Algebra-II

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INGENIERIA MATEMATICA 
 
 
 
PROGRAMAS DE ESTUDIO DEL SEGUNDO SEMESTRE 
 
 
 
ALGEBRA II 
 
 
 
 
 
 
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
SECRETARÍA ACADÉMICA 
DIRECCIÓN DE ESTUDIOS PROFESIONALES 
 
ESCUELA: Escuela Superior de Física y Matemáticas 
CARRERA: Ingeniería Matemática 
ESPECIALIDAD: 
COORDINACIÓN: Academia de Ingeniería Matemática 
DEPARTAMENTO: Matemáticas 
ASIGNATURA: Álgebra II 
CLAVE: M208 SEMESTRE: Segundo 
CRÉDITOS: 9 VIGENTE: 
TIPO DE ASIGNATURA: Teórica 
MODALIDAD: Escolarizado 
 
 
FUNDAMENTACIÓN DE LA ASIGNATURA 
 
 
El álgebra lineal es una rama de la matemática que tiene un vasto campo de aplicaciones en el modelaje y resolución de problemas. En este sentido el Ingeniero 
Matemático se enfrentará a menudo con problemas que requieran el manejo y aplicación en muy diversas áreas del que hacer humano. La asignatura tiene 
como antecedente Algebra I y es indispensable para cursar la asignatura de Algebra II. La estrategia de enseñanza aprendizaje se centrará en el exposición del 
profesor y en la resolución de problemas con la coordinación del mismo. 
 
OBJETIVO DE LA ASIGNATURA 
 
Al término del curso el alumno: 
Modelará y resolverá problemas prácticos usando los elementos básicos del álgebra lineal. Como son: el concepto de espacio vectorial, el de álgebra de 
matrices, el concepto de transformación lineal y la identificación de una matriz con una transformación lineal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
TIEMPOS TOTALES ASIGNADOS: 81 
HRS./SEMESTRE: 81 HRS/SEMANA: 4.5 
HRS./TEORIA/SEMESTRE: 81 
HRS./PRACTICA/SEMESTRE: 0 
PROGRAMA ELABORADO O ACTUALIZADO 
POR: Depto. de Matemáticas 
REVISADO POR : DEPTO. DE MATEMATICAS 
APROBADO POR: C.T.C.E. 
DR. RAMON S. SALAT FIGOLS 
FECHA: 24 DE FEBRERO DE 1998. 
AUTORIZADO POR: 
Comisión de Planes y Programas de Estudio 
 
Consejo General Consultivo. 
 
 
 
ASIGNATURA: Algebra II CLAVE: M208 HOJA: 2 DE: 9 . 
 
 
No. UNIDAD: I NOMBRE: Espacios Vectoriales Reales 
 
 
OBJETIVOS PARTICULARES DE LA UNIDAD 
Al término de la unidad el alumno: 
Resolverá problemas en los cuales verificará las propiedades de las operaciones de ciertos conjuntos, para decidir si son espacios vectoriales o no, así mismo 
decidirá cuales subconjuntos de un espacio vectorial son subespacios vectoriales. 
Construirá el subespacio de combinaciones lineales a partir de un conjunto de vectores y decidirá si un conjunto de vectores es linealmente paralelo o 
linealmente independiente. 
Decidirá si son isomorfos o no y podrá explicar porque todo espacio vectorial de dimensión n, es isomorfo al espacio de n-adas de números reales. 
 
No. DE 
TEMA 
TEMAS INSTRUMENTACIÓN DIDÁCTICA H/T H/P E.C. CLAVE B.
1.1. 
 
 
1.2. 
 
1.3 
 
 
1.4 
 
1.5 
 
1.6. 
 
1.7 
 
 
 
 
 
Definición y ejemplo de espacios 
vectoriales reales. 
 
Subespacios. 
 
Combinaciones lineales. 
 
 
Dependencia e independencia lineal.
 
Base y dimensión. 
 
Teorema de la dimensión. 
 
Isomorfismo 
 
 
 
• Exposición del profesor, 
presentando los resultados NO con 
la sustentación de la demostración 
rigurosa sino de manera informal e 
intuitiva; de ser posible 
motivándolos con algún ejemplo de 
aplicación. Insistiendo en la 
habilidad del manejo de los mismos 
y sus aplicaciones. 
 
 
 
• Resolución de ejercicios y 
problemas por parte del alumno , 
con asesoría del profesor. 
 
 
 
 
3.5 
 
 
 
1.5 
 
1.5 
 
 
 
1.5 
 
3.0 
 
 
1.5 
 
1.5 
 
 
 
 
 
 
 1B
 
 
 
1B 
 
1B 
 
 
 
1B 
 
1B 
 
 
1B 
 
1B 
 
 
 
 
ASIGNATURA: Algebra II CLAVE: M208 HOJA: 3 DE: 9 . 
 
 
No. UNIDAD: II NOMBRE: Matrices 
 
 
OBJETIVOS PARTICULARES DE LA UNIDAD 
 
Al término de la unidad el alumno: 
Definirá el concepto de matriz y demostrará que el conjunto de las matrices nxn es un espacio vectorial. 
Calculará el rango de una matriz. 
Calculará la inversa de una matriz usando operaciones elementales. 
 
No. DE 
TEMA 
TEMAS INSTRUMENTACIÓN DIDÁCTICA H/T H/P E.C. CLAVE B.
2.1 
 
2.2 
 
 
2.3 
 
2.4 
 
 
2.5 
 
 
2.6 
 
 
2.7 
 
 
 
 
El espacio vectorial de las matrices. 
 
Multiplicación de matrices y 
propiedades. 
 
El anillo de las matrices cuadradas. 
 
Rango de una matriz. 
 
 
Matrices invertibles. 
 
 
Matrices elementales y un método 
para invertir matrices. 
 
Transpuesta de una matriz. 
 
• Exposición del profesor, 
presentando los resultados NO con 
la sustentación de la demostración 
rigurosa sino de manera informal e 
intuitiva; de ser posible 
motivándolos con algún ejemplo de 
aplicación. Insistiendo en la 
habilidad del manejo de los mismos 
y sus aplicaciones. 
 
• Resolución de ejercicios y 
problemas por parte del alumno, con 
asesoria del profesor. 
 
 
 
 
 
1.5 
 
1.5 
 
 
 
1.5 
 
1.5 
 
 
 
3 
 
 
 
3 
 
 
1.5 
 1B, 4C, 6C 
 
1B, 4C, 6C 
 
 
 
1B, 4C, 6C 
 
1B, 4C, 6C 
 
 
 
1B, 4C, 6C 
 
 
 
1B, 4C, 6C 
 
 
1B, 4C, 6C 
 
 
 
 
ASIGNATURA: Algebra II CLAVE: M208 HOJA: 4 DE: 9 . 
 
 
No. UNIDAD: 3 NOMBRE: Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 
 
 
OBJETIVOS PARTICULARES DE LA UNIDAD 
Al término de la unidad el alumno: 
Expresará en forma matricial un sistema de ecuaciones lineales. 
Demostrará que el conjunto solución de un sistema de ecuaciones es un espacio vectorial. 
Aplicará los diferentes criterios que existe para decidir si existen o no soluciones del sistema. 
 
# DE TEMA TEMAS INSTRUMENTACIÓN DIDÁCTICA H/T H/P E.C. CLAVE B.
3.1 
 
 
 
3.2 
 
 
 
 
 
 
3.3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.4 
Sistemas de ecuaciones lineales 
como ecuaciones matriciales. 
Propiedades 
 
Relación entre el rango de una 
matriz de un sistema y las soluciones 
del mismo. Combinación lineal de 
soluciones de un sistema. Cantidad 
de soluciones de un sistema de 
ecuaciones lineales. 
 
Equivalencia entre: 
• A matriz nxn invertible. 
• Existencia y unicidad de solución 
de la ecuación AX=B. 
• El rango de A es n. 
• Independencia lineal de los 
vectores renglón de A. 
• Independencia lineal de los 
vectores columna de A. 
 
Algunas aplicaciones. 
 
• Exposición del profesor, 
presentando los resultados NO con 
la sustentación de la demostración 
rigurosa sino de manera informal e 
intuitiva; de ser posible 
motivándolos con algún ejemplo de 
aplicación. Insistiendo en la 
habilidad del manejo de los mismos 
y sus aplicaciones. 
 
• Resolución de ejercicios y 
problemas por parte del alumno, 
con asesoria del profesor 
 
1.5 
 
 
 
1.5 
 
 
 
 
 
 
 
3.0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.0 
 
 
 
1B, 2C, 6C 
 
 
 
1B, 2C, 6C 
 
 
 
 
 
 
 
1B, 2C, 6C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1B, 2C, 6C 
ASIGNATURA: Algebra II CLAVE: M208 HOJA: 5 DE: 9 . 
 
 
No. UNIDAD: IV NOMBRE: Determinantes 
 
 
OBJETIVOS PARTICULARES DE LA UNIDAD 
 
Al término de la unidad el alumno: 
Calculará determinantes de matrices de tamaño nxn, n≤4. 
Decidirá a partir del determinante de la matriz de un sistema de ecuaciones nxn, si el sistema tiene solución única. 
Calculará la inversa de una matriz, a partir del determinante. 
 
 
# DE TEMA TEMAS INSTRUMENTACIÓN DIDÁCTICA H/T H/P E.C. CLAVE B.
 
4.1 
 
 
4.2 
 
 
 
4.3 
 
4.4 
 
 
4.5 
 
 
4.6 
 
 
 
 
 
Definición y propiedades del 
determinante. 
 
Equivalencia entre matriz A 
invertible y determinante distinto de 
cero de A. 
 
Desarrollo por cofactores. 
 
La adjunta clásica y otro método 
para invertir matrices. 
 
Regla de Cramer. 
 
 
Algunas aplicaciones.Cálculo de 
áreas y volúmenes. 
 
• Exposición del profesor, 
presentando los resultados NO con 
la sustentación de la demostración 
rigurosa sino de manera informal e 
intuitiva; de ser posible 
motivándolos con algún ejemplo de 
aplicación. Insistiendo en la 
habilidad del manejo de los mismos 
y sus aplicaciones. 
 
• Resolución de ejercicios y 
problemas por parte del alumno, 
con asesoria del profesor. 
 
4.5 
 
 
 
1.5 
 
 
 
 
1.5 
 
 
1.5 
 
 
1.5 
 
 
3 
 
1B, 7C, 4C, 
9C 
 
 
1B, 7C, 4C, 
9C 
 
 
 
1B, 7C, 4C, 
9C 
 
1B, 7C, 4C, 
9C 
 
1B, 7C, 4C, 
9C 
 
1B, 7C, 4C, 
9C 
 
 
 
ASIGNATURA: Algebra II CLAVE: M208 HOJA: 6 DE: 9 . 
 
 
No. UNIDAD: V NOMBRE: Transformaciones lineales. 
 
 
OBJETIVOS PARTICULARES DE LA UNIDAD 
Al término de la unidad el alumno: 
Explicará los conceptos de transformación lineal y operador lineal, así como las propiedades de las operaciones de las transformaciones y operadores 
lineales. 
Realizará cambios de base y explicará geométricamente cual es el efecto que produce dicho cambio de base. 
# DE TEMA TEMAS INSTRUMENTACIÓN DIDÁCTICA H/T H/P E.C. CLAVE B.
5.1 
 
 
5.2 
 
5.3 
 
 
5.4 
 
 
5.5 
 
 
5.6 
 
5.7 
 
5.8 
 
 
Definición y ejemplo de 
transformaciones lineales. 
 
Operadores lineales. 
 
Núcleo e imagen de una 
transformación lineal. 
 
Transformaciones lineales 
invertibles. 
 
El espacio vectorial de las 
transformaciones lineales. 
 
El anillo de los operadores lineales. 
 
Matriz de una transformación lineal 
 
Igualdad de la dimensión del espacio 
imagen de una transformación lineal 
con el rango de la matriz de dicha 
transformación lineal. 
 
• Exposición del profesor, 
presentando los resultados NO con 
la sustentación de la demostración 
rigurosa sino de manera informal e 
intuitiva; de ser posible 
motivándolos con algún ejemplo de 
aplicación. Insistiendo en la 
habilidad del manejo de los mismos 
y sus aplicaciones. 
 
• Resolución de ejercicios y 
problemas por parte del alumno, 
con asesoría del profesor. 
 
1.5 
 
 
0.5 
 
1.5 
 
 
 
1.5 
 
 
1.5 
 
 
 
1.5 
 
 
3 
 
1.5 
 
1B, 5C, 6C 
 
 
1B, 5C, 6C 
 
1B, 5C, 6C 
 
 
 
1B, 5C, 6C 
 
 
1B, 5C, 6C 
 
 
 
1B, 5C, 6C 
 
 
1B, 5C, 6C 
 
1B, 5C, 6C 
 
 
 
 
ASIGNATURA: Algebra II CLAVE: M208 HOJA: 7 DE: 9 .
 
# DE TEMA TEMAS INSTRUMENTACIÓN DIDÁCTICA H/T H/P E.C. CLAVE B.
5.9 
 
 
 
 
 
5.10 
 
5.11 
 
5.12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Isomorfismo entre el espacio de las 
transformaciones lineales y el 
espacio de las matrices. Isomorfismo 
entre el anillo de los operadores 
lineales y el anillo de las matrices. 
 
Cambio de base. 
 
Funcionales lineales. 
 
Algunas aplicaciones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
1.5 
 
2.5 
 1B, 7C, 4C, 
9C 
 
 
 
 
 
 
1B, 7C, 4C, 
9C 
1B, 7C, 4C, 
9C 
1B, 7C, 4C, 
9C 
 
 
 
 
ASIGNATURA: Algebra II CLAVE: M208 HOJA: 8 DE: 9 . 
 
 
No. UNIDAD: VI NOMBRE: Espacios euclideanos 
 
 
OBJETIVOS PARTICULARES DE LA UNIDAD 
 
Al término de la unidad, el alumno: 
Calculará magnitudes de vectores, ángulos entre vectores y decidirá cuando dos vectores son ortogonales. 
Construirá bases ortogonales de un espacio euclidiano de dimensión finita, a partir de una base dada. 
 
 
# DE TEMA TEMAS INSTRUMENTACIÓN DIDÁCTICA H/T H/P E.C. CLAVE B.
 
6.1 
 
 
6.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definición, ejemplos y propiedades 
de espacios euclideanos. 
 
Poceso de ortogonalización de 
Gram-Schmidt. 
 
 
• Exposición del profesor, 
presentando los resultados NO con 
la sustentación de la demostración 
riguroza sino de manera informal e 
intuitiva; de ser posible 
motivándolos con algún ejemplo de 
aplicación. Insistiendo en la 
habilidad del manejo de los mismos 
y sus aplicaciones. 
 
• Resolución de ejercicios y 
problemas por parte del alumno, 
con asesoria del profesor. 
 
4.5 
 
 
 
4.5 
 
5C 
 
ASIGNATURA: Algebra II CLAVE: M208 HOJA: 9 DE: 9 . 
 
PERIODO UNIDADES
TEMATICAS 
PROCEDIMIENTOS DE EVALUACION 
Primero 
 
Segundo 
 
Tercero 
 
 
I y II 
 
III y IV 
 
V y VI 
80% Examen escrito y 20% tareas y trabajos. 
 
80% Examen escrito y 20% tareas y trabajos. 
 
80% Examen escrito y 20% tareas y trabajos. 
 
La calificación final, es el promedio de los tres parciales. 
CLAVE BASICA CONSULTA BIBLIOGRAFIA
1 
 
 
2 
 
 
3 
 
 
4 
 
 
5 
 
 
6 
 
X 
 
 
X 
 
 
X 
 
 
X 
 
 
X 
 
 
X 
Grossman, Algebra Lineal, Editorial Iberoámerica (Quinta Edición), 1996, México, 
634 pag. 
 
Anton, Introducción al Algebra Lineal, Editorial Limusa, (Cuarta Reimpresión), 
1990. Méx-Méx, 355 pp. 
 
I.N. Herstein y David J. Winter, Algebra Lineal y Teoría de Matrices, Editorial 
Iberoámerica, 1988. Méx-Méx, 556 pp. 
 
Stanley I Grossman, Aplicaciones de Algebra Lineal, Grupo Editorial Iberoámerica, 
1988, México, 224 pág. 
 
Fraleigth / Beanregard, Linear Algebra, Addiwn-Wesley Publishing Company, 1990. 
USA, 477 pág. 
 
Francis G. Florey, Fundamentos de Algebra Lineal y Aplicaciones, Editorial Prentice 
Hall, 1979. USA, 522 pág.