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ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD PROFESIONAL ADOLFO LÓPEZ MATEÓS SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN Análisis de Esfuerzos por los Métodos Numérico y Analítico de un Árbol de Levas Automotriz T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: MAESTRO EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN INGENIERIA MECANICA P R E S E N T A: Ing. Noé Jiménez Guido . DIRECTORES: DR. GUILLERMO URRIOLAGOITIA CALDERÓN DR. MANUEL FARAÓN CARBAJAL ROMERO MÉXICO D. F. 2013 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN RESUMEN Y ABSTRACT ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. I ANÁLISIS DE ESFUERZOS NÚMERICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ RESUMEN Este trabajo es desarrollado para conseguir una evaluación exacta de los esfuerzos que se presentan en un árbol de levas de un automóvil volkswagen sedan del año 1990 al año 2013, cuando se encuentra sometido a las condiciones máximas de trabajo. Para este propósito se realizó una comparación entre los métodos numérico y analítico. Las condiciones de carga estática que se tomaron en cuenta fueron la flexión y en la dinámica la torsión. Inicialmente, el análisis numérico se llevo a cabo y fue validado con el analítico. Los resultados constituyeron el criterio para las evaluaciones analíticas y numéricas. El análisis mostró que el esfuerzo máximo se presenta en los dientes del engrane. También, se encontró que el árbol no requiere de cambio de geometría para distribuir mejor los esfuerzos, tampoco de reforzar las áreas más críticas. ABSTRACT This work is developed in order to get an accurate evaluation of stress wich is developed in a shaft in a Volkswagen automobile from 1990 to 2013, when the car is subjected to the maximum conditions of work. For this purpose a numerical analytic approach was done. The static loading conditions that were born in mind was the bending and torsion in the dynamic. Initially the numerical analysis was carried out and validated by analytic. The results stablished the criteria for the numerical and analytical evaluations. The analysis showed that the maximum stress is presented in the tooth gear. Furthermore it was found that the shaft neither require the change of geometry for stress in order to distribute in a better way the efords, nor reinforce the areas which seems to be more critical. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACION DEDICATORIAS ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. II DEDICATORIAS. A mis directores de Tesis. Dr. Guillermo Urriolagoitia Calderón Dr. Manuel Faraón Carvajal Romero A la memoria de mi madre. Adela Guido Lemus Alguien muy especial. Martha Elba Ferreyra L. A la Familia. Romero Ferreyra. Alguien que es casi mi hijo. Lic. Rodrigo Gris Suárez. Familia Gris Suárez. Sr. Alfredo y Sra. Violeta, Jocelyn y Carlos. A mis compañeros y amigos. Ing. Mario Javier López Ramírez, Ing. Armando Quevedo, Ing. Armando Martínez García. Josué Sánchez León A la Familia Sánchez León. Noé, David, Sr. Pedro y Sra. Flor A mis profesores. M. en C. Gabriel Villa y Rabasa, Dr. Luís Héctor Hernández Gómez Al M. en C. Rafael Rodríguez Martínez A la M. en C. Alla Kavatskaia Ivanovna Gracias a sus consejos invaluables y apoyo termine este trabajo. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACION AGRADECIMIENTOS ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. III AGRADECIMIENTOS. AL I.P.N., S.E.P.I. E.S.I.M.E. ZACATENCO. A mis directores de tesis: Dr. Guillermo Urriolagoitia Calderón. Dr. Manuel Faraón Carbajal Romero. A mi madre que en los momentos más críticos de mi vida parece acercarse a mí a pesar de estar ausente por el destino. Adela Guido Lemus. A la persona más especial en mi vida que nunca se ha intimidado ante los retos de la vida y siempre ha estado junto a mí apoyándome: Martha Elba Ferreyra L. De manera especial a mi amigo por todo el apoyo brindado en los últimos años: Lic. Rodrigo Alfredo Gris Suárez. A la familia Gris Suárez por todas las amabilidades y apoyo recibido: Sr. Alfredo, Sra. Violeta, Jocelyn y Carlos. A toda la comunidad (Profesores y alumnos) de la S.E.P.I. E.S.I.M.E. Zacatenco del I.P.N.: M. en C. Gabriel villa y Rabasa, Dr. Luís Héctor Hernández Gómez, M. en C. Rafael , Alfonso Beltrán Hernández, Alejandro T. Velásquez Sánchez, Víctor Feria, Gracias. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACION ÍNDICE ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. IV ÍNDICE GENERAL PÁGINA DEDICATORIAS. I AGRADECIMIENTOS. II ÍNDICE GENERAL. III ÍNDICE DE FIGURAS. VII ÍNDICE DE TABLAS. IX SIMBOLOGÍA. X RESUMEN. XIII ABSTRACT. XIII OBJETIVO. XIV JUSTIFICACIÓN. XV INTRODUCCIÓN. XVICAPÍTULO 1. FUNCIÓN Y OPERACIÓN DE LOS ÁRBOLES DE LEVAS. 1.1 HISTORIA DE LA INDUSTRIA AUTOMOTRÍZ. 2 1.2 DESCRIPCIÓN DE LA PIEZA. 4 1.3 ÁRBOL DE LEVAS Y BANDA DE SINCRONIZACIÓN. 7 1.3.1 VERIFICACIÓN VISUAL DE LA SINCRONIZACIÓN. 7 1.4 PRODUCCIÓN. 8 1.5 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. 9 1.6 SUMARIO. 11 1.7 REFERENCIAS. 12 CAPÍTULO 2. ANTECEDENTES DE ANÁLISIS DE ESFUERZOS Y MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO. 2.1 GENERALIDADES. 14 2.2 COMPONENTES DE LOS ESFUERZOS. 17 2.3 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN TRES DIMENSIONES 18 2.3.1 DEFINICIÓN DE LOS ESFUERZOS EN UN PUNTO. 18 2.4 VIGAS CONTINUAS. 20 2.4.1 MÉTODO DE CROSS. 20 2.5 ESFUERZOS COMBINADOS. 22 2.5.1 COMBINACIÓN DE ESFUERZOS AXIALES Y DE FLEXIÓN. 23 2.5.2 COMBINACIÓN DE ESFUERZOS AXIALES Y DE TORSIÓN 24 2.5.3 COMBINACIÓN DE ESFUERZOS DE FLEXIÓN Y DE TORSIÓN. 24 2.5.4 COMBINACIÓN DE ESFUERZOS AXIALES, DE FLEXIÓN Y DE TORSIÓN. 25 2.6 CIRCULO DE MOHR. 25 2.7 CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS. 27 2.8 MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO. 28 2.8.1 ANTECEDENTES HISTORICOS DEL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO. 28 2.8.2 INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO. 29 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACION ÍNDICE ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. V 2.8.2.1 FUNDAMENTOS DEL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO. 32 2.9 PROCEDIMIENTO DEL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO. 33 2.9.1 DISCRETIZACIÓN DEL DOMINIO. 33 2.9.2 SELECCIONAR LAS FUNCIONES DE INTERPOLACIÓN. 33 2.9.3 DEFINIR LAS PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS. 33 2.9.4 ENSAMBLAR LAS PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS PARA OBTENER LAS ECUACIONES DEL SISTEMA, CONSIDERANDO LAS CONDICIONES DE FRONTERA DEL ESPECIMEN. 34 2.9.5 RESOLVER EL SISTEMA DE ECUACIONES. 34 2.9.6 EFECTUAR CÁLCULOS ADICIONALES. 34 2.10 CATEGORIAS DEL ELEMENTO FINITO 35 2.11 FORMULACIÓN DE ELEMENTOS FINITOS. 36 2.12 ESTABLECIMIENTO DE LAS ECUACIONES DEL ELEMENTO FINITO PARA ANÁLISIS DE ESFUERZOS. 36 2.12.1 ANÁLISIS ESTATICO. 36 2.12.2 COMPORTAMIENTO LINEAL. 37 2.13 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO. 40 2.14 TERMODINAMICA DEL MOTOR. 41 2.14.1 TEMPERATURA DE AUTOENCENDIDO Y DE ÚLTIMO ENCENDIDO. 43 2.14.2 VELOCIDAD DE LA FLAMA. 43 2.14.3 SISTEMA DE ENFRIAMIENTO. 44 2.14.4 ENFRIAMIENTO POR ACEITE. 44 2.14.5 ANÁLISIS DEL PROCESO DEL MOTOR. 45 2.14.6 RECORRIDO DE LA FLAMA. 46 2.14.7 EL PROCESO DE ESCAPE. 46 2.15 TEORIAS DE FALLA. 47 2.15.1 TEORÍA DEL MÁXIMO ESFUERZO. 47 2.15.2 TEORÍA DEL CORTANTE MÁXIMO. 48 2.15.3 TEORÍA DE LA MÁXIMA DEFORMACIÓN. 49 2.15.4 TEORÍA DE VON MISES O DE LA ENERGÍA DE DISTORSIÓN. 50 2.15.5 TEORÍA DE LA MÁXIMA ENERGÍA DE DEFORMACIÓN UNITARIA. 52 2.16 ESFUERZOS EN LOS DIENTES DEL ENGRANE. 53 2.16.1 FACTOR GEOMÉTRICO. 60 2.16.2 MOMENTO FLECTOR EN EL ENGRANE. 62 2.16.3 FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS EN EL DIENTE DEL ENGRANE. 62 2.17 SUMARIO. 62 2.18 REFERENCIAS. 63 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACION ÍNDICE ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. VI CAPÍTULO 3. ANÁLISIS EMPLEANDO EL MÉTODO ANÁLITICO Y EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO. 3.1 EL MÉTODO ANÁLITICO. 66 3.2 DISTRIBUCIÓN DE LOS PISTONES EN EL MOTOR. 66 3.3 ÁRBOL DE LEVAS. 67 3.4 TIEMPOS DE LOS PISTONES 67 3.5 CÁLCULO DE LA FUERZA TRANSMITIDA EN EL ENGRANE DEL ÁRBOL. 68 3.5.1 CÁLCULO DE LAS COMPONENTES DE LA FUERZA APLICADA EN EL ENGRANE DEL ÁRBOL. 68 3.5.1.1 CÁLCULO DEL SEGMENTO FH. 69 3.5.1.2 CÁLCULO DE LA COMPONENTE FEX. 69 3.5.1.3 CÁLCULO DE LA COMPONENTE FEY. 70 3.5.1.4 CÁLCULO DE LA COMPONENTE FEZ. 70 3.6 FUERZAS Y MOMENTOS TORSIONALES EJERCIDOS EN EL ÁRBOL DE LEVAS 71 3.7 CÁLCULO DE LOS MOMENTOS FLEXIONANTES. 71 3.7.1 CÁLCULO DEL MOMENTO FLEXIONANTE EN LA DIRECCIÓN “Z” POR EL MÉTODO DE CROSS. 71 3.7.1.1 CÁLCULO DEL MOMENTO DE INERCIA. 71 3.7.1.2 CÁLCULO DE LOS FACTORES DE RÍGIDEZ. 71 3.7.1.3 CÁLCULO DE LOS FACTORES DE DISTRIBUCIÓN. 72 3.7.1.4 CÁLCULO DE LOS MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO (MEP). 72 3.7.1.5 SOLUCIÓN DE LA VIGA EN LA DIRECCIÓN “Z”. 73 3.7.2 CÁLCULO DEL MOMENTO FLEXIONANTE EN LA DIRECCIÓN“Y” POR EL MÉTODO DE CROSS. 74 3.7.2.1 CÁLCULO DE LOS MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO (MEP). 74 3.7.2.2 SOLUCIÓN DE LA VIGA EN LA DIRECCIÓN “Y”. 74 3.7.3 CÁLCULO DEL MOMENTO FLEXIONANTE EN LA DIRECCIÓN “X”. 75 3.7.4 CÁLCULO DEL MOMENTO FLEXIONANTE RESULTANTE. 75 3.8 CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS NORMALES DE FLEXIÓN Y TORSIÓN. 76 3.9 DETERMINACIÓN DE LOS FACTORES DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS. 76 3.9.1 FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS POR FLEXIÓN. 76 3.9.2 FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS POR TORSIÓN. 76 3.10 CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS NORMALES DE FLEXIÓN Y TORSIÓN CON FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZO. 77 3.11 CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS PRINCIPALES DE FLEXIÓN Y TORSIÓN POR EL CÍRCULO DE MHOR. 77 3.12 CÁLCULO DEL ESFUERZO VON MISES EN EL ÁRBOL. 78 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACION ÍNDICE ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. VII 3.13 CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS EN EL DIENTE DEL ENGRANE. 80 3.13.1 DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS NORMALES DE FLEXIÓN Y TRACCIÓN. 80 3.13.1.1 FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS. 81 3.13.2 DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS DE TRACCIÓN Y FLEXIÓN CON FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS ZONA A TRACCIÓN. 81 3.13.3 DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS DE TRACCIÓN Y FLEXIÓN CON FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS ZONA A COMPRESIÓN. 81 3.13.4 CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS PRINCIPALES EN LA ZONA DE TRACCIÓN. 82 3.13.5 CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS PRINCIPALES EN LA ZONA DE COMPRESIÓN. 83 3.13.6 CÁLCULO DEL ESFUERZO VON MISES EN EL ENGRANE. 84 3.14 CONSTRUCCIÓN DEL MODELO DE ELEMENTOS FINITOS. 86 3.14.1 DESCRIPCIÓN DEL ANÁLISIS A REALIZAR. 87 3.15 RESULTADOS DEL ANÁLISIS NUMÉRICO. 91 3.16 SUMARIO. 94 3.17 REFERENCIAS. 97 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE RESULTADOS. 4.1 ANÁLISIS DE RESULTADOS. 98 4.2 ANÁLISIS DE RESULTADOS NUMÉRICO-ANÁLITICO EN EL ÁRBOL. 98 4.3 ANÁLISIS DE RESULTADOS NUMÉRICO-ANÁLITICO EN EL ENGRANE. 99 CONCLUSIONES. 106 TRABAJO FUTURO. 107 ANEXO 1 GRÁFICA PARA DETERMINAR KF. 108 ANEXO 2 GRÁFICA PARA DETERMINAR KT. 109 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACION ÍNDICE ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. VIII ÍNDICE DE FIGURAS CAPÍTULO 1 PÁGINAS 1.1 Primer vehículo de motor de combustión interna [1.1]. 2 1.2 Vehículo con motor de vapor de agua [1.1]. 2 1.3 Partes que componen a un árbol de levas [1.3]. 4 1.4 Perfil de leva [1.1]. 6 1.5 Estadística de ventas de Pointer en el 2007 [1.6]. 9 1.6 Estadística de ventas de Combi en el 2007 [1.6]. 9 CAPÍTULO 2 2.1 Cuerpo en equilibrio bajo fuerzas externas [2.1]. 16 2.2 Fuerzas distribuidas [2.1]. 16 2.3 Componentes de los esfuerzos [2.1]. 17 2.4 Esfuerzos y dimensiones [2.1]. 18 2.5 Esfuerzos actuantes en los planos coordenados [2.2]. 19 2.6 Viga sometida a cargas axiales y de flexión [2.4]. 23 2.7 Circulo de Mohr para estado plano de esfuerzos [2.4]. 25 2.8 Coeficiente de concentración de esfuerzos [2.4]. 27 2.9 Motor enfriado por agua [2.15]. 41 2.10 Esfuerzos principales [2.16]. 48 2.11 Teoría del máximo esfuerzo [2.16]. 48 2.12 Teoría del cortante máximo [2.16]. 49 2.13 Teoría de la máxima deformación [2.16]. 50 2.14 Teoría Von Mises [2.16]. 51 2.15 Representación grafica de la teorías de falla [2.16]. 53 2.16 Nomenclatura de un diente de engrane [2.17]. 54 2.17 Diente de engrane y viga en voladizo [2.17]. 55 2.18 Contacto entre dientes [2.17]. 59 CAPÍTULO 3 3.1 Distribución de válvulas de admisión y escape [3.1]. 66 3.2 Tipos de levas [3.1]. 67 3.3 Fuerza transmitida por el volante del motor [3.1]. 68 3.4 Descomposición de la fuerza en el engrane helicoidal [3.2]. 68 3.5 Triangulo rectángulo que contiene fh [3.2]. 69 3.6 Triangulo rectángulo que contiene Fx [3.2]. 69 3.7 Triangulo rectángulo que contiene Fy [3.2]. 70 3.8 Triangulo rectángulo que contiene Fz [3.2]. 70 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACION ÍNDICE ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. IX 3.9 Fuerzas ejercidas por la descomposición en el engrane, por las válvulas de los pistones 1 y 2 en los apoyos, y por el peso del engrane durante el cuarto tiempo [3.2]. 71 3.10 Fuerzas ejercidas en la dirección “z” [3.3]. 73 3.11 Fuerzas ejercidas en la dirección “y” [3.3]. 74 3.12 Fuerzas ejercidas en la dirección “x” [3.4]. 75 3.13 Circulode Mohr para esfuerzos combinados [3.4]. 77 3.14 Fuerzas ejercidas en el diente [3.2]. 80 3.15 Zonas generadas en la flexión [3.2]. 80 3.16 Esfuerzos en la zona de tracción [3.2]. 82 3.17 Esfuerzos en la zona de compresión [3.2]. 83 3.18 Dimensiones del árbol de levas en centímetros. 86 3.19 Elemento generado con dimensiones reales [3.8]. 87 3.20 Elemento estructurado como un volumen [3.9]. 87 3.21 Elemento mallado [3.10]. 88 3.22 Elemento mallado rotado [3.10]. 89 3.23 Área del engrane en contacto con el volante del motor [3.11]. 90 3.24 Resultados del análisis numérico en el árbol. 91 3.25 Resultados del análisis numérico en el diente del engrane esfuerzo principal máximo. 92 3.26 Resultados del análisis numérico en el diente del engrane esfuerzo principal mínimo. 93 CAPÍTULO 4 4.1 Esfuerzo máximo obtenido Von Mises. 98 4.2 Esfuerzos concentrados en un punto de el diente. 100 4.3 Esfuerzos en el diente para diferentes puntos. 101 4.4 Concentración de esfuerzos en el diente. 102 4.5 Esfuerzo máximo principal en el diente. 103 4.6 Esfuerzo mínimo principal en el diente. 104 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACION ÍNDICE ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. X ÍNDICE DE TABLAS CAPÍTULO 1 PÁGINAS TABLA 1.1 Especificaciones del árbol de levas [1.4] 8 TABLA 1.2 Volumen de ventas de autos Volkswagen en el 2007 [1.6] 10 CAPÍTULO 2 TABLA 2.1 Valores del factor deforma y de Lewis, de la AGMA. [2.17] 57 CAPITULO 3 TABLA 3.1 Sincronización de los tiempos [3.1] 67 TABLA 3.2 Propiedades mecánicas del material acero al carbón [3.4] 86 CAPITULO 4 TABLA 4.1 Comparación de resultados métodos numérico-analítico. 99 TABLA 4.2 Comparación de resultados métodos numérico-analitico en el engrane. 100 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACION ÍNDICE ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. XI SIMBOLOGÍA A Área de acción de la fuerza exterior. AA Área transversal del árbol. aBC Distancia a la izquierda de la fuerza en el tramo BC. aCD Distancia a la izquierda de la fuerza en el tramo CD. bBC Distancia a la derecha de la fuerza en el tramo BC. bCD Distancia a la derecha de la fuerza en el tramo CD. b Ancho de la cara del diente del engrane. Cm Centímetros. D Diámetro del engrane. d Diámetro del árbol. dx Distancia en la dirección X. dy Distancia en la dirección Y. dz Distancia en la dirección Z. E Modulo de elasticidad axial F Fuerza en el engrane transmitida por el volante del motor. FD Factor de distribución. FDBC Factor de distribución en el tramo BC. FDCD Factor de distribución en el tramo CD. FEX Componente de la fuerza en el engrane en la dirección X. FEY Componente de la fuerza en el engrane en la dirección Y. FEZ Componente de la fuerza en el engrane en la dirección Z. FH Distancia entre los puntos f y h. FVAZ Fuerza ejercida por la válvula de admisión en la dirección Z. FVEZ Fuerza ejercida por la válvula de escape en la dirección Z. I Momento polar de inercia. 1I Invariante número 1 del tensor de esfuerzos. 2I Invariante número 2 del tensor de esfuerzos. K Rigidez de la viga. K Sumatoria de valores de la rigidez por tramos. KBC Rigidez de la viga en el tramo BC. KCD KA Rigidez de la viga en el tramo CD. Factor de concentración de esfuerzos por cargas axiales en el árbol. KF Factor de concentración de esfuerzos por flexión en el árbol. KT Factor de concentración de esfuerzos por torsión en el árbol. L Longitud de la viga. l Longitud del diente. LAB Longitud del tramo AB. LBC Longitud del tramo BC. LCD Longitud del tramo CD. M Momento flexionante en el árbol. MA Momento de empotramiento perfecto en el punto A. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACION ÍNDICE ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. XII MBD Momento de empotramiento perfecto en el punto B por la derecha. MBI Momento de empotramiento perfecto en el punto B por la izquierda. MCD Momento de empotramiento perfecto en el punto C por la derecha. MCI Momento de empotramiento perfecto en el punto C por la izquierda. MDD Momento de empotramiento perfecto en el punto D por la derecha. MEP Momento de empotramiento perfecto. MF Momento flexionante en el diente del engrane. MR Momento flexionante resultante. Mt Momento torsionante transmitido por el volante del motor al engrane. MX Momento flexionante en la dirección X. MY Momento flexionante en la dirección Y. MZ Momento flexionante en la dirección Z. m Metros. N Newtons. P Carga exterior. R Radio del círculo de Mhor. R1X Reacción en el apoyo 1 en la dirección X. R1Y Reacción en el apoyo 1 en la dirección Y. R1Z Reacción en el apoyo 1 en la dirección Z. R2Y Reacción en el apoyo 2 en la dirección Y. R2Z Reacción en el apoyo 2 en la dirección Z. r Radio del filete. rA Radio del árbol. rE Radio del engrane. rc Compresión volumétrica. t Ancho del diente. WE Peso del engrane. Y Factor de Lewis. Z Modulo de área en el diente del engrane. Relación de Poisson. X Deformación unitaria en la dirección X. Y Deformación unitaria en la dirección Y. Z Deformación unitaria en la dirección Z. a Rendimiento térmico. Esfuerzo normal. C Esfuerzo a compresión. FKc Esfuerzo a flexión con factor de concentración de esfuerzos zona a compresión. TKc Esfuerzo a tracción con factor de concentración de esfuerzos zona a compresión. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACION ÍNDICE ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. XIII TFK Esfuerzo a flexión con factor de concentración de esfuerzos zona a tracción. TTK Esfuerzo a tracción con factor de concentración de esfuerzos zona a tracción. F Esfuerzo normal a flexión. KF Esfuerzo normal con factor de concentración de esfuerzos a flexión. K Esfuerzo normal con factor de concentración de esfuerzos. MAX Esfuerzo normal máximo. MIN Esfuerzo normal mínimo. T Esfuerzo a tracción. VM Esfuerzo de Von Mises.X Esfuerzo normal en la dirección X. Y Esfuerzo normal en la dirección Y. Z Esfuerzo normal en la dirección Z. 1 Esfuerzo normal con cargas axiales y de flexión. 2 Esfuerzo normal en la dirección Y. 3 Esfuerzo normal en la dirección Z. YP Esfuerzo último de cedencia. PC Esfuerzo en el punto de cedencia. MIN MAX EAF Esfuerzo máximo o mínimo con cargas axiales y flexionantes. MIN MAX EAT Esfuerzo máximo o mínimo con cargas axiales y torsionales. MIN MAX EFT Esfuerzo máximo o mínimo con cargas de flexión y torsión. MIN MAX EAFT Esfuerzo máximo o mínimo con cargas axiales, de flexión y torsión. Esfuerzo cortante. E Esfuerzo torsionante en el engrane. KT Esfuerzo cortante con factor de concentración de esfuerzo a torsión. MAX Esfuerzo cortante máximo. XY Esfuerzo cortante en la cara X, en la dirección Y. XZ Esfuerzo cortante en la cara X, en la dirección Z. YX Esfuerzo cortante en la cara Y, en la dirección X. YZ Esfuerzo cortante en la cara Y, en la dirección Z. ZX Esfuerzo cortante en la cara Z, en la dirección X. ZY Esfuerzo cortante en la cara Z, en la dirección Y. EATMAX Esfuerzo cortante máximo con cargas axiales y torsionales. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACION ÍNDICE ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. XIV EFTMAX Esfuerzo cortante máximo con cargas de flexión y torsión. EAFTMAX Esfuerzo cortante máximo con cargas axiales, de flexión y torsión. Ángulo formado entre los lados fh y FEZ. Ángulo formado entre los lados fh y FEX. Ángulo formado entre los lados fh y F. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN OBJETIVO ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉRICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. XV OBJETIVO Utilizar el método del elemento finito para desarrollar un análisis numérico que permita determinar los esfuerzos en un árbol de levas automotriz, validando los resultados por el método analítico (resistencia de materiales). Proporcionando información detallada de la estructura analizada. Se contempla también la vinculación con el sector productivo, ya que los esfuerzos obtenidos pueden ser utilizados en la industria automotriz. Con la información encontrada se puede tener una comprensión más clara del campo de esfuerzos y a partir de ahí, poder rediseñar al elemento mecánico, si fuese necesario. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN JUSTIFICACIÓN ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉRICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. XVI JUSTIFICACIÓN Actualmente, la industria automotriz presenta un desarrollo sumamente importante a nivel mundial, en el país, actualmente se tiene la necesidad de desarrollo en este sector. Ante esto el principal problema es generar tecnología propia con la finalidad de reducir la importación de vehículos, refacciones y accesorios. Considerando tal situación, es conveniente desarrollar una línea de investigación en mecánica automotriz, basándose en los diversos análisis realizados en transporte terrestre como son: camiones de carga, autobuses de pasajeros, automóviles de uso particular, se puede decir que actualmente con este tipo de trabajos se puede llevar a cabo un análisis completo a todos los elementos mecánicos para cualquier tipo de automóvil, este tipo de análisis pueden mejorar el progreso en el país, sin necesidad de tener costos tan elevados. . Es conveniente mencionar que también existen antecedentes de análisis a un barco en transporte marítimo, al ala de un avión en transporte aéreo y en transporte terrestre a la plataforma de un tracto camión, a la carrocería de un autobús y el análisis numérico-experimental de un auto SAE mini baja. Debido a la rapidez del desarrollo de conocimiento técnico que se ha dado en los últimos tiempos y el uso adecuado de esto, se han obtenido nuevos diseños los cuales podrían generar resultados inciertos debido a la complejidad de la nueva tecnología. Las herramientas analíticas de la ingeniería actualmente están bien elaboradas, pero al tratar un fenómeno físico, se encuentran frecuentemente problemas derivados de la necesidad de desarrollar, organizar y evaluar información bajo un marco de incertidumbre, por lo cual es necesario validar los resultados por varios métodos. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN INTRODUCCIÓN ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉRICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. XVII INTRODUCCIÓN Tradicionalmente, han sido los métodos analíticos los que han permitido conocer la distribución de esfuerzos en los sólidos elásticos sometidos a solicitaciones exteriores arbitrarias. En los últimos años se han empleado métodos numéricos para resolver estos problemas, pero lo que entonces parecía como un método que iba a desplazar totalmente a los métodos analíticos y experimentales, aparece hoy en día como un método complementario. En el capítulo 1 se describe la historia del automóvil, se expone la función y operación del árbol de levas y se genera el planteamiento del problema. En el capítulo 2 se presentan los antecedentes de análisis de esfuerzos (teoría de la elasticidad), y conceptos básicos del método del elemento finito. En el capítulo 3 se realiza el análisis de esfuerzos empleando el método del elemento finito con el paquete computacional ANSYS y el método analítico. En el capítulo 4 se evalúan los resultados de los análisis numérico y analítico, validando los resultados. Es importante mencionar que en la SEPI-ESIME ya se han realizado análisis con el Método del Elemento Finito en el área de transportes, terrestre, marítimo y aéreo, existen los antecedentes de los siguientes trabajos. En transporte de carga Guerra Loaeza analizó esfuerzos en semi-remolque para trailer tipo plataforma [1], Vázquez Mendoza optimizó la estructura de una plataforma para tractocamión [2], en la línea de transporte de pasajeros Esteban Gamez realizo el modelo y análisis de un carro guiado por un autobús [3], Flores Herrera realizo el análisis estructural de un autobús escolar [4]. En lo que se refiere a la suspensión de un vehículo Rojas Vázquez optimizó un sistema de suspensión trasera tipo muelle [5], en transporte eléctrico, Osuna Amparo realizó el análisis estructural y optimización de un chasis de un vehículo de tracción eléctrica [6]. En diseño de un vehículo SAE Mini-Baja, Plata Contreras realizó el diseño, análisis y construcción del prototipo [7], Aguilar Espinosa desarrollo el diseño de la suspensión y dirección [8], Rosales Iriarte diseño y analizó un sistema de transmisión variable [9] y Severiano Pérez realizo el análisis numérico experimental de un auto SAE Mini-Baja [10]. En transporte marítimo Zarco González desarrollo el análisis estructural del casco de una embarcación transportadora de sal [11] y en transporte aéreo Martín Castillo desarrollo un análisis de esfuerzos en la caja de torsión de un ala [12]. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN INTRODUCCIÓN ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. XVIII En el presente trabajo se desarrolla el análisis de esfuerzos a un árbol de levas automotriz, por medio dela resistencia de materiales y elemento finito. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN INTRODUCCIÓN ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. XIX REFERENCIAS [1] Guerra Loaeza, V., Aplicación del Método del Elemento Finito al Análisis de un Semi-remolque para trailer tipo plataforma. Tesis de Maestría, SEPI ESIME IPN, México, 1996. [2] Vázquez Mendoza, H. H., Optimización del diseño Estructural de una plataforma para tractocamión. Tesis de Maestría, SEPI ESIME IPN, México, 1998. [3] Esteban Gamez, V., Análisis Estructural del Carro Guiado de un Autobús. Tesis de Maestría, SEPI ESIME IPN, México, 2002. [4] Flores Herrera, L., Análisis Estructural de un Autobús Escolar. Tesis de Maestría, SEPI ESIME IPN, México, 2002. [5] Rojas Vázquez, G., Optimización de un Sistema de Suspensión Trasera Tipo Muelle con el Programa Adams. Tesis de Maestría, SEPI ESIME IPN, México, 2002. [6] Osuna Amparo, C. A., Análisis Estructural y Optimización del Chasis de un Vehículo de tracción Eléctrica. Tesis de Maestría, SEPI ESIME IPN, México, 1999. [7] Platas Contreras, G., Diseño, Análisis y Construcción De un Chasis Para un Auto SAE Mini-Baja. Tesis de Maestría, SEPI ESIME IPN, México, 2003. [8] Aguilar Espinosa, A., Diseño y Análisis de la Suspensión y Dirección de un Carro Todo Terreno Tipo SAE Mini-Baja. Tesis de Maestría, SEPI ESIME IPN, México, 2003. [9] Rosales Iriarte, F., Diseño y Análisis de un sistema de Transmisión de Velocidad Variable Para un Auto SAE Mini-Baja. Tesis de Maestría, SEPI ESIME IPN, México, 2003. [10] Severiano Pérez, O., Análisis Numérico-Experimental de un Auto SAE Mini-Baja. Tesis de Maestría, SEPI ESIME IPN, México, 2005. [11] Zarco González, J.C., Análisis Estructural por el Método del Elemento Finito de Casco de una Embarcación Transportadora de Sal de 101.6 m de Eslora. Tesis de Maestría, SEPI ESIME IPN, México, 1999. [12] Castillo Morales, M., Análisis de Esfuerzos en la Caja de Torsión de un Ala. Tesis de Maestría, SEPI ESIME IPN, México, 2002. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN CAPÍTULO I ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉRICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. 1 CAPÍTULO 1 FUNCIÓN Y OPERACIÓN DE LOS ÁRBOLES DE LEVAS. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN CAPITULO I ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. 2 1.1 HISTORIA DE LA INDUSTRIA AUTOMOVILISTICA Figura 1.1 Primer vehículo de motor de combustión interna [1.1]. El progreso del transporte ha estado siempre estrechamente vinculado con el avance de la civilización [1.1]. El marítimo ha evolucionado desde la simple balsa hasta los modernos trasatlánticos; en el aire, del primer globo a los aviones supersónicos, y en tierra, de las carretas de bueyes, al automóvil de alta velocidad. El automóvil en sí mismo nació en la segunda mitad del siglo XIX, pero ha habido en la historia numerosas tentativas para evitar la dependencia de la tracción animal o humana, siendo muchos los mecanismos probados a partir del siglo XVII [1.2]. El primer motor de tracción mecánica fue el de vapor que se instaló sobre una plataforma en ruedas. En el periodo de 1770-1790 surgieron los primeros vehículos accionados con este tipo de motores (figura 1.2). Figura 1.2 Vehículo con motor de vapor de agua [1.1]. A partir del vapor, también es desarrollado el motor de gas, probablemente patentado en 1833 por el británico Wellman Wright. Estos presentaban el inconveniente de tener que transportar un generador de energía, quedando la relación de peso potencia muy elevada, dejando muy pocas posibilidades de carga útil. Posteriormente en 1876 empezó a funcionar el primer motor de combustión interna fabricado por Nicholas Otto y que utilizaba gasolina en vez de vapor. Este motor, respecto a los anteriores, simplificaba enormemente la relación peso-potencia y el montaje del mismo. Por otra parte, en 1885, el INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN CAPITULO I ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. 3 alemán Karl Benz introdujo el primer automóvil impulsado por motor de combustión interna. En 1871, C. E. Duryea produjo el primer automóvil americano de gasolina y en 1893 Henry Ford construyó su primer automóvil. La evolución del automóvil también ha encontrado muchos obstáculos legales y censuras del público en general. Por ejemplo, en 1865, en Inglaterra, se emitió una ley exigiendo que por lo menos tres personas debieran encargarse de un auto en movimiento. Una persona a pie, con una bandera roja, debía ir adelante del automóvil, a unos 70 metros y prevenir a los jinetes y cocheros del peligro. El límite de velocidad era de dos millas por hora en la ciudad y de cuatro por hora en el campo. A fines del siglo XIX, los vehículos impulsados por gasolina tuvieron una ruda competencia con los de vapor y electricidad; estos últimos tenían la ventaja de poseer gran potencia a baja velocidad, haciendo inútil la transmisión. El peligro de las calderas a alta presión y la recarga de las baterías redujo su popularidad. La propulsión por gasolina, a pesar de la necesidad de la transmisión, tenía grandes ventajas: 1. Producción de gran potencia con una pequeña cantidad de combustible. 2. Capacidad para viajar más lejos, sin parar para reabastecerse de gasolina o agua, en contraste con la unidad de vapor, o para recargar las baterías en el caso del automóvil eléctrico. 3. El combustible necesario podía cargarse fácil y rápidamente. El automóvil moderno es resultado de muchos años de exploración, investigación y desarrollo. Lo anterior se manifiesta en la manufactura de un medio de transporte masivo eficiente, confiable y costeable. El automóvil de hoy es una máquina complicada que comprende numerosos aparatos mecánicos y eléctricos que utilizan muchos principios científicos. Gracias a la invención de los carburadores de gasolina pulverizada (por Bernardi, Italia 1889-1892 para motores monocilíndricos y May Bach, en Alemania y Forest, en Francia, 1893 para motores policilíndricos), con cubeta y flotador para el carburante, fue posible la construcción de motores automovilísticos de combustión interna. En 1900, después de la muerte de Daimler, ocurrida el 6 de Marzo de aquel año, surgió la obra de May Bach: el motor de cuatro cilindros en línea y verticales, que incluían todas las innovaciones técnicas de años precedentes, desarrollando 35 CV y rendimiento térmico excepcional para aquella época. Montado en el primer Mercedes, señalo el ocaso del automovilismo de vapor. De esta manera, la técnica motorística evolucionó rápidamente hacía el motor policilíndrico vertical en línea en posición delantera de los automóviles. Por otra parte la evolución de los automóviles con motores diesel ha sido mucho más lenta. La primera patente concedida fue para Rudolf Diesel, se fechó el 4 de febrero de 1892. El primer motor diesel que funcionó con resultados industriales positivos fue un monocilíndrico de 4 tiempos de enormes dimensiones (250 x 400 mm), que con una presión finalde INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN CAPITULO I ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. 4 compresión de unas 32 atmósferas, daba 18 CV a unas 154 rpm; sin embargo, todavía pasaron varios decenios antes de que estos motores fueran más eficientes. 1.2 DESCRIPCIÓN DE LA PIEZA [1.3]. La leva es un elemento mecánico con un diseño en su contorno que convierte el movimiento de rotación uniforme, en un movimiento previamente establecido, que se transmite por contacto directo a las válvulas. El árbol de levas es el elemento mecánico que recibe movimiento giratorio del cigüeñal y lo transmite a las válvulas, en las que es transformado en movimiento rectilíneo alterno. El árbol de levas lo constituye un eje de acero al carbono, en el que están maquinadas unas levas, en número igual al de válvulas del motor, las levas se alternan, de manera que se produzcan las aperturas y cierres de las válvulas con arreglo a los tiempos de cada cilindro y en los momentos adecuados (figura 1.3). Fig. 1.3 Partes que componen a un árbol de levas [1.3]. El árbol de levas gira apoyado en cojinetes de metal antifricción, como cada válvula del motor ha de abrir y cerrar una vez por cada ciclo completo, la leva que rige a la válvula ha de girar una vuelta en cada ciclo. El árbol de levas controla también el accionamiento del distribuidor, el mando de las bombas de aceite y combustible y directa o indirectamente afecta a todas las partes que trabajen en el motor. Las levas son endurecidas por tratamiento térmico en todo su contorno para evitar un rápido desgaste en su periferia. El desgaste se presenta normalmente en la nariz reduciendo gradualmente “la altura del levantamiento”, que absorbe INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN CAPITULO I ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. 5 la válvula para lograr la inducción de mezcla aire combustible y desalojo de los gases de combustión. Si el desgaste se presenta en los flancos o rampas, el funcionamiento de la válvula será brusco y ruidoso causando que la puntería (buzo) trabaje sin acción hidráulica provocando bajo rendimiento en el motor. Los motores modernos de alta compresión han impuesto una carga y demanda mucho mayor en la función que tienen que realizar los árboles de levas. Esto hace necesaria la inspección de los esfuerzos a los que va estar sometido el árbol de levas. El perfil de la leva (figura 1.4) determina el movimiento de apertura de la válvula y el tiempo que permanece abierta. Este perfil es diferente para las válvulas de escape y para las de admisión, dados los distintos ángulos de apertura y cierre de las mismas, fijados por la distribución. La posición de la prominencia sobre el árbol de levas se determina en orden de obtener la apertura de la válvula en el preciso instante establecido en el ciclo del motor. Con un perfil adecuado en ambas levas de un cilindro, se consigue levantar las válvulas hasta una altura conveniente y mantenerlas abiertas durante un tiempo ideal para obtener el rendimiento óptimo del motor. La máxima apertura lograda en las válvulas se denomina alzada. La precisión en el perfil de las levas es tan importante, que requiere de un complicado diseño en todo su contorno. Este se calcula con ayuda de una computadora para evitar errores de índice, ya que de la exactitud del perfil depende la eficiencia con que trabaje el motor. Las condiciones básicas que deben considerarse en el diseño de una leva son las siguientes: 1. Lograr un movimiento suave y sin choques entre el mecanismo levanta válvulas y las válvulas cuando se alojen en los asientos. Evitar rebotes entre las punterías (buzos) y las levas después de que la válvula se aloja en su asiento. 2. Obtener bajos valores de aceleración positiva y negativa para disminuir las fuerzas de torsión y tensión a la que será sometido el árbol de levas. El perfil típico de una leva comprende en general: a. Un tramo de circunferencia de radio A, que se define como círculo base, al que corresponde el período de cierre de la válvula. b. Un tramo de circunferencia de radio B, definido como círculo de cresta, que corresponde a la fase de máxima apertura. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN CAPITULO I ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. 6 c. Dos tramos C rectilíneos llamados flancos de la leva, que corresponden a los inicios de apertura y cierre de las válvulas. Figura 1.4 Perfil de leva [1.3]. Dispuesto de esta manera el perfil de la leva, la válvula comienza a abrirse cuando se inicia el contacto de la válvula con el flanco, una vez que abandona el tramo de círculo base (con el giro de la leva), es decir, en el punto de tangencia T de ambos tramos; y se cierra en el punto de tangencia T’ del lado opuesto. El ángulo de apertura de la válvula, es el comprendido entre los puntos de tangencia T y T’ y corresponde al determinado por la distribución (diferente para las válvulas de admisión y escape). En la práctica es necesario establecer ciertos huelgos entre los dos elementos, a fin de permitir, la dilatación térmica de los materiales que se produce con el funcionamiento del motor. Como el árbol de levas es movido por el cigüeñal y, para lograrlo, se acoplan ambos mediante engranes, el árbol de levas emplea un piñón con doble número de dientes que el del cigüeñal. Estos engranes se llaman de la distribución y se alojan en el cárter de mando, situado en la parte delantera del motor. Un árbol de levas se encuentra sometido a los siguientes esfuerzos: a) Térmicos por calentamiento del motor al funcionar. b) Torsionales por transmisión de movimiento del cigüeñal al árbol de levas a través de engranes. c) Flexión por accionamiento de las válvulas a través de las levas. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN CAPITULO I ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. 7 1.3 ARBOL DE LEVAS Y BANDA DE SINCRONIZACION [1.4]. Para que un motor automotriz funcione perfectamente debe existir sincronización entre el cigüeñal, el distribuidor y el árbol de levas. Si la banda de transmisión del árbol de levas se brincara por varios dientes en la sincronización el motor deja de funcionar, en cambio si la banda de transmisión del árbol de levas se brincara la sincronización por un diente o dos, el motor podría todavía funcionar aunque en forma muy deficiente. 1.3.1 VERIFICACION VISUAL DE LA SINCRONIZACIÓN Para verificar visualmente la sincronización correcta del cigüeñal, el árbol de levas y la banda de sincronización se sigue este procedimiento: - En los motores hay un tapón de acceso previsto en la cubierta de la banda de transmisión de la leva para que pueda verificarse la sincronización del árbol de levas sin quitar la cubierta de la banda de transmisión. - Quitar el tapón de acceso, para visualizar que al girar el cigüeñal la marca de sincronización quede en la parte superior, y observe que la marca de sincronización de la rueda dentada motriz del árbol de levas coincida con la marca de la cubierta interior de la banda. - El distribuidor se debe colocar en su posición cuando el pistón 1 quede en la parte superior. Tabla 1.1 Especificaciones delárbol de levas [1.4]. Elevación de la leva Elevación de la válvula Admisión Escape Juego axial del árbol de levas Holgura de muñón a cojinete Límite de ovalamiento del muñón 0.572 0.955 0.952 0.0004-0.0127 0.002-0.006 0.020 (Todas las medidas expresadas en centímetros.) INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN CAPITULO I ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. 8 1.4 PRODUCCIÓN [1.5]. El árbol de levas en estudio está presente en los motores de automóviles Volkswagen modelos sedan, pointer y combi. El volumen de fabricación en el 2013 fue de 35,644 árboles para motores nuevos, más 1600 unidades para el mercado de refacciones, ver figuras (1.5 y 1.6). Figura 1.5 Estadística de ventas de pointer en el 2013 [1.6]. Figura 1.6 Estadística de ventas de combi en el 2013 [1.6]. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN CAPITULO I ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. 9 En el año 2013, la Empresa Volkswagen presentó un crecimiento en su producción y ventas del 2.1%, actualmente participa en el mercado nacional con el 19.6%, llegando a vender 102,269 unidades. Entre los autos más vendidos a nivel nacional tenemos que el Jetta ocupa el 3er. lugar, el 5to. lugar lo ocupa el Bora y en el 7to. el Pointer. Tabla 1.2 Volumen de ventas de autos Volkswagen en el 2013 [1.6]. Lugar en ventas Modelos de automóviles Unidades 1 Jetta 38,600 2 Bora 30,517 3 Pointer 26,422 4 Combi 9,222 5 Cross Fox 4,695 6 Beetle 2,268 7 Otros modelos GTI 545 1.5 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA El problema consiste en determinar la distribución de los esfuerzos, haciendo énfasis en el esfuerzo máximo que se presenta en un árbol de levas, que forma parte de un motor automotriz de cuatro cilindros marca Volkswagen. El árbol de levas se encuentra sometido a cargas de torsión y flexión simultáneamente, la flexión es generada por el accionamiento de las válvulas de admisión y escape en los pistones, y por la descomposición de la fuerza en el engrane, la torsión es transmitida por el cigüeñal. El análisis de esfuerzo torsionante se realizó cuando el motor desarrolla su máxima capacidad de trabajo, el esfuerzo flexionante se analizó en los pistones uno y dos en las válvulas de escape y admisión respectivamente, ya que estas válvulas generan el momento flexionante máximo. El problema se aborda de manera analítica (resistencia de materiales) y por medio de análisis numérico. Para la parte numérica, se encuentra el campo de esfuerzos utilizando el Método del Elemento Finito, con el programa comercial ANSYS (Ansys Inc. versión 9.0). La parte analítica se basa en la Teoría de resistencia de materiales y tiene como finalidad validar los resultados. Los métodos analíticos empleados fueron: para el momento flexionante actuante sobre el árbol de levas el método de Cross, el momento torsionante fue obtenido del manual del automóvil, con ambos momentos se calcularon los esfuerzos normales, los cuales fueron multiplicados por los factores de INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN CAPITULO I ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. 10 concentración de esfuerzos, posteriormente los esfuerzos anteriores fueron utilizados en el círculo de Mhor para conocer los esfuerzos máximos de flexión y torsión, con los cuales se obtuvo el esfuerzo de Von Mises. Durante los últimos años, la utilización del MEF (el Método del Elemento Finito), se ha incrementado y ha demostrado ser un método altamente confiable, siendo más adecuado por que ahorra costos generados por pruebas experimentales que pueden llegar a ser de tipo destructivo, sin embargo se considera conveniente llevar a cabo pruebas experimentales o métodos analíticos para validar los resultados, ya que ocasionalmente, se han observado deficiencias en las consideraciones que describen el problema, por tal razón se ha llegado a concluir que es necesario cotejar los resultados del mismo contra los resultados analíticos. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN CAPITULO I ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. 11 1.7 SUMARIO Una vez que se conoce la historia del automóvil, la descripción de la pieza, árbol de levas y la banda de sincronización, verificación visual de la sincronización, y lo concerniente a producción se analiza al elemento de estudio por los métodos de resistencia de materiales y numérico con la finalidad de obtener los esfuerzos de Von Mises que servirán para saber si la pieza finalmente es adecuada. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN CAPITULO I ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. 12 1.8 REFERENCIAS. [1] C. Nash Frederick. Fundamentos de mecánica automotriz. Diana, 1era. Edición, 33 ava. Impresión. Página 10. [2] Font Mezquita José, Dols Ruiz Juan. Tratado sobre automóviles Volumen I. Editorial Alfaomega / Universidad Politécnica de Valencia, 2000. Página 99. [3] Development of optimization technique of warm shrink fitting process for Automotive transmission parts (3DFE analysis), Journal of Materials Processing Technology, Volumes 187-188, 12 June 2007, Pages 458-462. H.Y. Kim, C. Kim, W.B. Bae and S. M. Han [4] Miralles de Imperial Juan, Villalta Esquius Juan. Motor Características Pruebas y Vibraciones. Editorial CEAC, 3era. Edición, 1986. Página 103. [5] Fernández Rojas José, Enríquez Chávez Luis. Producción sobre autos Nacionales. Fernández Editores/ 2007. Páginas 35, 36 y 37. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN CAPÍTULO II ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉRICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. 13 CAPÍTULO 2 ANTECEDENTES DE ANÁLISIS DE ESFUERZOS Y MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN CAPÍTULO II ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. 14 2.1 GENERALIDADES [2.1]. Todos los materiales estructurales presentan en cierto grado la propiedad de elasticidad, es decir, si las fuerzas exteriores que deforman la estructura norebasan un cierto límite, la deformación desaparece cuando se suprimen tales fuerzas. En este trabajo se supondrá que los cuerpos que sufren la acción de las fuerzas exteriores trabajan en un rango perfectamente elástico, es decir, recuperan su forma inicial después de suprimir las fuerzas. La estructura molecular de los cuerpos elásticos no será considerada. Se supondrá que la materia del cuerpo elástico es homogénea distribuyéndose con continuidad en su volumen, de forma que cualquier elemento extraído de él, posee sus mismas propiedades físicas. Para simplificar los razonamientos se supondrá también que el cuerpo es isótropo, es decir, las propiedades elásticas son las mismas en todas las direcciones. Los materiales estructurales no cumplen, en general, las condiciones señaladas anteriormente. Un material tan importante como el acero, por ejemplo, consiste en cristales diferentes, distintamente orientados como puede verse al observarlo al microscopio. El material dista mucho de ser homogéneo, pero la experiencia muestra que las soluciones de la teoría elástica, admitiendo las condiciones de homogeneidad e isotropía, pueden ser aplicadas a las estructuras de acero con gran exactitud. La explicación es que los cristales son muy pequeños: generalmente hay millones en un centímetro cúbico. Mientras que las propiedades elásticas de un cristal pueden variar mucho con la dirección, los cristales están generalmente orientados al azar y las propiedades elásticas de las piezas grandes corresponden a los promedios de las propiedades cristalinas. Siempre que las dimensiones geométricas de un cuerpo sean grandes comparadas con las dimensiones de los cristales, la suposición de homogeneidad puede ser usada con gran exactitud y si los cristales están orientados al azar, el material puede ser tratado también como isótropo. Cuando a causa de ciertos procesos tecnológicos, tales como el laminado, predomina una cierta orientación de los cristales del metal, las propiedades elásticas dependen de la dirección y debe considerarse la condición de anisotropía. Tal condición se da, por ejemplo, en el cobre laminado en frío. En los problemas de análisis de esfuerzos, la forma geométrica es un dato y también, en la mayoría de los casos, sus condiciones limítrofes. Analizar los esfuerzos, significa determinar su magnitud en cada punto. En el caso general, para hacer un análisis de esfuerzos completo en un cuerpo, se requiere hacer la determinación, en todos los puntos del cuerpo, de seis incógnitas, que pueden ser los valores de las tres componentes correspondientes de los esfuerzos y de otras tres correspondientes de los esfuerzos cortantes, o los valores de los tres esfuerzos principales y sus direcciones. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN CAPÍTULO II ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. 15 Cuando las condiciones del borde (frontera) cambian con el tiempo, los valores de las seis incógnitas son también función del tiempo. Si la relación entre los esfuerzos y las deformaciones en el material que se va a usar, no es lineal, el estado de esfuerzo dependerá generalmente de la magnitud de la carga. Presentada en toda su generalidad, la solución del problema de la determinación de los esfuerzos, las deformaciones asociadas a ellos y los desplazamientos en un cuerpo tridimensional hecho de un material heterogéneo, anisótropo, que se comporta de una manera no elástica y que está sujeto a una carga dinámica, es casi imposible. En efecto, aun para condiciones en la frontera, estáticas, los problemas de los materiales lineales, homogéneos e isótropos, con frecuencia no han sido resueltos en toda su generalidad. De lo que acaba de decirse se deduce que los métodos experimentales para los análisis de esfuerzos son de dos tipos principales: los que dan información de punto por punto y los que dan información conjunta o de campo completo. Los medidores de deformaciones eléctricos y mecánicos son instrumentos que dan información de punto por punto; la fotoelasticidad, las cuadrículas, el Moiré, y los recubrimientos frágiles son métodos que dan información de conjunto. Es posible obtener información de conjunto de instrumentos que dan solamente información punto por punto, teniendo un número suficientemente grande de ellos. Sin embargo, en general ésta no es una manera muy eficiente de tratar la solución del problema. Esfuerzos. Supongamos que el cuerpo representado en la figura 2.1, se encuentra en equilibrio. Bajo la acción de las fuerzas exteriores P 1 ,….P 7 , se producirán otras interiores que actuarán entre las distintas partes del cuerpo. Para determinar la magnitud de esas fuerzas en cualquier punto O, suponemos al cuerpo dividido en dos partes, mediante la sección plana mm que contiene a dicho punto. Si consideramos una de esas regiones, por ejemplo, la superior, se puede establecer que está en equilibrio bajo la acción de las fuerzas exteriores P 1 ,….P 7 , e interiores, repartidas en la sección mm, que representa la acción del material de la región inferior sobre el material de la región superior. Se supondrá que estas fuerzas se distribuyen con continuidad en la sección mm, de la misma forma que la presión hidrostática o la presión del viento se distribuyen de forma continua en la superficie sobre la cual actúan. La magnitud de tales fuerzas se define generalmente por su intensidad, o sea, por la fuerza que actúa sobre el área unidad. Cuando se trata de fuerzas interiores, la intensidad se llama esfuerzos. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN CAPÍTULO II ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. 16 En el caso sencillo de una barra prismática, sometida a tracción bajo la acción de fuerzas distribuidas uniformemente sobre sus extremos (fig. 2.2), las fuerzas interiores se distribuyen también uniformemente sobre cualquier sección plana mm. En consecuencia, la intensidad de esta distribución, los esfuerzos, puede obtenerse dividiendo la fuerza P por el área superior de la sección recta. Figura 2.1 Cuerpo en equilibrio bajo fuerzas Figura 2.2 Fuerzas distribuidas. [2.1] Externas. [2.1] En el caso que acabamos de considerar, el esfuerzo es uniforme en toda la sección recta. En el caso general de la figura 2.1, el esfuerzo no se distribuye uniformemente en nn. Para obtener la magnitud de el esfuerzo que actúa sobre el pequeño elemento de área A, que comprende al punto 0, suponemos que las fuerzas que actúan a través de esta área elemental, debidas a la acción del material de la parte superior sobre el material de la parte inferior, se reducen a una resultante P. Si el área A disminuye con continuidad, el valor límite del cociente AP / nos da la magnitud de el esfuerzo, que actúa sobre la sección mm en el punto 0. La dirección que tiene P en el límite, es la dirección del esfuerzo. En general, el esfuerzo está inclinado respecto al elemento de superficie superior A sobre el cual actúa descomponiéndose entonces en sus dos componentes: un esfuerzo normal, perpendicular al elemento A y un esfuerzo tangencial o cortante, que actúa en el plano de A . INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN CAPÍTULO II ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. 17 z y x zy xy xz yz yx zx 2.2 COMPONENTES DE LOS ESFUERZOS. Si se toma como modelode análisis a un elemento cúbico, cada par de caras paralelas necesitan un símbolo para representar la componente normal del esfuerzo y dos más para las componentes del esfuerzo tangencial, como se muestra en la (figura 2.3). Se requieren, por lo tanto, tres símbolos para describir los esfuerzos normales que actúan sobre las caras de un cubo elemental, a saber, ,x , y , z y seis xy , yx , xz , zx , yz , zy , para los esfuerzos tangenciales. Figura 2.3 Componentes de los esfuerzos [2.1]. De la consideración del equilibrio del elemento, se deduce que el número de símbolos para los esfuerzos tangenciales puede ser reducido a tres. Si consideramos el momento respecto al eje x de las fuerzas que actúan sobre el bloque elemental, sólo debemos tener en cuenta los esfuerzos representados en la figura 2.4. Las fuerzas másicas, tales como el peso del elemento, pueden ser despreciadas puesto que al reducir las dimensiones del elemento disminuyen con el cubo de las dimensiones lineales, mientras que los esfuerzos superficiales lo hacen con el cuadrado de las mismas. Resulta, pues, que para elementos muy pequeños, las fuerzas másicas son infinitésimos de mayor orden que las fuerzas superficiales. De igual forma, los momentos debidos a la distribución no uniforme de las fuerzas normales son infinitésimos de orden superior que los debidos a las fuerzas tangenciales, pudiendo también ser despreciados en el límite. Representando entonces las dimensiones del elemento de la figura 2.4 por dx, dy, dz y puesto que la fuerza sobre cada cara es el producto del área por el valor de los esfuerzos en el punto central de la misma, la ecuación de equilibrio para los momentos respecto al eje x queda así: zy dxdydz= yz dxdydz Las otras dos ecuaciones se obtienen de forma semejante, llegándose al resultado siguiente: xy = yz , zx = xz , zy = yz INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN CAPÍTULO II ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. 18 yz zy zy yz Por tanto, para cada dos caras perpendiculares entre sí, las componentes de los esfuerzos de cortadura superficial, perpendiculares a la línea de intersección de esas caras, son iguales. El sistema de esfuerzos que actúa sobre los planos coordenados que pasan por un punto, está en consecuencia definido por las seis cantidades x , y , z , xy = yx , xz = zx , yz = zy , las cuales reciben el nombre de componentes de los esfuerzos en el punto considerado. Estas seis componentes permiten determinar el esfuerzo actuante sobre cualquier plano que pase por el punto considerado. Figura 2.4 Esfuerzos y dimensiones [2.1]. 2.3 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN TRES DIMENSIONES. [2.2]. En la información anterior solo se analizan los esfuerzos en dos dimensiones, a continuación analizamos los esfuerzos y deformaciones producidos por la aplicación de cargas en tres dimensiones. 2.3.1 DEFINICIÓN DE LOS ESFUERZOS EN UN PUNTO. Los esfuerzos que actúan sobre las seis caras de un elemento cúbico vienen definidos por las seis componentes de los esfuerzos, las tres componentes normales σx, σy, σz y las tres tangenciales τxy = τyx, τxz = τzx, τyz = τzy . INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN CAPÍTULO II ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. 19 x z y xy yz xz xz xy yz Figura 2.5 Esfuerzos actuantes en los planos coordenados [2.2]. Si en un punto cualquiera, se conocen estas componentes, podremos calcular mediante las ecuaciones de la estática el esfuerzo que actúa sobre un plano de orientación arbitraria que pase por ese punto. Sea O un punto del cuerpo cargado y supongamos que se conocen los esfuerzos que actúan sobre los planos de coordenadas xy, xz, yz (figura 2.5). Para determinar los esfuerzos que actúan en otro plano cualquiera que pase por O, tracemos a distancia muy pequeña de ese punto, el plano BCD paralelo al dado, el cual formará con los planos coordenados un tetraedro elemental, BCDO. Como según se ha supuesto los esfuerzos varían de manera continua en todo el volumen del cuerpo, la que actúa sobre el plano BCD, al acercarse este al origen cuando el elemento se hace infinitésimo, tendrá a un límite, que es el esfuerzo correspondiente al plano paralelo al mismo que se localiza en el punto O. Al establecer las condiciones de equilibrio del tetraedro elemental se podrán despreciar las fuerzas másicas. Así mismo podremos dejar de lado la variación del esfuerzo en las caras del elemento, por ser de orden infinitesimal, y suponer una distribución uniforme de los esfuerzos, de forma que las fuerzas que actúen sobre el tetraedro se determinarán multiplicando las áreas de sus caras por las respectivas componentes de los esfuerzos. Si con A denotamos el área de la cara BCD, las áreas de las otras caras se obtienen proyectando A sobre los tres planos coordenados. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN CAPÍTULO II ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ. 20 2.4 VIGAS CONTINUAS [2.3] Las vigas continuas presentan tres o más apoyos, dos o más tramos o claros, y por tanto, disponen de uno o más apoyos redundantes en los que las reacciones no pueden determinarse por las ecuaciones de la estática. Es posible calcular los valores de estas reacciones hiperestáticas aplicando las condiciones de deformación existentes, por ejemplo, deflexión nula en los apoyos cuyas reacciones son desconocidas. Estas condiciones dan las ecuaciones necesarias adicionales a las del equilibrio estático. Sin embargo, es más conveniente considerar como desconocidos o hiperestáticos, los momentos flexionantes en los apoyos. Una vez determinados estos momentos, que se suelen llamar momentos de continuidad, es sumamente sencillo el cálculo de las reacciones. Para calcular los momentos de continuidad se suele aplicar dos métodos de cálculo. En el primer método se comienza obteniendo una reacción de tipo general entre los momentos flexionantes en tres secciones cualesquiera de la viga, relación que se llama ecuación de los tres momentos. Las aplicaciones de esta ecuación son numerosas; con ella pueden resolverse todos los problemas de vigas simplemente apoyadas, así como determinar las deformaciones y reacciones en cualquier tipo de viga, en particular en las vigas continuas. El segundo método es el de la distribución de momentos, este método es independiente del método anterior, aunque la determinación del diagrama de fuerza cortante y de las reacciones sea común para ambos métodos. Para aplicar este método se empieza suponiendo que cada tramo o claro está perfectamente empotrado en sus extremos y se determinan los momentos de empotramiento perfecto. En la mayoría de los casos, los momentos de empotramiento perfecto se toman directamente de tablas. Para tipos más complejos de emplear el primer método. 2.4.1 MÉTODO DE CROSS. Las técnicas modernas de cálculo y diseño de estructuras se basan en un método de aproximaciones sucesivas. Este método, que se conoce con el nombre de método de distribución de momentos o método de Cross, se aplica al cálculo de todo tipo de vigas continuas y de estructuras de nodos rígidos. Su aplicación a las vigas continuas resulta ser una poderosa herramienta para el ingeniero de diseño. En este método se definen algunos conceptos. El primero es el del momento transmitido,
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