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Modelado de Interacción Magnética de Elementos Superconductivos

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 MODELADO DE INTERACCIÓN MAGNÉTICA 
DE ELEMENTOS SUPERCONDUCTIVOS 
 
 
 
 
 
 
TESIS QUE PRESENTA EL: 
 
 
ING. JUAN ALBERTO ALVARADO OLIVARES 
 
PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA EN 
MICROELECTRÓNICA 
 
 
Director de Tesis 
 
 
Dr. Vasyl Rashkovan. 
 
 
 
 
México, D.F. Marzo 2004. 
 
 
 
 
 
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA 
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN 
UNIDAD CULHUACÁN 
 
 
 2
 
 
 
 
 3
 
CARTA CESION DE DERECHOS 
 
 
 
 
En la Ciudad de ____México_____el día ___5__del mes____Abril ________del año 
__2005_____, el (la) que suscribe___Juan Alberto Alvarado Olivares____ alumno (a) del 
Programa de___Maestría en Ciencias de Ingeniería en Microelectrónica con número de registro 
___A030365____, adscrito a _____SEPI-ESIME “Culhuacan”________, manifiesta que es autor 
(a) intelectual del presente trabajo de Tesis bajo la dirección de ___Dr. Vasyl Rashkovan___ y 
cede los derechos del trabajo intitulado __Modelado de Interacción Magnética de Elementos 
Superconductivos____, al Instituto Politécnico Nacional para su difusión, con fines académicos y 
de investigación. 
 
 
Los usuarios de la información no deben reproducir el contenido textual, gráficas o datos del 
trabajo sin el permiso expreso del autor y/o director del trabajo. Este puede ser obtenido 
escribiendo a la siguiente dirección _____jalvarado4@prodigy.net.mx__. Si el permiso se otorga, 
el usuario deberá dar el agradecimiento correspondiente y citar la fuente del mismo. 
 
 
 
 Juan Alberto Alvarado Olivares 
 
Nombre y firma 
 
 
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL 
COORDINACION GENERAL DE POSGRADO E INVESTIGACION
 
 
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AGRADECIMIENTOS 
 
 
 
 
A mi asesor el Dr Vasyl Rashkovan por su enseñanza, confianza y apoyo 
A mis padres y hermanos por su apoyo en estos años de estudio. 
A mis compañeros de la SEPI por su amistad y hacerme la estancia mas placentera. 
Al CONACYT y al Instituto Politécnico Nacional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Índice 
 
 1
 
INDICE 
 
Resumen ……………………………………………………………………… i 
Abstract ……………………………………………………………………… ii 
Introducción ……………………………………………………………… iii 
1. ANTECEDENTES 
1.1. Introducción ……………………………………………………………… 1 
1.2. Modelos para análisis de fuerza magnética ……………………………… 2 
1.3. Fuerzas de interacción magnética ……………………………………….. 3 
1.4. Software para análisis de fuerzas de interacción ……………………………… 6 
Conclusiones 
Referencias 
 
2. CONCEPTOS DE SUPERCONDUCTIVIDAD 
2.1. Introducción ……………………………………………………………… 11 
2.2. Historia ……………………………………………………………… 12 
2.3. Generalidades ……………………………………………………… 15 
2.3.1. Efecto meissner ……………………………………………… 15 
2.3.2. Corrientes de apantallamiento ……………………………… 15 
2.3.3. Profundidad de penetración ……………………………………… 16 
2.3.4. Magnetización ………………………………………………. 17 
2.3.4.1. Superconductores tipo I ………………………………. 17 
2.3.4.2. Superconductores tipo II ……………………………… 17 
2.3.5. Modelo de estado critico ……………………………………… 22 
2.3.5.1. Modelo de aproximación de Bean ……………………… 23 
Referencias 
 
 
 Índice 
 
 2
3. DESARROLLO DEL MODELO DE INTERACCIÓN MAGNÉTICA DE ELEMENTOS 
SUPERCONDUCTIVOS 
3.1. Introducción ……………………………………………………………… 28 
3.2. Interacción magnética de dos anillos superconductivos ……………… 34 
3.2.1. Cálculos numéricos ……………………………………………… 37 
3.3. Estabilidad de dos anillos con interacción magnética ……………… 39 
3.4. Interacción magnética anillo-dipolo ……………………………… 51 
3.4.1. Determinación de regiones de estabilidad ……………………… 55 
3.4.2. Comparación de resultados teóricos y experimentales ……… 62 
Conclusiones 
Referencias 
 
4. INDUCTANCIA MUTUA 
4.1. Introducción ……………………………………………………………… 69 
4.2. Modelado del sistema ……………………………………………… 69 
4.3. Cálculos numéricos ……………………………………………………… 75 
Conclusiones 
Referencias 
 
5. APLICACIÓN 
5.1. Introducción ……………………………………………………………… 83 
5.2. Sistema de dos anillos superconductivos ……………………………… 84 
5.2.1 Análisis de movimiento del anillo libre ……………………… 84 
5.2.1. Análisis de los resultados numéricos obtenidos ……………… 88 
5.3. Sistema de tres anillos superconductivos ………………………………. 90 
5.3.1. Análisis de movimiento del anillo libre ……………………… 91 
5.4. Comparación de resultados teóricos y experimentales ………………. 96 
Conclusiones 
Referencias 
 Índice 
 
 3
6. CONCLUSIONES FINALES …………………………………………. 98 
 
ANEXO A ÍNDICE DE FIGURAS ………………………………….. 99 
 
ANEXO B ECUACIONES DE MAXWELL ……………………………. 103 
 
PUBLICACIONES ……………………………………………………….. 105 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resumen 
 
 i
RESUMEN 
 
El objetivo de esta tesis es desarrollar un modelo que describa la interacción magnética de 
elementos superconductivos, para el desarrollo de este modelo se consideran anillos 
superconductivos ideales, cuyas características ideales permiten realizar una simplificación en el 
análisis del sistema de interacción magnética y obtener expresiones analíticas que permitan el 
calculo de la fuerza de interacción magnética, la energía potencial y dureza magnética. El modelo 
desarrollado esta expresado a través de flujos magnéticos e inductancias propias y mutuas, el 
cálculo de inductancias mutuas no es un problemas fácil de resolver, por esta razón, se busca una 
expresión analítica para el calculo de inductancias, que permita un mejor análisis del problema. 
Una parte importante para la aplicación practica de cualquier sistema, es conocer acerca de su 
estabilidad, en este trabajo el análisis es realizado a través de los teoremas de Lyapunov, Legien-
Ddirichlet y de Rumyantsev. 
Para la investigación de este modelo se utiliza una configuración formada por dos anillos 
superconductivos, posteriormente este modelo es extendido a un problema muy interesante, desde 
el punto de vista científico, el cual es, la interacción magnética entre un anillo y un dipolo 
magnético. 
En los sistemas de interacción magnética estudiados se puede observar que existe un mínimo de 
energía potencial, esto significa que la fuerza de interacción entre los anillos cambia de repulsiva 
a atractiva durante la disminución de la distancia entre los anillos, este comportamiento permite 
crear levitaciones y suspensiones magnéticas estables de anillos, Esta característica permite ver la 
posibilidad de aplicar estos sistemas de interacción magnética en instrumentos de medición como 
acelerómetro o gravímetro. Para ello se propone un esquema de tres anillos superconductivos que 
funciones como transductor de estos instrumentos, para este esquema se analiza el movimiento de 
un cuerpo magnético libre a través de contornos superconductivos. 
 
 
 
 
Abstract 
 
 ii
ABSTRACT 
 
The objective of this thesis is to develop a model that describes the magnetic interaction of 
superconductive elements, for the development of this model ideal ring superconductive was 
considered, the ideal characteristics of these elements allow to make a simplification in the 
analysis of the system of magnetic interaction and to obtain analytical expressions, that allow 
calculate of the force of magnetic interaction, potential energy and magnetic hardness. The 
developedmodel this expressed through magnetic fluxes and own and mutual inductance, the 
calculation of inductance is not problems easy to solve, for this reason an analytic expression is 
looked for the calculate of inductances that it allows a better analysis of the problem. An 
important part for the application practices, of any system, is to know about its stability. The 
analysis made in this work is made through the theorems of Lyapunov, Legien-Ddirichlet and of 
Rumyantsev. The development of the model based on two superconductivos ring, is extends to a 
very interesting problem, from the scientific point of view, which is, the magnetic interaction 
between a ring and a magnetic dipole. 
In the studied systems of magnetic interaction this can be observed that a potential minimum of 
energy exists, means that the force of interaction between the ring changes of repulsive to 
attractive during the diminution of the distance between the ring, this behavior allows to create 
levitations and stable magnetic ring suspensions, This characteristic allows to see the possibility 
of applying to these systems of magnetic interaction in measuring instruments like accelerometer 
or gravimeter a scheme of three ring superconductive considers where these work like transducer 
of these instruments, for this scheme the movement of a free magnetic body through 
superconductivos contours is analyzed. 
 
 
 
 
 
 
 Introducción 
 iii
 
INTRODUCCIÓN 
 
El descubrimiento de la superconductividad en 1911 por H. Kamerlingh Onnes, mostró un 
tremendo potencial en una amplia gama de aplicaciones en el área de la ciencia y tecnología; 
eficiente almacenamiento de energía, electrónica, transporte, medicina, industria militar, 
aceleración de partículas, etc. Sin embargo la necesidad de temperaturas muy bajas para llevar los 
materiales a estado superconductivo, restringió la viabilidad de las aplicaciones, la necesidad de 
usar helio liquido en los sistemas de enfriamiento acarreaba problemas técnicos, aunado al alto 
precio de este. 
 
El descubrimiento de los materiales superconductores de alta temperatura en 1986, ha traído 
como consecuencia la búsqueda de nuevas áreas de aplicación para la superconductividad, pues 
el echo de que ciertos materiales trabajen a temperaturas criticas cada día mas altas, con el uso de 
nitrógeno liquido, que es mucho mas barato que el helio, abre un abanico de posibilidades. 
 
Para llevar cabo estas nuevas aplicaciones, los investigadores se enfocan en tres direcciones de 
estudio principalmente. La primera es la búsqueda de nuevos compuestos a fin de obtener una 
temperatura critica (Tc) cada vez mas elevada. La segunda dirección es la mejora de los métodos 
para sintetizar estos materiales y la tercera es la comprensión de sus propiedades físicas 
(eléctricas, magnéticas y ópticas). Siendo esta ultima en la que se enfoca esta tesis 
 
El estudio de los sistemas con interacción eléctrica y magnética ha sido estudiada desde hace 
algunos años, antes y después de los materiales superconductores de alta temperatura, esto debido 
a los prospectos de aplicación como: trenes de levitación magnética (MAGLEV), 
almacenamiento de energía (Flywheels), cojinetes levitatorios, técnicas de aceleración, elementos 
de vibrodiagnostico, giroscopio superconductivo, acelerómetros, gravímetro, etc. Para el 
desarrollo de las aplicaciones arriba mencionadas es importante conocer el comportamiento de 
las fuerzas de interacción magnética y la estabilidad de estos sistemas. 
 Introducción 
 iv
 
En años recientes con el avance de la tecnología en materiales superconductivos, varios 
investigadores han medido las fuerzas de interacción magnética, para ello han utilizando varios 
tipos de materiales superconductores, parámetros eléctricos y geométricos. Estos resultados han 
sido validados en parte por las investigaciones teóricas al respecto, sin embargo aun queda mucho 
que realizar en la parte teórica para obtener un buen modelo que describa adecuadamente este 
comportamiento. 
 
A través de las investigaciones se ha visto que el tipo de material superconductor, la geometría y 
los parámetros eléctricos influyen en el comportamiento de la fuerza, Las investigaciones 
realizadas en los últimos años se basan en el uso de discos superconductivos, para el análisis 
teórico es necesario conocer la magnetización de estos elementos, el cual presenta un 
comportamiento de histéresis, el cual depende de la corriente critica. En este punto existen varios 
métodos con el cual los investigadores obtienen este comportamiento, pues algunos utilizan el 
modelo de aproximación critica de Bean, otros el de Kim- Anderson, Yashiloshi, etc. 
 
En esta tesis se plantea hacer la investigación a partir de anillos superconductivos, una de las 
ventajas de utilizar estos, es que el flujo magnético a través de estos es constante, el modelo 
propuesto también considera anillos ideales, por lo tanto no existe histéresis, en consecuencia 
para el modelo teórico desarrollado la densidad de corriente no desempeña un papel importante, 
estas consideraciones permiten simplificar el modelo y obtener expresiones analíticas que 
describan la interacción magnética. 
 
Por otro lado el estudio de la estabilidad de estos sistemas, en la mayoría de las investigaciones 
solo ha sido abordado a partir de los resultados experimentales, en esta tesis el análisis es echo a 
través del conocimiento de la energía potencial. 
En el siglo XIX Samuel Earnshaw demostró que en los campos en los que la fuerza es 
inversamente proporcional al cuadrado de las distancias, la posición relativa de ambos elementos 
es intrínsicamente inestable. Estabilizar un cuerpo significa dominar los seis grados de libertad 
 Introducción 
 v
definidos por la posición de cuerpo del centro de gravedad y los tres ángulos de Euler y esto no se 
puede conseguir bajo el teorema de Earnshaw, aunque existen algunas excepciones para este tipo 
de sistema 
• Efecto cuántico: a escala atómica no hay contacto real entre dos objetos 
• Realimentación: consiste en tomar una referencia de la posición del objeto para controlar 
la fuerza magnética. 
• Diamagnetismo: gracias a que los materiales superconductores no permiten ser 
atravesados por campos magnéticos se pueden generar fuerzas que permitan la levitación 
• Campos oscilatorios: utilizando una señal de corriente alterna; un ejemplo de ello es el 
anillo de Thompson 
• Rotación: un ejemplo puede estar en el caso denominado como diamagnetismo. En el 
medio académico se conoce por el prototipo comercial llamado Levitron. 
 
Esta tesis pretende demostrar las cualidades de los sistemas de interacción magnética de anillos 
superconductores. El tener mayor conocimiento acerca del comportamiento de estos sistemas, 
ayudara a tener un desarrollo mas efectivo de las aplicaciones antes mencionadas. 
 
Esta tesis esta dividida en cinco partes principales, en la primera parte se hace una revisión del 
estado de arte. 
 
En el segundo capitulo se introducen los principales conceptos de la superconductividad, 
magnetización, corriente critica, profundidad de penetración etc. 
 
El tercer capitulo se desarrolla un modelo de interacción magnética a partir de un sistema de dos 
anillos superconductivos en este caso se consideran anillo finos por lo cual no hay histéresis, se 
realiza un estudio de la estabilidad de este sistema, además el modelo es extendido al estudio de 
la interacción magnética de un dipolo interactuando conuna anillo superconductor. Se observa 
que en estos modelos existe un mínimo de energía potencial, por lo tanto pueden ser estables. 
 
 Introducción 
 vi
El cuarto capitulo se describe un método para el calculo de inductancias mutuas, el conocimiento 
de la inductancia es importante para el calculo de otra propiedades eléctricas en sistemas de 
interacción magnética. 
 
El quinto capitulo es orientado al estudio del movimiento de cuerpos magnéticos libres en 
contornos superconductivos, se propone un esquema de dos anillos fijo y un anillo móvil. Se 
plantea la hipótesis de utilizar este tipo de sistema en la construcción de medidores de alta 
precisión (gravímetro, acelerómetro). 
 
El sexto capitulo plantea las conclusiones finales y trabajos a futuro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPITULO 1 
 
 
 
 
 
 
Antecedentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Antecedentes Capitulo 1 
 1
CAPITULO1 
 
ANTECEDENTES 
 
En este capitulo se presentan los resultados de algunas investigaciones que tratan el fenómeno 
de la interacción magnética, dado que la superconductividad de alta temperatura es 
relativamente nueva, hay un gran numero de investigaciones y resultados al respecto, en este 
capitulo se presenta un resumen del estado que guardan estas investigaciones. 
 
1.1 INTRODUCCIÓN 
La gran variedad de materiales superconductores de alta temperatura, y el uso de nitrógeno 
liquido ha abierto un nuevo capitulo en el campo de la física de estado sólido [1], entender las 
propiedades de éstos superconductores de alta temperatura ha motivado una increíble actividad 
en la investigación teórica y experimental desde su descubrimiento hace 12 años [2-5], La 
disponibilidad actual de estos compuestos adaptados en la forma de cerámicas en disco, de 
cristales simples o de películas delgadas, ha hecho posible la consolidación del tratamiento 
experimental del fenómeno de la superconductividad, tanto en laboratorios escolares, como en 
laboratorios avanzados de física, esto en gran medida porque el nitrógeno líquido es 
relativamente barato y mucho más fácil de manejar que el helio líquido por lo tanto requiere 
diseños criogénicos mucho más sencillos. 
Esto a permitido a la comunidad científica probar un gran numero de configuraciones para medir 
experimentalmente la fuerzas de interacción magnética, usando diferentes tipos de materiales 
superconductores e imanes permanentes, varias geometrías, parámetros eléctricos y técnicas para 
realizar estas mediciones. De estas investigaciones se observa que una gran mayoría de estas [6-
15] se han enfocado en la interacción magnética entre magnetos permanentes y superconductores 
de disco, cuyos resultados muestran un comportamiento de histéresis, también se ha investigado 
en menor medida sobre la fuerza de interacción magnética de un dipolo sobre una película 
delgada de superconductor [16] y la interacción magnética entre anillo superconductor e imanes 
permanentes [17-19]. 
Antecedentes Capitulo 1 
 2
1.2 MODELOS PARA EL CALCULO DE FUERZAS DE INTERACCIÓN MAGNÉTICA 
Para interpretar los resultados observados, se han propuesto varios modelos. El modelo del 
diamagnetismo perfecto [20] el cual es basado en el efecto meissner, es usado para calcular las 
fuerzas magnéticas entre imanes permanentes y superconductores, este modelo es simple y fácil 
de aplicar para el análisis, pero solo es valido para superconductores con diamagnetismo perfecto, 
situación que no se da en los superconductores de alta temperatura a determinado campo critico 
(Hc.). En contraste con el modelo de diamagnetismo perfecto, el modelo de penetración de flujo 
[21,22] maneja el estado mixto debido a la penetración del flujo magnético en el material, La 
fuerza de la levitación es obtenida diferenciando la energía total de los vortices puestos en el 
superconductor con respecto a la separación entre el imán y el superconductor, para los cálculos 
varias aproximaciones son realizadas, pero se usan varios supuestos que no son del todo validos, 
por ejemplo, la longitud de cada vórtice, que desempeña un papel importante en la derivación, se 
asume sin ninguna distorsión y se utilizan las líneas no deformadas del flujo para calcular la 
penetración del flujo. Un tercer modelo son los basados en el modelo de estado critico [23-27], 
este se considera un poco mas realista que los anteriores ya que toma en cuenta las características 
esenciales del flujo en los puntos de anclaje en los superconductores de alta temperatura, para 
calcular la fuerza magnética se considera la interacción entre el campo magnético y las 
supercorrientes inducidas en el superconductor, se considera que estas corrientes fluyen a través 
de todo el superconductor o a través de cada vortice individualmente, este modelo a diferencia de 
los anteriores tiene la ventaja de introducir la histéresis dentro de la formulación matemática, 
esta histéresis esta generalmente basada en el modelo de Bean. [26,27]. Un cuarto modelo es el 
modelo de magnetización [28] que relaciona las fuerzas magnéticas con la magnetización de un 
superconductor, un cuerpo magnetizado con la magnetización deberá sentir una fuerza, 
comparado con el modelo de estado critico tiene la ventaja de reducir enormemente el calculo de 
la curva de magnetización, de tal manera que esta sea mas accesible. 
 
Los últimos modelos mencionados requieren el conocimiento de la magnetización para el calculo 
de la fuerza de interacción, aunque se han realizado un gran numero de mediciones al respecto 
para una análisis formal se opta por tomar la curva de magnetización a partir de modelos de 
estado critico, como la aproximación de Bean, Kim [23-25] entre otros, para después 
Antecedentes Capitulo 1 
 3
compararlos con los resultados experimentales. Como se vera en el capitulo dos la esencia del 
modelo de Bean y Kim es la consideración que se hace sobre la corriente critica, en el modelo de 
Bean se asume que la corriente critica es constante e independiente del campo magnético, lo cual 
no es del todo cierto, pues se ha visto que en los superconductores de alta temperatura al 
aumentar el campo critico la densidad de corriente disminuye, razón por la cual los resultados 
experimentales no concuerdan exactamente con los teóricos, esto a llevado al planteamiento de 
modelos como el de Kim, Campbell [38], Yashukoshi [39] que plantean una cierta dependencia 
de la corriente critica con el campo magnético, estas consideraciones ayudan a tener resultados 
teóricos mas cercanos a los experimentales aunque con un modelo mas complejo. 
 
1.3 FUERZAS DE INTERACCIÓN MAGNÉTICA 
En general, la fuerza F de interacción entre una distribución de corrientes j y un campo 
magnético H está dada por: 
 
( )∫ ×= dVHjF oµ (1.1) 
donde µ0 = permeabilidad magnética 
 
Si las corrientes están en un volumen V donde el campo magnético es suficientemente uniforme, 
entonces se puede asociar a las corrientes una magnetización homogénea M. Por otra parte, si las 
corrientes están circulando en un plano perpendicular al campo magnético, la fuerza será paralela 
al campo. Si el campo está en la dirección z, H = Hz, la fuerza estará dada por: 
 
V
z
H
MF zzoz ∂
∂
= µ (1.2) 
 
La ecuación (1.2) indica que si medimos la fuerza de interacción entre una muestra magnética y 
el campo magnético (inhomogéneo) aplicado, podemos evaluar la magnetización M si conocemos 
el valordel gradiente del campo, )(zH
z
H
z
z ′≡
∂
∂ Vemos también que la medición de fuerza lleva 
Antecedentes Capitulo 1 
 4
en sí toda la información concerniente al comportamiento de la magnetización del material 
magnético en estudio. En el caso de un material superconductor esta magnetización es inducida 
por el campo magnético. 
 
A continuación se muestra los resultados obtenidos por algunos investigadores. 
 
 
 
a) b) 
FIG. 1. Ejemplos de la fuerza calculada en función de la distancia vertical para una muestra A (1.0 
milímetros de radio y espesor de 5.0 milímetros (a) C = 10 y (b) C = 2, respectivamente. 
 
 
 
 ∫ ∂
∂
= dV
z
H
MF zzz (1.3) 
4−−≈
∂
∂
Cz
z
H z (1.4) 
donde C es un parámetro simulado. 
 
En esta investigación [14] la magnetización fue realizada a través del modelo de Campbell. Para 
calcular la fuerza magnética, el superconductor fue dividido en varias capas en el eje normal. La 
magnetización en cada capa fue calculada a través de la contribución de campo magnético en esa 
posición. La curva de magnetización tiene un comportamiento de histéresis y se obtuvo a través 
de variar el campo magnético externo en una dimensión solamente. La fuerza de magnetización 
fue obtenida por la ecuación 1.3. 
 
Antecedentes Capitulo 1 
 5
 
 
 
 
 
Figura 1.2 se observa las fuerza de levitación magnética en a) Enfriado sin la presencia de campo, conocido 
como proceso Zero Field Cooled (ZFC) y enfriado en presencia de campo magnético, proceso Field Cooled (FC). 
 
 
La figura 1.2 muestra el comportamiento de las fuerzas de levitación obtenidos 
experimentalmente[13] entre un magneto permanente Nd-Fe-B y un superconductor de disco 
YBaCuO. Las líneas discontinuas indican el peso de una carga, wL (unida al superconductor) más 
el peso del superconductor que obra recíprocamente con el imán w(wT+wL). Las etiquetas A,B,C. 
A’,B’,C’ indican las distancias relevantes, por ejemplo se observa que entre el punto C’ y D’ es 
posible una suspensión estable. 
 
Antecedentes Capitulo 1 
 6
 
 
Figura 1.3 Fuerza de levitación vertical Fz contra la distancia z, entre un disco superconductor de radio a y espesor 
2b, levitando sobre un magneto permanente cilíndrico 
 
La figura 1.3 muestra el resultado de la investigación [12] donde los autores tomaron en cuenta 
los efectos de la desmagnetización para el calculo de la corriente, además consideran un 
superconductor con espesor finito, a diferencia de los modelos de estado critico que consideran 
un espesor infinito, y toman en consideración la forma y las propiedades de los materiales. 
 
 
)/(093.0
)/(31.3max
remco
remco
z BaJ
BaJ
F
µ
µ
+
= (1.5) 
 
donde Brem es el campo remanente de inducción del magneto permanente; a = radio del disco 
superconductor; Jc = densidad de corriente critica . 
 
 
1.2 SOFTWARE PARA ANÁLISIS DE FUERZAS DE INTERACCIÓN 
El uso de elemento finito [36-38] ayuda en el al análisis de interacción magnética, pero para 
aplicar algún software comercial de modelado de elementos finitos (FEMLAB, SUPRACAL, 
FLUX3D) es necesario introducir la respuesta a una campo magnético aplicado. Esta 
representación esta dada por la curva B = B(H), hasta ahora no hay un software capaz de trabajar 
adecuadamente con los superconductores de alta temperatura, sin embargo con la ayuda del 
modelo de Bean se puede construir la curva B = B(H), de modo que el valor promedio de la 
corriente critica (Jc)sea conocido, hasta ahora los software de elemento finito necesitan el valor 
Jc., que es un valor que depende de los rasgos estructurales globales del superconductor. 
Antecedentes Capitulo 1 
 7
 
CONCLUSIONES 
La interacción magnética ha sido estudiada desde hace tiempo, sin embargo hasta antes del 
descubrimiento de los superconductores de alta temperatura la literatura al respecto es muy 
escasa, desde el descubrimiento de los materiales de alta temperatura en 1986, las investigaciones 
al respecto se han intensificado, mas sin embargo, en la literatura es difícil encontrar trabajos 
relacionados con anillos superconductores, en la mayoría de las investigaciones se utilizan discos 
superconductivos, los resultados con estos elementos arrojan que la densidad de corriente critica 
y la geometría juegan un papel muy importante en la estabilidad y el comportamiento de las 
fuerzas de interacción [31-36], también las propiedades físicas influyen en estos aspectos pues de 
acuerdo a varios autores la penetración del flujo magnético en los superconductores esta 
fuertemente relacionado con estabilidad y la fuerza. De tal manera que tomar en consideración 
todos estos elementos hace que un modelo teórico sea difícil de resolver analíticamente, por este 
motivo en los últimos años se ha visto la necesidad de utilizar programas de elementos finitos 
para ayudar a resolver los modelos planteados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Antecedentes Capitulo 1 
 8
REFERENCIAS 
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Academic, San Diego, 1995. 
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Publishing Company, 1991 
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temperature superconductors,” J. Appl. Phys., vol.67, no.10, pp.4358, 1990. 
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Antecedentes Capitulo 1 
 9
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[15] M. J. Qin, G. Li, H. K. Liu and S. X. Dou, “Calculation of hysteretic force between a 
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[16] J. C Wei, J. L. Chen, L. Horn, T. J. Yang, “Magnetic force acting on a magnetic dipole 
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[17] E. Postrekhin, L. W. Zhou, G. Liu, C. B. Cai, S. M. Gong, Y. X. Fu, “Magnetization and 
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[19] Ki. B. Ma, Yevgeniy Postrekhin, Hong Ye, Wei- Kan Chu, “Magnetic interaction between 
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[20] Z. J. Yang, T. H. Johansen and H. Bratsberg, Physica, vol. C165, pp. 397, 1990. 
[21] M. Tsuchimoto and T. Honma, IEEE, Tr ans. Appl. Supercond,. vol 4,no. 211,1994. 
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Antecedentes Capitulo 1 
 10
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[34] A. Badia, H.C. Freyhardt, J. Appl. Phys, vol. 83, no. 2681,1998 
[35] J. Lugo, V. Sosa, Physica C, vol. 324 , no. 9 ,1999 
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[37] H Ueda and A Ishiyama, “Dynamic characteristics and finite element analysis of a 
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[38] Ruiz-Alonso, D. Coombs, T.A. Campbell A.M., “Numerical analysis of high-temperature 
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[39] M. Carrera, J Amoros, X Obradors and J Fontcuberta, “A new method of computation of 
current distribution maps in bulk high -temperature superconductors: analysis and 
validation”, Supercond. Sci. Technol, vol. 16, pp. 1187–1194,2003. 
 
 
 
 
 
CAPITULO 2 
 
 
 
 
 
 
Conceptos de Superconductividad 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conceptos de Superconductividad Capitulo 2 
 11
CAPITULO 2 
 
CONCEPTOS DE SUPERCONDUCTIVIDAD 
 
Este capitulo esta enfocado a introducir los principales conceptos acerca de la 
superconductividad, se hace una revisión histórica del esfuerzo por lograr temperaturas criticas 
mas altas y se analizan el comportamiento de superconductores del Tipo I y II. 
1.3 INTRODUCCIÓN 
La superconductividad es un estado en el cual la resistencia eléctrica de ciertos materiales 
disminuye hasta llegar a cero. La temperatura por debajo de la cual la resistencia eléctrica de un 
material se aproxima al cero absoluto se denomina temperatura de transición ó crítica (Tc). Por 
encima de esta temperatura, al material se le conoce como normal, y por debajo de Tc, se dice que 
es superconductor. La pérdida de resistencia eléctrica es sólo uno de los varios cambios que 
tienen lugar cuando se enfría un superconductor por debajo de su temperatura crítica. Se 
presentan también efectos magnéticos notables: la permeabilidad del material disminuye hasta 
cero y el flujo magnético en el material desaparece; la conductividad térmica aumenta 
rápidamente. El calor específico electrónico del material en el estado superconductor, se altera 
sustancialmente debajo de la temperatura crítica. A medida que la temperatura se reduce 
empezando desde T > Tc, el calor específico salta primero hasta un valor muy alto a Tc y luego 
cae muy por debajo del valor para el estado normal a temperaturas muy bajas. 
 
Además de la temperatura (T), el estado superconductor también depende de otras variables, 
como son el campo magnético (H) y la densidad de corriente (J). En cuanto a esta última, hay que 
recordar que la corriente genera su propio campo. De este modo, para que un material sea 
superconductor, la temperatura del material, su campo magnético y su densidad de corriente no 
deben superar unos valores específicos para cada caso, ya que para cada material superconductor 
existe una superficie crítica en el espacio de T, H, y J. 
 
Conceptos de Superconductividad Capitulo 2 
 12
Los superconductores se clasifican, según su comportamiento frente al campo magnético 
aplicado, como superconductores de tipo I y de tipo II. 
 
Si un cilindro largo de un superconductor de tipo I como plomo (Pb) o estaño (Sn) se coloca en 
un campo magnético a temperatura ambiente, el campo magnético penetra normalmente a través 
del metal. Sin embargo, si la temperatura del conductor del tipo I se reduce por debajo de su Tc 
(7,19 K para el Pb) y si el campo magnético esta por debajo de Hc, el campo magnético es 
expulsado de la muestra con excepción de una capa de penetración superficial muy fina de unos 
10-4 mm de espesor. Esta propiedad de expulsión de un campo magnético en el estado de 
superconducción recibe el nombre de Efecto Meissner. Así los campos magnéticos resultan 
rechazados del interior del superconductor debido a la formación de corrientes de superficie. La 
magnetización de un superconductor se opone al campo magnético externo, y la susceptibilidad 
magnética tiene un valor negativo máximo. Esto significa que un superconductor exhibe un 
diamagnetismo perfecto, lo cual es una propiedad esencial del estado superconductor. 
 
Los superconductores de tipo II se comportan de forma diferente ante un campo magnético a 
temperaturas por debajo de la temperatura crítica. Los mismos son diamagnéticos, como lo 
superconductores de tipo I, hasta un valor de un campo magnético aplicado llamado campo 
crítico inferior Hc1, yde este modo el flujo magnético es rechazado del material. Por encima de 
Hc1 el campo empieza a penetrar en el superconductor de tipo II y continua así hasta que alcanza 
el campo crítico superior Hc2. En el intervalo entre Hc1 y Hc2 el superconductor está en estado 
mixto y por encima de Hc2 vuelve a su estado normal. 
 
2.2 HISTORIA 
El descubrimiento de la superconductividad se remonta a 1908, año en el que el físico holandés 
Heike Kamerlingh Onnes llegó a enfriar el helio hasta el punto de su licuefacción, a una 
temperatura próxima al cero absoluto. Esta experiencia le permitió observar fenómenos 
desconocidos hasta entonces y casi inconcebibles para los científicos de la época: por un lado, la 
Conceptos de Superconductividad Capitulo 2 
 13
superfluidez y por el otro lado la superconductividad, que Onnes demostró por primera vez en 
1911 [1]. 
Para lograr estas bajas temperaturas es necesario poner las muestras en contacto con helio 
líquido, el cual es un elemento difícil de obtener y que requiere de procesos complicados y 
costosos para mantenerlo en su fase líquida. Desde entonces se inicio una búsqueda 
ininterrumpida para alcanzar aleaciones que alcanzaran la fase superconductora a temperaturas 
más elevadas. 
La curiosidad que Onnes sentía hacia el comportamiento de la materia a bajas temperaturas lo 
condujo al descubrimiento de la superconductividad experimentando con el mercurio, siendo 
posible porque había conseguido la licuación del helio que permitió enfriar los materiales a 
temperaturas próximas al cero absoluto (-273°C). 
Algunos científicos que trabajaban con superconductores similares a los empleados por Onnes, 
intentaron subir ligeramente la temperatura crítica mezclando compuestos para formar aleaciones 
superconductoras. Hacia 1933 la temperatura crítica fue duplicada a 10°K. 
El proceso fue lento y frustrante hasta 1941 cuando se encontraron aleaciones de niobio que se 
volvían superconductoras a 15°K. No fue hasta 1969 cuando la temperatura crítica volvió a 
duplicarse nuevamente, alcanzando los 20°K. Este avance fue muy importante, puesto que el 
hidrógeno se licúa a 20°K. Por primera vez podía utilizarse otro agente refrigerador. 
Hacia 1971, los mejores superconductores eran aleaciones de niobio-aluminio y niobio-germanio 
que alcanzaban esta fase. En 1972 se concedió el Premio Nóbel de Física a J. Bardeen, L.N. 
Cooper y J.R. Schriffer por sus trabajos realizados a finales de la década de los años cincuenta, 
que daban cuenta del origen microscópico de la superconductividad. 
En 1973, la temperatura crítica subió unos pocos grados más, a 23°K. Durante aproximadamente 
una década, los científicos intentaron aumentar la temperatura crítica. Experimentaron sin éxito 
con muchos compuestos y aleaciones. 
Conceptos de Superconductividad Capitulo 2 
 14
Finalmente en 1986 dos investigadores de IBM en Zurich anunciaron haber conseguido subir la 
temperatura crítica a 30°K en un material completamente nuevo. Los nuevos materiales 
superconductores que no son aleaciones metálicas sino cerámicas hechas a base de óxido de 
cobre mezclados con bario o estroncio y alguno de los elementos conocidos como tierras raras 
(lantano, itrio y neodimio). Alex Müller y Georg Bednorz habían sintetizado un complejo 
material cerámico (BaLaCuO) que presentaba superconductividad a 30°K. Este extraordinario 
descubrimiento impulsó a muchos investigadores a trabajar con materiales cerámicos similares. 
Unos meses después la temperatura crítica fue aumentada a 39°K. 
En febrero de 1987 Ching-Wu (Paul) Chu y su equipo de investigación de la Universidad de 
Houston anunciaron haber desarrollado un superconductor con una temperatura de 98°K (Mezcla 
de óxido de cobre, bario e itrio (YBaCuO). Este descubrimiento causó un gran impacto en la 
comunidad científica mundial, pues la barrera impuesta por la necesidad de utilizar helio líquido 
había sido traspasada. El nitrógeno se licúa a 77°K, una temperatura bastante inferior a la 
temperatura crítica alcanzada. El nitrógeno líquido es fácil de transportar en termos aislados, es 
muy barato, abundante y fácil de enfriar a diferencia del proceso con helio líquido es costoso. 
En 1988 el óxido de cobre, calcio, bario y talio (TlBaCaCuO) alcanzó una temperatura crítica de 
125°K. Las investigaciones efectuadas en el laboratorio de la Escuela Superior de Física y 
Química Industrial de París en mayo de 1993, trabajando con películas de óxido mixto de cobre, 
calcio, bario y mercurio (HgBaCaCuO) lograron una temperatura crítica de 133°K. Este mismo 
equipo logró en diciembre de 1993 una temperatura crítica de 250°K a partir de un compuesto de 
bismuto, estroncio, calcio y óxido de cobre (BiSrCaCuO). 
Los compuestos que han originado los sorprendentes adelantos en materia de superconductividad 
son todos cupratos de la familia de las perovskitas de cobre, es decir, cristales constituidos por el 
apilamiento, en todas las direcciones del espacio, de octaedros que contienen en su centro un 
átomo metálico, el cobre, con átomos de oxígeno en los vértices; los espacios entre los octaedros 
están ocupados por otro átomo metálico. 
Conceptos de Superconductividad Capitulo 2 
 15
Sin embargo, la carrera de la temperatura crítica aún no ha terminado. Los científicos sueñan con 
superconductores a temperatura ambiente, que no necesiten refrigerarse. 
 
2.3 GENERALIDADES DE LOS SUPERCONDUCTORES 
2.3.1 El efecto Meissner 
Si un superconductor se refrigera por debajo de su temperatura crítica en el seno de un campo 
magnético, el campo rodea al superconductor, pero no penetra en él. Este fenómeno se conoce 
con el nombre de Efecto Meissner y fue descubierto en 1933, este experimento fue el primero en 
demostrar que los superconductores son algo más que materiales con una conductividad perfecta. 
Tienen una propiedad adicional que un material con resistencia nula únicamente no posee, Sin 
embargo, si el campo magnético es demasiado intenso, el superconductor vuelve a su estado 
normal incluso estando a una temperatura inferior a su temperatura crítica. 
 
 
Fig. 2.1 Esquema de la interacción entre un superconductor ideal y un campo magnético externo. a) en presencia de 
campo externo, b) sin campo externo. 
 
Conceptos de Superconductividad Capitulo 2 
 16
2.3.2 Corrientes de Apantallamiento 
Para expulsar el campo del interior del material, el superconductor crea unas corrientes en la 
superficie denominadas corrientes de apantallamiento, únicamente aparecen cuando hay un 
campo magnetico externo al material, y su misión es crear otro campo opuesto al exterior, de 
forma que el resultado de estos dos campos, de un campo nulo en el interior. 
Como no puede existir campo en el interior, y una corriente es una fuente de campo magnético 
(Ley de Biort-Savart), las corrientes de apantallamiento no pueden pasar a través del 
superconductor, porque se crearía un campo, sino que fluyen exclusivamente por la superficie. Su 
distribución es muy complicada, y hasta el momento, desconocida para una configuración 
genérica. 
2.3.3 Profundidad de Penetración de London (λL) 
Las corrientes de apantallamiento no pueden fluir únicamente por la superficie. Si esto ocurriera, 
existiría una capa de corriente con espesor nulo, lo que implicaria que la densidad de corriente 
seria infinita, que es fisicamente imposible. Habria un salto brusco de campo entre el exterior y el 
interior, cosa que tampoco puede suceder. Por lo tanto, las corrientes fluyen en realidad por una 
capa muy fina de la superficie, cuyo espesor es del orden de 10-7mm (este valor varia según el 
superconductor). Cuando a un superconductor se le aplica un campo magnético, las corrientes 
que cancelan dicho campo deben circular penetrando ligeramente en el superconductor. 
Consecuentemente, la intensidad de campo magnético en su interior no puede caer a cero 
abruptamente en la frontera, sino que penetra parcialmente en el material, atenuándose 
exponencialmente en la región donde fluyen las corrientes de apantallamiento hasta anularse. 
Esta penetración de campo se caracteriza por un parámetro fundamental llamado Profundidad de 
Penetración de London (λL ) 
)exp()(
L
a
xBxB
λ
−
= (2.1) 
 
La profundidad de penetración de London varia con la temperatura de acuerdo con la ecuación 
 
Conceptos de Superconductividad Capitulo 2 
 17














−
=
4
0
1
c
L
T
T
λλ (2.2) 
 
Donde Tc es la temperatura critica del material. Cuando la temperatura, se acerca a su valor 
critico, la profundidad de penetración aumenta espectacularmente hasta hacerse infinita, es decir, 
todo el material habría dejado de ser superconductor. λL también varia según el tipo de material. 
2.3.4 Magnetización de los superconductores 
2.3.4.1 Superconductores tipo I 
Tienen una temperatura crítica a partir de la cual y por debajo de ésta el material se vuelve 
superconductor. En la Fig. 2.2 podemos ver el diagrama de fases para un superconductor de tipo I 
y la gráfica de la magnetización de la muestra en función del campo externo aplicado, en ella se 
muestra que la relación entre el campo magnético externo aplicado y la magnetización es una 
recta de pendiente -1. Lo que quiere decir es que un aumento del campo aplicado, implica un 
aumento negativo de la magnetización que compensa al anterior de forma que la densidad de 
flujo magnético en el interior del superconductor se anule. Una disminución de campo provocaría 
un efecto similar. Cuando se produce esta situación decimos que estamos en el estado Meissner, 
ya que el flujo magnético no penetra en el interior del material. El proceso de magnetización es 
totalmente reversible. 
 
 
Fig. 2.2: Curvas características para un superconductor de tipo I .a) Diagrama de fases, b) magnetización de la 
muestra en función del campo externo. 
Conceptos de Superconductividad Capitulo 2 
 18
 
2.3.4.2 Superconductores tipo II 
La teoría básica del comportamiento de un superconductor respecto a un campo magnético 
externo fue descrita por el físico ruso Alexei A. Abrikosov en los años cincuenta, en base a los 
trabajos de Ginsburn-Landau, esta teoría describe que la penetración del flujo magnético en un 
superconductor del tipo II depende crucialmente de un limitación de la mecánica cuántica: la 
existencia de un cuanto mínimo de flujo magnético. Por lo tanto, el campo del interior de un 
superconductor no puede crecer continuamente, si no que debe de aumentar por pasos, con un 
cuanto de flujo cada vez. Abrikosov sugirió que cada cuanto de flujo pasa a través del material 
dentro de un canal microscópico de metal resistivo normal. 
 
a) Superconductor Tipo II Ideal. 
Posee dos campos críticos, Hc1 < Hc2 tales que por debajo de Hc1, el material es superconductor 
en forma ideal y, como en el de Tipo I, el material “blinda completamente” el campo magnético 
debido al efecto Meissner, por lo que se comporta como un diamagneto perfecto. Entre Hc1 y Hc2 
la temperatura crítica y el comportamiento diamagnético no son uniformes en todo el material, 
por lo que éste tendrá algunos sectores superconductores y otros que no lo serán. Suele llamarse a 
ésta fase como “zona de vórtices” debido a que al penetrar líneas de campo y atravesar el material 
por sectores normales (no superconductores), se inducirán alrededor de éstos “loops” o vórtices 
de corrientes superconductoras, figura 4. Por encima de Hc2 pierde todo el efecto diamagnético y 
deja de ser superconductor. En la figura 2.3 podemos ver el diagrama de fases para éste tipo de 
superconductores (a)) y la magnetización de la muestra en función del campo externo 
aplicado(b). 
 
Conceptos de Superconductividad Capitulo 2 
 19
 
Fig. 2.3: Curvas características para un superconductor de tipo 
II. a) Diagrama de fases, b) Magnetización de la muestra en 
función del campo externo. 
 
Las corrientes de vórtice interactúan entre sí de forma peculiar, es decir que desde el momento en 
que dos “líneas” atraviesen el material, las correspondientes zonas no superconductoras se van a 
repeler, debido a fuerzas de Lorentz (FL ), hasta que en el caso ideal se agrupen en un esquema 
de red, configurándose en general en arreglos triangulares, energéticamente más estables. 
 
En el estado mixto, el campo que penetra posee dos propiedades importantes: 
1.- El flujo penetra en cuantos de flujo Ф= h/2e=2*10 –15 Wb y se distribuye por todo el material 
Se demuestra así que la superconductividad es un efecto cuántico. Los cuantos de flujo forman 
unos tubos llamados vórtices en los que el material está en estado normal. Estos vórtices se hallan 
rodeados por unas corrientes que los apantalla del resto del material superconductor. No puede 
haber una discontinuidad en el valor del campo, por lo tanto el valor del mismo debe decaer 
exponencialmente, penetrando así en la zona superconductora. 
 
2.- Estos tubos se distribuyen de forma que minimizan la energía total del sistema formando una 
red triangular llamada Red de Abrikosov. 
 
La gran diferencia entre ambos tipos de superconductor, además de este comportamiento distinto, 
es la magnitud del campo crítico superior. En un superconductor tipo II el campo crítico superior 
Hc2 puede llegar a ser de 200 T (YBCO). Ésta es la razón de su uso preferencial respecto a los de 
tipo I. 
Conceptos de Superconductividad Capitulo 2 
 20
 
 
 
 
Fig. 2.4: Formación de loops de corriente alrededor de las 
zonas normales. 
 
 
 
 
 
b) Superconductores tipo II real 
Los superconductores reales de tipo II poseen imperfecciones de red, las cuales favorecen efectos 
de anclaje de los vórtices de corriente. Estos defectos pueden ser de varias clases[2]: 
• Impurezas. 
• Vacancias (huecos). 
• Dislocaciones de red. 
• Apareamientos. 
• Fallas de apilamiento. 
• Defectos locales. 
• Agregado de fases no superconductoras a la matriz superconductora. 
• Defectos producidos irradiando la muestra con iones de alta energía. 
 
Estos sectores se denominan “pining centers” lo que puede traducirse como “puntos fijos, de 
fijación, o de anclaje”. Estos anclajes se pueden representar como fuerzas FA que se oponen en 
puntos particulares a las fuerzas de interacción FL , por lo que dificultan y hasta limitan el 
Conceptos de Superconductividad Capitulo 2 
 21
movimiento de los dominios magnéticos, configurando una distribución irregular de las líneas de 
campo, figura 2.5. 
 
 
Fig. 2.5: Distribución de las líneas de campo debido al anclaje. 
 
2.3.5 Corriente critica 
Desde el punto de vista electrotécnico, una característica fundamental de los superconductores es 
su ausencia de resistencia por debajo de una temperatura crítica y un campo crítico. Esto significa 
que si circula una corriente por el material no produce ninguna disipación de energía por efecto 
Joule. No hay pérdidas eléctricas. Esta corriente, como se ha visto en el apartado 2.3.2, debe 
circular por la superficie del superconductor, en superconductores tipo I, ya que si lo hiciera por 
su interior se crearía un campo magnético. Los superconductorestipo II, en cambio, permiten que 
se establezca un campo en su interior cuando se supera Hc1. Hay, por tanto, en presencia de 
campo externo, dos clases de corrientes en su superficie: de apantallamiento para excluir el flujo 
y de transporte. 
Experimentalmente, se ha comprobado que la corriente de transporte que puede circular por un 
superconductor está limitada mientras se mantiene este estado. La densidad de corriente crítica 
JC, incluye ambas corrientes. Si se supera este valor, se destruye el estado superconductor, 
apareciendo resistencia, y por tanto disipación térmica. En conductores normales la máxima 
corriente que puede circular por ellos viene dada precisamente por la máxima disipación que el 
material puede soportar. En el caso de los superconductores el límite lo da JC, que puede llegar a 
ser del orden de 109 A/m2 a 77 K. 
 
Conceptos de Superconductividad Capitulo 2 
 22
Así pues, hay tres factores que limitan el estado superconductor: la temperatura TC, el campo 
magnético HC y la densidad de corriente que circula por él JC. Estas tres magnitudes están 
interrelacionadas y hay una clara dependencia entre ellas. 
 
2.3.5.1 Superconductor tipo I 
En estos superconductores, la densidad de corriente crítica es un límite. Si se supera su valor, el 
estado superconductor desaparece. Como en este tipo de superconductores Hc es muy pequeño, Jc 
es consecuentemente pequeño. Ésta es la razón por la que este tipo de superconductores es poco 
interesante para aplicaciones eléctricas o magnéticas. 
 
2.3.5.2 Superconductor tipo II 
En los superconductores tipo II esta relación es mucho más complicada y la relación ente Tc, Hc 
y Jc. Cuando se pasa al estado mixto, la corriente fluye por todo el material. Coexisten dentro del 
material vórtices de flujo[3], en zonas de estado normal y corriente en zonas en estado 
superconductor. Puesto que en los límites de los tubos hay un decaimiento exponencial del flujo, 
parte del mismo penetra en la zona por donde pasa corriente eléctrica, produciéndose fuerzas que 
tienden a mover los vórtices. Se produce entonces una variación de campo magnético que 
provoca un campo eléctrico. Éste campo eléctrico actúa sobre los electrones que están en la zona 
normal del material, o sea , con resistencia no cero, produciendo disipación de energía. En 
resumen, en un superconductor tipo II, la corriente crítica es cero. Para evitar éste contratiempo 
se introducen centros de anclaje que impidan la migración de los vórtices. Se puede decir que la 
corriente crítica de un material depende de la habilidad que tiene el fabricante de introducir 
defectos en la red que permitan un fuerte anclaje de los tubos de flujo. Un centro de anclaje es un 
defecto en la red cristalina que crea un pozo de potencial en el que quedan atrapados los tubos de 
flujo, La fuerza de Lorentz queda contrarrestada por la fuerza de anclaje y la corriente crítica será 
aquella que produzca una fuerza sobre los vórtices igual a la de anclaje. 
Si aplicamos sobre un superconductor real de Tipo II un campo B, debemos superar la fuerza 
crítica (FA = Jc B) para que los vórtices se distribuyan en forma homogénea. 
 
Actualmente se usan dos técnicas para producir centros de anclaje: 
Conceptos de Superconductividad Capitulo 2 
 23
 
• Precipitados normales: Se consiguen introduciendo en el material superconductor 
partículas de material normal. Los vórtices tienden a pasar por ellos puesto que al ser 
material normal no se requiere el apantallamiento del que pasa por el material 
superconductor. 
• Defectos en la red cristalina: 
 
Cuando hay un defecto en la red, el material deja de ser superconductor y los vórtices se alinean 
con ellos por la razón expuesta anteriormente. 
 
2.3.6 Modelo de Estado Critico 
La magnetización de los superconductores tipo I se puede caracterizar completamente a partir del 
efecto meissner, Pero el comportamiento real de los superconductores de tipo II es muy distinto. 
Estos materiales presentan un marcado comportamiento histerético frente al campo magnético se 
han buscado modelos que respondan al comportamiento real del superconductor. Uno de los 
modelos más sencillos que permiten explicar el comportamiento histerético de los 
superconductores es el Modelo de estado crítico en la aproximación de Bean 
2.3.6.1 Aproximación de Bean 
Uno de los modelos mas sencillos que permiten explicar el comportamiento histerico de los 
superconductores es el modelo de estado critico en la aproximación de Bean[4] 
Suponiendo que existe un superconductor infinito con forma de cilindro. Si aplicamos un campo 
en la dirección z, el superconductor creara una serie de corrientes que apantallan el campo en el 
interior del material. Estas corrientes circulan siguiendo la simetría axial del cilindro. 
Aplicando la ecuación de Maxwell-Ampere: 
 
JB
rrr
0µ=×∇ (2.3) 
 
Siendo el campo aplicado uniforme y en la dirección z, la expresión anterior se puede escribir 
como: 
Conceptos de Superconductividad Capitulo 2 
 24
φµρ
J
Bz
0−=∂
∂ (2.4) 
 
La corriente máxima que puede circular por un superconductor es la corriente critica Jc valor a 
partir del cual se produce desplazamiento de flujo. El modelo del estado critico postula que, en 
los anillos de corriente, la densidad que circula es la máxima (Jφ= Jc) y la aproximación de Bean 
lo que dice es que Jc en constante e independiente del campo aplicado. La ecuación anterior 
quedaría de la forma: 
 
ρµ cz JB 0= (2.5) 
 
Esto quiere decir que el campo penetra linealmente con la distancia en el superconductor 
 
Fig. 2.6 Penetración del campo en el superconductor de acuerdo a la aproximación De Bean 
En cuanto a la magnetización estará dada por: 
 
)(0 MHB
rrr
+= µ (2.6) 
 
que puede escribirse como: 
 
HBM
rrr
00 µµ −= (2.7) 
 
Si se integra en todo el volumen del superconductor 
 
Conceptos de Superconductividad Capitulo 2 
 25
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ −=
dV
dVHB
M
V
V )( 0
0
rr
r µ
µ (2.8) 
 
Según el modelo del estado critico en la aproximación de Bean, el superconductor es infinito y 
con una geometría cilíndrica. Por los que la ecuación anterior se puede reducir a una de las 
secciones en dimensión dos, ya que es totalmente simétrico, quedando de la forma 
 
d
dxHB
M
d
∫ −
= 0
0
0
)(
rr
r
µ
µ (2.9) 
 
En esta aproximación, el campo penetra linealmente con la distancia por lo tanto en la figura 2.7 
se puede observar que H es el campo que se va introduciendo en el superconductor. M es la zona 
sombreada. Es decir, el área de dicha zona, mientras que H se corresponde con el área de dos 
triángulos que quedan debajo de la zona sombreada. 
 
Fig. 2.7 Relación entre B, M y H 
 
En la figura 2.8 se muestra las curvas de magnetización para el caso ZFC (Enfriado sin la 
presencia de campo, conocido como proceso Zero Field Cooled) y FC (enfriado en presencia de 
campo magnético, proceso Field Cooled). Como se observa son similares. Aunque con unas 
condiciones iniciales distintas. En FC se empieza, con un campo atrapado que es el máximo, y se 
va disminuyendo, apareciendo la magnetización que iría aumentando hasta, llegar a la saturación. 
Si se aumenta el campo, M se haría, negativa, hasta, llegar a una nueva saturación. Otra 
disminución de H, implicaría, otro aumento de M, pero esta vez por un camino distinto al 
Conceptos de Superconductividad Capitulo 2 
 26
anterior. Para un proceso FC, en un principio no existe campo externo, tanto M como Hserian 
cero. Cuando se aplica un campo, el superconductor se encuentra en el estado Meissner, y se 
producen las corriente para apantallar el campo. 
 
 
a) b) 
Fig. 2.8 Ciclo de Histéresis según el modelo de Bean a) ZFC b)FC 
 
La aproximación de Bean representa bastante bien el comportamiento real de superconductores 
de alta temperatura, aunque la corriente critica sea constante, lo cual no es del todo cierto. Por 
esta razón se han propuesto diferentes modelos que mejoran la aproximaron de bean 
introduciendo una cierta dependencia de la corriente critica con el campo. Un ejemplo es modelo 
de KIM, donde: 
 
HH
cteJ c +
=
0
 (2.10) 
 
Otro seria el modelo de Yashikoshi , donde: 
 
2
1
H
cteJ c = (2.11) 
Conceptos de Superconductividad Capitulo 2 
 27
 
Fig. 2.9 Inducción magnética Modelos a)Bean b)KIM 
 
 
 
REFERENCIAS 
[1] James Doss, Engineer’s Guide to High Temperature Superconductivity, John Wiley & Sons, 
1989. 
[2] Orlando, Terry P., Kevin A. Delin, Foundations of Applied Superconductivity, Addisson-
Wesley Publishing Company, 1991. 
[3] Thomas P. Sheahen, Introduction to High-Temperature Superconductivity, Plenum Press, 
1994. 
[4] Bourdillon, A. y N. X. Tan Bourdillon, High Temperature Superconductors, Processing and 
Science, Academic Press Inc., 1994. 
 
 
 
 
 
CAPITULO 3 
 
 
 
 
 
 
Modelado de Interacción Magnética 
de Elementos Superconductivos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Modelo de Interacción Magnética Capitulo 3 
 28
CAPITULO 3 
DESARROLLO DEL MODELO DE INTERACCIÓN MAGNÉTICA DE 
ELEMENTOS SUPERCONDUCTIVOS 
 
En este capitulo se presenta el análisis de las propiedades eléctricas de anillos superconductivos. 
Se hace un análisis matemático para encontrar una representación de la energía potencial 
adimensional, la fuerza magnética adimensional y la dureza de interacción magnética para dos 
anillos superconductores a través de un campo magnético permanente. Se describen dos efectos 
físicos nuevos: la relación entre la energía potencial mínima producida por la interacción 
magnética y la relación entre la estabilidad del sistema estático con la interacción magnética. 
El análisis de estabilidad es realizado por medio de la aplicación de los teoremas de Lyapunov, 
Ledjen-Dirichlet y Rumyantsev, se proporcionan las condiciones necesarias y suficientes para 
tener estabilidad de las dos espiras. Además se presentan las condiciones de estabilidad del 
sistema en términos de los parámetros tanto eléctricos como geométricos. En la ultima parte de 
este capitulo se analizan las regiones de estabilidad de levitación magnética entre anillos 
superconductores 
 
3.1 INTRODUCCIÓN 
Un anillo cerrado ideal fino, sin resistencia eléctrica, tiene la propiedad común de conservar el 
flujo magnético en su interior, que pasa a través de una superficie limitada por este mismo anillo 
[1] y con una corriente cteI = se puede considerar como un magneto permanente, cuya 
resistencia eléctrica no es mayor a 2310− Dm-cm [2]. Un superconductor es, además de un 
conductor ideal, un diamagnético ideal, efecto conocido como de Meissner-Oxenfeld. Desde el 
punto de vista de la electrodinámica tecnológica de superconductores [3] la inducción magnética 
dentro de un volumen del superconductor siempre es igual a cero )0( =B
r
. Esta propiedad no 
depende de las condiciones de transmisión del cuerpo en estado superconductivo. Como 
consecuencia de la ecuación de Maxwell 0=Bdiv
r
 en la frontera de dos cuerpos, la componente 
normal de inducción de campo magnético debe ser igual a cero. Debido a que dentro del 
superconductor 0=B
r
, sobre la superficie de la componente normal del campo magnético externo 
Modelo de Interacción Magnética Capitulo 3 
 29
también es igual a cero. Esto significa que el campo magnético en cualquier punto fuera del 
superconductor es siempre tangente a la superficie de él. Las líneas magnéticas son curveadas en 
relación al cuerpo superconductivo. 
 
De acuerdo con la ecuación de Maxwell, el campo magnético permanente en un material, el 
vBrot r
r
µρ−= con la condición de que 0=B
r
, de esto sigue que, dentro de un superconductor la 
densidad de corriente media también es igual a cero. En otras palabras, en cualquier cuerpo 
superconductivo ninguna corriente volumétrica es imposible. 
Cualquier corriente eléctrica en un superconductor, es una corriente superficial. Tanto el campo 
magnético como la corriente eléctrica penetran a una profundidad de london λ del 
superconductor que está aproximadamente dentro del intervalo de 40-60 nm, por esta razón, se 
pueden encontrar diferentes ecuaciones de inductancia propia en un superconductor. Por ejemplo, 
el campo magnético con variación de la profundidad se determina por la fórmula xBB λ−= exp0 . 
Dentro del conductor la energía magnética es ∫= dvBW 2
02
1
µ , ( dv es el elemento de volumen), que 
puede representarse para un superconductor fino como 0
2
2
1 LIW = , donde I es la corriente 
eléctrica y 0L es la inductancia interna. De estos datos, podemos encontrar una relación para la 
inductancia interna en un superconductor de longitud unitaria. 
 
2
0
0 2





=
d
L λ
π
µ (3.1) 
 
Donde d es el diámetro del conductor. 
 
Entonces, el anillo ideal y el anillo superconductivo tienen una diferencia en la inductancia 
interna 0L , que necesita sumarse a la inductancia propia del anillo ideal para tomar en cuenta el 
campo magnético externo. Para simplificar el análisis se emplea el concepto de corriente ideal. 
 
Modelo de Interacción Magnética Capitulo 3 
 30
Si un superconductor se representa por una espira fina entonces, en caso de ausencia de campo 
magnético externo, es imposible esperar una circulación de las corrientes superficiales 
estacionarias. 
 
En el caso de superconductores no finos, las corrientes eléctricas superficiales pueden pasar 
estacionariamente sin fuerza electromotriz. El flujo magnético a través de la superficie limitada 
por un anillo superconductivo se determina por la siguiente relación 
 
LI=Ψ (3.2) 
 
donde I es la corriente eléctrica y L es la inductancia del anillo. Si el anillo superconductivo 
está dentro de un campo magnético externo, entonces el flujo magnético total Ψ a través de dicha 
superficie consta del flujo propio del superconductor LI y del flujo extΨ del campo magnético 
externo. 
 
La propiedad más importante en cualquier anillo superconductivo es, que cualquier variación, 
tanto del campo magnético externo como de la corriente en el anillo, el flujo magnético total a 
través de la superficie limitada por el anillo mismo siempre permanece constante: 
 
cteLI ext =Ψ+=Ψ (3.3) 
 
Esta propiedad sigue directamente de la forma integral de Maxwell escrita para un área fuera del 
superconductor: 
 
∫ ∫ ⋅=⋅∂
∂ ldEsdB
t
rrrr (3.4) 
 
Debido a que la componente tangencial del campo eléctrico sobre la superficie del 
superconductor es igual a cero, entonces ∫ =⋅∂
∂ 0sdB
t
rr , por lo tanto, ctesdB∫ =⋅=Ψ r
r
. Este 
Modelo de Interacción Magnética Capitulo 3 
 31
resultado es muy importante, debido a que la permanencia del flujo magnético a través de 
cualquier anillo superconductivo se conserva no sólo en el caso de la variación del campo 
magnético externo, si no también en el caso de una variación en la forma del anillo, como por 
ejemplo, el desplazamiento del anillo en el espacio. 
 
3.2 INTERACCIÓN MAGNÉTICA DE DOS ANILLOS SUPERCONDUCTIVOS 
Se consideraun sistema dinámico formado por dos contornos cerrados finos, en los que, circulan 
las corrientes eléctricas 1I , 2I en cada uno de ellos, y se tiene una interacción magnética. En el 
caso general, tal sistema está caracterizado por un número de variables generalizadas ( )∑ iiii Pfqq ,,, & 
Para el problema considerado, las variables generalizadas son: 
Variables eléctricas 
 
 ( ) { } ( ) ( ) { } [ ] { }iiii fIIPqqqUUq ∈∈



∈∈
⋅
21212121 ,,~,~,,,,ψψ 
Variables mecánicas 
 
 [ ] { } [ ] { } [ ] [ ] { } 2,1,,,, =∈/∈Τ∈∈ iPxoqxqx iiii κ&& 
 
Donde q es la coordenada generalizada, q& es la velocidad generalizada, iii Xkf = es la fuerza 
generalizada que sólo depende de la posición, iii XMP = es el impulso generalizado, donde 
mi ,1= . 
La energía potencial y cinética de tal sistema están determinadas por: 
 
 
)(
)(2
2
1
2
1221
1
2
212212
2
1
xLLL
LxLL
UW
−
Ψ+ΨΨ−Ψ
== (3.5) 
 
 [ ] 2
,
0,0
2211 2
~~
21
xMUdqUdqT
UU
&+′′+′′=′ ∫ (3.6) 
 
Modelo de Interacción Magnética Capitulo 3 
 32
Desde el punto de vista de la electrodinámica clásica, la fuerza de interacción magnética de dos 
anillos con las corrientes 1I e 2I se determinan de la ley experimental de Ampere. 
[ ][ ]
∫ ∫
⋅
= 3
12
1212
21
0
4 R
RldldIIP
rrr
r
π
µ ,ó 
x
L
IIPk ∂
∂
⋅= 1221 (3.7) 
Para dicho sistema, las corrientes en cada anillo son: 
 
2
1221
12221
1 LLL
LLI
−
Ψ−Ψ
= 
2
1221
12121
2 LLL
LLI
−
Ψ+Ψ−
= (3.8) 
 
Entonces, se puede volver a escribir la ecuación (3.7) como: 
 
[ ] [ ] x
xL
xLL
xLLL
xLL
Pk ∂
∂
Ψ−Ψ
−
Ψ−Ψ
=
)(
)(
)(
)( 12
1211222
1221
12221 (3.9) 
 
La fuerza magnética está expresada a través de los flujos magnéticos por la ecuación (3.9) y, una 
coordenada en el caso lineal [5]. Como una primera definición se puede dar el siguiente lema 
 
LEMA. Si las relaciones entre los parámetros del sistema están determinadas como 
 
1) )(12221 xLL Ψ=Ψ 
2) )(12112 xLL Ψ=Ψ (3.10) 
3) 21 Ψ<Ψ , )(121 xLL > 
4) 21221 LLL > , ( )0;0 21 >> LL 
 
Entonces se aseguran las condiciones necesarias y suficientes para el cambio del signo de la 
fuerza magnética entre dos anillos finos, duros e ideales en el punto { }∞<<<<∈ 120 0 xxxxx , 
donde 1x es una distancia más grande que la distancia 2x entre dos anillos. 
Modelo de Interacción Magnética Capitulo 3 
 33
Considerando que ( )xL12 es una función monótona de x , continuamente diferenciable y que 
siempre disminuye. 
Por lo tanto, la derivada parcial ( ) xxL ∂∂ /12 entre la distancia [ ]12 , xx es negativa y nunca puede 
ser igual a cero. Entre tanto el producto 21LL siempre es mayor que 
2
12L de la ecuación (3.10). Por 
esta razón, el denominador de la ecuación (3.9) nunca puede ser igual a cero. 
 
Así, de la ecuación (3.9), se pueden encontrar dos condiciones, estas son: 
 
)( 012221 xLL Ψ=Ψ (3.11) 
)( 012112 xLL Ψ=Ψ (3.12) 
 
Cuando la fuerza magnética es igual a cero. Las ecuaciones (3.11) y (3.12) reflejan las 
condiciones necesarias de igualdad a cero de la fuerza magnética. Para asegurar las condiciones 
(3.11) y (3.12) los flujos 1ψ y 2ψ deben tener el mismo signo. 
Pero también se puede demostrar que cualquiera de las dos ecuaciones (3.11) o (3.12) no son sólo 
necesarias, si no también suficientes. 
Suponiendo que 21 ψψ ∠ y aplicando la condición necesaria para la ecuación (3.11), utilizando las 
ecuaciones (3.9) y (3.11) se determina la derivada de la fuerza magnética con respecto a x , en el 
punto 0xx = . Entonces, 
[ ]
2
12
22
1221
1212
2
00 )(
)(








∂
∂
−
−Ψ
Ψ−=
∂
∂
== xxxx x
L
xLLL
xLL
x
P (3.13) 
 
En el caso de asegurarse la condición de la ecuación (3.11) y cuando 21 Ψ<Ψ , 
)( 0121 xLL > entonces el numerador de la ecuación (3.13) es positivo, el flujo permanente 2ψ y 
todos los otros miembros de la ecuación (3.13) son positivos. Esto significa que 0
0
<
∂
∂
=xxx
P . 
Modelo de Interacción Magnética Capitulo 3 
 34
Entonces, la derivada parcial de la fuerza magnética con respecto a la distancia x en el punto 
donde está asegurada la condición necesaria para la ecuación (3.11), es negativa. Esto mismo se 
relaciona sobre la condición de la ecuación (3.12). 
 
El signo negativo de la parte derecha de la ecuación (3.13) significa que la derivada parcial de 
segundo orden de energía magnética potencial con respecto a x en el punto 0xx = es positiva, 
donde se asegura la condición necesaria de un mínimo de energía potencial. Por lo tanto, como 
una segunda definición se puede dar el siguiente Teorema: 
 
TEOREMA. La energía potencial de interacción magnética entre dos anillos ideales 
( ){ }xLLLW 122121 ,,,,ψψ , que se representan por una función continuamente diferenciable sobre 
un intervalo de distancia [ ]21 , xx , tiene un mínimo en el punto { }∞<<<<∈ 120 0/ xxxxx con 
las condiciones determinadas por el lema. 
 
La energía potencial de interacción magnética de dos anillos ideales se determina a través de los 
flujos magnéticos permanentes { } iq∈21 ,ψψ y las coordenadas mecánicas { } iqx ∈ como 
 
[ ] [ ] 1212211221221221 )()(22
1 −
−Ψ+ΨΨ−Ψ= xLLLLxLLW (3.14) 
 
Se conoce [4] que la energía de un campo magnético expresada a través de los flujos magnéticos 
y las coordenadas, es la energía potencial. Por esta causa, la fuerza magnética P
r
 puede ser 
determinada como la derivada parcial de la energía potencial de la ecuación (3.14) con signo 
negativo, es decir, 
 
( ) ( )
( ) x
L
LLL
LLLLLL
x
L
L
WP
∂
∂
−
ΨΨ+−Ψ+Ψ
−=
∂
∂
∂
∂
−= 1222
1221
21
2
1221
2
21
2
121212
12
 (3.15) 
 
En el caso de que 121212
−ΨΨ= LL o 112212
−ΨΨ= LL según la ecuación (3.10), el numerador del 
primer miembro del producto de la ecuación (3.15) puede ser igual a cero. 
Modelo de Interacción Magnética Capitulo 3 
 35
La derivada parcial de energía de la ecuación (3.14) de segundo orden, en el caso anterior es: 
 
2
12
2
12
2
12
2
12
2
2
2
x
L
L
W
x
L
L
W
x
W
∂
∂
∂
∂
+



∂
∂
∂
∂
=
∂
∂ (3.16) 
El segundo término de la ecuación (3.16) es igual a cero en virtud de que la ecuación (3.10), 
0/ 12 =∂∂ LW . Por esta razón, el signo de 
22 / xW ∂∂ se determina por el signo de la derivada 
parcial de segundo orden de W con respecto a 12L , es decir por la expresión 
 
2
1221
1
2
2
2
2
12
2
LLL
L
L
W
−
Ψ
=
∂
∂ − (3.17) 
 
Por lo tanto, la derivada parcial de segundo orden con respecto a x es positiva 
)0,( 2
2
1221 >> LLLL . Esto significa que, se está asegurando la condición de existencia del 
mínimo de energía potencial U . Con la condición de que 0/12 ≠∂∂ xL . Entonces, como una 
tercera definición se puede dar la siguiente consecuencia: 
 
CONSECUENCIA. La energía magnética potencial entre dos anillos finos, duros e ideales 
axialmente colocados con las corrientes eléctricas { } ifII ∈21 , por una coordenada mecánica 
{ } iqx ∈ , tiene un mínimo en el punto [ ]210 , xxx ∈ , en el caso de que se asegure, la condición de 
flujos magnéticos permanentes de las superficies limitadas por los contornos de los anillos, esto 
es, cteILIL =+=Ψ 212111 . , cteILLL =+=Ψ 222122 . 
 
En el caso particular de dos anillos coaxiales y paralelos con una distancia entre los planos es x , 
ia es el radio y id es el diámetro del anillo ( )2,1=i podemos hacer los siguientes cálculos: 
 
1.- La energía potencial adimensional 
1222
22 )1)(12(2
−− −+−=Ψ= yyULu ηη (3.18) 
 
2.- La fuerza magnética adimensional 
Modelo de Interacción Magnética

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