AnAílisis-estructural-dinAímico-de-un-Aírbol-de-transmisiAn

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
 
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA 
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN 
 
 
“ANÁLISIS ESTRUCTURAL DINÁMICO DE UN ÁRBOL DE 
TRANSMISIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO” 
 
TESIS 
 
 
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: 
 
 
MAESTRO EN CIENCIAS 
EN INGENIERÍA MECÁNICA 
 
 
PRESENTA: 
 
ING. ELMER TORRES BAUTISTA. 
 
 
DIRECTOR DE TESIS: 
 
DR. JOSÉ ÁNGEL ORTEGA HERRERA. 
 
 
 
 
MÉXICO, D.F. ENERO DE 2016 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CARTA CESIÓN DE DERECHOS 
 
 
 
En la Ciudad de México, D.F. el día 11 del mes de Enero del año 2016, el que suscribe 
Elmer Torres Bautista alumno del Programa de Maestría en Ciencias en Ingeniería 
Mecánica, con número de registro B130917, adscrito a la Sección de Estudios de 
Posgrado e Investigación de la ESIME Unidad Zacatenco, manifiesta que es el autor 
intelectual del presente trabajo de Tesis bajo la dirección del Dr. José Ángel Ortega 
Herrera y cede los derechos del trabajo titulado: Análisis Estructural Dinámico de un 
Árbol de Transmisión Mediante el Método del Elemento Finito, al Instituto Politécnico 
Nacional para su difusión, con fines académicos y de investigación. 
 
Los usuarios de la información no deben reproducir el contenido textual, gráficas o datos 
del trabajo sin el permiso expreso del autor y/o director del trabajo. Este puede ser 
obtenido escribiendo a la siguiente dirección elmertob@hotmail.com. Si el permiso se 
otorga, el usuario deberá dar el agradecimiento correspondiente y citar la fuente del mismo. 
 
 
 
 
 Elmer Torres Bautista 
 
 
 
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
SECRETARÍA DE INVESTIGACIÓN Y POSGRADO 
 
 
AGRADECIMIENTOS 
 
 
 
Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT), por el fomento a la 
investigación y por su programa de becas para estudiantes de posgrado. 
 
Al Instituto Politécnico Nacional, por la formación académica y su programa de becas 
institucionales para la culminación del trabajo de tesis. 
 
Al Dr. José Ángel Ortega Herrera, por la invitación a formar parte de su grupo, dirección, 
asesoría y apoyo en la conclusión de la presente tesis. 
 
A mi padre, el profesor Tomás Torres Soto por su apoyo incondicional y a quien debo todo 
lo que soy. 
 
 
 
 
 
I Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
 
CONTENIDO 
RESUMEN ........................................................................................................................ V 
ABSTRACT ...................................................................................................................... VI 
INTRODUCCIÓN ........................................................................................................... VII 
OBJETIVOS .................................................................................................................. VIII 
Objetivo general ......................................................................................................... VIII 
Objetivos particulares ................................................................................................. VIII 
JUSTIFICACIÓN ............................................................................................................. IX 
ALCANCE ........................................................................................................................ IX 
Capítulo I. Árbol de transmisión en vehículos con tracción trasera. .................................. 1 
1.1. Transmisión automotriz. ........................................................................................... 1 
1.1.1. El árbol de transmisión automotriz. ...................................................................... 1 
1.1.2. Elementos de un sistema de árbol de transmisión. ................................................ 2 
1.1.3. Disposición del árbol de transmisión. ................................................................... 4 
1.1.4. Par de torsión en el árbol de transmisión automotriz. ........................................... 5 
1.2. Dinámica vehicular. ................................................................................................. 6 
1.2.1. Automóvil estacionado sobre camino a nivel. ...................................................... 7 
1.2.2. Automóvil estacionado sobre camino inclinado. .................................................. 8 
1.2.3. Automóvil en aceleración sobre camino a nivel. .................................................. 9 
1.2.4. Automóvil en aceleración sobre camino inclinado. ............................................ 10 
1.3. Materiales para componentes del tren de transmisión............................................ 11 
1.4. Trabajos realizados en árboles de transmisión. ...................................................... 12 
1.5. Referencias. ............................................................................................................ 15 
Capítulo II. Análisis de esfuerzos y deformaciones en árboles de transmisión. ............... 17 
2.1. Teoría de torsión. .................................................................................................... 17 
 
 
II Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
 
2.1.1. Deformaciones torsionales de un árbol de sección circular. ............................... 17 
2.1.2. Barras circulares huecas o tubos. ........................................................................ 20 
2.1.3. Esfuerzos cortantes en la zona elástica................................................................ 21 
2.1.4. Torsión de barras con sección transversal circular. ............................................. 23 
2.1.5. Energía de deformación en torsión. ..................................................................... 25 
2.2. Transmisión de potencia. ........................................................................................ 26 
2.3. Teoría de flexión. ................................................................................................... 27 
2.3.1. Radio de curvatura. ............................................................................................. 28 
2.3.2. Relación esfuerzo – deformación. ....................................................................... 29 
2.4. Deflexión. ............................................................................................................... 32 
2.5. Pandeo. ................................................................................................................... 34 
2.5.1. Importancia de la carga de pandeo. ..................................................................... 34 
2.5.2. Pandeo de una flecha sometido a torsión. ........................................................... 35 
2.6. Referencias. ............................................................................................................ 37 
Capítulo III. Vibraciones en el árbol de transmisión. ....................................................... 38 
3.1. Problemas de vibración en el tren de transmisión. ................................................. 38 
3.2. Vibración. ............................................................................................................... 39 
3.2.1. Sistemas discretos y continuos. ........................................................................... 40 
3.2.2. Tipos de vibración. .............................................................................................. 40 
3.2.3. Resonancia. ......................................................................................................... 42 
3.2.4. Frecuencia y Periodo. ..........................................................................................42 
3.2.5. Ecuación de movimiento. .................................................................................... 42 
3.2.6. Vibración libre de un sistema traslacional no amortiguado. ............................... 43 
3.2.7. Vibración libre de un sistema torsional no amortiguado. .................................... 45 
3.3. Vibración lateral en vigas. ...................................................................................... 46 
 
 
III Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
 
3.3.1. Frecuencia natural de flexión. ............................................................................. 48 
3.4 Vibración torsional de flechas. ................................................................................ 52 
3.5 Referencias. ............................................................................................................. 55 
Capítulo IV. Análisis de elemento finito. ......................................................................... 56 
4.1. Introducción. .......................................................................................................... 56 
4.1.1. Ventajas de usar el análisis de elemento finito. .................................................. 56 
4.1.2. Pasos básicos en el método del elemento finito. ................................................. 57 
4.2. Método del elemento finito de una barra a tensión. ............................................... 58 
4.3. Método del elemento finito de una barra a torsión. ................................................ 62 
4.3.1. Método del elemento finito para una barra sólida sometida a torsión cuya sección 
no es circular. ................................................................................................................ 66 
4.4. Análisis modal. ....................................................................................................... 69 
4.4.1. Vibración libre y no amortiguada. ....................................................................... 70 
4.5. Análisis de pandeo. ................................................................................................ 73 
4.5.1. Tipos de análisis de pandeo. ................................................................................ 73 
4.5.1.1. Análisis de pandeo no lineal. ............................................................................ 73 
4.5.1.2. Análisis de pandeo valor propio (Eigenvalue). ................................................ 73 
4.6. Referencias. ............................................................................................................ 75 
Capítulo V. Simulación numérica y análisis de resultados. .............................................. 76 
5.1. Diseño del árbol de transmisión automotriz. .......................................................... 76 
5.2. Obtención de las frecuencias naturales sin considerar geometría de horquillas. ... 77 
5.2.1. Método por fórmula de resistencia de materiales. .............................................. 77 
5.2.2. Empleando el análisis de elemento finito. ........................................................... 80 
5.2.3. Comparación de resultados. ................................................................................ 81 
5.2.4. Formas modales obtenidas. ................................................................................. 84 
 
 
IV Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
 
5.3. Obtención de las frecuencias naturales considerando geometría de horquillas. .... 85 
5.3.1. Empleando el análisis de elemento finito. ........................................................... 85 
5.3.2. Comparación de resultados. ................................................................................ 86 
5.3.3. Formas modales obtenidas. ................................................................................. 88 
5.4. Capacidad al pandeo de una flecha sujeta a torsión ............................................... 90 
5.4.1. Par de torsión crítico, solución teórica. ............................................................... 90 
5.4.2. Par de torsión crítico, análisis de elemento finito. .............................................. 91 
5.4.3. Comparación de resultados. ................................................................................ 93 
Conclusiones. .................................................................................................................... 94 
Trabajos futuros. ............................................................................................................... 95 
Anexo capítulo IV. ............................................................................................................ 96 
 
 
 
 
V Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
 
RESUMEN 
 
 
La velocidad crítica que se presenta en componentes rotantes como lo es el árbol de 
transmisión, es aquella que produce una frecuencia de excitación igual a la frecuencia 
natural del árbol o del sistema que lo conforma. Por lo que para proponer algún material 
alterno al acero como el aluminio en su fabricación con la intención de reducir peso, es 
importante realizar un estudio que avale su funcionalidad. El presente trabajo muestra los 
resultados obtenidos utilizando la teoría clásica de resistencia de materiales en el diseño de 
árboles, que se comparan por los obtenidos a partir de un modelo tridimensional utilizando 
el análisis de elemento finito. Se evalúan dos casos para el análisis modal, una donde se 
excluyen las horquillas de la geometría para poder ser comparados con los cálculos 
teóricos, y en un segundo caso donde las horquillas son consideradas para el análisis de 
elemento finito, en ambas situaciones se obtienen las primeras formas modales. 
 
Debido a los espesores en los tubos de las flechas, se determinaron los valores de par de 
torsión que generan la inestabilidad utilizando la fórmula teórica de estabilidad elástica y 
se comparan con los valores obtenidos en la simulación, de igual forma se obtuvieron las 
formas pandeadas para cada material. 
 
 
 
 
 
VI Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
 
ABSTRACT 
 
 
The critical speed which occurs in rotating components like the driveshaft is that which 
produces an excitation frequency equal to shaft’s natural frequency or driveshaft system’s 
natural frequency. In order to propose alternative materials instead steel, like aluminum in 
its manufacture with the intention of reduce weight, it is important to carry out a study that 
guarantees its functionality. This work shows the results obtained using the classical theory 
of strength of materials in the design of driveshafts which are compared by those obtained 
from a 3D model using the finite element analysis. Two cases for modal analysis are 
evaluated, first yokes are excluded from geometry to compare with theoretical calculations, 
in a second case yokes are considered for finite element analysis, both situations modal 
shapes are obtained. 
 
Because of the thicknesses of driveshaft’s tubes buckling torque is calculated using the 
theoretical formula of elastic stability, results are compared with results from the 
simulation, buckling shapes are shown for each material. 
 
 
 
 
VII Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
 
INTRODUCCIÓN 
 
 
Los árboles de transmisión son elementos mecánicos por lo general de sección transversal 
circular utilizados ampliamente en distintas industrias tales como la automotriz, 
aeronáutica y aeroespacial, que se someten a distintas cargas según su campo de aplicación, 
tales como torsión, flexión, tensión y compresión que actúan de manera individual o 
combinadas. Los árboles de transmisión para aplicaciones automotrices son diseñados para 
transmitir la potencia y el par motor a los diferenciales, para que estos asu vez generen el 
movimiento rotatorio en los neumáticos, por lo que son componentes integrales del tren 
motriz. Durante el proceso de transmitir potencia a una velocidad rotacional específica, el 
árbol se expone, de manera inherente a torsión, por lo que en él se generan esfuerzos 
cortantes. 
 
Uno de los temas principales de actualidad en la industria automotriz es sin duda el 
consumo eficiente de combustible, por lo que la optimización de los componentes que 
conforman el vehículo ha tomado gran fuerza, principalmente para reducir el peso sin 
comprometer la funcionalidad y el costo total del producto final. 
 
Con los avances actuales en computación y desarrollo de software basados en el método 
de elemento finito, ha llevado al estudio y diseño de elementos mecánicos a una nueva era 
en el desarrollo conceptual integrando herramientas como el CAD, CAE y CAM, ayudando 
a resolver problemas de resistencia de materiales y muchas otras áreas. Han favorecido a 
comprender la naturaleza de los fenómenos físicos con mayor amplitud. 
 
Los modelos computacionales permiten realizar experimentos bajo condiciones 
controladas, permitiendo el estudio de los distintos parámetros por separado prediciendo el 
comportamiento durante el proceso. Es un método efectivo, complementario a la técnica 
experimental y analítica. 
 
 
 
 
VIII Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
 
OBJETIVOS 
 
 
 
Objetivo general 
 
Analizar el comportamiento del árbol de transmisión al someterse a cargas estáticas y 
dinámicas empleando el método del elemento finito, para estudiar la distribución de 
esfuerzos, deformaciones y modos de vibración en la geometría. 
 
 
 
Objetivos particulares 
 
 Investigar los esfuerzos y deformaciones a los que se somete el árbol de transmisión 
por los métodos de resistencia de materiales. 
 Generar una simulación numérica computacional para el estudio modal del árbol de 
transmisión. 
 Realizar un análisis de estabilidad y obtener sus respectivas formas de pandeo por 
simulación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
IX Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
 
JUSTIFICACIÓN 
 
 
Los nuevos diseños de tren motriz están principalmente enfocados a la mejora en el 
consumo de combustible, y uno de los medios para lograr este propósito es reducir el peso 
donde sea posible. En el rango de automóviles considerados de pasajeros o de carga que 
no sobrepasan las 3.5 toneladas de peso bruto, donde los pares de torsión transmitidos son 
relativamente bajos, el uso de flechas fabricadas con aleaciones de aluminio son la mejor 
opción para sustituir al acero, puesto que no se sacrifica la funcionalidad y el costo. 
 
Los estudios teóricos y análisis por elemento finito realizados hasta la fecha en árboles de 
transmisión para obtener los valores de velocidad crítica, excluyen las piezas de sujeción 
que van unidas al tubo, considerando al árbol en su totalidad como una barra cilíndrica 
hueca. No hay investigaciones publicadas para la obtención de las frecuencias naturales 
donde consideren las uniones universales. 
 
Debido a las optimizaciones en geometría y materiales para la manufactura de flechas, 
determinar el valor del pandeo torsional toma gran importancia para que el árbol no falle 
por inestabilidad estructural. 
 
 
ALCANCE 
 
 
En este análisis se toma únicamente el diseño de flecha de sección transversal tubular 
uniforme y uniones universales Hooke empleados en un automóvil, los materiales son 
considerados linealmente elásticos. No se considera otro tipo de uniones. 
 
 
 
 
1 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
Capítulo I. Árbol de transmisión en vehículos con tracción trasera. 
 
 
1.1. Transmisión automotriz. 
 
Generalmente hablando el término tren de potencia y tren de transmisión se refieren a los 
componentes del vehículo que producen y liberan potencia y par de torsión. 
El término tren de potencia en ocasiones enfatiza al motor y la transmisión (caja de 
velocidades), mientras que el término tren de transmisión (o línea de transmisión) pone 
mayor atención en el embrague (convertidor de par), caja de velocidades (transmisión), 
árbol de transmisión, diferencial, semiejes y los neumáticos. El tren de transmisión entrega 
par de torsión proveniente del motor a los neumáticos, haciendo posible la aceleración o la 
subida de pendientes [1.1]. 
 
1.1.1. El árbol de transmisión automotriz. 
 
Los árboles de transmisión (también conocidos como Flechas de transmisión) son 
necesarios para los vehículos con tracción trasera para transmitir par de torsión y potencia 
provenientes de la flecha de la caja de velocidades al diferencial que no están en línea, de 
manera suave, ininterrumpida y lo más uniforme posible. Esta función general, puede 
dividirse en tres: 
 
1. Transmisión uniforme del par de torsión y rotación. 
2. Capacidad para poder alterar la distancia entre la entrada y salida. 
3. Modificar el ángulo en sus extremos. 
 
 
2 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
 
Figura 1.1. Rango de árboles de transmisión de GKN [1.21]. A.- Tubo de aluminio de una 
sola pieza. B.- Dos piezas tubo de aluminio. C.- Dos piezas tubo de acero. D.- Tres piezas 
tubo de acero. E.- Una sola pieza tubo de material compuesto. 
 
 
 
1.1.2. Elementos de un sistema de árbol de transmisión. 
 
Como se muestra en la siguiente figura, los elementos que conforman este sistema son 
[1.2]: 
 
1. Los árboles de conexión. 
2. Las articulaciones. 
3. Árbol intermedio. 
 
 
 
 A B C D E 
 
 
3 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
 
Figura 1.2. Sistema de árbol de transmisión [1.2]. a Flecha cardán en configuración Z, 
b representación esquemática de los elementos. 
 
Las partes que conforman un árbol de trasmisión con unión universal Hooke se ilustran en 
la figura 1.3., los elementos 1 y 2 son tubos conectados por un estriado que permite el 
cambio de longitud debido a los movimientos en los ejes por la suspensión, son lubricados 
con grasa y cuentan con horquillas en sus terminales. 3 es el Anillo sellador de goma. No.4 
Bridas que conectan la flecha de salida de la caja de velocidades a la fecha de entrada del 
diferencial. 5 para las Crucetas que conectan las horquillas de los tubos con las horquillas 
de las bridas y 6 los Anillos de retención [1.3], [1.4]. 
Figura 1.3. Vista en explosión de las partes móviles de una flecha cardán [1.3]. 
 
 
4 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
1.1.3. Disposición del árbol de transmisión. 
 
La disposición de la flecha de transmisión en el tren motriz de vehículo de pasajeros, vans, 
SUVs y pick ups con tracción trasera, se muestra en las figura 1.4. 
 
Figura 1.4. Diagrama esquemático de una flecha de transmisión convencional de una sola 
pieza [1.6]. 
 
El diseño de dos piezas es demandado debido a la pertinente distancia entre las placas a 
conectar, cuando la distancia entre ejes es mayor a 2.5 metros, existen unidades auxiliares 
adjuntas, el diseño de una sola pieza provee una inadecuada velocidad crítica, y las 
vibraciones por flexión y torsión influyen negativamente en la conducción del vehículo. 
 
El uso de la flecha de transmisión depende principalmente de las configuraciones que el 
tren motriz pudiera tener, por lo que las configuraciones en donde se emplea este sistema 
son [1.5] [1.6]: 
 
 Motor en posición delantera montado longitudinalmente con tracción trasera o integral. 
 Motor en posición delantera montado transversalmente con tracción trasera o integral. 
 Motor en posición trasera con tracción integral (aplicaciones deportivas). 
 
 
 
 
 
 
5 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
1.1.4. Par de torsión en el árbol de transmisión automotriz. 
 
Los siguientes problemas en la flecha sonusualmente el resultado de sobrecargas de par 
de torsión: 
 
 Tubo del árbol retorcido. 
 Fractura de, horquillas del tubo, horquillas de las bridas, crucetas, tubo y tubo estriado. 
 
Razón por la cual es muy importante calcular cuánto par de torsión se puede generar en el 
árbol según sea el vehículo donde se use. Para calcular el máximo valor utilizamos la 
siguiente fórmula [1.7] 
 
𝐿𝐺𝑇 = 𝑇 ∗ 𝑇𝐿𝐺𝑅 ∗ 𝑇𝐸 ∗ 𝑆𝑅 ∗ 𝑇𝐶𝑅 ∗ 𝐶 (1.1) 
 
Donde por sus siglas en inglés son: 
 
𝐿𝐺𝑇 = Par máximo al cambio más bajo de la caja de transmisión. 
𝑇 = Par neto del motor o 95% del par bruto del motor. 
𝑇𝐿𝐺𝑅 = Valor de la relación al cambio más bajo de la transmisión. 
𝑇𝐸 = Eficiencia de la transmisión (Automática 0.8; Manual 0.85). 
𝑆𝑅 = Relación de stall del convertidor de par (Si aplica). 
𝑇𝐶𝑅 = Relación de la caja de transferencia (Si aplica). 
𝐶 = Eficiencia de la caja de transferencia (Si aplica, 0.95). 
 
Para el caso de vehículos de pasajeros, SUVs, vans y camionetas ligeras con transmisión 
manual la fórmula resultante queda 
 
𝐿𝐺𝑇 = 𝑇 ∗ 𝑇𝐿𝐺𝑅 ∗ 0.85 (1.2) 
 
 
6 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
 
Figura 1.5. Flechas dañadas [1.7], izquierda soldadura fracturada, derecha tubo retorcido. 
 
 
1.2. Dinámica vehicular. 
 
El automóvil así como los componentes del tren motriz son estudiados para poder definir 
las fuerzas que se generan en condiciones de reposo y movimiento. La ley fundamental de 
donde la mayor parte de los análisis dinámicos vehiculares comienzan, es la segunda ley 
formulada por Sir Isaac Newton (1642 – 1727), esta ley aplica para sistemas de traslación 
y rotación [1.8]. 
 
Sistemas traslacionales. La suma de las fuerzas externas que actúan en un cuerpo en una 
dirección dada, es igual al producto de su masa y la aceleración en esa dirección (la masa 
permanece constante). 
 
∑𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 (1.3) 
 
 
Sistemas rotacionales. La suma de los pares de torsión que actúan en un cuerpo respecto a 
un eje de giro dado, es igual al producto de su momento rotacional de inercia y a la 
aceleración rotacional alrededor de ese eje. 
 
∑𝑇𝑥 = 𝐼𝑥𝑥𝛼𝑥 (1.4) 
 
 
7 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
1.2.1. Automóvil estacionado sobre camino a nivel. 
 
En la siguiente figura se muestra las fuerzas presentes en un vehículo en estado de reposo 
y en una superficie plana a nivel. 
 
Figura 1.6. Automóvil estacionado en un camino a nivel [1.9]. 
 
 
Donde: 
C = centro de masa, 
m = la masa del vehículo, 
g = aceleración de la gravedad, 
𝐹𝑧= fuerza normal, 
𝑎1= distancia del eje delantero al centro de masa, 
𝑎2= distancia del eje trasero al centro de masa, 
l = distancia entre ejes. 
 
La fuerza normal 𝐹𝑧, bajo cada una de las ruedas delanteras 𝐹𝑧1 y traseras 𝐹𝑧2, es: 
 
𝐹𝑧1 =
1
2
𝑚𝑔
𝑎2
𝑙
 (1.5) ; 𝐹𝑧2 =
1
2
𝑚𝑔
𝑎1
𝑙
 (1.6) ; 𝑙 = 𝑎1 + 𝑎2 (1.7) 
 
 
 
 
8 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
1.2.2. Automóvil estacionado sobre camino inclinado. 
 
Por lo general los autos de pasajeros están equipados con freno de mano que actúan en las 
llantas traseras. 
 
 Figura 1.7. Automóvil estacionado sobre camino inclinado [1.9]. 
 
 
Donde: 
𝜙 = ángulo de inclinación de la superficie, 
h = altura de la superficie al centro de masa, 
𝐹𝑥2= Fuerza de frenado. 
 
Cuando un auto está estacionado sobre una pendiente, la fuerza normal 𝐹𝑧, bajo cada una 
de las ruedas delanteras y traseras 𝐹𝑧1, 𝐹𝑧2 es: 
 
𝐹𝑧1 =
1
2
𝑚𝑔
𝑎2
𝑙
cos 𝜙 −
1
2
𝑚𝑔
ℎ
𝑙
sin𝜙 (1.8); 𝐹𝑧2 =
1
2
𝑚𝑔
𝑎1
𝑙
cos 𝜙 −
1
2
𝑚𝑔
ℎ
𝑙
sin𝜙 (1.9) 
𝑙 = 𝑎1 + 𝑎2 (1.10) 
 
Y la fuerza de frenado 𝐹𝑥2 =
1
2
𝑚𝑔 sin𝜙 (1.11) 
 
 
9 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
1.2.3. Automóvil en aceleración sobre camino a nivel. 
 
Cuando un auto está en movimiento con una aceleración 𝑎 sobre un camino a nivel como 
se muestra en la figura 1.8, las fuerzas verticales bajo los neumáticos delanteros y traseros 
son: 
 
𝐹𝑧1 =
1
2
𝑚𝑔
𝑎2
𝑙
−
1
2
𝑚𝑎
ℎ
𝑙
 (1.12) ; 𝐹𝑧2 =
1
2
𝑚𝑔
𝑎1
𝑙
+
1
2
𝑚𝑎
ℎ
𝑙
 (1.13) 
 
 
Figura 1.8. Automóvil en estado de aceleración sobre un camino a nivel [1.9]. 
 
 
Donde: 
a = aceleración del vehículo. 
 
Los primeros términos de cada ecuación, 
1
2
𝑚𝑔
𝑎2
𝑙
 y 
1
2
𝑚𝑔
𝑎1
𝑙
, son llamados partes estáticas, 
y los segundos términos ±
1
2
𝑚𝑎
ℎ
𝑙
, son llamados partes dinámicas de las fuerzas normales. 
 
 
 
 
 
 
10 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
1.2.4. Automóvil en aceleración sobre camino inclinado. 
 
Cuando un auto está en movimiento con una aceleración 𝑎 sobre un camino inclinado con 
un ángulo 𝜙, las fuerzas normales bajo los neumáticos delanteros y traseros serán: 
 
𝐹𝑧1 =
1
2
𝑚𝑔 (
𝑎2
𝑙
cos 𝜙 −
ℎ
𝑙
sin𝜙) −
1
2
𝑚𝑎
ℎ
𝑙
 (1.14) 
𝐹𝑧2 =
1
2
𝑚𝑔 (
𝑎1
𝑙
cos 𝜙 +
ℎ
𝑙
sin 𝜙) +
1
2
𝑚𝑎
ℎ
𝑙
 (1.15) 
 
Las partes dinámicas ±
1
2
𝑚𝑎
ℎ
𝑙
, dependen de la aceleración 𝑎 y la altura ℎ del centro de 
masa 𝐶 y no de la pendiente 𝜙, mientras que las partes estáticas son influenciadas por el 
ángulo de la pendiente 𝜙, así como de la posición longitudinal y vertical del centro de masa 
[1.9] [1.10]. 
 
Figura 1.9. Automóvil acelerando sobre camino inclinado [1.9]. 
 
 
 
 
 
 
11 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
1.3. Materiales para componentes del tren de transmisión. 
 
En la actualidad las partes estructurales del automóvil están fabricados en metal laminado 
y el material básico es el acero de bajo carbono, elegido por la facilidad de estampado y 
soldado más que por sus propiedades mecánicas. Esto es algo que no ha cambiado desde 
hace más de medio siglo, y es poco probable que los cambios radicales entren al mercado 
de la producción en masa en un futuro próximo. Las partes mecánicas del tren de 
transmisión son fabricados de una gama más amplia de materiales, como aceros de alta 
resistencia, aleaciones de aluminio, hierro de fundición, etc. 
 
Acero de alta resistencia, es la alternativa lógica ante el acero de bajo carbono para las 
partes más cargadas del chasis y la carrocería, y esto podría resultar en una no despreciable 
reducción de peso. Esta consideración es mitigada por el hecho de que el acero de alto 
rendimiento es más resistente pero no más rígido (su módulo de Young es 
aproximadamente el mismo que para el acero de bajo carbono) por lo que no muestra 
ninguna ventaja en aquellos componentes que son diseñados para tener rigidez y no para 
resistencia. 
 
Aleaciones de aluminio (aleaciones ligeras), son comúnmente utilizadas en la construcción 
de motores, componentes del tren de transmisión y para algunos componentes del chasis 
como partes de la suspensión debido a su relativo bajo costo. Rara vez son consideradas 
estas aleaciones para la carrocería, excepto para el caso de autos deportivos y todo terreno 
en producciones limitadas. La fecha tubular de aluminio extruido tiene buenas propiedades 
en cuanto a ruido, comportamiento en choques, resistencia a la temperatura (130 – 145°C) 
y también es barato. A través de la soldadura por fricción los tubos de aluminio se pueden 
conectar a bridas hechas de acero. 
 
Plásticos Reforzados (Compuestos), ahora los autos de carrera se construyen utilizando 
materiales compuestos de fibra de carbono, fibra de vidrio o incluso vidrio poliéster, y 
muchos coches especiales producidos en pequeñas cantidades tiene materiales compuestos 
en su carrocería y tren motriz, todo con la finalidad de disminuir el peso total del vehículo, 
 
 
12 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
mejorar las propiedades mecánicas de los componentes, y así como evitar el alto costo en 
herramental en el caso de producción de bajos volúmenes. 
 
El punto es que los componentesestructurales fabricados de materiales compuestos se 
prestan para la producción a baja escala, pero, a diferencia de la producción a gran escala, 
estos suelen ser muy costosos en comparación con las construcciones tradicionales de 
acero. Matrices de alto rendimiento, como resinas epoxi, tienen un tiempo de curado 
prolongado y requieren de altas temperaturas. La energía requerida para una operación de 
curado es más que la energía requerida en un proceso convencional de estampado de acero. 
Las medidas de seguridad y protección medioambiental cuando se trabaja con resinas 
tóxicas añaden mucho al costo de la producción. Y finalmente los componentes de metal 
son fácilmente reciclados al final del ciclo de vida del vehículo, mientras que el reciclado 
de materiales compuestos es mucho más difícil que en ocasiones resulta inútil [1.4]. 
 
 
1.4. Trabajos realizados en árboles de transmisión. 
 
Desde hace muchos años limitaciones como el peso, vibración, fatiga y velocidades críticas 
son serios problemas reconocidos en la industria automotriz. Por lo que los efectos 
asociados y posibles soluciones han sido sujetos a análisis detallados. 
 
En la actualidad los nuevos diseños automotrices en lo que respecta a funcionalidad, se 
enfocan principalmente a la mejora en eficiencia de consumo de combustible, minimizar 
la emisión de gases contaminantes y en lo posible reducir el peso total de vehículo. Todo 
esto ha hecho que los componentes sean más sensibles a excitaciones. Esta situación da 
como resultado un número de problemas de confort, particularmente en rangos de bajas 
velocidades que son las deseables para el consumo eficiente de combustible [1.11]. 
 
Motores altamente turbo cargados y especialmente motores altamente súper cargados de 
baja cilindrada inducen pares de torsión inestables y altamente dinámicos en adición a los 
 
 
13 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
existentes altos pares de torsión promedio. Esto puedo causar problemas de vibración de 
consideración en el tren motriz [1.12]. 
 
El árbol de transmisión es uno de los componentes con mayor estudio debido a su 
importancia en la transmisión de potencia. El primer árbol de transmisión de materiales 
compuestos fue desarrollada por la división Spicer U-Joint de Dana Corporation para las 
van ecoline de Ford modelos 1985. Las camionetas ligeras de General Motors que 
adoptaron los productos Spicer, disfrutaron de una demanda tres veces de lo que fue la 
proyección en ventas en su primer año (1988) [1.13]. 
 
Las flechas construidas de materiales compuestos tienen muchos beneficios como el peso 
reducido, menos ruido y vibración. Sin embargo, debido al alto costo de los insumos y 
fabricación, esta opción se ha retirado de la producción a gran escala, exceptuando a 
vehículos deportivos de grandes prestaciones, por lo que se ha regresado a utilizar acero y 
aluminio [1.14]. Lee DG et al. [1.15] en 2003, desarrolló y manufacturó un árbol híbrido 
con una nueva técnica de manufactura utilizando aluminio y parte de material compuesto, 
logrando aumentar la frecuencia natural de flexión y reducir el peso a un 75% en 
comparación con uno fabricado con acero. Shokrieh MM et al. [1.16] en 2003, utilizando 
el método del elemento finito estudió la estabilidad torsional del árbol de transmisión 
fabricado con material compuesto, para validar sus resultados los comparó con resultados 
analíticos y experimentales, además realizó un estudio de los efectos de las condiciones de 
frontera, donde obtuvo como resultado que el torque de pandeo no se ve muy afectado. 
Kim HS et al. [1.17] en 2004, investigó las características del daño al impacto de baja 
velocidad en árboles híbridos de aluminio/material compuesto, utilizando un probador de 
impactos por caída de peso, con sus resultados el sugiere como debe ser el apilado de los 
filamentos de los materiales y el espesor del tubo de aluminio para impactos a baja 
velocidad. Mustasher SA [1.18] en 2008, investigó la máxima capacidad de torsión de una 
flecha híbrida aluminio/material compuesto cambiando los ángulos del devanado de las 
fibras y el número de capas, utilizó el método del elemento finito para analizar el árbol bajo 
torsión estática, ANSYS fue el software comercial para efectuar el análisis numérico, los 
resultados tuvieron concordancia con los valores experimentales. Talib A et al. [1.19] en 
 
 
14 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
2009, utilizó el método del elemento finito para desarrollar una flecha que tuviera fibra de 
carbono y fibra de vidrio sobre una matriz epóxica, las propiedades de los materiales fueron 
analizados con la teoría clásica de láminas, el modelo de elemento finito fue hecho usando 
LUSAS un software comercial, se efectuó un análisis de valor propio lineal de pandeo para 
definir el par de torsión crítico de pandeo. Badie MA et al. [1.20] en 2010, Llevó a cabo 
cuatro tipos de simulaciones en una flecha híbrida de fibra de carbono/fibra de vidrio con 
el software LUSAS. Analizó los esfuerzos, para definir el par crítico de pandeo realizó un 
análisis de valor propio en la forma de análisis lineal de pandeo, efectuó un análisis modal 
para obtener la frecuencia natural y finalmente un análisis de fatiga, los resultados de las 
simulaciones muestran concordancia con los analíticos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
1.5. Referencias. 
 
 
[1.1] Chen H, Gao B. Nonlinear Estimation and Control of Automotive Drivetrains, Springer 
2014. 
[1.2] Seherr-Thoss HC, Schmelz F, Aucktor E. Universal Joints and Driveshafts, 2nd 
Edition, Springer 2006. 
[1.3] Genta G, Morello L. The Automotive Chassis. Vol. 1: Components Design, Springer 
2009. 
[1.4] Genta G, Morello L, Cavallino F, Filtri L. The Motor Car: Past, Present and Future, 
Springer 2014. 
[1.5] Naunheimer H, Bertsche B, Ryborz J, Novak W. Automotive Transmissions: 
Fundamentals, Selection, Design and Application, Second Edition, Springer 2011. 
[1.6] Heißing B, Ersoy M. Chassis Handbook, Springer 2011. 
[1.7] Application Guidelines. Spicer Driveshaft Products, Dana Holding Corporation 2013. 
[1.8] Fijalkowski BT. Automotive Mechatronics: Operational and Practical Issues, Volume 
I, Springer 2011. 
[1.9] Jazar RN. Vehicle Dynamics: Theory and Application, Second Edition, Springer 2014. 
[1.10] Reimpell J, Stroll H. The automotive chassis: Engineering Principles. New York: 
Society of Automotive Engineers 1996. 
[1.11] 4th International Symposium. Torsional Vibrations in the Drive Train. Germany 1990. 
[1.12] Lienkamp Markus Ed. Conference on Future Automotive Technology. Germany 2013. 
[1.13] Cho DH, Lee DG, Choi JH. Manufacturing of one-piece automotive driveshafts with 
aluminum and composite materials. Composite Structures 1997; Vol. 38: 309 – 319. 
[1.14] Kim HS, Lee DG. Optimal design of the press fit joint for a hybrid 
aluminum/composite drive shaft. Composite Structures 2005; Vol. 70: 33 – 47. 
[1.15] Lee DG. Kim HS. Kim JW. Kim JK. Design and manufacture of an automotive hybrid 
aluminum/composite drive shaft. Composite Structures 2004; Vol. 63: 87 – 99. 
[1.16] Shokrieh MM, Hasani A. Lessard LB. Shear buckling of a composite drive shaft under 
torsion. Composite Structures 2004; Vol. 64: 63 – 69. 
 
 
16 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
[1.17] Kim HS, Kim BC, Lim TS, Lee DG. Foreign objects impact damage characteristics of 
aluminum/composite hybrid drive shaft. Composite Structures 2004; Vol. 66: 377 – 
389. 
[1.18] Mutasher SA. Prediction of the torsional strength of the hybrid aluminum/composite 
drive shaft. Materials and Design 2009; Vol. 30: 215 – 220. 
[1.19] Talib A, Ali A, Badie MA, Che Lah NA, Golestaneh AF. Developing a hybrid, 
carbon/glass fiber-reinforced, epoxy composite automotive drive shaft. Materials and 
Design 2010; Vol. 31: 514 – 521. 
[1.20]Badie MA, Mahdi E, Hamouda AMS. An investigation into hybrid carbon/glass fiber 
reinforced epoxy composite automotive drive shaft. Materials and Design 2011; Vol. 
32: 1485 – 1500. 
[1.21] GKN Driveline Driveshafts [en línea]. Reino Unido [fecha de consulta: 1 de Junio 
2015]. Disponible en http://www.gkn.com/driveline/our-solutions/cvj-
system/sideshaft-solutions/documents/driveshafts_english.pdf . GKN www.gkn.com . 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.gkn.com/driveline/our-solutions/cvj-system/sideshaft-solutions/documents/driveshafts_english.pdf
http://www.gkn.com/driveline/our-solutions/cvj-system/sideshaft-solutions/documents/driveshafts_english.pdf
http://www.gkn.com/
 
 
17 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
Capítulo II. Análisis de esfuerzos y deformaciones en árboles de 
transmisión. 
 
 
2.1. Teoría de torsión. 
 
La torsión se puede definir como la carga en una barra recta que tiende a hacerlo girar o 
torcerlo, tal rotación se efectúa con respecto al eje longitudinal de la barra. La carga es 
mejor conocida como par de torsión, momento torsional o simplemente par. Los 
componentes sometidos a torsión son encontrados en muchas aplicaciones de ingeniería, 
la más común es la del árbol de transmisión para aplicaciones automotrices. 
 
 
Figura 2.1 Árbol de transmisión instalado en el tren de potencia de una camioneta [2.8]. 
 
2.1.1. Deformaciones torsionales de un árbol de sección circular. 
 
Cuando una barra prismática de sección transversal circular es sometida a torsión T en sus 
extremos como lo muestra la figura 2.2, y dado que cada sección transversal a lo largo de 
la barra es sometida al mismo par de torsión interno, se dice que la barra se encuentra en 
torsión pura. Para deducir las ecuaciones básicas empezaremos tomando las siguientes 
suposiciones cinemáticas [2.1]: 
 
 
18 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
 El material es homogéneo, es decir, de uniforme propiedad elástica en todas las 
direcciones de la barra. 
 El material es elástico, obedece la ley de Hooke, con el esfuerzo cortante 𝜏 proporcional 
a la deformación cortante 𝛾. 
 El esfuerzo no excede el límite elástico o el límite de proporcionalidad. 
 Las secciones transversales permanecen sin cambios durante la torsión T, es decir, 
todos los puntos de una sección transversal se someten al mismo giro, por lo que 
permanecen circulares. 
 Los planos de las secciones trasversales permanecen planas, en otras palabras no se 
deforman, por lo que no se observan deformaciones perpendiculares a las secciones. 
 Las secciones transversales giran como si fueran un elemento rígido, es decir, cada 
diámetro gira a través del mismo ángulo 𝜙. 
 
Pruebas prácticas realizadas en flechas de sección transversal circular, han demostrado que 
la teoría desarrollada en las siguientes ecuaciones basadas en las anteriores suposiciones, 
muestran una excelente correlación con los resultados experimentales. 
 
 
Figura 2.2. Deformaciones de una barra sometida a torsión pura. 
𝑇 
𝑇 
𝜙(𝑥) 
𝜙 
𝑝 
𝑞′ 𝑞 
𝑅 
 
 
19 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
Un cilindro infinitesimal con radio arbitrario 𝑟 aislado de la restante barra circular, 
permanece como cilindro después de torcerse. Solamente se observa una relativa rotación 
de dos secciones transversales adyacentes (con distancia 𝑑𝑥) por un infinitesimal ángulo 
de torsión (o ángulo de rotación) 𝑑𝜙. 
 
Figura 2.3. Deformación de un cilindro infinitesimal con longitud 𝑑𝑥 tomado de una 
barra sometida a torsión. 
 
Para pequeñas deformaciones la relación entre el ángulo de torsión infinitesimal 𝑑𝜙 y la 
deformación unitaria cortante 𝛾 es 
 
𝑟𝑑𝜙 = 𝛾𝑑𝑥 → 𝛾 = 𝑟
𝑑𝜙
𝑑𝑥
 (2.1) 
 
La ecuación anterior se aplica a cualquier valor de 𝑟 , alcanzando un valor máximo en la 
superficie exterior 𝑅, la deformación unitaria cortante varia linealmente con el radio y se 
relaciona con el ángulo de torsión. 
 
Por lo que la ecuación de deformación unitaria por cortante en la superficie exterior es: 
 
𝛾𝑚𝑎𝑥 = 𝑅
𝑑𝜙
𝑑𝑥
 (2.2) 
 
𝑑𝜙 
 
𝑟 
 
𝛾 
 
 
 
20 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
El término 𝑑𝜙/𝑑𝑥 representa la razón de cambio del ángulo de torsión 𝜙 con respecto a la 
distancia 𝑥 medida a lo largo del eje de la barra, y la expresaremos como 𝜃. Se le conoce 
como razón de torsión o ángulo de torsión por unidad de longitud. 
 
𝜃 =
𝑑𝜙
𝑑𝑥
 (2.3) 
 
Por lo tanto la ecuación para la deformación unitaria por cortante se denota como: 
 
𝛾 = 𝑟𝜃 ; 𝛾𝑚𝑎𝑥 = 𝑅𝜃 (2.4) 
 
sólo para torsión pura: 
𝛾 = 𝑟𝜃 =
𝑟𝜙
𝐿
 (2.5) 
 
debido a que 𝜃 = 𝜙/𝐿, donde 𝐿 es la longitud. 
 
 
2.1.2. Barras circulares huecas o tubos. 
 
Las ecuaciones anteriores también son aplicables a las barras circulares huecas. 
 
𝛾𝑚𝑎𝑥 =
𝑟2𝜙
𝐿
 ; 𝛾𝑚𝑖𝑛 =
𝑟1
𝑟2
 𝛾𝑚𝑎𝑥 ; 𝛾𝑚𝑖𝑛 =
𝑟1𝜙
𝐿
 (2.6) 
 
En donde 𝑟1 𝑦 𝑟2 representan los radios interior y exterior respectivamente de la barra 
hueca. 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
 
Figura 2.4. Deformaciones unitarias por cortante en un tubo con sección transversal 
circular. 
 
2.1.3. Esfuerzos cortantes en la zona elástica. 
 
Consideremos el caso en el que el par de torsión aplicado es tal que los esfuerzos cortantes 
en la flecha permanecen por debajo de la resistencia a la cedencia en cortante 𝜏𝑦. Esto 
quiere decir que los esfuerzos cortantes estarán dentro del límite de proporcionalidad y del 
límite elástico. Por lo que podemos utilizar la ley de Hooke en cortante [2.2]: 
 
𝜏 = 𝐺𝛾 (2.7) 
 
𝐺, es una constate de proporcionalidad, mejor conocido como módulo de elasticidad en 
cortante. El módulo cortante es un valor propio del material que caracteriza su resistencia 
contra la deformación del material cuando se somete a esfuerzos cortantes. 
Figura 2.5. Elemento cuadrangular en la superficie de una barra sometida a torsión. 
𝛾𝑚𝑎𝑥 
𝛾𝑚𝑖𝑛 
𝑟1 
𝑟2 
𝑇 
𝛾 
𝜏 𝜏 
𝜏 
𝜏 
𝜏𝑚𝑎𝑥 
𝜏𝑚𝑎𝑥 
𝜏𝑚𝑖𝑛 
𝜏𝑚𝑖𝑛 
𝑇 
 
 
22 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
Al combinar la ley de Hooke en cortante con las ecuaciones anteriormente descritas para 
las deformaciones unitarias por cortante se obtienen: 
 
𝜏 = 𝐺𝑟𝜃 (2.8) 
 
Por consiguiente, el esfuerzo cortante 𝜏 varía linealmente desde 0 hasta un valor máximo 
que se da en la superficie exterior 𝑅 para el caso de una flecha circular. 
 
Figura 2.6. Curva esfuerzo cortante – Deformación cortante unitaria en el rango lineal 
elástico. 
 
Los valores de 𝐺 no siempre son fácilmente accesibles. Una buena aproximación para un 
material homogéneo e isotrópico es [2.3]: 
 
𝐺 =
𝐸
2(1 + 𝜈)
 (2.9) 
 
𝐸, 𝐺, y 𝜈 (relación de Poisson) son propiedades elásticas del material. 
 
Para la mayoría de los metales se tiene una aproximación para la relación de Poisson 
 𝜈~1/3, por lo que 𝐺 se puede aproximar: 
 
𝐺 ≈
3
8
𝐸 (2.10) 
𝜏 
𝛾 
𝐺 
 
 
23 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
2.1.4. Torsión de barras con sección transversal circular. 
 
 
Figura 2.7. Area infinitesimal del cilindro sometido a esfuerzo cortante. 
 
El torque T debe ser estáticamente equivalente al momento resultante del esfuerzo cortante, 
por lo que de la figura 2.7 es: 
𝑇 = ∫𝑟𝜏𝑑𝐴 (2.11) 
 
dA es un elemento de área, e insertando (2.8) en (2.11 ) resulta: 
 
𝑇 = 𝐺𝜃∫𝑟2𝑑𝐴 = 𝐺𝜃𝐼𝑝 (2.12) 
 
Para obtener una ecuación que dé como resultado el esfuerzo cortante (máximo en la 
superficie exterior 𝑅), podemos despejar el ángulo de torsión por unidad de longitud 𝜃 de 
la ecuación (2.8), y sustituyendo su valor en (2.12), dándonos como resultado: 
 
𝜏 =
𝑇𝑟
𝐼𝑝
 (2.13 ) 
 
El ángulo de torsión 𝜃 se obtiene simplemente despejando de la ecuación(2.12) 
 
𝜃 =
𝑇
𝐺𝐼𝑝
 (2.14) 
𝑑𝐴 
𝑅 
𝑟 
𝜏 
 
 
24 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
La cantidad 𝐺𝐼𝑝 es conocida como rigidez torsional de la barra. Para una barra sometida a 
torsión pura, el ángulo de torsión 𝜙 total, igual a la razón de torsión multiplicada por la 
longitud de la barra, es [2.3]: 
 
𝜙 =
𝑇𝐿
𝐺𝐼𝑝
 (2.15) 
 
El valor de 𝐺𝐼𝑝/𝐿, llamada rigidez torsional de la barra, la flexibilidad torsional es el 
reciproco de la rigidez, o 𝐿/𝐺𝐼𝑝: 
 
𝑘𝑇 =
𝐺𝐼𝑝
𝐿
 ( 2.16) ; 𝑓𝑇 =
𝐿
𝐺𝐼𝑝
 (2.17 ) 
 
El valor 𝐼𝑝 es el resultado de la integral ∫ 𝑟
2𝑑𝐴 de la ecuación (2.12), un valor puramente 
geométrico y es conocido como el momento polar de inercia de área (o momento polar de 
inercia). Para un círculo con radio 𝑟 y diámetro 𝑑, el momento polar de inercia es: 
 
𝐼𝑝 =
𝜋𝑟4
2
=
𝜋𝑑4
32
 (2.18) 
 
Para el caso de tubos circulares, el momento polar de inercia resulta: 
 
𝐼𝑝 =
𝜋
2
(𝑟2
4 − 𝑟1
4) =
𝜋
32
(𝑑2
4 − 𝑑1
4) (2.19) 
 
Las expresiones anteriores pueden ser escritas considerando el espesor, 𝑡 = 𝑟2 − 𝑟1 de la 
pared del tubo, 𝑟 y 𝑑 son el radio promedio (𝑟1 + 𝑟2)/2 y diámetro promedio (𝑑1 + 𝑑2)/2, 
respectivamente. Por lo que resulta: 
 
𝐼𝑝 =
𝜋𝑟𝑡
2
(4𝑟2 + 𝑡2) =
𝜋𝑑𝑡
4
(𝑑2 + 𝑡2) (2.20) 
 
 
 
25 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
Las ecuaciones (2.19) y (2.20), dan el mismo resultado, por lo que su uso es indistinto, 
aunque en ocasiones el uso de la última resulta más práctica. 
 
En el caso de tubos de pared delgada, donde el espesor 𝑡 es pequeño en comparación con 
el radio promedio, el valor 𝑡2 puede despreciarse de la ecuación (2.20), por lo que se 
obtienen fórmulas aproximadas del momento polar de inercia: 
 
𝐼𝑝 ≈ 2𝜋𝑟
3𝑡 =
𝜋𝑑3𝑡
4
 (2.21) 
 
2.1.5. Energía de deformación en torsión. 
 
Cuando se aplica un par de torsión a una flecha, la carga realiza trabajo y en la flecha se 
desarrolla energía de deformación, también conocida como energía elástica. Todo esto 
cuando el material tiene un comportamiento linealmente elástico con ángulos de torsión 
pequeños y obedeciendo la ley de Hooke. 
 
El trabajo 𝑊 realizado por el par de torsión T conforme gira a través del ángulo 𝜙 es igual 
al área bajo la curva par de torsión – rotación, conforme a la figura 2.8, es el área del 
triángulo rectángulo sombreado. La energía de deformación U de la barra es igual al trabajo 
realizado por la carga, siempre que no se gane o pierda energía en forma de calor. 
Figura 2.8. Diagrama Par de torsión – Rotación para una flecha en torsión pura (zona 
elástica). 
𝜙 
𝑇 
𝑈 = 𝑊 =
𝑇𝜙
2
 
 
 
26 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
Por lo que la ecuación de energía de deformación de la barra sometida a torsión pura es: 
 
𝑈 = 𝑊 =
𝑇𝜙
2
 (2.22) 
 
Tomando la ecuación (2.15), la energía de deformación puede expresarse de las siguientes 
formas, 
En términos de la carga: 
𝑈 =
𝑇2𝐿
2𝐺𝐼𝑝
 (2.23) 
 
En términos del ángulo de torsión: 
𝑈 =
𝐺𝐼𝑝𝜙
2
2𝐿
 (2.24) 
 
 
2.2. Transmisión de potencia. 
 
La potencia con frecuencia es transmitida a través de flechas, por ejemplo el árbol impulsor 
de un automóvil, la flecha de una hélice de barco. Las principales especificaciones a 
cumplir en el diseño de árboles de transmisión son, la potencia a trasmitir y la velocidad 
de rotación a la que será sometida la flecha. La función del diseñador es determinar el 
tamaño necesario así como la selección del material de tal forma que no se sobrepasen los 
esfuerzos cortantes permisibles. 
 
Para determinar la potencia transmitida por la flecha usamos la siguiente fórmula: 
 
𝑃 = 𝑇𝜔 (𝜔 = 𝑟𝑎𝑑/𝑠) (2.25) 
 
Donde 𝑃 representa la potencia, 𝑇 el par de torsión y 𝜔 la velocidad angular. 
Para calcular la velocidad angular tenemos: 
 
 
 
27 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
𝜔 = 2𝜋𝑓 (2.26) 
 
𝑓 es la frecuencia de rotación, es decir, el número de revoluciones por unidad de tiempo 
(𝐻𝑧; 𝑠−1). Sustituyendo (2.26) en (2.25) obtenemos: 
 
𝑃 = 2𝜋𝑓𝑇 (2.27) 
 
Despejando 𝑇 de la anterior ecuación, obtenemos el torque ejercido en una flecha que 
transmite una potencia 𝑃 a una frecuencia de rotación 𝑓 
 
𝑇 =
𝑃
2𝜋𝑓
 (2.28) 
 
 
 
2.3. Teoría de flexión. 
 
La flexión es la aplicación de cargas (fuerzas, momentos flexionantes) a una viga que la 
deforman, y su eje longitudinal toma forma de curva. La condición de fuerza cortante cero 
y momento flexionante constante es conocida como flexión pura. Las vigas deben soportar 
estas cargas sin ruptura o deflexión excesiva. 
 
Para el desarrollo de las ecuaciones básicas de la teoría simple de flexión, se toman las 
siguientes suposiciones [2.1]. 
 
 La viga es inicialmente recta y sin esfuerzos. 
 El material de la viga es perfectamente homogéneo e isotrópico, es decir, las mismas 
propiedades elásticas en todo el elemento. 
 El límite elástico no es excedido. 
 El módulo de Young para el material es el mismo en condición de tensión y 
compresión. 
 
 
28 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
 Los planos de las secciones transversales permanecen planos antes y después de la 
flexión. 
 Cada sección transversal de la viga es simétrica con respecto al plano de flexión, es 
decir, con respecto a un eje perpendicular al eje neutro. 
 No hay fuerza resultante perpendicular a cualquier sección transversal. 
 
2.3.1. Radio de curvatura. 
 
Las deformaciones unitarias y los esfuerzos presentes en la viga están directamente 
relacionados con la curvatura de la curva de flexión. Como el momento flexionante y la 
sección transversal son constantes a lo largo del eje 𝑥, en cada punto de la viga a lo largo 
de su longitud debe doblarse, o curvarse de la misma manera. Por lo tanto la viga debe 
deformase en la forma de un arco de un círculo, dado que el círculo es la única forma que 
tiene una curvatura constante [2.4]. 
 
En flexión pura, cada sección transversal debe deformarse de la misma manera. Por lo que 
cada uno se alinea con un radio del círculo. Las extensiones gráficas de los planos de las 
secciones transversales coinciden en un solo punto,𝑂, llamado el centro de curvatura. 
 
 
Figura 2.9. Vista lateral de una viga simétrica al eje y. 
 
 
 
 
 
𝑦 
𝑧 
𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒 
𝐻 
𝐴 𝐸 
𝐺 
𝐵 𝐹 
𝐶 
𝐷 
𝑦 
𝑥 
L 
𝐸𝑗𝑒 𝑁𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 
 
 
29 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
 
Figura 2.10. Vista lateral de una viga en flexión pura, los momentos son sobre el eje Z. 
 
El radio del arco circular que dobla la viga de la figura 2.10, medida desde el centro de la 
curvatura hasta el eje neutro, es el radio de curvatura R. El inverso de R es la curvatura 𝜅: 
 
𝜅 =
1
𝑅
 (2.29) 
 
2.3.2. Relación esfuerzo – deformación. 
 
La viga permanece con la longitud 𝐿 en flexión. De la figura 2.9 la línea 𝐺𝐻 (representa 
un plano paralelo al plano neutro) se encuentra a una distancia 𝑦 del eje neutro. La longitud 
original de 𝐺𝐻 es 𝐿. La longitud deformada 𝐺′𝐻′ cae sobre un arco circular de radio 𝑅 − 𝑦 
desde el centro de la curvatura. A partir de la proporcionalidad: 
 
𝐺′𝐻′
𝐿
=
𝑅 − 𝑦
𝑅
 (2.30) 
 
La deformación unitaria 𝜀 de 𝐺𝐻 es lineal con respecto a 𝑦: 
 
𝜀(𝑦) =
𝐺′𝐻′ − 𝐿
𝐿
=
(𝑅 − 𝑦) − 𝑅
𝑅
= −
𝑦
𝑅
 (2.31) 
𝐵′ 
𝐴′ 𝐻′ 
𝐸′ 
𝐹′ 
𝐺′ 
𝐶′ 
𝐷′ 
𝑦 
𝑥 
𝑅 
𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑂 
𝑀 𝑀 
𝐸𝑗𝑒 𝑁𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 
𝑅 − 𝑦 
𝑦 
 
 
30 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
De la ley de Hooke, el esfuerzo normal 𝜎 debido a la flexión varía linealmente con respecto 
a 𝑦: 
𝜎(𝑦) = 𝐸𝜀(𝑦) = −
𝐸𝑦
𝑅
 (2.32) 
 
donde E es el módulo de Young o módulo de elasticidad longitudinal. 
 
El esfuerzo normal𝜎 y la deformación unitaria 𝜀 son cero en el eje neutro (𝑦 = 0). 
 
La ecuación del momento M relacionado con la ecuación de la curvatura es: 
 
𝑀 =
𝐸𝐼
𝑅
= 𝐸𝐼𝜅 (2.33) 
 
A la cantidad 𝐸𝐼, se le denomina rigidez a la flexión de la viga. El valor 𝐼 es el segundo 
momento de área de la sección transversal, una propiedad geométrica también llamada 
momento de inercia. 
 
En una sección transversal circular y circular hueca, los segundos momentos de área se 
calculan con las siguientes fórmulas: 
 
𝐼 =
𝜋𝑅4
4
=
𝜋𝐷4
64
 (2.34) 𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑎 
 
donde R es el radio y D el diámetro. 
 
𝐼 =
𝜋(𝑟2
4 − 𝑟1
4)
4
=
𝜋(𝑑2
4 − 𝑑1
4)
64
 (2.35) 𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 ℎ𝑢𝑒𝑐𝑎 
 
donde 𝑟2 y 𝑑2 son el radio y diámetro exterior; 𝑟1 y 𝑑1 el radio y diámetro interior 
respectivamente. 
 
 
 
31 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
Para obtener la distribución de esfuerzos en la sección transversal de la viga tenemos: 
 
𝜎(𝑦) = 𝐸𝜀(𝑦) = −
𝐸𝑦
𝑅
= −𝑦
𝑀
𝐼
 (2.36) 
 
El esfuerzo normal debido al momento flexionante es el esfuerzo de flexión: 
 
𝜎(𝑦) = −
𝑀𝑦
𝐼
 (2.37) 
 
El esfuerzo de flexión es cero en el centroide, 𝑦 = 0 (en el eje neutro o plano neutro), 
aumenta linealmente con respecto a 𝑦, y alcanza sus valores máximos en la parte superior 
e inferior de la viga. El esfuerzo de flexión es positivo (tensión) en un lado del plano neutro 
y negativo (compresivo) por el otro lado. 
 
La magnitud del esfuerzo de flexión máximo a una sección transversal dada es: 
 
𝜎𝑚𝑎𝑥 =
𝑀𝑐
𝐼
 (2.38) 
 
Donde 𝑐 representa el punto más lejano del material con respecto al eje neutro, es decir 
 𝑐 = 𝑦𝑚𝑎𝑥. 
 
De la ecuación anterior se nota la relación 𝐼/𝑐 , que sólo depende de la geometría de la 
sección trasversal. Esta relación es conocida como el módulo de sección elástico 𝑆 
 
𝑆 =
𝐼
𝑐
 (2.39) 
 
Por lo que queda una ecuación alternativa del esfuerzo de flexión máximo: 
 
𝜎𝑚𝑎𝑥 =
𝑀
𝑆
 (2.40) 
 
 
32 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
2.4. Deflexión. 
 
Se da cuando una viga con un eje longitudinal recto se somete a cargas laterales de tal 
forma que el eje se deforma y adopta una forma curva, llamada como curva de deflexión. 
 
El cálculo de deflexiones bajo distintas condiciones de carga es una parte importante del 
análisis y diseño estructural de sistemas de ingeniería. Con frecuencia la deflexión máxima 
permitida 𝛿𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡𝑖𝑑𝑎 en una viga o barra prismática es definida en términos del tramo 𝐿 de 
la viga. 
 
El índice de deflexión es definido como 𝑓 = 𝛿/𝐿. El valor permisible de 𝑓 es 
aproximadamente 1/240 para un amplio rango de aplicaciones en ingeniería. Este pequeño 
desplazamiento con respecto al tramo 𝐿 de la barra significa que la pendiente de la curva 
de deflexión es también pequeña. 
 
En ocasiones las deflexiones se calculan con el fin de verificar que estén dentro de los 
límites tolerables y así evitar dificultades en el servicio, como en el caso de máquinas y sus 
componentes, las especificaciones pueden limitar las deflexiones a fin de evitar vibraciones 
indeseables, desajustes o interferencias de partes móviles. 
 
En un sistema coordenado 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 , el desplazamiento o deflexión de una barra ubicada 
en el plano 𝑥 − 𝑦, con sección transversal ubicada en un plano normal (𝑦 − 𝑧) es 𝑣(𝑥), la 
forma flexionada describe como el eje neutro se deflexiona con respecto a 𝑥. La función 
𝑣(𝑥) es también conocida como la curva elástica; es la deflexión elástica de la barra (la 
cedencia no ocurre). 
 
De la geometría analítica, la expresión para el radio de curvatura 𝑅 que varía con respecto 
a la deflexión 𝑣(𝑥) se tiene la siguiente expresión: 
 
𝜅 =
1
𝑅(𝑥)
= [
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
] [1 + (
𝑑𝑣
𝑑𝑥
)
2
]
−
3
2
 (2.41) 
 
 
33 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
En problemas prácticos, la pendiente 𝑑𝑣/𝑑𝑥 es mucho más pequeño que la unidad (el 
desplazamiento permisible es típicamente menor que el tramo 𝐿 dividida por 240). Por lo 
que el segundo corchete de la ecuación se reduce a 1, por lo que: 
 
𝜅 =
1
𝑅(𝑥)
=
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
 (2.42) 
 
Esta ecuación es válida para una barra de cualquier material, y si es linealmente elástico, 
sigue la ley de Hooke por lo que queda: 
 
𝜅 =
1
𝑅(𝑥)
=
𝑀
𝐸𝐼
 (2.43) 
 
Al combinar las ecuaciones (2.42) y (2.43) se obtiene la ecuación diferencial básica de 
la curva de deflexión de una barra [2.5]: 
 
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
=
𝑀
𝐸𝐼
 (2.44) 
 
Esta ecuación se puede integrar en cada caso particular (condiciones de frontera 
geométricos de la barra o viga) para encontrar la deflexión, siempre que se conozcan el 
momento flexionante 𝑀 y la rigidez a la flexión 𝐸𝐼 como funciones de 𝑥. 
 
A partir de las relaciones entre el momento flexionante 𝑀, la fuerza cortante 𝑉 y la 
intensidad 𝑞 de la carga distribuida, se pueden obtener ecuaciones adicionales para vigas 
prismáticas. 
 
𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
= 𝑀; 𝐸𝐼
𝑑3𝑣
𝑑𝑥3
= 𝑉; 𝐸𝐼
𝑑4𝑣
𝑑𝑥4
= −𝑞 (2.45) 
 
 
 
 
34 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
2.5. Pandeo. 
 
Cuando una estructura esbelta es cargada en compresión, para pequeñas cargas se deforma 
sin casi ningún cambio notable en la geometría y en su capacidad de carga. Conforme la 
carga va en aumento se alcanza una condición de equilibrio neutro, en la que la estructura 
puede tener una forma flexionada, a este valor de carga se le conoce como carga crítica 𝑃𝑐𝑟, 
cuando este valor es superado, la estructura experimenta una gran deformación súbita 
(flexión lateral) y por lo cual puede perder la capacidad de soportar la carga. A esta punto, 
la estructura se considera que se ha pandeo. 
 
El pandeo, también conocido como inestabilidad estructural se define como la pérdida de 
estabilidad de una configuración de equilibrio, sin fractura o separación de material o al 
menos antes de que ocurra. 
 
2.5.1. Importancia de la carga de pandeo. 
 
El diseño de estructuras con frecuencia es basado en consideraciones de resistencia y 
rigidez. La resistencia es definida como la habilidad de la estructura de soportar la carga, 
mientras que la rigidez es la resistencia a la deformación (es decir, la estructura es lo 
suficientemente rígida como para no deformarse más allá de los límites permisibles). Sin 
embargo, una estructura puede volverse inestable mucho antes de que los criterios de 
resistencia y rigidez sean violados. 
 
Por lo tanto, la carga de pandeo gobierna el diseño antes de que el criterio por resistencia. 
Por lo que el pandeo es una consideración importante en el diseño de una flecha, 
especialmente cuando esta es delgada y ligera. 
 
Para el pandeo de una columna ideal articulada con carga a compresión, la ecuación 
diferencial de la curva de deflexión se obtiene a partir de la ecuación del momento 
flexionante, por lo que se tiene [2.6]: 
 
 
 
35 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
+ 𝑃𝑣 = 0 (2.46) 
 
Con la resolución de la ecuación diferencial (de segundo orden, homogénea, lineal y con 
coeficientes constantes) podemos determinar el valor de la carga critica 𝑃𝑐𝑟 y la forma 
flexionada de la columna en condición de pandeo. 
 
El árbol de transmisión es considerado como una viga simplemente apoyada en sus 
extremos para la mayoría de los casos de análisis, esto es debido a que en sus extremos se 
le ensamblan horquillas (uniones cardán) que le permite tener cierto grado de libertad. 
 
La carga crítica menor para una columna con los extremos articulados es: 
 
𝑃𝑐𝑟 =
𝜋2𝐸𝐼
𝐿2
 (2.47) 
 
y la forma pandeada correspondiente: 
 
𝑣 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛 (
𝜋𝑥
𝐿
) (2.48) 
 
La constante 𝐶1 representa la deflexión en el punto medio de la columna. 
 
El esfuerzo crítico puede ser calculado al dividirla carga entre el área A de la sección 
transversal: 
𝜎𝑐𝑟 =
𝑃𝑐𝑟
𝐴
=
𝜋2𝐸𝐼
𝐴𝐿2
 (2.49) 
 
2.5.2. Pandeo de una flecha sometido a torsión. 
 
En el caso de pandeo de una flecha cilíndrica de pared delgada bajo la acción de pares de 
torsión T aplicada en los extremos, el esfuerzo cortante 𝜏 toma una gran importancia. 
 
 
36 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
Para poder definir si la flecha es considerada larga, aplicamos la siguiente fórmula para el 
caso de apoyos simpes en los extremos. En caso contrario, la flecha se considera de tamaño 
corto o mediano [2.7]: 
 
1
√1 − 𝜈2
𝐿2𝑡
(2 ∙ 𝑟𝑝𝑟𝑜𝑚)
3 > 5.5 (2.50) 
 
Para flechas largas, el torque de pandeo o torque crítico se calcula con la expresión: 
 
𝑇𝑐𝑟 =
𝜋 ∙ √2 ∙ 𝐸
3(1 − 𝜈2)3/4
√𝑟𝑝𝑟𝑜𝑚 ∙ 𝑡5 (2.51) 
 
donde 𝑟𝑝𝑟𝑜𝑚 es el radio promedio, t el espesor, L la longitud del árbol, E el módulo de 
Young y 𝜈 la relación de Poisson. 
 
Y para el cálculo del esfuerzo cortante crítico 𝜏𝑐𝑟 que se tiene durante el torque de pandeo 
𝑇𝑐𝑟, de una flecha larga tenemos: 
 
𝜏𝑐𝑟 =
𝑇𝑐𝑟
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟𝑝𝑟𝑜𝑚2 ∙ 𝑡
=
𝐸
3 ∙ √2 ∙ (1 − 𝜈2)3/4
∙ (
𝑡
𝑟𝑝𝑟𝑜𝑚
)
3/2
 (2.52) 
 
En flechas consideradas de tamaño corto o mediano el esfuerzo cortante crítico es: 
 
𝜏𝑐𝑟 = 4.39
𝐸
1 − 𝜈2
𝑡2
𝐿2
√1 + 0.0257(1 − 𝜈2)3/4 (
𝐿
√𝑟𝑝𝑟𝑜𝑚 ∙ 𝑡
)
3
 (2.53) 
 
La relación entre el torque crítico de pandeo y el esfuerzo cortante crítico resulta en: 
 
𝑇𝑐𝑟 = 𝜏𝑐𝑟 ∙ 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟𝑝𝑟𝑜𝑚
2 (2.54) 
 
 
 
37 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
2.6. Referencias. 
 
 
[2.1] Hearn E. Mechanics of Materials 1, Third Edition, Butterworth-Heinemann 2000. 
[2.2] Hartsuijker C, Welleman J. Engineering Mechanics Volume 2: Stresses, Strains, 
Displacements, Springer 2007. 
[2.3] Gere J, Goodno B, Mecánica de materiales, Séptima Edición, Cengage Learning 
Editores 2009. 
[2.4] Leckie F, J. D, Bello D. Strength and Stiffness of Engineering Systems, Springer 2009. 
[2.5] Gross D, Hauger W, Schroder J, Wall W, Bonet J. Engineering Mechanics 2, Springer 
2011. 
[2.6] Shanley F. Mecánica de Materiales, McGraw-Hill 1971. 
[2.7] Timoshenko S, Gere J. Theory of Elastic Stability, Second Edition, International 
Student Edition, McGraw Hill 1963. 
[2.8] 5 Cool Ways Ford Stripped Weight Out of the 2015 F-150’s Chassis [en línea]. 
Michigan, USA [fecha de consulta: 1 de Junio 2015]. Disponible en 
http://blog.caranddriver.com/5-cool-ways-ford-stripped-weight-out-of-the-2015-f-
150s-chassis/. Car and Driver Hearst Communications, Inc. 
http://www.caranddriver.com. 
 
 
 
http://blog.caranddriver.com/5-cool-ways-ford-stripped-weight-out-of-the-2015-f-150s-chassis/
http://blog.caranddriver.com/5-cool-ways-ford-stripped-weight-out-of-the-2015-f-150s-chassis/
http://www.caranddriver.com/
 
 
38 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
Capítulo III. Vibraciones en el árbol de transmisión. 
 
 
3.1. Problemas de vibración en el tren de transmisión. 
 
La vibración es un fenómeno inevitable en la dinámica del automóvil. Al viajar, todos los 
vehículos están sujetos a varias excitaciones dinámicas, estas vibraciones inducidas tienen 
un número de efectos en el vehículo y sus ocupantes, que van desde la integridad de la 
estructura a la percepción de comodidad así como en el rendimiento de la conducción. 
Probablemente uno haya experimentado algún tipo de efecto de la vibración conforme un 
auto incrementa su velocidad desde una posición en reposo hasta una velocidad crucero. 
Conforme uno empieza con la aceleración se puede notar una ligera sacudida en los 
asientos, quizá se note en el espejo retrovisor o en el volante. Conforme la velocidad va en 
aumento la vibración o se detiene o disminuye progresivamente. 
 
La vibración ha sido reconocida como el mayor problema en el tren de transmisión por lo 
que ha sido por muchos años el tema de muchos análisis teóricos y experimentales con el 
fin de poder controlarla y reducirla. Los problemas de vibración en automóviles, SUVs, 
vans y camionetas ligeras no son fallas tan catastróficas como lo es en los camiones, sino 
más bien tiene que ver con el peso, ruido e incomodidad de los pasajeros. La falla de los 
componentes del tren de trasmisión aún puede ser un problema a altas velocidades, dado 
que se alcanzan las frecuencias naturales del árbol de transmisión. GKN declara que, el 
Mark VIII tiene una velocidad limitada a 128 mph debido a su largo árbol de transmisión, 
sobrepasando este valor la flecha comienza a flexionarse y vibrar hasta destrozarse. Para 
eliminar este problema, los automóviles europeos que alcanzan mayor velocidad 
usualmente recurren al uso de un árbol de dos piezas conectados a un balero central. 
 
Las principales fuentes de excitación provenientes del tren motriz y sus causas son [3.1]: 
 
 Motor: Ignición, ignición irregular, cambios de torque. 
 Embrague: Trepidación. 
 
 
39 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
 Amortiguador torsional: Cambios periódicos en los valores de amortiguamiento. 
 Caja de velocidades: Imprecisión en el paso de los engranes, cambio de engranaje. 
 Cigüeñal: Ángulo de flexión. 
 Neumáticos: Condiciones de superficie de contacto, alineación y balanceo. 
 
Las vibraciones que se presentan en el árbol de transmisión son del tipo transversal y 
torsional. 
 
Vibración Transversal o Lateral. Es el resultado de una condición de desbalanceo actuando 
en el árbol. Esta condición se da usualmente porque es imposible manufacturar un flecha 
de sección circular con un valor de excentricidad 0, hacer coincidir el centro de masa con 
el eje de rotación debido a la falta de homogeneidad en el material, suciedad o por 
materiales ajenos sobre la flecha. 
 
Vibración Torsional. Es la rápida fluctuación de la velocidad angular de la flecha respecto 
a su eje de rotación. Como una máquina cambia de velocidades, el torque es aplicado al 
árbol en una dirección u otra. Con frecuencia una máquina incrementa o reduce su 
velocidad durante un periodo de tiempo. Debido a que este tipo de vibración implica 
movimiento angular, el desplazamiento del cuerpo se mide en función de una coordenada 
angular. 
 
 
3.2. Vibración. 
 
Los sistemas de ingeniería que poseen masa y elasticidad están capacitados para tener 
movimiento relativo. Si el movimiento de estos sistemas se repite después de un 
determinado intervalo de tiempo, el movimiento se conoce como vibración. 
 
Por lo común un sistema vibratorio incluye un medio para almacenar energía potencial 
(resorte o elasticidad), un medio para conservar energía cinética (masa o inercia) y un 
medio por el cual la energía se pierde gradualmente (amortiguador). La vibración de un 
 
 
40 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
sistema implica la transformación de su energía potencial en energía cinética y de ésta en 
energía potencial, de manera alterna [3.2]. 
 
3.2.1. Sistemas discretos y continuos. 
 
Los sistemas con una cantidad finita de grados de libertad se conocen como sistemas 
discretos o de parámetro concentrado, y los que cuentan con una infinitud de grados de 
libertad se conocen como sistemas continuos o distribuidos. 
 
La mayor parte del tiempo, los sistemas continuos se representan de forma aproximada 
como sistemas discretos y las soluciones se obtienen de una manera simple. Aun cuando 
el tratamiento de un sistema como continuo da resultados exactos, el método analítico 
disponible para ocuparse de los sistemas continuos se limita a una escasa selección de 
problemas como vigas uniformes, variables esbeltas y placas delgadas. De ahí que la 
mayoría de los sistemas prácticos se estudian tratándolos como masas concentradas finitas, 
resortes y amortiguadores. Por lo común se obtienen resultados más precisos aumentando 
la cantidad de masas, resortes yamortiguadores, es decir, aumentando la cantidad de grados 
de libertad. 
 
3.2.2. Tipos de vibración. 
 
Las vibraciones mecánicas pueden clasificarse en las siguientes categorías [3.3]: 
 
Vibración libre. Se encuentra cuando un cuerpo es perturbado de su posición de equilibrio, 
y se produce una vibración correspondiente. Sin embargo, no hay una fuerza externa de 
larga duración que actúe en el sistema después de la perturbación inicial. La vibración libre 
se observa como un decaimiento exponencial de la respuesta periódica a las condiciones 
iniciales como se muestra en la figura 3.1. Este movimiento periódico ocurre a la frecuencia 
natural del sistema (amortiguado). 
 
 
 
41 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
 
Figura 3.1. Vibración libre [3.3]. La magnitud del movimiento oscilatorio decae con el 
tiempo y la vibración periódica ocurre a la frecuencia natural. 
 
Vibración forzada. En este caso, una excitación periódica continua se aplica al sistema. 
Después de algunos transitorios iniciales el sistema alcanza el comportamiento en estado 
estable. En estado estacionario, la respuesta del sistema asemeja a la función de la fuerza 
y la frecuencia de vibración coincide con la frecuencia de la fuerza. 
 
A diferencia de la vibración libre, donde la respuesta del sistema a las condiciones iniciales 
es típicamente graficada como una función del tiempo, la vibración forzada a menudo es 
descrita como una función de la frecuencia de la fuerza. 
 
Figura 3.2. Vibración Forzada [3.3]. La resonancia es identificada donde la frecuencia de 
la fuerza es igual a la frecuencia natural. 
 
 
42 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
Vibración no amortiguada y amortiguada. Si no se pierde o disipa energía por fricción u 
otra resistencia durante la oscilación, la vibración se conoce como vibración no 
amortiguada. Sin embargo, si se pierde energía se llama vibración amortiguada. En muchos 
sistemas físicos, la cantidad de amortiguamiento es tan pequeña que puede ser ignorada en 
la mayoría de las aplicaciones de ingeniería. Sin embargo, la consideración del 
amortiguamiento se vuelve extremadamente importante al analizar sistemas vibratorios 
próximos a la resonancia. 
 
3.2.3. Resonancia. 
 
Una situación especial surge cuando la frecuencia de la fuerza de excitación es igual a la 
frecuencia natural del sistema, cuando esto ocurre la amplitud de la vibración aumentará 
indefinidamente y estará gobernada únicamente por la cantidad de amortiguamiento 
presente en el sistema y se conoce como resonancia. Por lo tanto, la frecuencia natural del 
sistema debe conocerse y escogerse con cuidado, con el fin de evitar los efectos desastrosos 
producidos por una amplitud muy grande de vibración en resonancia. 
 
3.2.4. Frecuencia y Periodo. 
 
El periodo es el tiempo necesario para que un movimiento periódico se repita; la frecuencia 
es el número de ciclos por unidad de tiempo. 
 
Frecuencia natural es la frecuencia de un sistema que tiene vibración libre sin fricción, 
mientras que frecuencia natural amortiguada es la frecuencia de un sistema que tiene 
vibración libre con fricción. 
 
3.2.5. Ecuación de movimiento. 
 
Para eliminar los efectos perjudiciales de la mayor parte de las vibraciones, uno de los 
medios consiste en hacer un completo estudio de la ecuación de movimiento del sistema 
en cuestión. En primer lugar el sistema es idealizado en términos de masa, resorte 
 
 
43 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
(elasticidad) y amortiguador (fricción). Entonces, la ecuación de movimiento expresa el 
desplazamiento como una función del tiempo o también, la distancia entre cualquier 
posición instantánea de la masa durante su movimiento y la posición de equilibrio. La 
propiedad más importante de un sistema vibrante es la frecuencia natural, y es obtenida 
con la ecuación de movimiento [3.4]. 
 
3.2.6. Vibración libre de un sistema traslacional no amortiguado. 
 
Utilizando la segunda ley de movimiento de Newton se derivará la ecuación de movimiento 
La velocidad de cambio de la cantidad de movimiento (momento) de una masa es igual a 
la fuerza que actúa en ella. 
 
Si una masa 𝑚 se desplaza una distancia 𝑥(𝑡) cuando una fuerza resultante 𝐹(𝑡) actúa en 
ella en la misma dirección, la segunda ley del movimiento da 
 
𝐹(𝑡) =
𝑑
𝑑𝑡
(𝑚
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
) (3.1) 
si la masa 𝑚 es constante 
𝐹(𝑡) = 𝑚
𝑑2𝑥(𝑡)
𝑑𝑡2
= 𝑚�̈� (3.2) 
donde 
�̈� =
𝑑2𝑥(𝑡)
𝑑𝑡2
 (3.3) 
es la aceleración de la masa. 
 
Para un cuerpo rígido sometido a movimiento de rotación, la ley de Newton da 
 
𝑀(𝑡) = 𝐼𝑚�̈� (3.4) 
 
𝑀 es el momento que actúa en el cuerpo, 𝜃 y �̈� = 𝑑2𝜃(𝑡)/𝑑𝑡2 son el desplazamiento 
angular y aceleración angular resultantes, 𝐼𝑚 es el momento de inercia de masa. 
 
 
44 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
 
Figura 3.3. Sistema masa resorte posición horizontal, un solo grado de libertad [3.2]. 
 
La ecuación de movimiento de un sistema traslacional de un solo grado de libertad y no 
amortiguado en donde k es la constante del resorte resulta: 
𝐹(𝑡) = −𝑘𝑥 = 𝑚�̈�; 𝑜 𝑚�̈� + 𝑘𝑥 = 0; 𝑜 �̈� + (
𝑘
𝑚
)𝑥 = 0 (3.5) 
Esta debe ser reconocida como la ecuación del movimiento armónico simple, cuya solución 
es 
𝑥 = 𝐴 cos𝜔𝑡 + 𝐵 sin𝜔𝑡 (3.6) 
 
A y B son constantes que pueden ser encontradas considerando las condiciones iniciales, 
𝜔 es la frecuencia circular del movimiento, t tiempo. Sustituyendo 3.6 en 3.5 obtenemos 
 
−𝜔2(𝐴 cos𝜔𝑡 + 𝐵 sin𝜔𝑡) + (
𝑘
𝑚
) (𝐴 cos𝜔𝑡 + 𝐵 sin𝜔𝑡) = 0 (3.7) 
Tomando en cuenta que (𝐴 cos𝜔𝑡 + 𝐵 sin𝜔𝑡) ≠ 0 (de otra manera no habría movimiento) 
 
𝜔 = √
𝑘
𝑚
 
𝑟𝑎𝑑
𝑠
 (3.8) 
 
La masa del cuerpo es importante, su peso no, así que para un sistema dado, 𝜔 es 
independiente del campo gravitacional local. La frecuencia de vibración 𝑓, es 
 
𝑓 =
1
2𝜋
√
𝑘
𝑚
 𝐻𝑧 (3.9) 
 
 
 
45 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
3.2.7. Vibración libre de un sistema torsional no amortiguado. 
 
La ecuación de movimiento angular es idéntica a la ecuación de movimiento traslacional 
3.5, por lo que aplicando la segunda ley de movimiento de Newton queda: 
 
𝐼𝑚�̈� + 𝑘𝑇𝜃 = 0 (3.10) 
 
Figura 3.4. Modelo de un solo grado de libertad, vibración torsional. 
 
Si el momento de inercia de masa 𝐼𝑚, el desplazamiento angular 𝜃 y la constante del resorte 
torsional 𝑘𝑇, se reemplazan con la masa 𝑚, el desplazamiento 𝑥 y la constante de resorte 
lineal 𝑘 respectivamente, la frecuencia circular natural del sistema torsional es 
 
𝜔 = √
𝑘𝑇
𝐼𝑚
 (3.11) 
 
La frecuencia torsional está directamente relacionado a la rigidez torsional de la flecha 
(𝑇/𝜙), por lo que puede ser presentado como [3.5] [3.6]: 
 
𝑓𝑡 =
1
2𝜋
√
𝐾
𝐼𝑚
 𝐻𝑧 (3.12) 
 
 
 
46 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
Donde 𝐾 es el índice de rigidez torsional, y es igual a la rigidez torsional 𝑘𝑇, 𝐼𝑚 el momento 
de inercia de masa de la flecha. 
 
𝐾 =
𝑇
𝜙
=
𝐺𝐼𝑝
𝐿
= 𝑘𝑇 (3.13) 
 
 
3.3. Vibración lateral en vigas. 
 
De la figura 3.5, 𝑀(𝑥, 𝑡) es el momento de flexión, 𝑉(𝑥, 𝑡) es la fuerza cortante, y 𝑓(𝑥, 𝑡) 
es la fuerza externa por unidad de longitud de la viga. Como la fuerza de inercia que actúa 
en el elemento de la viga es [3.2] 
 
𝜌𝐴(𝑥)𝑑𝑥
𝜕2𝑤
𝜕𝑡2
(𝑥, 𝑡) (3.14) 
 
Figura 3.5. Viga sometida a flexión. 
 
la ecuación de movimiento producido por la fuerza en la dirección z da 
 
−(𝑉 + 𝑑𝑉) + 𝑓(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 + 𝑉 = 𝜌𝐴(𝑥)𝑑𝑥
𝜕2𝑤
𝜕𝑡2
(𝑥, 𝑡) (3.15) 
 
𝜌 es la densidad de masa y 𝐴(𝑥) es el área de la sección transversal. La ecuación de 
movimiento producido por el momento con respecto al eje y resulta 
 
 
47 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica 
(𝑀 + 𝑑𝑀) −