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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD ZACATENCO SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN ANALISIS ASINTOTICO DE FIBRAS OPTICAS DEL INDICE GRADUAL TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERIA DE TELECOMUNICACIONES PRESENTA: BOUCHAIB EL HATIFI EL HAMDANI DIRECTOR DE TESIS: DR. VLADISLAV KRAVCHENKO MÉXICO D.F. MARZO 2003 Contenido Resumen ............................................................................................iii Abstract ............................................................................................iii Objetivo .............................................................................................iv Justificación .....................................................................................iv Introducción ........................................................................................1 1 Estructura de la fibra óptica ...........................................................3 1.1 Historia de la fibra óptica .................................................................................3 1.2 Ventajas y desventajas de las comunicaciones por fibra óptica......................6 1.3 Fundamentos físicos del funcionamiento de la fibra óptica..............................9 1.4 Estructura de la fibra óptica...........................................................................15 1.5 Tipos de fibras ópticas ..................................................................................21 2 Ondas Transversales (ondas TE, TM, ondas híbridas) .............30 2.1 Guías de ondas .............................................................................................30 2.2 Las ondas TE y TM .......................................................................................31 2.3 Ondas híbridas (EH y HE) ............................................................................36 3 Derivación de las ecuaciones de ondas partiendo de las ecuaciones de Maxwell .....................................................................39 3.1 Ecuaciones de Maxwell.................................................................................39 3.2 Las ecuaciones de ondas..............................................................................42 3.2.1 La ecuación de onda de los modos TE ......................................................49 3.2.2 La ecuación de onda de los modos TM ......................................................51 3.2.3 La ecuación de onda de los modos EH .....................................................53 3.2.4 La ecuación de onda de los modos HE .....................................................54 i 4 Cálculo del número de m el método WKB .........57 4.1 Análisis de los modos guiados utilizando la ecuación de onda.....................57 .1.1 Los tipos de rayos en la fibra óptica de índice gradual...............................57 .........................................................................70 4.2.1 Información preliminar matemática para usar el método WKB....................72 4.2.3 Definición de los modos LP........................................................................81 5.1 Aplicación para una fibra óptica de índice gradual .......................................88 odos utilizando 4 4.1.2 modos guiados............................................................................................65 4.1.3 Modos evanescentes.................................................................................68 4.1.4 Modos radiados................. 4.2 Análisis de la fibra óptica de índice gradual utilizando el método WKB ..........................................................................................................72 4.2.2 El método WKB para los sistemas limitados ..............................................76 4.2.4 El número de los modos guiados que se propagan en una fibra óptica de índice gradual ........................................................................................................83 4.2.5 Algoritmo y el programa correspondiente para encontrar los valores de m y l ...........................................................................................................................84 5 Resultados numéricos ..................................................................88 5.1.1 El caso donde nm1300=λ , ma µ25= , 562.10 =n , 540.1=cln ....................89 5.1.2 El caso donde nm1300=λ y ma µ25.31= , 562.10 =n , 540.1=cln ...............94 5.1.3 El caso donde nm850=λ y ma µ25= , 527.10 =n , 515.1=cln .....................97 5.1.4 El caso donde nm850=λ y ma µ25.31= , 527.10 =n , 515.1=cln .................99 Conclusiones y recomendaciones .................................................101 Bibliografía .......................................................................................102 ii Resumen En el presente trabajo se presenta el análisis asintótico de las guías de ondas dieléctricas de índice gradual que permite estudiar los tres tipos de modos (modos guiados, modos evanescentes y radiados), así como calcular el número de los modos guiados que se propagan en una fibra óptica de índice gradual, para el caso cuando el índice de refracción en la región del núcleo varía en forma parabólica. Para diferentes modos de propagación se obtienen las ecuaciones diferenciales ordinarias correspondientes, las cuales se analizan mediante el método asintótico WKB. Se propone un algoritmo para el cálculo de los modos guiados y se analizan los resultados numéricos obtenidos. Abstract In the present work we present the asymptotic analyze of dielectric aky mode well as to umber of guided modes propagating in a optical fiber of graded index, for the For different propagation modes we obtain the corresponding ordinary ifferential equations, which are analyzed by means of the asymptotic method KB. We propose an algorithm to calculate the guides modes and we analyze the btained numerical results. waveguide of graded index, that he allows to study the three types of modes (propagation modes, le and radiation modes), as calculate the n case when the index of refraction in the core region change in a parabolic form. d W o iii OBJETIVO JUSTIFICACIÓN aciones de Maxwell y acar las ecuaciones de ondas para calcular los números de modos y uno de plicación de los resultados que obtendremos por diferentes tipos de fibras ópticas comerciales. En los últimos años la transmisión por fibra óptica ha crecido mucho, se ha impuesto sin lugar a dudas porque ofrece un ancho de banda prácticamente infinito ión e algunos de los problemas que existen en esta área , así como para trabajos futuros Mostrar el uso del método asintótico en la solución a problema de propagación de ondas electromagnéticas sobre una fibra óptica de índice gradual y calcular los modos de propagación por diferentes tipos de fibras. El problema que se plantea en este trabajo tiene un doble interés, uno teórico en donde se ve claramente la aplicación de las ecu s a , comparando con otros medios de transmisión la fibra puede ofrecer anchos de banda en exceso de 1THz (1 000 GHz) , mientras que medios como El cable coaxial es de 500 MHz . En este sentido los resultados de este trabajo serán apoyo para la soluc d que puedan desarrollarse en esta línea. iv In ión general de nda para una fibra óptica de índice gradual. La importancia de este análisis es enorme dentro del campo de las telecomunicaciones, debid gación se transportan la mayorparte de la energía de se transmite y es útil ara la reconstrucción de la señal en etapa de recepción, además este algoritmo permite el análisis del comportamiento del número de los modos de propagación respec ia dentro de esta área. La manera en que se analiza el problema, parte del conocimiento de las ventaj ], Cabe mencionar que en este trabajo se mostrará el análisis asintótico de las guías La estructura en que se desarrolla este trabajo, introduce a los conceptos y elementos necesarios para desarrollar el análisis de manera tal que las transiciones entre las diferentes etapas de este no sean bruscas y se puede seguir la secuencia de análisis sin problema. troducción El presente trabajo, está enfocado al análisis y al cálculo de los modos que se propagan en una fibra óptica de índice gradual, mediante un algoritmo,que consiste en el uso del método asintótico WKB, aplicado a la ecuac o o a que los modos de propa la señal de información que p to a las dimensiones del radio de algunas fibras ópticas comerciales. Lo anterior es un esquema general de la importancia que tiene el estudio de este problema en particular, para el cual no se cuenta aún con un análisis completo y detallado, de manera que los resultados que arroje el presente trabajo son de gran importanc as que tienen los métodos asintóticos para la solución de problemas relacionados con la propagación de ondas en general. Acerca de las aplicaciones de la técnica del método WKB y otros métodos asintóticos se pueden encontrar decenas de títulos ver [22], [23], [24], [25], [26 [17], [18]. de ondas dieléctricas de índice gradual que permite estudiar los tres tipos de modos ( modos guiados, modos evanescentes y radiados ), así como calcular el número de los modos guiados 1 Dicha estructura divide e los capítulos 1 al 5, como sigue. En el capitulo 1, se describe en breve la historia de la fibra óptica, sus entajas y desventajas, después se dan los fundamentos teóricos para conocer sus ca os (TE; TM) en una guía de onda arbitra en 5 partes, abarcando d v racterísticas físicas y funcionales de cada uno de los diferentes tipos de fibras ópticas existentes (fibras monomodos, multimodos). En el capitulo 2, está enfocado a las guías de ondas, las expresiones de las ecuaciones de Helmholtz para los mod ria, y para los modos de propagación (EH; HE) en una fibra óptica. En el capitulo 3, se hace el planteamiento del problema, partiendo de las ecuaciones de Maxwell que permiten encontrar la ecuación general de los modos de propagación (TE; TM; EH; HE), y representar las expresiones de las componentes de los campos E y H . En el capitulo 4, se da un análisis a los tres tipos de modos basándose sobre analizan los resultados numéricos obteni la ecuación general de onda y la ecuación de Schrodinger como un modelo, después se muestra en detalle el método WKB para encontrar la ecuación que permite de calcular los modos guiados en una fibra óptica de índice gradual. En el capitulo 5, se obtienen y se dos para algunos ejemplos de fibras ópticas de índice gradual comerciales, observando el comportamiento de la cantidad de los modos al variar el radio de la fibra óptica. 2 Capítulo 1 Estructura de la fibra óptica En este capitulo se describen los eventos históricos en el desarrollo de las comun Con la invención y construcción del láser en 1960, volvió a tomar cuerpo la e utilizar la luz como soporte de comunicaciones fiables y de alta la posibilidad de una fuente de luz ploración de las comunicaciones ópticas ción, debido a la alta frecuencia de la Por entonces comenzaron los estudios básicos sobre los procesos de . Los primeros experimentos sobre transmisión por la atmósfera pusieron de manifiesto diversos obstáculos: escasa fiabilidad icaciones por fibra óptica que se ha tenido en la utilización de la luz como portadora de información y sus ventajas y desventajas. En la ultima sección se describen los tipos de la fibra óptica y las características de cada una. 1.1 HISTORIA DE LA FIBRA ÓPTICA Las ondas de luz, al igual que las de radio, son una forma de energía electromagnética, y la idea de transmitir información por medio de la luz, como portadora, tiene más de un siglo de antigüedad. Hacia 1880, antes de la invención del teléfono, Alexander G. Bell construyó el llamado <<fotófono>>, que enviaba mensajes vocales, a corta distancia, por medio de la luz. Sin embargo, esa aplicación de las ondas luminosas no fue viable por la falta de fuentes de luz adecuadas y de un medio de propagación de bajas pérdidas. idea d potencialidad de información. De hecho, coherente y monocromática estimuló la ex como soporte de altos flujos de informa portadora . modulación y detección de la luz 3 debida a los precipitacione contaminación atmosférica, turbulencias atmosféricas, etc. El empleo resultar tractivo: Tamaño, peso, facilidad de manejo, flexibilidad y coste ( comparado con s sistemas de comunicación por la atmósfera). isis teórico, ompleto, sobre la propagación electromagnética en un medio dieléctrico ilíndrico. El problema radicaba en que las fibras de vidrio disponibles cuando se s miles de decibelios por kilómetro. La primera indicación de una solución viable aparece en 1966, con la Hockan de un famoso artículo, en el cual señalan que la atenuación observada hasta entonces en las fibras de vidrio no se debía a icación y que, por consiguient en frecuencias óptic /km por medio de fibras con núcleo de de alta s (lluvia, nieve), de las fibras de vidrio como medio guía no tardó en a lo Las fibras de vidrio permiten guiar la luz mediante múltiples reflexiones internas de los rayos luminosos. Es muy probable que la potencialidad de guiar luz mediante cilindros transparentes fuese bien conocida por los artesanos del vidrio. En 1910 se realizó, por Hondros y Debie, el primer anál c c inventó el láser presentaban pérdidas de vario publicación por Kao y mecanismos intrínsecos, sino a impurezas originadas en la fabr e, era viable emplear fibras dieléctricas como soporte de información as. Entonces surgió la propuesta de utilizar una guía óptica para la comunicación. Esta forma de usar la luz como portadora de información se puede explicar de la siguiente manera: Se trata en realidad de una onda electromagnética de la misma naturaleza que las ondas de radio, con la única diferencia que la longitud de las ondas es del orden de micrómetros en lugar de metros o centímetros. No fue sino hasta 1970 cuando la firma Corning obtuvo unas fibras con una atenuación inferior a 20 dB/km, al año siguiente, 1973, Corning dejó obsoletas las fibras de núcleo líquido al obtener 4 dB 2SiO pureza. Las nuevas posibilidades que ofrecían las fibras estimularon la investigación hacia fuentes y detectores ópticos de pequeño tamaño, buena fiabilidad y pequeño 4 consumo. Los emisores de semiconductores y los detectores de estado sólido parecían los más prometedores. orma e entonces los progresos se han multip un not En 1970 se realizó el primer láser de AlGaAs capaz de operar de f continua a temperatura ambiente (20-25C); sin embargo, la vida de aquellos dispositivos sólo era de unas pocas horas. Desd licado y hoy es posible encontrar comercializados diodos láser con más de 100.000 horas de vida media. En lo que respecta a los emisores de luz incoherente (LED), en 1971 se dio able paso, cuando C. A. Burrus desarrolló un LED de pequeña superficie radiante (unos 50 mµ de diámetro) particularmente idóneo para el acoplamiento con las fibras ópticas. En 1976 tuvo lugar un destacado evento. Investigadores japoneses, de la NTT y de Fujicura, obtuvieron fibras con kmdB /1.047.0 ± en 1.3 y 1.55 mµ , muy cerca ya del límite debido a los factores intrínsecosde atenuación (impuesto por un fenómeno de esparcimiento Rayleigh, que introduce una atenuación inversamente proporcional a la cuarta potencia de la longitud de onda). En 1974 se alcanzaron 0.2 dB/km, sobre fibras monomodo en 1.55 mµ . En 1975 se predijo que las fibras de SiO presentaban una zona de mínima dispersión, alrededor de 1.3 2 mµ , por cuanto la dispersión del material de la fibra ivo intrínseco. n tes y detectores ópticos aptos para e constituye un factor limitat Estos dos aspectos (bajas pérdidas y baja dispersión) abrían nuevas posibilidades para transmisiones de alta velocidad y larga distancia. E consecuencia, se estimuló la investigación de fuen stas longitudes de onda (1.3- mµ6.1 ). En 1976 se construye el primer diodo láser de InGaAsP/InP, si bien con una vida media limitada (2000 horas). Un año más tarde (1977) también p udo ED de ese mismo material. Hoy tanto el LED como el láser, fabricados con este material, están comercialmente dis fabricarse un L ponibles. 5 Si se requiere ver más acerca de la historia de la fibra óptica se puede ver [1], [2], [3]. la fibra óptica se ha convertido en una de las tecnol casi en su totalidad los ruidos y las interferencias hasta multip la hacen ser ventaj su núcleo, que es la guía de la onda lumino nes a s interferencias electromagnéticas de radio-f Entre las ventajas, también de la fibra, tienen la capacidad de tolerar altas iferencias de potencial sin ningún circuito adicional de protección y no hay problemas debido a los cortos circuitos, tienen un gran ancho de banda que puede 1.2 Ventajas y desventajas de las comunicaciones por fibra óptica. Desde el año 1976 ogías más avanzadas que se utilizan como medio de transmisión de información. Este novedoso material vino a revolucionar los procesos de las telecomunicaciones en todos los sentidos, desde lograr una mayor velocidad en la transmisión, disminuir licar las formas de envío en comunicaciones y recepción por vía telefónica. Las fibras ópticas son filamentos de vidrio de alta pureza extremadamente compactos. El grosor de una fibra es similar a la de un cabello humano. Fabricadas a alta temperatura con base en silicio. A continuación se mencionan algunas características, que s as por la fibra óptica. El proceso de elaboración es controlado por medio de computadoras, para permitir que el índice de refracción de sa, sea uniforme y evite las desviaciones, entre sus principales características se puede mencionar que son compactas, ligeras, con bajas pérdidas de señal, amplia capacidad de transmisión y un alto grado de confiabilidad debido a que son inmu la recuencia. Las fibras ópticas no conducen señales eléctricas por lo tanto son ideales para incorporarse en cables sin ningún componente conductivo y pueden usarse en condiciones peligrosas de alta tensión. d 6 ser utilizado para incrementar la capacidad de transmisión con el fin de reducir el costo por canal; De esta forma es considerable el ahorro en volumen en relación on los cables de cobre. s o líneas principales, mientras que se requiere de 10,000 pares de able de cobre convencional para brindar servicio a ese mismo número de usuari r haya necesidad de recurrir a repetidores lo que también hace más econó fue propuesta como medio de transmisión debido aplicaciones además de la telefonía, automatización indust ito se encuentra un tercer componente al que se le denomina detect compone en este orden, de señal de entrad c Con un cable de seis fibras se puede transportar la señal de más de cinco mil canale c os, con la desventaja que este último medio ocupa un gran espacio en los ductos y requiere de grandes volúmenes de material, lo que también eleva los costos. Comparado con el sistema convencional de cables de cobre donde la atenuación de sus señales, (Decremento o reducción de la onda o frecuencia) es de tal magnitud que requieren de repetidores cada dos kilómetros para regenera la transmisión, en el sistema de fibra óptica se pueden instalar tramos de hasta 70 km. Sin que mico y de fácil mantenimiento este material. Originalmente, la fibra óptica a su enorme ancho de banda; sin embargo, con el tiempo se ha planteado para un amplio rango de rial, computación, sistemas de televisión por cable y transmisión de información de imágenes astronómicas de alta resolución entre otros conceptos de transmisión en un sistema de transmisión por fibra óptica existe un transmisor que se encarga de transformar las ondas electromagnéticas en energía óptica o en luminosa, por ello se le considera el componente activo de este proceso. Una vez que es transmitida la señal luminosa por las minúsculas fibras, en otro extremo del circu or óptico o receptor, cuya misión consiste en transformar la señal luminosa en energía electromagnética, similar a la señal original. El sistema básico de transmisión se a, amplificador, fuente de luz, corrector óptico, línea de fibra óptica (primer tramo) empalme, línea de fibra óptica (segundo tramo), corrector óptico, receptor, amplificador y señal de salida. 7 En resumen, se puede decir que este proceso de comunicación, la fibra óptica funciona como medio de transportación de la señal luminosa, generado por el transmisor de LED'S (diodos emisores de luz) y lásers. nto con todas las ventajas de la banda óptica no se puede menospreciar las gra Los diodos emisores de luz y los diodos lásers son fuentes adecuadas para la transmisión mediante fibra óptica, debido a que su salida se puede controlar rápidamente por medio de una corriente de polarización. Además su pequeño tamaño, su luminosidad, longitud de onda y el bajo voltaje necesario para manejarlos son características atractivas. Ju ndes dificultades que están en el camino de su máximo uso. Los procesos tecnológicos de fabricación de muchos elementos de los sistemas de comunicaciones por fibra óptica son muy complicados y casi se encuentran al nivel de las posibilidades técnicas. Cabe mencionar que los niveles de tolerancia en el proceso de fabricación de fibras ópticas son del orden de una fracción de mµ1 . mas con las conexiones segura La base técnica de la banda óptica aún no se ha desarrollado en su totalidad, finalmente, en esta banda se tienen algunas desventajas principales. Aquí se mencionan solamente las más importantes. Los grandes aumentos de frecuencia en comparación con la banda radiotécnica implican grandes dificultades en la estabilización de las frecuencias y en la sincronización de los generadores. Por lo regular, las fibras ópticas son relativamente muy caras. Así, las fibras ópticas de buena calidad con guías de onda de cuarzo son varias veces más caras que los cables coaxiales de cobre. Grandes dificultades surgen por el peligro de aparición de microflexiones y microgrietas. Entre las desventajas también existen proble s entre los segmentos de las fibras ópticas. 8 1.3 F luz han experimentado das por materiales opacos. Esta teoría descri ca tal como la interfe amente rectilíneo de la luz podía ser int det e. la luz son transversales (el movim iadas por una pequeña fuente óptica puede undamentos físicos del funcionamiento de la fibra óptica. Los conceptos concernientes a la naturaleza de la muchas variaciones durante la historia de la física. Desde los inicios del siglo XVIII generalmente se creía que la luz consistía en una corriente de partículas diminutas que eran emitidas por fuentes luminosas. Estas partículas fueron dibujadas viajando en líneas estrechas, y esto fue asumido como si éstas pudieran penetrar materiales transparentes pero eran refleja be adecuadamente escalas largas de efectos ópticos tales como reflexión y refracción pero fallaron al explicar el fenómeno de la escala milimétri renciay la difracción. La explicación correcta de difracción fue dada por Fresnel en 1815. Fresnel mostró que el carácter de propagación aproximad erpretado en la suposición de que la luz es un movimiento de onda y que el borde de difracción por consiguiente es contado en all Más tarde el trabajo de Maxwell en 1864 teorizó que las ondas de la luz debían ser electromagnéticas en la naturaleza, es más la observación de los efectos de polarización indicaron que las ondas de iento de la onda es perpendicular hacia la dirección en la que la onda viaja). Las ondas electromagnéticas rad ser representada por un tren de frentes de ondas esféricas con la fuente en el centro, como se muestra en la figura siguiente: 9 Figura 1.1 Frentes de ondas esféricas y sus rayos Un frente de onda es definido como el lugar de todos los puntos en el tren de ond ntada como una onda plana, y su dirección de viaje puede ser indicado por un ray a el cual tiene la misma fase. Cuando la longitud de onda de la luz es más pequeña que el objeto (o abertura ) donde se encuentra, las frentes de ondas aparecen como líneas estrechas a estos objetos ó abertura. En este caso la onda de la luz puede ser represe o de luz que es ilustrado perpendicular hacia el frente de fase, véase la figura 1.2. 10 mple proceso geométrico del rayo • Índice de refracción. Un parámetro óptico fundamental de un material es el índice de refracción. En un espacio libre una onda de luz viaja a una velocidad la velocidad de la luz es relativa a la frecuencia Figura 1.2 Frentes de ondas planas y sus rayos De esta manera los efectos ópticos de larga escala tales como refracción y reflexión pueden ser analizados por el si trazado. Esta vista de ópticas es referida como rayo u ópticas geométricas ver [4], [5]. El concepto de los rayos de la luz es muy útil porque los rayos muestran la dirección del flujo de la energía en el haz de luz. A continuación se da una definición del índice de refracción y la interpretación del fenómeno de reflexión y de refracción. smxc /103 8≈ υ y a la longitud de onda λ con la relación: λυ=c )1.1( 11 Si ahora la onda viaja en otro medio su velocidad cambia. El cociente el cual la luz cambia de velocidad es el índice de refracción y se puede escribir la relación siguiente: V cn = (1.2) Donde: Es la velocidad de la onda en el vacío Es la velocidad de la onda en el medio. En la tabla 1.1 se dan los valores del índice de refracción de algunos materiales dieléctricos. índice d os c V e refracción (n) Valores típic Aire 1.00 Agua 1.33 Vidrio 1.50 Diamante 2.42 Tabla 1.1. Valores típicos de n en algunos materiales Los conceptos de reflexión y refracción pueden ser interpretados más fácilmente considerando el comportamiento de los rayos de la luz asociado con ndas planas viajando en un material dieléctrico. luz se encuentra en la frontera separando dos iferentes medios, parte del rayo es reflejada de regreso en el primer medio y el resto e o Cuando un rayo de d s inclinado (o refractado ) y se entra en el segundo material ver [6]. Esto se muestra en la figura 1.3. 12 Figura 1.3. La reflexión y refracción del rayo de la luz en la frontera del material Cuando n refracción del rayo de la luz en la interfase es el resultado de la diferencia en la velocidad de la luz en dos materiales que tienen diferentes dices de refracción. La relac s dada por la lación : 1n< la2 ín ión en la interfase es conocida como la ley de Snell y e re 2211 φφ sennsenn = )3.1( Esta ecuación es equivalente a: 2211 coscos θθ nn = )4.1( φ y θDonde los ángulos son definidos en la figura 1.3. De acuerdo con la ley de reflexión el ángulo θ , en el cual el rayo incidente de la interfase es exactamente igual al ángulo del rayo reflejado hace con la misma interfase. También el rayo incidente, el normal a la interfase y el rayo 13 reflejado están en el mismo plano, el cual es perpendicular hacia el plano interfase entre dos materiales. Cuando la luz viaja en un cierto medio es reflejado fuera de un material denso ( uno con un alto índice de refracción ), el proceso es referido a un reflejo externo. En el caso contrario el reflejo de luz de menos material óptimamente denso ( tal como luz viajando en vidrio siendo reflejado en una interfase vidrio aire ) es llamado reflejo interno. Como el ángulo de incidencia θ , en un material óptimamente denso ( alto índice de refracción ) llega a ser pequeño, el reflejo del ángulo 2θ se acerca a cero, más allá de este punto la refracción no es posible y los rayos de luz llegan a ser totalmente internamente reflejado. Las condiciones requeridas para un total reflejo interno pueden ser determi Consideremos las figuras siguientes las cuales muestran una superficie de vidrio en el aire. nadas usando la Ley de Snell ver [7], [6]. Figura 1.4. Presentación del ángulo de cristal y la reflexión total en el interfase vidrio – aire se deja el vidrio en concordancia con la ley de Snell. Un rayo de luz a través una superficie de vidrio, como 14 Si el ángulo de incidencia θ es disminuida, un punto eventualmente será alcanzado donde el rayo de luz en el aire es paralelo al de la superficie de vidrio. Este punto es conocido como el ángulo crítico de incidencia cθ . Entonces la ecuación (1.4) se convierte a: 1 2cos n n c =θ (1.5) Por lo tanto y a partir de la ecuación anterior si el ángulo θ incidente, es menor que el ángulo crítico, la condición para un total reflejo interno es satisfecha que es la luz es totalmente reflejado de regreso en el vidrio sin luz escapando de la superficie de vidrio, es decir, que la relación siguiente es siempre satisfecha: 1 2ncos n >θ (1.6) A continuación, en la sección 1.4 se da un ejemplo para entender la dirección de la luz en una fibra óptica y entender más el reflejo interno total. 1.4 Estructura de la fibra óptica. Como se mencionó en la sección 1.1 y 1.2 Una fibra óptica es un tubo dieléctrico transparente (vidrio) con unas características estructurales para permitir un Esta fibra de onda guiada es normalmente de forma cilíndrica, se limita la nergía electromagnética en forma de luz dentro de sus superficies y guía la luz en dire isión de una guía óptica son dictadas por sus características estructurales, las cuales tienen mayor efecto en determinar cómo una señal óptica es afectada cuando ésta se propaga a lo largo de la fibra y confinamiento de la luz. e cción paralela hacia sus ejes. Las propiedades de transm 15 tambié t a uede ser descrita en tér agnéticas guiadas llamadas los Estos modos guiados son referidos como límite o modos almacenamiento on aquellas ondas electromagnéticas que satisfacen la ecuación de onda homog n influencia en la respues a de la guía de onda hacia las influencias ambientales. La propagación de la luz a lo largo de la guía de ond p minos de un conjunto de ondas electrom modos. de la guía de onda. Como estaremos viendo en los capítulos 3 y 4, estos modos s énea en la fibra y la condición de frontera en las superficiede la guía de onda, la estructura más aceptada de una fibra es un dieléctrico simple de forma cilíndrica y sólido y como ejemplo se puede tomar la estructura de una fibra óptica multimodo, véase la figura 1.5. n las principales funciones que tienen cada una de las partes tipo y el tamaño del núcleo. Figura 1.5 Constitución de una fibra óptica multimodo A continuación, se da que constituyen a la fibra óptica: • El núcleo Es la región central, tiene una forma cilíndrica que se encarga de guiar los haces de luz a lo largo de la guía de onda y la forma de guiarlos dependerá del 16 En fibras de pérdidas bajas y medias el material del núcleo es generalmente de vidrio y es rodeado por cualquiera de los dos recubrimientos de vidrio o plástic n también ampliamente usadas. o. Fibras de núcleo plástico de muy alta pérdida con recubrimientos de plástico so • Cubierta óptica Es un dieléctrico sólido, tiene un índice de refracción menor que el del núcleo, como se verá después, es una condición necesaria para satisfacer el fenómeno de reflexión interna total en la frontera entre los dos, y la forma de expresarlo es: cocl nn < (1.7) Donde: es el índice de refracción de la cubierta óptica. es el índice de refracción del núcleo. Aunque en principio, la cubierta óptica no es necesaria para la luz para propagarse a lo largo del núcleo de la fibra, este sirve para varios propósitos. ta óptica reduce un poco la pérdida resultante de las umenta la potencia mecánica a la fibra, y protege al núcleo de la absorción de contaminantes de la s • El recubrimiento. Es un material que fomenta la potencia en la fibra y protege a la fibra de peque cln con La cubier discontinuidades dieléctricas en el núcleo de la superficie. Este a uperficie con las cuales puede entrar en contacto. ñas irregularidades geométricas, distorsión de superficies adyacentes. 17 Estas perturbaciones pueden de lo contrario causar algunas pérdidas inducidas por una desviación microscópica fortuita que puede surgir cuando las fibras están incorporadas en cables o soportadas por otras estructuras. se utilizan en el análisis de las fibras pticas. • La reflexión interna total en la fibra óptica Después de las definiciones que se dio a los partes que constituyen la fibra, se debe anunciar algunas definiciones que ó Para entender la dirección de la luz en una fibra óptica se considera un rayo entrando en la fibra como se muestra en la figura siguiente: Figura 1.6 Reflexión interna total rfase del núcleo y la cubierta óptica) Si el ángulo de incidencia ( en la inte φ es mayor que el ángulo crítico que es dado con la relación siguiente: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎛ = − 21 nSinφ (1.8⎜ ⎝ 1n c ) 18 Entonces el rayo experimentará un reflejo interno total en esa interfase. Además, debido a la simetría cilíndrica en la estructura de la fibra, este rayo sufrirá un reflejo interno total también en la interfase menor y por lo tanto será guiado iado en el dieléctrico, pero apenas más información. En los capítulos 3 y 4 se da interpretación más rigurosa y completa por la apl obtención de sus posibles oluciones. de la fuente, existirán nas u otras. De esas soluciones, unas serán propagativas, mientras que otras serán evanescentes y no propagarán ni energía, ni , por lo tanto información. El número de modos que una fibra puede soportar depende de las características geométricas de la misma. • Apertura numérica. Consideramos la figura 1.6 y se considera un rayo que es incidente en la abertura de la entrada de la fibra y hace un ángulo a lo largo del núcleo por reflejos internos totales repetidos. La interpretación geométrica da una idea intuitiva de lo que ocurre y porqué existe gu icación rigurosa de las ecuaciones de Maxwell y la s Esas soluciones son variadas y distintas. En general existirán infinitas soluciones posibles, pero en función de las características u α con el eje z y el rayo refractado hace un ángulo θ con el eje de la fibra. Asumiendo que afuera de la fibra óptica el índice de refracción es y aplicando la Ley de Snell se obtiene: 0n 0sin sin n nco= θ α (1.9 ) Para satisfacer una reflexión interna total en la interfase del núcleo y la debe incidir critico, es decir: cubierta óptica el rayo de luz con un ángulo mayor que el ángulo 19 co cl n n sen >)(cosθφ (1.10) Aplicando la identidad trigonométrica: 1cos 22 =+ θθsen Se obtiene 2 1 2 1 ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ ⎟⎟ ⎞ ⎜⎜ ⎛ −< cl n senθ (1.11) ⎥⎦⎢⎣ ⎠⎝ con Al sustituir en la ecuación (1.10) se obtiene: 2 1 0 2 22 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − < n nnsen clcoα (1.12) Si suponiendo que el medio de donde incide el rayo es el aire, en este caso el valor máximo de sin α se tiene: ( ) 2122 clcom nnsen (1 −=α .13) Donde: mα es el ángulo de aceptación (ángulo máximo) Por lo tanto, la apertura numérica, se define como el seno del ángulo de aceptación (ángulo máximo) ver [8], y se nota como: 20 m senNA α= (1.14) 1.5 Tipos de fibras ópticas ambio en el índice de refracción del material para curvar la trayectoria de la luz y confinarla en el núcleo. Las guías de onda dieléctricas se clasifican de acuerdo a su índice de refracción en dos tipos ver [5], [9], [10], que son : • Fibras ópticas de índice Abrupto Que pueden ser clasificadas en dos tipos: Fibras ópticas monomodo o • Fibras ópticas de índice gradual r la cual puede prop ecir, sólo un modo que viaja paralelamente al eje central del núcleo y también tiene que satisfacer a la condición ver [11]: Como se vio en los puntos anteriores ( Ley de Snell), es necesario que exista un c Fibras ópticas multimod • Fibras Monomodo Sólo existe una trayectoria po agarse el rayo de luz, es d 222 clco nn a −> 405.2 πλ (1.15) Donde: es el índice de refracción del núcleo a es el rayo de la fibra óptica con 21 cln es el índice de refracción del revestimiento • Fibras Multimodo : existe más de un tipo de modo de propagación. s por una interfase en la que hay n salto brusco. Con esta geometría los rayos describen trayectorias en zigzag, reb y otra vez hasta llegar al otro extremo e la fibra, la figura siguiente describe un índice de salto: En este tipo Una fibra óptica puede tener una distribución de índice de dos tipos: • Salto de índice: Existen dos índices de refracción separado u otando en las interfases del núcleo una d Figura 1.7. Perfil del índice de refracción en una fibra de salto de índice. • Índice gradual: de refracción varía deforma gradual entre el índice del núcleo y el el exterior. El índice d 22 El sucesiv obliga al rayo a ractarse continuamente, obligándole a recorrer trayectorias curvas que nunca lleg rta, la figura siguiente muestra un índice gradual. o cambio gradual del índice de refracción ref an al material de la cubie Figura 1.8. Perfil de índice de refracción en una fibra de índice gradual. A continuación se describen las características de los tipos de fibras ópticas: • Fibras de índice Abrupto a. Fibra de índice Abrupto Monomodo En este tipo de fibra el modo de dispersión puede ser disminuido, reduciendo el ámetro del núcleo hasta que la fibra óptica transmita solamente un modo. L cleo e sólo a di a fibra óptica está basada en el principio de teniendo un diámetro de nú 2 mµ8d , véase la figura 1.9 23 Figura 1.9. Fibra óptica monomodo En esta figura se muestra el camino de la luz y el plano de índice refracción. La apertura numérica y por lo tanto el ángulo de aceptación, es pequeño para estas fibras, lo cual hace el lanzamiento de la luz más difícil, sólo el modo funda Las aplicaciones previstas pueden exigir varios tipos de fibras monomodo ue difieren en: longitud de onda de funcionamiento. Las características geométricas y ópticas. aptarse a muy diversas configuraciones de perfil e índice, la figura siguiente refleja varias concepciones. mental puede ser usado para transmitir la energía en la fibra. q Naturaleza del perfil de índice de refracción. La Una fibra monomodo puede ad d 24 Figura 1.10. Perfiles de índice para fibras monomodo El perfil en forma de W permite ajustar la longitud de onda de dispersión ula en un margen (1.3 – 1.45 mµ ; ó 1.5 – 1.7 mµn ) ver [5], [12], [13] Las fibras con doble revestimiento no pueden mantener simultáneamente una baja dispersión y atenuación en la banda de 1.3 a 1.6 mµ , para alcanzar este objetivo se han diseñado las fibras con perfil segmentado. Entre las características de la fibra monomodo es usada para una velocidad muy alta, el ancho de banda largo, aplicaciones de distancia larga. Entonces se puede decir que estas fibras son más eficientes pero son difíciles para trabajar con ellas por sus pequeños diámetros de núcleo, especialmente cuando esta viene para finalizar la fibra. 25 b. Fibra óptica de índice abrupto multimodo El tipo de fibra más sencillo es llamado fibra de índice de escalón. La fibra de índice de escalón multimodo tiene un núcleo de cristal de a 50 mµ200 en diámetro rodeado por un revestimiento de vidrio. Diámetros de núcleo largo resultan en más modos de luz de los que pueden ser realizados con diámetros de núcleo pequeño. Con el índice de refracción de la cubierta óptica ligeramente inferior que el del núcleo. El término más común para esta fibra es fibra multimodo con un plano de dice de escalón, el camino del rayo y el plano del índice de refracción es ostrado en la figura 1.11 ín m del ángulo crítico. y la distancia adicional Figura 1.11. Fibra de índice Abrupto Multimodo Como es representado en la figura, hay dos rayos que pueden viajar a lo largo del núcleo. Uno es llamado el rayo axial, el cual viaja a lo largo del eje, el otro es llamado el marginal o rayo meridional, el cual viaja a lo largo de un camino cerca El rayo meridional viajará más lejos que el rayo axial recorrida es definida por la relación siguiente: 26 cl clco nnZZ .( n )− =∆ )16.1( Donde: Z∆ es definida en metros )(m . Z es la distancia recorrida El tiempo adicional que esta tomando para que el rayo meridional viaje es : c nnnZ t cclc )..( − =∆ (1.17) Donde: es definida en segundos Este retraso de tiempo, conocido como dispersión modal, causa distorsión en el pulso que está siendo enviado. Esto causa un pulso de luz corto para ampliar, de esta manera se reduce la velocidad de transmisión y el ancho de banda de transmisión. Los modos que el rayo axial transporta y los modos que el rayo marginal transporta interactúan entre ellos, intercambiando energía a lo largo del camino, causando mezcla de modo. La dispers do por Kilómetro . nificante en una distancia pequeña, los sistemas de fibra óptica puede expresada en frecuencia, tal como t∆ )(s . ión modal es típicamente de 15 a 30 nanosegun )/( Kmns Si la distancia es doblada, el tiempo de dispersión será doblado. Aunque esto parezca insig n transmitir datos por arriba de distancias mucho más largas. La dispersión podría limitar por completo el ancho de banda del sistema. y puede ser también KmMHz −100 . Este número indica nte en el sistema. Desde que hay demasiada dispersión asociada con las fibras de índice de scalón multimodo, este es el menos eficiente de los tres tipos de fibras. que el ancho de banda más elevado es de MHz100 por Km1 de fibra antes de la dispersión habrá un problema limita e 27 Sin embargo, la fibra es la menos económica, es fácil interrumpir prestar a si mismo para la incorporación de los conectores finales y tiene una apertura numérica larga a través de la cual la luz puede penetrar la fibra. ras son usadas para distancias cortas, menos de un Kilómetro, donde los ancho eq adual reducirá el pulso ampliado. • Fibra de índice gradual multimodo compromiso de los critos. s e dice gradual: com interfase entre el núcleo y el revestimiento. La figura 1.12 muestra el camino del Estas fib s de banda de señales r ueridas son más pequeñas, usando un modo único o un modo de fibra de índice gr La fibra de índice gradual multimodo es un dos tipos de fibra previamente des Entre la ventajas de la fibra óptica d ín El límite entre el núcleo y el revestimiento no es tan definido claramente o con la fibra de índice escalón. El índice de refracción del núcleo de vidrio disminuye parabólicamente en la rayo y el plano de índice de refracción. Figura 1.12. Fibra de índice gradual multimodo Los rayos de luz viajan desviados o en caminos ales en a fibra de índice gradual. helicoid un Por motivo del plano de índice de refracción parabólico, los rayos son refractados continuamente y cambian su dirección de propagación. 28 Los rayos que viajan en el eje de fibra transverso tienen un camino más corto que los cercanos a la interfase de la cubierta óptica del núcleo. La diferencia en el índice de refracción anula el problema de retraso de tiempo, que fue encontrado con la fibra de índice de escalón. 29 Capítulo 2 On híbridas) Cuando se trata el problema práctico de la propagación de las ondas electromagnéticas en guías de ondas, el objetivo es resolver las ecuaciones de Maxwell en el interior de dichas guías, y las soluciones obtenidas se pueden dividir en tres grupos, de los cuales se habla en este capítulo, dichos grupos de soluciones también llamados ondas o modos, son las ondas Transversales Eléctricas (TE), las Transversales Magnéticas (TM) y las ondas híbridas (HE y EH). Como se ha mencionado, los modos TE , TM y ondas híbridas (HE y EH) son soluciones de las ecuaciones de Maxwell en las guías de ondas dieléctricas ver [14], [15], [16], en este capítulo se considera en principio, algunas características generales de las guías de ondas, y como un ejemplo de guía de onda se tomará una fibra óptica de índice abrupto, para posteriormente derivar las soluciones de las ecuaciones de Maxwell que nos llevan a la definición de los modos TE, TM, EH y HE. 2.1 Guías de ondas En cualquier situación realista enla que se quieran estudiar los campos dependientes del tiempo, deben existir límites o paredes en la región bajo análisis. En estos casos las soluciones para los campos en el medio no podrán ser, en general, ondas planas uniformes de extensión infinita, ya que, además de satisfacer las ecuaciones de Maxwell, deben cumplir las condiciones de frontera en los límites de la región que se considera. Una guía de onda puede ser definida como una estructura destinada a la propagación dirigida y acotada de radiación electromagnética. El medio dieléctrico en el que esta propagación se produce está limitado, ya sea por un material das Transversales (ondas TE, TM, ondas 30 conductor ( para microondas o por otro dieléctrico (para frecuencias ópticas). Líneas de transmisión de d Guías de ondas huecas Fibras ópticas as ondas TE y TM uía de onda con sección transversal arbitraria, la cual ene en su interior un dieléctrico que guía la onda a lo largo del eje de propag y radiofrecuencia), Existen varios tipos de guías de ondas, los más usuales son: os conductores La primera de éstas, y como su nombre lo indica, consta de un par de conductores paralelos usados para la transmisión eficiente de potencia e información, entre ellas se encuentran la línea de transmisión de dos alambres y la línea de transmisión coaxial, ejemplos de estas líneas los podemos observar en los cables usados para transporte de energía eléctrica y en los cables usados para TV, respectivamente. El tercer tipo de guías de ondas, también llamadas fibras ópticas consisten en una varilla de material dieléctrico, la cual se basa en el principio de reflexión interna total, como se vió en detalle en el capítulo 1, para guiar una onda electromagnética de un punto a otro. A continuación se da unas definiciones sobre los tres tipos de ondas TE, TM y ondas híbridas (HE y EH). 2.2 L Suponiendo una g ti ación que coincide con el eje coordenado z, como se muestra en la figura siguiente. 31 Figura 2.1. Guía de onda con sección transversal arbitraria Se consideran dos ondas que viajan a lo largo del eje z de esta guía con la velocidad: β wv = (2.1) es la frecuencia angular de la onda Donde: w β es la constante de propagación y tienen una amplitud no uniforme en el plano transversal ver [14], entonces sus expresiones son los siguientes: , (2.2) En este caso, se sabe que tanto el campo eléctrico como el campo magnético zjeyxEE β−= ),(0 zjeyxHH β−= ),(0 E H satisfacen la ecuación de Helmholtz homogénea en tres dimensiones, (2.3) 0222 =+∇ EnkE 32 (2.4) Donde: 0222 =+∇ HnkH c wk = es el número de onda es el índice de refracción del dieléctrico n 2 2 2 2 2 2 2 zyx ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ se le conoce como el operador laplaciano. Al sustituir las expresiones del campo eléctrico y magnético en las ecuaciones de Helmholtz vectorial se obtiene otra expresión de estas ecuaciones vectoriales en función de las amplitudes del campo eléctrico y magnético en dos dimensiones. 0 (2.5) e: 022 =+∇ EpE 0 00 2 0 2 =+∇ HpH (2.6) Dond 2 2 2 2 yx ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ 2 Si de Helmholtz vectoriales en sus se tendrá un sistema de seis xEpE , , , , ue será suficiente con resolver las ecuaciones diferenciales para las omponentes axiales, y las demás componentes serán derivables de los axiales. ransversales de 2222 β−= nkp descomponemos a las ecuaciones componentes escalares xE , yE , zE , xH , H y , zH ecuaciones escalares de Helmhotz. 022 =+∇ yy EpE 0 22 =+∇ zz EpE 0 22 =+∇ x 022 =+∇ xx HpH 0 22 =+∇ yy HpH 0 22 =+∇ zz HpH Suponiendo, que sólo las componentes axiales zE y zH son conocidas, esto significa q c Se notan las partes t las dos amplitudes como: 33 zeEeEE yyxxt zE ××=+= zHzeHeH yyxx ×0 , tH ×=+= 0 (2.7) Aplicando las ecuaciones de Maxwell a las expresiones del campo eléctrico y magnético se obtiene una relación entre las amplitudes de los dos campos. ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎡ ×− EzH βµ ⎣ −=×∇ 000 w jwE µ (2.8) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ×−−=×∇ 000 Hzw HjwH ε βε (2.9) Al multiplicar estas dos ecuaciones con el producto vectorial con z y aplicar l: la identidad vectoria [ ]),(),( yxFzyxFz ⋅∇=×∇× Se obtiene: ⎥ ⎦⎣ wµ ⎤ ⎢ ⎡ −×−= ttz EHzjw βµ (2.10) ∇E ⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎡ ×−=∇ tz EzjwH ε ⎣ − tHwε β (2.11) Donde: × Ez =× 0 tEz Debido a las expresiones anteriores, se ve que se pueden encontrar las ecuaciones simultáneas para tE y tH en términos de los dos componentes axiales E y H , sólo se combinan las ecuaciones (2.10) y (2.11), para eliminarz z tH y se llega: 34 ( ) ttzE = (2.12) z EpEnkjHzjw 2222 =−∇−∇× ββµ Y eliminar tE se llega a: ( ) ttzz HpHnkHjEzjw 2222 =−=∇−∇× ββε (2.13) Estas dos ecuaciones muestran que las amplitudes de los campos ansversales y son de hecho directamente derivables de las componentes y también demuestran otra pro el campo, es decir, los campos transversales son combinaciones lineales de los gradie dos ecuaciones anteriores, los campos transversales y pueden ser expresados como una superposición de dos tipos de ecuaciones a no tiene la componente axial tE tHtr axiales zE y H piedad importante de las amplitudes z d ntes de los dos componentes axiales. A partir de las tE tH más simples, un zE )0( =zE , y se define como una nda TE, y la segunda ecuación no tiene la componente axial , y se define como una onda TM, las dos ecuaciones que caracterizan estos dos tipos de como: • Para la onda TE ( ). Sustituyendo en las ecuaciones (2.12) y (2.13) se obtiene la ecuación sta onda. Hzjw ∇×µ y (2.14) Al sustituir en las ecuaciones (2.12) y (2.13) se obtiene la ecuación caract = o zH )0( =zH ondas se escriben 0=zE característica de e TEEp =2 zt zt TE HjHp ∇−= β2 • Para la onda TM ( ) 0=zH erística de esta onda. zt TM Ezjwp ∇×− ε2 y zt TM EjEp ∇−= β2 (2.15) H 35 y la segun )0( =zH , es una da ecuación no tiene la componente axial aracterística de la onda TM. ne mpo axial son encontradas descomponiendo las cuaciones de Helmholtz vectoriales que se escriben como: , para ondas TM (2.16) H de tres tipos de modos, además de las guía de onda metálica, la fibra óptica como guía de onda tiene también otro tipo ales tiene l revestimiento. fibra tica de sección transversal arbitraria, véase la figura zH c Las compo ntes del ca e 022 =+∇ zz EpE02 =+∇ zz Hp , para ondas TE (2.17) 2.3 Ondas híbridas (EH y HE) 2 La propagación de las ondas electromagnéticas en una fibra óptica consiste ondas TE y TM que se propagan en una de modos que se llaman modos híbridos los cu n componentes axiales del campo eléctrico zE y campo magnético zH y componentes transversales. A continuación se da una expresión de las componentes transversales y axiales en el núcleo y en e Se considera una óp siguiente: 36 Figura 2.2. Fibra óptica como guía de onda nentes transversales tienen las expresiones siguientes: Con la derivación de las ecuaciones de Maxwell para una onda no uniforme y tomando una fibra óptica de sección transversal como guía de onda, se llega a las expresiones de las componentes transversales y axiales, tanto en el núcleo como en la cubierta óptica ver referencia: • En el núcleo: Las compo zzz Hzp jw E p jzEE ∇×+∇−= 2 0 2 µβ (2.18) zzz Ezp njw H p jzHH ∇×+∇−= 2 1 2 0 2 εβ (2.19) 37 Las componentes axiales satisfacen a las ecuaciones escalares de Helmholtz: , (2.20) • En la cubierta óptica: Se aplican las mismas ecuaciones en el núcleo, sólo remplazando con y con se llega a: Las expresiones de las 022 =+∇ zz EpE 0 22 =+∇ zz HpH 2p 2q− 1n 2n componentes transversales se escriben como: zzz Hzq jw E q jzEE ∇×−∇+= 2 0 2 µβ (2.21) zzz Ezq njw H q jzHH ∇×−∇+= 2 2 2 0 2 εβ (2.22) s de las componentes axiales satisfacen a las ecuaciones scalares de Helmholtz: , (2.23) , (2.24) y las expresione e 022 =+∇ zz EpE 0 22 =+∇ zz HpH Donde: 2221 2 pnk += β 2222 2 qnk −= β 38 Capítulo 3 Derivación de las ecuaciones de ondas partiendo de las ecuaciones de Maxwell oblema correspondiente para encontrar las de ondas de los tres tipos (ondas TE, ondas TM, ondas híbridas), utilizando las ecuaciones de Maxwell ver [17], [18], [19], [20]. 3.1 Ecuaciones de Maxwell. avés de ondas dieléctricas, se utiliza la teoría electromagnética r James Clerk Maxwell, ya que de las ondas electromagnéticas, y para entenderla se debe conocer los postulados que son las cuatro ecuaciones de Maxwell, que se puede representar en forma integral ( la cual es conveniente, ya que nos indica las leyes sica que sirven de fundamento) ó en forma diferencial ( que se emplea con más frecue e erá satisfacer las cuatro ecuaciones de Maxwell. La s campos electromagnéticos es debido a que son medios capaces nergía o inform espacio material, algunos ejemplos de stos campos electromagnéticos son las ondas de radio, señales de televisión, los haces del radar y en nuestro caso los rayos de luz. continuación se dan las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial. Y ometría cilíndrica de la guía, será convenie cilíndricas. En este capítulo se plantea el pr ecuaciones Para saber el comportamiento de la propagación de ondas de luz a tr de las guías desarrollada po dicha teoría llevó al descubrimiento fundamentales fí ncia en la resolución de problemas ); para que un campo pueda decirse qu es electromagnético deb utilización de lo de transportar e ación en el e A debido a la ge nte utilizar coordenadas 39 ( ) ( ) t∂ tp, BtpE ∂−=×∇ , )1.3( a ( ) ( ) ( ) t tpJtpH tpD ∂ ∂ +=×∇ ,, , )1.3( b ( ) 0, =⋅∇ tpB )1.3( c ( ) ( )tptpD ,, ρ=⋅∇ )1.3( d Donde : ( ) ℜ∈ℜ∈= tzrp ,,, 3θ son el vector de posición y el tiempo arbitrario. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) zzrrzr etzrEetzrEetzrEEEEtpE ,,,,,,,,,,,, θθθ θθθ ++== Es la en volts sobre metro ( )mV / . intensidad del campo eléctrico, dada ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) zzrrzr etzrHetzrHetzrHHHHtpH ,,,,,,,,,,,, θθθ θθθ ++== Es la intensidad del campo magnético, dada en amperes sobre metro ( )mA / . ( ) ( )zr DDDtpD ,,, θ= Es la densidad del flujo eléctrico o inducción eléctrica dada en coulombs sobre metro cuadrado ( )2/ mC . ( ) ( )zr BBBtpB ,,, θ= Es la densidad del flujo magnético o inducción magnética dada en weber sobre metro cuadrado )/( 2mWb . ( ) ( )zr JJJtpJ ,,, θ= Es la densidad de corriente de conducción dada en amperes sobre metro cuadrado ( )2/ mA . ( ) ( )zrtp ρρρρ θ ,,, = Es la densidad de carga eléctrica dada por coulombs sobre metro cúbico ( )3/ mC . Las ecuaciones de Maxwell son ecuaciones diferenciales lineales de primer orden acopladas (que contienen tanto el campo eléctrico E como el campo magnético H ). La relación que existe entre las cantidades del campo vectorial JBHDE ,,,, es dada por medio de las relaciones constitutivas que caracterizan al edio, es decir que para un medio dado alguno de los campos pueden ser scritos como función de otros, en general pueden ser escritas como sigue : m e )(,)(,)( EJJHBBEDD === 40 La interpretación más simple de estas relaciones consiste en que, por ducción está completamente determinada por la intensidad en el mismo punto y en el mismo instante ( y ejemplo, la in ),( tpDD = ),( txE p t B H y también y J E son consideradas en forma similar ). En otras palabras, los en el medio s inerciales. A pesar de que tal interpretación es bastante idealizada, es aplicable en muchos casos prácticos. En fenómenos electromagnéticos on considerados locales y no tonces ( ) ( )tpEtpD r ,, 0εε= )2.3( a ( ) ( )tpHtpB r ,, 0µµ= b .3( ( ) )2 ( )tpEtpJ r ,, 0σσ= )2.3( c Donde 0ε es la permitividad del e 0µspacio libre en Farad / m y es la permeabilidad del espacio libre medida en Henry / m 0σ es la conductividad del espacio libre medida en Siemens / m; las cantidades adimensionales rε y rµ y rσ son llam s respe Las ecuaciones ma describen una rica variedad de fenómenos físicos que representan la respuesta del medio a la aplic campo electromagnético. Asumimos que las características electromagnéticas del m ado ctivamente permitividad y permeabilidad y conductividad relativas. teriales )2.3( a y )2.3( b y la ley de Ohm de la ecuación )2.3( c ación del edio ε y µ y σ no cambian en el tiempo. Si además tienen los mismos valores en todos los puntos de un volumen 3R∈Ω entonces el medio que llena el volumen es llamado homogéneo y en el caso opuesto, cuando )( pεε = y/o )( pµµ = y/o )( pσσ = ,inhomogéneo. Supondremos también que los pares de vectores ED , y HB , y EJ , son olineales. En este caso el medio es llamado isotrópico ( en caso contrario, c anisotrópico). 41 ( )0=ρConsiderando ahora el medio libre de cargas eléctricas , no conductor, ( ) 0== pσσ . las ecuaciones de Maxwe siguiente forma :( ) ( ) ll toman la ( ) t tpH t tpBtE ∂ p ∂−= ∂ ∂ −=× ,,, µ )3.3( a ( ) ( ) ∇ t tpEtpH ∂ ∂ =×∇ ,, ε )3.3( b ( ) (, ∇ )3.3( c =⋅∇ tpB Hµ 0) = =E ( ) (, ∇=⋅∇ tpD 0)ε d ( )3.3 Donde 0εεε 0µµµ r= = r y Las cuatro ecuaciones de Maxwell son en apariencia sencilla ya que son ecuaciones diferenciales de primer orden y a partir de ellas se puede encontrar las cuatro ecuaciones b 3.2 ca cil ica, v que ásicas que se utilizan para encontrar la expresión de la ecuación de onda. Las ecuaciones de ondas. Consideremos una fibra ópti índr éase la figura 3.1, y se supone el campo eléctrico y magnético en coordenadas cilíndricas a lo largo del eje de la fibra óptica tienen la forma siguiente : ( ) ( )[ ] ( )zwtjzzt β− ( ) erEerEE θθ += ,, y )4.3( a ( )[ ] ( )zwtjzzt erHH βθθ −+= , )4.3( b Donde: tt HyE rHe , , son los vectores del campo eléctrico y el campo magnético en el lano θr . ze es el vector unitario en la dirección Z . zz HyE son las componentes p 42 del campo axial, w es la frecuencia angular de la luz, β es la constante de fase en la dirección axial. EA partir de las ecuaciones )4.3( a y )4.3( b se ve que el campo eléctrico y l campo magnético H tienen dos componentes las cuales son ),( θrEt y ),( θrHt e θr y las compon que expre el plano san el campo eléctrico n n y mag ético e entes y en el plano . zE zH OZ Representación del campo eléctrico y magnético en una fibra óptica uyendo y en las b d obtenemos ecuaciones que dependen sólo de las componentes y y Figura 3.1. Substit ecuaciones de Maxwell )3.3( a - ( - )4.3( a )4.3( b )3.3 )3.3( c - )3.3( tE tH zE y H . z 43 tztz EjEHejw βµ +⋅∇=− )5.3( a z Eejw × tzt HjH βε +⋅∇= × )5.3( b ( ) EjE zt εβε =∇ ).3( ( ) HjH 5c zt µβµ =∇ i se utilizan estas ec S uaciones se puede expresar el campo eléctrico y el en función de los campos eléctricos y el campo magnético , y a partir de estas relaciones se encuentran las dos ecuaciones diferenciales que se utilizan para llegar a las ecuaciones de ondas para los tres tipos de ondas (TE, TM, y ondas híbridas). La manera de obtenerla es la siguiente: • Para el campo eléctrico, Multiplicamos la ecuación con el producto vectorial )5.3( d tE campo magnético tH zE zH )5.3( b ze [ ]zztzztz HeEeejwjHe ⋅∇×−××⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =× ε β 1 De la identidad vectorial CBABCACBA )()()( ⋅−⋅=×× [ ]zzttz HeEjwjHe ⋅∇×−−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =× ε β 1 stituyendo esta relación en la ecuación se obtiene: )5.3( aSu ⎟⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎝ ⋅∇×−⎟⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎝ = zzt Hew E β22 • ⎞⎛ ⋅∇ ⎞⎛ − − z wEj µ βεµ β Para el campo magnético, multiplicamos la ecuación con el producto vectorial )6.3( )5.3( a ze 44 zzttz E jeHwEe ⋅∇×+=× ββ µ Sustituyendo esta expresión en la ecuación )4.3( b se tiene: ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ ⋅∇×+⋅∇ − −= zzt EHw H ββεµ 22 (3.7) • Para las dos ecuaciones diferenciales, sustituyendo la ecuación (3.6) en )5.3( c se obtiene ⎟ ⎞ ⎜ ⎛ zwej εβ ( )zzzz Heww ⎠⎝ −⎦⎣ − βεµββεµ wEE +⎥ ⎤ ⎢ ⎡ ⋅∇−∇= εε ⋅∇×⎟⎟ ⎞ ⎜⎜ ⎛ ∇ 2222 εµ Multiplicando la ecuación con ε βεµ 22 −w ( ) 022 22 22 22 2 ⎡− εβεµ2 =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅∇×⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ∇ − −−+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⋅∇ − ∇ zzzz H we w wEwE w w β µ βεµ εµ εµ βεµβεµ βεµ torial: ε ( )[ ] f f rf ∇=∇ 1,ln θ Se usa la identidad vec Se puede escribir el tercer término de la ecuación: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ∇=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ∇ − 2222 22 ln βεµ εµ βεµ εµ εµ βεµ ww w Por lo tanto la ecuación anterior se escribe como : 45 ( ) )8.3(0ln 222222 22 ⎢ ⎡ ∇ − E w βµε =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅∇×⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ∇−−+⎥ ⎦ ⎤ ⎣ ⋅∇ − zzzz Hwe w wE w β µ βµε µε βµε βµε ε ε segu ón diferencial ustituyendo la relación (3.7) en la ecuación se obtiene De la misma manera se puede encontrar la nda ecuaci )5.3( ds ( ) )9.3(0ln 222222 22 =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅∇×⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ∇+−+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅∇ − ∇ − zzzz E we w HwH w w β ε βµε µε βµε βµε µ µ βµε Considerando el modelo de la guía de onda véase la figura siguiente: Figura 3.2. Modelado por medio de una guía de onda dieléctrica cilíndrica. es el índice de refracción de núcleo a es el radio del núcleo Donde: )(rnco )(rncl es el índice de refracción del revestimiento 46 En general cuando se trabaja en guías de ondas dieléctricas, las cuales operan a frecuencias ópticas del espectro electromagnético es usual expresar la edio del índice de refracción del medio, donde la depen permitividad eléctrica por m dencia es en la coordenada r . )()( rrn ε= , (3.10) an las siguientes hipótesis, las cuales se deben tener en mente en el transcurso del trabajo. • Hipótesis: 1.- La permitividad )()(2 rrn ε= En el resto de este trabajo se consider ε es una función de r sólo: ( ) ( )[ ]rfr −= 11εε (3.11) Donde 1ε es el valor máximo de la permitividad ( )rε en el centro del núcleo. 2.- El material de la fibra óptica es no magnético : 0µµ = (3.12) 3.- L a constante de fase se define como : 01 2 µεw 2 1 βχ −= (3.13) La geometría de la fibra óptica sugiere la introducción de las coordenadas cilíndricas, se puede asumir que el eje Z coincide con el eje de la fibra óptica, 47 como se interesa principalmente las componentes tangenciales se puede excluir los factores que dependen de Z y de t , para no complicar las notaciones, se denota las componentes del campo sin estos factores. ( ) ( )nnr wE ϕθφ β ε +⎜ ⎛ = cos01 2 (3.14) µ ⎟⎟ ⎠ ⎞ z ⎜ ⎝ y ( ) ( )nz nsenrwH ϕθψε += 1 (3.15) Donde es un número entero,n nϕ es el ángulo de fase )0( =nϕ ó )2 ( πϕ =n , )()( ryr ψφ son funciones de r . 3.12)-(3.13)-(3.14)-(3.15) en las cuaciones (3.8) y (3.9) las cuales se escriben de otras expresiones: Al sustituir las ecuaciones (3.11)-( e ( ) )16.3(01 121 ⎟⎠⎜⎝ −∂⎟⎠⎜⎝ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣⎦⎣ ∂ ⎟ ⎠⎝ −∂ ⎟ ⎠ χχ rfrrrfrr 11 1 2 2 =⎟ ⎞ ⎜ ⎛ −∂⎟⎞ ⎜ ⎛ − − + ⎤⎡ −−+⎥ ⎤ ⎢ ⎡ ∂ ⎟ ⎞ ⎜⎜ ⎛ −∂⎟ ⎞ ⎜ ⎝ − − ψχφχµεφχ nf f fnfwrf f f ⎜ ⎛ ( ) ( ) 01 =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −∂⎦⎣⎦⎣ ∂⎠⎝ −∂ φ χχ r n frrrfrr (3.17) Ahora se debe encontrar las expresiones del campo eléctrico y el componentes en el plano )( 11 2 2 01 2 ∂−+⎥ ⎤ ⎢ ⎡ −−+⎥ ⎤ ⎢ ⎡ ∂ ⎟⎟ ⎞ ⎜⎜ ⎛∂ − χψχµε ψ χ fnfwrf tE campo magnético tH las cuales tienen dos θr , es decir ue los dos campos tienen las expresiones siguientes: q θθeEeEE rrt += (3.18) y θθeHeHH rrt += (3.19) 48 Sustituyendo las ecuaciones (3.11)-(3.12)-(3.13)-(3.14)-(3.15) en las relaciones (3.6)-(3.7) y aplicando las ecuaciones (3.18)-(3.19) se llega a: ( )nr nr n rf jE ϕθψφ χ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ − −= cos )( (3.20) ( )nnsenrr n f jE ϕθψφ χθ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + − = )( (3.21) ( )nr n jH ϕθ +−= (3.22) sen r nf rfw φ χ ψ χµ β ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + ∂ ∂ − 1 1 )(0 ( )nnrr n fw jH ϕθφψ χµ β θ +⎟⎟⎜⎜ ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + − − = cos 1 1 )( ) f χ ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 0 (3.23 casos, las uaciones se vuelven más simples, estas cuatro soluciones corresponden a las ondas TE, TM, EH, y HE. Si supone que en las ecuaciones (3.16)-(3.17), se obtienen dos nes diferenciales independientes de Las ecuaciones (3.16)-(3.17)-(3.20)-(3.21)-(3.22)-(3.23) parecen más complicadas, sin embargo, si se agrupa la solución en cuatro ec 0=n φ y ψecuacio : ( )[ ] 011 1 1 2 =−+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − φχµεφ χ χ fw r r f f rrf f (3.24) ( ) [ ] 0)(11 012 =−+⎥ ⎦ ⎤ ⎟⎜ ∂ − ψχµεχ fwr r f (3.25) Por lo tanto se consideran dos casos independientes: .1 La ecuación de onda de los modos TE • Cuando ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∂ ψ χ rfr 3.2 0=φ , 0≠ψ . 49 Al sustituir en las ecuaciones (3.14)-(3.20)-(3.23)se obtiene: Este caso corresponde a las ondas TE las cuales se caracterizan con 0=zE . 0=== θHEE rz (3.26) e escribe Si s )()( 1)( rRfj dr d dr d f jrR −−= − = χψ ψ χ tituyendo esta relación en la ecuación (3.25) se expresión: (3.27) Sus llega a la siguiente ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += dr dR r R w j 01 2 µε ψ Al sustituir esta ecuación en la relación (3.27) se obtiene una expresión diferencial de segundo orden: 01)(1 201 2 =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ R r wf dr dRr dr d r µεχ (3.28) ondición define una ecuación de onda para Usando la ecuación (3.27) se puede expresar las demás componentes en nción de : Esta c las ondas TE. ( )rRfu ⎥⎦⎢⎣ += Rr drw H z 0µ ⎤⎡ −dRj 1 (3.29) (3.30) )(rRE =θ )( 0 rR w Hr µ β− = (3.31) 50 3.2.2 La ecuación de onda de los modos TM • Cuando 0≠φ , 0=ψ . En este caso se define las ondas TM que caracterizan con la condición manera, sustituyendo las ecuaciones (3.15)-(3.21)-(3.22) se puede demostrar que : 0=zH . De la misma 0=== rz HEH θ (3.32) Se nota ( ) )()( )( 1 djrR −= rRfj dr d drf −= − χφ φ χ (3.33) Se demuestra ahora la segunda ecuación de onda, siguiendo un rocedimiento similar al usado en la demostración anterior de las ondas TE se obtien p e : 01)(1 201 2 =⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ −−+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ R r wf dr dRr dr d µεχ (3.34) Usando la ecuación (4.33) se obtienen las demás componentes del campo eléctri r co y el campo magnético en función de ( )rR : (3.35) )(rREr = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ +−= R rdr dRjEz 11 β (3.36) )(rRH 0wµ β θ = (3.37) 51 Si se considera que 0≠n en este caso para facilitar el análisis y no omplicar la expresión de la ión de onda. Se supone que la diferencia entre el índice de refracción del núcleo y la cubierta óptica de la fibra óptica, es relativ c ecuac amente pequeño , es decir que f−1 es diferencial con respecto a r en las ecuaciones , pero en la magnitud )16.4( - )17.4( )( f−χ , ninguna aproximación se hace, pues la magnitud de χ y f son comparables entonces se puede escribir la siguiente aproximación : 11 2 ≅≅− f (3.38) 11 01 2=− µε βχ w y Al aplicar estas hipótesis las ecuaciones (3.20)-(3.21) no se cambian pero las ecuaciones (3.16) y (3.17) y (3.22) y (3.23) se convierten como : )39.3(01)()(11)( 2 2 1 2 =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −∂ ∂ −+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −−+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −∂ ∂ − ψ χ χφχµε φ χ χ r n fr f r nfw r r frr f ) ( ) )40.3(01)(11 ∂( 2 2 01 2 =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −∂ ∂ −+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −−+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −∂ − φ χ χψχµεψ χ χ r n fr f r nfw r r frr f ( )nrH = (3.41) nsenr n rfw j ϕθφψ χµ β +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ − − )(0 ( ) nnrrfwH ϕθψχµθ +⎟⎠ ⎜ ⎝ ∂ + − = cos )(0 (3.42) nj φβ ⎞⎛ ∂− Al introducir las nuevas variables: ψξαφξα ψφξψφα= (3.43) =−=+ − = + y y 22 52 Al sustituir en las ecuaciones (3.39)-(3.40), y si se hace la sumatoria y la diferencia de estas dos ecuaciones se llega a dos expresiones de ecuaciones, una en función de α y la otra en función de ξ : )44.3(0 11 2 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −∂ ∂ ⎥ ⎦ ⎤⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂⎟⎠ ⎜ ⎝ −∂ ∂ χχ r n frr n rfrr ( ) )()( 1 )( 1 =⎟⎜−+⎢ ⎣ −−+ ∂ ⎟ ⎞ ⎜ ⎛ − αχαχµε α χ ffwrf ( ) )45.3(01)(11 +⎥ ⎤ ⎢ ⎡ ∂ ⎟⎟ ⎞ ⎜⎜ ⎛∂ − ξ χ rf 2 2 01 2 =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −∂ ∂ −−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −− ⎦⎣ ∂⎠⎝ −∂ ξ χ χξχµε χ r n fr f r nfw rfrr el caso de las ondas TE y TM se puede tener dos casos independientes las cuales son: I. Cuando Como en 0=α y 0≠ξ II. Cuando 0≠α y 0=ξ El caso (I) corresponde a los modos EH, y que satisfacen al caso (II) corresponde a los modos HE, En los dos casos las componentes axiales 0≠zE y . 3.2.3 La ecuación de onda de los modos EH Los modos EH se caracterizan con 0≠zH 0≠n y 0≠ξ y 0=α entonces ψφξ −== . Se escribe : ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ − − = χ drf rR )( ⎡− ξξ r ndj (3.46)
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