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CARLOS CAMPOS APANCO
5. Aplicaciones de la derivada
5.1. Teorema del valor medio. Teorema de Rolle.
Teorema del valor medio.
Si se cumplen las siguientes condiciones:
1. f es una función continua definida en un intervalo cerrado [a, b].
2. f es derivable sobre el intervalo abierto (a, b).
Entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en
c es paralela a la recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Es decir:
f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a).
.
Teorema de Rolle Si ademas de las condiciones del teorema del valor medio tambien se
cumple f(a) = f(b), es decir si:
1. f es una función continua definida en un intervalo cerrado [a, b].
2. f es derivable sobre el intervalo abierto (a, b).
3. f(a) = f(b).
Entonces existe al menos un número c perteneciente al intervalo (a, b) tal que f ′(c) = 0.
1
5.2. Definición e interpretación de las derivadas de orden superior.
Como sabes, la derivada es un operador, es decir que la derivada de una función es otra
función, y como tal puedes pensar en volver a derivarla. A la derivada de la derivada se le
conoce como segunda derivada.
d(f(x)
dx
es la primera derivada de f .
En cambio, la derivada de la derivada
d(df(x)
dx
)
dx
=
d(f ′(x))
dx
es la segunda derivada de f . También se escribe como
d2[f(x)]
dx2
.
En física la función f(t) suele interpretarse como la posición respecto del tiempo, la primera
derivada f ′(t) se interpreta como el cambio en la posición, o sea la velocidad instantánea, y
la segunda derivada f ′′(t) como la aceleración. Es decir la segunda derivada mide el cambio
que tiene la velocidad instantánea.
Ejemplo 1 Si f(x) = x2 entonces f ′(x) = 2x y f ′′(x) = 2, como se ve en las graficas
siguientes:
Recuerda que f ′(x) es una función que depende de x. En cambio f ′(x0), lo cual es f ′(x)
evaluada en un punto x0, es un número igual a la pendiente de la recta tangente en el punto
en que se evalua (x0, f(x0)).
2
5.3. Criterios de la primera y segunda derivadas para determinar los
puntos críticos, máximos, mínimos y puntos de inflexión.
Si hay un punto máximo o mínimo entonces la recta tangente a ese punto es una recta hori-
zontal y por tanto su pendiente, es decir la derivada evaluada en dicho punto debe ser cero.
Punto crítico: es cualquier punto donde la derivada se hace cero o bien no está definida. Los
puntos críticos deben ser máximos, mínimos o puntos silla.
Para saber si un punto crítico es máximo mínimo o silla tenemos el criterio de la segunda
derivada.
Criterio de la segunda derivada. Sea x0 un punto crítico de f(x) es decir f ′(x0) = 0. Enton-
ces:
1. Si f ′′(x0) < 0 tenemos que f tiene un máximo local en x0.
2. Si f ′′(x0) > 0 tenemos que f tiene un mínimo local en x0.
3. Si f ′′(x0) = 0 tenemos que la prueba no es concluyente y debemos buscar otro método
para determinar la naturaleza de x0.
Ejemplo 2 Considera la función
f(x) =
x3
3
− x
2
2
− 2x + 1.
Entonces
f ′(x) = x2 − x− 2 = (x− 2)(x + 1)
y
f ′′(x) = 2x− 1.
Sus puntos críticos son cuando f ′(x) = 0, es decir cuando
(x− 2)(x + 1) = 0
esto es x = 2 o x = −1.
Analizemos la naturaleza de los puntos críticos. Para ello evaluamos los puntos críticos en la
segunda derivada f ′′(x).
Entonces
f ′′(−1) = 2 · (−1)− 1 = −3 < 0
por tanto por el criterio de la segunda derivada f tiene un máximo local en x = 2.
f ′′(2) = 2 · (2)− 1 = 3 > 0
3
por tanto por el criterio de la segunda derivada f tiene un mínimo local en x = 2.
Concavidad
Recordemos el trabajo que hicimos con las desigualdades. Necesitamos saber en que región
la curva de f es cóncava hacia arriba, es decir la región donde 0 = 2x− 1 > 0
Primero encontramos los puntos donde 0 = f ′′(x). Para ello resolvemos 0 = 2x − 1, es decir
cuando x =
1
2
.
Evaluemos f ′′(x) en un punto ligeramente a la izquierda de x = 1
2
, por ejemplo x = 0:
f ′′(0) = 2 · 0− 1 = −1 < 0
Ahora evaluemos f ′′(x) en un punto ligeramente a la derecha de x = 1
2
, por ejemplo x = 1:
f ′′(1) = 2 · 1− 1 = 1 > 0
Esto nos indica que en el intervalo (−∞, 1/2) la función es cóncava hacia abajo y en el inter-
valo (1/2,∞) la función es cóncava hacia arriba como se muestra en la figura.
Ejercicio 1 A continuación se propone como ejercicio para análisis profundo y aplicación de
tus conocimientos de derivadas (por ejemplo la regla de la cadena), el determinar (según una
simplificación) la distancia a la que debe comenzar su aterrizaje un avión. Te has preguntado
alguna vez ¿Dónde debe iniciar el descenso un piloto?
Considera la siguiente figura:
4
Allí se muestra un modelo para el aterrizaje de un avión que satisface las siguientes
condiciones:
i) La altura del avión es h cuando inicia el descenso a una distancia l del origen.
ii) El piloto mantiene la velocidad horizontal v constante durante todo el descenso.
iii) El valor absoluto de la aceleración vertical no sobrepasa a una cierta constante k (mucho
menor que la atracción gravitatoria).
Tomando en cuenta tales restricciones, ve realizando las siguientes actividades:
1. Encuentre un polinomio cúbico p(x) = ax3 + bx2 + cx + d que satisfaga la condición i),
imponiendo condiciones adecuadas sobre p(x) y p′(x) en el arranque del descenso y en
la toma de contacto.
2. Use las condiciones ii) y iii) para demostrar que
6hv2
l2
≤ k.
3. Suponga que una línea comercial decide no permitir que la aceleración vertical de un
avión sea mayor que k = 860mi/h.
Si la altura de crucero de un avión es de 35000ft y la velocidad es 300mi/h, ¿a qué
distancia del aeropuerto debe el piloto iniciar el descenso?
4. Trace la gráfica de este modelo de aterrizaje si se satisfacen las condiciones de la acti-
vidad 3.
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5.4. Sobre cómo solucionar problemas de aplicación
Los problemas de aplicación de la derivada siguen básicamente los siguientes pasos:
1. Identificar la función de dos variables que se desea maximizar o minimizar.
2. Identificar una relación entre las variables, y despejar una en funcióon de la otra.
3. Una vez que tenemos f en términos de una sola variable aplicamos los criterios de la
primera y segunda derivadas para determinar los máximos y mínimos de la función.
4. Finalmente respondemos a la pregunta inicial del problema.
Ejemplo 3 Se tienen 1200 unidades cuadradas de plástico y se quiere construir una caja
cuadrada sin tapa con el máximo volumen posible. Calcula las dimensiones que debe tener la
caja y el volumen resultante.
Solución:
La función de dos variables que se desea maximizar es el volumen: V = (areabase) · (altura).
Como la base de la caja es cuadrada tenemos que el área de la base es Ab = (l · l)
Y entonces: V = (l · l) · h = l2h. En este momento no podemos derivar y maximizar la
función volumen porque tenemos dos variables, y nosotros sólo sabemos derivar respecto a
una variable, así que buscamos una relación entre ellas.
Identifiquemos la relación entre las dos variables.
Tenemos una restriccion sobre el total del material, es decir el área de la caja. Esta restricción
relaciona las dos variables l y h de forma que podemos despejar una de ellas. Esto es:
1200u2 = Ac = (Abase) + (4Arealateral) = (l · l) + (4 · l · h)
Con lo cual 1200 = l2 + 4lh y entonces
h =
1200− l2
4l
=
300
l
− l
4
.
6
Pongamos la función a maximizar en términos de una sola variable.
V (l) = l2 · (300
l
− l
4
) = 300l − l
3
4
.
Una vez que tenemos V en términos de una sola variable aplicamos los criterios de la primera
y segunda derivadas para determinar los máximos y mínimos de la función. Calculemos la
primera y segunda derivada de V .
V ′(l) = 300− 3l
2
4
V ′′(l) = −6l
4
Encontremos los puntos críticos: Si
0 = V ′(l) = 300− 3l
2
4
entonces
300 =
3l2
4
,
así
1200
3
= l2
o bien 400 = l2 y esto es l = ±20 unidades.
Escogemos por el contexto del problema l = 20 porque l es la longitud de un lado y no hay
longitudes negativas. Si l = 20 entonces
V ′′(20) = −6 · 20
4
≤ 0
por tanto es un máximo de la función volumen.
Ahora debemos responder la pregunta original del problema, calcular las dimensionesde la
caja y el máximo volumen posible, si ya sabemos que l = 20 entonces de
h =
300
l
− l
4
tenemos que
h =
300
20
− 20
4
= 10.
Con lo cual
V = l2h = 202 · 10 = 4000
unidades cúbicas.
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5.5. Regla de L’Hoppital
Siempre que tenemos límites de la forma
ĺım
x→a
p(x)
q(x)
donde al .evaluar"nos queda
0
0
o
∞
∞
podemos resolverlos utilizando la Regla de L’Hoppital.
Teorema de L’hoppital
Si f(x) y g(x) son funciones derivables en el intervalo (a, b). Entonces
ĺım
x→c
f(x)
g(x)
= ĺım
x→c
f ′(x)
g′(x)
Ejemplo 4 Calculemos ĺım
x→∞
x
ex
.
Solución: Aqui f(x) = x y g(x) = ex son funciones derivables en el intervalo (−∞,∞), con
derivadas f ′(x) = 1 y g′(x) = ex.
Además cuando x→∞ tanto ex como x también tienden a infinito. Con lo cual, este límite es
de la forma
∞
∞
así que podemos evaluarlo utilizando la regla de L’Hoppital. Esto es:
ĺım
x→∞
x
ex
= ĺım
x→∞
1
ex
= 0
Recuerda no todos los límites de cocientes se calculan con la Regla de L’Hoppital, solamente
aquellos que son de la forma
0
0
o bien
∞
∞
.
Referencias
[1] Stewart, J. (2006) Cálculo, Conceptos y Contextos. México. Cengage Learning, 3a. Ed.
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