AnAãÆAílisis-de-la-estabilidad-rotodinAãÆAímica-y-diseAãÆAo-para-el-control-de-vibraciones-en-una-chumacera--1-

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
 
 
 
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN 
UNIDAD PROFESIONAL ADOLFO LÓPEZ MATEOS 
 
 
 
 
 
AANNÁÁLLIISSIISS DDEE LLAA EESSTTAABBIILLIIDDAADD 
RROOTTOODDIINNÁÁMMIICCAA YY DDIISSEEÑÑOO PPAARRAA EELL 
CCOONNTTRROOLL DDEE VVIIBBRRAACCIIOONNEESS EENN UUNNAA 
CCHHUUMMAACCEERRAA HHÍÍBBRRIIDDAA 
 
 
 
 
T E S I S 
Q U E P A R A O B T E N E R E L G R A D O D E 
M A E S T R O E N C I E N C I A S 
CON ESPECIALIDAD INGENIERÍA MECÁNICA 
P R E S E N T A 
I N G . R O B E R T O C A R L O S S A N T A N A M O R A 
 
 
DIRECTOR: DR. JULIO CÉSAR GÓMEZ MANCILLA 
 CO-DIRECTOR: DR. GERARDO SILVA NAVARRO 
 
 
MÉXICO, D.F. 2005
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
D oy infinitas gracias a papá Dios quien me dio la fortaleza y el vigor para salir adelante, pero sobre todo por la hermosa familia que tengo. Mil gracias por su 
apoyo porque siempre han estado conmigo cuando más los he necesitado 
 
 
 
 
Agradezco al Instituto Politécnico Nacional por haberme brindado la oportunidad de 
superarme en mi vida profesional, así como a todos mis amigoss. A toda la comisión 
revisora por el énfasis que manifestaron en el progreso de esta investigación, y muy en 
especial agradezco a los doctores Gómez, Silva y Nosov quienes compartieron 
conmigo algo más que sus conocimientos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se agradece enteramente al Instituto Politécnico Nacional por otorgar la beca dentro del Programa 
Institucional de Fomento a la Investigación (PIFI), y al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología 
(CONACYT) por la beca por proyecto Ref.38711-U en el periodo Enero 2003-Abril 2004. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CCoonntteenniiddoo 
 
 
Resumen ........................................................................................................................... i 
Abstract ........................................................................................................................... ii 
Objetivo .......................................................................................................................... iii 
Justificación.....................................................................................................................iv 
Descripción de la tesis .....................................................................................................v 
Nomenclatura..................................................................................................................vi 
 
Capítulo 1. Marco contextual ........................................................................................ 2 
1.1 Las chumaceras en el control de las vibraciones.................................................. 4 
1.2 Antecedentes de la investigación.......................................................................... 8 
 
Capítulo 2. Descripción matemática de un sistema rotodinámico ampliado .......... 12 
2.1 Análisis de fuerzas............................................................................................. 13 
2.1.1 Disco y eje .............................................................................................. 15 
2.1.2 Muñones ................................................................................................. 16 
2.1.3 Soportes .................................................................................................. 17 
2.2 Coeficientes rotodinámicos ................................................................................ 18 
2.2.1 Lugar geométrico de equilibrio estático ................................................. 23 
2.3 Ecuaciones de movimiento................................................................................. 24 
2.3.1 Adimensionalización .............................................................................. 25 
2.4 Conclusiones....................................................................................................... 28 
 
Capítulo 3. Estudio de la función característica del sistema .................................... 30 
3.1 Frecuencias naturales y velocidades críticas ...................................................... 30 
3.1.1 Solución al problema de valores propios del sistema rotatorio .............. 32 
3.1.2 Representaciones gráficas de los Valores Propios ................................. 33 
3.2 Formas modales.................................................................................................. 35 
3.2.1 Interpretación de vectores propios complejos ........................................ 35 
3.2.2 Normalización ........................................................................................ 36 
3.2.3 Análisis modal rotodinámico.................................................................. 36 
3.3 Respuesta transitoria.......................................................................................... 38 
3.3.1 Representaciones gráficas....................................................................... 38 
3.4 Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz........................................................... 39 
3.5 Programa computacional para el análisis rotodinámico ..................................... 40 
 
Capítulo 4. Estabilidad, frecuencias críticas y análisis modal del sistema.............. 46 
4.1 Plataforma experimental..................................................................................... 46 
4.2 Simulación numérica .......................................................................................... 49 
4.3 Velocidades críticas y estabilidad....................................................................... 50 
4.3.1 Diagrama de Campbell ........................................................................... 53 
4.3.2 Valores propios del sistema.................................................................... 56 
4.4 Estimación de los modos de vibración del sistema ........................................... 57 
4.5 Resultados experimentales ................................................................................ 60 
4.6 Robustez del sistema rotodinámico .................................................................... 64 
4.6.1 Efecto característico del eje.................................................................... 64 
4.6.2 Asimetría en Chumaceras....................................................................... 67 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida 
 
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
 
 
 
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN 
UNIDAD PROFESIONAL ADOLFO LÓPEZ MATEOS 
 
 
 
 
 
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RROOTTOODDIINNÁÁMMIICCAA YY DDIISSEEÑÑOO PPAARRAA EELL 
CCOONNTTRROOLL DDEE VVIIBBRRAACCIIOONNEESS EENN UUNNAA 
CCHHUUMMAACCEERRAA HHÍÍBBRRIIDDAA 
 
 
 
 
T E S I S 
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M A E S T R O E N C I E N C I A S 
CON ESPECIALIDAD INGENIERÍA MECÁNICA 
P R E S E N T A 
I N G . R O B E R T O C A R L O S S A N T A N A M O R A 
 
 
DIRECTOR: DR. JULIO CÉSAR GÓMEZ MANCILLA 
 CO-DIRECTOR: DR. GERARDO SILVA NAVARRO 
 
 
MÉXICO, D.F. 2005
 
 
4.7 Flexibilidad en la cimentación............................................................................ 70 
4.8 Resultados y conclusiones.................................................................................. 73 
 
Capítulo 5. Controlabilidad del sistema con soportes flexibles ................................ 76 
5.1 Introducción........................................................................................................76 
5.2 Control de sistemas rotatorios con la chumacera híbrida ................................... 77 
5.3 Modelación matemática...................................................................................... 78 
5.3.1 Aproximación lineal ............................................................................... 79 
5.3.2 Puntos de operación................................................................................ 81 
5.4 Análisis de la estabilidad en lazo abierto ........................................................... 82 
5.5 Controlabilidad del sistema ................................................................................ 86 
5.6 Descripción general del sistema de control activo del desbalance..................... 89 
5.7 Plataforma experimental..................................................................................... 91 
5.8 Control activo del desbalance............................................................................. 93 
5.9 Comentarios........................................................................................................ 97 
 
Capítulo 6. Conclusiones generales............................................................................. 99 
6.1 Principales aportaciones ................................................................................... 102 
6.2 Trabajos futuros................................................................................................ 102 
 
Referencias bibliográficas .......................................................................................... 104 
Apéndice A. ................................................................................................................. 106 
Apéndice B. ................................................................................................................. 109 
Apéndice C. ................................................................................................................. 130 
Apéndice D. ................................................................................................................. 137 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida 
Resumen 
RReessuummeenn 
 
 
En la maquinaria rotatoria existen una gama de fenómenos ampliamente conocidos y 
discutidos en la literatura internacional que producen inestabilidad. En tales casos pueden ocurrir 
vibraciones violentas o de amplitudes elevadas y perjudiciales que ocasionarían la operación 
inadecuada de la maquinaria. Para estabilizar y atenuar la respuesta vibratoria se utilizan diferentes 
alternativas para control activo o semi-activo, como son los actuadores electroreológicos y 
magnetoreológicos, chumaceras magnéticas y, más recientemente, la chumacera híbrida (lubricada 
y controlable) que resulta una solución idónea, sobre todo por su bajo costo y potencial para 
resolver distintos problemas. 
 
Existe una serie de resultados importantes sobre la modelación, análisis y aplicabilidad de la 
chumacera híbrida y controlable en sistemas rotor-chumacera. Son de particular interés los 
resultados reportados por Gómez-Mancilla et al. (2002, 2003, 2005), Blanco-Ortega y Silva-
Navarro et al. (2003, 2005) y Ordóñez-Pantoja (2003), sobre el modelado, caracterización de los 
coeficientes rotodinámicos y análisis de la estabilidad umbral en el sistema rotor con chumacera 
híbrida, donde se analizan los problemas de estabilidad y el potencial de la chumacera híbrida en 
sistemas rotor-chumacera con eje rígido (dos grados de libertad) y eje flexible (tres grados de 
libertad con movimiento en las chumaceras). 
 
En este trabajo de tesis se desarrollan y analizan modelos más generales para sistemas rotor 
con chumaceras híbridas montadas a su vez sobre soportes flexibles, de hasta 10 grados de libertad. 
Se consideran diferentes configuraciones rotor-chumacera, realizando el análisis modal del sistema 
con los comportamientos y formas de vibración, los umbrales de estabilidad, un estudio de las 
propiedades de controlabilidad de sistemas con chumaceras híbridas y el esquema de control activo 
propuesto. Adicionalmente se validan las predicciones teóricas de esta tesis para posponer el umbral 
de estabilidad. El análisis dinámico se realiza utilizando los métodos de análisis modal para 
maquinaria rotatoria. Los sistemas tipo rotor-chumacera utilizan pocos grados de libertad, pero 
logrando modelar eficientemente los modos vibratorios con frecuencias naturales más bajas, de tal 
manera que se consideren las formas modales más probables; esto es, las más potencialmente 
inestables y/o dañinas. 
 
Los modelos matemáticos van gradualmente incluyendo más grados de libertad para 
simular situaciones cercanas a la realidad y que afectan la estabilidad de la maquinaria, tales como 
claros radiales, masas y/o con viscosidades diferentes en cada chumacera del rotor. También se 
analizan los efectos de cimentación flexible y relativamente ligera, acorde con la maquinaria 
moderna. Algunas conclusiones de este análisis conciernen a los efectos resultantes y la robustez 
ante cambios en los parámetros de las chumaceras y/o en los cimientos. 
 
Resta por realizar trabajo sobre la integración de componentes electrónicos, validación de 
modelos, algoritmos de control a través de un sistema de control digital y comparación 
experimental. Sin embargo, se ha propuesto un esquema preliminar de control activo de la respuesta 
vibratoria en sistemas rotor con chumaceras híbridas. Se considera que los resultados del presente 
trabajo servirán para estudiar modificaciones y/o reconfiguraciones de algunas máquinas rotatorias 
que actualmente operan en la CFE y PEMEX, de manera que se verifique con mayor facilidad la 
normatividad internacional API o ISO. 
 
 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida i 
Abstract 
AAbbssttrraacctt 
 
 
A great amount of widely-known turbomachinery instability problems, where 
outrage vibration levels can occur, are discussed in the international literature. In such cases 
sudden vibrations or high amplitude levels can occur, resulting in damage or bad operation 
of the rotating machinery. To stabilize and attenuate the vibratory response are used 
different active vibration control actuators as electroreological and magnetoreological 
squeeze-film dampers, magnetic bearings and, more recently, the hybrid (pressurized and 
controllable) journal bearing, mainly because of his low cost and potential to solve different 
problems. 
Some important results on the modeling, characterization of the rotordynamic 
coefficients, analysis and applicability of the pressurized hybrid and controllable journal 
bearings on rotor-bearing systems have been obtained and proposed by Gómez-Mancilla et 
al. (2002, 2003, 2005), Blanco-Ortega and Silva-Navarro et al. (2003, 2005) y Ordóñez-
Pantoja (2003). In particular, these results rely on rotor-bearing systems with rigid (2 
degree-of-freedom systems) and flexible shafts (3 degree-of-freedom systems with 
movement on the bearings). 
 
In this work a more general model for rotor-bearing systems with pressurized hybrid 
journal bearings supported as well on flexible foundations (up to 10 degrees-of-freedom) is 
developed and analyzed. Several rotor-bearing configurations are considered to perform 
their modal analysis, thus obtaining the dynamic behavior and modal shapes, threshold 
stability and structural properties on the proposed control system as the controllability as 
well as the active control scheme. In addition, theoretical predictions to postpone the 
stability threshold are validated. Modal analysis methods for rotating machinery are used to 
perform the corresponding dynamic analysis. The rotor-bearing systems are modeled using 
few degrees-of-freedom, although these are sufficient to analyze efficiently theirmodal 
shapes with lower natural frequencies, which are the most potentially unstable and/or 
harmful modal shapes. 
 
The mathematical models gradually increase the number of degrees-of-freedom in 
order to simulate real-life cases and predict alterations for the rotating machinery stability, 
such as radial clearance, masses and/or with different viscosities at each journal bearing. 
Flexible and relatively light foundations, according with modern machinery, are also 
analyzed. In addition, a robust analysis against changes in the journal bearing and/or 
foundations parameters is realized. 
 
It remains the physical integration of mechanical, electric and electronic 
components in the experimental platform, model validation, application of real-time control 
algorithms through a digital control system and experimental evaluation. However, in the 
present work is proposed a preliminary active vibration control scheme for the vibratory 
response in rotor-hybrid bearing systems. These results will be useful to study rotating 
machines, with modifications and/or reconfigurations, which currently operate on CFE or 
PEMEX, in order to verify well-known API or ISO international norms. 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida ii 
Objetivo 
 
 
 
OObbjjeettiivvoo 
 
 
 
 
El objetivo general de la tesis es el modelado, análisis modal, umbral de estabilidad y la 
controlabilidad de sistemas rotor que utilizan chumaceras híbridas presurizadas. Se 
consideran diferentes configuraciones de sistemas tipo rotor-chumacera, algunas de las 
cuales generalizan a las empleadas en estudios previos y que se asemejan más a la 
maquinaria rotatoria real. 
 
Los objetivos específicos se dividen y enuncian en las siguientes cuatro partes: 
 
1. Caracterizar matemáticamente un sistema rotor-chumaceras-soportes, a fin de 
simular y analizar el impacto que las propiedades de flexibilidad, asimetría y 
anisotropía estructural, ejercen sobre su estabilidad, frecuencias naturales y 
críticas. 
 
2. Ilustrar el alcance que tiene la presurización externa en una chumacera híbrida. 
 
3. Modelar y analizar de manera preeliminar un sistema de control activo para una 
chumacera controlable por inyección de lubricante presurizado que permita 
atenuar las amplitudes de vibración. 
 
4. Validar resultados teórico-analíticos contra experimentos de laboratorio e 
integrar una plataforma de pruebas para la validación experimental de un 
esquema de control activo del desbalance. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida iii 
Justificación 
 
 
 
JJuussttiiffiiccaacciióónn 
 
 
 
 
En las últimas décadas las actuales chumaceras hidrodinámicas convencionales han 
sufrido algunas modificaciones en su diseño y manufactura. Lo anterior con el propósito de 
lograr que su comportamiento mecánico-dinámico mejore y permita satisfacer las 
exigencias de los tiempos modernos, en los cuales la maquinaria es mas compacta, trabajan 
a velocidades de operación cada vez mayores y/o se soportan sobre estructuras de 
cimentación flexible. 9 de cada 10 casos de problemas vibratorios serios en el campo se 
deben a desbalance de masa, desalineamiento radial, angular; el restante 10%, concierne a 
ciertas inestabilidades, como son oilwhirl, oilwhip, steamwhirl etc. 
 
Tales demandas para mejoras del comportamiento vibratorio por normas 
internacionales cada vez más estrictas incluyen, primordialmente, características de 
resistencia a las inestabilidades vibratorias autoinducidas; así como amplitud vibratoria y 
fuerzas transmitidas con niveles bajos. 
 
Bajo este contexto, es el sistema de chumacera híbrida lubricada controlable un 
recurso a considerar, sobre todo por su bajo costo en que resulta, puesto que no solo 
permite la atenuación de vibraciones, logrando así maquinas vibratoriamente estables ante 
diversos problemas, sino en la posibilidad de modificar equipo de maquinaria existente de 
forma relativamente simple y bajo costo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida iv 
Descripción de la Tesis 
DDeessccrriippcciióónn ddee llaa TTeessiiss 
 
 
Esta investigación comprende un amplio campo en las áreas de la ingeniería que 
tiene como objetivo efectuar una investigación aplicada, susceptible de comprobación y 
validación de resultados teóricos con pruebas experimentales de laboratorio. El presente 
trabajo se encuentra organizado en 6 capítulos y 4 apéndices. 
 
El Capítulo 1, otorga un enfoque general del estudio de la rotodinámica y el análisis 
de vibraciones. Realiza una breve retrospección al estado del arte en la investigación de una 
chumacera híbrida presurizada y controlable, y converge a los trabajos preeliminares. 
 
En el Capítulo 2 se desarrolla la modelación dinámica de un sistema rotor-
chumacera con 10 grados de libertad y se estudian las resultas de poseer chumaceras con 
distintas características en ambos extremos del rotor, adicionando además el efecto de 
flexibilidad en la cimentación. El Apéndice A proporciona una clasificación de los diversos 
sistemas de rotores señalados por la ISO, a manera ilustrativa del alcance de este modelo. 
 
La solución general del sistema rotodinámico considerando amortiguamiento no-
proporcional se analiza en el Capítulo 3. Su tratamiento resulta en un análisis complejo de 
valores propios y formas modales del sistema, por lo que se desarrolla un programa 
numérico-computacional basado en funciones diseñadas para el paquete MATLAB®. El 
Apéndice C muestra gran parte de las rutinas de programación de este programa. 
 
En el Capítulo 4 se hace la validación del modelo de 10gdl para dos distintas 
pruebas de laboratorio basadas en la predicción del umbral de estabilidad y frecuencias 
críticas del sistema, así como los modos de vibración a tres velocidades fijas. Paralelamente 
se analiza la variabilidad de la estabilidad y frecuencias críticas del modelo considerando 
soportes rígidos y soportes flexibles. 
 
El efecto estabilizador por la inyección del lubricante se verifica preliminarmente en 
el Capítulo 5, en donde se estudia la controlabilidad de un sistema rotor-chumacera híbrida 
con soportes flexibles y se propone un esquema general de control activo del desbalance 
para atenuar grandes amplitudes de vibración. 
 
Las conclusiones generales de la tesis son señaladas en el Capítulo 6, al igual que 
los trabajos futuros a realizar y las principales aportaciones hechas por está investigación. 
 
El Apéndice B muestra las gráficas de coeficientes rotodinámicos presurizados, 
respuestas en el tiempo y formas modales obtenidas en durante el desarrollo de este trabajo. 
También resume parte de la deducción de ecuaciones y aloja las comprobaciones 
experimentales de los modos de vibración a bajas revoluciones. 
 
Finalmente, el Apéndice D señala las publicaciones que resultan de la presente 
investigación.
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida v 
Nomenclatura 
NNoommeennccllaattuurraa 
 
Símbolo Característica 
 
A Matriz dinámica del sistema 
cA Matriz de estados en el sistema de control 
a Vector de desbalance 
B Matriz de entradas 
C Matriz de amortiguamiento del sistema dinámico Matriz de controlabilidad 
rC Claro radial de la chumacera 
, ij ijC C 
Coeficientes rotodinámicos de amortiguamiento, dimensional y adimensionales 
respectivamente 
dc Coeficiente de amortiguamiento externo en el disco, debido al fluido de trabajo 
crc Coeficiente de amortiguamiento crítico 
sc Coeficiente de amortiguamiento del soporte 
D Diámetro de la chumacera 
e Excentricidad del muñón en la chumacera 
PF Fuerza de presión vectorial 
,f fε β Componentes de carga radial y tangencial,respectivamente 
g Constante de la aceleración gravitacional 
,H h Holgura del muñón dentro de la chumacera 
,i, j k Vectores unitarios a lo largo de los ejes coordenados 
I Matriz identidad 
,I D Prefijos y/o subíndices. Indican lado derecho e izquierdo del modelo rotodinámico (chumacera, soporte, claro radial, etc.) 
K Matriz de rigidez del sistema dinámico Matriz de ganancias de retroalimentación óptima 
ctk Rigidez entre soportes (efecto de comunicación entre soportes) 
ek Rigidez del eje 
sk Rigidez del soporte 
, ij ijK K Coeficientes rotodinámicos de rigidez, dimensional y adimensionales respectivamente 
L Longitud de la chumacera 
eL Longitud del eje o rotor 
L
D Relación de esbeltez de la chumacera 
M Matriz inercial del sistema dinámico 
dm Concentración de masa en la posición del disco 
bm Concentración de masa en la posición del muñón 
sm Concentración de masa en la posición de la chumacera 
N Número de ciclos por Segundo 
O Origen, centro 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida vi 
Nomenclatura 
P Carga unitaria sobre la chumacera 
sP Presión de suministro de lubricante 
p Vector de coordenadas principales del sistema dinámico transformado 
p Parámetro de velocidad de operación 
R Radio de la chumacera 
rpm Revoluciones por minuto 
S Número de chumacera o de Sommerfeld 
t Tiempo 
u Matriz de señales de control 
W Carga estática sobre la chumacera 
, ,x y z Desplazamiento vertical, horizontal y axial, respectivamente 
,X Y Desplazamientos cartesianos adimensionales 
 
Símbolo Característica 
 
,b sα α Relación de masa muñón-disco y soporte-disco, respectivamente 
Mb, Ms Relación de masas entre muñones y soportes, respectivamente 
Cs, Ks Relación de amortiguamientos y rigideces entre soportes 
CR Relación de claros radiales entre chumaceras 
,ij ij∆ ∆K C Coeficientes rotodinámicos con incremento en la presurización 
δ Deflexión estática del eje 
ε Índice de excentricidad del muñón en la chumacera 
ˆˆ,βε Desplazamiento radial y tangencial, respectivamente, del eje de coordenadas en rotación 
Φ Matriz modal del sistema (matriz de valores propios) 
φ Ángulo de posicionamiento del punto de equilibrio estático del muñón en la chumacera 
eγ Índice de flexibilidad del eje 
η Vector de perturbaciones endógenas 
sκ Relación de rigidez en el soporte 
ctκ Relación de rigidez estructural entre soportes 
λ Valor propio 
µ Viscosidad dinámica del lubricante 
θ Desplazamiento angular medido a partir de la línea de centros 
σ Parte real del valor propio 
ω Frecuencia de operación del sistema 
nω Frecuencia natural 
srω Frecuencia natural del sistema con soportes y rotor infinitamente rígido 
Ω Relación de frecuencias 
wΩ Relación de cabeceo 
,d sζ ζ Factor de amortiguamiento en disco y soporte, respectivamente 
 
 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida vii 
Capítulo 1. Marco contextual 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 1 
MMAARRCCOO CCOONNTTEEXXTTUUAALL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida 1 
Capítulo 1. Marco contextual 
CCaappííttuulloo 11.. MMaarrccoo ccoonntteexxttuuaall 
 
En este capítulo se realiza una breve introducción acerca del estudio de las 
vibraciones mecánicas y la rotodinámica. Igualmente, se hace una exploración al estado 
del arte en el control de vibraciones mecánicas en máquinas rotatorias y se definen 
algunos de los principales conceptos manejados a lo largo de esta tesis. 
 
 
 
La vibración mecánica posee un carácter inherente en cualquier máquina, y debido a 
los esfuerzos incrementados y las pérdidas de energía que la acompañan, hacen que, en su 
gran mayoría, produzca un comportamiento indeseable en el sistema, por lo que debe 
buscar reducirse tanto como sea posible mediante un diseño o rediseño apropiado del 
sistema o mediante mecanismos alternos. 
 
En una planta industrial la vibración es, probablemente, el mejor parámetro del 
operador para juzgar las condiciones dinámicas del equipo rotatorio, las cuáles se 
manifiestan frecuentemente como una vibración anormal o como un cambio en el patrón de 
vibraciones característico de cada máquina; el análisis de la vibración de una máquina en 
operación arroja mucha más información acerca de su funcionamiento interno que 
cualquier otra clase de prueba no destructiva (Bodre, 2002), permitiendo así la detección, 
prevención y corrección de defectos mecánicos mucho antes que representen una amenaza 
en contra de la integridad de la máquina y del personal mismo (Gómez-Mancilla, 2002). 
 
La vibración de un eje en rotación es el resultado de múltiples fenómenos tales el 
desbalance de masas, el desalineamiento, el pandeo del rotor, las características dinámicas 
de los cojinetes sobre los que se soporta, etc. 
 
La rotodinámica es la parte de la mecánica que trata de las relaciones existentes 
entre las fuerzas y los momentos por ellas engendrados que originan el movimiento 
característico de un rotor. En síntesis, es el estudio de las máquinas rotatorias, cuya 
investigación ha sido foco de atención desde más de 100 años (ver Dimarógonas, 1996). 
 
La inestabilidad es el fenómeno en el que ocurren vibraciones fuera de rango, 
amplificándose al paso del tiempo. En el caso de ejes rotatorios, diversas fuerzas auto-
inducidas dan origen al arqueamiento o pandeo del eje a cierta frecuencia, lo que trae como 
consecuencia el “cabeceo” del rotor de una forma característica. Fenómeno conocido como 
whirling, cuyas fuentes más conocidas son: 
 
1. El desalineamiento (vibraciones supersíncronas, en que la frecuencia de vibración 
es generalmente dos veces la de operación). 
2. El desbalance residual en el rotor (vibraciones síncronas, produciendo un cabeceo 
que siempre esta en sincronía con la velocidad de rotación, por lo que no representa 
mayor problema en su prevención). 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida 2 
Capítulo 1. Marco contextual 
3. La variación cíclica de parámetros (vibraciones subsíncronas y supersíncronas 
principalmente causadas por la pérdida de la cubierta de una chumacera o el 
rozamiento del rotor). 
4. La dinámica en los apoyos (vibraciones asincrónas que suelen representar daños 
gravosos y de elevado costo de reparación en la turbomaquinaria. 
 
Un número de mecanismos desestabilizantes han sido identificados o hipotetizados 
para dar explicación a los casos de inestabilidad rotodinámica en turbomaquinaria (Vance, 
1988), donde, sin duda, las chumaceras de película fluídica son las de mayor impacto en la 
inestabilidad rotodinámica. Siendo el latigueo por película de aceite u oilwhirl y el cabeceo 
por la carga de vapor o steamwhirl, dos de sus principales exponentes. 
 
Por otra parte, la frecuencia natural (ωn) es el tipo de vibración que una estructura 
(dígase rotor, chumacera o soportes) adquiere después de haber sido puntualmente 
perturbada. La resonancia es la condición en que la frecuencia de excitación del sistema (ω) 
es cercana a la frecuencia natural, provocando críticos niveles de amplitud de vibración 
sino se es debidamente amortiguada. Por lo que puede generar, por consecuencia, la 
transmisibilidad de grandes fuerzas (ver Fig.1.1), causando fallas en la máquina. Es por ello 
que es de suma importancia que no se maneje una máquina a una velocidad que 
corresponda a una frecuencia natural de la estructura. 
 
 
 
Figura 1.1 Diagrama de Bode de amplitud para distintos factores de amortiguamiento 
(X: amplitud de la vibración, F: fuerza transmitida, k: rigidez del rotor) 
 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida 3Capítulo 1. Marco contextual 
1.1 Las chumaceras en el control de las vibraciones 
 
Existen diversos tipos de cojinetes o chumaceras utilizados en las máquinas 
rotatorias (ver Fig.1.2). Los cojinetes de película fluídica son aquellos en los que el eje es 
soportado mediante una estrecha capa de lubricante, de modo que la parte rotatoria y 
estacionaria del sistema no se encuentren en contacto directo, como se muestra en la 
Fig.1.3. Se utilizan principalmente cuando la carga estática sobre estos elementos es de 
magnitud considerable y/o se opera a un alto rango de velocidad (turbinas, generadores, 
etc.). 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.2 Clasificación de los cojinetes según el tipo contacto 
 
 
Este tipo de chumaceras son presurizadas de dos distintas formas: a) internamente, 
cuando el propio movimiento del rotor es el encargado de generar un campo de presión 
suficiente para levantar al muñón (chumaceras hidrodinámicas o autopresurizadas), y b) 
externamente, cuando la presión de suministro es lo suficientemente alta para controlar las 
propiedades rotodinámicas del muñón. Una chumacera que combina ambos principios es 
llamada híbrida. 
 
El gran impacto que las características de estos elementos representan en la 
estabilidad de las máquinas rotatorias, ha fomentado su implementación como mecanismos 
de control para la atenuación de vibraciones. 
 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida 4 
Capítulo 1. Marco contextual 
 
 
Figura 1.3 Principales componentes de una chumacera 
 
 
Hoy en día, la turbomaquinaria moderna hace uso más frecuente de altas 
velocidades, lo que orilla al sistema a sobrepasar más velocidades críticas. El rotor debe ser 
acelerado en un rango más extenso para atravesar las velocidades críticas tan rápido como 
sea posible, de modo que el rotor no permanezca tanto tiempo cerca de sus frecuencias 
críticas y así, evitar grandes amplitudes de vibración en la resonancia. Es por ello que las 
técnicas clásicas de control (control pasivo) han requerido de un nuevo enfoque (ver 
Fig.1.4). 
 
Los recientes desarrollos en el campo de la electrónica, informática y control de 
sistemas han hecho posible hacer frente a problemas en maquinaria rotatoria de una forma 
nueva y, frecuentemente, más efectiva, mediante la implementación de control activo el 
cual reduce drásticamente los costos por paros no-programados. 
 
 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida 5 
Capítulo 1. Marco contextual 
 
 
 
Figura 1.4 Clasificación de los sistemas de control de vibraciones en maquinaria rotatoria 
 
 
Uno de los dispositivos de mayor estudio en éstos últimos años es la chumacera de 
levitación magnética (ver Cole et al., 2004), cuyas ventajas (libres de desgaste, rozamiento, 
e impurezas debidas al lubricante; atenuación y control de las vibraciones del rotor, 
posicionamiento inteligente del rotor dentro del claro de la chumacera, etc.) no son 
suficientes para justificar su elevado costo de inversión y mantenimiento (requisición de un 
sistema de soporte auxiliar adicional, corrientes de control muy grandes y sistemas de 
enfriamiento especiales). 
 
 
 
Figura 1.5 Chumacera de levitación magnética 
 
 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida 6 
Capítulo 1. Marco contextual 
La Fig.1.5 muestra el mecanismo básico de control en este tipo de chumaceras. Los 
controladores (H∞, LQR ó PD) son diseñados para modificar las propiedades de 
amortiguamiento y rigidez de la chumacera. Sin embargo también por ese lado han 
presentado algunos problemas. Es por ello que su aplicación tiene un uso determinado. 
 
Otros dispositivos que se han utilizado recientemente para el control de vibraciones 
son las chumaceras de amortiguador de capa a presión y las chumaceras híbridas 
(presurizadas). 
 
Las chumaceras de amortiguador de capa a presión ó SFD (squeeze-film dampers 
por sus siglas en inglés) representan un caso especial de chumaceras hidrodinámicas que 
consiste en proveer de amortiguamiento hidrodinámico a un cojinete de rodadura, tal y 
como lo muestra la Fig.1.6, lo que las convierte en un amortiguador lineal viscoso, ideal en 
la atenuación de respuesta síncrona al desbalance y la supresión de la inestabilidad 
rotodinámica. Sin embargo los efectos amortiguadores e inerciales duplicados producen en 
ellos un comportamiento dinámico sumamente complejo mostrado en la intervención 
directa de sus velocidades críticas, razón por la cual es necesaria una mayor inversión en el 
análisis del diseño rotodinámico (San-Andrés, 1998). Su utilización es prácticamente 
exclusiva de la industria aérea. 
 
. 
 
 
Figura 1.6 Chumaceras de capa a presión (SFD) 
 
 
Por el otro lado se encuentran las chumaceras híbridas presurizadas, que consisten 
en impulsar al lubricante a fluir a lo largo, primordialmente, y alrededor del eje, formando 
una cuña de soporte predominantemente axial y circunferencial, lo cual es base de su 
estabilidad. El flujo de trabajo es suministrado a la chumacera mediante un sistema especial 
de inyección de lubricante presurizado, el cual fluye a través de los orificios que son 
puertos especialmente diseñados. El movimiento del rotor y la geometría de la chumacera 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida 7 
Capítulo 1. Marco contextual 
originan un campo de presión diferencial entre cavidades opuestas, lo que provee de una 
fuerza restauradora al rotor durante su operación, centrándolo dentro de la chumacera. 
Características que originan un cojinete rígido y estable (Bently et al., 2000, Gómez-
Mancilla et al., 2003). 
 
Con estos dispositivos se logra atenuar las amplitudes de vibración en velocidades 
críticas y las causadas por el desbalance repentino; sin embargo, la implementación de un 
control activo aun se encuentra en etapa de desarrollo. 
 
 
1.2 Antecedentes de la investigación 
 
La presurización externa tiene repercusiones directas sobre el comportamiento 
dinámico de la película del fluido lubricante, que se ven reflejadas en sus propiedades de 
rigidez y amortiguamiento. Este fenómeno ha sido analizado por Gómez-Mancilla y su 
equipo de investigación, quienes han publicado una serie de artículos relacionados con un 
sistema de chumacera híbrida-presurizada externamente por medio de un solo puerto de 
inyección, adicionando al sistema la característica de ser susceptible de controlar (Gómez-
Mancilla, 1997, 2002; Ramírez-Vargas et al., 2004; Santana-Mora et al., 2004). 
 
Ordóñez-Pantoja (2003) calcula por primera vez los coeficientes lineales de rigidez 
y amortiguamiento considerando presurización externa. Estos coeficientes se calculan en 
forma numérica mediante el programa CHUMA (ver Dimarogonas, Gómez-Mancilla, 
1996) el cual, por medio del uso de elementos finitos, resuelve la ecuación de Reynolds y 
expande las fuerzas de presión, de donde se derivan los coeficientes rotodinámicos. Los 
parámetros son adimensionales y fueron ajustados por el método de mínimos cuadrados en 
función del número de Sommerfeld, S (ver Tabla 1.1). 
 
Los coeficientes de rigidez y amortiguamiento de la chumacera se obtuvieron para 
los valores adimensionales 0P, 3P, 6P y 10P. El primer valor de cero presión de inyección 
(0P), corresponde al caso tradicional de una chumacera convencional trabajando bajo el 
régimen de lubricación con alimentación clásica. Lo cual significa que la presión de 
inyección será sólo la suficiente para mantener una capa entre el muñón y la chumacera. 
Los siguientes valores nos indican que el valor de presión de inyección será tres, seis y diez 
veces el valor de la carga por unidad de área proyectada. 
 
 Los resultados obtenidos se presentan en forma de curvas, tanto para el umbral de 
estabilidad linealcomo para la respuesta al desbalance. Estas curvas son comparadas con el 
caso convencional (0P) y donde se demuestran el beneficio que ofrece presurizar 
externamente. La Fig.1.7 muestra las curvas del umbral de estabilidad para los 3 distintos 
regímenes de presurización, comparándose con el convencional. Concluyendo que, la 
chumacera presurizada tiene la capacidad de postergar el umbral de estabilidad lineal, lo 
que significa que, al aumentar la presión de inyección del lubricante, el sistema aumenta su 
rango de velocidad en el que presenta un comportamiento estable. 
 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida 8 
Capítulo 1. Marco contextual 
 
 
 
Tabla 1.1 Ajustes de curvas de los coeficientes 
rotodinámicos calculados numéricamente (Ordóñez-Pantoja, 2003) 
 
Coeficientes adimensionales de rigidez Presuriz. Kxx Kxy Kyx Kyy
0P 
( ) ( )
( )
8 6
6 5
5
4 3 2
4.76 10 7.87 10
1.0215 ...
045.12 10 0.0114 0.13 0.325
S S
− −
−
+ − +
− + −
S S S S
 
0.5
1.2240.967 7.17S
S
− + + 0.0410.478 7.4S
S
− + − 
( ) ( )6 5
3 2
6.65 10 44.6 10
1.7 ...
0.01714 0.057
S S
S
S
− −
+ −
+
+
 
3P 
( )
( )
7
6 5
6
4 3 2
1.07402 10 0.00001374053.27992 ...
60.4 10 0.011421 0.123526 0.354139
S S
−
−
+ − +
− + +
S S S S
 
1.40.7055 7.5S
S
+ + 0.5
3.556.7 7.29S
S
− + − 0.493.85 0.45S
S
+ + 
6P 3.701.34 0.88SS+ +
 
0.7
7.76 7.352S
S
+ 20.5
7.512.9 6.1 0.11S S
S
− + − −
 1.216.6 0.54S
S
+ + 
10P 8.780.43 1.57S
S
+ + 0.8
12.32.66 7.23S
S
+ + 0.5
2 4
14.320.23 7.32 ...
0.605 0.077
S
S
S S
− + − +
−
 
0.5
8.862.58 1.52S
S
+ + 
Coeficientes adimensionales de amortiguamiento Cxx Cxy Cyx Cyy
0P 0.3
4.213.74 14.4S
S
− + + ( )
5
2
26.74 10
1.66
S
−
+ 0.94 0.014S− 0.331 11.614S+ 
3P 0.5
6.161.27 14.8S
S
− + + 0.5
1.631.77 0.089S
S
+ + 0.2
2.181.19 0.03S
S
+ + 6.5 11.42S+ 
6P 0.5
12.821.95 14.8S
S
− + + 0.5
3.0743.481
S
+ 4.054.83 Se+
 
2 3
10.3 15.55 ...
1.92 0.205
S
S S
+ −
+
 
10P 0.55
20.97 14.61S
S
+ 
 
0.5
4.96.68 0.256S
S
+ − 7.57.88 Se
+ 
2 3
4 5 6
17.3 2.51 20.5 12.43 ...
3.2 0.38 0.017
S S S
S S S
+ + − +
− +
 
 
 
Por otra parte, Blanco-Ortega (2004) realiza algunas simulaciones en lazo cerrado 
del mismo sistema, utilizando un controlador LQR. Las órbitas de la respuesta tanto en lazo 
abierto como en cerrado son comparadas. El efecto de la presurización puede igualmente 
ser apreciado, aunque no en la misma intensidad que lo ocurrido para el umbral de 
estabilidad; sin embargo, el pronóstico de obtener respuestas más satisfactorias a índices de 
presurización mayores persiste. 
 
No obstante, es preciso mencionar que los modelos ocupados por Ordóñez y Blanco 
son de tipo rotor Jeffcott. La ec.(1.1) muestra la expresión de un sistema Jeffcott que 
considera un rotor rígido. 
 
cos
sin
xx xy xx xyd d d d
d
yx yy yx yyd d d d
C C K Kx x x m a
m
C C K Ky y y m a
t
t
ω⋅ ω⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫
+ + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ω⋅ ω⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 (1.1) 
 
Este modelo de 2gdl se encuentra seriamente restringido, puesto que es incapaz de 
describir fenómenos existentes encontrados en la maquinaria real, tales como la flexibilidad 
del eje o la asimetría en ambos claros radiales, e igualmente restringido a solo poder 
mostrar el primer modo flexionante de vibración (ver Fig.3.4). 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida 9 
Capítulo 1. Marco contextual 
 
 
Figura 1.7 Curvas de velocidad umbral de estabilidad lineal 
para un sistema rotor-chumacera con eje rígido de 2gdl. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida 10 
Capítulo 2. Descripción matemática de un sistema rotodinámico ampliado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 2 
DDEESSCCRRIIPPCCIIÓÓNN MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA DDEE 
UUNN SSIISSTTEEMMAA RROOTTOODDIINNÁÁMMIICCOO 
AAMMPPLLIIAADDOO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida 11 
Capítulo 2. Descripción matemática de un sistema rotodinámico ampliado 
CCaappííttuulloo 22.. DDeessccrriippcciióónn mmaatteemmááttiiccaa ddee uunn ssiisstteemmaa 
rroottooddiinnáámmiiccoo aammpplliiaaddoo 
 
En este capítulo se describen matemáticamente los elementos básicos que componen el 
sistema rotatorio. Se obtiene un modelo rotor-chumaceras-soportes de 10gdl, en donde el 
análisis se amplía a considerar soportes flexibles con características distintas en cada extremo. 
 
 
 
Un modelo matemático es la abstracción de un sistema o fenómeno, reducido a un 
lenguaje puramente matemático, y que, mediante el tratamiento simbólico-numérico adecuado, se 
lograr explicar o predecir su comportamiento. Estas primeras conjeturas fueron dadas a principios 
del siglo XX con los desarrollos del ingeniero irlandés Henry H. Jeffcott, quién idealizó un disco 
fijo colocado a la mitad de un eje esbelto y apoyado por chumaceras hidrodinámicas por ambos 
extremos, a fin de analizar las vibraciones laterales del eje de una turbina; complementando así el 
trabajo experimental iniciado por De Laval en 1883 (ver Fig.2.1). 
 
 
 
 
 
Figura 2.1 Idealización de una turbomáquina bajo el modelo de Jeffcott 
(Generador con caja reductora, modelo MS-7001, General Electric Inc., www.aaneenpower.com) 
 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida 12 
http://www.aaneenpower.com/
Capítulo 2. Descripción matemática de un sistema rotodinámico ampliado 
 
Por soportes flexibles nos referimos a sistemas rotatorios en los que las bases o pedestales 
del cojinete poseen cierto grado de movilidad. Los soportes de una chumacera en cualquier 
turbomáquina poseen cierta flexibilidad puesto que todos los materiales tienen elasticidad. Más 
aun, desde el punto de vista rotodinámico es deseable que los soportes sean más flexibles que el 
rotor (ver Vance, 1988). Dos de las principales razones son: 
 
1) Una baja rigidez en los soportes reduce las cargas dinámicas transmitidas a través de las 
chumaceras a las estructura fija, de forma que se prolonga la vida de las chumaceras y se 
minimiza la vibración estructural 
 
2) La flexibilidad en los soportes permite, también que el amortiguamiento en las chumaceras 
hidrodinámicas o amortiguadores operen de forma más efectiva, atenuando así, las 
amplitudes por cabeceos a velocidades críticas. 
 
 
2.1 Análisis de fuerzas 
 
Los elementos básicos de una máquina rotatoria son: el disco, el eje y las chumaceras; 
también debe considerarse la masa de desbalance puesto que es inherente a toda máquina. La 
Fig.2.2 muestra las principales fuerzas consideradas en el comportamiento del sistema. Cabe 
destacar que el sistema posee un número infinito de grados libertad, por lo que se escogen sólo 
aquellos de los que interesa conocer su dinámica. 
 
La ubicación de cada grado de libertad se hace con respecto a un marco de referencia 
inercial (x,y,z) considerado fijo, ubicado al centro de una de las chumaceras cuando se encuentra 
cargada en estado estático. 
 
 
Figura 2.2 Fuerzas principales que intervienen en el comportamiento del sistema rotatorio 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida 13 
Capítulo 2. Descripción matemática de un sistema rotodinámico ampliado 
 
 
La máquina rotatoria de la Fig.2.2 puede ser representada como un conjunto de masas 
concentradas independientes, tal y como lo muestra la siguiente figura: 
 
 
 
 
Figura 2.3 Representaciónde masas concentradas del sistema rotatorio 
 
 
Donde los rectángulos m se asocian a la concentración de masa para el disco (d), para el 
muñón izquierdo (bI) y derecho (bD), así como para los soportes izquierdo (sI) y derecho (sD). El 
resorte ke representa la rigidez del eje flexible y cd es el coeficiente de amortiguamiento en el 
disco debido al fluido de trabajo (vapor, aceite, agua, etc.). Kij y Cij representan los coeficientes 
rotodinámicos, los cuales son obtenidos a partir de las fuerzas hidrodinámicas de presión de la 
cuña de aceite. Los resortes ks y los amortiguadores cs simbolizan los coeficientes de la fuerza 
elástica y de amortiguamiento, respectivamente, en cada soporte. Finalmente ω representa a la 
frecuencia de giro a la que opera el rotor. 
 
Para facilidad en el tratamiento del modelo de masas concentradas de la Fig.2.3, y la 
deducción de sus ecuaciones de movimiento, utilizamos la representación clásica de un sistema 
vibratorio para las 5 masas asociadas al sistema rotatorio, tal y como se muestra en la Fig.2.4. El 
desplazamiento de cada masa es medido a partir de su posición de equilibrio. 
 
 
 
 
Figura 2.4 Representación esquemática del sistema vibratorio 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida 14 
Capítulo 2. Descripción matemática de un sistema rotodinámico ampliado 
 
 
Dado que cada masa se mueve en las direcciones (x,y) del marco de referencia señalado 
por la Fig.2.2, en la Fig.2.4 le son asociados ambos desplazamientos a un vector, 
 
q = {∆x | ∆y}T
 
con el fin de simplificar el análisis; donde ∆x=x-x0, y ∆y=y-y0. La deducción de cada uno los 
coeficientes ki y ci (i=1,2,3…) de esta figura, se describen a continuación. 
 
2.1.1 Disco y eje 
 
Los discos son los cuerpos montados sobre el rotor, cuyo centro de masa constituyen la 
concentración tanto de la masa del rotor como la de los álabes, hélices, engranes, etc. En este 
caso se considerará un sólo disco que es esbelto, desbalanceado y unido rígidamente al eje a la 
mitad de su longitud efectiva (Le/2), de forma que se puedan despreciar los efectos giroscópicos 
inducidos por su dinámica. 
 
El rotor de la máquina se idealiza isotrópico, isomorfo, girando a una velocidad angular ω 
constante. 
 
La masa del disco es representada por m3 en la Fig.2.4, así como c3=cd. Las rigideces k3 y 
k4 son asociadas a la de ke de la Fig.2.3 bajo el principio de equivalencia: 
 
3ek k k= + 4 de donde 3 4
1
2 e
k k k= = (2.1) 
 
la fuerza de perturbación F(t) corresponde al desbalance del disco de la forma: 
 
2
2
cos
( )
sin
d x
d y
m a t
F t
m a t
⎧ ⎫ω ω⎪ ⎪= ⎨ ⎬ω ω⎪ ⎪⎩ ⎭
 (2.2) 
 
Donde ud es el vector de desbalance. La Fig.2.5 ilustra este fenómeno, donde se indican el centro 
geométrico O y el centro de masa G tanto del disco como del muñón, con respecto al plano de 
coordenadas fijo (x,y). 
 
Ahora se realiza el diagrama de cuerpo libre para el disco: 
 
 
 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida 15 
Capítulo 2. Descripción matemática de un sistema rotodinámico ampliado 
Aplicando la 2ª.Ley de Newton: 
( ) ( )2 4
1 1
2 2
( ) d d e d e d d dF t c q k q q k q q m q− − − − − − = (2.3) 
 
 
 
Figura 2.5 Sistema inercial disco-muñón, y su respectiva ubicación en el plano 
 
2.1.2 Muñones 
 
El muñón es la concentración de masa en una de las extremidades del rotor, que incluye 
una porción de la masa del rotor y de los discos, engranes, platos, etc., cercanos a este punto. En 
su dinámica se desprecian los efectos giroscópicos. 
 
Se asocia la masa del muñón izquierdo a m2, y m4 a la del muñón derecho, entonces k2, c2, 
y k5, c4, representarán los coeficientes de rigidez y amortiguamiento producto de las fuerzas del 
campo de presión del lubricante en la chumacera derecha y la izquierda, respectivamente. 
 
Como se muestra en la Fig.2.3, los muñones se encuentran unidos al eje. Este 
acoplamiento se muestra a manera de rigidez, como k7. A continuación se determina su valor: 
 
 
 
 
Figura 2.6 Diagrama de fuerzas dinámicas sobre el rotor 
 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida 16 
Capítulo 2. Descripción matemática de un sistema rotodinámico ampliado 
La relación de acoplamiento que existe entre ambos muñones, se determina mediante las 
reacciones que tienen ante la fuerza de restitución (ver Fig.2.6). De la Ley de Hooke, F=k·x se 
tendrá: 
 
( ) ( )1 1
2 2 2
bI bD
elastica e d bI e d bD elastica e d
q qF k q q k q q F k q⎛ + ⎞⎡ ⎤= − + − ∴ = −⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠
 (2.4) 
de manera que: 
 
1 2
1
2 elastica
R R F= = ∴ 7
1
4 e
k = k en los muñones (2.5) 
 
A continuación presentamos los diagramas de cuerpo libre: 
 
 
 
aplicando la 2ª.Ley de Newton: 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1
1 1
2 4
I I
e d bI e bI bD ij bI ij bI bI bk q q k q q q q q q m q− − − − − − − =C K I (2.6a) 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )5 5
1 1
2 4
D D
e d bD e bD bI ij bD ij bD bD bk q q k q q q q q q m q− − − − − − − =C K D (2.6b) 
2.1.3 Soportes 
 
Finalmente, asociamos a m1 y m5 las masas de los soportes izquierdo y derecho. De la 
misma manera lo hacemos para la rigidez y amortiguamiento de los soporte en ambos lados, ksI¸ 
csI, y, ksD¸ csD. La rigidez adicional que existe entre soportes es denominada de comunicación 
entre soportes (o cross-talk, ver Vázquez et al., 2000), la cual representa los efectos de 
transmisibilidad al sistema por medio de sus cimientos, tapas, cubiertas, etc. Así pues kct=k7, y los 
diagramas de cuerpo libre son los siguientes: 
 
 
 
aplicando la 2ª.Ley de Newton: 
 
( ) ( ) ( )( ) ( )I Iij sI bI ij sI bI sI sI sI sI ct sD sI sI sIq q q q c q k q k q q m q− − − − − − − =C K (2.7a) 
( ) ( ) ( )( ) ( )D Dij sD bD ij sD bD sD sD sD sD ct sI sD sD sDq q q q c q k q k q q m q− − − − − − − =C K (2.7b) 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida 17 
Capítulo 2. Descripción matemática de un sistema rotodinámico ampliado 
2.2 Coeficientes rotodinámicos 
 
Las superficies del muñón y la chumacera están separadas por una película lubricadora 
(líquido o gas) que se alimenta en la holgura entre las superficies (ver Fig.2.7), y, que dado lo 
establecido por Shigley-Mischke (1996), tiene cinco funciones principales: 
 
1) Proporcionar soporte radial al rotor 
2) Permitir el acoplamiento del muñón y la chumacera 
3) Proporcionar lugar para el lubricante 
4) Dar cabida a las expansiones térmicas inevitables 
5) Tolerar cualquier desalineamiento o deflexión de la eje 
 
A una determinada carga, los centros de los muñones y las chumaceras del sistema no 
coinciden, sino que se encuentran separados por una distancia llamada excentricidad (e). 
 
La excentricidad establece la formación de una cuña convergente que, junto con el 
movimiento relativo entre el muñón y la chumacera, permite que se desarrolle una presión por 
efectos viscosos dentro de la película fluídica, produciendo en consecuencia, una capacidad para 
soportar carga. Sin embargo, si la carga es excesivamente grande o la rotación de la flecha es 
demasiado lenta, la configuración en forma de cuña no se formará y podría ocurrir contacto entre 
ambas piezas sólidas. 
 
 
 
Figura 2.7 Notación principal del sistema muñón-chumacera 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida 18 
Capítulo 2. Descripción matemática de un sistemarotodinámico ampliado 
La rigidez y el amortiguamiento de la película de lubricante inyectado son las 
características más importantes en una chumacera híbrida. Mediante la variación de la presión del 
fluido en la chumacera es posible controlar la respuesta al desbalance, puesto que cuando varían 
la rigidez y el amortiguamiento en el sistema lo hacen también su frecuencia natural y respuesta 
frecuencial. De modo que la variable más importante a controlar es la presión. 
 
Para determinar una expresión analítica de las fuerzas de presión, se requiere la solución 
de la ecuación de Reynolds, para lo cual puede recurrirse a diversos métodos numéricos, como lo 
es el programa computacional CHUMA (ver Dimarogonas, 1996). Dicho programa ofrece los 
beneficios, entre otros, de resolver numéricamente la ecuación de Reynolds sujeta a condiciones 
de frontera, obtener el punto de equilibrio y expandir las fuerzas de presión no-lineales en series 
de Taylor. 
 
De tal manera que la solución es de la forma: 
 
(
0
0
2 2 2 2O , , ,
xx
P P
ij ijyy
P P
x xf f )x x y yy yf f
⎧ ⎫ ∆ ∆⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫
= + + + ∆ ∆ ∆ ∆⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬∆ ∆⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭
K C (2.8) 
 
donde xPf ,
y
Pf representan las fuerzas del campo de presión, ∆x, ∆y son los desplazamientos a 
partir de su punto de equilibrio estático, y contiene los términos de orden 
superior de la expansión. Los coeficientes rotodinámicos de rigidez y amortiguamiento se definen 
matricialmente como: 
),,,( 2222 yyxxO ∆∆∆∆
 
( ) xx xyij o
yx yy
K K
S
K K
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
K y ( ) xx xyij o
yx yy
C C
S
C C
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
C (2.9) 
 
expresados adimensionalmente mediante las siguientes relaciones: 
 
( ) rij o ij
CS
W
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
K K ( ) rij o ij
CS
W
⎛ ⎞= ω⎜ ⎟
⎝ ⎠
C C (2.10) 
 
donde W es la carga estática sobre la chumacera, que en este caso corresponde al peso del disco y 
de los muñones repartidos entre sus apoyos. Ambos coeficientes dependen del número 
característico de chumacera o de Sommerfeld, dado adimensionalmente por la expresión: 
 
2
πµω
30o prom r
RS
P C
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (2.11) 
 
Donde R es el radio de la chumacera y µ la viscosidad dinámica. Su comportamiento (en función 
del cambio de presión y de la frecuencia de operación) fue simulado mediante la aplicación del 
programa CHUMA para la configuración considerada, obtenida por Ordóñez-Pantoja (2003). Los 
ajustes de curvas respectivos se muestran en la Tabla 1.1. 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida 19 
Capítulo 2. Descripción matemática de un sistema rotodinámico ampliado 
Se define a Pprom como la carga por unidad de área proyectada, o bien como la presión 
promedio sobre la chumacera, 
=prom
WP
LD
 (2.12) 
 
donde L y D simbolizan la longitud y diámetro de la chumacera, respectivamente. Posteriormente 
se establece una relación adimensional de la presión: 
 
= s
prom
pP
P
 (2.13) 
 
siendo ps la presión de inyección. De tal manera que ahora se ocupa a P como un múltiplo de la 
presión media de la chumacera. De esta manera, se definen los valores adimensionales de 0P, 3P, 
6P y 10P, donde 0P corresponde al caso de una chumacera convencional con presurización 
clásica, es decir, la presión de inyección suficiente para mantener una ligera capa de lubricante 
entre el muñón y la chumacera. Los demás valores corresponden a 3, 6 y 10 veces la presión 
media sobre la chumacera (Pprom), respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.8 Conjunto de 8 coeficientes lineales de rigidez y amortiguamiento en la película fluídica 
 
 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida 20 
Capítulo 2. Descripción matemática de un sistema rotodinámico ampliado 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida 21 
La Fig.2.8 muestra un esquema del conjunto de 8 coeficientes rotodinámicos 
caracterizadores de la película de lubricante. 
 
La literatura mundial reporta, generalmente, los valores adimensionales de los 
coeficientes en forma de tablas y curvas, en función de la excentricidad o del número de 
Sommerfeld (Dimarogonas, 1996). 
 
García et al. (2004) deduce ecuaciones analíticas aproximadas, que relacionan ambos 
parámetros mediante el uso de la teoría de chumaceras cortas y largas con diferentes condiciones 
de frontera. La Tabla 2.1 muestra estas ecuaciones. Cabe destacar que más recientemente 
Raymundo-Arias (2005) obtiene coeficientes rotodinámicos donde se incluyen efectos inerciales 
de fuerza y momento de la película de lubricación, mediante el uso de elementos finitos. 
 
Las figuras B.1 y B.2, en el apéndice B, muestran una serie de curvas para coeficientes 
rotodinámicos utilizando 3 distintos enfoques para dos configuraciones: L/D=0.5, donde se utiliza 
la teoría de las chumaceras cortas, contra la Teoría de Warner para chumaceras cortas. 
 
En una segunda configuración L/D=1, son comparados los coeficientes encontrados por la 
teoría de chumaceras largas con condiciones de frontera de Sommerfeld y de Gümbel, al igual 
que bajo la teoría de Warner y mediante el uso del programa CHUMA para las tres distintas 
presurizaciones reportadas en la Tabla 1.1. 
 
Es de mencionarse que está última configuración L/D=1, en realidad no corresponde al 
uso de la teoría de chumaceras infinitamente largas. Una chumacera se considera infinitamente 
larga cuando su relación de esbeltez L/D>2, sin embargo la comparación resulta interesante al 
visualizar tendencias y valores similares. 
 
 
pliado 
2 
Capítulo 2. Descripción matemática de un sistema rotodinámico am
 la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
rol de Vibraciones en una Chumacera Híbrida 2
 
 
Tabla 2.4 Coeficientes rotodinámicos adimensionales en función de la excentricidad 
 
 
Coef. Chumaceras cortas Chumaceras largas + condiciones de frontera de Sommerfled 
Chumaceras largas + condiciones de frontera 
de Gümbel 
xxK 
( )
( ) ( )
2 2 2 2
22 2 2 2
4 2 16
1 16
L
D
⎡ ⎤επ π + − π ε ⎛ ⎞⎣ ⎦
⎜ ⎟
⎝ ⎠⎡ ⎤− ε π + − π ε⎣ ⎦
 ( )
( )
2 2 2
3
22 2 2
2 2 4
4
⎡ ⎤π + − π ε⎣ ⎦
⎡ ⎤π + − π ε⎣ ⎦
 ( )
( )
2 2 2
3
22 2 2
2 2 4
4
⎡ ⎤π + − π ε⎣ ⎦
⎡ ⎤π + − π ε⎣ ⎦
 
xyK 
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 4 2
5
2 2 2 22
32 2 16
1 16
L
D
⎡ ⎤π π + + π ε + − π ε ⎛ ⎞⎣ ⎦
⎜ ⎟
⎝ ⎠⎡ ⎤− ε π + − π ε⎣ ⎦
 ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 4 2 6
3
22 4 2 2 2
1 2 16 3 3 2 4
2 4
⎡ ⎤π − ε π + − π ε + π ε + − π ε⎣ ⎦
⎡ ⎤ε − ε − ε π + − π ε⎣ ⎦
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 4 2 2 6 2
3
22 4 2 2 2
1 3 2 16 3 2 4
2 4
⎡ ⎤π − ε π ε + + ε − π + ε − π⎣ ⎦
⎡ ⎤ε − ε − ε π + − π ε⎣ ⎦
 
yxK 
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 4 2
5
2 2 2 22
2 1 16
1 16
L
D
⎡ ⎤π π ε − + − π ε ⎛ ⎞⎣ ⎦
⎜ ⎟
⎝ ⎠⎡ ⎤− ε π + − π ε⎣ ⎦
 ( ) ( )
( )
2 2 2 4
3
22 2 2 2
2 1 4
1 4
⎡ ⎤π π ε − + − π ε⎣ ⎦
⎡ ⎤ε − ε π + − π ε⎣ ⎦
 ( ) ( )
( )
2 2 4 2
3
22 2 2 2
2 1 4
1 4
⎡ ⎤π π ε − + ε − π⎣ ⎦
⎡ ⎤ε − ε π + − π ε⎣ ⎦
 
yyK 
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 4
32 2 2 2
4 32 2 16
1 16
2L
D
⎡ ⎤επ π + + π ε + − π ε ⎛ ⎞⎣ ⎦
⎜ ⎟
⎝ ⎠⎡ ⎤− ε π + − π ε⎣ ⎦
 ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 4 2 6
3
22 4 2 2 2
2 2 16 3 3 2 4
2 4
⎡ ⎤π + − π ε + π ε + − π ε⎣ ⎦
⎡ ⎤− ε − ε π + − π ε⎣ ⎦
 ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 4 2 2 6 2
3
22 4 2 2 2
2 3 2 16 3 2 4
2 4
⎡ ⎤π ε + + ε − π + ε − π⎣ ⎦
⎡ ⎤− ε − ε π + − π ε⎣ ⎦
 
xxC 
( )
( ) ( )
2 2 2 2 2
3
2 2 2 22
2 2 8
1 16
L
D
⎡ ⎤π π + π − ε ⎛ ⎞⎣ ⎦
⎜ ⎟
⎝ ⎠⎡ ⎤− ε π + − π ε⎣ ⎦ 
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
3
22 2 2 2
8 2 1
1 4
⎡ ⎤π π − ε − π + ε − ε⎣ ⎦
⎡ ⎤ε + ε π + − π ε⎣ ⎦ 
( )( )
( )
2 2 2
3
22 2 2
8 2 1
4
π π − + ε − ε
⎡ ⎤ε π + − π ε⎣ ⎦ 
xyC 
( )
( ) ( )
2 2 2 2
22 2 2 2
8 2 8
1 16
L
D
⎡ ⎤επ π + π − ε ⎛ ⎞⎣ ⎦
⎜ ⎟
⎝⎠⎡ ⎤− ε π + − π ε⎣ ⎦ 
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
3
22 2 2
2 2 8
1 4
⎡ ⎤+ ε π + ε π +⎣ ⎦
⎡ ⎤+ ε π + − π ε⎣ ⎦ 
( )( )
( )
2 2
3
22 2 2
2 8 2
4
π − + ε
⎡ ⎤π + − π ε⎣ ⎦ 
yxC 
( )
( ) ( )
2 2 2 2
22 2 2 2
8 2 8
1 16
L
D
⎡ ⎤επ π + π − ε ⎛ ⎞⎣ ⎦
⎜ ⎟
⎝ ⎠⎡ ⎤− ε π + − π ε⎣ ⎦ 
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
3
22 2 2
2 2 8
1 4
⎡ ⎤+ ε π + ε π +⎣ ⎦
⎡ ⎤+ ε π + − π ε⎣ ⎦ 
( )( )
( )
2 2
3
22 2 2
2 8 2
4
π − + ε
⎡ ⎤π + − π ε⎣ ⎦ 
yyC 
( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 4 2
5
2 2 2 22
2 2 24
1 16
L
D
⎡ ⎤π π + − π ε + π ε ⎛ ⎞⎣ ⎦
⎜ ⎟
⎝ ⎠⎡ ⎤− ε π + − π ε⎣ ⎦
 ( )
( )
2 2 2 3 4 2
3
22 2 2 2
2 8 2 4 6
1 4
⎡ ⎤π π − ε − π ε + ε + ε π −⎣ ⎦
⎡ ⎤ε − ε π + − π ε⎣ ⎦
 ( ) ( )
( )
4 2 2 4 2 4 2
3
22 2 2 2
2 2 16 6 6
1 4
⎡ ⎤π − ε − π + π + π ε π −⎣ ⎦
⎡ ⎤ε − ε π + − π ε⎣ ⎦
 
 
Análisis de
el Cont
Capítulo 2. Descripción matemática de un sistema rotodinámico ampliado 
2.2.1 Lugar geométrico de equilibrio estático 
 
La acción de fuerzas dinámicas en un sistema rotatorio origina una trayectoria que 
tiene un lugar fijo cuando la velocidad de rotación es constante y por tanto las fuerzas que 
actúan en el sistema se encuentran en equilibrio estático. La localización del centro de masa 
del muñón en la chumacera se mide por un vector de magnitud unitaria ε y ángulo de 
posicionamiento o attitude φ, como se puede ver en la Fig.2.6; este lugar en el plano es 
denominado lugar geométrico de equilibrio. 
 
 
 
 
Figura 2.9 Lugar geométrico de equilibrio para L/D=0.5 
 
 
 
La Fig.2.9 muestra los lugares geométricos de equilibrio encontrados 
numéricamente bajo las técnicas de aproximación de Reason-Narang (ver Shigley, 1996) 
para una relación de esbeltez de L/D=0.5. Posteriormente en la Fig.B.3 se muestran en 
forma tridimensional para diversas configuraciones de L/D. 
 
 
 
 
 
 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida 23 
Capítulo 2. Descripción matemática de un sistema rotodinámico ampliado 
2.3 Ecuaciones de movimiento 
 
Una vez deducidos los coeficientes rotodinámicos, procedemos a encontrar las 
ecuaciones de movimiento. Reacomodando términos en las ecuaciones (2.3), (2.6), y (2.8), 
tendremos: 
 
 ( ) ( )1 1
2 2
( )d d d d e d bI e d bDm q c q k q q k q q F t+ + − + − = 
 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 1
2 4
I I
bI bI ij bI sI ij bI sI e d bI e bI bDm q q q q q k q q k q q+ − + − = − + −C K 
 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 1
2 4
D D
bD bD ij bD sD ij bD sD e d bD e bD bIm q q q q q k q q k q q+ − − − = − + −C K 
 ( ) ( ) ( )( ) ( )I IsI sI sI sI sI sI ij sI bI ij sI bI ct sI sDm q c q k q q q q q k q q+ + + − + − = −C K 
 ( ) ( ) ( )( ) ( )D DsD sD sD sD sD sD ij sD bD ij sD bD ct sD sIm q c q k q q q q q k q q+ + + − + − = −C K 
(2.13) 
 
Sustituyendo el vector q en la ec.(2.13) y factorizando, se obtiene: 
 
( )
( )
2
( ) ( )
1
2
1
2
1
1
2
cos
sin
d bI bD xd d
d d e d
yd d d bI bD
dbI bI sI bI sII I
bI ij ij e
bI bI sI bI sI
x x x a tx x
m c k m
a ty y y y y
xx x x x x
m k
y y y y y
⎧ ⎫∆ − ∆ + ∆ ω∆ ∆ ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪+ + = ω⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ω∆ ∆⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭∆ − ∆ + ∆⎪ ⎪⎩ ⎭
∆ −∆ ∆ − ∆ ∆ − ∆⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫
+ + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬∆ ∆ − ∆ ∆ − ∆⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
C K
( )
( )
( ) ( )
2
1
2
bI bD
d bI bD
sI sI sI sI bI sI bI sD sII I
sI sI sI ij ij ct
sI sI sI sI bI sI bI sD sI
bD
bD
x x
y y y
x x x x x x x x x
m c k k
y y y y y y y y y
x
m
⎧ ⎫∆ + ∆⎪ ⎪
⎨ ⎬
∆ − ∆ + ∆⎪ ⎪⎩ ⎭
∆ ∆ ∆ ∆ − ∆ ∆ − ∆ ∆ − ∆⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫
+ + + + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬∆ ∆ ∆ ∆ − ∆ ∆ − ∆ ∆ − ∆⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
∆
∆
C K
( )
( )
( ) ( )
( )
1
1 2
2 1
2
d bI bDbD sD bD sDD D
ij ij e
bD bD sD bD sD d bI bD
sD sD sD sD bDD
sD sD sD ij
sD sD sD
x x xx x x x
k
y y y y y y y y
x x x x x
m c k
y y y y
⎧ ⎫∆ − ∆ + ∆∆ − ∆ ∆ − ∆⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪+ + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬∆ − ∆ ∆ − ∆⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ∆ − ∆ + ∆⎪ ⎪⎩ ⎭
∆ ∆ ∆ ∆ − ∆⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫
+ + +⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬∆ ∆ ∆ ∆⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
C K
C ( ) sD bD sI sDDij ct
sD bD sD bD sI sD
x x x
k
y y y y
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
∆ − ∆ ∆ − ∆⎪ x
y
⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧
+ =
⎫
⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ − ∆ ∆ − ∆ ∆ − ∆⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩⎪
⎪⎩
K
⎭
 
(2.14) 
 
Este modelo de 10 ecuaciones diferenciales representa la descripción dinámica del 
un sistema rotatorio, con asimetría en las chumaceras y flexibilidad en los soportes 
(Fig.2.2). Cada ecuación diferencial es de segundo orden y con coeficientes constantes 
cuando se considera la frecuencia de operación (ω) constante. 
 
 
 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida 24 
Capítulo 2. Descripción matemática de un sistema rotodinámico ampliado 
2.3.1 Adimensionalización 
 
Considere la siguiente parametrización del tiempo: 
 
tτ = ω de donde ddt τ=
ω
, 
2
2
2
ddt τ=
ω
 (2.15) 
 
los desplazamiento son relacionados con el claro radial en la chumacera izquierda, por lo 
que: Cr = Cr(I), y 
 
1
r
X
C
= ∆x y por tanto: (1
r
dX d x
C
)= ∆ , ( )2 21
r
d X d x
C
= ∆ (2.16) 
 
Deduciendo así, las siguientes relaciones diferenciales: 
 
rx C X∆ = , ( ) ( )rx t C X∆ = ω τ , ( ) ( )2 rx t C X∆ = ω τ (2.17) 
 
Este mismo procedimiento es aplicado a ∆y, por lo que se obtiene: 
ry C Y∆ = , ( ) ( )ry t C Y∆ = ω τ , ( ) ( )2 ry t C Y∆ = ω τ (2.18) 
 
sustituyendo las ec.(2.17) y ec.(2.18) en el modelo (2.14) al que dividimos entre md·g, de 
donde se obtiene 
 
( )
( )
2 2
( ) ( )2
1
2
1
2
cos
sin
d bI bD xd dd r d r e r d r
yd d d dd d d bI bD
I I
ij r ij r bI sIbI bI sIbI r
bd d dbI bI sI
X X X a tX Xm C c C k C m C
a tm g m g m g m gY Y Y Y Y
C C X XX X Xm C
Ym g m g m gY Y Y
⎧ ⎫− + ω⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ω ω ω⎪ ⎪+ + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ω⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭ − +⎪ ⎪⎩ ⎭
ω −⎧ ⎫ ⎧ ⎫−ω
+ +⎨ ⎬ ⎨ ⎬
−⎩ ⎭ ⎩ ⎭
C K ( )
( )
( ) ( )2
1
2
1
2
2
d bI bDe r
I sI d d bI bD
I I
ij r ij rsI sI bIsI sI sI bIsI r sI r sI r ct r
sI sI bId d d d dsI sI sI bI
X X Xk C
Y m g Y Y Y
C CX X XX X X Xm C c C k C k C
Y Y Ym g m g m g m g m gY Y Y Y
⎧ ⎫− +⎧ ⎫ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬−⎩ ⎭ − +⎪ ⎪⎩ ⎭
ω −⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫−⎧ ⎫ ⎧ ⎫ω ω
+ + + + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬−−⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
C K
( )
( )
( ) ( )2
2
1
2
1
2
2
sD sI
sD sId
D D
d bI bDij r ij r bD sDbD bD sDbD r e r
bD sDd d d dbD bD sD d bI bD
sD ssD r sD r
d dsD
X X
Y Ym g
X X XC C X XX X Xm C k C
Y Ym g m g m g m gY Y Y Y Y Y
X Xm C c C
m g m gY
−⎧ ⎫
⎨ ⎬−⎩ ⎭
⎧ ⎫− +ω −⎧ ⎫ ⎧ ⎫− ⎧ ⎫ω ⎪ ⎪+ + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬−− ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭ − +⎪ ⎪⎩ ⎭
⎧ ⎫ω ω
+⎨ ⎬
⎩ ⎭
C K
( ) ( )D D
ij r ij rsD sD bD sI sDD sD bDsD r ct r
sD sD bD sI sDd d d dsD sD bD
C CX X XX Xk C k C
Y Y Ym g m g m g m gY Y Y
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ ω − −⎧ ⎫ ⎧ ⎫− X X
Y Y
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
+ + + =⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨− −−⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎪
⎪⎩
C K ⎧ ⎫
⎬
⎭
 
 
(2.19) 
 
Así se deducen las siguientes equivalencias: 
 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida 25 
Capítulo 2. Descripción matemática de un sistema rotodinámico ampliado 
d
e r
m g
k C
= γ , 
22 2
d r rsr
d rs
m C C
m g g
⎛ ⎞⎛ ⎞ω ωω Ω
= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ω γ⎝ ⎠⎝ ⎠
 para 
rs
ω
Ω =
ω
, 2rs
e
g
ω =
δ
, de
e
m g
k
δ = 
2d r rs erd d
d rs e
c C kCc
m g g k
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ω ωω Ω
= = ζ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ω γ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
 para dd
cr
c
c
ζ = , 
2 e
cr
rs
kc =
ω
 
(2.20) 
donde 
γ : Flexibilidad del eje, 
Ω : Relación de frecuencias, 
ωrs: Frecuencia natural del sistema cuando los soportes son infinitamente rígidos 
δe : Deformación del eje, 
ζd : Factor de amortiguamiento en el disco 
ccr : Coeficiente de amortiguamiento crítico. 
 
2
bI r
bI
d
m C
m g
ω Ω
= α
γ
, 
2
sI r
sI
d
m C
m g
ω Ω
= α
γ
 para bIbI
d
m
m
α = , sIsI
d
m
m
α = 
2s r rs ers s
d rs e
c C kCc
m g g k
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ω ωω Ω
= = ζ ss
cr
c
c
ζ =, para ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ω γ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
 
sIr sI r e s
d d e
k C k C k
m g m g k
⎛ ⎞⎛ ⎞ κ
= =⎜ ⎟⎜ ⎟ γ⎝ ⎠⎝ ⎠
 , ct r ct r e ct
d d e
k C k C k
m g m g k
⎛ ⎞⎛ ⎞ κ
= =⎜ ⎟⎜ ⎟ γ⎝ ⎠⎝ ⎠
 para ss
e
k
k
κ = , ctct
e
k
k
κ = 
(2.21) 
 
donde 
αb : Relación de masa en el muñón izquierdo 
αs : Relación de masa en el soporte de referencia izquierdo 
ζs : Factor de amortiguamiento en el soporte 
κs : Relación de rigidez en el soporte 
κct : Relación de rigidez entre soportes 
 
2 2
bD r bD r bI
b b
d d bI
m C m C m
m g m g m
⎛ ⎞⎛ ⎞ω ω
= = α⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
M , para bDb
bI
m
m
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
M 
2 2
sD r sD r sI
s s
d d sI
m C m C m
m g m g m
⎛ ⎞⎛ ⎞ω ω
= = α⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
M , para sDs
sI
m
m
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
M 
2sD r sD r rs e sI s s
d d rs e sI
c C c C k c
m g m g k c
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ω ω ω Ω
= = ζ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ω γ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
C , para sDs
sI
c
c
=C 
sD r sI r e sI s
s
d d e sI
k C k C k k
m g m g k k
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ κ
= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ γ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
K , para sDs
sI
k
k
=K 
( )
( )
I
ij r I
ij
d
C
m g
ω
=
C
C , 
( )
( )
I
ij r I
ij
d
C
m g
=
K
K , 
( )
( )1
D
ij r D
ij
d C
C
m g
ω ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
C
C
R
, 
( )
( )1
D
ij r D
ij
d C
C
m g
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
K
K
R
, para , ( )Ir rC C=
( )
( )
D
r
C I
r
C
C
=R 
(2.22) 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida 26 
Capítulo 2. Descripción matemática de un sistema rotodinámico ampliado 
 
donde 
Mb : Relación de masas entre muñones 
Ms : Relación de masas entre soportes 
 Cs : Relación de amortiguamientos entre soportes 
 Ks : Relación de rigideces entre soportes 
RC : Relación de claros radiales 
,ij ijC K : Coeficientes rotodinámicos adimensionales 
 
Sustituyendo las relaciones (2.20)-(2.22) en el sistema (2.14), y factorizando 
términos encontramos el modelo paramétrico del sistema. 
 
( )
( )
( )
( )
2 2
2 ( ) ( )
1
2
1
2
1
2
1
2
cos
2
sin
1
2
d bI bDd d
d
d d d bI bD
d bI bDbI sII IbI bI sI
b e ij e ij
bI sIbI bI sI d bI bD
X X XX X
Y Y Y Y Y
X X XX XX X X
Y YY Y Y Y Y Y
⎧ ⎫− +⎧ ⎫ ⎧ ⎫ τ⎧ ⎫⎪ ⎪Ω + ζ Ω + = Ω⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬τ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭ − +⎪ ⎪⎩ ⎭
⎧ − +−⎧ ⎫ ⎧ ⎫− ⎧ ⎫ ⎪α Ω + γ + γ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨−− ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭ − +
a
C K
2 ( ) ( )
2 ( )
2 sI sI bI sD sII IsI sI sI bIs s s e ij e ij ct
sI sI bI sD sIsI sI sI bI
DbD bD sDe
b b ij
CbD bD s
X X X X XX X X X
Y Y Y Y YY Y Y Y
X X X
Y Y Y
⎫
⎪
⎬
⎪ ⎪⎩ ⎭
− −⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫−⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫
α Ω + ζ Ω + + γ + γ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬− −−⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
⎧ ⎫ −γ
α Ω +⎨ ⎬
−⎩ ⎭
κ κC K
CM
R
( )
( )
( )
2 ( ) ( )
1
2
1
2
1
2
2
d bI bDbD sDDe
ij
bD sDCD d bI bD
sD sD bDD DsD sD sD bDe e
s s s s s s ij ij
sD sD bDC CsD sD sD bD
X X XX X
Y Y Y Y Y
X X XX X X X
Y Y YY Y Y Y
⎧ ⎫− +−⎧ ⎫ ⎧ ⎫γ ⎪ ⎪+ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬−⎩ ⎭⎩ ⎭ − +⎪ ⎪⎩ ⎭
−⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫−⎧ ⎫ ⎧γ γ
α Ω + ζ Ω + + +⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ −−⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
κ
K
C K
R
M C K
R R
sI sD
ct
sI sD
X X
Y Y
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ −⎫ ⎧
=⎪
⎫
⎨ ⎬ ⎨ −⎩ ⎭ ⎩⎪
⎪⎩
κ ⎬
⎭
 
 
(2.23)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida 27 
Capítulo 2. Descripción matemática de un sistema rotodinámico ampliado 
2.4 Conclusiones 
 
Esta sección mostró la deducción de las ecuaciones de movimiento de un sistema 
rotatorio de 10gdl, modelado mediante la 2ª. Ley de Newton. 
 
En una maquinaria real difícilmente podrían lograrse condiciones de simetría u 
ortotropía en sus soportes, por lo que el modelo deducido en este capítulo adquiere 
relevancia. Este modelo permite analizar el comportamiento en cada una de las chumaceras, 
por lo que podrán ser analizados algunos modos de vibración, como el cónico, en donde se 
encuentren nodos vibratorios, lo que en un modelo convencional de 2 o 4gdl sería 
imposible. 
 
La parametrización de dicho modelo es otro elemento destacable de este apartado, 
ya que nos permitirá conocer las tendencias de comportamiento entre las algunas 
propiedades del sistema. 
 
 
 
 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida 28 
Capítulo 3. Estudio de la función característica del sistema 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 3 
EESSTTUUDDIIOO DDEE LLAA FFUUNNCCIIÓÓNN 
CCAARRAACCTTEERRÍÍSSTTIICCAA DDEELL SSIISSTTEEMMAA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida 29 
Capítulo 3. Estudio de la función característica del sistema 
CCaappííttuulloo 33.. EEssttuuddiioo ddee llaa ffuunncciióónn ccaarraacctteerrííssttiiccaa ddeell 
ssiisstteemmaa 
Este capítulo muestra la formulación general y análisis de un problema de valores 
propios aplicado al sistema rotatorio deducido. Los alcances de este análisis en materia de 
rotodinámica son señalados: estabilidad, frecuencias naturales, velocidades críticas, las 
formas que el sistema adquiere cuando vibra, etc. Para este propósito se muestra un 
panorama general de la creación de un paquete computacional de simulación. 
 
 
 
La estabilidad rotodinámica es una medida de la tendencia de cabeceo vibratorio del 
rotor para crecer o decaer con el tiempo. Un cabeceo inestable es usualmente subsíncrono y 
generalmente inducido por los coeficientes acoplados de la chumacera (Kxy, Kyx, Cxy, Cyx), 
por los sellos o por los efectos aerodinámicos en los álabes. 
 
Existen muchos teoremas para el análisis de la estabilidad en un sistema dinámico 
(ver Afanas’ev et al, 1996), sin embargo, el enfoque por medio de valores propios del 
sistema (eigenproblema) es uno de los que mayor información entrega, cuando se es 
debidamente analizado (ver Fig.3.1). 
 
Por otra parte, un sistema tiene tantas frecuencias naturales como grados de libertad. 
Las formas en que un sistema vibrará en un instante dado esta determinado por la 
combinación de todas las frecuencias naturales. La deformación característica que adquiere 
el rotor ante una vibración natural es denominada forma modal o modo de vibración. El 
sistema tiene tantas formas modales como grados de libertad. El análisis modal es una de 
las ventajas del estudio de los valores propios del sistema. 
 
 
3.1 Frecuencias naturales y velocidades críticas 
 
 Sea el sistema (2.19) transformado a la forma vectorial matricial: 
 
{ } { } { } ( )t+ + =M q C q K q F , 10∈q R (3.1a) 
 
En el que {q} es el vector de desplazamientos. M, C y K son las matrices de masa, 
amortiguamiento y rigidez, respectivamente. F es el vector de perturbaciones endógenas. 
De donde: 
 
 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida 30 
Capítulo 3. Estudio de la función característica del sistema 
 
 
 
Figura 3.1 Importancia del eigenproblema en el análisis y diseño dinámico preeliminar de un sistema rotor-
chumacera-soporte flexible 
 
 
 
{ }, , , , , , , , , Td d bI bI sI sI bD bD sD sDx y x y x y x y x y= ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆q (3.1b) 
 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
I 0 0 0 0
0 I 0 0 0
M 0 0 I 0 0
0 0 0 I 0
0 0 0 0 I
d
bI
sI
bD
sD
m
m
m
m
m
 (3.1c) 
 
 
 
Análisis de la Estabilidad Rotodinámica y Diseño para 
el Control de Vibraciones en una Chumacera Híbrida 31 
Capítulo 3. Estudio de la función característica del sistema 
 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [