Logo Studenta

Analisis-de-las-deformaciones-en-Mecanismo-Paralelo

Vista previa del material en texto

Instituto Politécnico Nacional 
 
 
CENTRO DE INVESTIGACIÓN EN CIENCIA 
APLICADA Y TECNOLOGÍA AVANZADA 
UNIDAD QUERÉTARO 
 
POSGRADO EN TECNOLOGÍA AVANZADA 
 
ANÁLISIS DE LAS 
DEFORMACIONES EN UN 
MECANISMO PARALELO USADO 
PARA TAREAS DE FRESADO 
 
 
T E S I S 
 
 
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE 
MAESTRO EN TECNOLOGÍA AVANZADA 
 
 
 
P R E S E N T A 
 
 
HUGO NAVA PALOMARES 
 
 
DIRECTOR DE TESIS: M en C. Maximiano Fco. Ruiz Torres 
 1
 2 
 
 3
Agradecimientos 
 
 
 
 
Agradezco infinitamente a todo la gente que conforma al C.I.C.A.T.A por darme la 
oportunidad de mejorar en mi vida profesional, y su apoyo para la realización de mis 
estudios de posgrado en este centro. Agradezco en forma especial al M en C Maximiano 
Fco. Ruiz Torres, por compartir sus conocimientos y experiencias para la realización de 
este trabajo. Al Dr. Adrian García, M en C. Reydezel Torres, Dr. Eduardo Morales, Dr. 
Eduardo Castillo por el apoyo que me brindaron durante mi estadía como estudiante de 
este Centro. 
 
A mi esposa por su incondicional apoyo y cariño que me ha dado estos años que 
llevamos juntos…. 
 
A mis padres, gracias por su esfuerzo en educarme y por estar conmigo en las buenas y 
en las malas…. 
 
A mi hermano, por las bellas lecciones de vida que he tenido a su lado, no importa 
cuando llegues, si no como lo haces…. 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
 
Resumen 
 
 
El presente trabajo realiza un análisis de las deformaciones de un mecanismo paralelo, 
mediante un análisis cine-estático destinado a realizar operaciones de maquinado. Los 
resultados obtenidos aquí es parte inicial para la fabricación de una máquina-herramienta 
con estructura paralela. 
 
En el primer capítulo se presenta una breve historia de los mecanismos paralelos, así 
como los criterios empleados para la selección de un mecanismo paralelo idóneo para 
tareas de fresado. 
 
A partir del segundo capítulo se inicia el análisis cine-estático del mecanismo propuesto. 
En esté capítulo se presentan los resultados del análisis de posiciones inverso, el valor 
del volumen de trabajo y sus fronteras. El estudio de la frontera del espacio de trabajo 
ayuda a limitar el análisis de las deformaciones que se desarrollan en el tercer capítulo. 
 
Los resultados de posición inversa fueron obtenidos mediante la elaboración de un 
programa en Matlab 7 y verificados mediante un software CAD. Para la obtención de la 
envolvente del espacio de trabajo y una aproximación de su valor se uso como base el 
programa desarrollado en Matlab 7 para el cálculo de la cinemática inversa. 
 
Una vez definido el espacio de trabajo en el tercer capítulo se presentan las metodologías 
existentes para el análisis de las deformaciones en los componentes de los mecanismos 
paralelos. Es en este capítulo es en donde se desarrolla el mapeo de las deformaciones. 
 
Finalmente en el último capítulo se proponen los componentes del mecanismo, las 
secciones transversales de sus eslabones, así como los materiales de todos los 
componentes para su construcción que garanticen una deformación menor a 1 milímetro. 
Es en este capítulo en donde se exponen las conclusiones finales y recomendaciones 
para el desarrollo del prototipo de la máquina-herramienta nombrada CICABOT I. 
 
 
 
 5
Abstract 
In this dissertation the strains of a parallel mechanism for milling task are analyze through 
kine-static analysis. The results gotten in this dissertation are the first steps for the 
manufacture of a milling machine with parallel structure. 
 
A brief history of parallel mechanisms is presented in the first chapter; in addition in this 
chapter the criteria used to select the suitable parallel mechanism for milling machine 
tasks are presented. 
 
In the second chapter begins the kine-static analysis. The results of: inverse kinematics 
analysis, the workspace value and its boundaries. The workspace boundary, helps to 
restrict the strain analysis developed in the third chapter. 
 
The inverse kinematics análisis results were gotten through a Matlab 7 program and 
validated with CAD software. The workspace boundaries and the workspace value 
estimation have been done once again through a Matlab 7 program. 
 
Once the workspace is already defined, the existing methodologies for the strain 
deformation on the parallel mechanism components are described in the third chapter. 
 
Finally in the last chapter, the components of the parallel mechanisms, the transverse 
sections of the links, and the materials of the components for their manufacture which 
guarantee a strain less than 1 millimeter, are proposed. 
 6 
 
Índice General 
 
Capitulo 1 
Definición de la máquina-herramienta de construcción paralela ..........................................2 
1.1 Introducción ..........................................................................................................2 
1.2 Objetivo.................................................................................................................2 
1.3 Justificación ..........................................................................................................3 
1.4 Estado del arte de los mecanismos paralelos. .....................................................3 
1.5 Características de una maquina-herramienta con estructura paralela. ................7 
1.6 Máquina-herramienta propuesta...........................................................................9 
1.7 Conclusiones ......................................................................................................13 
Capitulo 2 
Análisis Cinemático Inverso................................................................................................14 
2.1 Análisis de posición inverso................................................................................14 
2.2 Obtención de la envolvente del espacio de trabajo de la máquina-herramienta 
propuesta. .......................................................................................................................19 
2.2.1 Conclusiones...................................................................................................21 
Capitulo 3 
Análisis de deformaciones del mecanismo paralelo CICABOT ..........................................23 
3.1.1 Metodología del Análisis de las deformaciones en el sistema de transmisión 
de un mecanismo paralelo ..........................................................................................23 
3.1.2 Metodología del Análisis de la Rigidez para los eslabones de un mecanismo 
paralelo por el método de Charles M. Clinton . ...........................................................25 
3.1.3 Metodología de deformaciones de la base fija, base móvil y de las juntas 
cinemáticas pasivas. ...................................................................................................28 
3.1.4 Metodología Propuesta para el análsis de deformaciones del mecanismo 
paralelo CICABOT.......................................................................................................29 
3.1.5 Conclusiones...................................................................................................36 
Capitulo 4 
Análisis de resultados y recomendaciones para la construcción de los elementos del 
CICABOT............................................................................................................................37 
4.1 Recomendaciones para la construcción del cicabot. ..........................................37 
4.1.1 Sugerencia de trabajos Futuros ......................................................................39 
 
 7
APENDICE A 
Programa en Matlab 7 para el calculo de la cinemática inversa y espacio de trabajo del 
mecanismo paralelo CICABOT...........................................................................................42 
APENDICE B 
Programa en Batch para análisis de las deformaciones en el mecanismoparalelo 
CICABOT............................................................................................................................44 
APENDICE C 
Dibujos de detalle para los componentes de construcción del CICABOT..........................47 
 
 8 
 
Índice de Figuras y Tablas 
 
Figura 1.2.1. Juego mecánico ideado por E. Gwinett basado en un mecanismo paralelo de 
juntas esféricas .................................................................................................................3 
Figura 1.2.2. Mecanismo patentado por Willard Pollard en 1942 con número de patetnte 
de la Oficina de Comercio y patentes de estados unidos 2,286,571. ...............................4 
Figura 1.2.3 primer mecanismo construido por Dr Eric Gough para realizar pruebas 
dinámicas en neumáticos..................................................................................................4 
Figura 1.2.4. Plataforma móvil para simuladores de vuelo, publicada en 1965 por Stewart 
en un evento de Ingenieros Británicos de la Gran Bretaña ..............................................5 
Figura 1.2.5. (a) Gráfico de Construcción de la plataforma Gough. (b) Gráfico de 
construcción de la plataforma Stewart ..............................................................................5 
Figura 1.2.6. Simulador de vuelo típico basado en el prototipo del Dr. Gough ....................6 
Figura 1.2.7. Varíax máquina-herramienta paralela construida por Giddings & Lewis 
Machina Tools...................................................................................................................6 
Figura 1.4.1. Mecanismo propuesto por el Dr. Lung-Weng Tsai y fabricado en la 
Universidad de Maryland ................................................................................................11 
Figura 1.4.2 (a) Diagrama de construcción propuesto por el Dr. Lung-Wen Tsai (b) 
Diagrama de construcción del mecanismo CICABOT I ..................................................11 
Figura 1.4.3 Mecanismo propuesto para realizar tareas de fresado (CICABOT)...............13 
Figura 2.1.1 (a) Ejes coordenados usados en el análisis cinemático (b) Ejes coordenados 
usados en el análisis cinemático y puntos de referencia para el desarrollo del análisis 
cinemático. ......................................................................................................................15 
Figura 2.1.1 Solución A para punto (0,0,.8m).....................................................................18 
Figura 2.1.2 Solución B para (0,0,.8m)...............................................................................18 
Figura 2.1.3 Hemisfero que limita el posible espacio de trabajo de la máquina-herramienta
........................................................................................................................................20 
Figura 2.1.4 Envolvente del espacio de trabajo obtenida para la máquina-herramienta 
propuesta ........................................................................................................................20 
Figura 2.1.5 (a) Puntos validos para planos (x,y) para z=0m (b) Puntos validos para planos 
(x,y) para z=.1m (c) Puntos validos para planos (x,y) para z=.11...................................21 
Figura 3.2.1 Elemento en el espacio sometido cargas axiales, cortantes y momentos 
flectores...........................................................................................................................26 
Figura 3.3.1 Máquina de seis grados de libertad con juntas esféricas a bolas pasivas. ....28 
 9
Figura 3.3.2 Máquina tipo hexápodo Ingersoll de 6 grados de libertada............................29 
Figura 3.4.1 Definición de nodos para la creación del modelo en ANSYS.........................30 
Figura 3.4.2 CICABOT sujeto a una carga externa ............................................................31 
Figura 3.4.3 Rotaciones permitidas en el instante donde la fuerza transmitida a la placa 
móvil se encuentra en equilibrio con una fuerza externa................................................31 
Figura 4.1.2 Propuesta de Junta Cardan para construcción de CICABOT ........................39 
Tabla 1.4.1. Mecanismos paralelos evaluados para prototipo de máquina-herramienta. ..10 
Tabla 3.4.1 Resultados de deformación a una altura de 15 cm .........................................33 
Tabla 3.4.2 Resultados de deformación a una altura de 55 cm .........................................34 
Tabla 3.4.3 Resultados de deformación a una altura de 80 cm .........................................35 
 
 2 
Capitulo 1 
 
Definición de la máquina-
herramienta de construcción 
paralela 
 
1.1 INTRODUCCIÓN 
 
La evolución de las máquinas-herramientas tuvo una gran evolución de los años 70 a los 
90. En estos años se crearon máquinas más precisas y con mayor autonomía. Sin 
embargo después de la década de los noventas, la evolución de estas máquinas ha sido 
lenta y poco significativa. Actualmente la exigencia del mercado metal-mecánico se 
concentra en el aumento de la productividad, cumpliendo tolerancias dimensionales y de 
forma más cerradas que en tiempos pasados. Algunas de las alternativas que se han 
estudiado para cumplir estos objetivos han sido el aumento de la velocidad de corte de las 
máquinas-herramientas y el aumento de la velocidad desplazamiento de la herramienta. 
Una alternativa interesante para tales propósitos es el uso de máquinas-herramienta con 
estructura paralela. 
 
En este capítulo se definirá la arquitectura de la máquina herramienta, iniciando con un 
breve recorrido en la historia de los mecanismos también conocidos como robots o 
manipuladores paralelos. 
 
La segunda sección de este capítulo se analizan las características que se deben tener en 
mente en el diseño de una máquina-herramienta. 
 
1.2 OBJETIVO 
 
El objetivo del presente trabajo se centra en el análisis de las deformaciones de un 
mecanismo paralelo destinado a realizar operaciones de maquinado, mediante un análisis 
cine-estático. Con los resultados obtenidos de este análisis se optimizan las dimensiones 
de los elementos de construcción de la máquina-herramienta paralela para realizar tareas 
de fresado. 
 
 2
 
1.3 JUSTIFICACIÓN 
 
En los últimos años los mecanismos paralelos han despertado la curiosidad de muchos 
investigadores de todo el mundo. Se ha demostrado que estos mecanismos presentan un 
buen comportamiento dinámico (altas aceleraciones) puesto que las cargas en estos 
mecanismos se distribuyen en sus n cadenas cinemáticas. 
 
En la parte final del capitulo se definen las dimensiones de los elementos de la máquina-
herramienta, así como las posiciones de sus eslabones. 
 
1.4 ESTADO DEL ARTE DE LOS MECANISMOS PARALELOS. 
 
Históricamente el primer mecanismo paralelo fue diseñado por James E. Gwinett. El 
mecanismo paralelo basado en juntas esféricas tenía una base móvil, el cual fue ideado 
como un juego mecánico en 1928. Este concepto fue patentado por su creador en la 
oficina de comercio y patentes de Estados Unidos con el número 1,789,680 en 1931 (ver 
Figura 1.2.1). A pesar de haber sido protegido el mecanismo nunca se construyo. 
 
 
 
Figura 1.2.1. Juego mecánico ideado por E. Gwinett basado en un mecanismo paralelo de juntas esféricas 
 
Willard Pollard Junior fue la segunda persona en presentar una patente ante la misma 
oficina, de un mecanismo paralelo. Al igual que su antecesor, este mecanismo corrió la 
misma suerte, nunca fue construido. El mecanismo fue ideado para realizar tareas de 
pintado en general (ver Figura 1.2.2). 
 
 3 
 
 
Figura 1.2.2. Mecanismo patentado por Willard Pollard en 1942 con número de patetnte de la Oficina de Comercio y 
patentes de estados unidos 2,286,571. 
 
En 1947 el Dr. Eric Gough construye el primer mecanismo paralelo, de seis grados de 
libertad, ideado para realizar pruebas dinámicas de neumáticos en Dunlop Rubber Co., 
Birmingham,Inglaterra. Este constaba de una base móvil octaédrica, seis patas de 
longitud variable, las cuales en uno de sus extremos se encuentran ancladas a tierra 
mediante juntas universales o esféricas mientras que en el otro se conectaban a la base 
móvil con juntas esféricas como lo muestra la figura 1.2.3. 
 
 
 
Figura 1.2.3 primer mecanismo construido por Dr Eric Gough para realizar pruebas dinámicas en neumáticos 
 
 
En 1965 Stewart publica en un evento del Instituto de Ingenieros Mecánicos de la Gran 
Bretaña un reporte técnico, el cual describe una plataforma móvil con seis grados de 
libertad para simuladores de vuelo (ver Figura 1.2.4). A pesar de que esta plataforma es 
distinta a la propuesta por el Dr. Gough, esta publicación levanto gran controversia pues 
tienen una cierta semejanza. 
 
 4
 
 
 
 
Figura 1.2.4. Plataforma móvil para simuladores de vuelo, publicada en 1965 por Stewart en un evento de Ingenieros 
Británicos de la Gran Bretaña 
 
Para poder apreciar de manera clara las diferencias de las propuestas de Stewart y el Dr. 
Gough haremos uso de los gráfico de construcción para robots paralelos propuestos por 
Françoise Pierrot [1]. Como se puede apreciar en la Figura 1.1.5a la plataforma Gough 
consta de seis cadenas cinemáticas cerradas semejantes conectadas en uno de sus 
extremos a una base fija y por otro a una base móvil. Cada una de estas cadenas 
cinemáticas consta de un actuador prismático, el cual esta conectado en uno de sus 
extremos a la base fija mediante una junta universal o esférica y por el otro extremo se 
encuentra conectado a la base móvil mediante una junta universal. 
 
La plataforma Stewart por su parte consta de tres cadenas cinemáticas (Ver Figura 1.2.5 
(b)), cada una de ellas tiene dos actuadores prismáticos. Uno de ellos está anclado a la 
base fija en uno de sus extremos mediante una junta universal, mientras que el otro 
extremo se encuentra conectado parte media del actuador mediante una junta universal. 
El segundo actuador que compone a cada una de las cadenas cinemáticas se encuentra 
anclado por uno de sus extremos a la base fija mediante una junta universal y por el otro 
extremo se conecta a la plataforma móvil mediante una junta universal. 
 
 
 
(a) (b) 
 
Figura 1.2.5. (a) Gráfico de Construcción de la plataforma Gough. (b) Gráfico de construcción de la plataforma Stewart 
 
 
Una de las desventajas que presenta la plataforma Stewart son las velocidades que 
puede alcanzar la plataforma móvil. En cada una de las cadenas cinemáticas cerradas el 
actuador anclado a la base fija y conectado a la parte media del segundo actuador 
requiere de mayor potencia, pues tiene que vencer las fuerzas de inercia del segundo 
amortiguador y de la plataforma móvil. Esta la es razón por la que en la actualidad los 
 5 
simuladores de vuelo emplean la configuración propuesta por el Dr. Gough, que 
irónicamente es mejor conocida como plataforma Stewart (ver Figura 1.2.6). 
 
 
 
Figura 1.2.6. Simulador de vuelo típico basado en el prototipo del Dr. Gough 
 
En los siguientes años, los trabajos realizados alrededor de los mecanismos paralelos 
eran casi nulos y es hasta el año de 1987 incrementa el interés sobre de ellos [2]. A partir 
de esta fecha existieron muchas propuestas de nuevas arquitecturas de mecanismos 
paralelos, las cuales han tenido diversas aplicaciones tales como dispositivos pick & place, 
equipo médico, dispositivos de posicionamiento rápido máquinas de medición de tres 
coordenadas, mesa de vibraciones entre otros. 
 
Es en el año de 1994 durante la exposición de máquina-herramientas de Chicago en 
donde Giddings & Lewis muestran por primera vez una máquina-herramienta con 
estructura paralela llamada Variax. Esta máquina-herramienta de 6 grados de libertad 
tiene una arquitectura semejante a la de la plataforma móvil propuesta por el Dr. Gough 
(ver Figura 1.2.7). 
 
 
 
Figura 1.2.7. Varíax máquina-herramienta paralela construida por Giddings & Lewis Machina Tools 
 6
 
 
Después de esta propuesta existieron muchas otras bajo el mismo concepto, las cuales 
se han clasificado como máquinas-herramienta tipo hexápodos. A continuación se listan 
algunas de estas máquinas-herramienta: 
 
• HexaM* de Toyoda. Mejora a Hexa con actuadores lineales. 
• Hexaglide* de ETHH (Zurich). 
• Triaglide* de Mikron. Está máquina solo cuenta con tres grados de libertad (solo 
tralación). 
• Quickstep de Krause & Mauser. Esta máquina es de arquitectura semejante a la 
Triaglide, y posee tres grados de libertad (solo tralación). 
• UraneSX de la sociedad Renault Automation / Comau que posee tres grados de 
traslado como la máquina Quickstep, equipada con motores lineales, esta 
destinada a realizar operaciones de taladrado, fresado y a gran velocidad. 
 
Por otra parte algunos investigadores en el área han propuesto máquina-herramientas 
híbridas es decir una máquina-herramienta en la que esta presente al menos una 
estructura paralela y una o mas en serie. Las siguientes máquinas-herramientas son un 
ejemplo bajo este concepto. 
 
• Dyna-M* de WZL. Se trata de una máquina 3 grados de libertad constituida de un 
mecanismo paralelo plano a dos grados de libertad completado por usillo que 
agrega un tercer desplazamiento. 
• Georg V* de IFW (Universidad de Hannover). 
• Tricept TR805* de NEOS Robotics cuya arquitectura es idéntica a la del robot del 
mismo nombre. 
• Eclipse de la Universidad Nacional de Seúl. Esta máquina redundante la permite 
también realizar fabricaciones de superficies complejas en 5 ejes, fabricaciones de 
caras sin desmontaje de la mesa de maquinado sobre piezas prismáticas 
• Smarcuts que asocia 2 estructuras paralelas una de ellas mueve el chock mientras 
la otra estructura paralela mueve la pieza a mecanizar. Esta máquina herramienta 
resulta en tres grados de libertad. 
 
1.5 CARACTERÍSTICAS DE UNA MAQUINA-HERRAMIENTA CON ESTRUCTURA PARALELA. 
 
La evaluación de mecanismos paralelos es una tarea difícil. A pesar de que ya hace un 
tiempo de la aparición de estos mecanismos y de la existencia de muchos estudios 
alrededor de ellos, es en años recientes en los que se proponen herramientas para el 
análisis y diseño de mecanismos paralelos. Bianchi G. [7] propone una hibridación del 
software ADAMS y Mathlab para poder hacer una evaluación rápida y de manera sencilla 
de los mecanismos paralelos. 
 
Myriam Terrier y compañía [4], proponen indicadores, tales, como la calidad de superficie 
maquinada, el tiempo de mecanizado, y la desviación de la trayectoria de la herramienta 
con respecto a la trayectoria ideal mediante el uso de codificadores (encoders). Este 
estudio concluyó que las máquinas paralelas tienen un gran potencial para realizar tareas 
de maquinado a alta velocidad ya que poseen indicadores similares o superiores a 
máquinas-herramientas convencionales. Hay que recalcar que este trabajo fue realizado 
con mecanizado de alta velocidad, el cual esta fuera del propósito del presente trabajo. 
 7 
 
Jinwook Kim y Changbeom Park [3] proponen características a considerar tales como la 
rigidez, manipularidad, y el espacio de trabajo para elegir la configuración ideal para una 
máquina- herramienta con arquitectura semejante a la de la plataforma Gough. 
 
Por su parte Gosselin C. propone una evaluación del espacio de trabajo verificando el 
factor de amplificación de los errores de posicionamiento dentro del espacio de trabajo 
[11]. 
 
De estudios como los antes descritos se ha concluido que los mecanismos paralelos 
presentan una alta rigidez, lo cual ayuda a mantener una buena calidad en las piezas 
mecanizadas. Por otra parte sus eslabones esbeltos contribuyen a una mejora en los 
tiempos de operaciones de mecanizado. 
 
Company [2] presenta conclusiones importantes sobre las características que debe 
cumplir una máquina herramienta. De acuerdo con su trabajo doctoral las característicasque se deben procurar en las maquinas-herramientas paralelas son: 
 
• Resultado Dinámico 
• Comportamiento térmico 
• Rigidez 
• Costo 
 
A continuación se describen de manera más amplia estas características 
 
 
Resultado Dinámico 
 
Es importante cuidar el resultado dinámico de una máquina-herramienta ya que de las 
velocidades que puede alcanzar depende la productividad alcanzable. Para mantener un 
buen resultado dinámico es importante tener una reducción de las masas en movimiento. 
Está práctica resulta complicada en máquina-herramientas convencionales ya que mucha 
de la rigidez de estas máquinas esta basada en los grandes volúmenes de sus diferentes 
elementos. A pesar de que algunos de estos elementos ya se fabrican en aluminio, 
alcanzando aceleraciones de 1.2 gravedades [2]. Una de las principales ventajas que 
presentan las máquinas-herramienta es su buen resultado dinámico. 
 
Comportamiento Térmico 
 
Ya que es de nuestro interés tener una calidad de mecanizado igual o superior a las 
obtenidas en las máquinas-herramienta convencionales es importante tomar en cuenta el 
comportamiento térmico de nuestra propuesta. Examinando el caso de los hexápodos la 
energía térmica que disipan los actuadores hidráulicos provoca un aumento de la 
temperatura en los eslabones. Este aumento de temperatura induce un alargamiento de 
los eslabones perjudicando el posicionamiento exacto de la herramienta. Por otra parte el 
tener a los actuadores como un conjunto en los eslabones aumenta el peso de las masas 
móviles, teniendo un efecto no deseable en el resultado dinámico de la máquina. Es por 
esto que es preferible tener los actuadores montados a la base fija. Aunado a esto se 
sabe que los actuadores hidráulicos no tienen una buena precisión en su movimiento [5]. 
 
 
 8
 
Rigidez 
 
La rigidez de la máquina como conjunto es de vital importancia ya que los esfuerzos 
presentes en sus elementos no deben provocar un desplazamiento significativo. El 
desplazamiento de la herramienta es la suma de los desplazamientos que presenta cada 
uno de sus elementos. 
 
De manera general los mecanismos paralelos están constituidos por: Una base fija, 
actuadores, eslabones cinemáticos y una plataforma móvil. 
 
La base fija como su nombre lo dice no se encuentra en movimiento la masa y la 
geometría de sus elementos generalmente no tienen influencia en la dinámica de la 
máquina, por lo que no existe problema en aumentar sus dimensiones o peso. 
 
Como se mencionó en la sección 1.2 es preferible que los actuadores de la máquina se 
encuentren instalados sobre la base fija. De esta forma no se deteriora el resultado 
dinámico de la máquina. Adoptando esta condición, al igual que la base fija no importarán 
las dimensiones o peso de los actuadores para obtener un valor aceptable de rigidez. Ya 
que los actuadores se encuentran montados sobre la base fija. 
 
Las deformaciones en la plataforma móvil no son significativas ya que generalmente se 
diseñan con una alta rigidez [9]. 
 
A pesar de que se requieren pares o eslabones cinemáticos rígidos se debe prestar 
atención a sus dimensiones y pesos para no afectar el resultado de la máquina. 
 
Por último la rigidez de los eslabones que es en la que se concentra el presente trabajo es 
la rigidez más significativa en una máquina-herramienta de estructura paralela. Las 
deformaciones más significativas en estos elementos son las provocadas por los 
esfuerzos flexionantes y de torsión, Company [2] recomienda que los actuadores sean 
lineales, puesto que los actuadores rotativos (motores eléctricos) provocan esfuerzos de 
flexión y torsionales en los eslabones. Sin embargo en el presente trabajo se propone un 
mecanismo con actuadores de revolución. Como parte de los objetivos particulares de 
este trabajo es dimensionar y seleccionar los materiales de forma adecuada, para tener 
deformaciones no mayores al milímetro en el espacio de trabajo. 
 
Costos 
 
Otra de las ventajas de las máquinas-herramientas paralelas es la sencillez de su 
construcción ya muchas de las piezas tales como los eslabones o juntas cinemáticas son 
idénticas en todas las cadenas cinemáticas, teniendo como resultado un bajo costo. 
Mientras que en la máquinas-herramienta convencionales los elementos que la componen 
para realizar los movimientos de traslación y/ rotación son distintos. 
 
1.6 MÁQUINA-HERRAMIENTA PROPUESTA 
 
Para la definición de la arquitectura del mecanismo paralelo es necesario definir la tarea a 
realizar por este. Un mecanismo paralelo para realizar tareas de fresado requiere tener al 
menos 3 movimientos de traslación y si es posible dos movimientos rotacionales. Es 
 9 
también necesario definir un volumen de trabajo e intentar que no existan interferencias 
entre los elementos que componen al mecanismo. 
Actualmente existen varios métodos de síntesis para este tipo de mecanismos, los cuales 
se listan a continuación. 
 
• Métodos analíticos en los que, a partir de una lista de puntos de paso y de una topología 
se encuentran las dimensiones del mecanismo. El inconveniente de estos métodos es que 
están limitadas por el número de puntos de paso. 
• Métodos algébricos basados en la teoría de los grupos de Heces, para los mecanismos 
de cadena cerrada mediante. 
• Métodos de optimización locales o estatocásticos (simulación, redes de neuronales, 
algoritmos genéticos o multicriterios) que contemplan la búsqueda de solución como la 
minimización de un criterio dado. 
• Métodos a base de sistemas expertos que utilizan un catálogo de mecanismos y un 
conjunto de reglas. [6] 
• Métodos mediante la utilización de un catálogo, de mecanismos y/o de trayectorias 
asociadas, a partir del cual se escoge el mecanismo correspondiente a la tarea ha 
efectuar. 
 
Sin embargo ya establecido el espacio de trabajo no es tan conveniente usar alguno de 
los primeros cuatro métodos antes mencionados. Por lo que se realizó una búsqueda en 
diversas patentes, artículos y tesis doctorales para encontrar una propuesta de 
mecanismos paralelos. Tomando en cuenta la rigidez, el resultado dinámico, el costo y el 
comportamiento térmico se tomaron en cuenta los mecanismos paralelos que se 
presentan en la Tabla 1.4.1. 
 
 
 
Nombre del 
Mecanismo 
Grados de 
Libertad 
Juntas cinemáticas 
empleadas en su 
construcción 
Interferencias dentro 
del espacio de trabajo 
Hexa 6 Esféricas u universales Si 
Maniupulador 
de Maryland 
3 Pernos (juntas de revolución) No 
Delta 3 Esféricas y universales No 
H4 4 Esféricas y universales Si 
Hexaglide 6 Esféricas y universales Si 
Triaglide 3 Esféricas y universales Si 
 
Tabla 1.4.1. Mecanismos paralelos evaluados para prototipo de máquina-herramienta. 
 
Un factor importante en la decisión de la propuesta del mecanismo paralelo para tareas 
de fresado fue la posible interferencia que puede existir dentro del espacio de trabajo 
entre sus eslabones, así como el uso de juntas esféricas, ya que este tipo de juntas tiene 
un juego mecánico que contribuye de manera significativa al error de posicionamiento de 
la plataforma móvil. 
 
Con lo anterior se decidió trabajar con una configuración semejante a la del manipulador 
de Maryland (ver Figura 1.4.1). 
 
 
 10
 
 
 
Figura 1.4.1. Mecanismo propuesto por el Dr. Lung-Weng Tsai y fabricado en la Universidad de Maryland 
 
El diagrama de construcción se muestra en la Figura 1.4.2 (a). En la Figura 1.4.2 (b) se 
muestra el diagrama de construcción del mecanismo paralelo propuesto. Como se puede 
observar el mecanismo propuesto tiene una construcción más simple que el propuesto por 
el Dr. Lung-Weng Tsai. Ya que en la barra de transición de cada cadena cinemática 
cerrada se encuentra una junta de revolución. 
 
 
 
(a) 
 
(b) 
 
Figura 1.4.2 (a) Diagrama de construcción propuesto por el Dr. Lung-Wen Tsai (b) Diagrama de construcción del 
mecanismo CICABOT I 
 
Una vez definida la arquitectura es necesario definir las dimensionesde los eslabones, la 
base fija y la plataforma móvil, así como las posiciones de estos. 
 11 
 
Para evitar singularidades en el espacio de trabajo del mecanismo es necesario que las 
dimensiones de la base fija y la plataforma móvil sean de las mismas dimensiones. 
 
Para mantener un factor de amplificación del error de posicionamiento en el espacio de 
trabajo Gosselin propone obtener el valor del número de condición en todo el espacio de 
trabajo, mediante la expresión (1.4.1). El mantener un número de condición homogéneo 
en todo el espacio de trabajo es importante ya que de este número nos da una idea de la 
la relación del error de posición en los actuadores y la plataforma móvil [21]. 
 
Aunque no es el objetivo de este capítulo presentar un análisis cinemático del mecanismo, 
es necesario mencionar el Jacobiano del mecanismo (ver Capitulo 3). Ya que el número 
de condición es función de este. 
 
1−= JJλ (1.4.1) 
 
donde: 
 
J es el Jacobiano del mecanismo. 
 
Stamper [10] en su trabajo doctoral hace un estudio cinemático completo de este 
mecanismo. Recomendando tener los eslabones a ubicados un ángulo φ igual a 120º 
(ver Figura 1.4.2 b), para obtener un número de condición homogéneo en todo el espacio 
de trabajo. Sumando las longitudes de los eslabones a y b se obtiene una longitud que 
denominaremos L. La proporción que recomienda Stamper a partir del estudio del número 
de condición de los eslabones a y b en función de L estada dada por la expresión (1.4.2) 
y (1.4.3.) 
 
La 44.= (1.4.2) 
 
Lb 56.= (1.4.3) 
 
Las longitudes propuestas de los eslabones a y b son de 44 y 56 centímetros 
respectivamente. 
 
El dimensionado de la base fija esta en función del diámetro que pasa por los tres puntos 
donde se encuentran anclados los eslabones a. Mientras que para la base móvil se 
considera el diámetro que pasa por los tres puntos en los que se conectan los eslabones 
b y la plataforma móvil (ver Figura 1.4.2). Para ambos diámetros se propone un radio 
r igual a 45 cm. 
 
Con lo anterior el modelo propuesto de la máquina-herramienta con estructura paralela es 
el que se muestra en la Figura 1.4.3. 
 
 12
 
 
 
Figura 1.4.3 Mecanismo propuesto para realizar tareas de fresado (CICABOT) 
 
Las fresadoras convencionales tienen alrededor de 13.78m3 de espacio de trabajo. El 
mecanismo propuesto tiene un espacio de trabajo de aproximadamente .85m3 (los 
detalles del calculo del espacio de trabajo se presentan en siguiente capítulo). A pesar de 
que la diferencia es significativa entre los espacios de trabajo, la máquina-herramienta 
propuesta puede tener diversas aplicaciones para maquinados de mediano y pequeño 
espacio de trabajo. 
 
1.7 CONCLUSIONES 
 
Basándonos en reportes del comportamiento térmico, número de grados de libertad, 
resultado dinámico se eligió un mecanismo paralelo con estructura semejante a la 
propuesta por el Dr. Lung-Weng Tsai. A partir del número de condición estudiado en este 
mecanismo por Stamper [10] se definió la posición y las longitudes de los eslabones, así 
como las dimensiones de la base móvil y fija. 
 13 
Capitulo 2 
 
Análisis Cinemático Inverso 
 
 
Para realizar un análisis cinemático de una máquina o mecanismo existen de manera 
general cuatro métodos. 
 
- El método algebraico. 
- El método de lazo vectorial. 
- El método de Denavit-Hartenberg. 
- El método de desplazamientos sucesivos de tornillo. 
 
El método de lazo vectorial es muy similar al método algebraico, la diferencia radica en las 
ventajas que ofrece el método de lazo vectorial en la síntesis de mecanismos. 
 
El método de Denavit-Hartenber, es uno de los métodos usados frecuentemente para el 
análisis de robots seriales. Sin embargo el uso de este método en mecanismos paralelos 
resulta complicado, son pocos los trabajos que hacen uso de este método para el análisis 
de posición de mecanismos paralelos [13]. El método de lazo vectorial y de 
desplazamiento de tornillo son los dos métodos más frecuentes en análisis cinemático de 
mecanismos. 
 
La primera sección de este capítulo desarrolla el análisis cinemático de la máquina-
herramienta propuesta, mediante el método de lazo vectorial cerrado. La segunda sección 
explica la metodología ocupada para la obtención de los límites del espacio de trabajo, así 
como el valor de este. 
 
2.1 ANÁLISIS DE POSICIÓN INVERSO 
 
Para iniciar el análisis de posición inverso es necesario considerar tres ejes coordenados 
(Ver Figura 2.1.1). El primero de ellos se encuentra en el centro (en el punto O) de la base 
fija del mecanismo, el cual llamaremos como sistema coordenado de la base fija (vectores 
unitarios x , y , ) . Para cada cadena cinemática cerrada existe un sistema coordenado 
local, el cual es de mucha ayuda para el análisis (vectores unitarios , , ). 
Finalmente se considera un eje coordenado en el centro de la plataforma móvil del 
mecanismo (en el punto P, con vectores unitarios u , , ). 
z
ix iy iz
v z
 
 14
 
 
(a) (b) 
 
Figura 2.1.1 (a) Ejes coordenados usados en el análisis cinemático (b) Ejes coordenados usados en el análisis cinemático y 
puntos de referencia para el desarrollo del análisis cinemático. 
 
Como se puede observar tenemos un total de 5 ejes coordenados. La relación entre el 
sistema coordenado de la base fija y cada uno de los sistemas coordenados de una de las 
cadenas cinemáticas esta dada por la ecuación 2.1.1 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0
0
100
0)cos()sin(
0)sin()cos( r
p
p
p
p
p
p
z
y
x
ii
ii
wi
vi
ui
φφ
φφ
 (2.1.1) 
 
La figura 2.1.1 (b) se obtiene la expresión 2.1.2 de lazo cerrado para cada cadena 
cinemática. 
 
iiiiii BCPCOPBAOA ++=+ (2.1.2) 
 
A partir de esta ecuación se obtienen las expresiones 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5. 
 
 
 
( ) ( ) ( )iiiui rap 231 cossincos θθθ +−= (2.1.3) 
( )ivi bp 3cos θ= (2.1.4) 
( ) ( ) ( )iiiui bap 231 sinsinsin θθθ += (2.1.5) 
 
 
De la ecuación 2.1.4 es sencillo obtener el valor de i3θ para cada cadena cinemática para 
una posición dada de la plataforma móvil. 
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛±=
b
pvi
i arccos3θ (2.1.6) 
 
 15 
Para poder resolver el sistema de ecuaciones generado por las ecuaciones (2.1.3), 
(2.1.4), (2.1.5) se suman los cuadrados de las expresiones (2.1.3) y (2.1.5), aplicando el 
teorema de Pitágoras la variable i2θ se elimina generando la expresión (2.1.7). 
 
2
31
222 )sin()sin(22*)( iiwiuiwiui bapapaprp θθ =−−+++ (2.1.7) 
 
 
Para resolver la ecuación (2.1.7) se sustituye en esta ecuación las identidades 
trigonométricas (2.1.8) y (2.1.9). 
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
2
tan1
2
tan2
)sin(
1
1
1
i
i
i θ
θ
θ (2.1.8) 
 
 
2
1
2
1
1
2
tan1
2
tan1
)cos(
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
=
i
i
i
θ
θ
θ (2.1.9) 
 
De la anterior substitución se obtiene un polinomio de segundo orden (2.1.10). 
 
0
2
tan
2
tan 0
1
1
2
1
2 =+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
i
i
i
i
i lll
θθ
 (2.1.10) 
 
donde: 
 
( )
( ) arbraaprpppl
apl
arbraaprpppl
iuiuiuiwii
wii
iuiuiuiwii
2sin22
4
2sin22
2
3
22222
2
1
2
3
22222
0
+−+++++=
−=
−−++−++=
θ
θ
 
 
Se puede inferir fácilmente de la ecuación (2.1.10) que para obtener el valor de i1θ hay 
que resolver el polinomio de segundo orden. Obteniendo el valor de i1θ es posible obtener 
el valor de i2θ mediante las expresiones 2.1.11 y 2.1.12. 
 
)sin(
)cos(
)cos(
3
1
2
i
iui
i b
acp
θ
θ
θ
−+
= 2.1.11 
 
)sin(
)cos(
)sin(
3
1
2
i
iwi
i b
acp
θ
θ
θ
−+
= 2.1.12 
 16
 
 
Ya que para el valor de i2θ es posible tener cuatro valores distintos de las anteriores 
expresiones, puesto que ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −+
±=
)sin(
)cos(
arccos
3
1
2
i
iui
i b
acp
θ
θ
θ y también 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −+
=
)sin(
)cos(
arcsin
3
1
2
i
iwi
i b
acp
θ
θ
θ . Por lo anterior es preferible usar el arco tangente para 
la obtención de i2θ . 
 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+
−+
=
)cos(
)cos(
arctan
1
1
2iui
iwi
i acp
acp
θ
θ
θ 2.1.13 
 
 
Las ecuaciones 2.1.6, 2.1.10 y 2.1.13 resuelven el problema de la cinemática inversa del 
mecanismo. Sin embargo cada uno de estas ecuaciones tiene dos posibles soluciones. 
Para entender el significado de los soluciones para cada ángulo, a continuación se 
muestra un ejemplo, el cual fue solucionado las dichas ecuaciones mediante un programa 
elaborado en Matlab 7 (ver Anexo A) y verificando estos resultados en un software CAD, 
usando las dimensiones propuestas y las restricciones de las juntas cinemáticas del 
mecanismo. 
 
Supongamos una posición de la máquina herramienta en el punto (0,0,.8m) con respecto 
al sistema de ejes coordenados de la base fija. Los ángulos obtenidos mediante Matlab 
para dicha posición son: 
 
90
982.121
615.47
)1(
31
)1(
21
)1(
11
=
=
=
θ
θ
θ
 
90
982.121
615.47
)1(
32
)1(
22
)1(
12
=
=
=
θ
θ
θ
90
982.121
615.47
)1(
33
)1(
23
)1(
13
=
=
=
θ
θ
θ
 
90
0180.58
384.132
)2(
31
)2(
21
)2(
11
−=
=
=
θ
θ
θ
 
90
0180.58
384.132
)2(
32
)2(
22
)2(
12
−=
=
=
θ
θ
θ
90
0180.58
384.132
)2(
33
)2(
22
)2(
13
−=
=
=
θ
θ
θ
 
 
 17 
 
 
Figura 2.1.1 Solución A para punto (0,0,.8m) 
 
 
 
Figura 2.1.2 Solución B para (0,0,.8m) 
 18
 
Como se puede observar en la Figura 2.1.1 las soluciones para , , , , , 
, , , son validas para la solución A. Mientras que para la Figura 2.1.2 las 
soluciones , , , , , son validas para la solución B, sin embargo las 
soluciones , , no son validas ni para solución A ni para la solución B. Por lo 
que se concluye que solo los valores positivos obtenidos de 
)1(
11θ
)1(
21θ
)1(
31θ
)1(
12θ
)1(
22θ
)1(
32θ
)1(
13θ
)1(
23θ
)1(
33θ
)2(
11θ
)2(
21θ
)2(
12θ
)2(
22θ
)2(
13θ
)2(
23θ
)2(
31θ
)2(
32θ
)2(
33θ
i3θ son válidos para el análisis 
cinemático inverso de la máquina-herramienta propuesta. 
 
Ya para una misma posición existe dos posibles soluciones, las soluciones de nuestro 
interés son todas aquellas donde: 
 
º9011 <θ 
º9012 <θ 
º9013 <θ 
 
2.2 OBTENCIÓN DE LA ENVOLVENTE DEL ESPACIO DE TRABAJO DE LA MÁQUINA-
HERRAMIENTA PROPUESTA. 
 
Para la obtención del espacio de trabajo existen varios métodos propuestos. De manera 
general se pueden resumir en tres formas: 
 
- Método geométrico [14]. 
- Obtención del espacio de trabajo mediante el uso del Jacobiano [15]. 
- Método de Monte Carlo [10]. 
 
Puesto que en el análisis de posiciones se concluyo las soluciones de nuestro interés y 
una vez realizado el análisis cinemático es conveniente obtener la frontera del espacio de 
trabajo de la máquina-herramienta propuesta mediante el método de Monte Carlo. 
 
La metodología de Monte Carlo aplicada a la obtención del espacio se resumen en los 
siguientes pasos: 
 
 
1. Se define un hemisferio con un radio igual al total de la longitud del manipulador (a 
+ b), el cual limita el posible espacio de trabajo de la máquina-herramienta (ver 
Figura 2.1.3). 
2. Se selecciona el mayor número posible dentro del hemisferio. 
3. Los puntos aleatorios dentro del hemisferio pertenecen al espacio de trabajo del 
manipulador si las ecuaciones de la cinemática inversa tienen soluciones reales. 
4. Se contabiliza el número de puntos que pertenecen al espacio de trabajo del 
manipulador. 
5. Se calcula el espacio de trabajo mediante la siguiente expresión. 
 
( )
hemisferio
dentro
n
n
baW
3
23+≈ π (2.2.1) 
 19 
 
donde: 
=dentron Puntos pertenecientes al espacio de trabajo del manipulador. 
=afueran Puntos pertenecientes al hemisferio trazado. 
 
 
 
Figura 2.1.3 Hemisfero que limita el posible espacio de trabajo de la máquina-herramienta 
 
 
Nuevamente se elaboro un programa en Matlab 7 para la graficación del espacio de la 
envolvente del espacio de trabajo. La Figura 2.1.4 muestra la envolvente del mecanismo 
la máquina-herramienta propuesta (escala en metros). 
 
 
 
Figura 2.1.4 Envolvente del espacio de trabajo obtenida para la máquina-herramienta propuesta 
 
 
El valor total obtenido del espacio de trabajo es de 1.2707 m3. 
 
Sin embargo no todos los puntos contenidos en esta envolvente son válidos para las 
ecuaciones de la cinemática inversa de la máquina-herramienta propuesta. Para planos 
(x,y) ubicados a un valor de z menores .12 metros, existen zonas, dentro de esta 
 20
 
envolvente en donde no existe solución para las ecuaciones de la cinemática inversa. La 
Figura 2.1.5 muestra con puntos azules planos (x,y) ubicados a valores menores .12 
metros en z, los cuales tienen soluciones a las ecuaciones de la cinemática inversa. Las 
regiones en blancas son áreas en las que no hay solución a estas ecuaciones. Esto 
significa que en estas zonas no es posible mecanizar piezas. Por lo que se propone 
trabajar en planos (x,y) ubicados a una altura igual o mayor a .12 metros. 
 
 
 
(a) (b) 
 
 
 
 
(c) 
 
 
Figura 2.1.5 (a) Puntos validos para planos (x,y) para z=0m (b) Puntos validos para planos (x,y) para z=.1m (c) Puntos 
validos para planos (x,y) para z=.11 
 
Una vez obtenido el espacio de trabajo y las fronteras de este en cualquier plano (x,y) 
dentro de este, es posible evaluar en distintos planos el valor de las seis rigideces del de 
la máquina-herramienta propuesta. 
 
2.2.1 Conclusiones 
 
Una vez definido el mecanismo paralelo, en esta capitulo se realizo un análisis cinemático 
de posiciones inverso del CICABOT. El análisis del mecanismo paralelo fue programado 
en Matlab 7 y verificado en un programa CAD, obteniendo resultados idénticos en ambos 
softwares. 
 
Una vez obtenidas las ecuaciones para el análisis de posición inverso se realizo un 
cálculo estimado del volumen del espacio de trabajo, encontrando que en alturas de .11m 
 21 
existen regiones en las que las ecuaciones de la cinemática inversa no tienen una 
solución real. Es decir son regiones, en las que la base móvil no puede posarse. 
 
Estos resultados no han sido reportados en trabajos, previos y son importantes para 
definir el espacio de trabajo. Es recomendable realizar tareas de fresado en una altura 
mayor a los .11m para evitar alturas en las que exista regiones inalcanzables para el 
mecanismo propuesto. 
 22
 
Capitulo 3 
 
Análisis de deformaciones del 
mecanismo paralelo CICABOT 
 
Durante las operaciones de maquinados, la precisión de una maquina-herramienta, se ve 
afectada por: 
 
• La rigidez 
• La repetibilidad del sistema de transmisión. 
• Propiedades térmicas de sus componentes mecánicos. 
• Exactitud en la fabricación de los elementos de la máquina [23]. 
 
Todos estos factores desvían a las máquinas-herramientas de la posición de mecanizado 
deseada. De manera general el cálculo de las deformaciones se relaciona con las rigidez 
mediante la ley de elasticidad de Hooke. 
 
La rigidez de un mecanismo paralelo se puede descomponer en [2]: 
 
1. Rigidez del sistema de transmisión (rigidez del motor, flecha de transmisión, 
chumaceras) 
2. Rigidez de los eslabones 
3. Rigidez de las juntas cinemáticas pasivas 
4. Rigidez de la base móvil 
5. Rigidez de la base fija 
 
A continuación se describen brevemente los métodos más comunes para la evaluación de 
estas rigideces de un mecanismo paralelo. 
 
3.1.1 Metodología del Análisis de las deformaciones en el sistema de 
transmisión de un mecanismo paralelo 
 
Gosselin [8] proponen la elaboración de mapas de rigidez para la evaluación de las 
deformaciones en el sistema de transmisión de un mecanismo paralelo mediante el uso 
de la matriz Jacobiana. 
 
Esta metodología propuesta por Gosselin hace uso del principio del trabajo virtual, 
relacionando los desplazamientos de la plataforma móvil mediante el Jacobiano, y con la 
matriz de rigidez de sistema motriz. 
 
 23 
Supongamos que representa el vector de fuerzas y momentos resultantes en 
el actuador final y representa el vector de torques de los actuadores, y 
 representael vector de desplazamientos virtuales asociados a los 
actuadores debido a una carga externa y 
[ ]Τ= nf,F
[ Tτ nτττ ,....,, 21= ]
][ Tnqqqq δδδδ ,...,, 21=
[ ]Tδψδδδ ,....,, yxx = representa el vector de los 
desplazamientos asociados con a la plataforma móvil debido a una carga externa. Con lo 
anterior el trabajo virtual realizado por las fuerzas activas se expresa como: 
 
 
0=− xFqτ TT δδ (3.1.1) 
 
 
Además los desplazamientos virtuales, qδ y xδ , están relacionados por la matriz 
Jacobiana. 
 
xJq δδ = (3.1.2) 
 
donde : 
 
x
1
q JJJ
−= . 
=IJ Matriz Jacobiana Inversa 
=FJ Matriz Jacobiana Directa (Ver sección 3.1.2). 
 
Sustituyendo la ecuación (3.1.2) en la ecuación (3.1.1) se obtiene: 
 
0=− TT FJτ (3.1.3) 
 
quedando finalmente: 
 
τJF T= (3.1.4) 
 
La ecuación (3.1.4) relaciona las fuerzas en la plataforma móvil y los torques de los 
actuadores en la base fija y viceversa mediante matriz inversa. 
 
Por otra parte el vector de torques y el vector de deformaciones en las juntas se pueden 
relacionar mediante una matriz diagonal n X n =χ diag [ ]Tnkkk ,....,, 21 , como lo muestra la 
ecuación (3.1.5). 
 
χΔqτ = (3.1.5) 
 
Despejando de (3.1.5) se obtiene: qΔ
 
τχΔq 1−= (3.1.6) 
 
Para obtener una expresión de rigidez del mecanismo, es necesario recordar la ley de 
Hooke. 
 24
 
 
KxF = (3.1.7) 
 
Rescribiendo la ecuación (3.1.2) como xJq Δ=Δ , y despejando xΔ se obtiene: 
 
ΔqJΔx 1−= (3.1.8) 
 
Sustituyendo (3.1.6.) en (3.1.8) se obtiene: 
 
τχJΔx 11 −−= (3.1.9) 
 
La matriz inversa de es: xΔ
 
χτJΔx 11 −− = (3.1.8) 
 
Ya que es de nuestro interés obtener un valor de la rigidez del mecanismo se despeja de 
(3.1.7) K . Recordemos que F y xΔ son vectores de fuerzas y desplazamientos 
respectivamente por lo que K debe ser una matriz. 
 
1FxK −= (3.1.9) 
 
Sustituyendo en (3.1.9) la expresión (3.1.8) se obtiene: 
 
JχJK T= (3.1.7) 
 
Donde χ es una matriz diagonal, [ ]nkkk ....,diag 21 en donde es el valor de rigidez que 
presenta el sistema de motorización de cada cadena cinemática. 
nk
 
Finalmente se puede observar que para realizar el estudio de la rigidez de un mecanismo 
paralelo es necesario obtener la matriz Jacobiana del mecanismo. 
 
3.1.2 Metodología del Análisis de la Rigidez para los eslabones de un 
mecanismo paralelo por el método de Charles M. Clinton . 
 
La metodología propuesto por Charles M. Clinton para el análisis de la rigidez de los 
eslabones de mecanismos paralelos se basa básicamente en el análisis estructural 
matricial. El método es valido solo para estructuras estáticamente determinadas y sujetas 
a deformaciones pequeñas, donde la deformación transversal con respecto a la 
deformación longitudinal es despreciable. Así también esta metodología propuesta por 
Clinton asume que las deformaciones de la base móvil, la base fija y las juntas 
cinemáticas pasivas son despreciables. 
 
El método se basa en el uso de matrices de rigideces individuales para los eslabones, las 
cuales son ensambladas para generar una matriz de rigidez de toda una estructura. 
 
La matriz de un elemento estructural en el espacio sujeto a cargas axiales, cortantes, y a 
momentos flectores (ver Figura 3.2.1) , esta dada por: 
 25 
 
[ ] [ ][ ]eeTee ΛKΛK = (3.2.0) 
 
 
donde: 
 
 
e
K = La matriz de rigidez de un elemento con respecto a un sistema coordenado 
diferente al sistema local de un elemento. 
 
eΛ = Matriz de rotación de un elemento estructural en el espacio. 
 
eK = Matriz de rigidez de un elemento estructural con respecto a un sistema local 
del elemento. 
 
El sistema coordenado local de un elemento se define en con el origen en el nodo i y 
teniendo el eje axial del elemento paralelo al eje x . 
 
 
 
Figura 3.2.1 Elemento en el espacio sometido cargas axiales, cortantes y momentos flectores. 
 
 
 
 26
 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
−−−
−
−−
−
−
−−−
−
=
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
GI
L
GI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EA
L
EA
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
GI
L
GI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EA
L
EA
zzzz
yyyy
pp
yyy
zzz
zzzz
yyyy
pp
yyy
zzz
e
4
000
6
0
2
000
6
0
0
4
0
6
000
2
0
6
00
0000000000
000
12
000
6
0
12
00
0000
12
0
6
000
12
0
0000000000
2
000
6
0
4
000
6
0
0
2
0
6
000
4
0
6
00
0000000000
0
6
0
12
00000
12
00
6
000
12
00000
12
0
0000000000
22
22
323
323
22
22
233
233
K
 (3.2.1) 
 
La (3.2.1) solo es válida si no existe un ángulo relativo entre el eje axial del elemento y los 
ejes coordenados de referencia zyx ,, . La matriz esta dado por: eΛ
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
SF
SFe
Λ0
0Λ
Λ (3.2.2) 
 
donde: 
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
S
S
SF Λ0
0Λ
Λ , 
 
αβψ
s ΛΛΛΛ = 
donde finalmente: 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=Λ
αα
αα
α
cos0sin
010
sin0cos
, , 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=Λ
100
0cossin
0sincos
ββ
ββ
β
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=Λ
ψψ
ψψψ
cossin0
sincos0
001
 
Finalmente para obtener la matriz de rigidez total de una estructura en el espacio 
sometida a cargas axiales, cortantes, y a momentos flectores se obtiene ensamblando las 
matrices de cada uno de los elementos mediante la expresión: 
 
 27 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
kk
T
K.....
......
......
......
......
.....K
K
mn
 (3.2.3) 
 
donde: 
∑
=
=
Elementos
mn
#
1e
e
mn KK 
 
 
3.1.3 Metodología de deformaciones de la base fija, base móvil y de las juntas 
cinemáticas pasivas. 
 
Los primeros trabajos que analizan el comportamiento de la rigidez de los mecanismos 
paralelos desprecian las deformaciones en la base fija y en las juntas cinemáticas pasivas. 
Yukio Takeda y compañía [17] propone una complementación al método de Gosselin, 
incorporando la rigidez que presentan las juntas cinemáticas esféricas de rodamientos 
pasivas en un mecanismo paralelo de seis grados de libertad (ver Figura 3.3.1). Como 
resultado de este trabajo Yukio concluye que 59% de los desplazamientos debido a 
fuerzas externas son por las juntas esféricas de rodamientos 31% por los eslabones y el 
sistema de transmisión y el 10% debido a la base móvil. 
 
 
 
Figura 3.3.1 Máquina de seis grados de libertad con juntas esféricas a bolas pasivas. 
 
De manera análoga Gürsel Alici [18] propone una complementación a la matriz Jacobiana 
para la evaluación de la rigidez, de un mecanismo serial. Ambas mejoras a esta 
evaluación consideran que los eslabones de los mecanismos son infinitamente rígidos. 
 
Pocos trabajos se han presentado para la evaluación de las deformaciones de la base fija. 
Estos porque la gran mayoría los mecanismos paralelos tiene anclado el sistema de 
 28
 
transmisión a tierra. Eric Rebec and Guangming Zhang [19] proponen el uso del método 
de elemento finito para la evaluación de las deformaciones en la base fija. Este método es 
evaluado en varias posturas del mecanismo paralelo en Hexápodo Ingersoll (ver Figura 
3.3.2) 
 
Puesto que el mecanismo propuesto CICABOT tiene el sistema de transmisión anclado al 
suelo y ya que es de nuestro interés dimensionar los eslabones y la base lo más optimo 
posible, el presente trabajo solo se concentra en las deformaciones que presentan los 
eslabones. 
 
 
Figura 3.3.2 Máquina tipo hexápodo Ingersoll de 6 grados de libertada 
 
 
3.1.4 Metodología Propuesta para el análsis de deformaciones del mecanismo 
paralelo CICABOT 
 
La metodología propuesta hace uso del software CAE (Computer Aided Engineering) 
ANSYS. La modelación realizada en este software es semejante a la propuesta por 
Charles Corradini y compañía [16], ya que las secciones transversales propuestas son 
constantes. La principal ventaja del método propuesto es que considera las 
deformaciones, tanto de la placa móvil así como el de los eslabones. 
 
 29 
El elemento usado para modelar los seis eslabones delCICABOT, es el equivalente a una 
viga la cual puede estar sujeta a tensión, compresión, flexión y torsión (elementos también 
utilizados en el método descrito en la sección 3.2.1). De manera general mucho de los 
trabajos antes mencionados no evalúan las deformaciones conjuntas de los eslabones y 
la base móvil. Sin embargo en el presente trabajo la placa móvil es modelada en ANSYS 
como elemento placa, el cual puede presentar deformaciones de flexión, compresión 
tensión y torsión. 
 
Por otra parte las deformaciones de la base fija, no son consideradas en este trabajo, ya 
que se considera que para cada cadena cinemática el sistema de transmisión esta 
empotrado al suelo. Por otra parte las deformaciones de las juntas pasivas que componen 
al CICABOT se consideran de infinita rigidez, por lo que las deformaciones de estos 
elementos es despreciable. 
 
Previo a la creación de los modelos que representan los eslabones es necesario definir 
los nodos, que servirán para la creación de los elementos. La figura 3.4.1 muestra la 
definición de estos nodos. 
 
Figura 3.4.1 Definición de nodos para la creación del modelo en ANSYS. 
 
 
Una vez definidos los elementos para los eslabones y el elemento placa para la base 
móvil, es necesario dar las condiciones de frontera del modelo. Para ello se asume que en 
un instante dado el mecanismo se encuentra en equilibrio con una fuerza externa (fuerza 
de maquinado, (ver Figura 3.4.2) 
 
 30
 
 
Figura 3.4.2 CICABOT sujeto a una carga externa 
Esto seria equivalente a tener la rotación del motor totalmente restringida permitiendo 
solamente rotaciones en las juntas cinemáticas (ver figura 3.4.3). 
 
 
 
Figura 3.4.3 Rotaciones permitidas en el instante donde la fuerza transmitida a la placa móvil se encuentra en equilibrio con 
una fuerza externa 
 
Una primera estimación de las deformaciones en el CICABOT se realiza bajo las 
siguientes condiciones: 
 
• Material para los seis eslabones: Aluminio. 
• Sección circular constante, con un radio de 6.35mm. 
• Longitud de eslabones a y b 44 y 56 centímetros respectivamente. 
• Diámetro de la base fija y móvil de 90 centímetros. 
 31 
 32
• Los eslabones a ubicados con ángulo φ igual a 120º. 
 
Ya que las secciones transversales, y las propiedades mecánicas se consideran 
constantes, la variación de las deformaciones de los eslabones para una fuerza con 
dirección y valor constante, se debe únicamente a la postura en la que se encuentra el 
mecanismo. Es por ello necesario evaluar en diferentes posturas las deformaciones del 
CICABOT. Con este fin se ha escrito un modo Batch para el modelo del CICABOT en 
ANSYS (ver Anexo B), el cual es alimentado con los ángulos de posición de los seis 
eslabones para tres alturas propuestas (.15 m, .55 m y .80 m altura de la placa móvil con 
respecto a la palca fija). Los ángulos de posición para los seis eslabones se obtienen 
mediante la cinemática inversa, limitando el espacio de trabajo mediante el método 
descrito en la sección 2.2. 
 
Las tablas 3.4.1, 3.4.2, 3.4.3, muestran las deformaciones en los tres ejes de la primera 
aproximación del CICABOT para una altura de .15 m, .55 m y .8 m respectivamente. 
 
 
PX (m) PY (m) Θ11 (Grados) 
Θ21 
(Grados)
Θ31 
(Grados) 
Θ12 
(Grados) 
Θ22 
(Grados) 
Θ32 
(Grados) 
Θ13 
(Grados) Θ23 (Grados)
Θ33 
(Grados) Δx (m) Δy (m) Δz (m) 
0 0 -47.615 121.98 90 -47.615 121.98 90 -47.615 121.98 90 1.42E-04 -4.44E-15 1.35E-13 
0.3 0 -64.891 78.328 90 42.697 162.6 117.64 42.697 162.6 62.358 2.36E-04 -2.71E-07 5.11E-05 
0.6 0 -47.127 57.531 90 126.23 101.04 158.11 126.23 101.04 21.893 1.18E-04 -5.06E-10 -6.41E-05 
0.25981 0.15 -61.628 84.606 74.463 -3.2572 158.28 122.39 58.372 155.39 74.463 2.56E-04 -4.14E-05 3.88E-05 
0.15 0.25981 -47.303 107.4 62.358 -47.303 107.4 117.64 61.979 154.8 90 3.79E-04 -1.01E-04 3.40E-05 
0.3 0.51962 -0.64387 132.09 21.893 -0.64387 132.09 158.11 104.8 150.54 90 6.46E-04 -2.81E-04 -1.21E-04 
1.84E-17 3.00E-01 -3.2572 158.28 57.608 -61.628 84.606 105.54 58.372 155.39 105.54 3.13E-04 -8.17E-06 9.59E-06 
-0.15 0.25981 42.697 162.6 62.358 -64.891 78.328 90 42.697 162.6 117.64 3.24E-04 5.11E-05 -2.54E-05 
-0.3 0.51962 126.23 101.04 21.893 -47.127 57.531 90 126.23 101.04 158.11 6.82E-04 3.26E-04 3.12E-05 
-2.60E-01 1.50E-01 58.372 155.39 74.463 -61.628 84.606 74.463 -3.2572 158.28 122.39 2.98E-04 3.93E-05 8.36E-05 
-3.00E-01 3.67E-17 61.979 154.8 90 -47.303 107.4 62.358 -47.303 107.4 117.64 2.04E-04 7.29E-07 -6.87E-05 
-6.00E-01 7.35E-17 104.8 150.54 90 -0.64387 132.09 21.893 -0.64387 132.09 158.11 1.59E-04 1.83E-07 2.43E-04 
-0.25981 -1.50E-01 58.372 155.39 105.54 -3.2572 158.28 57.608 -61.628 84.606 105.54 2.42E-04 -3.28E-05 -4.79E-05 
-0.15 -2.60E-01 42.697 162.6 117.64 42.697 162.6 62.358 -64.891 78.328 90 3.25E-04 -5.10E-05 -2.56E-05 
-0.3 -0.51962 126.23 101.04 158.11 126.23 101.04 21.893 -47.127 57.531 90 1.17E-03 -1.50E-04 3.00E-04 
-5.51E-17 -3.00E-01 -3.2572 158.28 122.39 58.372 155.39 74.463 -61.628 84.606 74.463 3.13E-04 8.33E-06 9.45E-06 
 
Tabla 3.4.1 Resultados de deformación a una altura de .15 m
 33 
 
PX (m) PY (m) Θ11 (Grados) 
Θ21 
(Grados)
Θ31 
(Grados) 
Θ12 
(Grados)
Θ22 
(Grados) 
Θ32 
(Grados) 
Θ13 
(Grados) 
Θ23 
(Grados) 
Θ33 
(Grados) Δx (m) Δy (m) Δz (m) 
0 0 47.615 121.98 90 47.615 121.98 90 47.615 121.98 90 8.15E-04 -9.57E-14 0 
0.3 0 33.668 96.789 90 69.01 128.32 117.64 69.01 128.32 62.358 8.74E-04 -6.87E-07 0.3 
0.25981 0.15 37.506 99.52 74.463 60.052 117.68 122.39 73.49 135.5 74.463 9.21E-04 -1.05E-04 0.25981 
0.15 0.25981 47.77 107.08 62.358 47.77 107.08 117.64 74.78 137.9 90 9.86E-04 -1.31E-04 0.15 
1.84E-17 3.00E-01 60.052 117.68 57.608 37.506 99.52 105.54 73.49 135.5 105.54 9.79E-04 -7.16E-05 1.84E-17 
-1.50E-01 2.60E-01 69.01 128.32 62.358 33.668 96.789 90 69.01 128.32 117.64 8.93E-04 1.14E-05 -1.50E-01 
-0.25981 0.15 73.49 135.5 74.463 37.506 99.52 74.463 60.052 117.68 122.39 7.98E-04 3.39E-05 -0.25981 
-0.3 3.67E-17 74.78 137.9 90 47.77 107.08 62.358 47.77 107.08 117.64 7.60E-04 8.80E-07 -0.3 
-0.25981 -1.50E-01 73.49 135.5 105.54 60.052 117.68 57.608 37.506 99.52 105.54 7.98E-04 -3.24E-05 -0.25981 
-0.15 -0.25981 69.01 128.32 117.64 69.01 128.32 62.358 33.668 96.789 90 8.94E-04 -1.06E-05 -0.15 
-5.51E-17 -0.3 60.052 117.68 122.39 73.49 135.5 74.463 37.506 99.52 74.463 9.80E-04 7.13E-05 -5.51E-17 
0.15 -0.25981 47.77 107.08 117.64 74.78 137.9 90 47.77 107.08 62.358 9.87E-04 1.30E-04 0.15 
0.25981 -1.50E-01 37.506 99.52 105.54 73.49 135.5 105.54 60.052 117.68 57.608 9.22E-04 1.04E-04 0.25981 
0.3 -7.35E-17 33.668 96.789 90 69.01 128.32 117.64 69.01 128.32 62.358 8.74E-04 -6.87E-07 0.3 
 
Tabla 3.4.2 Resultados de deformación a una altura de .55 m 
 34 
 
 35 
 
PX (m) PY (m) Θ11 (Grados) 
Θ21 
(Grados)
Θ31 
(Grados) 
Θ12 
(Grados) 
Θ22 
(Grados) 
Θ32 
(Grados) 
Θ13 
(Grados) Θ23 (Grados)
Θ33 
(Grados) Δx (m) Δy (m) Δz (m) 
0 0 -47.615 121.98 90 -47.615 121.98 90 -47.615 121.98 90 1.42E-04 -4.44E-15 1.35E-13 
0.3 0 -64.891 78.328 90 42.697 162.6 117.64 42.697 162.6 62.358 2.36E-04 -2.71E-07 5.11E-05 
0.6 0 -47.127 57.531 90 126.23 101.04 158.11 126.23 101.04 21.893 1.18E-04 -5.06E-10 -6.41E-05 
0.25981 0.15 -61.628 84.606 74.463 -3.2572 158.28 122.39 58.372 155.39 74.463 2.56E-04 -4.14E-05 3.88E-05 
0.15 0.25981 -47.303 107.4 62.358 -47.303 107.4 117.64 61.979 154.8 90 3.79E-04 -1.01E-04 3.40E-05 
0.3 0.51962 -0.64387 132.09 21.893 -0.64387 132.09 158.11 104.8 150.54 90 6.46E-04 -2.81E-04 -1.21E-04 
1.84E-17 3.00E-01 -3.2572 158.28 57.608 -61.628 84.606 105.54 58.372 155.39 105.54 3.13E-04 -8.17E-06 9.59E-06 
-0.15 0.25981 42.697 162.6 62.358 -64.891 78.328 90 42.697 162.6 117.64 3.24E-04 5.11E-05 -2.54E-05 
-0.3 0.51962 126.23 101.04 21.893 -47.127 57.531 90 126.23 101.04 158.11 204.72 70.601 0.18251 
-2.60E-01 1.50E-01 58.372 155.39 74.463 -61.628 84.606 74.463 -3.2572 158.28 122.39 2.98E-04 3.93E-05 8.36E-05 
-3.00E-01 3.67E-17 61.979 154.8 90 -47.303 107.4 62.358 -47.303 107.4 117.64 2.04E-047.29E-07 -6.87E-05 
-6.00E-01 7.35E-17 104.8 150.54 90 -0.64387 132.09 21.893 -0.64387 132.09 158.11 1.59E-04 1.83E-07 2.43E-04 
-0.25981 -1.50E-01 58.372 155.39 105.54 -3.2572 158.28 57.608 -61.628 84.606 105.54 2.42E-04 -3.28E-05 -4.79E-05 
-0.15 -2.60E-01 42.697 162.6 117.64 42.697 162.6 62.358 -64.891 78.328 90 3.25E-04 -5.10E-05 -2.56E-05 
-0.3 -0.51962 126.23 101.04 158.11 126.23 101.04 21.893 -47.127 57.531 90 1.17E-03 -1.50E-04 3.00E-04 
-5.51E-17 -3.00E-01 -3.2572 158.28 122.39 58.372 155.39 74.463 -61.628 84.606 74.463 3.13E-04 8.33E-06 9.45E-06 
0 0 -47.615 121.98 90 -47.615 121.98 90 -47.615 121.98 90 1.42E-04 -4.44E-15 1.35E-13 
0.3 0 -64.891 78.328 90 42.697 162.6 117.64 42.697 162.6 62.358 2.36E-04 -2.71E-07 5.11E-05 
0.6 0 -47.127 57.531 90 126.23 101.04 158.11 126.23 101.04 21.893 1.18E-04 -5.06E-10 -6.41E-05 
0.25981 0.15 -61.628 84.606 74.463 -3.2572 158.28 122.39 58.372 155.39 74.463 2.56E-04 -4.14E-05 3.88E-05 
0.15 0.25981 -47.303 107.4 62.358 -47.303 107.4 117.64 61.979 154.8 90 3.79E-04 -1.01E-04 3.40E-05 
0.3 0.51962 -0.64387 132.09 21.893 -0.64387 132.09 158.11 104.8 150.54 90 6.46E-04 -2.81E-04 -1.21E-04 
-5.51E-17 -3.00E-01 -3.2572 158.28 122.39 58.372 155.39 74.463 -61.628 84.606 74.463 3.13E-04 8.33E-06 9.45E-06 
 
Tabla 3.4.3 Resultados de deformación a una altura de .8 m 
3.1.5 Conclusiones 
 
En este capítulo se revisaron los diferentes métodos existentes para el análisis de las 
deformaciones de un mecanismo paralelo. El método usado es uno de los métodos 
más completos ya que considera no solo las deformaciones en los eslabones, si no 
también considera las deformaciones que presenta la base móvil. El uso de un 
software CAE. 
 
Las deformaciones obtenidas en las Tablas 3.4.1, 3.4.2, 3.4.3 muestran que estas son 
mayores conforme la base móvil se acerca a la frontera del espacio de trabajo. Este 
resultado es razonable, ya todo mecanismo paralelo tiene a perder rigidez y/o ganar 
un grado de libertad cuando este se encuentra en las fronteras de su espacio de 
trabajo.
 36 
 
 
Capitulo 4 
 
Análisis de resultados y 
recomendaciones para la 
construcción de los elementos 
del CICABOT. 
 
 
4.1 RECOMENDACIONES PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL CICABOT. 
 
De los datos obtenidos en capitulo anterior se puede ver que la rigidez del mecanismo 
con las condiciones propuestas es de 0.01013
m
N
μ
- 0.0847 
m
N
μ
. Sabiendo que las 
fuerzas de reacción al corte del material (Resultante de la fuerza de corte y la Fuerza 
de alimentación) para metales de alta dureza es de 1, 000 N, las deformaciones serán 
mayores al milímetro. Por lo que es conveniente modificar el diámetro de las 
secciones transversales a 25.4mm . Modificando la sección circular de : 1
m
N
μ
- 
0.8
m
N
μ
. 
 
CICABOT requiere de 3 juntas universales y 3 juntas tipo Clevis. Para las juntas Carda 
se recomienda que sean de acero ya que estas presentan una buena rigidez. 
 
Para evaluar la rigidez del perno se considera que este elemento tiene solo flexión por 
cortante [20] (ver Figura 4.1.1). Se recomienda el uso de pernos de acero de 12.7mm 
(1/2”). 
 37
Eslabón bi 
Eslabón ai 
Perno 
 
 Perno 
 
Figura 4.1.1 Diagrama de cuerpo libre para junta tipo Clevis. 
 
La máxima flexión que presenta este tipo de juntas se encuentra en el centro de perno 
y esta dada por la expresión (4.1.1) 
 
( )
EI
aLFAy
24
43max
22 −
=Δ (4.1.1) 
 
Con lo que se puede concluir que la rigidez para este tipo de elementos esta dada por: 
 
 
( )22 43
24
aLA
EIK
−
= (4.1.2) 
 
Con las condiciones anteriores la rigidez de la junta tipo Clevis es de: 
m
N
μ
28 . 
 
Se sabe que las juntas universales tienen una buena rigidez semejante a las juntas 
tipo Clevis sin embargo el principal inconveniente que tienen estas es que su rigidez 
es variable en su posición disminuyendo su valor hasta 
m
N
μ
13 para ángulos de 30º. Es 
por ello que se propone una diseño de junta universal (ver Figura 4.1.2). Esta 
propuesta consta de un eslabón empernado y fijado en sus extremos por rodamientos. 
El uso de rodamientos es altamente recomendado ya que su rigidez a tracción es de 
m
N
μ
220 y de compresión 
m
N
μ
395 . 
 38 
 
 
 
Figura 4.1.2 Propuesta de Junta Cardan para construcción de CICABOT 
 
Finalmente se propone el uso de una placa hexagonal para la construcción de un 
diámetro de 450 mm con espesor de 6.35 mm (1/4”). 
 
 
 Basándonos en los resultados obtenidos de deformaciones, la máquina propuesta 
(CICABOT) tiene un potencial para ser usado como una máquina herramienta la tabla 
4.2.1 resume las características evaluadas en este trabajo. 
 
Espacio de trabajo (m3) .85 
Rigidez[N/μm] 
1
m
N
μ
- 0.8
m
N
μ
 
 
 
4.1.1 Sugerencia de trabajos Futuros 
 
El presente trabajo es uno de los trabajos iniciales para la construcción de una 
máquina-herramienta con estructura paralela. Es recomendable realizar pruebas 
físicas para corroborar los resultados en el software CAE. Los resultados aquí 
obtenidos pueden ser refinados obteniendo un valor preciso de la rigidez de las juntas 
cinemáticas. Este valor puede ser introducido en los elementos que conectan a los 
eslabones para obtener un cálculo mas preciso de las deformaciones. 
 
El siguiente paso para la construcción es la definición del sistema de transmisión y 
control. Las ecuaciones de la cinemática inversa obtenidas en capitulo 2 son útiles 
para iniciar la propuesta del sistema de control para del CICABOT. 
 
 39
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
[1] Pierrot F. Robots Pleinement Parallèles Légers : Conception Modélisation et 
Commande, Thèse de doctorat, Université Montpellier II, Montpellier, 24 de Abril de 
1991. 
[2] Olivier Company. Machines-outils rapides à structure parallèle : Méthodologie de 
conception, applications et nouveaux concepts, Montpellier, 05 Diciembre del 2000. 
[3] Jinwook Kim, Changbeom Park: Performance Analysis of Parallel Mechanism 
Architectures for CNC Machining Applications. Journal of Manufacturing Science and 
Engineering by ASME, November 22, Vol. 22. 
[4] Myriam Terrier, Arnaud Dugas y Jean-Yves Ascote Machines-outils `a structure 
parall`ele et usinage `a grande vitesse, M´ecanique & Industries 6, 431–437 (2005) 
[5] Jean Pierre Merlet : Parallel Robots Kluwer Academic Publishers ISBN 1-4020-
0385-4. 
[6] Torgny Brogardh : PKM Research - Important Issues, as seen from a Product 
Development Perspective at ABB Robotics. Proceedings of the WORKSHOP on 
Fundamental Issues and Future Research Directions for Parallel Mechanisms and 
Manipulators October 3–4, 2002, Quebec City, Quebec, Canada 
[7] Bianchi G., Fassi I., Molinari Tosatti L.:PKM Analysis and design in a virtual 
prototyping environment, Journal of Advanced Manufacturing Systems, Vol. 1 n°. 2, 
December 2002, 211 To pag: 226. 
[8] Gosselin, C, INRIA, Sophia-Antipolis: Stiffness mapping for parallel manipulators, 
Jun 1990 Volume: 6, Issue: 3, 377-382 ISSN: 1042-296X. 
[9] Charles M,Clinton Zhang,Guangming Zhang: Stiffness Modeling of a Stewart-
platform-based Milling Machine[J].Trans.of NAMRI/SME,1997 (25):335-340. 
[10] R. E. Stamper: A Three Degree of Freedom Parallel Manipulator with Only 
Translational Degrees of Freedom Ph.D Thesis, University of Maryland, 1997. 
[11] Gosselin C.: Kinematic analysis optimization and programming of parallel robotic 
manipulators. Ph.D.Thesis, Mc Gill University, Montréal, June,15 1998. 
[12] Robert L. Norton Diseño de maquinaria , tercera edición editorial Mc Graw Hill, 
2005 
[13] Philipp Last and J¨urgen Hesselbach: An Extended Inverse Kinematic Model of 
the HEXA-Parallel-Robot for Calibration Purposes, Proceedings of the IEEE 
International Conference on Mechatronics & Automation Niagara Falls, Canada, July 
2005. 
[14] Ilian A. Bonev and Jeha Ryu: Workspace analysis of 6-PRRS parallel manipulators 
based on the vertex space concept Proceedings of the 1999 ASME Design 
Engineering Technical Conferences, September 12-15, 1999. 
[15] J.A Carretero, M. Nahon and R. P. Podhoredeski,Department of Mechanical 
Engineering of the University of Victoria: Work Space analysis of a 3-DOF parallel 
Mechanism, Proccedings of the 1998 IROS Conference, Proceedings of 1998 IROS 
Conference October 13-17 1998, Victoria, British Colombia, Canada, pp 1021-1026. 
[16] Charles Corradini, Jean-Christophe Fauroux, LaRAMA IFMA, Campus 
universitarie de Clemente-Ferrand/Les Cézeaux, Olivier Company, LIRMM. Evaluation 
of a 4-Degree of Freedom Parallel Manipulator Stiffness. Proccedings of th 11th Workd 
Congress in Mechanism and Machine Science, August 18-21, 2003. 
[17] Yukio Takeda, Hiroaki Funabashi, Gang Shen, Kazuki Ichikawa and Kazuya 
Hirose, Stiffness Analysis of a Spatial Six-Degree-of-Freedom In-Parallel Actuated 
Mechanism with Rolling Spherical Bearings, Proceedings of Year 2000 Parallel 
Kinematic Machines International Conference, September 13-15, 2000, Ann Arbor, Mi. 
USA, pp.264-273. 
[18] Gürsel Alici and Bijan Shierzndeh Enhanced Stiffness Modeling, Identification and 
Characterization for Robot Manipulators. IEEE Transactions on Robotics, Vol. 21, No. 
4, Agosto 2005. 
 40 
 
[19] E. Rebeck and G.M. Zhang, "A Method for Evaluating the Stiffness of a Hexapod 
Machine Tool Support Structure," International Journal of Flexible Automation and 
Integrated Manufacturing, Vol. 7, pp. 149-165, 1999. 
[20] Erik Oberg, Franklin D. Jones, Holbrook L Horton and Henry H. Ryfel 26th Edition 
Machinery’s Handbook, Industrial Press Inc. New York. 
[21] C. Gosselin and J. Angeles A global performance index for the kinematic 
optimization of robotic manipulators," ASME Journal of Mechanical Design, vol. 113, pp. 
222 226,1991. 
[22] Edward M. Trent Paul K. Wright, Metal Cutting, Fourth edition Butterworth-
Heinemann Editorial. 
[23] Alexander H. Slocum, Precision Machine Design, Prentice Hall 
 41
APENDICE A 
Programa en Matlab 7 para el calculo de la cinemática inversa y 
espacio de trabajo del mecanismo paralelo CICABOT 
 
clc 
clear 
%Dimensiones mecanismo 
h=.45; 
r=.45; 
a=.44; 
b=.56; 
d=0; 
e=0; 
%Uso cooredenadas polares 
k=6; 
n=2^k-1; 
fi=[0 120*pi/180 240*pi/180]; 
 
pxe=ones((n+1)/2,(n+1)); 
pye=ones((n+1)/2,(n+1)); 
pze=ones((n+1)/2,(n+1)); 
%Declaración contadores 
in=0; 
puntos=0; 
 
%Barrido con paso de radio de 100 puntos 
for i=0:(a+b+d+e)/100:(a+b+d+e) 
theta = pi*(-n:2:n)/n; 
phi = (pi/2)*(-n:2:0)'/n; 
px = cos(phi)*cos(theta)*-i; 
py = cos(phi)*sin(theta)*-i; 
pz = sin(phi)*ones(size(theta))*-i; 
 
%Llenado envelop 
 
 %Vector de angulos de posicion para cada cadena cinematica 
 for col=1:1:n+1 
 
 for fil=1:1:(n+1)/2 
 
 puntos=puntos+1; 
 x=px(fil,col); 
 y=py(fil,col); 
 z=pz(fil,col); 
 
 cx=(cos(fi)*x)+sin(fi)*y-r; 
 cy=-sin(fi)*x+cos(fi)*y; 
 cz=[z z z]; 
 
 %Obtencion de teta3 
 teta3=acos(cy/b); 
 
 %Obtenion de teta1 
 l0=cz.^2+cx.^2+(2*h*cx)-(2*a*cx)+a^2+h^2-d^2-e^2-(b^2*sin(teta3).^2)-(2*b*e*sin(teta3))-2*b*d*sin(teta3)-(2*d*e)-
(2*a*h); 
 l1=-4*a*cz; 
 l2=cz.^2+cx.^2+(2*h*cx)+(2*a*cx)+a^2+h^2-d^2-e^2-(b^2*sin(teta3).^2)-(2*b*e*sin(teta3))-2*b*d*sin(teta3)-
(2*d*e)+(2*a*h); 
 
 polinomioteta=[l2; l1; l0;]'; 
 
 if (cy(1,1)/b<=1) & (cy(1,2)/b<=1) & (cy(1,3)/b<=1) & (polinomioteta(1,2)^2-
4*polinomioteta(1,1)*polinomioteta(1,3)>=0) & (polinomioteta(2,2)^2-4*polinomioteta(2,1)*polinomioteta(2,3)>=0) & 
(polinomioteta(3,2)^2-4*polinomioteta(3,1)*polinomioteta(3,3)>=0) 
 pxe(fil,col)=px(fil,col); 
 pye(fil,col)=py(fil,col); 
 pze(fil,col)=pz(fil,col); 
 in=in+1; 
 end 
 42 
 
 end 
 end 
 
end 
%Calculo de volumen de trabajo 
w=pi*(a+b+d+e)^3*2*in/(3*puntos) 
 
%Ploteo de espacio de trabajo 
hold on 
xlabel('x'); 
ylabel('y'); 
zlabel('z'); 
%Ploteo de hemisferio 
plot3(px,py,pz,'r.'); 
%Ploteo de espacio de trabajo 
surface(pxe,pye,pze); 
axis equal 
 43
APENDICE B 
Programa en Batch para análisis de las deformaciones en el 
mecanismo paralelo CICABOT 
/UNITS,SI 
/PREP7 
/TITLE, Maryland Manipulator 
ANTYPE,STATIC 
*AFUN,DEG 
/PMETH 
!Constantes reales 
 
ET,1,BEAM4 
R,1,0.0081,5.2305e-006,5.2305e-6,.0125,.0125,0,0,5.2305e-6 
MP,EX,1,70e6 
MP,EY,1,70e6 
MP,EZ,1,70e6 
MP,GXY,1,70e6 
MP,GYZ,1,70e6 
MP,GXZ,1,70e6 
MP,NUXY,1,.3 
 
ET,2,SHELL181 
R,2,..0635 
 
!_______________________________________________________________________________________________
_ 
 
!Datos de posicion 
 
PXE=0 
PYE=0 
PZE=.55 
 
teta11=22.152 
teta21=136.7 
teta31=90 
 
teta12=22.152 
teta22=136.7 
teta32=90 
 
teta13=22.152 
teta23=136.7 
teta33=90 
 
!_______________________________________________________________________________________________
__ 
TYPE,1 
REAL,1 
 
!Modelacion base fija 
N,1,.45,0,0 
 
LOCAL,11,0,0,0,0,120,0,0 
N,4,.45,0,0 
 
LOCAL,11,0,0,0,0,240,0,0 
N,7,.45,0,0 
 
!_______________________________________________________________________________________________
__ 
!Puntos base movil 
LOCAL,11,0,PXE,PYE,PZE,,0,0 
! Nodo para eslabon B1 
N,3,.45,0,0 
 
LOCAL,11,0,PXE,PYE,PZE,120,0,0 
! Nodo para eslabon B2 
N,6,.45,0,0 
 44 
 
 
LOCAL,11,0,PXE,PYE,PZE,240,0,0 
! Nodo para eslabon B3 
N,9,.45,0,0 
 
!_______________________________________________________________________________________________
__ 
!Modelacion de eslabones 
 
!Eslabon A1 
LOCAL,11,0,.45,0,0,0,0,0 
N,2,COS(teta11)*.44,COS(teta31)*.44,SIN(teta11)*.44 
E,1,2 
!Eslabon B1 
E,2,3 
 
!Eslabon A2 
LOCAL,11,0,0,0,0,120,0,0 
CLOCAL,11,0,.45,0,0,0,0,0 
N,5,COS(teta12)*.44,COS(teta32)*.44,SIN(teta12)*.44 
E,4,5 
!ESLABON B2 
E,5,6 
 
!Eslabon A3 
LOCAL,11,0,0,0,0,240,0,0 
CLOCAL,11,0,.45,0,0,0,0,0 
N,8,COS(teta13)*.44,COS(teta33)*.44,SIN(teta13)*.44 
E,7,8 
!Eslabon B3 
E,8,9 
 
!_______________________________________________________________________________________________
__ 
TYPE,2 
REAL,2 
 
!Modelacion base Movil 
LOCAL,11,0,PXE,PYE,PZE,,0,0 
K,3,.45,0,0 
 
 
LOCAL,11,0,PXE,PYE,PZE,120,0,0 
K,7,.45,0,0 
 
LOCAL,11,0,PXE,PYE,PZE,240,0,0 
K,11,.45,0,0 
 
A,3,7,11 
MSHAPE,1,2D 
AMESH,1 
 
!_______________________________________________________________________________________________
__ 
!Union de base con eslabones 
 
CPINTF,ALL,1E-3 
 
!_________________________________ 
! Aplicacion de restricciones 
 
NMODIF,1,,,,0,teta31-90,180-teta11 
D,1,UX,0 
D,1,UY,0 
D,1,UZ,0 
D,1,ROTY,0 
D,1,ROTZ,0 
 
!_________________________________ 
NMODIF,4,,,,120,teta32-90,180-teta12 
D,4,UX,0 
D,4,UY,0 
D,4,UZ,0 
D,4,ROTY,0 
D,4,ROTZ,0 
 
 45
 
!_________________________________ 
NMODIF,7,,,,240,teta33-90,180-teta13 
D,7,UX,0 
D,7,UY,0 
D,7,UZ,0 
D,7,ROTY,0 
D,7,ROTZ,0 
 
 
!_______________________________________________________________________________________________
__ 
!Fuerzo unitaria 
/SOLU 
F,19,FX,10 
SOLVE 
FINISH 
 46 
 
APENDICE C 
Dibujos de detalle para los 
componentes de construcción 
del CICABOT 
 
 
 
 47
 
 
 
 
 48 
 
 
 49
	Capitulo 1 
	Definición de la máquina-herramienta de construcción paralela
	1.1 Introducción
	1.2 Objetivo
	1.3 Justificación
	1.4 Estado del arte de los mecanismos paralelos.
	1.5 Características de una maquina-herramienta con estructura paralela.
	1.6 Máquina-herramienta propuesta
	1.7 Conclusiones
	Capitulo 2 
	Análisis Cinemático Inverso
	2.1 Análisis de posición inverso
	2.2 Obtención de la envolvente del espacio de trabajo de la máquina-herramienta propuesta.
	2.2.1 Conclusiones 
	Capitulo 3 
	Análisis de deformaciones del mecanismo paralelo CICABOT
	3.1.1 Metodología del Análisis de las deformaciones en el sistema de transmisión de un mecanismo paralelo 
	3.1.2 Metodología del Análisis de la Rigidez para los eslabones de un mecanismo paralelo por el método de Charles M. Clinton .
	3.1.3 Metodología de deformaciones de la base fija, base móvil y de las juntas cinemáticas pasivas.
	3.1.4 Metodología Propuesta para el análsis de deformaciones del mecanismo paralelo CICABOT
	3.1.5 Conclusiones

Otros materiales