Logo Studenta

Apuntes-ProbEstadistica-o2

Vista previa del material en texto

Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
����������	�
����������
����
�
�����

���	������������	����
��	
��
�������������
����������
�
�
�
���������	
�����
�������
������������
�
�
	�������
��
�����
��
������������
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
�
�����
�����������
��	
�����
������
����������
���������� �! "!��� !����#$�$%!%�������"���&��'#������'%�����!�(���#$�$%!%����(����#'�#(�
�&��'#(� ��!� %#���#()� �('#� (�� #�# �� #*#���+!�������,�()� ����� !#� "�!� �� �(%'�*#(� ��������� !#(�
 #� ��'#(�$-(% #(.��
�
��������
�
��������
�
��'�#�/�����!����#$�$%!%�����(�!����*�����!�(�*�'�*-'% �(�0"���('"�%��!#(�1��2*��#(�0"��������������
(" �(#(�1#�'"%'#(� #�# %�#(�'�*$%3�� #���!��#*$�������4��#(#(�#��!��'#�%#(.�
�
������������ !"�# $��
�
�5%('���&%��� %�����!���5%('�� %�����!#(�6"�+#(�����4�����(����!��7#�89::�
������+%�'#)����#��!�("('��'#�
*�'�*-'% #���� !�� '�#�/����� !�� ��#$�$%!%���� �(� %�% %��#� �#�� !#(�*�'�*-'% #(�1��� �(�(� �!�%(�� 	�( �!�
;�<�8=�<<�>� ,�	%��������*�'� ;�<:�=�<<9>� "���#� !#+����#$'�������#$�$%!%����(� �5� '�(� ����� %��'#(�
��#$!�*�(���!� %#���#(� #��!#(�6"�+#(�������#(.�

����'%����!�(%+!#�?@���!��'�#�/�����!����#$�$%!%����A��(%�#� #�('��'�*��'����(���#!!����,��*�!%�*��'��
��!% ���� ��� �%&��(#(� �*�#(� ��� �('"�%#� '�!�(� #*#� !�(� %�� %�(� (# %�!�()� �#!/'% �)� �"$!% %���� ,�
*�� ��#'� �%�)� %�+��%��/�)� ��*%�%('�� %2�)� *��% %��)� *�'�#�#!#+/�)� ����% %2�� ��� '����*#'#()�
 #*�#�'�*%��'#�A"*��#)��%(�7#����(%('�*�(���� #*�"'��#��()��%( �%*%�� %2��!�$#��!)��' .�
�
����� %���
���	
�����
��������������
%�����������
�
����� &�4� 0"�� "'%!%4�*#(� !�(� *�'�*-'% �(� #�� �!� #$6�'#� ��� �('"�%��� 1��2*��#(� #$(��&�$!�(� �(�
%��%(���(�$!���*��4����#�� #�('�"%��"��*#��!#�*�'�*-'% #������'�!�(�1��2*��#(.��('#(��"�����(������
�#(�'%�#(��
%> %���&�� ��"�#' �(!" ��.B� �0"3!� ��� 0"�� !�(� #��% %#��(� ��� !�(� 0"�� (�� &��%1% �� "��
�5���%*��'#���'��*%�����!� ��("!'��#���!�*%(*#.�	#���6�*�!#)� ("�2��0"�� !�� ��!� %2����'���
"���&��%�$!�������(�"�('�� � � #��"���&��%�$!���5�!% �'%&�� � ��(����!��1#�*�� ���� += � #��
�� ,�� ��( #�# %��(.� �('#� �(� "�� *#��!#� ��'��*%�/('% #� �#�0"�� �#� ���*%'�� ���#�� ��� !��
����% %2����� � #*#�1"� %2����� � .�	#���6�*�!#)�!���%('�� %���� #��%���&��'% �!*��'��(#$���
�!� ("�!#� �#�� "�� #$6�'#� �('-������ �#�� ����� :
��< +−= )��#���� � � �(� �!� '%�*�#� ,� :� � �(� !��
&�!# %����%�% %�!.��
�
%%> %���&���#�)$) &(!" ������!"��*!" ��.B� �0"3!� 0"�� %�&#!" ��� %��'#� ���#�� 0"�� �������� ���
 #(�(�1#�'"%'�(��#���6�*�!#� ε++= ��	
 )��#���� ε ��(�"�� #*�#���'���!��'#�%#.��6�*�!#��
��� ��(��� ��'��*%���� "-�'�� !!"&%�� ���-� ��$%�#� �� "��� '#�*��'�� 0"�� ��(�� �#�� "��� 4#���
�(�� /1% �.�
�
����+ ��	�����%����
�
������������
�
��, � � -���
%> ����.��# '��"�� �(� "�!0"%��� ��# �(#� ",#(� ��("!'��#(� �#� (�� #�# ������ ��'�*��#� #��
 ��'�4�.�
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
8
%%> �!��!�$� ��'/�!"#$&�����!� �5���%*��'#� �(� !�� #!� %2�� #� #�6"�'#����"���!� !#(� �#(%$!�(�
��("!'��#(���!��5���%*��'#.�
%%%> ����0��"��#�!/��!���(� "�!0"%���("$ #�6"�'#���!��(�� %#�*"�('��!.�
�
�
�1�'�&�!��
�
�.B��.��# '��"������!��4��"���*#�����8�&� �(.�
��"$� -��� �%��% ��0"��!��*#����� ������ ����,�5�%��% ��0"��!��*#����� ������ �"4.�
�!�$� ��'/�!"#$&����CD )� 5)� 5 )�5 )� 55)�55 )�5 5)�555E�
�0��"�!��	�� �����#(� ���(������	�CD 5)� 5 )�5 E�
������ ����!�*��#(�"��� �����������CD )� 5)� 5 )�5 )� 55)�55 )�5 5E�
��������!#�*-(�"��� �"4��������CD )� 5)� 5 )�5 E�
�
�.B��.��# '��"������&�A/ "!#�!!�+����"���%�'��(� %2����� ����'���(�,��"��������&"�!'����!������ A�)���
!��%40"%�����#�(�+"%�����1���'�.�
��"$� -�����%��% ��0"���!�&�A/ "!#����&"�!'����!������ A�)���&"�!'����!��%40"%�����,���%��% ��0"��(%+"��
���1���'�.�
�!�$� ��'/�!"#$&����CD�)��)��E�
�0��"�!��	���!�&�A/ "!#�(%+"�����1���'�������	�CD�E�
����!�&�A/ "!#�(����'%�����������CDEC∅ �
�
8.B��.��# '��"�������!%+����!��4���'��(���'/ "!#(����"����# �(#����*��"1� '"��)�(��%�(�� %#��� ����
"�#�����!!#(�,�(�� !�(%1% �� #*#���1� '"#(#���#�$"��#��.�
�!�$� ��'/�!"#$&����CD���)����)����)����)����)����)����)����E�
�0��"�!��	���5� '�*��'���#(���'/ "!#(�$"��#(������	�CD���)����)����E�
��������!#�*-(�"����'/ "!#���1� '"#(#��������CD���)����)����)����E�
�
F.B��.��# '��"������!��4��"���*#�����A�('��#$'�����"��� �"4�;5>�#�'��(� ���(�; >.�
�!�$� ��'/�!"#$&����CD5)� 5)� 5)� E�
�0��"���	���!�*��#(��#(� ���(������	�CD 5)� E�
�
� � 8
 
 
 5
5
5
�%�+��*�����-�$#!�������!���#$!�*��F.
�����G*��#����!��4�*%��'#
�
�
�
�
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
F
9.B������"��'������"'#*2&%!� (�� ��(�*$!�� #��"��+�����G*��#�����"�'#(���� (#!���"��.���(�"3(���!�
��(�*$!��#)�(��%�(�� %#��� �����"�'#�,�(�� "��'���!��G*��#�'#'�!������1� '#(.�
��"$� -������(��!��G*��#�'#'�!�����"�'#(����(#!���"��.�
�!�$� ��'/�!"#$&����CD:)��)��)�...)�
E�
�0��"�!��	���!�'��$�6#��(�%*�� �$!�������	�CD:E�
���������'"&#�"���G*��#������1� '#(�*�,#���!�9:H���!�'#'�!�����"�'#(�����
�
�
�
�
+++
++
=
%*���� #����E)...)��I>�;)�I>�D;
���� #����E)...)��I)��ID






� �
�
<.B����(�!� %#�����!��4��� "�'�#��('"�%��'�(����"��� !�(�����0"/*% ��,�(�� !�(%1% ��� #*#�*�( "!%�#�#�
1�*��%�#.�
%('�� !#(� �!�*��'#(���!��(�� %#�*"�('��!� �(# %��#��� �('�� �5���%*��'#.���1%���"�� (�+"��#�
�(�� %#�*"�('��!��#����!#(��!�*��'#(������(��'����!��G*��#����*"6���(�(�!� %#����(.�
��"$� -���1����#'����"���*"6���,�*���"��A#*$��.�
�!�$� ��'/�!"#$&������CD1111)�111*)�11*1)�1*11)�*111)�11**)**11)�1**1)�*11*)�*1*1)�1*1*)�***1)�
**1*)�*1**)�1***)�****E�
�!�$� ��'/�!"!#$&�+����CD:)��)��)�8)�FE�
�
���#$� ���!���"#���0��"�!��
���#�0"�� !#(��&��'#(�(#��("$ #�6"�'#(�����!�*��'#()� '#��(� !�(�#���� %#��(�0"�� #�# �*#(������ !#(�
 #�6"�'#(���!% ������!#(��&��'#(.�
�
��, � � -���
%> �!���'�&�'��"�����/���0��"��	� #����(�� '#��!��(�� %#�*"�('��!����(��!� #�6"�'#����'#�#(�
!#(��!�*��'#(������0"���#��('-�����	.�������#'�� #*#� �	 )� 		 �#� .�� E,��JDK 	����	 ∉∈= �
�
�
�
�
�
�
�!� /� "!#������(��'���!��&��'#�	�,�!�����'��(#*$�������!� #*�!�*��'#����	)��!��� '-�+"!#��
�(��!��(�� %#�*"�('��!� � .�
�
%%> 
�� �"�#!��� -�� ��� ��!� �0��"�!� �(� �!� #�6"�'#� ��� �!�*��'#(� 0"�� ���'��� ��� �� !#(� �#(�
�&��'#(��!�*%(*#�'%�*�#�,�(���( �%$�� E,��JD ��	��	� ∈∈= �
�
�!� /� "!#����!��%40"%����������(��'���!��&��'#�	�,��!����!������ A���!��&��'#��)�!�����'���
(#*$�������(�!��%�'��(� %2������*$#(��&��'#(�,��!��� '-�+"!#��(��!��(�� %#�*"�('��!.�
	�� �
	�
	�
��
���
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
9
%%%> �#(��&��'#(�(#���.�&/2��"�!�#�� !1/�"�!�(%��#�(��%�'��(� '��)��(��� %�� ∅=	� �
�
�
�
�
�
�
%&> 
��/� -�������!��0��"�!� �(��!� #�6"�'#�����!�*��'#(�0"���('-����� "�!0"%������� !#(��#(�
�&��'#(�#�����*$#(�,�(�����#'�� E�#�JD ��	��	�� ∈∈= �
�
�
�
�
�
�
�#(�!�,�(�0"��(��-�����+�����,"�����!#�!��+#�����('�� "�(#�(#��!�(�!!�*���(�
�,�(�����L�#�+����
%>� KK>K; �		�� = ��!� #*�!�*��'#����!��"�%2���(�!��%�'��(� %2�����!#(� #*�!�*��'#(.�
%%>� KK>K; ��		� = ��!� #*�!�*��'#����!��%�'��(� %2���(�!��"�%2�����!#(� #*�!�*��'#(.�
�
�
�
�
����3�����
	
�����������
��	
�����
������
�
4#��/��" !"$.B�
����#$�$%!%�������"���&��'#��(�%�'�����'���� #*#�!��1�� "�� %����!�'%&�� #��!��0"��(��
#$'����/���(�� ��("!'��#�(%��!���# �(#�(�� ���%'%����"��+�����G*��#����&� �()���� #��% %#��(�(%*%!���(.�
	#���6�*�!#�(%�(�� !��4��"���*#�����
�&� �(�,�����5� '�*��'���� !��4�*%��'#(� !��*#����� ��� #��!��
 ����A� %�����%$��(��'����/��0"��!����#$�$%!%�������#$'����� �����('-�������#��
�
�.�
�
�&*! �$.B��('-�$�(��������!� #� ��'#������("!'��#(�%+"�!*��'��&��#(/*%!�()��(��� %��(���("*��0"�� ����
"�#����!#(���("!'��#(�'%����!��*%(*��#�#�'"�%�������# "��%�.�����!��6�*�!#����!��*#�����'���*#(��#(�
�#(%$!�(� ��("!'��#()� ���� #� �"4)� �#�� !#� '��'#� (%� !�� ��#$�$%!%���� ��� 0"�� # "���� "��� ���� �(� �� !��
��#$�$%!%�������0"��# "����"��� �"4� '�*$%3���(��)� "*�!%���#� %��'�(���#�%�����(�0"��&���*#(�*-(����!��'�.��
�
�/)1�" 0$.B�'%����0"��&��� #���!�+���#���� #�# %*%��'#����!�����(#���(#$����!��&��'#�,����$�(�����('��
�5���%�� %��!�����(#����(%+���"�����#$�$%!%���� #�&��%��'�.�
�
�
��+��
�%�����������5
�������%������
����
�
M�,�# �(%#��(����0"���#��� �(%'�*#(� #�# ��������'�!!��!#(��!�*��'#(���!��(�� %#�*"�('��!�*-(�$%���
�� �(%'�*#(�(�$��� "��'#(�(#�.�
(/�0"�����������*#(�"���# #�(#$���*3'#�#(���� #�'�#.��
�
�
	�
��
	� ��
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
<
��+���	�
%�����������
�
��, � � -���������#'/"$� -���(�"������+!#����#$6�'#(��%('%�'#(��#�����!�#������(�%*�#�'��'�.�
�
�������*"'� %2���%1%�������#'���(%��!�#�����#��!� #�'��%�#���!�����+!#��(��%1����'�.�
�
�1�'�&�.B��#�(%������#�!�(�!�'��(��)�$)� )����
%> M�,�F����*"'� %#��(��%('%�'�(�'#*���#�"���(#!��!�'�����!��&�4���)�$)� )��.�
%%> M�,�������*"'� %#��(��%('%�'�(�'#*���#���!�'��(���!��&�4���$)�$�)�� )� �)���)���)�$ )� $)�$�)�
�$)� �)�� .�
%%%> M�,��F����*"'� %#��(��%('%�'�(�'#*���#�8�!�'��(���!��&�4���$ )�� $)�$� )�$ �)� �$)� $�)��$�)�
��$)�$��)�$��)���$)��$�)�$ �)�$� )� $�)� �$)��$ )�� $)�� �)��� )� ��)� ��)��� )�� �.�
�
��*$%3�� (�� �"���� "'%!%4��� �!�*3'#�#���� N!�(� �(%'�(O� ����� #�'��)� (%� 0"%��#� &������ "-�'�(�*�����(�
�"��#� ���*"'��� 8� ��� F� !�'��(� �#(%$!�()� '����/�� 0"�� !�� ��%*��� !�'��� �"���� (��� "�!0"%���� ��� !�(� F�
#�%+%��!�()�!��(%+"%��'���"����(��� "�!0"%�������!�(�8�0"��0"�����,�!��G!'%*���"����(��� "�!0"%�������!�(�
��!�'��(���('��'�()��%$"6#�'��(� �(%'�(�0"�� #���(�#�������!�(�'��(�!�'��(�0"����(�#�'#*���,�!�(�!!��#����!��
*��������( �%'�)�0"�����#�
�
F� 8� �� F585��C��F����*"'� %#��(��%1����'�(.�
�
���+�����!�(%�0"%��#����*"'�����������!�*��'#(�'����/���
�
�� �=�� �=�� ...� �=;�=�>� C��;�=�>;�=�>...;�=�P�>�
�
�%�*"!'%�!% �*#(��#�����#���(������)��(/��!��G*��#�������*"'� %#��(��%1����'�(��('-����#��#���
�
>�>;�>...;�>;�>;;
>�>;�>...;�>;�>;;
>�>...;�>;�;
−−−−−
−−−−−+−−−=
������
������
������ �� �
�
>Q;
Q
��
�
� �� −
= �
�
��+�+���%������������
�
��, � � -���������') �$� -���(�"������+!#����#$6�'#(��%('%�'#(��#�����#�%*�#�'���!�#����.�
�
���� #*$%�� %2���%1%�������#'���(2!#�(%��!� #�'��%�#��(��%1����'�.�
�1�'�&�.B��#�(%������#��"�&�*��'��!�(� "�'�#�!�'��(��)�$)� )���(��'%����0"���
%> M�,�F� #*$%�� %#��(��%('%�'�(�'#*���#�"���(#!��!�'�����!��&�4���)�$)� )��.�
%%> M�,�<� #*$%�� %#��(��%('%�'�(�'#*���#���!�'��(���!��&�4���$�C�$�)�� �C� �)����C���)�$ �C� $)�
$��C��$)� ��C�� .�
%%%> M�,�F� #*$%�� %#��(��%('%�'�(�'#*���#�8�!�'��(���!��&�4���$ �C�� $�C�$� �C�$ ��C� �$�C� $�)�
�$��C���$�C�$���C�$���C���$�C��$�)��$ ��C�$� �C� $��C� �$�C��$ �C�� $)��� ��C��� �C� ���C�
 ���C��� �C�� �.�
%&> �2!#���*���������(� ���!�(�F�!�'��(���!��&�4���$ �.�
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
R
�$(��&��0"��'��/�*#(�������*"'� %#��(�'#*���#��#(�!�'��(���!��&�4)����#����#�0"���#(�!�'��(��"�����
 �*$%����!�#�������&� �()��!��#�%*�#�'����!�#�����������#(#'�#(��(�!#�*%(*#��!�����;�$>�0"���!�����;$�>)�
�#(�!�'��(��#(�#�����*%��'#()�0"%'���#�!�(�����'% %#��(��#(�0"���*#(� #��<� #*$%�� %#��(.�
���/�*#(��F����*"'� %#��(�'#*���#�8����F�!�'��()����#� #��!�(�*%(*�(�8�!�'��(��#��*#(�A� ���8;�>;�>�
�(�%+"�!���<�#�����*%��'#(��%1����'�()����#�0"���A#���,���#�%*�#�'���!�#������('#(�<�����+!#(�(#��"�#�
(#!#)��#��!#�'��'#�0"%'���#�!�(�����'% %#��(��#(�0"�����F� #*$%�� %#��(��%1����'�(.��%+"%���#� #���('��
��4#��*%��'#�!!�+�*#(���0"���!��G*��#���� #*$%�� %#��(��!�'#*�����������!�*��'#(��('�����#��#���
�
>Q;Q
Q
���
�
�
�
� �� −
=��
�
�
��
�
	
= �
�
�1�'�&�!��
�
�.B� S�"-�'#(� �0"%�#(� 0"�� %� !",��� �� %�+��%��#(� ��� �!� '�2�% �� ,� �� %�+��%��#� ��� (%('�*�(�
 #*�"'� %#��!�(� (�� �"����� 1#�*��� (%� (�� �%(�#��� ��� F� %�+��%��#(� ��� �!� '�2�% �� ,� 8� %�+��%��#(� ���
(%('�*�(� #*�"'� %#��!�(T�
�
��&/� -��
�
�!�#������#��(�%*�#�'��'���#��!#�'��'#��� �(%'�*#(� #*$%�� %#��(�
==
−−
=��
�
�
��
�
	
��
�
�
��
�
	
Q�
>8;Q�
>Q�;Q�
>F>;8;Q�
>Q�8;Q�
Q8
>Q�F;Q�
QF
�
8
�
F �U��0"%�#(.�
�
�
�.B�S�"-�'�(�1% A�(�'%����"���#*%�#�(%�(��"(������G*��#(�,� ����1% A���(����!��1#�*��;�)��>�(%���#���,���
�#��� �(��%�*��'���%1����'�(�,�;�)��>�C�;�)��>T�
�
��&/� -��
�
�!� #������#� %*�#�'�)� ��'#� �(���%*��#��� �(%'#� �� #�'���� �!� �G*��#���� #*$%�� %#��(�0"�� '��+#��!�
'#*��������!#(����G*��#(�,�!"�+#�("*#�������(� #���G*��#(�%+"�!�()��(��� %��!#(�����(�;�)�>)�;�)�>)�...�
);�)�>.�
�
�
>�;
>Q�;Q�
>Q�>;�;
>Q�;Q�
Q
��
−=
−
−−=
−
=��
�
�
��
�
	
= ��
�
���
�
��
� � ��
�
�!��G*��#�'#'�!����1% A�(��(���'#� �(�
�
�
>�;
�
>��;
�
�>�;
�
>�; +=+−=+−=+− ���������� �
�
8.B�S��� "-�'�(�*������(���"�����1#�*���<����(#��(������("$%�(����"���"'#$G(�(%�...�
�>��#�A�,���('�% %2���!+"��T�
$>��%�8����(#��(�%�(%('������(�+"%�� ����"�������!!�(���!�(�#'��(T�
 >��%����"����'��*%���#� #�6"�'#���������(#��()� ����"�������!!�(�(���%�+����(�+"%����!��#'��T�
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
U
��&/� -��
�
�>��%��#�A�,���('�% %2���!+"��)� "�!0"%�������!�(�<����(#��(��"����%�����!����%*�����#(% %2�����!��1%!�)�
 "�!0"%�������!�(�9�0"��0"��������!��(%+"%��'���#(% %2��,��(/�(" �(%&�*��'�)��#��!#�'��'#��!��G*��#����
*�����(��%1����'�(����1#�*�����!�(�<����(#��(��(�<Q�C�R�:.�
�
$>��#�(%����*#(���!�(�8����(#��(�0"��0"%������('���6"�'�(� #*#�(%�1"����"���(#!��,���'#� �(�'����/�*#(�
0"��� #*#�������!��1%!����F����(#��(�;!�(�'��(�0"���#�'%��������1���� %��,��!���0"�'�����'��(�0"����(����
�('���6"�'�(>)�(���"������ #*#�������FQ�C��F�*�����(��%1����'�()����#����'�#���� ����"�������('�(��F�
*�����(� !�(� 8� ���(#��(� 0"�� 0"%����� �('���6"�'�(� (�� �"����� � #*#������� 8Q� C� <�*�����(��%1����'�()�
��'#� �(����'#'�!�A�,�FQ;8Q>�C��FF�*�����(��%1����'�(����� #*#������!�(�<����(#��(� #��!����('�% %2��
���%��.�
�
 >������# ����(%*%!����!�%� %(#���'��%#�� #�(%������#�0"��!�(��#(����(#��(�0"%������('���(%�*����6"�'�()�
��'#� �(�'����/�*#(�F����(#��(�(%�����1���� %���!+"���,�"����0"�'�����!�(���0"��0"%������('���6"�'�()�
���#� �('�(� �#(� ���(#��(� (�� �"����� � #*#���� ��� �� *�����(� �%1����'�()� ��'#� �(� A�,� 9Q;�Q>� C� �F:�
*�����(����0"��(%�*�����('-��6"�'�()�(%�0"%'�*#(��('�(��!��G*��#�'#'�!����*�����(����0"��(���"�����
� #*#����!�(�<����(#��(����!��1%!�)�*��0"��#� #���!��G*��#����*�����(����0"���"� ���('-��6"�'�(��('�(�
�#(����(#��()��(��� %�)�!��(#!" %2���!���#$!�*���('��������#�)�R�:=�F:�C�FU:�*�����(.�
�
�
F.B��!��G*��#����1#�*�(����0"���"������ #*#���(����#$6�'#(��%('%�'#(����"�� /� "!#��(� >Q�; −� �
�>�	��(��'��"����+"*��'#�0"��6"('%1%0"���('��12�*"!�.�
$>�S��� "-�'�(�*�����(��"�����*#�'��(��9�'"�0"�(�(����"��$��4�!�'������!�'�T�
�
��&/� -��
�
�>����1%6��"��#$6�'#� "�!0"%�������"����#(% %2����!� %� "!#�,�����A/�(��� #*#���� !#(� >�; −� � #$6�'#(�
��('��'�(.�
$>�FQ�C�F;8>;�>;�>�C��F�*�����(����*#�'���!�(�9�'"�0"�(�(.�
�
�
9.B�S�"-�'#(��G*��#(��%1����'�(����8��/+%'#(��"�����1#�*��(�� #��!#(��G*��#(�8)�F)�R)�U�,�V�(%�(����(���
0"��(����*�,#��(�0"��9::�,�0"���#�(�����%'���!#(��/+%'#(T�
�
��&/� -��
�
	����0"���!��G*��#�(���*�,#��0"��9::���$�� #*��4��� #��R)�U�#�V�,� #*#��#�(���"���������'%�)��!�
(%+"%��'���/+%'#��"����(��� "�!0"%�������!#(�F��G*��#(�0"��0"�����,��!�'�� ����/+%'#� "�!0"%�������!#(�8�
�G*��#(���('��'�(.�
�
;8>;F>;8>�C�8<��G*��#(.�
�
�
<.B�S�"-�'#(��G*��#(�����(����'��(��/+%'#(�(���"�����1#�*��� #��!#(��G*��#(��)��)�9)�<)�V�(%�(2!#��(�
�#(%$!��"'%!%4��� ����"�#�����('#(�"���(#!��&�4T�
�
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
V
��&/� -��
�
	����0"���!��G*��#�(���������$��'��*%���� #��:�#� #�����)��(��� %��(2!#�A�,��#(�#� %#��(����#�<.�
#(�
�#(���%*��#(��G*��#(��"�����(�����'#� �(� "�!0"%�������!#(�F�,�!"�+#� "�!0"%�������!#(�8�0"��0"����.�
;F>;8>;�>�C��F��G*��#(�����(� #��'��(��/+%'#(��#�����'%�#(.�
�
R.B�S�"-�'#(��G*��#(� '�!�12�% #(��%1����'�(����(%�'���/+%'#(� (���"�����1#�*��� (%� �!���%*����/+%'#��#�
�"����(��� ��#T�
�
��&/� -��
�
�#�A�,���('�% %2��(#$���!�(�����'% %#��(��(/�0"���!��G*��#����%�#��(�V;�:><�
�
��3��6��%������	
�����
������
�
��, � � -����
������"���(�� %#�*"�('��!��(# %��#���"���5���%*��'#�,�	�"���&��'#� "�!0"%��������)�&$��#�)$)& �$��
��&��0��"��	��(�"���1"� %2��0"���(%+�����	�"���G*��#����!� >;	� � #��!�(�(%+"%��'�(���#�%�����(��
%>� �>;: ≤≤ 	� �
%%>� �>; =�� �
%%%>��%� �			 �...)�)�) �� �(#���&��'#(�*"'"�*��'���5 !",��'�(��������'#� �(��
==
=��
�
�
��
�
	 �
�
�
�
�
� 	�	�
��
>;� �
%&>��%� ...�)�) �� 		 ��(�"���(� "�� %���"*���$!������&��'#(�*"'"�*��'���5 !",��'�(�����)���'#� �(��
∞
=
∞
=
=��
�
�
��
�
	
��
>;
�
�
�
� 	�	� � �
�
�
���#�'$.B� ����� 	)� �� ,� �� '��(� �&��'#(� "�!�(0"%���� ��� "�� �(�� %#� *"�('��!� �� �(# %��#� �� "��
�5���%*��'#)���'#� �(��
�
%>� ( ) :=∅� �
%%>� >;�>K; 	�	� −= �
%%%>� >;>;>;>; 	����	��	� −+=∪ �
%&>� >;>;>;>;>;>;>;>; 	������	��	������	���	� +−−−++=∪∪ �
&>� ��
�
�
��
�
	
−+++−=��
�
�
��
�
	
=
−
=< =<<==
 
 �� �
�
�
�
�
�
��
�
���
�����
�
�
�
�
�
� 	�			�		�	�	�
�
�
� 8��
>�;>;>;>; �
&%>��%� �	 ⊂ ���'#� �(� >;>; ��	� ≤ �
�
��'�!"#$� -���
�
%>�� �� =∅∪ �
∅=∅=∅∪ ����� ����#�>;>; �
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
�:
>;>;�>;>; ������� =∅+=∅∪ �
:>;>;>; =−=∅∴ ����� �����♦�
�
%%>�� K		� ∪= � #�� ∅=K		 �
>K;>;>K;>; 	�	�		��� +=∪= �
>;>;>K; 	���	� −= �
>;�>K;�� 	�	� −=∴ �����♦�
�
%%%>��$(��&��0"��� 	�	�	 ∪= K �,�� ( )( ) ∅=	�	�K �
�		�� K∪= �,�� ( )( ) ∅=�		� K �
��'#� �(� � ( ) >;K>; 	��	��	� += ����������������;�>�
>K;>;>; �	�	���� += ���������������;�>�
��*$%3�� � �		�	��	 KK ∪∪=∪ �,�!#(�'��(��&��'#(�(#��*"'"�*��'���5 !",��'�(�
>K;>;>K;>; �	�	��	���	� ++=∪∴ �������;8>�
�
��(��6���#� >K;	�� ����;�>�,� >K; �	� ����;�>�,�("('%'",���#����;8>�
�
>;>;>;>;>;>; 	����	��	��	��	� −++−=∪ �
>;>;>;>; 	����	��	� −+=∪ �����♦�
�
%&>��#�(%����*#(�!��"�%2�����	�,��� #*#�"��(#!#��&��'#�,�"'%!%4�*#(�%%>�!�(�&� �(�0"��(����� �(��%#.�
W>X;>;>;W>X; ��	����	���	� ∪−+∪=∪∪ �
����� >W;>X;>;>;>;>; ��	����	����	� ∪−+−+= �
����� >W;>;>;X>;>;>;>; 	������	����	����	� −+−+−+= �
����� >;>;>;>;>;>;>; 	������	��	������	� +−−−++= �����♦�
�
&>�����%'�.��"+���� %����'%!%4����!�*3'#�#����%��" %2��*�'�*-'% �.�
�
&%>��$(��&��0"��(%� �	 ⊂ ���'#� �(� �		� K∪= ����#� ∅=∩ �		 K �
�
>K;>;>; �	�	��� += ��� #*#� :>K; ≥�	� �
�
���'%����0"��(%�� :>K; =�	� ��∴� >;>; ��	� = �����������
���������������������(%� :>K; >�	� �� >;>; ��	� <∴ ��������♦�
�
��/�#�$�� �%� �!� #�6"�'#�	� '%���� �� �!�*��'#(� (�� �% �� 0"�� !�� ���%��!%������� 	� �(� �� ,� (�� �( �%$��
�	 =>;Y .�
�
��, � � -���
����#$�$%!%������!��&��'#�	���1%�%�#�����!��(�� %#�*"�('��!����('-�������#��
�
���������������������
>;Y
>;Y
>;��
�
	
	� = �
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
��
�1�'�&�!��
�
�.B� 
�� ��#$�$%!%������� 0"�� Z"��� ���"�$�� �!� "�(#� ��� ��#$�$%!%���� �(�
8
�
� ,� !�� ��#$�$%!%���� ��� 0"��
���"�$���!� "�(#�����('��/('% ���(�
V
F
.��%� !����#$�$%!%����������#$����*$#(� "�(#(��(�
F
�
.�S�"-!� �(� !��
��#$�$%!%�������0"��Z"���...�
�>�
��"�$�� "���#�*��#(�"�#�����('#(� "�(#(T�
$>�����"�$����#$�$%!%���T�
 >�����"�$��!�(��#(�*�'��%�(T�
�
��&/� -��
�
�����!#(��&��'#(����Z"������"�$���!� "�(#������#$�$%!%���.�
������Z"������"�$���!� "�(#�����('��/('% �.�
��'#(�
8
�
>;� =�� �)�
V
F
>;� =�� ��,��
F
�
>;� =��� �
�>�
8<
8�
F
�
V
F
8
�
>;>;>;>; =−+=−+=∪ ���������� �
$>�
8
�
8
�
�>;�>K; =−=−= ���� �
 >�
8<
9
8<
8�
�>;�>K;>KK;� =−=∪−=∪= ��������� �
�
�
�.B� ��� #�('�",�� "�����#����*������ 0"�� �!� �� ,� �!� �� # "����� #�� �!��#$!����� !��1�� "�� %�� 0"�� (��
���(��'���!�9)��!� "�!�# "���� #��"���1�� "�� %��8�&� �(�("���%#���!�8)��!�F�#��!�<.��%�(��!��4��"���&�4)�
�� "��'���!����#$�$%!%�������0"���
�>��!��G*��#�(������.�
$>��!��G*��#�(���F.�
 >��!��G*��#�(���*�,#��0"��F.�
�
��&/� -��
�
�%����(��!��G*��#����&� �(�0"�� ����!��G*��#�9�'����/�*#(�0"��!��# "���� %����� ���� ������!����#��('-�
������#��
�
�� ��� �8� �F� �9� �<�
��� ���� ��I8� ��I8�� ��� �I8�
�

!�*"!'%�!% ����#��8�������&%'���!#(�0"�$���#()�'���*#(�0"���!��G*��#�'#'�!����!��4�*%��'#(��(��
� ������� �U8<< =+++++ .�
�>�
V
F
�U
U
�U
<
><;>F;>�;>;� ==++=++=
�
�
�
���
������� �
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
��
$>�
�U
�
�U
>F;� ==
�
�
� �
 >�
V
�
�U�U
8
><;>9;<>�#�9;� =+=+=
�
�
�
�
��� �
�
�$(��&��0"��'�*$%3���"�%*#(���4#�������!��*������(%+"%��'���
�
�"�#��*#(�0"�� !����#$�$%!%�������# "���� %����!�8)���!�F�,���!�<��(� � )���'#� �(� !����#$�$%!%�������
# "���� %����!�9��(� �8 �,��#��!#�'��'#��!���,��!���'%�������#$�$%!%�������# "���� %����� �< .�
�"*���#�!����#$�$%!%�������# "���� %����!�"�#��!�(�%(�(��#$'%����!��"�%���)��(��� %��
�
��������������������������� ><;>9;>F;>8;>�;>�;� ������ +++++= �
�������������������������� ������� �U8<< =+++++= �
��'#� �(�
�U
�=� .�
(/��#���6�*�!#��������(#!&����!�%� %(#��>�'���*#(�0"���
V
F
�U
�
UU<><;>F;>�;>;� =�
�
�
�
�
	==++=++= ����������� �
�
�
�
8.B�����('-����!%4���#�!��%�(�� %2��1%��!���������'#(����'�!�&%(%2����(�"3(���!���(�*$!�.����%���'%1% ���
'��(� '%�#(� ��� ��1� '#(� #*#� �/'% #()� *�,#��(� ,� *��#��(� ,� "��� �*���(�� ��� ��&/#(� �#�� #���#� !#(�
 !�(%1% ������)���#�*���(�� '%&�*��'�.�������!%4���!#(���'#(� #��!#(�(%+"%��'�(���("!'��#(��

����'#(�0"��(2!#�'%�������1� '#(� �/'% #(��H.�

����'#(�0"��(2!#�'%�������1� '#(�*�,#��(�9H.�

����'#(�0"��(2!#�'%�������1� '#(�*��#��(�RH.�

����'#(�0"��(2!#�'%�������1� '#(� �/'% #(�,�*�,#��(�8H.�

����'#(�0"��(2!#�'%�������1� '#(� �/'% #(�,�*��#��(�FH.�

����'#(�0"��(2!#�'%�������1� '#(�*�,#��(�,�*��#��(�8H.�

����'#(�0"��'%�����!#(�'��(�'%�#(������1� '#(��H.�
�
�>�S["3��#� ��'�6�����!#(������'#(��#�'%�������1� '#(T�
#(������'#(� #����1� '#(� �/'% #(�#�*�,#��(�;#��*$#(>���$���*��"1� '"���(���"�&�*��'�.��
$>�S["3��#� ��'�6�� #���(�#�������('�� �'�+#�/�T�
�
��&/� -��
�
M� ���"���%�+��*�����@����,��#����*" A#� "%���#� #��!����!�$���N(2!#O.�
�>�R9H��#�'%�������1� '#(.�
$>��UH����!#(������'#(���$���*��"1� '"���(���"�&�*��'�.�
�
�
�
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
�8
F.B��#�(%�����!#(��&��'#(�	�,���'�!�(�0"��
8
�
>;� =	� �,�
�
�
>;� =�� .���'��*%����!�&�!#����� >K;�	� ������
 ���� "��� ��� !�(� (%+"%��'�(� #��% %#��(�� �>� 	� ,� �� (#�� �%(6"�'#()� $>� 	� �('-� #�'��%�#� ��� �� ,� >�
U
�
>;� =	�� .�
��&/� -��
�
�>��%�!#(��&��'#(�(#���%(6"�'#(� ��	 =K� ���'#� �(�
�
�
>;>K; == ���	� ���
$>��%� �	⊂� ���'#� �(�
<
�
<
�8
8
�
�
�
>;>;>K; =−=−=−= 	����	� �
 >��%�!#(� #�6"�'#(�(��%�'��(� '��)���'#� �(�
U
8
U
�F
U
�
�
�
>;>;>K; =−=−=−= 	�����	� �
�
�
9.B��"�'�#���!#'�(� #��!#(��G*��#(��)��)�8�,�F�(�� #!# ������"���$#!(�)�(��*�4 !���,�(��(� ���"����#��
"���S�"-!��(�!����#$�$%!%�������0"��(�!+���6"('#�����(��#����T�
�
��&/� -��
�
	�%*��#��� �(%'#� #�'������ "��'�(�*�������"�����(�!%��!�(�F�$#!%'�()� #*#��('-���"*�����(��('#�# "����
��� �FQF = �*�����(����!�(� "�!�(�(2!#�"�������(�(�*�����(�(%+"���!�#�������(���#)��#��!#�'��'#�
=>F�)8�)��)�;��
�F
�
�
�
<.B����"���*#�'�7��A�,�9��"'�(������("$%��,�9��"'�(������$�6������!�� %*�.�S�"-!��(�!����#$�$%!%�������
0"���#(� #�# %�#(�(���� "��'����(%�"�#�("$��,��!�#'�#�$�6�T�
�
��&/� -��
�
�!�0"��("$���"����A� ��!#��#�� "�!0"%�������!�(�9��"'�(����#��#�� ����"�������('�()��!�0"��$�6��'%����9�
#� %#��(�'�*$%3�)��#��!#�'��'#��!��G*��#�'#'�!����*�����(����0"��"�#��"����("$%��,��!�#'�#�$�6����(��9)�
���!�(� "�!�(��"����0"���*$#(� #%� %�������!���"'���)����!���"'���)����!���"'��8)����!���"'��F�#�$%������!��
�"'��9)��#��!#�'��'#��
�
9
�
�9
9
>;� ==���������� �
�
R.B����%�+��%��#����"���1-$�% �����*% �# %� "%'#(�%�(�� %#���-�"��!#'�����#$!��(����(%!% %#������'��'���
����� #�'���!�(���1� '#(.��"�2��0"��A�,� "�'�#� %� "%'#(� %�'�+���#(���1� '"#(#(����"���� %�%��'��0"��
 #�'%�����:�#$!��(.�	�����(��%�(�� %2��(��(�!� %#������#$!��(��!��4��.���! "!��!����#$�$%!%�������0"���
�>��%�+"�������!!�(�'��+����1� '#(.�
$>�	#��!#�*��#(�"������!�(����#�'��+����1� '#(.�
�
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
�F
��&/� -��
�
�>�M�,�F���1� '"#(�(�,��<�$"���(����"��'#'�!�����:�#$!��(.�
�
�!��G*��#�'#'�!����0"��(���"�����(�!� %#���������!�(��:�#$!��(��('-����#��#��
�V:>�:;�V
Q�UQ�
>�:>;�V;Q�U
Q�UQ�
Q�:
�
�:
====��
�
�
��
�
	
�
�
["���*#(�0"�� �%�+"��� '��+�� ��1� '#)� �#�� !#� '��'#� 0"���*#(� #�'��� !�(� *�����(� ��� 0"�� �#��*#(�
(�!� %#���������!�(��<�#$!��(�$"���(�
�
��:>U;�9
Q�FQ�
>�<>;�9;Q�F
Q�FQ�
Q�<
�
�<
====��
�
�
��
�
	
)���'#� �(.�
�
===
�V
��
�V:
��:
>$"���(��;� <8�<:� �
�
�
$>�	#��!#�*��#(�"������!�(���(%����1� '#)�(%+�%1% ����$"����#���$"���()�,��'���*#(�!����#$�$%!%�������
'�������$"���()��A#����� �(%'�*#(�!����#$�$%!%���������$"����,�!"�+#�("*�*#(�,��0"���('#(��&��'#(�
(#���%(6"�'#(.�
�
S��� "-�'�(�*�����(��"��#�'�������$"����,���*�!�T�
�
<F>F;�<
�
F
�
�<
==��
�
�
��
�
	
��
�
�
��
�
	
�
�
V9
8�
�V:
<F
>$"�����; ==� �
��'#� �(��� ==+=+=+=
V9
V�
V9
<:8�
�V
��
V9
8�
>$"���(��;>$"�����;>$"���(����!*��#(; ��� V<UF:� �
�
��7�	
�����
���������������
��
�
����#$�$%!%�������0"��# "����"���&��'#��� "���#� (�� (�$��0"��,��# "��%2� �!� �&��'#�	� (�����#*%���
��#$�$%!%���� #��% %#��!�,�(�����#'���#�� >J; 	�� .�
�
��, � � -��� 
�� �#�)$) & �$�� ���� � ��$&� ��� � � �$��� 	 � �('-� ����� �#��
>;
>;
>J;
	�
�	�
	�� = � #��
.:>; >	� �
�
�
�
�
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
�9
�)!�#0$� -����
�
�>��%� :>; =	� ���'#� �(�!����#$�$%!%���� #��% %#��!��#��('-���1%�%��.�
�>� 
�� ��#$�$%!%���� #��% %#��!� "*�!�� !�(� ��#�%�����(� 0"��A�*#(� &%('#� ����� !�� ��#$�$%!%������� "��
�&��'#����#��A#����!��(�� %#�*"�('��!�0"����'�(�������(��A�����" %�#��!��&��'#�	.�
(/��#���6�*�!#�(��
'%����0"���
%>� �>JK;>J; =+ 	��	�� �
�
����������������%%> ( ) ( ) ( ) ( )�	������	���	� −+=∪ �
�
��'�!"#$� -���
�
%>���� �
>;
>;
>;
>K;
>;
>K;>;
>;
>K;
>;
>;
>K;>; ==∪=+=+=+
	�
	�
	�
	��	�
	�
	���	�
	�
	��
	�
�	�
	��	�� �����♦�
%%>����
>;
>;>;>;
>;
>;
>;
W>X;
>;
��
	������	��
��
��	��
��
��	�
��	�
−+=∪=∪=∪ �
���������������� >;>;>;
>;
>;
>;
>;
>;
>;
�	������	�
��
	���
��
���
��
	�� −+=−+= �
�1�'�&�!��
�
�.B� �� �(� !�� �#$!� %2����� �+��(��#(���� !�� ��%*����+����� %2����� !�� �����)� (�� !�(%1% ��� (�+G�� ("�
 #��% %2�����(�5#�,��('��#����# "�� %2�� #*#�(��*"�('������!��'�$!��(%+"%��'�.�
�
� �*�!���#� ��(�*�!���#� �#'�!�
��( "!%�#� F<:� F:� 9::�
��*��%�#� �F:� �<:� F::�
�#'�!� <::� 8::� V::�
�
�
��� &�� �� %�&%'��� �� "�#� ��� �('#(� �+��(��#(� �!��'#�%�*��'�� ����� 0"�� �3� "�� (�*%���%#� (#$��� !�(�
#�#�'"�%����(�0"��!#(�%�+��%��#(��+��(��#(����!��������'%���������!� �*�#�!�$#��!.��
�>�S�"-!��(�!����#$�$%!%�������0"���!�%�&%'��#�(���A#*$���(%�(��(�$��0"��'%�����*�!�#T�
$>����#�0"��!���!�+%����(�"���*"6���S�"-!��(�!����#$�$%!%�������0"���('3���(�*�!����T�
 >�S�"-!��(�!����#$�$%!%�������0"���!�%�&%'��#��#�'��+���*�!�#�(%�(��(�$��0"���(�"��A#*$��T�
�
��&/� -��
�
�����!#(��&��'#(�����!��!�+%�#��(�"��A#*$��)�����!��!�+%�#��(�"���*"6��)�����!��!�+%�#�'%�����*�!�#�,�
 ���!��!�+%�#��('-���(�*�!���#.�
�$(��&��0"��A�,��#(�*�����(������(#!&����!���#$!�*���
�
 8��# "�# ������!�$� ��#��/� ��.B��#�(%('������� #�'����!����#$�$%!%������!��&��'#����%�'��3(����$�(��
�!��(�� %#�*"�('��!����" %�#�#� #��% %2�.�
�
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
�<
�>��!��(�� %#�*"�('��!����" %�#�(�� #*�#���G�% �*��'�����!#(��+��(��#(��*�!���#(.����!#(� "�!�(�*��
%�'���(���!#(�A#*$��()�����('���(�� %#�*"�('��!����" %�#�A�,�F<:�A#*$��()��#��!#�'��'#)�
===
8:
�8
<::
F<:
>J; ��� R<<:� �
�
 8� ��, � � -������#�)$) & �$������ � ��$&�9� ��� $�(�� �!� �(�� %#� *"�('��!� #�%+%��!� #*�"�('#� �#��
'#�#(�!#(��+��(��#(����!����%*����+����� %2�����!�������.�
=====
8:
�8
<::
F<:
V::I<::
V::IF<:
>;
>;
>J;
��
���
��� R<<:� �
�
$>� =====
�:
�8
F::
�<:
V::IF::
V::I�<:
>;
>;
>J;
��
 ��
� � :.<9�
�
 >� =====
�9
�
9::
F:
V::I9::
V::IF:
>;
>;
>J;
��
 ��
� � :.:U�
�
�
�.B�
���#$!� %2�����!�� %"����?��(�F:H�*�( "!%���,�<:H�1�*��%��.��%��!�9:H����!#(�A#*$��(�1"*���,�
8:H����!�(�*"6���(�1"*��.�S�"-!��(�!����#$�$%!%�������0"��"��1"*��#��(���A#*$��T�
�
��&/� -��
�����!#(��&��'#(����*�( "!%�#)�!��1�*��%�#�,�"��1"*��#��
�
��'#(�� F.:>; =�� )�� <.:>; =!� �� 9.:>J; =�"� �� 8.:>J; =!"� ���
�$(��&��0"����
%>� >;>J;>;
>;
>;
>J; ���"�"��
��
"��
�"� =∴= �
%%>� >;>J;>;
>;
>;
>J; !�!"�"!�
!�
"!�
!"� =∴= �
%%%>� "!"�" ∪= ��#��(����%(6"�'#(�'���*#(�0"��
����� >;>J;>;>J;>;>;>; !�!"����"�"!�"��"� +=+= �
�
�
����#$�$%!%����0"��*���%�����(��
=
+
=
+
==
><.:;8.:>F.:;9.:
>F.:;9.:
>;>J;>;>J;
>;>J;
>;
>;
>J;
!�!"����"�
���"�
"�
�"�
"�� :.9�<�
�
�
8.B����'%�������"���(� ����"��� #���� �6#��(.�
��"������'%����"���*#��������#�#����"�� �62��,�"������
�!�'������!�#'�#)�*%��'��(�0"��!��"������'%����"���*#��������#�#���� ����"�#����!#(� �6#��(.�����( #+��
"���"�����!��4���,�����('��(���( #+��"�� �62���!��4��)�(��(� �� !��*#�����,�(��#$(��&��0"���(����#�#�
S�"-!��(�!����#$�$%!%�������0"��!��*#�������#&��+�����!��"�����T�
�
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
�R
��&/� -��
� �
� �
# $ # % �
�
�����!#(��&��'#(����!��*#������(����#�#)��#���"������,�#��"�����.�
�
��'#(���
�
�
�
>;>; �� == #�#� �
�
�
>J; � =#�� �,� �>J; � =#�� �
�
�$(��&��0"���!��&��'#�N!��*#������(����#�#O�(���"����&��� #*#�!��"�%2�����!#(��&��'#(�N�(����#�#����
!��"�����O�,�N�(����#�#����!��"�����O)�!#� "�!������(��'�*#(�*��%��'��!���5���(%2���
�
���� �� �#�#� ∪= ���(��� %��� >;>;>; �� �#��#��� += �
���� >;>J;>;>J; ���� #�#��#�#�� += �
�'%!%4�*#(��!�A� A#����0"�� ( ) ( )( )�
�
�J
#�
�#�
#�� = ����(��6���#� ( ) ( ) ( )��� J #�#���#� = �
��'#� �(��
>;>J;>;>J;
>;>J;
>;
>;
>J;
����
���
�
#�#��#�#��
#�#��
��
�#�
�#�
+
== �
�
��� =
�
�
�
�
�
	 +
�
�
�
�
�
	
=
�
�
�
�
�
�
�
�
8
�
�
�
�
F.B�
�"�� (#(�� A#(#� (�� !�� ��!% ��"�� ("��#���� !�� &������0"�� (�� (�$�� �(� #�1%�$!�� ���V:H� "���#� !��
���(#����(� "!��$!��,����VVH� "���#�!�����(#����(�%�# ��'�.����#'��(���!�$��()��!��:H����!#(� "!��$!�(�
(�� #�(%����� %�# ��'�� "���#� (�� "(�� �!� ("��#� ,� �!� �H� ��� !#(� %�# ��'�(� (�� 6"4+�� "!��$!�.� �%� �!�
(#(�� A#(#� (�� �( #+%2���� "��+�"�#���!� "�!� (2!#� 9H�A�� #*�'%�#� �!+"��� &�4� "�� �%*��� ,� �!� ("��#�
%��% ��0"��!�����(#����(� "!��$!�.�S�"-!��(�!����#$�$%!%�������0"��(���%�# ��'�T�
�
��&/� -��
�
�����!#(��&��'#(���� "!��$!�)� K� ��%�# ��'�)��
"��(���% ��%�# ��'��'#*���#��!�("��#� K" ��(���% �� "!��$!��'#*���#��!�("��#.�
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
�U
��'#(��� �.:>J; =�"� �� V.:>JK; =∴ �"� �
:�.:>KJK; =�"� �
:9.:>; =�� ��� V9.:>K; =∴ �� �
�
=
+
=
+
==
>:9.:;V.:>V9.:;:�.:
>V9.:;:�.:
>;>JK;>K;>KJK;
>K;>KJK;
>K;
>KK;
>KJK;
���"����"�
���"�
"�
"��
"�� :.�RF�
�
�
9.B���� #��" ��"���%�&�('%+� %2����'�!!�������� %���'�(��3��#(.�
����#$�$%!%�������0"��"��� %���'��
�#��1�!!���('�" '"��!�(��%���'%1%0"�� #��� '�*��'���(�:.V�,�!����#$�$%!%�������0"��"��� %���'��0"���#�(��
��$����"���1�!!���('�" '"��!�(��%���'%1%0"�����1#�*��%� #��� '�� #*#�"��� %���'���#��1�!!���('�" '"��!��(�
:.�.��%��!��9H����!#(�� %���'�(��3��#(�(����$����1�!!�(��('�" '"��!�()���'��*%���!����#$�$%!%�������0"��
"��� %���'���3��#�0"��(��A��%���'%1% ��#� #*#���$%�#���"���1�!!���('�" '"��!�������!%����A�,��# "��%�#�
�#��"���1�!!������('��'%�#.�
�
��&/� -��
�
�����!#(��&��'#(����� %���'���#��1�!!���('�" '"��!�,����(��%���'%1% �� #*#�1�!!���('�" '"��!.�
��'#(���
V.:>J; =��� �
�.:>KJ; =��� �
�9.:>; =�� ��� R9.:>K; =∴ �� �
�
�
��'#� �(�
=
+
=
+
==
>R9.:;�.:>�9.:;V.:
>�9.:;V.:
>K;>KJ;>;>J;
>;>J;
>;
>;
>J;
����������
�����
��
���
��� :.<�
�
�
<.B��#(�$#!�(�(���5'��������"���"����0"�� #�'%����&�$#!�(��"*�����(��������&.��%�!����%*����$#!��'%����
�!��G*��#���(�� #�(��&��,�(����+��(����� �(#� #�'���%#.�S�"-!��(�!����#$�$%!%�������0"��!��(�+"����$#!��
�5'��/���'��+���!��G*��#��T�
�
��&/� -��
�
�$(��&��0"��!��(�+"����$#!���"����'������!��G*��#�������#(�*�����(��%1����'�(�,��5 !",��'�()��"����
0"��!����%*����'��+���!��G*��#���,�!��(�+"�����!��G*��#���#�$%����"����(���0"��!����%*����'��+��"��
�G*��#��%1����'�������,�!��(�+"����$#!��'��+���!��G*��#��.�
�
�����!#(��&��'#(���
�
�� ��!����%*����$#!��'%�����!��G*��#��.�
K�� ��!����%*����$#!��'%����"���G*��#��%1����'������.�
�� ���!��(�+"����$#!��'%�����!��G*��#��.�
�Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
�V
�!��&��'#����%�'��3(��"����&��(�� #*#�!��"�%2������#(��&��'#(��%(6"�'#(\�
�
������������������ ����� K����� ∪= �
������������������ ( ) ( )����� K������� ∪= �
���������������������������� ( ) ( )���� K������ += �
���������������������������� ( ) ( ) ( ) ( )KK ������ ���������� += �
����������������������������
&&
&
&&
��
�
�� −+
−
= �
����������������������������
�
�
>�;
�
&
&
&&
−+
−
= �
����������������������������
>�;
>�;
�
�
−
−+=
&&
&&
�
�����������������������������
>�;
��
�
�
−
+−+=
&&
&&&
���∴� ( )
>�;
�
�
�
� −
+−=
&&
&&
�� �
�
�
R.B��"�('���0"��(%�	)���,���(#��'��(��&��'#(�'�!�(�0"�� :>; ≠	��� �,� >J;>J; ���	��� = ���'#� �(�
>J;>J; �	���	� = .�
�
��&/� -��
�
���'%�����0"�� >J;>J; ���	��� = ��"(���#�!����1%�% %2�������#$�$%!%���� #��% %#��!�
>J;
>;
>;
>;
>;
>J; ���
��
���
	��
	���
	��� === �
�
>;
>;
>;
>;
��
	��
���
	��� = �
�
>J;>J; �	���	� = �
�
�
��:�������������	������������
��
�����
��%�
��	
���������
�
�1�'�&�!���
�
�.B��#�(%�����"��� �6�� #��F�$#!%'�(��'%0"�'���(���!����!�F.����(� ��"�������!!�(��!��4���,�(��#$(��&���!�
�G*��#����!���'%0"�'�.��#��!#(��&��'#(�	�,�����1%�%�#(��� #�'%�"� %2�.�
=� D�)��)�8)�FE�
=	 D�)��E��
�
�
>;��� =	� �
=� D�)�8E��
�
�
>;��� =�� �
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
�:
=	� D�E��
F
�
>;��� =	�� �
��'#� �(� ===
�
�
F
�
>;
>;
>J;���
	�
�	�
	��
�
�
���
�$(��&��0"�� >J;>;��� 	���� = �
�
�
�.B����!#(�&%�6��#(�0"��!!�+�����"�����#�"��'#���0"�7#)�<:H�"'%!%4������#!/���(�%*�#�'��'�()�8:H�&%�6��
*��%��'�� �&%#��(� ��%&��#()� ,� �!� ��('#� "(�� �&%#��(� #*�� %�!�(� 0"�� �#� ���'��� ��� �� !�(� ���#!/���(�
%*�#�'��'�(.���� !�(� ���(#��(�0"��"(��� ���#!/���(� %*�#�'��'�(� 9:H�&%�6���#�� ��+# %#()�*%��'��(� 0"��
<:H���� !#(� ��(�6��#(���� !#(� �&%#��(� ��%&��#(� ,� V:H���� !#(� 0"�� "(��� #'��(� ���#��&�(� #*�� %�!�(�
'�*$%3��&%�6���#����+# %#(.��"�2��0"��(��(�!� %#����!��4���"������(#���0"��!!�+�����('�����#�"��'#.�
S�"-!��(�!����#$�$%!%�������0"��!�����(#���
�>�&%�6���#����+# %#(T�
$>�@%�6���#����+# %#(�����&%2����%&��#T�
 >�M�,��&%�6��#�����&%2����%&��#����#�0"��!#�A� ���#����+# %#(T�
�
��&/� -��
�
�����!#(��&��'#(��
'��&%�6��������#!/����%*�#�'��'�.�
���&%�6������&%2����%&��#.�
���&%�6��������#!/���� #*�� %�!.�
���&%�6���#����+# %#(.�
��'#(���
<.:>; ='� � � 9.:>J; ='�� �
8.:>; =�� � � <.:>J; =��� �
�.:>; =�� � � V.:>J; =��� �
�
�>�
�����(#����"����&%�6����#����+# %#(���� "�!0"%�������!�(�'��(����#!/���()�,��#��"���&%�6�������#(�#�
*-(����#!/���(���!��&�4��#��!#�'��'#�(#���&��'#(��%(6"�'#(�,�(��'%����0"���
�
>;>;>;>; �������'��� ++= �
��������� >;>J;>;>J;>;>J; ����������'�'�� ++= �
��������� :.9R:.V;:.�>:.<;:.8>:.9;:.<> =++= �
�$(��&��0"�� >J;>; '���� ≠ )� >J;>; ����� ≠ �,� >J;>; ����� ≠ �
�
$>� === >8.:;<.:>;>J;>; �������� :.�U�
�
 >� ====
�V
<
9R.:
�U.:
>;
>;
>J;
��
���
��� :.8�9U�
�
�$(��&��'�*$%3��0"�� >;>J; ����� ≠ .�
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
��
�#��!#(��#(��6�*�!#(����&%#(�A�*#(�&%('#�0"��A�,� �(#(�����#����!��# "���� %�����"���&��'#��#��!'����
!��# "���� %����!�#'�#)� #*#�����!��6�*�!#��)�!����#$�$%!%����%� #��% %#��!�;���$�(���!��(�� %#�*"�('��!�
#�%+%��!� �>� ,� !�� ��#$�$%!%���� #��% %#��!� ;��� $�(�� �!� �(�� %#� *"�('��!� ���" %�#>� (#�� %+"�!�(�
X >J;>J;>; 	������� == W)�(%�# "����#��#�# "����	)�!����#$�$%!%����������#�(���!'���)��(��� %�����#�
�����������	(� "���#��('#�# "����(���% ��0"�� 	 ,�� (#��%�������%��'�(.�
�%� ��� �*$%#� !�� # "���� %�� ��� "�#� �!'���� !�� # "���� %�� ��!� #'�#)� �#��*#(� ���(��� 0"�� A�,� "���
�������� %����'����!!#(� #*#�# "��������!��6�*�!#��)�,�����('�� �(#�!����#$�$%!%����%� #��% %#��!�,�!��
��#$�$%!%���� #��% %#��!�(#���%1����'�(.�
�
�
��, � � -���
#(��&��'#(�	�,���(#�� ������� ��"�!�(%� >J;>; 	���� = �,�(���( �%$�� �	 ⊥ .�
�
�(��� %�)�!��# "���� %�����	��#�%�1!",�����!��# "���� %������)���(��#��#���(��	�!����#$�$%!%����������#�
 �*$%�.�
�)!�#0$� -����% ∴==⊥
>;
>;
>J;>;��0"��(�$�*#(�����
	�
�	�
	�����	 � >;>;>; 	����	� = ��(��� %�)�(%�	�
,���(#���&��'#(�%�������%��'�(���'#� �(�!����#$�$%!%�������!��%�'��(� %2������!!#(��(��!���#�" '#����
!�(���#$�$%!%����(�%��%&%�"�!�(.�
]�����!*��'�����(�*#(�0"��(%��#(��&��'#(�(#���%(6"�'#(�#��5 !",��'�(���'#� �(�(#��%�������%��'�()�
���#��('#��#��(�&�����)� #�(%������!�(%+"%��'���
�
�
�1�'�&���
�
8�)���CD�)��)�8)�FE�
�����	�CD�)��E���
�
�
>;�� =∴ 	� �
�������CD8)FE���
�
�
>;�� =∴ �� �
���� ∅=	� � :>;�� =∴ 	�� >;>;
F
�
��	�=≠ �
#(��&��'#(�	�,���(#���%(6"�'#()����#��#�%�������%��'�(.�
�
��"$�9� ��� �% �� 0"�� !#(� �&��'#(�	)��� ,��� (#�� *"'"�*��'�� %�������%��'�(� (%� (�� "*�!��� '#��(� !�(�
 #��% %#��(�(%+"%��'�(��
%>� >;>;>; ��	�	�� = �
%%>� >;>;>; ��	�	�� = �
%%%>� >;>;>; ������� = �
%&>� >;>;>;>; ����	�	��� = �
�
�
F.B��������!� "�����#� (� �: ≤≤ � (� �: ≤≤ �����!��!��#.��#�(%������!��(�� %#������#$�$%!%����"�%1#�*��
(#$����!� "�����#�,�(����	�,���!#(��&��'#(��
)9.::J>)D; ≤≤= ���	 � E�: ≤≤ � �
)�:J>)D; ≤≤= ���� � E�9.:: ≤≤ � �S�#��%�������%��'�(�	�,��T�
�
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
��
��&/� -��
�����������������
�
�IF
� ���
�I� �
	
�
)9.::J>)D; ≤≤= ���	� � E�9.:: ≤≤ � �
>;>;
F
�
�
�
U
�
>; ��	�	�� =�
�
�
�
�
	
�
�
�
�
�
	== �∴� �	 ⊥ ��
�
�
9.B��%� �	 ⊥ ���'#� �(�S KK �	 ⊥ T�
�
��&/� -��
�
�	 ⊥ ���'#� �(� >;>;>; ��	�	�� = �
	#��!�(�
�,�(�����L�#�+���(��'%����0"���
���������� >K;>KK; �	��	� ∪= �
>;>;>;�>W;>;>;X�>;� 	����	�	����	��	� +−−=−+−=∪−= �
>W;�>X;>K;>;>;>;>W;�X 	���	���	���	� −−=+−−= �
>K;>K;>W;�>XK;>K;>;>K; ��	���	�	���	� =−=−= �∴� KK �	 ⊥ �
�
�
<.B�
����#$�$%!%�������0"���#*-(��('3�&%&#����'�#�����:��7#(��(����:.R�,�!����#$�$%!%�������0"����� ,�
�('3� &%&�� ���'�#� ��� �:� �7#(� �(� :.V.� �%� (�� �("*�� %��������� %�� ��'��� �*$#(� �&��'#(� S�"-!� �(� !��
��#$�$%!%�������0"���%�+"�#����!#(��#(��('3�&%&#����'�#�����:��7#(T�
�
��&/� -��
�
�����!#(��&��'#(�*���#*-(�&%&�����'�#�����:��7#(�,�
����� ,�&%&�����'�#�����:��7#(.�
R.:>; =*� ���� 8.:>;�>K; =−= *�*� ���� V.:>; =
� ���� �.:>;�>K; =−= 
�
� �
���(�$��0"�� 
* ⊥ )��#��!#�'��'#�!#(� #*�!�*��'#(�'�*$%3��(#��%�������%��'�()�,���'#� �(�
=== >�.:>;8.:;>K;>K;>KK; 
�*�
*� :.:8�
�
�
R.B��%� �	 ⊥ �,� !����#$�$%!%�������0"��	�#���# "������(�:.<)�*%��'��(�0"�� !����#$�$%!%�������0"��	�
# "�����(�:.F.�S�"-!��(�!����#$�$%!%�������0"��# "�����T�
�
��&/� -��
�
��'#(�� �	 ⊥ )� <.:>; =∪ �	� )� F.:>; =	� � <.:>K; =	� �
�
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
�8
��$�*#(�0"�� >;>;>;>; 	����	��	� −+=∪ �
��� >K;>;>;>W;�>X;>; 	���	�	���	� +=−+= �
�
��'#� �(� ==−=−∪=
<.:
�.:
<.:
F.:<.:
>K;
>;>;
>;
	�
	��	�
�� :.88�
�
�
U.B� �"�2�� 0"�� 	)� �� ,��� (#�� �&��'#(� *"'"�*��'�� %�������%��'�(� ,� 0"�� :>; ≠	�� .� �"�('��� 0"��
>;>J; ��	��� = �
�
��&/� -��
>;
>;
>;>;
>;
>;
>J; ��
	��
��	��
	��
	���
	��� === �
�
V.B��"�2�� 0"�� (�� !��4��� 8�*#����(� %�3�'% �(� ,� ���1� '�*��'�� $�!�� ����(� "��� (#!�� &�4.� ���� �	 � �!�
�&��'#����0"�� !�� �=3(%*��*#����� ������ ���.��"�('���0"�� !#(��&��'#(� �	 )� �	 )� 8	 � (#��*"'"�*��'��
%�������%��'�(.�
�
��&/� -��
�
�!��(�� %#�*"�('��!���!��5���%*��'#��(��
�����CD555)�5 )� 5 )� 5)�55 )�5 5)� 55)� E��
� �	 �CD 5 )� 5)� 55)� E���� �
�
>; � =	� �
� �	 �CD5 )� 5)�5 5)� E���� �
�
>; � =	� �
8	 �CD5 )� 5 )�55 )� E���� �
�
>; 8 =	� �
�	 �	 �CD 5)� E��� F
�
>; �� =		� �
�	 8	 �CD 5 )� E���� F
�
>; 8� =		� �
�	 8	 �CD5 )� E���� F
�
>; 8� =		� �
�	 �	 8	 �CD E����� U
�
>; 8�� =			� �
�
���'%����0"�� >;>;>; ���� 	�	�		� = ���∀ �� =≠ �� �)��)�8.�
,� ∏
=
=
8
�
8�� >;>;
�
�	�			� �����'#� �(�!#(�'��(��&��'#(�(#��*"'"�*��'��%�������%��'�(.�
�
�
�
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
�F
�(���#�!����1%�% %2�������#$�$%!%���� #��% %#��!�(��'%����0"��
>;
>;
>J;
��
	��
�	� = �� >;>J;>;�� ���	�	�� =∴ ��,�'�*$%3��
>;
>;
>J;
	�
	��
	�� = �� >;>J;>;�� 	�	��	�� =∴ �
�
�('#�(�� #�# �� #*#���#��*��#�
�,����!��*"!'%�!% � %2�������#$�$%!%����(�,�(���"����!���� #*#)�+��
�������+��������+�������"����,�������"��-����"��"� �.#�+���+���������+���������������+����#������+�"�
�-����"��������+����������+���������+��������+���������,���/�����0�+���������+��������+�������"����,�����
��"��-����"��"��.#�+���+���������+��������#������+�"��-����"�����+���������+���������������+���+������
�-�����������+�1#�������&�&�"��
�
���#�'$����&$�'/&" �& �$� -���� >;>J;>;>J;>; 	�	�����	�	�� == ��
�
�('��'�#��*��(���"����+�����!%4������!��*������(%+"%��'��
�
>J;>J;>J;>;>; �����8����� −∩∩=∩∩ ��� 				�			�		�	�			� ��� �
�
��'�!"#$� -���
�
>;
>;
>;
>;
>;
>;
>;
>;
>;>;
���
��
���
���
��
8��
�
��
���
−−
−
∩∩
∩∩
∩
∩
=∩∩
�
�
�
�
�
			�
			�
			�
			�
		�
			�
	�
		�
	�			�
�
�
�
�
�� ����♦�
�1�'�&���
�
�:.B�
����#$�$%!%�������0"�� !�� ��!%0"��� ��,#(�?���"������(#���0"�� !!�+���� ("����'%('�� �(����:.<)� !��
��#$�$%!%�������0"��"������(#�����!��0"��(��!��A�����!% ��#���,#(�?�'��+��'�*$%3�� ��%�(��(����:.8)�,�!��
��#$�$%!%�������0"�����!+"������(#�����!��0"��(��!��A�����!% ��#���,#(�?�,���!��0"��(��!��A�� "���#�"���
 ��%�()�(��!���5'��%+��'�*$%3��"���%��'���(����:.�.�S�"-!��(� !����#$�$%!%�������0"����"������(#���0"��
&%(%'����("����'%('��(��!����!%0"�����,#(�?)�(��!�� "���"��� ��%�(�,�(��!���5'��%+��"���%��'�T�
�
��&/� -��
�
�����!#(��&��'#(�2��(��!����!% �����,#(�?)�����'%���� ��%�(�,����(��!���5'����"���%��'�.�
��'#(�� <.:>; =2� �
8.:>J; =2�� �
�.:>J; =2��� �
�
��'#� �(�� === >�.:>;8.:;<.:>J;>J;>;>; 2���2��2�2��� :.:�U�
�
�
�
�
�
�
�
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
�9
��;����
�%������������
�
��, � � -��� �%� �	((	(	 ��� � (#�� �&��'#(�*"'"�*��'�� �5 !",��'�()� �(��� %�� ∅=��		 � ∀ �� ≠ )� '�!�(�
0"�� �
�
�
�	�
�=
= �(���% ��0"��D �	((	(	 ��� E��(�"������'% %2������.�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�"�2�� 0"�� '���*#(� "��� ���'% %2�� D �	((	(	 ��� E� ��� �)� "�� �&��'#� �#(%$!���� � ; :>; >�� >� ,� 0"�� (��
 #�# ���!�(���#$�$%!%����(� >J; �	�� �,� >; �	� ��������C��)��)�...�)��.�S�2*#��� #�'��*#(� >;�� T�
�
�$(��&��0"�� ��
�
�
�
�
�
� �		����
�� ==
=�
�
�
�
�== �
	��#� ∅=∩ �� �	�	 ��∀ �� =≠ �� �)��)�...)��)��#��'��'��(�����"������'% %2������.���'#� �(��
==
=�
�
�
�
�=
�
�
�
�
�
� �	��	���
��
>;>; � �
�
>;>J;>;
�
�
�
�
� 	�	���� 
=
= �
�
�('����("!'��#�(�� #�# �� #*#��#�)$) & �$��"�"$&�����.�
�
�%��A#���'���*#(�%�'��3(���� >J; �	� � ���# ���*#(�"(���#�!����1%�% %2�������#$�$%!%���� #��% %#��!)�!��
�,����!��*"!'%�!% � %2��,�!����#$�$%!%����'#'�!.�
(/\�
�
>;
>;
>J;
��
�	�
�	� �� = �
�
=
=
�
�
��
��
�
	�	��
	�	��
�	�
�
>;>J;
>;>J;
>J; �
�
�('����("!'��#�(�� #�# �� #*#����#�'$�����$2�!.�
�
�
�
	��
	��
	��
��
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
�<
�1�'�&�!��
�
�.B��"���#�!#(���'/ "!#(�!!�+����!�1%��!����"���!/���������#�" %2�)�"��("���&%(#���( #+��!#(�0"����$���
��(��� �#�� "��� %�(�� %2�� #*�!�'�)� �:H���� '#�#(� !#(� ��'/ "!#(� (#�� ��1� '"#(#()� <:H���� '#�#(� !#(�
��'/ "!#(���1� '"#(#(�,��:H����'#�#(�!#(���'/ "!#(�$"��#(���(����#��"���%�(�� %2�� #*�!�'�.�S�"-!��(�
!����#$�$%!%�������0"��"����'/ "!#�
�>�A�,����(��#��#��!��%�(�� %2�� #*�!�'�T��
$>�(�����1� '"#(#����#�0"����(2��#��"���%�(�� %2�� #*�!�'�T�
�
��&/� -��
�
�����!#(��&��'#(� � ���'/ "!#���1� '"#(#.�
���� �' �%�(�� %2�� #*�!�'�.�
��'#(�� �.:>; = � �������� V.:>K; = � �
<.:>J; = '� �
�.:>KJ; = '� �
�
�>�
����#$�$%!%����'#'�!�����&��'#�'��('-�������#���
�
>;>J;>;
�
�
�
�
� 	�	���� 
=
= �
�
�$(��&��0"��!�����'% %2������('����#$!�*��(�� #*�#�������#(��&��'#()�0"��(#���!���'/ "!#��(���1� '"#(#�
#��#���1� '"#(#)���'#� �(���C���,� 	 =� )�� K� 	 = �,��!��&��'#����%�'��3(��(�0"��A�,����(��#��#��"���
%�(�� %2�� #*�!�'�)��(��� %�� '� = .��"('%'",���#����!��� "� %2�������!����#$�$%!%����'#'�!���!��&��'#�
���%�'��3(�'���*#(�0"���
=+=+==
=
>V.:;�.:>�.:;<.:>K;>KJ;>;>J;>;>J;>;
�
�
 � '� � '�	�	'�'� �
�
� :.�F�
�
�
$>��(���#��!���#��*�������,�(�
�
==
+
=
�F.:
>�.:;<.:
>K;>KJ;>;>J;
>;>J;
>J;
 � '� � '�
 � '�
' � :.�9�
�
�
�.B���� %��'����+%2����!���/(�(��(�$���#���5���%�� %�(���(���(�0"��!����#$�$%!%��������!�+%����"����"!'#�
���*-(����F:��7#(� #�� -� ����(����:.:�.��%�!����#$�$%!%�������0"��"���# '#���%�+�#('%0"�����1#�*��
 #��� '�� 0"�� "��� ���(#��� '%���� -� ��� �(� ��� :.RU� ,� !�� ��#$�$%!%���� ��� 0"�� �%�+�#('%0"�� ��� 1#�*��
%� #��� '��0"��"������(#���'%���� -� ���(%��#�!#�'%�����(����:.:<.�
�>�S�"-!��(�!����#$�$%!%�������0"���%�+�#('%0"��0"��"������(#���'%���� -� ��T�
$>��%��!��%�+�2('% #���!��# '#���(�0"���!��� %��'��'%���� -� ��.�S�"-!��(�!����#$�$%!%�������0"������1� '#�
'��+��!����1��*����T�
 >� �̂S�"-!�!����#$�$%!%�������0"���#�!��'��+�T�
�
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
�R
��&/� -��
�
�����!#(��&��'#(����'%���� -� ���,� ���%�+�#('% #���� -� ��.�
�
��'#(�� :�.:>; =�� ��� VU.:>K; =�� �
RU.:>J; =� � �
:<.:>KJ; =� � �
�
�>�	�#$�$%!%����'#'�!���!��&��'#� .�
�
=+=+= >VU.:;:<.:>:�.:;RU.:>K;>KJ;>;>J;>; ��� ���� � � :.:RFF�
�
$>� ===
:RFF.:
>:�.:;RU.:
>;
>;>J;
>J;
 �
��� �
 �� :.�:V<�
�
 >� ===
:RFF.:
>VU.:;:<.:
>;
>K;>KJ;
>JK;
 �
��� �
 �� :.RV�
�
��*$%3�� =−= >J;�>JK; �� �� �=:.�:V<�C�:.RV�
�
�
8.B��%� #�"���(�!!�&���!#(��G*��#(��)��)�8)�F�,�9���(�� '%&�*��'�.�
��"������ #�'%������$#!�(�$!�� �(�,�
>9; �− �$#!�(���+��()� #����C��)...)9.����(�!� %#����!��4���"���"����,���(�"3(�(��(� ���(%�����#(% %2���#(�
$#!�(�����% A��"���.�
�>�S�"-!��(�!����#$�$%!%�������0"���*$�(�$#!�(�(�!� %#����(�(����$!�� �(T�
$>� ���#� 0"�� �*$�(� $#!�(� (�!� %#����(� (#�� $!�� �(� S�"-!� �(� !�� ��#$�$%!%���� ��� 0"�� (�� A�,��
(�!� %#���#�!��"����8T�
�
��&/� -��
�
�����!#(��&��'#(���
�# ��"�����)� #�� =� �)��)_ )9.���
� � �� ��!����%*����$#!���(�$!�� ����
� � �� ��!��(�+"����$#!���(�$!�� �.�
�
��$!�� � ��$!�� �( 8�$!�� �( F�$!�� �( 9�$!�� �(
F���+��( 8���+��( ����+��( ����+�� :���+��(
"����� "����� "����8 "����F "����9
�
�
�>����#�0"��!��"������(2!#�'%����"���$#!��$!�� ��!�(��#(�$#!�(��"�����(���$!�� �(�(2!#�(%���#&%��������
 "�!0"%������� !�(�#'��(� "�'�#�"���()��(��� %�)� !����#$�$%!%����'#'�!���!��&��'#���"���+�"��+����"� �('-�
������#��
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
�U
9��F��8������� #��#��#��#���� +++= �
( ) ( ) ( ) ( ) ( )���
9
�
��
9
�
����� �#��#��#�#������ ��
�
��
�
==
==∴ �
( )
9
�=�#� �
( )
9
�
�� =#�� � � ( ) F
�
��� =�#�� �
( )
9
8
8� =#�� � � ( ) F
�
�8� =�#�� �
( )
9
F
F� =#�� � � ( ) F
8
�F� =�#�� �
( ) �9� =#�� � � ( ) ��8� =�#�� �
�
9
�
>�:;9
F:
>�:��<�;
�:
�
�
F
8
9
F
F
�
9
8
F
�
9
�
9
�
>; �� ==+++=�
�
�
�
�
	 +++=��� �
�
�
$>� ( ) ( ) ( )( ) �:
8
��
88��
��8 ==
���
#�#���
��#� �
�
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
��
���������	
���	������
�
�
��	��
��
���	������������	�
���� ��
� �

��
���
��	
� �	� ������
�
���� �	� ��
� ���
���	
� ��	����
�
� �

��	��
� ��
�
�����	
��
�
�
�����������	
���	������
�
�
��	��
��
�
���
�	��� 	�� 	��	�
�	���� �	� ������� ���� ���	��� �� �	�	
�� ��� ������
�
���� �	� ��	� ��
��� ����� 	�� ���
������
	���� 	
���� ��������	����� ����� ����� ����
� �� �	
�������� ����� ������
	��	
� �� �	
��� 
��� 	
� ���
����
���� ������ ������� ��� ����� �	� ��
� ��	
� ������
	���
�� ���� ����� 	�	���� 
���	� !��"� �	�� 	
���
��
��	
�����
	��
	�	�����������	�������������������
��������
�
���������
	�
��
����	��	��
��
	��	�������#�
�
��
�� � �� "! ��� �
�� ���� �� �� �
$� ���� �� "�!$ �� − �
�� ���� �� "�!$ �� − �
%� ���� �� "�!$ �� − �
&� ���� '�� $"�! �� − �
(� ���� '�� $"�! �� − �
)� ���� '�� $"�! �� − �
*� ���� '�� �"�! �− �
�����������
	����	
�
��	�	��
	��	��	���
��	��
����������	� �
�
�
"!"! �������
�
== ∏
=
��
+�	��
� ( ) [ ] �"�!"�!"�!�"�!� ��$$�*
�
=−+=−+−+−+=�
=
����������
�
� ��
�
�
�	�	
�	��	�	�����	���	����������
��	
����	
���
	��
	�	���	� { } ,��-�"!. ������������	 �� === �
/�����	
� "�!�"! $ ��	� −= ��
�
+��	�����
	�0��	� �	1	�	��
����	
�	�0	�0���
�
	������	� �=� � �
	�	�������
�
���� "�!� $ �� − ����
	��
��	� "�!�"�! $ ���� −== ���	�
��������	���
	��
�	���	#�
$"�!�"�! ���� −=−= �� �"�! ��� == ���"�!"�! ��� −=−= ��� �"$! ==�� ��
�

������������	��
�	��	
���
����	
������
��
���������	��	�
�	�����2���1���
�������	��
���������������
�	���
�	�	�	���
� 
�� ∈ �����3�	����	��� ( )��� �
	�������������������������� ���!���
	��	�������������
�	�������3
�����������
��	����������	
�����4�	
��
��
��5�����	6	���������	�	�
	��	���3�	����	����7����
�
�	1	����
�
�	��������	
������	����
��������������
�����������	��6�	����	
��
������	�
���	��	��	����
�
�
8�� ���� ����� �����	
� ���9�
��
�� ���� 	6	����� 
� ��� ���
���	� ��	����
�� �� 	
� 	�� �3�	��� �	� ���	�
�
�
��������
������������������������	����
�	��
	�	
��	�	�����/��:;���
������	
���
��	
��	�	
��������
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
��
��6��	��
���	
����	���	�
	����
���(����	�
�
�	��	����
�	��
	�	
��	��
�����<�������$�����%��&��(��/�����	
�
��� 	���	
��� 4 �� = 5� 
	� �		� 4	�� �3�	��� �	� ���	�
�
� ��������
� ���� ��� ������� ��� ����� �	�� ��
�	��

	�	
��	�	�����/��:;�	
�
��������5��=	��	������	���	
������	
��
��
����	��������	�
	���	����!	��	��
��
���

��	��"�����	
�����3�	����
�

�����������2�������� � ��	� �������	
���
��	�
� �
	�	�������
�
�����	������	��
���
1	�	��	��	��	����	
�
�	�
��
� �"! ≠= ��� ��
��

������������
� 	�� �3�	��� �	������	
� ��
��	
���	� ��	�	� ������ ������
���	� ��	����
���� 	
� 1
�
��� !��
�
��	�	
���������������
"���
�1
�
������	����	�!��
���	�	
���������	��������������
"�
	��
�	���	���	
�
��������"�#�������
�
�
	$�%&��#��
2�� 	��7�� �	� &� �������
�	
� ����
	�	� ��
� �	� 	���
� ���� �	��	>�
� 1����
� 	�� ��� �
������� �
����� ��	��
��
�	�
�	� 	�� 1����� ��	����
�� ��	
� �	� 	
��
� �������
�	
�� ���9�� ���� �

��� �	� ��
� 	�	�	���
� �	�� 	
���
��
��	
������
���
�
��������
��	���
��������������	������	1	����
���	
�	��
���	��	?��	
��9
��
�����������
������ ��	
����� ��� ������ �� �	� ��� ������ ��	� �	��	
	���� 	�� �3�	��� �	� �������
�	
� ����
�
��
� ���� ���
��	��
����	����
	�����	1	���
��	��
�������
�
��'�����
�
�	� �
	�	�� $� �������
�	
� �	1	����
�
� �� �� ��	��
� �	� ��
� ����	
� ��	�	��
� 
	�	��
����� �� ��� ������ ���
�������	�����	����������������������
���
�����	��	
���
����	
�����	
�����������#�
��
$
$�
"@$"!@�!
"@�"!%!&
"@$"!@�!
@&
�
&
====��
�
�
��
�
� �
�
A	�	
��
������
��	
���	
���
��	�����>����
	��
	�	��
������	
���
�
�
���	
��������	�0������������
�	
�
��	��
���	�	�
	����	��
������	�������	
����
	���	1	����
�����	�	�
	����	�
��������
	���	1	����
����
��	���
�
	����	1	����
�
��	
��������	�
����0���$��	1	����
�
�	����
��������
�	
��

���
��	
��
�
B������
���	
���
��	����������
�	
�
	���	�	��
������	���
�&���	��	�	��
�
	������
�����	��
C� �
�
�
=��
�
�
��
�
� �
B������
� ��	
���
� �	� �� �������
�	
� 
	� ��	�	�� 
����� �	� ��
� &� ��	� �	�	��
� 
	���� $� ��	��
� �� ��
�	1	����
�C�
("$!
"@�"!@$!
@�
�
$
$
�
==��
�
�
��
�
�
��
�
�
��
�
� �
�
B������
� ��	
���
� �	� �� �������
�	
� 
	� ��	�	�� 
����� �	� ��
� &� ��	� �	�	��
� 
	���� �� ��	��� �� $�
�	1	����
�
C�
�"�!
"@$"!@�!
@�
$
$
�
�
==��
�
�
��
�
�
��
�
�
��
�
� �
�
�
�
�
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
�$
8

��������
������
��	
���	
���
���	���������	��������
	��
	�	���	#�
�
��������
�� �
� � �� = �
��
�$� ��� � ��
$�
�$� ��� � ��
��
$$� ��� � ��
%�
��� ��� � ��
&�
$�� ��� � ��
(�
��$ ��� � ��
)�
$�$ ��� � ��
*�
$�� ��� � $�
D�
$�$ ��� � $�
���
$�� ��� � $�
�
/��	
���
����	
�����	
������������	�����6�����
��
	��	#�
�
{ }$��$�$$��$�$��$$�����$$��$��$� ��������� ������������������������������
 = �
�
����
������	
���
��	
��	��������
���������$��
�
�
������()*��+*�
	�,�
��
	�-��������
�
��
�

����������� 8�� 1���
��� �� �	1
�
��� 
���	��� ����� "!"! ����� � == � 
	� �����	� ����� ��� 1���
��� �	�
��
�� �	� ������
�
���� �� 1���
��� �	� ������
�
���� 1����� �	� ��� ���� �� 
� �����	� ���� ��
� ����
	���	
�
��
	��	
#�
�
"� �"! ≥�� � ��∀ �� ∈� ����
"�{ }�"!. ≠��� � �	
�������6�����1
�
�����
�1
�
������	����	��
"� �"! =�
�
� �� �
�
*����.��
���	
�������	� �"! >�� � �	�����	
���	
������������
��	��	�����������
�
	$�%&����
/����
	����	6	������	�����������	�	
�������	����	����
	��
������	�
����
	��
6����	����������
�
�����	�
���� ����� 	�� ��� ������
	���� 	��� ��� �
� %��=� � ��� ���� �� �
	�	� ��� 1���
��� �	� ��
�� �	� ������
�
����
��
	��	#�
=−=−=−==− �� "%���!"�!"�!"�! ���� � ��$�(��
==−=−=−==− $$$ "(��"!%��!�"%���"!%��!�"�!�"�!"�! ����� � ��%�$��
==−=−=== "(��!"%��!�"%���!"%��!�"�!�"�!"�! $$$ ����� � ��$**��
===== �� "%��!"�!"�! ���� � ���(%��
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
��
8�� 1���
��� �	���
�� �	� ������
�
���� �	��������
���	� ��	����
�� �

��	��� 
	� ��	�	���	
	����� ���������
�������	������	
��	�������	���
��
	��	#�
�
E���
����	�������
�
�����	��#�������
�����������
�	���
���	
�������
	���
��
�� = � "!"! ����� � == �
'�� ��$�(�
'�� ��%�$�
�� ��$**�
�� ���(%�
�
:�
	������	� ������(%����$**����%�$����$�( =+++ ��
�
8��1������	�����������	��
��	��	��	
	����
	���������������
	���	�	��	��	
	����������������1
���������
����1��������
�
�
� ��� ���� � ����� ��
� �����	
� ��
��	
� ���$��� ���� = � �� 
�
� ������
�
���	
� �
��
���
� 
���
��$�� ����� �	
�	��
���	��	�	�����	
�
��1�����
	���	�	��	��	
	���������������1
���
��
	��	#�
�
������������������������������������������������������������������������ �
�
F���
9��
	���	�	��	�
����	�������� � ��
	�	�1�������������� ���� ��
�
�
�� −��
�
�
��
�
�
="! ������ �� �����$������= ��
:���	����1������	���������� �	
��	����1������
@
"!
�
�
��
�
�
λλ−= ����� ����$������=� �
�
:�
	������	�������	�����
�����������	�	���	
�������1�����	
��	�
���	�����1��������	������	�	
����	
�
����1��
�����
���
�����
�
�
�
�
�
��������
�
��� �$� ��� �
�$
��
����������������������
E���
����	�������
�
�������������������
��
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
�%
������()*��+*���),)��������
�

����������� �	� �	1
�	� �� ��� �'������"��&��������"�"� ��'%'��"���� ��'%'������� �	� ��� ������ 	�� 	��
�3�	���������!�"����� ∞<<∞− � ������ � �
≤ ≤
===≤=
�� ��
��
���������� "!"!"!"! �
�
	$�%&��#��
�
��G� �	�� �� ���� ���� ���� ��
��	
� �����	
� ��=� � ��� $� ���� ��	�
�
�
"�! ==�� ��
(
�
"�! ==�� � ��
$
�
"$! ==�� ��/���	����������1
������1���
����	�������
�
�������������������������
���	���	����
�����
�
��'�����
�
 �
�	����	�	
����
�	����������������������	������������	���
������	
���
��	
��	�������#�
�
�
�
"�!"�! === ���� ��
$
�
(
�
(
�
�
�
"�!"�!"�! ==+==+== ������ ��
�
$
�
(
�
�
�
"$!"�!"�!"$! =++==+=+== �������� ��
�
:�
	������	��
�
�
"�!"�!"&��!"&��! ===≤=≤= �������� ��
$
�
"�!"�!"D��!"D��! ==+==≤= �������� ��
�"�!"�! =−≤=− ���� �
�
 ���������������1���
����	�������
�
��������������	
����1���
�����������	
#�
�
�
�
�
	
�
�
�
�
≥
<≤
<≤
<
=
$��
������
$���
��
$
�
����
��
�
�
����
������
"!
�
�
�
�
��� �
�
*�����8�� 1���
����	�������
�
�������������� "!��� � �	����������

��	��� 
	���	�	
����� 1���
�������
����	
��
�
������1
���	
��	����1�����	
��������#�
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
�&
� � ���
�
�H$
�H�
� � $ �
E���
����	�������
�
���������������������������
�
�
8�
�����
	���	
��	����1���
����	�������
�
��������������
��#�
"� ∞<<∞−≤≤ ���� ��������"!� ��
/
��� 	
� �����	� ��� 1���
��� �	� �

��
���
��� ���������� 	
����� 
���� �	������	
� ��
�
��
� �� ������� 
	�
�����������
���
������	
���
��	
��	��������
	��
	�	����������
�
�����	��������	�	
�
����������
�
"� �"!�
� =
−∞→
���
�
�
����� �"!�
� =
∞→
���
�
�
/
����	
��
	���������	�
��3�����
	���������	����
�	����������
��	��	�����������
	�0������������������	�
������
�
�����	���
7����
	�0���	��
����	��3��
�����������
��	��	� ��������	�����	
����
	� �
	�	� ����� ���
������
�
������
��	���	�	
������
�
"��
� $� �� ≤ �	�����	
� "!"! $� ���� �� ≤ �
�
�	���������	� �� ���	���������	� $� �	
����	���	���
������	
���
��	
����
	���
��
��	��������	�����	
���
�
���������
���
��
�	����
�	���	� �� ��� $� �0�������	��
������������
��	��	���������	�����	
��������������
	�� �� �	
��	��������������������	�� $� ��
�
�
�"�/
�����
������������	�	�0���	
��	�
�� "!��� �	�

�	�����	��
� "!�
�"! ���� �
��
� +→
= ��
�
�
�
�/��'���"��&��������"�"�#�����'������"����'%'��"�#��
�
F����������
�
����
	���	�	�	���	
���	���9��
��
��	����1���
����	�������
�
������������������������
	�
��	
����	����
�
��
	��	
���
�
#�
��
��#���� "!�"! ������ ≤−=> �	
��	�
�� "!�"! ����� �−=> �
:�
	������	� "!"! ����
 ≤∪>= �
�������������
�
���� "!"!"! ������
� ≤+>= ��	
�	6��������
������
�
�����	�
��	�9
� "!�"!�"! �������� �−=≤−=> ��
�
��#�����
� "!"!"!���� �$$�$� ������������ ≤−≤=≤<< �	
��	�
��
"!"!"! �$$� �������� �� −=≤< �
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
�(
�
�
"!"! $$ ������ ≤= �
"!"! �� ������ ≤= �
"! $� ���� ≤< �
� � � $
I J
�
�
�
�
��#��0� "!�
�"! ����� �
�� −→
=< ��
A������	���
����������

��	��
������������	
�	��	��
�	
���������
�
��������
9��
	���	�	�	���	
���������
"�!"�!"! −=−≤=< �������� � ��
�
��#��1� "!�
�"!�
�"! ������� �
��
�
�� −→→
−==
+
��
�
K�� ��	� "!"!"!"!"! �������������� � <−=<−≤== � �� �
����� ��� ����
	���� 
�"� �	� ���
�	1
�
�
�����	����
������	����
������
��%��
:�������	����	�	���	
���	
���������
�
������������	
?�
"�!"!"�!"!"! −−=−≤−≤== ������������� �� ��
�
�
$�G� �	� 
��	���	� ��� ��������������	���� �� �	����� 
��	� ����� "!� � ��	
��	�	
� ��
���	� ����� "!� �� /
���
���	���
	����������	�	
���	�������������	��	��	
	����	���3�	����	�����
���	�����	�	�#�
�"�/���	��������1���
����	���
���	�������
�
�����	����
�"�/���	��������1���
����	�������
�
���������������	����
�"�L��1
�������
�1���
��	
��
�
��'�����
�
�"�8�����
���	���	����
��	
��#��3�	����	�����
�	����
���	
�������
	���
��8�������	��
���	������!�"�	
���	
�
�	�	
�����	������!�"����������������
���������	��
���	������	
�������������������	������	
�������	���3�	���
�������	�������
	���
�
	�7��%���������������
	��
	�	���	�
%
�
%
"! ==
�
�
�� ���
%
�
%
�
"! ==
�
�
�� ��
�
�� � �� = � "! ��� �
���� ��
�
%
�
�
�
�
�
�
�
�
���� $� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
%
�
%
�
$
�
���� $�
%
�
%
�
$
�
�
�
�
�
�
�
���� $� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
%
�
%
�
$
�
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
�)
���� ��
$
%
�
%
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
���� ��
$
%
�
%
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
���� ��
$
%
�
%
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
���� ��
�
%
�
�
�
�
�
�
�
�
�
8��1������	�������
���	���	����
��
	���	�	���	
	�����	�����������
��
	��	#�
�
�����E���
����	�������
�
���������	���3�	����	�����
��
�����������������	����	
�������
	���
��	��������	����
�� = � "!"! ����� � == �
��
(%
�
�
��
(%
D
�
$�
(%
$)
�
��
(%
$)
�
�
:�
	������	� �
(%
$)
(%
$)
(%
D
(%
� =+++ ��
�
�"�8��1���
����	�������
�
��������������
	����
����	��	�������	���
��
	��	#�
�
(%
�
"�!"�!"�! ===≤= ������ �
(%
��
(%
D
(%
�
"�!"�!"�!"�! =+==+==≤= �������� �
(%
�)
(%
$)
(%
D
(%
�
"$!"�!"�!"$!"$! =++==+=+==≤= ����������
�
(%
$)
(%
�)
"�!"�!"�!"�! =+==++==≤= �������� � �
�
8��1���
����	�������
�
�������������	����������	
����1���
���	
���������
��
	��	#�
�
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
�*
�
�
�
�
�
	
��
�
�
�
�
≥
<≤
<≤
<≤
<
=
���
������
�$��
��
(%
�)
$���
��
(%
��
����
��
(%
�
����
������
"!
�
�
�
�
�
��� �
�
�"�8�
����1
��
��	����1��������	�����

��
���
����	�������
�
��������������
��#�
� � ���
� � $ � �
DH(%
$)H(%
��������������������
�H(%
E���
����	�������
�
����������������X
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ��������
��
�)H(%
��H(%
�H(%
�� � $ �� ��
E���
����	�������
�
�������������������������������
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
�D
:�
	������	��	�������1
����	����������
�
��������������
	��
	�	���	#�
�
(%
D
(%
�
(%
��
"�! =−==�� �
(%
$)
(%
�)
(%
(%
"�! =−==�� �
�"%��!"�! ===−= ���� �
�
����������	
-	��
��2������*3��
	�)*���������	���	�������
�
��	����
�

������������
���	
����������

��	�������1���
����	�������
�
���� �� !�"������#&����4����������#&���"��
��%�"����	����������	
������������
�
"!"!"! ���������
��
� === �� �
�
	$�%&��#���
�
��G�/����
	����	6	������	� ���
	��
���$���������	�
	� ���������������	������	�	
�����������������
	�
����������	
������������������
	��	��7�����	
���B�����	
�	��������	
�	������	� ���������#�������
�����
������	���
���	
�������
	���
C�
��'�����
E���
����	�������
�
�����	��#�������
�����������
�	���
���	
�������
	���
��
�� = � "!"! ����� � == �
'�� ��$�(�
'�� ��%�$�
�� ��$**�
�� ���(%�
��
"�!�"�!�"�!"�!"�!�"!"! =+=+−=−+−=−==� �������������
�
� �
������� (��"�(%��!�"$**��!�"%�$��!�"$�(��!� −=++−−= �
�
8��������
��	
�	�����	��	
�	�6�	���	
��	� (��− ��	
�
��8�������
��
��������9��
����	��
�	����
�
��#����������/��������	
�	������	������������	�	
��
��	��	�	
������	���
������	
���
��	
��	���������
�
5��%��#�������&���������������#&���"��"��'���������������������6�
M���
�����	�	��	��	�
�	����
	��	�
�	����	�	
��
	��	���7��	�����	
���������
�
��
�
	�
����	������	�
���	�
	
��
�������
�
�	���3�	��� �	
������	� 
	�7���������	�
������������	
�	������	
��	�
����N��(��	
�
��8��
�
�
����	���	�	������	�
���	���
���������
�
���	��������	
�	������������������	�������	�
�����	���
���	�����
�
/�����	
����
	��	�	��	�
�����	����0��	�������	��	��	��	�
�	����
	��	��	����������
�����	���(��	
�
���	�
0	�0�������
��
��
���	������	�	
�����������	������������	�	
�	����	
������������
��	��	���������	�����
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
%�

����	��	�
�	�����
	���	�	��	��	����������	
��	
�
���
	���	�	���������������	
��	
�
�� 	�������
�
����
���0�
��	�	
�	��	��	��	�
�	����������������������	������9��
����	��
�	����
�
$�G�2�� 1���
����	�������	����7����
��	� �����������	�	�� ��O�	
��	1	����
���� 	�� D�O���� ��� 	
���
� 
	�
������	� ��� ���7����� �	1	����
�� 	�� 1���
����	� �
	��	� P������ �
	����
� ��	� ��� ���7����� 
�� �	1	���
� �	�
������	�������
�
�����	�P&������
���	
������
�
�����	����������7������	���	�����
��������	
�	�������
�
��'�����
�
�#���
�
�����	����������7������
��−=� �&��
���"! =����������� �
D��"! =������ �
�
8�
������	
���
��	
��	� �������
���N��
�	�����7�����	
��	1	����
����&�
���� ���	
��8��	
�	�������	� ���
��
�
����	
#�
"&!&"�!�"!"! =+−=−==� ���������
�
� �
����������� =+−=+−= "D��!&"���!�"!&"!� ���������������� %�%��
�
*������.� ��
� �����������	�	� ����������3�	��� 
�1
�
������	����	��	������	
��	�����	
�
	��
�	���	� ���
	
�	������ �	� �� 	�

�	� 
� �� 
���� 
� ∞<� "!.. ���
�
� �� 	
� �	�
�� ��� 
	�
	� �
	�	� ��	� 
	�� ��
������	��	�
����	��	��	��
�
*������.��
���	
����������

��	�������1���
����	�������
�
�������!�"���!�!�"�	
�����1���
����	������	
�
�	��	
��	����
	��
	�	���	�	��������	
�	������	����1���
����	��������	
���������������	���	
���
��
	��	#�
�
"!"!"Q!R ���!�!�
�
��= �
�
�
-��-�	
�
	
�
	��������	
-	��
���
�
�	�������������

��	�������1���
����	�������
�
�������!�"�
�
 ��G��
����� �
������
����	
��� ��� += ��	�����	
� ����� += "!"! ��
�
K����	?� "!"!"!"!"! �� ������ ���� �
�
�
��
� ��� +=+= ��
�� +=+=
�
��
�
 ����� ���� "!"!"! �����♦�
�
��#���������.��
� �=� ���	
�	�������	�������
����	� 	
�	�����

������ ��� ="! ��
�
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
%�
 $�G� �
� ���� ��� $� � � 
��� ���
���	
� ��	����
�
� ���� �����	
� 	
�	����
� ( )��� �� �� <� ��� $�� ����� ��
�	
�	��
���	��	�� 	�����	
� ��� 	
�	������ �	� ��� 
���� �	� ��
� ���
���	
� ��	����
�
� 	
� ��� 
���� �	� ��
�
	
�	�����
��	���
����
���	
���	����
�
��
� � ( )��
==
=�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
� ����
��
�
�

�����������8����������4��	���	���
����
���	
���	����
�
����������� ��� µ="! ��� ��� µ="! �	
��������
���#�
( )( )[ ]�� �����"�# µµ −−="�! �
�
�	����
	�	������	1
�
�
������	�����������������	����	�����
�
( )( )[ ] ( )������ �������� µµµµµµ +−−=−− �
��� ���� ������� µµµµ +−−= "!"!"! �
��� ��������� µµµµµµ +−−= "! �
�
�������"�# µµ−= "!"�! �
�
��#���������.�/�� 	�� ���7����� %� 
	��	���� �

��
���
��	
� �	� ������
�
���� ���6����
� �� 
	� 	��	��	��� ���
��
	��	�6�
�
1
���
������ �� ⊥ �	�����	
� �"�! =��"�# ���
 ���� �� ⊥ �
	��
	�	���	� "!"!"�! ������� ���� = ����������	����	
�	�������	�����������	
�	�����������
�	���
�	
�	�����
��
���� ==
� �
��
� �
�� �������������� "!"!"�!"! �
��
� �
�� ������������� µµ===� � "!"!"!"!"! �
/
� �	�
��� ��� 	
�	������ �	� ��� ��������� �	� ���
���	
� ��	����
�
� 
��	�	��
	��	
� 	
� 	�� ��������� �	� ��
�
	
�	�����
��	���
����
���	
���	����
�
��
8�������
�����	���	���
����
���	
���	����
�
�
��	�	��
	��	
�	
��	����
�
���������� �"!"!"!"�! =−=−= ���� ���������"�# µµµµ �
�
�
�����*3��
	�)*���������	���	�������
�
��	����
�

����������.��
���	
��������������	�
��µ �����������4��"����
	��	1
�	������ $"!"! µ−= ���$ �
�
��#���������#��
��G�8�����
������	��������	
�����3�	�������	���
����
�
$�G�:�������	����	�	���	
���������
�����
	����
	�	�����	
���������	������������	����	���	
�����
�
������
�������������	����	���#�
�
( ) ( ) $$$$$ "!$$"!"! µµµµµ +−=+−=−= ����������$ �	
��	�
�� ( ) $$"! µ−= ���$ �
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
%$
��G�8�����
������������
���������	�
����	�������
��
������

�	�
����	������

��
���
������	�	�����	�

�� �	�
��� 2�� ������ �	��	>�� �	� ��� ���
����� 
��
��� ��	� ��� �

��
���
��� �	� ������
�
���� 	
��� ����
����	����������	�	�����	� ����	�
������������������	�
��
�����	�����

��
���
����	�������
�
���� �
	�	�
������

�	�
������	�	�����	�
���������	�������
�
%�G�8�����
�����
	��	������������ �	������
	���
������������� $"! σ=�$ ���	��������������
�������
�
��	�����0�������	���
���	
���������
���	
����	6���	� �	�	��
	��
��������	�� 
��	
�
�������
	����
�������
�����6�������
����7�������������
�
��������������
	��	�������"�#���������#�/�"�����
	��	���������
����
$"! σσ == �$ �
�
�
-��-�	
�
	
�
	���������*3���
�
 ��G�8�����
������	��������
����	�	
��	�����
���<���	�	�����	
�� �"! =�$ �
( ) �"Q!R"! $$$$ =−=−= �������$ ������♦�
�
 $�G�8�����
������	������������	��������
����	��������������	
�	������������	������������	�������
����	�
����������
������	����������� "!"!
$ �$���$ = �
�
( ) ( ){ } "!"Q!R"Q!R"! $$$$$$$ �$��������������$ =−=−= �����♦�
�
 ��G��
�������
������
���	
���	����
�
�����	
��
	��� "�!$"!"!"! ��"�#�$�$��$ ++=+ �
"!Q"R!"! $$ ��������$ +−+=+ �
����� ( ) $$$ "Q!"!R$ ��������� +−++= �
����� ( ) ( ) "!"!$"!"!"!$ $$$$ ��������������� −−−++= �
����� ( ) ( ) "Q!"!"!R$"Q!R"Q!R $$$$ ��������������� −+−+−= �
����� "�!$"!"! ��"�#�$�$ ++= ������♦�
�
�
�������
������
���	
���	����
�
�
��	�	��
	��	
�	�����	
���� �"�! =��"�# ����������������������
������	�
���
����	
����
�����	���
����
����
��
�
"!"!"! �$�$��$ +=+ �
�
8�����
������	����
�����	���	
����
���	
���	����
�
�����	
��
	����
�
Q"�R!$"!"!Q"R!"! 
��"�#
$��$
��$
��$ ++++=++=++ �
"Q�!"�!"�!R$"!"!"! 
�"�#
�"�#��"�#
$�$�$ +++++= �
�
K����	� "!"!Q"R!Q"�R! 
����
���
��"�# +−+=+ �
����� "!"!"!"!"! 
���
����
�
� −−+= �
����� "Q!"!"!R"Q!"!"!R 
����
�
����
� −+−= �
����� "�!"�! 
�"�#
�"�# += �
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
%�
�
� � ��� ��� 
 �
���������	��	�
��	�	��
	��	
�	�����	
� �"�!"�!"�! === 
�"�#
�"�#��"�# �������
��������� "!"!"!"! 
$�$�$
��$ ++=++ ��
�
/���	�	���� ( ) ( )���
<==
+=�
�
�
�
�
%�
%�
�
�
�
�
�
� ��"�#�$�$ �$
��
��
:�
	��������
9����	����
	������
������
�����
����	�
$
"�! −��
��9��
��
��
�
� ��
������
���	
���	����
�
�
���
��	�	��
	��	
����
	������
������
��
	�0��	��	�����������
������	����

�����	����
���	
���	����
�
�
��	�	��
	��	
�	
����
�����	���
����
����
��	���
����
���	
���	����
�
��
�
L	�	���
�������
	��
	�	���	�
������$���������
������
���	
���	����
�
�
��	�	��
	��	
�	�����	
�������
�����
�	�
��
����	
����
�����	���
����
����
��
������������������������������� ��
==
=�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
� �$�$
��
"! �
�
	$�%&����
�
� �� 	
� ���� ���� ���� �	�
�� �� ���
����� ����
� ��� µ="!�� � �� $"! σ=�$ �� A	��	
���� ��	�
$"�!"Q�!R σµµ +−=−��� ��
�
��'�����
�
( ) ( ) "!"Q�!R $$ ���������� −=−=− �
 	��� ( ) ( ) "!"!������"!"! $$$$ ���$�������$ +=∴−= �
/�����	
� =−+=− µµσ $$"Q�!R ��� "�!$ −+ µµσ ������♦�
�
�
��0�()*��+*�7	*	��
����
	�,�,	*��
�
	�)*���������	���	�������
�
��	����
�

������������
���	
������������� ��� µ="! ���&����	��	�����
�
���
	��	1
�	����
��
��
��	����	���
�
�����������#�
��G�&'9
������	�������	�	�����	����
�	���	1
�
�������� ( ) �==
�
�
&&�
& ����� "!µ �
$�G�&'9
������	�������	�	�����	�����	�
����&'9
������	�����	��������	1
�
������#�
�
( )[ ] ( )� −=−=
�
�
&
�
&
�
�
& ����� "!µµµ �
�
��#���������#��
"�8���	�
���	���������	
�	�����	�����	����	��������
�	�����	�������	�	�����	����
�	���
�
� �µµ = �
�
"�8�����
������	����������	
�	��
	���������	�����	�������	�����

����
�
� $
$ µσ = �
�
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
%%

������������
���	
����������

��	�������1���
����	�	��������	����	���
�1�����
	��	1
�	�����#�
�
( ) �==
�
�
����
� ������ "!"!ψ �
�
��#���������#���
�"��������������
�	����	�
������	����1�������	���������	����<���
	����
	�	�����	�
���	���������
( )[ ] ( ) ( ) ( ) "!."�!S "!���� �����������
�
���
��
�
� ��
��
�
��
�
��
� ===�
�
��
�=== ===ψ �
�� ��� µψ === "!"�!S �
�
/
���
� 
���
�
��� ����	��
����
����
�����	��0	�0���	���	� ����	�
������	�����
����	
� ���
�����	� ��
�
�	�
����
���	�������	���
��
	��	#�
( )[ ] ��� ====
�
�
��
�
�
��
�
�
����
� �������
��
�
���
��
�
��
��
�
� "!"!"!"!Sψ �
/���������	���	���
	��
	�	#�
�
�
�
�
�
�
� ���������� µψ ===== �� "!"!"!"�!S "!� �
��
$"�8���'9
����	�
������	����1�����	��������	���	���	
�	���'9
������	������
�
8���
���	������
����	����1�����	
��	�	�������	���
����0�������
��	��
���������0��	��
�
-��-�	
�
	
�
	������8�%��
�
 ��G��
���	
�������������1����� "!��ψ ��� ��� += �	
������������������� ����
����	
��	�����	
��
"!"! ���� �
 �
� ψψ = �
�
K����	� ( ) ( ) ( ) ( ) "!"! "! �������������� � ���� � ���� ������ ψψ ===== + �
�
 $�G��
������$����������
������
���	
���	����
�
�
��	�	��
	��	
��������������1����� "!�
��
ψ ����<����$����������
��� �
=
=
�
�
���
�
��	�����	
����1������	������������	
������������ ∏
=
=
�
�
�� �� �
�
"!"! ψψ �
K����	� ( ) ( )∏ ∏∏
= ==
==��
�
�
��
�
�=
��
�
�
�
��
�
�
� �
== =
�
�
�
�
�
��
�
�
��
��
��
� ���������� �
��
�
�
�
� ��
"!"! � ψψ �
�
�
	$�%&��#��
�
��G� ��������	��� 	
��������� ���� �"! =�� �� ( ) $$ =�� � �� ( ) &� =�� �� A	�	��
��� 	�������� �	�� �	��	��
���	�����	�������	����
��'�����
�
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
%&
[ ] ( ) ( ) ( ) ��$��$$��� ����"! µµµµµµµµ −+−=−+−=−= ����������� �
�$"$!�&� =+−=
�µ �
�
$�G� A	�	��
��� ��� �	�
�� �� ��� ���
����� �	� ��� ���� �� 
� 
	� 
��	� ��	� 
�� 1����� 	
��� ����� ����
( ) ∞<<∞−+= − ���� ��� ����������
%
�
"!ψ ��
��'�����
8���	�
�� �	� ������� 	
� 	�� ��
�	�� ���	����� 	�����	
� �	�	
����
� ��� ��
�	��� �	�
����� �	� ��� 1����� ��
	�������	���	��#�
( ) ���� ��� µψ ==−=−== =− $
�
"��!
%
�
�
%
�
"�!S
��
�
( ) �"��!
%
�
�
%
�
"�!SS
��
=+=+==
=
−��
� ���ψ �
( )
%
�
$
�
�"!
$
$$ =�
�
�
�
�
�−=−= ����$ µ �
�
��G��	�����������������	�
�� µ ������
����� $σ ��� 
	�� "!��ψ � 
�� 1���������� ∞<<∞− � ���
��� 	
�����
���
����	���
�
�������������������1����� ∞<<∞−= − ��� ��� � ��������"!
Q�"!Rψψ ��A	�	��
�����
�	���	
��	
�
�	�����	�
����������
������	���	��1���
����	�����	�
����������
������	����
��'�����
�
===== −
=
− µψψµ ψ ������ �
�
�
��
��
� "��!
�
Q�"!R "!S"�!S µ� �
K����	� ( ) ( ) �"�!"�!������"! � ===∴= ������ ���� ψψ �
�
 ����	�����������	�������
������
	��	�	
������
	�������	�
������	����1������	���	��������	���	����
�
"!S"!S "! ����� �
���
�
� ψψ ψ−= �
[ ]"!S"!S"!SS"!SS "!"! ��������� ��������� �� ψψψψ ψψ += − �
[ ]����� �� ����� "�!$"�! "�!SS"�!SS ψψ µψψ += − �
� ( )���� ����� $"�!SS µψ += − �
� $$"�!SS µψ �� � += �
 	��� ( ) $$$$ "!"!"�!SS µσψ +=+== ���$��� �
/�����	
� ( ) $$$$"�!SS µµσψ ��� ++= �
 ������������ ( ) =−++=−= $$$$$$$$ "!"! µµµσ ���������$ ( )$$ µσ +� �
�
�
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
%(
%�G��
�
(
�
(
$
(
"!
�$ ���
�
���
� ++=ψ ��/���	������"�����	�������	����������"�
�����
��������"����1���
����	�
������
�
�����
�
��'�����
�
�"���
�
)
�����
(
�%
(
D%�
(
D
(
%
(
"�!S
�
�$
=∴=++=++==
=
�
�
���
�
���
� µψ �
�"��� ( ) (�����
(
�(
(
$)*�
(
$)
(
*
(
"�!SS $
�
�$
=∴=++=++==
=
��
���
�
�
���
�ψ �
�
( )
D
&
D
%D
("�H)!("!"! $$$ =−=−=−= �����$ �
�"�� ( ) � ++====
�
�������
� ����������
�$
(
�
(
$
(
�
"!"!ψ �
�
8��1���
����	�������
�
�����	�	
�������	
���������������������
��
	��	#�
�
��'��� ���!�"'�!��'��"�
��
(
�
�
$�
(
$
�
��
(
�
�
�
:�
	������	� �
(
�
(
$
(
� =++ ��
�
&�G��
���� �	����
� ���	����
� �	�� �� ��� &� 
	� 	���	������ 	������������ �	� 
����� $� �	����
� ��� ����� �� 
	�
�������
�
��3�	��
�� ����	���������3�	���
	�	��
������	���	����#�
�"�8��1���
����	�������
�
�����
�"�T�����	
�	����������
������
�"�E���
����	�	��������	����	���
��
�"�E���
����	�������
�
���������������
�
��'�����
�
�"� �	�� ��� ���� �	� 
��	�9
� � #� ������ �	� ��
� ��
� �3�	��
� 
	�	��
�����
�� /�� 	�� ������� 
��
	��	� 
	�
��	
	���������
���
��	
������
���
��	
��	��	��	�
�	������	����������	�	���������
���������������
�
�
�
�
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
%)
 ��	6�� �
��	� �� = �
!��$"� $�
!���"� ��
!��%"� %�
!��&"� &�
!$��"� ��
!$�%"� %�
!$�&"� &�
!��%"� %�
!��&"� &�
!%�&"� &�
8��1�������	�	���	
	����
	��	�
���	����������
��
	��	#�
�� = � "!"! ����� � == �
$�
��
�
�
��
��
$
�
%�
��
�
�
&�
��
%
�
�
:��	�
���	����1�������
��
�
"!
−= ��� � ������ �$=� ����%��
�
�"� ����	�����������	�����	�
����������
�����	
���	�����	����������������
�
�����	�
	����	�������������
�� = � "!"! ����� � == � "!��� � � "!
$ ��� � �
$� ���� ��$� ��%�
�� ��$� ��(� ��*�
%� ���� ��$� %�*�
&� ��%� $� ���
�
8��	
�	�������	��������	
�	�����	
� �
=
=+++==
&
$
%$$��(��$��"!"!
�
� ����� �
 �������������������
������	�	
����
�	��
	���������	�����
( ) �
=
=+++==
&
$
$$ �)��*�%*��%��"!
�
� ����� �
 ������������������
�����	
� ( ) �"%!�)"!"! $$$ =−=−= �����$ ��
�
�"�8��1�����
	�3������	1
�
�
���	
#�
( ) ����
�
����
� �����������
&%�$
&
$
%�����$�����"!"! +++==== �
=
ψ ��
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
%*
:�	��
���	��	�	��	� �
=
−=
&
$
"�!
��
�
"!
�
��
� ���ψ �
�
�"� �������1���
����	�������
�
�������������� "!"! ������ ≤= ����
�	���	���������
���
����������
�
	������������	���
������	
���
��	
��	������������	������
���
��
����1���
�����������	
��
�
���"$!"$!"$! ===≤= ������ �
���$�����"�!"$!"�!"�! =+==+==≤= �������� �
(��"%!"�!"$!"%!"%! ==+=+==≤= ���������� �
�"&!"%!"�!"$!"&!"&! ==+=+=+==≤= ������������ �
�
�
�
	
��
�
�
≥
<≤
<≤
<≤
<
=
&�����������������
&%��������������(
%����������������
�$���������������
$����������������
"!
�
�
�
�
�
��� �
�
�
��1�
�
����)��+*�
	��	�*�)����2���*�,�����
�
;��0�
�	��	�
�	���
��
	�	��
������
���
��	
��	
������
�����	6	�����	�� ������
	�����	��������	���
��	�	� �	
������ 	�� ����� �� ������ 	�� �9�	��� �	���� �	�	� ��� ���	�� ��	�	� 
	�� 1	�	�
��� ����
���
��������
���	����9�
�����	�	�
	���
����
�
������������
�
������	���
�������	���������������6���	��
������	�	�
���������
	��������	����������������	����/
�	��
����	�	��	�
�	���
�
	����������#�9�#�"�������'���:�
	���	
���������	�	
��	�
��	�9
������	��
��	
�
������
	������	������;<������	��������	
�������
	������	�
����������#�������������
�
���	
��
��
���
��!(����"�'����� ���������� =−= �"! )�
�

�
����)��+*�
	��	�*�)�����
�
8�����
���	���	����
���*��	
�������	�����	�
����U	������
�����������	
���
��	
���<��������	��������	��
1����
�������������	��9�
����F
	�	������

��
���
����	�U	������
����������	�������������������	���	
����
���������"! � == − ����� ��� �
�
���������	
�	�����	
� "!�"!�"�!�"�!�"! ������ �� +=+= ��	
��	�
�� ��� ="! �
�
/��
	���������	�����	��������U	������
�	
#� ( ) ������� ==+= "!�� $$$ ���
A������	#�
( ) "�!"!"! $$$ ���������$ −=−=−= 
	��
	�	���	� ���$ ="! �
8����8�%#�
( ) ��������������� ��������� +==+==+== "�!"�!"�!"�!"! "�!"�!ψ �
�
� ������ +=ψ �
�
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
%D
V��0�����
���	��	�
���	�	
����

��
���
�����	�	
������
�
	��
������	�������3�
���������
��

��
���
��	
�
�	����
���	
���	����
�
��

��	��
���	��	�	��
�	��	
�	����7������
�
�

�
����)��+*���*�,�����
�

�����������2��	��	�
�	����	
�����%����
������	�������
���
�����
�
��	
�
��
	��	
#�
"����

�	��	���	�
���
�U	������
�
��	�	��
	��	
��
"�8��������
�
�����	�9�
�����	�������	�
����	
����
����	��
�	��
�	���	�������
���	���	����
���#��3�	����	�9�
��
�	�����	��	�
�	�����
���
�������������	
���
��	
�
��<� ��� ��� $�� �������� �
	�	����� �

��
���
��� �	� ������
�
���� �
���
��� ���� �����	���
��� ����� ��� ����� 
	�
�	���������� "�?!W ��� � ��
�
��1�����	
������������
����������
�
�
������ ��� �������"!"�?! =��
�
�
��
�
�
=== − �
�
:�
	������	� 
������$�� �������� 
��������
���	
� ��	����
�
�U	������
�� 	�����	
� ������� �
���
����� ��	�	�
	
��
�
�
	���������
�����	�	
��
��	
��	�
� ����� +++= �$� ��
=	��	���� ��	� ��� 1����� �	� ���� 
���� �	� ���
���	
� ��	����
�
� 
��	�	��
	��	
� 	
� 	�� ��������� �	� ��
�
1���
��	
��	�	������
��	����	���
�
��
�
����	
��
 ����������������1������������	
� ∏
=
=
�
�
�� �� �
�
"!"! ψψ ����
	���� ( )��� ���� +="!���ψ �
����#&����4���	���������
���
���	
������
�	����	�
������	�
��1�����	��������	���	��#�
�
( ) ( ) �����"!."�!S ������ ∴+=+=+== −−=− ������� �����������������ψ ���� ="! �
�
2������	������	����
����	�
��������	
�	�������	�����
���
���	
��	�����������	���������
���
���	
�����

���� �	� �� U	������

� 
��	�	��
	��	
� ����� ���� ���� �	�
�� ��� �� ��	� ��� 	
�	������ �	� ���� 
���� �	�
���
���	
���	����
�
�
��	�	��
	��	
�	
����
�����	���
�	
�	�����
��
( ) ��������
�
�
�
�
�
� ==�
�
�
�
�
�= ��
== ��
"! �
�
 ����	������������������4��
	��	�	
���	��
	���������	�����	���������������������
	������������
	������
�	�
������	����1�����	��������	���	��#�
�
( ) ( )[ ]
�
$�
"�!"�!SS
=
−− +−++==
�
�������
� ��������������ψ �
�
�������� ( ) ( )[ ]�$����� "�! ������������� �� −− +−++= �
������� $$"!"�!Q"�!�R ������������������� +=+=−+=−+= �
�
( ) $$$$$$ "!��� �����������$��� −+=−=∴ ��
�
8�����
������	���������
���
���	
�� ���$��� =��� �
�
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez. ESCOM-IPN 
�
&�
8�����
������	� �������U
���
��� ����
9�� 
	����
	�	�����	��0	�0���	���	� ������
������	����� 
�����	�
���
���	
���	����
�
�
��	�	��
	��	
�	
����
�����	���
����
����
��	���
����
���	
���	����
�
���	�
	�	
����

����������	�����������	�������
������	�����U	������
�	
������
( ) ����$�$�$
�
�
�
�
�
� ==�
�
�
�
�
�= ��
== ��
"! �
�
����'������"��&��������"�"���'%'��"���
�
�
=
−
��
�
�
��
�
�
=≤=
�
�
���
� ��
�
�
�����
�
"!"! �� 8�
������	
� ��� 	
���� ��������
� 	�� ��
� �������
� �����
� �
���
��	
�
��	�
	�	���	������	����
���	��
��	���
��
���
��	�������
�
�����
�
�
�����%��.��
������$�������&�
���&����
���	
���	����
�
�
��	�	��
	��	
��� "�?!W ��� � ��� ����<����$�������&��
/�����	
�������� &���� +++= �$� ��
	�	������

��
���
����
���
������������	���
� �
=
=
&
�
���
�
������
�

�%�#��������
�����8�%��������	
�
( ) ( ) ( )∏
=
+++==
&
�
������
��
&
�
�����������
�
$�
"!"! �ψψ ( )�+= =
&
�
������ � �
( ) �
=
=+=
&
�
�
��
� ������
�
��������"!ψ �
�
:�
	������	�	
����1���������������
���
������������	���
� �
=
=
&
�
���
�
���������
�
�����	�9�
���
����������
	$�%&��#��
�
��G�2������	�������������
�
�����	��������(�
	���������	�	��	�	
��B�����	
����������
�
�����	����	�	��
����3�	��������	�����
C�
�
��'�����
�#�V3�	����	�����
��
���������������������� "(���D?!W == ��� � �
���������������������� #	 �V3�	��������	�����
��
�
�!	"�<� "*!"(!"%!"$!"�! =+=+=+=+= ���������� �
���
"%��!"(��!
*
D
"%��!"(��!
(
D
"%��!"(��!
%
D
"%��!"(��!
$
D
"%��!"(��!
�
D
*�(&%)$D�
��
�
�
��
�
�
+��
�
�
��
�
�
+��
�
�
��
�
�
+��
�
�
��
�
�
+��
�
�
��
�
�
= �
���<������$($��X���$�$��(�X����()$�&��X���$&�*$$(�X����(�%((��<���%DD &�)≈ �
�
 
Profesora: Leticia Cañedo Suárez.

Otros materiales

Materiales relacionados

307 pag.
Apuntes-ProbEstadistica-o1

IPN

User badge image

Todos los Materiales

113 pag.
Problemario-ProbEstadistica

IPN

User badge image

Todos los Materiales

44 pag.
Practicas-Fisica-o2

IPN

User badge image

Todos los Materiales

Preguntas relacionadas