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ANALISIS-ASINTOTICO-DE--FIBRAS-OPTICAS-DEL-INDICE-GRADUAL

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA 
MECÁNICA Y ELÉCTRICA 
UNIDAD ZACATENCO 
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE 
POSGRADO E INVESTIGACIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANALISIS ASINTOTICO DE FIBRAS OPTICAS DEL 
INDICE GRADUAL 
 
 
 
 
TESIS 
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: 
MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERIA DE TELECOMUNICACIONES 
PRESENTA: 
BOUCHAIB EL HATIFI EL HAMDANI 
 
 
 
DIRECTOR DE TESIS: 
DR. VLADISLAV KRAVCHENKO 
 
 
 
 
 
 
MÉXICO D.F. MARZO 2003 
Contenido 
 
 Resumen ............................................................................................iii 
 Abstract ............................................................................................iii 
 Objetivo .............................................................................................iv 
 Justificación .....................................................................................iv 
 
Introducción ........................................................................................1 
 
1 Estructura de la fibra óptica ...........................................................3 
 1.1 Historia de la fibra óptica .................................................................................3 
 1.2 Ventajas y desventajas de las comunicaciones por fibra óptica......................6 
 1.3 Fundamentos físicos del funcionamiento de la fibra óptica..............................9 
 1.4 Estructura de la fibra óptica...........................................................................15 
 1.5 Tipos de fibras ópticas ..................................................................................21 
 
2 Ondas Transversales (ondas TE, TM, ondas híbridas) .............30 
 2.1 Guías de ondas .............................................................................................30 
 2.2 Las ondas TE y TM .......................................................................................31 
 2.3 Ondas híbridas (EH y HE) ............................................................................36 
 
3 Derivación de las ecuaciones de ondas partiendo de las 
ecuaciones de Maxwell .....................................................................39 
 3.1 Ecuaciones de Maxwell.................................................................................39 
 3.2 Las ecuaciones de ondas..............................................................................42 
 3.2.1 La ecuación de onda de los modos TE ......................................................49 
 3.2.2 La ecuación de onda de los modos TM ......................................................51 
 3.2.3 La ecuación de onda de los modos EH .....................................................53 
 3.2.4 La ecuación de onda de los modos HE .....................................................54 
 i
4 Cálculo del número de m el método WKB .........57 
4.1 Análisis de los modos guiados utilizando la ecuación de onda.....................57 
.1.1 Los tipos de rayos en la fibra óptica de índice gradual...............................57 
.........................................................................70 
 
4.2.1 Información preliminar matemática para usar el método WKB....................72 
4.2.3 Definición de los modos LP........................................................................81 
 
 
5.1 Aplicación para una fibra óptica de índice gradual .......................................88 
odos utilizando
 
 4
 4.1.2 modos guiados............................................................................................65 
 4.1.3 Modos evanescentes.................................................................................68 
4.1.4 Modos radiados................. 
 4.2 Análisis de la fibra óptica de índice gradual utilizando el 
método WKB ..........................................................................................................72 
 
 4.2.2 El método WKB para los sistemas limitados ..............................................76 
 
 4.2.4 El número de los modos guiados que se propagan en una fibra óptica de 
índice gradual ........................................................................................................83 
 4.2.5 Algoritmo y el programa correspondiente para encontrar los valores de m 
y l ...........................................................................................................................84 
 
5 Resultados numéricos ..................................................................88 
 
 5.1.1 El caso donde nm1300=λ , ma µ25= , 562.10 =n , 540.1=cln ....................89 
 5.1.2 El caso donde nm1300=λ y ma µ25.31= , 562.10 =n , 540.1=cln ...............94 
 5.1.3 El caso donde nm850=λ y ma µ25= , 527.10 =n , 515.1=cln .....................97 
 5.1.4 El caso donde nm850=λ y ma µ25.31= , 527.10 =n , 515.1=cln .................99 
 
Conclusiones y recomendaciones .................................................101 
Bibliografía .......................................................................................102 
 
 
 
 
 
 ii
Resumen 
 
 
En el presente trabajo se presenta el análisis asintótico de las guías de 
ondas dieléctricas de índice gradual que permite estudiar los tres tipos de modos 
(modos guiados, modos evanescentes y radiados), así como calcular el número de 
los modos guiados que se propagan en una fibra óptica de índice gradual, para el 
caso cuando el índice de refracción en la región del núcleo varía en forma 
parabólica. 
 
Para diferentes modos de propagación se obtienen las ecuaciones 
diferenciales ordinarias correspondientes, las cuales se analizan mediante el 
método asintótico WKB. Se propone un algoritmo para el cálculo de los modos 
guiados y se analizan los resultados numéricos obtenidos. 
 
 
Abstract 
 
 
In the present work we present the asymptotic analyze of dielectric 
aky mode well as to
umber of guided modes propagating in a optical fiber of graded index, for the 
For different propagation modes we obtain the corresponding ordinary 
ifferential equations, which are analyzed by means of the asymptotic method 
KB. We propose an algorithm to calculate the guides modes and we analyze the 
btained numerical results. 
 
waveguide of graded index, that he allows to study the three types of modes 
(propagation modes, le and radiation modes), as calculate the 
n
case when the index of refraction in the core region change in a parabolic form. 
 
d
W
o
 iii
OBJETIVO 
JUSTIFICACIÓN 
 
aciones de Maxwell y 
acar las ecuaciones de ondas para calcular los números de modos y uno de 
plicación de los resultados que obtendremos por diferentes tipos de fibras 
ópticas comerciales. 
 
En los últimos años la transmisión por fibra óptica ha crecido mucho, se ha 
impuesto sin lugar a dudas porque ofrece un ancho de banda prácticamente 
infinito
ión 
e algunos de los problemas que existen en esta área , así como para trabajos 
futuros
 
 
Mostrar el uso del método asintótico en la solución a problema de 
propagación de ondas electromagnéticas sobre una fibra óptica de índice gradual 
y calcular los modos de propagación por diferentes tipos de fibras. 
 
 
 
El problema que se plantea en este trabajo tiene un doble interés, uno 
teórico en donde se ve claramente la aplicación de las ecu
s
a
, comparando con otros medios de transmisión la fibra puede ofrecer 
anchos de banda en exceso de 1THz (1 000 GHz) , mientras que medios como 
El cable coaxial es de 500 MHz . 
 
En este sentido los resultados de este trabajo serán apoyo para la soluc
d
 que puedan desarrollarse en esta línea. 
 iv
In 
 
ión general de 
nda para una fibra óptica de índice gradual. 
La importancia de este análisis es enorme dentro del campo de las 
telecomunicaciones, debid gación se transportan la 
mayorparte de la energía de se transmite y es útil 
ara la reconstrucción de la señal en etapa de recepción, además este algoritmo 
permite el análisis del comportamiento del número de los modos de propagación 
respec
ia dentro de esta área. 
La manera en que se analiza el problema, parte del conocimiento de las 
ventaj
], 
Cabe mencionar que en este trabajo se mostrará el análisis asintótico de las 
guías 
La estructura en que se desarrolla este trabajo, introduce a los conceptos y 
elementos necesarios para desarrollar el análisis de manera tal que las 
transiciones entre las diferentes etapas de este no sean bruscas y se puede seguir 
la secuencia de análisis sin problema. 
troducción
 
El presente trabajo, está enfocado al análisis y al cálculo de los modos que 
se propagan en una fibra óptica de índice gradual, mediante un algoritmo,que 
consiste en el uso del método asintótico WKB, aplicado a la ecuac
o
o a que los modos de propa
la señal de información que 
p
to a las dimensiones del radio de algunas fibras ópticas comerciales. 
Lo anterior es un esquema general de la importancia que tiene el estudio de 
este problema en particular, para el cual no se cuenta aún con un análisis 
completo y detallado, de manera que los resultados que arroje el presente trabajo 
son de gran importanc
as que tienen los métodos asintóticos para la solución de problemas 
relacionados con la propagación de ondas en general. 
Acerca de las aplicaciones de la técnica del método WKB y otros métodos 
asintóticos se pueden encontrar decenas de títulos ver [22], [23], [24], [25], [26
[17], [18]. 
de ondas dieléctricas de índice gradual que permite estudiar los tres tipos de 
modos ( modos guiados, modos evanescentes y radiados ), así como calcular el 
número de los modos guiados 
 1
Dicha estructura divide e los capítulos 1 al 5, como 
sigue. 
En el capitulo 1, se describe en breve la historia de la fibra óptica, sus 
entajas y desventajas, después se dan los fundamentos teóricos para conocer 
sus ca
os (TE; TM) en una guía de onda 
arbitra
 en 5 partes, abarcando d
 
v
racterísticas físicas y funcionales de cada uno de los diferentes tipos de 
fibras ópticas existentes (fibras monomodos, multimodos). 
En el capitulo 2, está enfocado a las guías de ondas, las expresiones de 
las ecuaciones de Helmholtz para los mod
ria, y para los modos de propagación (EH; HE) en una fibra óptica. 
En el capitulo 3, se hace el planteamiento del problema, partiendo de las 
ecuaciones de Maxwell que permiten encontrar la ecuación general de los modos 
de propagación (TE; TM; EH; HE), y representar las expresiones de las 
componentes de los campos E y H . 
En el capitulo 4, se da un análisis a los tres tipos de modos basándose 
sobre 
analizan los resultados numéricos 
obteni
 
 
 
la ecuación general de onda y la ecuación de Schrodinger como un modelo, 
después se muestra en detalle el método WKB para encontrar la ecuación que 
permite de calcular los modos guiados en una fibra óptica de índice gradual. 
En el capitulo 5, se obtienen y se 
dos para algunos ejemplos de fibras ópticas de índice gradual comerciales, 
observando el comportamiento de la cantidad de los modos al variar el radio de la 
fibra óptica. 
 
 
 
 
 
 
 2
Capítulo 1 
Estructura de la fibra óptica 
 
 
En este capitulo se describen los eventos históricos en el desarrollo de las 
comun
 
Con la invención y construcción del láser en 1960, volvió a tomar cuerpo la 
e utilizar la luz como soporte de comunicaciones fiables y de alta 
 la posibilidad de una fuente de luz 
ploración de las comunicaciones ópticas 
ción, debido a la alta frecuencia de la 
Por entonces comenzaron los estudios básicos sobre los procesos de 
. Los primeros experimentos sobre transmisión 
por la atmósfera pusieron de manifiesto diversos obstáculos: escasa fiabilidad 
icaciones por fibra óptica que se ha tenido en la utilización de la luz como 
portadora de información y sus ventajas y desventajas. En la ultima sección se 
describen los tipos de la fibra óptica y las características de cada una. 
 
1.1 HISTORIA DE LA FIBRA ÓPTICA 
 
Las ondas de luz, al igual que las de radio, son una forma de energía 
electromagnética, y la idea de transmitir información por medio de la luz, como 
portadora, tiene más de un siglo de antigüedad. 
Hacia 1880, antes de la invención del teléfono, Alexander G. Bell construyó 
el llamado <<fotófono>>, que enviaba mensajes vocales, a corta distancia, por 
medio de la luz. Sin embargo, esa aplicación de las ondas luminosas no fue viable 
por la falta de fuentes de luz adecuadas y de un medio de propagación de bajas 
pérdidas. 
idea d
potencialidad de información. De hecho,
coherente y monocromática estimuló la ex
como soporte de altos flujos de informa
portadora . 
modulación y detección de la luz
 3
debida a los precipitacione contaminación atmosférica, 
turbulencias atmosféricas, etc. 
El empleo resultar 
tractivo: Tamaño, peso, facilidad de manejo, flexibilidad y coste ( comparado con 
s sistemas de comunicación por la atmósfera). 
isis teórico, 
ompleto, sobre la propagación electromagnética en un medio dieléctrico 
ilíndrico. El problema radicaba en que las fibras de vidrio disponibles cuando se 
s miles de decibelios por kilómetro. 
La primera indicación de una solución viable aparece en 1966, con la 
 Hockan de un famoso artículo, en el cual señalan que la 
atenuación observada hasta entonces en las fibras de vidrio no se debía a 
icación y que, por 
consiguient
en frecuencias óptic
/km por medio de fibras con núcleo de 
de alta
s (lluvia, nieve), 
 de las fibras de vidrio como medio guía no tardó en
a
lo
Las fibras de vidrio permiten guiar la luz mediante múltiples reflexiones 
internas de los rayos luminosos. Es muy probable que la potencialidad de guiar luz 
mediante cilindros transparentes fuese bien conocida por los artesanos del vidrio. 
En 1910 se realizó, por Hondros y Debie, el primer anál
c
c
inventó el láser presentaban pérdidas de vario
publicación por Kao y
mecanismos intrínsecos, sino a impurezas originadas en la fabr
e, era viable emplear fibras dieléctricas como soporte de información 
as. Entonces surgió la propuesta de utilizar una guía óptica 
para la comunicación. 
Esta forma de usar la luz como portadora de información se puede explicar 
de la siguiente manera: 
Se trata en realidad de una onda electromagnética de la misma naturaleza que las 
ondas de radio, con la única diferencia que la longitud de las ondas es del orden 
de micrómetros en lugar de metros o centímetros. 
No fue sino hasta 1970 cuando la firma Corning obtuvo unas fibras con una 
atenuación inferior a 20 dB/km, al año siguiente, 1973, Corning dejó obsoletas las 
fibras de núcleo líquido al obtener 4 dB 2SiO
 pureza. 
Las nuevas posibilidades que ofrecían las fibras estimularon la investigación 
hacia fuentes y detectores ópticos de pequeño tamaño, buena fiabilidad y pequeño 
 4
consumo. Los emisores de semiconductores y los detectores de estado sólido 
parecían los más prometedores. 
orma 
 
e entonces los progresos se han 
multip
 
un not
En 1970 se realizó el primer láser de AlGaAs capaz de operar de f
continua a temperatura ambiente (20-25C); sin embargo, la vida de aquellos
dispositivos sólo era de unas pocas horas. Desd
licado y hoy es posible encontrar comercializados diodos láser con más de 
100.000 horas de vida media. 
En lo que respecta a los emisores de luz incoherente (LED), en 1971 se dio
able paso, cuando C. A. Burrus desarrolló un LED de pequeña superficie 
radiante (unos 50 mµ de diámetro) particularmente idóneo para el acoplamiento 
con las fibras ópticas. 
En 1976 tuvo lugar un destacado evento. Investigadores japoneses, de la 
NTT y de Fujicura, obtuvieron fibras con kmdB /1.047.0 ± en 1.3 y 1.55 mµ , muy 
cerca ya del límite debido a los factores intrínsecosde atenuación (impuesto por 
un fenómeno de esparcimiento Rayleigh, que introduce una atenuación 
inversamente proporcional a la cuarta potencia de la longitud de onda). 
En 1974 se alcanzaron 0.2 dB/km, sobre fibras monomodo en 1.55 mµ . 
En 1975 se predijo que las fibras de SiO presentaban una zona de mínima 
dispersión, alrededor de 1.3
2
mµ , por cuanto la dispersión del material de la fibra 
ivo intrínseco. 
n 
tes y detectores ópticos aptos 
para e
constituye un factor limitat
Estos dos aspectos (bajas pérdidas y baja dispersión) abrían nuevas 
posibilidades para transmisiones de alta velocidad y larga distancia. E
consecuencia, se estimuló la investigación de fuen
stas longitudes de onda (1.3- mµ6.1 ). 
En 1976 se construye el primer diodo láser de InGaAsP/InP, si bien con una 
vida media limitada (2000 horas). Un año más tarde (1977) también p udo
ED de ese mismo material. Hoy tanto el LED como el láser, 
fabricados con este material, están comercialmente dis
 
fabricarse un L
ponibles. 
 
 5
Si se requiere ver más acerca de la historia de la fibra óptica se puede ver [1], [2], 
[3]. 
 
 
la fibra óptica se ha convertido en una de las 
tecnol
casi en su totalidad los ruidos y las interferencias hasta 
multip
 la hacen ser 
ventaj
 su núcleo, que es la guía de la onda 
lumino
nes a s interferencias electromagnéticas de 
radio-f
Entre las ventajas, también de la fibra, tienen la capacidad de tolerar altas 
iferencias de potencial sin ningún circuito adicional de protección y no hay 
problemas debido a los cortos circuitos, tienen un gran ancho de banda que puede 
1.2 Ventajas y desventajas de las comunicaciones por fibra 
óptica. 
 
Desde el año 1976 
ogías más avanzadas que se utilizan como medio de transmisión de 
información. Este novedoso material vino a revolucionar los procesos de las 
telecomunicaciones en todos los sentidos, desde lograr una mayor velocidad en la 
transmisión, disminuir 
licar las formas de envío en comunicaciones y recepción por vía telefónica. 
 Las fibras ópticas son filamentos de vidrio de alta pureza extremadamente 
compactos. 
El grosor de una fibra es similar a la de un cabello humano. Fabricadas a 
alta temperatura con base en silicio. 
A continuación se mencionan algunas características, que s 
as por la fibra óptica. 
El proceso de elaboración es controlado por medio de computadoras, para 
permitir que el índice de refracción de
sa, sea uniforme y evite las desviaciones, entre sus principales 
características se puede mencionar que son compactas, ligeras, con bajas 
pérdidas de señal, amplia capacidad de transmisión y un alto grado de 
confiabilidad debido a que son inmu la
recuencia. 
Las fibras ópticas no conducen señales eléctricas por lo tanto son ideales 
para incorporarse en cables sin ningún componente conductivo y pueden usarse 
en condiciones peligrosas de alta tensión. 
d
 6
ser utilizado para incrementar la capacidad de transmisión con el fin de reducir el 
costo por canal; De esta forma es considerable el ahorro en volumen en relación 
on los cables de cobre. 
s o líneas principales, mientras que se requiere de 10,000 pares de 
able de cobre convencional para brindar servicio a ese mismo número de 
usuari
r 
 haya necesidad de recurrir a repetidores lo que también hace más 
econó
 fue propuesta como medio de transmisión 
debido
aplicaciones además de la telefonía, automatización 
indust
ito se encuentra un tercer componente al que se le denomina 
detect
 compone en este orden, de señal de 
entrad
c
Con un cable de seis fibras se puede transportar la señal de más de cinco 
mil canale
c
os, con la desventaja que este último medio ocupa un gran espacio en los 
ductos y requiere de grandes volúmenes de material, lo que también eleva los 
costos. 
Comparado con el sistema convencional de cables de cobre donde la 
atenuación de sus señales, (Decremento o reducción de la onda o frecuencia) es 
de tal magnitud que requieren de repetidores cada dos kilómetros para regenera
la transmisión, en el sistema de fibra óptica se pueden instalar tramos de hasta 70 
km. Sin que
mico y de fácil mantenimiento este material. 
Originalmente, la fibra óptica
 a su enorme ancho de banda; sin embargo, con el tiempo se ha planteado 
para un amplio rango de 
rial, computación, sistemas de televisión por cable y transmisión de 
información de imágenes astronómicas de alta resolución entre otros conceptos 
de transmisión en un sistema de transmisión por fibra óptica existe un transmisor 
que se encarga de transformar las ondas electromagnéticas en energía óptica o 
en luminosa, por ello se le considera el componente activo de este proceso. Una 
vez que es transmitida la señal luminosa por las minúsculas fibras, en otro 
extremo del circu
or óptico o receptor, cuya misión consiste en transformar la señal luminosa 
en energía electromagnética, similar a la señal original. 
El sistema básico de transmisión se
a, amplificador, fuente de luz, corrector óptico, línea de fibra óptica (primer 
tramo) empalme, línea de fibra óptica (segundo tramo), corrector óptico, receptor, 
amplificador y señal de salida. 
 7
En resumen, se puede decir que este proceso de comunicación, la fibra 
óptica funciona como medio de transportación de la señal luminosa, generado por 
el transmisor de LED'S (diodos emisores de luz) y lásers. 
 
nto con todas las ventajas de la banda óptica no se puede menospreciar 
las gra
Los diodos emisores de luz y los diodos lásers son fuentes adecuadas para 
la transmisión mediante fibra óptica, debido a que su salida se puede controlar 
rápidamente por medio de una corriente de polarización. Además su pequeño 
tamaño, su luminosidad, longitud de onda y el bajo voltaje necesario para 
manejarlos son características atractivas. 
Ju
ndes dificultades que están en el camino de su máximo uso. 
Los procesos tecnológicos de fabricación de muchos elementos de los 
sistemas de comunicaciones por fibra óptica son muy complicados y casi se 
encuentran al nivel de las posibilidades técnicas. 
Cabe mencionar que los niveles de tolerancia en el proceso de fabricación 
de fibras ópticas son del orden de una fracción de mµ1 . 
mas con las conexiones 
segura
La base técnica de la banda óptica aún no se ha desarrollado en su 
totalidad, finalmente, en esta banda se tienen algunas desventajas principales. 
Aquí se mencionan solamente las más importantes. 
Los grandes aumentos de frecuencia en comparación con la banda 
radiotécnica implican grandes dificultades en la estabilización de las frecuencias y 
en la sincronización de los generadores. 
Por lo regular, las fibras ópticas son relativamente muy caras. Así, las fibras 
ópticas de buena calidad con guías de onda de cuarzo son varias veces más 
caras que los cables coaxiales de cobre. 
Grandes dificultades surgen por el peligro de aparición de microflexiones y 
microgrietas. 
Entre las desventajas también existen proble
s entre los segmentos de las fibras ópticas. 
 
 
 
 8
1.3 F
 luz han experimentado 
das por materiales opacos. Esta teoría 
descri
ca tal como la 
interfe
amente rectilíneo de la luz podía 
ser int
 det e. 
 la luz son transversales (el 
movim
iadas por una pequeña fuente óptica 
puede
 
undamentos físicos del funcionamiento de la fibra óptica. 
 
Los conceptos concernientes a la naturaleza de la
muchas variaciones durante la historia de la física. Desde los inicios del siglo XVIII 
generalmente se creía que la luz consistía en una corriente de partículas diminutas 
que eran emitidas por fuentes luminosas. Estas partículas fueron dibujadas 
viajando en líneas estrechas, y esto fue asumido como si éstas pudieran penetrar 
materiales transparentes pero eran refleja
be adecuadamente escalas largas de efectos ópticos tales como reflexión y 
refracción pero fallaron al explicar el fenómeno de la escala milimétri
renciay la difracción. 
La explicación correcta de difracción fue dada por Fresnel en 1815. Fresnel 
mostró que el carácter de propagación aproximad
erpretado en la suposición de que la luz es un movimiento de onda y que el 
borde de difracción por consiguiente es contado en all
Más tarde el trabajo de Maxwell en 1864 teorizó que las ondas de la luz 
debían ser electromagnéticas en la naturaleza, es más la observación de los 
efectos de polarización indicaron que las ondas de
iento de la onda es perpendicular hacia la dirección en la que la onda 
viaja). 
Las ondas electromagnéticas rad
 ser representada por un tren de frentes de ondas esféricas con la fuente en 
el centro, como se muestra en la figura siguiente: 
 
 
 9
 
Figura 1.1 Frentes de ondas esféricas y sus rayos 
 
Un frente de onda es definido como el lugar de todos los puntos en el tren 
de ond
ntada como una onda plana, y su dirección de viaje puede ser indicado por 
un ray
 
a el cual tiene la misma fase. 
 Cuando la longitud de onda de la luz es más pequeña que el objeto (o 
abertura ) donde se encuentra, las frentes de ondas aparecen como líneas 
estrechas a estos objetos ó abertura. En este caso la onda de la luz puede ser 
represe
o de luz que es ilustrado perpendicular hacia el frente de fase, véase la 
figura 1.2. 
 
 10
 
 
 
mple proceso geométrico del rayo 
• Índice de refracción. 
 
Un parámetro óptico fundamental de un material es el índice de refracción. 
En un espacio libre una onda de luz viaja a una velocidad la 
velocidad de la luz es relativa a la frecuencia 
Figura 1.2 Frentes de ondas planas y sus rayos 
De esta manera los efectos ópticos de larga escala tales como refracción y 
reflexión pueden ser analizados por el si
trazado. Esta vista de ópticas es referida como rayo u ópticas geométricas ver [4], 
[5]. 
El concepto de los rayos de la luz es muy útil porque los rayos muestran la 
dirección del flujo de la energía en el haz de luz. 
A continuación se da una definición del índice de refracción y la 
interpretación del fenómeno de reflexión y de refracción. 
 
smxc /103 8≈
υ y a la longitud de onda λ con la 
relación: 
 
 λυ=c )1.1( 
 11
Si ahora la onda viaja en otro medio su velocidad cambia. El cociente el 
cual la luz cambia de velocidad es el índice de refracción y se puede escribir la 
relación siguiente: 
V
cn = (1.2) 
Donde: 
 Es la velocidad de la onda en el vacío 
 Es la velocidad de la onda en el medio. 
 
En la tabla 1.1 se dan los valores del índice de refracción de algunos 
materiales dieléctricos. 
índice d os 
c
 V
 
e refracción (n) Valores típic
Aire 1.00 
Agua 1.33 
Vidrio 1.50 
Diamante 2.42 
 
Tabla 1.1. Valores típicos de n en algunos materiales 
 
Los conceptos de reflexión y refracción pueden ser interpretados más 
fácilmente considerando el comportamiento de los rayos de la luz asociado con 
ndas planas viajando en un material dieléctrico. 
 luz se encuentra en la frontera separando dos 
iferentes medios, parte del rayo es reflejada de regreso en el primer medio y el 
resto e 
o
Cuando un rayo de 
d
s inclinado (o refractado ) y se entra en el segundo material ver [6]. Esto se
muestra en la figura 1.3. 
 
 12
 
Figura 1.3. La reflexión y refracción del rayo de la luz en la frontera del material 
 
Cuando n refracción del rayo de la luz en la interfase es el resultado 
de la diferencia en la velocidad de la luz en dos materiales que tienen diferentes 
dices de refracción. 
 La relac s dada por la 
lación : 
 
1n< la2
ín
ión en la interfase es conocida como la ley de Snell y e
re
 2211 φφ sennsenn = )3.1( 
 
Esta ecuación es equivalente a: 
 
 2211 coscos θθ nn = )4.1( 
 
φ y θDonde los ángulos son definidos en la figura 1.3. 
De acuerdo con la ley de reflexión el ángulo θ , en el cual el rayo incidente 
de la interfase es exactamente igual al ángulo del rayo reflejado hace con la 
misma interfase. También el rayo incidente, el normal a la interfase y el rayo 
 13
reflejado están en el mismo plano, el cual es perpendicular hacia el plano 
interfase entre dos materiales. 
Cuando la luz viaja en un cierto medio es reflejado fuera de un material 
denso ( uno con un alto índice de refracción ), el proceso es referido a un reflejo 
externo. 
En el caso contrario el reflejo de luz de menos material óptimamente denso 
( tal como luz viajando en vidrio siendo reflejado en una interfase vidrio aire ) es 
llamado reflejo interno. 
Como el ángulo de incidencia θ , en un material óptimamente denso ( alto 
índice de refracción ) llega a ser pequeño, el reflejo del ángulo 2θ se acerca a 
cero, más allá de este punto la refracción no es posible y los rayos de luz llegan a 
ser totalmente internamente reflejado. Las condiciones requeridas para un total 
reflejo interno pueden ser determi
Consideremos las figuras siguientes las cuales muestran una superficie de 
vidrio en el aire. 
 
nadas usando la Ley de Snell ver [7], [6]. 
 
Figura 1.4. Presentación del ángulo de cristal y la reflexión total en el interfase 
vidrio – aire 
se deja el vidrio en 
concordancia con la ley de Snell. 
 
Un rayo de luz a través una superficie de vidrio, como 
 14
Si el ángulo de incidencia θ es disminuida, un punto eventualmente será 
alcanzado donde el rayo de luz en el aire es paralelo al de la superficie de vidrio. 
Este punto es conocido como el ángulo crítico de incidencia cθ . 
Entonces la ecuación (1.4) se convierte a: 
 
 
1
2cos
n
n
c =θ (1.5) 
 
Por lo tanto y a partir de la ecuación anterior si el ángulo θ incidente, es 
menor que el ángulo crítico, la condición para un total reflejo interno es satisfecha 
que es la luz es totalmente reflejado de regreso en el vidrio sin luz escapando de 
la superficie de vidrio, es decir, que la relación siguiente es siempre satisfecha: 
 
 
1
2ncos
n
>θ (1.6) 
A continuación, en la sección 1.4 se da un ejemplo para entender la 
dirección de la luz en una fibra óptica y entender más el reflejo interno total. 
 
1.4 Estructura de la fibra óptica. 
 
Como se mencionó en la sección 1.1 y 1.2 Una fibra óptica es un tubo 
dieléctrico transparente (vidrio) con unas características estructurales para permitir
un
Esta fibra de onda guiada es normalmente de forma cilíndrica, se limita la 
nergía electromagnética en forma de luz dentro de sus superficies y guía la luz 
en dire
isión de una guía óptica son dictadas por sus 
características estructurales, las cuales tienen mayor efecto en determinar cómo 
una señal óptica es afectada cuando ésta se propaga a lo largo de la fibra y 
 
 
 confinamiento de la luz. 
e
cción paralela hacia sus ejes. 
Las propiedades de transm
 15
tambié t
a uede ser descrita 
en tér agnéticas guiadas llamadas los 
Estos modos guiados son referidos como límite o modos almacenamiento 
on aquellas ondas electromagnéticas que satisfacen la ecuación de onda 
homog
n influencia en la respues a de la guía de onda hacia las influencias 
ambientales. 
La propagación de la luz a lo largo de la guía de ond p
minos de un conjunto de ondas electrom
modos. 
de la guía de onda. Como estaremos viendo en los capítulos 3 y 4, estos modos 
s
énea en la fibra y la condición de frontera en las superficiede la guía de 
onda, la estructura más aceptada de una fibra es un dieléctrico simple de forma 
cilíndrica y sólido y como ejemplo se puede tomar la estructura de una fibra óptica 
multimodo, véase la figura 1.5. 
 
 
 
 
n las principales funciones que tienen cada una de las 
partes
 
tipo y el tamaño del núcleo. 
 Figura 1.5 Constitución de una fibra óptica multimodo 
 
A continuación, se da
 que constituyen a la fibra óptica: 
 
• El núcleo 
Es la región central, tiene una forma cilíndrica que se encarga de guiar los 
haces de luz a lo largo de la guía de onda y la forma de guiarlos dependerá del 
 16
En fibras de pérdidas bajas y medias el material del núcleo es generalmente 
de vidrio y es rodeado por cualquiera de los dos recubrimientos de vidrio o 
plástic
n también ampliamente usadas. 
 
 
o. 
Fibras de núcleo plástico de muy alta pérdida con recubrimientos de 
plástico so
• Cubierta óptica 
 
Es un dieléctrico sólido, tiene un índice de refracción menor que el del 
núcleo, como se verá después, es una condición necesaria para satisfacer el 
fenómeno de reflexión interna total en la frontera entre los dos, y la forma de 
expresarlo es: 
 
cocl nn < (1.7) 
 
Donde: 
es el índice de refracción de la cubierta óptica. 
 es el índice de refracción del núcleo. 
Aunque en principio, la cubierta óptica no es necesaria para la luz para 
propagarse a lo largo del núcleo de la fibra, este sirve para varios propósitos. 
ta óptica reduce un poco la pérdida resultante de las 
umenta la 
potencia mecánica a la fibra, y protege al núcleo de la absorción de contaminantes 
de la s
• El recubrimiento. 
 
Es un material que fomenta la potencia en la fibra y protege a la fibra de 
peque
cln 
con
 
La cubier
discontinuidades dieléctricas en el núcleo de la superficie. Este a
uperficie con las cuales puede entrar en contacto. 
 
ñas irregularidades geométricas, distorsión de superficies adyacentes. 
 
 17
Estas perturbaciones pueden de lo contrario causar algunas pérdidas 
inducidas por una desviación microscópica fortuita que puede surgir cuando las 
fibras están incorporadas en cables o soportadas por otras estructuras. 
se utilizan en el análisis de las fibras 
pticas. 
 
• La reflexión interna total en la fibra óptica 
 
Después de las definiciones que se dio a los partes que constituyen la fibra, 
se debe anunciar algunas definiciones que 
ó
Para entender la dirección de la luz en una fibra óptica se considera un rayo 
entrando en la fibra como se muestra en la figura siguiente: 
 
 
Figura 1.6 Reflexión interna total 
 
rfase del núcleo y la cubierta óptica) Si el ángulo de incidencia ( en la inte φ 
es mayor que el ángulo crítico que es dado con la relación siguiente: 
 
 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎛
= − 21
nSinφ (1.8⎜
⎝ 1n
c ) 
 18
Entonces el rayo experimentará un reflejo interno total en esa interfase. 
Además, debido a la simetría cilíndrica en la estructura de la fibra, este rayo 
sufrirá un reflejo interno total también en la interfase menor y por lo tanto será 
guiado
iado en el dieléctrico, pero apenas más información. 
En los capítulos 3 y 4 se da interpretación más rigurosa y completa por la 
apl obtención de sus posibles 
oluciones. 
de la fuente, existirán 
nas u otras. 
De esas soluciones, unas serán propagativas, mientras que otras serán 
evanescentes y no propagarán ni energía, ni , por lo tanto información. 
El número de modos que una fibra puede soportar depende de las 
características geométricas de la misma. 
 
• Apertura numérica. 
 
Consideramos la figura 1.6 y se considera un rayo que es incidente en la 
abertura de la entrada de la fibra y hace un ángulo 
 a lo largo del núcleo por reflejos internos totales repetidos. 
 La interpretación geométrica da una idea intuitiva de lo que ocurre y porqué 
existe gu
icación rigurosa de las ecuaciones de Maxwell y la
s
Esas soluciones son variadas y distintas. En general existirán infinitas 
soluciones posibles, pero en función de las características 
u
α con el eje z y el rayo 
refractado hace un ángulo θ con el eje de la fibra. 
Asumiendo que afuera de la fibra óptica el índice de refracción es y 
aplicando la Ley de Snell se obtiene: 
 
 
0n
 
0sin
sin
n
nco=
θ
α (1.9 
 
)
Para satisfacer una reflexión interna total en la interfase del núcleo y la 
debe incidir 
critico, es decir: 
cubierta óptica el rayo de luz con un ángulo mayor que el ángulo 
 19
 
co
cl
n
n
sen >)(cosθφ (1.10) 
 
Aplicando la identidad trigonométrica: 
 
 1cos 22 =+ θθsen 
 
Se obtiene 
 
2
1
2
1 ⎥
⎤
⎢
⎡
⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛
−< cl
n
senθ (1.11) 
⎥⎦⎢⎣ ⎠⎝ con
 
 
 
 Al sustituir en la ecuación (1.10) se obtiene: 
2
1
0
2
22
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
<
n
nnsen clcoα (1.12) 
 
Si suponiendo que el medio de donde incide el rayo es el aire, en este caso 
el valor máximo de sin α se tiene: 
 
 ( ) 2122 clcom nnsen (1
 
 
−=α .13) 
Donde: 
mα es el ángulo de aceptación (ángulo máximo) 
 
Por lo tanto, la apertura numérica, se define como el seno del ángulo de 
aceptación (ángulo máximo) ver [8], y se nota como: 
 
 20
 m senNA α= (1.14) 
 
 
1.5 Tipos de fibras ópticas 
 
ambio en el índice de refracción del material para curvar la trayectoria 
de la luz y confinarla en el núcleo. 
Las guías de onda dieléctricas se clasifican de acuerdo a su índice de 
refracción en dos tipos ver [5], [9], [10], que son : 
• Fibras ópticas de índice Abrupto 
Que pueden ser clasificadas en dos tipos: 
 Fibras ópticas monomodo 
o 
 
• Fibras ópticas de índice gradual 
 
r la cual puede prop
ecir, sólo un modo que viaja paralelamente al eje central del núcleo y también 
tiene que satisfacer a la condición ver [11]: 
 
 
Como se vio en los puntos anteriores ( Ley de Snell), es necesario que 
exista un c
 
 
 Fibras ópticas multimod
• Fibras Monomodo 
 
Sólo existe una trayectoria po agarse el rayo de luz, es 
d
222
clco nn
a
−>
405.2
πλ (1.15) 
Donde: 
 
 es el índice de refracción del núcleo 
 
a es el rayo de la fibra óptica 
con 
 21
 cln es el índice de refracción del revestimiento 
 
• Fibras Multimodo : 
 existe más de un tipo de modo de propagación. 
 
 
s por una interfase en la que hay 
n salto brusco. Con esta geometría los rayos describen trayectorias en zigzag, 
reb y otra vez hasta llegar al otro extremo 
e la fibra, la figura siguiente describe un índice de salto: 
 
 
 En este tipo
 Una fibra óptica puede tener una distribución de índice de dos tipos: 
 
• Salto de índice: 
Existen dos índices de refracción separado
u
otando en las interfases del núcleo una 
d
 
 
Figura 1.7. Perfil del índice de refracción en una fibra de salto de índice. 
 
• Índice gradual: 
 
 de refracción varía deforma gradual entre el índice del núcleo y el 
el exterior. 
El índice
d
 
 22
El sucesiv obliga al rayo a 
ractarse continuamente, obligándole a recorrer trayectorias curvas que nunca 
lleg rta, la figura siguiente muestra un índice gradual. 
o cambio gradual del índice de refracción
ref
an al material de la cubie
 
 
Figura 1.8. Perfil de índice de refracción en una fibra de índice gradual. 
 
 
A continuación se describen las características de los tipos de fibras 
ópticas: 
 
• Fibras de índice Abrupto 
 
a. Fibra de índice Abrupto Monomodo 
 
En este tipo de fibra el modo de dispersión puede ser disminuido, reduciendo el 
ámetro del núcleo hasta que la fibra óptica transmita solamente un modo. 
L cleo 
e sólo a 
di
a fibra óptica está basada en el principio de teniendo un diámetro de nú
 2 mµ8d , véase la figura 1.9 
 
 
 
 
 23
 
Figura 1.9. Fibra óptica monomodo 
 
 En esta figura se muestra el camino de la luz y el plano de índice refracción. 
La apertura numérica y por lo tanto el ángulo de aceptación, es pequeño para 
estas fibras, lo cual hace el lanzamiento de la luz más difícil, sólo el modo 
funda
 Las aplicaciones previstas pueden exigir varios tipos de fibras monomodo 
ue difieren en: 
 
 longitud de onda de funcionamiento. 
 Las características geométricas y ópticas. 
aptarse a muy diversas configuraciones de perfil 
e índice, la figura siguiente refleja varias concepciones. 
 
 
mental puede ser usado para transmitir la energía en la fibra. 
q
Naturaleza del perfil de índice de refracción. 
 La
Una fibra monomodo puede ad
d
 
 
 24
 
 
 
 
Figura 1.10. Perfiles de índice para fibras monomodo 
El perfil en forma de W permite ajustar la longitud de onda de dispersión 
ula en un margen (1.3 – 1.45
 
 
mµ ; ó 1.5 – 1.7 mµn ) ver [5], [12], [13] 
 Las fibras con doble revestimiento no pueden mantener simultáneamente 
una baja dispersión y atenuación en la banda de 1.3 a 1.6 mµ , para alcanzar este 
objetivo se han diseñado las fibras con perfil segmentado. 
 Entre las características de la fibra monomodo es usada para una velocidad 
muy alta, el ancho de banda largo, aplicaciones de distancia larga. 
 Entonces se puede decir que estas fibras son más eficientes pero son difíciles 
para trabajar con ellas por sus pequeños diámetros de núcleo, especialmente 
cuando esta viene para finalizar la fibra. 
 25
b. Fibra óptica de índice abrupto multimodo 
 
El tipo de fibra más sencillo es llamado fibra de índice de escalón. La fibra 
de índice de escalón multimodo tiene un núcleo de cristal de a 50 mµ200 en 
diámetro rodeado por un revestimiento de vidrio. Diámetros de núcleo largo 
resultan en más modos de luz de los que pueden ser realizados con diámetros de 
núcleo pequeño. Con el índice de refracción de la cubierta óptica ligeramente 
inferior que el del núcleo. 
El término más común para esta fibra es fibra multimodo con un plano de 
dice de escalón, el camino del rayo y el plano del índice de refracción es 
ostrado en la figura 1.11 
ín
m
 
 
del ángulo crítico. 
y la distancia adicional 
Figura 1.11. Fibra de índice Abrupto Multimodo 
Como es representado en la figura, hay dos rayos que pueden viajar a lo 
largo del núcleo. 
Uno es llamado el rayo axial, el cual viaja a lo largo del eje, el otro es 
llamado el marginal o rayo meridional, el cual viaja a lo largo de un camino cerca 
El rayo meridional viajará más lejos que el rayo axial 
recorrida es definida por la relación siguiente: 
 
 
 26
cl
clco nnZZ
.(
n
)−
=∆ )16.1( 
 
Donde: 
Z∆ es definida en metros )(m . 
 Z es la distancia recorrida 
 El tiempo adicional que esta tomando para que el rayo meridional viaje es : 
 
 
c
nnnZ
t cclc
)..( −
=∆ (1.17) 
 Donde: 
 es definida en segundos 
 Este retraso de tiempo, conocido como dispersión modal, causa distorsión 
en el pulso que está siendo enviado. Esto causa un pulso de luz corto para 
ampliar, de esta manera se reduce la velocidad de transmisión y el ancho de 
banda de transmisión. 
 Los modos que el rayo axial transporta y los modos que el rayo marginal 
transporta interactúan entre ellos, intercambiando energía a lo largo del camino, 
causando mezcla de modo. 
 La dispers do por Kilómetro 
. 
 
nificante en una distancia pequeña, los sistemas de fibra óptica 
puede
expresada en frecuencia, tal como
t∆ )(s . 
ión modal es típicamente de 15 a 30 nanosegun
)/( Kmns
Si la distancia es doblada, el tiempo de dispersión será doblado. Aunque 
esto parezca insig
n transmitir datos por arriba de distancias mucho más largas. 
 La dispersión podría limitar por completo el ancho de banda del sistema. y 
puede ser también KmMHz −100 . Este número 
indica 
nte en el sistema. 
Desde que hay demasiada dispersión asociada con las fibras de índice de 
scalón multimodo, este es el menos eficiente de los tres tipos de fibras. 
que el ancho de banda más elevado es de MHz100 por Km1 de fibra 
antes de la dispersión habrá un problema limita
 
e
 27
 Sin embargo, la fibra es la menos económica, es fácil interrumpir prestar a 
si mismo para la incorporación de los conectores finales y tiene una apertura 
numérica larga a través de la cual la luz puede penetrar la fibra. 
 ras son usadas para distancias cortas, menos de un Kilómetro, 
donde los ancho eq
adual reducirá el pulso ampliado. 
• Fibra de índice gradual multimodo 
 
 compromiso de los
critos. 
s e dice gradual: 
com
interfase entre el núcleo y el revestimiento. La figura 1.12 muestra el camino del 
Estas fib
s de banda de señales r ueridas son más pequeñas, usando un 
modo único o un modo de fibra de índice gr
 
La fibra de índice gradual multimodo es un dos tipos de 
fibra previamente des
Entre la ventajas de la fibra óptica d ín
El límite entre el núcleo y el revestimiento no es tan definido claramente 
o con la fibra de índice escalón. 
El índice de refracción del núcleo de vidrio disminuye parabólicamente en la 
rayo y el plano de índice de refracción. 
 
 
Figura 1.12. Fibra de índice gradual multimodo 
 
Los rayos de luz viajan desviados o en caminos ales en a fibra de 
índice gradual. 
 helicoid un
Por motivo del plano de índice de refracción parabólico, los rayos son 
refractados continuamente y cambian su dirección de propagación. 
 28
Los rayos que viajan en el eje de fibra transverso tienen un camino más 
corto que los cercanos a la interfase de la cubierta óptica del núcleo. 
La diferencia en el índice de refracción anula el problema de retraso de 
tiempo, que fue encontrado con la fibra de índice de escalón. 
 29
Capítulo 2 
On
híbridas) 
 
Cuando se trata el problema práctico de la propagación de las ondas 
electromagnéticas en guías de ondas, el objetivo es resolver las ecuaciones de 
Maxwell en el interior de dichas guías, y las soluciones obtenidas se pueden dividir 
en tres grupos, de los cuales se habla en este capítulo, dichos grupos de 
soluciones también llamados ondas o modos, son las ondas Transversales 
Eléctricas (TE), las Transversales Magnéticas (TM) y las ondas híbridas (HE y 
EH). Como se ha mencionado, los modos TE , TM y ondas híbridas (HE y EH) son 
soluciones de las ecuaciones de Maxwell en las guías de ondas dieléctricas ver 
[14], [15], [16], en este capítulo se considera en principio, algunas características 
generales de las guías de ondas, y como un ejemplo de guía de onda se tomará 
una fibra óptica de índice abrupto, para posteriormente derivar las soluciones de 
las ecuaciones de Maxwell que nos llevan a la definición de los modos TE, TM, EH 
y HE. 
 
2.1 Guías de ondas 
 
En cualquier situación realista enla que se quieran estudiar los campos 
dependientes del tiempo, deben existir límites o paredes en la región bajo análisis. 
En estos casos las soluciones para los campos en el medio no podrán ser, en 
general, ondas planas uniformes de extensión infinita, ya que, además de 
satisfacer las ecuaciones de Maxwell, deben cumplir las condiciones de frontera 
en los límites de la región que se considera. 
Una guía de onda puede ser definida como una estructura destinada a la 
propagación dirigida y acotada de radiación electromagnética. El medio dieléctrico 
en el que esta propagación se produce está limitado, ya sea por un material 
das Transversales (ondas TE, TM, ondas 
 30
conductor ( para microondas o por otro dieléctrico (para 
frecuencias ópticas). 
 Líneas de transmisión de d
 Guías de ondas huecas 
 Fibras ópticas 
 
as ondas TE y TM 
uía de onda con sección transversal arbitraria, la cual 
ene en su interior un dieléctrico que guía la onda a lo largo del eje de 
propag
y radiofrecuencia),
Existen varios tipos de guías de ondas, los más usuales son: 
os conductores 
 La primera de éstas, y como su nombre lo indica, consta de un par de 
conductores paralelos usados para la transmisión eficiente de potencia e 
información, entre ellas se encuentran la línea de transmisión de dos alambres y la 
línea de transmisión coaxial, ejemplos de estas líneas los podemos observar en 
los cables usados para transporte de energía eléctrica y en los cables usados para 
TV, respectivamente. El tercer tipo de guías de ondas, también llamadas fibras 
ópticas consisten en una varilla de material dieléctrico, la cual se basa en el 
principio de reflexión interna total, como se vió en detalle en el capítulo 1, para 
guiar una onda electromagnética de un punto a otro. 
A continuación se da unas definiciones sobre los tres tipos de ondas TE, TM y 
ondas híbridas (HE y EH). 
 
2.2 L
 
Suponiendo una g
ti
ación que coincide con el eje coordenado z, como se muestra en la figura 
siguiente. 
 
 31
 
Figura 2.1. Guía de onda con sección transversal arbitraria 
 
Se consideran dos ondas que viajan a lo largo del eje z de esta guía con la 
 
velocidad: 
 
β
wv = (2.1) 
 es la frecuencia angular de la onda 
 Donde: 
w
 β es la constante de propagación 
y tienen una amplitud no uniforme en el plano transversal ver [14], entonces sus 
expresiones son los siguientes: 
 
 , (2.2) 
 
En este caso, se sabe que tanto el campo eléctrico como el campo 
magnético
zjeyxEE β−= ),(0
zjeyxHH β−= ),(0
E
H satisfacen la ecuación de Helmholtz homogénea en tres 
dimensiones, 
 
 (2.3) 0222 =+∇ EnkE
 32
 (2.4) 
Donde: 
0222 =+∇ HnkH
c
wk = es el número de onda 
 es el índice de refracción del dieléctrico n
2
2
2
2
2
2
2
zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ se le conoce como el operador laplaciano. 
 Al sustituir las expresiones del campo eléctrico y magnético en las 
ecuaciones de Helmholtz vectorial se obtiene otra expresión de estas ecuaciones 
vectoriales en función de las amplitudes del campo eléctrico y magnético en dos 
dimensiones. 
 
 0 (2.5) 
 
e: 
022 =+∇ EpE 0
 00
2
0
2 =+∇ HpH (2.6) 
Dond
2
2
2
2
yx ∂
∂
+
∂
∂
=∇ 
2
 
 
Si de Helmholtz vectoriales en sus 
se tendrá un sistema de seis 
xEpE , , 
, , 
 
ue será suficiente con resolver las ecuaciones diferenciales para las 
omponentes axiales, y las demás componentes serán derivables de los axiales. 
ransversales de
 2222 β−= nkp 
 descomponemos a las ecuaciones
componentes escalares xE , yE , zE , xH , H y , zH
ecuaciones escalares de Helmhotz. 
 
022 =+∇ yy EpE 0
22 =+∇ zz EpE 0
22 =+∇ x
022 =+∇ xx HpH 0
22 =+∇ yy HpH 0
22 =+∇ zz HpH 
Suponiendo, que sólo las componentes axiales zE y zH son conocidas, 
esto significa q
c
Se notan las partes t las dos amplitudes como: 
 33
 zeEeEE yyxxt zE ××=+= zHzeHeH yyxx ×0 , tH ×=+= 0 (2.7) 
 
Aplicando las ecuaciones de Maxwell a las expresiones del campo eléctrico 
y magnético se obtiene una relación entre las amplitudes de los dos campos. 
 
 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎡
×− EzH βµ 
⎣
−=×∇ 000 w
jwE
µ
 (2.8) 
 
 ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ×−−=×∇ 000 Hzw
HjwH
ε
βε (2.9) 
 
Al multiplicar estas dos ecuaciones con el producto vectorial con z y aplicar 
l: 
 
la identidad vectoria
 
 [ ]),(),( yxFzyxFz ⋅∇=×∇× 
 
Se obtiene: 
 ⎥
⎦⎣ wµ
 
 
⎤
⎢
⎡
−×−= ttz EHzjw
βµ (2.10) ∇E
⎥⎦
⎤
⎢
⎡ ×−=∇ tz EzjwH ε
⎣
− tHwε
β (2.11) 
 Donde: 
 
 × 
 
 Ez =× 0 tEz
 
Debido a las expresiones anteriores, se ve que se pueden encontrar las 
ecuaciones simultáneas para tE y tH en términos de los dos componentes 
axiales E y H , sólo se combinan las ecuaciones (2.10) y (2.11), para eliminarz z
tH y se llega: 
 34
( ) ttzE = (2.12) z EpEnkjHzjw 2222 =−∇−∇× ββµ 
 
 
Y eliminar tE se llega a: 
 
( ) ttzz HpHnkHjEzjw 2222 =−=∇−∇× ββε (2.13) 
Estas dos ecuaciones muestran que las amplitudes de los campos 
ansversales y son de hecho directamente derivables de las componentes 
y también demuestran otra pro
el campo, es decir, los campos transversales son combinaciones lineales de los 
gradie
dos ecuaciones anteriores, los campos transversales y 
 pueden ser expresados como una superposición de dos tipos de ecuaciones 
a no tiene la componente axial
 
 tE tHtr
axiales zE y H piedad importante de las amplitudes z
d
ntes de los dos componentes axiales. 
A partir de las tE
tH
más simples, un zE )0( =zE , y se define como una 
nda TE, y la segunda ecuación no tiene la componente axial , y se 
define como una onda TM, las dos ecuaciones que caracterizan estos dos tipos de 
como: 
• Para la onda TE ( ). 
Sustituyendo en las ecuaciones (2.12) y (2.13) se obtiene la ecuación 
sta onda. 
 
 Hzjw ∇×µ y (2.14) 
Al sustituir en las ecuaciones (2.12) y (2.13) se obtiene la ecuación 
caract
=
o zH )0( =zH
ondas se escriben 
0=zE
característica de e
 TEEp =2 zt zt
TE HjHp ∇−= β2
 
• Para la onda TM ( ) 0=zH
erística de esta onda. 
 
 zt
TM Ezjwp ∇×− ε2 y zt
TM EjEp ∇−= β2 (2.15) H
 35
 y la segun )0( =zH , es una da ecuación no tiene la componente axial 
aracterística de la onda TM. 
ne mpo axial son encontradas descomponiendo las 
cuaciones de Helmholtz vectoriales que se escriben como: 
 , para ondas TM (2.16) 
 
H
de tres tipos de modos, además de las 
guía de onda metálica, la fibra óptica como guía de onda tiene también otro tipo 
ales tiene
l revestimiento. 
 fibra tica de sección transversal arbitraria, véase la 
figura 
 
 
zH
c
Las compo ntes del ca
e
 
022 =+∇ zz EpE02 =+∇ zz Hp , para ondas TE (2.17) 
 
2.3 Ondas híbridas (EH y HE) 
 
2
La propagación de las ondas electromagnéticas en una fibra óptica consiste 
ondas TE y TM que se propagan en una 
de modos que se llaman modos híbridos los cu n componentes axiales 
del campo eléctrico zE y campo magnético zH y componentes transversales. 
A continuación se da una expresión de las componentes transversales y 
axiales en el núcleo y en e
Se considera una óp
siguiente: 
 36
 
 
Figura 2.2. Fibra óptica como guía de onda 
 
 
nentes transversales tienen las expresiones siguientes: 
 
 
 
Con la derivación de las ecuaciones de Maxwell para una onda no uniforme 
y tomando una fibra óptica de sección transversal como guía de onda, se llega a 
las expresiones de las componentes transversales y axiales, tanto en el núcleo 
como en la cubierta óptica ver referencia: 
• En el núcleo: 
Las compo
zzz Hzp
jw
E
p
jzEE ∇×+∇−= 2
0
2
µβ (2.18) 
 
 zzz Ezp
njw
H
p
jzHH ∇×+∇−= 2
1
2
0
2
εβ (2.19) 
 
 
 
 37
Las componentes axiales satisfacen a las ecuaciones escalares de 
Helmholtz: 
 
 , (2.20) 
 
• En la cubierta óptica: 
 
 Se aplican las mismas ecuaciones en el núcleo, sólo remplazando con 
 y con se llega a: 
 
Las expresiones de las
 
 
022 =+∇ zz EpE 0
22 =+∇ zz HpH
2p
2q− 1n 2n
 componentes transversales se escriben como: 
 zzz Hzq
jw
E
q
jzEE ∇×−∇+= 2
0
2
µβ (2.21) 
 zzz Ezq
njw
H
q
jzHH ∇×−∇+= 2
2
2
0
2
εβ (2.22) 
s de las componentes axiales satisfacen a las ecuaciones 
scalares de Helmholtz: 
 
 , (2.23) 
 
 
, (2.24)
 
y las expresione
e
 
 022 =+∇ zz EpE 0
22 =+∇ zz HpH
Donde: 
 2221
2 pnk += β 2222
2 qnk −= β
 38
Capítulo 3 
Derivación de las ecuaciones de ondas partiendo de las ecuaciones de 
Maxwell 
oblema correspondiente para encontrar las 
 de ondas de los tres tipos (ondas TE, ondas TM, ondas híbridas), 
utilizando las ecuaciones de Maxwell ver [17], [18], [19], [20]. 
 
3.1 Ecuaciones de Maxwell. 
avés 
 de ondas dieléctricas, se utiliza la teoría electromagnética 
r James Clerk Maxwell, ya que 
de las ondas electromagnéticas, y para entenderla se debe conocer los postulados 
que son las cuatro ecuaciones de Maxwell, que se puede 
representar en forma integral ( la cual es conveniente, ya que nos indica las leyes 
sica que sirven de fundamento) ó en forma diferencial ( que se emplea con más 
frecue e 
erá satisfacer las cuatro ecuaciones de Maxwell. La 
s campos electromagnéticos es debido a que son medios capaces 
nergía o inform espacio material, algunos ejemplos de 
stos campos electromagnéticos son las ondas de radio, señales de televisión, los 
haces del radar y en nuestro caso los rayos de luz. 
 continuación se dan las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial. Y 
ometría cilíndrica de la guía, será convenie
cilíndricas. 
 
 
 
 
 
En este capítulo se plantea el pr
ecuaciones
 
Para saber el comportamiento de la propagación de ondas de luz a tr
de las guías
desarrollada po dicha teoría llevó al descubrimiento 
fundamentales 
fí
ncia en la resolución de problemas ); para que un campo pueda decirse qu
es electromagnético deb
utilización de lo
de transportar e ación en el
e
A
debido a la ge nte utilizar coordenadas 
 39
( ) ( ) 
t∂
tp, BtpE ∂−=×∇ , )1.3( a 
( ) ( ) ( )
t
tpJtpH tpD
∂
∂
+=×∇ ,, 
 
 
, )1.3( b 
 ( ) 0, =⋅∇ tpB )1.3( c 
 ( ) ( )tptpD ,, ρ=⋅∇ )1.3( d 
Donde : 
( ) ℜ∈ℜ∈= tzrp ,,, 3θ son el vector de posición y el tiempo arbitrario. 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) zzrrzr etzrEetzrEetzrEEEEtpE ,,,,,,,,,,,, θθθ θθθ ++== Es la 
 en volts sobre metro ( )mV / . intensidad del campo eléctrico, dada
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) zzrrzr etzrHetzrHetzrHHHHtpH ,,,,,,,,,,,, θθθ θθθ ++== Es la 
intensidad del campo magnético, dada en amperes sobre metro ( )mA / . 
( ) ( )zr DDDtpD ,,, θ= Es la densidad del flujo eléctrico o inducción eléctrica 
dada en coulombs sobre metro cuadrado ( )2/ mC . 
( ) ( )zr BBBtpB ,,, θ= Es la densidad del flujo magnético o inducción 
magnética dada en weber sobre metro cuadrado )/( 2mWb . 
( ) ( )zr JJJtpJ ,,, θ= Es la densidad de corriente de conducción dada en 
amperes sobre metro cuadrado ( )2/ mA . 
( ) ( )zrtp ρρρρ θ ,,, = Es la densidad de carga eléctrica dada por coulombs 
sobre metro cúbico ( )3/ mC . 
Las ecuaciones de Maxwell son ecuaciones diferenciales lineales de primer 
orden acopladas (que contienen tanto el campo eléctrico E como el campo 
magnético H ). La relación que existe entre las cantidades del campo vectorial 
JBHDE ,,,, es dada por medio de las relaciones constitutivas que caracterizan al 
edio, es decir que para un medio dado alguno de los campos pueden ser 
scritos como función de otros, en general pueden ser escritas como sigue : 
 
m
e
 
)(,)(,)( EJJHBBEDD === 
 40
 
La interpretación más simple de estas relaciones consiste en que, por 
ducción está completamente determinada por la 
intensidad en el mismo punto y en el mismo instante ( y 
ejemplo, la in ),( tpDD =
),( txE p t B H y 
también y J E son consideradas en forma similar ). En otras palabras, los 
 en el medio s
inerciales. A pesar de que tal interpretación es bastante idealizada, es aplicable en 
muchos casos prácticos. En
 
fenómenos electromagnéticos on considerados locales y no 
tonces 
 ( ) ( )tpEtpD r ,, 0εε= 
 
 )2.3( a 
( ) ( )tpHtpB r ,, 0µµ= b .3(
 ( )
)2
( )tpEtpJ r ,, 0σσ= 
 
 )2.3( c 
Donde 0ε es la permitividad del e 0µspacio libre en Farad / m y es la 
permeabilidad del espacio libre medida en Henry / m 0σ es la conductividad del 
espacio libre medida en Siemens / m; las cantidades adimensionales rε y rµ y 
rσ son llam s respe
Las ecuaciones ma
 describen una rica variedad de fenómenos físicos que representan la 
respuesta del medio a la aplic campo electromagnético. Asumimos que 
las características electromagnéticas del m
ado ctivamente permitividad y permeabilidad y conductividad 
relativas. 
teriales )2.3( a y )2.3( b y la ley de Ohm de la ecuación 
)2.3( c
ación del
edio ε y µ y σ no cambian en el 
tiempo. Si además tienen los mismos valores en todos los puntos de un volumen 
3R∈Ω entonces el medio que llena el volumen es llamado homogéneo y en el 
caso opuesto, cuando )( pεε = y/o )( pµµ = y/o )( pσσ = ,inhomogéneo. 
Supondremos también que los pares de vectores ED , y HB , y EJ , son 
olineales. En este caso el medio es llamado isotrópico ( en caso contrario, 
 
c
anisotrópico). 
 41
( )0=ρConsiderando ahora el medio libre de cargas eléctricas , no 
conductor, ( ) 0== pσσ . 
 las ecuaciones de Maxwe siguiente forma :( ) ( )
ll toman la 
( )
t
tpH
t
tpBtE
∂
p ∂−=
∂
∂
−=×
,,, µ )3.3( a 
 ( ) ( )
∇
t
tpEtpH
∂
∂
=×∇
,, ε )3.3( b 
 ( ) (, ∇ )3.3( c =⋅∇ tpB Hµ 0) = 
=E ( ) (, ∇=⋅∇ tpD 0)ε d ( )3.3
 
Donde 0εεε 0µµµ r= = r y 
Las cuatro ecuaciones de Maxwell son en apariencia sencilla ya que son 
ecuaciones diferenciales de primer orden y a partir de ellas se puede encontrar las 
cuatro ecuaciones b
3.2
ca cil ica, v
que 
 
ásicas que se utilizan para encontrar la expresión de la 
ecuación de onda. 
 
 Las ecuaciones de ondas. 
 
Consideremos una fibra ópti índr éase la figura 3.1, y se supone 
el campo eléctrico y magnético en coordenadas cilíndricas a lo largo del eje 
de la fibra óptica tienen la forma siguiente : 
 
( ) ( )[ ] ( )zwtjzzt β−
 ( )
erEerEE θθ += ,, 
y 
)4.3( a 
( )[ ] ( )zwtjzzt erHH βθθ −+= , )4.3( b 
 
Donde: 
tt HyE
rHe , , 
 son los vectores del campo eléctrico y el campo magnético en el 
lano θr . ze es el vector unitario en la dirección Z . zz HyE son las componentes p
 42
del campo axial, w es la frecuencia angular de la luz, β es la constante de fase en 
la dirección axial. 
EA partir de las ecuaciones )4.3( a y )4.3( b se ve que el campo eléctrico y 
l campo magnético H tienen dos componentes las cuales son ),( θrEt y ),( θrHt e
θr y las compon que expre el plano san el campo eléctrico n n y mag ético e entes
y en el plano . zE zH OZ
 
 
 
 
Representación del campo eléctrico y magnético en una fibra óptica 
uyendo y en las b
d obtenemos ecuaciones que dependen sólo de las componentes y 
y 
 
Figura 3.1. 
 
Substit ecuaciones de Maxwell )3.3( a - ( - )4.3( a )4.3( b )3.3
)3.3( c - )3.3( tE
tH zE y H . z
 43
 tztz EjEHejw βµ +⋅∇=− )5.3( a 
 z Eejw
×
tzt HjH βε +⋅∇= 
 
× )5.3( b 
 ( ) EjE zt εβε =∇ ).3( 
 ( ) HjH
5c
zt µβµ =∇ 
 
i se utilizan estas ec
 
S uaciones se puede expresar el campo eléctrico y el 
 en función de los campos eléctricos y el campo 
magnético , y a partir de estas relaciones se encuentran las dos ecuaciones 
diferenciales que se utilizan para llegar a las ecuaciones de ondas para los tres 
tipos de ondas (TE, TM, y ondas híbridas). 
La manera de obtenerla es la siguiente: 
• Para el campo eléctrico, Multiplicamos la ecuación con el producto 
vectorial 
 
 )5.3( d
tE
campo magnético tH zE
zH
)5.3( b 
ze 
[ ]zztzztz HeEeejwjHe ⋅∇×−××⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=× ε
β
1 
De la identidad vectorial 
 
 CBABCACBA )()()( ⋅−⋅=×× 
[ ]zzttz HeEjwjHe ⋅∇×−−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=× ε
β
1 
 
stituyendo esta relación en la ecuación se obtiene: 
 
 
)5.3( aSu
 ⎟⎟
⎠
⎜⎜
⎝
⋅∇×−⎟⎟
⎠
⎜⎜
⎝
= zzt Hew
E
β22
 
• 
⎞⎛
⋅∇
⎞⎛
−
−
z
wEj µ
βεµ
β 
 
Para el campo magnético, multiplicamos la ecuación con el producto 
vectorial 
 
 )6.3(
)5.3( a 
ze 
 44
 zzttz E
jeHwEe ⋅∇×+=×
ββ
µ 
 
 
Sustituyendo esta expresión en la ecuación )4.3( b se tiene: 
 
⎟
⎠
⎜
⎝
⋅∇×+⋅∇
−
−= zzt EHw
H
ββεµ 22
 (3.7) 
 
• Para las dos ecuaciones diferenciales, sustituyendo la ecuación (3.6) en 
 )5.3( c se obtiene 
 
⎟
⎞
⎜
⎛ zwej εβ
 
( )zzzz Heww ⎠⎝ −⎦⎣ − βεµββεµ 
wEE +⎥
⎤
⎢
⎡
⋅∇−∇=
εε
 
⋅∇×⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛
∇ 2222
εµ
Multiplicando la ecuación con 
ε
βεµ 22 −w 
 
( ) 022
22
22
22
2 ⎡− εβεµ2
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅∇×⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
∇
−
−−+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⋅∇
−
∇ zzzz H
we
w
wEwE
w
w
β
µ
βεµ
εµ
εµ
βεµβεµ
βεµ
 
torial:
ε
 ( )[ ] f
f
rf ∇=∇ 1,ln θ Se usa la identidad vec 
Se puede escribir el tercer término de la ecuación: 
 
 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
∇=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
∇
−
2222
22
ln
βεµ
εµ
βεµ
εµ
εµ
βεµ
ww
w 
 
Por lo tanto la ecuación anterior se escribe como : 
 
 45
( ) )8.3(0ln 222222
22
⎢
⎡
∇
−
E
w βµε
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅∇×⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
∇−−+⎥
⎦
⎤
⎣
⋅∇
− zzzz
Hwe
w
wE
w β
µ
βµε
µε
βµε
βµε
ε
ε
 
segu ón diferencial 
ustituyendo la relación (3.7) en la ecuación se obtiene 
 
 
De la misma manera se puede encontrar la nda ecuaci
)5.3( ds
( ) )9.3(0ln 222222
22
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅∇×⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
∇+−+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅∇
−
∇
−
zzzz E
we
w
HwH
w
w
β
ε
βµε
µε
βµε
βµε
µ
µ
βµε
 
Considerando el modelo de la guía de onda véase la figura siguiente: 
 
 
 
Figura 3.2. Modelado por medio de una guía de onda dieléctrica cilíndrica. 
 
 es el índice de refracción de núcleo 
a es el radio del núcleo 
 
Donde: 
)(rnco
)(rncl es el índice de refracción del revestimiento 
 46
En general cuando se trabaja en guías de ondas dieléctricas, las cuales 
operan a frecuencias ópticas del espectro electromagnético es usual expresar la 
edio del índice de refracción del medio, donde la 
depen
permitividad eléctrica por m
dencia es en la coordenada r . 
 
 )()( rrn ε= , (3.10) 
 
an las siguientes hipótesis, las cuales 
se deben tener en mente en el transcurso del trabajo. 
• Hipótesis: 
 
1.- La permitividad 
)()(2 rrn ε=
En el resto de este trabajo se consider
 
ε es una función de r sólo: 
 
 ( ) ( )[ ]rfr −= 11εε (3.11) 
 
Donde 1ε es el valor máximo de la permitividad ( )rε en el centro del núcleo. 
 
2.- El material de la fibra óptica es no magnético : 
 
 0µµ = (3.12) 
 
3.- L
 
 
a constante de fase se define como : 
 
01
2 µεw
2
1 βχ −= 
(3.13) 
 
La geometría de la fibra óptica sugiere la introducción de las coordenadas 
cilíndricas, se puede asumir que el eje Z coincide con el eje de la fibra óptica, 
 47
como se interesa principalmente las componentes tangenciales se puede excluir 
los factores que dependen de Z y de t , para no complicar las notaciones, se 
denota las componentes del campo sin estos factores. 
 
( ) ( )nnr
wE ϕθφ
β
ε
+⎜
⎛
= cos01
2
 (3.14) 
 
 
µ
⎟⎟
⎠
⎞
z ⎜
⎝
y
 ( ) ( )nz nsenrwH ϕθψε += 1 (3.15) 
 
Donde es un número entero,n nϕ es el ángulo de fase )0( =nϕ ó )2
( πϕ =n , 
)()( ryr ψφ son funciones de r . 
3.12)-(3.13)-(3.14)-(3.15) en las 
cuaciones (3.8) y (3.9) las cuales se escriben de otras expresiones: 
Al sustituir las ecuaciones (3.11)-(
e
 
( ) )16.3(01
121 ⎟⎠⎜⎝ −∂⎟⎠⎜⎝
⎥
⎦
⎢
⎣⎦⎣ ∂
⎟
⎠⎝ −∂
⎟
⎠ χχ rfrrrfrr
11
1
2
2 =⎟
⎞
⎜
⎛ −∂⎟⎞
⎜
⎛
−
−
+
⎤⎡
−−+⎥
⎤
⎢
⎡ ∂
⎟
⎞
⎜⎜
⎛ −∂⎟
⎞
⎜
⎝ −
− ψχφχµεφχ nf
f
fnfwrf
f
f
 
⎜
⎛
 
( ) ( ) 01 =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−∂⎦⎣⎦⎣ ∂⎠⎝ −∂
φ
χχ r
n
frrrfrr
 (3.17) 
Ahora se debe encontrar las expresiones del campo eléctrico y el 
 componentes en el plano 
)(
11
2
2
01
2 ∂−+⎥
⎤
⎢
⎡
−−+⎥
⎤
⎢
⎡ ∂
⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛∂
− χψχµε
ψ
χ fnfwrf
 
tE
campo magnético tH las cuales tienen dos θr , es decir 
ue los dos campos tienen las expresiones siguientes: 
 
q
 
θθeEeEE rrt += (3.18) 
 
 y 
 θθeHeHH rrt += (3.19) 
 
 
 48
Sustituyendo las ecuaciones (3.11)-(3.12)-(3.13)-(3.14)-(3.15) en las 
relaciones (3.6)-(3.7) y aplicando las ecuaciones (3.18)-(3.19) se llega a: 
 
( )nr nr
n
rf
jE ϕθψφ
χ
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
∂
∂
−
−= cos
)(
 (3.20) 
 ( )nnsenrr
n
f
jE ϕθψφ
χθ
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
−
=
)(
 (3.21) 
 ( )nr n
jH ϕθ +−= (3.22) sen
r
nf
rfw
φ
χ
ψ
χµ
β
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
+
∂
∂
− 1
1
)(0
 ( )nnrr
n
fw
jH ϕθφψ
χµ
β
θ +⎟⎟⎜⎜ ∂
∂
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
+
−
−
= cos
1
1
)(
 ) f
χ ⎠
⎞
⎝
⎛
0
 (3.23
 
 casos, las 
uaciones se vuelven más simples, estas cuatro soluciones corresponden a las 
ondas TE, TM, EH, y HE. 
Si supone que en las ecuaciones (3.16)-(3.17), se obtienen dos 
nes diferenciales independientes de 
Las ecuaciones (3.16)-(3.17)-(3.20)-(3.21)-(3.22)-(3.23) parecen más 
complicadas, sin embargo, si se agrupa la solución en cuatro
ec
0=n
φ y ψecuacio : 
 
 ( )[ ] 011
1 1
2 =−+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
∂
∂
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
− φχµεφ
χ
χ fw
r
r
f
f
rrf
f (3.24) 
 ( ) [ ] 0)(11 012 =−+⎥
⎦
⎤
⎟⎜
∂
− ψχµεχ fwr
r
f (3.25) 
Por lo tanto se consideran dos casos independientes: 
.1 La ecuación de onda de los modos TE 
• Cuando 
⎢
⎣
⎡
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
∂ ψ
χ rfr
 
 
3.2
 
0=φ , 0≠ψ . 
 49
 
Al sustituir en las ecuaciones (3.14)-(3.20)-(3.23)se obtiene: 
 
Este caso corresponde a las ondas TE las cuales se caracterizan con 
0=zE . 
 
0=== θHEE rz (3.26) 
e escribe 
 
Si s
)()(
1)(
rRfj
dr
d
dr
d
f
jrR
−−=
−
=
χψ
ψ
χ 
tituyendo esta relación en la ecuación (3.25) se
expresión: 
 (3.27) 
Sus llega a la siguiente 
 
 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +=
dr
dR
r
R
w
j
01
2 µε
ψ 
 
Al sustituir esta ecuación en la relación (3.27) se obtiene una expresión 
diferencial de segundo orden: 
 
01)(1 201
2 =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ R
r
wf
dr
dRr
dr
d
r
µεχ (3.28) 
 
ondición define una ecuación de onda para
Usando la ecuación (3.27) se puede expresar las demás componentes en 
nción de : 
 
Esta c las ondas TE. 
 ( )rRfu
 ⎥⎦⎢⎣
+= Rr
drw
H z
0µ
 ⎤⎡ −dRj 1 (3.29) 
 (3.30) 
 
)(rRE =θ 
)(
0
rR
w
Hr µ
β−
= (3.31) 
 50
3.2.2 La ecuación de onda de los modos TM 
 
• Cuando 0≠φ , 0=ψ . 
En este caso se define las ondas TM que caracterizan con la condición 
manera, sustituyendo las ecuaciones (3.15)-(3.21)-(3.22) se 
puede demostrar que : 
 
0=zH . 
De la misma 
 
0=== rz HEH θ (3.32) 
 Se nota 
( )
)()(
)(
1 djrR −=
rRfj
dr
d
drf
−=
−
χφ
φ
χ (3.33) 
Se demuestra ahora la segunda ecuación de onda, siguiendo un 
rocedimiento similar al usado en la demostración anterior de las ondas TE se 
obtien
 
 
p
e : 
 
01)(1 201
2 =⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ R
r
wf
dr
dRr
dr
d µεχ (3.34) 
 
Usando la ecuación (4.33) se obtienen las demás componentes del campo 
eléctri
r
co y el campo magnético en función de ( )rR : 
 
 (3.35) 
 
 )(rREr =
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +−= R
rdr
dRjEz
11
β
 (3.36) 
 )(rRH
0wµ
β
θ = (3.37) 
 
 51
Si se considera que 0≠n en este caso para facilitar el análisis y no 
omplicar la expresión de la ión de onda. Se supone que la diferencia entre 
el índice de refracción del núcleo y la cubierta óptica de la fibra óptica, es 
relativ
c ecuac
amente pequeño , es decir que f−1 es diferencial con respecto a r en las 
ecuaciones , pero en la magnitud )16.4( - )17.4( )( f−χ , ninguna aproximación se 
hace, pues la magnitud de χ y f son comparables entonces se puede escribir la 
siguiente aproximación : 
 
 11
2
≅≅− f (3.38) 11
01
2=− µε
βχ
w
y
Al aplicar estas hipótesis las ecuaciones (3.20)-(3.21) no se cambian pero 
las ecuaciones (3.16) y (3.17) y (3.22) y (3.23) se convierten como : 
 
 
 
)39.3(01)()(11)( 2
2
1
2 =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−∂
∂
−+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−∂
∂
− ψ
χ
χφχµε
φ
χ
χ
r
n
fr
f
r
nfw
r
r
frr
f
) ( ) )40.3(01)(11 ∂( 2
2
01
2 =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−∂
∂
−+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−∂
− φ
χ
χψχµεψ
χ
χ
r
n
fr
f
r
nfw
r
r
frr
f
( )nrH = (3.41) nsenr
n
rfw
j ϕθφψ
χµ
β
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
∂
∂
−
−
)(0
 
 ( ) nnrrfwH ϕθψχµθ +⎟⎠
⎜
⎝ ∂
+
−
= cos
)(0
 (3.42) 
 
nj φβ ⎞⎛ ∂− 
Al introducir las nuevas variables: 
 
 
ψξαφξα
ψφξψφα=
 (3.43) 
=−=+
−
=
+
y
y
22
 
 52
Al sustituir en las ecuaciones (3.39)-(3.40), y si se hace la sumatoria y la 
diferencia de estas dos ecuaciones se llega a dos expresiones de ecuaciones, una 
en función de α y la otra en función de ξ : 
 
)44.3(0
11
2
2
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−∂
∂
⎥
⎦
⎤⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂⎟⎠
⎜
⎝ −∂
∂
χχ r
n
frr
n
rfrr
( )
)()(
1
)( 1 =⎟⎜−+⎢
⎣
−−+
∂
⎟
⎞
⎜
⎛
− αχαχµε
α
χ ffwrf
( ) )45.3(01)(11 +⎥
⎤
⎢
⎡ ∂
⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛∂
−
ξ
χ rf 2
2
01
2 =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−∂
∂
−−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
⎦⎣ ∂⎠⎝ −∂
ξ
χ
χξχµε
χ r
n
fr
f
r
nfw
rfrr
el caso de las ondas TE y TM se puede tener dos casos 
independientes las cuales son: 
I. Cuando 
 
Como en 
0=α y 0≠ξ 
II. Cuando 0≠α y 0=ξ 
El caso (I) corresponde a los modos EH, y que satisfacen al caso (II) 
corresponde a los modos HE, En los dos casos las componentes axiales 0≠zE y 
. 
 
 3.2.3 La ecuación de onda de los modos EH 
Los modos EH se caracterizan con 
0≠zH
 
0≠n y 0≠ξ y 0=α entonces ψφξ −== . 
 
Se escribe : 
 ⎥⎦
⎤
⎢⎣
−
−
=
χ drf
rR )( ⎡− ξξ
r
ndj (3.46)

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