DETERMINAR CARGAS EXTREMAS. 
7.6 CONDICIONES DE FRONTERAPARA TANQUES DE OSCILACIÓN. 
7.61 TANQUE DEOSCILACIÓN SITUADO ENCUALQUIER SECCIÓNDEL CONDUCTO. 
8.­ CONCLUSIONES 
8.0 CONCLUSIONES 
8.1 BIBLIOGRAFÍA
1.­ INTRODUCCIÓN A LAS 
OBRAS DE TOMA
1.0 INTRODUCCIÓN A LAS OBRAS DE TOMA 
Una  obra  de  toma  es  la  estructura  que  sirve  para  controlar  los  gastos  de 
extracción, existiendo numerosos diseños que dependen de las condiciones topográficas, 
geológicas, del tipo de cortina, magnitud del gasto de extracción, uso e usos a los que se 
destina  el  agua,  además  de  tener  en  cuenta  si  el  túnel  de  la  obra  de  desvío  puede 
aprovecharse para la obra de toma. 
También  se define  como   una  estructura de  toma  necesaria  a  la  entrada de un 
conducto, a través de la cual el agua va a extraerse de un rió o de un vaso, a no ser que 
esta entrada sea construida como una parte  integral de una cortina o de otra estructura. 
Las  estructuras  de  toma  varían  desde  un  simple  bloque  de  concreto  apoyado  en  el 
extremo  final  de  una  tubería  hasta  las  torres  de  toma  de  concreto  de  un  diseño  muy 
elaborado que dependen de las características del vaso, de las condiciones climáticas, de 
las exigencias sobre la capacidad de almacenamiento y de otros factores. 
La  función  primaria  de  la  estructura de  toma,  es  permitir  la  extracción  del  agua 
desde  el  vaso  con  la  variación  o  amplitud  de  niveles  de  embalse  en  el  mismo, 
determinada con anterioridad y para proteger el conducto de los daños o taponamientos 
que pueden producirle el hielo, las basuras, el oleaje y las corrientes. 
Las torres de toma con frecuencia se utilizan en donde hay, o donde se tiene una 
amplia  fluctuación  o  variación  de  niveles  en  el  agua.  Estas  torres,  ordinariamente,  se 
ponen con conductos de acceso o  lumbreras a diversos niveles que pueden ayudar a  la 
regulación del escurrimiento y para permitir cierta selección sobre la calidad del agua que 
va a extraerse. Si los accesos quedan sumergidos en todos los niveles, es poco probable 
que se tengan dificultades por el hielo y basuras flotantes. 
Pueden hacerse necesario colocar los orificios inferiores o más bajos de acceso a 
distancia suficientes arriba del fondo del vaso para que él azolve no entre a la toma. 
Una torre de toma bajo del agua, consiste de un cascaron de concreto  lleno con 
agua al nivel del vaso y que tiene un tiro o pozo vertical interno conectado al conducto de 
extracción. 
Una torre de toma sin agua no tiene agua en el interior de ella al cerrarse, ya que 
sus orificios de entrada están directamente conectados al conducto de extracción. Cada 
orificio  de  entrada  lleva  una  compuerta  o  válvula.  Cuando  los  orificios  de  entrada  se 
cierran, las torres sin agua quedan sujetas a fuerzas de flotación y, por lo tanto, deben ser 
de un tipo de construcción más pesado que las torres sumergidas.
Una ventaja de  la segunda  torre de  toma es de que el agua puede extraerse de 
cualquier nivel  seleccionado en el  vaso.  Las  torres de  toma deben  localizarse en  forma 
que no interfieran con la navegación y deben diseñarse para resistir la presión hidrostática 
y fuerzas por sismo, viento, oleaje y hielo. 
Una  toma  totalmente  sumergida consiste en un en guacal  rellenado con  rocas o 
piedras  o  de  un  bloque  de  concreto,  que  se  apoya  en  el  extremo  del  conducto  de 
extracción. 
1.1 LAS OBRAS DE TOMA MÁS EMPLEADAS SON LAS SIGUIENTES: 
1.2 Obra de toma empleando tuberías a presión 
En la siguiente figura 1, se muestra el tipo de obra de toma empleando tuberías a 
presión. 
figura 1.­ Obra de toma con tuberías a presión 
Caseta de Operación 
Escala de Gastos 
Estructura Disipadora 
Pantalla 
Válvulas de 
mariposa 
Cortina 
Tubería de Acero 
Canal de 
Acceso 
Rejilla
Dentellones de concreto 
Reforzado 
Concreto Simple 
Tubo de Fierro 
Elev. 
Elev. 
Rejilla Elev. 
Junta Impermeabilizada A 
B 
A 
B 
+­ 500 
200 20 20 
100 
360 
d= s= 
50 
E
st
 0
+0
 
E
st
 0
+0
0
0
 
Eje de la Cortina 
Est 0+500 de la cortina 
Est 0+0 de la obra de toma 
400 
Vars. de 0.95 ( 3 8 ")Ø @30 
en ambas direcciones Flangers de fierro 
soldados al tubo 
Tubo de Fierro 
Concreto Simple 
Elev. 
Clave Tubería, elev. 
Banqueta Control 
Acceso Elev. 
Aristas 
Redondas 
Elev. 
Rejilla 
Elev. 
30 30 
170 
100 
100 
20 
30 
15 
15 
1.3 Obra de toma con torre y galería 
En  la figura 2, se presenta el tipo de Obra de Toma con galería que aloja a una 
tubería a presión. 
Figura 2.­ Obra de toma con torre y Galería 
Detalle de la obra de toma con torre y Galería Estructura de Entrada (Perfil) 
Figura 3.­ Detalle estructural de la entrada (Perfil)
Vars. de 0.95 ( 3 8 ")Ø @30 
en ambas direcciones 
Vars. de 0.95 ( 3 8 ")Ø @30 
en ambas direcciones 
Rejilla para protección 
de la válvula 
Vars. de 0.95 ( 3 8 ")Ø @30 
en ambas direcciones 
Elev. 
Elev. 
Nivel del agua Elev. 
Elev. 
d = 
S = 
(para Q normal) 
Elev. 
Concreto Simple 
Carrete 
Junta auxiliar para posibles 
reparaciones en la válvula 
Desague 
Válvula de Compuerta deslizante 
de Shockhan G­12 ó semejante 
300 20 200 20 
100 
50 
40 
30 
100 65 
40 
10 
Detalle de estructura de entrada (Perfil) 
Figura 4.­ Detalle de la estructura de entrada (Perfil) 
Al principio de la tubería dentro de la galería se coloca la válvula de emergencia y 
en el extremo aguas debajo de la cortina, en la caseta de operación, la válvula de servicio 
con la ventaja de que es posible hacer cualquier reparación a lo largo de la tubería. 
Figura 5.­ Detalle de la Caja de Válvulas 
V A L V U L A D E E M E R G E N C IA ( m a r i p o s a ) 
B Y ­P A S S ( I ) 
V A L V U L A D E S E R V IC IO ( m a r i p o s a ) 
C O L A D E R A 
F I L T R O 
A SF Á L T IC O 
T A N Q U E 
A M O R T I G U A D O R 
B A N Q U E T A 
C O M P U E R T A 
M I L L E R (2 ) 
V IG U E T A 
( 3 ) V Á L V U L A D E A I R E 
V Á L V U L A D E N I V E L
1.4 Obra de toma empleando Galería y lumbrera. 
De  acuerdo  con  la  siguiente  figura  6,  se  describen  las  distintas  estructuras; 
siguiendo el sentido de la corriente, este tipo de toma está formada por: 
a) Canal de acceso.­ Para encauzar el agua a la rejilla. 
b) Rejilla.­ Colocada sobre  la estructura de entrada con el objeto de impedir el paso de 
cuerpos flotantes a través de la toma. 
c) Estructura de Entrada.­ Es el  “codo” por el cual pasa el agua de  la  rejilla al  túnel o 
conducto.  La  compuerta que se  coloca por  fuera de  la  estructura de entrada,  se utiliza 
para hacer pasar el agua directamente al túnel o conducto, sin que  llegue a alcanzar el 
nivel del umbral de la rejilla, cuando la estructura de toma se utiliza como obra de desvío 
durante la etapa de construcción de la presa. 
d) Túnel o Conducto.­ Ya descritos en el tipo de toma anterior. 
e) Lumbrera.­ La función de la lumbrera es semejante a la de la torre, del tipo anterior de 
obra de toma, es decir, sirve para colocar en ella las compuertas de servicio y emergencia 
y en  la caseta de operación que va sobre  la  lumbrera se colocan  los mecanismos para 
operar  las compuertas. La diferencia con la torre es que la  lumbreraza excavada en una 
de las laderas de la boquilla y localizada lo más cerca de la corona de la cortina o con fácil 
acceso con lo cual se evita el puente. 
Figura 6.­ Obra de toma empleando Galería y lumbrera. 
Túnel o Conducto 
Canal de 
acceso 
Transiciones 
Lumbrera 
Rejilla 
Estructura de Entrada
1.5 Galería que aloje a una tubería a presión. 
Como se  ve en  la  siguiente  figura 7, este  tipo de Obra de Toma consta de una 
rejilla  adosada  al  cuerpo  de  la  cortina  que  conecta  con  la  tubería  de  acero,  la  cual 
conduce al agua a la caseta de operación, donde es controlada por medio de válvulas de 
mariposa.  La  descarga  al  canal  de  conducción  se  lleva  a  cabo  por  medio  de  una 
estructura amortiguadora a base de un  tanque de  repososcon su pantalla  y escala  de 
gastos. 
Figura 7.­ Galería que aloja una tubería a presión. 
Tanque Amortiguador Rejilla 
Conducto 
Mecanismos
TAPON DE CONCRETO TUNEL 
VÁLVULA TIPO MARIPOSA 
DE EMERGENCIA 
VÁLVULA DE CHORRO 
DIVERGENTE DE SERVICIO 
CASETA DE 
OPERACIÓN REJILLAS 
CORTINA 
N. A. M. E. 
N. A. M. E. 
1.6.­ TÚNEL TRABAJANDO A PRESIÓN. 
En  la  Figura  8,  la Obra  de  Toma  está  formada de  un  túnel que  en un principio 
sirvió como Obra de Desvío, el primer tramo del túnel trabaja a presión y en el otro tramo 
se aloja (dentro del túnel) la tubería a presión. 
Figura 8.­ Obra de toma con túnel y tubería a presión 
Puesto que como Obra de Desvío la elevación de la entrada coincide con la parte 
baja del cauce, se hace necesario para la Obra de Toma sobreelevarla, a fin de salvar el 
volumen correspondiente de azolve. 
Cualquiera que sea el  tipo de Obra de Toma en  las que  intervienen válvulas, en 
términos  generales  para  gastos  pequeños  se  utilizan  válvulas  de  compuertas  y  para 
gastos mayores las válvulas de mariposa.
COR TINA 
COR ONA 
N. A. M . E. 
ESTRUCT UR A DE R EJILLAS 
1.7Obra de Toma alojada en una cortina de sección gravedad. 
En la siguiente figura 9, se muestra el tipo de obra de toma empleando una 
tubería a presión en una cortina de tipo rígido (cortina tipo gravedad). 
Figura 9.­ Obra de toma alojada en una cortina de sección de gravedad 
1.8Generalidades respecto a las rejillas 
El diseño estructural se hace considerando que la rejilla está totalmente tapada, la 
carga de agua se considera que varíe de 6 a 12 metros, es decir, si la carga es menor de 
6 m, de todas maneras se toman 6 metros y si es mayor de 12m se tome como máximo 
12m; por la razón de que al hacer el diseño estructural, los espesores que se encuentren 
en la rejilla resulten de dimensiones razonables, la separación máxima de las soleras de 
las  rejillas no debe ser mayor de 15 cm. La  rejilla se calcula para fatiga de  ruptura y el 
marco para  la  fatiga de trabajo, buscando que en   caso de falla sea primero  la  rejilla  la 
que falle antes que el marco.
1.9Obra Limitadora 
El diseño hidráulico de la obra de toma de una presa de almacenamiento se hace 
para que se tenga la capacidad suficiente para extraer el gasto normal o gasto necesario 
según  la  finalidad  a  la  que  se  destine  el  agua,  para  un  almacenamiento mínimo  en  el 
vaso; aunque los gastos se controlan por medio de compuertas o válvulas puede suceder 
en el caso más desfavorable que las compuertas o válvulas estén totalmente abiertas y la 
presa esté llena. 
Para esté último caso naturalmente que el gasto de extracción es mayor que el 
gasto necesario,  el  canal de  conducción  se diseña para el  gasto necesario  puesto  que 
sería  antieconómico  calcularlo  para  el  gasto  máximo  que  pueda  salir  por  la  Obra  de 
Toma, en tal virtud se hace necesario diseñar una obra de seguridad para el propio canal 
que se  llama OBRA LIMITADORA, se  le da este nombre por que precisamente  limita el 
gasto de tal manera que solo escurra por el canal el gasto necesario y al gasto excedente 
se le de salida hacia el cauce del río, para lo cual se puede utilizar un vertedor situado en 
una de las paredes del canal o un sifón. 
Al funcionar la obra limitadora el gasto excedente tendrá el valor: Q e = Q máx  – Q normal. La 
obra limitadora se procura localizarla cerca de la cortina con objeto de que el primer tramo 
del  canal  de  conducción  (antes  de  la  obra  limitadora)  que  tendrá  la  capacidad  para  el 
gasto máximo, tenga menor longitud, (ver figura 10). 
Figura 10.­ Obra Limitadora (en planta) 
R ío 
T a lud 
C o ro n a d e la Co rt in a 
O b ra d e T o m a 
E st ru c . e n t rada 
T ún e l 
E st ru c . sal ida 
O br a d e T o m a 
O bra 
L IM IT A D O R A 
C an a l d e C o nd uc c ió n 
(Q n o rm al) 
E s t ru c t u ra V e rt e do ra 
C an a l d e c o n ducc ió n 
(Q m áx ) 
C an a l d e d e sc arga 
V e r t e do r 
C an a l d e A c c e so 
A 
A
1.10 Obras de toma en túneles. 
Las obras de toma a través de túneles en las laderas constituyen quizá el tipo de 
toma  más  conveniente  para  presas  con  cortinas  de  tierra  y  enrocamiento  o  arcos 
delgados, cuando se deben descargar gastos de cierta consideración. 
En  realidad  se  pueden  combinar  con  todos  los  tipos,  cuando  las  laderas  están 
formadas  de  roca  sana,  y  permiten  diseños  muy  económicos,  sobre  todo  cuando  las 
descargas se localizan a lo largo de los túneles de desvió. 
Los mecanismos de emergencia se pueden colocar en estructuras a  la entrada o 
en  cámaras  relativamente  cercanas  a  la  entrada,  con  el  fin  de disminuir  la  longitud  de 
túnel  sometido  a  presión  interna.  La  descarga  hacia  aguas  debajo  de  las  compuertas 
puede ser a canal abierto, pero en caso de que la sección hidráulica para el conducto sea 
menor  que  la  del  túnel,  se  instalaran  tuberías  dentro  del  conducto,  con  válvulas  de 
regulación en el extremo de aguas abajo. 
Cuando  se  diseñen  descargas  libres  aguas  debajo  de  las  compuertas  se  debe 
prever  una  buena  ventilación  del  túnel,  ya  sea  dejando  un  espacio  libre  entre  el  nivel 
máximo del agua y la clave de conducto o por medio de tuberías de ventilación colocadas 
en el exterior. 
El  acceso  a  la  zona  de  compuertas  o  válvulas  se  puede  hacer  por  medio  de  tiros 
verticales hasta la superficie del terreno. 
En el  caso  de  tuberías  aguas  abajo  de  la  zona  de  válvulas  la  sección del  túnel 
deben  ser  suficiente  para  permitir  las  operaciones  ce  construcción,  inspección  y 
reparaciones, con unas dimensiones adecuadas de equipo. 
Se dotara a la tubería de anillos atiesadores, soportes y juntas de expansión, para 
garantizar un buen comportamiento, así como machones de anclaje en caso de dirección. 
Aun  cuando  los  túneles  pueden  ser  revestidos  o  no,  de  acuerdo  con  las 
condiciones  de  la  roca  que  atraviesen,  es  conveniente  que  sean  revestidos  en  su 
totalidad,  incluyendo  la  zona  de  tuberías  o  descargas  libres.  Dicho  revestimiento  se 
deberá  reforzar  de  acuerdo  con  las  probables  condiciones  de  carga  a  la  que  estará 
sometido de manera que se eviten agrietamientos que pueden ser nocivos, principalmente 
en la parte de aguas arriba de la zona de compuertas o válvulas. 
Todas  las grietas o fisuras en  la  roca exterior de  la sección del  revestimiento se 
deberá  inyectar  en  forma  adecuada a  fin  de garantizar  el  trabajo  solidario  entre  roca  y 
revestimiento.
Por otra parte, podrán ser necesarios o no dispositivos de disipación de energía, 
en  el  extremo  de  aguas  abajo,  de  acuerdo  con  las  características  del  sitio  o  las 
condiciones particulares de la descarga. 
Ejemplo: 
Obra de toma de la presa Presidente López Mateos Sinaloa. Localizada sobre  la 
margen derecha, aprovechando uno de los túneles de desviación. 
Consta  de  estructuras  de  rejillas  y  dos  compuertas  de  control,  tipo  rodante  de 
2.80m*7.50m  a  la  entrada  de  un  túnel  de  7.00m  de  diámetro  revestido  de  concreto 
reforzado. En la estación 0+508.7.3, casi coincidiendo con el eje de la cortina, se coloco 
un tapón de concreto que sirve de anclaje a una tubería de presión de 4.70mde diámetro 
cuyo  extremo  inferior  se  ramifica  en  tres  tramos;  en  cada  uno  de  ellos  se  instalo  una 
válvula  tipo  mariposa  de  3.15m  de  diámetro  y  una  válvula  de  servicio  tipo  chorro 
divergente de 2.50m de diámetro. 
Las  tres válvulas de chorro divergente descargan en una cámara para disipación 
de energía, con descarga directa al rió, para su aprovechamiento posterior en riego.
1.11 Obras De Toma (Tipo Cáucaso) 
Numerosas  cuencas  de  la  región  se  encuentran  en  proceso  de  erosión,  esta 
situación  tiene  como  consecuencia  la  sobrecarga  de  sedimentos  sobre  los  cursosnaturales  (ríos  y  quebradas),  en  un  medio  de  permanente  transformación,  donde  las 
condiciones de equilibrio o régimen no han sido alcanzadas. 
El  régimen  de  escurrimiento  superficial  se  manifiesta  por  marcadas  épocas  de 
crecidas  y  sequías.  En  las  épocas  de  crecidas  se  presentan  caudales  importantes, 
desarrollándose  los  mayores  procesos  geomorfológicos,  principalmente  erosión, 
transporte de sedimentos y sedimentación. En época de estiaje o de sequía,  los cursos 
naturales transportan caudales superficiales en muchos casos insignificantes. 
En  razón a  las condicionales aluviales de  la solera,  los caudales superficiales se 
manifiestan en mínima cantidad en unos casos y en otros prácticamente no existen. Sin 
embargo se comprueba que en el medio poroso que constituye  la solera se desarrollan 
escurrimientos que podrían justificar su aprovechamiento. 
Bajo las anteriores consideraciones, se desarrolló en la ex Unión Soviética un tipo 
especial  de  obra  de  toma,  denominada  por  Samarín  como  Obra  de  Tipo  Cáucaso, 
apropiada para cursos de agua anchos, relativamente llanos y con flujo sub­superficial. 
Consiste en una cámara de captación con rejillas en la parte superior, ranuras en 
el muro aguas arriba y la base de la cámara; en estos últimos sectores el sistema cuenta 
además con un filtro. 
Figura 11.­ Captación por medio de una obra de toma tipo Cáucaso
La cámara  recibe  las aguas tanto superficiales como sub­superficiales ampliando 
el horizonte de captación, lo cual puede ser considerado en aducciones de agua potable y 
en algunos casos en sistemas hidroeléctricos, riego, etc. 
Entre  las  ventajas que además ofrece este  sistema se puede mencionar que no 
altera  en  mayor  grado  las  condiciones  naturales  de  escurrimiento  por  cuanto  el  límite 
físico  superior puede coincidir  con el nivel  de  la  solera. Este aspecto  reviste  verdadera 
importancia  en  el  aprovechamiento  de  recursos  hídricos  de  cursos  aluviales  en 
desequilibrio. Estos  cursos de  agua presentan  enormes  dificultades  en  la  aplicación de 
obras de toma superficiales, por cuanto deben diseñarse obras de limpieza de sedimentos 
que  muchas  veces  requieren  dimensiones  importantes  y  sistemas  de  regulación 
(compuertas) que pueden elevar el costo de las obras. 
Así mismo es una ventaja las diferentes posibilidades que ofrece la disposición de 
la  cámara,  la  misma  que  no  necesariamente  debe  cubrir  todo  el  ancho  del  curso,  el 
ángulo del eje de la cámara respecto de la dirección de la corriente no se constituye en un 
factor determinante. 
Este  sistema  es  sensible  al  movimiento  de  sedimentos,  al  igual  que  la  obra  de 
toma tipo Tirol en cuanto a  la toma superficial,  la única posibilidad de control es  la rejilla 
que limita el ingreso de material; la cámara receptora y el conducto de aducción deberán 
considerar las posibilidades de evacuación del material que logre ingresar al sistema. 
En  cuanto  a  la  toma  sub­superficial,  la  bibliografía  especializada  no  abunda  en 
mayores detalles para el diseño. El escurrimiento hacia  la captación sigue un desarrollo 
de flujo en medios porosos, sin embargo las leyes que gobiernan el movimiento del agua 
no  serán  las mismas  que  las  que  rigen  el  flujo  en medios  porosos  de  grano  fino o  de 
Darcy.    En  el  caso  de  la  toma  cáucaso  el  medio  poroso  es  de  grano  grueso  y  los 
intersticios son de mayor magnitud. 
Dependiendo  de  las  características  particulares  del  curso  de  agua,  deberá 
preverse la limpieza del material que logre ingresar a la cámara de captación, esta podrá 
ser  realizada  en  forma  automática  en  algunos  casos  y  en  forma  manual  en  otros.  El 
material grueso quedará retenido en la rejilla, principalmente en época de crecidas, por lo 
tanto deberá considerarse situaciones de reducción de la sección efectiva a consecuencia 
de  la  obstrucción;  será  razonable  considerar  obstrucciones  hasta  del  50%,  y  en  casos 
extremos hasta 80%. Esta misma condición puede imponerse a la toma sub­superficial. 
Se han realizado investigaciones respecto a este tipo de toma, planteando al autor 
una modificación  al  modelo  original  de  la  toma  Cáucaso,  a  saber:  lograr  la  toma  sub­ 
superficial  por medio  de  una  rejilla  subterránea  que  permita el  ingreso  a  la  cámara  en 
condiciones más favorables.
Figura 12 .­ Obra de toma Cáucaso modificado 
Por lo que los resultados tienen plena validez, siempre y cuando el diseño cumpla 
las condiciones límites aplicados en el modelo.
2.­ OBJETIVOS DE LAS 
OBRAS DE TOMA
2.0 OBJETIVO DE LAS OBRAS DE TOMA 
Las obras de toma en presas son pasajes o conductos a través de los cuales se 
extrae agua, de acuerdo con una ley de terminada. Forman un conjunto de estructuras y 
sus  auxiliares  que  permiten  condiciones  satisfactorias  de  flujo,  eficiente  control  y 
regulación de las extracciones en cualquier circunstancia. 
a)  El  diseño de una  obra de  toma  varia mucho  de acuerdo  con  las  condiciones 
geológicas  y  topográficas,  los  tipos  y  dimensiones  de  las  cortinas,  así  como  las 
variaciones de gasto por extraer. 
b)  Para  esta  ultima  condición  puede  ser  suficiente  una  obra  de  toma;  pero  en 
grandes ríos o en grandes presas se puede requerir varias tomas, o bien una toma con 
varios pasajes o conductos. 
c)  Extracciones  de  agua  de  las  presas  se  pueden  requerir  para  irrigación, 
abastecimiento  de  poblaciones,  producción  de  fuerza  motriz,  conservación  de  niveles 
bajos en caso de control de avenidas, satisfacción de servidumbre y, en algunos casos 
navegación fluvial. 
d) Los valores concretos de los gastos y sus variaciones se determinan por medio 
de los estudios hidrológicos correspondientes. Por ejemplo, la capacidad de una obra de 
toma y su funcionamiento estará condicionada por la ley de extracciones, de acuerdo con 
el uso e usos a que se destine. La  ley de extracción es un dato previo al  diseño de  la 
toma. 
e) Los conductos de las obras de toma se pueden localizar a través de las cortinas 
de concreto, dentro de trincheras sobre roca sólida, en cimentaciones de cortinas de tierra 
y enrocamiento, o en túneles localizados en los márgenes del rió, en casos de cortinas de 
concreto, de tierra y enrocamiento. 
f) Con frecuencia se planea la construcción de túneles de desvió para presas con 
cortinas de concreto en arco delgado y para casi todos los tipos de tierra y enrocamiento, 
los que, una vez cumplida la función del desvió, se aprovechan para localizar en ellos las 
obras de toma. 
g) Los conductos de las obras de toma en presas pueden descargar directamente 
al rió a los sistemas de conducción, previa la disipación de la energía cinética del agua.
h)  Independientemente  del  tipo  de  obra  de  toma  para  los  fines  de  un 
funcionamiento  correcto  desde  el  punto  de  vista  hidráulico  hay  necesidad  de  fijar  un 
almacenamiento mínimo en el vaso (N.M.O.) para que con el se haga el diseño de la obra 
de toma y por lo tanto se conozcan las dimensiones de las tuberías, válvulas, compuertas, 
galerías, etc. 
i) Cuando la carga de agua aumenta en el vaso se debe maniobrar las válvulas o 
compuertas a fin de que solo se extraiga el gasto necesario, el gasto máximo que pueda 
salir  por  la  obra de  toma,  será  cuando  la  presa esté  llena  y  las  compuertas  totalmente 
abiertas. 
j) El nivel mínimo de operación es igual a la capacidad de azolves más el 10% de 
la capacidad útil. La elevación de la entrada de la obra de toma debe ser tal que se libre el 
volumen de azolve; conociendo esta elevación después de haber calculado el volumen, 
para un determinado número de años, con éste valor y con ayuda de la Curva de áreas y 
capacidades  tenemos  la  elevación  correspondiente.  Algunas  veces  la  elevación  del 
umbral de la Obra de Toma la fija la elevación delinicio del canal principal.
3­ ELEMENTOS EN LAS 
OBRAS DE TOMA
3.0 ELEMENTOS DE LAS OBRAS DE TOMA. 
3.1 Estructura de entrada. 
La estructura de  entrada puede  consistir  en  un desarenador,  rejillas  y  orificios. 
Con frecuencia en  la estructura de entrada se  instalan compuertas de emergencia o de 
control con el objeto de desaguar los conductos en caso necesario. 
3.2 Conductos. 
Los conductos en las obras de toma pueden ser túneles y /o tuberías, en donde 
trabajan a presión y los túneles también a presión o como canales abiertos. A lo largo de 
los conductos se construyen transiciones, cuando se requieren cambios en el tamaño o la 
forma de las secciones rectas; en algunas ocasiones será necesario construir un canal de 
acceso o llamada, con el fin de orientar el flujo de agua desde el vaso hasta el sitio de la 
toma. 
Algunos túneles pueden trabajar a presión desde  la entrada hasta  la estructura 
de compuertas, y desde allí como canal abierto hasta el extremo de aguas abajo. A partir 
de este punto el túnel trabaja como canal abierto hasta la salida, donde existe un tanque 
disipador de energía 
3.3 Mecanismos de regulación. 
Los mecanismos de regulación y emergencia consisten en válvulas o compuertas 
que  se  diseñan  para  la  carga  máxima  y  se  construyen  para  ciertas  condiciones  de 
operación.  Las  de  emergencia  se  instalan  aguas  arriba  de  los  de  regulación  y  se 
conservan abiertas, excepto cuando se requieren maniobras de inspección, reparación o 
mantenimiento. 
Los mecanismos de  regulación se operan para extraer  los gastos necesarios, y 
consisten  en  válvulas  o  compuertas  que  pueden  operar  aberturas  parciales  o  en  su 
totalidad. 
Con  frecuencia  es  conveniente  proveer  una  ventilación  adecuada  en  aquellos 
sitios  en  que  se  puedan  presentar  presiones  sub­atmosféricas  o  sea  necesario  dejar 
escapar aire comprimido, principalmente donde las válvulas o compuertas vayan a operar 
bajo grandes cargas.
3.4 Emergencia  con equipo de operación  y  dispositivos para  disipación de 
energía.
Los mecanismos de emergencia se  instalan en el paramento mojado de cortinas 
de  concreto  o  a  la  entrada  de  los  conductos  en  cámaras  especiales  desde  donde  se 
operan;  los  de  regulación  se  pueden  instalar  inmediatamente  aguas  abajo  de  las  de 
emergencia o en el extremo inferior de los conductos, de acuerdo con las circunstancias 
particulares de cada caso. 
En  otras  ocasiones  el  agua  se  conduce  por  túneles  a  presión desde  la  entrada 
hasta el sitio donde inicia una tubería dotada de válvulas de emergencia, y  la tubería sé 
continua hasta  la salida, donde se coloca una válvula de regulación o servicio con algún 
dispositivo para disipación de energía. 
De ahí sigue  la  tubería a presión, en cuyo extremo hay  instalada una válvula de 
chorro  hueco  que  descarga  en  un  estanque  disipador  de  energía  dotado  de  cilindros 
sólidos horizontales para impacto. 
Todos  los  elementos  de  la  obra  de  toma  se  deben  planear  para  satisfacer  las 
condiciones  particulares  del  sitio  determinado.  Las  elevaciones,  las  pendientes  y  los 
alineamientos  los  determinaran  las  cargas  de  operación,  la  capacidad  requerida,  la 
localización y la elevación del agua en la descarga, etc. 
Es conveniente que los alineamientos sean según una línea recta o muy cercanos 
a  ella;  y  cuando  sean  necesarios  los  cambios  de  dirección  o  codos,  que  los  radios  de 
curvatura de los ejes no sean menores de cinco veces los diámetros de los conductos.
4­ COMPONENETES DE 
LAS OBRAS DE TOMA
4.0 COMPONENTES DE LAS OBRAS DE TOMA 
En  las  obras  de  toma  con  canal  abierto  o  en  las  de  tipo  de  conducto,  cuando 
prevalece la circulación parcial,  las compuertas de control o de válvulas son los factores 
determinantes que establecen la capacidad de la salida de la obra de toma. Cuando una 
obra  de  toma  opera  como  tubo  forzado,  el  tamaño  del  conducto  y  del  dispositivo  de 
control determinan la capacidad. 
El  tamaño  total  de  una  obra  de  toma  lo  determinan  su  carga  hidráulica  y  la 
capacidad de descarga necesaria. La selección del tamaño de algunas de las partes de la 
estructura, como el del túnel esta fijada por consideraciones practicas o por necesidades 
secundarias como la derivación. La capacidad de una toma con salida cerrada depende 
de  las perdidas hidráulicas a  través de  sus  componentes  los  tamaños de  los diferentes 
elementos se pueden cambiar modificando sus relaciones reciprocas para una capacidad 
dada. 
Por  ejemplo,  una  entrada  aerodinámica  puede  permitir  la  instalación  de  una 
compuerta más pequeña para un conducto de un tamaño dado, o una compuerta mayor 
puede permitir el uso de un conducto menor. O para una descarga dada, la ampliación del 
conducto de presión de aguas arriba de un sistema de tubo cerrado permite la reducción 
de tamaño del tubo de presión aguas abajo y en consecuencia, del tamaño del conducto 
de aguas abajo. 
La determinación de la mejor combinación para obtener economías en el proyecto 
puede,  por  lo  tanto,  requerir  estudios  en  los  que  se  harán  pruebas  con  elementos  de 
varios tamaños en la obra de toma. 
Cuando se ha elegido el tipo de conducto y se ha establecido el método de control, 
se pueden elegir las estructuras auxiliares para completar el proyecto. 
El tipo de la estructura de entrada depende de su localización y de su función, de 
las diferentes estructuras auxiliares, como rejillas para basuras, compuertas de plumas, o 
de las plataformas de operación que deben construirse. 
Debe disponerse de un medio de disipar  la  energía del agua antes de  volver  la 
descarga al rió. Este puede consistir en un borde deflector, un estanque amortiguador o 
un dispositivo semejante. Pueden ser necesarias cámaras de compuertas, plataformas, o 
locales  que  proporcionen  espacio  necesario  para  el  resguardo  y  operación  de  los 
mecanismos de control. 
Las obras de toma también pueden requerir un canal de entrada para conducir el 
agua que se va a derivar, o para llevar el agua a la estructura de entrada cuando el agua 
esta a un nivel bajo en el vaso, y un canal de salida para regresar la descarga el rió.
5.­ FENÓMENO DEL 
GOLPE DE ARIETE EN 
UNA TUNERÍA A 
PRESIÓN
5.0 FENÓMENO DEL GOLPE DE ARIETE EN UNA TUBERÍA A PRESIÓN. 
Es  frecuente  que  en  líneas  de  conducción  para  el  abastecimiento  de  agua  a 
poblaciones, en las obras de toma de algunas presas y en los conductos de alimentación 
y desfogue en plantas hidroeléctricas ocurran perturbaciones en el flujo permanente inicial 
debido a  los procesos de regulación del gasto, mediante maniobras de cierre o apertura 
de órganos de cómo válvulas o compuertas. 
A estas perturbaciones que dan origen a un flujo transitorio en los conductos se le 
denomina comúnmente como golpe de ariete, y el conocimiento de sus efectos es de gran 
importancia en el diseño de las obras hidráulicas antes mencionadas. 
En este  capítulo  se hará  la  descripción de este  fenómeno en un  conducto,  y  se 
llevará a cabo el análisis de las teorías de la columna rígida y la columna elástica; en base 
a esta última se establecen las ecuaciones de Allievi y las propuestas por Angus para la 
cuantificación  de los efectos del fenómeno en estudio. 
Por otra parte, es necesario señalar que en este capítulo como en el  resto de  la 
tesis se utiliza el concepto carga piezométrica H, a la que se ha definido como la suma de 
la  carga de presión  p h  y  la  carga de posición  zp  en el eje del  conducto,  referida a un 
determinado plano horizontal de comparación.
5.1 Teoría de la columna rígida 
La  teoría  de  la  columna  rígida  fue  desarrollada  para  cuantificar  la  magnitud  de  los 
efectos del golpe de ariete en un túnel o en un conducto a presión con una misma sección 
transversal  en  todo  su  desarrollo  con  un  depósitode  nivel  constante  y  un  órgano  de 
control, situados en  los extremos aguas arriba y aguas abajo  respectivamente,  tal como 
se indica en figura 13. Esta teoría basada en las siguientes hipótesis simplificatorias: 
a)  El flujo en el conducto es incompresible. 
b)  Las paredes del conducto se consideran rígidas o indeformables. 
c)  El conducto permanece lleno de agua todo el tiempo y la presión mínima en cualquier 
sección de éste siempre es mayor que la presión de vaporización del agua. 
d)  Las  pérdidas  de  carga  por  fricción  y  la  carga  de  velocidad  son  despreciables  en 
comparación con los cambios de presión en el conducto. 
e)  Las  distribuciones  de  velocidad  y  presión  en  cualquier  sección  del  conducto  son 
uniformes. 
f)  El nivel del depósito permanece constante durante el tiempo que dura el fenómeno. 
g)  La carga piezométrica varía linealmente con respecto a la coordenada curvilínea x. 
Figura 13.­ Carga Piezométrica 
P.H.C. 
X = 0 
X = L 
H máx. 
H min Ho 
Qc 
∆Hr(cierre) 
Hr(apertura) ∆
5.2 Teoría de la columna elástica 
Esta teoría se acerca más al comportamiento real del fenómeno y ha sido comprobada 
en laboratorio. Las ecuaciones de continuidad y dinámica en este caso están sujetas a las 
siguientes hipótesis simplificatorias: 
1.  El  conducto  permanece  lleno  de  agua  todo  el  tiempo  y  la  presión  mínima  en 
cualquier sección siempre es mayor que la de valorización del fluido. 
2.  Las distribuciones de velocidad y presión en cualquier sección del conducto son 
uniformes. 
3.  Las formulas para el cálculo de pérdidas de carga cuando el flujo es permanente, 
también son válidas cuando éste es transitorio. 
4.  La pared del  conducto  y el  fluido  se  comportan de una manera elástica  lineal  y 
tienen pequeñas deformaciones. 
5.  El  incremento de  la formación con  respecto a  la coordenada curvilínea x resulta 
pequeño comparado con el incremento de la misma con respecto al tiempo. 
t 
p 
dt 
dp 
∂ 
∂ 
≈ 
6.  El  incremento de  la  carga de  velocidad  y  la  densidad  del  flujo  resulta  pequeño 
comparado con el de la carga piezométrica. 
t 
H pg 
t 
p 
x 
H 
x 
p 
p 
h 
x 
H  p T 
∂ 
∂ 
≈ 
∂ 
∂ 
∂ 
∂ 
≈ 
∂ 
∂ 
+ 
∂ 
∂  ,
5.3 Ecuaciones Diferenciales Del Golpe De Ariete 
Con base a las ecuaciones de continuidad y dinámicas establecidas para la teoría 
de  la columna elástica, despreciando el efecto de  la  fricción y haciendo,  las ecuaciones 
(1.18) y (1.20), recordando que Q = VA y ordenando términos, la ecuación anterior 
se puede escribir como: 
0 
2 
= 
∂ 
∂ 
+ 
∂ 
∂ 
x 
Q 
gA 
a 
t 
H 
(1.18) 
0 
2 
| | 
= + 
∂ 
∂ 
+ 
∂ 
∂ 
DA 
Q fQ 
x 
H gA 
t 
Q 
(1.20) 
0 
2 
= 
∂ 
∂ 
+ 
∂ 
∂ 
x 
V 
g 
a 
t 
H 
(1.21) 
y 
0 = 
∂ 
∂ 
+ 
∂ 
∂ 
x 
H g 
t 
V 
(1.22) 
que se conocen como las ecuaciones de continuidad y dinámica del golpe de ariete que 
se pueden transformar en las siguientes si se recuerda que: 
x t 
V 
t x 
V 
∂ ∂ 
∂ 
= 
∂ ∂ 
∂  2 2 
y 
x t 
H 
t x 
H 
∂ ∂ 
∂ 
= 
∂ ∂ 
∂  2 2 
: 
0 2 
2 
2 
2 
2 
= 
∂ 
∂ 
− 
∂ 
∂ 
x 
H a 
t 
H 
(1.21a) 
y 
0 2 
2 
2 
2 
2 
= 
∂ 
∂ 
− 
∂ 
∂ 
x 
V a 
t 
V 
(1.22a) 
Para el caso particular de un conducto con eje horizontal y la carga piezométrica H 
valuada con respecto a un plano horizontal de comparación que contiene a dicho eje, ésta 
resultará igual a la carga de presión hp, con lo que la ecuación (1.21a) se simplifica como: 
0 2 
2 
2 
2 
2 
= 
∂ 
∂ 
− 
∂ 
∂ 
x 
h 
a 
t 
h  p p  (1.23)
Que  es  la  ecuación  diferencial  utilizada  por  Allievi  para  conductos  con  eje 
horizontal y sección transversal constante. 
Sin embargo, con el fin de obtener el valor de la carga piezométrica H en cualquier 
sección del conducto,  independientemente del perfil de su eje, a continuación se analiza 
la solución e interpretación física de las ecuaciones (1.21a y 1.22a), la carga de presión hp 
se obtiene con sólo restar la carga de posición Zp de la piezométrica correspondiente. 
Las ecuaciones antes mencionadas tienen la forma de la ecuación denominada de 
D’Alambert, cuya solución simultánea general fue obtenida por Riemann, para un sistema 
tal como es mostrado en la figura 14. 
Figura 14.­ Solución simultánea general obtenida por Riemann 
 
 
 
 
 
 − +  
 
 
 
 
 + + = 
a 
x t f 
a 
x t F H H  0  (1.24) 
para 
a 
x t ≥ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 − −  
 
 
 
 
 + − = 
a 
x t f 
a 
x t F 
a 
g V V  0  (1.24ª) 
Las expresiones anteriores son las ecuaciones integrales del golpe de ariete que 
permiten  determinar  la  carga  piezométrica  y  la  velocidad  en  cualquier  sección  de  un 
conducto durante el flujo transitorio en función de la coordenada curvilínea x con origen en 
el depósito y en el tiempo t. 
F = f(x) 
a 
a 
Ho 
+ X 
X = L 
P.H.C. 
X = 0 
 
 
  
 
 + 
a 
x t F 
a∆t 
   a 
    + x t F 
X2 
1 X
5.3.1 Interpretación física de las ecuaciones integrales del golpe de ariete 
Con el  fin de ayudar a  la mejor  comprensión del  fenómeno en estudio  y deducir 
ecuaciones  de  tipo  práctico  que  permitan  la  cuantificación  de  sus  efectos,  resulta 
conveniente interpretar el significado de las funciones, 
 
 
 
 
 
 + = 
a 
x t F  y  
 
 
 
 
 − = 
a 
x t f  . 
Considerando que por alguna razón pudiera justificarse que la función  
 
 
 
 
 − = 
a 
x t f  fuese 
nula, es posible encontrar el efecto que la existencia de  
 
 
 
 
 + = 
a 
x t F  traería consigo. De 
esta manera las ecuaciones (1.24) y  (1.24a) tomarían la forma: 
 
 
 
 
 
 + + = 
a 
x t F H H  0  (1.25) 
 
 
 
 
 
 + − = 
a 
x t F 
a 
g V V  0  (1.25a) 
Si se despeja  
 
 
 
 
 + 
a 
x t F  en la ecuación (1.25a) y se sustituye su valor en la (1.25) 
resulta: 
( ) V V 
g 
a H H − + =  0 0  (1.25b) 
Al realizar una maniobra de cierre en el órgano de control de la figura (14) cuando, 
se tendrá que la velocidad para el flujo permanente inicial V0  será siempre mayor que la 
velocidad para el flujo transitorio V, es decir,  0 0 > −V V  y por lo tanto  0 H H > . 
Ahora bien, para un observador que partiera del órgano de control cuando  0 t t = y 
viajara a lo largo del conducto en la dirección  x − con una velocidad  a − , en un instante  1 t 
se  encontraría  en  la  sección ( ) 0 1 1  t t a L x − − = ,  donde  el  valor  de  la  función  
 
 
 
 
 + 
a 
x t F 
sería (ver figura 14): 
. 0 1 1  cte t a 
L F 
a 
x t F =  
 
 
 
 
 + =  
 
 
 
 
 +
y  para  otro  observador  que  partiera  cuando  t t t ∆ + =  0  y  viajara  en  las  mismas 
condiciones, en el mismo instante  1 t  se encontraría en la sección: ( ) t t t a L x ∆ − − − =  0 1 2 
resultando entonces que: 
. 0 2 1  cte t t a 
L F 
a 
x t F =  
 
 
 
 
 ∆ + + =  
 
 
 
 
 + 
De acuerdo con lo anterior se deduce que  
 
 
 
 
 + 
a 
x t F  representa una onda de 
carga  positiva  que  se  propaga  con  dirección  al  depósito,  de  tal  manera  que  para  un 
observador que viaja en la misma dirección con velocidad  a − , su magnitud permanecerá 
constante. 
Una  consideración  similar  con  0 =  
 
 
 
 
 + 
a 
x t F  ,  aceptando  que  sólo  existiera 
 
 
 
 
 
 − 
a 
x t f  ,  conduce  a  la  conclusión de  que  está  última  función  representa una onda  de 
carga  negativa  que  se  propaga  del  depósito  hacia  el  órgano  de  control,  con  un  valor 
constante para un observador que viaja en la dirección  x + con velocidad  a. 
Por  otra  parte,  como  la  magnitud  de  la  carga  piezométrica  0 H  permanece 
constante en el depósito, de la ecuación (1.24) se obtiene para  0 = x  y el instante t: 
( ) ( ) t F t f − = (1.26) 
Además, si se considera una onda directa F que parte del órgano de control en el 
instante t, llega al depósito cuando 
a 
L t t + = , y se refleja dando origen a una onda f  con 
la misma magnitud perocon signo opuesto que viaja hacia el órgano al que  llega en el 
instante 
a 
L t t  2 + = , puede afirmarse que en la sección del conducto correspondiente a este último 
resulta válida la siguiente relación: 
( )  
 
 
 
 
 − = 
a 
L t F t f  2  (1.27) 
Es decir, la magnitud de la onda f  en el órgano de control para el instante t es igual a la 
de la onda F  con signo opuesto que partió del mismo con dirección al depósito 
a 
L 2  según 
antes.
5.3.2 Ecuaciones Generales De Allievi 
El conocimiento de las funciones F y f  es difícil tenerlo a la mano para resolver un 
determinado  problema,  sin  embargo,  Allievi  propuso  un  sistema  de  ecuaciones  muy 
simple cuya solución permite calcular la variación de la carga piezométrica y la velocidad 
en  la  sección  adyacente  inmediatamente,  aguas  arriba  del  órgano  de  control  que  se 
muestra en la figura 14. Si en las ecuaciones (1.24) y (1.24a) se hace  L x = , resulta: 
 
 
 
 
 
 − +  
 
 
 
 
 + + = 
a 
L t f 
a 
L t F H H  0  (1.28) 
y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 − −  
 
 
 
 
 + − = 
a 
L t f 
a 
L t F 
a 
g V V  0  (1.29) 
expresiones que se conocen con el nombre de Ecuaciones de Allievi. 
Por otra parte, si se hace 
T 
t i = la ecuación (1.27) puede escribirse como: 
( ) ( )T i F iT f  1 − − = 
donde i es un número adimensional entero o fraccionario, además, si se define ( )  i f iT f = 
y ( ) [ ]  1 1 − = −  i F T i F  , la ecuación anterior queda: 
1 − − =  i i  F f  (1.30) 
Al sustituir esta ecuación en la (1.28) para instantes i e i – 1 se obtiene: 
i i i  F F H H + − = −1 0  (1.31) 
y 
1 2 0 1 − − − + − =  i i i  F F H H  (1.32)
sumando miembro a miembro estas últimas ecuaciones y haciendo operaciones resulta: 
2 0 1  2 − − − = − +  i i i i  F F H H H  (1.33) 
Si se hace un razonamiento semejante donde la ecuación (1.29) se llega a: 
( )  2 1 ´ − − = −  i i i i  F F V V g 
a 
(1.34) 
y al igualar las ecuaciones (1.33) y (1.34) resulta finalmente: 
( ) i i i i  V V g 
a H H H − = − + − −  1 0 1  2  (1.35) 
La  ecuación  anterior  es  la  fórmula  clásica  de  Allievi  y  permite  llevar  a  cabo  un 
desarrollo  en  cadena  mediante  el  cual  se  puede  obtener  la  carga  piezométrica  en  la 
sección adyacente al órgano de control para el  instante  i, si se conoce su valor para el 
instante,  y  el  incremento  de  velocidad  entre  dichos  instantes,  mismo  que  estará 
determinado por la ley de cierre o apertura en el órgano que se realiza más adelante. 
Es  necesario  señalar  que  en  la  ecuación  original  de  Allievi  el  valor  de  la  carga 
piezométrica H que aparece en la ecuación (1.35), corresponde al de la carga de presión 
p h  en  un  conducto  de  eje  horizontal;  no  obstante,  esta  última  ecuación  es  valida  para 
cualquier perfil del eje y se reduce a la de Allievi, si el plano horizontal de comparación se 
elige dé tal manera que contenga al menos un punto del primero en la sección en estudio 
(figura 36), lo que da como resultado que en el órgano de control se tenga entonces que 
p h H = .
5.3.3 Desarrollo en cadenas de allievi 
Si se dividen ambos miembros de la ecuación (1.35) entre H0  se obtiene: 
( ) i i i i  V V gH 
a 
H 
H 
H 
H 
H 
H 
− = − + − 
− 
1 
0 0 
0 
0 
1 
0 
2 
al introducir el valor de  0 V  en el segundo miembro de la ecuación anterior resulta: 
  
 
 
  
 
 
− = − + − − 
0 0 
1 
0 
0 
0 
1 
0 
2 
V 
V 
V 
V 
gH 
aV 
H 
H 
H 
H  i i i i 
haciendo 
0 
2 
H 
H Z  i i = y 
0 
0 
2gH 
aV 
= ε , esta última ecuación toma la forma: 
  
 
 
  
 
 
− = − + − − 
0 0 
1 2 
1 
2  2 2 
V 
V 
V 
V Z Z  i i i i ε (1.36) 
Ahora bien, si se aplica  la ecuación de continuidad para una sección  transversal 
ubicada inmediatamente aguas arriba del órgano de control tal como se hizo en la sección 
5.3.4.1, y se toma en cuenta  lo ya  indicado acerca del plano horizontal de comparación, 
se puede escribir: 
( ) 
( )  0 0 0  H 
H 
A C 
A C 
V 
V  i 
v d 
i v d i = 
o bien 
i i 
i  Z 
V 
V 
η = 
0 
(1.37) 
sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación (1.36), se tendrá: 
( ) i i i i i i  Z Z Z Z η η ε − = − + − − −  1 1 2 1 2  2 2  (1.38) 
ecuación que se conoce con el nombre de Ecuación Adimensional de Allievi.
5.3.4 Leyes para maniobrar de cierre y de apertura 
Como  ya  se  mencionó  anteriormente,   para  poder  obtener   los valores de la 
carga piezométrica y  la velocidad en el órgano de control cuando éste se somete a una 
maniobra de cierre o apertura, es necesario conocer  la  ley con  la cual se efectúa dicha 
maniobra;  con  este  fin,  a  continuación  se  indican  las  ecuaciones que pueden utilizarse 
para  los  casos  más  comunes  que  corresponden  a  condiciones  iniciales  de  apertura  o 
cierre total. 
5.3.4.1 Ley para una maniobra de cierre uniforme o lineal 
Ecuación de continuidad 
De acuerdo con  las hipótesis a  y b mencionada en  la  sección anterior,  la ecuación 
(1*) se suele escribir como: 
0 1 1 = + + 
∂ 
∂ 
dt 
d 
dt 
dA 
A x 
V ρ 
ρ 
(1*)  ;  0 = 
∂ 
∂ 
x 
v 
(1.1) 
Por otra parte el organismo de control que se muestra en  la figura 15, se somete a 
una  maniobra  de  cierre  o  apertura  siguiendo  una  determinada  ley,  la  ecuación  de 
continuidad aplicada en una sección transversal ubicada aguas arriba del mismo conduce 
a lo siguiente: 
Figura 15.­ Organismo de control 
Área efectiva: Cd Av 
Área A 
V 
U 
H
Antes de  iniciarse  la maniobra, cuando el flujo en el conducto es permanente se 
tendrá que: 
( ) ( )  0 0 0 0  2gH A C U A AV  v d V = = (1.2) 
y al iniciarse la maniobra: 
( )  gH A C U A AV  v d v  2 = = (1.3) 
Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones (1.3) y (1.2): 
( ) 
( )  0 0 0  H 
H 
A C 
A C 
V 
V 
v d 
v d = (1.4) 
o bien, sí: 
( ) 
( )  0 0 0 
1 
H 
H 
A C 
A C 
V 
V  r 
v d 
v d ∆ + = (1.4a) 
Si  en  la  ecuación  (1,4a)  de  define 
( ) 
( ) 0 v d 
v d 
A C 
A C 
= η y, 
o 
r 
r  H 
H Z ∆ = ésta  se  puede 
escribir como: 
r Z V V + =  1 0 η (1.5) 
Por el caso de una maniobra de cierre lineal o uniforme, es decir, cuando el área 
efectiva   del órgano varía linealmente con respecto al tiempo, el valor de η será   (figura 
16a): 
( ) τ 
τ 
η η ≤ ≤ − − =  t t f  0 , 1 1  (1.6) 
τ η η ≥ =  t f  ,  (1.6a)
Figura 16.­ Leyes para maniobras de cierre o aperturas uniformes 
Ahora bien, al inicio de la maniobra cuando el flujo es permanente en el conducto, 
según la ecuación (1.5), ya que  1 0 = = η y, en forma análoga, la velocidad al término de la 
misma cuando el flujo es nuevamente permanente es  . 0  f f  V V η = De acuerdo con esto la 
ecuación (1.6) se puede expresar como: 
τ 
η  t 
V 
V f 
  
 
 
  
 
 
− − = 
0 
1 1  (1.6b) 
sustituyendo la ecuación anterior en la (1.5) resulta: 
r 
f  Z 
V 
V t V V +  
 
 
 
 
 
  
 
 
  
 
 
− − =  1 1 1 
0 
0
τ 
(1.7) 
Si  en  las  ecuaciones    (1.6)  y    (1.6a),    se    hace 
T 
t i i = =  , η η y  T 
t = θ éstas 
toman la forma (figura 16a): 
( ) θ 
θ 
η η ≤ ≤ − − =  i i f i  0 , 1 1  (1.40) 
θ η η ≥ =  i f i  ,  (1.39a) 
donde  0 > f η para un cierre parcial, e igual a cero si éste es total. 
Cierre Total 
t 
f 
T 
t 
η o =1 
Cierre Parcial 
η 
a) 
t 
T 
b) 
t 
η η 
η f 
η =1 f 
Apertura Total 
Apertura parcial
5.3.4.2 Ley para una maniobra de apertura uniforme o lineal 
Para  una  ley  uniforme  de  apertura,  ya  sea  parcial ( ) 1 < f η o  total ( ) 1 = f η ,  se 
puede demostrar  fácilmente que (figura 16b): 
θ η 
θ 
η ≤ ≤ =  i i  f i  0 ,  (1.40) 
θ η η ≥ =  i f i  ,  (1.40a) 
5.3.4.3 Leyes para maniobras de cierre o apertura no uniformes 
Cuando la  ley de cierre o apertura no es uniforme, se tendrá una variación de η 
con  respecto  al  tiempo,  tal  como  se  muestra  en  la  figura  17;  en  este  caso  resulta 
conveniente  hacer  una  gráfica  semejante  a  las  que  se  indican  de  acuerdo  a  lascaracterísticas de  la maniobra e  interpolar de ésta el  valor deseado de η, o bien,  si  se 
dispone de una computadora se puede simular la maniobra mediante líneas rectas como 
las que se muestran en la misma figura. 
Figura 15.­ Ley aproximada 
η 0 = 1 
η f 
T 
Cie rre T o tal 
f 
T 
a) 
η
Figura 18.­ Ley para maniobrar de cierre o apertura no uniformes 
5.3.5  Celeridad  de  onda 
La  celeridad  de  las  ondas  de  presión  en  un  conducto  quedo  definida  por  la 
ecuación  (1.41), en  la cual puede verse que su valor depende  tanto de  las propiedades 
elásticas del  conducto  y el  fluido,  como de  la  geometría del primero. Cuando el  líquido 
fluyente  es  agua  dulce  y  en  la  mencionada  ecuación  se  aceptan  valores  prácticos  de 
24 . 2 = v E  x  2 
8 10 
m 
kg  y  4 
2 
94 . 101 
m 
seg kg f = ρ se obtiene: 
e 
D 
E 
E 
a 
t 
v + 
= 
1 
482 , 1  (1.41) 
La ecuación anterior  permite  calcular  la magnitud  de  la  celeridad  de  la  onda  de 
presión en un  conducto de pared delgada,  cuyo espesor es menor o  igual a  la  décima 
parte del diámetro, es decir, sí  10 . 0 ≤ 
D 
e  . En la tabla 1 se indican los valores del módulo 
de  elasticidad  t E  para  algunos  materiales  usados  en  conductos,  y  en  la  tabla  2  se 
proporcionan  valores  del  módulo  de  elasticidad  volumétrico  v E  y  la  densidad ρ para 
algunos líquidos. 
η 
η 
fη 
T 
=  1 f 
T 
A p e r t u r a t o t a l 
b )
Tabla 1.­ Valores del módulo de elasticidad Et para algunos materiales. 
Material 
 
 
 
 
 
 
2 m 
Kg E t 
Acero  2.10x 10 10 
Asbesto – Cemento  2.45x 10 9 
P.V.C.  1.124x 10 8 
Fierro fundido  9.30x 10 9 
Cobre  1.30x 10 10 
Bronce  1.05x 10 10 
Latón  1.05x 10 10 
Zinc  3.70x 10 9 
Plomo  1.40x 10 9 
Estaño  1.30x 10 10 
Aluminio  7.20x 10 9 
Concreto simple  1.25x 10 9 
Madera  7.00x 10 8 
Hule  3.50x 10 8 
Vidrio  7.00x 10 9 
Tabla 2.­ Valores comúnmente usados del modulo de elasticidad volumétrico Ev y de la 
densidad ρ para algunos líquidos. 
Liquido 
 
 
 
 
 
 
2 m 
Kg E v ( ) 4  2 m seg Kg f ρ Temperatura  (ºC) 
Agua dulce  2.24x 10 8  101.94  20 
Agua salada  2.38x 10 8  104.60  15 
Petróleo  2.10x 10 8  91.80  15 
Gasolina  1.42x 10 8  76.46  15 
Por otro lado, es necesario señalar que algunos autores sugieren la aplicación de 
la siguiente ecuación para el cálculo de la celeridad de onda: 
1 1 
| 
C 
e 
D 
E 
E 
E a 
t 
v 
v 
+ 
= 
ρ 
(1.41a)
donde C1 es un parámetro que depende de la relación de Poisson µ del material con que 
está hecho el conducto  y de sus condiciones de apoyo. 
Sin  embargo,  puede aceptarse un  valor  práctico de C  igual a  la  unidad para  la 
gran mayoría de los conductos, con lo que la ecuación (1.41a) se deduce a la (1.41). 
Para algunos de  los materiales más comunes en conductos de pared delgada, a 
partir de la última ecuación, se puede obtener la siguiente expresión: 
e 
D K 
a 
a + 
= 
1 
482 , 1  (1.42) 
donde  091 . 0 , 0106 . 0 = a K  y  1.993  para  conductos  de  acero,  asbesto  cemento  y  P.V.C. 
respectivamente. Obsérvese que si el valor de  a K  fuese igual de acero, para un material 
con módulo de elasticidad infinito, el valor máximo de la celeridad sería de 1,482 m/seg. , 
que es la velocidad con la cual se propaga el sonido en el agua a una temperatura de 20 º 
C. 
Tratándose de conductos de pared gruesa (figura 19), si se desprecia el efecto de 
la relación de Poisson µ, la celeridad de onda se define como: 
( ) 
( )   
 
 
 
 
− + 
+ + 
+ 
= 
2 2 
2 2 2 1 
| 
R e R 
R e R 
E 
E 
E a 
t 
v 
v ρ (1.43)
donde R es el radio interior del conducto. 
Figura 19.­ Tubo de pared gruesa 
Para  conductos  de  concreto  reforzado  existe  una  incertidumbre  debido  a  la 
heterogeneidad del material; sin embargo, para valuar  la celeridad de onda se recurre a 
un conducto de acero equivalente con un espesor virtual  v e  dado por la siguiente formula: 
  
 
 
  
 
 
+ = 
a 
c 
a 
c 
a v  e 
e 
E 
E e e  1  (1.44) 
En el caso de galerías a presión no revestidas y excavadas en roca sana (figura 
20) la celeridad vale: 
r 
v 
v 
E 
E 
E a 
2 1 
| 
+ 
= 
ρ 
(1.45) 
donde  r E  es el módulo de elasticidad de la roca (tabla 3). 
e 
R
Figura 20.­ Galería en Roca sana 
Tabla 3  Valores del modulo de elasticidad Er y relación de Poisson µr, para algunas rocas. 
Roca  Ev (Kg/m 2 ) µr 
Granito  5.10x 10 9  0.28 
Caliza  5.16x 10 9  0.21 
Arenisca  3.85x 10 8  0.28 
Si  la galería está  revestida con una camisa de acero de espesor  e  y módulo de 
elasticidad  a E  (figura 21a): 
e E D E 
D E 
E a 
a r 
v 
v 
+ 
+ 
= 
1 
| ρ 
(1.46) 
Por  último,  para  un  túnel  excavado  en  roca  con  relación  de  Poisson µ r ,  con 
revestimiento de  concreto  de  radio  exterior  e interior  e R  y  i R  respectivamente,  y  una 
camisa de acero de espesor  e  (figura 21b), la celeridad de onda es: 
R 
Roca 
Galería en Roca Sana
( ) ϕ 
ρ 
− + 
= 
1 2 1 
/ 
a 
i v 
v 
eE 
R E 
E a  (1.47) 
donde: 
( ) 
r 
a 
r 
e i 
i e 
c 
a i 
i 
E 
E 
R R 
R R 
E 
E 
e 
R 
e 
R 
µ 
ϕ 
+ +   
 
 
  
 
 − 
+ 
= 
1 
2 
2 2 
Figura 21.­ Galería en roca sana revestida, con túnel excavado en roca con revestimiento de 
concreto y una camisa de lámina 
R 
e 
Galería en roca sana revestida 
Camisa Concreto simple 
Túnel excavado en roca con revestimiento 
de concreto y una camisa de lámina 
e 
Re Ri
5.4  GOLPE DE ARIETE EN EL ÓRGANO DE CONTROL 
5.4.1 Golpe de ariete para maniobras rápidas 
T( ι ≤ T, θ ≤ 1 ) 
Cuando el tiempo de cierre o apertura τ es menor o igual al período de conducto 
( ) 1 , ≤ ≤ θ τ  T T  , se dice que la maniobra total o parcial es rápida o brusca, y el valor de la 
carga piezométrica que se origina en el órgano de control se obtiene de la ecuación (1.38) 
aplicada para  los  instantes  0 = i  e, mismos que corresponden a  las condiciones inicial y 
final respectivamente. 
Si en esta ecuación se hace  1 2 0 = Z  y se recuerda que 
0 
0 2 
gH 
aV 
= ε y  0 V Z V  i i i η = , 
ordenando términos resulta: 
( ) f m  V V gH 
a 
H 
H 
− + =  0 
0 0 
1  (1.48) 
En la ecuación anterior  m H  representa la carga piezométrica máxima o mínima, ya 
sea que  la maniobra sea de cierre o apertura,  las velocidades  0 V  y  f V  corresponden al 
flujo  permanente  inicial  y  final  respectivamente.  Así,  para  una maniobra  de  cierre  total 
( ) 0 = f V  , la ecuación (1.48) se reduce a: 
0 
0 
0 1  H 
gH 
aV H m   
 
 
  
 
 
+ = (1.49) 
o bien, sí  0 H H H  m − = ∆ 
g 
aV H  0 = ∆ (1.49a) 
expresión que se conoce como Ecuación de Joukowsky. 
Si  la  maniobra  es  de  apertura  y  se  inicia  cuando  el  órgano  de  control  está 
totalmente cerrado ( ) 0 0 = V  se obtiene para  25 . 0 
0 
< 
gH 
aV f  :  (1.50) 
Además, se puede demostrar que para una maniobra brusca  la magnitud de  las 
cargas extremas que se originan en el órgano de control no dependen de la ley de cierre o 
apertura y se presentan en los instantes θ = i  e  1 + =θ i  respectivamente.
5.4.2 Golpe de ariete en maniobras lentas 
Si el tiempo que dura la maniobra es mayor que el período T, es decir, si τ > T  y θ 
>  1 se dice entonces que ésta es lenta y la variación de la carga con respecto al tiempo 
se obtiene de la ecuación (1.38), que permite conocer el valor de Zi  conocido el de Zi­1  de 
acuerdo con la ley de cierre o apertura. Si en esta ecuación se despeja  2 i Z  resulta: 
[ ] 2 1 1 2 2  2 2 ) (  i i i i i  Z Z εη εη εη − + + = − − (1.51) 
Aquí,  es  necesario  subrayar  que  los  instantes  i  ­  1,  i  e  i  +  1  son  números 
adimensionales enteros o fraccionarios que difieren entre sí una unidad que representa un 
incremento de T  seg. Allievi denominó como  instantes de período entero    a  la  serie de 
valores particulares. i = 0 
Para  el  caso  particular  de  una  maniobra  de  apertura  uniforme  parcial  o  total 
iniciada desdeun grado de cierre completo en el órgano  (η0  = 0), Allievi demostró que, 
independientemente del tiempo empleado para llevar a cabo la citada maniobra, si τ > T, 
el  valor mínimo de  la  carga  se presenta  siempre al  final del primer  instante de período 
entero (i = 1); así, si se sustituye la ecuación (1.40) con θ 
η η  f i = en la (1.51) con ηo = 0 
y  Zo = 1 se obtiene: 
2 
2 
2 
min  1  
 
 
 
 
 
 
 
−   
 
 
  
 
 
+ = 
θ 
εη 
θ 
εη  f f Z  (1.52) 
y si la apertura es total (ηf = 1): 
2 
2 
2 
min  1 
 
 
 
 
 
 
 
 
−  
 
 
 
 
 + = 
θ 
ε 
θ 
ε Z  (1.52a) 
tomando en cuenta que el valor de V  que interviene en el parámetro 2ε corresponde al 
flujo permanente final. 
Por  lo que se refiere a otros tipos de maniobras lentas diferentes a  la anterior,  la 
carga extrema (máxima o mínima) se puede representar en cualquier instante i > 1 por lo 
que se sugiere aplicar la ecuación (1.51) de manera que el incremento entre dos instantes 
sucesivos sea igual a 0.25 (∆ t = T/4 seg.).
Desde i = 0 hasta i = θ + 2.00, ya que además de obtener la variación de carga en 
el  órgano  de  control,  este  incremento  permite  obtener  las  cargas  extremas  en  las 
secciones correspondientes a x = 0.25 L, 0.50 L y 0.75 L. 
Finalmente para citar un ejemplo, la ecuación (1.51) puede escribirse como sigue 
para los instantes 0.250, 1,000 y 1.250: 
para i = 0.250 
[ ] 2 250 . 0 2  750 . 0 750 . 0 750 . 0 2 250 . 0 2 250 . 0  2 2 ) ( εη εη εη − + − + = − − −  Z Z Z 
para i = 1.000 
[ ] 2 000 . 1 2 000 . 0 000 . 0 000 . 0 2 000 . 1 2 000 . 1  2 2 ) ( εη εη εη − + − + =  Z Z Z 
para i = 1.250 
[ ] 2 250 . 1 2 250 . 0 250 . 0 250 . 0 2 250 . 1 2 250 . 1  2 2 ) ( εη εη εη − + − + =  Z Z Z
5.50  CARTAS  DE  ALLIEVI  PARA  MANIOBRAS  DE  CIERRE  O  APERTURA 
UNIFORME. 
Las cartas elaboradas por Allievi son de gran utilidad para estudios preliminares, 
ya que proporcionan un valor aproximado de la carga piezométrica máxima o mínima en 
el  órgano  de  control  mediante  un  procedimiento  bastante  rápido.  Sin  embargo,  estos 
diagramas fueron realizados bajo  la hipótesis de que el área efectiva en el órgano tiene 
una variación uniforme o  lineal  con  respecto al  tiempo y,  en  consecuencia, no dan una 
estimación exacta de la carga piezométrica cuando la maniobra no es uniforme, así como 
tampoco se toma en consideración el efecto de la fricción en el conducto. 
Con base en la ecuación (1.38) Allievi realizó unas cartas o ábacos, mediante los 
cuales  se  obtiene  la  carga  adimensional  máxima  2 máx Z  para  una  maniobra  de  cierre 
uniforme en función de los parámetros ε y θ . La primera de éstas se muestra en la figura 
22, donde pueden observarse los valores de  2 máx Z  que sirven para el cálculo de la carga 
piezométrica  máxima  de  acuerdo  con  la  expresión  Hmáx  =  Ho  2 máx Z  ,  y  se  utiliza  para 
valores pequeños de ε y θ . 
Figura 22.­ Carga piezométrica máxima para valores de ε y θ pequeños. 
En la segunda carta, que se muestra en la figura 23, se proporciona la magnitud 
de  2 máx Z  resultante de una maniobra de cierre uniforme  para valores  intermedios de ε y θ 
, así como el instante al final del cual tienen lugar dicha carga. 
θ 
ε 
0 0.50 1.00 1.50 2.00 
1.00 
1.50 
2.00 
2.50 
3.00 
3.50 
4.00 
4.50 
5.00 
1.
20
 
1.
30
 
1.
40
 
1.
50
 
1.
60
 
1.
70
 
1.
80
 
1.
90
 
2.
00
 
5.
00
 4
.0
0 3
.5
0 3.
00
 2.
50
 
ma
x=
1.1
 
z 2
Para determinar este instante, se hace uso de la familia de curvas S  que indican 
el tiempo en unidades  t = 2L/a seg.  que transcurre desde el inicio de la maniobra hasta el 
momento en el que se presenta  2 máx Z  . 
Para el caso de un cierre uniforme parcial, en  la expresión θ = τ/T, τ deberá ser 
tomado como el  tiempo necesario para  realizar una maniobra de cierre completo con  la 
misma velocidad con la que se efectúa el primero  (ςc): en estas condiciones, si el tiempo 
ts  indicado por la curva S para dar lugar a  2 máx Z  es menor que el tiempo empleado para la 
primera maniobra (ts < ςp) , dicha carga será igual a la producida por un cierre completo y, 
en  algunos  casos,  puede  ser mayor  aún que  el  obtenido mediante esta  gráfica.  Por  el 
contrario, si el  tiempo  ts  es mayor que ςp  , esta carga no será alcanzada en este caso 
particular de maniobra. 
De la figura 21 puede comprobarse que si c ≤ 1,  2 máx Z  ocurre antes o al final de la 
primera  fase  sin  depender  del  tiempo empleado  para  llevar  a  cabo  la maniobra  (cierre 
brusco),  y si θ > 1 dicho valor máximo ocurre en alguna de las fases posteriores (cierre 
lento); además, si ε < 1, independientemente del valor de θ,  Zmáx  se presenta antes de la 
primera fase. 
Figura 23.­ Carga piezométrica máxima para valores de ε y θ intermedios. 
1 2 3 4 5 6 7 8 0 
2 
4 
6 
8 
10 
12 
14 
16 
18 
20 
16.00 
10.00 
7.00 
6.00 
5.00 
4.00 
3.00 
2.50 
2.00 
1.90 
1.80 
1.70 
1.60 
1.50 
1 .04 1.02 1.04 1.10 1.20 1.30 1.40 
θ 
ε 
S 17 
S 16 
S 15 
S 14 
S 13 
S 12 
S 11 
S 10 
S 9 
S 8 
S 7 
S 6 
S 5 
S 4 
S 3 
S 2 
S 1 
2 z  min 
z 2 min
También  resulta  interesante  observar  en  esta  última  figura  que  sí θ =  1  y,  por 
ejemplo, ε = 2 el valor de  2 máx Z  es igual a 5.00; para el mismo valor ε pero con θ = 5,  la 
magnitud  de  2 máx Z  disminuye  hasta  1.5  y  para θ =  20  se  reduce  hasta  1.11,  lo  cual 
proporciona una idea clara de la disminución del efecto del golpe de ariete con el aumento 
del tiempo de cierre. 
La tercera carta, que se muestra en la figura 24, define la magnitud de  2 máx Z  para 
valores grandes de ε y θ. 
Figura 24.­ Carga piezométrica máxima para valores de ε y θ grande. 
También Allievi resolvió el problema para una maniobra de apertura uniforme del 
órgano de control, y también elaboró cartas  para este caso; así, mediante la figura 25(a), 
se  puede  encontrar  el  valor  de  la  carga  piezométrica  mínima  2 min Z  ,  originada  por  una 
maniobra de apertura uniforme iniciada desde una posición de cierre total hasta cualquier 
grado de la primera, para valores pequeños de ε y θ, donde ε deberá ser igual a aVf/2gHo. 
Obsérvese  en esta figura que si θ ≤ 1, la magnitud de  2 min Z  es independiente del tiempo 
que dure la maniobra (apertura brusca). 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 
2 
6 
10 
14 
18 
22 
26 
30 
34 
38 
42 
46 
50 
60.0 
80.0 
30.0 
15.0 
10.0 
8.0 
6.0 
5.0 
4.0 
3.0 
2.5 
2.2
 2.0
 
1.9
0 
1.8
0 
1.7
0 
1.6
0 
1.5
0 
1.3
0 
1.1
0 
1.0
0 
1.2
0 
1.4
0 
ε 
θ 
max. z 2
Finalmente, con relación a la figura 25b, puede verse que indica la magnitud de  2 min Z 
para valores grandes de ε y θ. 
Figura 25(a).­ Valores θ y ε pequeños 
Figura 25(b).­ valores θ y ε grandes 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 
2 
6 
10 
14 
18 
22 
26 
30 
34 
38 
42 
46 
50 
0.01 
0.02 
0.10 
0.15 
0.20 
0.25 
0.25 0.30 0.35 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 
θ 
ε 
min z 2 = 
1 2 3 4 5 0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
9 
1 1 
1 2 
8 
1 0 
0 .02 
0 .05 
0 .10 
0 .20 
0 .30 
0 .40 
0 .50 0 .6 0 0 .70 0 .8 0 0 .90 = m in 2 z 
θ 
ε
6­ POZOS DE 
OSCILACIÓN EN OBRAS 
DE TOMA
6.0  ECUACIONES DEL POZO DE OSCILACIÓN 
En  la  instalación  indicada  en  la  figura  26,  se  colocan  dos  manómetros,  uno  al 
principio de la  tubería de presión, m1, y otro al final de dicha tubería, m2, al realizar una 
maniobra en la válvula se observa que el manómetro m1 empieza a marcar variaciones de 
presión  con periodos del orden de 100 a 500 segundos; es decir,  relativamente  lentas. 
Esto se debe a que el manómetro m1 únicamente registra los cambios de presión debidos 
a  las  oscilaciones  en  el  pozo  y  es  ajeno  a  la  presiones  del  golpe  de  ariete.  Por  el 
contrario, el manómetro m2 marca variaciones alteradas  tanto por  las oscilaciones en el 
pozo como por  laspresiones provocadas por el golpe de ariete; que como se vio en el 
capítulo anterior, están sujetas a períodos mucho más pequeños, ya que la celeridad de la 
onda de presión es del orden de 1 000 m/s. 
Figura 26.­ Representación esquemática de un vaso 
El  hecho  de  que  las  presiones  en  el  extremo  final  del  túnel  de  conducción 
(posición  del  manómetro  m1)  se  deben  exclusivamente  a  las  oscilaciones  en  el  pozo, 
permite  analizar  el  funcionamiento  del  mismo  independientemente  del  golpe  de  ariete 
como  un  fenómeno  de  oscilaciones  en  masa  en  el  sistema  vaso­túnel­pozo.  Además, 
como  las  maniobras  del  distribuidor  se  hacen  en  unos  cuantos  segundos  y  las 
oscilaciones en el pozo son mucho más lentas del orden de minutos­ , una aproximación 
permisible es no considerar en el análisis el tiempo de maniobra; es decir, suponer que 
éste es siempre instantáneo. Estas consideraciones se aplicarán en la deducción de las 
dos  ecuaciones    diferenciales  del  pozo  de  oscilación:  la  ecuación  dinámica  y  la  de 
continuidad. 
g 
V H 
2 
2 
1 −− − 
H 1 
g 
V 
2 
2
− − 
g 
V 
2 
2
− − 
a H 
n H 
v H 
kv α = α z 
L.P. 
L .E. 
V 
X = 0 
A c 
c F 
Ac 
h fc 
1 ( m ) 
Z 
O 
1 (m ) 
p L 
x 
Q  Q 
α 
L.E. L ínea de energía 
L.P . L ínea de presiones
6.1 Ecuación dinámica del pozo de oscilación 
La  figura  26,  representa  esquemáticamente  un  vaso,  su  túnel  de  conducción,  el 
pozo de oscilación y la tubería de presión que lleva el agua a la casa de máquinas de una 
central hidroeléctrica o, si se desea, se trata de una tubería de presión con una válvula en 
su extremo inferior. 
Si se toma ahora un tramo del túnel de conducción de longitud dx como se indica 
en la figura 27, puede verse que está sometido a las siguientes fuerzas, en dirección del 
eje X:
a)  Su peso: dW sen α = γ Ac dx sen α. 
b)  La fuerza debida a la diferencia de presiones: ­dpAc. 
c)  La fuerza de fricción: ­ γ dhfc Ac. 
Figura 27.­ Tramo de túnel de conducción 
d h 
d x 
d w 
­ ( p + d p ) A r 
x 
d w s e n α 
P A r 
A r 
γ d h f c A c 
d h f c 
α 
α
Si se aplica la segunda ley de Newton a este elemento se tiene: 
γ Ac dx sen α ­ dp Ac  ­ γ dhfc =  t 
V 
g 
dxA c 
∂ 
∂ γ 
y, de acuerdo con la figura 27: 
dh = dx sen α 
sustituyendo este valor en la expresión anterior y simplificándola, puede escribirse: 
0 1 = 
∂ 
∂ 
− − −  dx 
t 
V 
g 
dh dp dh  fc γ 
(2.36a) 
Por definición, la derivada total para la variable V, función x y de t es: 
dt 
dx 
x 
V 
t 
V 
dt 
dV 
∂ 
∂ 
+ 
∂ 
∂ 
= 
Ahora  bien,  si  se  recuerda  que  en  el  sistema  en  estudio  vaso­túnel­pozo  de 
oscilación no hay ondas de presión, ya que es  independiente del golpe de ariete, puede 
considerarse que tanto el líquido como el túnel de conducción son indeformables, y por tal 
razón,  puede  asegurarse  que en  cualquier momento  la  velocidad  del  agua  es  igual  en 
todo el túnel de conducción; es decir: 
0 = 
∂ 
∂ 
x 
V 
por lo que la expresión anterior equivale a: 
t 
V 
dt 
dV 
∂ 
∂ 
= 
Esto permite escribir la ecuación diferencial 2.36.a en forma homogénea: es decir, 
sólo con diferenciales totales. Ahora bien, en cualquier  instante  t V ∂ ∂ es constante  a  lo 
largo del túnel de conducción, y por consiguiente  dt dV  , ya que ambos son iguales.
De  acuerdo  con  las  consideraciones  anteriores  se  puede  integrar  la  ecuación 
2.36.a a lo largo del túnel de conducción, con los limites de integración que se indican en 
la figura 26: 
∫ ∫ ∫ ∫ = − − − 
− + 
− 
c a  a 
g 
V 
c f 
c 
L H H  z H
H 
h 
f  dx dt 
dV 
g 
dh dp dh 
0 0  0 
0 1 1 
2 
2 
1 γ 
El resultado que se obtiene es: 
Ha – H1  ­ ( )  0 
2 
2 
1 = − −  
 
 
 
 
 
  
 
 
  
 
 
− − + 
dt 
dV 
g 
L h 
g 
V H z H  c f a  c 
Si se simplifica y se hace hfc = cV 2 puede escribirse la ecuación 2.36a integrada a 
lo largo del túnel de conducción, en la forma: 
0 
2 
2 
2 
= + + + 
dt 
dV 
g 
L cV 
g 
V z  c 
La  constante  c  representa  todas  las  características  del  túnel  de  conducción 
necesarias para calcular las pérdidas en dicho túnel. Si se llama ahora: k = (1/2g) + c, la 
ecuación puede también escribirse: 
0 2 = + + 
dt 
dV 
g 
L kV z  c  (2.36b) 
que es la ecuación dinámica del pozo de oscilación. 
Durante  el  funcionamiento  del  pozo  de  oscilación  hay  momentos  en  que  la 
velocidad irá del pozo hacia el vaso; es decir, será negativa de acuerdo con la dirección 
atribuida al eje X en la figura 26. 
Sin  embargo,  esto  no  se  notaría  al  realizar  un  cálculo  numérico,  porque  la 
velocidad esta elevada al cuadrado. 
Para evitar este problema se acostumbra a escribir V 2  como |V |V , y la ecuación 
2.36b queda: 
z + kV|V| +  0 = 
dt 
dV 
g 
L c 
que es la forma en que se utilizará al describir el método numérico de solución.
6.1.2 Ecuación de Continuidad 
Esta ecuación debe expresar en todo momento lo siguiente: 
v  Gasto en el túnel de conducción = Gasto en el pozo de oscilación + Gasto en la 
tubería de presión. 
v  Todos  los  gastos  deben  llevar  su  signo  algebraico,  que  es  el  mismo  de  su 
velocidad. 
En esta forma, resulta evidente que la ecuación de continuidad es la siguiente, de 
acuerdo con los signos atribuidos a los ejes X y Z  en la figura 26. 
Q 
dt 
dz A VA  p c + = (2.36c) 
Como  se  indica  en  la  figura  26,  donde Q  es  el  gasto  de  la  tubería  de  presión, 
siempre positivo o nulo (en el caso de un cierre total). 
6.1.3 Solución teórica de las ecuaciones del pozo de oscilación 
El interés de presentar una solución teórica radica en el hecho en el que el periodo 
de  las  oscilaciones,  para  el  caso  que  se  analizará  en  este  tema,  es  prácticamente  el 
mismo  que  el  de  los  casos  reales.  Además  las  oscilaciones  extremas  reales  pueden 
calcularse  para  las  cámaras  cilíndricas  con  fórmulas  que  se  verán  después  y  que,  en 
realidad,  sólo  corrigen  el  valor  de  la  máxima  oscilación  teórica  utilizando  coeficientes 
empíricos. 
Las  ecuaciones  del  pozo  de  oscilación    2.36b  y  2.36c  pueden  resolverse 
analíticamente sólo para el caso de un cierre total instantáneo e ignorando la fricción. Esto 
quiere  decir  que  en  el  caso  idealizado  en  cuestión  deberán  cumplirse  las  siguientes 
condiciones: 
v  Cierre instantáneo  (Q = 0) 
v  No hay fricción   (cV 2 = 0) 
v  La carga de velocidad en la conducción es nula  (V 2 /2g = 0) 
Las dos últimas equivalen a decir KV 2 = 0, en la ecuación 2.36b.
Entonces, para este caso,  las ecuaciones dinámica 2.36b y de continuidad 2.36c 
se reducen respectivamente a: 
0 = + 
dt 
dV 
g 
L z  c  (2.37a) 
dt 
dz A VA  p c = (2.37b) 
sustituyendo ahora la 2.37b en la 2.37a , se obtiene: 
0 2 
2 
= + z 
dt 
z d 
gA 
A L 
c 
p c  (2.37c) 
cuya solución es: 
t 
T 
sen C t 
T 
C z π π  2 2 cos  2 1 + = (2.37d) 
y representa un movimiento armónico simple, donde T  es su periodo y t el tiempo medido 
desde que empiezan las oscilaciones, momento en que z = 0 (figura 26) de acuerdo con 
las condiciones teóricas 2 y 3. 
Entonces, si para t = 0; z = 0, de 2.37d se concluye que: C1  = 0, y si se  llama a C2  : z*, 
puede escribirse la expresión anterior en la forma: 
t 
T 
sen z z π 2 * = (2.37e) 
lo que significa que z* es la máxima amplitud de la oscilación para el caso. 
Sustituyendo ahora 2.37e en 2.37c y haciendo  las simplificaciones convenientes, 
se llega  a la expresión: 
1 2 
2 
=  
 
 
 
 
 
T A 
A 
g 
L 
c 
p c π
por lo que el periodo de las oscilaciones teóricas vale: 
c 
p c 
A 
A 
g 
L T π 2 = (2.37f) 
Para  conocer  la  forma en que varían  las  velocidades en el  túnel de  conducción, 
puede despejarse V de la expresión 2.37b obteniéndose: 
dt A 
dz A 
V 
c 
p = 
y sustituyendo en ésta, la expresión 2.37e: 
t 
T 
z 
T A 
A 
V 
c 
p π π  2 cos 2  * = 
Si se llama ahora: 
* 0 
2  z 
T A 
A 
V