Analisis-Vectorial-Guadalupe

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Problemas para examen de Análisis Vectorial
Profra. Guadalupe Muñoz Mart́ınez
Marzo, 2015.
1. Para −→
A = −2̂i+ 3ĵ − 4k̂,
−→
B = 6̂i− 3ĵ + 2k̂,
−→
C = −3̂i+ 3ĵ − 3k̂,
(a). Encuentre un vector unitario perpendicular a
−→
A y
−→
B simultáneamente.
(a). Calcule el ángulo entre
−→
A y
−→
C .
(c). Encuentre los valores de a, b, c de manera que el vector
−→
D = âi+ bĵ + ck̂,
pueda escribirse como
−→
D =
−→
A − 2−→B + 3−→C .
2. Si
−→
A y
−→
B son vectores dados, muestre que
|−→A +−→B | ≤ |−→A |+ |−→B |
3. Sean −→r 1 y −→r 2 vectores unitarios en el plano XY que forman ángulos α y β con el eje X positivo.
a) Pruebe que −→r 1 = cosα̂i+ senαĵ, −→r 2 = cosβî+ senβĵ,
b) Usando −→r 1 · −→r 2 pruebe la identidad:
|cos(α− β) = cosαcosβ + senαsenβ
4. Un pájaro vuela en ĺınea recta con vector de velocidad 10̂i + 6ĵ + k̂ (en kilómetros por hora). Supongamos
que (x, y) son sus coordenadas en el suelo y que z es su altura.
a) Si en cierto momento el pájaro está en la posición (1, 2, 3), ¿cuál será su situación una hora más tarde?, ¿y
un minuto más tarde?
b) ¿Cuántos segundos tarda el ave en subir 10 metros?
1
5. El trabajo W realizado para mover un objeto desde (0, 0) a (7, 2) sujeto a una fuerza constante es W =
−→
F ·−→r ,
donde −→r es el vector con final en (7, 2) e inicio en (0, 0). Las unidades son metros y kilos.
a) Suponga que la fuerza
−→
F = 10cosθ̂i+ 10senθĵ. Hallar W en función de θ.
b). Suponga ahora que la fuerza
−→
F tiene una magnitud de 6 kilos y forma un ángulo π6 con la horizontal.
Calcular W en kilos-metros.
6. Sean −→r 1 y −→r 2 vectores unitarios en el plano XY que forman ángulos α y β con el eje X positivo.
a) Pruebe que −→r 1 = cosα̂i+ senαĵ, −→r 2 = cosβî+ senβĵ
b) Usando −→r 1 · −→r 2 pruebe la identidad:
sen(α− β) = senαcosβ − cosαsenβ
7. Encuentre los vectores unitarios perpendiculares a los vectores
−→
A = −5̂i+ 9ĵ − 4k̂ y −→B = 7̂i+ 8ĵ + 9k̂.
8. Hallar el volumen del paraleleṕıpedo determinado por los vértices (0, 1, 0), (1, 1, 1), (0, 2, 0), y (3, 1, 2).
9. El trabajo W realizado para mover un objeto desde (0, 0) a (7, 2) sujeto a una fuerza constante es W =
−→
F ·−→r ,
donde −→r es el vector con final en (7, 2) e inicio en (0, 0). Las unidades son metros y kilos.
a) Suponga que la fuerza
−→
F = 10cosθ̂i+ 10senθĵ. Hallar W en función de θ.
b). Suponga ahora que la fuerza
−→
F tiene una magnitud de 6 kilos y forma un ángulo π6 con la horizontal.
Calcular W en kilos-metros.
10. Sean −→r 1 y −→r 2 vectores unitarios en el plano XY que forman ángulos α y β con el eje X positivo.
a) Pruebe que −→r 1 = cosα̂i+ senαĵ, −→r 2 = cosβî+ senβĵ
b) Usando −→r 1 · −→r 2 pruebe la identidad:
|sen(α− β) = senαcosβ − cosαsenβ
11. Encuentre los vectores unitarios perpendiculares a los vectores
−→
A = −5̂i+ 9ĵ − 4k̂ y −→B = 7̂i+ 8ĵ + 9k̂.
12. Para −→
A = x2yzî− 2xyz3ĵ + xz2k̂,
−→
B = 2zî+ yĵ − x2k̂,
encuentre ∂
2
∂x∂y (
−→
A ×−→B ).
13. Sea −→r = t5î+ costĵ + sentk̂, encuentre la posición, velocidad y aceleración para t=5 s.
14. Hallar la derivada direccional de ϕ = 4xz3 − 3x2yz en el punto (2, -1, 2) en la dirección de 2̂i− 3ĵ + 6k̂.
15. Hallar
−→
A × (−→∇ ×−→B ) y (−→A ×−→∇)×−→B para los vectores del problema 1.
16. Hallar la ecuación del plano que es perpendicular a −→v = (1, 2, 3) y pasa por (1, 1, 1).
17. Demuestre el teorema de Green para ∮
C
3y2dx+ 3x2dy
donde C es el triángulo limitado por los puntos (0, 0), (2, 0) y (2, 1).
18. Evaluar ambos lados del Teorema de la Divergencia para el campo
2
−→
D = 2xyî+ x2ĵC/m2
sobre la región limitada por x = 0, x = 1, y = 0, y = 2, z = 0, y z = 3.
19. Hallar
−→∇ × (
−→r
r2 ).
20.Demuestre que el campo vectorial dado por
−→
F = (zcosxz)̂i− ey ĵ + (xcosxz)k̂
es conservativo y encuentre la función potencial ϕ correspondiente.
21. Un campo magnético está dado por
−→
B = cos(
θ
ρ
)k̂
verifique el teorema de Stokes para un segmento de la superficie definida por ρ = 2, π3 ≤ θ ≤
π
2 y 0 ≤ z ≤ 3.
22. Demostrar que
−→∇ · [−→r −→∇ · (
−→r
r3 )] = 3r
−4.
23.Demostrar que ∇2[−→∇ · (
−→r
r2 )] = 2r
−4.
24.Verifique el Teorema de la Gauss para
−→
A = 2x2î+ y2ĵ + 3z2k̂
extendida a la región del primer octante limitada por x2 + z2 = 4 y y = 3.
25. Dada la densidad de flujo
−→
D = 6ρsen
1
2
θâρ + 1.5ρcos
1
2
θâθC/m
2
evaluar ambos lados del Teorema de la Divergencia para la región definida por ρ = 2, θ = 0, θ = π, z = 0 y
z = 5.
26. Obtenga la forma integral para la densidad de campo eléctrico D⃗,∮
S
D⃗ · dS⃗ = Q
a partir de la ecuación diferencial de Maxwell, dada por:
∇⃗ · D⃗ = ρv
donde ρv es la densidad volumétrica de carga y Q la carga total contenida en el volumen limitado por S.
27. Demuestre el Teorema de la divergencia para D⃗ = 5z2êr + 10ρzêz en la región definida por 0 ≤ ρ ≤ 3,
0 ≤ θ ≤ 2π, z = 0, z = 5.
28. Suponga que H⃗ = ∇⃗ × A⃗. Demuestre que∫ ∫
S
H⃗ · n̂dS = 0
3
para cualquier superficie cerrada S
29. Si n = 2, escriba expĺıcitamente la suma crstx
ryszt.
30. Suponga que (T i) es un vector contravariante en R2 y que (T i) = (x2, x1) en el sistema (xi). Calcular (T̄ i)
en el sistema (x̄i), bajo el cambio de coordenadas
x̄1 = (x2)2 ̸= 0
x̄2 = x2x2
31. Verifique el Teorema de Stokes para
−→
H = 6rsenθêr + 18rsenϕcosθêθ
donde S está especificada por r = 4, 0 ≤ θ ≤ 0.3π y 0 ≤ ϕ ≤ 0.1π.
32. Sea S la superficie frontera de una región W . Demuestre que∫ ∫
S
r⃗ · n̂dS = 3volumen(W )
33. Sean dos sistemas coordenados (xi) y (x̄i) relacionados por
x̄1 = exp(x1 + x2), x̄2 = exp(x1 − x2)
Calcular la matriz jacobiana J y el jacobiano J de la transformación.
34. Una curva viene dada en coordenadas esféricas (xi) por
x1 = t, x2 = arcsen
1
t
, x3 =
√
t2 − 1
Hallar la longitud del arco 1 ≤ t ≤ 2.
35. Sea ∮
C
E⃗ · dr⃗ = −1
c
∂
∂t
∫ ∫
S
H⃗ · dS
donde S es cualquier superficie limitada por la curva C. Demuestre que
∇⃗ × E⃗ == −1
c
∂H⃗
∂t
4