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PROGRAMA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA APORTACIONES DE LA MATEMÁTICA EDUCATIVA NO. 1 Distribuciones de Variables Aleatorias Discretas en libros de Texto Juan Ignacio Guízar Ruíz Alejandro Miguel Rosas Mendoza ii iii PROGRAMA EDITORIAL DEL PROGRAMA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA PROME Aportaciones de la Matemática Educativa No. 1 Distribuciones de Variables Aleatorias Discretas en libros de texto Juan Ignacio Guízar Ruíz Alejandro Miguel Rosas Mendoza Ciudad de México, septiembre 2016. iv Distribuciones de Variables Aleatorias Discretas en libros de texto © Juan Ignacio Guízar Ruíz © Alejandro Miguel Rosas Mendoza D. R. © Editorial Lectorum, S. A. de C.V., 2016 Batalla de Casa Blanca Manzana 147 Lote 1621 Col. Leyes de Reforma, 3ª Sección Tel. 5581 3202 www.lectorum.com.mx ventas@lectorum.com.mx Programa de Matemática Educativa www.matedu.cicata.ipn.mx Primera Edición: Septiembre 2016 ISBN: 978-607-457-545-3 Diseño: Alejandro Miguel Rosas Mendoza Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, por cualquier medio electrónico, mecánico por fotocopia, por registro u otros métodos, sin la autorización escrita de los autores. Impreso en México v Dedicatoria vi vii ÍNDICE Capítulo 1. Antecedentes 1 1.1 Contexto escolar 1 1.2 Motivación de la Investigación 1 1.3 Estado del arte 5 Capítulo 2. Marco Teórico 11 2.1 La teoría Ontosemiótica 11 2.2 El problema de investigación 14 2.2.1 Justificación 14 2.2.2 La pregunta de investigación 15 Capítulo 3. Búsqueda 19 3.1 Metodología de búsqueda 19 3.2 Búsqueda 20 3.3 Resumen de libros 21 3.4 Una primera clasificación 22 3.5 Metodología de Análisis 24 Capítulo 4. Análisis 31 4.1 Análisis a-priori 31 4.1.1 Con respecto a las distribuciones 31 4.1.2 Con respecto al enfoque 34 4.1.3 Conclusión del análisis a priori 34 4.2 Análisis cuantitativo 37 4.2.1 Análisis 37 viii 4.2.2 Conclusiones del análisis cuantitativo 178 4.3 Análisis Ontosemiótico 183 4.3.1 Análisis 183 4.3.1.1 Campo de problemas 184 4.3.1.2 Lenguaje 188 4.3.1.3 Procedimientos 191 4.3.1.4 Conceptos-Definiciones 194 4.3.1.5 Proposiciones 196 4.3.1.6 Argumentos 198 4.3.2 Conclusiones del Análisis Ontosemiótico 200 Capítulo 5. Conclusiones 201 5.1 Conclusiones finales 201 5.2 Propuesta didáctica 204 5.3 Futuras investigaciones 208 Referencias Bibliográficas 211 ix El aula de clase… donde todo empieza. x 1 Capítulo 1. Antecedentes 1.1 Contexto escolar La presente investigación queda enmarcada en el nivel superior pues se analizará el discurso matemático escolar vigente referente a las distribuciones de variables aleatorias discretas en los libros de texto de Probabilidad y Estadística para ingeniería y ciencias. El estudio se hará principalmente sobre libros utilizados en carreras de ingeniería. 1.2 Motivación de la investigación El tema de la Probabilidad es un tema tan fascinante como curioso pues sus orígenes se remontan a una necesidad puramente lúdica, cuando pioneros de esta área como Pascal, Huygens, Fermat, Laplace eran consultados para revelar estrategias ganadoras a sus solicitantes. Muchos años tuvieron que pasar para que Kolmogorov propusiera el modelo axiomático que se utiliza hoy en día donde se propone una función (la cual cumple 3 axiomas) que mide la “facilidad” con la que ocurre un evento. Dicho modelo pasó por un proceso de refinamiento hasta ser aceptado por la comunidad de matemáticos y para 2 posteriormente ser descontextualizado, despersonalizado, destemporalizado. Dicha presentación axiomática de los saberes constituidos en probabilidad tiene como ventaja el hecho de que permite al profesor presentar estos contenidos de una forma ordenada y a su vez amalgamar un máximo de saberes en un mínimo de tiempo complementando estos con ejemplos y resolución de problemas que utilicen como herramienta los conocimientos dados anteriormente en forma axiomática, sin embargo es ésta presentación misma de los saberes tiene como consecuencia que se eliminen aspectos importantes en la construcción del conocimiento mismo en esta área pues queda desprovista de un contexto temporal, de la motivación que dio origen a los conceptos y definiciones, de las discusiones que se presentaron para instituir los conocimientos, de las conjeturas refutadas a la luz de las demostraciones, de las dificultades presentadas al resolver problemas, etc. Por último para hacer más fácil la enseñanza de estos conocimientos se aíslan y se descontextualizan muchos elementos de la teoría lo cual tiene como consecuencia que al alumno mucho del contenido 3 presentado le parezca ajeno y carente de toda lógica y sentido común. Como matemático también sufrí lo mencionado anteriormente al llevar mis primeros cursos de probabilidad pues no vislumbraba la motivación que había dado lugar al modelo con el cual trabajábamos hasta llevar cursos más avanzados como teoría de la medida y en posgrado cursos de procesos estocásticos lo cual me dio un panorama más amplio acerca de dichas motivaciones para la presentación del modelo aunque quizás aún adolecía de ejemplos más concretos dónde poder aplicar la teoría tan abstracta vista en todos mis cursos. En mi relativamente corta experiencia como profesor de matemáticas (alrededor de 5 años y contando) he impartido cursos de Cálculo Diferencial e Integral, Ecuaciones Diferenciales, Estadística, Probabilidad, Diseño de Experimentos, Álgebra Lineal, Matemáticas Avanzadas, etc. todos estos cursos a nivel licenciatura e impartidos para estudiantes de ingeniería y aunque es amplia la gama de materias me sigue atrayendo más la Probabilidad sin embargo la mayor parte del contenido de 4 Probabilidad es presentado en la materia de Estadística en la mayoría de los cursos relegando el papel de la Probabilidad aun escenario secundario dónde su utilidad radica en ser una herramienta de uso común en la Estadística despojándola de su valor real y significado. Lo anterior en el contexto referente a la estructura de los cursos en sí, no al discurso matemático presentado en los libros de texto, lo cual es el tema que atañe en la presente tesis. En sí los temas que se revisan de probabilidad en un curso de Estadística en ingeniería abarcan prácticamente desde una introducción dada en términos de teoría de conjuntos, conteo de puntos muestrales, pasando por probabilidad con conjuntos, teorema de Bayes, distribuciones discretas y continuas hasta distribuciones de muestreo el cual es tema central para la Estadística Inferencial. Ante una gama tan amplia de temas voy a centrar el estudio en las distribuciones de probabilidad tratando aspectos relacionados con el Discurso Matemático Escolar en los libros de texto con el objeto de indagar ¿cómo se presentan estos contenidos? ¿Qué características tienen en común? ¿Cómo ha cambiado a lo largo de algunos años? Etc. 5 Considerando todo lo anterior, los motivos que me inducen a realizar esta investigación pueden resumirse en 3 aspectos: • El gusto personal por esta área de las matemáticas que trata con fenómenos donde interviene el azar llamada Probabilidad. • La curiosidad personal (motivada por mi práctica docente) de indagar sobre la situación actual del Discurso Matemático Escolar presentado en los libros de texto. • El deseo personal de mejorar en mi práctica docente diaria como consecuencia de conocer el Discurso Matemático Escolar vigente en los libros de texto para así poder hacer una mejor presentación de los contenidos actualesde tal manera que el alumno pueda sentir más cercanos los conceptos a su realidad actual y en consecuencia producir aprendizaje significativo. 1.3 Estado del Arte En Ruiz (2006) se aborda el estudio de un concepto fundamental en teoría de Probabilidad y en la Estadística Inferencial, el concepto de 6 variable aleatoria. En dicho trabajo de tesis se destaca el hecho de que han sido pocas las investigaciones respecto al estudio de la didáctica de este concepto. Este trabajo entre otras cosas se centró en establecer bases sobre las cuales se pueda apoyar el estudio de la didáctica de la variable aleatoria a nivel universitario haciendo uso de la Ingeniería Didáctica como herramienta metodológica. Se realizaron dos análisis, el análisis cognitivo y el análisis epistemológico sustentados en la Teoría de Situaciones Didácticas, desde la vertiente cognitiva, se trabajó en una entrevista clínica a dos estudiantes recién ingresadas al nivel universitario y desde la perspectiva epistemológica se enfocó al análisis desde la disciplina que le da sustento al concepto (la probabilidad) y al análisis del contexto de su emergencia histórica. El estudio permitió observar la complejidad epistémica del concepto de variable aleatoria. Los estudiantes vincularon la idea de variable aleatoria con conceptos probabilísticos complejos, la relacionaron con un proceso de modelación y la relacionaron con herramientas determinísticas. La complejidad epistémica de la variable aleatoria se ve reflejada en las dificultades y los aciertos de las estudiantes al resolver el problema, pero también 7 en el contexto y los problemas históricos que lo hicieron surgir como concepto matemático. El análisis cognitivo proporcionó elementos y vertientes sobre las cuales se puede profundizar en el análisis epistemológico. En Alvarado y Batanero (2008) se hace una revisión de cómo los libros de texto de ingeniería (en Chile) presentan el Teorema Central del Límite mediante el seguimiento de un modelo teórico sobre el significado de un objeto matemático. El modelo con el que se trabaja en este artículo es el modelo de la teoría de los significados institucionales y personales de los objetos matemáticos (Godino y Batanero 2003) donde las matemáticas se asumen como una actividad humana implicada en la solución de cierta clase de situaciones problemáticas de la cual surgen y evolucionan los objetos matemáticos. Con esta investigación se quiere indagar sobre una hipótesis la cual plantea que es complejo el significado del teorema central del límite presentado en los libros de texto de estadística aplicada a la ingeniería y se encontrarán una variedad de enfoques y aproximaciones. 8 En el artículo se concluye que los libros de texto de Estadística para ingeniería muestran una gran riqueza en cuanto al lenguaje y herramientas de resolución de problemas, conceptos asociados, propiedades, tipos de argumentos. Como consecuencia de esta investigación se pretende a futuro diseñar futuras propuestas de enseñanza. 9 Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería campus Guanajuato del Instituto Politécnico Nacional. 10 11 Capítulo 2. Marco Teórico 2.1 Teoría Ontosemiótica La perspectiva didáctica que se empleará está basada en el modelo teórico denominado “enfoque ontosemiótico” propuesto por Godino y sus colaboradores (Godino 2002; Godino y Batanero 2003; Godino, Batanero y Font 2007; Godino, Contreras y Font 2006). Este enfoque teórico proporciona una perspectiva pragmático- antropológica sobre el conocimiento matemático y propone tres dimensiones en el análisis de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas: epistemológica, cognitiva e instruccional. Cada una de ellas se aborda con herramientas agrupadas en tres modelos teóricos: teoría de los significados institucionales y personales de los objetos matemáticos, teoría de las funciones semióticas y teoría de las configuraciones didácticas. Se pretende elaborar un modelo de los procesos de comprensión de las matemáticas que tenga en cuenta los factores institucionales y socioculturales implicados en los mismos. Se considerará para el análisis del teorema central del límite la siguiente tipología de objetos matemáticos primarios, denominada “elementos del significado” y que a su 12 vez se organizan en sistemas conceptuales, teorías, etc. v Situac iones-problemas : Situaciones fenomenológicas que originan actividades matemáticas (situaciones-problemas, aplicaciones) de donde surge el objeto; a veces las podemos categorizar en “tipos” o “campos” de problema. Por ejemplo, v Lenguaje : Representaciones materiales utilizadas en la actividad matemática. Las notaciones, gráficos, palabras y otras representaciones del objeto que se pueden usar para referirnos a él. El lenguaje es esencial en la teoría del aprendizaje debido a su función comunicativa e instrumental, que modifica el propio sujeto que los utiliza como mediadores. v Procedimientos : Modos de actuar ante situaciones o tareas (algoritmos, operaciones, reglas de cálculo). Cuando un sujeto se enfrenta a un problema y trata de resolverlo o comunicar la solución a otras personas, validar y generalizar la solución a 13 otros contextos y problemas, etc., realiza distintos tipos de acciones que se llegan a algoritmizar. v Conceptos-de f in i c ión: (introducidos mediante definiciones o descripciones, por ejemplo: media, distribución muestral, ...). El caso que aborda este trabajo, y puesto que el objeto a estudiar es un teorema considerará sus diversos enunciados en esta categoría, ya que se dan las descripciones del objeto. Se podrían también incluir en esta categoría las definiciones de objetos ligados al teorema, como “distribución muestral”, “muestra”, etc. Pero, por limitar la investigación, ésta no se centra específicamente en ellas, aunque es posible en un momento dado referirse a alguno. v Propos i c iones : Se tratarán específicamente en este trabajo las propiedades asociadas al teorema central del límite y objetos relacionados, que no se limitan a descripciones de dichos objetos sino los ponen en relación. Aparte del propio teorema (que se ha incluido en la categoría 14 anterior), aparecerán propiedades tales como las referidas a la media o varianza de la suma de variables aleatorias o la corrección de continuidad. v Argumentos : Finalmente, todas estas acciones y objetos se ligan entre sí mediante argumentos o razonamientos que se usan para comprobar las soluciones de los problemas o explicar a otro la solución. La forma usual de demostración en matemáticas es la deductiva, que es la más extendida en los libros universitarios. Este tipo de argumentación se completa o sustituye por otras como la búsqueda de contraejemplos, generalización, análisis y síntesis, simulaciones con ordenador, demostraciones, etc. 2.2 El problema de Investigación 2.2.1 Justificación. La presente investigación pretende hacer un análisis de los libros de texto universitarios de Probabilidad y Estadística, en el contexto de las variables aleatorias discretas. Se ha escogido hacer 15 este análisis dentro del contexto de las variables aleatorias discretas por muchas razones entre las cuales destacan la simplicidad que presenta la génesis de estas distribuciones pues se pueden deducir de problemas muy cercanos a nuestra experiencia cotidiana (salvo la distribución de Poisson cuya génesis no es trivial), la importancia del papel que juegan en relación con las distribuciones continuas y por último cómo punto de referencia para realizar el análisis de estos textos pues hacer un análisis de todas las obras sería una tarea titánica. 2.2.2 La pregunta de investigación Entre las distribuciones discretas clásicas se encuentran comúnmente en los libros de texto están:• Distribución de Bernoulli. • Distribución Binomial. • Distribución Hipergeométrica. • Distribución Geométrica. • Distribución Binomial Negativa. • Distribución de Poisson. Con estos dos análisis y en referencia a las distribuciones de las variables aleatorias citadas se pretende responder lo siguiente: 16 • En relación a los temas, ¿qué se presenta? ¿cómo se presenta? • ¿Qué es lo que se enseña? • ¿Cómo se enseña? • ¿Cuál es el enfoque actual de la enseñanza en este tema, es de corte teórico, práctico, etc.? Es decir se pretende analizar la forma en la que son presentadas estas distribuciones en libros de texto actuales y cuál es el enfoque y la importancia que se les da y qué papel juegan en los libros de texto de Estadística. 17 Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería campus Guanajuato del Instituto Politécnico Nacional. 18 19 Capítulo 3. Metodología 3.1 Metodología de búsqueda Los libros seleccionados para realizar el análisis son principalmente libros de Probabilidad y Estadística y algunos libros de Probabilidad (exclusivamente), se seleccionaron en base a los siguientes factores: • Año de edición de la obra (últimos 15 años aproximadamente). • Lugar de edición (México principalmente). • Contexto de la obra (Principalmente libros para ingeniería y ciencias). • Tipo de libro (Estadística, Probabilidad y Estadística, Estadística). • Repercusión del libro (Aquí se consideraron libros que son más comúnmente utilizados en carreras de ingeniería y de las principales editoriales que tienen presencia en México, Pearson, Mc Graw Hill, Cengage Learning, etc.) En resumen las obras a consultar son textos de Probabilidad, Estadística, Probabilidad y Estadística en un contexto de ingeniería y que son de reciente edición para las principales editoriales en México y que son utilizados como libros base 20 en las carreras de ingenierías en instituciones como el IPN (Instituto Politécnico Nacional), institutos tecnológicos y universidades tecnológicas. 3.2 Búsqueda Para realizar el trabajo de búsqueda de estos libros se revisaron sitios web de las principales casas editoriales que venden libros de este tipo en México, algunas de estas editoriales son Pearson, Cengage Learning, Limusa, Fondo de Cultura Económica, etc. Muchos de los libros encontrados pertenecen a mi biblioteca personal, otros son prestados de bibliotecas y de amigos y otros forman parte de ciertos sitios web de las editoriales que permiten ver el contenido de dichas obras. Por otro lado la experiencia docente que he adquirido al trabajar en Universidades Tecnológicas, Institutos Tecnológicos e Instituto Politécnico Nacional (IPN) me permitió tener conocimiento de los libros mayormente utilizados en las carreras de ingeniería para impartir materias relacionadas con la Estadística. El periodo de tiempo de búsqueda de libros llevó aproximadamente las tres primeras semanas del mes de Diciembre de 2014. La cantidad de libros 21 consultados fue muy amplia y en este proceso se descartaron obras enfocadas a carreras de corte económico administrativo y libros clásicos de inferencia estadística utilizados en carreras de matemáticas y ciencias, es decir libros muchos más formales. Lo anterior debido a que el objetivo de este trabajo es entre otras cosas es conocer el discurso matemático escolar de los libros de texto que son comúnmente utilizados en carreras de ingeniería, más específicamente en el tema de distribuciones de variables aleatorias discretas. 3.3 Resumen de libros Los libros seleccionados para realizar la investigación se enumeran a continuación. Dicha numeración será utilizada para hacer referencia cuando se comparen y resuman algunos resultados productos del análisis a realizar. Tabla 1. Libros seleccionados para la investigación Etiqueta Referencia L1 A. Johnson, R. (2011). Probabilidad y estadística para ingenieros. México D.F: Pearson. L2 C. Montgomery, D., & C. Runger, G. (2008). Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería. México D.F: Limusa Wiley. L3 Clifford Blair, R., & A. Taylor, R. (2008). Bioestadística. México D.F: Pearson. 22 L4 Devore, J. L. (2008). Probabilidad y Estadística para ingenierías y ciencias. Ciudad de México: Cengage Learning. L5 E. Walpole, R., H. Myers, R., & L. Myers, S. (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. México D.F: Pearson. L6 F. Triola, M. (2013). Estadística. México D.F: Pearson. L7 García Álvarez, M. (2005). Introducción a la teoría de probabilidad. México D.F: Fondo de Cultura Económica. L8 Mendenhall, W., Beaver, R. J., & Beaver, B. M. (2010). Introducción a la Probabilidad y Estadística. Ciudad de México: Cengage Learning. L9 Navidi, W. (2006). Estadística para ingenieros y científicos. Ciudad de México: Mc Graw Hill. L10 Ross, S. M. (2006). A first course in probability. Boston: Pearson. L11 Sotomayor, G. V. (2005). Estadística con excel. Ciudad de México: Trillas. L12 Spiegel, M. R., & Stephens, L. J. (2009). Estadística. Ciudad de México: Schaum. L13 Wackerly, D. D., Mendenhall, W., & Scheafer, R. L. (2010). Estadística Matemática con Aplicaciones. Ciudad de México: Cengage Learning. 3.4 Una primera clasificación A continuación se realiza una primera clasificación de las referencias (utilizando ya las etiquetas respectivas) acerca del tipo de libro a tratar. Cada uno de estos libros cae en los siguientes rubros: 23 • Libros de Probabilidad. • Libros de Estadística Matemática. • Libros de Estadística con Aplicaciones a la Ingeniería. • Libros de Estadística enfocados a ejercicios. Lo anterior se resume en la siguiente tabla. Tabla 2. Libros clasificados por tipo Tipo de libro Etiqueta T1 Libros de Estadística Matemática. L13 T2 Libros de Estadística (Probabilidad y Estadística) con aplicaciones a la ingeniería. L1, L2, L3, L4, L5, L6, L8, L9, L11. T3 Libros de Estadística enfocados a ejercicios. L12 T4 Libros de Probabilidad L7, L10 O bien se puede resumir con el presente gráfico. 24 Figura 1. Tipos de libros Claramente se puede apreciar que la mayoría de la bibliografía seleccionada para el análisis cae en el rubro de libros de Estadística para aplicaciones a la ingeniería, siendo las referencias que más abundan y las más utilizadas como texto de apoyo para cursos de Estadística. 3.5 Metodología de Análisis El análisis a realizar de los libros una vez que estos han sido seleccionados comprende 3 etapas: v El análisis a priori. v El análisis cuantitativo. 25 v El análisis mediante el enfoque ontosemiótico. En el anál is i s a pr ior i lo que se pretende es hacer una descripción de lo que desde el punto de vista de mi experiencia como docente y estudiante de Probabilidad y Estadística de lo que considero podría llegar a encontrar en relación con las distribuciones de variables aleatorias discretas en textos universitarios. La idea es que este primer análisis me permita contrastarlo con los otros dos que se realizarán posteriormente, es decir este análisis me sirve como punto de partida, de referencia y contraste para lo que van a arrojar los dos análisis posteriores (sobre todo el tercero). Los resultados obtenidos sirven de base para el posterior análisis. El análisis cuantitativo constituye el primer análisis tomando en cuenta la revisión de los libros. Es una revisión superficial y rápida del contenido de los libros en referencia a los elementos más importantes que caracterizan a una variable aleatoria discreta y su distribución. Se toman en cuenta elementos como son: las variables aleatorias a considerar, su génesis, problemas teóricos, problemas prácticos, 26 esperanza matemática, varianza, función generadora de momentos, etc. Los resultados obtenidos son resumidos en tablas que de maneravisual dan información de que elementos forman parte del contenido de cada obra haciendo referencia a las etiquetas asignadas. El análisis ontosemiótico es un análisis más profundo del contenido que presenta cada obra. Mediante este análisis se pretende responder parte de las preguntas que dieron lugar a esta investigación, ¿Qué se presenta? ¿Cómo se presenta? ¿Qué se enseña? ¿Cómo se enseña? ¿Cuál es el enfoque actual? etc. en referencia a temas relacionados con Distribuciones de Variables Aleatorias Discretas. De igual manera los resultados obtenidos son presentados en tablas y gráficos los cuales pueden dar información resumida de forma visual. Se considerará para el análisis de las distribuciones de variables aleatorias discretas la siguiente tipología de objetos matemáticos primarios, denominada “elementos del significado” y que a su vez se organizan en sistemas conceptuales, teorías, etc. v Situaciones-problemas 27 v Lenguaje v Procedimientos v Conceptos-definición v Proposiciones v Argumentos 28 29 Las obras analizadas 30 31 Capítulo 4. Análisis y resultados 4.1 Análisis a priori Este primer análisis se hace tomando como punto de referencia la experiencia personal del autor adquirida como estudiante de licenciatura y posgrado en matemáticas así como docente que ha impartido la asignatura por lo cual está familiarizado con distintos tipo de bibliografía referentes a temas de probabilidad (no necesariamente la misma que se analizará). La idea aquí es realizar un análisis preliminar a la luz de las experiencias personales. En este apartado se describen algunos elementos importantes relacionados con las variables aleatorias y sus distribuciones que esperaría encontrar en un libro de texto de estadística así como también algunas particularidades en el enfoque, lo anterior para sentar las bases del siguiente análisis. 4.1.1 Con respecto a las Distribuciones En primer lugar quiero citar las distribuciones de variables aleatorias discretas más comunes por la gran cantidad de problemas que pueden modelar y su utilidad, dichas distribuciones son las siguientes: 32 • Distribución de Bernoulli. • Distribución Binomial. • Distribución Hipergeométrica. • Distribución Geométrica. • Distribución Binomial Negativa. • Distribución de Poisson. En el caso multivariado, tenemos: • Distribución Multinomial. • Distribución Hipergeométrica Multivariada. Estas distribuciones constituyen la gama de distribuciones discretas más importantes y que uno esperaría encontrar en un libro de Estadística (al menos la del caso de una variable). Cabe resaltar que las distribuciones discretas son presentadas de muchas maneras entre ellas destacan: • Mediante fórmula. • Mediante tablas. • Mediante un histograma de probabilidades. Otro aspecto a considerar en este análisis son aquellos elementos (medidas, funciones, etc.) que 33 caracterizan a las distribuciones, entre ellos destaco: • La esperanza. • La varianza. • Los momentos. • La función de masa de probabilidad. (F.M.P) • La función de distribución acumulativa. (F.D.A) • La función generadora de momentos. Cabe resaltar que los libros suelen tratar estas distribuciones no de manera aislada sino que las relacionan con otras distribuciones discretas o continuas. Entre estas relaciones destacan: • Relación de la Distribución Bernoulli con la Distribución Binomial. • Relación de la Distribución de la Binomial con la Distribución Hipergeométrica. • Relación de la Distribución Binomial con la Distribución Normal. • Relación de la Distribución de Poisson con la Binomial. 34 4.1.2 Con respecto al enfoque Con respecto al enfoque quiero destacar dos aspectos el primero tiene que ver con el uso de recursos que utilizan los autores en sus obras para la solución de ejercicios, entre ellos destaco: • Recursos teóricos empleados. • Tablas para el cálculo de percentiles y áreas. • Uso de software. Por último, el segundo elemento a recalcar es el tipo de ejemplos o ejercicios que trata la obra en referencia a las Distribuciones de Variables Aleatorias Discretas. Con referencia a los tipos de ejercicios se considerará la siguiente clasificación: • Ejercicios teóricos. • Ejercicios prácticos puramente algebraicos. • Ejercicios de aplicación. 4.1.3 Conclusiones del análisis a priori En base al análisis preliminar hecho se puede construir un marco en el cual se pueda realizar el segundo análisis, el cual tiene por objetivo hacer una revisión superficial del contenido de las obras a analizar en el contexto de las distribuciones de probabilidad que involucra cada obra. El marco o formato para vaciar la información encontrada por cada obra es el siguiente. 35 Distribuciones de probabilidad presentadas. Aquí la idea es enlistar las distribuciones de probabilidad que se presentan en cada obra. Estas serán numeradas como distribución 1 (D1), distribución 2 (D2), etc. Descripción de las distribuciones. Para cada distribución, considerar los siguientes elementos: • Distribución Di. Aquí se pone el nombre de la distribución. Di.1 Génesis de la distribución. Se describe si se realiza la deducción de la función de masa de probabilidad correspondiente y a grandes rasgos como se hace. Di.2 Presentación de la distribución. Se refiere a la forma en la cual es presentada la distribución en sí, si es mediante tabla, fórmula, histograma, etc. Di.3 Caracterización de la distribución. Aquí se revisa que otros elementos que caracterizan a la distribución son considerados, como son la media, la varianza, los momentos, etc. 36 Di.4 Ejemplos y ejercicios. Se revisan el tipo de ejemplos y ejercicios que son considerados en la obra y con respecto a la distribución. Di.5 Áreas de aplicación. En este apartado se describe si la obra hace referencia a las áreas de aplicación que puede tener la distribución de probabilidad correspondiente. Di.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Se pretende revisar que relaciones importantes se dan entre distribuciones. Uso de herramientas tecnológicas y otros recursos. Se revisarán los recursos empleados para tratar los ejercicios, como pueden ser el uso de tablas de las distribuciones, el uso de software, etc. Observaciones. Por último se describirán aquellos elementos que no hayan sido considerados en el análisis a priori pero que a medida que se revisen las obras puedan aparecer y resulten de interés. 37 A fin de poder resumir la información recabada y de tener un manejo más eficiente de los resultados vamos a asignar etiquetas (al igual que se hizo con los libros) a cada una de las distribuciones que se esperan encontrar, si se encuentra alguna otra distribución que no esté en esta lista se pondrá al final. Las etiquetas son las siguientes: D1. Distribución Bernoulli. D2. Distribución Binomial. D3. Distribución Geométrica. D4. Distribución Binomial Negativa. D5. Distribución Hipergeométrica. D6. Distribución de Poisson. D7. Distribución Uniforme Discreta. D8. Distribución Multinomial. D9. Distribución Hipergeométrica Multivariada. 4.2 Análisis Cuantitativo del contenido 4.2.1 Análisis En este segundo análisis se pretende elaborar una descripción del contenido de las obras tomando en cuenta las referencias del análisis preliminar. Es esta sección si se hace una revisión exhaustiva de 38 las obras para detallar si cuenta o no con los elementos descritos en la sección anterior, así como también tomar en cuenta elementos nuevos encontrados los cuales no fueron considerados en el análisis a priori. Al final se realizará un resumen de lo encontrado mediante tablas y gráficos, esto con la finalidad de tener un medio visual de presentar la información que me permita transmitir los resultados de manera rápida. Los detalles deeste segundo análisis se presentan de manera individual para cada libro en el orden en el que aparecen las referencias en la tabla 1. L1 A. Johnson, R. (2011). Probabilidad y estadística para ingenieros. México D.F: Pearson. Distribuciones de probabilidad presentadas. Las distribuciones estudiadas en ese libro son las siguientes: D2. Distribución Binomial. D3. Distribución Geométrica. D4. Distribución Binomial Negativa. D5. Distribución Hipergeométrica. D6. Distribución de Poisson. D8. Distribución Multinomial. 39 Descripción de las distribuciones. • Distribución Binomial (D2) D2.1 Génesis de la distribución. A partir de un ejemplo concreto se deduce la función de masa de probabilidad para esta distribución y posteriormente se analiza la situación general para llegar a la fórmula correspondiente. 40 D2.2 Presentación de la distribución. La distribución de probabilidad es presentada inicialmente mediante una fórmula sin embargo también se realizan diversos histogramas con valores dados de los parámetros ! y !. D2.3 Caracterización de la distribución. La media y la varianza de la distribución son presentadas como resultados y también se incluyen detalles de las demostraciones. También se función la función de distribución acumulativa la cual es utilizada para calcular probabilidades acumulativas y esto se hace con el uso de tablas al final del libro. Al analizar los histogramas correspondientes en ciertos problemas se aborda el concepto de sesgo para esta distribución. D2.4 Ejemplos y ejercicios. Se tratan al inicio algunos ejemplos donde se debe identificar si ciertos casos corresponden a procesos que involucran ensayos de Bernoulli independientes. Los ejemplos y los ejercicios tratados para esta distribución comprenden ejercicios donde se realizan cálculos operativos simples para encontrar probabilidades puntuales o bien para determinar probabilidades acumulativas, aquí se hace uso de 41 tablas las cuales calculan esta suma. Los ejercicios en su mayoría vienen de un contexto de aplicación lo cual nos da una idea de las áreas de aplicación de la distribución. También se tratan ejercicios de corte teórico. D2.5 Áreas de aplicación. Al inicio se reseña brevemente las situaciones en la cual se es conveniente emplear esta distribución para modelar ciertas situaciones en la cuales se involucren ensayos de Bernoulli independientes. D2.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Se menciona la relación que guarda esta distribución con la distribución hipergeométrica y con la distribución de Poisson, en el sentido de cómo estas pueden ser formas límites de la distribución Binomial. • Distribución Geométrica (D3). D3.1 Génesis de la distribución. Se describe de manera muy breve como se obtienen la función de masa de probabilidad para esta distribución no sin antes mencionar la relación que guarda con la distribución binomial. 42 D3.2 Presentación de la distribución. La distribución es presentada directamente mediante fórmula. D3.3 Caracterización de la distribución. Sólo se menciona la media de esta distribución pero no la varianza. Este resultado es presentado sin demostración sin embargo se deja como ejercicio al lector. D3.4 Ejemplos y ejercicios. Sólo se realiza un ejemplo muy sencillo para esta distribución el cual involucra cierto contexto, es decir el ejercicio no es meramente operativo. Los ejercicios son variados desde demostraciones hasta ejercicios aplicados que hacen uso de esta distribución para calcular probabilidades. D3.5 Áreas de aplicación. Se mencionan de manera muy sucinta las áreas de aplicación de esta distribución aunque por el hecho de involucrarse directamente con la distribución binomial se infieren las áreas de aplicación de esta distribución. Por otro lado los ejercicios aplicados en la sección de ejercicios de manera implícita dan cuenta de las áreas de aplicación. 43 Di.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Se menciona al inicio la relación que guarda esta distribución con la distribución binomial. Distribución Binomial Negativa (D4). D4.1 Génesis de la distribución. Se describe brevemente la forma de obtener la función de masa de probabilidad para esta distribución. D4.2 Presentación de la distribución. La distribución es presentada mediante una fórmula. D4.3 Caracterización de la distribución. No mencionan más elementos para esta distribución. D4.4 Ejemplos y ejercicios. No se trata ningún ejemplo para esta distribución aunque en sentido estricto el ejemplo de la distribución geométrica es un ejemplo también de la distribución binomial negativa por ser esta la generalización de la primera. Los ejercicios son la mayoría de tipo aplicado. 44 D4.5 Áreas de aplicación. No se mencionan explícitamente, aunque se da a entender que son áreas de aplicación similares a las de la distribución geométrica y la binomial. D4.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. No se menciona directamente. Distribución Hipergeométrica (D5). D5.1 Génesis de la distribución. Mediante la abstracción de un problema relacionado con la extracción sin reemplazo de objetos se deduce la función de masa de probabilidad correspondiente. D5.2 Presentación de la distribución. La distribución es presentada directamente mediante una fórmula. D5.3 Caracterización de la distribución. La media y la varianza son presentadas como resultados y las demostraciones se omiten pues son dejadas como ejercicios para el lector. D5.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos revisados para esta distribución son aplicados donde se realizan simples cálculos de 45 probabilidades puntuales o bien de sumas de probabilidades puntuales. Los ejercicios de la sección comprenden ejercicios puramente operativos, de aplicación así como ejercicios teóricos los cuales comprenden demostraciones de la media o la varianza para esta distribución por citar un ejemplo. D5.5 Áreas de aplicación. Al final se menciona brevemente el campo de aplicación de esta distribución, los cuales son similares a los de la distribución binomial, haciendo una clara distinción entre el tipo de muestreo empleado. D5.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Desde el inicio del tratamiento de esta distribución se compara con la distribución binomial por estar estas relacionadas con el problema de la selección de elementos de una urna. La diferencia esencialmente radica en cómo se realiza la extracción, ya sea con reemplazo o bien sin reemplazo. De hecho se realizan ejercicios para comparar en forma numérica los resultados que se obtienen utilizando una u otra distribución. Distribución de Poisson (D6) 46 D6.1 Génesis de la distribución. Se presenta directamente la función de masa de probabilidad para una variable aleatoria con distribución de Poisson y posteriormente se da detalle del por qué la distribución de Poisson es una forma límite de la distribución binomial, es decir bajo qué condiciones puede obtenerse la distribución de Poisson a partir de la distribución binomial. D6.2 Presentación de la distribución. La distribución de Poisson es presentada mediante una fórmula y también se realizan algunos histogramas de probabilidad para esta distribución para ciertos valores específicos del parámetro ! de la distribución. D6.3 Caracterización de la distribución. Se da a conocer la media y la varianza para esta distribución. La demostración de estos resultados se omite. Se trata también la función de distribución acumulativa la cual es utilizada para describir sumas de probabilidades puntuales. D6.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos y ejercicios tratados comprenden ejercicios puramente operativos, otros de corte teórico y 47 algunos donde se trata esta distribución como forma límite de la distribución binomial.D6.5 Áreas de aplicación. Las áreas de aplicación de esta distribución que se mencionan son aquellas relacionadas con el conteo de resultados que no tienen una cota superior natural. D6.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Se menciona a detalle la relación que guarda esta distribución con la distribución binomial, de hecho la introducción de la distribución de Poisson es realizada como forma límite de la distribución binomial. Distribución de Multinomial (D8) D8.1 Génesis de la distribución. No se menciona como se deduce la función de masa de probabilidad multivariada. D8.2 Presentación de la distribución. Se presenta la distribución directamente mediante fórmula. 48 D8.3 Caracterización de la distribución. No se mencionan otros elementos de interés. D8.4 Ejemplos y ejercicios. Sólo se trata un ejemplo para esta distribución el cual es aplicado. Los ejercicios son de tipo aplicado y teórico. D8.5 Áreas de aplicación. No se mencionan directamente. D8.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Se menciona que esta distribución es una generalización de la distribución binomial. Uso de herramientas tecnológicas y otros recursos. Se hace uso de software (Minitab) para el cálculo de probabilidades puntuales y acumulativas en la sección de ejercicios. También se hace uso de tablas de las distribuciones Observaciones. Este libro hace uso de herramientas tecnológicas como el Minitab y el software R, además de tablas para el cálculo de probabilidades. Se da más relevancia a la distribución binomial, hipergeométrica y Poisson que a las demás en el sentido de que su tratamiento es más completo. 49 Tabla 3. Análisis del contenido del texto L1 50 L2 C. Montgomery, D., & C. Runger, G. (2008). Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería. México D.F: Limusa Wiley. Distribuciones de probabilidad presentadas Las distribuciones discretas de probabilidad presentadas en este libro, en las cuales se excluyen casos multivariados, son las siguientes: D2. Distribución Binomial. D3. Distribución Geométrica. D4. Distribución Binomial Negativa. D5. Distribución Hipergeométrica. D6. Distribución de Poisson. D7. Distribución Uniforme Discreta. Descripción de las distribuciones. Para cada distribución, considerar los siguientes elementos: • Distribución Binomial (D2) D2.1 Génesis de la distribución. Esta distribución es presentada mediante una serie de ejemplos de situaciones comunes que hacen uso de una variable aleatoria que mide o cuenta resultados de cierto tipo en un experimento, más específicamente la variable aleatoria mide la cantidad de ensayos que cumplen con cierto criterio especificado. Se hace un ejemplo de una 51 situación donde se emplee esta variable en específico y luego se hace el cálculo de probabilidad para ciertos valores de !. Este ejemplo sirve de base para hacer la deducción de la función de masa de probabilidad de este caso particular y posteriormente a este ejemplo introducir de manera más formal la distribución de probabilidades para la variable aleatoria correspondiente. 52 D2.2 Presentación de la distribución. La distribución es presentada mediante una fórmula. Cabe resaltar que la distribución también es presentada mediante un histograma con diferentes valores de los parámetros ! y !. D2.3 Caracterización de la distribución. La media y la varianza de variable aleatoria con distribución binomial son presentadas mediante un teorema el cual no se demuestra. D2.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos presentados para esta distribución son aplicados y en ellos se calculan probabilidades y en otros piden calcular la media y la varianza. Los ejercicios de esta sección son en su mayoría aplicados y otros de carácter puramente algebraicos u operativos. D2.5 Áreas de aplicación. Se hace una descripción breve de las aplicaciones que pude tener esta distribución para modelar ciertas situaciones donde se aplique un muestreo donde la población es grande comparada con el tamaño de la muestra. Los ejercicios de esta sección también dan cuenta de las áreas de aplicación de esta distribución. D2.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Se menciona la relación de esta 53 distribución con otras distribuciones como la normal, la Poisson y la Hipergeométrica. • Distribución Geométrica (D3) D3.1 Génesis de la distribución. La deducción de la función de masa de probabilidad para esta distribución se desprende como consecuencia inmediata de su íntima relación con la distribución binomial negativa por ser un caso particular. D3.2 Presentación de la distribución. La distribución geométrica es presentada formalmente mediante fórmula y también se presenta mediante un histograma para un ejemplo en concreto. D3.3 Caracterización de la distribución. Se establecen los valores de la media y la varianza para esta distribución mediante un teorema cuya demostración es dejada como ejercicio. D3.4 Ejemplos y ejercicios. Se revisan el tipo de ejemplos y ejercicios que son considerados en la obra y con respecto a la distribución. D3.5 Áreas de aplicación. Con respecto a los ejemplos mostrados en el libro, estos son de aplicación. Los ejercicios para esta sección comprenden problemas teóricos, prácticos y puramente operativos. 54 Una propiedad importante para esta distribución tratada en este libro es la propiedad de falta de memoria. D3.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. La distribución geométrica considerada tomando en cuenta la estrecha relación que guarda con la distribución binomial, estas características son resaltadas en un ejemplo práctico donde se contrastan las diferencias entre una variable aleatoria con distribución binomial y una con distribución geométrica. • Distribución Binomial Negativa (D4) D4.1 Génesis de la distribución. La deducción de la función de masa de probabilidad es realizada mediante un ejemplo particular el cual luego se generaliza. D4.2 Presentación de la distribución. Como una generalización es la distribución geométrica es presentada posteriormente la distribución binomial negativa. Esta es presentada directamente mediante fórmula y posteriormente se realiza un histograma para un ejemplo en concreto con distintos valores del parámetro !. Cabe resaltar que también es presentada la variable aleatoria con distribución binomial negativa como una suma de variables aleatorias con distribución 55 geométrica esto como consecuencia inmediata de la propiedad de falta de memoria de la variable aleatoria geométrica. D4.3 Caracterización de la distribución. La esperanza y la varianza de una variable aleatoria con distribución binomial negativa son presentadas mediante un teorema. D4.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos que se tratan para esta distribución son aplicados los cuales son utilizados como ejemplos particulares de cómo obtener la función de masa de probabilidad en general y como ver a una variable aleatoria binomial negativa como suma de geométricas. Los ejercicios para esta distribución son operativos y otros de carácter aplicado. D4.5 Áreas de aplicación. Las áreas de aplicación para esta distribución se mencionan brevemente y son similares a las presentadas para la distribución binomial. Los ejercicios de la sección también dan muestra de las áreas de aplicación respectivas. D4.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Se menciona la relación obvia de esta distribución con la distribución geométrica y la binomial. 56 • Distribución Hipergeométrica (D5) D5.1 Génesis de la distribución. La deducción de la función de masa de probabilidad es realizada mediante el análisis de un caso particular. D5.2 Presentación de la distribución. La distribución es presentada mediante fórmula y también mediante unhistograma en un ejemplo en particular para distintos valores de los parámetros !, y !. D5.3 Caracterización de la distribución. La media y la varianza de la variable aleatoria hipergeométrica es presentada mediante un teorema y la demostración dejada como ejercicio. Cabe resaltar que es aquí, en el análisis de estas dos expresiones (de la media y la varianza) cuando se establece la relación que guarda en cuanto a una aproximación con las expresiones para media y varianza de una variable aleatoria con distribución binomial. D5.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos tratados con respecto a esta distribución comprenden ejercicios operativos y otros aplicados donde se comparan resultados empleando las distribuciones binomial e hipergeométrica a pesar de que el muestreo haya sido realizado sin reemplazo. 57 Los ejercicios para esta sección comprenden desde ejercicios puramente operativos, hasta ejercicios teóricos como demostrar la esperanza y la varianza para una variable aleatoria con distribución hipergeométrica. D5.5 Áreas de aplicación. Las áreas de aplicación de esta distribución son similares a las de la distribución binomial. D5.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. La distribución hipergeométrica es comparada con la distribución binomial, pues se pone de manifiesto la estrecha relación que guardan cuando se realiza un muestreo con reemplazo y cuando este es realizado sin reemplazo. Un ejemplo es analizado para motivar el uso de esta distribución cuando se seleccionan muestras al azar sin reemplazo. • Distribución Poisson (D6) D6.1 Génesis de la distribución. Se omite. D6.2 Presentación de la distribución. La distribución de Poisson es introducida directamente mediante un ejemplo, considerando a esta como una forma límite de la distribución binomial. Posteriormente es presentada la distribución mediante una fórmula y se realizan 58 histogramas para esta variable aleatoria utilizando distintos valores del parámetro lambda. D6.3 Caracterización de la distribución. Son presentadas también mediante un teorema la media y la varianza de esta distribución. D6.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos tratados para esta distribución son de corte aplicado. Los ejercicios son aplicados y otros puramente algebraicos. D6.5 Áreas de aplicación. Se mencionan las áreas de aplicación para esta distribución entre las cuales están áreas similares a las de la binomial. D6.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Como ya se mencionó, en esta obra se establece bajo qué condiciones la distribución de Poisson es una forma límite de la distribución binomial. • Distribución Uniforme Discreta (D7) D7.1 Génesis de la distribución. Se omite. D7.2 Presentación de la distribución. La primera distribución que se trata en L2, es la distribución uniforme discreta, la cual se considera la distribución más simple de todas. Es presentada inmediatamente mediante una fórmula, 59 posteriormente se realizar un problema aplicado como ejemplo. Cabe resaltar que la función de masa de probabilidad también es descrita mediante un histograma para este ejemplo. D7.3 Caracterización de la distribución. Otro elemento que se considera para esta distribución es la esperanza de la variable aleatoria, la cual se demuestra y es dejado como ejercicio la desviación estándar. Posteriormente se enuncian formalmente estos resultados. D7.4 Ejemplos y ejercicios. Los problemas presentados para esta distribución son variados, incluyendo ejercicios meramente operativos, aplicados y teóricos. D7.5 Áreas de aplicación. No se mencionan. D7.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. No se menciona. Uso de herramientas tecnológicas y otros recursos. No se hace uso de ningún recurso tecnológico, ni siquiera el uso de tablas para el cálculo de sumas de probabilidades. Observaciones. Lo fuerte de esta obra es la riqueza que presenta en cuanto a las aplicaciones a 60 la ingeniería de todas las distribuciones presentadas. Tabla 4. Análisis del contenido del texto L2 61 L3 Clifford Blair, R., & A. Taylor, R. (2008). Bioestadística. México D.F: Pearson. Distribuciones de probabilidad presentadas. La única distribución de probabilidad discreta que se menciona en esta fuente es la distribución binomial. Descripción de las distribuciones. • Distribución Binomial (D2) D2.1 Génesis de la distribución. No se describe. D2.2 Presentación de la distribución. La distribución es presentada directamente mediante una fórmula y en el tratamiento de los ejemplos se realizan histogramas y tablas para distintos valores de los parámetros ! y !. D2.3 Caracterización de la distribución. No se menciona nada al respecto. D2.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos y ejercicios tratados para esta distribución son en su mayoría de tipo operativos y algunos otros desarrollados en un contexto de aplicación. 62 D2.5 Áreas de aplicación. Las áreas de aplicación de esta distribución y que son mencionadas en este libro están relacionadas con algunos métodos de inferencia estadística como las pruebas de hipótesis y la construcción de intervalos de confianza. D2.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. No se menciona. 63 Uso de herramientas tecnológicas y otros recursos. No se menciona alguno. Observaciones. En este libro no se tratan las distribuciones de probabilidad discretas como tal, de hecho el uso de la distribución binomial es motivado de la necesidad de determinar la distribución de probabilidades de cierto estimador puntual llamado p gorro (!). 64 Tabla 5. Análisis del contenido del texto L3 65 L4 Devore, J. L. (2008). Probabilidad y Estadística para ingenierías y ciencias. Ciudad de México: Cengage Learning. Distribuciones de probabilidad presentadas. En L4 se tratan las siguientes distribuciones: D2. Distribución Binomial. D3. Distribución Geométrica. D4. Distribución Binomial Negativa. D5. Distribución Hipergeométrica. D6. Distribución de Poisson. Descripción de las distribuciones. Distribución Binomial (D2) D2.1 Génesis de la distribución. La primera distribución tratada es la distribución binomial. Se empieza definiendo lo que constituye un experimento binomial, se identifican las características de una variable aleatoria binomial y su relación con las técnicas de muestreo, posteriormente se realizan cálculos específicos de probabilidades para una variable aleatoria binomial y después se generaliza para obtener la función de masa de probabilidad. 66 D2.2 Presentación de la distribución. La distribución de probabilidad para esta variable aleatoria se presenta por medio de fórmula y también mediante una tabla para un valor fijo de los parámetros n y p. D2.3 Caracterización de la distribución. La media y la varianza para esta distribución se 67 presentan mediante un teorema el cual no se demuestra. También se trata la función de distribución acumulativa como tal. D2.4 Ejemplos y ejercicios. Los primeros ejercicios que se revisan acerca de esta distribución están relacionados con la identificación de experimentos binomiales en ciertas situaciones descritas y con el tratamiento de problemas que implican un muestreo sin reemplazo pero que bajo ciertas condiciones pueden ser tratados como experimentos binomiales. Se realizan ejemplos aplicadas para estas distribución dónde se tienen que calcular probabilidades puntuales y sumas de estas probabilidades. Para el cálculo de algunas sumas se utilizan tablas y se hace menciona el uso de software como Minitab o R sin embargo no se da detalle de como emplear dicho software. También se realizan cálculos de media y varianza. Los ejerciciosa resolver comprenden de tipo operativo, aplicados y teóricos donde se pide realizar ciertas demostraciones. D2.5 Áreas de aplicación. Las áreas de aplicación no se mencionan de manera explícita sin embargo los ejercicios aplicados dan cuenta de ello. 68 D2.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Se menciona la relación entre esta variable aleatoria y la distribución hipergeométrica y binomial negativa. Distribución Geométrica (D3) D3.1 Génesis de la distribución. Se menciona a partir de la distribución binomial negativa. D3.2 Presentación de la distribución. Sólo se presenta mediante fórmula. D3.3 Caracterización de la distribución. Los aspectos mencionados son referentes más bien a la distribución binomial negativa. D3.4 Ejemplos y ejercicios. Sólo se trata un ejemplo para esta distribución. D3.5 Áreas de aplicación. Se dan a conocer de manera implícita en los ejercicios. D3.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Sólo se destaca la relación obvia con la distribución binomial negativa. 69 Distribución Binomial Negativa (D4) D4.1 Génesis de la distribución. Se inicia el estudio de esta distribución identificando las características de un experimento hipergeométrico, posteriormente se procede a la deducción a partir de una situación general de la función de masa de probabilidad para esta distribución. D4.2 Presentación de la distribución. La distribución es presentada formalmente mediante una preposición en forma de fórmula y los ejercicios que se resuelven para esta distribución utilizan esta presentación de la función de masa de probabilidad. D4.3 Caracterización de la distribución. Otros elementos presentados para esta distribución son la función de distribución acumulativa con la cual se pueden calcular sumas de probabilidades puntuales. También se trata la media y la varianza y las demostraciones de estos resultados se omiten. D4.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos que se revisan para esta distribución son en su mayoría de tipo aplicado en los cuales se realizan cálculo de probabilidades puntuales y sumas de estas 70 probabilidades así como también cálculos relacionados con la media y la varianza. Los ejercicios de la sección comprenden una gama más amplia pues también incluyen problemas teóricos además de operativos y aplicados. D4.5 Áreas de aplicación. Las áreas de aplicación no se mencionan de manera explícita sin embargo los problemas aplicados describen a detalle las áreas de aplicación para esta distribución. D4.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Al inicio del tratamiento para esta distribución se destacan las similitudes y diferencias con la distribución binomial. Distribución Hipergeométrica (D5) D5.1 Génesis de la distribución. Se inicia el estudio de esta distribución de probabilidad destacando la relación que guarda una variable aleatoria que presenta esta distribución y una con distribución binomial. Posteriormente se detalla que características tiene un experimento hipergeométrico, que mide la variable aleatoria involucrada y cuáles son los parámetros que se 71 toman en cuenta en la distribución hipergeométrica. Se realiza un problema en el cual se debe calcular una probabilidad puntual, este problema da la pauta para plantear una situación más general y hacer la deducción de la función de masa de probabilidad para esta distribución la cual es presentada formalmente mediante una preposición. D5.2 Presentación de la distribución. Como ya se mencionó antes la distribución es presentada de manera forma como una preposición mediante fórmula. En los problemas subsecuentes sólo se le da tratamiento bajo este esquema. D5.3 Caracterización de la distribución. Otros elementos que se presentan para esta distribución aparte de la función de masa de probabilidad es la función de distribución acumulativa y la media y la varianza, dicho resultado es presentado mediante un teorema el cual no se demuestra de manera formal si no que se hace una comparación con la distribución binomial y de ahí se obtiene el resultado. 72 D5.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos referentes a esta distribución comprenden en su mayoría ejercicios de aplicación donde se calculan probabilidades puntuales, sumas y cálculo de medias y varianzas. Se menciona el uso de tablas y software como Minitab y R sin embargo el libro no trae tablas para esta distribución ni tampoco da detalles de instrucciones con el software. Los ejercicios de la sección además del tipo de ejercicios citados anteriormente comprenden ejercicios teóricos. D5.5 Áreas de aplicación. Las áreas de aplicación no son mencionadas de manera explícita sin embargo los ejercicios aplicados que corresponden a esta distribución dan cuenta de ellos. Las áreas de aplicación son similares a las de la distribución binomial. D5.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Cómo ya se mencionó antes al inicio del estudio de esta distribución se menciona la relación estrecha que guarda esta distribución con la distribución binomial. Distribución Poisson (D5) 73 D6.1 Génesis de la distribución. La distribución es presentada directamente mediante una proposición y sin la definición de un proceso “simple” como se hizo con las demás distribuciones sin embargo se menciona como puede obtener a partir de la distribución binomial. D6.2 Presentación de la distribución. La distribución es presentada mediante fórmula y también se realizan algunos histogramas y tablas para esta distribución. D6.3 Caracterización de la distribución. Se menciona además de la función de masa de probabilidad, la función de distribución acumulativa, la media y la varianza para esta distribución, este último resultado no se demuestra de manera formal sino que surge a partir de considerar la distribución de Poisson como forma límite de la distribución binomial. D6.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos son muy variados y comprende ejercicios operativos y aplicados donde se realizan cálculos de probabilidades puntuales y de sumas de estas probabilidades con ayuda de tablas. 74 Los ejercicios son aún más variados pues también se incluyen de tipo teórico además de los ya usuales ejercicios aplicados y operativos. D6.5 Áreas de aplicación. Se menciona la importancia de esta distribución para resolver problemas que involucren el conteo de resultados por unidades de tiempo, longitud, volumen, etc. D6.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Se describe la relación que guarda la distribución de Poisson con la distribución binomial en el sentido de ser la primera una forma límite de la segunda bajo ciertas condiciones. Uso de herramientas tecnológicas y otros recursos. Se menciona el uso de software como Minitab y R sin embargo en las secciones relacionadas con las distribuciones se da detalle del uso de estos. Se hace uso de las tablas del apéndice para realizar cálculos de sumas de probabilidades para las distribuciones binomial y Poisson. Observaciones. En el caso de la distribución geométrica no se trata como tal a parte sino que se menciona como caso particular de la distribución binomial negativa. Tabla 6. Análisis del contenido del texto L4 75 76 L5 E. Walpole, R., H. Myers, R., & L. Myers, S. (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. México D.F: Pearson. Distribuciones de probabilidad presentadas Las distribuciones discretas de probabilidad presentadas en este libro, en las cuales se incluyen casos multivariados, son las siguientes: D2. Distribución Binomial. D3. Distribución Geométrica. D.4 Distribución Binomial Negativa. D.5 Distribución Hipergeométrica. D.6 Distribución de Poisson. D.7 Distribución Uniforme Discreta. D.8 Distribución Multinomial. D.9 Distribución Hipergeométrica Multivariada. Descripciónde las distribuciones Distribución Binomial (D2) D2.1 Génesis de la distribución. Para esta distribución se describe brevemente como se obtiene la función de masa de probabilidad. D2.2 Presentación de la distribución. Esta distribución se introduce mediante un breve contexto de aplicación, después se describe el 77 proceso de Bernoulli, el cual sirve para delimitar el papel que desempeña la variable aleatoria (definir lo que la variable aleatoria está midiendo), lo cual viene a ser reafirmado con un breve ejemplo de lanzamiento sucesivo de monedas. Posteriormente se da la definición de lo que es la distribución binomial no sin antes realizar una breve explicación de cómo se obtienen la función de masa de probabilidad. La distribución es presentada mediante una fórmula la cual incluye la 78 función de masa de probabilidad y los posibles valores para la variable aleatoria. Se realiza la demostración de que si se suma la función sobre todos los posibles valores de que puede tomar la variable aleatoria esta da como resultado 1, lo cual reafirma que se trata en efecto de una función de masa de probabilidad. D2.3 Caracterización de la distribución. No se menciona como tal la función de distribución acumulativa sin embargo se hace referencia a las sumas binomiales del tipo P(X≤x), las cuales se realizan mediante el uso de tablas del apéndice del libro. Se demuestra cual es la media y la varianza de una variable aleatoria con distribución binomial con parámetros n y p, mediante propiedades del operador esperanza y utilizando directamente la definición de esperanza y varianza de una variables aleatoria (lo cual es más difícil de realizar). D2.4 Ejemplos y ejercicios. En cuanto a los ejemplos tratados en esta sección todos son aplicaciones que hacen uso de la distribución binomial destacando el hecho de que se calculan probabilidades del tipo: Puntual (P(X=x)) Menor o menor igual (P(X≤x)) Mayor o mayor igual (P(X≥x)) En esta última se utilizan complementos. 79 Con respecto a los ejercicios de esta sección son del mismo tipo que los ejemplos presentados. D2.5 Áreas de aplicación. Por último se hace una breve reseña destacando las áreas de aplicación donde tiene sentido el uso de la distribución binomial para modelar situaciones en el ámbito científico e industrial, lo cual ya había sido puesto de manifiesto en los ejemplos de la sección. D2.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Se menciona la importancia de esta distribución y su relación con la distribución normal. Distribución Geométrica (D3) D3.1 Génesis de la distribución. Para la distribución binomial negativa se presenta la deducción de la función de masa de probabilidad y la distribución geométrica es un caso particular por lo cual se omite su deducción. D3.2 Presentación de la distribución. La distribución geométrica es presentada como un caso particular de la distribución binomial negativa, tomando el parámetro k de la distribución binomial negativa el valor de 1. Una vez hecha esta aclaración se presenta la distribución geométrica mediante una fórmula. 80 D3.3 Caracterización de la distribución. La media y la varianza de la distribución geométrica son presentados mediante un teorema y no se demuestran. D3.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos y los ejercicios para esta distribución son de tipo operativo y otros tratan algunas aplicaciones sencillas con respecto a esta distribución. D3.5 Áreas de aplicación. Se menciona brevemente las áreas de aplicación que tiene esta distribución. D3.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Se deja entrever que esta distribución está relacionada con la distribución binomial pues ciertas condiciones del experimento binomial son las mismas para este caso. Otra relación obvia es la relación que guarda con la distribución binomial negativa por ser esta un caso particular. Distribución Binomial Negativa (D4) D4.1 Génesis de la distribución. Para esta distribución se realiza la deducción de la función de masa de probabilidad. 81 D4.2 Presentación de la distribución. La distribución binomial negativa es presentada de la siguiente manera, primero se hace una breve introducción acerca de lo que es un experimento binomial negativo y haciendo una analogía con los experimentos binomiales. Después se define lo que mide la variable aleatoria, seguido de la deducción de la función de masa de probabilidad para posteriormente presentar formalmente la distribución de probabilidades mediante una fórmula. D4.3 Caracterización de la distribución. No se presentan otros elementos que caractericen a la distribución como la media, la varianza, etc. D4.4 Ejemplos y ejercicios. Se trata un solo ejemplo de esta distribución y es un ejemplo de una aplicación donde se calculan probabilidades del tipo P(X≥x) y de tipo puntual P(X=x). Los ejercicios relacionados con esta sección son también de aplicaciones. D4.5 Áreas de aplicación. Al inicio de la sección se da parte de las áreas de aplicación que involucra a esta distribución las cuales son muy similares a las de la distribución binomial. D4.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Esta distribución está 82 íntimamente relacionada con la distribución binomial y de lo cual se da detalle en este libro. Distribución Hipergeométrica (D5) D5.1 Génesis de la distribución. Antes de presentar la distribución como tal, se explican las características que tiene un experimento hipergeométrico y lo que mide la variable aleatoria, en base a esto se deduce la función de masa de probabilidad para la variable aleatoria. D5.2 Presentación de la distribución. La distribución es presentada directamente mediante una fórmula. D5.3 Caracterización de la distribución. Mediante un teorema se presentan la media y la varianza de una variable aleatoria con esa distribución. Las demostraciones de estos dos resultados se encuentran en el apéndice del libro. D5.4 Ejemplos y ejercicios. Con respecto a los ejemplos que presenta L5 para esta sección son todos referentes a aplicaciones, destacando el uso para planes de muestreo. Las probabilidades que se calculan en los ejemplos son de tipo puntual es decir, del tipo P(X=x). También se hacen ejemplos donde se calcula la media y la varianza. Cabe 83 resaltar que se utiliza aquí el teorema de Chebishev. Los ejercicios de esta sección son todos referentes a aplicaciones. D5.5 Áreas de aplicación. Se inicia la discusión haciendo una comparación con la distribución binomial, destacando la similitud que pueden tener ambas dentro de su campo de aplicación y en qué radica su diferencia D5.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Al final de la sección se detalla más específicamente bajo qué condiciones se puede aproximar la distribución binomial a la hipergeométrica. Distribución Poisson (D6) D6.1 Génesis de la distribución. Con respecto a la distribución de Poisson se inicia su estudio en L5 con la definición de lo que es un experimento de Poisson y lo que es un Proceso de Poisson. No se deduce la función de masa de probabilidad para esta distribución por considerar que esta fuera del alcance de L5 sin embargo se menciona que se deriva de las tres propiedades que cumple el proceso de Poisson. 84 D6.2 Presentación de la distribución. La distribución es presentada mediante fórmula y mediante un histograma de probabilidades el cual se grafica para cierto valor del parámetro !t de la distribución. D6.3 Caracterización de la distribución. La media y la varianza para una variable aleatoria de Poisson es presentado mediante un teorema el cual se demuestra en la apéndice del libro. No se menciona la función de distribución acumulativa como tal pero se menciona la sumas de Poisson, la cuales pueden se calculadas mediante el usode tablas. D6.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos, son todos de aplicación donde calculan probabilidades de tipo puntual P(X=x), y del tipo P(X>x), donde forzosamente tiene que utilizar el complemento, 1- P(X≤x) por el rango de valores que toma la variable aleatoria (cero, uno, dos, hasta infinito). Los ejercicios de esta distribución son todos de tipo prácticos. D6.5 Áreas de aplicación. Cuando se describe el proceso de Poisson son mencionadas las áreas de aplicación para esta distribución. D6.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Otra relación importante que se 85 destaca en L5 acerca de esta distribución es la relación que guarda esta distribución con la binomial, dónde mediante un teorema son presentadas las condiciones que debe cumplir la distribución binomial para que pueda ser utilizada como aproximación de la distribución de Poisson, es decir bajo qué condiciones se puede emplear una distribución por otra, en este caso la distribución de Poisson para problemas que involucren la distribución binomial. Lo anterior es puesto en práctica mediante dos ejemplos. Distribución Uniforme Discreta (D7) D7.1 Génesis de la distribución. No hay argumentos relacionados con la génesis de esta distribución. D7.2 Presentación de la distribución. La distribución es presentada directamente mediante fórmula y en un contexto de ejercicio. D7.3 Caracterización de la distribución. La media y la varianza de la distribución son dejadas como ejercicios pero no se presentan como tal. D7.4 Ejemplos y ejercicios. Sólo se mencionan dos ejercicios, uno en el cual se define la distribución y se pide calcular la media y la varianza de la variable aleatoria con esa 86 distribución y otro de corte aplicado donde para resolver el problema hay que hacer uso de la distribución uniforme discreta D7.5 Áreas de aplicación. No se mencionan. D7.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. No se menciona. Distribución Multinomial (D8) D8.1 Génesis de la distribución. Se inicia el tratamiento de esta distribución describiendo lo que es un experimento multinomial y comparándolo con uno binomial posteriormente se presenta brevemente la forma en la cual se obtiene la función de masa de probabilidad multivariada tomando en cuenta que se trata de la generalización de la distribución binomial. D8.2 Presentación de la distribución. La distribución es presentada mediante una fórmula. D8.3 Caracterización de la distribución. Para este caso no aplica, la media, la varianza, etc. D8.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos y ejercicios presentados son principalmente de aplicación. 87 D8.5 Áreas de aplicación. Las áreas de aplicación de esta distribución son similares a las áreas de aplicación de la distribución binomial. D8.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. A parte de la relación obvia que existe con la distribución binomial por ser esta una generalización no se menciona alguna otra. Distribución Hipergeométrica Multivariada (D9) D9.1 Génesis de la distribución. Se describe la forma en la cual se obtiene la función de masa de probabilidad multivariada tomando en cuenta que se trata de la generalización de la distribución hipergeométrica. D9.2 Presentación de la distribución. La función de masa de probabilidad multivariada es presentada directamente mediante fórmula. D9.3 Caracterización de la distribución. Para este caso no aplica, media, varianza, etc. D9.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejercicios tratados para esta distribución son todos de aplicación. 88 D9.5 Áreas de aplicación. Las áreas de aplicación de esta distribución son similares a las áreas de aplicación de la distribución hipergeométrica. D9.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Sólo se menciona la relación obvia que existe entre esta distribución y la distribución hipergeométrica. Uso de herramientas tecnológicas y otros recursos. Para el tratamiento de las distribuciones en el libro no se utiliza software sin embargo se trabajan con tablas en el cálculo de sumas de probabilidades las cuales vienen en el apéndice de la obra. Observaciones. La distribución de Poisson es la única distribución que es también presentada mediante un histograma de probabilidades, pues se mencionan algunos ejemplos de esta distribución para distintos valores de la media. En resumen, lo encontrado en L5 en relación a las distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas se presenta en la siguiente tabla. 89 Tabla 7. Análisis del contenido del texto L5 90 L6 F. Triola, M. (2013). Estadística. México D.F: Pearson. Distribuciones de probabilidad presentadas Las distribuciones que se tratan en L6 son las siguientes: D2. Distribución Binomial. D3. Distribución Geométrica. D5. Distribución Hipergeométrica. D6. Distribución de Poisson. D8. Distribución Multinomial. Descripción de las distribuciones • Distribución Binomial (D2) D2.1 Génesis de la distribución. La primera distribución en ser tratada en L6 es la distribución binomial, la cual es presentada mediante una definición en la cual detallan las características del proceso (experimento) que genera variables aleatorias con esta distribución. Posteriormente se hacen algunas aclaraciones con respecto a las condiciones de independencia en el proceso de 91 extracción. Al final de la sección se hace la deducción de la función de masa de probabilidad. D2.2 Presentación de la distribución. La distribución en si es presentada mediante una fórmula en la cual se detallan sus elementos. Cabe resaltar que también es presentada mediante tablas para valores en específico de los parámetros ! y !, donde para ello se hace uso de software, entre 92 ellos está el STATSISK, MINITAB, Excel y TI- 83/84 Plus y también se hacen uso de tablas las cuales se encuentran en el apéndice. D2.3 Caracterización de la distribución. Algunos de los elementos que se revisan para esta distribución en específico son la media, la varianza y la desviación estándar. Las expresiones son presentadas y no se incluyen demostraciones de estas. D2.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos que proporciona el libro para esta distribución van desde problemas puramente operativos hasta problemas que involucran un contexto de aplicación de la distribución binomial. Cabe resaltar que para la solución de estos problemas se hace uso de herramientas tecnológicas como programas de cómputo, calculadoras y otros recursos como tablas, las cuales vienen en el apéndice del libro. Los ejercicios son de la misma naturaleza que los ejemplos tratados en el libro. D2.5 Áreas de aplicación. Una de las fortalezas de esta referencia es la gama tan amplia de 93 aplicaciones que involucra en sus problemas. Se ponen de manifiesto áreas de aplicación como son problemas relacionados con el juego, con medicina, encuestas, mejorad de la calidad, etc. D2.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Una de las relaciones que se trata aquí es la relación entre la distribución binomial y la distribución hipergeométrica, sobre todo en problemas que involucran muestreo con reemplazo o bien sin reemplazo. • D3. Distribución Geométrica. D3.1 Génesis de la distribución. No se describe. D3.2 Presentación de la distribución. La distribución es presentada directamente mediante una fórmula. D3.3 Caracterización de la distribución. No se presentan más elementos que la función de masa de probabilidad. D3.4 Ejemplos y ejercicios. No hay ejemplos para esta distribución. Los ejercicios son variados y 94 van desde la aplicación de la distribución para el cálculo de probabilidades directamente hasta problemas que involucran un contexto de práctico. D3.5 Áreas de aplicación. Se mencionan las mismas que para la distribución
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