Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Vista previa del material en texto
Instituto Politécnico Nacional CENTRO DE INVESTIGACIÓN EN CIENCIA APLICADA Y TECNOLOGÍA AVANZADA UNIDAD QUERÉTARO POSGRADO EN TECNOLOGÍA AVANZADA ANÁLISIS DE LAS DEFORMACIONES EN UN MECANISMO PARALELO USADO PARA TAREAS DE FRESADO T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN TECNOLOGÍA AVANZADA P R E S E N T A HUGO NAVA PALOMARES DIRECTOR DE TESIS: M en C. Maximiano Fco. Ruiz Torres 1 2 3 Agradecimientos Agradezco infinitamente a todo la gente que conforma al C.I.C.A.T.A por darme la oportunidad de mejorar en mi vida profesional, y su apoyo para la realización de mis estudios de posgrado en este centro. Agradezco en forma especial al M en C Maximiano Fco. Ruiz Torres, por compartir sus conocimientos y experiencias para la realización de este trabajo. Al Dr. Adrian García, M en C. Reydezel Torres, Dr. Eduardo Morales, Dr. Eduardo Castillo por el apoyo que me brindaron durante mi estadía como estudiante de este Centro. A mi esposa por su incondicional apoyo y cariño que me ha dado estos años que llevamos juntos…. A mis padres, gracias por su esfuerzo en educarme y por estar conmigo en las buenas y en las malas…. A mi hermano, por las bellas lecciones de vida que he tenido a su lado, no importa cuando llegues, si no como lo haces…. 4 Resumen El presente trabajo realiza un análisis de las deformaciones de un mecanismo paralelo, mediante un análisis cine-estático destinado a realizar operaciones de maquinado. Los resultados obtenidos aquí es parte inicial para la fabricación de una máquina-herramienta con estructura paralela. En el primer capítulo se presenta una breve historia de los mecanismos paralelos, así como los criterios empleados para la selección de un mecanismo paralelo idóneo para tareas de fresado. A partir del segundo capítulo se inicia el análisis cine-estático del mecanismo propuesto. En esté capítulo se presentan los resultados del análisis de posiciones inverso, el valor del volumen de trabajo y sus fronteras. El estudio de la frontera del espacio de trabajo ayuda a limitar el análisis de las deformaciones que se desarrollan en el tercer capítulo. Los resultados de posición inversa fueron obtenidos mediante la elaboración de un programa en Matlab 7 y verificados mediante un software CAD. Para la obtención de la envolvente del espacio de trabajo y una aproximación de su valor se uso como base el programa desarrollado en Matlab 7 para el cálculo de la cinemática inversa. Una vez definido el espacio de trabajo en el tercer capítulo se presentan las metodologías existentes para el análisis de las deformaciones en los componentes de los mecanismos paralelos. Es en este capítulo es en donde se desarrolla el mapeo de las deformaciones. Finalmente en el último capítulo se proponen los componentes del mecanismo, las secciones transversales de sus eslabones, así como los materiales de todos los componentes para su construcción que garanticen una deformación menor a 1 milímetro. Es en este capítulo en donde se exponen las conclusiones finales y recomendaciones para el desarrollo del prototipo de la máquina-herramienta nombrada CICABOT I. 5 Abstract In this dissertation the strains of a parallel mechanism for milling task are analyze through kine-static analysis. The results gotten in this dissertation are the first steps for the manufacture of a milling machine with parallel structure. A brief history of parallel mechanisms is presented in the first chapter; in addition in this chapter the criteria used to select the suitable parallel mechanism for milling machine tasks are presented. In the second chapter begins the kine-static analysis. The results of: inverse kinematics analysis, the workspace value and its boundaries. The workspace boundary, helps to restrict the strain analysis developed in the third chapter. The inverse kinematics análisis results were gotten through a Matlab 7 program and validated with CAD software. The workspace boundaries and the workspace value estimation have been done once again through a Matlab 7 program. Once the workspace is already defined, the existing methodologies for the strain deformation on the parallel mechanism components are described in the third chapter. Finally in the last chapter, the components of the parallel mechanisms, the transverse sections of the links, and the materials of the components for their manufacture which guarantee a strain less than 1 millimeter, are proposed. 6 Índice General Capitulo 1 Definición de la máquina-herramienta de construcción paralela ..........................................2 1.1 Introducción ..........................................................................................................2 1.2 Objetivo.................................................................................................................2 1.3 Justificación ..........................................................................................................3 1.4 Estado del arte de los mecanismos paralelos. .....................................................3 1.5 Características de una maquina-herramienta con estructura paralela. ................7 1.6 Máquina-herramienta propuesta...........................................................................9 1.7 Conclusiones ......................................................................................................13 Capitulo 2 Análisis Cinemático Inverso................................................................................................14 2.1 Análisis de posición inverso................................................................................14 2.2 Obtención de la envolvente del espacio de trabajo de la máquina-herramienta propuesta. .......................................................................................................................19 2.2.1 Conclusiones...................................................................................................21 Capitulo 3 Análisis de deformaciones del mecanismo paralelo CICABOT ..........................................23 3.1.1 Metodología del Análisis de las deformaciones en el sistema de transmisión de un mecanismo paralelo ..........................................................................................23 3.1.2 Metodología del Análisis de la Rigidez para los eslabones de un mecanismo paralelo por el método de Charles M. Clinton . ...........................................................25 3.1.3 Metodología de deformaciones de la base fija, base móvil y de las juntas cinemáticas pasivas. ...................................................................................................28 3.1.4 Metodología Propuesta para el análsis de deformaciones del mecanismo paralelo CICABOT.......................................................................................................29 3.1.5 Conclusiones...................................................................................................36 Capitulo 4 Análisis de resultados y recomendaciones para la construcción de los elementos del CICABOT............................................................................................................................37 4.1 Recomendaciones para la construcción del cicabot. ..........................................37 4.1.1 Sugerencia de trabajos Futuros ......................................................................39 7 APENDICE A Programa en Matlab 7 para el calculo de la cinemática inversa y espacio de trabajo del mecanismo paralelo CICABOT...........................................................................................42 APENDICE B Programa en Batch para análisis de las deformaciones en el mecanismoparalelo CICABOT............................................................................................................................44 APENDICE C Dibujos de detalle para los componentes de construcción del CICABOT..........................47 8 Índice de Figuras y Tablas Figura 1.2.1. Juego mecánico ideado por E. Gwinett basado en un mecanismo paralelo de juntas esféricas .................................................................................................................3 Figura 1.2.2. Mecanismo patentado por Willard Pollard en 1942 con número de patetnte de la Oficina de Comercio y patentes de estados unidos 2,286,571. ...............................4 Figura 1.2.3 primer mecanismo construido por Dr Eric Gough para realizar pruebas dinámicas en neumáticos..................................................................................................4 Figura 1.2.4. Plataforma móvil para simuladores de vuelo, publicada en 1965 por Stewart en un evento de Ingenieros Británicos de la Gran Bretaña ..............................................5 Figura 1.2.5. (a) Gráfico de Construcción de la plataforma Gough. (b) Gráfico de construcción de la plataforma Stewart ..............................................................................5 Figura 1.2.6. Simulador de vuelo típico basado en el prototipo del Dr. Gough ....................6 Figura 1.2.7. Varíax máquina-herramienta paralela construida por Giddings & Lewis Machina Tools...................................................................................................................6 Figura 1.4.1. Mecanismo propuesto por el Dr. Lung-Weng Tsai y fabricado en la Universidad de Maryland ................................................................................................11 Figura 1.4.2 (a) Diagrama de construcción propuesto por el Dr. Lung-Wen Tsai (b) Diagrama de construcción del mecanismo CICABOT I ..................................................11 Figura 1.4.3 Mecanismo propuesto para realizar tareas de fresado (CICABOT)...............13 Figura 2.1.1 (a) Ejes coordenados usados en el análisis cinemático (b) Ejes coordenados usados en el análisis cinemático y puntos de referencia para el desarrollo del análisis cinemático. ......................................................................................................................15 Figura 2.1.1 Solución A para punto (0,0,.8m).....................................................................18 Figura 2.1.2 Solución B para (0,0,.8m)...............................................................................18 Figura 2.1.3 Hemisfero que limita el posible espacio de trabajo de la máquina-herramienta ........................................................................................................................................20 Figura 2.1.4 Envolvente del espacio de trabajo obtenida para la máquina-herramienta propuesta ........................................................................................................................20 Figura 2.1.5 (a) Puntos validos para planos (x,y) para z=0m (b) Puntos validos para planos (x,y) para z=.1m (c) Puntos validos para planos (x,y) para z=.11...................................21 Figura 3.2.1 Elemento en el espacio sometido cargas axiales, cortantes y momentos flectores...........................................................................................................................26 Figura 3.3.1 Máquina de seis grados de libertad con juntas esféricas a bolas pasivas. ....28 9 Figura 3.3.2 Máquina tipo hexápodo Ingersoll de 6 grados de libertada............................29 Figura 3.4.1 Definición de nodos para la creación del modelo en ANSYS.........................30 Figura 3.4.2 CICABOT sujeto a una carga externa ............................................................31 Figura 3.4.3 Rotaciones permitidas en el instante donde la fuerza transmitida a la placa móvil se encuentra en equilibrio con una fuerza externa................................................31 Figura 4.1.2 Propuesta de Junta Cardan para construcción de CICABOT ........................39 Tabla 1.4.1. Mecanismos paralelos evaluados para prototipo de máquina-herramienta. ..10 Tabla 3.4.1 Resultados de deformación a una altura de 15 cm .........................................33 Tabla 3.4.2 Resultados de deformación a una altura de 55 cm .........................................34 Tabla 3.4.3 Resultados de deformación a una altura de 80 cm .........................................35 2 Capitulo 1 Definición de la máquina- herramienta de construcción paralela 1.1 INTRODUCCIÓN La evolución de las máquinas-herramientas tuvo una gran evolución de los años 70 a los 90. En estos años se crearon máquinas más precisas y con mayor autonomía. Sin embargo después de la década de los noventas, la evolución de estas máquinas ha sido lenta y poco significativa. Actualmente la exigencia del mercado metal-mecánico se concentra en el aumento de la productividad, cumpliendo tolerancias dimensionales y de forma más cerradas que en tiempos pasados. Algunas de las alternativas que se han estudiado para cumplir estos objetivos han sido el aumento de la velocidad de corte de las máquinas-herramientas y el aumento de la velocidad desplazamiento de la herramienta. Una alternativa interesante para tales propósitos es el uso de máquinas-herramienta con estructura paralela. En este capítulo se definirá la arquitectura de la máquina herramienta, iniciando con un breve recorrido en la historia de los mecanismos también conocidos como robots o manipuladores paralelos. La segunda sección de este capítulo se analizan las características que se deben tener en mente en el diseño de una máquina-herramienta. 1.2 OBJETIVO El objetivo del presente trabajo se centra en el análisis de las deformaciones de un mecanismo paralelo destinado a realizar operaciones de maquinado, mediante un análisis cine-estático. Con los resultados obtenidos de este análisis se optimizan las dimensiones de los elementos de construcción de la máquina-herramienta paralela para realizar tareas de fresado. 2 1.3 JUSTIFICACIÓN En los últimos años los mecanismos paralelos han despertado la curiosidad de muchos investigadores de todo el mundo. Se ha demostrado que estos mecanismos presentan un buen comportamiento dinámico (altas aceleraciones) puesto que las cargas en estos mecanismos se distribuyen en sus n cadenas cinemáticas. En la parte final del capitulo se definen las dimensiones de los elementos de la máquina- herramienta, así como las posiciones de sus eslabones. 1.4 ESTADO DEL ARTE DE LOS MECANISMOS PARALELOS. Históricamente el primer mecanismo paralelo fue diseñado por James E. Gwinett. El mecanismo paralelo basado en juntas esféricas tenía una base móvil, el cual fue ideado como un juego mecánico en 1928. Este concepto fue patentado por su creador en la oficina de comercio y patentes de Estados Unidos con el número 1,789,680 en 1931 (ver Figura 1.2.1). A pesar de haber sido protegido el mecanismo nunca se construyo. Figura 1.2.1. Juego mecánico ideado por E. Gwinett basado en un mecanismo paralelo de juntas esféricas Willard Pollard Junior fue la segunda persona en presentar una patente ante la misma oficina, de un mecanismo paralelo. Al igual que su antecesor, este mecanismo corrió la misma suerte, nunca fue construido. El mecanismo fue ideado para realizar tareas de pintado en general (ver Figura 1.2.2). 3 Figura 1.2.2. Mecanismo patentado por Willard Pollard en 1942 con número de patetnte de la Oficina de Comercio y patentes de estados unidos 2,286,571. En 1947 el Dr. Eric Gough construye el primer mecanismo paralelo, de seis grados de libertad, ideado para realizar pruebas dinámicas de neumáticos en Dunlop Rubber Co., Birmingham,Inglaterra. Este constaba de una base móvil octaédrica, seis patas de longitud variable, las cuales en uno de sus extremos se encuentran ancladas a tierra mediante juntas universales o esféricas mientras que en el otro se conectaban a la base móvil con juntas esféricas como lo muestra la figura 1.2.3. Figura 1.2.3 primer mecanismo construido por Dr Eric Gough para realizar pruebas dinámicas en neumáticos En 1965 Stewart publica en un evento del Instituto de Ingenieros Mecánicos de la Gran Bretaña un reporte técnico, el cual describe una plataforma móvil con seis grados de libertad para simuladores de vuelo (ver Figura 1.2.4). A pesar de que esta plataforma es distinta a la propuesta por el Dr. Gough, esta publicación levanto gran controversia pues tienen una cierta semejanza. 4 Figura 1.2.4. Plataforma móvil para simuladores de vuelo, publicada en 1965 por Stewart en un evento de Ingenieros Británicos de la Gran Bretaña Para poder apreciar de manera clara las diferencias de las propuestas de Stewart y el Dr. Gough haremos uso de los gráfico de construcción para robots paralelos propuestos por Françoise Pierrot [1]. Como se puede apreciar en la Figura 1.1.5a la plataforma Gough consta de seis cadenas cinemáticas cerradas semejantes conectadas en uno de sus extremos a una base fija y por otro a una base móvil. Cada una de estas cadenas cinemáticas consta de un actuador prismático, el cual esta conectado en uno de sus extremos a la base fija mediante una junta universal o esférica y por el otro extremo se encuentra conectado a la base móvil mediante una junta universal. La plataforma Stewart por su parte consta de tres cadenas cinemáticas (Ver Figura 1.2.5 (b)), cada una de ellas tiene dos actuadores prismáticos. Uno de ellos está anclado a la base fija en uno de sus extremos mediante una junta universal, mientras que el otro extremo se encuentra conectado parte media del actuador mediante una junta universal. El segundo actuador que compone a cada una de las cadenas cinemáticas se encuentra anclado por uno de sus extremos a la base fija mediante una junta universal y por el otro extremo se conecta a la plataforma móvil mediante una junta universal. (a) (b) Figura 1.2.5. (a) Gráfico de Construcción de la plataforma Gough. (b) Gráfico de construcción de la plataforma Stewart Una de las desventajas que presenta la plataforma Stewart son las velocidades que puede alcanzar la plataforma móvil. En cada una de las cadenas cinemáticas cerradas el actuador anclado a la base fija y conectado a la parte media del segundo actuador requiere de mayor potencia, pues tiene que vencer las fuerzas de inercia del segundo amortiguador y de la plataforma móvil. Esta la es razón por la que en la actualidad los 5 simuladores de vuelo emplean la configuración propuesta por el Dr. Gough, que irónicamente es mejor conocida como plataforma Stewart (ver Figura 1.2.6). Figura 1.2.6. Simulador de vuelo típico basado en el prototipo del Dr. Gough En los siguientes años, los trabajos realizados alrededor de los mecanismos paralelos eran casi nulos y es hasta el año de 1987 incrementa el interés sobre de ellos [2]. A partir de esta fecha existieron muchas propuestas de nuevas arquitecturas de mecanismos paralelos, las cuales han tenido diversas aplicaciones tales como dispositivos pick & place, equipo médico, dispositivos de posicionamiento rápido máquinas de medición de tres coordenadas, mesa de vibraciones entre otros. Es en el año de 1994 durante la exposición de máquina-herramientas de Chicago en donde Giddings & Lewis muestran por primera vez una máquina-herramienta con estructura paralela llamada Variax. Esta máquina-herramienta de 6 grados de libertad tiene una arquitectura semejante a la de la plataforma móvil propuesta por el Dr. Gough (ver Figura 1.2.7). Figura 1.2.7. Varíax máquina-herramienta paralela construida por Giddings & Lewis Machina Tools 6 Después de esta propuesta existieron muchas otras bajo el mismo concepto, las cuales se han clasificado como máquinas-herramienta tipo hexápodos. A continuación se listan algunas de estas máquinas-herramienta: • HexaM* de Toyoda. Mejora a Hexa con actuadores lineales. • Hexaglide* de ETHH (Zurich). • Triaglide* de Mikron. Está máquina solo cuenta con tres grados de libertad (solo tralación). • Quickstep de Krause & Mauser. Esta máquina es de arquitectura semejante a la Triaglide, y posee tres grados de libertad (solo tralación). • UraneSX de la sociedad Renault Automation / Comau que posee tres grados de traslado como la máquina Quickstep, equipada con motores lineales, esta destinada a realizar operaciones de taladrado, fresado y a gran velocidad. Por otra parte algunos investigadores en el área han propuesto máquina-herramientas híbridas es decir una máquina-herramienta en la que esta presente al menos una estructura paralela y una o mas en serie. Las siguientes máquinas-herramientas son un ejemplo bajo este concepto. • Dyna-M* de WZL. Se trata de una máquina 3 grados de libertad constituida de un mecanismo paralelo plano a dos grados de libertad completado por usillo que agrega un tercer desplazamiento. • Georg V* de IFW (Universidad de Hannover). • Tricept TR805* de NEOS Robotics cuya arquitectura es idéntica a la del robot del mismo nombre. • Eclipse de la Universidad Nacional de Seúl. Esta máquina redundante la permite también realizar fabricaciones de superficies complejas en 5 ejes, fabricaciones de caras sin desmontaje de la mesa de maquinado sobre piezas prismáticas • Smarcuts que asocia 2 estructuras paralelas una de ellas mueve el chock mientras la otra estructura paralela mueve la pieza a mecanizar. Esta máquina herramienta resulta en tres grados de libertad. 1.5 CARACTERÍSTICAS DE UNA MAQUINA-HERRAMIENTA CON ESTRUCTURA PARALELA. La evaluación de mecanismos paralelos es una tarea difícil. A pesar de que ya hace un tiempo de la aparición de estos mecanismos y de la existencia de muchos estudios alrededor de ellos, es en años recientes en los que se proponen herramientas para el análisis y diseño de mecanismos paralelos. Bianchi G. [7] propone una hibridación del software ADAMS y Mathlab para poder hacer una evaluación rápida y de manera sencilla de los mecanismos paralelos. Myriam Terrier y compañía [4], proponen indicadores, tales, como la calidad de superficie maquinada, el tiempo de mecanizado, y la desviación de la trayectoria de la herramienta con respecto a la trayectoria ideal mediante el uso de codificadores (encoders). Este estudio concluyó que las máquinas paralelas tienen un gran potencial para realizar tareas de maquinado a alta velocidad ya que poseen indicadores similares o superiores a máquinas-herramientas convencionales. Hay que recalcar que este trabajo fue realizado con mecanizado de alta velocidad, el cual esta fuera del propósito del presente trabajo. 7 Jinwook Kim y Changbeom Park [3] proponen características a considerar tales como la rigidez, manipularidad, y el espacio de trabajo para elegir la configuración ideal para una máquina- herramienta con arquitectura semejante a la de la plataforma Gough. Por su parte Gosselin C. propone una evaluación del espacio de trabajo verificando el factor de amplificación de los errores de posicionamiento dentro del espacio de trabajo [11]. De estudios como los antes descritos se ha concluido que los mecanismos paralelos presentan una alta rigidez, lo cual ayuda a mantener una buena calidad en las piezas mecanizadas. Por otra parte sus eslabones esbeltos contribuyen a una mejora en los tiempos de operaciones de mecanizado. Company [2] presenta conclusiones importantes sobre las características que debe cumplir una máquina herramienta. De acuerdo con su trabajo doctoral las característicasque se deben procurar en las maquinas-herramientas paralelas son: • Resultado Dinámico • Comportamiento térmico • Rigidez • Costo A continuación se describen de manera más amplia estas características Resultado Dinámico Es importante cuidar el resultado dinámico de una máquina-herramienta ya que de las velocidades que puede alcanzar depende la productividad alcanzable. Para mantener un buen resultado dinámico es importante tener una reducción de las masas en movimiento. Está práctica resulta complicada en máquina-herramientas convencionales ya que mucha de la rigidez de estas máquinas esta basada en los grandes volúmenes de sus diferentes elementos. A pesar de que algunos de estos elementos ya se fabrican en aluminio, alcanzando aceleraciones de 1.2 gravedades [2]. Una de las principales ventajas que presentan las máquinas-herramienta es su buen resultado dinámico. Comportamiento Térmico Ya que es de nuestro interés tener una calidad de mecanizado igual o superior a las obtenidas en las máquinas-herramienta convencionales es importante tomar en cuenta el comportamiento térmico de nuestra propuesta. Examinando el caso de los hexápodos la energía térmica que disipan los actuadores hidráulicos provoca un aumento de la temperatura en los eslabones. Este aumento de temperatura induce un alargamiento de los eslabones perjudicando el posicionamiento exacto de la herramienta. Por otra parte el tener a los actuadores como un conjunto en los eslabones aumenta el peso de las masas móviles, teniendo un efecto no deseable en el resultado dinámico de la máquina. Es por esto que es preferible tener los actuadores montados a la base fija. Aunado a esto se sabe que los actuadores hidráulicos no tienen una buena precisión en su movimiento [5]. 8 Rigidez La rigidez de la máquina como conjunto es de vital importancia ya que los esfuerzos presentes en sus elementos no deben provocar un desplazamiento significativo. El desplazamiento de la herramienta es la suma de los desplazamientos que presenta cada uno de sus elementos. De manera general los mecanismos paralelos están constituidos por: Una base fija, actuadores, eslabones cinemáticos y una plataforma móvil. La base fija como su nombre lo dice no se encuentra en movimiento la masa y la geometría de sus elementos generalmente no tienen influencia en la dinámica de la máquina, por lo que no existe problema en aumentar sus dimensiones o peso. Como se mencionó en la sección 1.2 es preferible que los actuadores de la máquina se encuentren instalados sobre la base fija. De esta forma no se deteriora el resultado dinámico de la máquina. Adoptando esta condición, al igual que la base fija no importarán las dimensiones o peso de los actuadores para obtener un valor aceptable de rigidez. Ya que los actuadores se encuentran montados sobre la base fija. Las deformaciones en la plataforma móvil no son significativas ya que generalmente se diseñan con una alta rigidez [9]. A pesar de que se requieren pares o eslabones cinemáticos rígidos se debe prestar atención a sus dimensiones y pesos para no afectar el resultado de la máquina. Por último la rigidez de los eslabones que es en la que se concentra el presente trabajo es la rigidez más significativa en una máquina-herramienta de estructura paralela. Las deformaciones más significativas en estos elementos son las provocadas por los esfuerzos flexionantes y de torsión, Company [2] recomienda que los actuadores sean lineales, puesto que los actuadores rotativos (motores eléctricos) provocan esfuerzos de flexión y torsionales en los eslabones. Sin embargo en el presente trabajo se propone un mecanismo con actuadores de revolución. Como parte de los objetivos particulares de este trabajo es dimensionar y seleccionar los materiales de forma adecuada, para tener deformaciones no mayores al milímetro en el espacio de trabajo. Costos Otra de las ventajas de las máquinas-herramientas paralelas es la sencillez de su construcción ya muchas de las piezas tales como los eslabones o juntas cinemáticas son idénticas en todas las cadenas cinemáticas, teniendo como resultado un bajo costo. Mientras que en la máquinas-herramienta convencionales los elementos que la componen para realizar los movimientos de traslación y/ rotación son distintos. 1.6 MÁQUINA-HERRAMIENTA PROPUESTA Para la definición de la arquitectura del mecanismo paralelo es necesario definir la tarea a realizar por este. Un mecanismo paralelo para realizar tareas de fresado requiere tener al menos 3 movimientos de traslación y si es posible dos movimientos rotacionales. Es 9 también necesario definir un volumen de trabajo e intentar que no existan interferencias entre los elementos que componen al mecanismo. Actualmente existen varios métodos de síntesis para este tipo de mecanismos, los cuales se listan a continuación. • Métodos analíticos en los que, a partir de una lista de puntos de paso y de una topología se encuentran las dimensiones del mecanismo. El inconveniente de estos métodos es que están limitadas por el número de puntos de paso. • Métodos algébricos basados en la teoría de los grupos de Heces, para los mecanismos de cadena cerrada mediante. • Métodos de optimización locales o estatocásticos (simulación, redes de neuronales, algoritmos genéticos o multicriterios) que contemplan la búsqueda de solución como la minimización de un criterio dado. • Métodos a base de sistemas expertos que utilizan un catálogo de mecanismos y un conjunto de reglas. [6] • Métodos mediante la utilización de un catálogo, de mecanismos y/o de trayectorias asociadas, a partir del cual se escoge el mecanismo correspondiente a la tarea ha efectuar. Sin embargo ya establecido el espacio de trabajo no es tan conveniente usar alguno de los primeros cuatro métodos antes mencionados. Por lo que se realizó una búsqueda en diversas patentes, artículos y tesis doctorales para encontrar una propuesta de mecanismos paralelos. Tomando en cuenta la rigidez, el resultado dinámico, el costo y el comportamiento térmico se tomaron en cuenta los mecanismos paralelos que se presentan en la Tabla 1.4.1. Nombre del Mecanismo Grados de Libertad Juntas cinemáticas empleadas en su construcción Interferencias dentro del espacio de trabajo Hexa 6 Esféricas u universales Si Maniupulador de Maryland 3 Pernos (juntas de revolución) No Delta 3 Esféricas y universales No H4 4 Esféricas y universales Si Hexaglide 6 Esféricas y universales Si Triaglide 3 Esféricas y universales Si Tabla 1.4.1. Mecanismos paralelos evaluados para prototipo de máquina-herramienta. Un factor importante en la decisión de la propuesta del mecanismo paralelo para tareas de fresado fue la posible interferencia que puede existir dentro del espacio de trabajo entre sus eslabones, así como el uso de juntas esféricas, ya que este tipo de juntas tiene un juego mecánico que contribuye de manera significativa al error de posicionamiento de la plataforma móvil. Con lo anterior se decidió trabajar con una configuración semejante a la del manipulador de Maryland (ver Figura 1.4.1). 10 Figura 1.4.1. Mecanismo propuesto por el Dr. Lung-Weng Tsai y fabricado en la Universidad de Maryland El diagrama de construcción se muestra en la Figura 1.4.2 (a). En la Figura 1.4.2 (b) se muestra el diagrama de construcción del mecanismo paralelo propuesto. Como se puede observar el mecanismo propuesto tiene una construcción más simple que el propuesto por el Dr. Lung-Weng Tsai. Ya que en la barra de transición de cada cadena cinemática cerrada se encuentra una junta de revolución. (a) (b) Figura 1.4.2 (a) Diagrama de construcción propuesto por el Dr. Lung-Wen Tsai (b) Diagrama de construcción del mecanismo CICABOT I Una vez definida la arquitectura es necesario definir las dimensionesde los eslabones, la base fija y la plataforma móvil, así como las posiciones de estos. 11 Para evitar singularidades en el espacio de trabajo del mecanismo es necesario que las dimensiones de la base fija y la plataforma móvil sean de las mismas dimensiones. Para mantener un factor de amplificación del error de posicionamiento en el espacio de trabajo Gosselin propone obtener el valor del número de condición en todo el espacio de trabajo, mediante la expresión (1.4.1). El mantener un número de condición homogéneo en todo el espacio de trabajo es importante ya que de este número nos da una idea de la la relación del error de posición en los actuadores y la plataforma móvil [21]. Aunque no es el objetivo de este capítulo presentar un análisis cinemático del mecanismo, es necesario mencionar el Jacobiano del mecanismo (ver Capitulo 3). Ya que el número de condición es función de este. 1−= JJλ (1.4.1) donde: J es el Jacobiano del mecanismo. Stamper [10] en su trabajo doctoral hace un estudio cinemático completo de este mecanismo. Recomendando tener los eslabones a ubicados un ángulo φ igual a 120º (ver Figura 1.4.2 b), para obtener un número de condición homogéneo en todo el espacio de trabajo. Sumando las longitudes de los eslabones a y b se obtiene una longitud que denominaremos L. La proporción que recomienda Stamper a partir del estudio del número de condición de los eslabones a y b en función de L estada dada por la expresión (1.4.2) y (1.4.3.) La 44.= (1.4.2) Lb 56.= (1.4.3) Las longitudes propuestas de los eslabones a y b son de 44 y 56 centímetros respectivamente. El dimensionado de la base fija esta en función del diámetro que pasa por los tres puntos donde se encuentran anclados los eslabones a. Mientras que para la base móvil se considera el diámetro que pasa por los tres puntos en los que se conectan los eslabones b y la plataforma móvil (ver Figura 1.4.2). Para ambos diámetros se propone un radio r igual a 45 cm. Con lo anterior el modelo propuesto de la máquina-herramienta con estructura paralela es el que se muestra en la Figura 1.4.3. 12 Figura 1.4.3 Mecanismo propuesto para realizar tareas de fresado (CICABOT) Las fresadoras convencionales tienen alrededor de 13.78m3 de espacio de trabajo. El mecanismo propuesto tiene un espacio de trabajo de aproximadamente .85m3 (los detalles del calculo del espacio de trabajo se presentan en siguiente capítulo). A pesar de que la diferencia es significativa entre los espacios de trabajo, la máquina-herramienta propuesta puede tener diversas aplicaciones para maquinados de mediano y pequeño espacio de trabajo. 1.7 CONCLUSIONES Basándonos en reportes del comportamiento térmico, número de grados de libertad, resultado dinámico se eligió un mecanismo paralelo con estructura semejante a la propuesta por el Dr. Lung-Weng Tsai. A partir del número de condición estudiado en este mecanismo por Stamper [10] se definió la posición y las longitudes de los eslabones, así como las dimensiones de la base móvil y fija. 13 Capitulo 2 Análisis Cinemático Inverso Para realizar un análisis cinemático de una máquina o mecanismo existen de manera general cuatro métodos. - El método algebraico. - El método de lazo vectorial. - El método de Denavit-Hartenberg. - El método de desplazamientos sucesivos de tornillo. El método de lazo vectorial es muy similar al método algebraico, la diferencia radica en las ventajas que ofrece el método de lazo vectorial en la síntesis de mecanismos. El método de Denavit-Hartenber, es uno de los métodos usados frecuentemente para el análisis de robots seriales. Sin embargo el uso de este método en mecanismos paralelos resulta complicado, son pocos los trabajos que hacen uso de este método para el análisis de posición de mecanismos paralelos [13]. El método de lazo vectorial y de desplazamiento de tornillo son los dos métodos más frecuentes en análisis cinemático de mecanismos. La primera sección de este capítulo desarrolla el análisis cinemático de la máquina- herramienta propuesta, mediante el método de lazo vectorial cerrado. La segunda sección explica la metodología ocupada para la obtención de los límites del espacio de trabajo, así como el valor de este. 2.1 ANÁLISIS DE POSICIÓN INVERSO Para iniciar el análisis de posición inverso es necesario considerar tres ejes coordenados (Ver Figura 2.1.1). El primero de ellos se encuentra en el centro (en el punto O) de la base fija del mecanismo, el cual llamaremos como sistema coordenado de la base fija (vectores unitarios x , y , ) . Para cada cadena cinemática cerrada existe un sistema coordenado local, el cual es de mucha ayuda para el análisis (vectores unitarios , , ). Finalmente se considera un eje coordenado en el centro de la plataforma móvil del mecanismo (en el punto P, con vectores unitarios u , , ). z ix iy iz v z 14 (a) (b) Figura 2.1.1 (a) Ejes coordenados usados en el análisis cinemático (b) Ejes coordenados usados en el análisis cinemático y puntos de referencia para el desarrollo del análisis cinemático. Como se puede observar tenemos un total de 5 ejes coordenados. La relación entre el sistema coordenado de la base fija y cada uno de los sistemas coordenados de una de las cadenas cinemáticas esta dada por la ecuación 2.1.1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −= ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 100 0)cos()sin( 0)sin()cos( r p p p p p p z y x ii ii wi vi ui φφ φφ (2.1.1) La figura 2.1.1 (b) se obtiene la expresión 2.1.2 de lazo cerrado para cada cadena cinemática. iiiiii BCPCOPBAOA ++=+ (2.1.2) A partir de esta ecuación se obtienen las expresiones 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5. ( ) ( ) ( )iiiui rap 231 cossincos θθθ +−= (2.1.3) ( )ivi bp 3cos θ= (2.1.4) ( ) ( ) ( )iiiui bap 231 sinsinsin θθθ += (2.1.5) De la ecuación 2.1.4 es sencillo obtener el valor de i3θ para cada cadena cinemática para una posición dada de la plataforma móvil. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛±= b pvi i arccos3θ (2.1.6) 15 Para poder resolver el sistema de ecuaciones generado por las ecuaciones (2.1.3), (2.1.4), (2.1.5) se suman los cuadrados de las expresiones (2.1.3) y (2.1.5), aplicando el teorema de Pitágoras la variable i2θ se elimina generando la expresión (2.1.7). 2 31 222 )sin()sin(22*)( iiwiuiwiui bapapaprp θθ =−−+++ (2.1.7) Para resolver la ecuación (2.1.7) se sustituye en esta ecuación las identidades trigonométricas (2.1.8) y (2.1.9). ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 tan1 2 tan2 )sin( 1 1 1 i i i θ θ θ (2.1.8) 2 1 2 1 1 2 tan1 2 tan1 )cos( ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = i i i θ θ θ (2.1.9) De la anterior substitución se obtiene un polinomio de segundo orden (2.1.10). 0 2 tan 2 tan 0 1 1 2 1 2 =+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ i i i i i lll θθ (2.1.10) donde: ( ) ( ) arbraaprpppl apl arbraaprpppl iuiuiuiwii wii iuiuiuiwii 2sin22 4 2sin22 2 3 22222 2 1 2 3 22222 0 +−+++++= −= −−++−++= θ θ Se puede inferir fácilmente de la ecuación (2.1.10) que para obtener el valor de i1θ hay que resolver el polinomio de segundo orden. Obteniendo el valor de i1θ es posible obtener el valor de i2θ mediante las expresiones 2.1.11 y 2.1.12. )sin( )cos( )cos( 3 1 2 i iui i b acp θ θ θ −+ = 2.1.11 )sin( )cos( )sin( 3 1 2 i iwi i b acp θ θ θ −+ = 2.1.12 16 Ya que para el valor de i2θ es posible tener cuatro valores distintos de las anteriores expresiones, puesto que ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ ±= )sin( )cos( arccos 3 1 2 i iui i b acp θ θ θ y también ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ = )sin( )cos( arcsin 3 1 2 i iwi i b acp θ θ θ . Por lo anterior es preferible usar el arco tangente para la obtención de i2θ . ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ −+ = )cos( )cos( arctan 1 1 2iui iwi i acp acp θ θ θ 2.1.13 Las ecuaciones 2.1.6, 2.1.10 y 2.1.13 resuelven el problema de la cinemática inversa del mecanismo. Sin embargo cada uno de estas ecuaciones tiene dos posibles soluciones. Para entender el significado de los soluciones para cada ángulo, a continuación se muestra un ejemplo, el cual fue solucionado las dichas ecuaciones mediante un programa elaborado en Matlab 7 (ver Anexo A) y verificando estos resultados en un software CAD, usando las dimensiones propuestas y las restricciones de las juntas cinemáticas del mecanismo. Supongamos una posición de la máquina herramienta en el punto (0,0,.8m) con respecto al sistema de ejes coordenados de la base fija. Los ángulos obtenidos mediante Matlab para dicha posición son: 90 982.121 615.47 )1( 31 )1( 21 )1( 11 = = = θ θ θ 90 982.121 615.47 )1( 32 )1( 22 )1( 12 = = = θ θ θ 90 982.121 615.47 )1( 33 )1( 23 )1( 13 = = = θ θ θ 90 0180.58 384.132 )2( 31 )2( 21 )2( 11 −= = = θ θ θ 90 0180.58 384.132 )2( 32 )2( 22 )2( 12 −= = = θ θ θ 90 0180.58 384.132 )2( 33 )2( 22 )2( 13 −= = = θ θ θ 17 Figura 2.1.1 Solución A para punto (0,0,.8m) Figura 2.1.2 Solución B para (0,0,.8m) 18 Como se puede observar en la Figura 2.1.1 las soluciones para , , , , , , , , son validas para la solución A. Mientras que para la Figura 2.1.2 las soluciones , , , , , son validas para la solución B, sin embargo las soluciones , , no son validas ni para solución A ni para la solución B. Por lo que se concluye que solo los valores positivos obtenidos de )1( 11θ )1( 21θ )1( 31θ )1( 12θ )1( 22θ )1( 32θ )1( 13θ )1( 23θ )1( 33θ )2( 11θ )2( 21θ )2( 12θ )2( 22θ )2( 13θ )2( 23θ )2( 31θ )2( 32θ )2( 33θ i3θ son válidos para el análisis cinemático inverso de la máquina-herramienta propuesta. Ya para una misma posición existe dos posibles soluciones, las soluciones de nuestro interés son todas aquellas donde: º9011 <θ º9012 <θ º9013 <θ 2.2 OBTENCIÓN DE LA ENVOLVENTE DEL ESPACIO DE TRABAJO DE LA MÁQUINA- HERRAMIENTA PROPUESTA. Para la obtención del espacio de trabajo existen varios métodos propuestos. De manera general se pueden resumir en tres formas: - Método geométrico [14]. - Obtención del espacio de trabajo mediante el uso del Jacobiano [15]. - Método de Monte Carlo [10]. Puesto que en el análisis de posiciones se concluyo las soluciones de nuestro interés y una vez realizado el análisis cinemático es conveniente obtener la frontera del espacio de trabajo de la máquina-herramienta propuesta mediante el método de Monte Carlo. La metodología de Monte Carlo aplicada a la obtención del espacio se resumen en los siguientes pasos: 1. Se define un hemisferio con un radio igual al total de la longitud del manipulador (a + b), el cual limita el posible espacio de trabajo de la máquina-herramienta (ver Figura 2.1.3). 2. Se selecciona el mayor número posible dentro del hemisferio. 3. Los puntos aleatorios dentro del hemisferio pertenecen al espacio de trabajo del manipulador si las ecuaciones de la cinemática inversa tienen soluciones reales. 4. Se contabiliza el número de puntos que pertenecen al espacio de trabajo del manipulador. 5. Se calcula el espacio de trabajo mediante la siguiente expresión. ( ) hemisferio dentro n n baW 3 23+≈ π (2.2.1) 19 donde: =dentron Puntos pertenecientes al espacio de trabajo del manipulador. =afueran Puntos pertenecientes al hemisferio trazado. Figura 2.1.3 Hemisfero que limita el posible espacio de trabajo de la máquina-herramienta Nuevamente se elaboro un programa en Matlab 7 para la graficación del espacio de la envolvente del espacio de trabajo. La Figura 2.1.4 muestra la envolvente del mecanismo la máquina-herramienta propuesta (escala en metros). Figura 2.1.4 Envolvente del espacio de trabajo obtenida para la máquina-herramienta propuesta El valor total obtenido del espacio de trabajo es de 1.2707 m3. Sin embargo no todos los puntos contenidos en esta envolvente son válidos para las ecuaciones de la cinemática inversa de la máquina-herramienta propuesta. Para planos (x,y) ubicados a un valor de z menores .12 metros, existen zonas, dentro de esta 20 envolvente en donde no existe solución para las ecuaciones de la cinemática inversa. La Figura 2.1.5 muestra con puntos azules planos (x,y) ubicados a valores menores .12 metros en z, los cuales tienen soluciones a las ecuaciones de la cinemática inversa. Las regiones en blancas son áreas en las que no hay solución a estas ecuaciones. Esto significa que en estas zonas no es posible mecanizar piezas. Por lo que se propone trabajar en planos (x,y) ubicados a una altura igual o mayor a .12 metros. (a) (b) (c) Figura 2.1.5 (a) Puntos validos para planos (x,y) para z=0m (b) Puntos validos para planos (x,y) para z=.1m (c) Puntos validos para planos (x,y) para z=.11 Una vez obtenido el espacio de trabajo y las fronteras de este en cualquier plano (x,y) dentro de este, es posible evaluar en distintos planos el valor de las seis rigideces del de la máquina-herramienta propuesta. 2.2.1 Conclusiones Una vez definido el mecanismo paralelo, en esta capitulo se realizo un análisis cinemático de posiciones inverso del CICABOT. El análisis del mecanismo paralelo fue programado en Matlab 7 y verificado en un programa CAD, obteniendo resultados idénticos en ambos softwares. Una vez obtenidas las ecuaciones para el análisis de posición inverso se realizo un cálculo estimado del volumen del espacio de trabajo, encontrando que en alturas de .11m 21 existen regiones en las que las ecuaciones de la cinemática inversa no tienen una solución real. Es decir son regiones, en las que la base móvil no puede posarse. Estos resultados no han sido reportados en trabajos, previos y son importantes para definir el espacio de trabajo. Es recomendable realizar tareas de fresado en una altura mayor a los .11m para evitar alturas en las que exista regiones inalcanzables para el mecanismo propuesto. 22 Capitulo 3 Análisis de deformaciones del mecanismo paralelo CICABOT Durante las operaciones de maquinados, la precisión de una maquina-herramienta, se ve afectada por: • La rigidez • La repetibilidad del sistema de transmisión. • Propiedades térmicas de sus componentes mecánicos. • Exactitud en la fabricación de los elementos de la máquina [23]. Todos estos factores desvían a las máquinas-herramientas de la posición de mecanizado deseada. De manera general el cálculo de las deformaciones se relaciona con las rigidez mediante la ley de elasticidad de Hooke. La rigidez de un mecanismo paralelo se puede descomponer en [2]: 1. Rigidez del sistema de transmisión (rigidez del motor, flecha de transmisión, chumaceras) 2. Rigidez de los eslabones 3. Rigidez de las juntas cinemáticas pasivas 4. Rigidez de la base móvil 5. Rigidez de la base fija A continuación se describen brevemente los métodos más comunes para la evaluación de estas rigideces de un mecanismo paralelo. 3.1.1 Metodología del Análisis de las deformaciones en el sistema de transmisión de un mecanismo paralelo Gosselin [8] proponen la elaboración de mapas de rigidez para la evaluación de las deformaciones en el sistema de transmisión de un mecanismo paralelo mediante el uso de la matriz Jacobiana. Esta metodología propuesta por Gosselin hace uso del principio del trabajo virtual, relacionando los desplazamientos de la plataforma móvil mediante el Jacobiano, y con la matriz de rigidez de sistema motriz. 23 Supongamos que representa el vector de fuerzas y momentos resultantes en el actuador final y representa el vector de torques de los actuadores, y representael vector de desplazamientos virtuales asociados a los actuadores debido a una carga externa y [ ]Τ= nf,F [ Tτ nτττ ,....,, 21= ] ][ Tnqqqq δδδδ ,...,, 21= [ ]Tδψδδδ ,....,, yxx = representa el vector de los desplazamientos asociados con a la plataforma móvil debido a una carga externa. Con lo anterior el trabajo virtual realizado por las fuerzas activas se expresa como: 0=− xFqτ TT δδ (3.1.1) Además los desplazamientos virtuales, qδ y xδ , están relacionados por la matriz Jacobiana. xJq δδ = (3.1.2) donde : x 1 q JJJ −= . =IJ Matriz Jacobiana Inversa =FJ Matriz Jacobiana Directa (Ver sección 3.1.2). Sustituyendo la ecuación (3.1.2) en la ecuación (3.1.1) se obtiene: 0=− TT FJτ (3.1.3) quedando finalmente: τJF T= (3.1.4) La ecuación (3.1.4) relaciona las fuerzas en la plataforma móvil y los torques de los actuadores en la base fija y viceversa mediante matriz inversa. Por otra parte el vector de torques y el vector de deformaciones en las juntas se pueden relacionar mediante una matriz diagonal n X n =χ diag [ ]Tnkkk ,....,, 21 , como lo muestra la ecuación (3.1.5). χΔqτ = (3.1.5) Despejando de (3.1.5) se obtiene: qΔ τχΔq 1−= (3.1.6) Para obtener una expresión de rigidez del mecanismo, es necesario recordar la ley de Hooke. 24 KxF = (3.1.7) Rescribiendo la ecuación (3.1.2) como xJq Δ=Δ , y despejando xΔ se obtiene: ΔqJΔx 1−= (3.1.8) Sustituyendo (3.1.6.) en (3.1.8) se obtiene: τχJΔx 11 −−= (3.1.9) La matriz inversa de es: xΔ χτJΔx 11 −− = (3.1.8) Ya que es de nuestro interés obtener un valor de la rigidez del mecanismo se despeja de (3.1.7) K . Recordemos que F y xΔ son vectores de fuerzas y desplazamientos respectivamente por lo que K debe ser una matriz. 1FxK −= (3.1.9) Sustituyendo en (3.1.9) la expresión (3.1.8) se obtiene: JχJK T= (3.1.7) Donde χ es una matriz diagonal, [ ]nkkk ....,diag 21 en donde es el valor de rigidez que presenta el sistema de motorización de cada cadena cinemática. nk Finalmente se puede observar que para realizar el estudio de la rigidez de un mecanismo paralelo es necesario obtener la matriz Jacobiana del mecanismo. 3.1.2 Metodología del Análisis de la Rigidez para los eslabones de un mecanismo paralelo por el método de Charles M. Clinton . La metodología propuesto por Charles M. Clinton para el análisis de la rigidez de los eslabones de mecanismos paralelos se basa básicamente en el análisis estructural matricial. El método es valido solo para estructuras estáticamente determinadas y sujetas a deformaciones pequeñas, donde la deformación transversal con respecto a la deformación longitudinal es despreciable. Así también esta metodología propuesta por Clinton asume que las deformaciones de la base móvil, la base fija y las juntas cinemáticas pasivas son despreciables. El método se basa en el uso de matrices de rigideces individuales para los eslabones, las cuales son ensambladas para generar una matriz de rigidez de toda una estructura. La matriz de un elemento estructural en el espacio sujeto a cargas axiales, cortantes, y a momentos flectores (ver Figura 3.2.1) , esta dada por: 25 [ ] [ ][ ]eeTee ΛKΛK = (3.2.0) donde: e K = La matriz de rigidez de un elemento con respecto a un sistema coordenado diferente al sistema local de un elemento. eΛ = Matriz de rotación de un elemento estructural en el espacio. eK = Matriz de rigidez de un elemento estructural con respecto a un sistema local del elemento. El sistema coordenado local de un elemento se define en con el origen en el nodo i y teniendo el eje axial del elemento paralelo al eje x . Figura 3.2.1 Elemento en el espacio sometido cargas axiales, cortantes y momentos flectores. 26 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − − −−− − −− − − −−− − = L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L GI L GI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EA L EA L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L GI L GI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EA L EA zzzz yyyy pp yyy zzz zzzz yyyy pp yyy zzz e 4 000 6 0 2 000 6 0 0 4 0 6 000 2 0 6 00 0000000000 000 12 000 6 0 12 00 0000 12 0 6 000 12 0 0000000000 2 000 6 0 4 000 6 0 0 2 0 6 000 4 0 6 00 0000000000 0 6 0 12 00000 12 00 6 000 12 00000 12 0 0000000000 22 22 323 323 22 22 233 233 K (3.2.1) La (3.2.1) solo es válida si no existe un ángulo relativo entre el eje axial del elemento y los ejes coordenados de referencia zyx ,, . La matriz esta dado por: eΛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = SF SFe Λ0 0Λ Λ (3.2.2) donde: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = S S SF Λ0 0Λ Λ , αβψ s ΛΛΛΛ = donde finalmente: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − =Λ αα αα α cos0sin 010 sin0cos , , ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −=Λ 100 0cossin 0sincos ββ ββ β ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =Λ ψψ ψψψ cossin0 sincos0 001 Finalmente para obtener la matriz de rigidez total de una estructura en el espacio sometida a cargas axiales, cortantes, y a momentos flectores se obtiene ensamblando las matrices de cada uno de los elementos mediante la expresión: 27 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = kk T K..... ...... ...... ...... ...... .....K K mn (3.2.3) donde: ∑ = = Elementos mn # 1e e mn KK 3.1.3 Metodología de deformaciones de la base fija, base móvil y de las juntas cinemáticas pasivas. Los primeros trabajos que analizan el comportamiento de la rigidez de los mecanismos paralelos desprecian las deformaciones en la base fija y en las juntas cinemáticas pasivas. Yukio Takeda y compañía [17] propone una complementación al método de Gosselin, incorporando la rigidez que presentan las juntas cinemáticas esféricas de rodamientos pasivas en un mecanismo paralelo de seis grados de libertad (ver Figura 3.3.1). Como resultado de este trabajo Yukio concluye que 59% de los desplazamientos debido a fuerzas externas son por las juntas esféricas de rodamientos 31% por los eslabones y el sistema de transmisión y el 10% debido a la base móvil. Figura 3.3.1 Máquina de seis grados de libertad con juntas esféricas a bolas pasivas. De manera análoga Gürsel Alici [18] propone una complementación a la matriz Jacobiana para la evaluación de la rigidez, de un mecanismo serial. Ambas mejoras a esta evaluación consideran que los eslabones de los mecanismos son infinitamente rígidos. Pocos trabajos se han presentado para la evaluación de las deformaciones de la base fija. Estos porque la gran mayoría los mecanismos paralelos tiene anclado el sistema de 28 transmisión a tierra. Eric Rebec and Guangming Zhang [19] proponen el uso del método de elemento finito para la evaluación de las deformaciones en la base fija. Este método es evaluado en varias posturas del mecanismo paralelo en Hexápodo Ingersoll (ver Figura 3.3.2) Puesto que el mecanismo propuesto CICABOT tiene el sistema de transmisión anclado al suelo y ya que es de nuestro interés dimensionar los eslabones y la base lo más optimo posible, el presente trabajo solo se concentra en las deformaciones que presentan los eslabones. Figura 3.3.2 Máquina tipo hexápodo Ingersoll de 6 grados de libertada 3.1.4 Metodología Propuesta para el análsis de deformaciones del mecanismo paralelo CICABOT La metodología propuesta hace uso del software CAE (Computer Aided Engineering) ANSYS. La modelación realizada en este software es semejante a la propuesta por Charles Corradini y compañía [16], ya que las secciones transversales propuestas son constantes. La principal ventaja del método propuesto es que considera las deformaciones, tanto de la placa móvil así como el de los eslabones. 29 El elemento usado para modelar los seis eslabones delCICABOT, es el equivalente a una viga la cual puede estar sujeta a tensión, compresión, flexión y torsión (elementos también utilizados en el método descrito en la sección 3.2.1). De manera general mucho de los trabajos antes mencionados no evalúan las deformaciones conjuntas de los eslabones y la base móvil. Sin embargo en el presente trabajo la placa móvil es modelada en ANSYS como elemento placa, el cual puede presentar deformaciones de flexión, compresión tensión y torsión. Por otra parte las deformaciones de la base fija, no son consideradas en este trabajo, ya que se considera que para cada cadena cinemática el sistema de transmisión esta empotrado al suelo. Por otra parte las deformaciones de las juntas pasivas que componen al CICABOT se consideran de infinita rigidez, por lo que las deformaciones de estos elementos es despreciable. Previo a la creación de los modelos que representan los eslabones es necesario definir los nodos, que servirán para la creación de los elementos. La figura 3.4.1 muestra la definición de estos nodos. Figura 3.4.1 Definición de nodos para la creación del modelo en ANSYS. Una vez definidos los elementos para los eslabones y el elemento placa para la base móvil, es necesario dar las condiciones de frontera del modelo. Para ello se asume que en un instante dado el mecanismo se encuentra en equilibrio con una fuerza externa (fuerza de maquinado, (ver Figura 3.4.2) 30 Figura 3.4.2 CICABOT sujeto a una carga externa Esto seria equivalente a tener la rotación del motor totalmente restringida permitiendo solamente rotaciones en las juntas cinemáticas (ver figura 3.4.3). Figura 3.4.3 Rotaciones permitidas en el instante donde la fuerza transmitida a la placa móvil se encuentra en equilibrio con una fuerza externa Una primera estimación de las deformaciones en el CICABOT se realiza bajo las siguientes condiciones: • Material para los seis eslabones: Aluminio. • Sección circular constante, con un radio de 6.35mm. • Longitud de eslabones a y b 44 y 56 centímetros respectivamente. • Diámetro de la base fija y móvil de 90 centímetros. 31 32 • Los eslabones a ubicados con ángulo φ igual a 120º. Ya que las secciones transversales, y las propiedades mecánicas se consideran constantes, la variación de las deformaciones de los eslabones para una fuerza con dirección y valor constante, se debe únicamente a la postura en la que se encuentra el mecanismo. Es por ello necesario evaluar en diferentes posturas las deformaciones del CICABOT. Con este fin se ha escrito un modo Batch para el modelo del CICABOT en ANSYS (ver Anexo B), el cual es alimentado con los ángulos de posición de los seis eslabones para tres alturas propuestas (.15 m, .55 m y .80 m altura de la placa móvil con respecto a la palca fija). Los ángulos de posición para los seis eslabones se obtienen mediante la cinemática inversa, limitando el espacio de trabajo mediante el método descrito en la sección 2.2. Las tablas 3.4.1, 3.4.2, 3.4.3, muestran las deformaciones en los tres ejes de la primera aproximación del CICABOT para una altura de .15 m, .55 m y .8 m respectivamente. PX (m) PY (m) Θ11 (Grados) Θ21 (Grados) Θ31 (Grados) Θ12 (Grados) Θ22 (Grados) Θ32 (Grados) Θ13 (Grados) Θ23 (Grados) Θ33 (Grados) Δx (m) Δy (m) Δz (m) 0 0 -47.615 121.98 90 -47.615 121.98 90 -47.615 121.98 90 1.42E-04 -4.44E-15 1.35E-13 0.3 0 -64.891 78.328 90 42.697 162.6 117.64 42.697 162.6 62.358 2.36E-04 -2.71E-07 5.11E-05 0.6 0 -47.127 57.531 90 126.23 101.04 158.11 126.23 101.04 21.893 1.18E-04 -5.06E-10 -6.41E-05 0.25981 0.15 -61.628 84.606 74.463 -3.2572 158.28 122.39 58.372 155.39 74.463 2.56E-04 -4.14E-05 3.88E-05 0.15 0.25981 -47.303 107.4 62.358 -47.303 107.4 117.64 61.979 154.8 90 3.79E-04 -1.01E-04 3.40E-05 0.3 0.51962 -0.64387 132.09 21.893 -0.64387 132.09 158.11 104.8 150.54 90 6.46E-04 -2.81E-04 -1.21E-04 1.84E-17 3.00E-01 -3.2572 158.28 57.608 -61.628 84.606 105.54 58.372 155.39 105.54 3.13E-04 -8.17E-06 9.59E-06 -0.15 0.25981 42.697 162.6 62.358 -64.891 78.328 90 42.697 162.6 117.64 3.24E-04 5.11E-05 -2.54E-05 -0.3 0.51962 126.23 101.04 21.893 -47.127 57.531 90 126.23 101.04 158.11 6.82E-04 3.26E-04 3.12E-05 -2.60E-01 1.50E-01 58.372 155.39 74.463 -61.628 84.606 74.463 -3.2572 158.28 122.39 2.98E-04 3.93E-05 8.36E-05 -3.00E-01 3.67E-17 61.979 154.8 90 -47.303 107.4 62.358 -47.303 107.4 117.64 2.04E-04 7.29E-07 -6.87E-05 -6.00E-01 7.35E-17 104.8 150.54 90 -0.64387 132.09 21.893 -0.64387 132.09 158.11 1.59E-04 1.83E-07 2.43E-04 -0.25981 -1.50E-01 58.372 155.39 105.54 -3.2572 158.28 57.608 -61.628 84.606 105.54 2.42E-04 -3.28E-05 -4.79E-05 -0.15 -2.60E-01 42.697 162.6 117.64 42.697 162.6 62.358 -64.891 78.328 90 3.25E-04 -5.10E-05 -2.56E-05 -0.3 -0.51962 126.23 101.04 158.11 126.23 101.04 21.893 -47.127 57.531 90 1.17E-03 -1.50E-04 3.00E-04 -5.51E-17 -3.00E-01 -3.2572 158.28 122.39 58.372 155.39 74.463 -61.628 84.606 74.463 3.13E-04 8.33E-06 9.45E-06 Tabla 3.4.1 Resultados de deformación a una altura de .15 m 33 PX (m) PY (m) Θ11 (Grados) Θ21 (Grados) Θ31 (Grados) Θ12 (Grados) Θ22 (Grados) Θ32 (Grados) Θ13 (Grados) Θ23 (Grados) Θ33 (Grados) Δx (m) Δy (m) Δz (m) 0 0 47.615 121.98 90 47.615 121.98 90 47.615 121.98 90 8.15E-04 -9.57E-14 0 0.3 0 33.668 96.789 90 69.01 128.32 117.64 69.01 128.32 62.358 8.74E-04 -6.87E-07 0.3 0.25981 0.15 37.506 99.52 74.463 60.052 117.68 122.39 73.49 135.5 74.463 9.21E-04 -1.05E-04 0.25981 0.15 0.25981 47.77 107.08 62.358 47.77 107.08 117.64 74.78 137.9 90 9.86E-04 -1.31E-04 0.15 1.84E-17 3.00E-01 60.052 117.68 57.608 37.506 99.52 105.54 73.49 135.5 105.54 9.79E-04 -7.16E-05 1.84E-17 -1.50E-01 2.60E-01 69.01 128.32 62.358 33.668 96.789 90 69.01 128.32 117.64 8.93E-04 1.14E-05 -1.50E-01 -0.25981 0.15 73.49 135.5 74.463 37.506 99.52 74.463 60.052 117.68 122.39 7.98E-04 3.39E-05 -0.25981 -0.3 3.67E-17 74.78 137.9 90 47.77 107.08 62.358 47.77 107.08 117.64 7.60E-04 8.80E-07 -0.3 -0.25981 -1.50E-01 73.49 135.5 105.54 60.052 117.68 57.608 37.506 99.52 105.54 7.98E-04 -3.24E-05 -0.25981 -0.15 -0.25981 69.01 128.32 117.64 69.01 128.32 62.358 33.668 96.789 90 8.94E-04 -1.06E-05 -0.15 -5.51E-17 -0.3 60.052 117.68 122.39 73.49 135.5 74.463 37.506 99.52 74.463 9.80E-04 7.13E-05 -5.51E-17 0.15 -0.25981 47.77 107.08 117.64 74.78 137.9 90 47.77 107.08 62.358 9.87E-04 1.30E-04 0.15 0.25981 -1.50E-01 37.506 99.52 105.54 73.49 135.5 105.54 60.052 117.68 57.608 9.22E-04 1.04E-04 0.25981 0.3 -7.35E-17 33.668 96.789 90 69.01 128.32 117.64 69.01 128.32 62.358 8.74E-04 -6.87E-07 0.3 Tabla 3.4.2 Resultados de deformación a una altura de .55 m 34 35 PX (m) PY (m) Θ11 (Grados) Θ21 (Grados) Θ31 (Grados) Θ12 (Grados) Θ22 (Grados) Θ32 (Grados) Θ13 (Grados) Θ23 (Grados) Θ33 (Grados) Δx (m) Δy (m) Δz (m) 0 0 -47.615 121.98 90 -47.615 121.98 90 -47.615 121.98 90 1.42E-04 -4.44E-15 1.35E-13 0.3 0 -64.891 78.328 90 42.697 162.6 117.64 42.697 162.6 62.358 2.36E-04 -2.71E-07 5.11E-05 0.6 0 -47.127 57.531 90 126.23 101.04 158.11 126.23 101.04 21.893 1.18E-04 -5.06E-10 -6.41E-05 0.25981 0.15 -61.628 84.606 74.463 -3.2572 158.28 122.39 58.372 155.39 74.463 2.56E-04 -4.14E-05 3.88E-05 0.15 0.25981 -47.303 107.4 62.358 -47.303 107.4 117.64 61.979 154.8 90 3.79E-04 -1.01E-04 3.40E-05 0.3 0.51962 -0.64387 132.09 21.893 -0.64387 132.09 158.11 104.8 150.54 90 6.46E-04 -2.81E-04 -1.21E-04 1.84E-17 3.00E-01 -3.2572 158.28 57.608 -61.628 84.606 105.54 58.372 155.39 105.54 3.13E-04 -8.17E-06 9.59E-06 -0.15 0.25981 42.697 162.6 62.358 -64.891 78.328 90 42.697 162.6 117.64 3.24E-04 5.11E-05 -2.54E-05 -0.3 0.51962 126.23 101.04 21.893 -47.127 57.531 90 126.23 101.04 158.11 204.72 70.601 0.18251 -2.60E-01 1.50E-01 58.372 155.39 74.463 -61.628 84.606 74.463 -3.2572 158.28 122.39 2.98E-04 3.93E-05 8.36E-05 -3.00E-01 3.67E-17 61.979 154.8 90 -47.303 107.4 62.358 -47.303 107.4 117.64 2.04E-047.29E-07 -6.87E-05 -6.00E-01 7.35E-17 104.8 150.54 90 -0.64387 132.09 21.893 -0.64387 132.09 158.11 1.59E-04 1.83E-07 2.43E-04 -0.25981 -1.50E-01 58.372 155.39 105.54 -3.2572 158.28 57.608 -61.628 84.606 105.54 2.42E-04 -3.28E-05 -4.79E-05 -0.15 -2.60E-01 42.697 162.6 117.64 42.697 162.6 62.358 -64.891 78.328 90 3.25E-04 -5.10E-05 -2.56E-05 -0.3 -0.51962 126.23 101.04 158.11 126.23 101.04 21.893 -47.127 57.531 90 1.17E-03 -1.50E-04 3.00E-04 -5.51E-17 -3.00E-01 -3.2572 158.28 122.39 58.372 155.39 74.463 -61.628 84.606 74.463 3.13E-04 8.33E-06 9.45E-06 0 0 -47.615 121.98 90 -47.615 121.98 90 -47.615 121.98 90 1.42E-04 -4.44E-15 1.35E-13 0.3 0 -64.891 78.328 90 42.697 162.6 117.64 42.697 162.6 62.358 2.36E-04 -2.71E-07 5.11E-05 0.6 0 -47.127 57.531 90 126.23 101.04 158.11 126.23 101.04 21.893 1.18E-04 -5.06E-10 -6.41E-05 0.25981 0.15 -61.628 84.606 74.463 -3.2572 158.28 122.39 58.372 155.39 74.463 2.56E-04 -4.14E-05 3.88E-05 0.15 0.25981 -47.303 107.4 62.358 -47.303 107.4 117.64 61.979 154.8 90 3.79E-04 -1.01E-04 3.40E-05 0.3 0.51962 -0.64387 132.09 21.893 -0.64387 132.09 158.11 104.8 150.54 90 6.46E-04 -2.81E-04 -1.21E-04 -5.51E-17 -3.00E-01 -3.2572 158.28 122.39 58.372 155.39 74.463 -61.628 84.606 74.463 3.13E-04 8.33E-06 9.45E-06 Tabla 3.4.3 Resultados de deformación a una altura de .8 m 3.1.5 Conclusiones En este capítulo se revisaron los diferentes métodos existentes para el análisis de las deformaciones de un mecanismo paralelo. El método usado es uno de los métodos más completos ya que considera no solo las deformaciones en los eslabones, si no también considera las deformaciones que presenta la base móvil. El uso de un software CAE. Las deformaciones obtenidas en las Tablas 3.4.1, 3.4.2, 3.4.3 muestran que estas son mayores conforme la base móvil se acerca a la frontera del espacio de trabajo. Este resultado es razonable, ya todo mecanismo paralelo tiene a perder rigidez y/o ganar un grado de libertad cuando este se encuentra en las fronteras de su espacio de trabajo. 36 Capitulo 4 Análisis de resultados y recomendaciones para la construcción de los elementos del CICABOT. 4.1 RECOMENDACIONES PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL CICABOT. De los datos obtenidos en capitulo anterior se puede ver que la rigidez del mecanismo con las condiciones propuestas es de 0.01013 m N μ - 0.0847 m N μ . Sabiendo que las fuerzas de reacción al corte del material (Resultante de la fuerza de corte y la Fuerza de alimentación) para metales de alta dureza es de 1, 000 N, las deformaciones serán mayores al milímetro. Por lo que es conveniente modificar el diámetro de las secciones transversales a 25.4mm . Modificando la sección circular de : 1 m N μ - 0.8 m N μ . CICABOT requiere de 3 juntas universales y 3 juntas tipo Clevis. Para las juntas Carda se recomienda que sean de acero ya que estas presentan una buena rigidez. Para evaluar la rigidez del perno se considera que este elemento tiene solo flexión por cortante [20] (ver Figura 4.1.1). Se recomienda el uso de pernos de acero de 12.7mm (1/2”). 37 Eslabón bi Eslabón ai Perno Perno Figura 4.1.1 Diagrama de cuerpo libre para junta tipo Clevis. La máxima flexión que presenta este tipo de juntas se encuentra en el centro de perno y esta dada por la expresión (4.1.1) ( ) EI aLFAy 24 43max 22 − =Δ (4.1.1) Con lo que se puede concluir que la rigidez para este tipo de elementos esta dada por: ( )22 43 24 aLA EIK − = (4.1.2) Con las condiciones anteriores la rigidez de la junta tipo Clevis es de: m N μ 28 . Se sabe que las juntas universales tienen una buena rigidez semejante a las juntas tipo Clevis sin embargo el principal inconveniente que tienen estas es que su rigidez es variable en su posición disminuyendo su valor hasta m N μ 13 para ángulos de 30º. Es por ello que se propone una diseño de junta universal (ver Figura 4.1.2). Esta propuesta consta de un eslabón empernado y fijado en sus extremos por rodamientos. El uso de rodamientos es altamente recomendado ya que su rigidez a tracción es de m N μ 220 y de compresión m N μ 395 . 38 Figura 4.1.2 Propuesta de Junta Cardan para construcción de CICABOT Finalmente se propone el uso de una placa hexagonal para la construcción de un diámetro de 450 mm con espesor de 6.35 mm (1/4”). Basándonos en los resultados obtenidos de deformaciones, la máquina propuesta (CICABOT) tiene un potencial para ser usado como una máquina herramienta la tabla 4.2.1 resume las características evaluadas en este trabajo. Espacio de trabajo (m3) .85 Rigidez[N/μm] 1 m N μ - 0.8 m N μ 4.1.1 Sugerencia de trabajos Futuros El presente trabajo es uno de los trabajos iniciales para la construcción de una máquina-herramienta con estructura paralela. Es recomendable realizar pruebas físicas para corroborar los resultados en el software CAE. Los resultados aquí obtenidos pueden ser refinados obteniendo un valor preciso de la rigidez de las juntas cinemáticas. Este valor puede ser introducido en los elementos que conectan a los eslabones para obtener un cálculo mas preciso de las deformaciones. El siguiente paso para la construcción es la definición del sistema de transmisión y control. Las ecuaciones de la cinemática inversa obtenidas en capitulo 2 son útiles para iniciar la propuesta del sistema de control para del CICABOT. 39 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] Pierrot F. Robots Pleinement Parallèles Légers : Conception Modélisation et Commande, Thèse de doctorat, Université Montpellier II, Montpellier, 24 de Abril de 1991. [2] Olivier Company. Machines-outils rapides à structure parallèle : Méthodologie de conception, applications et nouveaux concepts, Montpellier, 05 Diciembre del 2000. [3] Jinwook Kim, Changbeom Park: Performance Analysis of Parallel Mechanism Architectures for CNC Machining Applications. Journal of Manufacturing Science and Engineering by ASME, November 22, Vol. 22. [4] Myriam Terrier, Arnaud Dugas y Jean-Yves Ascote Machines-outils `a structure parall`ele et usinage `a grande vitesse, M´ecanique & Industries 6, 431–437 (2005) [5] Jean Pierre Merlet : Parallel Robots Kluwer Academic Publishers ISBN 1-4020- 0385-4. [6] Torgny Brogardh : PKM Research - Important Issues, as seen from a Product Development Perspective at ABB Robotics. Proceedings of the WORKSHOP on Fundamental Issues and Future Research Directions for Parallel Mechanisms and Manipulators October 3–4, 2002, Quebec City, Quebec, Canada [7] Bianchi G., Fassi I., Molinari Tosatti L.:PKM Analysis and design in a virtual prototyping environment, Journal of Advanced Manufacturing Systems, Vol. 1 n°. 2, December 2002, 211 To pag: 226. [8] Gosselin, C, INRIA, Sophia-Antipolis: Stiffness mapping for parallel manipulators, Jun 1990 Volume: 6, Issue: 3, 377-382 ISSN: 1042-296X. [9] Charles M,Clinton Zhang,Guangming Zhang: Stiffness Modeling of a Stewart- platform-based Milling Machine[J].Trans.of NAMRI/SME,1997 (25):335-340. [10] R. E. Stamper: A Three Degree of Freedom Parallel Manipulator with Only Translational Degrees of Freedom Ph.D Thesis, University of Maryland, 1997. [11] Gosselin C.: Kinematic analysis optimization and programming of parallel robotic manipulators. Ph.D.Thesis, Mc Gill University, Montréal, June,15 1998. [12] Robert L. Norton Diseño de maquinaria , tercera edición editorial Mc Graw Hill, 2005 [13] Philipp Last and J¨urgen Hesselbach: An Extended Inverse Kinematic Model of the HEXA-Parallel-Robot for Calibration Purposes, Proceedings of the IEEE International Conference on Mechatronics & Automation Niagara Falls, Canada, July 2005. [14] Ilian A. Bonev and Jeha Ryu: Workspace analysis of 6-PRRS parallel manipulators based on the vertex space concept Proceedings of the 1999 ASME Design Engineering Technical Conferences, September 12-15, 1999. [15] J.A Carretero, M. Nahon and R. P. Podhoredeski,Department of Mechanical Engineering of the University of Victoria: Work Space analysis of a 3-DOF parallel Mechanism, Proccedings of the 1998 IROS Conference, Proceedings of 1998 IROS Conference October 13-17 1998, Victoria, British Colombia, Canada, pp 1021-1026. [16] Charles Corradini, Jean-Christophe Fauroux, LaRAMA IFMA, Campus universitarie de Clemente-Ferrand/Les Cézeaux, Olivier Company, LIRMM. Evaluation of a 4-Degree of Freedom Parallel Manipulator Stiffness. Proccedings of th 11th Workd Congress in Mechanism and Machine Science, August 18-21, 2003. [17] Yukio Takeda, Hiroaki Funabashi, Gang Shen, Kazuki Ichikawa and Kazuya Hirose, Stiffness Analysis of a Spatial Six-Degree-of-Freedom In-Parallel Actuated Mechanism with Rolling Spherical Bearings, Proceedings of Year 2000 Parallel Kinematic Machines International Conference, September 13-15, 2000, Ann Arbor, Mi. USA, pp.264-273. [18] Gürsel Alici and Bijan Shierzndeh Enhanced Stiffness Modeling, Identification and Characterization for Robot Manipulators. IEEE Transactions on Robotics, Vol. 21, No. 4, Agosto 2005. 40 [19] E. Rebeck and G.M. Zhang, "A Method for Evaluating the Stiffness of a Hexapod Machine Tool Support Structure," International Journal of Flexible Automation and Integrated Manufacturing, Vol. 7, pp. 149-165, 1999. [20] Erik Oberg, Franklin D. Jones, Holbrook L Horton and Henry H. Ryfel 26th Edition Machinery’s Handbook, Industrial Press Inc. New York. [21] C. Gosselin and J. Angeles A global performance index for the kinematic optimization of robotic manipulators," ASME Journal of Mechanical Design, vol. 113, pp. 222 226,1991. [22] Edward M. Trent Paul K. Wright, Metal Cutting, Fourth edition Butterworth- Heinemann Editorial. [23] Alexander H. Slocum, Precision Machine Design, Prentice Hall 41 APENDICE A Programa en Matlab 7 para el calculo de la cinemática inversa y espacio de trabajo del mecanismo paralelo CICABOT clc clear %Dimensiones mecanismo h=.45; r=.45; a=.44; b=.56; d=0; e=0; %Uso cooredenadas polares k=6; n=2^k-1; fi=[0 120*pi/180 240*pi/180]; pxe=ones((n+1)/2,(n+1)); pye=ones((n+1)/2,(n+1)); pze=ones((n+1)/2,(n+1)); %Declaración contadores in=0; puntos=0; %Barrido con paso de radio de 100 puntos for i=0:(a+b+d+e)/100:(a+b+d+e) theta = pi*(-n:2:n)/n; phi = (pi/2)*(-n:2:0)'/n; px = cos(phi)*cos(theta)*-i; py = cos(phi)*sin(theta)*-i; pz = sin(phi)*ones(size(theta))*-i; %Llenado envelop %Vector de angulos de posicion para cada cadena cinematica for col=1:1:n+1 for fil=1:1:(n+1)/2 puntos=puntos+1; x=px(fil,col); y=py(fil,col); z=pz(fil,col); cx=(cos(fi)*x)+sin(fi)*y-r; cy=-sin(fi)*x+cos(fi)*y; cz=[z z z]; %Obtencion de teta3 teta3=acos(cy/b); %Obtenion de teta1 l0=cz.^2+cx.^2+(2*h*cx)-(2*a*cx)+a^2+h^2-d^2-e^2-(b^2*sin(teta3).^2)-(2*b*e*sin(teta3))-2*b*d*sin(teta3)-(2*d*e)- (2*a*h); l1=-4*a*cz; l2=cz.^2+cx.^2+(2*h*cx)+(2*a*cx)+a^2+h^2-d^2-e^2-(b^2*sin(teta3).^2)-(2*b*e*sin(teta3))-2*b*d*sin(teta3)- (2*d*e)+(2*a*h); polinomioteta=[l2; l1; l0;]'; if (cy(1,1)/b<=1) & (cy(1,2)/b<=1) & (cy(1,3)/b<=1) & (polinomioteta(1,2)^2- 4*polinomioteta(1,1)*polinomioteta(1,3)>=0) & (polinomioteta(2,2)^2-4*polinomioteta(2,1)*polinomioteta(2,3)>=0) & (polinomioteta(3,2)^2-4*polinomioteta(3,1)*polinomioteta(3,3)>=0) pxe(fil,col)=px(fil,col); pye(fil,col)=py(fil,col); pze(fil,col)=pz(fil,col); in=in+1; end 42 end end end %Calculo de volumen de trabajo w=pi*(a+b+d+e)^3*2*in/(3*puntos) %Ploteo de espacio de trabajo hold on xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z'); %Ploteo de hemisferio plot3(px,py,pz,'r.'); %Ploteo de espacio de trabajo surface(pxe,pye,pze); axis equal 43 APENDICE B Programa en Batch para análisis de las deformaciones en el mecanismo paralelo CICABOT /UNITS,SI /PREP7 /TITLE, Maryland Manipulator ANTYPE,STATIC *AFUN,DEG /PMETH !Constantes reales ET,1,BEAM4 R,1,0.0081,5.2305e-006,5.2305e-6,.0125,.0125,0,0,5.2305e-6 MP,EX,1,70e6 MP,EY,1,70e6 MP,EZ,1,70e6 MP,GXY,1,70e6 MP,GYZ,1,70e6 MP,GXZ,1,70e6 MP,NUXY,1,.3 ET,2,SHELL181 R,2,..0635 !_______________________________________________________________________________________________ _ !Datos de posicion PXE=0 PYE=0 PZE=.55 teta11=22.152 teta21=136.7 teta31=90 teta12=22.152 teta22=136.7 teta32=90 teta13=22.152 teta23=136.7 teta33=90 !_______________________________________________________________________________________________ __ TYPE,1 REAL,1 !Modelacion base fija N,1,.45,0,0 LOCAL,11,0,0,0,0,120,0,0 N,4,.45,0,0 LOCAL,11,0,0,0,0,240,0,0 N,7,.45,0,0 !_______________________________________________________________________________________________ __ !Puntos base movil LOCAL,11,0,PXE,PYE,PZE,,0,0 ! Nodo para eslabon B1 N,3,.45,0,0 LOCAL,11,0,PXE,PYE,PZE,120,0,0 ! Nodo para eslabon B2 N,6,.45,0,0 44 LOCAL,11,0,PXE,PYE,PZE,240,0,0 ! Nodo para eslabon B3 N,9,.45,0,0 !_______________________________________________________________________________________________ __ !Modelacion de eslabones !Eslabon A1 LOCAL,11,0,.45,0,0,0,0,0 N,2,COS(teta11)*.44,COS(teta31)*.44,SIN(teta11)*.44 E,1,2 !Eslabon B1 E,2,3 !Eslabon A2 LOCAL,11,0,0,0,0,120,0,0 CLOCAL,11,0,.45,0,0,0,0,0 N,5,COS(teta12)*.44,COS(teta32)*.44,SIN(teta12)*.44 E,4,5 !ESLABON B2 E,5,6 !Eslabon A3 LOCAL,11,0,0,0,0,240,0,0 CLOCAL,11,0,.45,0,0,0,0,0 N,8,COS(teta13)*.44,COS(teta33)*.44,SIN(teta13)*.44 E,7,8 !Eslabon B3 E,8,9 !_______________________________________________________________________________________________ __ TYPE,2 REAL,2 !Modelacion base Movil LOCAL,11,0,PXE,PYE,PZE,,0,0 K,3,.45,0,0 LOCAL,11,0,PXE,PYE,PZE,120,0,0 K,7,.45,0,0 LOCAL,11,0,PXE,PYE,PZE,240,0,0 K,11,.45,0,0 A,3,7,11 MSHAPE,1,2D AMESH,1 !_______________________________________________________________________________________________ __ !Union de base con eslabones CPINTF,ALL,1E-3 !_________________________________ ! Aplicacion de restricciones NMODIF,1,,,,0,teta31-90,180-teta11 D,1,UX,0 D,1,UY,0 D,1,UZ,0 D,1,ROTY,0 D,1,ROTZ,0 !_________________________________ NMODIF,4,,,,120,teta32-90,180-teta12 D,4,UX,0 D,4,UY,0 D,4,UZ,0 D,4,ROTY,0 D,4,ROTZ,0 45 !_________________________________ NMODIF,7,,,,240,teta33-90,180-teta13 D,7,UX,0 D,7,UY,0 D,7,UZ,0 D,7,ROTY,0 D,7,ROTZ,0 !_______________________________________________________________________________________________ __ !Fuerzo unitaria /SOLU F,19,FX,10 SOLVE FINISH 46 APENDICE C Dibujos de detalle para los componentes de construcción del CICABOT 47 48 49 Capitulo 1 Definición de la máquina-herramienta de construcción paralela 1.1 Introducción 1.2 Objetivo 1.3 Justificación 1.4 Estado del arte de los mecanismos paralelos. 1.5 Características de una maquina-herramienta con estructura paralela. 1.6 Máquina-herramienta propuesta 1.7 Conclusiones Capitulo 2 Análisis Cinemático Inverso 2.1 Análisis de posición inverso 2.2 Obtención de la envolvente del espacio de trabajo de la máquina-herramienta propuesta. 2.2.1 Conclusiones Capitulo 3 Análisis de deformaciones del mecanismo paralelo CICABOT 3.1.1 Metodología del Análisis de las deformaciones en el sistema de transmisión de un mecanismo paralelo 3.1.2 Metodología del Análisis de la Rigidez para los eslabones de un mecanismo paralelo por el método de Charles M. Clinton . 3.1.3 Metodología de deformaciones de la base fija, base móvil y de las juntas cinemáticas pasivas. 3.1.4 Metodología Propuesta para el análsis de deformaciones del mecanismo paralelo CICABOT 3.1.5 Conclusiones
Compartir