Análise de Guia de Onda Integrada em Substrato Semicondutor

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
 
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA 
ZACATENCO 
 
SECCIÓN DE ESTUDOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN 
 
 
 
 
Análisis y modelado de una guía de 
onda integrada en un sustrato 
semiconductor como interfase de 
comunicación ultra rápida 
 
 
 
 
T E S I S 
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE 
MAESTRO EN CIENCIAS 
EN INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES 
 
P R E S E N T A 
 
ING. JOSÉ RICARDO GARCÍA OLIVO 
 
 
DIRECTORES DE TESIS 
 
DR. MAURO ALBERTO ENCISO AGUILAR 
DR. JORGE ROBERTO SOSA PEDROZA 
 
 
 
 
 
 
MÉXICO, D. F. ENERO 2008
 
 
Análisis y modelado de una guía de onda integrada en un sustrato semiconductor como interfase de 
comunicación ultra rápida 
José Ricardo García Olivo 
 
 
RESUMEN 
 
Análisis y modelado de una guía de onda integrada en un sustrato como interfase de 
comunicación ultra rápida 
 
Se utiliza el método de diferencias finitas en el dominio del tiempo (MDFDT) para 
modelar una guía de onda integrada, analizar su propagación en altas frecuencias y 
cuantificar la dispersión electromagnética. El diseño se optimiza por medio de la 
utilización de un dieléctrico como medio de propagación y el uso de reflectores planos y 
de esquina para aumentar la directividad del radiador. Se obtienen resultados de patrones 
de dispersión así como de distribuciones de campo tanto dentro como fuera de la guía de 
onda. El dispositivo busca ser una alternativa a las estructuras electromagnéticas de 
banda prohibida, comportándose como una línea de transmisión para operación en altas 
frecuencias y de fácil construcción e integración con la tecnología del silicio. 
 
 
 
 
ABSTRACT 
 
Analysis and modeling of an integrated waveguide in substrate as an ultrafast 
communication interface 
 
Finite-difference time-domain method (FDTD) is used to model an integrated waveguide, 
analyze its high frequency wave propagation and measure dissipated energy. Design is 
optimized by means of a dielectric implementation inside the waveguide and the use of 
plane and corner reflectors to increase radiators directivity. Dispersion patterns and the 
inside/outside waveguide field distributions are obtained. This device looks forward to be 
an alternative to photonic crystals and electromagnetic bandgap structures as an easy to 
construct, silicon compatible, high frequency transmission line. 
 
 
 
Análisis y modelado de una guía de onda integrada en un sustrato semiconductor como interfase de 
comunicación ultra rápida 
José Ricardo García Olivo 
 
 - II - 
 
TABLA DE CONTENIDO 
 
 
 Introducción VII 
 Antecedentes IX 
 Justificación X 
 Objetivo XI 
 
1. Estado actual de la tecnología y marco teórico 1 
 1.1 Planteamiento de la problemática y panorama actual de la tecnología 1 
 1.2 Ecuaciones de Maxwell 3 
 1.2.1 Propiedades constitutivas o materiales 4 
 1.3 Ecuación de onda y fenómenos de propagación 5 
 1.4 Líneas de transmisión 6 
 1.5 Guías de onda 7 
 1.6 Bibliografía 10 
 
2. Diseño del modelo e implementación del método numérico 11 
 2.1 Estructura de la guía de onda integrada 12 
 2.2 La fuente de alimentación y elección del reflector 13 
 2.3 Configuración como guía de onda dieléctrica 15 
 2.4 Miniaturización de la guía de onda integrada 16 
 2.5 Implementación del método numérico 17 
 2.5.1 Definición de la región de cálculo 18 
 2.5.2 Las ecuaciones de Maxwell como ecuaciones de diferencias 20 
 2.5.3 Fuente de alimentación 25 
 2.5.4 Condiciones de frontera 26 
 2.6 Consideraciones de programación del método de diferencias finitas en el 
 dominio del tiempo 27 
 2.6.1 Pseudocódigo 28 
 2.7 Cuantificación y visualización de resultados con el MDFDT 29 
 2.7.1 Distribuciones de campo 29 
 2.7.2 Patrones de dispersión 30 
 2.7.3 Coeficiente de transmisión y pérdidas 31 
 2.8 Bibliografía 32 
 
3. Simulaciones y análisis de los resultados 33 
 3.1 Estudio no.1 – Comparación entre las guías con reflectores de esquina 
90º y 60º y reflector plano 33 
 3.1.1 Objetivo 33 
 3.1.2 Desarrollo 34 
 3.1.3 Análisis de los resultados 35 
 3.2 Estudio no. 2 – Variación de la distancia entre la antena y la esquina 36 
 
Análisis y modelado de una guía de onda integrada en un sustrato semiconductor como interfase de 
comunicación ultra rápida 
José Ricardo García Olivo 
 
 - III - 
del reflector de esquina (para 90º y 60º). Comparación de las 
distribuciones de campo y de los patrones de dispersión 
 3.2.1 Objetivo 36 
 3.2.2 Desarrollo 36 
 3.2.3 Primera parte: Reflector 90º 37 
 3.2.4 Análisis de resultados, reflector de 90º 37 
 3.2.5 Segunda parte: reflector 60º 39 
 3.2.6 Análisis de resultados, reflector de 60º 39 
 3.2.7 Tercera parte: elección de la configuración óptima distancia-
reflector 41 
 3.3 Estudio no. 3 – Experimentos con dieléctricos fuera y dentro de la 
guía de onda 42 
 3.3.1 Objetivo 42 
 3.3.2 Desarrollo 43 
 3.3.3 Primera parte: Comparación guía con dieléctrico / guía sin 
dieléctrico 43 
 3.3.4 Análisis de resultados 44 
 3.3.5 Segunda parte: incorporación de paredes dieléctricas 46 
 3.3.6 Análisis de resultados 47 
 3.4 Estudio no. 4 – Miniaturización de la guía de onda dieléctrica 48 
 3.4.1 Objetivo 48 
 3.4.2 Desarrollo 48 
 3.4.3 Análisis de resultados 49 
 3.5 Estudio no. 5 – Caracterización de la guía de onda dieléctrica 49 
 3.5.1 Objetivo 49 
 3.5.2 Desarrollo 50 
 3.5.3 Análisis de resultados 51 
 
4. Conclusiones y perspectivas 53 
 4.1 Conclusiones 53 
 4.2 Consideraciones de la implementación del método numérico 54 
 4.3 Perspectivas 55 
 4.4 Propuestas para trabajos futuros 55 
 
A. Tablas de configuraciones iniciales para las simulaciones 57 
 
B. Código fuente 68 
 B.1 Código fuente en lenguaje C programa MDFDT 69 
 B.2 Programa para graficación de distribuciones de campo en MATLAB 94 
 B.3 Programa para graficación de patrones de dispersión en MATLAB 95 
 
Análisis y modelado de una guía de onda integrada en un sustrato semiconductor como interfase de 
comunicación ultra rápida 
José Ricardo García Olivo 
 
 - IV - 
 
RELACIÓN DE TABLAS Y FIGURAS 
 
 
TABLAS 
 
Tabla 2.1 Datos de la guía de onda de placas planas paralelas retomada como antecedente. 12 
Tabla 2.2 Planos de los cortes para la graficación de las componentes de campo. 
 
29 
Tabla 3.1 Datos experimentales para el Estudio 1. 34 
Tabla 3.2 Distancias del reflector a la antena. 36 
Tabla 3.3 Datos experimentales para el Estudio 2 – Exp45C-J. 37 
Tabla 3.4 Datos experimentales para el Estudio 2 – Exp43C-J. 39 
Tabla 3.5 Datos experimentales para el Estudio 3, primera parte. 43 
Tabla 3.6 Datos experimentales para el Estudio 3, segunda parte. 46 
Tabla 3.7 Datos experimentales para el Estudio 4. 49 
Tabla 3.8 Datos experimentales para el Estudio 5 50 
 
 
FIGURAS 
 
Figura 1.1 Tipos de líneas de transmisión: a) cable coaxial, b) cable bifilar, c)microcinta. 6 
Figura 1.2 Guías de onda metálicas: a) rectangular, b) circular, c) guía de placas paralelas. 7 
Figura 1.3 Guías de onda dieléctricas: a) rectangular o bloque, b) fibra óptica. 7 
Figura 1.4 Guía de placas planas paralelas, a) propagación por reflexión, b) guía con placas 
grandes donde a b>> . 
8 
Figura 1.5 Reflexión interna total dentro de una guía de onda dieléctrica. 
 
8 
Figura 2.1 Una guía de onda integrada preeliminar como interconexión entre dos dispositivos 
de montaje superficial dentro de un circuito. 
11 
Figura 2.2 Guía de onda placas planas paralelas con sección transversal de 3x2 cm. La fuente 
de alimentación fue colocada exactamente en el centro de la guía. 
12 
Figura 2.3 Monopolo y fuente de alimentación considerado para los experimentos de la guía de 
onda integrada. 
14 
Figura 2.4 a) Reubicación de la fuente en un extremo de la guía, b) colocación de un elemento 
reflector. 
14 
Figura 2.5 El reflector de esquina, a) vista superior y características, b) implementado en la 
guía de onda. 
15 
Figura 2.6 Guía de onda configuradacomo guía dieléctrica, a) con dieléctrico en el interior de 
la guía, b) con revestimientos dieléctricos adicionales. 
16 
Figura 2.7 Región de cálculo, a) determinación de las dimensiones de la región de cálculo, b) 
discretización en células de Yee; , y Max Max Maxi j k corresponden a los valores 
máximos de cada lado. 
18 
Figura 2.8 Célula de Yee. 19 
Figura 2.9 Vista lateral de la guía de onda integrada dividida en células de Yee. 25 
Figura 2.10 Diagrama de flujo de la operación del programa con el MDFDT. 27 
 
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 - V - 
Figura 2.11 Definición de los cortes para las gráficas de distribuciones de campo. 29 
Figura 2.12 Puntos de medición para un patrón de dispersión sobre el plano transversal. 
 
31 
Figura 3.1 Estudio 1. Comparación entre los reflectores plano y de esquina 34 
Figura 3.2 Gráficas de distribuciones de la magnitud de campo eléctrico para los experimentos 
del Estudio I. a-d) Guía de onda de placas paralelas con reflector plano, e-h) guía de 
onda de placas paralelas con reflector de esquina de 90°, i-l) Guía de onda de placas 
planas con reflector de esquina de 60° . Se presentan cortes longitudinales verticales 
a la orilla de la guía y en el centro de la misma, además un corte longitudinal 
horizontal de la placa inferior y en la última columna un corte de la sección 
transversal de la guía a la altura de la antena. 
34 
Figura 3.3 Comparación entre los patrones de radiación para el Estudio 1. a) longitudinal 
vertical, b) longitudinal horizontal, c) sección transversal. 
35 
Figura 3.4 Gráficas de distribuciones de la magnitud de campo eléctrico para los experimentos 
del Estudio 2, para el caso del reflector de 90°. Las columnas (a)-(h), representan los 
experimentos cada uno con una variación del valor de la distancia del reflector a la 
antena d. Las filas (1)-(6) muestran los distintos cortes que se representan: 
longitudinales verticales: a la orilla de la guía y en el centro; longitudinales 
horizontales: sobre la placa inferior, justo encima de esta misma, y a la mitad entre 
las dos placas; y un corte de la sección transversal a la altura de la antena. 
37 
Figura 3.5 Comparación entre los patrones de radiación para el Estudio 2 caso reflector de 90º. 
a) longitudinal vertical, b) longitudinal horizontal, c) sección transversal. 
38 
Figura 3.6 Gráficas de distribuciones de la magnitud de campo eléctrico para los experimentos 
del Estudio 2, para el caso del reflector de 60°. Las columnas (a)-(h), representan los 
experimentos cada uno con una variación del valor de la distancia del reflector a la 
antena d. Las filas (1)-(6) muestran los distintos cortes que se representan: 
longitudinales verticales: a la orilla de la guía y en el centro; longitudinales 
horizontales: sobre la placa inferior, justo encima de esta misma, y a la mitad entre 
las dos placas; y un corte de la sección transversal a la altura de la antena. 
39 
Figura 3.7 Detalle del corte longitudinal horizontal, un Δ arriba de la fuente, para el reflector 
de 60º cuando 2 / 3 d λ= . 
40 
Figura 3.8 Comparación entre los patrones de radiación para el Estudio 2 caso reflector de 60º. 
a) longitudinal vertical, b) longitudinal horizontal, c) sección transversal. 
40 
Figura 3.9 Comparación entre los patrones de radiación para el Estudio 2. a) longitudinal 
vertical, b) longitudinal horizontal, c) sección transversal. 
42 
Figura 3.10 Sección transversal para los experimentos del estudio 3. El valor gp corresponde al 
grosor de las paredes dieléctricas 
43 
Figura 3.11 Gráficas de distribuciones de la magnitud de campo eléctrico para los experimentos 
del Estudio 3, Primera parte. Las filas (1)-(3) indican los experimentos realizados: 
sin dieléctrico al interior, con dieléctrico y f = 3.75 GHZ y con dieléctrico y f = 6.0 
GHz. Las columnas (a)-(e) representan los cortes realizados: longitudinales 
verticales: a la orilla de la guía y en el centro de esta; longitudinal horizontal a la 
mitad entre las dos placas; y corte de la seccióntransversal a la altura de la guía de 
onda. Se presentan tanto valores totales de campo (gráficas de fondo azul) como 
componentes independientes de campo (gráficas fondo verde). 
44 
Figura 3.12 Comparación entre los patrones de radiación para el estudio 3 primera parte. a) 
longitudinal vertical, b) longitudinal horizontal, c) sección transversal. 
45 
Figura 3.13 Gráficas de distribuciones de la magnitud de campo eléctrico para los experimentos 
del Estudio 3, Segunda parte. Las filas (1)-(3) indican los experimentos realizados: 
sin paredes laterales; con paredes laterales dieléctricas con dieléctrico εr2 = 2.45; y 
la tercera fila con paredes laterales dieléctricas con dieléctrico εr2 = 1.25. Las 
columnas (a)-(e) representan los cortes realizados: longitudinales verticales: a la 
orilla de la guía y en el centro de ésta; longitudinal horizontal a la mitad entre las 
hos placas; y corte de la sección transversal a la altura de la guía de onda. Se 
46 
 
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 - VI - 
presentan tanto valores totales de campo (gráficas de fondo azul) como 
componentes independientes de campo (gráficas fondo verde). 
Figura 3.14 Comparación entre los patrones de radiación para el Estudio 3, Segunda parte. a) 
longitudinal vertical, b) longitudinal horizontal, c) sección transversal. 
47 
Figura 3.15 Gráficas de las distribuciones de campo eléctrico total para los experimentos del 
Estudio 4. Las columnas (a)-(e) representan los experimentos a distinta frecuencia y 
sus dimensiones en milímetros vienen indicadas. Las filas (1)-(3) representan los 
cortes realizados para el análisis: 1) longitudinal vertical al centro de la guía, 2) 
longitudinal horizontal a la mitad entre las dos placas, y 3) sección transversal a la 
altura de la antena. 
49 
Figura 3.16 Guía de onda dieléctrica con características optimizadas. 50 
Figura 3.17 Gráficas de las distribuciones de campo eléctrico y magnético para la guía onda 
propuesta en el Estudio 5. Se presentan diferentes cortes, en cada caso se grafica las 
componentes de campo como el campo total. Nota: La escala para el campo 
eléctrico es distinta que la escala del campo magnético. Cortes: (a,f) Longitudinal 
vertical a la mitad de la guía, (b,g) longitudinal vertical en la pared lateral, (c,h) 
sección transversal a la altura de la antena, (d,i) longitudinal horizontal a la mitad 
entre las dos placas,(e,j) longitudinal horizontal una Δ arriba de la placa inferior. 
51 
Figura 3.18 Fotogramas que forman parte de una animación de un corte longitudinal vertical a la 
altura de la fuente. Guía de onda integrada. 
52 
Figura 3.19 Patrones de dispersión. Guía de onda integrada. a) longitudinal vertical, b) 
longitudinal horizontal, c) sección transversal. 
52 
Figura 3.20 Vista lateral de la guía de onda integrada donde se especifican los puntos de 
medición. 
52 
Figura 3.21 Lectura de los detectores de campo electromagnético. Guía de onda integrada 52 
 
 
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 - VII - 
 
 
 
 
INTRODUCCIÓN 
 
 
 
En este trabajo de tesis se trata una problemática muy presente en la ingeniería 
electrónica y de comunicaciones. Las interconexiones alámbricas entre dispositivos 
electrónicos que forman parte, ya sea dentro de un circuito integrado o en una placa de 
circuito impreso, presentan una limitación física cuando la frecuencia de operación en 
dicho circuito se eleva a valores tales que implican que la longitud de onda sea de tamaño 
comparable al del dispositivo o la interconexión. Cuando esto sucede, la señal se ve 
afectada por irregularidadescomo acoplamientos cruzados y efectos radiados las cuales 
afectan su integridad y, subsecuentemente, el desempeño de los dispositivos. 
 
En la actualidad, diversos intentos se hacen por mitigar estos efectos parásitos, 
como las estructuras electromagnéticas de banda prohibida, solo por mencionar algunos 
ejemplos. Sin embargo, algunas de estas aplicaciones implican estructuras muy complejas 
y/o costosas; además de ser, en algunos casos, incompatibles con la tecnología dominante 
en la actualidad: electrónica de estado sólido basada en el silicio. 
 
En esta tesis se propone una estructura sencilla, la cual consiste en una guía de 
onda dieléctrica que puede ser integrada dentro de un circuito y cuyo objetivo es operar 
en altas frecuencias. La parte fundamental de la investigación radica en que la energía 
dispersa debe ser mínima para no afectar al resto del circuito, por lo que se busca la 
mayor directividad posible en el dispositivo. 
 
Las simulaciones de la propagación electromagnética dentro de la guía de onda se 
llevan a cabo con el método de diferencias finitas en el dominio del tiempo (MDFDT), el 
cual permite encontrar una solución explícita a las ecuaciones de Maxwell en tiempo y 
espacio, de manera que se obtengan las distribuciones de campo en el dispositivo en 
cualquier momento dado. 
 
A través de este trabajo, se explica cómo se llega al diseño final de la guía de 
onda, pasando por distintas etapas que permiten ir discriminando, siempre desde un punto 
de vista de ingeniería, factores de diseño determinantes para la operación del dispositivo. 
 
El trabajo se encuentra dividido en cuatro capítulos y dos apéndices. 
 
El Capítulo 1 presenta un estado del arte de la tecnología buscando posicionar el 
problema y delimitarlo. Además introduce algunas generalidades como las ecuaciones de 
 
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 - VIII - 
Maxwell y los fenómenos de propagación a considerar. También enumera los tipos de 
líneas de transmisión y guías de onda. 
 
El Capítulo 2 plantea la solución propuesta así como menciona los trabajos de 
investigación a partir de los cuales se inicia el presente. Se desarrolla la implementación 
del método computacional directamente sobre la estructura planteada, tratando los puntos 
de algoritmo necesarios para su comprensión. Finalmente se mencionan los tipos de 
cuantificaciones aplicadas a las simulaciones. 
 
El Capítulo 3 presenta el desarrollo de las simulaciones realizadas, sus resultados 
y un análisis de los mismos. Este capítulo está dividido en Estudios, avanzando paso a 
paso hasta la implementación final de la estructura optimizada. Dicha estructura se 
considera como un diseño que puede ser construido y medido en el laboratorio. 
 
El Capítulo 4 contiene las conclusiones obtenidas tras el análisis de los resultados 
y a través de toda la investigación. Se complementa con perspectivas de aplicaciones al 
dispositivo, así como con propuestas para trabajos futuros. 
 
El Apéndice A presenta una serie de tablas de referencia, las cuales contienen las 
condiciones iniciales con las que se realizó cada experimento contenido en el trabajo. 
 
El Apéndice B contiene el código fuente en lenguaje C que se utilizó para el 
modelado y simulación de la propagación electromagnética en la guía de onda, así como 
los programas de código MATLAB para la visualización de los resultados. 
 
 
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 - IX - 
 
 
 
 
 
ANTECEDENTES 
 
 
Las interconexiones comúnmente utilizadas en circuitos electrónicos de alta frecuencia, 
como los correspondientes a los microprocesadores de las computadoras, presentan 
fenómenos que alteran la integridad de la señal notablemente cuando se trabaja en altas 
frecuencias, del orden de los 3 a 10 GHz. De tal forma que si la longitud de onda de la 
señal es comparable a las dimensiones físicas de la línea de transmisión utilizada, estos 
efectos parásitos impiden la correcta operación de los dispositivos. 
 
Sin embargo, las exigencias de incremento de la velocidad de operación de los 
dispositivos y su miniaturización obligan a los científicos e ingenieros a idear una 
solución a estos problemas. Un planteamiento es la utilización de estructuras 
electromagnéticas de banda prohibida1, en las cuales se utiliza una línea de transmisión 
con la que se propaga de manera inalámbrica la señal electromagnética que se desea, 
mediante una arquitectura compleja. 
 
Una estructura electromagnética de banda prohibida consiste en un objeto 
tridimensional periódico que impide la propagación electromagnética en una específica 
banda de frecuencia, para alguno o todos los ángulos y estados de polarización. 
 
Esta tesis forma parte de una serie de trabajos realizados por alumnos e 
investigadores de la Sección de Posgrado en Telecomunicaciones de la ESIME 
Zacatenco. En dichos trabajos se ha utilizado el método de diferencias finitas en el 
dominio del tiempo aplicando el mismo algoritmo computacional del que se hará uso en 
esta ocasión. Mediante estos trabajo de tesis la aplicación del método ha sido validada 
mediante obtención de: 
 
• Distribución del campo electromagnético dentro de una guía de onda rectangular. 
• Campo radiado por una guía de onda de placas planas paralelas. 
• Campo radiado por una guía de onda ranurada. 
 
 
1 J.J. Simpson, A. Teflove, J.A. Mix, H. Heck, Computational and experimental study of a microwave 
electromagnetic bandgap structure with waveguiding defect for potential use as a bandpass wireless 
interconnect, IEEE microwave and wireless components letters, vol. 14, no. 7, pp 343-345, Jul 2004 
 
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 - X - 
 
 
 
 
 
JUSTIFICACIÓN 
 
 
En este trabajo se busca una alternativa a las estructuras electromagnéticas de banda 
prohibida mediante una guía de onda milimétrica integrada con la cual se permita el 
confinamiento del mayor porcentaje de señal posible, buscando con esto obtener una 
línea de transmisión milimétrica para la interconexión de dispositivos dentro de un 
circuito. 
 
Como la guía de onda requiere tener una estructura especial para lograr el 
confinamiento de la señal con las menores pérdidas posibles, la cual deberá 
necesariamente contar con una composición especial de materiales los cuales vayan 
absorbiendo la energía electromagnética en las paredes de la guía. También contará con 
placas planas paralelas de material conductor eléctrico perfecto, colocadas en la parte 
superior e inferior de la guía, donde se aprovechen la reflexiones internas que la onda 
ejecute en ellas. Adicionalmente, un reflector ayudará a que el elemento radiador o 
antena alimentadora, concentre la mayor parte de la energía electromagnética al interior 
de la guía. 
 
Estas características comprenden una estructura cuya complejidad física dificulta 
la determinación de su comportamiento electromagnético a través de un punto de vista 
analítico, por lo que un análisis mediante métodos numéricos asistidos por computadora 
se vuelve necesario. El método de las diferencias finitas en el dominio del tiempo 
(MDFDT) permite mucha flexibilidad al analizar problemas que conlleven arquitecturas 
complicadas y geometrías especiales, por lo tanto será utilizado para el análisis de la guía. 
 
El uso del MDFDT permite resolver directamente las ecuaciones de Maxwell 
aprovechando que estas presentan una solución completa en tiempo y espacio a las 
distribuciones de campo electromagnético. El uso del electromagnetismo asistido por 
computadora permite, tanto al ingeniero como al investigador obtener una simulación deuna estructura en un tiempo menor al que tomaría la fabricación para la medición de la 
misma, además de la capacidad de hacer modificaciones rápidas. Así que el método 
computacional se puede considerar más rápido y flexible que el experimental. 
 
 
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 - XI - 
 
 
 
 
 
 
OBJETIVO 
 
 
Proponer el modelo de una estructura que presente una alternativa viable al problema de 
la presencia de efectos parásitos en las interconexiones entre elementos de un circuito de 
alta frecuencia, mediante el uso de una guía de onda integrada que permita mantener la 
integridad de la señal transmitida. 
 
 
 
 
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 - 1 - 
 
 
 
 
 
Capítulo 1 
ESTADO ACTUAL DE LA TECNOLOGÍA Y MARCO 
TEÓRICO 
 
 
1.1 PLANTEAMIENTO DE LA PROBLEMÁTICA Y PANORAMA 
ACTUAL DE LA TECNOLOGÍA 
 
Conforme se va incrementando la capacidad de los dispositivos electrónicos, la velocidad 
de conmutación de los transistores, el ancho de banda de operación de los dispositivos de 
comunicación, etc., se hace necesario un incremento en la frecuencias de operación de las 
líneas que los interconectan. Cuando dichas frecuencias de operación llegan a valores 
tales que la longitud de onda es comparable con las dimensiones físicas de los 
dispositivos y de las líneas de transmisión, es inevitable la aparición de efectos 
indeseables en la señal, a los cuales se les conoce como efectos parásitos. Estas 
inconsistencias pueden ser pérdidas en la integridad de la señal, acoplamientos cruzados 
o efectos radiados, entre otros. 
 
 Hasta hace casi una década, las limitaciones en la velocidad de operación de los 
dispositivos estaba dada por la tecnología de los elementos electrónicos que los 
componían, las líneas de transmisión que los interconectaban se comportaban como 
elementos pasivos que poco contribuían constructiva o destructivamente a la señal que se 
transmitía. 
 
Con las necesidades tecnológicas actuales, donde la velocidad de reloj de los 
microprocesadores y las altas tasas de transmisión en los sistemas de telecomunicaciones 
modernos, obligan a la construcción de dispositivos electrónicos más rápidos; las líneas 
de transmisión dejan de ser un elemento pasivo aportando efectos no deseados que se 
suman a las afectaciones propias de la señal que se transmite. 
 
 Existen varias razones en las que las interconexiones electrónicas limitan la 
velocidad de los dispositivos electrónicos, entre ellas destacan1: 
 
1 L. Martens, High-frequency characterization of electronic packaging, Kluwer Academic Publishers, 
USA, 2001, p. 2-3. 
 
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ultra rápida 
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 - 2 - 
 
• En frecuencias altas, los efectos de las líneas de transmisión toman mayor 
importancia, ya que se manifiestan como retrasos y reflexiones cuando se 
encuentran inconsistencias. 
• Las discontinuidades también pueden generar campos reactivos que conllevan 
efectos capacitivos e inductivos. 
• Las interconexiones en tecnologías como película gruesa y del silicio son líneas 
de transmisión con pérdidas, las cuales, en frecuencias altas, presentan efectos de 
dispersión debidos a sus constantes de propagación dependientes de la frecuencia, 
por los que pueden aparecer efectos resonantes y radiados. 
• Los retrasos pueden causar errores de sincronía en circuitos digitales, además de 
interferencia intersímbolo. 
• Las discontinuidades pueden comportarse como filtros de altas frecuencias, 
limitando el ancho de banda de operación del circuito. 
• La miniaturización de los sistemas y sus circuitos implica densas estructuras 
donde las interconexiones se encuentran colocadas más cerca unas de las otras . 
Las señales en una línea producen señales en las líneas e interconexiones 
adyacentes. Este efecto se conoce como diafonía y es una de las principales 
causas de pérdida en la integridad de la señal en circuitos integrados. 
 
En la actualidad las interconexiones ópticas2, como las fibras ópticas o las líneas 
de transmisión hechas de materiales III-V pueden presentar una solución al problema, sin 
embargo, no resultan del todo viables económicamente ya que utilizan fuentes ópticas de 
arseniuro de galio (GaAs) las cuales requieren una costosa y compleja integración con el 
silicio usado en las placas de circuitos electrónicos. Además, han surgido algunas 
alternativas como la interconexión inalámbrica basada en una estructura electromagnética 
de banda prohibida, adaptada como una guía de onda, en donde los fenómenos planteados 
en la problemática son mitigados debido a que no hay conductores con las dimensiones 
equiparables a la longitud de onda3. 
 
En este trabajo de Tesis se propone una estructura basada en una guía de onda 
dieléctrica, con placas planas paralelas para la propagación guiada e inalámbrica de una 
onda electromagnética de alta frecuencia. Mediante la novedosa combinación de un 
material dieléctrico adecuado, un radiador y un reflector de esquina, se obtiene una 
estructura directiva capaz de confinar la energía electromagnética dentro de ella, además 
de mantener la integridad de la señal. 
 
La estructura propuesta tiene la ventaja de que, al ser inalámbrica, no se perciben 
los efectos parásitos no deseados inclusive a frecuencias mayores de los 20 GHz. En este 
capítulo se presenta un panorama general de estructuras como las líneas de transmisión y 
 
2 S. Lammers, Intel prepares for optical-interconnect future, EETimes.com, Agosto 2004, 
http://www.eetimes.com/showArticle.jhtml?articleID=18311314 
3 J.J. Simpson, A. Teflove, J.A. Mix, H. Heck, Computational and experimental study of a microwave 
electromagnetic bandgap structure with waveguiding defect for potential use as a bandpass wireless 
interconnect, IEEE microwave and wireless components letters, vol. 14, no. 7, pp 343-345, Jul 2004 
 
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 - 3 - 
guías de onda, así como una descripción de los fenómenos electromagnéticos 
involucrados en la propagación de ondas a través de éstos. 
 
1.2 ECUACIONES DE MAXWELL 
 
La propagación de ondas electromagnéticas en medios tanto guiados como no guiados se 
analiza por medio de las ecuaciones de Maxwell, que representan todos los fenómenos 
posibles asociados con las ondas electromagnéticas4. Estas ecuaciones integraron 
distintos postulados obtenidos a raíz de experimentos eléctricos y magnéticos5. Esta 
integración se debe al físico y matemático escocés James Clerk Maxwell en 1865; 
finalmente, el físico inglés Oliver Heaviside en 1872 las desarrolla en su comúnmente 
utilizada forma vectorial: 
 
 
t
∂
∇× = − −
∂
BE M , (1.1) 
 
 
t
∂
∇× = +
∂
DH J , (1.2) 
 
 ρ∇ ⋅ =D , (1.3) 
 
 0∇ ⋅ =B , (1.4) 
 
 
donde, las cantidades expresadas en el Sistema Internacional son: 
H Campo magnético [ ]/A m 
 E Campo eléctrico [ ]/V m 
 M Densidad de corriente magnética 2/W m⎡ ⎤⎣ ⎦
6 
 J Densidad de corriente eléctrica 2/A m⎡ ⎤⎣ ⎦ 
 D Densidad de flujo eléctrico o campo de desplazamiento 2/C m⎡ ⎤⎣ ⎦ 
 B Densidad de flujo magnético o campo de inducción magnética 2/W m⎡ ⎤⎣ ⎦ 
 ρ Densidad de carga eléctrica 3/C m⎡ ⎤⎣ ⎦ 
 
con las siguientes relaciones constitutivas: 
 
 
4 En el régimen clásico, no relativista. 
5 Ley de inducción de Faraday, ley circuital de Ampere y las leyes de Gauss para la electricidad y 
magnetismo. 
6 Elemento ficticio añadido por simetría. 
 
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 - 4 - 
 ε=D E (1.5) 
 
 μ=B H (1.6) 
 
 σ=J E (1.7) 
 
 σ ′=M H (1.8) 
 
 
donde ε , μ , σ , y σ ′ es decir la permitividad, permeabilidad y las conductividades 
eléctrica y magnética, respectivamente, se conocen como las propiedades constitutivas 
del medio o el material por donde se realiza la propagación de las ondas 
electromagnéticas. Estas propiedades van a afectar de distintas formas el comportamiento 
de la onda a través del medio; determinan si se trata de un dieléctrico, un conductor, un 
material con bajas pérdidas, etc. 
 
1.2.1 Propiedades constitutivas o materiales 
 
En el espacio libre, [ ]128.854 10 /F mε −= × y [ ]74 10 H/mμ π −= × . A estos valores se 
les conoce como 0ε y 0μ respectivamente, cualquier propiedad de otro material puede 
ser representada por el producto de estas propiedades y las propiedades relativas ,r rε μ de 
dicho material mediante las ecuaciones 
 
 0rε ε ε= , (1.9) 
 
 0rμ μ μ= . (1.10) 
 
Estas mismas determinan otra característica importante para describir un medio: la 
impedancia intrínseca; la cual está dada por: 
 
 j
j
ωμη
σ ωε
=
+
 [ ]Ω , (1.11) 
 
 donde 1j = − y 2 fω π= radianes es la frecuencia angular de la onda con frecuencia 
de oscilación f hertz propagándose por el medio. También la velocidad de propagación 
de la onda electromagnética va a estar determinada por dichas propiedades constitutivas: 
 
 1u
με
= m
s
⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
. (1.12) 
 
 
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 - 5 - 
Así mismo, es importante mencionar que para un material que es un buen conductor 
eléctrico, σ → ∞ ; sin embargo, como se verá en este trabajo, para facilitar algunos 
análisis se puede considerar materiales conductores eléctricos perfectos, donde σ = ∞ . 
 
1.3 ECUACIÓN DE ONDA Y FENÓMENOS DE PROPAGACIÓN 
 
Como se mencionó, a partir de las ecuaciones de Maxwell se derivan los distintos 
modelos matemáticos que describen a las ondas electromagnéticas, como son las 
ecuaciones vectoriales de onda para campo eléctrico y magnético dadas por 
 
 2 2 0,k∇ + =E E (1.13) 
 
 2 2 0,k∇ + =H H (1.14) 
 
también conocidas como ecuaciones de Helmholtz las cuales se derivan de las ecuaciones 
de Maxwell rotacionales (1.1) y (1.2), respectivamente7. El escalar 2 ( )k j jωμ σ ωε= − + 
se conoce como número de onda del medio de propagación. Las ecuaciones (1.13) y 
(1.14) pueden separarse en sus componentes cartesianas, 
 
 2 2 0, , ,i iE k E i x y z∇ + = = , (1.15) 
 
 2 2 0, , ,i iH k H i x y z∇ + = = , (1.16) 
 
donde, si se considera por ejemplo, la variación del campo eléctrico polarizado en x 
únicamente en la dirección z, entonces la solución para la ecuación diferencial de 
segundo orden (1.15), considerando la propagación en un solo medio para i x= es: 
 
 ( ) ,z zx xo xoE z E e E e
γ γ+ − − += + (1.17) 
 
donde xoE
+ y xoE
− son las amplitudes constantes de las ondas incidente y reflejada, 
respectivamente, así como γ es la constante de propagación dada por: 
 
 ( )jk j jγ ωμ σ ωε= = + . (1.18) 
 
De esta manera se observa que las propiedades del medio determinan las 
características de propagación dentro del medio. Esto se va a poder comprobar 
posteriormente con los resultados experimentales. 
 
 
7 Aplicando el rotacional a ambos lados de la ecuación y posteriormente la identidad vectorial 
( ) 2∇×∇× = ∇ ∇ ⋅ − ∇A A A 
 
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 - 6 - 
1.4 LÍNEAS DE TRANSMISIÓN 
 
Las líneas de transmisión son los medios guiados por excelencia. Transmiten ondas 
electromagnéticas en bajas y altas frecuencias dependiendo la aplicación en ingeniería 
para la que se requieran. Cualquier configuración de cables y conductores que transporten 
corrientes opuestas se puede considerar como una línea de transmisión. 
 
Sin embargo, esto por lo general se refiere a una línea de transmisión uniforme 
donde dos o más conductores mantienen la mismas dimensiones y proporciones en la 
sección transversal a través de sus longitudes. Las líneas de transmisión son los 
componentes esenciales en prácticamente todos los sistemas eléctricos y dispositivos, que 
transportan energía y señales de un punto a otro. Pueden tomar forma de cables, 
comúnmente los cables coaxiales donde hay un conductor central rodeado por uno 
exterior de manera concéntrica separados por un dieléctrico, como se puede ver en la 
Figura 1.1.a. Otra línea de transmisión es la línea de par de cables conductores separados 
con un dieléctrico que les proporciona soporte mecánico. Esta se muestra en la Figura 
1.1.b. 
 
Figura 1.1 Tipos de líneas de transmisión: a) cable coaxial, b) cable bifilar, c)microcinta. 
 
Las líneas de transmisión que se encuentran comúnmente en las tarjetas de 
circuito impreso son del tipo microcinta donde el conductor superior conocido como la 
pista interconecta los elementos del circuito y el conductor inferior actúa como el plano 
de tierra8. Ambos conductores se encuentran separados por un dieléctrico (Ver Figura 
1.1.c). Estas líneas de transmisión se han popularizado ya que pueden ser construidas con 
la misma tecnología con la que se construyen las tarjetas de circuito impreso, en realidad, 
todos los tramos de conductores en tarjetas de circuitos impresos pueden ser considerados 
como líneas de transmisión. 
 
 
8 Cuando una línea de transmisión tiene, a lo largo de toda su extensión, la misma sección transversal y la 
misma referencia a tierra se le conoce como una línea de transmisión balanceada. 
 
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 - 7 - 
1.5 GUÍAS DE ONDA 
 
Las guías de onda son similares a las líneas de transmisión en el sentido de que 
transportan energía electromagnética en un camino específico, sin embargo, la diferencia 
fundamental es que las guías de onda consisten de un solo conductor. 
 
Las guías de onda se pueden clasificar en dos grandes clases: guías de onda 
metálicas y guías de onda dieléctricas. Las guías metálicas utilizan materiales 
conductores para confinar la onda dentro de la guía. Se pueden clasificar de acuerdo a la 
forma de su sección transversal como se ve en las Figuras 1.2.a-c. Las guías dieléctricas 
utilizan las diferencias encontradas en la frontera entre dieléctricos para confinar la 
energía mediante reflexiones. La guía de onda de placas planas paralelas se considera una 
transición entre las líneas de transmisión y las guías de onda. 
 
 
Figura 1.2 Guías de onda metálicas: a) rectangular, b) circular, c) guía de placas 
paralelas. 
 
 En las figuras 1.3a,b se pueden observar 2 tipos de guías de onda dieléctricas, 
donde la más conocida por su versatilidad y aplicación en muchísimas situaciones de 
ingeniería es la fibra óptica. 
 
Como antecedente al trabajo realizado en esta Tesis es necesario mencionar 
algunos aspectos adicionales a dos guías: la de placas paralelas y la dieléctrica de bloque. 
 
 
Figura 1.3 Guías de onda dieléctricas: a) rectangular o bloque, b) fibra óptica. 
 
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 - 8 - 
 
 La guía de onda de placas paralelas, considera una separación entre las placas 
menor que el ancho de las mismas ( a b>> ). En ella, la propagación electromagnética se 
lleva a cabo a través de la reflexión de la onda en las placas superior e inferior como se 
observa en la Figura 1.4.a. A medida que las placas se incrementen de tamaño, se puede 
considerar que dentro de ellas se forma una ondaque sólo varía en la dirección de 
propagación, como se puede ver en la Figura 1.4.b. 
 
Figura 1.4 Guía de placas planas paralelas, a) propagación por reflexión, b) guía con placas grandes donde 
a b>> . 
 
La guía de onda dieléctrica rectangular o bloque9 se basa en el concepto de 
reflexión interna total que ocurre en la interfase entre dos dieléctricos, ver Figura 1.5. El 
principio de reflexión interna total plantea que cuando una onda plana incide en una 
pared de dieléctrico distinto a un ángulo iθ mayor que el ángulo cθ crítico dado por la 
ley de Snell10, la onda transmitida será mínima, ya que el ángulo de transmisión tθ 
disminuye causando una reflexión interna total de la misma. 
 
 
Figura 1.5 Reflexión interna total dentro de una guía de onda dieléctrica. 
 
 
9 Traducción literal del término en inglés dielectric slab waveguide encontrado en la literatura. 
10 1
2
sen
sen
t
i
n
n
θ
θ
= 
 
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Dicho ángulo crítico, en términos de permitividades se da por la siguiente 
expresión11: 
 
 2
1
1senc
ε
ε
θ −= (1.19) 
 
La cantidad de energía electromagnética reflejada y transmitida va a depender de 
la forma como la componente de campo eléctrico incide en la frontera entre los dos 
dieléctricos. Una componente de campo eléctrico perpendicular a la frontera implica una 
onda con polarización perpendicular o normal; a su vez, si la componente de campo 
eléctrico es paralela a la frontera se considera una polarización paralela u horizontal. Para 
determinar la cantidad de energía reflejada dentro del dieléctrico donde se origina la onda 
se utilizan los coeficientes de reflexión para ondas con polarizaciones perpendiculares y 
paralelas12: 
 
Polarización perpendicular: 
 
 2 1
2 1
cos cos
cos cos
i t
i t
η θ η θ
η θ η θ⊥
−
Γ =
+
 (1.20) 
Polarización paralela: 
 
 2 1||
2 1
cos cos
cos cos
t i
t i
η θ η θ
η θ η θ
−
Γ =
+
 (1.21) 
 
Si 0tθ = , entonces 1⊥Γ = y || 1Γ = − lo que implica que toda la energía se refleja 
y que en el caso paralelo existe además un cambio de fase. También es posible observar 
que en una guía de onda dieléctrica se debe cumplir que 1 2ε ε> , ya que en caso contrario 
la ecuación (1.19) arroja un ángulo con valores complejos. 
 
Aunque las características de las guías de onda aquí resaltadas implican en cada 
caso un análisis exhaustivo para encontrar las soluciones analíticas de las distribuciones 
de campo dentro de dichas estructuras, se sabe que las ecuaciones de Maxwell abarcan 
estos y muchos otros fenómenos electromagnéticos. Mas aún cuando el problema implica 
estructuras complejas que cuentan con medios no homogéneos. Es por ello que el 
enfoque de la Tesis es tal de encontrar una solución directa a las ecuaciones de Maxwell 
para la estructura propuesta en particular. 
 
 
11 Considerando medios no ferromagnéticos donde 0σ = y 0μ μ= . 
12 K. R. Demarest. Engineering Electromagnetics, Ed. Prentice Hall, USA, 1998. p. 546. 
 
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 - 10 - 
 
1.6 Bibliografía 
 
• F. de Dieuleveult, Electrónica aplicada a las altas frecuencias, Ed. Paraninfo, 
Madrid, ESPAÑA, 2000. 
• S. M. Wentworth, Fundamentals of electromagnetics with engineering 
applications, Ed. Wiley, 2004. 
• Electricidad y Magnetismo. Berkeley Physics course, vol 2, 2da edición, Ed. 
Reverté, Barcelona, ESPAÑA, 2001. 
• K. R. Demarest. Engineering Electromagnetics, Ed. Prentice Hall, USA, 1998. 
• N. J. Cronin Microwave and optical waveguides, Inst. Phys. Publishing. Bristol 
and Philadelphia. 1995. 
• Apuntes de circuitos de microondas del Dr. Mauro Enciso Aguilar. SEPI-ESIME-
Zacatenco. 
• Apuntes de electromagnetismo del Dr. José Luis López Bonilla. SEPI-ESIME-
Zacatenco. 
• http://en.wikipedia.org/wiki/Microwave 
• http://www.amanogawa.com/ 
 
 
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 - 11 - 
 
 
 
 
 
Capítulo 2 
DISEÑO DEL MODELO E IMPLEMENTACIÓN DEL 
MÉTODO NUMÉRICO 
 
 
 
Retomando el objetivo a alcanzar: diseñar un dispositivo que permita la interconexión 
entre dispositivos de un circuito, en donde se considere la operación de ondas 
electromagnéticas (OEM) en altas frecuencias y además éste tenga la menor dispersión 
posible para así no afectar a otros elementos del circuito, así como para lograr la máxima 
transferencia de energía. 
 
En el Capítulo I se introdujeron conceptos sobre el tema de las líneas de 
transmisión y las guías de onda. De aquí nace la idea de integrar una guía dentro del 
sustrato del circuito, aprovechando la capacidad en ancho de banda de estos dispositivos 
para evitar efectos parásitos que se presentan en las interconexiones convencionales, 
como la microcinta. 
 
La Figura 2.1 muestra un ejemplo de cómo se podría integrar una guía de onda 
dentro de un circuito para interconectar las terminales de dos elementos del circuito. 
 
Figura 2.1 Una guía de onda integrada preeliminar como interconexión entre dos dispositivos de montaje 
superficial dentro de un circuito. 
 
Para cumplir las expectativas que se tienen de la guía de onda integrada, es necesario 
enfocar los esfuerzos en dos objetivos: 
 
1. La fuente de alimentación debe ser lo más directiva posible. 
2. La energía electromagnética disipada fuera de la guía debe ser mínima. 
 
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 - 12 - 
Para esto se han considerado algunos factores de diseño entre los cuales destacan: 
 
 Selección de la fuente de alimentación. Tomando en cuenta que esta fuente nos va 
a determinar el modo de propagación dentro de la guía de onda. 
 Selección de un elemento radiador y reflector, para aumentar la directividad de la 
fuente de alimentación. Además hay que considerar que su construcción sea 
posible de acuerdo a las dimensiones que se diseñe el dispositivo. 
 Determinación de una relación de aspecto y un factor de forma transversal de la 
guía dependiente de la longitud de onda o frecuencia de operación.. 
 Determinación de los materiales a utilizar en la guía. 
 
2.1 ESTRUCTURA DE LA GUÍA DE ONDA INTEGRADA 
 
Como se mencionó en los antecedentes de este trabajo, se cuenta con resultados previos 
en el análisis de dispositivos electromagnéticos. Uno de estos consiste en el estudio de la 
dispersión lateral presente en una guía de onda de placas planas paralelas. Dicho trabajo13 
planteó una guía con placas planas paralelas de 3 cm. de ancho donde se varióla 
separación entre las placas. Para efectos del estudio que compete a esta Tesis se retoma el 
caso siguiente, el cual se ilustra en la Figura 2.2: 
 
Tabla 2.1 Datos de la guía de onda de placas planas paralelas retomada como antecedente 
Tipo de guía Placas planas paralelas 
Medio de propagación Vacío 
Ancho de las placas 3 cm. 
Separación entre las placas 2 cm. 
Frecuencia de la fuente 6 GHz 
Fuente de alimentación Monopolo de / 4λ 
Material de las placas Conductor eléctrico perfecto 
 
 
Figura 2.2 Guía de onda placas planas paralelas con sección transversal de 3x2 cm. La 
fuente de alimentación fue colocada exactamente en el centro de la guía. 
 
13 C. M. Calderón-Ramón, Análisis de Campo en guías de placas planas paralelas utilizando el método de 
diferencias finitas en el dominio del tiempo. Tesis de Maestría en Ciencias, SEPI-ESIME IPN, Febrero 
2007. 
 
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 - 13 - 
 
Paraeste caso en que la frecuencia de operación es 6 GHz, se debe encontrar la el 
factor de forma dependiente de la longitud de onda que utilizó en su momento. Para el 
vacío, la longitud de onda a esta frecuencia de operación es / 5 cm.c fλ = = Esto 
implica que el factor de forma utilizado en el antecedente es: 
 
 33 cm.=
5
a λ= , (2.1) 
 
 22 cm.=
5
b λ= . (2.2) 
 
 La relación estructural dada por las ecuaciones (2.1) y (2.2) seguirá siendo 
considerada en casi la totalidad de las simulaciones efectuadas en este trabajo de Tesis, 
ya que en la referencia citada, donde se efectuó un análisis a distintas relaciones de 
aspecto, la simulación de la guía de onda con sección transversal 3 x 2 cm. a 6 GHz 
entregó buenos resultados numéricos. Además, se considera, al igual que en una guía de 
onda rectangular que a b> . 
 
A partir del factor de forma se puede establecer el valor de relación de aspecto, 
independiente de la frecuencia, como se muestra a continuación: 
 
 3relación aspecto
2
a
b
= = . (2.3) 
 
A diferencia de lo analizado en el caso de la guía de placas planas paralelas, en 
esta ocasión se busca reducir la dispersión lateral, así como aumentar la directividad de la 
fuente de alimentación. 
 
2.2 LA FUENTE DE ALIMENTACIÓN Y ELECCIÓN DEL 
REFLECTOR 
 
La fuente de alimentación utilizada es un monopolo colocado de manera perpendicular a 
las placas lo que nos aproxima el modo de propagación a un modo transversal eléctrico 
(TE). Vale la pena mencionar que la literatura maneja modos de propagación TE10, TE20, 
etc. para guías de onda metálicas rectangulares, sin embargo, no se encontró una 
referencia que mencione los mismos modos para el caso de la guía de onda de placas 
planas paralelas y mucho menos para la guía integrada que se estudia en esta Tesis. 
 
Sin embargo, una buena aproximación a una fuente de alimentación para la guía de onda 
integrada puede ser configurada como se muestra en la Figura 2.3, donde se considera a 
l la longitud de la antena en metros y 0E la amplitud de la onda de alimentación de 
campo eléctrico en volt/metro. 
 
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 - 14 - 
 
 
Datos 
 
Longitud de la antena 
 
4
λ
=l , (2.4) 
 
Fuente de alimentación en 
el punto ( , , )s s ss x y z= 
 
( )0( , , ) sen 2y s s sE x y z E ftπ=
 (2.5) 
Figura 2.3 Monopolo y fuente de alimentación considerado para los experimentos de la guía de onda 
integrada. 
 
Una vez que se tiene considerado el radiador, éste debe ser colocado en un 
extremo de la guía de onda de modo que se alimente toda la extensión de la misma 
(Figura 2.4.a). Sin embargo, mucha de la energía electromagnética seguirá propagándose 
en dirección contraria a lo deseado, por lo que se hace necesaria la elección de un 
reflector. En la Figura 2.4.b. puede observarse la guía de onda provista con un reflector 
plano, comúnmente usado en alimentación de guías de onda rectangulares. 
 
 
Figura 2.4 a) Reubicación de la fuente en un extremo de la guía, b) colocación de un elemento reflector. 
 
Una de las principales aportaciones de este trabajo radica en la introducción de un 
reflector de esquina como alternativa al convencional reflector plano. El reflector de 
esquina se ha probado en diferentes configuraciones en arreglos con dipolos mostrándose 
como una antena de alta directividad14. Sin embargo, su aplicación para alimentadores de 
guías de onda es novedoso. En la Figura 2.5.a se pueden observar las características de 
este reflector importantes para este trabajo, las cuales son la distancia de la esquina a la 
antena, así como el ángulo de apertura del reflector. En la figura 2.5.b se muestra 
esquemáticamente la configuración de la guía de onda con reflector de esquina. 
 
14 H. Jasik, Antenna engineering handbook, 1a edición, McGrawHill, EUA, 1961, p. 11.1-11.10. 
 
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 - 15 - 
 
Figura 2.5 El reflector de esquina, a) vista superior y características, b) implementado en la 
guía de onda. 
 
Se realizaron experimentos para comparar el desempeño de los reflectores plano y 
de esquina, en el último considerando dos casos: 60º y 90º. También se realizaron 
experimentos variando la distancia del reflector a la antena, desde 0.125d λ= hasta 
d λ= . En el Capítulo III se presentan y se discuten los resultados de estos experimentos. 
 
2.3 CONFIGURACIÓN COMO GUÍA DE ONDA DIELÉCTRICA 
 
El siguiente paso que se debe dar es buscar el máximo confinamiento de la energía 
electromagnética dentro de la guía, la cual, como se verá al analizar los resultados de los 
primeros experimentos, se dispersa por las paredes laterales de la misma. Para esto se 
considera la adaptación de la guía de onda dieléctrica a la configuración del dispositivo 
que ya se tiene. 
 
Basándose en la guía de onda dieléctrica rectangular que se introdujo en el 
Capítulo I, se debe buscar cómo implementarla junto con las placas planas y el reflector. 
Se propone, entonces, utilizar un material dieléctrico entre las placas, que actúe como el 
núcleo de la guía dieléctrica, y a cada uno de los lados de esta utilizar también un 
dieléctrico diferente que tome parte como el revestimiento. La Figura 2.6 muestra estas 
dos configuraciones. 
 
También se realizaron diversos experimentos con estas configuraciones variando 
los dieléctricos. Entre los dieléctricos que se seleccionaron para el interior de la guía 
(núcleo) se encuentra el duroid, dada su versatilidad en este tipo de aplicaciones, además 
por su disponibilidad dentro del laboratorio para la posterior construcción del dispositivo. 
 
 
 
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 - 16 - 
Figura 2.6 Guía de onda configurada como guía dieléctrica, a) con dieléctrico en el interior de la guía, b) 
con revestimientos dieléctricos adicionales. 
 
El duroid es un material óptimo para aplicaciones en dispositivos electrónicos 
como microcintas o pistas de circuitos impresos. Es un material isotrópico, con baja 
absorción de la humedad, además de presentar características eléctricas uniformes a lo 
largo del espectro de frecuencia15. 
 
2.4 MINIATURIZACIÓN DE LA GUÍA DE ONDA INTEGRADA 
 
Las dimensiones de la guía de onda que se han venido manejando, con una sección 
transversal de 3x2 cm., operando a 6 GHz, no concuerdan con el objetivo de diseñar una 
guía de onda integrada milimétrica de altas frecuencias. Existen dos razones por las que 
se hace el análisis con estas características. La primera es que se aprovechan los 
antecedentes de los trabajos mencionados los cuales manejan esas mismas dimensiones y 
la segunda es por la viabilidad de construir en los laboratorios de la ESIME un 
dispositivo de estas dimensiones16. 
 
Sin embargo, como se mencionó anteriormente, una de las grandes ventajas que 
se obtienen al realizar el análisis a través de electromagnetismo asistido por computadora 
es la flexibilidad con la que se cuenta para hacer modificaciones al código. 
Aprovechando que se consideró desde un principio un factor de forma de la sección 
transversal de la guía de onda dado por las ecuaciones (2.1) y (2.2), que depende de la 
longitud de onda, se pueden realizar modificaciones a las dimensiones de la guía 
simplemente cambiando la frecuencia de operación de la fuente. 
 
De igual forma, recordando la ecuación (1.12), la velocidad de propagación 
dentro de la guía depende de las características materiales del dieléctrico presente en ella, 
y consecuentemente la longitud de onda también se verá afectada y a su vez las 
dimensiones de la sección transversal. 
 
 
15 http://www.rogerscorporation.com/mwu/pdf/5000data.pdf16 La construcción de la guía de onda se deja a un trabajo futuro a realizar por alumnos de licenciatura de la 
ESIME. 
 
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 - 17 - 
Se realizaron también distintas simulaciones a diferentes frecuencias en donde las 
dimensiones de la guía de onda se redujeron hasta el orden milimétrico. En el Capítulo III 
se presentan los resultados de los mismos. 
 
2.5 IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO NUMÉRICO 
 
Como se mencionó anteriormente, el uso del método de diferencias finitas en el dominio 
del tiempo (MDFDT) se ha extendido ampliamente durante las últimas décadas. Esto en 
parte debido a su flexibilidad y facilidad de implementación para estructuras complejas; 
lo que se explota en este trabajo para la simulación de la guía de onda integrada. En esta 
sección, se tratarán únicamente los pasos necesarios para el modelado del problema 
planteado con el MDFDT utilizando el algoritmo de Yee17 para obtener las ecuaciones de 
Maxwell en diferencias finitas, la generación de los datos necesarios y la obtención de los 
resultados, sin profundizar en detalles en lo que al método se refiere, ya que para esto 
basta referirse a la bibliografía expuesta en este Capítulo. 
 
Fundamentalmente, el MDFDT resuelve las ecuaciones rotacionales de Maxwell 
en un espacio físico delimitado definido como región de cálculo, y a lo largo de un 
tiempo finito, desde un instante en el que se definen las condiciones iniciales del 
problema, hasta otro instante donde se desea observar los fenómenos electromagnéticos 
regidos por dichas ecuaciones. Tanto el tiempo como el espacio son tratados de manera 
discreta y las ecuaciones, convertidas en ecuaciones de diferencias son resueltas de 
manera iterativa, considerando las condiciones de frontera necesarias. 
 
El MDFDT cuenta con muchas ventajas sobre otros métodos numéricos, entre 
ellas destacan: 
 
• El algoritmo no requiere la formulación de ecuaciones integrales, por lo que los 
dispositivos simulados relativamente complejos pueden ser tratados sin la 
necesidad de generar grandes matrices, como sucede en el método de momentos. 
• Es fácil de implementar en estructuras conductoras o dieléctricas de geometrías 
complejas y no homogéneas, ya que los parámetros constitutivos ( , ,σ μ ε ) pueden 
ser asignados de manera individual en cada punto de la malla. 
• Los requerimientos de memoria no impiden la posibilidad de implementar 
estructuras complejas e interesantes en computadoras convencionales. 
• El algoritmo hace uso de la memoria en un orden sencillo y secuencial por lo que 
es de fácil depuración. 
• Es fácil obtener la información en el dominio de la frecuencia a partir de 
información en el dominio del tiempo. 
 
Sin embargo, el método también tiene entre sus desventajas: 
 
17 K. S. Yee, Numerical Solution of Initial Boundary Value Problems Involving Maxwell’s Equations in 
Isotropic Media, IEEE Trans. on Antennas and Propagation, Mayo 1966. 
 
Análisis y modelado de una guía de onda integrada en un sustrato como interfase de comunicación 
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 - 18 - 
• Su implementación implica modelar el objeto completo así como sus alrededores, 
de manera que el tiempo de ejecución de los programas puede incrementarse. 
• En precisión, generalmente se considera menos preciso que otros, como por 
ejemplo, el método de momentos. 
• Como todos los algoritmos de diferencias finitas, las cantidades de campo solo se 
conocen en los nodos de la malla. 
 
2.5.1 Definición de la región de cálculo 
 
Lo primero en definir es el espacio físico virtual que contendrá el dispositivo bajo 
estudio, el cual se conoce como área de cálculo. Generalmente, dicha región de cálculo 
debe cubrir al menos la dimensión total del objeto de estudio: la guía de onda integrada; y 
si es necesario, conviene incluir también los alrededores, por ejemplo, para observar si en 
la vecindad del dispositivo existe propagación electromagnética, lo cual es muy 
importante en esta investigación. 
 
Para poder estudiar la energía disipada por la guía de onda integrada se define una 
región de cálculo cuyas dimensiones [Ancho,Altura,Profundidad] ( , , )A a B b C c= ⋅ ⋅ ⋅ , donde , ,a b c 
son las dimensiones de la guía de onda en m. y , ,A B C son constantes de proporcionalidad 
que definen qué tanto debe ser más ancha, alta y profunda el área de cálculo con respecto 
al tamaño de la guía, y permiten redimensionar fácilmente la región de manera que se 
pueda contemplar la dispersión electromagnética en puntos tan alejados como sea posible 
del dispositivo. En la Figura 2.7.a se muestra una configuración comúnmente usada en 
los experimentos de esta Tesis. 
 
Una vez que se tiene este espacio físico delimitado, éste, junto con todos los 
objetos que contenga, deberá ser dividido (o, matemáticamente, discretizado) en 
pequeñas unidades llamadas células de Yee (Figura 2.8), convirtiendo la región de 
cálculo en una malla, ver Figura 2.7b. 
 
Figura 2.7 Región de cálculo, a) determinación de las dimensiones de la región de cálculo, b) 
discretización en células de Yee; , y Max Max Maxi j k corresponden a los valores máximos de cada 
lado. 
 
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 - 19 - 
 
Las células son la unidad básica del algoritmo de Yee para la solución de 
problemas con el MDFDT ya que contienen el carácter autosoportado de las componentes 
de campo eléctrico y magnético representadas en las ecuaciones rotacionales de Maxwell, 
donde los cambios de posición de los campos magnéticos provocan cambios en tiempo en 
el campo eléctrico y viceversa. Estas pueden ser cúbicas, con todos sus lados del mismo 
tamaño o prismas rectangulares, si algún problema en particular lo requiere18. 
 
 
Figura 2.8 Célula de Yee 
 
En este caso se utilizaron células cúbicas ( x y zΔ = Δ = Δ = Δ ) y el criterio que se 
utilizó para la determinación del tamaño de las aristas de dichas células Δ está dado por: 
 
 
Nλ
λ
Δ = , (2.6) 
 
donde λ corresponde a la longitud de onda de propagación de la OEM y Nλ a un factor 
que indica cuántas células de Yee servirán para cubrir una longitud de onda. Éste factor 
determina la precisión del método: entre mayor sea, la malla será más fina y los 
resultados son más confiables; entre menor sea la malla será menos fina y los resultados 
no serán óptimos. Se recomienda un valor mínimo 10Nλ = para evitar inestabilidades 
numéricas que provoquen que el método diverja19. Los experimentos de esta Tesis 
 
18 Se refiere a la solución de las ecuaciones rotacionales de Maxwell en coordenadas rectangulares. Otros 
sistemas coordenados requieren células de Yee de otra forma. 
19 Valores menores de 10Nλ = pueden presentar inestabilidad numérica en el método, provocando errores 
graves en el cálculo. 
 
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 - 20 - 
consideran principalmente un mínimo de 30Nλ = , para tener seguridad de que la 
estabilidad numérica se conservará en las simulaciones que implican distintos medios 
donde, en cada uno cambia la longitud de onda. 
 
Así como se obtiene el valor del incremento espacial Δ para considerar las 
dimensiones físicas del dispositivo y la región de cálculo, es necesario obtener un 
parámetro tΔ como incremento temporal para discretizar el tiempo finito durante el cual 
se va a ejecutar la simulación. 
 
Para calcular los resultados esperados no basta contar con una buena resolución 
de la malla, además existe una condición fundamental de estabilidad que se debe cumplir 
para que se mantenga coherencia en los cálculos20, esta es: 
 
 
2 2 2
1
1 11
( ) ( ) ( )
t
c
x y z
Δ ≤
+ +
Δ Δ Δ
, (2.7) 
 
donde c es la velocidad de propagación de la luz en el vacío. Para una malla con células 
de Yee uniformes y cúbicas, esto es x y zΔ = Δ = Δ = Δ , la ecuación (2.7) se simplifica a 
/ 3t cΔ ≤ Δ . En la mayor parte de los experimentos de este trabajo se eligió utilizar un 
valor / 3t cΔ = Δ . 
 
2.5.2 Las ecuaciones de Maxwell como ecuaciones de diferencias 
 
Una vez que se tiene delimitada y segmentada la región de cálculo, se deben plantear las 
ecuaciones de Maxwell en diferencias para tiempo y espacio aplicables al modelo. 
Reescribiendo las ecuaciones (1.1) y (1.2): 
 
 ( )1
t
σ
μ μ
′∂
= − ∇× −
∂
H E H , (2.8) 
 
 ( )1
t
σ
ε ε
∂
= ∇× −
∂
E H E , (2.9) 
 
de las cuales se consideran sus 6 componentes rectangulares: 
 
 1 yx z x
EH E H
t z y
σ
μ
∂⎛ ⎞∂ ∂ ′= − −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
 (2.10) 
 
 
20 M. N. O. Sadiku, Numerical techniques in electromagnetics, 2a edición, CRC Press, EUA, 2001. p. 213. 
 
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 - 21 - 
 1y xz y
H EE H
t x z
σ
μ
∂ ∂∂⎛ ⎞′= − −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
 (2.11) 
 
 1 yxz z
EEH H
t y x
σ
μ
∂⎛ ⎞∂∂ ′= − −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
 (2.12) 
 
 1 yx z x
HE H E
t y z
σ
ε
∂⎛ ⎞∂ ∂
= − −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
 (2.13) 
 
 1y x z y
E H H E
t z x
σ
ε
∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
 (2.14) 
 
 1 y xz z
H HE E
t x y
σ
ε
∂⎛ ⎞∂∂
= − −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
 (2.15) 
 
Las ecuaciones (2.10) a (2.15) se transforman en ecuaciones en diferencias que 
serán resueltas para cada célula de Yee tomando las siguientes consideraciones: 
 
I: En el espacio-tiempo, un campo cualquiera ( , , , )sA x y z t ( A puede ser 
campo eléctrico o campo magnético) donde t representa el tiempo dado, s la 
componente rectangular de dicho campo, ( , , )x y z las coordenadas espaciales, se 
transforma en diferencias como 
 
 ( , , ) ( , , )n t ns sA i x j y k z A i j k
Δ Δ Δ Δ = (2.16) 
 
donde , , ,i j k n son números enteros que representan los incrementos discretos que 
multiplican a los escalamientos en espacio y tiempo. , ,x y zΔ Δ Δ son los escalamientos 
espaciales rectangulares y tΔ es el escalamiento sobre el tiempo en el cual se irá 
desarrollando iterativamente el algoritmo. 
 
II: Las derivadas parciales temporales se transforman en diferencias parciales 
de la siguiente manera: 
 
 
1/ 2 1/ 2( , , ) ( , , )( , , , )
n n
s s
s
A i j k A i j kA x y z t
t t
+ −∂ −
=
∂ Δ
, (2.17) 
 
de igual forma las derivadas parciales espaciales: 
 
 
1 1
2 2( , , ) ( , , )( , , , )
n n
s s
s
A i j k A i j kA x y z t
x x
∂ + − −
=
∂ Δ
, (2.18) 
 
 
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 - 22 - 
aplicando el mismo procedimiento para las ecuaciones con derivadas parciales , y z∂ ∂ . 
 
III. Los términos que no consideran derivadas parciales pueden ser estimados 
de una forma adecuada al utilizar una aproximación semi-implícita21. Esto es 
 
 ( )
1 1
2 2( , , ) ( , , )
( , , )
2
n n
s sn
s
A i j k A i j k
A i j k
+ −+
= . (2.19) 
 
IV. Las propiedades materiales se consideran dependientes de la posición 
dentro de la malla FDTD (no dependen del tiempo), lo que permite definir estructuras 
complejas con diversos materiales. 
 
( )( , , ) , ,x y z i j kε ε= 
 
( )( , , ) , ,x y z i j kμ μ= 
( )( , , ) , ,x y z i j kσ σ= ( )( , , ) , ,x y z i j kσ σ′ ′=
 
Se aplican estos cuatro puntos para cada una de las ecuaciones (2.10) a (2.15). 
Considerando las ecuaciones diferenciales (2.10) y (2.13) se obtiene: 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1/ 2 1/ 2
( , , )1
2 ( , , ), , , ,( , , )1
2 ( , , )
, , 1/ 2 , , 1/ 2
( , , ) ,( , , ) , 1/ 2, , 1/ 2,1
2 ( , , )
n n
x x
n n
y y
n n
z z
i j k t
i j kH i j k H i j ki j k t
i j k
E i j k E i j kt
zi j k
i j k t E i j k E i j k
i j k y
σ
μ
σ
μ
μ
σ
μ
+ −
′ Δ⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎜ ⎟= +′ Δ⎜ ⎟+⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞+ − −Δ⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎜ ⎟ Δ⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⋅′ Δ ⎜ ⎟+ − −⎜ ⎟+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ Δ⎝ ⎠
 (2.20) 
 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2
( , , )1
2 ( , , ), , , ,( , , )1
2 ( , , )
, 1/ 2, , 1/ 2,
( , , )
( , , ) , , 1/ 2 , , 1/ 21
2 ( , , )
n n
x x
n n
z z
n n
y y
i j k t
i j kE i j k E i j ki j k t
i j k
H i j k H i j kt
yi j k
i j k t H i j k H i j k
i j k z
σ
ε
σ
ε
ε
σ
ε
+
+ +
+ +
Δ⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎜ ⎟= +
Δ⎜ ⎟+⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞+ − −Δ⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎜ ⎟ Δ⎜⎜ ⎟+ ⋅
Δ ⎜⎜ ⎟ + − −+⎜ ⎟ ⎜ −⎝ ⎠ ⎝ Δ ⎠
,⎟
⎟
⎟
 (2.21) 
 
21 A. Taflove, Computational Electrodynamics: The finite difference time domain method, Artech House, 
EUA, 1995, p.64 
 
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 - 23 - 
 
procediendo de manera similar para el resto de las componentes. 
 
En este punto conviene tomar en cuenta algunas consideraciones importantes. La 
malla consiste en células cúbicas regulares, por lo que el escalamiento espacial se puede 
considerar como uno mismo, es decir, x y zΔ = Δ = Δ = Δ . Además, se considera que los 
materiales involucrados no son permeables ni ferromagnéticos, por lo que 0μ μ= y 
0σ ′ = . De esta manera, las ecuaciones (2.20) y (2.21) se expresan: 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1/ 2 1/ 2, , , ,
, , 1/ 2 , , 1/ 2
,
, 1/ 2, , 1/ 2,( , , )
n n
x x
n n
y y
n n
z z
H i j k H i j k
E i j k E i j kt
E i j k E i j ki j kμ
+ −= +
⎛ ⎞+ − − −Δ
+ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟− + + −Δ ⎝ ⎠
 (2.22) 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2
( , , )1
2 ( , , ), , , ,( , , )1
2 ( , , )
, 1/ 2, , 1/ 2,( , , ) ,( , , ) , , 1/ 2 , , 1/ 21
2 ( , , )
n n
x x
n n
z z
n n
y y
i j k t
i j kE i j k E i j ki j k t
i j k
t
H i j k H i j ki j k
i j k t H i j k H i j k
i j k
σ
ε
σ
ε
ε
σ
ε
+
+ +
+ +
Δ⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎜ ⎟= +
Δ⎜ ⎟+⎜ ⎟
⎝ ⎠
Δ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎛ ⎞+ − − −Δ⎜ ⎟+ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟Δ − + + −⎜ ⎟ ⎝ ⎠+⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (2.23) 
 
de manera análoga sucede para el resto de las ecuaciones. Se ha encontrado que el 
sistema puede ser simplificado si se considera el vector de campo eléctrico proporcional: 
22 
 
 
0
ˆ t
μ
Δ
= ⋅
Δ
E E , (2.24) 
 
de manera que el sistema completo de seis ecuaciones de diferencias finitas queda como: 
 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1/ 2 1/ 2, , , ,
ˆ ˆ ˆ ˆ, , 1/ 2 , , 1/ 2 , 1/ 2, , 1/ 2, ,
n n
x x
n n n n
y y z z
H i j k H i j k
E i j k E i j k E i j k E i j k
+ −= +
+ + − − − + + −
 (2.25) 
 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1/ 2 1/ 2, , , ,
ˆ ˆ ˆ ˆ1/ 2, , 1/ 2, , , , 1/ 2 , , 1/ 2 ,
n n
y y
n n n n
z z x x
H i j k H i j k
E i j k E i j k E i j k E i j k
+ −= +
+ + − − − + + −
 (2.26) 
 
 
22 A. Taflove, Computational Electrodynamics: The finite difference time domain method, Artech House, 
EUA, 1995, p.70 
 
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 - 24 - 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1/ 2 1/ 2, , , ,
ˆ ˆ ˆ ˆ, 1/ 2, , 1/ 2, 1/ 2, , 1/ 2, , ,
n n
z z
n n n n
x x y y
H i j k H i j k
E i j k E i j k E i j k E i j k
+ −= +
+ + − − − + + −
 (2.27) 
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
1
1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2
ˆ ˆ, , , , , ,
, 1/ 2, , 1/ 2,
, , ,
, , 1/ 2 , , 1/ 2
n n
x a x
n n
z z
b n n
y y
E i j k C i j k E i j k
H i j k H i j k
C i j k
H i j k H i j k
+
+ +
+ +
= +
⎛ ⎞+ − − −
+ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟− + + −⎝ ⎠
 (2.28) 
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
1
1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2
ˆ ˆ, , , , , ,
, , 1/ 2 , , 1/ 2
, , ,
1/ 2, , 1/ 2, ,
n n
y a y
n n
x x
b n n
z z
E i j k C i j k E i j k
H i j k H i j k
C i j k
H i j k H i j k
+
+ +
+ +
= +
⎛ ⎞+ − − −
+ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟− + + −⎝ ⎠
 (2.29) 
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
1
1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2
ˆ ˆ, , , , , ,
1/ 2, , 1/ 2, ,
, , ,
, 1/ 2, , 1/ 2,
n n
z a z
n n
y y
b n n
x x
E i j k C i j k E i j k
H i j k H i j k
C i j k
H i j k H i j k
++ +
+ +
= +
⎛ ⎞+ − − −
+ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟− + + −⎝ ⎠
 (2.30) 
 
donde aC y bC son parte de los coeficientes de actualización del algoritmo numérico, los 
cuales contienen toda la información necesaria para caracterizar el medio. Los 
coeficientes de actualización para un punto ( ), ,i j k están dados por: 
 
 
02
R
ε
Δ
= , (2.31) 
 
 ( )
2
2
0 0
a
t
R
ε μ
Δ
=
Δ
, (2.32) 
 
 
0
b
tR
μ
Δ
=
Δ
, (2.33) 
 
 ( ) ( )( )
1 / , ,
, ,
1 / , ,
r
a
r
R i j k
C i j k
R i j k
σ ε
σ ε
−
=
+
, (2.34) 
 
 ( ) ( ) ( )0
, ,
, , , ,
a
b
r
t RC i j k
i j k R i j kμ ε σ
Δ
= ⋅
Δ +
. (2.35) 
 
 
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 - 25 - 
De este modo, (2.25) a (2.30) y las definiciones (2.31) a (2.35) son las 
expresiones que se deben de utilizar para la implementación del algoritmo23. Al final de 
la ejecución, solo basta multiplicar los valores obtenidos para el campo eléctrico por el 
recíproco del valor de escalamiento (2.24) para obtener los valores reales de dicho 
campo: 
 
 0 ˆ
t
μ Δ
= ⋅
Δ
E E (2.36) 
 
2.5.3 Fuente de Alimentación 
 
Un método comúnmente utilizado para alimentar problemas de guías de onda y 
microcintas usando el MDFDT se conoce como la fuente dura24, en la cual se le asigna a 
uno o varios puntos determinados dentro de la malla el valor de una función matemática 
correspondiente a la forma de onda que se desee transmitir. Pudiendo ser estas formas de 
ondas muy variadas, por lo general se manejan ondas senoidales o pulsos gaussianos. 
 
Como se mencionó, se desea trabajar con una fuente de alimentación con la 
función (2.5), la cual es senoidal, que en el método de diferencias finitas se representa por 
 
 ( ) ( )0 0, , sen 2ny s s sE i j k E f n tπ= Δ (2.37) 
 
donde ( ), ,s s si j k es el punto de localización de la fuente dentro de la malla, y 0f la 
frecuencia de operación. n tΔ nos muestra que la onda es un elemento discreto en tiempo. 
La antena deberá ser representada y dividida a su vez en células de Yee. Véase Figura 
2.9. 
 
 
Figura 2.9 Vista lateral de la guía de onda integrada dividida en células de Yee. 
 
 
 
23 En este caso bR no se utiliza, debido a la simplificación (2.24). 
24 A. Taflove, Computational Electrodynamics: The finite difference time domain method, Artech House, 
EUA, 1995, p.109-111. 
 
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 - 26 - 
 
2.5.4 Condiciones de frontera 
 
Como puede observarse de las ecuaciones del algoritmo MDFDT, cada cálculo en un 
punto requiere de los valores de las células vecinas. En los límites del área de cálculo, 
donde no existen células vecinas para realizar este cálculo se aplican condiciones de 
frontera de absorción (CFA), mismas que permiten simular que la energía 
electromagnética sigue ininterrumpidamente su camino a través de la frontera que limita 
el área de cálculo (Ver Figura 2.7.b). Las CFA utilizadas en este trabajo son las 
condiciones de Taflove25, en donde el campo eléctrico tangencial a la frontera se iguala al 
promedio de las células adyacentes registradas dos escalonados de tiempo (2 )tΔ 
anteriores. 
 
El conjunto de ecuaciones de CFA para las paredes superior e inferior ( 0j = y 
Maxj j= ) de la región de cálculo definida en el problema es (Figura 2.7.b): 
 
 ( ) ( )( ( ) ( ))1 1 1 113, , 1, 1, , 1, 1, 1, ,n n n nx x x xE i jMax k E i jMax k E i jMax k E i jMax k+ − − −= + − + − + − − (2.38) 
 
 ( ) ( )( ( ) ( ))1 1 1 113, , , 1, 1 , 1, , 1, 1 ,n n n nz z z zE i jMax k E i jMax k E i jMax k E i jMax k+ − − −= − + + − + − − (2.39) 
 
 ( ) ( )( ( ) ( ))1 1 1 113,0, 1,1, ,1, 1,1, ,n n n nx x x xE i k E i k E i k E i k+ − − −= + + + − (2.40) 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ))(1 1 1 113,0, ,1, 1 ,1, ,1, 1 ,n n n nz z z zE i k E i k E i k E i k+ − − −= + + + − (2.41) 
 
donde se consideran únicamente las componentes de campo eléctrico tangenciales a las 
paredes superior e inferior de la región de cálculo; esto es xE y zE . Para las otras 4 
paredes de la región de cálculo se procede de manera semejante. 
 
Otra condición de frontera que se debe considerar es aquella en donde se 
encuentre el conductor eléctrico perfecto que forma tanto las placas como los reflectores 
( 0σ → ). En este caso, los campos eléctricos tangenciales tE y magnéticos normales nH 
del lado dieléctrico de la interfase deben ser cero: 
 
 0t nE H= = . (2.42) 
 
 
25 M. N. O. Sadiku, Numerical techniques in electromagnetics, 2a edición, CRC Press, EUA, 2001, p. 177-
185. 
 
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 - 27 - 
2.6 CONSIDERACIONES DE PROGRAMACIÓN DEL MÉTODO DE 
DIFERENCIAS FINITAS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO 
 
Una vez definidas las expresiones necesarias se procede a la programación del método 
computacional. El siguiente pseudocódigo pretende ejemplificar los pasos para llevar a 
cabo esta implementación. En la figura 2.10 se presenta un diagrama a bloques del 
método y en el apéndice A se lista el código fuente de los programas utilizados. 
 
 
Figura 2.10 Diagrama de flujo de la operación del programa con el MDFDT. 
 
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 - 28 - 
 
2.6.1 Pseudocódigo 
 
1. Los datos de entrada son los valores de las dimensiones de la guía, así como de la 
región de cálculo. También se deben proporcionar las propiedades de los 
materiales involucrados, las características de la fuente de alimentación como 
amplitud, frecuencia y ubicación. 
2. Determinación de otros datos importantes como longitud de onda λ , velocidad de 
propagación u , los espaciamientos espaciales Δ y temporales tΔ , el periodo T , 
longitud de la antena ℓ, etc. 
3. Determinación de los coeficientes de actualización. Ecuaciones (2.31) a (2.35). 
4. Asignar la memoria necesaria de acuerdo a las dimensiones del área de cálculo. 
5. Aplicar condiciones iniciales a los campos eléctricos y magnéticos. Para el caso 
de estudio de este trabajo los campos se inicializan a cero. 
6. Construcción de la malla y de la estructura de la guía dentro de ella. Basándose en 
la información de dimensiones, tipo de reflector, materiales, etc. 
7. Solicitar al usuario el número de iteraciones temporales Maxn que se requieren 
durante las que se ejecuta el programa. 
8. Solicitar al usuario información adicional para el cálculo de patrones de radiación 
y generación de archivos de datos de salida. 
9. Cálculos con el método de diferencias finitas en el dominio del tiempo. En cada 
iteración: 
a. Determinación de las tres componentes de campo magnético (ecuaciones 
(2.25)-(2.27) en toda el área de cálculo. (Para todas las células de Yee). 
b. Determinación de las tres componentes de campo eléctrico (ecuaciones 
(2.28) a (2.30) en toda el área de cálculo. 
c. Cálculo de las condiciones de frontera Dieléctrico - Conductor eléctrico 
perfecto. Ecuación (2.42). 
d. Cálculo de las condiciones de frontera de absorción. Ecuaciones (2.38) a 
(2.41), y demás correspondientes a las otras paredes. 
e. Aplicación de la fuente de alimentación. Ecuación (2.37). 
10. Cuando terminan todas las iteraciones deseadas, exportar los datos necesarios 
para el análisis y visualización de los resultados. 
11. Preguntar al usuario si desea ejecutar más iteraciones. Si la respuesta es positiva 
regresar al paso 7. 
12. Liberar la memoria del sistema y terminar la aplicación. 
 
 
Análisis y modelado de una guía de onda integrada en un sustrato como interfase de comunicación 
ultra rápida 
José Ricardo García Olivo 
 
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2.7 CUANTIFICACIÓN Y VISUALIZACIÓN DE RESULTADOS CON 
EL MDFDT 
2.7.1