ASHLEY-MELENDEZ-CANO-DP

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO 
DE TECNOLOGÍA DIGITAL 
 
MAESTRIA EN CIENCIAS EN SISTEMAS DIGITALES 
 
“DISEÑO E IMPLEMENTACIÓN EN UN FPGA DE UN 
SISTEMA DE TRANSMISIÓN DE INFORMACIÓN 
MULTIMEDIA CON ENMASCARAMIENTO CAÓTICO” 
 
TESIS 
 
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE 
 
MAESTRIA EN CIENCIAS EN SISTEMAS DIGITALES 
 
 
PRESENTA: 
 
ING. ASHLEY MELENDEZ CANO 
 
 
BAJO LA DIRECCIÓN DE: 
 
DR. JOSÉ CRUZ NÚÑEZ PÉREZ 
DR. ESTEBAN TLELO CUAUTLE 
 
TIJUANA B.C, DICIEMBRE 2018
 
 
 
 
 
Dedicatoria 
 
 
 
 
 
 
 
 
A mis padres: 
Victor Javier Melendez Galindo y Silvia Cano Delgado 
 
A mis hermanos: 
Alan Melendez Cano y Leslie Melendez Cano 
 
 
 
 
Agradecimientos 
 
A mis padres Victor Javier Melendez Galindo y Silvia Cano Delgado por darme la vida así 
como brindarme todo el apoyo incondicional para mi educación y mi superación personal. A 
mis hermanos Alan Melendez y Leslie Melendez, por ser parte importante de mi vida y 
significar la unidad familiar. 
 
A mis directores de tesis Dr José Cruz Núñez Pérez y Dr. Esteban Tlelo Cuautle por 
aceptarme y permitirme ser parte de su equipo de trabajo, por sus enseñanzas, consejos, 
motivaciones, y disponibilidad en todo momento. 
 
Agradezco al Instituto Politécnico Nacional, al Centro de Investigación y Desarrollo de 
Tecnología Digital y al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología por el apoyo brindado. 
 
A mi comité revisor: Dr. Victor Hugo Díaz, Dr. José Ricardo Cárdenas y M.C Andres 
Calvillo Tellez, por los comentarios como sus consejos que permitieron mejorar el trabajo de 
la tesis y este escrito. 
 
A todos los compañeros y amigos que he conocido a lo largo de la maestría, por los 
conocimientos y los buenos momentos compartidos. 
 
 
RESUMEN 
 
En la actualidad se continúa explorando distintos campos en áreas científicas donde se utilizan 
los sistemas dinámicos basados en modelos de generación de caos. Comúnmente estos 
sistemas se construyen a través de modelos matemáticos conocidos como sistemas de 
ecuaciones de estados. Varios de estos modelos se representan a través de circuitos integrados 
mediante componentes electrónicos. Es posible controlar y sincronizar esta clase de sistemas 
caóticos los cuales pueden tener un gran impacto sobre áreas afines como matemáticas, 
informática, economía, anatomía, geofísica entre otras. 
 
En esta tesis se presenta la metodología utilizada para simular, diseñar, implementar y 
transmitir información enmascarada con veintiún osciladores caóticos diferentes basados en el 
circuito de Chua, series de funciones saturadas no lineales y la colección de casos de Sprott. 
Estos osciladores caóticos se pueden resolver de distintas maneras, sin embargo, se trabajaron 
en tiempo discreto usando métodos numéricos como método Euler y Runge-Kutta de 4to 
Orden codificados en Matlab-Simulink. 
 
La primera aportación con resultados positivos para la investigación de osciladores caóticos es 
alcanzar la sincronización en cada uno de los osciladores caóticos mencionados a través de dos 
métodos conocidos en la literatura como Open Plus Closed Loop y Hamiltoniano 
Generalizado de formas canónicas. 
 
Como segunda aportación de la tesis se encuentra el diseño digital e implementación de los 
veintiún osciladores caóticos en Quartus II Web Edition para su implementación física en una 
tarjeta Cyclone IV donde se presenta resultados experimentales y un análisis de recursos 
lógicos en la FPGA. 
 
La última aportación del trabajo de tesis es la transmisión de enmascaramiento caótico con los 
veintiún osciladores caóticos mencionados anteriormente usando diferentes tipos de 
información multimedia como imagen, audio y video. Finalmente se realizó la 
implementación de la transmisión de enmascaramiento caótico de una imagen entre la PC-
FPGA mediante el protocolo de comunicación serial RS232-UART. 
 
Palabras clave: caos, Chua, enmascaramiento, formas Hamiltonianas, FPGA, métodos 
numéricos, multi-enrollamientos, OPCL, oscilador caótico, sincronización, SNLF, 
transmisión. 
 
 
 
ABSTRACT 
 
Nowadays, many areas have been explored dynamic systems in the scientific field along with 
different applications benefited by chaos generation models. These mathematical models are 
constructed by system equation states very well known in the differential equations. This types 
of models can be represented by integrated circuits with electronic components. Over time it 
has been shown that it can be possible to control and synchronize this kind of chaotic systems 
which promise to have a great impact on new applications in many areas where these types of 
behaviors are presented. 
 
This thesis presents the methodology to simulate, design, implement and transmit masked 
information using twenty-one different chaotic oscillators based on the Chua circuit, Series of 
non-linear functions, the Sprott case collection. These chaotic oscillators can be solved in 
many ways however every chaotic system mention above were discretized in order to use 
numerical methods known as Euler and Runge-Kutta of 4
th
 order, this methods were coded in 
Matlab-Simulink. 
 
The first contribution of this is to achieve synchronization with every of the aforementioned 
chaotic oscillators with two methods known in the literature as Open Plus Closed Loop and 
Generalized Hamiltonian of canonical forms, this being one of the first contributions of the 
thesis obtaining positive results for the investigation of chaotic oscillators. 
 
As a second contribution of the thesis is the digital design and implementation of twenty-one 
chaotic oscillators in Quartus II web Edition for its physical implementation in a Cyclone IV 
card where experimental results and analysis of logical records of the FPGA are presented. 
 
The last contribution of this work is the transmission of a chaos signal mixed with information 
masking different types of multimedia information such as image, audio and video with the 
twenty-one chaotic oscillators mentioned above. The implementation of the chaotic masking 
transmission of an image between the PC-FPGA was also carried out using a serial 
communication protocol known as RS232-UART. 
 
Key Words: Chaos, Chua, chaotic oscillator, masking, Hamiltonian forms, FPGA, numerical 
methods, multi-scroll, OPCL, synchronization, SNLF, transmission. 
 
TABLA DE CONTENIDO 
 
1.1 Antecedentes ............................................................................................................ 1 
1.2 Problemática ............................................................................................................. 2 
1.3 Justificación .............................................................................................................. 3 
1.4 Hipótesis ................................................................................................................... 4 
1.5 Objetivo general y objetivos específicos .................................................................. 4 
1.6 Aportaciones ............................................................................................................. 4 
1.7 Organización del documento .................................................................................... 5 
2.1 Teoría del Caos ......................................................................................................... 7 
2.2 Oscilador caótico basado en el circuito de Chua ...................................................... 8 
2.3 Oscilador caótico de series de funciones saturadas no lineales .............................. 11 
2.4 Osciladores caóticos de la colección de casos de Sprott ........................................ 13 
2.5 Métodos numéricos ................................................................................................ 15 
2.5.1 Métodos numéricos en ecuacionesdiferenciales ....................................................... 15 
2.5.2 Método de Euler ......................................................................................................... 16 
2.5.3 Método de Runge-Kutta ............................................................................................. 18 
2.6 Sincronización de sistemas caóticos....................................................................... 19 
2.6.1 Tipos de estados para sincronización ......................................................................... 20 
2.6.2 Sincronización mediante Open Plus Closed Loop ..................................................... 21 
2.6.3 Sincronización mediante Hamiltoniano Generalizado de forma canónica ................ 22 
2.7 Exponentes de Lyapunov ....................................................................................... 24 
3.1 Simulación de osciladores caóticos en Matlab ....................................................... 26 
3.1.1 Simulación del oscilador caótico Chua ...................................................................... 26 
3.1.2 Simulación del oscilador caótico SNLF ..................................................................... 28 
3.1.3 Simulación de colección de casos de Sprott .............................................................. 29 
3.2 Simulación de osciladores caóticos en Simulink ................................................... 39 
3.2.1 Simulación del oscilador caótico Chua ...................................................................... 39 
3.2.2 Simulación del oscilador caótico SNLF ..................................................................... 42 
3.2.3 Simulación de colección de casos de Sprott .............................................................. 44 
3.3 Calculo del Exponente de Lyapunov...................................................................... 63 
LISTA DE FIGURAS.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 
LISTA DE TABLAS ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 
ACRONIMOS .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI 
GLOSARIO DE TÉRMINOS ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII 
 
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 
 
CAPÍTULO 2 MARCO TEÓRICO ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 
 
CAPÍTULO 3 SIMULACIÓN DE OSCILADORES CAÓTICOS ... . . . . . . . . . 26 
 
 
4.1 Sincronización de osciladores caóticos mediante OPCL en Simulink ................... 66 
4.1.1. Sincronización OPCL del circuito de Chua ............................................................... 67 
4.1.2. Sincronización OPCL de SNLF ................................................................................. 68 
4.1.3. Sincronización OPCL del caso A ............................................................................... 70 
4.1.4. Sincronización OPCL del caso B ............................................................................... 71 
4.1.5. Sincronización OPCL del caso C ............................................................................... 73 
4.1.6. Sincronización OPCL del caso D ............................................................................... 74 
4.1.7. Sincronización OPCL del caso E ............................................................................... 76 
4.1.8. Sincronización OPCL del caso F ............................................................................... 77 
4.1.9. Sincronización OPCL del caso G ............................................................................... 79 
4.1.10. Sincronización OPCL del caso H ............................................................................... 80 
4.1.11. Sincronización OPCL del caso I ................................................................................ 82 
4.1.12. Sincronización OPCL del caso J ................................................................................ 83 
4.1.13. Sincronización OPCL del caso K ............................................................................... 85 
4.1.14. Sincronización OPCL del caso L ............................................................................... 86 
4.1.15. Sincronización OPCL del caso M .............................................................................. 88 
4.1.16. Sincronización OPCL del caso N ............................................................................... 89 
4.1.17. Sincronización OPCL del caso O ............................................................................... 91 
4.1.18. Sincronización OPCL del caso P ............................................................................... 92 
4.1.19. Sincronización OPCL del caso Q ............................................................................... 94 
4.1.20. Sincronización OPCL del caso R ............................................................................... 95 
4.1.21. Sincronización OPCL del caso S ............................................................................... 97 
4.2 Sincronización de osciladores caóticos mediante Hamilton en Simulink .............. 98 
4.1.1. Sincronización Hamilton del circuito de Chua .......................................................... 99 
4.1.2. Sincronización Hamilton de SNLF .......................................................................... 101 
4.1.3. Sincronización Hamilton del caso A ........................................................................ 103 
4.1.4. Sincronización Hamilton del caso B ........................................................................ 105 
4.1.5. Sincronización Hamilton del caso C ........................................................................ 107 
4.1.6. Sincronización Hamilton del caso D ........................................................................ 109 
4.1.7. Sincronización Hamilton del caso E ........................................................................ 111 
4.1.8. Sincronización Hamilton del caso F ........................................................................ 113 
4.1.9. Sincronización Hamilton del caso G ........................................................................ 115 
4.1.10. Sincronización Hamilton del caso H ........................................................................ 117 
4.1.11. Sincronización Hamilton del caso I ......................................................................... 119 
4.1.12. Sincronización Hamilton del caso J ......................................................................... 121 
4.1.13. Sincronización Hamilton del caso K ........................................................................ 123 
4.1.14. Sincronización Hamilton del caso L ........................................................................ 125 
4.1.15. Sincronización Hamilton del caso M ....................................................................... 127 
4.1.16. Sincronización Hamilton del caso N ........................................................................ 129 
4.1.17. Sincronización Hamilton del caso O ........................................................................ 131 
4.1.18. Sincronización Hamilton del caso P ........................................................................ 133 
4.1.19. Sincronización Hamilton del caso Q ........................................................................ 135 
4.1.20. SincronizaciónHamilton del caso R ........................................................................ 137 
4.1.21. Sincronización Hamilton del caso S ........................................................................ 139 
CAPÍTULO 4 SINCRONIZACIÓN DE OSCILADORES CAÓTICOS ... . 66 
 
5.1 Diseño de arquitectura en VHDL de sistemas caóticos ....................................... 142 
5.2 Análisis de Recursos lógicos ................................................................................ 145 
5.3 Resultados Experimentales................................................................................... 146 
6.1 Simulación de Transmisión Multimedia con Enmascaramiento Caótico ............ 151 
6.1.1. Transmisión de imágenes con enmascaramiento caótico ......................................... 151 
6.1.2. Transmisión de audio con enmascaramiento caótico ............................................... 157 
6.1.3. Transmisión de video con enmascaramiento caótico ............................................... 157 
6.2 Implementación de transmisión multimedia con enmascaramiento caótico ........ 160 
6.3 Productividad científica ........................................................................................ 164 
 
 
CAPÍTULO 5 IMPLEMENTACIÓN DE OSCILADORES CAÓTICOS 142 
 
CAPÍTULO 6 TRANSMISIÓN CON OSCILADORES CAÓTICOS ... . . 151 
 
CAPÍTULO 7 CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS ... . . . . . . . . . . . . . 167 
 
REFERENCIAS.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 
 Tesis Maestría en Ciencias en Sistemas Digitales 
 
Página i 
LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 2.1. Circuito del diodo Chua. ........................................................................................... 8 
Figura 2.2. Curva característica voltaje-corriente del diodo de Chua. ........................................ 9 
Figura 2.3. Curva característica del diodo de Chua para seis enrollamientos. .......................... 11 
Figura 2.4. Curva característica de SNLF básica con dos niveles de saturación. ..................... 12 
Figura 2.5. Curva característica de SNLF básica con seis niveles de saturación. ..................... 13 
Figura 2.6 Recta tangente a la curva solución del punto X0. ..................................................... 16 
Figura 2.7 Recta tangente a la curva solución del punto X1. ..................................................... 17 
Figura 3.1. Simulación del circuito de Chua para dos enrollamientos por el método RK4 en 
Matlab. .................................................................................................................. 27 
Figura 3.2. Simulación del circuito Chua para seis enrollamientos por el método RK4 en 
Matlab. .................................................................................................................. 27 
Figura 3.3. Simulación de SNLF para dos enrollamientos por el método RK4 en Matlab. ...... 28 
Figura 3.4. Simulación de SNLF para seis enrollamientos por el método RK4 en Matlab. ..... 29 
Figura 3.5. Simulación de caso A por el método RK4 en Matlab. ............................................ 30 
Figura 3.6. Simulación de caso B por el método RK4 en Matlab. ............................................ 30 
Figura 3.7. Simulación de caso C por el método RK4 en Matlab. ............................................ 31 
Figura 3.8. Simulación de caso D por el método RK4 en Matlab. ............................................ 31 
Figura 3.9. Simulación de caso E por el método RK4 en Matlab. ............................................ 32 
Figura 3.10. Simulación de caso F por el método RK4 en Matlab. .......................................... 32 
Figura 3.11. Simulación de caso G por el método RK4 en Matlab. .......................................... 33 
Figura 3.12. Simulación de caso H por el método RK4 en Matlab. .......................................... 33 
Figura 3.13. Simulación de caso I por el método RK4 en Matlab. ........................................... 34 
Figura 3.14. Simulación de caso J por el método RK4 en Matlab. ........................................... 34 
Figura 3.15. Simulación de caso K por el método RK4 en Matlab. .......................................... 35 
Figura 3.16. Simulación de caso L por el método RK4 en Matlab. .......................................... 35 
Figura 3.17. Simulación de caso M por el método RK4 en Matlab. ......................................... 36 
Figura 3.18. Simulación de caso N por el método RK4 en Matlab. .......................................... 36 
Figura 3.19. Simulación de caso O por el método RK4 en Matlab. .......................................... 37 
Figura 3.20. Simulación de caso P por el método RK4 en Matlab. .......................................... 37 
Figura 3.21. Simulación de caso Q por el método RK4 en Matlab. .......................................... 38 
Figura 3.22. Simulación de caso R por el método RK4 en Matlab. .......................................... 38 
Figura 3.23. Simulación de caso S por el método RK4 en Matlab. .......................................... 39 
Figura 3.24. Diagrama a bloques de estructura del sistema de ecuaciones del circuito de Chua 
para dos enrollamientos en Simulink. ................................................................... 40 
Figura 3.25. Simulación del circuito de Chua para dos enrollamientos por el método RK4 en 
Simulink. ............................................................................................................... 41 
Figura 3.26. Simulación del circuito de Chua para seis enrollamientos por el método RK4 en 
Simulink. ............................................................................................................... 41 
Figura 3.27. Diagrama a bloques de estructura del sistema de ecuaciones de SNLF para dos 
enrollamientos en Simulink. ................................................................................. 42 
Figura 3.28. Simulación de SNLF para dos enrollamientos por el método RK4 en Simulink. 43 
Figura 3.29. Simulación de SNLF para seis enrollamientos por el método RK4 en Simulink. 43 
Figura 3.30. Diagrama a bloques de estructura del sistema de ecuaciones del caso A en 
Simulink. ............................................................................................................... 44 
Figura 3.31. Simulación de caso A por el método RK4 en Simulink. ...................................... 45 
Figura 3.32. Diagrama a bloques de estructura del sistema de ecuaciones del caso B en 
Simulink. ............................................................................................................... 45 
Figura 3.33. Simulación de caso B por el método RK4 en Simulink. ....................................... 46 
Figura 3.34. Diagrama a bloques de estructura del sistema de ecuaciones del caso C en 
Simulink. ............................................................................................................... 46 
Figura 3.35. Simulación de caso C por el método RK4 en Simulink. ....................................... 47 
Figura 3.36. Diagrama a bloques de estructura del sistema de ecuaciones del caso D en 
Simulink. ............................................................................................................... 47 
Figura 3.37. Simulación de caso D por el método RK4 en Simulink. ...................................... 48 
Figura 3.38. Diagrama a bloques de estructura del sistema de ecuaciones del caso E en 
Simulink. ............................................................................................................... 48 
Figura 3.39. Simulación de caso E por el método RK4 en Simulink. ....................................... 49 
Figura 3.40. Diagrama a bloques de estructura del sistema de ecuaciones del caso F en 
Simulink. ...............................................................................................................49 
Figura 3.41. Simulación de caso F por el método RK4 en Simulink. ....................................... 50 
Figura 3.42. Diagrama a bloques de estructura del sistema de ecuaciones del caso G en 
Simulink. ............................................................................................................... 50 
Figura 3.43. Simulación de caso G por el método RK4 en Simulink. ...................................... 51 
Figura 3.44. Diagrama a bloques de estructura del sistema de ecuaciones del caso H en 
Simulink. ............................................................................................................... 51 
Figura 3.45. Simulación de caso H por el método RK4 en Simulink. ...................................... 52 
Figura 3.46. Diagrama a bloques de estructura del sistema de ecuaciones del caso I en 
Simulink. ............................................................................................................... 52 
Figura 3.47. Simulación de caso I por el método RK4 en Simulink. ........................................ 53 
Figura 3.48. Diagrama a bloques de estructura del sistema de ecuaciones del caso J en 
Simulink. ............................................................................................................... 53 
Figura 3.49. Simulación de caso J por el método RK4 en Simulink. ........................................ 54 
Figura 3.50. Diagrama a bloques de estructura del sistema de ecuaciones del caso K en 
Simulink. ............................................................................................................... 54 
Figura 3.51. Simulación de caso K por el método RK4 en Simulink. ...................................... 55 
Figura 3.52. Diagrama a bloques de estructura del sistema de ecuaciones del caso L en 
Simulink. ............................................................................................................... 55 
Figura 3.53. Simulación de caso L por el método RK4 en Simulink. ....................................... 56 
Figura 3.54. Diagrama a bloques de estructura del sistema de ecuaciones del caso M en 
Simulink. ............................................................................................................... 56 
Figura 3.55. Simulación de caso M por el método RK4 en Simulink. ...................................... 57 
Figura 3.56. Diagrama a bloques de estructura del sistema de ecuaciones del caso N en 
Simulink. ............................................................................................................... 57 
Figura 3.57. Simulación de caso N por el método RK4 en Simulink. ...................................... 58 
Figura 3.58. Diagrama a bloques de estructura del sistema de ecuaciones del caso O en 
Simulink. ............................................................................................................... 58 
Figura 3.59. Simulación de caso O por el método RK4 en Simulink. ...................................... 59 
Figura 3.60. Diagrama a bloques de estructura del sistema de ecuaciones del caso P en 
Simulink. ............................................................................................................... 59 
Figura 3.61. Simulación de caso P por el método RK4 en Simulink. ....................................... 60 
 Tesis Maestría en Ciencias en Sistemas Digitales 
 
Página iii 
Figura 3.62. Diagrama a bloques de estructura del sistema de ecuaciones del caso Q en 
Simulink. ............................................................................................................... 60 
Figura 3.63. Simulación de caso Q por el método RK4 en Simulink. ...................................... 61 
Figura 3.64. Diagrama a bloques de estructura del sistema de ecuaciones del caso R en 
Simulink. ............................................................................................................... 61 
Figura 3.65. Simulación de caso R por el método RK4 en Simulink. ....................................... 62 
Figura 3.66. Diagrama a bloques de estructura del sistema de ecuaciones del caso S en 
Simulink. ............................................................................................................... 62 
Figura 3.67. Simulación de caso S por el método RK4 en Simulink. ....................................... 63 
Figura 4.1. Estructura de sincronización de los sistemas de ecuaciones en Simulink. ............. 66 
Figura 4.2. Simulación del error de sincronización OPCL del circuito de Chua en Simulink. . 68 
Figura 4.3. Simulación del error de sincronización OPCL de SNLF en Simulink. .................. 70 
Figura 4.4. Simulación del error de sincronización OPCL del caso A en Simulink. ................ 71 
Figura 4.5. Simulación del error de sincronización OPCL del caso B en Simulink. ................ 73 
Figura 4.6. Simulación del error de sincronización OPCL del caso C en Simulink. ................ 74 
Figura 4.7. Simulación del error de sincronización OPCL del caso D en Simulink. ................ 76 
Figura 4.8. Simulación del error de sincronización OPCL del caso E en Simulink. ................. 77 
Figura 4.9. Simulación del error de sincronización OPCL del caso F en Simulink. ................. 79 
Figura 4.10. Simulación del error de sincronización OPCL del caso G en Simulink. .............. 80 
Figura 4.11. Simulación del error de sincronización OPCL del caso H en Simulink. .............. 82 
Figura 4.12 Simulación del error de sincronización OPCL del caso I en Simulink. ................. 83 
Figura 4.13. Simulación del error de sincronización OPCL del caso J en Simulink................. 85 
Figura 4.14 Simulación del error de sincronización OPCL del caso K en Simulink. ............... 86 
Figura 4.15. Simulación del error de sincronización OPCL del caso L en Simulink. ............... 88 
Figura 4.16. Simulación del error de sincronización OPCL del caso M en Simulink............... 89 
Figura 4.17. Simulación del error de sincronización OPCL del caso N en Simulink. .............. 91 
Figura 4.18. Simulación del error de sincronización OPCL del caso O en Simulink. .............. 92 
Figura 4.19. Simulación del error de sincronización OPCL del caso P en Simulink. ............... 94 
Figura 4.20. Simulación del error de sincronización OPCL del caso Q en Simulink. .............. 95 
Figura 4.21. Simulación del error de sincronización OPCL del caso R en Simulink. .............. 97 
Figura 4.22. Simulación del error de sincronización OPCL del caso S en Simulink. ............... 98 
Figura 4.23. Simulación del error de sincronización Hamilton del circuito de Chua en 
Simulink para dos enrollamientos. ..................................................................... 101 
Figura 4.24. Simulación del error de sincronización Hamilton de SNLF en Simulink. .......... 103 
Figura 4.25. Simulación del error de sincronización Hamilton del caso A en Simulink. ....... 105 
Figura 4.26. Simulación del error de sincronización Hamilton del caso B en Simulink. ....... 107 
Figura 4.27. Simulación del error de sincronización Hamilton del caso C en Simulink. ....... 109 
Figura 4.28. Simulación del error de sincronización Hamilton del caso D en Simulink. ....... 111 
Figura 4.29. Simulación del error de sincronización Hamilton del caso E en Simulink. ........ 113 
Figura 4.30. Simulación del error de sincronización Hamilton del caso F en Simulink. ........ 115 
Figura 4.31. Simulación del error de sincronización Hamilton del caso G en Simulink. ....... 117 
Figura 4.32. Simulación del error de sincronización Hamilton del caso H en Simulink. ....... 119 
Figura 4.33. Simulación del error de sincronización Hamilton del caso I en Simulink. ......... 121 
Figura 4.34. Simulación del error de sincronización Hamilton del caso J en Simulink. ......... 123 
Figura 4.35. Simulación del error de sincronización Hamilton del caso K en Simulink. ....... 125 
Figura 4.36. Simulación del error de sincronización Hamiltondel caso L en Simulink. ........ 127 
Figura 4.37. Simulación del error de sincronización Hamilton del caso M en Simulink. ....... 129 
Figura 4.38. Simulación del error de sincronización Hamilton del caso N en Simulink. ....... 131 
Figura 4.39. Simulación del error de sincronización Hamilton del caso O en Simulink. ....... 133 
Figura 4.40. Simulación del error de sincronización Hamilton del caso P en Simulink. ........ 135 
Figura 4.41. Simulación del error de sincronización Hamilton del caso Q en Simulink. ....... 137 
Figura 4.42. Simulación del error de sincronización Hamilton del caso R en Simulink. ....... 139 
Figura 4.43. Simulación del error de sincronización Hamilton del caso S en Simulink. ........ 141 
Figura 5.1. Descripción a bloque de la función suma, resta, multiplicación de 28 bits. ......... 142 
Figura 5.2. Esquema de la arquitectura del sistema de ecuaciones del caso B. ...................... 143 
Figura 5.3. Esquema del bloque Step. ..................................................................................... 144 
Figura 5.4. Esquema de entradas y salidas de la unidad del oscilador caótico del caso B. ..... 144 
Figura 5.5. Toma de los veintiún osciladores caóticos implementados en la FPGA Cyclone IV 
GX EP4CGX150DF31C7. .................................................................................. 149 
Figura 5.6. Toma de la implementación en FPGA del oscilador caótico F mostrado en el 
osciloscopio Tektronix. ....................................................................................... 149 
Figura 5.7. Toma de la implementación en FPGA del oscilador caótico B mostrado en el 
osciloscopio Tektronix. ....................................................................................... 150 
Figura 5.8. Toma de la implementación en FPGA del oscilador caótico F mostrado en el 
osciloscopio Lecroy . .......................................................................................... 150 
Figura 6.1. Imagen RGB del CITEDI para transmisión enmascarada. ................................... 152 
Figura 6.2. Toma del CITEDI enmascarada con la señal de caos de los veintiún osciladores 
caóticos. .............................................................................................................. 156 
Figura 6.3. Segmento de la señal de Audio a transmitir de 2x104 muestras. .......................... 157 
Figura 6.4. Señales de transmisión con el circuito de Chua para dos enrollamientos. ............ 158 
Figura 6.5. Señales de transmisión con el circuito de Chua para seis enrollamientos. .......... 158 
Figura 6.6. Señales de transmisión con el SNLF de dos enrollamientos................................. 159 
Figura 6.7. Señales de transmisión con el SNLF de seis enrollamientos. ............................... 159 
Figura 6.8. Esquema de la arquitectura del esclavo para el sistema de ecuaciones del caso B.
 ............................................................................................................................ 161 
Figura 6.9. Esquema de la arquitectura de la sincronización maestro-esclavo. ...................... 161 
Figura 6.10. Esquema de la comunicación UART a través del protocolo RS-232. ................ 162 
Figura 6.11. Esquema general del sistema completo para la transmisión con caos PC-FPGA.
 ............................................................................................................................ 163 
Figura 6.12. Resultado de la transmisión de la imagen PC-FPGA......................................... 164 
 
 
 
 Tesis Maestría en Ciencias en Sistemas Digitales 
 
Página v 
LISTA DE TABLAS 
 
Tabla 2.1. Colección de casos de Sprott. ................................................................................... 13 
Tabla 3.1. Valores óptimos para el oscilador caótico del circuito de Chua. ............................. 26 
Tabla 3.2. Exponentes de Lyapunov y dimensión de los sistemas caóticos. ............................. 64 
Tabla 5.1. Recursos utilizados en la implementación de los osciladores caóticos en la FPGA 
Cyclone IV GX EP4CGX150DF31C7. .............................................................. 145 
Tabla 6.1. Correlación de imágenes de la transmisión de imágenes con enmascaramiento 
caótico. ................................................................................................................ 156 
Tabla 6.2. Correlación de la transmisión de audio con enmascaramiento caótico. ................. 159 
Tabla 6.3. Recursos utilizados en la implementación del sistema de transmisión en la FPGA 
Cyclone IV E EP4CE115F29C7 ......................................................................... 163 
Tabla 6.4. Coeficiente de correlación de imágenes en la transmisión enmascarada entre PC-
FPGA. ................................................................................................................. 164 
 
ACRONIMOS 
 
AS Casi sincronización 
CITEDI Centro de Investigación y Desarrollo de Tecnología Digital 
CS Sincronización Completa 
DAC Digital-Analog Converter, Convertidor Digital-Analógico 
ED Ecuaciones Diferenciales 
EDO Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 
FGPA Field Programable Array, Arreglo de compuertas lógicas programables por 
efecto campo 
GS Sincronización Generalizada 
HDL Hardware Descriptive Language, Descripción de lenguaje en Hardware 
ILS Sincronización de retardo intermitente 
IPS Sincronización de fase imperfecta 
LS Sincronización de retardo 
OPCL Open Plus Closed Loop, Lazo abierto Lazo cerrado 
PC Personal Computer, Computadora Personal 
PS Sincronización de fase 
PWL PieceWise Linear, Linealizadas a tramos 
RK Runge-Kutta 
RK4 Runge-Kutta 4 
RTL Register Transfer Level, Nivel de transferencia de registros 
RS-232 Recommended Standard 232, Estandar Recomendado 232 
SNLF Saturated Nonlineal Function Series, Series de funciones saturadas no lineales 
UART Universal Asynchronous Receiver-Transmitter, Transmisor-Receptor Asíncrono 
Universal 
 
 Tesis Maestría en Ciencias en Sistemas Digitales 
 
Página vii 
GLOSARIO DE TÉRMINOS 
 
ATRACTOR Comportamiento de trayectorias de distintas y 
posibles entidades al que tiende un sistema 
después de un tiempo de evolución. 
 
CAOS Comportamiento aparentemente errático e 
impredecible de algunos sistemas dinámicos, 
aunque su formulación matemática sea en 
principio determinista. 
 
CORRELACIÓN Relación recíproca entre dos o más fenómenos en 
relación lineal o proporcional. 
 
ENCRIPTACIÓN Proceso de almacenar la información para 
complicar su lectura. 
 
FPGA Un arreglo de compuertas lógicas programables 
por efecto campo con múltiples aplicaciones en 
electrónica y comunicaciones. 
 
FRECUENCIA Es el número de ciclos por segundo de una señal; 
está dada por: f = 1/T, donde T es el periodo. 
 
MATLAB Programa informático utilizado para realizar 
cálculos matemáticos entre otras operaciones y 
funciones con extensión *.m. 
 
MULTIMEDIA Cualquier objeto o sistema que utiliza medios de 
expresión digital para comunicar información 
como imágenes, audio, video, texto, etc. 
 
QUARTUS Programa informático utilizado para escribir 
código de lenguaje descriptivo en una tarjeta 
FPGA. 
 
OSCILADOR Aparato que produce oscilaciones eléctricas o 
mecánicas. 
 
OSCILADOR CAÓTICO Conjunto de trayectorias de comportamiento 
errático e impredecible de algunos sistemas 
dinámicos aparentemente desordenado. 
 
RS-232 Protocolo de comunicación serial utilizado para el 
intercambio de datos binarios en serie. 
 
SIMULINK Programa informático utilizado para diseñar 
cálculos matemáticos entre otras operaciones y 
ejecuciones de funciones en un entorno de 
diagrama a bloques con extensión *.slk. 
 
SIMULACIÓN Es la imitación de un fenómeno ó comportamiento 
de un sistema utilizando un software 
computacional. 
 
SINCRONIZACIÓN Acoplamiento en tiempo de dos o más fenómenos 
en el mismo momento.UART Dispositivo de control de los puertos y 
dispositivos en serie. 
 
CAPÍTULO 1 Introducción 
 
 
 
Tesis Maestría en Ciencias en Sistemas Digitales 
 
Página 1 
Capítulo 1 
Introducción 
 
1.1 Antecedentes 
 
Existe un fenómeno llamado caos que se estudia en varias disciplinas científicas como 
astronomía, biología de la población, economía, meteorología, medicina, psicología social, 
entre otras. Estas disciplinas tienen fenómenos impredecibles, desordenados o de 
comportamientos no periódicos. Esos comportamientos irregulares se consideran que tienen 
gran sensibilidad a los cambios más pequeños, siendo sumamente dependientes a las 
condiciones iniciales lo que ocasiona un aparente cambio aleatorio en su comportamiento. Por 
ese motivo se le otorgo el nombre de caos que identifica los estudios de la impredictibilidad 
que ocurren en la naturaleza. Naciendo de esta manera el estudio al comportamiento 
estocástico que sucede en un sistema determinístico a través de modelos matemáticos [1]. 
 
La teoría del caos fue descubierta a partir de algunas observaciones por el científico 
Edward Lorenz en 1963, mientras estudiaba un sistema de ecuaciones para predecir el clima. 
Al continuar estudiando el sistema por un tiempo se pudo percatar que una característica única 
que tenía la alta sensibilidad a las condiciones iniciales, convirtiéndolo en un fenómeno 
cambiante y dándole nombre al oscilador caótico de Lorenz [2]. 
 
El caos se relaciona con los sistemas dinámicos debido a su característica de no 
linealidad y la dependencia de las condiciones iniciales. Un sistema dinámico es caótico 
siempre que su evolución dependa sensitivamente de sus condiciones iniciales. Esta propiedad 
implica que si tienen diferentes trayectorias emergentes con condiciones iniciales diferentes 
pero cercanas, pueden separarse exponencialmente conforme transcurre el tiempo ya que los 
sistemas dinámicos son procesos que evolucionan con el tiempo. Un proceso es determinista si 
todo su curso futuro y todo su pasado están determinados de manera única por su estado en el 
tiempo presente. De lo contrario, el proceso se conoce como no determinístico o estocástico. 
Estos procesos de evolución en pueden encontrarse en tiempo continuo o tiempo discreto. El 
comportamiento de un sistema caótico tiende a tener una trayectoria de movimiento oscilante 
en el espacio tridimensional formando orbitas periódicas u orbitas cuasi periódicas las cuales 
son sumamente cercanas unas de otras pero con la condición de que nunca van a encontrarse 
en el mismo momento de nuevo. 
 
Se han mencionado anteriormente tres características principales de los sistemas 
caóticos las cuales se deben cumplir para que un sistema dinámico se considere de orden 
caótico, estas se definen como: 
 
 Debe ser altamente sensible a las condiciones iniciales. 
 El sistema evoluciona con el tiempo. 
CAPÍTULO 1 Introducción 
 
 Cada orbita debe ser periódicamente cercana en un punto en el espacio. 
 
Como lo indican las características de un sistema dinámico las aplicaciones de la teoría 
del caos han creado un gran panorama para las distintas áreas ya que pueden relacionarse con 
varios patrones prácticos por su complejidad, generando nuevos tipos de modelos y perfiles de 
nueva exploración. Un perfil de exploración es el garantizar la estabilidad en sistemas caóticos 
sincronizados de manera precisa para futuras aplicaciones en transmisión de información. Se 
han analizado diferentes técnicas de sincronización que permitan la estabilidad del sistema, sin 
embargo la literatura carece de información para ciertos sistemas caóticos conocidos como la 
colección de casos de Julien C. Sprott [3]. Otro perfil de exploración es en el desarrollo de 
investigaciones basadas en fenómenos del caos para campos como la criptología por el hecho 
que se beneficia de la adición de diferentes medios para la mejora de los algoritmos al 
momento de asegurar la información, adhiriendo el concepto del caos que se encuentra en la 
literatura se puede mejorar la generación de secuencias pseudo-aleatorias con los modelos 
matemáticos [4]. 
 
1.2 Problemática 
 
En el arte de la literatura se encuentran diversas investigaciones en relación al caos, una de 
ellas es el uso de redes neuronales artificiales con el fin de predecir series de tiempo que se 
asemejan a ciertos fenómenos como enfermedades humanas [5], económicos o de finanzas [6], 
entre otros. Otra de las aplicaciones que se han explorado con el caos es la medicina para 
detectar patologías dentro de sistemas biológicos y determinar un diagnóstico para encontrar la 
cura del trastorno médico [7]. También existen comportamientos similares en el estudio de 
poblaciones microorganismos como bacterias, virus, transposones y protocoongenes donde 
ciertos científicos encontraron útil el caos para explorar modelos de este tipo [8]. Una de las 
aplicaciones que muestran gran impacto en las investigaciones es en el área de seguridad de la 
información a través de las redes de telecomunicación (Internet, satélites, móviles, televisión, 
entre otras) debido a las características principales del caos que es la impredictibilidad, esta 
favorece los sistemas al mezclarse con la información evitando el problema de compartir y 
manipular el contenido que se envía a los usuarios protegiéndolos de intrusos e infiltraciones 
[9]. 
 
Dentro del estado del arte se encuentran distintos métodos de encriptación estándar en la 
transmisión de información para evitar nuevos tipos de ataques que amenazan la recepción de 
la información o inclusive manipulación de la misma, así como evitar la pérdida de datos. La 
encriptación de datos siempre alcanza límites determinados, por ese motivo es necesario 
encontrar un método para proteger la información, mantenerla segura hasta su destino y 
conservar su seguridad al estar almacenada. 
 
Una contribución para resolver el problema de las infiltraciones en la información es 
crear sistemas capaces de generar números aleatorios como los sistemas dinámicos caóticos y 
mezclarlos con el fin de mejorar la seguridad en las redes comunicación al momento del 
intercambio de información [10]. 
 
CAPÍTULO 1 Introducción 
 
 Tesis Maestría en Ciencias en Sistemas Digitales 
 
Página 3 
La teoría de sistemas dinámicos no lineales, como la teoría del caos, ha sido investigada 
para encontrarle una solución a este problema desde la captura de los datos, usar portadoras 
caóticas, encriptación con generadores caóticos, circuitos electrónicos no lineales hasta la 
realización en hardware implementada en un chip. Estos sistemas pueden aplicarse para la 
protección de información. 
 
1.3 Justificación 
 
El uso de los osciladores caóticos puede generar secuencias pseudo-aleatorias y una de sus 
principales aplicaciones es en el campo de la criptografía para el desarrollo de criptosistemas 
robustos y seguros. 
 
Los métodos de seguridad son esenciales al momento de la transmisión de información, 
ya que existen amenazas en los procesos de comunicación que pueden intervenir e infiltrarse 
para su manipulación. Dentro de la transmisión de información se hacen uso de dos disciplinas 
que pretenden cifrar y descifrar información estas son criptografía y criptoanálisis; donde la 
criptografía se define cuando un sujeto pretende mandar algún tipo de información 
confidencial, esto sucede para ocultar la información mientras viaja por un canal de 
comunicación y llegue a su destino sin que algún intruso intente obtener la información. Por 
otro lado, existe el criptoanálisis el cual es una disciplina que pretende interceptar la 
información cifrada, desenmascarar y recuperar información. Estas dos disciplinas juegan un 
rol fundamental en el envío confidencial de información con un transmisor-receptor ya que se 
previene la infiltración sobre documentos, identificación entre otra información las cualesdeben ser secretas donde solo el transmisor como el receptor deben saber dicha información. 
Este campo tan complejo de la criptología puede beneficiarse de la adición de otros medios de 
investigación, ya que otros conceptos añadidos a ese tema como el de caos puede generar 
secuencias pseudo-aleatorias, a través de los modelos matemáticos adecuados para mantener 
segura la información, y mantenga las condiciones del caos [11]. 
 
Los sistemas con comportamiento caótico se caracterizan por su sensibilidad a pequeñas 
variaciones de las condiciones iniciales. Dicho de otra manera, una pequeña variación en las 
condiciones iniciales del proceso conduce a diferencias abismales al final de dicho proceso. La 
separación entre dos trayectorias empieza en puntos cercanos y puede aumentar 
exponencialmente con el tiempo. El caos, por lo tanto, resulta útil para enmascarar un 
mensaje, puesto que prácticamente nadie será capaz de reproducir el mismo caos. En el caso 
de un posible detector espía, debería poder reproducir fielmente esa onda caótica y después 
detectar sobre ella las irregularidades que revelarían la presencia de un mensaje oculto. Al no 
poder conocer las condiciones iniciales exactas del caos generado, la tarea se hace 
prácticamente imposible [12]. 
 
Los estándares de encriptación tienen algoritmos de palabras clave de hasta 256 bits, 
pero estas claves al no ser generados aleatoriamente con una serie de lecturas es posible 
encontrar el patrón que tienen las llaves generadas y descifrar el contenido, las señales 
caóticas serían más complejas de descifrar por el hecho de ser pseudo-aleatorias. Por este 
motivo, el trabajo de tesis se enfoca en realizar la simulación de varios osciladores caóticos 
para enmascaramiento de archivos multimedia (imagen, audio, video) y el diseño digital e 
CAPÍTULO 1 Introducción 
 
implementación de un oscilador caótico en un FPGA aplicando enmascaramiento caótico a 
una imagen. Esta perspectiva deja un resultado positivo en el uso de este tema de investigación 
como su aplicación en el área de seguridad digital. 
 
1.4 Hipótesis 
 
En la teoría del caos existen infinidad de sistemas caóticos definidos, sin embargo el uso de 
los modelos matemáticos que el científico Julien C. Sprott definió como la colección de casos 
de Sprott han sido explorados únicamente en investigaciones de desarrollo matemático sin 
incluir alguna aplicación para ellos, en este trabajo de tesis se cree que estos sistemas son 
capaces de implementarse para una aplicación de seguridad para distintos tipos de información 
multimedia, ya que tienen características únicas de comportamiento caótico y su simplicidad 
matemática puede ser útil en eficiencia de recursos para la implementación en un FPGA. 
 
1.5 Objetivo general y objetivos específicos 
 
El objetivo general de esta tesis de maestría consiste en la simulación, diseño digital y 
emulación en una tarjeta FPGA de un oscilador caótico para posteriores aplicaciones en la 
transmisión de multimedia con enmascaramiento caótico. 
 
Los objetivos específicos que se persiguen en este trabajo de investigación son: 
 
a) Estudio bibliográfico del estado del arte sobre sincronización caótica maestro-esclavo. 
Se realiza una revisión de los principales métodos usados para la sincronización, con 
énfasis en la colección de casos de Lorenz, Rossler y Sprott. 
 
b) Síntesis de trabajos realizados con los métodos usados para corregir la sincronización 
caótica. Se presentan los enfoques matemáticos elegidos para aplicar el diseño de un 
sistema para enmascarar información mediante sincronización caótica. 
 
c) Realizar la simulación de un sistema caótico sincronizado maestro-esclavo con la cual 
se transmita información multimedia. 
 
d) Análisis y comparación de los resultados obtenidos de las arquitecturas diseñadas, 
comparando aspectos de rapidez computacional, consumo en memoria y recursos 
lógicos utilizados. 
 
e) Implementar en un FPGA diversos sistemas caóticos y realizar transmisión de 
multimedia. 
 
1.6 Aportaciones 
 
La aportación principal del presente trabajo de investigación consiste en el diseño e 
implementación de arquitecturas digitales de osciladores caóticos basados en la colección de 
casos de Sprott, funciones a tramos como SNLF y el circuito de Chua. Cada sistema es 
resuelto a través de los métodos numéricos de Euler y Runge-Kutta de 4 Orden. 
CAPÍTULO 1 Introducción 
 
 Tesis Maestría en Ciencias en Sistemas Digitales 
 
Página 5 
Adicionalmente la transmisión de información multimedia es mezclada con caos como 
aplicación de seguridad, estas arquitecturas fueron implementadas en FPGA. 
 
 Calculo de los exponentes de Lyapunov para la colección de casos de Sprott. 
 Calculo de los puntos de equilibrio, valores propios y ganancias de los observadores de 
los osciladores caóticos basados en la colección de casos de Sprott, funciones a tramos 
SNLF y circuito de Chua, mediante el método Hamiltoniano Generalizado de forma 
canónica y Open Plus Closed Loop. 
 Simulación de la sincronización de los osciladores caóticos basados en la colección de 
casos de Sprott, funciones a tramos SNLF y circuito de Chua de 2 a 6 enrollamientos, 
mediante el método Open Plus Closed Loop y mediante el método Hamiltoniano 
Generalizado de forma canónica. 
 Simulación de la transmisión de una imagen con enmascaramiento caótico construido a 
bloques a través del software Matlab-Simulink de los osciladores caóticos de la 
colección de Sprott, SNLF y circuito de Chua. 
 Simulación de la transmisión de audio con enmascaramiento caótico codificado en el 
software Matlab de los osciladores caóticos a tramos SNLF y circuito de Chua. 
 Simulación de la transmisión de video con enmascaramiento caótico codificado en el 
software Matlab con el oscilador caótico de la colección de casos de Sprott caso B. 
 Diseño de arquitecturas en código VHDL de la colección de casos de Sprott, funciones 
a tramos SNLF y circuito de Chua de 2 enrollamientos. 
 Implementación de los diseños de arquitecturas en código VHDL de la colección de 
casos de Sprott, funciones a tramos SNLF y circuito de Chua de 2 enrollamientos. 
 Diseño de arquitectura en código VHDL de la sincronización del caso B de la 
colección de Sprott. 
 Transmisión de una imagen con enmascaramiento caótico entre PC-FPGA por medio 
del protocolo de comunicación RS-232 usando el diseño en VHDL de la 
sincronización del caso B. 
 
1.7 Organización del documento 
 
Este documento de tesis está organizado en seis capítulos. En el capítulo 1, se presentan los 
antecedentes de la teoría del caos y su aplicación, se plantea la problemática, justificación, se 
describen los objetivos generales y específicos, así como las aportaciones. 
 
En el capítulo 2 se presenta la teoría del caos, el estado del arte de los osciladores 
caóticos, la descripción de los osciladores caóticos basados en la colección de los casos de 
Sprott, SNLF y el circuito de Chua para 2 a 6 enrollamientos, así como la descripción de los 
métodos numéricos Euler y RK4 utilizados para la solución de los sistemas conocidos. 
También se muestran los cálculos de los Exponentes de Lyapunov. 
 
En el capítulo 3 se simulan los comportamientos de cada uno de los osciladores caóticos 
lineales como SNFL, el circuito de Chua para 2 a 6 enrollamientos y la colección de casos de 
Sprott, utilizando los métodos numéricos Euler y RK4 para su solución. Además se muestra la 
alternativa de simular el oscilador caótico en Matlab vía código y diagramas de bloques en 
Simulink. 
CAPÍTULO 1 Introducción 
 
 
En el capítulo 4 se describen los métodos de sincronización conocidos como Hamilton 
Generalizado de forma canónica y Open Plus Closed Loop (OPCL) con topología maestro-
esclavo implementados en los sistemas caóticos, se muestran los resultados simulados de estos 
métodos en Matlab vía código y diagramas de bloques en Simulink.En el capítulo 5 se detalla la metodología empleada para realizar la implementación de 
los osciladores caóticos basados en la colección de casos de Sprott, SNLF y el circuito de 
Chua en una tarjeta FPGA Cyclone IV GX EP4CGX150DF31C7 de Altera mediante la 
herramienta Quartus II Web Edition. 
 
En el capítulo 6 se muestra la simulación de la transmisión con los osciladores caóticos 
basados en la colección de los casos de Sprott, SNLF y el circuito de Chua para 2 a 6 
enrollamientos enmascarando información multimedia en Matlab-Simulink. También se 
presenta la implementación de la transmisión con enmascaramiento caótico entre una 
comunicación serial PC-FPGA con la tarjeta Cyclone IV E EP4CE115F29C7. 
 
Finalmente en el capítulo 7, se plasman las conclusiones en base a los resultados 
obtenidos del trabajo de investigación. Así mismo se mencionan recomendaciones para 
algunos trabajos futuros. 
 
CAPÍTULO 2 Marco Teórico 
 
 
 
Tesis Maestría en Ciencias en Sistemas Digitales 
 
Página 7 
Capítulo 2 
Marco teórico 
 
En el presente capítulo se exponen los fundamentos teóricos basados para el desarrollo de este 
trabajo de la tesis donde se explican los conceptos teóricos del caos, la investigación de los 
diferentes osciladores caóticos encontrados en la literatura conocidos como Lorenz, Rossler, 
circuito de Chua, series de funciones saturadas no lineales (SNLF) y la colección de casos de 
Sprott. También se detallan los métodos numéricos utilizados para resolver estos sistemas 
caóticos, los tipos de sincronización para sistemas caóticos y por último la importancia del 
cálculo del exponente de Lyapunov para cada sistema. 
 
2.1 Teoría del Caos 
 
La teoría del caos permite comprender fenómenos de la naturaleza, las caprichosas formas que 
exhibe y diferentes conductas a los que se dirige. Estos comportamientos aparentan ser una 
herramienta valiosa para comprender la conducta humana, fenómenos naturales, fenómenos 
económicos, así como diferentes evoluciones en la tecnología o actividad industrial en general. 
Ante estas perspectivas no parece que este lejos de utilizar esta teoría como modelo para 
explicar la conducta de los sistemas reales. El caos es un comportamiento imprevisible a largo 
plazo, que parte de un modelo matemático dinámico determinista debido a la sensibilidad de 
las condiciones iniciales. 
 
Para poder elegir las condiciones necesarias para que un sistema se comporte 
caóticamente es conveniente el movimiento mediante sistemas dinámicos. Las condiciones 
necesarias para la existencia de un movimiento caótico son: 
 
1. El sistema debe tener al menos tres variables independientes. 
2. Las ecuaciones de movimiento deben contener al menos un término no lineal que 
acople algunas de las variables. 
 
Uno de los requisitos principales para generar caos es que solo se requieren tres 
variables de estados. El término no lineal hace inestable a las soluciones de las ecuaciones 
diferenciales debido que no son exactas por lo tanto el sistema debe ser no lineal y por último 
el sistema debe tener al menos un exponente de Lyapnov positivo, este indica que tan caótico 
es el atractor [13]. 
 
El comportamiento impredecible es una propiedad de este tipo de sistemas dinámicos y 
para lograr esto es necesario incluir términos aleatorios. Los primeros pasos de lo que en la 
actualidad se denomina "procesos estocásticos o aleatorios" aparecen a final del siglo XIX e 
CAPÍTULO 2 Marco teórico 
 
inicio del XX cuando estuvieron dedicados a estudiar fenómenos físicos y tecnológicos 
particulares en esquemas aleatorios dependientes del tiempo. La teoría del caos considera a los 
sistemas dinámicos no lineales muy sensibles a pequeñas variaciones a las condiciones 
iniciales produciendo comportamientos diferentes e impredecibles considerándolos pseudo-
aleatorios. Si la misma matemática permite que de pequeños cambios iniciales se produzcan al 
final grandes cambios, entonces toda otra ciencia que, como la meteorología, intente fundarse 
en la matemática, habrá de pronosticar grandes catástrofes a partir de pequeñas alteraciones 
ambientales. En general, la aleatoriedad es tomada como algo indeseable [14]. 
 
Uno de los campos complejos en los que se adhiere la investigación de los 
comportamientos caóticos es en la criptología ya que la pseudo-aletoriedad que genera el caos 
puede beneficiar a los algoritmos que pretenden asegurar la información creando un nuevo 
modelo de enmascaramiento. 
 
Los circuitos electrónicos son una herramienta de utilidad para estudiar una gran 
variedad de procesos, actuando como complemento entre el experimento y la simulación 
numérica por computadora, son varios los circuitos electrónicos utilizados para el estudio de 
caos por ejemplo, los sistemas de Lorenz, Rössler y Chua. Algunas de las ventajas que ofrece 
la simulación con circuitos se encuentran tanto el alto grado de desarrollo de componentes 
electrónicos como el bajo costo de los dispositivos, lo importante es que se pueden estudiar 
dichos circuitos, obteniendo su modelo matemático para diseños más eficientes, en este trabajo 
de tesis se parte del modelo matemático y se realiza un diseño digital del sistema caótico 
estudiado para enmascarar archivos multimedia [15-16]. 
 
2.2 Oscilador caótico basado en el circuito de Chua 
 
Uno de los osciladores caóticos más conocidos en la literatura es el circuito de Chua, este 
oscilador tiene un diseño fácil de construir, simular y desarrollar matemáticamente. El circuito 
de Chua está constituido por cinco elementos fundamentales de la electrónica: un inductor (L), 
dos capacitores (C), un resistor lineal (R), y un resistor no lineal conocido como diodo de 
Chua (NR). El diodo de Chua es el elemento que retroalimenta todo el circuito para mantenerlo 
oscilando [17-18]. En la Figura 2.1 se muestra el circuito de Chua. 
 
L C2 C1 NR
R
+
-
+
-
 
Figura 2.1. Circuito del diodo Chua. 
 
CAPÍTULO 2 Marco teórico 
 
 Tesis Maestría en Ciencias en Sistemas Digitales 
 
Página 9 
Al aplicar las leyes de Kirchoff al circuito se pueden encontrar las siguientes ecuaciones 
de comportamiento dinámico que genera el circuito conocidas como (1-3): 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
donde 
 
 
 , , , son respectivamente los voltajes en el capacitor y , la 
corriente en el inductor dada por (4): 
 
 ( ) 
 
 
( )[| | | |] 
 
La ecuación (4) es la función de respuesta del elemento no lineal (el diodo de Chua) la 
cual está representada por la curva de voltaje–corriente de la Figura 2.2. La curva está 
compuesta por tres rectas con pendiente negativa, donde y son las pendientes de cada 
segmento. 
 
Gp
Gp
Ga
VD
iD
-P
P
 
Figura 2.2. Curva característica voltaje-corriente del diodo de Chua. 
 
Al realizar un cambio de variables para las ecuaciones del circuito de Chua (1-4) para 
 
 
 
, 
 
 
, 
 
 
, 
 
 
 se puede encontrar un modelo matemático simplificado 
del sistema para los coeficientes 
 
 
, 
 
 
, y en el cual se 
presenta un número reducido de los parámetros , , , , , y . Este sistema de 
ecuaciones es dada por (5): 
 
 
 
 ( ) 
CAPÍTULO 2 Marco teórico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 [| | | |] 
 
La función está definida por la función del diodo de Chua para dos enrollamientos 
como se muestra a continuación (9):,
 
 
 
 
 
Al separar en más tramos la función para la curva característica del diodo de Chua 
se puede crear múltiples enrollamientos haciendo la separación del número de pendientes que 
va tener la curva el ejemplo de la Figura 2.3 se muestran seis enrollamientos dado en la 
ecuación (10): 
 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 2 Marco teórico 
 
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m0
x
g(x)
-P
P P2 P3
-P2-P3
m1
m1
m0
m0
P4 P5
-P4-P5
m1
m0
m0
m1
 
Figura 2.3. Curva característica del diodo de Chua para seis enrollamientos. 
 
2.3 Oscilador caótico de series de funciones saturadas no lineales 
 
El oscilador caótico conocido como series de funciones saturadas no lineales (SNLF) se a 
través del sistema de ecuaciones (11) [19-20]. 
 
 
 ̇ 
 ̇ 
 ̇ 
 
 
El sistema está compuesto por tres variables de estado x, y y z, las cuales dependen una 
de otra, este sistema de ecuaciones SNLF describe coeficientes reales positivos de valor entre 
0 a 1 para a, b, c y d1 como lo indica la tercera ecuación del sistema donde se puede observar 
que incluye una función no lineal saturada, la cual es la causa de la no linealidad del sistema. 
Su propósito principal es retroalimentar y mantener los límites de la oscilación. El SNLF se 
describe a través de una aproximación linealizada a tramos (PWL) el cual se desarrolla a base 
de la cantidad de pendientes representada por los niveles de saturación que contiene la función 
no lineal y se refleja en el número de enrollamientos que va contener el atractor del sistema de 
ecuaciones. La aproximación PWL de SNLF está dada por (12): 
 
CAPÍTULO 2 Marco teórico 
 
 ∑ 
 
 
 
La función saturada no lineal del SNLF describe los niveles de saturación que va tener el 
sistema de ecuaciones, la función mostrada en la ecuación (13) esta descrita para dos niveles 
de saturación y una pendiente. La descripción del PWL está dada por: 
 
 {
 
 
 
 
 
Donde es el nivel de saturación, el punto de quiebre del nivel de saturación y la 
pendiente representado en la Figura 2.4. 
 
k
α 
 
Figura 2.4. Curva característica de SNLF básica con dos niveles de saturación. 
 
La generación de multiples enrollamientos para el oscilador caótico SNLF depende del 
número de pendientes para los niveles de saturación, por lo tanto al incrementar estos se 
pueden incrementar la cantidad de enrollamientos en su atractor [21]. La descripción del PWL 
para SNLF de seis enrollamientos está dada en (14) y su curva característica de pendientes se 
muestra en la Figura 2.5. 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 2 Marco teórico 
 
 Tesis Maestría en Ciencias en Sistemas Digitales 
 
Página 13 
 
Figura 2.5. Curva característica de SNLF básica con seis niveles de saturación. 
 
2.4 Osciladores caóticos de la colección de casos de Sprott 
 
Existe una colección de 19 casos de Sprott definida en 1994 por J. C. Sprott, los cuales pueden 
generar oscilaciones caóticas [3]. Estos sistemas están constituidos por tres variables con no 
linealidades cuadráticas más simples que el sistema de Rossler, algunos tienen una o dos 
constantes las cuales permiten crear la no linealidad del sistema. Los casos están descritos en 
la Tabla 2.1. 
 
Tabla 2.1. Colección de casos de Sprott. 
Nombre del 
sistema caótico 
Sistema de Ecuaciones 
A ̇ 
 ̇ 
 ̇ 
 
B ̇ 
 ̇ 
 ̇ 
 
C ̇ 
 ̇ 
 ̇ 
 
D ̇ 
 ̇ 
 ̇ 
 
k
2k
3k
4k
5k
f(x)
α h h 2 x
h
 -α
1
h
 +
α
1
h
 -α
2
h
 +
α
2
CAPÍTULO 2 Marco teórico 
 
E ̇ 
 ̇ 
 ̇ 
 
F ̇ 
 ̇ 
 ̇ 
 
G ̇ 
 ̇ 
 ̇ 
 
H ̇ 
 ̇ 
 ̇ 
 
I ̇ 
 ̇ 
 ̇ 
 
J ̇ 
 ̇ 
 ̇ 
 
K ̇ 
 ̇ 
 ̇ 
 
L ̇ 
 ̇ 
 ̇ 
 
M ̇ 
 ̇ 
 ̇ 
 
N ̇ 
 ̇ 
 ̇ 
 
O ̇ 
 ̇ 
 ̇ 
 
P ̇ 
 ̇ 
 ̇ 
 
Q ̇ 
 ̇ 
 ̇ 
 
R ̇ 
 ̇ 
 ̇ 
 
S ̇ 
 ̇ 
 ̇ 
 
 
CAPÍTULO 2 Marco teórico 
 
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Página 15 
2.5 Métodos numéricos 
 
Los métodos numéricos constituyen técnicas mediante las cuales es posible formular 
problemas matemáticos, de tal forma que puedan resolverse utilizando operaciones 
aritméticas. Aunque existen muchos tipos de métodos numéricos, éstos comparten una 
característica común: requieren de varios de cálculos aritméticos. No es raro que con el 
desarrollo de computadoras digitales eficientes y rápidas, el papel de los métodos numéricos 
en la solución de problemas en ingeniería haya aumentado de forma considerable en los 
últimos años. 
 
La ciencia y la tecnología describen los fenómenos reales mediante modelos 
matemáticos. El estudio de estos modelos permite un conocimiento más profundo del 
fenómeno, así como de su evolución futura. Una de las ramas aplicadas a la matemática es la 
que se dedica a buscar técnicas o métodos para la solución adecuada a problemas basados en 
estos modelos. Se dice que no existen modelos analíticos capaces de solucionar cualquier 
problema. Para estos casos se utilizan las técnicas numéricas, las cualesrealizan una labor de 
cálculo numérico que conduce a soluciones aproximadas a la trayectoria. El esfuerzo de 
cálculo que implica la mayoría de estos métodos obliga el uso al empleo de computadores. De 
hecho, sin el desarrollo que se ha producido en el campo de la informática resultaría 
complicado el uso de las técnicas numéricas en ámbitos matemáticos cada día más complejos 
[22]. Estas son algunas de las razones por las que son necesarios los métodos numéricos: 
 
1. Los métodos numéricos son herramientas utilizadas para la solución de problemas. Las 
cuales son capaces de manipular sistemas de grandes ecuaciones, manejar no linealidades 
comunes en la práctica de la ingeniería y, a menudo, imposibles de resolver en forma analítica. 
2. Reconocen y controlan los errores de aproximación que son eficientes al momento del 
cálculo numérico de gran escala. Por lo que aumentan la habilidad para resolver problemas. 
3. Los métodos numéricos son un medio para reforzar la comprensión de las matemáticas, 
ya que una de sus funciones es convertir las matemáticas superiores en operaciones aritméticas 
básicas, de esta manera se puede profundizar en los temas que de otro modo resultarían 
ineficiente. 
2.5.1 Métodos numéricos en ecuaciones diferenciales 
 
Una de las herramientas más importantes para la solución de modelos matemáticos en el 
ámbito de la física son las ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones diferenciales (ED) se 
originaron en diferentes campos como la química, la física y la ingeniería. En la actualidad se 
están usando en los campos de la medicina, la biología, la antropología, entre otras. Las 
ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) surgen con frecuencia en el estudio de los sistemas 
físicos. Sin embargo no se pueden resolver con exactitud, por esta razón la capacidad de 
aproximación numérica de los métodos numéricos es vital para esos sistemas. 
 
Una de las técnicas más importantes para el desarrollo de los sistemas dinámicos en 
tiempo continuo es usando solución numérica de EDOs. La integración numérica es la única 
forma de obtener información acerca de la trayectoria para la mayoría de las EDOs que no 
tienen solución analítica. En la literatura se proponen y utilizan varios tipos de EDOs usando 
CAPÍTULO 2 Marco teórico 
 
diferentes métodos en un intento de encontrar la solución más precisa. Todos estos, discretizan 
el sistema, para producir una ED o una ecuación que represente los estados del sistema. 
 
Con el uso de las computadoras, los métodos numéricos son en la actualidad una forma 
cada vez más atractiva y eficiente de obtener soluciones aproximadas a las ecuaciones 
diferenciales que habían resultado hasta ahora difíciles, incluso imposible de resolver 
analíticamente. Las computadoras y los métodos numéricos ofrecen una alternativa para los 
cálculos complicados. Al usar la capacidad de cómputo se obtienen soluciones directamente, 
de esta manera se pueden aproximar los cálculos sin tener que recurrir a consideraciones de 
simplificación o a técnicas muy lentas. Aunque las soluciones analíticas aún son muy valiosas, 
tanto para resolver problemas como para brindar una mayor comprensión, los métodos 
numéricos representan opciones que aumentan, en forma considerable, la capacidad para 
enfrentar y resolver los problemas; como resultado, se dispone de más tiempo para aprovechar 
las habilidades creativas personales [23]. 
 
2.5.2 Método de Euler 
 
Uno de los algoritmos más sencillos para encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales es 
el método conocido como Euler hacia delante el cual discretiza el sistema cada iteración al 
mismo tiempo que obtiene el dato actual. 
 
Este método de Euler se basa en el significado geométrico de la derivada de una función 
en un punto dado. Si se tuviera la curva solución de la ecuación diferencial y se traza la reta 
tangente a la curva en el punto dado por la condición inicial , se puede observar en la Figura 
2.6 [24]. 
 
y0
xo x1
Curva Solución
Recta 
Tangente
 
Figura 2.6 Recta tangente a la curva solución del punto x0. 
 
La recta tangente se aproxima a la curva en valores cercanos al punto de tangencia, por 
ese motivo se selecciona el valor de la recta tangente en el punto como una aproximación al 
valor deseado , asi como se puede apreciar en la Figura 2.7. 
 
CAPÍTULO 2 Marco teórico 
 
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Página 17 
y0
xo x1
Curva Solución
Recta 
Tangente
Aproximación al valor
 
Figura 2.7 Recta tangente a la curva solución del punto x1. 
 
De esta manera, se calcula la ecuación de la recta tangente a la curva solución de la 
ecuación diferencial dada en el punto ( , ). Se sabe que la ecuación de la recta es: 
 
 
 
donde es la pendiente. Para este caso, se sabe que la pendiente de la recta tangente se 
calcula con la derivada: 
 
 | , 
 
por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es: 
 
 
 
Si suponemos que es un punto cercano a , entonces estará dado como 
| |. Sustituyendo en la ecuación (15), se obtiene: 
 
 
 
La aproximación para el punto actual se obtiene de la siguiente manera: 
 
 
 
Esta aproximación puede ser suficientemente buena, si el valor de es realmente 
pequeño, de una décima o menos. Pero si el valor de es más grande, entonces se puede 
cometer un error mayor al aplicar dicha fórmula. Una forma de reducir el error y obtener así 
un método iterativo, es dividir la distancia | | en partes iguales y obtener 
entonces la aproximación en pasos, por lo que (paso) quedaría de la siguiente manera: 
 
CAPÍTULO 2 Marco teórico 
 
 
| |
 
 
 
Conocemos que la aproximación está dada por: 
 
 
 
Para obtener el siguiente paso se debe sustituir el punto ( , ) por el punto ( , ), 
debido que es el punto actual para obtener el siguiente, por lo tanto, se obtiene que: 
 
 
 
De la ecuación anterior ya se puede observar que la forma recursiva de este 
procedimiento está dada por la fórmula: 
 
 
 
La expresión anterior resulta ser la conocida formula de Euler que se usa para aproximar 
el valor de aplicándola sucesivamente desde hasta en pasos de longitud h. 
Expresando la ecuación (21) de forma general: 
 
Valor actual = valor anterior + pendiente * tamaño de paso 
 
2.5.3 Método de Runge-Kutta 
 
Los métodos de Runge-Kutta (RK) logran más exactitud que el procedimiento de Euler. 
Existen muchas variantes, pero todas tienen la forma: 
 
 
 
donde .es la función incremento, la cual puede interpretarse como una 
pendiente representativa en el intervalo. La función incremento se escribe en forma general 
como: 
 
 
 
donde las a son constantes y las k son: 
 
 
 
 
 ( 
 ) , 
 
donde las p y las q son constantes. Se observa que las son relaciones de recurrencia. Es 
decir, aparece en la ecuación