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CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE TEORÍA DE CONJUNTOS DEFINICIONES: Conjunto: Término básico no definido. Concepto intuitivo: Lista, colección o clase de objetos, bien definidos. Notación: por letras mayúsculas. Sus elementos por letras minúsculas. Se puede definir : Por extensión (o forma tabular): se enumera cada uno de los elementos del conjunto. Ejemplo: A = {-2,1,3,4} Por comprensión (o forma constructiva): cuando se enuncia una propiedad que deben tener sus elementos. Ejemplo: B = {x/x es número racional} C = {x/x = 2n-1 + 1, nN} Relación de pertenencia: Para indicar que un elemento pertenece o no a un conjunto se utiliza los signos y respectivamente. Conjuntos numerables y no numerables: Un conjunto es numerable si consta de un cierto número de elementos distintos donde el proceso de contar puede acabar, si no acaban el conjunto es no numerable. Conjunto vacío: Carece de elementos. Se denota por el símbolo ó { } y se representa por ❑A {x / x∈ A∧ x∉ A } Conjunto unitario: Es el que tiene un solo elemento. Conjunto universal: Es un conjunto que contiene todos los conjuntos que se están tratando, (también se le conoce como Referencial). Símbolo: U y se representa por U = {x/x A x A; siendo A cualquier conjunto} Igualdad de conjuntos: Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. Es decir, A es igual a B si cada elemento que pertenece a A pertenece también a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A. Se denota la igualdad de los conjuntos A y B por A = B. Subconjunto: sean A y B dos conjuntos. Se dice que A es un subconjunto de B, (A B), si y solo si todo elemento de A es también elemento de B. : símbolo de subconjunto o contenencia, inclusión. Simbólicamente: A⊂B⇔ (∀ x ) ( x∈ A⇒ x∈B ) A⊂B se lee A es un subconjunto de B o B⊃ A B es un superconjunto de A A⊄B se lee A no es un subconjunto de B o B no es un superconjunto de A Propiedades de la inclusión: i) El conjunto vacío, , se considera subconjunto de todo conjunto. ii)Si A no es subconjunto de B, es decir, A⊄B; entonces hay por lo menos un elemento de A que no es elemento de B. iii)Todo conjunto es subconjunto de si mismo, es decir, si A es cualquier conjunto entonces A⊂A Demostrar las propiedades anteriores. Teorema: si A⊂B y B⊂C implica que A⊂C (Demostrarlo). Notas: 1) Con la definición de subconjunto se puede dar de otra forma la definición de la igualdad de conjuntos; así: Dos conjuntos A y B son iguales, A = B, si y sólo si A⊂B y B⊂ A. Simbólicamente: A=B⇔ A⊂B∧B⊂A 2) La igualdad de conjuntos es una relación de equivalencia. (¿Por qué?) Subconjunto propio: Ya que todo conjunto A es subconjunto de si mismo, se dice que B es un subconjunto propio de A, si: i) B es un subconjunto de A, y ii) B no es igual a A Es decir, B es subconjunto propio de A si: B⊂ A y B≠ A En algunos textos “B es subconjunto de A” se denota por B⊆ A, y “B es subconjunto propio de A”, se denota por B⊂ A Representación: A) Simbólica: x (A U B) x A v x B B) Gráfica: A B A U B Propiedades: 1. Idempotencia: A U A = A 2. Identidad: A U = A ; A U U = U 3. Conmutativa: A U B = B U A 4. Asociativa: A U (B U C) = (A U B) U C 5. Adición: A (A U B) ; B (A U B) EJERCICIOS A RESOLVER 1 Dados los conjuntos A = { x / x N, 2 x 9 }, B = { 2, 4, 6, 8 } C = { 3, 5, 7 }, D = { 2, 4 }, E = { 1, 3 }. Determinar en cada caso, cuál de estos conjuntos puede ser el conjunto X tal que: a. B U A b. X ∩ A c. X B d. B ∩ A e. B - C Sugerencia: Apóyese con un diagrama. 2 Representar gráficamente las siguientes relaciones: a. A B b. B - A c. A = B d. A y B son comparables. 3 Hallar todos los subconjuntos de A, si: a. A = { 2, -3, 4 } b. A = { { } } c. A = ¿Cuántos subconjuntos tiene A en cada EJERCICIOS DE LEYES DE LOS EXPONENTES (RADICALES) Aplique las reglas de los radicales para escribir cada una de las expresiones algebraicas en su forma radical más simple. a) 4√25a 2 b3 16c3b6 b) √a2+2ab+b2 c) √ x2−2 xy+ y2 d) ba 11 2 e) √ 1 a2 + 1 b f) 4 √ 6 √125x3 y5 g) ❑√ 4 √9 x8 y3 Realice las operaciones indicadas a) √ 58+√ 910 b) √3 (√12−√ y ) c) (√ x+√ y )2 En los ejercicios que aparecen a continuación efectúe las operaciones indicadas. Escriba todas las respuestas en términos de exponentes positivos. a) a2 y3 a5 y7 b) a2 p5 y3 a6 p5 y c) p3q4 r2 p4r2 d) ( pr2 ) −1 e) ap2 (−a2 p3 ) 2 En cada inciso escriba las expresiones dadas en su forma más simple, en la que aparezcan sólo exponentes positivos. a) ( 27x6 y3 ) −1 /3 (16 x4 y12 ) − 1/4 b) (64 x6 y12 ) − 5/6 (9 x4 y2 ) −3 /2 c) ( x 2 y3 ) −1 /5 ( y 2 x5 ) 1 /3 d) ( a 2 x3 y b5 ) − 4 /3 (axy − 2 b ) 5 /3 e) ( 9 x 3 t 5 ) −1 /2 ( 8 t 2 x5 ) − 1/ 3 f) (125a 6 8b3 ) −2/3 ( 8b 5a2 ) −1 /2 g) (9 x4 y−6 ) − 3/2 (8 x−6 y3 ) −2 /3 h) (81x5 y−8 z ) −3 /4 (64 xy−3 z2 ) −5 /3 REALICE ESTOS OTROS EJERCICIOS 1. a6⋅a3=¿ 2. a−5⋅ a=¿ 3. ax+ y ⋅a2 x− 3 y=¿ 4. b ⋅bx=¿ 5. 23 ⋅22=¿ 6. ( p5 ) 6 =¿ 7. (b−2 ) − 8 =¿ 8. (−3 )a⋅ 4a=¿ 9. ( 13 ) x ⋅(65 ) x =¿ 10. (3 x )2=¿ 11. (−2 p3 ) 2= 12. (3 mn2 ) 4 =¿ 13. [ (3 x )2⋅ (5 x3 )2 ] 3 =¿ 14. (m3a−1 ⋅m3a+1 ) 3 =¿ 15. [ y2 ⋅ (3 y2 )2 ] 2 : 9 y 4=¿ 16. ( a 2 x a3 ) 3 =¿ 17. (w 3−m wm ) − 1 =¿ 18. ( p 2x −1 p3−2x ) − 3 =¿ 19. ( k 3 t+2 k2+3 t ) 10 =¿ 20. ( a 3m− 1⋅a2m− 2 a4m−3 ) n =¿ 21. ( x 2a− b⋅ xb+2a x2a ⋅ x3b ) 4a+3b =¿ 22. ( n 5x n3 x+1 ⋅ n 2x n3 ) x− 2 =¿ EJERCICIOS DE REGLA DE 3 EJEMPLO: Aquí hay que pasar todo el tiempo a minutos. Para pasar las horas a minutos podemos utilizar otra regla de tres directa: Sol. EJERCICIOS Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la segunda? Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 días por 792 €. ¿Cuánto costará el hotel de 15 personas durante ocho días? Con 12 botes conteniendo cada uno ½ kg de pintura se han pintado 90 m de verja de 80 cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una verja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud. 11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días? Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. ¿Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno? Un coche gasta 5 litros de gasolina cada 100 km. ¿Cuantos km. Recorrera con 20 litros? DESPEJE FORMULAS DESPEJE CADA UNA DE LAS VARIABLES SE TRABAJA CON ESTA COLUMNA DESARROLLAR LOS SIGUIENTES PRODUCTOS 1) (1 – 9xy)(9xy + 1) 2) (2xa+4 - 8ya-1)3 3) (a + 9)(a - 6) 4) (xa+1 - 4xa-2)2 5) (4x3 + 10)(4x3 + 5) 6) (4n + 9)2 7) (2x4 + √2x)3 8) (5x3yz2)2 9) (15 + xy)(xy - 15) 10)(2xa+4 - 8ya-1)3 11)(15 + x)(x - 6) 12)(xa-1 - 4xa+2)2 13)(4x3 + x4-a y2)( x4-a y2 + 5) 14)(3m - 2)2 15)(2x4 + √2x)3 16)(5xy2 )( -7x3y2) = 17)(2xy)(-5x + 4y – 3xy) = 18)(3x – 2y)(4x + 5y)= 19)(2a – 5b)(a – 2b + 5ab – 7) = 5. Eliminar los términos semejantes en los siguientes polinomios: .8x -3x+7x= .3x +9y –2x –6y= .7a2 – 15b3 + 5b3 + 9a 2 – 4b3 = .3a+ 4c + 9c – 7b – 7a- 15c = .0,01 b2c – 0,2 c2b - 0,8 c2b + 0,99 b2c= 6. Eliminar paréntesis y reducir términos semejantes en los siguientes polinomios .(10b +4) +(6 –9b) –(3b-7)= .20 + (-7 +2x) –(-3x-7)= REALICE LAS SIGUIENTES DIVISIONES DE POLINOMIOS FACTORIZA POR FACTOR COMUN a) 12 3x b) 6 3 26 2x x x (3 x 3+2 x2−7 x +2 )÷ (x +2 ) (9 x 4− x 5−24 x 3−3 x 2+ 8 x )÷ ( x 2−1 ) (10 y 8− 20 y 6− y 2+ 2 )÷ ( y 2− 2 ) (x3−12 x 4+ 1 3 x2+x− 1 2 )÷( 12 x2− 1 3 ) = = = = c) 5 340 24 3m m m d) 4 2m mx x e) 7 4 39 18 27z z z f) 100 50m m g) 32 6x h) 20 16 10 20x x x x i) 2 2 2 3 29 3 6 2z m y z m y j) 6 4 3 23 8 4a a a a k) 3 5 3a x x l) 3 2 210 30m n p m n m) 2 23 6 1 2a b a b a b n) 2 2 2 3 3 3 2100 150 200 50mn x mn x mn x mnx ñ) 4 3 3m b m o) 2 23 1 3 1x m m p) 1 1b c c c q) 3 2x a b a b FACTORIZA POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS: a) 2c cd cy dy b) 2 2 2x a x a x c) 6 3 1 2ab a b d) 2 2 4xy my xn mn e) 2 23 2 6c b b y cy f) 1 3 3b a b a g) 3 4 3 4xa ya x y h) 3 24 1 2 3b n bm n n m i) 2 2 2m m mn n DIFERENCIA DE CUADRADOS El cuadrado de una diferencia se resuelve: se eleva la primera cantidad al cuadrado, luego se resta el producto de la primera cantidad por la segunda cantidad y por dos, y además se resta el cuadrado de la primera cantidad. Observa: a2 el cuadrado de la primera cantidad 2ab dos veces la primera cantidad por la segunda cantidad b2 el cuadrado de la segunda cantidad Resolver los siguientes productos notables: 1. (3y+5z)2 2. ( 13 x − y ) 2 3. ( 34 a+ 1 4 b) 2 4. (3 – 4 a)2 5. (7 – 2x)2 6. (√ x−√ y ) 2 7. (5x−ay ) 2 8. (2 xa+1 −3 xa−2 ) 2 9. ( 12 m 2 n3−m3 n2) 2 10. (a+b−c )2 CUBO DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS TERMINOS Cuando se presentan los siguientes binomios al cubo, se resuelven de la forma que se indica: (a+b )3=a3+3a2+3 ab2+b3 = (a+b)2(a+b) = (a2+2ab+b2) (a+b) = a3+3a2b+3ab2+b3 (a−b )3=a3−3a2b+3 ab2 −b3 que se demuestra de la misma manera que el anterior. EJERCICIOS: 1. (a – b)3 2. (3y+5z)3 3. ( 12 x− y) 3 4. ( 34 a+ 1 4 b) 3 5. (3a – 4 b)3 6. (7 – 2x)3 7. (2x2 – 5y 3 )3 8. ( 23 a+4 m) 3 11. (5x−5y ) 3 12. (xa+ 1−xa− 2) 3 13.( 12 m 2−n2) 3 14. (a+b−c )3 15.( 25 x − y 4) 3 16. (a3b+b2b ) 3 17. (3a−2b4 ) 3 18.( 34 x 3 + 2 3 y2) 3 9. ( 34 x 2 y − 2 5 xy2) 3 10.( 13+m 3) 3 19. (a – b – c)3 20. (–x – y)3 POTENCIA DE BINOMIOS El binomio (a+b)n con n perteneciente al conjunto de los números naturales (1,2,3....), llamado BINOMIO DE NEWTON se resuelve utilizando el TRIANGULO DE PASCAL, de la siguiente manera: 1. los números que se encuentran en el triángulo de Pascal son los coeficientes numéricos de los términos del producto. 2. El primer número diferente de 1 es el exponente del binomio 3. El primer término inicia con el mismo exponente que el binomio y el segundo con exponente cero. 4. El primer término comienza a disminuir su exponente hasta que sea cero y el segundo a aumentarlo. 5. Los signos son positivos si el binomio es suma y se intercalan si el binomio es resta– se utiliza así: 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 (a+b)1 = ab0 +a0 b = a+b (a+b)2 = a2+2ab+b2 (a – b)3 = a3 – 3 a2b + 3 a b2 – b3 (a + b )4 =a4+4 a3b + 6a2b2 +4 ab3+b4 EJERCICIOS 1) (a – 2b)6 2) (2 x2 – 3y 2) 4 3) (3 – a3) 5 4) ( x2 − y 2 ) 4 5) (ax+2 ) 3 6) ( 34 −m 2) 5 7) ( 13 x − y 3) 4 8) (2 x3−3 y2 ) 6 9) (5−3a2 ) 3 10)(2−a )7 11)( 12 a 2− 2 3 b3) 4 FACTOR COMÚN Es el Máximo Común Divisor de los términos del polinomio, tanto de la parte literal como de la numérica. El M.C.D de los coeficientes del polinomio, y el factor común literal está conformado por las variables que se repiten en todos los términos elevadas al menor exponente. El factor restante con el que se multiplica el factor común, está compuesto por los coeficientes de cada término sobre el mismo factor común. Ejemplo: Factoriza los siguientes polinomios: * 6 x3 – 12 x2 + 3 x El factor común de los términos es 3 x. Por la propiedad distributiva se puede escribir 6 x3 – 12 x2 + 3 x = 3x ( 2 x2 – 4 x + 1) Ejercicios: 1.3xy3+27 x4 y 2.5b+b4 z −25b3w 3 .2 x (n−1 )−3 y (n−1 ) FACTOR COMÚN POR AGRUPÁCIÓN: Cuando el polinomio tiene más de tres términos, es necesario agrupar adecuadamente Se emplea inicialmente una asociación de términos por medio de los signos de agrupación, para hallar así los factores comunes de cada uno. Ejemplo: * 3 x2−6 ax+4 x−8a 1. Agrupemos: (3x2 – 6 ax) + (4x – 8 a) 2. Factoricemos el factor común: 3x ( x – 2 a) + 4( x – 2 a) 3. Se factoriza de nuevo: (3x +4) (x – 2a) Ejercicios: 1 .3m−2n−2nx4+3mx 4 2 .2 x2 y+2xz2+ y2 z2+xy3 3 .3 a2−7b2 x+3ax−7ab2 DIFERENCIA DE CUADRADOS Es la suma de las raíces cuadradas de los términos, multiplicada por la diferencia de las mismas: a2 −b2=(a+b ) (a−b ) Ejemplos : 16 x4 −81 y2=( 4 x2+9 y ) ( 4 x2−9 y ) 25−x6 z8=(5+x3 z4 ) (5− y3 z4 ) 64 w2 − 4 x4 9 =( 8w + 2x2 3 )( 8 w − 2 x2 3 ) ¿ Ejercicios: 1.361 x14 −1 2 . b12 x 81 −49a10 n 3 .a2 m4n6−144 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (T.C.P ) Es el resultado de un Binomio al cuadrado. El primer y tercer término son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y su signo es positivo, y el segundo término es el doble de producto de las raíces cuadradas del primer y tercer término: a2±2ab+b2=¿ Ejemplos: * x 2 – 2x + 1= ( x – 1)2 Raíz cuadrada de x2 = x Raíz cuadrada de 1 = 1 Doble producto de estas raíces: 2 ( x ) ( 1) = 2 x Ejercicios: 1 .1+14 x2 y+49 x4 y2 2 .9−6 x+ x2 3 . n2 9 +2mn+9m2 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR COMPLETACIÓN Este caso se da cuando los trinomios no son exactos para ser T.C.P. Ejemplos: * 4 a4+3a2b2+9b4 1. Se observa si es un T.C.P La raíz cuadrada de 4 a4 = 2 a2 La raíz cuadrada de 9 b4 = 3 b2 2 ( 2 a2 ) ( 3 b2 )= 12 a 2 b 2 Este Trinomio no es cuadrado perfecto ya que 3a2 b2 ≠12a2 b2 2. Luego hay que sumarle 9a2 b2 al segundo término para que sea igual a 12 a2 b2, pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma y quedaría así: 4 a4+3a2b2+9b4 +9a2b2 – 9a2b2 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 4 a 4 +12a2b2+9b4 −9a2b2=(4 a4+12a2b2+9b4 )−9a2b2 ¿ Factorizo el T.C.P = 9a2b2 Factorizo la Diferencia de Cuadrados = (2a2+3b2 −3 ab ) ( 2a2+3b2+3 ab) y por último lo ordeno = (2a2 −3 ab+3b2 ) ( 2a2+3 ab+3b2 ) Ejercicios: 1 .25a4+54a2b2+49b4 2. 4−108 x2+121 x4 3 .121 x4 −133 x2 y4+36 y8 TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c 1. Se organiza el trinomio 2. El coeficiente del primer término es 1 3. Se descompone en dos factores binomios y al comienzo de cada uno de ellos se escribe la raíz cuadrada del primer término. 4. Se buscan dos cantidades que al multiplicarse den el tercer término y al sumarse den el segundo término Ejemplos: * Factorar: m2−17m−60 Se halla la raíz cuadrada del primer término m2 = m El trinomio se decompone en dos binomios: ( m ) (m ) Se busca dos números cuya diferencia es 17 y cuyo producto es 60. En el primer paréntesis se coloca el signo negativo ya que –17x lo tiene, luego en el segundo paréntesis se coloca el signo positivo porque al multiplicar el signo del segundo término con el signo del tercer término nos da positivo. Se descompone en sus factores primos al tercer término: 60↓2 30↓2 15↓3 5↓5 1↓ 2 x 2 x 5 = 20 y 3 Rta : (m – 20) (m + 3) Ejercicios: 1 .x2+6 x+8 2. x2−x −2 3 .15+2x −x2 TRINOMIO DE LA FORMA AX2+BX+Cdonde A≠1 Se multiplica y se divide al mismo tiempo por el valor de * a * En el numerador el valor de * a* sólo afecta al primer y tercer término Luego se factoriza de la forma X2+BX+C Por último se divide por * a * para no alterar el trinomio Factorar: 5 x6+4 x3−12 5 ( 5x6+4 x3−12 ) 5 =¿ Ejercicios: 1 . 3x2 −18 x−165 2 .2 ax2−8ax−24a 3. 20 x2+7 x −6 CUBO PERFECTO DE BINOMIOS: a3±3a2 b+3 ab2 ±b3=¿ Se debe tener en cuenta lo siguiente: 1. Tener cuatro términos 2. Que el primer y cuarto término sean cubos perfectos 3. Qué el segundo término sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicando por la raíz cúbica del última. 4. Qué el tercer término sea más triplo de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último. * 8−12a2+6a4 −a6 La raíz cúbica de 8 = 2 La raíz cúbica de a6 = a2 3 ( 2)2 ( a2 ) = 12 a2 segundo término 3 ( 2 ) ( a2 )2 = 6 a4 tercer término Rta ( 2 – a2 )3 Ejercicios: 1 .8 a3−36a2 b+54ab2−27 b3 2. 125 x3+1+75 x2+15x 3 .x9 −9 x6 y4+27 x3 y8 −27 y12 SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS: a3+b3=(a+b ) (a2 −ab+b❑2 ) a3 −b3=(a−b ) (a2+ab+b2 ) 1. La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores x3−27= (x −3 ) (x2+3. x+32 ) La raíz cúbica de x3=x La raíz cúbica de 27=3 * 8 x3+ y3=(2 x+3 y ) ¿ ¿ * (m−n )❑3+27=[ (m−n )+3 ] [ (m−n )❑2 − (m−n ) (3 )+3❑2 ] La raíz cúbica de ¿ ¿ Ejercicios: 1 .a3+27 2 .x6 − y9 3 . x6 − ¿ ¿ SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES: Se debe tener en cuenta: 1. Ambos términos deben tener el mismo exponente 2. Se saca la raíz de cada término 3. Se empieza a disminuir el primer término y el segundo empieza a aumentar. a7+b7=( a+b ) (a6−a5 b+a4 b2−a3 b3+a2b4 −ab5+b6 ) La raíz séptima dea7 es=a La raíz séptima deb7 es=b 32−m5=(2−m ) (24+23 m+22m2+2m3+m4 ) La raíz qu intade32es=2 La raíz qu intadem5 es=m Ejercicios 1.1+243w5 2 .x6 −64 w6 3 .a7+2187 Factoriza el polinomio P(x)=2x5 -3x3 +4x2 -9x + 6 Usamos la regla de Ruffini, los candidatos a raíz serán los divisores de 6, es decir, 1, -1, 2, -1, 3, -2, 6, -6. Vamos probando hasta que encontremos un valor cuyo resto es 0, repetimos el proceso con los coeficientes del polinomio cociente hasta que no podamos continuar, porque lleguemos a un polinomio irreducible. En el ejemplo hemos llegado a un momento en el que no hemos encontrado raíces enteras 2x2 +3, con este polinomio podemos continuar planteando una ecuación de segundo grado, aún así no tiene raíces reales por tanto es irreducible. En la figura de la derecha se observa el proceso. La factorización queda: 2x5 -3x3 +4x2 -9x + 6 =(x-1)2(x+2)(2x2 +3) factoriza las siguientes expresiones algebraicas EJERCICIOS: factoriza completamente las siguientes expresiones: 2 x2 + 4x + 3 = 3 6 x4+21 x3−18 x2 4 a2 + 7a + 10 = 5 b2 + 8b + 15 = 6 6a−9−a2 7 x2 - x - 2 = 8 r2 - 12r + 27 = 9 2m2+11 m−21 10 s2 - 14s + 33 = 11 h2 - 27h + 50 = 12 x3+64 13 y2 - 3y - 4 = 14 x2 + 14xy + 24y 15 9n2+12n+4 16 m2 + 19m + 48 = 17 x2 + 5x + 4 = 18 1 4 x2−3 x+9 19 x 2 - 12x + 35 = 20 5x2 + 11x + 2 = 21 2mb−an+2mn−ab 22 3a2 + 10ab + 7b2 = 23 4x2 + 7x + 3 = 24 x3+2 x2−15 x 25 4h2 + 5h + 1 = 26 5 + 7b + 2b2 = 27 y z−2 x w+2 y w−x z 28 7x2 - 15x + 2 = 29 5c2 + 11cd + 2d2 = 30 6a2+7 a−20 31 2x2 + 5x - 12 = 32 6x2 + 7x - 5 = 33 (2 x+ y )2 −2 x− y 34 6a2 + 23ab - 4b2 = 35 3m2 - 7m - 20 = 36 4 m4 y6−36a12b18 37 8x2 - 14x + 3 = 38 5x2 + 3xy - 2y2 = 39 x2−12x+35 40 7p2 + 13p - 2 = 41 6a2 - 5a - 21 = 42 4 9 y2− 2 3 y+ 1 4 43 2x2 - 17xy + 15y2 = 44 2a2 - 13a + 15 = 45 k (2k −2 ) −k+2 46 x3 - 3x 2 + 4x + 12 47 2ab + 4a2b - 6ab2 = 48 (n−2 )2 − (n+2 )2 49 2xy2 - 5xy + 10x2y - 5x2y2 = 50 b2 - 3b - 28 = 51 8+z12 52 a2 + 6a + 8 = 53 5a + 25ab = 54 −6 a3+11a2+10a 55 bx - ab + x2 - ax = 56 6x2 - 4ax - 9bx + 6ab 57 −2−12v 58 ax + ay + x + y = 59 8x2 - 128 = 60 m3−m2n−mn2+n3 61 4 - 12y + 9y2 = 62 x4 - y2 = 63 y ( y+1 )− (− y−1 ) 64 x2 + 2x + 1 - y2 = 65 (a + b )2 - ( c + d)2 = 66 2 3 x− 7 12 67 a2 + 12ab + 36b2 = 68 36m2 - 12mn + n2 = 69 3 x2+4 x+1 70 x16 - y16 = 71 x2 + 10x + 25 = 72 2ab + 4a2b - 6ab2 = 73 (a + b )2 - ( c + d)2 74 m3−216 s3=¿ 75 b2 - 3b - 28 = 76 36m2 - 12mn + n2 77 ( p+q )2− (m+n )2=¿ 78 5a + 25ab = 79 x3+ x5 −x7=¿ 80 24 a2 xy2−36 x2 y4=¿ 81 6x2 - 4ax - 9bx + 6ab = 82 8x2 - 128 = EXPRESIONES RACIONALES MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE POLINOMIOS Se descomponen los polinomios dados en sus factores primos. El MCD es el producto de los factores comunes con su menor exponente. Ejemplos: * Hallar el MCD de ab2c ,a2 bc Las letras comunes son a b c. Se toma las letras a, b y c con su menor Exponente, por lo tanto su mcd es = a b c 15a2 b3 c=5 ⋅3a2 b3 c 24 ab2 x ,=2 .⋅2 . ⋅2. ⋅ . 3 ab2 x 36b4 x2=2. ⋅2. ⋅3 ⋅ .3b4 x2 Hallar el MCD entre 15a2 b3 c ,24 ab2 x ,36b4 x2 Por lo tanto el mcd es = 3 b2 * Hallar el MCD entre 2a2+2ab ,4a2−4 ab 2a2+2ab=2a (a+b ) 4 a2 −4 ab=4a ( a−b ) Por lo tanto el mcd es= 2ª Hallar el MCD entre 9 x2−1,9 x2−6 x+1 9x2 −1=(3 x−1 ) (3 x+1 ) 9 x2−6 x+1=(3x −1 ) (3x −1 ) Se factorizan ambos términos Por lo tanto el mcd es= 3x – 1 Ejercicios: HALLE EL MCD DE LAS SIGUITES EXPRESIONES 1. x2−4 , x3−8 4 . 8 x3+ y3 , 4 ax2− ay2 2 .3 x3+15x2 ,ax2+5 ax 5. 3 x2+3 x−60 ,6 x2 −18 x−24 3 . ¿ ¿ MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS Se descomponen los polinomios dados en sus factores primos. El MCM es el producto de los factores primos, comunes y no comunes, con su mayor exponente. Ejemplos: 15a2 b3 c=5 ⋅3a2 b3 c 24 ab2 x ,=2 .⋅2 . ⋅2. ⋅ . 3 ab2 x 36b4 x2=2. ⋅2. ⋅3 ⋅ .3b4 x2 * Hallar el MCM de ab2c ,a2 bc El mcm es= a2 b2 c Hallar el MCM entre 15a2 b3 c ,24 ab2 x ,36b4 x2 Por lo tanto el mcm es = 23 32 5 a2 b4 c x2 = 360 a2 b4 c x2 * Hallar el MCM entre 2a2+2ab ,4a2−4 ab 2a2+2ab=2a (a+b ) 4 a2 −4 ab=4a ( a−b ) Por lo tanto el mcm es= 4 a (a + b) ( a–b) = 4 a ( a2 – b2 ) Hallar el MCM entre 3a2 x−9a2 , x2−6 x+9 3a2 x−9a2=3a2 ¿ ¿ Se factorizan ambos términos Por lo tanto el mcm es = 3a2 Ejercicios: HALLE EL MCM DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES: 1. x2−4 , x3−8 4 . 8 x3+ y3 , 4 ax2− ay2 2 .3 x3+15x2 ,ax2+5 ax 5. 3 x2+3 x−60 ,6 x2 −18 x−24 3 .x2+2x , x3 −2 x2 , x2−4 6 . x3− y3 , ¿ ¿ OPERACIONES CON FRACCIONES: Se debe tener en cuenta lo siguiente: 1. Si es posible, se factorizan los denominadores 2. Se llevan al mcd y se efectúan las operaciones indicadas 3. Se unen los términos semejantes 4. Si es posible se simplifica la respuesta. Suma de fracciones Simplificar: x −2 4 + 3 x+2 6 el mcm es 12 3 ( x−2 )+2 (3 x+2 ) 12 3 x−6+6 x+4 12 = 9x −2 12 x+2 3x + x2−2 5 x2 + 2− x3 9 x3 el mcm es45 x3 15 x2 ( x+2 )+9 x (x2 −2 )+5 (2−x3 ) 45x3 15 x3+30 x2+9 x3 −18 x+10−5 x3 45 x3 19 x3+30 x2−18 x+10 45 x3 se reducen a términos semjantes 1 x+x2 + 1 x− x2 + x+3 1−x2 1 x (1+x ) + 1 x (1−x ) + x+3 (1−x ) (1+x ) ¿ ¿ ¿ el mcm es x (1+x ) (1−x ) 1−x+1+x+x ( x+3 ) x (1+x ) (1−x ) = 1− x+1+x+x2+3x x (1+ x ) (1− x ) x2+3x+2 x (1−x ) (1+x ) se simplifica (x+2 ) ( x+1 ) x (1−x ) (1+x ) = x+2 x (1−x ) Resta de fracciones: Simplificar a−3 5ab − 4−3ab2 3a2 b3 el mcm es15a2 b3 3ab2 ( a−3 ) −5 (4 −3ab2 ) 15a2 b3 = 3a2 b2−9ab2 −20+15ab2 15a2 b3 3a2 b2+6ab2 −20 15a2 b3 x x2 −1 − x+1 ❑ ¿ ¿ Multiplicación de fracciones: Se debe tener en cuenta lo siguiente: a. Se descomponen en factores los términos de las fracciones que se van a multiplicar. Se simplifica, quitando los factores comunes tanto en los numeradores como en los denominadores. b. Se multiplican entre sí las expresiones que queden en los numeradores después de simplificar, y este resultado se parte por el producto de las expresiones que queden en los denominadores Ejemplos: Multiplicar: 2a2 3b x 6b2 4a = 12a2 b2 12ab =sesimplifica ab 2x2+x 6 x 8 4 x+2 = x (2 x+1 ) 3 x 2 x 2 x2 x2 2 (2 x+1 ) sefactoriza 2x 3 a2−5a+6 3a−15 x 6 a a2−a−30 x a2 −25 2a−4 ¿ ¿ ¿ Ejercicios: ) 1 b a - a ( ) b a a ( 6. 2 322x x 3824 3223x .3 33 542 x 5022a 2-2a 5. 626a 3 x 122 2a .2 2)( 12x x 13 3)y -(x 4. 24x 8 x 6 22x 1 xx x xx xx a aa abaa baab yx x x x División de fracciones: Se debe tener en cuenta: a. Se multiplica el dividendo por el divisor invertido. Ejemplos: Simplificar: x 3 y2 ÷ 2x y3 =se aplica la prop .de la división x2 3 y❑ 2 x y3 2 x = xy 6 x3− x 2 x2+6 x ÷ 5x2 −5 x 2 x+6 = x3 −x 2 x2+6 x x 2x+6 5x2−5 x = x (x2−1 ) 2x ( x+6 ) x 2 ( x+3 ) 5x ( x-1) = x (x-1) ( x+1 ) 2x ( x+3 ) x 2 ( x+3 ) 5x ( x-1 ) = x+1 5x * = x2−6 x+9 4 x2 −1 ÷ x2+5 x−24 2x3+17 x+8 = x2−6 x+9 4 x2 −1 x 2x2+17x+8 x2+5x −24 Ejercicios: Simplificar: 1 . 15m2 19ax3 ÷ 20y2 38a3 x4 4 . ax2+5 4a2−1 ÷ a3 x2+5a2 2a−1 2. x-1 3 ÷ 2x-2 6 5 . x3 -1 2x2 −2 x+2 ÷ 7x2+7 x+7 7x3+7 3 . 15x2+7 x−2 25 x3 −x ÷ 6x2+13x+6 25 x10 x+1 6 . ( x - 2x+1 ) ÷ ( x - x x+1 ) Ejercicios: 1 . (3x4y x 8y 9x )÷ z2 3 x2 2 . a2−5 a b+b2 ÷ ( a 2 +6 a−55 b2−1 x ax+3a ab2+11b2 ) 3. (a2−3 a ) 2 9-a2 x 27-a3 a+3❑2−3 a ÷ a4 −9a2 ❑ ¿ ¿ 1. Simplificar las siguientes expresiones, aplicando los criterios de factorización que corresponda: a 48a 72ab = b 25a2b 75ab2 = c 96m3 n2 32m4 n3 = d 3 (a+b ) 5 (a+b ) =¿ e 4a+4b 5a+5b = f 3 x −6 y 5x −10 y = g x2+xy xy+ y2 = h 8 x+7 y 64 x2−49 y2 =¿ m 4 y2−4 y+1 6 x −3 = n x2+6 x+8 x2+7 x+12 = � x2+4 x −12 x2+8x+12 = o 64 −u2 u2 −13u+40 =¿ p(a−b❑2−c2|a2 − (b−c❑2| q ) 1−64c 6 1−4c2 = r x2+7 x+10 x2−25 = s) x 2−x −2 x2+3 x+2 =¿ i 24 x−18 y 44 x−33 y = j x2−16 x2+8 x+16 = k 9x2+30 x+25 6 x+10 = l x2−25 x2+x−20 =¿ t a2 −9 3 (a+3 ) = v m2−n2 2n−2m = w y2+ y −12 y2+2 y −15 = x x2+5 x+6 x2+8 x+15 =¿ y b a − a b 1 b − 1 a = z 1+ 1 a-1 1− 1 a+1 = z© x+y x-y − x− y x+ y x+y x − x+2 y x+ y =¿ Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones y escriba la fracción racional resultante en su forma más simple: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) ) 13) 14) 15) 16) 17) Factoriza las siguientes expresiones algebraicas: 1) 3a2b2 + 15ab2 – 45ab3 = 2) x2 - xy + xz - xz2 = 3) y2 – y – 30 = 4) x2 + 5x – 24 = 5) 4x2 –12xy + 9y2 = 6) 25x4 – 25y4 = 7) 0,09 – 4x2 = 8) 21ax + 35ay + 20y + 12x = 9) b4 - b3 = 10) (a + 1 )(a - 1 ) - x ( a - 1 ) 11) 3m2 - 7m - 20 = 12) 8y2 - 18 = 13) x3 - 125= 14) ac - a - bc + b + c2 - c = 15) 22 36 49 25 9 ba 16) x3 –3x2y + 3xy2 – y3 = 17) 35a2b2 + 15ab2 – 45ab = 18) x2 - xy + xz - yz = 19) y2 +11 y + 30 = 20) 27x3 – 125= 1) 2ab + 4a2b - 6ab2 = 2) 20xy2 - 5xy + 10x2y - 5x2y2 = 3) b2 - 3b - 28 = 4)z2 + 6z + 8 = 5) 5a + 25ab = 6) bx - ab + x2 - ax= 7) 6x2 - 4ax - 9bx + 6ab = 8) ax + ay + x + y = 9) 8x2 - 128 = 10) 4 - 12y + 9y2 = 11) x4 - y2 = 12) a2x2 – b4y4 = 13) x2 + 2x + 1 - y2 = 14) x2 - y2 - 4x + 4 = 15) a2 - x2 + 2xy - y2 = 16) ( a + b)2 - ( c+d)2 = 17) a2 + 2ab + b2 - c2 + 2cd - d2 = 18) (a + 3)2 - (3a - 6)2 = 19) x3 + x2 + x + 1 = 20) 3a4 + a3 + 15a + 5 = 21) x2 + 4x + 4 = 22) a2 + 12ab + 36b2 = 23) 9x2 + 24xy + 16y2 = 24) 36m2 - 12mn + n2 = 25) 4a2 - 12ab + 9b2 = 26) x2 - x + ¼ = 27) a( x+1) + b(x+1) = 28) x(2a+b) + p(2a + b)= 29)x2 ( p + q) + y2 ( p + q) = 30) 1 - x + 5 ( 1 - x) = 31) a ( 2 + x ) - 2 - x = 32) a2 + 1 - b ( a2 + 1 ) = 33) ( x + y)( n + 1 ) - 3 ( n + 1 ) = 34) ( a + 1 ) ( a - 1 ) - 2 ( a + 1)= 35) a( a + b) - b ( a + b) = 36) ( 2x + 3) ( 3 - r ) - (2x -r) (3 -r)= 37) a + ab + ax + bx = 38) ab + 3a + 2b + 6 = 39) ab - 2a - 5b + 10= 40) 2ab + 2a - b - 1 = 41) 3x2 - 3bx + xy - by = 42) 6ab + 4a - 15b - 10= 43) sm - bm + sn - bn = 44) 3x3 - 9ax2 - x + 3a = 45) 3a - b2 + 2b2x - 6ax = 46) a3 + a2 + a + 1= EJERCICIOS: FACTORIZA APLICANDO LA REGLA DE RUFFINI. 12) a3+6a2+12a+8 13) a4-13a2+36 14) a4-5a2+4 15) m3+m2-13m-28 16) x3-3x-2 17) m3-4m2+m+6 18) +12y+6y2+8 19) x3+2x2-6-5x 20) 1+12y+48y2+64y3 21) y3-4y2+6+y RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES DE 1er GRADO DE 2 X 2 Método de sustitución: {3x −5 y=1x+2 y=15 {2x+3 y=93x+ y=10 {2x+ y=13x− y=2 {2 x+2= y −2x+4=2 y−1 { 3x+ y=5x−2 y=11 METODO DE IGUALACION {4 x − y=−2x+2 y=3 {3 x−4 y=22x+3 y=10 {3x+2 y=−4x−4 y=−1 {2x+5 y=−174 x − y=−1 {3x+5=2 y+1x −9=1−5 y METODO DE SUMA-RESTA { x−2 y=82x −3 y=7 { x+ y=1x+4 y=1 { x= y −46 x− y=1 { x+ y=1 2 x+ y=4 2x+3 y=0 METODO POR DETERMINANTES (REGLA DE CRAMER), UTILICE METODO DE SARRUS RESOLVER POR LA FORMULA GENERAL x2−4 x+4=0 2 x2 −4 x+3=0 2 x2 −8 x+8=0 x2+3x −5=0 2 x2+5 x+8=0 2x2 + 5x + 3 = 0 a) x2 -9x +14 = 0 b) 2x2 +6x +20 = 0 c) x2 +4x +3 = 0 d) 8x2 -6x+1= 0 e) 20x2 -3x-2 = 0 f) x2 -10x+25=0 g) 9x2 -6x+1= 0 h) x2-6x+10 = 0 i) x2 +2x +1=0 j) (2x-3)2 = 0 k) 5x2 -3x-2 = 0 l) (4x-1)2 =0 EJERCICIOS POR EL METODO GRAFICO Resuelve el siguiente ejercicio a) Dada la ecuación y = 5- x da diez valores a x y calcula los correspondientes valores de y b) Representa gráficamente la ecuación anterior (recuerda que el eje OX es el eje de abscisas y que el eje OY es el eje de ordenadas) c) Haz lo mismo con y = x-3 d) Compara las dos gráficas. ¿Hay algún punto en común? e) Utiliza los datos obtenidos para representar las dos ecuaciones en una sola gráfica. f) ¿Hay algún punto que te llame la atención? g) ¿Tienen algún punto en común? ¿Cuál es? (Observa que es el mismo punto que has obtenido al localizar las tablas) Representa gráficamente las rectas y = 2x-3 e y = -x +5 y halla su punto de corte. Resuelve el sistema formado por las dos rectas y comprueba que la solución que obtienes es el punto de corte. Encuentra gráficamente el punto de corte de intersección de las rectas y = x -6 y –x +y -4= 0. Resuelve el sistema formado por las dos rectas y comprueba que la solución que obtienes es el punto de corte. OTROS EJERCICIOS Resuelve por el método de reducción (SUMA/RESTA)los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: a) 6 5 9 4 3 13 x y x y b) 7 15 1 6 8 x y x y c) 3 4 41 11 6 47 x y x y d) 9 11 14 6 5 34 x y x y e) 10 3 36 2 5 4 x y x y Resuelve por el método de sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: a) 3 6 5 2 13 x y x y b) 5 7 1 3 4 24 x y x y c) 4 3 8 8 9 77 y x x y d) 5 8 7 8 25 x y x y e) 15 11 32 7 9 8 x y y x Resuelve por el método de igualación los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: a) 6 27 7 3 9 x y x y b) 3 2 2 5 2 60 x y x y c) 6 27 7 3 9 x y x y d) 7 4 5 9 8 13 x y x y e) 9 16 7 4 3 0 x y y x Resuelve por el método gráfico los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: a) 1 7 x y x y b) 2 10 2 3 8 x y x y c) 5 3 0 7 16 x y x y d) 3 4 5 6 38 x y x y e) 3 4 15 2 5 x y x y Resuelve por el método que sea más conveniente los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: a) 8 3 30 5 3 9 x y x y b) 9 5 83 4 548 x y x y c) 13 9 50 10 9 26 x y x y d) 3 5 28 4 3 18 x y x y e) 16 5 125 7 4 42 x y x y Resolver los siguientes problemas: planteando las ecuaciones y luego usando el método deseado .Encuentra dos números cuya suma sea igual a 30, y el doble del primero, más el segundo sea igual al doble de este último. .La edad de Carla es el doble que la edad de Macarena. Hace diez años la suma de las edades era igual a la edad que tiene hoy Carla. ¿Cuál es la edad de cada una en la actualidad? .Si se divide un ángulo recto en dos ángulos agudos, de modo que uno sea el doble del otro más 3', ¿cuál es la medida de cada uno? .Un padre reparte $10.000 entre sus dos hijos. Al mayor le da $2.000 más que al menor. ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno? .Encuentra dos números tales que si a cada uno le agregamos siete unidades, los resultados están en la razón 3 : 2, pero si les restamos cinco unidades, la razón es 5 : 2. . El perímetro de un rectángulo es 30 cm. El doble de la base tiene 6 cm más que la altura. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? .Dos estantes contienen en total 40 libros. Al traspasar 5 libros de un estante a otro, resulta que uno queda con el triple del otro. ¿Cuántos libros había originalmente en cada estante? .Para pagar una cuenta de $3.900, un extranjero entrega 9 libras esterlinas y 15 dólares, recibiendo $75 de vuelto. Otro extranjero paga su cuenta de $4.330, con 15 libras esterlinas y 9 dólares, recibiendo $25 de vuelto. ¿A qué cambio, en pesos, se han cotizado las libras esterlinas y los dólares? .Encuentra las edades de dos hermanos sabiendo que al mayor le faltan dos años para tener cinco veces la edad actual del menor y que si el mayor tuviera seis años menos tendrían la misma edad. .La suma de dos números es 45. Si al primero se le suma 5 y al segundo se le resta 5, se obtienen dos números tales que el primero es el doble que el segundo. ¿Cuáles son los números? . El valor de una fracción es 1. Si se disminuye el numerador en 3 unidades y se aumenta el denominador en 5 unidades, el nuevo valor es igual a 3. ¿Cuál es la fracción? . Encuentra dos números tales que su suma sea 42 y su diferencia 6. .Una persona tiene $8.000 en 200 monedas de $10 y de $50. ¿Cuántas monedas de $10 y de $50 tiene? .Divide el número 19 en dos partes tales que 2/3 de la menor sea igual a 3/5 de la mayor. .Encuentra una fracción que si se disminuye su numerador en 4 unidades y se aumenta su denominador en 5, es equivalente a 1. Pero si se disminuye sólo el denominador en 7, será equivalente .La suma de dos números es 13, si el mayor se divide por el menor se obtiene por cuociente 2 y por resto 1. Encuentra ambos números. .La edad de un hijo es 1/4 de la edad de su padre. En 7 años más la edad del hijo será 4/9 la del padre. Encuentra las edades actuales de ambos. .Un niño tiene 2 años menos que el cuádruplo de la edad de su perro. Si la diferencia entre sus edades es 4 años. Encuentra la edad de ambos. .Si el numerador de una fracción se aumenta en 3 y su denominador se disminuye en 1, se obtiene 5/2, pero si solamente se aumenta su numerador en 2, ésta equivale a 4/3. Determina la fracción. .Encuentra dos números enteros consecutivos, sabiendo que la cuarta parte y la quinta parte del primero y la suma de la tercera parte y la séptima parte del segundo son también números consecutivos CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE TEORÍA DE CONJUNTOS DIFERENCIA DE CUADRADOS CUBO DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS TERMINOS POTENCIA DE BINOMIOS EJERCICIOS MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE POLINOMIOS MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS
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