Aplicação de Arquiteturas de Controle em um Reator

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
 
 
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA 
MECÁNICA Y ELÉCTRICA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉXICO, D.F. 2013
 
APLICACIÓN DE ARQUITECTURAS DE CONTROL 
CONSIDERANDO LOS EFECTOS DEL RETARDO EN EL 
MODELO MATEMÁTICO DE UN REACTOR DE AGITACIÓN 
CONTINUA. 
 
 
T E S I S 
 
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE INGENIERO EN 
CONTROL Y AUTOMATIZACIÓN 
 
P R E S E N T A N 
LOZANO HERNÁNDEZ YAIR 
RODRÍGUEZ FRAGOSO SANDRA EDITH 
 
 
A S E S O R E S 
DR. VELÁZQUEZ VELÁZQUEZ JUAN EDUARDO 
M EN C. VELÁZQUEZ CUEVAS RUBÉN 
 
 
i 
 
 Agradecimientos 
 
Lozano Hernández Yair: 
Agradezco a mis padres Irma Hernández Daniel y Agripino Lozano Santiago por haberme 
acompañado y guiado a lo largo de mi carrera, ser mi fortaleza en los momentos de debilidad 
y brindarme una vida llena de aprendizajes, experiencias y sobre todo felicidad. 
 
Llevare conmigo los valores que me han inculcado, no olvidare la oportunidad que me 
brindaron de tener una excelente educación en el transcurso de mi vida sin importar los 
grandes esfuerzos y retos que tuvimos que superar y sobre todo por ser un ejemplo de vida 
a seguir ya que me enseñaron la importancia del trabajo y la dedicación para cumplir con 
nuestras metas. 
 
Solo me queda decir gracias por imaginarme grande cuando no lo era y por los sacrificios 
que tuvimos que pasar, los cuales hoy se ven reflejados con la culminación de esta etapa de 
mi vida, hoy puedo decir que hemos llegado a la meta, soy ¡ingeniero! 
 
Gracias al M. en C Rubén Velázquez Cuevas y al Dr. Juan Eduardo Velázquez Velázquez 
por todo el apoyo brindado a lo largo de este trabajo, gracias por compartir su conocimiento 
conmigo ya que solo no fueron parte de este trabajo, ya que ambos fueron parte de mi 
formación académica. Gracias por permitirme trabajar con ustedes, por su dedicación y 
paciencia, así como ser un ejemplo a seguir. 
 
A Laura Alejandra Godínez Luna, por apoyarme y estar a mi lado durante todos los años de 
mi formación, por el apoyo y comprensión brindado, incluso cuando me encontraba de mal 
humor a causa de la escuela. A mis amigos por todos los momentos que pasamos juntos, 
por las tareas que juntos realizamos, por confiar y creer en mí y haber hecho de mi etapa 
universitaria un trayecto de vivencias que nunca olvidaré. 
 
A mis tantos roomies: Tomas, Omar, Felipe, por ser parte significativa de mi vida, y por haber 
hecho el papel de una familia verdadera en todo momento, gracias por su apoyo, 
comprensión y sobre todo amistad. 
 
A Sandra por haber sido una excelente compañera de tesis y amiga, por haberme tenido la 
paciencia necesaria y por motivación a seguir adelante en los momentos de desesperación. 
 
 
 
 
 
 
ii 
 
Agradecimientos 
 
Rodríguez Fragoso Sandra Edith: 
Quiero agradecer a mis padres Carlos Rodríguez Fragoso y Lourdes Fragoso Maya por su 
apoyo, comprensión y paciencia durante todos estos años, gracias a ustedes he logrado 
formar el camino que me ha llevado a la culminación de los estudio de mi carrera profesional 
y así también obtener mi título por medio de la realización de esta tesis. 
Agradezco a mis hermanos Salma Rodríguez y Edgar Rodríguez que han estado conmigo y 
sé que siempre contaré con su apoyo incondicional al igual que el de mis padres. 
En general quiero agradecer a mi familia la cual ha sido el pilar más importante de mi vida y 
por estar conmigo día a día lo cual ha sido una gran motivación para poder alcanzar mis 
metas. 
También agradezco a todos mis amigos de la carrera con quienes compartí muchos 
momentos de diversión, felicidad, tristeza y locuras, que me apoyaron y me dieron ánimos en 
aquellas conversaciones en las que hablábamos de nuestras convicciones en el tiempo que 
pasamos juntos durante el transcurso de nuestros estudios. 
Quiero agradecer a Gustavo Morales por estar conmigo y brindarme su apoyo en el último 
esfuerzo para poder terminar esta tesis. 
Quiero agradecer a Yair Lozano Hernández por su compañerismo y amistad, que a pesar de 
todo nunca nos dimos por vencidos y logramos terminar nuestro trabajo de tesis; también a 
mis asesores el M. en C. Rubén Velázquez Cuevas y a el Dr. Juan Eduardo Velázquez 
Velázquez, quienes fueron mis profesores durante la carrera y además me brindaron 
consejos y enseñanzas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iii 
 
 
 
 
 
Resumen 
 
En el interior de este trabajo se describen algunas características y aspectos de los reactores 
químicos, tales como: clasificación, aplicaciones, variables que interfieren, se define el 
concepto y tipos de reacciones químicas, al igual que balances de materia y energía. 
Se describe el significado de la interpretación matemática de la dinámica del sistema, las 
propiedades que debe de cumplir como la controlabilidad, observabilidad y la linealidad las 
cuales son indispensables para la realización de un controlador por retroalimentación de 
estados. También se encuentran los conceptos de retardo, y la importancia de su 
consideración al momento de diseñar un controlador para un sistema en específico. 
Así mismo se hace una descripción más específica del reactor de agitación continua, y del 
proceso dónde se utiliza este tipo de reactor, para este trabajo se eligió un proceso de 
saponificación para la obtención de jabón líquido. 
Partiendo de la descripción del sistema se realiza el balance de materia y energía con el fin 
de obtener las ecuaciones representativas de la dinámica del sistema (modelo matemático), 
al igual que su representación en variables de estado. 
A partir del modelo matemático se describe un análisis de las respuestas del sistema a 
través del software Matlab-Simulink 
Se explica el proceso de linealización del modelo matemático del sistema, con el fin de 
realizar un control con una matriz de ganancias k, un control en cascada y control por 
relación; en los cuales, en algunos casos se considera los efectos del retardo en la salida de 
la temperatura del reactor lo que lleva a la aplicación del Predictor de Smith. Por último se 
realiza una comparación entre las simulaciones obtenidas en cada uno de los casos. 
 
 
 
iv 
 
Índice general 
 
Objetivos .......................................................................................................................... xiii 
Antecedentes ................................................................................................................... xiv 
Justificación ..................................................................................................................... xvi 
 
Capítulo 1: Marco teórico. .................................................................................................. 1 
1.1. Conceptos generales de los reactores. ....................................................................... 2 
1.1.1. Reacción química ................................................................................................. 2 
1.1.1.1. Clasificación de las reacciones químicas. ...................................................... 2 
1.1.2. Reactor Químico .................................................................................................. 3 
1.1.2.1. Ecuación de Rendimiento. ............................................................................ 4 
1.1.2.2. Tipos de reactores. ........................................................................................ 4 
1.1.3. Algunas aplicaciones según sea el tipo de reacción. ............................................ 7 
1.2. El modelado matemático de procesos químicos ....................................................... 12 
1.2.1. Espacio de estados. ........................................................................................... 13 
1.2.2. Controlabilidad y observabilidad. ........................................................................ 14 
1.3.Sistemas lineales y no lineales. ................................................................................ 15 
1.3.1 Método de linealización de Taylor. ...................................................................... 15 
1.4. Retardos, conceptos básicos. ................................................................................... 16 
 
Capítulo 2: Modelado matemático de un reactor de agitación continúa. .............................. 18 
2.1. Reactor de agitación continúa. .................................................................................. 19 
2.1.1. Descripción de la planta. .................................................................................... 20 
2.1.1.1. Descripción de la reacción química. ............................................................ 22 
2.1.2.1. Balance de masa. ........................................................................................ 22 
2.1.2.2. Balance de energía. .................................................................................... 24 
2.1.3. Modelo matemático del reactor continuo tipo tanque agitado. ............................ 28 
2.1.3.1. Simulación del modelo matemático del sistema del CSTR con un diagrama de 
bloques en Simulink e identificación de las respuestas obtenidas. ........................... 30 
 
 
 
v 
 
Capítulo 3: linealización y retroalimentación de estados. .................................................... 42 
3.1. Linealización del modelo matemático. ....................................................................... 43 
Comparación entre el sistema lineal y el no lineal. ........................................................... 50 
3.2. Determinación de la controlabilidad. ......................................................................... 51 
3.2.1. Comando ctrb. .................................................................................................... 52 
3.2.2. Comando ctrbf. ................................................................................................... 52 
3.2.3. Separación de la parte controlable del sistema de la no controlable. .................. 54 
3.3. Matriz de retroalimentación K. ................................................................................... 55 
3.3.1. Ley de control de retroalimentación de una combinación lineal de las variables de 
estado……………………………………………………………………………………..…….56 
3.3.2. Determinación de la matriz de retroalimentación. ............................................... 57 
3.3.2.1. Comando place. .......................................................................................... 57 
3.3.2.2. Matriz de retroalimentación. ......................................................................... 58 
3.4. Métodos de solución para sistema con retardo. ........................................................ 60 
3.4.1. Aproximación de Padé. ...................................................................................... 60 
3.4.2. Predictor de Smith. ............................................................................................ 62 
3.4.3. Aplicación del predictor de Smith. ...................................................................... 65 
 
Capítulo 4: Arquitecturas de control. ................................................................................ 68 
4.1. DTI del proceso a controlar. ..................................................................................... 69 
4.2 Estrategia de control por relación. .............................................................................. 70 
4.2.1. Implementación del control por relación. ............................................................ 70 
4.3. Control en cascada. .................................................................................................. 71 
4.3.1. Aplicación de control en cascada. ...................................................................... 72 
 
Capítulo 5: Conclusiones. .................................................................................................. 79 
5.1. Comparación de la respuesta del sistema lineal y del no lineal ................................. 79 
5.2. Matriz k y control en cascada para sistema lineal sin retardo. ................................... 79 
5.3. Matriz k y control en cascada para sistema lineal con retardo. .................................. 80 
5.4. Predictor de Smith. ................................................................................................... 80 
5.5. Sistema no lineal. ...................................................................................................... 81 
5.6. Conclusión general. .................................................................................................. 81 
 
 
vi 
 
Anexos ............................................................................................................................. 84 
Anexo 1: programa en matlab para la linealización de la matriz A. .................................. 84 
Anexo 2: programa en matlab para la linealización de la matriz B. .................................. 87 
Anexo 3: obtención de la retroalimentación de estados. .................................................. 89 
 
Referencias ....................................................................................................................... 90 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
vii 
 
 
Índice de Figuras 
 
Capítulo I 
figura1. 1 Reactor bifásico solido-fluido. a) De lecho firme. b) De lecho móvil. c) De lecho 
fuidizado, d) De transporte neumático. ................................................................................... 6 
figura1. 2 Reactores bifásicos fluido-fluido. a) de pulverización. b) de borboteo. .................... 7 
figura1. 3. Algunos tipos de reacciones presentes en reactores............................................. 8 
figura1. 4. Ejemplo de aplicación de reactores con una reacción fase gas ............................. 8 
figura1. 5. Ejemplo de aplicación de reactores con una reacción fase gas (exotérmica). ....... 9 
figura1. 6. Ejemplo de aplicación de reactores con una reacción fase gas (endotérmica). ..... 9 
figura1. 7. Ejemplo de aplicación de reactores con una reacción fase liquida (una o mas 
fases). ................................................................................................................................... 10 
figura1. 8 . Ejemplo de aplicación de reactores con una reacción catalizada: Fase liquida, 
Gas-liquido. .......................................................................................................................... 10 
figura1. 9. Ejemplo de aplicación de reactores con reacciones no catalizadas...................... 11 
figura1. 10. Ejemplo de aplicación de reactores con reacciones electrotérmicas y 
electroquímicas. .................................................................................................................... 11 
figura1. 11. Ejemplo de aplicación de reactores con reacciones aeróbicas y anaeróbicas. ... 12 
figura1. 12. Representación gráfica en diagrama de bloques del espacio de estados........... 14 
figura1. 13. Sistema con retardo – transporte de material. .................................................... 17 
 
 
Capítulo II 
 
Figura 2. 1. Esquema de un reactor continúo tipo tanque agitado......................................... 20 
Figura 2. 2. Esquema de la planta ........................................................................................ 21 
Figura 2. 3. Diagrama de bloques del CSTR. ........................................................................ 32 
Figura 2. 4. Diagrama de conexiones internas. ..................................................................... 33 
Figura 2. 5 Diagrama de bloques de CA, estadȯ. ............................................................ 34 
Figura 2. 6.Diagrama a bloques CB, estado ̇. ................................................................... 35 
Figura 2. 7.Diagrama a bloques CC, estado ̇. ................................................................... 35 
Figura 2. 8. Diagrama a bloques CD, estado ̇. .................................................................. 36 
Figura 2. 9. Respuesta de las concentraciones CA, CB, CC y CD ........................................ 37 
Figura 2. 10. Diagrama a bloques T, estado ̇. ................................................................... 38 
Figura 2. 11. Diagrama a bloques Tr, estado ̇. .................................................................. 38 
Figura 2. 12. Respuesta de temperatura en el reactor y temperatura en el enchaquetado. .. 39 
Figura 2. 13. Diagrama a bloques Ph, estado ̇. ................................................................. 40 
Figura 2. 14. Respuesta del nivel de pH dentro del reactor ................................................... 40 
 
 
 
 
viii 
 
 
Capítulo III 
 
Figura 3. 1. Matrices representativas del sistema linealizado. ............................................... 47 
Figura 3. 2. Diagrama en simulink del sistema linealizado. ................................................... 48 
Figura 3. 3. Respuesta lineal de las concentraciones A, B, C y D. ........................................ 48 
Figura 3. 4. Respuesta de la temperatura en el reactor y repuesta en el enchaquetado. ...... 49 
Figura 3. 5. Respuesta del pH dentro del reactor. ................................................................. 49 
Figura 3. 6. Comparación entre sistema linealizado y sistema no lineal. ............................... 50 
Figura 3. 7. Diagrama empleado para comparar respuesta lineal y no lineal. ....................... 51 
Figura 3. 8. Matriz de controlabilidad del sistema obtenida con el comando ctrb. ................. 52 
Figura 3. 9. Matrices obtenidas con el comando ctrbf. .......................................................... 53 
Figura 3. 10. Matriz de transformación y matriz Q obtenidas con el comando ctrbf. .............. 54 
Figura 3. 11. Matriz Ac y Bc que representan los estados controlables................................. 54 
Figura 3. 12. Sistema de control dado por su modelo en espacio de estados. ...................... 55 
Figura 3. 13. Matriz Kbar ...................................................................................................... 58 
Figura 3. 14. Matriz Kbar con columna de ceros. .................................................................. 58 
Figura 3. 15. Matriz K. ........................................................................................................... 58 
Figura 3. 16. Raíces del sistema original .............................................................................. 59 
Figura 3. 17. Raíces del sistema considerando una ganancia K. .......................................... 59 
Figura 3. 18. Respuesta en lazo cerrado .............................................................................. 60 
Figura 3. 19. Regulador convencional de bucle cerrado ....................................................... 61 
Figura 3. 20. Predictor de Smith. Lazo de control. ................................................................ 62 
Figura 3. 21. Medición imposible en el proceso físico. .......................................................... 63 
Figura 3. 22. Control de lazo abierto ..................................................................................... 63 
Figura 3. 23. Control de lazo cerrado .................................................................................... 64 
Figura 3. 24. Diagrama del Predictor de Smith. ..................................................................... 65 
Figura 3. 25. Nivel de pH dentro del reactor. ......................................................................... 66 
Figura 3. 26. Respuesta de la temperatura dentro del reactor y del enchaquetado ............... 66 
Figura 3. 27. Comportamiento de las concentraciones A, B, C, D. ........................................ 67 
 
Capítulo IV 
 
Figura 4. 1. Diagrama de tubería e instrumentación de el proceso de saponificación. .......... 69 
Figura 4. 2. Control por relación. ........................................................................................... 71 
Figura 4. 3. Control en cascada. ........................................................................................... 72 
Figura 4. 4. Control en cascada ............................................................................................ 73 
Figura 4. 5. Controlador esclavo PID2 .................................................................................. 73 
Figura 4. 6. Controlador maestro PID. .................................................................................. 74 
Figura 4. 7. Control por relación y control en cascada. ......................................................... 74 
Figura 4. 8. Aplicación de control por relación y control en cascada. .................................... 75 
Figura 4. 9. Control en cascada en combinación con predictor de Smith. ............................. 76 
Figura 4. 10. Sistema sin retardo. ......................................................................................... 76 
Figura 4. 11. Sistema con retardo. ........................................................................................ 77 
 
ix 
 
Figura 4. 12. Respuesta de control en cascada con predictor de Smith. ............................... 77 
 
Capítulo V 
 
Figura 5. 1. Control en cascada, por relación y predictor de Smith aplicado al sistema no 
lineal. .................................................................................................................................... 81 
Figura 5. 2. Control en cascada con presencia de retardo .................................................... 83 
Figura 5. 3. Control en cascada con predictor de smith. ....................................................... 83 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
 
Índice de Tablas 
 
Tabla 1. 1. Control de procesos químicos mediante la utilización de diferentes técnicas. ..... xv 
Tabla 1. 2 Clasificación de las reacciones químicas empleadas en el diseño de reactores .... 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xi 
 
Glosario 
 
Álcali: Hidróxido metálico muy soluble en el agua, que se comporta como una base fuerte. 
Alcalino: De álcali o que tiene álcali. 
Analítico: Cuando se aplica las leyes físicas y químicas correspondientes a cada 
componente del sistema, que en conjunto forman una estructura o función matemática. 
 
Ácidos: Sustancia que en disolución aumenta la concentración de iones de hidrógeno y se 
combina con las bases para formar las sales. 
Acuoso: Abundante en agua. 
Automático: Que funciona en todo o en parte por sí solo. 
Base: Cualquier sustancia que en disolución acuosa aporta iones OH− al medio. 
Catalizador: Sustancia que está presente en una reacción química en contacto físico con los 
reactivos, y acelera, induce o propicia dicha reacción sin actuar en la misma. 
Concentración: Magnitud que expresa la cantidad de una sustancia por unidad de volumen. 
Coeficiente: Cantidad de moles de partículas 
CSTR: De sus siglas en inglés, continuous stirred-tank reactor, Reactor continúo tipo tanque 
agitado. 
Disolución: Son mezclas homogéneas de sustancias en iguales o distintos estados de 
agregación. 
Enzima: Son moléculas proteicas que catalizan reacciones químicas 
Experimental: Consiste en la identificación de los parámetros, mediante el análisis de datos 
de entrada y salida, estimando valores posibles que se ajusten al sistema. 
Flujo de calor transferidopor convección: Es una de las tres formas de transferencia de 
calor y se caracteriza porque se produce por intermedio de un fluido (líquido o gas) que 
transporta el calor entre zonas con diferentes temperaturas. La convección se produce 
únicamente por medio de materiales fluidos. 
 
Flujo de calor por conducción a través de un sólido: Es en el que existe un gradiente de 
temperatura. 
 
Hidrolisis: El desdoblamiento de un compuesto químico por la acción del agua, de las 
grasas y los aceites 
http://es.wikipedia.org/wiki/Sustancia
http://es.wikipedia.org/wiki/Disoluci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Agua
http://es.wikipedia.org/wiki/Ion
http://es.wikipedia.org/wiki/Hidr%C3%B3xido
http://es.wikipedia.org/wiki/Transferencia_de_calor
http://es.wikipedia.org/wiki/Transferencia_de_calor
http://es.wikipedia.org/wiki/Fluido
http://es.wikipedia.org/wiki/Temperatura
http://es.wikipedia.org/wiki/Fluido
 
xii 
 
Lejía: Hipoclorito sódico 
Lipídica: Perteneciente o relativo a los lípidos 
Mol: El mol o molécula gramo es la unidad básica del Sistema Internacional de Unidades 
que mide la cantidad de sustancia; se representa con el símbolo mol. 
Movimientos espaciales: son los desplazamientos de un lugar a otro. 
Operación unitaria: Es una parte indivisible de cualquier proceso de transformación donde 
hay un intercambio de energía, sea físico, químico o de naturaleza biológica, de una materia 
prima en otro producto de características diferentes. 
Reactantes: Elementos, moléculas o iones que intervienen en una reacción química y dan 
lugar a los respectivos productos. 
Reactivo: Toda sustancia que interactúa con otra en una reacción química. 
Rendimiento: Grado en el que se producen las reacciones que originan el producto. 
Saponificación: Según Levenspiel (1998), la saponificación consiste en una hidrólisis 
alcalina de la preparación lipídica (con KOH o NaOH). Los lípidos derivados de ácidos 
grasos (ácidos monocarboxílicos de cadena larga) dan lugar a sales alcalinas (jabones) y 
alcohol, que son fácilmente extraíbles en medio acuoso. 
Tiempo de residencia: Los elementos de fluido en la corriente de entrada al reactor tienen 
una probabilidad P1 de permanecer en el reactor durante un tiempo T1, una probabilidad P2 
de permanecer un tiempo T2, y así sucesivamente; esto da origen a una distribución de 
tiempos de residencia, que tiene una influencia directa en la conversión y selectividad 
obtenidas en un reactor. 
 
 
 
 
 
 
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Proceso_f%C3%ADsico&action=edit&redlink=1
http://es.wikipedia.org/wiki/Proceso_qu%C3%ADmico
http://es.wikipedia.org/wiki/Biotecnolog%C3%ADa
 
xiii 
 
Objetivos 
 
Objetivo general. 
 
Implementar arquitecturas y algoritmos de control, para controlar la temperatura y el nivel de 
pH en el interior de un reactor de agitación continua, considerando los efectos del retardo. 
 
 
Objetivos particulares. 
 
 Mantener las condiciones de temperatura y pH constantes dentro del reactor en 
304.5°K (±8.5°K) y 12 (±0.5) respectivamente 
 
 Analizar la respuesta de un reactor de agitación continua bajo las influencias del 
retardo en las salidas de la temperatura del reactor. 
 
 Analizar el desempeño de controladores diseñados bajo las consideraciones del 
retardo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xiv 
 
Antecedentes 
 
En primer lugar se tiene que en 2005 en la Pontificia Universidad Católica del Perú se realizó 
una tesis para obtener el título de Maestro en ingeniería en control y automatización, 
llamada “Diseño de un neurocontrolador dinámico aplicado a un reactor químico continuo” 
por Henry A. Mendiburu Díaz, cuyo objetivo principal fue el diseño y análisis de varios 
sistemas de control aplicados a un reactor químico continuo (CSTR). En este trabajo se 
puede observar las diferentes tipos de respuestas que un reactor químico de este tipo puede 
tener bajo las influencias de un control PID y de un control por medio de redes neuronales, 
en base a los resultados se concluye cual es el controlador más conveniente. Otro de los 
objetivos de este trabajo es brindar conocimiento acerca de los reactores químicos. 
 
Se revisó el artículo “Modelación, simulación y control de un reactor exotérmico por lotes, 
utilizando Matlab-Simulink”, que fue publicado en la Revista Redalyc Vol. 10, No. 2. 7-12, 
2003, por Aida Pérez R, Eliana Peña, Pascual Aljibes. D. Los fines de este trabajo es el 
estudio de un reactor por lotes exotérmico a partir de su modelo matemático aplicando 
diferentes combinaciones del algoritmo de un PID considerando perturbaciones y así 
observar las variantes en la respuesta, con el fin de reducir los subproductos en el proceso. 
Se concluyó que el uso de software como Matlab-simulink facilita el análisis del modelo 
matemático del sistema, respecto al control, y se determinó en que porcentaje de conversión 
del el reactante se obtenían menos subproductos. 
 
Eliana Peña T. (2008) el cual estudió un reactor tipo tanque continuamente agitado (CSTR) a 
partir de su modelo matemático en variables de espacio de estado. Posteriormente, se utiliza 
el modelo no lineal para realizar unas pruebas de lazo abierto del sistema y por último se 
diseña su sistema de control predictivo por modelo (MPC), el cual se compara con una 
estrategia de control proporcional. Para ambos lazos de control se utilizó el modelo lineal 
representado a través de variables de estado. 
 
En lo que respecta al control de reactores biológicos usando técnicas de control, tenemos 
que Bequette Wayne (1991) realizó una revisión teórica e histórica sobre estrategias de 
control no lineal, por otro lado Jagadeesh Chandra A.P (2010) el cual diseña un control de 
temperatura y pH el cual es implementado en Labview, mientras que S.Srinivasan (2010) en 
el cual se diseña un controlador PI el cual controla la cinética que tiene la ecuación de 
Monod. 
 
Jesús Fausto López Manzanarez (2003) presentó una tesis llamada “Regulación de 
Reactores Químicos con Esquema de Control Proporcional Integral No Lineal” en el cual 
aborda el problema de la regulación de reactores químicos continuos por medio de un 
esquema de control proporcional integral no lineal (NPI). 
 
 
xv 
 
Cinda Luz Sandoval Torres (2012) realizaron un trabajo de tesis llamado “Laboratorio Virtual 
de Procesos”, en este trabajo se desarrolló un laboratorio virtual que involucra las disciplinas 
de control de procesos y la simulación de plantas completas, para ello se utilizó Labview. 
 
Para ilustrar más los antecedentes históricos sobre control de procesos químicos usando 
técnicas de control, se muestra la tabla 1, la cual es tomada de la referencia [19]: 
 
Tabla 1. 1. Control de procesos químicos mediante la utilización de diferentes técnicas. 
 
Reactores bioquímicos 
Bequette (1990) 
Brengel y Seider (1989) 
Henson y Seborg (1990) 
Kravaris (1988) 
Reactores químicos 
Adebekun y Schork (1989) 
Aluko (1988) 
Álvarez et al. (1989) 
Bartusiak et al. (1989) 
Destilación 
Alsop y Edgar (1990) 
Castro et al. (1987) 
Lu y Holt (1990) 
Nivel 
Cheung y Luyben (1980) 
Rugh (1987) 
Shunta y Fehervari (1976) 
pH 
Jayadeva et al. (1990) 
Parrish y Brosilow (1988) 
Wright y Kravaris (1991) 
Sistemas con Tiempo Muerto 
Bequette (1990) 
Contracción de la Variable Manipulada 
Bequette (1990) 
Patwardhan et al. (1990) 
Sistu y Bequette (1990) 
. 
 
Para la parte de retardos y estrategias de control se tiene el trabajo de tesis realizado por 
Pedro José García Gil (2007), titulada “Sistemas dinámicos con retardos temporales” en la 
cual se han propuesto diferentes variaciones del esquema original del Predictor de Smith, 
denominadas genéricamente Compensadores de Tiempo Muerto (DTC). 
 
xvi 
 
Justificación 
 
Durante los últimos años, el control de los dispositivos que involucran alguna reacción 
química ha sido un problema importante que requierede una amplia atención, muchos 
procesos actuales carecen de un funcionamiento ideal o deseado. La falta de un sistema de 
control que cumpla con los requerimientos deseados se debe en gran parte al modelado de 
dicho sistema, ya que un modelo matemático que se obtenga de un sistema jamás podrá 
igualar a la realidad, debido a que se encuentra presente una incertidumbre (retardos, 
perturbaciones etc.). 
 
El éxito de una planta química, viene daba básicamente por el reactor químico involucrado 
en el proceso, es por eso que al hablar de reactores químicos también se considera 
aspectos como: el equipo auxiliar, reactantes en las entradas, costos de operación, 
complejidad de una planta, condiciones de la reacción, variables manejadas como: presión, 
temperatura, niveles, concentraciones, etc. La falla de cualquiera de estos aspectos puede 
ocasionar el fracaso de la planta. 
 
Teniendo en cuenta los puntos antes mencionados, se han realizado un gran número de 
trabajos de control para reactores CSTR, siempre aplicando diferentes tipos de estrategias 
con el fin de alcanzar los mejores resultados de acuerdo a los objetivos de su control, 
algunos de ellos están referenciados en este trabajo. 
 
La importancia de la aplicación de dichas estrategias radica en que una gran cantidad de 
productos consumidos por la sociedad son llevados a cabo por este tipo de reactores 
químicos. Como es sabido, las variaciones mínimas presentes en las reacciones químicas 
pueden llevar a la obtención de productos o subproductos no esperados en cantidad y forma, 
por lo tanto, es de suma importancia mantener un control en las variables influyentes del 
proceso en el reactor químico; las perturbaciones, variaciones, desviaciones deben de ser 
mínimas, la consideración de los retardos en este tipo de sistema nos pueden llevar a la 
obtención de mejores resultados. Al aplicar una estrategia de control mucho más efectiva, se 
influyen en aspectos como: cantidad aplicada de los reactantes, mejor aprovechamiento de 
energías, por ejemplo, en el calor aplicado a la reacción, etc., lo que traería principalmente 
un ahorro de tiempo y dinero. 
 
Por otro parte, las perturbaciones, variaciones, desviaciones son características de los 
procesos, por eso, al realizar el trabajo fue importante preguntarse ¿es necesario conocer 
los efectos del retardo en los sistemas?, todos los procesos químicos presentan retardos, es 
cierto también que no todos requieren un esquema de control que considere sus efectos, 
también es sabido que unos son evidentemente menos afectado que otros. Haciendo estas 
consideraciones, los procesos químicos en los que se evidenciaría las ventajas de los 
esquemas de control considerando los efectos del retardo serían aquéllos en los cuales los 
retardos tuvieran una mayor presencia, y por ende un esquema de control básico no 
estabilizaría al sistema en el punto de operación deseado. 
 
xvii 
 
En el párrafo anterior se menciona la importancia del retardo, si es tan importante ¿Por qué 
no se considera en el diseño de estrategias de control?, la respuesta está en que su 
representación matemática implica tratar con ecuaciones diferenciales en diferencias, las 
cuales son más complejas de manejar que las ecuaciones diferenciales ordinarias, la 
diferencia de tratar con estas ecuaciones se explicara posteriormente en el capítulo 2. 
 
Como se ha mencionado en el inicio de este punto, los retardos están presentes en todos los 
sistemas, el problema es que difícilmente se puede conocer el valor de ellos, para ello es 
necesario emplear diferentes estrategias de control, entre las cuales se pueden mencionar el 
predictor de Smith, la cual permite tratar sistemas con retardos, cada una desde un punto de 
vista diferente. 
 
Por ello, en este trabajo de tesis se pretende demostrar los efectos que tienen los retardos 
en un sistema, así como la aplicación del Predictor de Smith, el cual es utilizado para tratar 
este tipo de fenómenos, para poder llevar acabo esta demostración es necesario comparar 
dicha estrategia con estrategias que son utilizadas habitualmente. 
 
Por último, se tiene que los valores asignados a cada una de las variables utilizadas en esta 
tesis se encuentran basados en los resultados de los trabajos antes mencionados, por lo 
cual este trabajo tiene un alcance de simulación y análisis de respuestas. 
 
1 
 
Capítulo 1: Marco teórico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En el interior de este capítulo se encuentran las bases de la investigación 
desarrollada. 
Por ello, se describen algunas características y aspectos de los reactores, 
entre las cuales resaltan: clasificación, aplicaciones, importancia, variables 
que interfieren, balances de materia y energía, etc. 
Para poder realizar el control de un sistema se requiere de la interpretación 
matemática que describa su comportamiento, la representación matemática 
sistema se pueden dar de tres formas: ecuaciones diferenciales, función de 
transferencia y ecuaciones de estado. 
La mayoría de los procesos químicos presentan un comportamiento no 
lineal, por tal motivo es indispensable conocer la forma de trabajar con 
sistemas de este tipo y el método de linealización que se puede aplicar. 
Para poder realizar el control de un sistema es necesario determinar la 
controlabilidad de dicho sistema, ambos términos son descritos en el interior 
de este capítulo. 
Por último, se encuentran conceptos importantes como son: definición de 
un retardo, operador del retardo, comportamiento de un retardo y métodos 
de control utilizados en sistemas con retardos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
1.1. Conceptos generales de los reactores. 
 
1.1.1. Reacción química 
 
Una reacción química es una operación unitaria; es decir, redistribuye los átomos de las 
moléculas que forman a los compuestos reactantes para obtener nuevas moléculas. 
 
La química se encarga del estudio de estas reacciones químicas se basa principalmente en 
su estructura, propiedades, cambios físicos y energéticos que tienen lugar, y la velocidad con 
que se forman los productos. 
 
La cinética química trata principalmente del estudio de la velocidad, considerando todos los 
factores que influyen sobre ella y explicando la causa de la magnitud de esa velocidad de 
reacción, mide las velocidades de las reacciones químicas con el fin de encontrar las 
ecuaciones que relacionen la velocidad de una reacción con las variables experimentales. 
 
Esta herramienta permite profundizar en la naturaleza de los sistemas reaccionantes, 
comprender cómo se forman y se rompen los enlaces químicos y estimar sus energías y 
estabilidades. La fuerza relativa de los enlaces químicos y la estructura molecular de los 
compuestos se pueden investigar con esta herramienta, es posible obtener un método para 
el estudio del transporte de calor y materia, y sugiere métodos para tratar fenómenos de 
velocidad en otros campos [11]. 
 
 
1.1.1.1. Clasificación de las reacciones químicas. 
 
La clasificación de las reacciones químicas puede ser muy variada, por ejemplo puede ser 
por el número y tipo de fases implicadas, lo que da sistemas homogéneos y heterogéneos. 
 
Una reacción es homogénea si se efectúa en una sola fase, es decir, tanto los reactivos 
como los productos se encuentran en un mismo estado físico. Una reacción es heterogénea 
con al menos la presencia de dos fases o estados físicos en la reacción. 
 
En la gran mayoría de los procesos se tiene como objetivo obtener un determinado producto, 
pero es prácticamente imposible prescindir de los subproductos o en el peor de los casos 
residuos, a esto se le llama reacción múltiple. 
 
En las reacciones simples solo se necesita una expresión cinética para definir el 
comportamiento. En las reacciones múltiples, se necesita más de una ecuación cinética. 
 
Por otro lado setienen a las reacciones químicas muy rápidas, que en otras palabras son la 
combustión de un gas, puede no existir homogeneidad en la composición o en la 
 
3 
 
temperatura, por consiguiente, no tienen una sola fase, ya que una fase implica uniformidad 
en la temperatura, la presión y la composición. 
 
También se tienen las reacciones catalíticas, su velocidad está alterada por la presencia de 
catalizadores, estos no necesitan estar presentes en grandes cantidades; los catalizadores 
actúan, en cierto modo, como mediadores, retardando o acelerando la reacción y a la vez 
pueden o no sufrir pequeñas variaciones, en la Tabla 1.2 se muestran ejemplos de 
reacciones químicas catalizadas y no catalizadas, homogéneas y heterogéneas [11]. 
 
Tabla 1. 2 Clasificación de las reacciones químicas empleadas en el diseño de reactores 
 No catalizadas Catalizadas 
 
Homogéneas 
La mayor parte de las reacciones en 
fase gaseosa. 
La mayor parte de las 
reacciones en fase liquida. 
Reacciones rápidas tales como la 
combustión de una llama. 
Reacciones en sistemas 
coloidales. 
Reacciones con enzimas 
microbiológicas. 
 
 
 
Heterogéneas Combustión del carbón tostado de 
minerales. 
Ataque de solidos por ácidos. 
Absorción gas-liquido con reacción. 
Reducción de minerales de hierro a 
hierro y acero. 
Síntesis del amoniaco. 
Oxidación de amoniaco para dar 
ácido nítrico. 
Cracking del petróleo. 
Oxidación de a . 
 
 
1.1.2. Reactor Químico 
 
Un reactor químico puede definirse básicamente como el lugar físico en donde las 
reacciones químicas se llevan a cabo [10]. 
 
Es una unidad de proceso diseñada para llevar a cabo una o varias reacciones químicas. 
Esta definición generalmente implica un sistema bien delimitado, casi siempre un recipiente 
cerrado, con líneas de entrada y salida claramente especificadas y un estricto algoritmo de 
control. 
 
El éxito de una planta química, viene daba básicamente por el reactor químico involucrado 
en el proceso, es por eso que al hablar de reactores químicos también se considera 
aspectos como: el equipo auxiliar, reactantes en las entradas, costos de operación, 
complejidad de una planta, condiciones de la reacción, variables manejadas como: presión, 
temperatura, niveles, concentraciones, etc. La falla de cualquiera de estos aspectos puede 
producir el fracaso de la planta. 
 
 
4 
 
1.1.2.1. Ecuación de Rendimiento. 
 
Según [10], es aquella expresión matemática que relaciona la salida con la entrada en un 
reactor químico, para diversas cinéticas y diferentes modelos de contacto. El modelo de 
contacto se refiere a como los materiales circulan a través del reactor y se contactan entre 
ellos, el tiempo de mezclado, y las condiciones y características de la incorporación de 
material. La cinética habla de que tan rápido ocurren las reacciones químicas y el equilibrio 
dentro del reactor. 
 
Todos los factores mencionados previamente están condicionados por dos ecuaciones: 
balance de masa y balance de energía. 
 
El balance de masa está dado por la relación: 
 
 
 
El balance de energía está dado por la relación: 
 
 
 
 
1.1.2.2. Tipos de reactores. 
 
El tipo de reactor dependerá de las necesidades de una situación concreta. 
 
Clasificación según criterios de: 
 
 Continuidad 
o Reactores continuos. 
o Reactores discontinuos. 
o Reactores semicontinuos. 
 
 Geometría 
o Reactores tubulares. Reactores cilíndricos con longitud (L) ampliamente 
superior al diámetro (D). Se usan fundamentalmente en procesos continuos, 
con flujo axial. 
o Reactores tipo tanque. Reactores en los que no predomina ninguna dimensión 
(L y D son del mismo orden de magnitud). Uso en procesos continuos y 
discontinuos. 
 
 Tipo de flujo 
o Reactores de flujo ideal. El flujo en el reactor responde a uno de los dos 
extremos ideales: 
 
 
5 
 
 flujo de mezcla perfecta: mezcla instantánea y en todo el reactor, lo 
que supone una homogeneidad de propiedades (composición, 
temperatura, etc.) en todo el volumen del mismo. 
 flujo pistón: mezcla nula entre los diferentes elementos de volumen en 
la dirección del flujo, lo que supone la existencia de perfiles en el valor 
de las propiedades en esa dirección. 
 
o Reactores de flujo no ideal. El flujo de sustancias se aleja de los 
comportamientos ideales indicados, de forma que se crean corrientes 
internas, zonas estancas, gradientes de concentración, de temperatura, etc. 
La determinación de la distribución de tiempos de residencia será clave para 
el cálculo de la eficacia del reactor. 
 
 Características térmicas 
 
o Reactores isotermos. Presentan igual temperatura en todo su volumen de 
reacción y para todo tiempo. 
o Reactores adiabáticos. No tienen transferencia de calor con su entorno. El 
calor generado o consumido en la reacción produce perfiles longitudinales o 
temporales de temperatura. 
o Reactores no isotermos no adiabáticos. Presentan transmisión de calor con el 
entorno. Los perfiles en cada punto del reactor (o para cada tiempo, en caso 
de discontinuos) dependen del balance energético entre calor generado y 
calor evacuado (para reacciones exotérmicas) o calor consumido y captado 
(en endotérmicas). 
 
 Presión de trabajo 
o Reactores de baja presión. Presión de trabajo inferior a aproximadamente 10 
atmósferas. Comportamiento ideal de las fases fluidas. No requerimientos 
especiales. 
o Reactores de alta presión. Presiones superiores a aproximadamente 10 
atmósferas. Comportamiento no ideal de los fluidos. Necesarias medidas 
adicionales de seguridad: espesor del material de construcción, discos de 
ruptura, válvulas de seguridad, etc. [13]. 
 
 Carácter de la reacción 
o Reactores catalíticos. La velocidad con la que se aproxima al equilibrio la 
reacción química que se lleva a cabo en ellos está aumentada mediante el 
uso de un catalizador en la misma fase o en diferente fase que éstos. 
o Reactores no catalíticos. No intervienen sustancias catalíticamente activas. 
 
 
 
 
 
6 
 
 Fases que intervienen 
 
o Reactores homogéneos. Una sola fase. Normalmente reacciones entre gases 
(en reactores tubulares) o entre líquidos miscibles (en reactores tipo tanque). 
o Reactores heterogéneos. Intervienen varias fases en el proceso. 
Habitualmente por el uso de un catalizador sólido. Según el número de fases y 
su naturaleza: 
 
 Reactores bifásicos sólido-fluido, S-G o S-L (sólido-gas o sólido-
líquido). 
 
o De lecho fijo: Figura 1.1. a). El sólido constituye un lecho 
empaquetado de partículas que es atravesado por el fluido. 
o De lecho móvil: Figura 1.1. b). Una corriente de sólido es 
alimentada en continuo y otra extraída del reactor (sólido residual 
o catalizador desactivado). Según dirección y sentido relativo de 
las corrientes de sólido y fluido, se tiene lecho móvil en 
contracorriente, en corrientes paralelas o en corrientes cruzadas. 
o De lecho fluidizado: Figura 1.1 c). La velocidad superficial de 
ascenso del gas en el lecho ( ) es mayor que la velocidad de 
mínima fluidización ( ) de las partículas sólidas y éstas se 
mueven en el de forma semejante a las moléculas de un fluido. El 
flujo de gas es próximo a un flujo pistón si no excede en mucho 
el valor , cuánto más grande es ese exceso sufre más 
retroalimentación de la mezcla. La transferencia de calor en el 
lecho es muy buena y presenta la gran ventaja de su 
isotermicidad. 
o De transporte neumático o tipo riser: Figura 1.1 d). la velocidad 
es mayor que la velocidad terminal del sólido ( ), éste es 
arrastrado con la corriente de gases. El lecho presenta 
elevadísima porosidad [14]. 
 
a) b) c) d) 
figura1. 1 Reactor bifásico solido-fluido. a) De lecho firme. b) De lecho móvil. c) De lecho fuidizado, d) 
De transporte neumático. 
 
 
7 Reactores bifásicos fluido-fluido, G-L o L-L (gas-líquido o líquido-
líquido entre líquidos inmiscibles) 
 
o Tipo torres de pulverización: Figura 1.2 a). El líquido forma una 
fase dispersa de gotas que caen por gravedad y se ponen en 
contacto con la corriente de gas (en contracorriente o corrientes 
paralelas) como fase continua. Diversas variantes: torres de 
relleno, de etapas, de platos, etc. 
o Tipo tanques de borboteo: Figura 1.2 b). Es el gas la fase 
dispersa en burbujas a través del líquido que constituye la fase 
continua. 
 
 
a) b) 
 
figura1. 2 Reactores bifásicos fluido-fluido. a) de pulverización. b) de borboteo. 
 Reactores trifásicos gas-líquido-sólido, G-L-S. Habitualmente en 
reacciones entre un reactivo en fase gas y otro en fase líquida con un 
sólido como catalizador. 
 
o Tipo reactores de barros o slurry: el sólido son partículas muy 
finas en suspensión. 
o Tipo lecho escurrido o trickle bed: el sólido, en partículas 
mayores, forma lecho un lecho fijo [13]. 
 
 
1.1.3. Algunas aplicaciones según sea el tipo de reacción. 
 
De la Figura 1.3 a la Figura 1.11, se muestra una lista que incluye el tipo de reactor que se 
utiliza para desarrollar determinado tipo de reacción, así como algunos ejemplos de 
aplicaciones en la industria química (desarrollado en base a la clasificación de [15]). 
 
 
8 
 
 
figura1. 3. Algunos tipos de reacciones presentes en reactores. 
 
. 
figura1. 4. Ejemplo de aplicación de reactores con una reacción fase gas. 
 
9 
 
 
figura1. 5. Ejemplo de aplicación de reactores con una reacción fase gas (exotérmica). 
 
 
figura1. 6. Ejemplo de aplicación de reactores con una reacción fase gas (endotérmica). 
 
10 
 
 
figura1. 7. Ejemplo de aplicación de reactores con una reacción fase liquida (una o más fases). 
 
 
figura1. 8 . Ejemplo de aplicación de reactores con una reacción catalizada: Fase liquida, Gas-liquido. 
 
 
11 
 
 
figura1. 9. Ejemplo de aplicación de reactores con reacciones no catalizadas. 
 
figura1. 10. Ejemplo de aplicación de reactores con reacciones electrotérmicas y electroquímicas. 
 
 
12 
 
 
figura1. 11. Ejemplo de aplicación de reactores con reacciones aeróbicas y anaeróbicas. 
 
1.2. El modelado matemático de procesos químicos 
 
Un modelo matemático de un sistema es un conjunto de ecuaciones que representan la 
dinámica del sistema, este modelo no es único, un sistema puede representarse de formas 
diferentes y esto dependerá de la perspectiva. 
 
El modelado macroscópico de procesos ha demostrado ser eficaz para resolver muchos 
problemas en los proceso químicos, estos modelos son capaces de describir el 
funcionamiento del sistema, pero el control que se hace actualmente a estos procesos sigue 
siendo deficiente debido a la falta de precisión que se tiene al realizar dichos modelos. Se 
sabe que en los modelos obtenidos, van involucrados aspectos inherentes tales como son: 
los retardos del tipo no-lineales (sistemas que no cumplen con el principio de superposición y 
en los cuales se encuentra inmerso uno o varios retardos), modelos matemáticos con 
grandes problemas de linealidad, el mal entendimiento de la dinámica, retardos en el tiempo 
real de monitoreo, fallas en las mediciones en línea de las variables del proceso, falta de 
aparatos y sensores fiables en línea, etc. 
 
Dadas las crecientes expectativas de los procesos químicos industriales, el control de estos 
procesos considerando al retardo es de importancia práctica. El controlador se obtiene a 
partir de la(s) función(s) de transferencia. La única información requerida sobre el proceso 
 
13 
 
son las medidas de las variables de estado y su grado relativo. Cabe mencionar que si para 
el proceso de análisis no hay variables accesibles de estado, éstos serán estimados 
utilizando un observador adecuadamente de estado. 
 
Es bien sabido que un modelo por más complejo que sea nunca podrá igualar la realidad, la 
consideración de los retardos es de vital importancia para poder desarrollar un modelo más 
preciso y exacto, que se aproxime más a la realidad, por ende es mucho mejor considerar un 
sistema con retardo a uno que lo ignore. 
 
 
1.2.1. Espacio de estados. 
 
El estado de un sistema es el conjunto de variables llamadas variables de estado, que en 
conjunto con las funciones de entrada y las ecuaciones que describen la dinámica del 
sistema, nos permiten predecir las salidas y estados futuros. 
Un sistema moderno complejo posee múltiples entradas y múltiples salidas, las cuales tiene 
una relación relativamente complicada, esta relación es simplificada con su representación 
en espacio de estados. 
La teoría del control convencional se basa en relaciones entrada-salida, o funciones de 
transferencia, la teoría del control moderna se basa en la descripción de las ecuaciones de 
un sistema en términos de n ecuaciones diferenciales de primer orden que se combinan en 
una ecuación diferencial vectorial de primer orden. 
El uso de la notación matricial simplifica enormemente la representación matemática de los 
sistemas de ecuaciones. 
La representación de un sistema en espacio de estados se muestra a continuación: 
 ̇ (1.1) 
 (1.2) 
 
xvector de estado de dimensión n AMatriz nxn 
uvector de control de dimensiones r BMatriz de nxr 
yvector de salida de dimensiones n CMatriz de mxn 
 DMatriz de mxr 
 
Los estados de un sistema también pueden ser representados en diagrama de bloques como 
se muestra en la Figura 1.12. 
 
14 
 
 
figura1. 12. Representación gráfica en diagrama de bloques del espacio de estados. 
 
 
1.2.2. Controlabilidad y observabilidad. 
 
Kalman introdujo los conceptos de controlabilidad y observabilidad que son de suma 
importancia para el diseño de controladores en espacio de estados, estos conceptos 
determinan la existencia del controlador, en otras palabras, el sistema debe ser de estado 
completamente controlable para el diseño de su controlador, y completamente observable en 
caso de realizar un observador. 
Controlabilidad 
 Un sistema representado en espacio de estados, como se muestra en las ecuaciones 1.1, 
1.2 es controlable en t=t0 (t =tiempo, t0=tiempo inicial), si es posible construir una señal de 
control sin restricciones que transfiera un estado inicial a cualquier estado final (t1) en un 
intervalo de tiempo finito t0<= t<= t1. Si todos los estados son controlables, se dice que el 
sistema es de estado completamente controlable. 
Observabilidad 
Sea en sistema no forzado descrito por 
 ̇ (1.3) 
 (1.4) 
 
Se dice que el sistema es completamente observable si el estado x(t0) se determina a partir 
de la observación de y(t) durante un intervalo de tiempo finito t0<= t<= t1. Un sistema es 
completamente observable si todas las transiciones del estado afectan eventualmente a 
todos los elementos del vector de salida. 
 
 
 
15 
 
1.3. Sistemas lineales y no lineales. 
 
La linealidad de las ecuaciones matemáticas representativas de un sistema, se refiere a que 
su comportamiento se presenta siempre dentro de un margen de operación acotado. Cuando 
se desea conocer el comportamiento de un sistema fuera de ese margen, el simplemente no 
posee condiciones de linealidad, por lo tanto se obtiene es un modelo matemático no lineal. 
 
Como se sabe, la propiedad de linealidad satisface el principio de superposición. Es decir, 
una función ( ) es lineal si y solo si dados ( ) ( ) constantes & 
 ( ) ( ) respectivamente [19], entonces la siguiente ecuación se cumple: 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
 
 
1.3.1 Método de linealización de Taylor. 
 
Sea el sistema dinámico no lineal definido mediante la ecuación 1.5. 
 
 ̇ ( ) (1.5) 
 
El comportamiento de dicha función se puede aproximar mediante la serie de Taylor 
siguiente [19]: 
 
 
 ( ) ∑
 
 
 ()( ) 
 
 
 
(1.6) 
 ( ) ( ) 
 
 
 ( )( ) 
 
 
 ( )( ) 
 
 
 ( )( ) (1.7) 
 
 
El método de linealización por Taylor consiste en truncar la serie hasta , utilizando sólo 
los primeros dos términos de la serie y despreciando el resto (llamados términos de Orden 
Superior). Adicionalmente, si se considera que el punto fijo es igual a un punto de 
equilibrio , entonces ( ) ( ) . Por lo tanto: 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 ( )( ) (
 
 
 ( ))
 
( ) 
Definiendo: 
 (
 
 
 ( ))
 
 ̅ ( ) 
 
La proximidad lineal se define en la siguiente ecuación: 
 ̇̅ ̅( ̅) ̅ 
 
16 
 
Nota: La aproximación lineal puede hacerse en un punto tal que ( ) , en cuyo 
caso se considera que las condiciones iniciales no son cero [19]. 
 
Para este caso es posible hacer la aproximación lineal con condiciones iniciales igual a cero 
y posteriormente, extrapolar los resultados obtenidos hacia las condiciones iniciales (lo que 
significa simplemente un desplazamiento de los ejes). Es decir, si las condiciones iniciales se 
definen como ( 
 ) entonces se tiene la siguiente ecuación 
 
 ̇̅ ̅ 
1.4. Retardos, conceptos básicos. 
 
Los reactores químicos son un ejemplo típico de procesos que exhiben comportamientos no 
lineales y que presentan fenómenos de retardo en su dinámica. Los retardos en el tiempo se 
originan no solamente por el tiempo que se requiere para que los reactivos involucrados en 
el proceso de conversión química generen los productos demandados en el proceso 
químico, sino que también se suscitan por los actuadores, sensores y redes de comunicación 
involucradas en la implementación práctica de estrategias de control de retroalimentación, 
por ejemplo; sistemas de control en cuyos lazos hay sensores como cámaras, columnas de 
destilación, procesos de secado de papel, plantas de reciclado, procesos de refinación, 
sistemas tele operados etc. 
 
A pesar del conocimiento de que una de la característica es la no linealidad inherente del 
proceso, cabe mencionar que existen diversos factores entre los cuales se tienen; el mal 
entendimiento de la dinámica, retardos en el tiempo real de monitoreo, fallas en las 
mediciones en línea de las variables químicas o simplemente falta de instrumentación 
adecuada para el proceso, tradicionalmente en los procesos industriales se utilizan técnicas 
de diseño de control como lo es la implementación de un controlador PID (proporcional, 
integral, derivativo) entre otras técnicas de control tradicional. 
 
Los retardos temporales pueden ser intrínsecos a los procesos a controlar, como pueden ser 
procesos químicos, biológicos, columnas de destilación, procesos con intercambio térmico, 
etc., o bien se pueden introducir en el sistema de control por el propio diseño del mismo 
(tiempo de computo del algoritmo de control, sistemas distribuidos, control remoto, redes de 
comunicaciones, retardos introducidos por los sensores y/o actuadores, etc.). 
 
Los retardos están siempre presentes en los sistemas físicos. Afortunadamente, en muchos 
de ellos, éstos son pequeños al compararlos con las dinámicas del sistema y por lo tanto se 
pueden asumir cero. Sin embargo, los sistemas que se caracterizan por el transporte de 
materiales (p.ej., minería, biología, etc.), tienen retardos apreciables, esto se puede observar 
en la Figura.1.13; en algunos casos son mayores a las constantes de tiempo de la dinámica 
del sistema. Los sistemas eléctricos no están exentos de esta característica por la velocidad 
finita de la luz. Este es el caso de los sistemas de transmisión de energía eléctrica en donde 
el transporte se realiza en distancias del orden de los varios cientos de kilómetros. 
 
17 
 
 
 
 
figura1. 13. Sistema con retardo – transporte de material. 
En general, las prestaciones de los sistemas de control son muy sensibles a todos estos 
retardos, incluso más que a otros parámetros del modelo. De hecho, un sistema de control 
en lazo cerrado puede llegar a estabilizarse como consecuencia de los mismos. La principal 
limitación de los sistemas con retardos en el lazo de control se deriva del decremento en la 
fase de los mismos, lo cual conduce a una inestabilidad del lazo de control a ganancias 
relativamente menores, la presencia de esos retardos implica una limitación en la magnitud 
de la acción de control. 
 
Por contra, en algunas aplicaciones de control, introducir retardos en el proceso puede que 
no presente ningún problema, e incluso puede contribuir a mejorar la respuesta en lazo 
cerrado. Los retardos, también se pueden introducir en el modelo del sistema para modelar 
procesos de orden elevado por otros de menor orden con retardos. 
 
De forma general, los sistemas de control pueden contener retardos no solamente en la 
entrada y/o salida del sistema, sino también en los estados. 
 
Mayores problemas aparecen cuando tratamos con sistemas multivariables con múltiples 
retardos, donde la dificultad de la interacción entre los diferentes lazos de control se ve 
agravada por la presencia de los mismos. 
 
La presencia de retardos de tiempo o temporales también complica el análisis teórico del 
diseño del lazo de control, dado que estos son descritos por expresiones matemáticas más 
complejas, respecto al uso normal en control lineal de ecuaciones diferenciales lineales 
ordinarias. Este es el principal motivo por el cual el diseño de controladores para sistemas 
con retardos temporales es considerablemente más complejo en comparación con sistemas 
sin retardos. 
 
Existen muchos sistemas de control que tienen un atraso de tiempo dentro del lazo cerrado 
del sistema que afecta su estabilidad. Un tiempo de retardo es el intervalo de tiempo entre el 
comienzo de un suceso a un punto del sistema y la acción que resulta en otro punto del 
sistema. 
 
18 
 
Capítulo 2: Modelado matemático de un 
reactor de agitación continúa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En este capítulo se explica la forma de obtener el modelo matemático 
de un reactor de agitación continua, el cual presenta una dinámica no 
lineal y requiere de un método de linealización, de esta forma se puede 
obtener un modelo en variables de estado que permita desarrollar 
estrategias de control que cumplan con el objetivo de esta tesis. 
Algunos valores (constantes químicas, condiciones iniciales, etc.) han 
sido tomados de trabajos relacionados a este tipo de temas, los cuales 
son mencionados dentro de los antecedentes de este trabajo. Cabe 
destacar que el énfasis de este trabajo está ligado a la aplicación de 
estrategias de control. 
Para poder realizar el modelo matemático de un reactor, es 
indispensable conocer la reacción que se lleva a cabo, las variables que 
se encuentran presentes en el proceso, así como las señales de control, 
balances de energía y de materia, etc., en este caso se tomó como 
ejemplo una reacción de saponificación para la elaboración de jabón; es 
importante mencionar que el objetivo de esta tesis no va enfocado a la 
elaboración de jabón, pero es indispensable tener una reacción para 
poder diseñar la estrategia a aplicar. 
También se contempla la presencia de retardos, los cuales se pueden 
apreciar al llevar a cabo la simulación del sistema no lineal. 
Al final de este capítulo se puede observar la simulación de la dinámica 
del sistema sin ninguna estrategia de control aplicada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
2.1. Reactor de agitación continúa. 
 
Este reactor también es conocido por sus siglas en inglés CSTR que significa Continuous 
Stirred Tank Reactor. 
 
La agitación continua llevada a cabo dentro del tanque, tiene el objetivo de alcanzar una 
buena mezcla de los reactantes, y asegurar que se use todo el volumen del reactor y así 
evitar espacios muertos. Se habla de mezclaperfecta si el tiempo de circulación de los 
reactantes dentro del reactor es de una centésima del tiempo promedio que le toma al mismo 
elemento para entrar y salir del reactor [16]. 
 
Características: 
 La reacción química se desarrolla en un sistema cerrado. 
 Los reactantes se añaden continuamente y la mezcla reactiva se extrae en forma 
continua. 
 Operan en régimen estable. 
 
Que la mezcla reactiva este bien agitada se logra haciendo que la presión, la composición y 
la temperatura sean las mismas en cualquier parte del reactor. 
 
Ventajas de este tipo de reactores son las siguientes: 
 
 Su costo de operación es bajo comparado con el de los reactores por lotes. 
 Su operación es continua. 
 Se facilita el control automático de la producción. 
 Se tiene una sola temperatura en el sistema de reacción. 
 
Desventajas de este tipo de reactores son las siguientes: 
 Su costo inicial es alto. 
 Para tiempos de residencia muy altos su tamaño también será alto. 
 En general son menos eficientes que un reactor tubular. 
 
Las partes principales de este tipo de reactor son. Figura 2.1. 
 El sistema de agitación. 
 Las tuberías de alimentación de reactantes. 
 Las tuberías de descarga de productos. 
 El recipiente o tanque. 
 La camisa de enfriamiento y/o calentamiento. 
 
 
20 
 
 
Figura 2. 1. Esquema de un reactor continúo tipo tanque agitado. 
 
Las suposiciones principales que se hacen respecto a este tipo de reactor son las siguientes: 
 
 La mezcla reaccionante tiene las mismas propiedades en todos los puntos del 
reactor. 
 El flujo de salida tiene las mismas propiedades que la mezcla reaccionante en el 
interior del reactor. 
 El flujo de alimentación alcanza instantáneamente las propiedades de la mezcla 
reaccionante. 
 
Estas suposiciones implican que la alimentación se mezcle con el contenido del reactor en 
un intervalo de tiempo mucho más corto que el tiempo promedio de residencia dentro del 
reactor del flujo que pasa a través de este [16]. 
 
Con fines de lograr los objetivos de las tesis se ha decidido tomar como referencia un reactor 
químico de agitación continua, al cual ya se le han aplicado diferentes estrategias de control 
[17]. 
 
 
2.1.1. Descripción de la planta. 
 
Componentes de la planta: 
 
 Reactor: Es un reactor continuo tipo tanque agitado, el cual cuenta con dos ductos: 
entrada y salida de materiales. Cuenta con un sistema de control que le permite 
mantener una agitación uniforme y casi perfecta y un sistema de control que abre una 
válvula de drenaje cuando detecta que el nivel del tanque es superior al deseado. 
 
21 
 
 
 Camisa de Refrigeración: Es un sistema de enfriamiento basado en tubos para 
intercambiar calor. Cuenta con un tanque para almacenar el líquido refrigerante y una 
bomba para hacerlo circular. El líquido refrigerante a usar será el agua. 
 
 Tanques de almacenamiento: Estos tanques permiten almacenar los materiales que 
entran al reactor, dicho material es impulsado mediante electrobombas. También se 
cuenta con un tanque para almacenar el material producido. 
 
La siguiente figura 2.2. Ilustra estos componentes: 
 
 
Figura 2. 2. Esquema de la planta 
Variables sensadas: 
 
 Flujo de los materiales reactantes que entran al reactor ( , ) 
 Temperatura de los materiales que entran al reactor ( , ) 
 Concentración de los materiales que entran al reactor ( , ) 
 Concentración de los materiales que salen del reactor ( , ) 
 Temperatura en el interior del reactor ( ) 
 Nivel de pH en el interior del reactor ( ) 
 Flujo del líquido refrigerante ( ) 
 Temperatura del refrigerante en la entrada de la camisa ( ) 
 Temperatura del líquido refrigerante en la salida ( ) 
 
 
Variables manipuladas (actuadores): 
 
 Flujo de los materiales reactantes que entran al reactor ( , ). 
 Flujo del líquido refrigerante ( ). 
 
22 
 
Se pueden presentar perturbaciones en: 
 
 Temperatura de los materiales que entran al reactor ( , ). 
 Temperatura del refrigerante en la entrada de la camisa ( ). 
 
 
2.1.1.1. Descripción de la reacción química. 
 
En el interior del reactor químico se desarrollará una reacción de saponificación, de acetato 
de etilo ( COO ) con hidróxido de sodio (NaOH), la cual produce acetato de sodio 
(C COONa) y etanol (C2 OH). Esta reacción es ligeramente exotérmica. 
 
Para que la reacción transcurra normalmente, se debe procurar mantener la temperatura y 
pH constantes dentro del reactor (304.5°K (±8.5°K) y 12 (±0.5) respectivamente). Estos 
valores dependen de la receta utilizada, conforme a la calidad de producto requerido. 
 
Una de las principales aplicaciones de este tipo de reacciones es para la fabricación de 
jabones. Los jabones son sales alcalinas de los ácidos grasos producidos por un proceso de 
saponificación (el proceso inverso a la saponificación es la esterificación). 
 
La saponificación puede ser efectuada con sosa (NaOH), para este caso se obtendrán 
jabones de sodio, que son sólidos y ampliamente usados en el hogar. Para obtener jabones 
líquidos, en necesario hacer la saponificación con potasa (KOH), el jabón debe reposar unas 
semanas para que consiga una textura adecuada y pueda ser envasado y comercializado. 
 
El índice de saponificación es el parámetro que indica la cantidad de éster (acetato) 
necesario para saponificar un mol de lejía o álcali (KOH o NaOH) que se esté utilizando, si 
se intenta saponificar con cantidades mayores o menores de éster según sea lo requerido, 
es claro que el resultado obtenido no será el esperado. 
 
 COO 
 
 
2.1.2.1. Balance de masa. 
 
La expresión general del balance de masa para un material X es la siguiente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
Dónde: 
 
 Volumen del tanque 
 Concentración de material X a la entrada 
 Concentración de material X a la salida 
 Velocidad de flujo molar de X a la entrada 
 
 
 Velocidad de flujo molar a la salida 
 
 
 Velocidad de generación o transformación 
 
 
 
 
Si la temperatura, actividad catalítica, concentración, y demás parámetros asumidos son 
válidos y uniformes, entonces se cumplirá que: 
 
 
 
La velocidad de reacción ( ) se define como la velocidad de formación o de desaparición de 
moles del material , transformados por cada unidad de tiempo y por cada una unidad de 
volumen. 
 
Para este caso, la reacción sigue la ecuación de segundo orden, por tanto: 
 
 
Ecuación de Arrhenius: 
 
 
 
 
 
 
La cual se resolverá según [18] 
 
 
 
 
 
 
Donde: 
 
 Velocidad de reacción 
 
 
 Constante de velocidad 
 
 
 Factor estérico 
 
 
 Frecuencia de colisiones 
 
 
 Energía de activación 
 
 
 Constante de Botzmann 
 
 
 
 
 Temperatura 
 
24 
 
Se sabe que el volumen de la masa reaccionante al interior del tanque es constante, 
entonces tanto el flujo de entrada como el flujo de salida serán iguales, por lo que el balance 
global de las masas será: 
 
 
El balance de masas para el hidróxido de sodio (A) es el siguiente: 
 
 
 
 
 
(2.1) 
 
El balance de masas para el acetato de etilo (B) es el siguiente: 
 
 
 
 
 
(2.2) 
 
El balance de masas para el acetato de sodio (C) es el siguiente: 
 
 
 
 
 
(2.3) 
 
El balance de masas para el etanol (D) es el siguiente: 
 
 
 
 
 
(2.4) 
 
 
2.1.2.2. Balance de energía. 
 
Según [10], el balance de energía en un reactor CSTR de volumen constante esta dado por 
la siguiente expresión: 
 ∑( ) ∑( ) ∑( ) 
 
 
 ∑( ) 
 
 
 
 
 
 
Subdividiendo cada termino:∑( ) 
 
 ∑( ) 
 
 
∑( ) 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
∑( ) 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Los términos correspondientes a 
 
 
 se obtienen de la ecuaciones (2.1), (2.2), (2.3) y (2.4). 
Cuando la superficie de un sólido está en contacto con un fluido que se encuentra a diferente 
temperatura, se da una transferencia de calor por convección, y puede expresarse mediante 
la ley de Newton de enfriamiento: 
 ( ) 
 El flujo de calor transferido por convección. 
 Coeficiente de transferencia de calor por 
convección 
 
 Temperatura en el reactor a la salida 
 
 
Temperatura de la superficie de la pared el 
contacto con el fluido 
 
 
 
Temperatura del fluido en un punto alejado 
de la pared. 
 
 
 
En el caso que existe un gradiente de temperatura, el flujo de calor por conducción a través 
de un sólido, viene dado por la ley de Fourier de la conducción: 
 
 
 
 
 Conductividad térmica del material 
 Área a través de la que se produce la 
conducción 
 
 
 
 
El gradiente de temperatura en la dirección 
de propagación del calor. 
 
 
En el caso de conducción unidimensional, en régimen estacionario, a través de una pared 
plana, de conductividad térmica constante y uniforme y en la que se mantiene una 
temperatura constante y uniforme en cada una de las caras de la pared, la transferencia de 
calor por conducción viene dada por: 
 
 
 
( ) 
 Espesor de la pared M 
 Diferencia de temperaturas entre la cara de 
la pared más caliente y la cara más fría, de 
forma que > 
 
 
 
26 
 
El flujo de energía térmica q se realiza mediante una combinación de los mecanismos de 
conducción y convección 
Para cada uno de los mecanismos de transmisión de calor analizados, por analogía eléctrica 
con la ley de Ohm, podemos definir una resistencia térmica, esto facilita el estudio de 
sistemas de transmisión compuestos. 
Para la conducción: 
 
 
 
 
Para la convección: 
 
 
 
 
Al realizar un análisis correspondiente, se obtiene el valor de una resistencia equivalente , 
y el coeficiente global de transferencia de calor corresponde a: 
 
 
 
 
Donde U es el coeficiente global de transferencia de calor, y según [16] se puede asumir 
constante: 
 
 
 
 
 
 
La transferencia de calor global por unidad de tiempo, según [12] puede expresarse como: 
 ( ) 
 
 Temperatura en el refrigerante a la salida 
 Temperatura en el reactor a la salida 
 
Operando algebraicamente y simplificando se obtiene que el balance de energía, que 
expresa el comportamiento dinámico de la temperatura dentro del reactor, queda reducido a 
la siguiente expresión: 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
 
Capacidad calorífica: 
 
 
Generalizando la Capacidad Calorífica del material X se encuentra a partir de la siguiente 
ecuación, los coeficientes para cada material, fueron obtenidos a partir de [21]. 
 
 
 
 
 
27 
 
Las entalpías se agrupan en un solo término: 
 
 ( ) ∫ ( ) 
 
 
 
 
 
El coeficiente ( ) representa la parte de la integral que es constante, es decir la 
sumatoria de las capacidades caloríficas para una temperatura de referencia ( ). 
 
Donde: 
 Coeficiente de trasferencia de calor 
 
 
 Superficie o área para la transferencia de 
calor 
 
 Temperatura en el reactor a la salida 
 Temperatura del material A en la entrada 
 Temperatura del material B en la entrada 
 Temperatura en el refrigerante a la salida 
 Capacidad calorífica general 
 
 
 Capacidad calorífica del material X 
 
 
 Densidad del líquido en el tanque 
 
 Entalpías de formación del material 
 
 
 Calor desarrollado en la reacción 
 
 
 
El comportamiento dinámico para la temperatura de la camisa de refrigeración según 
referencia [21] está dado por la expresión: 
 
 
 
 
 ( ) ( )
 
 
 
Donde: 
 
 Temperatura del refrigerante a la salida 
 Temperatura del refrigerante a la entrada 
 Flujo del líquido refrigerante 
 
 
 Calor especifico del refrigerante 
 
 
 Volumen de la camisa de refrigeración 
 Densidad del refrigerante 
 
 
 
También es necesario conocer el valor del PH, este valor puede ser medido 
experimentalmente por un sensor, pero en este caso de simulación, se hará una 
aproximación mediante la expresión: 
 
28 
 
 
 
 ̇ 
( )
 
 
 
 
 ( ) 
Donde: 
 Valor de pH dentro del reactor. 
 Valor de pH del material A. 
 Valor de pH del material B. 
 Variable auxiliar para determinar el 
pH. 
 
Como se mencionó al inicio de este capítulo, debido a que no se conocen los valores del 
retardo que existen en esta reacción, los valores de dichos retardos han sido acotados a los 
valores de las perturbaciones antes mencionadas, Temperatura de los materiales que entran 
al reactor ( , ), Flujo de los materiales reactantes que entran al reactor ( , ) y flujo 
del líquido refrigerante ( ). 
 
La presencia de los retardos puede ser causada por las válvulas que controlan el flujo de los 
materiales, el tiempo en que la temperatura del refrigerante actúa, la dinámica de la reacción, 
los instrumentos de medición, etc. 
 
 
2.1.3. Modelo matemático del reactor continuo tipo tanque agitado. 
 
Como ya se mencionó anteriormente: un modelo matemático de un sistema es un conjunto 
de ecuaciones que representan la dinámica del sistema, este modelo no es único, un 
sistema puede representarse de formas diferentes y esto dependerá de la perspectiva. 
 
Existen diferentes métodos para obtener este modelo matemático, ya sea el método analítico 
o el método experimental. 
 
Es necesario conocer el comportamiento del proceso en el cual está involucrado el reactor, 
conocer el tipo de reacción y realizar los respectivos balances de masa y energía. 
 
El modelo matemático del presente reactor continuo tipo tanque agitado, se basa en los 
balances de masa y energía de proceso, los cuales han sido llevados a ecuaciones 
diferenciales, (basado en el trabajo de Hernández y Borregales, 2001, así como en el libro 
[17]). 
 
Se han hecho suposiciones con el fin de simplificar el modelo: 
 
 La agitación es perfecta, por tanto la concentración, presión, y temperatura son 
iguales en cualquier punto del tanque, así como en la corriente de salida. 
 
29 
 
 El volumen del reactor es constante. 
 Las propiedades de los compuestos no varían con la temperatura. 
 No hay pérdidas de calor hacia el ambiente. 
 No se considera como objeto de control el sistema de agitación, ni el sistema de 
control de nivel del tanque. 
 La concentración y temperatura de los materiales al interior del reactor son las 
mismas a las de los productos que están saliendo del reactor. 
 El flujo de salida de productos es igual al flujo de entrada de material reactante. 
 No se ha considerado las dinámicas no lineales de los sensores y actuadores. 
 
Las ecuaciones representativas o modelo matemático de acuerdo a los cálculos realizados 
en la tesis [16] son las siguientes: 
 
 
 ̇( ) 
 ( ) ( ) 
 
 
(2.1) 
 
 
 ( )̇ 
 ( ) ( ) 
 
 
(2.2) 
 
 ̇ 
 ( ) 
 
 
(2.3) 
 
 ̇ 
 ( ) 
 
 
(2.4) 
 
 ̇ 
 ( ( ) )
 
 ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) 
 
 
(2.5) 
 
 ̇ 
 ( ) ( ( )) ( ( ) ( ))
 
 
(2.6) 
 
 ̇ 
( ( ) ( ) ( ) )
 
 
(2.7) 
 
Definiendo: