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ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS 
AUTOMOTRIZ. 
 
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
 
 
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y 
ELÉCTRICA 
UNIDAD PROFESIONAL ADOLFO LÓPEZ MATEÓS 
 
 
 
 
SECCIÓN DE ESTUDIOS 
DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN 
 
 
 
 
Análisis de Esfuerzos por los 
Métodos Numérico y Analítico 
de un Árbol de Levas Automotriz 
 
 
 
 
 
T E S I S 
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: 
MAESTRO EN CIENCIAS 
CON ESPECIALIDAD EN 
INGENIERIA MECANICA 
P R E S E N T A: 
Ing. Noé Jiménez Guido 
. 
 
 
 
DIRECTORES: DR. GUILLERMO URRIOLAGOITIA CALDERÓN 
 DR. MANUEL FARAÓN CARBAJAL ROMERO 
 
 MÉXICO D. F. 2013 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA 
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN 
RESUMEN Y ABSTRACT 
 
ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS 
AUTOMOTRIZ. 
 
I
 
ANÁLISIS DE ESFUERZOS 
NÚMERICO-ANALÍTICO 
DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ 
 
 
RESUMEN 
 
 
 
Este trabajo es desarrollado para conseguir una evaluación exacta de los 
esfuerzos que se presentan en un árbol de levas de un automóvil volkswagen 
sedan del año 1990 al año 2013, cuando se encuentra sometido a las 
condiciones máximas de trabajo. 
 
Para este propósito se realizó una comparación entre los métodos numérico y 
analítico. Las condiciones de carga estática que se tomaron en cuenta fueron la 
flexión y en la dinámica la torsión. Inicialmente, el análisis numérico se llevo a 
cabo y fue validado con el analítico. Los resultados constituyeron el criterio 
para las evaluaciones analíticas y numéricas. 
 
El análisis mostró que el esfuerzo máximo se presenta en los dientes del 
engrane. También, se encontró que el árbol no requiere de cambio de 
geometría para distribuir mejor los esfuerzos, tampoco de reforzar las áreas 
más críticas. 
 
 
ABSTRACT 
 
This work is developed in order to get an accurate evaluation of stress wich is 
developed in a shaft in a Volkswagen automobile from 1990 to 2013, when the 
car is subjected to the maximum conditions of work. 
 
For this purpose a numerical analytic approach was done. The static loading 
conditions that were born in mind was the bending and torsion in the dynamic. 
Initially the numerical analysis was carried out and validated by analytic. The 
results stablished the criteria for the numerical and analytical evaluations. 
 
The analysis showed that the maximum stress is presented in the tooth gear. 
Furthermore it was found that the shaft neither require the change of geometry 
for stress in order to distribute in a better way the efords, nor reinforce the areas 
which seems to be more critical. 
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA 
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACION 
DEDICATORIAS 
 
ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS 
AUTOMOTRIZ. 
II 
 
 
DEDICATORIAS. 
 
A mis directores de Tesis. 
Dr. Guillermo Urriolagoitia Calderón 
Dr. Manuel Faraón Carvajal Romero 
 
A la memoria de mi madre. 
Adela Guido Lemus 
 
Alguien muy especial. 
Martha Elba Ferreyra L. 
 
 A la Familia. 
Romero Ferreyra. 
 
Alguien que es casi mi hijo. 
Lic. Rodrigo Gris Suárez. 
 
Familia Gris Suárez. 
Sr. Alfredo y Sra. Violeta, Jocelyn y Carlos. 
 
A mis compañeros y amigos. 
Ing. Mario Javier López Ramírez, Ing. Armando Quevedo, 
Ing. Armando Martínez García. Josué Sánchez León 
 
A la Familia Sánchez León. 
Noé, David, Sr. Pedro y Sra. Flor 
 
A mis profesores. 
M. en C. Gabriel Villa y Rabasa, Dr. Luís Héctor Hernández 
Gómez 
 
Al M. en C. 
Rafael Rodríguez Martínez 
 
A la M. en C. 
Alla Kavatskaia Ivanovna 
 
Gracias a sus consejos invaluables y apoyo termine este trabajo. 
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA 
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACION 
AGRADECIMIENTOS 
 
ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS 
AUTOMOTRIZ. 
III 
 
AGRADECIMIENTOS. 
 
 
AL I.P.N., S.E.P.I. E.S.I.M.E. ZACATENCO. 
 
 
A mis directores de tesis: 
Dr. Guillermo Urriolagoitia Calderón. 
Dr. Manuel Faraón Carbajal Romero. 
 
A mi madre que en los momentos más críticos de mi vida parece 
acercarse a mí a pesar de estar ausente por el destino. 
Adela Guido Lemus. 
 
A la persona más especial en mi vida que nunca se ha intimidado 
ante los retos de la vida y siempre ha estado junto a mí 
apoyándome: 
Martha Elba Ferreyra L. 
 
De manera especial a mi amigo por todo el apoyo brindado en los 
últimos años: 
Lic. Rodrigo Alfredo Gris Suárez. 
 
A la familia Gris Suárez por todas las amabilidades y apoyo 
recibido: 
Sr. Alfredo, Sra. Violeta, Jocelyn y Carlos. 
 
A toda la comunidad (Profesores y alumnos) de la S.E.P.I. 
E.S.I.M.E. Zacatenco del I.P.N.: 
M. en C. Gabriel villa y Rabasa, Dr. Luís Héctor Hernández 
Gómez, M. en C. Rafael , Alfonso Beltrán Hernández, Alejandro 
T. Velásquez Sánchez, Víctor Feria, 
 
 
 
 
 
Gracias.
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ÍNDICE 
 
ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS 
AUTOMOTRIZ. 
IV 
ÍNDICE GENERAL 
 
PÁGINA 
 
DEDICATORIAS. I 
AGRADECIMIENTOS. II 
ÍNDICE GENERAL. III 
ÍNDICE DE FIGURAS. VII 
ÍNDICE DE TABLAS. IX 
SIMBOLOGÍA. X 
RESUMEN. XIII 
ABSTRACT. XIII 
OBJETIVO. XIV 
JUSTIFICACIÓN. XV 
INTRODUCCIÓN. XVICAPÍTULO 1. FUNCIÓN Y OPERACIÓN DE LOS ÁRBOLES DE LEVAS. 
 
1.1 HISTORIA DE LA INDUSTRIA AUTOMOTRÍZ. 2 
1.2 DESCRIPCIÓN DE LA PIEZA. 4 
1.3 ÁRBOL DE LEVAS Y BANDA DE SINCRONIZACIÓN. 7 
 1.3.1 VERIFICACIÓN VISUAL DE LA SINCRONIZACIÓN. 7 
1.4 PRODUCCIÓN. 8 
1.5 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. 9 
1.6 SUMARIO. 11 
1.7 REFERENCIAS. 12 
 
 CAPÍTULO 2. ANTECEDENTES DE ANÁLISIS DE ESFUERZOS Y MÉTODO 
DEL ELEMENTO FINITO. 
 
2.1 GENERALIDADES. 14 
2.2 COMPONENTES DE LOS ESFUERZOS. 17 
2.3 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN TRES DIMENSIONES 18 
 2.3.1 DEFINICIÓN DE LOS ESFUERZOS EN UN PUNTO. 18 
2.4 VIGAS CONTINUAS. 20 
 2.4.1 MÉTODO DE CROSS. 20 
2.5 ESFUERZOS COMBINADOS. 22 
 2.5.1 COMBINACIÓN DE ESFUERZOS AXIALES Y DE FLEXIÓN. 23 
 2.5.2 COMBINACIÓN DE ESFUERZOS AXIALES Y DE TORSIÓN 24 
2.5.3 COMBINACIÓN DE ESFUERZOS DE FLEXIÓN Y DE TORSIÓN. 24 
2.5.4 COMBINACIÓN DE ESFUERZOS AXIALES, DE FLEXIÓN Y DE 
 TORSIÓN. 
 
25 
2.6 CIRCULO DE MOHR. 25 
2.7 CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS. 27 
2.8 MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO. 28 
 2.8.1 ANTECEDENTES HISTORICOS DEL MÉTODO DEL 
 ELEMENTO FINITO. 
 
28 
 2.8.2 INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO. 29 
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ÍNDICE 
 
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AUTOMOTRIZ. 
V 
 2.8.2.1 FUNDAMENTOS DEL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO. 32 
2.9 PROCEDIMIENTO DEL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO. 33 
 2.9.1 DISCRETIZACIÓN DEL DOMINIO. 33 
 2.9.2 SELECCIONAR LAS FUNCIONES DE INTERPOLACIÓN. 33 
 2.9.3 DEFINIR LAS PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS. 33 
 2.9.4 ENSAMBLAR LAS PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS 
 PARA OBTENER LAS ECUACIONES DEL SISTEMA, 
 CONSIDERANDO LAS CONDICIONES DE FRONTERA DEL 
 ESPECIMEN. 
 
 
 
34 
 2.9.5 RESOLVER EL SISTEMA DE ECUACIONES. 34 
 2.9.6 EFECTUAR CÁLCULOS ADICIONALES. 34 
2.10 CATEGORIAS DEL ELEMENTO FINITO 35 
2.11 FORMULACIÓN DE ELEMENTOS FINITOS. 36 
2.12 ESTABLECIMIENTO DE LAS ECUACIONES DEL ELEMENTO 
 FINITO PARA ANÁLISIS DE ESFUERZOS. 
 
36 
 2.12.1 ANÁLISIS ESTATICO. 36 
 2.12.2 COMPORTAMIENTO LINEAL. 37 
2.13 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL MÉTODO DEL ELEMENTO 
 FINITO. 
 
40 
2.14 TERMODINAMICA DEL MOTOR. 41 
 2.14.1 TEMPERATURA DE AUTOENCENDIDO Y DE ÚLTIMO 
 ENCENDIDO. 
 
43 
 2.14.2 VELOCIDAD DE LA FLAMA. 43 
 2.14.3 SISTEMA DE ENFRIAMIENTO. 44 
 2.14.4 ENFRIAMIENTO POR ACEITE. 44 
 2.14.5 ANÁLISIS DEL PROCESO DEL MOTOR. 45 
 2.14.6 RECORRIDO DE LA FLAMA. 46 
 2.14.7 EL PROCESO DE ESCAPE. 46 
2.15 TEORIAS DE FALLA. 47 
 2.15.1 TEORÍA DEL MÁXIMO ESFUERZO. 47 
 2.15.2 TEORÍA DEL CORTANTE MÁXIMO. 48 
 2.15.3 TEORÍA DE LA MÁXIMA DEFORMACIÓN. 49 
 2.15.4 TEORÍA DE VON MISES O DE LA ENERGÍA DE 
 DISTORSIÓN. 
 
50 
 2.15.5 TEORÍA DE LA MÁXIMA ENERGÍA DE DEFORMACIÓN 
 UNITARIA. 
 
52 
2.16 ESFUERZOS EN LOS DIENTES DEL ENGRANE. 53 
 2.16.1 FACTOR GEOMÉTRICO. 60 
 2.16.2 MOMENTO FLECTOR EN EL ENGRANE. 62 
 2.16.3 FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS EN EL 
 DIENTE DEL ENGRANE. 
 
62 
2.17 SUMARIO. 62 
2.18 REFERENCIAS. 63 
 
 
 
 
 
 
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ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS 
AUTOMOTRIZ. 
VI 
 CAPÍTULO 3. ANÁLISIS EMPLEANDO EL MÉTODO ANÁLITICO Y 
EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO. 
 
 
 
3.1 EL MÉTODO ANÁLITICO. 66 
3.2 DISTRIBUCIÓN DE LOS PISTONES EN EL MOTOR. 66 
3.3 ÁRBOL DE LEVAS. 67 
3.4 TIEMPOS DE LOS PISTONES 67 
3.5 CÁLCULO DE LA FUERZA TRANSMITIDA EN EL ENGRANE DEL 
 ÁRBOL. 
 
68 
 3.5.1 CÁLCULO DE LAS COMPONENTES DE LA FUERZA APLICADA 
 EN EL ENGRANE DEL ÁRBOL. 
 
68 
 3.5.1.1 CÁLCULO DEL SEGMENTO FH. 69 
 3.5.1.2 CÁLCULO DE LA COMPONENTE FEX. 69 
 3.5.1.3 CÁLCULO DE LA COMPONENTE FEY. 70 
 3.5.1.4 CÁLCULO DE LA COMPONENTE FEZ. 70 
3.6 FUERZAS Y MOMENTOS TORSIONALES EJERCIDOS EN EL 
 ÁRBOL DE LEVAS 
 
71 
3.7 CÁLCULO DE LOS MOMENTOS FLEXIONANTES. 71 
 3.7.1 CÁLCULO DEL MOMENTO FLEXIONANTE EN LA DIRECCIÓN 
 “Z” POR EL MÉTODO DE CROSS. 
 
71 
 3.7.1.1 CÁLCULO DEL MOMENTO DE INERCIA. 71 
 3.7.1.2 CÁLCULO DE LOS FACTORES DE RÍGIDEZ. 71 
 3.7.1.3 CÁLCULO DE LOS FACTORES DE DISTRIBUCIÓN. 72 
 3.7.1.4 CÁLCULO DE LOS MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO 
 PERFECTO (MEP). 
 
72 
 3.7.1.5 SOLUCIÓN DE LA VIGA EN LA DIRECCIÓN “Z”. 73 
 3.7.2 CÁLCULO DEL MOMENTO FLEXIONANTE EN LA DIRECCIÓN“Y” POR EL MÉTODO DE CROSS. 
 
74 
 3.7.2.1 CÁLCULO DE LOS MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO 
 PERFECTO (MEP). 
 
74 
 3.7.2.2 SOLUCIÓN DE LA VIGA EN LA DIRECCIÓN “Y”. 74 
 3.7.3 CÁLCULO DEL MOMENTO FLEXIONANTE EN LA DIRECCIÓN 
 “X”. 
 
75 
 3.7.4 CÁLCULO DEL MOMENTO FLEXIONANTE RESULTANTE. 75 
3.8 CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS NORMALES DE FLEXIÓN Y 
 TORSIÓN. 
76 
3.9 DETERMINACIÓN DE LOS FACTORES DE CONCENTRACIÓN DE 
 ESFUERZOS. 
 
76 
 3.9.1 FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS POR 
 FLEXIÓN. 
 
76 
 3.9.2 FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS POR 
 TORSIÓN. 
 
76 
3.10 CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS NORMALES DE FLEXIÓN Y 
 TORSIÓN CON FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZO. 
 
77 
3.11 CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS PRINCIPALES DE FLEXIÓN Y 
 TORSIÓN POR EL CÍRCULO DE MHOR. 
 
77 
3.12 CÁLCULO DEL ESFUERZO VON MISES EN EL ÁRBOL. 78 
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ÍNDICE 
 
ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS 
AUTOMOTRIZ. 
VII 
3.13 CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS EN EL DIENTE DEL ENGRANE. 80 
 3.13.1 DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS NORMALES DE 
 FLEXIÓN Y TRACCIÓN. 
80 
 3.13.1.1 FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS. 81 
 3.13.2 DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS DE TRACCIÓN Y 
 FLEXIÓN CON FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE 
 ESFUERZOS ZONA A TRACCIÓN. 
 
 
81 
 3.13.3 DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS DE TRACCIÓN Y 
 FLEXIÓN CON FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE 
 ESFUERZOS ZONA A COMPRESIÓN. 
 
 
81 
 3.13.4 CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS PRINCIPALES EN LA 
 ZONA DE TRACCIÓN. 
 
82 
 3.13.5 CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS PRINCIPALES EN LA 
 ZONA DE COMPRESIÓN. 
 
83 
 3.13.6 CÁLCULO DEL ESFUERZO VON MISES EN EL ENGRANE. 84 
3.14 CONSTRUCCIÓN DEL MODELO DE ELEMENTOS FINITOS. 86 
 3.14.1 DESCRIPCIÓN DEL ANÁLISIS A REALIZAR. 87 
3.15 RESULTADOS DEL ANÁLISIS NUMÉRICO. 91 
3.16 SUMARIO. 94 
3.17 REFERENCIAS. 97 
 
 
 
 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE RESULTADOS. 
 
 
4.1 ANÁLISIS DE RESULTADOS. 98 
4.2 ANÁLISIS DE RESULTADOS NUMÉRICO-ANÁLITICO EN EL 
 ÁRBOL. 
 
98 
4.3 ANÁLISIS DE RESULTADOS NUMÉRICO-ANÁLITICO EN EL 
 ENGRANE. 
 
99 
CONCLUSIONES. 106 
TRABAJO FUTURO. 107 
ANEXO 1 GRÁFICA PARA DETERMINAR KF. 108 
ANEXO 2 GRÁFICA PARA DETERMINAR KT. 109 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ÍNDICE 
 
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AUTOMOTRIZ. 
VIII 
 ÍNDICE DE FIGURAS 
 
 
CAPÍTULO 1 PÁGINAS 
 
1.1 Primer vehículo de motor de combustión interna [1.1]. 2 
1.2 Vehículo con motor de vapor de agua [1.1]. 2 
1.3 Partes que componen a un árbol de levas [1.3]. 4 
1.4 Perfil de leva [1.1]. 6 
1.5 Estadística de ventas de Pointer en el 2007 [1.6]. 9 
1.6 Estadística de ventas de Combi en el 2007 [1.6]. 9 
 
 
CAPÍTULO 2 
 
 
2.1 Cuerpo en equilibrio bajo fuerzas externas [2.1]. 16 
2.2 Fuerzas distribuidas [2.1]. 16 
2.3 Componentes de los esfuerzos [2.1]. 17 
2.4 Esfuerzos y dimensiones [2.1]. 18 
2.5 Esfuerzos actuantes en los planos coordenados [2.2]. 19 
2.6 Viga sometida a cargas axiales y de flexión [2.4]. 23 
2.7 Circulo de Mohr para estado plano de esfuerzos [2.4]. 25 
2.8 Coeficiente de concentración de esfuerzos [2.4]. 27 
2.9 Motor enfriado por agua [2.15]. 41 
2.10 Esfuerzos principales [2.16]. 48 
2.11 Teoría del máximo esfuerzo [2.16]. 48 
2.12 Teoría del cortante máximo [2.16]. 49 
2.13 Teoría de la máxima deformación [2.16]. 50 
2.14 Teoría Von Mises [2.16]. 51 
2.15 Representación grafica de la teorías de falla [2.16]. 53 
2.16 Nomenclatura de un diente de engrane [2.17]. 54 
2.17 Diente de engrane y viga en voladizo [2.17]. 55 
2.18 Contacto entre dientes [2.17]. 59 
 
 
CAPÍTULO 3 
 
 
3.1 Distribución de válvulas de admisión y escape [3.1]. 66 
3.2 Tipos de levas [3.1]. 67 
3.3 Fuerza transmitida por el volante del motor [3.1]. 68 
3.4 Descomposición de la fuerza en el engrane helicoidal [3.2]. 68 
3.5 Triangulo rectángulo que contiene fh [3.2]. 69 
3.6 Triangulo rectángulo que contiene Fx [3.2]. 69 
3.7 Triangulo rectángulo que contiene Fy [3.2]. 70 
3.8 Triangulo rectángulo que contiene Fz [3.2]. 70 
 
 
 
 
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ÍNDICE 
 
ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS 
AUTOMOTRIZ. 
IX 
3.9 Fuerzas ejercidas por la descomposición en el engrane, por 
 las válvulas de los pistones 1 y 2 en los apoyos, y por el 
 peso del engrane durante el cuarto tiempo [3.2]. 
 
 
71 
3.10 Fuerzas ejercidas en la dirección “z” [3.3]. 73 
3.11 Fuerzas ejercidas en la dirección “y” [3.3]. 74 
3.12 Fuerzas ejercidas en la dirección “x” [3.4]. 75 
3.13 Circulode Mohr para esfuerzos combinados [3.4]. 77 
3.14 Fuerzas ejercidas en el diente [3.2]. 80 
3.15 Zonas generadas en la flexión [3.2]. 80 
3.16 Esfuerzos en la zona de tracción [3.2]. 82 
3.17 Esfuerzos en la zona de compresión [3.2]. 83 
3.18 Dimensiones del árbol de levas en centímetros. 86 
3.19 Elemento generado con dimensiones reales [3.8]. 87 
3.20 Elemento estructurado como un volumen [3.9]. 87 
3.21 Elemento mallado [3.10]. 88 
3.22 Elemento mallado rotado [3.10]. 89 
3.23 Área del engrane en contacto con el volante del motor [3.11]. 90 
3.24 Resultados del análisis numérico en el árbol. 91 
3.25 Resultados del análisis numérico en el diente del engrane 
 esfuerzo principal máximo. 
 
92 
3.26 Resultados del análisis numérico en el diente del engrane 
 esfuerzo principal mínimo. 
 
93 
 
 
CAPÍTULO 4 
 
 
4.1 Esfuerzo máximo obtenido Von Mises. 98 
4.2 Esfuerzos concentrados en un punto de el diente. 100 
4.3 Esfuerzos en el diente para diferentes puntos. 101 
4.4 Concentración de esfuerzos en el diente. 102 
4.5 Esfuerzo máximo principal en el diente. 103 
4.6 Esfuerzo mínimo principal en el diente. 104 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ÍNDICE 
 
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AUTOMOTRIZ. 
X 
 ÍNDICE DE TABLAS 
 
CAPÍTULO 1 
 
PÁGINAS 
 
TABLA 1.1 Especificaciones del árbol de levas [1.4] 8 
TABLA 1.2 Volumen de ventas de autos Volkswagen en el 2007 [1.6] 10 
 
 
CAPÍTULO 2 
 
 
TABLA 2.1 Valores del factor deforma y de Lewis, de la AGMA. [2.17] 57 
 
 
 
CAPITULO 3 
 
 
TABLA 3.1 Sincronización de los tiempos [3.1] 67 
TABLA 3.2 Propiedades mecánicas del material acero al carbón [3.4] 86 
 
 
CAPITULO 4 
 
 
TABLA 4.1 Comparación de resultados métodos numérico-analítico. 99 
TABLA 4.2 Comparación de resultados métodos numérico-analitico 
 en el engrane. 
 
 100 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AUTOMOTRIZ. 
XI 
SIMBOLOGÍA 
 
 
A Área de acción de la fuerza exterior. 
AA Área transversal del árbol. 
aBC Distancia a la izquierda de la fuerza en el tramo BC. 
aCD Distancia a la izquierda de la fuerza en el tramo CD. 
bBC Distancia a la derecha de la fuerza en el tramo BC. 
bCD Distancia a la derecha de la fuerza en el tramo CD. 
b Ancho de la cara del diente del engrane. 
Cm Centímetros. 
D Diámetro del engrane. 
d Diámetro del árbol. 
dx Distancia en la dirección X. 
dy Distancia en la dirección Y. 
dz Distancia en la dirección Z. 
E Modulo de elasticidad axial 
F Fuerza en el engrane transmitida por el volante del motor. 
FD Factor de distribución. 
FDBC Factor de distribución en el tramo BC. 
FDCD Factor de distribución en el tramo CD. 
FEX Componente de la fuerza en el engrane en la dirección X. 
FEY Componente de la fuerza en el engrane en la dirección Y. 
FEZ Componente de la fuerza en el engrane en la dirección Z. 
FH Distancia entre los puntos f y h. 
FVAZ Fuerza ejercida por la válvula de admisión en la dirección Z. 
FVEZ Fuerza ejercida por la válvula de escape en la dirección Z. 
I Momento polar de inercia. 
1I Invariante número 1 del tensor de esfuerzos. 
2I Invariante número 2 del tensor de esfuerzos. 
K Rigidez de la viga. 
K Sumatoria de valores de la rigidez por tramos. 
KBC Rigidez de la viga en el tramo BC. 
KCD 
KA 
Rigidez de la viga en el tramo CD. 
Factor de concentración de esfuerzos por cargas axiales en el árbol. 
KF Factor de concentración de esfuerzos por flexión en el árbol. 
KT Factor de concentración de esfuerzos por torsión en el árbol. 
L Longitud de la viga. 
l Longitud del diente. 
LAB Longitud del tramo AB. 
LBC Longitud del tramo BC. 
LCD Longitud del tramo CD. 
M Momento flexionante en el árbol. 
MA Momento de empotramiento perfecto en el punto A. 
 
 
 
 
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ÍNDICE 
 
ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS 
AUTOMOTRIZ. 
XII 
 
MBD Momento de empotramiento perfecto en el punto B por la derecha. 
MBI Momento de empotramiento perfecto en el punto B por la izquierda. 
MCD Momento de empotramiento perfecto en el punto C por la derecha. 
MCI Momento de empotramiento perfecto en el punto C por la izquierda. 
MDD Momento de empotramiento perfecto en el punto D por la derecha. 
MEP Momento de empotramiento perfecto. 
MF Momento flexionante en el diente del engrane. 
MR Momento flexionante resultante. 
Mt Momento torsionante transmitido por el volante del motor al engrane. 
MX Momento flexionante en la dirección X. 
MY Momento flexionante en la dirección Y. 
MZ Momento flexionante en la dirección Z. 
m Metros. 
N Newtons. 
P Carga exterior. 
R Radio del círculo de Mhor. 
R1X Reacción en el apoyo 1 en la dirección X. 
R1Y Reacción en el apoyo 1 en la dirección Y. 
R1Z Reacción en el apoyo 1 en la dirección Z. 
R2Y Reacción en el apoyo 2 en la dirección Y. 
R2Z Reacción en el apoyo 2 en la dirección Z. 
r Radio del filete. 
rA Radio del árbol. 
rE Radio del engrane. 
rc Compresión volumétrica. 
t Ancho del diente. 
WE Peso del engrane. 
Y Factor de Lewis. 
Z Modulo de área en el diente del engrane. 
 Relación de Poisson. 
X Deformación unitaria en la dirección X. 
Y 
Deformación unitaria en la dirección Y. 
Z Deformación unitaria en la dirección Z. 
a Rendimiento térmico. 
 Esfuerzo normal. 
C Esfuerzo a compresión. 
FKc Esfuerzo a flexión con factor de concentración de esfuerzos zona a 
compresión. 
TKc Esfuerzo a tracción con factor de concentración de esfuerzos zona a 
compresión. 
 
 
 
 
 
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ÍNDICE 
 
ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS 
AUTOMOTRIZ. 
XIII 
 
 
TFK
 Esfuerzo a flexión con factor de concentración de esfuerzos zona a 
tracción. 
TTK
 Esfuerzo a tracción con factor de concentración de esfuerzos zona a 
tracción. 
F Esfuerzo normal a flexión. 
KF Esfuerzo normal con factor de concentración de esfuerzos a flexión. 
K Esfuerzo normal con factor de concentración de esfuerzos. 
MAX Esfuerzo normal máximo. 
MIN Esfuerzo normal mínimo. 
T Esfuerzo a tracción. 
VM Esfuerzo de Von Mises.X Esfuerzo normal en la dirección X. 
Y Esfuerzo normal en la dirección Y. 
Z Esfuerzo normal en la dirección Z. 
1 Esfuerzo normal con cargas axiales y de flexión. 
2 Esfuerzo normal en la dirección Y. 
3 Esfuerzo normal en la dirección Z. 
YP Esfuerzo último de cedencia. 
PC Esfuerzo en el punto de cedencia. 
MIN
MAX
EAF Esfuerzo máximo o mínimo con cargas axiales y flexionantes. 
MIN
MAX
EAT Esfuerzo máximo o mínimo con cargas axiales y torsionales. 
MIN
MAX
EFT Esfuerzo máximo o mínimo con cargas de flexión y torsión. 
MIN
MAX
EAFT Esfuerzo máximo o mínimo con cargas axiales, de flexión y torsión. 
 Esfuerzo cortante. 
E Esfuerzo torsionante en el engrane. 
KT Esfuerzo cortante con factor de concentración de esfuerzo a torsión. 
MAX Esfuerzo cortante máximo. 
XY Esfuerzo cortante en la cara X, en la dirección Y. 
XZ Esfuerzo cortante en la cara X, en la dirección Z. 
YX Esfuerzo cortante en la cara Y, en la dirección X. 
YZ Esfuerzo cortante en la cara Y, en la dirección Z. 
ZX Esfuerzo cortante en la cara Z, en la dirección X. 
ZY Esfuerzo cortante en la cara Z, en la dirección Y. 
EATMAX Esfuerzo cortante máximo con cargas axiales y torsionales. 
 
 
 
 
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ÍNDICE 
 
ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS 
AUTOMOTRIZ. 
XIV 
 
EFTMAX Esfuerzo cortante máximo con cargas de flexión y torsión. 
EAFTMAX Esfuerzo cortante máximo con cargas axiales, de flexión y torsión. 
 Ángulo formado entre los lados fh y FEZ. 
 Ángulo formado entre los lados fh y FEX. 
 Ángulo formado entre los lados fh y F. 
 
 
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OBJETIVO 
 
ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉRICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS 
AUTOMOTRIZ. 
 
XV 
 
 
 
 
 
 
 
OBJETIVO 
 
 
 
 
 
 
Utilizar el método del elemento finito para desarrollar un análisis numérico que 
permita determinar los esfuerzos en un árbol de levas automotriz, validando los 
resultados por el método analítico (resistencia de materiales). Proporcionando 
información detallada de la estructura analizada. 
 
 
Se contempla también la vinculación con el sector productivo, ya que los 
esfuerzos obtenidos pueden ser utilizados en la industria automotriz. 
 
 
Con la información encontrada se puede tener una comprensión más clara del 
campo de esfuerzos y a partir de ahí, poder rediseñar al elemento mecánico, si 
fuese necesario. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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JUSTIFICACIÓN 
 
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AUTOMOTRIZ. 
 
XVI 
 
JUSTIFICACIÓN 
 
 
Actualmente, la industria automotriz presenta un desarrollo sumamente 
importante a nivel mundial, en el país, actualmente se tiene la necesidad de 
desarrollo en este sector. Ante esto el principal problema es generar 
tecnología propia con la finalidad de reducir la importación de vehículos, 
refacciones y accesorios. 
 
 
Considerando tal situación, es conveniente desarrollar una línea de 
investigación en mecánica automotriz, basándose en los diversos análisis 
realizados en transporte terrestre como son: camiones de carga, autobuses de 
pasajeros, automóviles de uso particular, se puede decir que actualmente con 
este tipo de trabajos se puede llevar a cabo un análisis completo a todos los 
elementos mecánicos para cualquier tipo de automóvil, este tipo de análisis 
pueden mejorar el progreso en el país, sin necesidad de tener costos tan 
elevados. . 
 
 
Es conveniente mencionar que también existen antecedentes de análisis a un 
barco en transporte marítimo, al ala de un avión en transporte aéreo y en 
transporte terrestre a la plataforma de un tracto camión, a la carrocería de un 
autobús y el análisis numérico-experimental de un auto SAE mini baja. 
 
 
Debido a la rapidez del desarrollo de conocimiento técnico que se ha dado en 
los últimos tiempos y el uso adecuado de esto, se han obtenido nuevos diseños 
los cuales podrían generar resultados inciertos debido a la complejidad de la 
nueva tecnología. Las herramientas analíticas de la ingeniería actualmente 
están bien elaboradas, pero al tratar un fenómeno físico, se encuentran 
frecuentemente problemas derivados de la necesidad de desarrollar, organizar 
y evaluar información bajo un marco de incertidumbre, por lo cual es necesario 
validar los resultados por varios métodos. 
 
 
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INTRODUCCIÓN 
 
 
ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉRICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS 
AUTOMOTRIZ. 
 
XVII 
INTRODUCCIÓN 
 
Tradicionalmente, han sido los métodos analíticos los que han permitido 
conocer la distribución de esfuerzos en los sólidos elásticos sometidos a 
solicitaciones exteriores arbitrarias. En los últimos años se han empleado 
métodos numéricos para resolver estos problemas, pero lo que entonces 
parecía como un método que iba a desplazar totalmente a los métodos 
analíticos y experimentales, aparece hoy en día como un método 
complementario. 
 
En el capítulo 1 se describe la historia del automóvil, se expone la función y 
operación del árbol de levas y se genera el planteamiento del problema. 
 
En el capítulo 2 se presentan los antecedentes de análisis de esfuerzos 
(teoría de la elasticidad), y conceptos básicos del método del elemento finito. 
 
En el capítulo 3 se realiza el análisis de esfuerzos empleando el método del 
elemento finito con el paquete computacional ANSYS y el método analítico. 
 
En el capítulo 4 se evalúan los resultados de los análisis numérico y 
analítico, validando los resultados. 
 
Es importante mencionar que en la SEPI-ESIME ya se han realizado 
análisis con el Método del Elemento Finito en el área de transportes, terrestre, 
marítimo y aéreo, existen los antecedentes de los siguientes trabajos. En 
transporte de carga Guerra Loaeza analizó esfuerzos en semi-remolque para 
trailer tipo plataforma [1], Vázquez Mendoza optimizó la estructura de una 
plataforma para tractocamión [2], en la línea de transporte de pasajeros 
Esteban Gamez realizo el modelo y análisis de un carro guiado por un autobús 
[3], Flores Herrera realizo el análisis estructural de un autobús escolar [4]. 
 
En lo que se refiere a la suspensión de un vehículo Rojas Vázquez optimizó 
un sistema de suspensión trasera tipo muelle [5], en transporte eléctrico, Osuna 
Amparo realizó el análisis estructural y optimización de un chasis de un 
vehículo de tracción eléctrica [6]. 
 
En diseño de un vehículo SAE Mini-Baja, Plata Contreras realizó el diseño, 
análisis y construcción del prototipo [7], Aguilar Espinosa desarrollo el diseño 
de la suspensión y dirección [8], Rosales Iriarte diseño y analizó un sistema de 
transmisión variable [9] y Severiano Pérez realizo el análisis numérico 
experimental de un auto SAE Mini-Baja [10]. 
 
En transporte marítimo Zarco González desarrollo el análisis estructural del 
casco de una embarcación transportadora de sal [11] y en transporte aéreo 
Martín Castillo desarrollo un análisis de esfuerzos en la caja de torsión de un 
ala [12]. 
 
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INTRODUCCIÓN 
 
 
ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS 
AUTOMOTRIZ. 
XVIII 
En el presente trabajo se desarrolla el análisis de esfuerzos a un árbol de 
levas automotriz, por medio dela resistencia de materiales y elemento finito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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INTRODUCCIÓN 
 
 
ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS 
AUTOMOTRIZ. 
XIX 
 
 
REFERENCIAS 
 
[1] Guerra Loaeza, V., Aplicación del Método del Elemento Finito al 
Análisis de un Semi-remolque para trailer tipo plataforma. Tesis de 
Maestría, SEPI ESIME IPN, México, 1996. 
 
[2] Vázquez Mendoza, H. H., Optimización del diseño Estructural de una 
plataforma para tractocamión. Tesis de Maestría, SEPI ESIME IPN, 
México, 1998. 
 
[3] Esteban Gamez, V., Análisis Estructural del Carro Guiado de un 
Autobús. Tesis de Maestría, SEPI ESIME IPN, México, 2002. 
 
[4] Flores Herrera, L., Análisis Estructural de un Autobús Escolar. Tesis de 
Maestría, SEPI ESIME IPN, México, 2002. 
 
[5] Rojas Vázquez, G., Optimización de un Sistema de Suspensión 
Trasera Tipo Muelle con el Programa Adams. Tesis de Maestría, SEPI 
ESIME IPN, México, 2002. 
 
[6] Osuna Amparo, C. A., Análisis Estructural y Optimización del Chasis 
de un Vehículo de tracción Eléctrica. Tesis de Maestría, SEPI ESIME 
IPN, México, 1999. 
 
[7] Platas Contreras, G., Diseño, Análisis y Construcción De un Chasis 
Para un Auto SAE Mini-Baja. Tesis de Maestría, SEPI ESIME IPN, 
México, 2003. 
 
[8] Aguilar Espinosa, A., Diseño y Análisis de la Suspensión y Dirección 
de un Carro Todo Terreno Tipo SAE Mini-Baja. Tesis de Maestría, 
SEPI ESIME IPN, México, 2003. 
 
[9] Rosales Iriarte, F., Diseño y Análisis de un sistema de Transmisión de 
Velocidad Variable Para un Auto SAE Mini-Baja. Tesis de Maestría, 
SEPI ESIME IPN, México, 2003. 
 
[10] Severiano Pérez, O., Análisis Numérico-Experimental de un Auto SAE 
Mini-Baja. Tesis de Maestría, SEPI ESIME IPN, México, 2005. 
 
[11] Zarco González, J.C., Análisis Estructural por el Método del Elemento 
Finito de Casco de una Embarcación Transportadora de Sal de 101.6 
m de Eslora. Tesis de Maestría, SEPI ESIME IPN, México, 1999. 
 
[12] Castillo Morales, M., Análisis de Esfuerzos en la Caja de Torsión de un 
Ala. Tesis de Maestría, SEPI ESIME IPN, México, 2002. 
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CAPÍTULO I 
 
 
 
 
ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉRICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS 
AUTOMOTRIZ. 
 
1 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 1 
 
 
 
FUNCIÓN Y OPERACIÓN DE LOS ÁRBOLES DE LEVAS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPITULO I 
 
 
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AUTOMOTRIZ. 
2 
 
1.1 HISTORIA DE LA INDUSTRIA AUTOMOVILISTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.1 Primer vehículo de motor de combustión interna [1.1]. 
 
El progreso del transporte ha estado siempre estrechamente vinculado con 
el avance de la civilización [1.1]. El marítimo ha evolucionado desde la simple 
balsa hasta los modernos trasatlánticos; en el aire, del primer globo a los 
aviones supersónicos, y en tierra, de las carretas de bueyes, al automóvil de 
alta velocidad. 
 
El automóvil en sí mismo nació en la segunda mitad del siglo XIX, pero ha 
habido en la historia numerosas tentativas para evitar la dependencia de la 
tracción animal o humana, siendo muchos los mecanismos probados a partir 
del siglo XVII [1.2]. El primer motor de tracción mecánica fue el de vapor que se 
instaló sobre una plataforma en ruedas. En el periodo de 1770-1790 surgieron 
los primeros vehículos accionados con este tipo de motores (figura 1.2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.2 Vehículo con motor de vapor de agua [1.1]. 
 
A partir del vapor, también es desarrollado el motor de gas, probablemente 
patentado en 1833 por el británico Wellman Wright. Estos presentaban el 
inconveniente de tener que transportar un generador de energía, quedando la 
relación de peso potencia muy elevada, dejando muy pocas posibilidades de 
carga útil. Posteriormente en 1876 empezó a funcionar el primer motor de 
combustión interna fabricado por Nicholas Otto y que utilizaba gasolina en vez 
de vapor. Este motor, respecto a los anteriores, simplificaba enormemente la 
relación peso-potencia y el montaje del mismo. Por otra parte, en 1885, el 
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CAPITULO I 
 
 
ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS 
AUTOMOTRIZ. 
3 
alemán Karl Benz introdujo el primer automóvil impulsado por motor de 
combustión interna. En 1871, C. E. Duryea produjo el primer automóvil 
americano de gasolina y en 1893 Henry Ford construyó su primer automóvil. La 
evolución del automóvil también ha encontrado muchos obstáculos legales y 
censuras del público en general. Por ejemplo, en 1865, en Inglaterra, se emitió 
una ley exigiendo que por lo menos tres personas debieran encargarse de un 
auto en movimiento. Una persona a pie, con una bandera roja, debía ir 
adelante del automóvil, a unos 70 metros y prevenir a los jinetes y cocheros del 
peligro. El límite de velocidad era de dos millas por hora en la ciudad y de 
cuatro por hora en el campo. A fines del siglo XIX, los vehículos impulsados por 
gasolina tuvieron una ruda competencia con los de vapor y electricidad; estos 
últimos tenían la ventaja de poseer gran potencia a baja velocidad, haciendo 
inútil la transmisión. El peligro de las calderas a alta presión y la recarga de las 
baterías redujo su popularidad. La propulsión por gasolina, a pesar de la 
necesidad de la transmisión, tenía grandes ventajas: 
 
1. Producción de gran potencia con una pequeña cantidad de combustible. 
 
2. Capacidad para viajar más lejos, sin parar para reabastecerse de 
gasolina o agua, en contraste con la unidad de vapor, o para recargar 
las baterías en el caso del automóvil eléctrico. 
 
3. El combustible necesario podía cargarse fácil y rápidamente. 
 
El automóvil moderno es resultado de muchos años de exploración, 
investigación y desarrollo. Lo anterior se manifiesta en la manufactura de un 
medio de transporte masivo eficiente, confiable y costeable. El automóvil de 
hoy es una máquina complicada que comprende numerosos aparatos 
mecánicos y eléctricos que utilizan muchos principios científicos. Gracias a la 
invención de los carburadores de gasolina pulverizada (por Bernardi, Italia 
1889-1892 para motores monocilíndricos y May Bach, en Alemania y Forest, en 
Francia, 1893 para motores policilíndricos), con cubeta y flotador para el 
carburante, fue posible la construcción de motores automovilísticos de 
combustión interna. 
 
En 1900, después de la muerte de Daimler, ocurrida el 6 de Marzo de aquel 
año, surgió la obra de May Bach: el motor de cuatro cilindros en línea y 
verticales, que incluían todas las innovaciones técnicas de años precedentes, 
desarrollando 35 CV y rendimiento térmico excepcional para aquella época. 
Montado en el primer Mercedes, señalo el ocaso del automovilismo de vapor. 
De esta manera, la técnica motorística evolucionó rápidamente hacía el motor 
policilíndrico vertical en línea en posición delantera de los automóviles. 
 
Por otra parte la evolución de los automóviles con motores diesel ha sido 
mucho más lenta. La primera patente concedida fue para Rudolf Diesel, se 
fechó el 4 de febrero de 1892. El primer motor diesel que funcionó con 
resultados industriales positivos fue un monocilíndrico de 4 tiempos de 
enormes dimensiones (250 x 400 mm), que con una presión finalde 
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AUTOMOTRIZ. 
4 
compresión de unas 32 atmósferas, daba 18 CV a unas 154 rpm; sin embargo, 
todavía pasaron varios decenios antes de que estos motores fueran más 
eficientes. 
 
1.2 DESCRIPCIÓN DE LA PIEZA [1.3]. 
La leva es un elemento mecánico con un diseño en su contorno que convierte 
el movimiento de rotación uniforme, en un movimiento previamente establecido, 
que se transmite por contacto directo a las válvulas. 
El árbol de levas es el elemento mecánico que recibe movimiento giratorio 
del cigüeñal y lo transmite a las válvulas, en las que es transformado en 
movimiento rectilíneo alterno. El árbol de levas lo constituye un eje de acero al 
carbono, en el que están maquinadas unas levas, en número igual al de 
válvulas del motor, las levas se alternan, de manera que se produzcan las 
aperturas y cierres de las válvulas con arreglo a los tiempos de cada cilindro y 
en los momentos adecuados (figura 1.3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 1.3 Partes que componen a un árbol de levas [1.3]. 
 
El árbol de levas gira apoyado en cojinetes de metal antifricción, como cada 
válvula del motor ha de abrir y cerrar una vez por cada ciclo completo, la leva 
que rige a la válvula ha de girar una vuelta en cada ciclo. 
 
El árbol de levas controla también el accionamiento del distribuidor, el 
mando de las bombas de aceite y combustible y directa o indirectamente afecta 
a todas las partes que trabajen en el motor. 
 
Las levas son endurecidas por tratamiento térmico en todo su contorno para 
evitar un rápido desgaste en su periferia. El desgaste se presenta normalmente 
en la nariz reduciendo gradualmente “la altura del levantamiento”, que absorbe 
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AUTOMOTRIZ. 
5 
la válvula para lograr la inducción de mezcla aire combustible y desalojo de los 
gases de combustión. 
 
Si el desgaste se presenta en los flancos o rampas, el funcionamiento de la 
válvula será brusco y ruidoso causando que la puntería (buzo) trabaje sin 
acción hidráulica provocando bajo rendimiento en el motor. 
 
Los motores modernos de alta compresión han impuesto una carga y 
demanda mucho mayor en la función que tienen que realizar los árboles de 
levas. Esto hace necesaria la inspección de los esfuerzos a los que va estar 
sometido el árbol de levas. 
El perfil de la leva (figura 1.4) determina el movimiento de apertura de la 
válvula y el tiempo que permanece abierta. Este perfil es diferente para las 
válvulas de escape y para las de admisión, dados los distintos ángulos de 
apertura y cierre de las mismas, fijados por la distribución. La posición de la 
prominencia sobre el árbol de levas se determina en orden de obtener la 
apertura de la válvula en el preciso instante establecido en el ciclo del motor. 
 
Con un perfil adecuado en ambas levas de un cilindro, se consigue levantar 
las válvulas hasta una altura conveniente y mantenerlas abiertas durante un 
tiempo ideal para obtener el rendimiento óptimo del motor. La máxima apertura 
lograda en las válvulas se denomina alzada. 
 
La precisión en el perfil de las levas es tan importante, que requiere de un 
complicado diseño en todo su contorno. Este se calcula con ayuda de una 
computadora para evitar errores de índice, ya que de la exactitud del perfil 
depende la eficiencia con que trabaje el motor. 
 
Las condiciones básicas que deben considerarse en el diseño de una leva 
son las siguientes: 
 
1. Lograr un movimiento suave y sin choques entre el mecanismo levanta 
válvulas y las válvulas cuando se alojen en los asientos. Evitar rebotes 
entre las punterías (buzos) y las levas después de que la válvula se aloja 
en su asiento. 
 
2. Obtener bajos valores de aceleración positiva y negativa para disminuir 
las fuerzas de torsión y tensión a la que será sometido el árbol de levas. 
 
El perfil típico de una leva comprende en general: 
 
a. Un tramo de circunferencia de radio A, que se define como círculo base, 
al que corresponde el período de cierre de la válvula. 
b. Un tramo de circunferencia de radio B, definido como círculo de cresta, 
que corresponde a la fase de máxima apertura. 
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AUTOMOTRIZ. 
6 
c. Dos tramos C rectilíneos llamados flancos de la leva, que corresponden 
a los inicios de apertura y cierre de las válvulas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.4 Perfil de leva [1.3]. 
 
Dispuesto de esta manera el perfil de la leva, la válvula comienza a abrirse 
cuando se inicia el contacto de la válvula con el flanco, una vez que abandona 
el tramo de círculo base (con el giro de la leva), es decir, en el punto de 
tangencia T de ambos tramos; y se cierra en el punto de tangencia T’ del lado 
opuesto. El ángulo  de apertura de la válvula, es el comprendido entre los 
puntos de tangencia T y T’ y corresponde al determinado por la distribución 
(diferente para las válvulas de admisión y escape). 
 
En la práctica es necesario establecer ciertos huelgos entre los dos 
elementos, a fin de permitir, la dilatación térmica de los materiales que se 
produce con el funcionamiento del motor. 
 
Como el árbol de levas es movido por el cigüeñal y, para lograrlo, se 
acoplan ambos mediante engranes, el árbol de levas emplea un piñón con 
doble número de dientes que el del cigüeñal. Estos engranes se llaman de la 
distribución y se alojan en el cárter de mando, situado en la parte delantera del 
motor. 
 
 Un árbol de levas se encuentra sometido a los siguientes esfuerzos: 
 
a) Térmicos por calentamiento del motor al funcionar. 
 
b) Torsionales por transmisión de movimiento del cigüeñal al árbol de levas 
a través de engranes. 
 
c) Flexión por accionamiento de las válvulas a través de las levas. 
 
 
 
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AUTOMOTRIZ. 
7 
1.3 ARBOL DE LEVAS Y BANDA DE SINCRONIZACION [1.4]. 
 
Para que un motor automotriz funcione perfectamente debe existir 
sincronización entre el cigüeñal, el distribuidor y el árbol de levas. Si la banda 
de transmisión del árbol de levas se brincara por varios dientes en la 
sincronización el motor deja de funcionar, en cambio si la banda de transmisión 
del árbol de levas se brincara la sincronización por un diente o dos, el motor 
podría todavía funcionar aunque en forma muy deficiente. 
 
1.3.1 VERIFICACION VISUAL DE LA SINCRONIZACIÓN 
 
Para verificar visualmente la sincronización correcta del cigüeñal, el árbol de 
levas y la banda de sincronización se sigue este procedimiento: 
 
- En los motores hay un tapón de acceso previsto en la cubierta de la 
banda de transmisión de la leva para que pueda verificarse la 
sincronización del árbol de levas sin quitar la cubierta de la banda de 
transmisión. 
- Quitar el tapón de acceso, para visualizar que al girar el cigüeñal la 
marca de sincronización quede en la parte superior, y observe que la 
marca de sincronización de la rueda dentada motriz del árbol de levas 
coincida con la marca de la cubierta interior de la banda. 
- El distribuidor se debe colocar en su posición cuando el pistón 1 quede 
en la parte superior. 
 
 
Tabla 1.1 Especificaciones delárbol de levas [1.4]. 
 
Elevación 
 de la 
 leva 
Elevación de la válvula 
 
 Admisión Escape 
 Juego axial 
 del 
 árbol de levas 
 Holgura 
 de 
 muñón a cojinete 
Límite de 
ovalamiento 
del muñón 
 
 0.572 
 
 
 0.955 0.952 
 
0.0004-0.0127 
 
 0.002-0.006 
 
 0.020 
 
(Todas las medidas expresadas en centímetros.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8 
1.4 PRODUCCIÓN [1.5]. 
 
El árbol de levas en estudio está presente en los motores de automóviles 
Volkswagen modelos sedan, pointer y combi. El volumen de fabricación en el 
2013 fue de 35,644 árboles para motores nuevos, más 1600 unidades para el 
mercado de refacciones, ver figuras (1.5 y 1.6). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1.5 Estadística de ventas de pointer en el 2013 [1.6]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.6 Estadística de ventas de combi en el 2013 [1.6]. 
 
 
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En el año 2013, la Empresa Volkswagen presentó un crecimiento en su 
producción y ventas del 2.1%, actualmente participa en el mercado nacional 
con el 19.6%, llegando a vender 102,269 unidades. Entre los autos más 
vendidos a nivel nacional tenemos que el Jetta ocupa el 3er. lugar, el 5to. lugar 
lo ocupa el Bora y en el 7to. el Pointer. 
 
 
Tabla 1.2 Volumen de ventas de autos Volkswagen en el 2013 [1.6]. 
 
 
Lugar en ventas Modelos de automóviles Unidades 
 1 Jetta 38,600 
 2 Bora 30,517 
 3 Pointer 26,422 
 4 Combi 9,222 
 5 Cross Fox 4,695 
 6 Beetle 2,268 
 7 Otros modelos GTI 545 
 
 
 1.5 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 
 
El problema consiste en determinar la distribución de los esfuerzos, 
haciendo énfasis en el esfuerzo máximo que se presenta en un árbol de levas, 
que forma parte de un motor automotriz de cuatro cilindros marca Volkswagen. 
 
El árbol de levas se encuentra sometido a cargas de torsión y flexión 
simultáneamente, la flexión es generada por el accionamiento de las válvulas 
de admisión y escape en los pistones, y por la descomposición de la fuerza en 
el engrane, la torsión es transmitida por el cigüeñal. 
 
El análisis de esfuerzo torsionante se realizó cuando el motor desarrolla su 
máxima capacidad de trabajo, el esfuerzo flexionante se analizó en los pistones 
uno y dos en las válvulas de escape y admisión respectivamente, ya que estas 
válvulas generan el momento flexionante máximo. 
 
El problema se aborda de manera analítica (resistencia de materiales) y por 
medio de análisis numérico. Para la parte numérica, se encuentra el campo de 
esfuerzos utilizando el Método del Elemento Finito, con el programa comercial 
ANSYS (Ansys Inc. versión 9.0). 
 
La parte analítica se basa en la Teoría de resistencia de materiales y tiene 
como finalidad validar los resultados. 
 
Los métodos analíticos empleados fueron: para el momento flexionante 
actuante sobre el árbol de levas el método de Cross, el momento torsionante 
fue obtenido del manual del automóvil, con ambos momentos se calcularon los 
esfuerzos normales, los cuales fueron multiplicados por los factores de 
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concentración de esfuerzos, posteriormente los esfuerzos anteriores fueron 
utilizados en el círculo de Mhor para conocer los esfuerzos máximos de flexión 
y torsión, con los cuales se obtuvo el esfuerzo de Von Mises. 
 
Durante los últimos años, la utilización del MEF (el Método del Elemento 
Finito), se ha incrementado y ha demostrado ser un método altamente 
confiable, siendo más adecuado por que ahorra costos generados por pruebas 
experimentales que pueden llegar a ser de tipo destructivo, sin embargo se 
considera conveniente llevar a cabo pruebas experimentales o métodos 
analíticos para validar los resultados, ya que ocasionalmente, se han 
observado deficiencias en las consideraciones que describen el problema, por 
tal razón se ha llegado a concluir que es necesario cotejar los resultados del 
mismo contra los resultados analíticos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.7 SUMARIO 
 
Una vez que se conoce la historia del automóvil, la descripción de la pieza, 
árbol de levas y la banda de sincronización, verificación visual de la 
sincronización, y lo concerniente a producción se analiza al elemento de 
estudio por los métodos de resistencia de materiales y numérico con la 
finalidad de obtener los esfuerzos de Von Mises que servirán para saber si la 
pieza finalmente es adecuada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.8 REFERENCIAS. 
 
 
[1] C. Nash Frederick. Fundamentos de mecánica automotriz. Diana, 1era. 
Edición, 33 ava. Impresión. Página 10. 
 
[2] Font Mezquita José, Dols Ruiz Juan. Tratado sobre automóviles 
Volumen I. Editorial Alfaomega / Universidad Politécnica de Valencia, 
2000. Página 99. 
 
[3] Development of optimization technique of warm shrink fitting process for 
Automotive transmission parts (3DFE analysis), Journal of Materials 
Processing Technology, Volumes 187-188, 12 June 2007, Pages 458-462. H.Y. 
Kim, C. Kim, W.B. Bae and S. M. Han 
 
[4] Miralles de Imperial Juan, Villalta Esquius Juan. Motor Características 
Pruebas y Vibraciones. Editorial CEAC, 3era. Edición, 1986. Página 103. 
 
 
[5] Fernández Rojas José, Enríquez Chávez Luis. Producción sobre autos 
Nacionales. Fernández Editores/ 2007. Páginas 35, 36 y 37. 
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CAPÍTULO 2 
 
 
 
 
 
 
ANTECEDENTES DE ANÁLISIS DE ESFUERZOS 
 Y MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.1 GENERALIDADES [2.1]. 
 
Todos los materiales estructurales presentan en cierto grado la propiedad de 
elasticidad, es decir, si las fuerzas exteriores que deforman la estructura norebasan un cierto límite, la deformación desaparece cuando se suprimen tales 
fuerzas. En este trabajo se supondrá que los cuerpos que sufren la acción de 
las fuerzas exteriores trabajan en un rango perfectamente elástico, es decir, 
recuperan su forma inicial después de suprimir las fuerzas. 
 
La estructura molecular de los cuerpos elásticos no será considerada. Se 
supondrá que la materia del cuerpo elástico es homogénea distribuyéndose 
con continuidad en su volumen, de forma que cualquier elemento extraído de 
él, posee sus mismas propiedades físicas. Para simplificar los razonamientos 
se supondrá también que el cuerpo es isótropo, es decir, las propiedades 
elásticas son las mismas en todas las direcciones. 
 
Los materiales estructurales no cumplen, en general, las condiciones 
señaladas anteriormente. Un material tan importante como el acero, por 
ejemplo, consiste en cristales diferentes, distintamente orientados como puede 
verse al observarlo al microscopio. El material dista mucho de ser homogéneo, 
pero la experiencia muestra que las soluciones de la teoría elástica, admitiendo 
las condiciones de homogeneidad e isotropía, pueden ser aplicadas a las 
estructuras de acero con gran exactitud. La explicación es que los cristales son 
muy pequeños: generalmente hay millones en un centímetro cúbico. 
 
Mientras que las propiedades elásticas de un cristal pueden variar mucho 
con la dirección, los cristales están generalmente orientados al azar y las 
propiedades elásticas de las piezas grandes corresponden a los promedios de 
las propiedades cristalinas. Siempre que las dimensiones geométricas de un 
cuerpo sean grandes comparadas con las dimensiones de los cristales, la 
suposición de homogeneidad puede ser usada con gran exactitud y si los 
cristales están orientados al azar, el material puede ser tratado también como 
isótropo. 
 
Cuando a causa de ciertos procesos tecnológicos, tales como el laminado, 
predomina una cierta orientación de los cristales del metal, las propiedades 
elásticas dependen de la dirección y debe considerarse la condición de 
anisotropía. Tal condición se da, por ejemplo, en el cobre laminado en frío. 
 
 En los problemas de análisis de esfuerzos, la forma geométrica es un dato y 
también, en la mayoría de los casos, sus condiciones limítrofes. Analizar los 
esfuerzos, significa determinar su magnitud en cada punto. En el caso general, 
para hacer un análisis de esfuerzos completo en un cuerpo, se requiere hacer 
la determinación, en todos los puntos del cuerpo, de seis incógnitas, que 
pueden ser los valores de las tres componentes correspondientes de los 
esfuerzos y de otras tres correspondientes de los esfuerzos cortantes, o los 
valores de los tres esfuerzos principales y sus direcciones. 
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15 
 
Cuando las condiciones del borde (frontera) cambian con el tiempo, los 
valores de las seis incógnitas son también función del tiempo. Si la relación 
entre los esfuerzos y las deformaciones en el material que se va a usar, no es 
lineal, el estado de esfuerzo dependerá generalmente de la magnitud de la 
carga. Presentada en toda su generalidad, la solución del problema de la 
determinación de los esfuerzos, las deformaciones asociadas a ellos y los 
desplazamientos en un cuerpo tridimensional hecho de un material 
heterogéneo, anisótropo, que se comporta de una manera no elástica y que 
está sujeto a una carga dinámica, es casi imposible. En efecto, aun para 
condiciones en la frontera, estáticas, los problemas de los materiales lineales, 
homogéneos e isótropos, con frecuencia no han sido resueltos en toda su 
generalidad. 
 
De lo que acaba de decirse se deduce que los métodos experimentales para 
los análisis de esfuerzos son de dos tipos principales: los que dan información 
de punto por punto y los que dan información conjunta o de campo completo. 
Los medidores de deformaciones eléctricos y mecánicos son instrumentos que 
dan información de punto por punto; la fotoelasticidad, las cuadrículas, el Moiré, 
y los recubrimientos frágiles son métodos que dan información de conjunto. Es 
posible obtener información de conjunto de instrumentos que dan solamente 
información punto por punto, teniendo un número suficientemente grande de 
ellos. Sin embargo, en general ésta no es una manera muy eficiente de tratar la 
solución del problema. 
 
Esfuerzos. Supongamos que el cuerpo representado en la figura 2.1, se 
encuentra en equilibrio. Bajo la acción de las fuerzas exteriores P 1 ,….P 7 , se 
producirán otras interiores que actuarán entre las distintas partes del cuerpo. 
Para determinar la magnitud de esas fuerzas en cualquier punto O, suponemos 
al cuerpo dividido en dos partes, mediante la sección plana mm que contiene a 
dicho punto. 
 
Si consideramos una de esas regiones, por ejemplo, la superior, se puede 
establecer que está en equilibrio bajo la acción de las fuerzas exteriores 
P 1 ,….P 7 , e interiores, repartidas en la sección mm, que representa la acción 
del material de la región inferior sobre el material de la región superior. Se 
supondrá que estas fuerzas se distribuyen con continuidad en la sección mm, 
de la misma forma que la presión hidrostática o la presión del viento se 
distribuyen de forma continua en la superficie sobre la cual actúan. La magnitud 
de tales fuerzas se define generalmente por su intensidad, o sea, por la fuerza 
que actúa sobre el área unidad. Cuando se trata de fuerzas interiores, la 
intensidad se llama esfuerzos. 
 
 
 
 
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En el caso sencillo de una barra prismática, sometida a tracción bajo la 
acción de fuerzas distribuidas uniformemente sobre sus extremos (fig. 2.2), las 
fuerzas interiores se distribuyen también uniformemente sobre cualquier 
sección plana mm. En consecuencia, la intensidad de esta distribución, los 
esfuerzos, puede obtenerse dividiendo la fuerza P por el área superior de la 
sección recta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.1 Cuerpo en equilibrio bajo fuerzas Figura 2.2 Fuerzas distribuidas. [2.1] 
 Externas. [2.1] 
 
En el caso que acabamos de considerar, el esfuerzo es uniforme en toda la 
sección recta. En el caso general de la figura 2.1, el esfuerzo no se distribuye 
uniformemente en nn. Para obtener la magnitud de el esfuerzo que actúa 
sobre el pequeño elemento de área  A, que comprende al punto 0, 
suponemos que las fuerzas que actúan a través de esta área elemental, 
debidas a la acción del material de la parte superior sobre el material de la 
parte inferior, se reducen a una resultante P. Si el área A disminuye con 
continuidad, el valor límite del cociente AP  / nos da la magnitud de el 
esfuerzo, que actúa sobre la sección mm en el punto 0. La dirección que tiene 
P en el límite, es la dirección del esfuerzo. 
 
En general, el esfuerzo está inclinado respecto al elemento de superficie 
superior A sobre el cual actúa descomponiéndose entonces en sus dos 
componentes: un esfuerzo normal, perpendicular al elemento A y un 
esfuerzo tangencial o cortante, que actúa en el plano de A . 
 
 
 
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z
y
x
zy
xy
xz
yz
yx
zx
2.2 COMPONENTES DE LOS ESFUERZOS. 
 
Si se toma como modelode análisis a un elemento cúbico, cada par de 
caras paralelas necesitan un símbolo para representar la componente normal 
del esfuerzo y dos más para las componentes del esfuerzo tangencial, como se 
muestra en la (figura 2.3). Se requieren, por lo tanto, tres símbolos para 
describir los esfuerzos normales que actúan sobre las caras de un cubo 
elemental, a saber, ,x , y , z y seis xy , yx , xz , zx , yz , zy , para los 
esfuerzos tangenciales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.3 Componentes de los esfuerzos [2.1]. 
 
De la consideración del equilibrio del elemento, se deduce que el número de 
símbolos para los esfuerzos tangenciales puede ser reducido a tres. Si 
consideramos el momento respecto al eje x de las fuerzas que actúan sobre el 
bloque elemental, sólo debemos tener en cuenta los esfuerzos representados 
en la figura 2.4. Las fuerzas másicas, tales como el peso del elemento, pueden 
ser despreciadas puesto que al reducir las dimensiones del elemento 
disminuyen con el cubo de las dimensiones lineales, mientras que los 
esfuerzos superficiales lo hacen con el cuadrado de las mismas. Resulta, pues, 
que para elementos muy pequeños, las fuerzas másicas son infinitésimos de 
mayor orden que las fuerzas superficiales. De igual forma, los momentos 
debidos a la distribución no uniforme de las fuerzas normales son infinitésimos 
de orden superior que los debidos a las fuerzas tangenciales, pudiendo 
también ser despreciados en el límite. 
 
Representando entonces las dimensiones del elemento de la figura 2.4 por 
dx, dy, dz y puesto que la fuerza sobre cada cara es el producto del área por el 
valor de los esfuerzos en el punto central de la misma, la ecuación de equilibrio 
para los momentos respecto al eje x queda así: 
zy dxdydz= yz dxdydz 
 
Las otras dos ecuaciones se obtienen de forma semejante, llegándose al 
resultado siguiente: 
xy = yz , zx = xz , zy = yz 
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yz
zy
zy
yz
 Por tanto, para cada dos caras perpendiculares entre sí, las componentes 
de los esfuerzos de cortadura superficial, perpendiculares a la línea de 
intersección de esas caras, son iguales. 
 
El sistema de esfuerzos que actúa sobre los planos coordenados que 
pasan por un punto, está en consecuencia definido por las seis cantidades x , 
y , z , xy = yx , xz = zx , yz = zy , las cuales reciben el nombre de 
componentes de los esfuerzos en el punto considerado. 
 
Estas seis componentes permiten determinar el esfuerzo actuante sobre 
cualquier plano que pase por el punto considerado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.4 Esfuerzos y dimensiones [2.1]. 
 
 
 
2.3 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN TRES DIMENSIONES. [2.2]. 
 
 En la información anterior solo se analizan los esfuerzos en dos 
dimensiones, a continuación analizamos los esfuerzos y deformaciones 
producidos por la aplicación de cargas en tres dimensiones. 
 
 
2.3.1 DEFINICIÓN DE LOS ESFUERZOS EN UN PUNTO. 
 
Los esfuerzos que actúan sobre las seis caras de un elemento cúbico 
vienen definidos por las seis componentes de los esfuerzos, las tres 
componentes normales σx, σy, σz y las tres tangenciales τxy = τyx, τxz = τzx, τyz = 
τzy . 
 
 
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x
z
y
xy
yz
xz
xz
xy
yz
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.5 Esfuerzos actuantes en los planos coordenados [2.2]. 
 
 
Si en un punto cualquiera, se conocen estas componentes, podremos 
calcular mediante las ecuaciones de la estática el esfuerzo que actúa sobre un 
plano de orientación arbitraria que pase por ese punto. Sea O un punto del 
cuerpo cargado y supongamos que se conocen los esfuerzos que actúan sobre 
los planos de coordenadas xy, xz, yz (figura 2.5). 
 
Para determinar los esfuerzos que actúan en otro plano cualquiera que pase 
por O, tracemos a distancia muy pequeña de ese punto, el plano BCD paralelo 
al dado, el cual formará con los planos coordenados un tetraedro elemental, 
BCDO. 
 
Como según se ha supuesto los esfuerzos varían de manera continua en 
todo el volumen del cuerpo, la que actúa sobre el plano BCD, al acercarse este 
al origen cuando el elemento se hace infinitésimo, tendrá a un límite, que es el 
esfuerzo correspondiente al plano paralelo al mismo que se localiza en el punto 
O. 
 
Al establecer las condiciones de equilibrio del tetraedro elemental se podrán 
despreciar las fuerzas másicas. Así mismo podremos dejar de lado la variación 
del esfuerzo en las caras del elemento, por ser de orden infinitesimal, y 
suponer una distribución uniforme de los esfuerzos, de forma que las fuerzas 
que actúen sobre el tetraedro se determinarán multiplicando las áreas de sus 
caras por las respectivas componentes de los esfuerzos. Si con A denotamos 
el área de la cara BCD, las áreas de las otras caras se obtienen proyectando A 
sobre los tres planos coordenados. 
 
 
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2.4 VIGAS CONTINUAS [2.3] 
 
Las vigas continuas presentan tres o más apoyos, dos o más tramos o 
claros, y por tanto, disponen de uno o más apoyos redundantes en los que las 
reacciones no pueden determinarse por las ecuaciones de la estática. Es 
posible calcular los valores de estas reacciones hiperestáticas aplicando las 
condiciones de deformación existentes, por ejemplo, deflexión nula en los 
apoyos cuyas reacciones son desconocidas. Estas condiciones dan las 
ecuaciones necesarias adicionales a las del equilibrio estático. Sin embargo, es 
más conveniente considerar como desconocidos o hiperestáticos, los 
momentos flexionantes en los apoyos. Una vez determinados estos momentos, 
que se suelen llamar momentos de continuidad, es sumamente sencillo el 
cálculo de las reacciones. 
 
Para calcular los momentos de continuidad se suele aplicar dos métodos de 
cálculo. En el primer método se comienza obteniendo una reacción de tipo 
general entre los momentos flexionantes en tres secciones cualesquiera de la 
viga, relación que se llama ecuación de los tres momentos. Las aplicaciones de 
esta ecuación son numerosas; con ella pueden resolverse todos los problemas 
de vigas simplemente apoyadas, así como determinar las deformaciones y 
reacciones en cualquier tipo de viga, en particular en las vigas continuas. El 
segundo método es el de la distribución de momentos, este método es 
independiente del método anterior, aunque la determinación del diagrama de 
fuerza cortante y de las reacciones sea común para ambos métodos. Para 
aplicar este método se empieza suponiendo que cada tramo o claro está 
perfectamente empotrado en sus extremos y se determinan los momentos de 
empotramiento perfecto. En la mayoría de los casos, los momentos de 
empotramiento perfecto se toman directamente de tablas. Para tipos más 
complejos de emplear el primer método. 
 
2.4.1 MÉTODO DE CROSS. 
 
Las técnicas modernas de cálculo y diseño de estructuras se basan en un 
método de aproximaciones sucesivas. Este método, que se conoce con el 
nombre de método de distribución de momentos o método de Cross, se aplica 
al cálculo de todo tipo de vigas continuas y de estructuras de nodos rígidos. Su 
aplicación a las vigas continuas resulta ser una poderosa herramienta para el 
ingeniero de diseño. 
 
En este método se definen algunos conceptos. El primero es el del momento 
transmitido,

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