Acosta-2020

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Instituto Politécnico Nacional 
Centro de Investigación en Ciencia 
Aplicada y Tecnología Avanzada 
Unidad Legaria 
 
Diseño de una secuencia didáctica para la 
detección y superación de errores 
algebraicos 
 
 
 
Tesis que para obtener el grado de 
Maestría en Ciencias en Matemática Educativa 
 presenta 
 
 
Sofía Acosta Bellizzi 
 
 
Directoras de Tesis 
 
Dra. Clara Cristina Catarina Eccius 
Dra. Avenilde Romo Vázquez 
 
 
Ciudad de México, diciembre de 2019. 
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descomposición factorial por estudiantes
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Electrónica de Conocimientos, Saberes y
Prácticas, 2018
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Jorge L. Lopez, D. V. Nanopoulos, Gye T. Park,
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Algebra Teaching around the World, 2014.
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Günther Malle. "Didaktische Probleme der
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iv 
Autorización de uso de obra 
 
Instituto Politécnico Nacional 
P r e s e n t e 
 
Bajo protesta de decir verdad el que suscribe Sofía Acosta Bellizzi (se anexa copia 
simple de identificación oficial), manifiesto ser autora y titular de los derechos 
morales y patrimoniales de la obra titulada Diseño de una secuencia didáctica para 
la detección y superación de errores algebraicos, en adelante “La Tesis” y de la 
cual se adjunta copia, por lo que por medio del presente y con fundamento en el 
artículo 27 fracción II, inciso b) de la Ley Federal del Derecho de Autor, otorgo a el 
Instituto Politécnico Nacional, en adelante El IPN, autorización no exclusiva para 
comunicar y exhibir públicamente total o parcialmente en medios digitales “La 
Tesis” por un periodo de diez años contado a partir de la fecha de la presente 
autorización, dicho periodo se renovará automáticamente en caso de no dar aviso 
a “El IPN” de su terminación. 
 
En virtud de lo anterior, “El IPN” deberá reconocer en todo momento mi calidad de 
autor de “La Tesis”. 
 
Adicionalmente, y en mi calidad de autor y titular de los derechos morales y 
patrimoniales de “La Tesis”, manifiesto que la misma es original y que la presente 
autorización no contraviene ninguna otorgada por el suscrito respecto de “La 
Tesis”, por lo que deslindo de toda responsabilidad a El IPN en caso de que el 
contenido de “La Tesis” o la autorización concedida afecte o viole derechos 
autorales, industriales, secretos industriales, convenios o contratos de 
confidencialidad o en general cualquier derecho de propiedad intelectual de 
terceros y asumo las consecuencias legales y económicas de cualquier demanda o 
reclamación que puedan derivarse del caso. 
 
Ciudad de México, diciembre de 2019. 
Atentamente 
 
 
. . 
Sofía Acosta Bellizzi 
 
 
v 
AGRADECIMIENTOS 
A CICATA 
Por la oportunidad de realizar esta maestría y recibirme para la defensa de esta tesis. 
A mis tutoras 
Por enseñarme y acompañarme en el camino. 
Al sínodo 
Por sus aportes y comentarios para enriquecer este trabajo. 
A Florencia, Lucía y alumnos 
Por haber sido parte de este estudio y colaborado con entusiasmo. 
A Mónica Olave, Verónica Scorza y Cristina Ochoviet 
Por estar a disposición de forma desinteresada. 
A mis padres y a Joaquín 
Por ser el motor.vi 
RESUMEN 
En esta tesis se presenta un estudio de los errores algebraicos que surgen en la educación 
media, considerando particularmente un contexto uruguayo. 
El estudio tuvo su origen en un relevamiento inicial de errores algebraicos en estudiantes de 
educación media, más específicamente, en estudiantes de segundo año (13-14 años) y de 
tercer año (14-15 años). Con el objetivo de que los errores identificados en el relevamiento 
inicial pudieran ser superados, se propuso una metodología que incluía diferentes fases: 1) 
diagnóstico de errores, 2) análisis de clases del curso introductorio del álgebra, 3) diseño, 
implementación y análisis de un cuestionario para identificar errores de concatenación, 4) 
propuesta de una planificación didáctica para superar errores en el curso introductorio del 
álgebra, 5) análisis de la implementación de la planificación didáctica propuesta y 6) 
evaluación de errores una vez implementada la planificación didáctica en el curso 
introductorio al álgebra. 
La planificación didáctica propuesta fue implementada en dos grupos de segundo año de 
educación media en Uruguay, a cargo de la docente autora de esta tesis. El análisis del 
cuestionario para identificar errores de concatenación resuelto por los estudiantes del curso 
basado en la planificación didáctica propuesta, muestra una disminución de errores. 
De manera general, se considera que este trabajo enmarcado en la investigación-acción 
ofrece una propuesta metodológica para el estudio y la superación de errores de 
concatenación. 
 
 
 
vii 
ABSTRACT 
This thesis presents a study of the algebraic errors which occur in a secondary education 
context, in Uruguay. 
The research started with a survey on algebraic errors made by second grade students (13-
14 years old), and third grade students (14-15 years old). A methodology comprising 
different stages was implemented with the purpose of rectifying the errors found. Its six 
stages were: 1) error diagnosis; 2) analysis of classes from the introductory algebra course; 
3) design, implementation, and analysis of a questionnaire to identify concatenation errors; 
4) formulation of an instructional plan to avoid errors in the introductory algebra course; 5) 
assessment of the implementation of such plan; and 6) evaluation of errors committed after 
the implementation of the instructional plan for the introductory algebra course. 
The instructional plan was put into effect in Uruguay, in two second grade secondary 
education classes taught by the author of this thesis. The analysis of the answers to the 
questionnaires after the implementation of the proposed instructional plan shows a decrease 
in the number of errors. 
On the whole, this action-research work outlines a methodological proposal for the study 
and correction of concatenation errors. 
 
 
 
 
viii 
CONTENIDO 
1 PRIMER ACERCAMIENTO A LOS ERRORES ALGEBRAICOS ........................ 3 
1.1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................. 3 
1.2 PRIMER RELEVAMIENTO DE ERRORES .................................................. 3 
1.2.1 Errores algebraicos identificados en segundo año de secundaria ....................... 4 
1.2.2 Errores algebraicos identificados en tercer año de secundaria ........................... 7 
1.3 CONCLUSIÓN ................................................................................................ 10 
2 ERRORES ALGEBRAICOS ................................................................................. 11 
2.1 INTRODUCCIÓN ........................................................................................... 11 
2.2 EL ERROR Y SU NATURALEZA ................................................................. 11 
2.3 ERRORES ALGEBRAICOS Y SUS CAUSAS .............................................. 12 
2.4 ERRORES DE CONCATENACIÓN.............................................................. 14 
2.5 INVESTIGACIÓN-ACCIÓN .......................................................................... 16 
2.6 CONCLUSIÓN ................................................................................................ 18 
3 METODOLOGÍA ................................................................................................... 19 
3.1 INTRODUCCIÓN ........................................................................................... 19 
3.2 CONTEXTO EDUCATIVO URUGUAYO .................................................... 19 
3.3 FASE 1. RELEVAMIENTO INICIAL DE ERRORES ................................. 20 
3.4 FASE 2. ANÁLISIS DE CLASE ..................................................................... 21 
3.5 FASE 3. DISEÑO DE UN CUESTIONARIO PARA DETECTAR ERRORES 
DE CONCATENACIÓN ............................................................................................ 22 
3.5.1 Cuestionario de concatenación ....................................................................... 23 
3.6 FASE 4. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DEL CUESTIONARIO ....... 24 
3.7 FASE 5. PLANIFICACIÓN DIDÁCTICA PARA SUPERAR ERRORES DE 
CONCATENACIÓN .................................................................................................. 24 
3.7.1 Elementos pedagógicos para la planificación didáctica ................................... 24 
 
 
ix 
3.7.2 Elementos didácticos para la planificación didáctica ....................................... 25 
3.7.3 Planificación didáctica para la superación de errores algebraicos .................... 26 
3.8 FASE 6. IMPLEMENTACIÓN Y ANÁLISIS DEL CUESTIONARIO PARA 
IDENTIFICAR ERRORES DE CONCATENACIÓN ............................................. 32 
3.9 CONCLUSIÓN ................................................................................................ 32 
4 ANÁLISIS DE CLASES Y APLICACIÓN DEL CUESTIONARIO DE 
CONCATENACIÓN ..................................................................................................... 34 
4.1 INTRODUCCIÓN ........................................................................................... 34 
4.2 DESARROLLO DEL TEMA DE MONOMIOS Y EXPRESIONES 
ALGEBRAICAS......................................................................................................... 34 
4.2.1 Clase 1. Ejercicios sobre pasaje entre el lenguaje coloquial y el algebraico ..... 34 
4.2.2 Clase 2. Monomio. Monomios semejantes, su adición y sustracción ............... 38 
4.2.3 Clase 3. Multiplicación de monomios ............................................................. 39 
4.3 REPASO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS EN TERCER AÑO .......... 41 
4.4 TRABAJO FRENTE A LOS ERRORES EN EL AÑO 2018 ......................... 43 
4.5 APLICACIÓN DEL CUESTIONARIO DE CONCATENACIÓN ............... 44 
4.6 RESULTADOS DE LA APLICACIÓN DEL CUESTIONARIO DE 
CONCATENACIÓN .................................................................................................. 46 
4.6.1 Gráficas de los errores identificados ............................................................... 51 
4.7 CONCLUSIÓN ................................................................................................ 52 
5 ANÁLISIS DE LA IMPLEMENTACIÓN DE LA PLANIFICACIÓN 
DIDÁCTICA PARA LA SUPERACIÓN DE ERRORES ............................................ 53 
5.1 INTRODUCCIÓN ........................................................................................... 53 
5.2 EL LENGUAJE ALGEBRAICO Y SU TRATAMIENTO. CLASES 1 Y 2.. 54 
5.3 MONOMIOS- OPERATORIA CON MONOMIOS. CLASES 3, 4, 5 Y 6 .... 61 
5.3.1 Adición de monomios..................................................................................... 63 
5.4 REDUCCIÓN DE EXPRESIONES. CLASES 7 Y 8 ...................................... 71 
 
 
x 
5.4.1 Trabajo con los errores escritos ...................................................................... 72 
5.5 ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DEL CUESTIONARIO PARA 
IDENTIFICAR ERRORESDE CONCATENACIÓN ............................................. 73 
5.6 RESULTADOS DEL CUESTIONARIO PARA IDENTIFICAR ERRORES 
DE CONCATENACIÓN ............................................................................................ 73 
5.7 ANÁLISIS GRÁFICO DE LOS ERRORES .................................................. 78 
5.8 CONCLUSIÓN ................................................................................................ 79 
6 ANÁLISIS GLOBAL DE LOS ERRORES Y CONCLUSIONES GENERALES 81 
6.1 INTRODUCCIÓN ........................................................................................... 81 
6.2 UNA INVESTIGACIÓN-ACCIÓN PRÁCTICA SOBRE ERRORES 
ALGEBRAICOS ........................................................................................................ 81 
6.3 ÍNDICE DE HAKE PARA LA LECTURA DE LOGROS OBTENIDOS .... 81 
6.4 CONCLUSIONES GENERALES ................................................................... 86 
7 REFERENCIAS ...................................................................................................... 88 
 
 
 
 
xi 
ÍNDICE DE FIGURAS 
Figura 1. Tipo de tarea a. expresar algebraicamente un perímetro y reducir su expresión ................ 4 
Figura 2. Adición de términos no semejantes ................................................................................. 4 
Figura 3. Adición incorrecta de términos no semejantes ................................................................. 4 
Figura 4. Adición de términos no semejantes. ................................................................................. 5 
Figura 5. Adición de términos no semejantes y de exponentes. ....................................................... 5 
Figura 6. Adición de términos no semejantes y operación incorrecta realizada por E2..................... 5 
Figura 7. Adición de términos no semejantes y operación incorrecta realizado por E3 .................... 6 
Figura 8. Adición de términos no semejantes y operación incorrecta de E4. .................................... 6 
Figura 9. Actividad en la que aparecen errores en la operación con enteros. .................................... 6 
Figura 10. Adición de términos no semejantes y mal manejo de exponentes.. ................................. 7 
Figura 11. Operaciones con términos no semejantes -sólo misma letra- y suma indebida de 
exponentes. ............................................................................................................................ 8 
Figura 12. Adición (o sustracción) de términos no semejantes ........................................................ 8 
Figura 13. Adición de términos no semejantes ................................................................................ 8 
Figura 14. Operaciones con términos no semejantes -misma letra- y suma indebida de coeficientes y 
exponentes ............................................................................................................................. 9 
Figura 15. Diversos errores en la realización de la tarea 8x2+12=4x2+2(6-6x2) ............................... 9 
Figura 16. Extracto del libro de texto “Prácticas 2” donde aparecen los ejercicios 1 y 2 ................ 35 
Figura 17. Extracto del libro de texto “Prácticas 2” donde aparecen los ejercicios 3 y 4 ................ 37 
Figura 18. Nota hecha por un estudiante ....................................................................................... 40 
Figura 19. Extracto del libro de texto “Prácticas 2” donde aparecen los ejercicios 5 y 6 ................ 40 
Figura 20. Extracto del libro de texto “Prácticas 2” donde aparecen el ejercicio 10 ....................... 41 
Figura 21. Error cometido por estudiante con la corrección correspondiente indicándole el motivo 
del mismo. ........................................................................................................................... 43 
Figura 22. Error cometido por estudiante, respectiva explicación sobre el error y solución correcta
 ............................................................................................................................................ 43 
Figura 23. Igualdad incorrecta planteada por un estudiante en su cuaderno ................................... 43 
Figura 24. Registro de explicación oral para el estudiante la conserve en su cuaderno ................... 43 
Figura 25. Notación del pizarrón realizado por la docente.. ........................................................... 44 
Figura 26. Gráfica de errores al reducir expresiones (primera parte del cuestionario) .................... 51 
Figura 27. Gráfica de errores (segunda parte del cuestionario) ...................................................... 51 
Figura 28. Cuaderno de estudiante con registro de lo que se copió en pizarrón. ............................. 55 
Figura 29. Fotocopia de un alumno donde se ve cómo realizó el ejercicio 1. ................................. 56 
 
 
xii 
Figura 30. Fotocopia de una alumna donde se ve cómo realizó el ejercicio 3................................. 58 
Figura 31. Pizarrón luego de analizar coeficiente y parte literal de algunos monomios .................. 61 
Figura 32. Cuaderno de alumno donde registró lo trabajado ......................................................... 61 
Figura 33. Apunte de un estudiante en su cuaderno....................................................................... 62 
Figura 34. Apunte de un estudiante en su cuaderno....................................................................... 62 
Figura 35. Apunte de un estudiante en su cuaderno....................................................................... 62 
Figura 36. Notación del pizarrón para acompañar explicación de alumno. .................................... 63 
Figura 37. Notación del pizarrón para reforzar explicación. .......................................................... 63 
Figura 38. Notación del pizarrón para mostrar coeficiente del monomio. ...................................... 63 
Figura 39. Suma de monomios en el pizarrón. .............................................................................. 62 
Figura 40. Suma de monomios en el pizarrón. .............................................................................. 63 
Figura 41. Adición de monomios no semejantes. .......................................................................... 64 
Figura 42. Texto escrito en el pizarrón, adición de monomios no semejantes. ............................... 64 
Figura 43. Registro de una alumna en su cuaderno. ...................................................................... 64 
Figura 44. Adición de monomios con la misma letra y exponente diferente. ................................. 65 
Figura 45. Registro de la definición que dimos a monomios semejantes. ....................................... 66 
Figura 46. Cartel que quedará en clase. ........................................................................................ 66 
Figura 47. Primer trabajo de adición y sustracción de monomios. ................................................. 66 
Figura 48. Cartel realizado por una alumna para colgar en clase y que sirva de refuerzo visual.. ... 67 
Figura 49. Apunte de una estudiante sobre la explicación dada por la docente............................... 67 
Figura 50. Corrección de ejercicio en el pizarrón. ......................................................................... 67 
Figura 51. Explicación de la docente registrada en el cuaderno de una estudiante. ........................ 68 
Figura 52. Explicación docente a E3............................................................................................. 69 
Figura 53. Variables del ejercicio 5 escritas por una estudiante en el pizarrón. .............................. 69 
Figura 54. Resolución del ejercicio 6 en el pizarrón por un estudiante. ......................................... 70 
Figura55. Resolución del ejercicio 6, inciso b realizada por la docente. ....................................... 70 
Figura 56. Recordatorio en pizarrón. ............................................................................................ 71 
Figura 57. Reducción de una expresión algebraica en el pizarrón .................................................. 71 
Figura 58. Trabajo de estudiantes en el pizarrón. .......................................................................... 71 
Figura 59. Ejercicios propuestos en pizarrón. ............................................................................... 71 
Figura 60. Respuestas de alumnos…………………………..…………………………………...….71 
Figura 61. Corrección a un estudiante. .......................................................................................... 72 
Figura 62. Cartel de explicación…………………………………………………………………… 73 
Figura 63. Gráfico comparativo de errores al reducir expresiones entre ambas generaciones. ........ 78 
 
 
xiii 
Figura 64. Gráfico circular con respuestas en 2018……………..………...……...…………….… 78 
Figura 65. Gráfico circular con respuestas en 2019. ...................................................................... 79 
Figura 66. Gráfico comparativo entre generaciones según número de errores cometidos por 
cuestionario. ......................................................................................................................... 79 
 
 
 
 
xiv 
ÍNDICE DE TABLAS 
Tabla 1. Grupos, docentes e instituciones participantes en el relevamiento de errores ................... 10 
Tabla 2. Grupos, docentes e instituciones participantes en el relevamiento de errores ................... 21 
Tabla 3. Cálculo del índice de Hake para la primera parte del cuestionario ................................... 84 
Tabla 4. Cálculo del índice de Hake para la segunda parte del cuestionario ................................... 85 
 
 
 
 
xv 
GLOSARIO DE TÉRMINOS 
Álgebra: Área de las matemáticas que estudia estructuras abstractas en las que, mediante 
números, letras y signos, se generalizan las operaciones aritméticas 
habituales, como la suma y el producto. 
Concatenar: Unir o enlazar dos o más cosas. En matemática números o letras. 
Concatenación: Acción y efecto de concatenar. 
Consejo de Educación Secundaria: En Uruguay, es el órgano de la Administración 
Nacional de Educación Pública a cargo de impartir la educación secundaria. 
Expresiones algebraicas: En matemática, expresiones donde operan (mediante adición, 
multiplicación y sus inversas) números y letras que representan números. 
Errores algebraicos: Errores cometidos al trabajar con álgebra, generalmente al operar con 
expresiones algebraicas. 
Errores algebraicos de concatenación: Unir, enlazar o reducir de forma incorrecta 
números o letras de una o más expresiones algebraicas. 
Investigación acción: Forma de investigar activa y participativamente la enseñanza, con el 
objetivo de comprender y mejorar las prácticas educativas. 
Persistencia de errores: Cuando los errores detectados prevalecen, vuelven a aparecer, 
luego de haber trabajado al respecto. 
Relevamiento: Estudio de un terreno que permite identificar y analizar características del 
mismo. 
Tratamiento de los errores: Planificación e implementación de una metodología de 
trabajo con el objetivo de superar ciertos errores identificados. 
 
 
 
1 
INTRODUCCIÓN 
Esta tesis se enmarca en el estudio de los errores en el álgebra de educación media 
(estudiantes de 13 a 14 años) en un contexto uruguayo. Se considera que un relevamiento inicial 
de errores en este contexto educativo es clave para identificar los errores algebraicos de mayor 
frecuencia y así definir el objeto de estudio de esta tesis. El relevamiento es realizado con 
estudiantes de segundo año (13 años de edad) a meses de comenzado el trabajo con álgebra, con 
el tema de expresiones algebraicas y con estudiantes de tercer año (14 años de edad) ya 
efectuado el repaso de este tema. Se analizan las clases en las que participas estos estudiantes, y 
con el objetivo de evidenciar la persistencia y frecuencia de los errores relacionados a la 
reducción de expresiones algebraicas, identificados en el relevamiento y en las clases, se diseña y 
aplica un cuestionario al finalizar el curso. Los resultados del análisis de dicho cuestionario 
muestran que los errores de concatenación son algunos de los más persistentes. Lo que lleva a 
elegirlos objeto de investigación en este trabajo, conformado por seis capítulos, sucintamente 
descritos a continuación. 
En el primer capítulo se muestran los errores algebraicos detectados inicialmente en el 
relevamiento realizado a nivel de segundo y tercer año de educación media, en grupos a cargo de 
la docente autora de la tesis y en otros grupos de la misma institución a cargo de otra docente. Se 
recopilaron datos sobre la diversidad y la frecuencia de los errores algebraicos, y un primer 
análisis mostró la necesidad de desarrollar una intervención didáctica para superarlos. En el 
segundo capítulo se presenta un análisis de literatura sobre errores algebraicos, su tratamiento, 
así como de los paradigmas de enseñanza que podrían ser de utilidad para solventar estos errores 
en el estudio inicial del álgebra. Este análisis permitió determinar elementos de la práctica 
docente, como la planificación y el desarrollo de la clase de álgebra, cuyo rol es preponderante 
en la superación de errores algebraicos y en particular en los de concatenación, objeto de estudio 
en esta tesis. 
En el tercer capítulo se presenta la metodología diseñada para esta tesis, se especifica el 
rol del relevamiento de errores inicial y cómo éste permite proponer tres fases: 1) análisis de 
clase 2) diseño de un cuestionario para analizar la persistencia de errores algebraicos y en 
particular los de concatenación y 3) diseño de una planificación didáctica para el tratamiento de 
los errores de concatenación. En el cuarto capítulo se presenta el análisis de clase del tema de 
 
 
2 
monomios y reducción de expresiones, en los cursos de 2do y 3er año de educación media. 
Asimismo, se presentan los resultados de la implementación del cuestionario para analizar la 
persistencia de errores algebraicos y en particular los de concatenación. 
En el quinto capítulo se presenta el análisis de la implementación de la planificación 
didáctica diseñada para la superación de errores, así como el análisis de resultados de la 
aplicación del cuestionario para analizar la persistencia de errores algebraicos y en particular los 
de concatenación. Finalmente, en el capítulo 6 se presentan las conclusiones de esta tesis. 
 
 
 
3 
CAPÍTULO 1 
1 PRIMER ACERCAMIENTO A LOS ERRORES 
ALGEBRAICOS 
1.1 INTRODUCCIÓN 
Los errores algebraicos aparecen en el trabajo de los estudiantes cada año y a pesar de los 
esfuerzos de la comunidad de aprendizaje que congrega el aula, no son superados. Su 
persistencia resulta sorprendente, generando la necesidad de analizarlos de manera sistemática 
para comprender sus causas y generar propuestas didácticas que permitan superarlos. Para ello, 
se consideró necesario hacer un relevamiento en un contexto educativo uruguayo y una primera 
caracterización: tipo de errores y frecuencia. 
En este primer capítulo se presenta el relevamiento en el que participaron ocho grupos de 
estudiantes, de segundo y tercer año (13 a 15 años), de tres instituciones distintas, llamadas I1, I2 
e I3, a cargo de diferentes docentes D1, D2 y D3, intentando salvar el análisis del sesgo hacia una 
causa principal de los errores: la didáctica asociada a cada profesor. Las tareas propuestas a los 
estudiantes en el relevamiento solicitaban “reducir expresiones algebraicas”, lo que corresponde 
a los primeros temas de enseñanza en la introducción del álgebra, expresiones algebraicas, 
monomios y reducción de términos semejantes.Es decir, las tareas realizadas por los estudiantes 
corresponden a un programa clásico de enseñanza de las matemáticas en este nivel educativo, 
determinado por el plan de estudios y el libro de texto, elementos comunes a la planificación 
didáctica de todos los grupos y docentes considerados en esta primera fase del estudio. 
1.2 PRIMER RELEVAMIENTO DE ERRORES 
Las primeras tareas, propuestas en un formato de evaluación, para identificar los errores 
algebraicos fueron implementadas en cinco grupos de 2do año, tres a cargo de la docente autora 
de esta tesis (D1) en I1. Los otros dos a cargo de otra docente (D2), uno perteneciente a I1 y el 
otro a I2. Se consideraron también, tres grupos de 3er año de educación media (dos a cargo D1, 
uno en I1 y el otro en I3) y un tercer grupo de este nivel a cargo de una tercer docente (D3) en la 
institución I1. En este relevamiento, se detectó particularmente un alto porcentaje de errores de 
concatenación. Para ilustrarlo, se presentan a continuación elementos de la enseñanza del 
 
 
4 
álgebra y el tipo de tareas propuestas a los estudiantes, así como algunos de los errores 
cometidos de forma más reiterada por los estudiantes participantes. 
1.2.1 Errores algebraicos identificados en segundo año de secundaria 
En el contexto uruguayo considerado, el álgebra es introducida en segundo año de 
educación secundaria, mediante el tema de expresiones algebraicas y su reducción. Una vez que 
dicho tema fue trabajado, con base en una planificación didáctica común elaborada por D1 y D2, 
se realizó una evaluación por escrito en tres grupos de segundo año a cargo de D1 y en dos 
grupos del mismo nivel a cargo de D2. Las tareas propuestas consistían básicamente en reducir 
expresiones algebraicas. Por ejemplo, en la tarea a se solicitó inicialmente expresar el perímetro 
de una figura geométrica, cuyas medidas estaban dadas mediante expresiones algebraicas (Figura 
1) y posteriormente, reducir dicha expresión, operando los términos semejantes. 
 
 
 
Figura 1. Tipo de tarea a. Expresar algebraicamente un perímetro y reducir su expresión 
Se presentan a continuación producciones de los estudiantes, evidenciando los errores 
algebraicos identificados. 
1.2.1.1 Errores identificados en el Grupo 1 a cargo de D1 
En el planteamiento algebraico de los estudiantes del grupo 1, a cargo de D1, se 
encontraron varios errores de asociación de términos no semejantes, expresiones con letras y 
números (Figuras 2 y 3). 
 
 
Figura 2. Adición de términos no semejantes Figura 3. Adición incorrecta de términos no semejantes 
Tarea a 
Expresa de forma algebraica el 
perímetro de la siguiente figura. 
Reduce y ordena dicha expresión 
 
 
 
5 
En el procedimiento que aparece en la figura 3) 3x-5 = 2, el error es doble, ya que además de 
operar términos no semejantes, efectúa erróneamente la operación con enteros, afirmando que 
3-5 = 2. 
1.2.1.2 Errores identificados en el Grupo 2 a cargo de D1 
El tipo de error detectado anteriormente, asociación de términos no semejantes, aparece 
varias veces (Figura 4 y 5) en los grupos estudiados. En este grupo particularmente, uno de los 
estudiantes (E1), suma los coeficientes y suma los exponentes de las variables (Figura 5). 
 
 
 
Figura 4. Adición de términos no semejantes. Figura 5. Adición de términos no semejantes y de 
exponentes. 
1.2.1.3 Errores identificados en el Grupo 3 a cargo de D1 
En el grupo 3, se encontraron los mismos errores algebraicos. Por ejemplo, en la 
reducción de términos semejantes hecha por la estudiante E2 (Figura 6) se observa que opera 
incorrectamente con los coeficientes (12-14=2). El signo de menos no lo asocia al 14 sino que lo 
considera como indicador de la resta, la cual aplica también a los exponentes: (8-1=7). 
Transcripción de la imagen: 12x8 – 14x = 2x7. 
Figura 6. Adición de términos no semejantes y operación incorrecta realizada por E2. 
1.2.1.4 Errores identificados en el Grupo 4 a cargo de D2 en I2 
Se realizó un estudio de las evaluaciones de producciones de estudiantes, que cursan el 
segundo año de educación media, relativas a tareas del mismo tipo, “reducir expresiones 
algebraicas”, del grupo 4 (a cargo de D2 en I2). Se recuerda que D1 y D2 tienen como base de su 
enseñanza una planificación didáctica común que incluye los temas de expresiones algebraicas, 
monomios y reducción de expresiones. En el análisis de las producciones de los estudiantes de 
ese grupo, se visualizaron los siguientes errores: 
 
 
 
6 
Transcripción: 
x2 + x + 3x 2 + 7x + 2 + x 2 + x + 3x 2 + 2. 
Resultado propuesto por el estudiante: 6x8+14x 4+4 
 
Figura 7. Adición de términos no semejantes y operación incorrecta realizado por E3 
En este caso la estudiante E3 identifica y señala (con diferentes colores) los monomios que son 
semejantes entre sí. Por ejemplo, x2 + 3x2 + x2 + 3x2, los marca con color azul, pero luego suma 
solamente los coeficientes 3 obteniendo 6 como resultado. En este caso, la estudiante E3 asume 
que x2 conlleva coeficiente 0. Por otra parte, también suma exponentes, cometiendo otro error en 
la misma operación, en la que obtiene como resultado 6x8. Luego, marca con celeste los términos 
semejantes: x, 7x, x, 7x, nuevamente el término x lo asume como 0x y así el resultado de la 
adición de estos términos tendrá coeficiente 14 y exponente 4. Finalmente suma 2+2 sin errores y 
su resultado final es: 6x8 + 14x4 + 4. 
1.2.1.5 Errores identificados en el Grupo 5 a cargo de D2 en I1 
En la actividad del estudiante E4 (Figura 8) aparecen errores en la operación, ya que 
señala que 1-2 = 1, no reconociendo el resultado negativo. Por otro lado, al igual que en las 
producciones anteriores, suma monomios no semejantes, pero no suma exponentes sino que deja 
el exponente de mayor grado. 
 
Figura 8. Adición de términos no semejantes y operación incorrecta de E4. 
Otro caso de dificultades con la operatoria de enteros aparece en la producción de otro estudiante 
al sumar -8+3 como 3-11. (Figura 9). 
 
 
Figura 9. Actividad en la que aparecen errores en la operación con enteros. 
A partir de este breve estudio de casos, se consideró interesante observar si este tipo de errores 
también aparecían en tercero de secundaria. 
 
 
7 
1.2.2 Errores algebraicos identificados en tercer año de secundaria 
La identificación de errores se hizo en dos grupos distintos de I1, el primero, grupo 1, a 
cargo de D1 y el segundo, grupo 2, a cargo de D3. También se consideró otro grupo, grupo 3 de 
otra institución, I3 a cargo de D1. La enseñanza de la matemática en los tres grupos es muy 
similar, se planifica siguiendo el mismo libro de texto y el mismo plan de estudios. Es por ello, 
que se consideró que tener un relevamiento de los tres grupos podría resultar de gran interés para 
determinar el tipo de errores que aparecen en tercer grado y su frecuencia. La mayoría de los 
errores identificados están relacionados con operar términos no semejantes, sumar exponentes 
cuando no es correcto hacerlo, o despejar incorrectamente y operar inadecuadamente números 
enteros. Para ilustrar estos tipos de errores, se han elegido producciones de los estudiantes como 
se hizo en el nivel de segundo. Se muestran a continuación los más llamativos, acompañados de 
un breve análisis. 
1.2.2.1 Errores identificados en el Grupo 1 a cargo de D1 
Con los estudiantes de tercer año, se realiza un repaso de los temas de álgebra estudiados 
en segundo año, luego de efectuado el mismo, se les aplicó a los estudiantes una actividad de 
reducción de expresiones algebraicas. Al igual que algunos alumnos de segundo año, el 
estudiante E5, del grupo 1 de tercero, suma monomios no semejantes (Figura 10). Para este 
alumno, pese al trabajo de segundo y el repaso de tercero, si las partes literales tienen la misma 
letra, es suficiente para poder sumar los monomios. 
 
 
Figura 10. Adición de términos no semejantes y mal manejode exponentes.. 
El estudiante E5 realiza la operación aritmética correcta entre sus coeficientes (3, 4 y -1). Sin 
embargo, considera que la parte literal del segundo término (4a) tiene como exponente 0, en 
lugar de uno, y adiciona 2, 0 y 2, para obtener el exponente de la suma, que será 4. Obteniendo 
como resultado final 6a4. En la segunda operación: 9x3(-5x) - 6x4 (Figura 11), E5 multiplica 
correctamente los coeficientes, pero consecuente con su creencia de que la ausencia de 
exponente, implica tener exponente igual a 0, propone que: 9x3∙(-5x) = -45x3. 
 
 
 
8 
 
 
Figura 11. Operaciones con términos no semejantes -sólo misma letra- y suma indebida de exponentes. 
Finalmente, para realizar -45x3 - 6x4 vuelve a considerar que son términos semejantes, ya tienen 
la misma letra “x” y calcula bien “- 45 - 6”, pero suma los exponentes 3 y 4, obteniendo -51x7. 
1.2.2.2 Errores identificados en el Grupo 2 a cargo de D3 
En la tarea: 3x2-4x (Figura 12) el estudiante E6 realiza adecuadamente la operatoria de 
enteros, pero no reconoce como monomios semejantes a los términos que tienen la misma letra y 
el mismo exponente, sino que le parece suficiente que tengan la misma letra. Sin embargo, opera 
correctamente 3-4, aplicando correctamente el procedimiento de adición de enteros de distinto 
signo, restando los valores absolutos y quedándose con el signo correcto. Para la parte literal del 
resultado, deja el exponente mayor. 
 
 
 
Figura 12. Adición (o sustracción) de términos no semejantes 
En la realización de la tarea 4x2-12x+9-(5+12x)=12, el estudiante E7 opera en el lugar 
correcto, siguiendo la jerarquía impuesta por el paréntesis, que le indica efectuar primeramente 
5+12 y luego cambiar a su opuesto. Erróneamente, efectúa 5+12x=17x. Otra vez aparece la 
reducción de términos no semejantes. 
Transcripción de la imagen: 
 4x2-12x+9-(5+12x)=12 
 4x2-12x+9-17x=12 
Figura 13. Adición de términos no semejantes 
 
 
 
9 
1.2.2.3 Errores identificados en el Grupo 3 a cargo de D1 
En este caso se solicitaba resolver la ecuación 10x +9x2= 0 (Figura 14), un estudiante 
asocia términos no semejantes: 10x y 9x2, sumando coeficientes y exponentes. Luego comete dos 
errores operatorios de despeje: cambia de miembro el 19 y para despejar la potencia cúbica 
divide entre 3. 
 
 
 
Figura 14. Operaciones con términos no semejantes -misma letra- y suma indebida de coeficientes y exponentes 
 
Al realizar la tarea 8x2+12=4x2+2(6-6x2), una estudiante opera los términos no 
semejantes que aparecen dentro del paréntesis, escribiendo que 6- 6x2 = - 0x2 (Figura 15). Es 
decir, suma los coeficientes y deja la parte literal visible del segundo término. Luego comete 
errores de despeje, y vuelve a sumar términos semejantes de forma errónea del tercer al cuarto 
renglón, sumando exponentes. Al finalizar realiza erróneamente la división de -10 entre 12, su 
valor absoluto y su signo no son considerados de forma correcta. Asimismo, su despeje es 
incorrecto, ya que elimina el exponente 6 de la variable x. 
 
 
 
 
Figura 15. Diversos errores en la realización de la tarea 8x2+12=4x2+2(6-6x2) 
 
 
 
 
10 
1.3 CONCLUSIÓN 
El relevamiento de los errores resulta fundamental en esta tesis, ya que permite tener una 
primera identificación y clasificación de su existencia en un contexto educativo uruguayo, 
representado por 5 grupos de segundo grado y 3 grupos de tercer grado a cargo de tres diferentes 
docentes y en tres instituciones distintas, como se ilustra en la tabla 1. 
 
 
Tabla 1 Grupos, docentes e instituciones participantes en el relevamiento de errores 
Segundo año Tercer año Institución Docente a cargo 
Grupo 1 I1 D1 
Grupo 2 I1 D1 
Grupo 3 I1 D1 
Grupo 4 I1 D2 
Grupo 5 I2 D2 
 Grupo 1 I1 D1 
 Grupo 2 I1 D3 
 Grupo 3 I3 D1 
El análisis inicial de este relevamiento ha mostrado cómo la misma acción, “operar 
términos no semejantes” puede estar asociada a diferentes errores: Reconocer como términos 
“operables” aquellos que tienen la misma letra –pero diferente exponente- o aquellos que están 
dentro de un paréntesis. Es decir, aunque parece ser el mismo error su naturaleza es distinta y 
posiblemente su causa también. De la misma manera, resulta interesante notar cómo los 
estudiantes de tercer grado siguen cometiendo errores similares a los de segundo grado, aunque 
ellos han avanzado en el estudio del álgebra. Todo esto lleva a plantearse la necesidad de generar 
propuestas didácticas que permitan superar los errores identificados. 
Al considerar todo lo anterior, una pregunta que emerge es: ¿la planificación didáctica 
asociada a la enseñanza inicial del álgebra y su puesta en marcha, determinan o influyen en la 
aparición de ciertos errores algebraicos? Para abordar esta primera cuestión se considera 
necesario analizar investigaciones desarrolladas en la Matemática Educativa en torno al estudio 
de errores algebraicos, como se detalla en el siguiente capítulo. 
 
 
 
11 
CAPÍTULO 2 
2 ERRORES ALGEBRAICOS 
2.1 INTRODUCCIÓN 
Los errores algebraicos, como se ilustró en el capítulo anterior, parecen ocurrir 
independientemente del estudiante, de las generaciones o incluso del docente. Eudave (1998) 
señala que, en general, los errores se manifiestan en los estudiantes al enfrentarse a 
conocimientos nuevos, que los obligan a revisar y reestructurar lo que ya saben. Es decir, muchas 
de las veces los estudiantes están aplicando conocimientos o reglas que ya manejan, pues las 
aplicaban antes, pero ahora las aplican bajo condiciones en las que ya no tienen validez. La 
complejidad del error y de su estudio conlleva a considerar diferentes tipos de errores, los 
epistemológicos referidos al conocimiento mismo y a su dificultad para construirlo o darle 
sentido, los didácticos, asociados a la forma en que se ha enseñado determinado tema, haciendo 
uso de ejemplos paradigmáticos, repitiendo una técnica “general”, dejando fuera ejemplos que 
requieren de adaptaciones de la técnica, o los que pudieran asociarse más a una dimensión 
cognitiva, es decir a dificultades para construir el conocimiento. 
En este capítulo se analizan diferentes investigaciones que han abordado los errores en 
matemática: sus posibles causas y clasificaciones, estableciendo como centro de interés los 
errores algebraicos y particularmente los de concatenación. De la misma manera, se explicitan 
los elementos de la investigación acción en los que se fundamenta este estudio de la práctica 
docente. 
2.2 EL ERROR Y SU NATURALEZA 
Se entiende que el error es un elemento que aparece y acompaña todo proceso de 
enseñanza-aprendizaje. Rico (1998) indica que el error es parte legítima del acceso al 
conocimiento llegando en ocasiones a formar parte del conocimiento científico. Otra acepción 
que se considera es que “los errores son intentos razonables, pero no exitosos de adaptar un 
conocimiento adquirido a una nueva situación” (Matz, 1980, p.94). Por otro lado, Socas (1997) 
señala que la naturaleza distintiva y específica del lenguaje matemático, lo vuelve más difícil de 
transmitir. En el lenguaje coloquial o habitual, uno puede comunicar significados exitosamente 
 
 
12 
aún cometiendo errores de ortografía o rompiendo algunas reglas gramaticales. Sin embargo, en 
matemática debe realizarse una interpretación exacta de los signos para poder comprender un 
enunciado o un mensaje. 
2.3 ERRORES ALGEBRAICOS Y SUS CAUSAS 
Un aspecto, que según Socas (1997) complejiza la comprensión de las matemáticas y por 
ende la aparición de errores, es que esta disciplina comparte palabras con el lenguaje coloquial, 
pero cambiando el significado. El “estadio semiótico” refiere al desarrollo de una estructura que 
aprende significado de signos y agrega a losya conocidos. Pero en matemática, también se 
incluye palabras totalmente nuevas, signos totalmente nuevos, que deben ser adquiridos por una 
estructura antigua. Esta organización que se debe hacer de la estructura del sistema antiguo es lo 
que el autor llama “estadio estructural”. En matemática, varias de las incorporaciones que deben 
hacerse al comienzo del álgebra particularmente, requieren de excepciones o restricciones. Aquí 
es cuando aparecen dificultades cognitivas, ya que el estudiante no puede explicar el 
comportamiento o significado de ciertos signos con la estructura anterior y les asignan un 
significad propio, comenzando lo que el auto llama “estadio autónomo”. 
Si se sitúa uno en la rama del álgebra que aparece por primera vez en la educación 
secundaria en programas de segundo año (estudiantes de 13-14 años en Uruguay), se encuentran 
diversos y numerosos trabajos e investigaciones que reportan los cuantiosos y profundos errores 
que cometen los estudiantes. Esto se debe a que, en el álgebra, a diferencia de la aritmética, es 
necesario un pensamiento operacional concreto para manejar métodos formales. Si los 
estudiantes tienen dificultades en la etapa formal de operaciones, entonces éstas suelen estar 
relacionadas a procesos de enseñanza (Socas, 1997), vinculados con la organización curricular. 
Por lo cual conocer la naturaleza de los procesos de aprendizaje es una herramienta para el 
diseño de actividades y la planificación. 
Es esperable que la frecuencia de errores sea mayor cuando se trabaja con álgebra ya que 
la estructura que le permitía al alumno trabajar con aritmética ya no le es útil. Debe ahora 
conocer y manejar diferentes contextos y reglas, identificar semejanzas y diferencias entre el 
mundo aritmético y algebraico. Por ejemplo, las diferencias de la adición en uno y otro generan 
conflicto. Esto es asignado según Collis (1974 citado en Socas, 1997) a la no aceptación, de 
algunos alumnos de la falta de clausura (necesidad de un resultado de un término luego del igual 
 
 
13 
y como respuesta a una adición). Socas (1997) clasifica estos errores como errores que tienen su 
origen en un obstáculo. Para ir forjando la nueva estructura y superar dichos errores, el 
estudiante deberá contar con una técnica de regularidad o búsqueda de patrones, poder de 
abstracción, reconocimiento de regularidades y generalización, lo que López y Silva (2013) 
denominan pensamiento variacional. 
Socas (1997) reconoce otro origen de los errores en álgebra: la ausencia de sentido. Esto ya 
ha sido reportado anteriormente por Booth (1984), quien tras realizar cuestionarios y entrevistas 
a sus estudiantes de entre 14 y 16 años, centra el problema en que los alumnos no tienen claro 
cómo interpretar las letras que aparecen en los ejercicios. A preguntas del tipo ¿qué representa la 
y en 3+5y? Los estudiantes responden desde: “no es nada” hasta “es algo, tipo un yogurt”. Por 
otro lado, Esquinas (2009) encuentra la causa u origen de los errores en la etapa primaria, ya que 
“la enseñanza tradicional de la aritmética lleva asociado un aprendizaje de las reglas operativas 
de forma mecánica sin comprensión conceptual de las operaciones, lo que dificulta la 
construcción de estructuras matemáticas necesarias para el desarrollo posterior del álgebra” (p. 
374). 
Si se realiza una mirada a los diferentes errores que han sido reportados dentro del 
álgebra, se encuentran errores asociados a la comprensión profunda de lo que representan las 
letras en las expresiones. Un análisis de este tipo de errores aparece en Eudave (1998) quien 
plantea que en primaria, las letras son utilizadas como abreviaturas para medidas como en el caso 
de metros (m), centímetros (cm); o como iniciales en las fórmulas de áreas y volumen. Por este 
motivo, el alumno la ignorará, la eliminará o simplemente la agregará al final de su resolución. 
Otro escenario que reconoce el autor y que se ve con frecuencia en clase, es que los alumnos 
asignen a la letra un valor específico, aleatorio, asignado por ellos y cambien la letra por ese 
número desde un principio. Esto lo llama letras con un valor específico. 
Pinzón y Gallardo (2000) documentaron otro tipo de error al que nombraron “esquema de 
casi-igualdad” y refiere a la dificultad en el cambio de concepto de igualdad en álgebra. Estos 
autores documentan en un estudio realizado a estudiantes de secundaria que cursan introducción 
al álgebra, que para muchos de ellos el signo de igual implica hacer algo. Esta idea errónea de 
los alumnos ya había sido identificada por Kieran (1982, citado en Pinzón y Gallardo, 2000), 
 
 
14 
estableciendo que para los alumnos el signo igual era señal que ordenaba realizar ciertas 
operaciones, más que un símbolo de equivalencia. 
2.4 ERRORES DE CONCATENACIÓN 
Los tipos de errores que se encuentran reportados en la literatura son numerosos y muy 
variados. Los errores de concatenación parecen ser de los menos citados y poco analizados en 
sus distintas acepciones, por lo que se considera que este trabajo puede aportar elementos 
valiosos sobre su estudio. Etimológicamente, concatenar significa “unir o enlazar dos o más 
cosas” (Real Academia Española, 2019). Es común que cuando un joven entra en el mundo del 
álgebra y no cuenta con una comprensión de lo que representan o no las letras, él las ve de 
manera indistinta a los números. Lo primero que se puede destacar es que en el mundo escolar, la 
forma de concatenación que conocen es la que se utiliza en aritmética, y en ese universo implica 
adición. Así, lo que el niño comprendió durante toda su experiencia con la matemática, es que 45 
significa 40 + 5. En el mundo del álgebra, la concatenación implica multiplicación (5b significa 
5×b) o en algunos casos adición y multiplicación: 67b significa (60+7)×b. Es necesario hacer 
notar que en Uruguay, como en muchos países, durante el trabajo con la aritmética, la 
multiplicación se representa siempre con una “×”, mientras que en álgebra, la ausencia de 
símbolo entre un número y una letra o entre dos letras, implica multiplicación. Otra de las 
notaciones que se utilizan para representar la operación multiplicación en álgebra, es un punto 
“”, pero no el signo conocido por los estudiantes en primaria (etapa escolar). Como 
consecuencia de todo esto, plantea Herscovics (1989) el trabajo con expresiones algebraicas 
puede resultar una fuente de dificultad para aquellos alumnos que están recién adentrándose en el 
mundo del álgebra. 
Además de Herscovics (1989) otros autores que manejan el concepto de concatenación en 
sus trabajos son Matz (1982) y Booth (1984), quienes argumentan que ésta suele usarse en 
aritmética para la notación posicional, y además expresa la adición implícita en el caso de 
fracciones mixtas. Por ejemplo, 
 
 representa un número mixto, que es 4 unidades más un 
medio. En ese caso, hay una adición implícita entre el entero y la fracción, es decir, la ausencia 
es del símbolo “+”, lo cual según los autores crea más confusión, ya que en el mundo del 
álgebra, como se ha mencionado, la ausencia de signo, implicará una multiplicación, el símbolo 
que se omite es “×”. 
 
 
15 
Algunos errores de concatenación reportados en Pinzón y Gallardo (2000) son como los 
que aparecen a continuación: “si x = 6, 4x = 46” es decir, que se utiliza la interpretación 
posicional de concatenación. También afirmar que “si x = -3 e y = -5 entonces xy = -8”; donde 
se usa la interpretación errónea de adición implícita de concatenación. Otro de los ejemplos que 
muestran los autores es la conjunción de términos no semejantes. 
Se podría creer que luego de la educación secundaria los estudiantes no cometen más este 
tipo de errores de concatenación. Sin embargo, García (2015) realiza un relevamiento de errores 
en alumnos que ingresan a la educación universitaria. A preguntas del tipo, “Si m=3n+1 ¿qué 
puedes decir de m si n=4?”,encuentra respuestas como: m=35. Matz (1982, citado en García 
2015) sostiene que estos tipos de errores se dan porque los estudiantes consideran que los valores 
conocidos representan valores posicionales y por consiguiente los escriben en el resultado; y los 
documenta como errores de concatenación. Por ejemplo, cuando algunos estudiantes concluyen 
que 4x = 46, cuando x = 6, el 4 representa el número conocido ubicado en la posición de las 
decenas y 6 lo ubican en la posición de las unidades. 
Muchos son los factores que influyen para que el alumno cometa errores en la reducción 
de expresiones algebraicas, no solo la concatenación empleada incorrectamente. Por ejemplo, el 
hecho de que el signo de multiplicación ya no se use en álgebra, para no ser confundido con la 
letra x, es un factor que propicia un terreno confuso y vulnerable a errores. La repercusión 
negativa en el pasaje de este símbolo: “x” a “∙” fue ya identificada en Socas (1997), quien 
recomendó no dejar de usar el símbolo de operación de multiplicación, y López y Silva (2013) 
retoman esta idea y argumenta que la concatenación es una categoría dentro de la omisión de 
signos. El autor justifica que el alumno que produce como respuesta que xw es igual a la suma 
x+w, es porque cree que la unión de términos en álgebra representa la suma. 
Por último, es menester reconocer que en la mayoría de las investigaciones sobre errores 
en matemática y ésta no es la excepción, los estudiantes tienden a realizar más de un error en un 
mismo renglón. 
En la mayoría de las respuestas erróneas de los alumnos se presentan simultáneamente 
varios tipos de errores. Así por ejemplo, es común encontrar problemas en el manejo de los 
paréntesis y por consiguiente un manejo inadecuado de la concatenación y la aplicación 
ingeniosa pero errónea de exponentes (Eudave, 1998, p. 28). 
 
 
16 
Para ilustrar lo anterior, se puede considerar el siguiente ejemplo: 3a+4b =7a1 b1, donde 
no se comprende el uso de las letras, hay confusión en el significado de la concatenación y de los 
exponentes. Otro ejemplo que aparece en Eudave (1998) es el siguiente: (a-b) + b =a-2b. En este 
caso, el autor plantea que no se respeta el paréntesis ni el valor de las letras. 
En definitiva, se detecta que el pasaje de la aritmética al álgebra resulta particularmente 
difícil para los alumnos, debido a la complejidad asociada a cada una de estas áreas matemáticas 
y por tanto, aparece una diversidad de errores. El cambio del mundo aritmético al algebraico 
requiere de un ajuste de estructura y difícilmente el tiempo didáctico lo posibilita. Un cambio en 
la notación para representar alguna operación como la multiplicación, puede generar dificultad 
en el alumno, así como esfuerzo en interpretar que la ausencia de signo que antes representaba 
adición ahora representa multiplicación. La imposibilidad de llegar a un resultado, es decir, de no 
poder operar una adición de dos o más términos y llegar a un solo número también obstaculiza el 
trabajo del álgebra. 
2.5 INVESTIGACIÓN-ACCIÓN 
El concepto de investigación acción aparece por primera vez publicado por Kurt Lewin, 
quien simultáneamente concibe la teoría y la acción. Lewin (1946, citado en Velazco, 2012) 
contempla la necesidad de tres elementos esenciales para el desarrollo profesional: investigación, 
acción y formación, los cuales forman los vértices del triángulo de Lewin y deben permanecer en 
interrelación e intercambio permanente. La forma en la que se vinculan estos tres elementos es 
en ciclos de acción reflexiva, debiendo sostenerse unidos, aportándose unos a otros 
constantemente. Latorre (2003) define la investigación acción de Lewin como un “bucle 
recursivo y retroactivo de investigación y acción” (p. 27) donde cada elemento evalúa y aporta al 
otro, permitiendo así la formación del investigador (profesor en un ámbito educativo). Es decir, 
realizar una investigación acción implica buscar resultados prácticos y teóricos en simultáneo, 
realizando un diálogo permanente en el que el investigador ahonda en su formación. En palabras 
de Carr y Kemmis (1986, citado en Carro, 1993) “la teoría como la práctica se contemplan como 
provisionales y susceptibles de modificarse a la luz de la experiencia” (p. 2). 
Kemmis y McTaggart (1988, citado en Latorre, 2003) detallan las características que debe 
tener una investigación acción, entre estas ser participativa, tener como objetivo mejorar la 
propia práctica, ser colaborativa, seguir una espiral introspectiva: planificar, implementar, 
 
 
17 
observar, reflexionar, evaluar. Este tipo de trabajo permite una sistematización del aprendizaje 
que está orientado a la acción no sólo crítica sino crítica e informada, ya que se debe realizar una 
teorización sobre la práctica. La práctica debe ser evaluada mediante registro, recopilación de 
información y evaluaciones. Una investigación acción induce necesariamente a teorizar sobre la 
práctica y a analizar de forma crítica las situaciones. Se comienza con pequeños ciclos o 
espirales y se avanza hacia problemas mayores. Es importante señalar que en una investigación 
acción, el propósito fundamental no es tanto la generación de conocimiento sino el 
cuestionamiento de las prácticas sociales, explicitarlas y estar en medida de reconstruirlas 
(Latorre, 2003). Particularmente, en el ámbito educativo se espera que este tipo de aproximación 
facilite el cambio y el análisis para mejorar las prácticas. 
Desde el surgimiento del concepto investigación acción hasta la actualidad, las 
modalidades que surgieron y se sostienen se pueden dividir en tres: investigación acción técnica, 
investigación acción práctica, e investigación acción crítica emancipatoria. Zuber-Skerritt (1992, 
citados en Latorre, 2003) señalan que cada una de las modalidades en sí mismas son válidas y 
conllevan al desarrollo profesional. Estos autores legitiman también la posibilidad de empezar 
por la investigación acción técnica y luego avanzar hacia la investigación acción práctica y a la 
emancipatoria. Pero, ¿en qué se diferencian sustancialmente estas modalidades en su aplicación 
al ámbito educativo y las prácticas docentes? Latorre (2003) sintetiza las características de las 
distintas modalidades de forma eficiente, planteando que en una investigación acción técnica se 
pretende que el docente participe en programas diseñados por expertos, con el fin de lograr una 
mejora en la práctica educativa. En este caso, el desarrollo metodológico aparece prefijado. Por 
otro lado, la investigación acción práctica confiere al docente protagonismo y autonomía a 
seleccionar los objetivos y llevar adelante la investigación pudiendo consultar a un actor externo 
experto. Por último, la investigación acción emancipadora pretende profundizar en la 
emancipación del profesorado, de sus prácticas rutinarias y creencias vinculando su acción al 
ámbito social y contextual en el que se desenvuelve. Esta última postura que defienden Carr y 
Kemmis, tiene como objetivo cambiar las formas de trabajo, a través del discurso y la 
organización. 
 
 
18 
2.6 CONCLUSIÓN 
Los errores algebraicos son muy diversos, pero en este trabajo se ha puesto principal 
interés en los errores de concatenación, ya que éstos se relacionan con la interpretación de cómo 
se “juntan” (concatenan) números y letras, para formar expresiones algebraicas. La 
interpretación, que persiste desde la aritmética, es la concepción de que “todo” es adición. Lo 
que lleva a los alumnos a cometer equivocaciones tanto en la suma de monomios, como en la 
resolución de ecuaciones. 
El interés en el estudio de este tipo de errores, lleva a los siguientes cuestionamientos: 
¿Cuáles son los errores de concatenación que aparecen con mayor frecuencia? ¿Cuáles de éstos 
persisten a pesar de la enseñanza del álgebra? ¿Qué elementos deben de considerarse en el 
diseño o adaptación de una planificación didáctica,que permita disminuir la frecuencia de estos 
errores y mejore el entendimiento de la concatenación algebraica? Para abordar estas cuestiones 
se propusieron diferentes elementos metodológicos, enmarcados en la investigación acción, que 
son descritos en el siguiente capítulo. 
 
 
 
19 
3 METODOLOGÍA 
3.1 INTRODUCCIÓN 
En este capítulo se presentan las seis fases que conforman la metodología y que sustentan 
el estudio de errores de concatenación en un contexto uruguayo. Cada una de las fases permite 
generar el estudio sobre la naturaleza de los errores algebraicos y en particular enfocarse en la 
relación entre la didáctica de la clase de álgebra con los errores de concatenación identificados y 
la forma en que éstos pueden ser superados. En particular, se genera un cuestionario para 
identificar errores de concatenación, que permite evaluar los efectos de la didáctica de la clase de 
matemáticas de segundo año de educación media, en dos ediciones del curso, 2018 y 2019. La 
primera edición, como lo muestra el análisis de clases, se basó en una planificación didáctica 
tradicional y la segunda edición en una nueva planificación fundamentada en elementos 
didácticos y pedagógicos, con el objetivo de superar errores de concatenación, identificados en el 
relevamiento y en el cuestionario implementado después de la primera edición del curso. 
El contexto de la investigación y las seis fases que conforman la metodología se 
presentan con detalle. Finalmente, se comparan los resultados de los cuestionarios para 
identificar errores de concatenación, obtenidos en las dos ediciones del curso, 2018 y 2019. Para 
visualizar el aprendizaje alcanzado se utiliza el factor de Hake, un número que muestra el índice 
de mejoría. Este número se calcula a través de una fórmula desarrollada por Richard Hake en el 
que se consideran las respuestas correctas pre y post intervención. En este estudio, se debe salvar 
el sesgo de que los estudiantes considerados en una y otra etapa son diferentes, con el objetivo de 
calcular una aproximación a la mejoría en el aprendizaje. 
3.2 CONTEXTO EDUCATIVO URUGUAYO 
En Uruguay, el CES (Consejo de Educación Secundaria) es quien se encarga de la 
enseñanza secundaria. Esto incluye la educación media básica, que corresponde a niveles de 
primero, segundo y tercero, como la media superior (grupos de cuarto, quinto y sexto). El nivel 
de segundo año y de tercer año, tienen una carga de 5 “horas” semanales dedicadas a la 
enseñanza de las matemáticas. Esto rige para instituciones públicas y privadas que estén bajo la 
habilitación del CES. Una de esas horas se denomina E.P.I. (Espacio Pedagógico Inclusor) y 
puede destinarse a trabajar sólo con una parte del grupo. Las horas-clase en secundaria son de 45 
 
 
20 
minutos. Existen sesiones de 1 clase (45 minutos) o bien “módulos” (generalmente de 80 
minutos dependiendo de la institución). 
Los temas a tratarse en cada nivel, los determina el CES, mediante el programa oficial del 
nivel, base de las planificaciones docentes, ya que muestra los temas que deben tratarse, así 
como un estimativo del tiempo necesario para su enseñanza. Asimismo, el programa incluye 
recomendaciones de ciertos libros para el trabajo y ejercitación de los estudiantes. 
En el programa oficial de segundo año aparece por primera vez el álgebra y se estiman 10 
semanas de trabajo para su enseñanza, en dos grandes bloques: Expresiones algebraicas 
(polinomios de una variable, grado, valor numérico, adición, sustracción y multiplicación de 
expresiones) y funciones. Los otros temas a tratar en este nivel son los siguientes: números y 
conjuntos numéricos, ecuaciones e inecuaciones, geometría del triángulo (puntos y líneas 
notables), funciones del plano en el plano y geometría del espacio. En el nivel de tercero, el 
programa oficial asigna 14 semanas al trabajo de álgebra, específicamente con los siguientes 
temas: polinomios, factorización, productos notables, funciones polinómicas de segundo grado, 
ecuaciones de segundo grado, sistemas de ecuaciones y sistema de inecuaciones. En este nivel se 
trabaja también con el teorema de Thales, el teorema de Pitágoras, geometría del espacio, 
trigonometría, probabilidad y estadística. 
3.3 FASE 1. RELEVAMIENTO INICIAL DE ERRORES 
La primera fase de este trabajo consistió, como se muestra en el capítulo 1, en un primer 
relevamiento de errores en cinco grupos de segundo y en tres grupos de tercer año de educación 
media en Uruguay. Si bien el interés principal estaba puesto en segundo año, ya que es donde se 
introduce el trabajo con monomios y reducción de expresiones algebraicas, se consideraron dos 
grupos de tercer año, con el objetivo de identificar la persistencia de errores. Asimismo, se 
consideraron tres instituciones y tres docentes distintas, como se muestra en la Tabla 1 (misma 
que aparece en el capítulo 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
Tabla 2 Grupos, docentes e instituciones participantes en el relevamiento de errores 
Segundo año Tercer año Institución Docente a cargo 
Grupo 1 I1 D1 autora de la tesis 
Grupo 2 I1 D1 autora de la tesis 
Grupo 3 I1 D1 autora de la tesis 
Grupo 4 I1 D2 docente participante 
Grupo 5 I2 D2 docente participante 
 Grupo 1 I1 D1 autora de la tesis 
 Grupo 2 I1 D3 docente participante 
 Grupo 3 I3 D1 autora de la tesis 
 
Los grupos de segundo año, tres a cargo de D1 y 2 a cargo de D2, estaban trabajando con 
expresiones algebraicas, utilizando una planificación didáctica en común. Por una parte, se hizo 
el relevamiento, que consistió en una evaluación escrita propia del curso, enfocada en reducir 
expresiones algebraicas. Se registraron los errores más frecuentes, descubriendo que los de 
concatenación eran de los más reiterados y que varios estudiantes cometían más de un error al 
realizar una operación algebraica. Por otra parte, se consideraron trabajos escritos de los cursos 
de tercero, dos grupos a cargo de D1, y de otro grupo a cargo de D3. Al igual que en el nivel de 
segundo año, en tercer año, la planificación didáctica es muy similar entre los grupos, ya que 
aquí las docentes también trabajan de forma coordinada utilizando el mismo libro de texto y 
proponen ejercicios similares para la evaluación. Se solicitó a D3 acceder a los trabajos escritos 
de sus alumnos en el grupo de tercer año considerado. Este grupo había realizado una evaluación 
luego del repaso de expresiones algebraicas. Se identificaron los errores específicos de reducción 
de expresiones y se compararon con los registrados en los grupos 1 y 3 del mismo nivel. Se 
identificaron errores similares a los cometidos por los estudiantes de segundo año. 
De manera general, este relevamiento permitió así identificar que los errores de 
concatenación aparecían como unos de los más persistentes, por lo que se eligieron como el 
objeto de estudio principal de esta tesis. 
3.4 FASE 2. ANÁLISIS DE CLASE 
El análisis de clase se propuso para analizar la posible incidencia de la didáctica sobre 
estos errores. Se analizó la enseñanza del álgebra a cargo de D1, en tres grupos de segundo año 
en I1, con la misma planificación didáctica -basada en el programa y en el libro, “Prácticas 2” de 
la editorial Santillana-. El énfasis del análisis estuvo en las interacciones entre estudiante-
docente, estudiante-estudiante en diferentes momentos de la clase, exposición, trabajo individual, 
 
 
22 
trabajo colectivo, exposición de producciones de los estudiantes frente a todo el grupo. El 
análisis de clase tuvo como insumos el registro de audio, los cuadernos de los estudiantes y 
fotografías del pizarrón. Se eligieron algunas interacciones representativas, que fueron 
transcritas. “P” denota la intervención de la profesora y “E” la de un estudiante, y que 
acompañadas de producciones de los estudiantes, constituyen la base del análisis de clase, como 
se ilustra en el capítulo 4. 
3.5 FASE 3. DISEÑO DE UN CUESTIONARIOPARA DETECTAR ERRORES 
DE CONCATENACIÓN 
Se diseñó un cuestionario con el objetivo de clasificar los errores y sus causas. Por 
ejemplo, si el error corresponde a un mal tratamiento de los exponentes, debido al 
desconocimiento de las propiedades, o si el estudiante no identifica monomios semejantes, o por 
el contrario, los identifica pero tiene errores en la adición de enteros, etc. 
[…] las categorías no son compartimentos estancos, y suelen solaparse unas con otras (ya 
que rara vez un error obedece a una única causa), pero permiten postular posibles razones 
para su aparición, y guiar, de ese modo, en la elección de actividades remediales. (Del 
Puerto, Minnaard y Seminara, 2004, p. 5) 
Clasificar o identificar las causas más comunes de los errores, permite elaborar lo que Del 
Puerto et al. (2004) llaman biblioteca de errores típicos, que es de gran valor para la 
planificación y re-planificación docente. Conocer los errores más comunes permite al docente 
elegir y proponer ciertas actividades y desafíos para evitarlo, o en su defecto trabajar y 
reflexionar para superarlos. Uno de los interés en este trabajo es diferenciar errores, ya que como 
plantea Castillo (2002) “un error de concepto reviste mayor relevancia que un error de 
ejecución” (p. 267) y es necesario distinguirlo, para abordar aquellos que muestran conceptos 
defectuosos ligado a la estructura mental del álgebra que han incorporado y elaborado. Por 
ejemplo, ante el ejercicio -11x+4x, los alumnos que contestan 7x, muestran un manejo de 
monomios semejantes, donde operan con coeficientes y dejan la parte literal común. Sin 
embargo, falta afinar el trabajo con la adición de enteros de distinto signo. Más aún, sí saben que 
se efectúa restando los valores absolutos, pero en la ejecución no se detienen a evaluar qué signo 
debe llevar el resultado. 
 
 
23 
Dado que en el primer relevamiento se detectó que algunos estudiantes cometían dos 
errores en una misma operación, o en un mismo renglón, por ejemplo: Se 
desglosan operaciones, dando un verdadero o falso en el cuestionario, que permita identificar el 
tipo de error más cometido. Esto, para discernir si asocian monomios no semejantes y a su vez 
usan mal las propiedades de potenciación, o si lo uno o lo otro de manera separada. Por ejemplo, 
en este caso: los monomios son semejantes, pero no se reconoce el coeficiente en 
el segundo término y a su vez, se comete el mismo error que en el ejemplo anterior (suman 
exponentes en adición de monomios). 
De manera general, se propusieron ejercicios simples, ya que como señala Malle (1993), 
al considerar ejercicios más complejos, resulta difícil detectar un error específico. El cuestionario 
está dividió entonces en dos secciones. En la primera parte se solicitó a los estudiantes reducir 
términos semejantes y en la segunda parte, determinar si las igualdades presentadas eran 
correctas o incorrectas. 
3.5.1 Cuestionario de concatenación 
Reduce las siguientes expresiones: 
x + x = 
x + 3x + 2x = 
-5x + 8x –x = 
-11x + 4x = 
x2 + x3 + 4x2 + 5x3 = 
3x2 – x + 2x = 
x + y = 
2x + 2y = 
3x + 4y = 
¿Cuál o cuáles de estas igualdades son correctas? 
3x + 6x = 9x2 
3x + 6x = 9x 
x + x2 = x3 
x + x2 = 2x3 
x + x2 = 2x2 
-5x3 + 2x3 = -3x0 
 
 
24 
-5x3 + 2x3 = -3x3 
-5x3 + 2x3 = -7x3 
-5x3 + 2x3 = -7x0 
 
3.6 FASE 4. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DEL CUESTIONARIO 
El análisis se hizo considerando cada respuesta equivocada, asociándole el tipo de error y 
registrando el número de estudiantes que lo cometen. Asimismo, se identificó a aquellos 
estudiantes que cometían más de un error, para poder analizarlos particularmente. Se realizó un 
análisis exhaustivo de los resultados, volcando la frecuencia de aparición y respectivos 
porcentajes en el apartado 4. Se hicieron gráficos de barras y gráficos circulares que permiten 
ilustrar de manera general el tipo de error y su frecuencia, los cuales aparecen en el capítulo 4. 
3.7 FASE 5. PLANIFICACIÓN DIDÁCTICA PARA SUPERAR ERRORES DE 
CONCATENACIÓN 
Para generar la planificación didáctica enfocada en la superación de errores algebraicos 
de concatenación, se consideraron elementos pedagógicos y didácticos. 
3.7.1 Elementos pedagógicos para la planificación didáctica 
Elementos de las pedagogías del éxito y del error (De La Torre, 2004) fueron 
considerados en la planificación didáctica. El primero de ellos, es el principio de progresión 
graduada de la pedagogía del éxito, De la Torre señala que: “A través del mecanismo didáctico 
de la ejercitación, el alumno va adquiriendo confianza y conciencia de éxito en las tareas de 
aprendizaje” (p. 77). Así, se proponen ejercicios de práctica que permitan al estudiante lograr la 
comprobación inmediata de las resoluciones propuestas y de los resultados encontrados. El 
segundo proviene de la pedagogía del error y consiste en proponer ‘la pregunta extra’ que 
provoque un conflicto cognitivo para disparar la discusión y así avanzar un escalón más en la 
escalera del aprendizaje. En consonancia con estos elementos pedagógicos, se apela a una 
individualización de la enseñanza, guiando al estudiante, pero facilitando y promoviendo la 
ayuda entre los propios compañeros. Asimismo, se proponen actividades que fomentan el trabajo 
en grupos. El docente interviene, pero no de forma expositiva ni demostrativa. Además, las 
actividades propuestas a los estudiantes deben ser retadoras y propiciar la reflexión, incitando al 
auto-aprendizaje. Según De La Torre la metodología heurística es la que tiene por objeto “que el 
 
 
25 
alumno descubra por sí mismo, las nociones o conceptos correspondientes a su edad o 
desarrollo” (p. 83). 
3.7.2 Elementos didácticos para la planificación didáctica 
Se analizaron nuevamente investigaciones enfocadas en el estudio del álgebra y se 
identificaron cuatro elementos para superar los errores algebraicos de concatenación: 1) el error 
visto como organizador didáctico; 2) desarrollar el lenguaje algebraico; 3) establecer conexiones 
entre la aritmética y el álgebra y 4) socializar el error en la enseñanza del álgebra. Estos cuatro 
elementos se detallan a continuación. 
3.7.2.1 El error visto como organizador didáctico 
Desde la perspectiva de la pedagogía del éxito que plantea De la Torre (2004), el fracaso 
desanima al alumno y perjudica su aprendizaje. Esto, puede resultar particularmente cierto si el 
error es fuertemente penalizado. Por ejemplo, en las evaluaciones se califica el puntual 
desempeño del estudiante en lugar del proceso de aprendizaje. Pero también es posible 
considerar el error como una oportunidad para intervenir y reestructurar conceptos que el 
estudiante ha construido de manera no adecuada. Así, el error deja de ser un resultado 
sancionable o punible, y pasa a ser una herramienta para la re-planificación docente, para la 
intervención y la reflexión. 
3.7.2.2 Desarrollar el lenguaje algebraico 
El lenguaje algebraico es considerado un elemento clave en la enseñanza del álgebra, que 
sin embargo, puede fungir como obstáculo, ya que a diferencia del lenguaje coloquial, transmitir 
exitosamente un mensaje, no admite errores (Socas, 1997). Si se considera que el sistema antiguo 
es el referente para organizar la estructura relacionada con el sistema nuevo, el trabajo con 
actividades en las que se ponga en práctica el pasaje de un lenguaje al otro, posibilita establecer 
correspondencias válidas desde el comienzo de la enseñanza del álgebra. En esta misma línea, 
luego de avanzar con el trabajo de monomios, resulta importante continuar el trabajo enfocado 
en la escritura del lenguaje algebraico, lo que permite valorar la fluidez que cada alumno va 
alcanzando y también permite identificar si es necesario deconstruir y reconstruir algún concepto 
que internalizó de forma errónea. 
 
 
26 
3.7.2.3 Establecer conexiones entre la aritmética y el álgebra 
El pasaje de la