art2--Vol1-N-1

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Computación y Sistemas. Vol. 1. No. 1. Abrll- Junio. 1997. pp. 13-2Ó 
BASES CONCEPTUALES PARA UNA TEORíA DE OBJETOS 
, 
SIMBOLlCOS 
José Ruiz Shulcloper ***-* 
Martín G. Chac Kantún-* 
José F. Martinez Trinidad-* 
-*Laboratorio de Procesamiento Digital de Imágenes 
Instituto Politécnico Nacional 
Centro de Investigación en Computación 
E-mail cenacjr@pollux.cenac.ipn.mx 
RESUMEN 
En este trabajo presentamos una nueva formalización del con­
cepto de objeto simbólico de modo tal que constituye una base 
sólida para una Teoría de Objetos Simbólicos, la que contendrá 
como caso particular la Teoría del Análisis Simbólico de Datos 
de Diday y la Teoría Clásica del Análisis de Datos. 
PALABRAS CLAVE 
Agrupamiento conceptual; objeto simbólico; análisis de da­
tos; variables simbólicas; clasificación no supervisada. 
INTRODUCCIÓN 
Uno de los problemas centrales en muchas disciplinas de ca­
rácter aplicado lo constituye el análisis de datos. Se ha desarro­
llado un conjunto grande de herramientas para la solución de 
distintas manifestaciones de este problema a partir de diferen­
tes enfoques. En la medida en que los datos se hacen más com­
plejos, por ejemplo dejan de ser exclusivamente numéricos para 
presentarse mezclados con datos de naturaleza cualitativa, con 
subjetividad, imprecisión y otros elementos de esta índole, ma­
yor es la dificultad de extraer información útil de los mismos. 
Por ejemplo, en la práctica profesional, en empresas comercia­, 
les, en industrias, en investigaciones sociales, antropológicas o 
económicas y en muchas otras más, surge la necesidad de hacer 
análisis comparativos entre conjuntos de objetos. Nos interesan 
las similaridades y diferencias entre grupos poblacionales aten­
diendo a factores sociales, económicos, culturales, de salud y 
otros; o se hace necesario analizar el comportamiento de las 
ventas en una cadena de tiendas de ropas que tiene sucursales 
en diferentes estados de un país, atendiendo a las característi­
***Instituto de Cibernética. Matemática y Fisica, CITMA, 
Cuba. 
E-mail recpat@cidet.icmf.edu.cu 
cas de la publicidad empleada, las peculiaridades socioculturales 
de las diferentes poblaciones, las edades de las mismas y otras. 
Tradicionalmente procedemos sobre la base de la estrategia de 
encontrar prototipos de cada conjunto de objetos sujeto a estu­
dio y comparar dichos prototipos. Para lograr esto, en muchos 
casos empezamos por homogeneizar el espacio de representa­
ción de los objetos, considerando sólo las variables numéricas o 
excluyentemente las cualitativas y asumiendo que nunca vamos 
a tener datos perdidos. En caso de que éstos aparecieran, se 
estiman, empleando para ello herramientas que en la mayoría 
de las ocasiones asumen comportamientos en el conjunto de 
datos que ni tan siquiera se verifican y casi nunca se satisfacen 
en la práctica. No nos vamos a referir a aquellas investigaciones 
en las que se consideran codificaciones (alto=5, mediano=4, 
bajo=3) como números y realizan operaciones aritméticas entre 
los mismos. Otra peculiaridad de esta tradicional estrategia es 
que en muchas ocasiones dichos prototipos son monstruos 
inexistentes en nuestra población de objetos, por lo que además 
es difícil confiar que el resultado de la comparación entre di­
chos monstruos nos pueda ofrecer una información valiosa al 
estudio que se realiza. 
Con un sentido pragmático, a finales de los años 70, 
R.S.Michalski [1], introdujo un conjunto de ideas que han dado 
en llamarse agrupamiento conceptual. En esa ocasión lo que se 
pretendía era aportar una información adicional a la 
estructuración de un espacio; no se pretendía sólo decir quiénes 
formaban un agrupamiento sino además decir en alguna medida 
por qué. Esto es, se pretendía ¡irrojar más información acerca de 
los agrupamientos, caracterizarlos a partir de las propiedades 
que éstos cumplían, definidas sobre la base de los rasgos en 
términos de los cuales se describen los objetos en estudio. A 
partir de aquí' E. Diday y un grupo de científicos han estado 
desarrollando una serie de trabajos en tomo al concepto de ob­
jeto simbólico, que constituyen la base de este artículo. 
13 
mailto:cenacjr@pollux.cenac.ipn.mx
J. Ruiz.. M. Chac, J. F. Martínez: Bases Co~p#Uales para una Teoría de Objetos Simbólicos 
GÉNESIS DEL CONCEPTO DE OBJETO SIMBÓLICO 
Los objetos simbólicos tienen origen precisamente en los tra­
bajos desarrollados sobre agrupamiento conceptual por R.S. 
Michalski [1], cuya fmalidad era, dada una colección de obje­
tos, construr agrupamientos o subcategorías de los mismos, ca­
racterizados por descripciones conjuntivas de propiedades for­
madas a partir de los atributos de los objetos, teniendo estas 
últimas una interpretación conceptual simple. Siguiendo a 
Michalski [2] tenemos: 
Sea xl'... ,xn variables discretas, las cuales son seleccionadas 
para describir objetos de la muestra a ser estructurada. Para cada 
variable se ha defmido un conjunto de valores admisibles, el 
cual contiene todos los posibles valores que esta variable puede 
tomar para cualquier objeto de la muestra. 
Se asume que los conjuntos de valores de las variables son 
finitos, y que además pueden ser representados como: 
D¡={O,I, ... .d;.¡}, i=I,2, ... ,n. En general, los conjuntos de valores 
pueden diferir no sólo con respecto a su tamafio, sino además en 
la estructura relacionada con sus elementos. 
En los trabajos desarrollados por Michalski y sus colabora­
dores, se distingue solamente entre variables nominales y linea­
les, cuyos dominios son no ordenados y conjuntos linealmente 
ordenados respectivamente. 
Un evento es defmido como cualquier secuencia de valores 
de las variables xl' ... ,xn' y se denota e=(rl'r2, ...,rn) donde r¡ ED¡, 
i=1,2, ... ,n. El conjunto de todos los posibles eventos S, es lla­
mado el espacio de eventos denotado por S={el' ... ,e
d
} donde 
d=d¡xd2x ... xdQ (el tamafio del espacio de eventos). 
Una proposición relacional, del cálculo proposicional clási­
co, [x¡#R¡] donde R¡ es un conjunto de uno o más elementos del 
dominio de x¡, y # simboliza los operadores relacionales ~, 
>,<,:S:,=,E, o sus negaciones es llamadaselectoT. 
El selector [x¡=R¡] ([x¡*R,D es interpretado como "el valor de 
X¡ER¡" ("el valor de x¡~R,"). En el caso de variables lineales, el 
operador "=" en [x¡=RJ puede ser reemplazado por los opera­
dores relacionales ~, >, <,:S: para un R, apropiado. 
Ejemplos de selectores: 
[altura ~ 1,75] (la altura es mayor o igual a 1.75) 
[color=azul,rojo] (el color es azul o rojo) 
[tamafio * mediano] (el tamafio no es el mediano) 
[peso=2...5] (el peso está entre 2 y 5) 
, 
Como notaremos más adelante, a los selectores E. Diday les 
llama eventos. Nosotros preservaremos la terminología de 
Diday. 
Un producto lógico de selectores es llamado un complejo ló­
gico (/-complejo); si los valores de las variables en e satisfacen 
todos los selectores en el complejo se dice que e satisface al/ ­
complejo. Por ejemplo, el evento e=(2,7,O,I,5,4,6) satisface al 
I-complejo [x¡=2,3] [x
l 
::;;3] [xs=3 ..8] (la concatenación de 
14 
selectores significa conjunción). Aquí estamos preservando las 
notaciones de Michalski que posteriormente modificaremos. 
Un I-complejo puede ser visto como una representación sim­
bólica exacta de los eventos a los cuales satisface. Por ejemplo, 
el I-complejo antes mencionado es la representación simbólica 
de todos los eventos para los cuales Xl es 2 ó 3, Xl es menor o 
igual que 3, y X está entre 3 y 8.s 
Cualquier conjunto de eventos para los cuales exista un 
/-complejo (propiedad) que estos eventos satisfagan y sólo ellos, 
es llamado un conjunto complejo (s-complejo). 
Los PRIMEROS CONCEPTOS DE ORJETO SIMBÓLICO 
En el análisis de datos clásico, los objetos son t-uplos numé­
ricos. La agrupación de tales objetos es lograda por la 
minimización de la disimHaridad dentro de cada agrupamiento 
y maximizando la disimilaridad entre agrupamientos. Con los 
objetos simbólicos Didaypretende lograr extensiones de tipos 
de datos clásicos. En conjuntos de datos clásicos, los objetos 
son individualizados, mientras que en los conjuntos de datos 
simbólicos éstos son unificados por medio de vínculos, propie­
dades. Estos últimos son más complejos que los datos conven­
cionales de la siguiente manera: 
1) Todos los objetos de un conjunto de datos simbólicos 
pueden no estar defmidos en términos de las mismas 
variables. 
2) Cada variable, en la descripción de un objeto simbóli­
co, puede tomar más de un valor, incluso un conjunto 
infmito de valores. 
3) En objetos simbólicos más complejos, los valores que 
toman las variables pueden incluir uno o más objetos 
simbólicos elementales. 
4) La descripción de un objeto simbólico puede depen­
der de las relaciones que existan entre otros objetos sim­
bólicos. 
5) Los valores que las variables toman pueden estar tipi­
ficados, indicando la frecuencia de ocurrencia, probabi­
lidad relativa, nivel de importancia de los valores, etc. 
En sus trabajos [3-6], Diday nos brinda varias definiciones y 
descripciones que son necesarias recordar: 
"Un evento es una pareja (variable-valor) que enlaza las 
variables y valores de las mismas en los objetos". 
Ejemplos de eventos: 
el=[color={verde, azul, rojo}] 
e2=[altura= 156] 
e3=;=[tiempo=[1.2 ... 3.1 ]]. 
Los objetos simbólicos son defmidos por una conjunción ló­
gica de eventos (en la terminologia de Diday). 
Como puede observarse en la formulación de Michalski, un 1­
complejo es un objeto simbólico. 
Basados en la complejidad de las expresiones que los descri­
ben, Diday introduce diferentes tipos de objetos simbólicos: 
J. Ruiz, M. Chac, J. F. Martínez: Bases Conceptuales para una Teoría de Objetos 51mbólkos 
aseverativos (assertion), acumulativos (bordes) o de tipo sínte­
sis (synthesis). 
Un objeto aseverativo es una conjunción de eventos pertene­
cientes a las descripciones (individuales) de objetos reales. Ejem­
plo: 
a~e,/\ e,/\ e, =(color={verde, azuI,rojo))I\[aJtma~1561/\[tíempo=[1.2"",3.1Jl 
Aquí a es un objeto simbólico aseverativo que tiene las si­
guientes propiedades: 
l) el color es verde, azul o rojo. 
2) la altura es igual a 156. 
3} el tiempo está entre 1.2 y 3.1. 
Un objeto simbólico acumulativo es una conjunción de 2 ó 
más objetos simbólicos aseverativos y eventos. Ejemplo: 
h~[VDU(Comp 1 )=oolor)l\[RAM(Compl )=64k )/\[Keys(Comp 1 ~[57", ,,6311/\ 
[VDU(Comp2~[B&Nl/\[RAM(Comp2~8k)/\[Keys(Comp2~164" ..,73)) 
Esto significa que el objeto h consiste de 2 objetos elementa­
les (aseverativos): 
1) Computadora 1 con VDU a color, RAM de 64k y Keys entre 
57 y 63. 
2) Computadora 2 con VDU en B&N, RAM de 48k y Keys en­
tre 64 y 73, 
Un objeto simbólico tipo síntesis es una conjunción de 2 ó 
más objetos simbólicos acumulativos y eventos. Ejemplo: 
s=h¡&h,=[Típo(r¡ )=autopísta )[VehíC\llos(rJ~2)/\[Típo(r,)=carretera][Vehículos(r,~J)/\ 
[Típo(vJ)=carro)[Color(Vl~azull[Movimiento(vJ)=rll/\ 
[Tipo(vz}--trailer]IColor(V2)=rojo][Movimíento(V2)=rtJ/\ 
[Tipo(v3~autobúsl[Color(v3)=verdeJ[Movimiento(v3)'42] 
DEFINICIÓN FORMAL DE E. DmAy 
A partir de todas estas ideas y resultados iniciales, Diday en 
[7] propone una formalización del concepto de objeto simbóli­
co. Sea dado el diagrama de la fig 1. 
L 
;/~ 
o ... II 
y 
____y___....... P(ll)
P(O) 
~/.
D 
y~ 
B;;¡9'! 
~______z_____~ 
Figura l. Diagrama de E. Diday 
Donde: 
o es un conjunto de entes elementales llamados "obje­
tos 	individuales"; 
A es un conjunto de posibles descripciones de los ele­
mentos deO; 
y: O ~A, la cual asocia a cualquier weO su descrip­
ción &--y(w); 
D es un conjunto de descripción de subcunjuntos de n; 
Yn: P(O)~D, donde P(O) es el conjunto potencia de O 
el cual asocia a cualquier 0'60 su descripción 
deD; 
Y: P(O)~P(A) tal que Y(O')=A' si y sólo si (ssi) 
A'={y(w) I weO'}; 
YtJ.: P(A)~D la cual asocia a cualquier A'6 A una descrip­
ción d eD que satisface al menos la siguiente propiedad: 
YtJ.(A')6D; 
A es un conjunto de mapeos O~L donde L={verdadero, 
falso} (más general L=[O, 1] ); 
hn: D~A tal que hn(d)=a, a:O~L tal que: 
a(w)=verdadero ssiy (w)=3ed; 
Bes el conjunto demapeos A~L talque htJ.(d)=b, b:A~L 
tal que b(3)=verdadero ssi oed; 
~hn(D) y ~=htJ.(D); 
Z: ~~cdtal que Z(b)=a ssi a=bOy. 
Una "intención" de un conjunto de objetos individuales 0'60 
puede ser defmida por d=Yn (O'), a=hn (Yn (O'»,ó b=M.( Yn(O'». 
La "extensión" de a en O es un subconjunto de O denotado 
Ext(a/O) y defmido por: 
Ext(alO)={weOI a(w)=verdadero}; la "extensión" de b es un 
subconjunto de A defmido por: 
,Ext(b/A)={3eA I b(o)=verdadero}; la "extensión" de deD en 
Q=A,es denotado Ext(d/Q); por definición, tomamos 
Ext(d/O)=Ext(alO) y Ext(d/A)=Ext(b/A). 
EtJ. es el mapeo ~P(A) tal que EtJ.(b)=Ext(b/O); En: ~P(O) 
tal que En:(a)=Ext(alO). 
De tal manera que, para Diday, un "objeto simbólico" es un 
conjunto de propiedades concernientes a un subconjunto de O. 
Cualquier elemento de D, B, o A puede ser considerado como 
un "objeto simbólico". 
ELEMENTOS CRÍTICOS 
En el trabajo de E. Diday [3], en particular en la definición 
formal de objeto simbólico, la notación que utiliza no hace una 
distinción precisa entre un objeto individual y un objeto simbó­
lico. 
También tiene algunas imprecisiones: 
1) En la defmición de YtJ. tiene la imprecisión siguiente: 
para A6 YtJ.(A')=deD, por defmición; sin embargo YtJ.(A')6 D 
por la propiedad de satisfacción, entonces d=YtJ. (A')6 D, lo cual 
es una inconsistencia. 
2) E. Díday da un ejemplo (Sección 2.2 [3]), en el cual 
A= OIX02X, ... ,XOp y D= P(OI)XP(02)X, ... ,xP(Op), en particu­
larA=Olx02,D=P(O,)xP(02)ydefined=VlxV2 con V\6Ü¡ 
15 
~ 
j 
¡ 
( 
I 
J. Ruiz. M. Chac, J. F. Martínez: 8ases Conceptuales para una Teoría de Objetos Simb6Hcos 
y V2{; 02, aquí existe la incongruencia de que deO, ya que d 
es un conjunto de t-uplos, cuyas componentes son valores sim­
ples, y O es un conjunto de t-uplos pero cuyas componentes son 
a la vez conjuntos de valores. De la misma manera comete el 
error de considerar a={a}, cuando b~ que 1>{; P(A) (Sección 
2.4 [3]). 
3)En la práctica existen objetos individuales que sus variables 
aceptan un conjunto de valores, a diferencia de los dados por E. 
Diday, que sólo aceptan un solo valor por la función y. 
Es el caso, por ejemplo, en el que estamos describiendo una 
persona y decimos que su estatura está entre 1,70 m y 1,80 m; 
o cuando afrrmamos que el color del pelo era entre rubio y cas­
taflo claro, esto es, cuando nuestra imprecisión está acotada y 
sabemos que en defmitiva la persona tiene una única estatura y 
un único color de pelo. 
4)La formalización del concepto de objeto simbólico, no es ge­
neral, ya que al considerar objetos de tipo "hordes" y de 
"synthesis" se modifica su diagrama particularmente en lo que 
se refiere al universo de objetos O al considerar OP y 01' ...,Op 
respectivamente y por consiguiente todas las funciones que uti­
IizanO. 
REDEFlNICIÓN DE LA FORMALIZACIÓN ANTERIOR 
Debido a las anteriores irregularidades presentes ,en la 
formalización anterior, se ban analizado y discutido varias solu­
ciones para mejorar lo hecho por Diday; antes de desarrollar 
una nueva formalización es preciso enmendar lo establecido con 
miras a generalizar estos conceptos. 
Sea O un conjunto de objetos del universo de estudio E (~E); 
A un conjunto descripciones admisibles de O (F el conjunto 
de todas las descripciones posibles, F). 
Sean O¡ el conjunto de valores admisibles de la variable (ras­
go) X¡ i=I,...,p, A=O¡x,...,xOp,A¡=P(O¡)x,... ,xP(Op)' con P(O¡) 
conjunto potencia de Oí' i=I , ... ,p Y O{;A¡. Sea B un conjunto de 
fórmulas bien formadas (fbf) en un cálculo proposicional Cp. 
Consideremos el siguiente diagrama: 
YQ .. A 
~A , 
P(Q 
Y .. P(A,) 
zl l·
B .. D 
s 
Figura 2. Diagrama modificado 
Donde: 
y: O~A es una función de descripción de objetos de O 
l 16 
en p-uplos cuyas componentes tienen asignado un sólo 
valor. y(w)=o conweO, o=(X)(w), ... ,xp(w». 
y): O~A ) función de descripción de objetos de O en p­
uplos cuyas componentes tienen asignado un conjunto 
de valores. Esto permite a un rasgo Xi tomar uno o más 
valores admisibles en Oh se da comúnmente cuando hay 
imprecisión del valor de un rasgo, es decir, el valor se 
encuentra entre ciertos valores o un intervalo de valores 
(fmitos o infmitos). 
Y: P(O)~P(A) función de descripción de subconjuntos 
de O en un conjunto de p-uplos cuyas componentes tie­
nen asignado un cynjunto de valores, es decir, dado 
O'{;Q"Y(O')={(V) ,...,Vp 
l 
),...,(V)s,... ,Vp
s
)} O;;:;s;;:;p. 
X: P(Al)~O la cual asigna a un conjunto de p-uplos, 
cuyas componentes son conjuntos de valores, un con­
junto de un solo p-uplo, cuyas componentes son conjun­
tos de valores, al cual denominaremos objeto simbólico 
(Os). En rímbolof s s 
X({(V) ,...,Vp ),... ,(V) ,...,Vp ) })={(V),...,Vp) }=Os 
En particular, restringiendo el dominio P(Al) a Y(P(O», 
tenemos que: 
X(Y(O'»={(V b ... ,Vp) IV¡=<f>i(Y(O')[xi]) } 
donde: 
<f>¡: P(O¡)s~P(O¡) O;;:;s;;:;p 
Y[x¡J= P(A)~p(Ol 
Y(O')[Xi]=(V¡s,...,V¡s) 
<f>¡«V¡
s 
,...,V¡
s
»=V¡. 
s: O~B, función de asignación (determinación inten­
cional) de un Os en una fórmula lógica bien formada, es 
decir: S(Os)=fbf({(V), ... ,Vp)}), como por ejemplo la 
conjunción de proposiciones de la forma [Xi e Vi] (l-com­
piejos de Michalski ver [1]). 
Z: B~P(O), función de asignación (determinación 
extensional) de una fbf(Os), a un subconjunto O"{;Q. 
No necesariamente 0"=0', aunque si O'{;O" (s-com­
plejos de Michalski ver [1]). 
Del diagrama modificado debemos puntualizar, que si bien se 
introducen una serie de elementos que salvan las deficiencias 
sefialadas al diagrama de Diday, sin embargo, no se supera el 
inciso 4) del apartado anterior. De aquí que a continuación se 
propone una nueva formalización del concepto de objeto sim­
bólico, la cual tiene como casos particulares, la propuesta por 
E. Diday y la modificada. 
NUEVA FORMALIZACIÓN DEL CONCEPTO DE OBJE­
TO SIMBÓLICO 
Daremos una serie de definiciones sobre la base de las cuales 
se construirá todo el andamiaje de nuestra Teoría de Objetos 
Simbólicos, que tiene como objetivo central, la comparación 
entre conjuntos de datos. 
J. Ruiz, M. Choco J. F. Mortínez: Sases Conceptuales para una reoña de Objetos SImbólicos 
Defmición 1.- Sean U¡"",Ur universos, no necesariamente di­
ferentes, de objetos reales, una variable simbólica sobre U ¡ ,,,,,Ur 
es lDlafunción parcialmente deflDida sobre 2·U) x... x2 ·u, 
como sigue 
2MX: 2'u) x ... x2·u, ~ 
X«A¡,...,Ar»=V 
donde A¡!;U¡, para i=l,...,r; V!;M; X«A¡, ... ,Ar» denota el va­
lor de la variable X en el r-uplo (A¡, ... ,Ar), 2·u¡ x ... x2·ur es 
el producto cartesiano de los conjuntos potencia de los respec­
tivos U¡, con i=l,... ,r, excluyendo al vacío. A M lo denomina­
mos conjunto generador de los valores admisibles de la varia­
ble X y a 2M , el conjunto potencia de M, lo denominaremos 
conjunto de valores admisibles de la variable X. El valor 
X«A¡,...,Ar»=0 denota la ausencia de información en cuanto 
al valor que toma el t-uplo (A ¡, ... ,Ar) en la variable X. 
Ejemplo: Sea U={Juan, Pedro}, M=N (el conjunto de los 
números naturales), X: 2·u~ 2M la variable simbólica (aquí 
r= 1) que denota la edad de un elemento de 2·u. 
Así: 
X({Juan})={l7, ... ,22} 
X({Pedro})={44} 
X( {Juan, Pedro}}={ l7, ... ,44} 
donde {17, ... ,44} en este caso signiflcaque la edad del conjun­
to {Juan, Pedro} está entre 17 y 44. 
Definición 2.- Una variable simbólica se denomina relacional 
heterogénea ssi U¡;t;Uj para i;t;j=1,0" ,r; r> l. 
Ejemplo: Sea X (porcentaje de venta) una variable que rela­
ciona al porcentaje de venta de un conjunto de vendedores 
U1={Pedro, Juan, Maria} y las marcas de automóviles U2={VW, 
Datsun} y M=[O,IOO]. 
X({Juan},{VW})={42} 
X({Pedro, María},{VW})={IOO} 
X({Pedro},{Datsun})= {45,o..,55} 
X({Juan, Pedro},{Datsun})= {50, ...,55} 
Definición 3.- Una variable simbólica se denomina relacional 
homogénea ssi U¡=Uj para i;t;j=l, ... ,r; r>I. 
Ejemplo: Sea X la variable vecino_de, U 1= {Pedro, Juan, Ma­
ría}, U
2
={Pedro, Juan, María} y M={si, no, no_sé}. 
X({Juan}, {María})={si} 
X({Juan},{María, Peqro})={no_sé} 
Nota: Este es lDl ejemplo particular de una variable simbólica 
relacional homogénea binaria, ya que r=2. 
Definición 4.- Una variable simbólica se denomina conjuntual 
ssi r=l. 
Ejemplo: Sea X la variable bebida predilecta, U={Pedro, 
Juan, Maria} M={Coca-Cola, Pepsi-CClIa, Otra} 
X({Juan})= { Coca-Cola} 
X({Juan, Pedro})={Coca-Cola, Pepsi-Cola} 
X( {Pedro} )={Pepsi-Cola, Coca-Cola} 
Las variables relacionales de acuerdo al cardinal de los con­
juntos A¡ pueden ser: a) unitarias IA¡I =1, i=l, ...,s ; siendo s el 
orden de la relación, b) parcialmente unitarias si 3jl' ... jp IA!I> 1, 
para t= jl'... jp; 3il' ... ,iq IA!I=l, para t= i¡,...,iq , p+q=s. 
De manera análoga las variables conjuntuales se denominan 
unitarias si IAI=1. 
Tanto las variables relacionales como conjuntuales se deno­
minan univaluadas si IVI= l. Hay que hacer notar que estos atri­
butos no son excluyentes, es decir, puede haber variables sim­
bólicas unitarias univaluadas. A continuación ejemplificamos 
una variable simbólica conjuntual unitaria. 
Ejemplo: Sea X la variable consumo_de _energía_eléctrica, 
U={Pedro, Juan, María} y M=R+ el conjunto de los números 
reales positivos. 
X({Pedro} }={l350,23} 
X({María} )={880,99} 
Nota: Este ejemplo también puede ilustrar el caso univaluado. 
Atendiendo a la naturaleza del conjunto M las variables sim­
bólicas pueden ser reales, enteras, de intervalos, booleanas, k­
valentes, difusas, lingüísticas, etc. 
Es importante observar que las variables simbólicas 
conjuntuales unitarias se pueden poner en correspondencia 
biunívoca con las variables tradicionales, esto es, variables cuan­
titativas (reales, enteras, de intervalos, etc.) y cualitativas 
(booleanas, k-valentes, difusas, lingüísticas, etc.). En particular 
tenemos que X( {Juan} )={22}, se corresponde con X(Juan)=22. 
Ponemos especial atención en las variables simbólicas difusas y 
lingüísticas. 
Defmición 5.- Una variable simbólica se denomina difusa si es 
una fu~ción parcialmente definida sobre 2·U) x ... x2 ·u, 
como sIgue 
x: 2*UIX.o.x2*u, ~ 2M 
X«A¡,... ,Ar»= V 
siendo 
-·u ·u "( )IrngX(2 )x...x2 • )=0+~x (A) ..... A r ) 11l ••,.(X(A) ..... A,)) 
..1 
el conjunto de todos los subconjuntos difusos en 2M por X, 
donde IlImgxCX«A¡,... ,Ar))) describe el grado con el que la 
variable simbólica X toma el valor V en el t-uplo de conjunto de 
objetos reales (A ..... ,Ar), donde A¡!;U¡, para i=1 ,...,r; V!; 2M o 
Denotaremos 2M al conjunto de todos los subconjlDltos difusos 
de 2M y la denominaremos potencia difusa de 2M • 
17 
, 
.i , 
l 
J. Ruiz, M. Chac, J. F. Martínez: Bases Conceptuales poro una Teoría de Objetos Simbólicos 
Definición 6.- Una variable simbólica se denomina lingUística 
ssi toma como valores vl:l1"iables simbólicas difusas. 
*tT "'TT M- 2*tl, 2'u,X : 2 ·lx••• x2 'r ~ (2 ) ·x...X 
X«A¡,...,Ar»= X«A¡,... ,Ar» 
Definición 7.- Sea dada una variable simbólica cualquiera Xi, 
i=l, ... ,n. Un operador asociado aX¡ es una función parcial­
mente defmida sobre 2+U1 x ... x2"u, 
*l' *l' M ,,'1fJ .,'U,epIX.: 2 JI x...x2 J, ~ (2~ i)- x... x_ 
l 
tal que epi x., «AJ,·..·,Ar»=X¡ «A í! , ... ,A,, »=Vi, donde Vi ~Mi, 
U, ,... , V,, , son los universos sobre los que está definida la va­
'1 • 
riableX¡; i=l, ... ,n; lss:::;r. 
Definición 8.- Sean dados U¡, ... ,Ur universos de objetos rea­
les no necesariamente diferentes, r~l; X¡, ... , Xnvariables sim­
bólicas, eplx. los operadores asociados a Xi; i=l, ... ,n; Aj~Uj; 
j=l, ... ,r. Dirémos que un objeto simbólico (Os) es un elemento 
cualquiera de la imagen del operador 
De: 2"'U¡ x...x2*U' ~ 2M1 x ... x 2M. 
(Aj,...,Ar)~ De (Aj, ... ,Ar)=(Vl, ... ,Vn)=Os 
tal que eplx (At. ... ,Ar)=V¡, siendo y. =O, para j=l, ... ,p, 
. 	 ~ 
OSp<n. Tomimos la convención 
08=(0,...,0,Vi1, ...,Vij, ... ,0,... , Vij+l>'''' Vip,0 ,... ,0)=(Vil,.... ,Vip) 
Definición 9.- Sea dado un cálculo proposicional Cp. S obre el 
mismo se considera el concepto de fórmula bien formada (fbi) . 
Una determinación intencional de un objeto simbólico Os está 
dada por una imagen cualquiera del operador: 
DI: 2M, X ...x 2M. ~ Cp 
De(A},...,Ar)=(Vl",.,Vn)=Os~ DI(OS)=fbf(Vil, ..,Vip) 
p 
Ejemplo: DI(OS)= A [X. (Os)e y. ] 
j=l I¡ Ij 
Definición 10.- Una determinación extensional de un objeto 
simbólico Os es una imagen cualquiera del operador: 
~: Img<pl X x... .xImg<pIXn~ 2M 
1 r 
D:s(Os)={(o, J.1v (Os) (o»loeU= UÍJij "J.1v (Os' (o)=v (tbf(Vih ... ,Vlp»)
E 	 . E I 
j=l 
donde IlD (Os) (o) describe ºl grado de pertenencia de o al 
subconjunt~difuso~(0s)~2M yv es la función valorveritativo 
definida sobre el cálculo proposicional seleccionado Cp. 
Corolario a) SopDE(OS)={01{0}e2*U objeto simbólico 
conjuntual unhario asociado a O" 
D¡({o})= fbf(X ' ({on,...,X' ({o}))/\Y i=1,...,n X ({0})~¡(0s)}
1 n 	 l 
donde Xi es la variable simbólica conjuntual asociada a Xi. 
b) ISopDE{Os)l~ ñ(l~¡ (MLl ) 
Defmición 11.- De acuerdo a su descripción intencional los 
objetos simbólicos pueden ser booleanos, k-valentes, difusos, 
l 18 
de creencia, probabilísticos, posibilísticos, modales, etc. en 
dependencia del cálculo proposicional Cp que se emplee. 
Un caso particular de objeto simbólico, el cual nos ocupare­
mos inmediatamente, es cuando r=l, es decir, cuando trabaja­
mos con objetos de un solo universo. 
Definición 12.M Un objeto simbólico individual está definido 
por De ({a})=(x. ({a}), ... ,x. ({a})). donde, x. j=l ....,p son 
'1 'p lj 
variables simbólicas conjuntuales. Cuando las x. sean varia­
lj 
bIes simbólicas conjuntuales unitarias entonces De( {a}) será 
denominado objeto simbólico individual unitario. 
Definición 13.- Un objeto simbólico individual con impreci­
sión acotada en las variables Xi. j=l,...,s:::;p es un objeto sim­
J 
bólico individual tal que IV (w(a»l>1, t=l,...,s
I¡ 
Definición 	14.- Un evento es un objeto simbólico 
Os(A)= De (A)=(Vj,.... ,Vp) tal que3! i=1, ...,p Vi;.~:0. Loseven­
tos serán denotados [Xi(Os(A))E Vi], con A~U. 
Independientemente del cálculo proposicional, empleado los 
objetos simbólicos pueden ser: Aseverativos, Acumulativos y 
Síntesis. De acuerdo a su descripción extensional los objetos 
simbólicos pueden ser duros si IIV ro., (o)e {O, 1}; difusos si 
tN E\ 8, 
J.I'D (Os) (O)E [O, 1]; L-difuso si IlD (Osí (o)eL, con L conjunto 
Etota~mente ordenado. A cada uno de los posibles tipos de obje­
tos simbólicos le corresponde una expresión para las determi­
naciones extensional e intencional respectivamente. 
CONCLUSIONES 
En primer lugar es importante destacar que los objetos sim­
bólicos individuales unitarios pueden ponerse en corresponden­
cia biunívoca con las descripciones de los objetos reales con las 
que habitualmente trabajamos en el Análisis de Datos y el Re­
conocimiento de Patrones. No es difícil ver que las operaciones 
entre descripciones de objetos reales (tradicionales) y entre va­
riables (tradicionales) pueden ser fácilmente extensibles al caso 
de objetos simbólicos individuales unitarios y de variables sim­
bólicas conjuntuales unitarias respectivamente. Esto nos permi­
te aseverar que todo lo que hasta ahora se ha podido hacer (y se 
hará) con estos entes tradicionales, resulta un caso particular 
del tratamiento con nuestros objetos simbólicos. 
En segundo lugar, q~e este conjunto de definiciones constitu­
ye un lenguaje que nos permitirá elaborar, sobre bases sólidas, 
las herramientas necesarias para el desarrollo de algoritmos de 
estructuración de espacios simbólicos, la clasificación supervi­
sada de conjuntos de objetos y de individuos, a partir de una 
muestra de aprendizaje formada con conjuntos de objetos, la 
clasificación parcialmente supervisada en condiciones análo­
J. Ruiz, M. Chac, J. F. Martínez: Bases Conceptuales para una reoria de Objetos 5/mb6Hc:o$ 
gas a las descritas para la clasificación supervisada, la selección 
de variables mediante la extensión de herramientas de la Teoría 
de Testores [8], sin tener que fabricar monstruos como los men­
cionados en la introducción. 
En tercer lugar, Jas definiciones de determinación intencional 
de los objetos simbólicos, en términos del cálculo proposicional 
conveniente (clásico, de Lukasiewicz, posibilístico, de creen­
cia, etc.) crea un marco amplio de trabajo, que aunque comple­
jo, nos permitirá extraer la información que hoy no podemos 
obtener de los conjuntos de datos disponibles. 
En la actualidad ya hemos definido los conceptos de funcio­
nes de semejanza entre objetos simbólicos, entre los valores de 
una misma variable y un conjunto de expresiones que nos per­
miten establecer estructuraciones de los espacios de representa­
ción de objetos simbólicos atendiendo a diferentes formas de 
realización, como componentes conexas, conjuntos compactos, 
REFERENCIAS 
[1] Michalski, R.S., (1981). Revealing conceptual structure in 
data by inductive inference. Machine Intellígence 10, eds.. 
Hayes-Michic, D. Michie, and Y.H. Pao, Chichister: Ellis 
Horwood, New York: Halsted Press (John Wiley). 
[2] Michalski, R.S., E. Stepp and E. Diday, (1981). A recent 
advanced in data analysis: clustering objects into classes 
characterizad by conjuntive concepts. Progress in Pattern 
Recognition, Vol. 1, L. Kanal and A Rosen feld , eds. 
[3] Chidananda Gowda, K. and E. Diday, (1992). Symbolic Clus­
tering Using a New Similarity Measure. IEEE Transactions 
on Systems, Man, and Cybernetics, Vol 22, No. 2, pp. 368­
378. 
[4] ChidanandaGowda, K. andE. Diday, (1992). Symbolic Clus­
tering Using a New Dissimilarity Measure. IEEE 
Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Vol 22, 
No. 2, pp. 567-578. 
[5] Chidananda Gowda, K. and T.v. Ravi, (1995). Agglomerative 
clustering of symbolic objects using the concepts of both 
similarity and dissimilarity. Pattern Recognition Letters 16, 
pp. 647-652. 
[6] Chidananda Gowda, K. and E. Diday, (1991). Unsupervised 
Learning through Symbolic Clustering.Pattem Recognition 
Letters 12, North-Holland, pp. 259-264. 
[7] Diday, E. (1995). Probabilist, possibilist and belief objects 
for knowledge analysis. Annals ofOperations Research 55, 
pp. 227-276. 
1., 
clanes y otros criterios de agrupamientos.duros y difusos [9,10]. 
Estos resultados serán objeto de una publicación posterior. 
Teniendo en cuenta las ventajas que perniiten todos estos con­
ceptos para el tratamiento de conjuntos de objetos reales, gran­
des volúmenes de información, tratamiento de objetos de uni­
versos diferentes, descritos en términos de variables no necesa­
riamente iguales, puede afirmarse que estas formalizaciones 
constituyen un paso importante en la elaboración de una Teoría 
de Objetos Simbólicos, que sin lugar a dudas ocupará un lugar 
en el Reconocimiento de Patrones y el Análisis de Datos. 
Algunos de los resultados aquí presentados fueron expuestos 
en eventos internacionales [11,12]. Esta investigación estuvo 
parcialmente financiada por la Dirección de Estudios de 
Posgrado y de Investigación del Instituto Politécnico Nacional 
de México. 
[8]Lazo-Cortés, M. and 1. Ruiz-Shulcloper, (1995) 
Determíning the featurerelevance for non-clssically described 
objects and a new algorithm to compute typical fuzzy testors. 
Pattern Recognition Letters 16, pp. 1259-1265. 
[9] Ruiz-Shulcloper, J. andJ.J. Montellano-Ballesteros, (1995). 
A new model of fuzzy clustering algori thms. Proceedings of 
the EUFIT'95, august 28-31, Aachen, pp. 1484-1488. Ger­
many. 
[10] Martínez-Trinidad, J.E and J. Ruiz-Shulcloper. Fuzzy Se­
mantic Clustering. Proceedings ofthe EUFIT'96, sept. 2-5, 
Aachen,1996, pp. 1397-1401. Germany. 
[11] Ruiz-Shulcloper, J.; M. Chac-Kantún, J.E Martínez­
Trinidad, (1996). Data Analysis Between Sets ofObjects. In 
Advances in Artificial Intelligence and Ingineering Cyber­
netícs, Volume 1Il, Ed. George E. Lasker (Proceedingsof 
the 8th International Conference on Systems Research, 
Informatics and Cybernetícs, Baden Baden, Germany, Au­
gust 14-18,1996 ) pp. 81-85. 
[12] Ruiz-Shulcloper, J.; 	M. Chac-Kantún, J.E Martínez 
Trinidad, (1996). Acerca de una Teoría de Objetos 
Simbólicos. Memorias ~el Simposium Internacional de 
Computación, pp. 137-144. México. 
19 
. 
J 
; 
¡ 
.
, 
( 
\ 
J. ~Iz. M. ChQC, J. F. Martínez: Base. Conceptuales para una Teoría de Objetos Simb611cos 
; 
José RIl¡1. Shlllcloper. Nacionalidad cubana, obtuvo el Dactorado en Matemáticas por la Universidad 
Estatal de Moscú y el Centro de Cálculo de la Academia de Ciencias de la URSS. Sus áreas de interés 
son: el enfoque lógico combinatorio del Reconocimiento de Patrones, la Teoría de Testores, la Teoría 
de Objetos Simbólicos y los Madelos Difusos. 
Actúalmente es investigador titular del Instituto de Cibernética, J.(atemática y Física de Cuba, donde 
es jefe del grupo de Recanocimiento de Patrones. Además esprofesar titular del Centro de Investigación 
en Computación deIIPN, México. . 
José Francisco Mardne1. Trinidad. Nacionalidad mexicana, obtuvo la MaestTÍaen Ciencias de la. 
Computtiqión, por la Benemérita UniversiiÚJd Autónoma de. Puebla, México. Sus áreas.de interés 
son: id erifoque lógico combinatorio del Reconocimiento de PatrofU!s, el Agrupamiento ConC6]Jtual y 
la Teorla de Objetos Simbólicos. 
Actualmente es profesor Investigador en el Centro de Investigación enComputación del IPN, México. 
MlJl'tln ChacKantún. NacionaliiÚJd mexicana, obtuvo el grado de Licellciadoen Matemáticas por la 
Escuela de Matemáticas de la UniversiiÚJd Autónoma de Yucatán. Sus áreas de interés son: la Teoría 
de Objetos Simbólicos, el enfoque lógico combinatorío del Reconocim¡",to de Patrones y el Análisis 
de Datos. Actualmente es estudiante en el laboratorío de Procesamiento. Imágenes del Centro de 
Investigación en Computación del IPN, México. . 
20 
http:�reas.de
FE DE ERRA TAS 
DICE DEBE DECIR 
PORTADA' 
Revista lberoamerica de Computa<:ión 
CONTRAPORTADA: 
Volumen, 1 Número. I 
Volume. L Number .1 
006 Bruce H. Me, Cormick, 
David A. Balte and Andrew T, Duchwski 
014 José Ruiz, Shulcloper, 
Martin G, Chao y José F. Martín.. 
B.... Conceptuales para una Teoría de Objetos Simbólicos 
022 Gustavo NúíIez &nd Matias Alvarado 
Contextual Knowledge Reasoning 
Representation and Automatizaton 
028 [80' A. Bolshakov 
El Modelo Morfológico Formal para la Síntesis de Sustantivos y Adjetivos en Espollol 
038), Humberto Sossa and J, Luis Di.. de León 
Recogoizing Planar Riding and Non-Riding Wire-Shapes 
046 Sergio R Sandoval 
Revisión de libros 
048 Anuncios y Evento. 
AnnouncemenlS and cal! for pape<> 
PRiMERA DE FORROS 
Juan Manuellbarra Centro de [vestigación 
en Computación-IPN México 
PÁG. 1 
Volumen, I Número, 1 
Volume, L Number ,1 
006 Sroce H. Mc,Cormick. 
David A. Balte and Andrew T, Duchwski 
014 José Ruiz. Sholcloper. 
Martín G, Chao y José F. Mamo.. 
S.... Conceptuales para una Teona de Objetos Simbólicos 
022 Gustavo Núfiez and Mallas Alvarado 
Contextual Knowledge Reasoning : 
Representation and Automatizaton 
028 19or A, Bolshakov 
El Modelo Morfol6gico Formal para la Sintesis de Sustantivos y Adjetivos en Espallol 
038 J, Humberto Snssa and 1. Luis Di.. de León 
Reoogoizing Plan.,. Riding and Noo-Ríding Wire-Shapea 
046 Sergio R, Sandoval 
Revisión de libros 
048 Anuncios y Eventos 
Anoouncements and caU for papers 
PÁG,2 
Lín.. 11 
invited several well know Mexican and foreign researchers in Computer Scieneo and relaled Iíelds, 
PÁG,) 
Linea 9 
Correo electrónico Revi.ta@pullux,cenae.ípu.mx. 
PÁG. 26 
Matías Alvarado Mentado. Nacionalidad mexicana, es licenciado en Matemáticas por la Facultad 
de Ciencias de la Universidad Nacional Auloooma de México, 
PÁG. 44 
Juan Lui. Di.. de León SanlÍago, Nacionalidad mexicana, obtuvo el doctorado en el CINVEST AV 
del LP,N, México con especialidad con ingeniena eléctrica, Profesor titular en el Centro de 
Investigaci6n en el LP,N, 
PÁG,52 
Lín.. 3J 
(7]. .. 
PÁG 53 
Línea 14 wa artículos deben ajustarse a las siguientes especificaciones 
Revista Iberoamericana de Computa<:ión 
Volumen I Númerol 
Volume [Number 1 
5 Bruce H. McCormiek, 
David A, Salte and Andrew T. Duchowski 
13 José Ruíz Shulcloper. 
Martín G, Chac y José F, Martín.. 
B.... Conceptuales para una Teoría de Objetos Simbólicos 
21 Gustavo Núftez and Matías Alvarado 
Contextual Knowledge and Selief : 
Representation and Reasoning 
271gor A. Bolshakov 
El Modelo Morfológico Formal para Sustantivos y Adjetivos en el E.paIIol 
371. Humberro So.sa and J, Luis Diaz de León 
Recogoizing Planar Rigid and Non-Rigid Wire-Shapes 
45 Sergio Sandoval Reyes 
Revisión de libros 
47 Anuncios y Eventos 
AnnouncemenlS and caU for pape<> 
Juan Manuellbarra Zannatha Centro de Investigación 
en Computa<:ión-IPN México 
Volumen 1 Número 1 
Volume I Number I 
5 Sruce H. McCormick, 
David A, Balte and Andrew T. Duchowski 
13 José Ruíz Shulcloper, 
Mamn G, Chac y José F, Mamn.. 
Sases Conceptuales para una Teoría de Objetos Simbl>licos 
21 Gustavo Núftez and Matí.. Alvarado 
Contextual Knowledge and Selíef : 
Representation and Reasoning 
t 
27 Igor A Bolshakov 
El Modelo Morfológico Formal para Sustantivos y Adjetivo. en el Espa1lol 
37 J. Humberto Snssa and l Luis Diaz de León 
Recogoiziog Planar Rigid and Non-Rigid Wire-Shapea 
45 Sergio Sandoval Reyes 
Revisión de libros 
47 Anuncios y Eventos 
Anoouncements and call for papen¡ 
invited several well known Mexiean and foreign researchers in Computer Science and related fields, 
Correo electrónico: Revista@pullux,cenac.ipn,mx. 
Matia. Alvarado Mentado, Nacionalidad mexieana, e. licenciado en Matemáticas por la Facultad de 
Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México, 
PÁG,44 
Juan Luis Dial de León S••tiago. Nacionalidad mexicana, olrtuvo el doctorado en el CINVESTA V del 
lP.N, México con especialidad en ingeniena eléctrica, Profesor titular en el Centro de Investigación en 
Computación en el IP,N, 
Lín.. 33 
[7] A, Rosenfeld. Digital Topulogy. Ámer.Malh, Monlly, 
86 :621-630, /979, 
[7J G, Matheron, Random Seis ami Integral Geomelry, 
John Wíle and Sons, New York, 1995, 
[7] B.Vazquez. JR So..a and lL, Di.. de León 
Autoguided Vehicle Cootrol uaing Expended Time 
B-splines. lo IEEE lnlemationaI Cmrference 00 Systems. 
ManamiCybemetlcs, pages 2786 -2791, San Antonio 
Texas, October, 1994, 
[7] P Perner, p, Wang and A. Rosefeld (Edsl, Advances 
in Structural and Synlactical Palteen Reoogoition, 
Springer 1996, 
Línea 14 Los artículos deben ajustarse a las siguientes especificaciones : 
mailto:Revista@pullux,cenac.ipn,mx
mailto:Revi.ta@pullux,cenae.�pu.mx
	13_ VOL 1 NO. 1
	14_ VOL 1 NO. 1
	15_ VOL 1 NO. 1
	16_ VOL 1 NO. 1
	17_ VOL 1 NO. 1
	18_ VOL 1 NO. 1
	19_ VOL 1 NO. 1
	20_ VOL 1 NO. 1