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1 MODELADO DE INTERACCIÓN MAGNÉTICA DE ELEMENTOS SUPERCONDUCTIVOS TESIS QUE PRESENTA EL: ING. JUAN ALBERTO ALVARADO OLIVARES PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA EN MICROELECTRÓNICA Director de Tesis Dr. Vasyl Rashkovan. México, D.F. Marzo 2004. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN UNIDAD CULHUACÁN 2 3 CARTA CESION DE DERECHOS En la Ciudad de ____México_____el día ___5__del mes____Abril ________del año __2005_____, el (la) que suscribe___Juan Alberto Alvarado Olivares____ alumno (a) del Programa de___Maestría en Ciencias de Ingeniería en Microelectrónica con número de registro ___A030365____, adscrito a _____SEPI-ESIME “Culhuacan”________, manifiesta que es autor (a) intelectual del presente trabajo de Tesis bajo la dirección de ___Dr. Vasyl Rashkovan___ y cede los derechos del trabajo intitulado __Modelado de Interacción Magnética de Elementos Superconductivos____, al Instituto Politécnico Nacional para su difusión, con fines académicos y de investigación. Los usuarios de la información no deben reproducir el contenido textual, gráficas o datos del trabajo sin el permiso expreso del autor y/o director del trabajo. Este puede ser obtenido escribiendo a la siguiente dirección _____jalvarado4@prodigy.net.mx__. Si el permiso se otorga, el usuario deberá dar el agradecimiento correspondiente y citar la fuente del mismo. Juan Alberto Alvarado Olivares Nombre y firma INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL COORDINACION GENERAL DE POSGRADO E INVESTIGACION 4 AGRADECIMIENTOS A mi asesor el Dr Vasyl Rashkovan por su enseñanza, confianza y apoyo A mis padres y hermanos por su apoyo en estos años de estudio. A mis compañeros de la SEPI por su amistad y hacerme la estancia mas placentera. Al CONACYT y al Instituto Politécnico Nacional. Índice 1 INDICE Resumen ……………………………………………………………………… i Abstract ……………………………………………………………………… ii Introducción ……………………………………………………………… iii 1. ANTECEDENTES 1.1. Introducción ……………………………………………………………… 1 1.2. Modelos para análisis de fuerza magnética ……………………………… 2 1.3. Fuerzas de interacción magnética ……………………………………….. 3 1.4. Software para análisis de fuerzas de interacción ……………………………… 6 Conclusiones Referencias 2. CONCEPTOS DE SUPERCONDUCTIVIDAD 2.1. Introducción ……………………………………………………………… 11 2.2. Historia ……………………………………………………………… 12 2.3. Generalidades ……………………………………………………… 15 2.3.1. Efecto meissner ……………………………………………… 15 2.3.2. Corrientes de apantallamiento ……………………………… 15 2.3.3. Profundidad de penetración ……………………………………… 16 2.3.4. Magnetización ………………………………………………. 17 2.3.4.1. Superconductores tipo I ………………………………. 17 2.3.4.2. Superconductores tipo II ……………………………… 17 2.3.5. Modelo de estado critico ……………………………………… 22 2.3.5.1. Modelo de aproximación de Bean ……………………… 23 Referencias Índice 2 3. DESARROLLO DEL MODELO DE INTERACCIÓN MAGNÉTICA DE ELEMENTOS SUPERCONDUCTIVOS 3.1. Introducción ……………………………………………………………… 28 3.2. Interacción magnética de dos anillos superconductivos ……………… 34 3.2.1. Cálculos numéricos ……………………………………………… 37 3.3. Estabilidad de dos anillos con interacción magnética ……………… 39 3.4. Interacción magnética anillo-dipolo ……………………………… 51 3.4.1. Determinación de regiones de estabilidad ……………………… 55 3.4.2. Comparación de resultados teóricos y experimentales ……… 62 Conclusiones Referencias 4. INDUCTANCIA MUTUA 4.1. Introducción ……………………………………………………………… 69 4.2. Modelado del sistema ……………………………………………… 69 4.3. Cálculos numéricos ……………………………………………………… 75 Conclusiones Referencias 5. APLICACIÓN 5.1. Introducción ……………………………………………………………… 83 5.2. Sistema de dos anillos superconductivos ……………………………… 84 5.2.1 Análisis de movimiento del anillo libre ……………………… 84 5.2.1. Análisis de los resultados numéricos obtenidos ……………… 88 5.3. Sistema de tres anillos superconductivos ………………………………. 90 5.3.1. Análisis de movimiento del anillo libre ……………………… 91 5.4. Comparación de resultados teóricos y experimentales ………………. 96 Conclusiones Referencias Índice 3 6. CONCLUSIONES FINALES …………………………………………. 98 ANEXO A ÍNDICE DE FIGURAS ………………………………….. 99 ANEXO B ECUACIONES DE MAXWELL ……………………………. 103 PUBLICACIONES ……………………………………………………….. 105 Resumen i RESUMEN El objetivo de esta tesis es desarrollar un modelo que describa la interacción magnética de elementos superconductivos, para el desarrollo de este modelo se consideran anillos superconductivos ideales, cuyas características ideales permiten realizar una simplificación en el análisis del sistema de interacción magnética y obtener expresiones analíticas que permitan el calculo de la fuerza de interacción magnética, la energía potencial y dureza magnética. El modelo desarrollado esta expresado a través de flujos magnéticos e inductancias propias y mutuas, el cálculo de inductancias mutuas no es un problemas fácil de resolver, por esta razón, se busca una expresión analítica para el calculo de inductancias, que permita un mejor análisis del problema. Una parte importante para la aplicación practica de cualquier sistema, es conocer acerca de su estabilidad, en este trabajo el análisis es realizado a través de los teoremas de Lyapunov, Legien- Ddirichlet y de Rumyantsev. Para la investigación de este modelo se utiliza una configuración formada por dos anillos superconductivos, posteriormente este modelo es extendido a un problema muy interesante, desde el punto de vista científico, el cual es, la interacción magnética entre un anillo y un dipolo magnético. En los sistemas de interacción magnética estudiados se puede observar que existe un mínimo de energía potencial, esto significa que la fuerza de interacción entre los anillos cambia de repulsiva a atractiva durante la disminución de la distancia entre los anillos, este comportamiento permite crear levitaciones y suspensiones magnéticas estables de anillos, Esta característica permite ver la posibilidad de aplicar estos sistemas de interacción magnética en instrumentos de medición como acelerómetro o gravímetro. Para ello se propone un esquema de tres anillos superconductivos que funciones como transductor de estos instrumentos, para este esquema se analiza el movimiento de un cuerpo magnético libre a través de contornos superconductivos. Abstract ii ABSTRACT The objective of this thesis is to develop a model that describes the magnetic interaction of superconductive elements, for the development of this model ideal ring superconductive was considered, the ideal characteristics of these elements allow to make a simplification in the analysis of the system of magnetic interaction and to obtain analytical expressions, that allow calculate of the force of magnetic interaction, potential energy and magnetic hardness. The developedmodel this expressed through magnetic fluxes and own and mutual inductance, the calculation of inductance is not problems easy to solve, for this reason an analytic expression is looked for the calculate of inductances that it allows a better analysis of the problem. An important part for the application practices, of any system, is to know about its stability. The analysis made in this work is made through the theorems of Lyapunov, Legien-Ddirichlet and of Rumyantsev. The development of the model based on two superconductivos ring, is extends to a very interesting problem, from the scientific point of view, which is, the magnetic interaction between a ring and a magnetic dipole. In the studied systems of magnetic interaction this can be observed that a potential minimum of energy exists, means that the force of interaction between the ring changes of repulsive to attractive during the diminution of the distance between the ring, this behavior allows to create levitations and stable magnetic ring suspensions, This characteristic allows to see the possibility of applying to these systems of magnetic interaction in measuring instruments like accelerometer or gravimeter a scheme of three ring superconductive considers where these work like transducer of these instruments, for this scheme the movement of a free magnetic body through superconductivos contours is analyzed. Introducción iii INTRODUCCIÓN El descubrimiento de la superconductividad en 1911 por H. Kamerlingh Onnes, mostró un tremendo potencial en una amplia gama de aplicaciones en el área de la ciencia y tecnología; eficiente almacenamiento de energía, electrónica, transporte, medicina, industria militar, aceleración de partículas, etc. Sin embargo la necesidad de temperaturas muy bajas para llevar los materiales a estado superconductivo, restringió la viabilidad de las aplicaciones, la necesidad de usar helio liquido en los sistemas de enfriamiento acarreaba problemas técnicos, aunado al alto precio de este. El descubrimiento de los materiales superconductores de alta temperatura en 1986, ha traído como consecuencia la búsqueda de nuevas áreas de aplicación para la superconductividad, pues el echo de que ciertos materiales trabajen a temperaturas criticas cada día mas altas, con el uso de nitrógeno liquido, que es mucho mas barato que el helio, abre un abanico de posibilidades. Para llevar cabo estas nuevas aplicaciones, los investigadores se enfocan en tres direcciones de estudio principalmente. La primera es la búsqueda de nuevos compuestos a fin de obtener una temperatura critica (Tc) cada vez mas elevada. La segunda dirección es la mejora de los métodos para sintetizar estos materiales y la tercera es la comprensión de sus propiedades físicas (eléctricas, magnéticas y ópticas). Siendo esta ultima en la que se enfoca esta tesis El estudio de los sistemas con interacción eléctrica y magnética ha sido estudiada desde hace algunos años, antes y después de los materiales superconductores de alta temperatura, esto debido a los prospectos de aplicación como: trenes de levitación magnética (MAGLEV), almacenamiento de energía (Flywheels), cojinetes levitatorios, técnicas de aceleración, elementos de vibrodiagnostico, giroscopio superconductivo, acelerómetros, gravímetro, etc. Para el desarrollo de las aplicaciones arriba mencionadas es importante conocer el comportamiento de las fuerzas de interacción magnética y la estabilidad de estos sistemas. Introducción iv En años recientes con el avance de la tecnología en materiales superconductivos, varios investigadores han medido las fuerzas de interacción magnética, para ello han utilizando varios tipos de materiales superconductores, parámetros eléctricos y geométricos. Estos resultados han sido validados en parte por las investigaciones teóricas al respecto, sin embargo aun queda mucho que realizar en la parte teórica para obtener un buen modelo que describa adecuadamente este comportamiento. A través de las investigaciones se ha visto que el tipo de material superconductor, la geometría y los parámetros eléctricos influyen en el comportamiento de la fuerza, Las investigaciones realizadas en los últimos años se basan en el uso de discos superconductivos, para el análisis teórico es necesario conocer la magnetización de estos elementos, el cual presenta un comportamiento de histéresis, el cual depende de la corriente critica. En este punto existen varios métodos con el cual los investigadores obtienen este comportamiento, pues algunos utilizan el modelo de aproximación critica de Bean, otros el de Kim- Anderson, Yashiloshi, etc. En esta tesis se plantea hacer la investigación a partir de anillos superconductivos, una de las ventajas de utilizar estos, es que el flujo magnético a través de estos es constante, el modelo propuesto también considera anillos ideales, por lo tanto no existe histéresis, en consecuencia para el modelo teórico desarrollado la densidad de corriente no desempeña un papel importante, estas consideraciones permiten simplificar el modelo y obtener expresiones analíticas que describan la interacción magnética. Por otro lado el estudio de la estabilidad de estos sistemas, en la mayoría de las investigaciones solo ha sido abordado a partir de los resultados experimentales, en esta tesis el análisis es echo a través del conocimiento de la energía potencial. En el siglo XIX Samuel Earnshaw demostró que en los campos en los que la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de las distancias, la posición relativa de ambos elementos es intrínsicamente inestable. Estabilizar un cuerpo significa dominar los seis grados de libertad Introducción v definidos por la posición de cuerpo del centro de gravedad y los tres ángulos de Euler y esto no se puede conseguir bajo el teorema de Earnshaw, aunque existen algunas excepciones para este tipo de sistema • Efecto cuántico: a escala atómica no hay contacto real entre dos objetos • Realimentación: consiste en tomar una referencia de la posición del objeto para controlar la fuerza magnética. • Diamagnetismo: gracias a que los materiales superconductores no permiten ser atravesados por campos magnéticos se pueden generar fuerzas que permitan la levitación • Campos oscilatorios: utilizando una señal de corriente alterna; un ejemplo de ello es el anillo de Thompson • Rotación: un ejemplo puede estar en el caso denominado como diamagnetismo. En el medio académico se conoce por el prototipo comercial llamado Levitron. Esta tesis pretende demostrar las cualidades de los sistemas de interacción magnética de anillos superconductores. El tener mayor conocimiento acerca del comportamiento de estos sistemas, ayudara a tener un desarrollo mas efectivo de las aplicaciones antes mencionadas. Esta tesis esta dividida en cinco partes principales, en la primera parte se hace una revisión del estado de arte. En el segundo capitulo se introducen los principales conceptos de la superconductividad, magnetización, corriente critica, profundidad de penetración etc. El tercer capitulo se desarrolla un modelo de interacción magnética a partir de un sistema de dos anillos superconductivos en este caso se consideran anillo finos por lo cual no hay histéresis, se realiza un estudio de la estabilidad de este sistema, además el modelo es extendido al estudio de la interacción magnética de un dipolo interactuando conuna anillo superconductor. Se observa que en estos modelos existe un mínimo de energía potencial, por lo tanto pueden ser estables. Introducción vi El cuarto capitulo se describe un método para el calculo de inductancias mutuas, el conocimiento de la inductancia es importante para el calculo de otra propiedades eléctricas en sistemas de interacción magnética. El quinto capitulo es orientado al estudio del movimiento de cuerpos magnéticos libres en contornos superconductivos, se propone un esquema de dos anillos fijo y un anillo móvil. Se plantea la hipótesis de utilizar este tipo de sistema en la construcción de medidores de alta precisión (gravímetro, acelerómetro). El sexto capitulo plantea las conclusiones finales y trabajos a futuro. CAPITULO 1 Antecedentes Antecedentes Capitulo 1 1 CAPITULO1 ANTECEDENTES En este capitulo se presentan los resultados de algunas investigaciones que tratan el fenómeno de la interacción magnética, dado que la superconductividad de alta temperatura es relativamente nueva, hay un gran numero de investigaciones y resultados al respecto, en este capitulo se presenta un resumen del estado que guardan estas investigaciones. 1.1 INTRODUCCIÓN La gran variedad de materiales superconductores de alta temperatura, y el uso de nitrógeno liquido ha abierto un nuevo capitulo en el campo de la física de estado sólido [1], entender las propiedades de éstos superconductores de alta temperatura ha motivado una increíble actividad en la investigación teórica y experimental desde su descubrimiento hace 12 años [2-5], La disponibilidad actual de estos compuestos adaptados en la forma de cerámicas en disco, de cristales simples o de películas delgadas, ha hecho posible la consolidación del tratamiento experimental del fenómeno de la superconductividad, tanto en laboratorios escolares, como en laboratorios avanzados de física, esto en gran medida porque el nitrógeno líquido es relativamente barato y mucho más fácil de manejar que el helio líquido por lo tanto requiere diseños criogénicos mucho más sencillos. Esto a permitido a la comunidad científica probar un gran numero de configuraciones para medir experimentalmente la fuerzas de interacción magnética, usando diferentes tipos de materiales superconductores e imanes permanentes, varias geometrías, parámetros eléctricos y técnicas para realizar estas mediciones. De estas investigaciones se observa que una gran mayoría de estas [6- 15] se han enfocado en la interacción magnética entre magnetos permanentes y superconductores de disco, cuyos resultados muestran un comportamiento de histéresis, también se ha investigado en menor medida sobre la fuerza de interacción magnética de un dipolo sobre una película delgada de superconductor [16] y la interacción magnética entre anillo superconductor e imanes permanentes [17-19]. Antecedentes Capitulo 1 2 1.2 MODELOS PARA EL CALCULO DE FUERZAS DE INTERACCIÓN MAGNÉTICA Para interpretar los resultados observados, se han propuesto varios modelos. El modelo del diamagnetismo perfecto [20] el cual es basado en el efecto meissner, es usado para calcular las fuerzas magnéticas entre imanes permanentes y superconductores, este modelo es simple y fácil de aplicar para el análisis, pero solo es valido para superconductores con diamagnetismo perfecto, situación que no se da en los superconductores de alta temperatura a determinado campo critico (Hc.). En contraste con el modelo de diamagnetismo perfecto, el modelo de penetración de flujo [21,22] maneja el estado mixto debido a la penetración del flujo magnético en el material, La fuerza de la levitación es obtenida diferenciando la energía total de los vortices puestos en el superconductor con respecto a la separación entre el imán y el superconductor, para los cálculos varias aproximaciones son realizadas, pero se usan varios supuestos que no son del todo validos, por ejemplo, la longitud de cada vórtice, que desempeña un papel importante en la derivación, se asume sin ninguna distorsión y se utilizan las líneas no deformadas del flujo para calcular la penetración del flujo. Un tercer modelo son los basados en el modelo de estado critico [23-27], este se considera un poco mas realista que los anteriores ya que toma en cuenta las características esenciales del flujo en los puntos de anclaje en los superconductores de alta temperatura, para calcular la fuerza magnética se considera la interacción entre el campo magnético y las supercorrientes inducidas en el superconductor, se considera que estas corrientes fluyen a través de todo el superconductor o a través de cada vortice individualmente, este modelo a diferencia de los anteriores tiene la ventaja de introducir la histéresis dentro de la formulación matemática, esta histéresis esta generalmente basada en el modelo de Bean. [26,27]. Un cuarto modelo es el modelo de magnetización [28] que relaciona las fuerzas magnéticas con la magnetización de un superconductor, un cuerpo magnetizado con la magnetización deberá sentir una fuerza, comparado con el modelo de estado critico tiene la ventaja de reducir enormemente el calculo de la curva de magnetización, de tal manera que esta sea mas accesible. Los últimos modelos mencionados requieren el conocimiento de la magnetización para el calculo de la fuerza de interacción, aunque se han realizado un gran numero de mediciones al respecto para una análisis formal se opta por tomar la curva de magnetización a partir de modelos de estado critico, como la aproximación de Bean, Kim [23-25] entre otros, para después Antecedentes Capitulo 1 3 compararlos con los resultados experimentales. Como se vera en el capitulo dos la esencia del modelo de Bean y Kim es la consideración que se hace sobre la corriente critica, en el modelo de Bean se asume que la corriente critica es constante e independiente del campo magnético, lo cual no es del todo cierto, pues se ha visto que en los superconductores de alta temperatura al aumentar el campo critico la densidad de corriente disminuye, razón por la cual los resultados experimentales no concuerdan exactamente con los teóricos, esto a llevado al planteamiento de modelos como el de Kim, Campbell [38], Yashukoshi [39] que plantean una cierta dependencia de la corriente critica con el campo magnético, estas consideraciones ayudan a tener resultados teóricos mas cercanos a los experimentales aunque con un modelo mas complejo. 1.3 FUERZAS DE INTERACCIÓN MAGNÉTICA En general, la fuerza F de interacción entre una distribución de corrientes j y un campo magnético H está dada por: ( )∫ ×= dVHjF oµ (1.1) donde µ0 = permeabilidad magnética Si las corrientes están en un volumen V donde el campo magnético es suficientemente uniforme, entonces se puede asociar a las corrientes una magnetización homogénea M. Por otra parte, si las corrientes están circulando en un plano perpendicular al campo magnético, la fuerza será paralela al campo. Si el campo está en la dirección z, H = Hz, la fuerza estará dada por: V z H MF zzoz ∂ ∂ = µ (1.2) La ecuación (1.2) indica que si medimos la fuerza de interacción entre una muestra magnética y el campo magnético (inhomogéneo) aplicado, podemos evaluar la magnetización M si conocemos el valordel gradiente del campo, )(zH z H z z ′≡ ∂ ∂ Vemos también que la medición de fuerza lleva Antecedentes Capitulo 1 4 en sí toda la información concerniente al comportamiento de la magnetización del material magnético en estudio. En el caso de un material superconductor esta magnetización es inducida por el campo magnético. A continuación se muestra los resultados obtenidos por algunos investigadores. a) b) FIG. 1. Ejemplos de la fuerza calculada en función de la distancia vertical para una muestra A (1.0 milímetros de radio y espesor de 5.0 milímetros (a) C = 10 y (b) C = 2, respectivamente. ∫ ∂ ∂ = dV z H MF zzz (1.3) 4−−≈ ∂ ∂ Cz z H z (1.4) donde C es un parámetro simulado. En esta investigación [14] la magnetización fue realizada a través del modelo de Campbell. Para calcular la fuerza magnética, el superconductor fue dividido en varias capas en el eje normal. La magnetización en cada capa fue calculada a través de la contribución de campo magnético en esa posición. La curva de magnetización tiene un comportamiento de histéresis y se obtuvo a través de variar el campo magnético externo en una dimensión solamente. La fuerza de magnetización fue obtenida por la ecuación 1.3. Antecedentes Capitulo 1 5 Figura 1.2 se observa las fuerza de levitación magnética en a) Enfriado sin la presencia de campo, conocido como proceso Zero Field Cooled (ZFC) y enfriado en presencia de campo magnético, proceso Field Cooled (FC). La figura 1.2 muestra el comportamiento de las fuerzas de levitación obtenidos experimentalmente[13] entre un magneto permanente Nd-Fe-B y un superconductor de disco YBaCuO. Las líneas discontinuas indican el peso de una carga, wL (unida al superconductor) más el peso del superconductor que obra recíprocamente con el imán w(wT+wL). Las etiquetas A,B,C. A’,B’,C’ indican las distancias relevantes, por ejemplo se observa que entre el punto C’ y D’ es posible una suspensión estable. Antecedentes Capitulo 1 6 Figura 1.3 Fuerza de levitación vertical Fz contra la distancia z, entre un disco superconductor de radio a y espesor 2b, levitando sobre un magneto permanente cilíndrico La figura 1.3 muestra el resultado de la investigación [12] donde los autores tomaron en cuenta los efectos de la desmagnetización para el calculo de la corriente, además consideran un superconductor con espesor finito, a diferencia de los modelos de estado critico que consideran un espesor infinito, y toman en consideración la forma y las propiedades de los materiales. )/(093.0 )/(31.3max remco remco z BaJ BaJ F µ µ + = (1.5) donde Brem es el campo remanente de inducción del magneto permanente; a = radio del disco superconductor; Jc = densidad de corriente critica . 1.2 SOFTWARE PARA ANÁLISIS DE FUERZAS DE INTERACCIÓN El uso de elemento finito [36-38] ayuda en el al análisis de interacción magnética, pero para aplicar algún software comercial de modelado de elementos finitos (FEMLAB, SUPRACAL, FLUX3D) es necesario introducir la respuesta a una campo magnético aplicado. Esta representación esta dada por la curva B = B(H), hasta ahora no hay un software capaz de trabajar adecuadamente con los superconductores de alta temperatura, sin embargo con la ayuda del modelo de Bean se puede construir la curva B = B(H), de modo que el valor promedio de la corriente critica (Jc)sea conocido, hasta ahora los software de elemento finito necesitan el valor Jc., que es un valor que depende de los rasgos estructurales globales del superconductor. Antecedentes Capitulo 1 7 CONCLUSIONES La interacción magnética ha sido estudiada desde hace tiempo, sin embargo hasta antes del descubrimiento de los superconductores de alta temperatura la literatura al respecto es muy escasa, desde el descubrimiento de los materiales de alta temperatura en 1986, las investigaciones al respecto se han intensificado, mas sin embargo, en la literatura es difícil encontrar trabajos relacionados con anillos superconductores, en la mayoría de las investigaciones se utilizan discos superconductivos, los resultados con estos elementos arrojan que la densidad de corriente critica y la geometría juegan un papel muy importante en la estabilidad y el comportamiento de las fuerzas de interacción [31-36], también las propiedades físicas influyen en estos aspectos pues de acuerdo a varios autores la penetración del flujo magnético en los superconductores esta fuertemente relacionado con estabilidad y la fuerza. De tal manera que tomar en consideración todos estos elementos hace que un modelo teórico sea difícil de resolver analíticamente, por este motivo en los últimos años se ha visto la necesidad de utilizar programas de elementos finitos para ayudar a resolver los modelos planteados. Antecedentes Capitulo 1 8 REFERENCIAS [1] M. K. Wu, J. R. Ashburn, C. J. Torng, P. H. Hor, R. L. Meng, L. Gao, Z., J. Huang, Y. Q. Wang, and C. W. Chu, ‘‘Superconductivity at 93 K in a new mixed-phase Y–Ba–Cu–O compound system at ambient pressure,’’ Phys. Rev. Lett., vol. 58, pp. 908–910, 1988. [2] T. G. Bednorz and K. A. Muller, “Possible high Tc superconductivity in the Ba–La–Cu–O system”, Z. Phys. B, vol. 64, pp. 189–193,1986. [3] Charles P. Poole Jr., Horacio A. Farach, and Richard J. Creswick, Superconductivity, Academic, San Diego, 1995. [4] G. Burns, High-Temperature Superconductivity an Introduction, Academic San Diego, pp. 1– 7, 1992. [5] Terry P. Orlando ,Kevin A. 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CAPITULO 2 Conceptos de Superconductividad Conceptos de Superconductividad Capitulo 2 11 CAPITULO 2 CONCEPTOS DE SUPERCONDUCTIVIDAD Este capitulo esta enfocado a introducir los principales conceptos acerca de la superconductividad, se hace una revisión histórica del esfuerzo por lograr temperaturas criticas mas altas y se analizan el comportamiento de superconductores del Tipo I y II. 1.3 INTRODUCCIÓN La superconductividad es un estado en el cual la resistencia eléctrica de ciertos materiales disminuye hasta llegar a cero. La temperatura por debajo de la cual la resistencia eléctrica de un material se aproxima al cero absoluto se denomina temperatura de transición ó crítica (Tc). Por encima de esta temperatura, al material se le conoce como normal, y por debajo de Tc, se dice que es superconductor. La pérdida de resistencia eléctrica es sólo uno de los varios cambios que tienen lugar cuando se enfría un superconductor por debajo de su temperatura crítica. Se presentan también efectos magnéticos notables: la permeabilidad del material disminuye hasta cero y el flujo magnético en el material desaparece; la conductividad térmica aumenta rápidamente. El calor específico electrónico del material en el estado superconductor, se altera sustancialmente debajo de la temperatura crítica. A medida que la temperatura se reduce empezando desde T > Tc, el calor específico salta primero hasta un valor muy alto a Tc y luego cae muy por debajo del valor para el estado normal a temperaturas muy bajas. Además de la temperatura (T), el estado superconductor también depende de otras variables, como son el campo magnético (H) y la densidad de corriente (J). En cuanto a esta última, hay que recordar que la corriente genera su propio campo. De este modo, para que un material sea superconductor, la temperatura del material, su campo magnético y su densidad de corriente no deben superar unos valores específicos para cada caso, ya que para cada material superconductor existe una superficie crítica en el espacio de T, H, y J. Conceptos de Superconductividad Capitulo 2 12 Los superconductores se clasifican, según su comportamiento frente al campo magnético aplicado, como superconductores de tipo I y de tipo II. Si un cilindro largo de un superconductor de tipo I como plomo (Pb) o estaño (Sn) se coloca en un campo magnético a temperatura ambiente, el campo magnético penetra normalmente a través del metal. Sin embargo, si la temperatura del conductor del tipo I se reduce por debajo de su Tc (7,19 K para el Pb) y si el campo magnético esta por debajo de Hc, el campo magnético es expulsado de la muestra con excepción de una capa de penetración superficial muy fina de unos 10-4 mm de espesor. Esta propiedad de expulsión de un campo magnético en el estado de superconducción recibe el nombre de Efecto Meissner. Así los campos magnéticos resultan rechazados del interior del superconductor debido a la formación de corrientes de superficie. La magnetización de un superconductor se opone al campo magnético externo, y la susceptibilidad magnética tiene un valor negativo máximo. Esto significa que un superconductor exhibe un diamagnetismo perfecto, lo cual es una propiedad esencial del estado superconductor. Los superconductores de tipo II se comportan de forma diferente ante un campo magnético a temperaturas por debajo de la temperatura crítica. Los mismos son diamagnéticos, como lo superconductores de tipo I, hasta un valor de un campo magnético aplicado llamado campo crítico inferior Hc1, yde este modo el flujo magnético es rechazado del material. Por encima de Hc1 el campo empieza a penetrar en el superconductor de tipo II y continua así hasta que alcanza el campo crítico superior Hc2. En el intervalo entre Hc1 y Hc2 el superconductor está en estado mixto y por encima de Hc2 vuelve a su estado normal. 2.2 HISTORIA El descubrimiento de la superconductividad se remonta a 1908, año en el que el físico holandés Heike Kamerlingh Onnes llegó a enfriar el helio hasta el punto de su licuefacción, a una temperatura próxima al cero absoluto. Esta experiencia le permitió observar fenómenos desconocidos hasta entonces y casi inconcebibles para los científicos de la época: por un lado, la Conceptos de Superconductividad Capitulo 2 13 superfluidez y por el otro lado la superconductividad, que Onnes demostró por primera vez en 1911 [1]. Para lograr estas bajas temperaturas es necesario poner las muestras en contacto con helio líquido, el cual es un elemento difícil de obtener y que requiere de procesos complicados y costosos para mantenerlo en su fase líquida. Desde entonces se inicio una búsqueda ininterrumpida para alcanzar aleaciones que alcanzaran la fase superconductora a temperaturas más elevadas. La curiosidad que Onnes sentía hacia el comportamiento de la materia a bajas temperaturas lo condujo al descubrimiento de la superconductividad experimentando con el mercurio, siendo posible porque había conseguido la licuación del helio que permitió enfriar los materiales a temperaturas próximas al cero absoluto (-273°C). Algunos científicos que trabajaban con superconductores similares a los empleados por Onnes, intentaron subir ligeramente la temperatura crítica mezclando compuestos para formar aleaciones superconductoras. Hacia 1933 la temperatura crítica fue duplicada a 10°K. El proceso fue lento y frustrante hasta 1941 cuando se encontraron aleaciones de niobio que se volvían superconductoras a 15°K. No fue hasta 1969 cuando la temperatura crítica volvió a duplicarse nuevamente, alcanzando los 20°K. Este avance fue muy importante, puesto que el hidrógeno se licúa a 20°K. Por primera vez podía utilizarse otro agente refrigerador. Hacia 1971, los mejores superconductores eran aleaciones de niobio-aluminio y niobio-germanio que alcanzaban esta fase. En 1972 se concedió el Premio Nóbel de Física a J. Bardeen, L.N. Cooper y J.R. Schriffer por sus trabajos realizados a finales de la década de los años cincuenta, que daban cuenta del origen microscópico de la superconductividad. En 1973, la temperatura crítica subió unos pocos grados más, a 23°K. Durante aproximadamente una década, los científicos intentaron aumentar la temperatura crítica. Experimentaron sin éxito con muchos compuestos y aleaciones. Conceptos de Superconductividad Capitulo 2 14 Finalmente en 1986 dos investigadores de IBM en Zurich anunciaron haber conseguido subir la temperatura crítica a 30°K en un material completamente nuevo. Los nuevos materiales superconductores que no son aleaciones metálicas sino cerámicas hechas a base de óxido de cobre mezclados con bario o estroncio y alguno de los elementos conocidos como tierras raras (lantano, itrio y neodimio). Alex Müller y Georg Bednorz habían sintetizado un complejo material cerámico (BaLaCuO) que presentaba superconductividad a 30°K. Este extraordinario descubrimiento impulsó a muchos investigadores a trabajar con materiales cerámicos similares. Unos meses después la temperatura crítica fue aumentada a 39°K. En febrero de 1987 Ching-Wu (Paul) Chu y su equipo de investigación de la Universidad de Houston anunciaron haber desarrollado un superconductor con una temperatura de 98°K (Mezcla de óxido de cobre, bario e itrio (YBaCuO). Este descubrimiento causó un gran impacto en la comunidad científica mundial, pues la barrera impuesta por la necesidad de utilizar helio líquido había sido traspasada. El nitrógeno se licúa a 77°K, una temperatura bastante inferior a la temperatura crítica alcanzada. El nitrógeno líquido es fácil de transportar en termos aislados, es muy barato, abundante y fácil de enfriar a diferencia del proceso con helio líquido es costoso. En 1988 el óxido de cobre, calcio, bario y talio (TlBaCaCuO) alcanzó una temperatura crítica de 125°K. Las investigaciones efectuadas en el laboratorio de la Escuela Superior de Física y Química Industrial de París en mayo de 1993, trabajando con películas de óxido mixto de cobre, calcio, bario y mercurio (HgBaCaCuO) lograron una temperatura crítica de 133°K. Este mismo equipo logró en diciembre de 1993 una temperatura crítica de 250°K a partir de un compuesto de bismuto, estroncio, calcio y óxido de cobre (BiSrCaCuO). Los compuestos que han originado los sorprendentes adelantos en materia de superconductividad son todos cupratos de la familia de las perovskitas de cobre, es decir, cristales constituidos por el apilamiento, en todas las direcciones del espacio, de octaedros que contienen en su centro un átomo metálico, el cobre, con átomos de oxígeno en los vértices; los espacios entre los octaedros están ocupados por otro átomo metálico. Conceptos de Superconductividad Capitulo 2 15 Sin embargo, la carrera de la temperatura crítica aún no ha terminado. Los científicos sueñan con superconductores a temperatura ambiente, que no necesiten refrigerarse. 2.3 GENERALIDADES DE LOS SUPERCONDUCTORES 2.3.1 El efecto Meissner Si un superconductor se refrigera por debajo de su temperatura crítica en el seno de un campo magnético, el campo rodea al superconductor, pero no penetra en él. Este fenómeno se conoce con el nombre de Efecto Meissner y fue descubierto en 1933, este experimento fue el primero en demostrar que los superconductores son algo más que materiales con una conductividad perfecta. Tienen una propiedad adicional que un material con resistencia nula únicamente no posee, Sin embargo, si el campo magnético es demasiado intenso, el superconductor vuelve a su estado normal incluso estando a una temperatura inferior a su temperatura crítica. Fig. 2.1 Esquema de la interacción entre un superconductor ideal y un campo magnético externo. a) en presencia de campo externo, b) sin campo externo. Conceptos de Superconductividad Capitulo 2 16 2.3.2 Corrientes de Apantallamiento Para expulsar el campo del interior del material, el superconductor crea unas corrientes en la superficie denominadas corrientes de apantallamiento, únicamente aparecen cuando hay un campo magnetico externo al material, y su misión es crear otro campo opuesto al exterior, de forma que el resultado de estos dos campos, de un campo nulo en el interior. Como no puede existir campo en el interior, y una corriente es una fuente de campo magnético (Ley de Biort-Savart), las corrientes de apantallamiento no pueden pasar a través del superconductor, porque se crearía un campo, sino que fluyen exclusivamente por la superficie. Su distribución es muy complicada, y hasta el momento, desconocida para una configuración genérica. 2.3.3 Profundidad de Penetración de London (λL) Las corrientes de apantallamiento no pueden fluir únicamente por la superficie. Si esto ocurriera, existiría una capa de corriente con espesor nulo, lo que implicaria que la densidad de corriente seria infinita, que es fisicamente imposible. Habria un salto brusco de campo entre el exterior y el interior, cosa que tampoco puede suceder. Por lo tanto, las corrientes fluyen en realidad por una capa muy fina de la superficie, cuyo espesor es del orden de 10-7mm (este valor varia según el superconductor). Cuando a un superconductor se le aplica un campo magnético, las corrientes que cancelan dicho campo deben circular penetrando ligeramente en el superconductor. Consecuentemente, la intensidad de campo magnético en su interior no puede caer a cero abruptamente en la frontera, sino que penetra parcialmente en el material, atenuándose exponencialmente en la región donde fluyen las corrientes de apantallamiento hasta anularse. Esta penetración de campo se caracteriza por un parámetro fundamental llamado Profundidad de Penetración de London (λL ) )exp()( L a xBxB λ − = (2.1) La profundidad de penetración de London varia con la temperatura de acuerdo con la ecuación Conceptos de Superconductividad Capitulo 2 17 − = 4 0 1 c L T T λλ (2.2) Donde Tc es la temperatura critica del material. Cuando la temperatura, se acerca a su valor critico, la profundidad de penetración aumenta espectacularmente hasta hacerse infinita, es decir, todo el material habría dejado de ser superconductor. λL también varia según el tipo de material. 2.3.4 Magnetización de los superconductores 2.3.4.1 Superconductores tipo I Tienen una temperatura crítica a partir de la cual y por debajo de ésta el material se vuelve superconductor. En la Fig. 2.2 podemos ver el diagrama de fases para un superconductor de tipo I y la gráfica de la magnetización de la muestra en función del campo externo aplicado, en ella se muestra que la relación entre el campo magnético externo aplicado y la magnetización es una recta de pendiente -1. Lo que quiere decir es que un aumento del campo aplicado, implica un aumento negativo de la magnetización que compensa al anterior de forma que la densidad de flujo magnético en el interior del superconductor se anule. Una disminución de campo provocaría un efecto similar. Cuando se produce esta situación decimos que estamos en el estado Meissner, ya que el flujo magnético no penetra en el interior del material. El proceso de magnetización es totalmente reversible. Fig. 2.2: Curvas características para un superconductor de tipo I .a) Diagrama de fases, b) magnetización de la muestra en función del campo externo. Conceptos de Superconductividad Capitulo 2 18 2.3.4.2 Superconductores tipo II La teoría básica del comportamiento de un superconductor respecto a un campo magnético externo fue descrita por el físico ruso Alexei A. Abrikosov en los años cincuenta, en base a los trabajos de Ginsburn-Landau, esta teoría describe que la penetración del flujo magnético en un superconductor del tipo II depende crucialmente de un limitación de la mecánica cuántica: la existencia de un cuanto mínimo de flujo magnético. Por lo tanto, el campo del interior de un superconductor no puede crecer continuamente, si no que debe de aumentar por pasos, con un cuanto de flujo cada vez. Abrikosov sugirió que cada cuanto de flujo pasa a través del material dentro de un canal microscópico de metal resistivo normal. a) Superconductor Tipo II Ideal. Posee dos campos críticos, Hc1 < Hc2 tales que por debajo de Hc1, el material es superconductor en forma ideal y, como en el de Tipo I, el material “blinda completamente” el campo magnético debido al efecto Meissner, por lo que se comporta como un diamagneto perfecto. Entre Hc1 y Hc2 la temperatura crítica y el comportamiento diamagnético no son uniformes en todo el material, por lo que éste tendrá algunos sectores superconductores y otros que no lo serán. Suele llamarse a ésta fase como “zona de vórtices” debido a que al penetrar líneas de campo y atravesar el material por sectores normales (no superconductores), se inducirán alrededor de éstos “loops” o vórtices de corrientes superconductoras, figura 4. Por encima de Hc2 pierde todo el efecto diamagnético y deja de ser superconductor. En la figura 2.3 podemos ver el diagrama de fases para éste tipo de superconductores (a)) y la magnetización de la muestra en función del campo externo aplicado(b). Conceptos de Superconductividad Capitulo 2 19 Fig. 2.3: Curvas características para un superconductor de tipo II. a) Diagrama de fases, b) Magnetización de la muestra en función del campo externo. Las corrientes de vórtice interactúan entre sí de forma peculiar, es decir que desde el momento en que dos “líneas” atraviesen el material, las correspondientes zonas no superconductoras se van a repeler, debido a fuerzas de Lorentz (FL ), hasta que en el caso ideal se agrupen en un esquema de red, configurándose en general en arreglos triangulares, energéticamente más estables. En el estado mixto, el campo que penetra posee dos propiedades importantes: 1.- El flujo penetra en cuantos de flujo Ф= h/2e=2*10 –15 Wb y se distribuye por todo el material Se demuestra así que la superconductividad es un efecto cuántico. Los cuantos de flujo forman unos tubos llamados vórtices en los que el material está en estado normal. Estos vórtices se hallan rodeados por unas corrientes que los apantalla del resto del material superconductor. No puede haber una discontinuidad en el valor del campo, por lo tanto el valor del mismo debe decaer exponencialmente, penetrando así en la zona superconductora. 2.- Estos tubos se distribuyen de forma que minimizan la energía total del sistema formando una red triangular llamada Red de Abrikosov. La gran diferencia entre ambos tipos de superconductor, además de este comportamiento distinto, es la magnitud del campo crítico superior. En un superconductor tipo II el campo crítico superior Hc2 puede llegar a ser de 200 T (YBCO). Ésta es la razón de su uso preferencial respecto a los de tipo I. Conceptos de Superconductividad Capitulo 2 20 Fig. 2.4: Formación de loops de corriente alrededor de las zonas normales. b) Superconductores tipo II real Los superconductores reales de tipo II poseen imperfecciones de red, las cuales favorecen efectos de anclaje de los vórtices de corriente. Estos defectos pueden ser de varias clases[2]: • Impurezas. • Vacancias (huecos). • Dislocaciones de red. • Apareamientos. • Fallas de apilamiento. • Defectos locales. • Agregado de fases no superconductoras a la matriz superconductora. • Defectos producidos irradiando la muestra con iones de alta energía. Estos sectores se denominan “pining centers” lo que puede traducirse como “puntos fijos, de fijación, o de anclaje”. Estos anclajes se pueden representar como fuerzas FA que se oponen en puntos particulares a las fuerzas de interacción FL , por lo que dificultan y hasta limitan el Conceptos de Superconductividad Capitulo 2 21 movimiento de los dominios magnéticos, configurando una distribución irregular de las líneas de campo, figura 2.5. Fig. 2.5: Distribución de las líneas de campo debido al anclaje. 2.3.5 Corriente critica Desde el punto de vista electrotécnico, una característica fundamental de los superconductores es su ausencia de resistencia por debajo de una temperatura crítica y un campo crítico. Esto significa que si circula una corriente por el material no produce ninguna disipación de energía por efecto Joule. No hay pérdidas eléctricas. Esta corriente, como se ha visto en el apartado 2.3.2, debe circular por la superficie del superconductor, en superconductores tipo I, ya que si lo hiciera por su interior se crearía un campo magnético. Los superconductorestipo II, en cambio, permiten que se establezca un campo en su interior cuando se supera Hc1. Hay, por tanto, en presencia de campo externo, dos clases de corrientes en su superficie: de apantallamiento para excluir el flujo y de transporte. Experimentalmente, se ha comprobado que la corriente de transporte que puede circular por un superconductor está limitada mientras se mantiene este estado. La densidad de corriente crítica JC, incluye ambas corrientes. Si se supera este valor, se destruye el estado superconductor, apareciendo resistencia, y por tanto disipación térmica. En conductores normales la máxima corriente que puede circular por ellos viene dada precisamente por la máxima disipación que el material puede soportar. En el caso de los superconductores el límite lo da JC, que puede llegar a ser del orden de 109 A/m2 a 77 K. Conceptos de Superconductividad Capitulo 2 22 Así pues, hay tres factores que limitan el estado superconductor: la temperatura TC, el campo magnético HC y la densidad de corriente que circula por él JC. Estas tres magnitudes están interrelacionadas y hay una clara dependencia entre ellas. 2.3.5.1 Superconductor tipo I En estos superconductores, la densidad de corriente crítica es un límite. Si se supera su valor, el estado superconductor desaparece. Como en este tipo de superconductores Hc es muy pequeño, Jc es consecuentemente pequeño. Ésta es la razón por la que este tipo de superconductores es poco interesante para aplicaciones eléctricas o magnéticas. 2.3.5.2 Superconductor tipo II En los superconductores tipo II esta relación es mucho más complicada y la relación ente Tc, Hc y Jc. Cuando se pasa al estado mixto, la corriente fluye por todo el material. Coexisten dentro del material vórtices de flujo[3], en zonas de estado normal y corriente en zonas en estado superconductor. Puesto que en los límites de los tubos hay un decaimiento exponencial del flujo, parte del mismo penetra en la zona por donde pasa corriente eléctrica, produciéndose fuerzas que tienden a mover los vórtices. Se produce entonces una variación de campo magnético que provoca un campo eléctrico. Éste campo eléctrico actúa sobre los electrones que están en la zona normal del material, o sea , con resistencia no cero, produciendo disipación de energía. En resumen, en un superconductor tipo II, la corriente crítica es cero. Para evitar éste contratiempo se introducen centros de anclaje que impidan la migración de los vórtices. Se puede decir que la corriente crítica de un material depende de la habilidad que tiene el fabricante de introducir defectos en la red que permitan un fuerte anclaje de los tubos de flujo. Un centro de anclaje es un defecto en la red cristalina que crea un pozo de potencial en el que quedan atrapados los tubos de flujo, La fuerza de Lorentz queda contrarrestada por la fuerza de anclaje y la corriente crítica será aquella que produzca una fuerza sobre los vórtices igual a la de anclaje. Si aplicamos sobre un superconductor real de Tipo II un campo B, debemos superar la fuerza crítica (FA = Jc B) para que los vórtices se distribuyan en forma homogénea. Actualmente se usan dos técnicas para producir centros de anclaje: Conceptos de Superconductividad Capitulo 2 23 • Precipitados normales: Se consiguen introduciendo en el material superconductor partículas de material normal. Los vórtices tienden a pasar por ellos puesto que al ser material normal no se requiere el apantallamiento del que pasa por el material superconductor. • Defectos en la red cristalina: Cuando hay un defecto en la red, el material deja de ser superconductor y los vórtices se alinean con ellos por la razón expuesta anteriormente. 2.3.6 Modelo de Estado Critico La magnetización de los superconductores tipo I se puede caracterizar completamente a partir del efecto meissner, Pero el comportamiento real de los superconductores de tipo II es muy distinto. Estos materiales presentan un marcado comportamiento histerético frente al campo magnético se han buscado modelos que respondan al comportamiento real del superconductor. Uno de los modelos más sencillos que permiten explicar el comportamiento histerético de los superconductores es el Modelo de estado crítico en la aproximación de Bean 2.3.6.1 Aproximación de Bean Uno de los modelos mas sencillos que permiten explicar el comportamiento histerico de los superconductores es el modelo de estado critico en la aproximación de Bean[4] Suponiendo que existe un superconductor infinito con forma de cilindro. Si aplicamos un campo en la dirección z, el superconductor creara una serie de corrientes que apantallan el campo en el interior del material. Estas corrientes circulan siguiendo la simetría axial del cilindro. Aplicando la ecuación de Maxwell-Ampere: JB rrr 0µ=×∇ (2.3) Siendo el campo aplicado uniforme y en la dirección z, la expresión anterior se puede escribir como: Conceptos de Superconductividad Capitulo 2 24 φµρ J Bz 0−=∂ ∂ (2.4) La corriente máxima que puede circular por un superconductor es la corriente critica Jc valor a partir del cual se produce desplazamiento de flujo. El modelo del estado critico postula que, en los anillos de corriente, la densidad que circula es la máxima (Jφ= Jc) y la aproximación de Bean lo que dice es que Jc en constante e independiente del campo aplicado. La ecuación anterior quedaría de la forma: ρµ cz JB 0= (2.5) Esto quiere decir que el campo penetra linealmente con la distancia en el superconductor Fig. 2.6 Penetración del campo en el superconductor de acuerdo a la aproximación De Bean En cuanto a la magnetización estará dada por: )(0 MHB rrr += µ (2.6) que puede escribirse como: HBM rrr 00 µµ −= (2.7) Si se integra en todo el volumen del superconductor Conceptos de Superconductividad Capitulo 2 25 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ −= dV dVHB M V V )( 0 0 rr r µ µ (2.8) Según el modelo del estado critico en la aproximación de Bean, el superconductor es infinito y con una geometría cilíndrica. Por los que la ecuación anterior se puede reducir a una de las secciones en dimensión dos, ya que es totalmente simétrico, quedando de la forma d dxHB M d ∫ − = 0 0 0 )( rr r µ µ (2.9) En esta aproximación, el campo penetra linealmente con la distancia por lo tanto en la figura 2.7 se puede observar que H es el campo que se va introduciendo en el superconductor. M es la zona sombreada. Es decir, el área de dicha zona, mientras que H se corresponde con el área de dos triángulos que quedan debajo de la zona sombreada. Fig. 2.7 Relación entre B, M y H En la figura 2.8 se muestra las curvas de magnetización para el caso ZFC (Enfriado sin la presencia de campo, conocido como proceso Zero Field Cooled) y FC (enfriado en presencia de campo magnético, proceso Field Cooled). Como se observa son similares. Aunque con unas condiciones iniciales distintas. En FC se empieza, con un campo atrapado que es el máximo, y se va disminuyendo, apareciendo la magnetización que iría aumentando hasta, llegar a la saturación. Si se aumenta el campo, M se haría, negativa, hasta, llegar a una nueva saturación. Otra disminución de H, implicaría, otro aumento de M, pero esta vez por un camino distinto al Conceptos de Superconductividad Capitulo 2 26 anterior. Para un proceso FC, en un principio no existe campo externo, tanto M como Hserian cero. Cuando se aplica un campo, el superconductor se encuentra en el estado Meissner, y se producen las corriente para apantallar el campo. a) b) Fig. 2.8 Ciclo de Histéresis según el modelo de Bean a) ZFC b)FC La aproximación de Bean representa bastante bien el comportamiento real de superconductores de alta temperatura, aunque la corriente critica sea constante, lo cual no es del todo cierto. Por esta razón se han propuesto diferentes modelos que mejoran la aproximaron de bean introduciendo una cierta dependencia de la corriente critica con el campo. Un ejemplo es modelo de KIM, donde: HH cteJ c + = 0 (2.10) Otro seria el modelo de Yashikoshi , donde: 2 1 H cteJ c = (2.11) Conceptos de Superconductividad Capitulo 2 27 Fig. 2.9 Inducción magnética Modelos a)Bean b)KIM REFERENCIAS [1] James Doss, Engineer’s Guide to High Temperature Superconductivity, John Wiley & Sons, 1989. [2] Orlando, Terry P., Kevin A. 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Se describen dos efectos físicos nuevos: la relación entre la energía potencial mínima producida por la interacción magnética y la relación entre la estabilidad del sistema estático con la interacción magnética. El análisis de estabilidad es realizado por medio de la aplicación de los teoremas de Lyapunov, Ledjen-Dirichlet y Rumyantsev, se proporcionan las condiciones necesarias y suficientes para tener estabilidad de las dos espiras. Además se presentan las condiciones de estabilidad del sistema en términos de los parámetros tanto eléctricos como geométricos. En la ultima parte de este capitulo se analizan las regiones de estabilidad de levitación magnética entre anillos superconductores 3.1 INTRODUCCIÓN Un anillo cerrado ideal fino, sin resistencia eléctrica, tiene la propiedad común de conservar el flujo magnético en su interior, que pasa a través de una superficie limitada por este mismo anillo [1] y con una corriente cteI = se puede considerar como un magneto permanente, cuya resistencia eléctrica no es mayor a 2310− Dm-cm [2]. Un superconductor es, además de un conductor ideal, un diamagnético ideal, efecto conocido como de Meissner-Oxenfeld. Desde el punto de vista de la electrodinámica tecnológica de superconductores [3] la inducción magnética dentro de un volumen del superconductor siempre es igual a cero )0( =B r . Esta propiedad no depende de las condiciones de transmisión del cuerpo en estado superconductivo. Como consecuencia de la ecuación de Maxwell 0=Bdiv r en la frontera de dos cuerpos, la componente normal de inducción de campo magnético debe ser igual a cero. Debido a que dentro del superconductor 0=B r , sobre la superficie de la componente normal del campo magnético externo Modelo de Interacción Magnética Capitulo 3 29 también es igual a cero. Esto significa que el campo magnético en cualquier punto fuera del superconductor es siempre tangente a la superficie de él. Las líneas magnéticas son curveadas en relación al cuerpo superconductivo. De acuerdo con la ecuación de Maxwell, el campo magnético permanente en un material, el vBrot r r µρ−= con la condición de que 0=B r , de esto sigue que, dentro de un superconductor la densidad de corriente media también es igual a cero. En otras palabras, en cualquier cuerpo superconductivo ninguna corriente volumétrica es imposible. Cualquier corriente eléctrica en un superconductor, es una corriente superficial. Tanto el campo magnético como la corriente eléctrica penetran a una profundidad de london λ del superconductor que está aproximadamente dentro del intervalo de 40-60 nm, por esta razón, se pueden encontrar diferentes ecuaciones de inductancia propia en un superconductor. Por ejemplo, el campo magnético con variación de la profundidad se determina por la fórmula xBB λ−= exp0 . Dentro del conductor la energía magnética es ∫= dvBW 2 02 1 µ , ( dv es el elemento de volumen), que puede representarse para un superconductor fino como 0 2 2 1 LIW = , donde I es la corriente eléctrica y 0L es la inductancia interna. De estos datos, podemos encontrar una relación para la inductancia interna en un superconductor de longitud unitaria. 2 0 0 2 = d L λ π µ (3.1) Donde d es el diámetro del conductor. Entonces, el anillo ideal y el anillo superconductivo tienen una diferencia en la inductancia interna 0L , que necesita sumarse a la inductancia propia del anillo ideal para tomar en cuenta el campo magnético externo. Para simplificar el análisis se emplea el concepto de corriente ideal. Modelo de Interacción Magnética Capitulo 3 30 Si un superconductor se representa por una espira fina entonces, en caso de ausencia de campo magnético externo, es imposible esperar una circulación de las corrientes superficiales estacionarias. En el caso de superconductores no finos, las corrientes eléctricas superficiales pueden pasar estacionariamente sin fuerza electromotriz. El flujo magnético a través de la superficie limitada por un anillo superconductivo se determina por la siguiente relación LI=Ψ (3.2) donde I es la corriente eléctrica y L es la inductancia del anillo. Si el anillo superconductivo está dentro de un campo magnético externo, entonces el flujo magnético total Ψ a través de dicha superficie consta del flujo propio del superconductor LI y del flujo extΨ del campo magnético externo. La propiedad más importante en cualquier anillo superconductivo es, que cualquier variación, tanto del campo magnético externo como de la corriente en el anillo, el flujo magnético total a través de la superficie limitada por el anillo mismo siempre permanece constante: cteLI ext =Ψ+=Ψ (3.3) Esta propiedad sigue directamente de la forma integral de Maxwell escrita para un área fuera del superconductor: ∫ ∫ ⋅=⋅∂ ∂ ldEsdB t rrrr (3.4) Debido a que la componente tangencial del campo eléctrico sobre la superficie del superconductor es igual a cero, entonces ∫ =⋅∂ ∂ 0sdB t rr , por lo tanto, ctesdB∫ =⋅=Ψ r r . Este Modelo de Interacción Magnética Capitulo 3 31 resultado es muy importante, debido a que la permanencia del flujo magnético a través de cualquier anillo superconductivo se conserva no sólo en el caso de la variación del campo magnético externo, si no también en el caso de una variación en la forma del anillo, como por ejemplo, el desplazamiento del anillo en el espacio. 3.2 INTERACCIÓN MAGNÉTICA DE DOS ANILLOS SUPERCONDUCTIVOS Se consideraun sistema dinámico formado por dos contornos cerrados finos, en los que, circulan las corrientes eléctricas 1I , 2I en cada uno de ellos, y se tiene una interacción magnética. En el caso general, tal sistema está caracterizado por un número de variables generalizadas ( )∑ iiii Pfqq ,,, & Para el problema considerado, las variables generalizadas son: Variables eléctricas ( ) { } ( ) ( ) { } [ ] { }iiii fIIPqqqUUq ∈∈ ∈∈ ⋅ 21212121 ,,~,~,,,,ψψ Variables mecánicas [ ] { } [ ] { } [ ] [ ] { } 2,1,,,, =∈/∈Τ∈∈ iPxoqxqx iiii κ&& Donde q es la coordenada generalizada, q& es la velocidad generalizada, iii Xkf = es la fuerza generalizada que sólo depende de la posición, iii XMP = es el impulso generalizado, donde mi ,1= . La energía potencial y cinética de tal sistema están determinadas por: )( )(2 2 1 2 1221 1 2 212212 2 1 xLLL LxLL UW − Ψ+ΨΨ−Ψ == (3.5) [ ] 2 , 0,0 2211 2 ~~ 21 xMUdqUdqT UU &+′′+′′=′ ∫ (3.6) Modelo de Interacción Magnética Capitulo 3 32 Desde el punto de vista de la electrodinámica clásica, la fuerza de interacción magnética de dos anillos con las corrientes 1I e 2I se determinan de la ley experimental de Ampere. [ ][ ] ∫ ∫ ⋅ = 3 12 1212 21 0 4 R RldldIIP rrr r π µ ,ó x L IIPk ∂ ∂ ⋅= 1221 (3.7) Para dicho sistema, las corrientes en cada anillo son: 2 1221 12221 1 LLL LLI − Ψ−Ψ = 2 1221 12121 2 LLL LLI − Ψ+Ψ− = (3.8) Entonces, se puede volver a escribir la ecuación (3.7) como: [ ] [ ] x xL xLL xLLL xLL Pk ∂ ∂ Ψ−Ψ − Ψ−Ψ = )( )( )( )( 12 1211222 1221 12221 (3.9) La fuerza magnética está expresada a través de los flujos magnéticos por la ecuación (3.9) y, una coordenada en el caso lineal [5]. Como una primera definición se puede dar el siguiente lema LEMA. Si las relaciones entre los parámetros del sistema están determinadas como 1) )(12221 xLL Ψ=Ψ 2) )(12112 xLL Ψ=Ψ (3.10) 3) 21 Ψ<Ψ , )(121 xLL > 4) 21221 LLL > , ( )0;0 21 >> LL Entonces se aseguran las condiciones necesarias y suficientes para el cambio del signo de la fuerza magnética entre dos anillos finos, duros e ideales en el punto { }∞<<<<∈ 120 0 xxxxx , donde 1x es una distancia más grande que la distancia 2x entre dos anillos. Modelo de Interacción Magnética Capitulo 3 33 Considerando que ( )xL12 es una función monótona de x , continuamente diferenciable y que siempre disminuye. Por lo tanto, la derivada parcial ( ) xxL ∂∂ /12 entre la distancia [ ]12 , xx es negativa y nunca puede ser igual a cero. Entre tanto el producto 21LL siempre es mayor que 2 12L de la ecuación (3.10). Por esta razón, el denominador de la ecuación (3.9) nunca puede ser igual a cero. Así, de la ecuación (3.9), se pueden encontrar dos condiciones, estas son: )( 012221 xLL Ψ=Ψ (3.11) )( 012112 xLL Ψ=Ψ (3.12) Cuando la fuerza magnética es igual a cero. Las ecuaciones (3.11) y (3.12) reflejan las condiciones necesarias de igualdad a cero de la fuerza magnética. Para asegurar las condiciones (3.11) y (3.12) los flujos 1ψ y 2ψ deben tener el mismo signo. Pero también se puede demostrar que cualquiera de las dos ecuaciones (3.11) o (3.12) no son sólo necesarias, si no también suficientes. Suponiendo que 21 ψψ ∠ y aplicando la condición necesaria para la ecuación (3.11), utilizando las ecuaciones (3.9) y (3.11) se determina la derivada de la fuerza magnética con respecto a x , en el punto 0xx = . Entonces, [ ] 2 12 22 1221 1212 2 00 )( )( ∂ ∂ − −Ψ Ψ−= ∂ ∂ == xxxx x L xLLL xLL x P (3.13) En el caso de asegurarse la condición de la ecuación (3.11) y cuando 21 Ψ<Ψ , )( 0121 xLL > entonces el numerador de la ecuación (3.13) es positivo, el flujo permanente 2ψ y todos los otros miembros de la ecuación (3.13) son positivos. Esto significa que 0 0 < ∂ ∂ =xxx P . Modelo de Interacción Magnética Capitulo 3 34 Entonces, la derivada parcial de la fuerza magnética con respecto a la distancia x en el punto donde está asegurada la condición necesaria para la ecuación (3.11), es negativa. Esto mismo se relaciona sobre la condición de la ecuación (3.12). El signo negativo de la parte derecha de la ecuación (3.13) significa que la derivada parcial de segundo orden de energía magnética potencial con respecto a x en el punto 0xx = es positiva, donde se asegura la condición necesaria de un mínimo de energía potencial. Por lo tanto, como una segunda definición se puede dar el siguiente Teorema: TEOREMA. La energía potencial de interacción magnética entre dos anillos ideales ( ){ }xLLLW 122121 ,,,,ψψ , que se representan por una función continuamente diferenciable sobre un intervalo de distancia [ ]21 , xx , tiene un mínimo en el punto { }∞<<<<∈ 120 0/ xxxxx con las condiciones determinadas por el lema. La energía potencial de interacción magnética de dos anillos ideales se determina a través de los flujos magnéticos permanentes { } iq∈21 ,ψψ y las coordenadas mecánicas { } iqx ∈ como [ ] [ ] 1212211221221221 )()(22 1 − −Ψ+ΨΨ−Ψ= xLLLLxLLW (3.14) Se conoce [4] que la energía de un campo magnético expresada a través de los flujos magnéticos y las coordenadas, es la energía potencial. Por esta causa, la fuerza magnética P r puede ser determinada como la derivada parcial de la energía potencial de la ecuación (3.14) con signo negativo, es decir, ( ) ( ) ( ) x L LLL LLLLLL x L L WP ∂ ∂ − ΨΨ+−Ψ+Ψ −= ∂ ∂ ∂ ∂ −= 1222 1221 21 2 1221 2 21 2 121212 12 (3.15) En el caso de que 121212 −ΨΨ= LL o 112212 −ΨΨ= LL según la ecuación (3.10), el numerador del primer miembro del producto de la ecuación (3.15) puede ser igual a cero. Modelo de Interacción Magnética Capitulo 3 35 La derivada parcial de energía de la ecuación (3.14) de segundo orden, en el caso anterior es: 2 12 2 12 2 12 2 12 2 2 2 x L L W x L L W x W ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ (3.16) El segundo término de la ecuación (3.16) es igual a cero en virtud de que la ecuación (3.10), 0/ 12 =∂∂ LW . Por esta razón, el signo de 22 / xW ∂∂ se determina por el signo de la derivada parcial de segundo orden de W con respecto a 12L , es decir por la expresión 2 1221 1 2 2 2 2 12 2 LLL L L W − Ψ = ∂ ∂ − (3.17) Por lo tanto, la derivada parcial de segundo orden con respecto a x es positiva )0,( 2 2 1221 >> LLLL . Esto significa que, se está asegurando la condición de existencia del mínimo de energía potencial U . Con la condición de que 0/12 ≠∂∂ xL . Entonces, como una tercera definición se puede dar la siguiente consecuencia: CONSECUENCIA. La energía magnética potencial entre dos anillos finos, duros e ideales axialmente colocados con las corrientes eléctricas { } ifII ∈21 , por una coordenada mecánica { } iqx ∈ , tiene un mínimo en el punto [ ]210 , xxx ∈ , en el caso de que se asegure, la condición de flujos magnéticos permanentes de las superficies limitadas por los contornos de los anillos, esto es, cteILIL =+=Ψ 212111 . , cteILLL =+=Ψ 222122 . En el caso particular de dos anillos coaxiales y paralelos con una distancia entre los planos es x , ia es el radio y id es el diámetro del anillo ( )2,1=i podemos hacer los siguientes cálculos: 1.- La energía potencial adimensional 1222 22 )1)(12(2 −− −+−=Ψ= yyULu ηη (3.18) 2.- La fuerza magnética adimensional Modelo de Interacción Magnética
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