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Atenuacion-de-vibraciones-de-chumaceras-hibridas-intermedias-LD-1

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA 
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN 
UNIDAD PROFESIONAL "ADOLFO LOPEZ MATEOS" 
 
 
 
 
 
“ATENUACIÓN DE VIBRACIONES DE CHUMACERAS HÍBRIDAS 
INTERMEDIAS L/D=1 POR PRESURIZACIÓN SUPERIOR USANDO 
CONTROL DIFUSO” 
 
 
 
T E S I S 
 
 
 
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: 
MAESTRO EN CIENCIAS EN 
INGENIERÍA MECÁNICA 
 
P R E S E N T A: 
ING. EDGAR MIGUEL VILLANUEVA ALVARADO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIRECTOR DE TESIS: DR. JESÚS ALBERTO MEDA CAMPAÑA 
 
 
MÉXICO, D.F. AÑO 2011 
 
 
 
 
 Página i 
 
Í N D I C E 
Índice general i 
Índice de figuras iv 
Índice de tablas viii 
Nomenclatura ix 
Resumen xi 
Abstract xii 
Objetivo xiii 
Justificación xiii 
Introducción xiii 
 
Capítulo I 
Estado del Arte. 
1.1 Introducción. 1 
1.2 Antecedentes de la rotodinámica y la teoría de vibraciones. 2 
1.2.1 Estudios experimentales en chumaceras con inyección. BENTLY-
NEVADA. 7 
1.3. Clasificación de los cojinetes. 8 
1.3.1. Chumaceras hidrodinámicas. 9 
1.3.2. Chumaceras hidrostáticas. 10 
1.3.3. Chumaceras híbridas. 11 
1.4. Posición de equilibrio estático de las chumaceras hidrodinámicas. 12 
1.5. Número de Sommerfeld. 14 
1.6. Clasificación de los sistemas de control de vibraciones. 16 
1.6.1. Características del funcionamiento de los Sistemas de control de 
vibraciones. 16 
1.6.2. Sistema de control pasivo de vibraciones. 17 
1.6.3. Sistema de control activo de vibraciones. 18 
 
Capítulo 2 
Modelado y simulación numérica del sistema rotor-chumacera 
con control pasivo y con control activo. 
2.1. Introducción. 20 
2.2. Descripción del sistema. 21 
2.3. Simulación numérica. 23 
2.3.1. Aproximación de coeficientes rotodinámicos por el método de mínimos 
cuadrados. 24 
2.4. Programa en Simulink para sistema presurizado con control pasivo. 36 
2.5. Programa en Simulink para sistema presurizado con control activo. 37 
 
 
 
 Página ii 
 
Capítulo 3 
Velocidad umbral y frecuencia natural. 
3.1. Introducción. 38 
3.2. Cálculo de velocidad umbral y frecuencia natural. 39 
3.2.1. Validación de la frecuencia natural por diagrama de Campbell. 40 
3.3. Comportamiento del sistema en la frecuencia natural. 43 
3.4. Comportamiento del sistema en la velocidad umbral. 45 
3.5. Identificación del modo de vibración. 46 
 
Capítulo 4 
Resultados de simulaciones, comparaciones entre sistema 
presurizado con control pasivo y sistema presurizado con 
control activo. 
4.1. Resultados de simulaciones para sistema rotor-chumacera a 
velocidades bajas (2000 rpm). 49 
4.2. Resultados de simulaciones para sistema rotor-chumacera a 
velocidades cerca de la velocidad umbral (4000 rpm). 59 
4.3. Resultados de simulaciones para sistema rotor-chumacera a 
velocidades arriba de la velocidad umbral (6000 rpm). 69 
 
Capítulo 5 
Control difuso aplicado en el modelo del sistema rotor 
chumacera. 
5.1. Lógica difusa. 73 
5.2. Aplicaciones de la lógica difusa. 74 
5.3. Variable lingüística. 74 
5.4. Conjuntos clásicos y conjuntos difusos diferencias. 74 
5.5. Funciones de membresía. 76 
5.6. El controlador difuso. 76 
5.7. Desarrollo del control difuso. 78 
5.8. Programa en Simulink del sistema rotor-chumacera con control difuso a 
velocidad constante. 79 
5.9. Funcionamiento del sistema con control difuso a velocidad constante. 80 
5.9.1. 2000 rpm. 80 
5.9.2. 4000 rpm. 80 
5.9.3. 6000 rpm. 81 
5.9.4. 2500 rpm. 82 
5.9.5. 5500 rpm. 82 
5.10. Programa en Simulink del sistema rotor-chumacera con control difuso a 
velocidades de arranques variables. 84 
5.11. Funcionamiento y resultados del sistema con control difuso a 
velocidades de arranques variables. 85 
5.11.1. Sistema funcionando entre 1500 a 2500 rpm. 85 
5.11.2. Sistema funcionando entre 3500 a 4500 rpm. 86 
5.11.3. Sistema funcionando entre 5500 a 6500 rpm. 87 
 
 
 Página iii 
 
 
Capítulo 6 Conclusiones y trabajos futuros 
6.1 Conclusiones 89 
6.2 Trabajos futuros. 91 
 
Apéndices 
Apéndice A 92 
Apéndice B 97 
Referencias 127 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Página iv 
 
ÍNDICE DE FIGURAS 
 
C A P Í T U L O 1 
Figura TÍtulo de la figura Página 
Fig. 1.1. Configuración de una chumacera presurizada 
usada por BENTLY. 
7 
Fig. 1.2. Cojinetes de rodamiento. 8 
Fig. 1.3. Descripción de fuerzas en una chumacera 
hidrodinámica. 
9 
Fig. 1.4. Esquema del suministro de aceite de una 
chumacera hidrostática. 
10 
Fig. 1.5. Geometría de una chumacera cilíndrica plana. 11 
Fig. 1.6. Descripción de la Geometría de la chumacera 
controlada por inyección de lubricante 
presurizado. 
11 
Fig. 1.7. Componentes de la fuerza F de la película del 
lubricante y el ángulo de proximidad ψ de la 
línea de centros. 
12 
Fig. 1.8. Localización o trayectoria de la posición de 
equilibrio del árbol, para una chumacera 
cavitada corta conforme se aumenta la carga 
sobre ella. 
14 
Fig. 1.9. Sistemas de control de vibraciones 
1.9.1) Sistema Pasivo. 
1.9.2) Sistema Activo. 
1.9.3) Sistema SA. 
16 
Fig. 1.10. Ejemplos de sistemas de control pasivo 
resortes. 
17 
Fig. 1.11. Sistema activo de control de vibraciones. 18 
 
C A P Í T U L O 2 
Figura Título de la figura Página 
Fig. 2.1. Chumacera con presurización en la parte 
superior. 
20 
Fig. 2.2. Sistema rotor chumacera modelado como rotor 
Jeffcott. 
21 
Fig.2.3. Presurización central superior. 21 
Fig.2.4. Coeficiente 𝐾𝐾𝑥𝑥𝑥𝑥 por CHUMA. 25 
Fig.2.5. Coeficiente 𝐾𝐾𝑥𝑥𝑥𝑥 aproximado por mínimos 
cuadrados. 
25 
Fig.2.6. Coeficiente 𝐾𝐾𝑥𝑥𝑥𝑥 por CHUMA. 26 
Fig.2.7. Coeficiente 𝐾𝐾𝑥𝑥𝑥𝑥 aproximado por mínimos 
cuadrados. 
26 
Fig.2.8. Coeficiente 𝐾𝐾𝑥𝑥𝑥𝑥 por CHUMA. 27 
 
 
 Página v 
 
Fig.2.9. Coeficiente 𝐾𝐾𝑥𝑥𝑥𝑥 aproximado por mínimos 
cuadrados. 
27 
Fig.2.10. Coeficiente 𝐾𝐾𝑥𝑥𝑥𝑥 por CHUMA. 28 
Fig.2.11. Coeficiente 𝐾𝐾𝑥𝑥𝑥𝑥 aproximado por mínimos 
cuadrados. 
28 
Fig.2.12. Coeficiente 𝐶𝐶𝑥𝑥𝑥𝑥 por CHUMA. 29 
Fig.2.13. Coeficiente 𝐶𝐶𝑥𝑥𝑥𝑥 aproximado por mínimos 
cuadrados. 
29 
Fig.2.14. Coeficiente 𝐶𝐶𝑥𝑥𝑥𝑥 por CHUMA. 30 
Fig.2.15. Coeficiente 𝐶𝐶𝑥𝑥𝑥𝑥 aproximado por mínimos 
cuadrados. 
30 
Fig.2.16. Coeficiente 𝐶𝐶𝑥𝑥𝑥𝑥 por CHUMA. 31 
Fig.2.17. Coeficiente 𝐶𝐶𝑥𝑥𝑥𝑥 aproximado por mínimos 
cuadrados. 
31 
Fig.2.18. Coeficiente 𝐶𝐶𝑥𝑥𝑥𝑥 por CHUMA. 32 
Fig.2.19. Coeficiente 𝐶𝐶𝑥𝑥𝑥𝑥 aproximado por mínimos 
cuadrados. 
32 
Fig.2.20. Excentricidad por CHUMA. 33 
Fig.2.21. Excentricidad aproximada por mínimos 
cuadrados. 
33 
Fig.2.22. Ángulo de equilibrio por CHUMA. 34 
Fig.2.23. Ángulo de equilibrio aproximado por mínimos 
cuadrados. 
34 
 
C A P Í T U L O 3 
Figura Título de la figura Página 
Fig. 3.1. Diagrama de Campbell para localizar 
frecuencias. 
41 
Fig. 3.2. Acercamiento diagrama de Campbell frecuencia 
natural a 3028 rpm. 
41 
Fig.3.3. Acercamiento diagrama de Campbell frecuencia 
natural a 3162 rpm. 
42 
Fig. 3.4. Acercamiento diagrama de Campbell segunda 
frecuencia natural. 
42 
Fig. 3.5. Comportamiento del sistema a 3028 rpm. 43 
Fig. 3.6. Comportamiento del sistema a 3162 rpm. 44 
Fig. 3.7. Comportamiento del sistema a 4940 rpm. 45 
Fig. 3.8. Modo de Vibración del eje del sistema rotor-
chumacera. 
46 
Fig. 3.9. Forma del modo de vibración del eje del sistema 
por método Graham Bell. 
48 
 
 
 
 Páginavi 
 
C A P Í T U L O 4 
Figura Título de la figura Página 
Fig. 4.1. Resultados Control pasivo contra control activo 
a 2000 rpm. 
50 
Fig. 4.2. Resultados control pasivo contra control activo a 
2000 rpm y 5p. 
53 
Fig.4.3. Resultados control pasivo contra control activo a 
2000 rpm y 10p. 
56 
Fig. 4.4. Resultados control pasivo contra control activo a 
4000 rpm y 0p. 
60 
Fig. 4.5. Resultados control pasivo contra control activo a 
4000 rpm y 5p. 
63 
Fig. 4.6. Resultados control pasivo contra control activo a 
4000 rpm y 10p. 
66 
Fig. 4.7. Resultados control activo a 6000 rpm y 0p. 69 
Fig. 4.8. Resultados control activo a 6000 rpm y 5p. 70 
Fig. 4.9. Resultados control activo a 6000 rpm y 10p. 71 
 
C A P Í T U L O 5 
Figura Título de la figura Página 
Fig. 5.1. Conjuntos clásicos y conjuntos difusos. 75 
Fig. 5.2. Funciones de membresía más utilizadas. 76 
Fig.5.3. Estructura de un controlador difuso. 
 
77 
Fig. 5.4. Desarrollo teórico del control difuso. 78 
Fig. 5.5. Control difuso aplicado en el sistema a una 
velocidad de 2000 rpm. 
80 
Fig. 5.6. Control difuso aplicado en el sistema a una 
velocidad de 4000 rpm. 
81 
Fig. 5.7. Control difuso aplicado en el sistema a una 
velocidad de 6000 rpm. 
81 
Fig. 5.8. Control difuso aplicado en el sistema a una 
velocidad de 2500 rpm. 
82 
Fig. 5.9. Control difuso aplicado en el sistema a una 
velocidad de 5500 rpm. 
83 
Fig. 5.10. Control difuso aplicado en el sistema velocidad 
variable de 1500 a 2500 rpm. 
85 
Fig. 5.11. Comportamiento del sistema control difuso 
1500-2500 rpm. 
86 
Fig. 5.12. Control difuso aplicado en el sistema velocidad 
variable de 3500 a 4500 rpm. 
 
87 
Fig. 5.13. Fig. 5.13. Comportamiento del sistema control 
difuso 3500-4500 rpm. 
87 
 
 
 Página vii 
 
 
Fig. 5.14. Control difuso aplicado en el sistema velocidad 
variable de 5500 a 6500 rpm. 
88 
Fig. 5.15. Comportamiento del sistema control difuso 
5500-6500 rpm. 
88 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Página viii 
 
ÍNDICE DE TABLAS 
CAPÍTULO 2 
Tabla Título Página 
Tabla 2.1. Parámetros de la simulación. 22 
Tabla 2.2. Datos del sistema. 35 
 
CAPÍTULO 4 
Tabla Título Página 
Tabla 4.1. Resultados chumacera control pasivo 2000 rpm. 51 
Tabla 4.2. Resultados chumacera control activo 2000 rpm 
0p. 
51 
Tabla 4.3. Resultados chumacera control pasivo 2000 rpm 5p. 54 
Tabla 4.4 Resultados chumacera control activo 2000 rpm 5p. 54 
Tabla 4.4. Resultados chumacera control pasivo 2000 rpm 
10p. 
57 
Tabla 4.6. Resultados chumacera control activo 2000 rpm 
10p. 
57 
Tabla 4.7. Resultados chumacera control pasivo 2000 rpm 
0p,5p,10p. 
57 
Tabla 4.8. Resultados chumacera control activo 2000 rpm 
0p,5p,10p. 
58 
Tabla 4.9. Resultados chumacera control pasivo 4000 rpm 
0p. 
61 
Tabla 4.10. Resultados chumacera control activo 4000 rpm 
0p. 
61 
Tabla 4.11. Resultados chumacera control pasivo 4000 rpm 
5p. 
64 
Tabla 4.12. Resultados chumacera control activo 4000 rpm 
5p. 
64 
Tabla 4.13. Resultados chumacera control pasivo 4000 rpm 
10p. 
67 
Tabla 4.14. Resultados chumacera control activo 4000 rpm 
10p. 
67 
Tabla 4.15. Resultados chumacera control pasivo 4000 rpm 
0p,5p,10p. 
67 
Tabla 4.16. Resultados chumacera control activo 4000 rpm 
0p,5p,10p. 
68 
Tabla 4.17. Resultados chumacera control activo 6000 rpm 
0p,5p,10p. 
72 
 
 
 
 
 Página ix 
 
NOMENCLATURA 
Símbolo Descripción Unidad 
S Número de Sommerfeld. Adimensional 
µ Viscosidad dinámica. Pa.seg 
N Número de revoluciones por minuto. rpm 
p Carga por unidad de área proyectada. N/𝑚𝑚2 
R Radio. m 
Cr Claro Radial. m 
ω , w Velocidad angular. Rad/seg 
L Longitud de la chumacera. m 
D Diámetro de la chumacera m 
W Carga. N 
 
dm 
Masa del disco. Kg. 
blm Masa de la chumacera izquierda. Kg. 
brm Masa de la chumacera derecha. Kg. 
dx Aceleración del disco plano “x”. 𝑚𝑚/𝑠𝑠
2 
dy Aceleración del disco plano “y”. 𝑚𝑚/𝑠𝑠
2 
blx Aceleración de la chumacera izquierda plano “x”. 
𝑚𝑚/𝑠𝑠2 
bly Aceleración de la chumacera izquierda plano “y”. 𝑚𝑚/𝑠𝑠
2 
brx Aceleración de la chumacera derecha plano “x”. 𝑚𝑚/𝑠𝑠
2 
bry Aceleración de la chumacera derecha plano “y”. 𝑚𝑚/𝑠𝑠
2 
dc Amortiguamiento del aire. 0.521 𝑁𝑁/𝑚𝑚
2 
l
ijc Matriz de amortiguamiento chumacera izquierda. 
r
ijc Matriz de amortiguamiento chumacera derecha. 
dx Velocidad del disco plano “x”. 𝑚𝑚/𝑠𝑠 
dy Velocidad del disco plano “y”. 𝑚𝑚/𝑠𝑠 
blx Velocidad de la chumacera izquierda plano “x”. 𝑚𝑚/𝑠𝑠 
bly Velocidad de la chumacera izquierda plano “y”. 𝑚𝑚/𝑠𝑠 
brx Velocidad de la chumacera derecha plano “x”. 𝑚𝑚/𝑠𝑠 
bry Velocidad de la chumacera derecha plano “y”. 𝑚𝑚/𝑠𝑠 
ek Rigidez del eje. 𝑁𝑁/𝑚𝑚 
 
 
 Página x 
 
l
ijk Matriz de rigideces chumacera izquierda. 
r
ijk Matriz de rigideces chumacera derecha. 
dx Posición “x” del disco. 
dy Posición “y” del disco. 
blx Posición plano “x” de la chumacera izquierda. 
brx Posición plano “x” de la chumacera derecha. 
o
dx Posición de equilibrio del disco en plano “x”. 
o
dy Posición de equilibrio del disco en plano “y”. 
0
blx Posición de equilibrio de la chumacera izquierda en plano “x”. 
 
0
brx Posición de equilibrio de la chumacera derecha en plano “x”. 
 
bly Posición plano “y” de la chumacera izquierda. 
bry Posición plano “y” de la chumacera derecha. 
0
bly Posición de equilibrio de la chumacera izquierda en plano “y”. 
 
0
bry Posición de equilibrio de la chumacera derecha en plano “y”. 
 
xa Desbalance en plano “x”. m 
ya Desbalance en plano “y”. m 
 𝐾𝐾𝑥𝑥𝑥𝑥 ,𝐾𝐾𝑥𝑥𝑥𝑥 Coeficientes de rigideces directos. 
 𝐾𝐾𝑥𝑥𝑥𝑥 ,𝐾𝐾𝑥𝑥𝑥𝑥 Coeficientes de rigideces acoplados. 
 𝐶𝐶𝑥𝑥𝑥𝑥 ,𝐶𝐶𝑥𝑥𝑥𝑥 Coeficientes de amortiguamiento directos. 
 𝐶𝐶𝑥𝑥𝑥𝑥 ,𝐶𝐶𝑥𝑥𝑥𝑥 Coeficientes de amortiguamiento acoplados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Página xi 
 
RESUMEN 
La presente investigación parte de un modelo matemático previo de un sistema 
dinámico, el sistema es un rotor Jeffcott extendido el cual simula un sistema rotor 
chumacera, el sistema tiene un disco en el centro el cual simula el peso del 
sistema (rotor), y en los extremos dos masas simétricas que representan a los 
muñones dentro de las chumaceras. Se caracterizó el sistema funcionando a 
distintas velocidades y presurizaciones mediante programas en Matlab. 
El objetivo de la investigación es lograr la atenuación de vibraciones mecánicas, 
posponer la velocidad umbral del sistema. Para llevar a cabo estos objetivos se 
usaron chumaceras híbridas con presurización central superior, para la 
presurización del lubricante en las chumaceras se implementó un sistema de 
control difuso. 
La presurización externa es una manera de cambiar artificialmente las 
propiedades de rigidez y amortiguamiento en la película de lubricante de una 
chumacera hidrodinámica, haciendo que se modifique la conducta de una máquina 
rotatoria. 
El primer paso fue hacer una comparación entre las amplitudes de vibración del 
sistema funcionando con presurización por control pasivo y el sistema 
funcionando con presurización por control activo, en esta comparación es 
importante elegir el mejor sistema de control. 
Se eligió el sistema con presurización por control activo, este sistema a su vez se 
aplicó a diferentes rangos de operación del número de veces la presión de 
inyección clásica. Se eligió el sistema con 5 veces la presión de inyección clásica 
para diferentes velocidades de operación. 
Es importante hacer mención que altas velocidades, altas presiones de inyección y 
el propio control generan inestabilidades, así que es importante en el diseño de 
estos sistemas hacer un análisis que permita elegir el mejor diseño para el 
funcionamiento óptimo de la maquinaria rotatoria. 
 
 
 
 
 
 
 Página xii 
 
ABSTRACT 
This work considers a previously developed mathematicalmodel of a rotor-
dynamic system. Such a model describes the behavior of an extended Jeffcott 
rotor which can be used to simulate a rotor bearing system. The system has a disk 
in the center, which represents the weight of the system (rotor), and two journal 
bearings. This mathematical model can be simulated in Matlab and Simulink at 
different rotor speeds with different injection pressure. 
In previous works, it has been shown that the external pressurization is a way to 
artificially modify the properties of stiffnes and damping in the lubricant film of a 
hydrodinamic journal bearing. In this way, the behavior of the rotor-dynamic system 
can be modified as well. 
Therefore, the research goal is to design a fuzzy controller capable of achieving 
attenuation of mechanical vibrations and to postpone the threshold speed of the 
system. The control variables are the pressure of injection in the two bearings, and 
they are given in terms of classical injection pressure. 
 
Comparisons between the vibration amplitudes vibration of the system with passive 
control and with active control are given, and the best controller can be chosen. 
 
After several simulations, the active control showing the best results was the one 
designed around the linearization of five times the classical injection pressure. So, 
the overall fuzzy controller is constructed on the basis of linear optimal regulators 
designed at different rotor speeds around five times the classical injection 
pressure. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Página xiii 
 
OBJETIVO 
La presente investigación tiene como objetivo diseñar un sistema rotor chumacera 
en el cual se logren atenuar las vibraciones mecánicas aplicando control difuso en 
los soportes considerando chumaceras híbridas, tal que se modifiquen las 
propiedades de rigidez del sistema, y así lograr que el sistema trabaje por arriba 
de las velocidades umbrales y se pospongan inestabilidades. 
 
Para poder controlar un sistema rotodinámico es necesario antelar la respuesta 
del sistema para diseñar las leyes de control necesarias para reducir la vibración. 
Se puede partir de la obtención de un modelo matemático que describa el 
comportamiento de la posición de un sistema, y con esta referencia se puede 
analizar el sistema con anticipación bajo diferentes condiciones iníciales y de 
frontera. Por otro lado al modificar la presión en la chumacera híbrida se puede 
observar el comportamiento del sistema identificando inestabilidades y atenuación 
de las vibraciones. 
 
JUSTIFICACIÓN 
Debido a las vibraciones mecánicas en los ejes de las máquinas rotatorias, se han 
venido estudiando diferentes tipos de soportes, uno de ellos es la chumacera 
híbrida presurizada. Los estudios realizados en este sistema son relativamente 
recientes, en este trabajo se experimentará y simulará en el programa MATLAB y 
se analizará, añadiendo el control difuso en busca de la reducción de amplitudes 
de vibración, para conocer el sistema real y rediseñar mejor en consecuencia. 
Por otra parte, el poder postergar la inestabilidad en las chumaceras y diseñar un 
Control difuso, aumentaría la vida útil de este soporte. Una vez validado el modelo 
y añadiendo términos matemáticos se podrán analizar otros efectos rotodinámicos 
por ejemplo el desalineamiento, fisura, doblamiento, etc. Que son de interés tanto 
en la industria y la investigación. 
 
INTRODUCCIÓN 
El desarrollo de máquinas de mayor eficiencia, reduciendo los costos de 
mantenimiento son los principales retos para la investigación académica e 
industrial. Las vibraciones en las máquinas son uno de los principales problemas a 
resolver, se requieren de técnicas, modelos, etc. La rotodinámica es una rama 
especializada de la mecánica aplicada que relaciona el comportamiento y el 
diagnostico de las estructuras dinámicas. Otras ramas vinculadas a la 
rotodinámica son las vibraciones mecánicas, dinámica estructural e hidrodinámica. 
Que avanzan paralelamente para caracterizar los efectos y problemas causados, 
por el desbalance, la fisura, el desalineamiento, inestabilidades en los soportes, 
por nombrar algunos ejemplos a los que es sometida las máquinas rotativas. 
 
 
 
 Página xiv 
 
Existen una serie de problemas de inestabilidad de maquinaria rotatoria conocidos 
y discutidos en la literatura internacional, cada uno de los cuales puede ocasionar 
vibraciones violentas de alta amplitud y tan perjudiciales que impiden operar la 
maquinaria afectada por los disparos automáticos del sistema de protección de la 
misma. Todas estas inestabilidades vibratorias pueden evitarse cuando existe un 
buen diseño mecánico y además la maquinaria se opera adecuadamente. Sin 
embargo el deterioro del equipo rotatorio, el mantenimiento inadecuado y/o poco 
frecuente, así como los cambios significativos en las condiciones de operación de 
la turbomáquina pueden ser los principales responsables de que maquinaria que 
opera normal y estable se convierta en otra problemática y costosa de operar. 
 
En términos generales la rotodinámica es la disciplina que analiza y predice el 
comportamiento dinámico de maquinaria rotatoria (o también llamadas 
turbomáquinas). Las características rotodinámicas de una turbomáquina son 
influenciadas fuertemente por las chumaceras sobre las cuales se soporta para 
operar. El tipo de chumacera que se usa en maquinaria rotatoria varía de acuerdo 
a las necesidades, pero las más comunes son las chumaceras hidrostáticas, 
hidrodinámicas e híbridas, un campo un poco más nuevo son las chumaceras de 
levitación magnética las cuales son muchos más costosas que las anteriores. 
 
Comúnmente las chumaceras de película fluida son utilizadas para la operación 
industrial de maquinaria rotatoria pesada. Debido a que la película del fluido 
lubricante que separa las superficies en movimiento tiene un comportamiento 
similar al de un resorte de comportamiento complejo, dicha película de lubricante 
presenta propiedades de amortiguamiento y rigidez; las cuales pueden alterar 
significativamente a la máquina en sus velocidades críticas, respuesta al 
desbalance y además pueden inducir inestabilidades. 
 
La aparición de turbomaquinaria más moderna en la industria ha hecho que las 
chumaceras hidrodinámicas convencionales realicen algunas modificaciones en su 
diseño y manufactura. Lo anterior con el propósito de lograr que su 
comportamiento mecánico-dinámico mejore y permita satisfacer las exigencias de 
los nuevos tiempos, en los cuales la maquinaria es más compacta y trabaja a 
velocidades de operación cada vez mayores. 
 
Las características rotodinámicas de las máquinas son fuertemente influenciadas 
por los soportes del sistema. El control de vibraciones dentro de los soportes ha 
tenido un gran auge para disminuir la amplitud del movimiento cuando el sistema 
entra en resonancia, permitiendo una mayor vida útil de los soportes y ejes de la 
máquina [1]. Este control busca reducir la magnitud de la vibración hasta un punto 
de operación aceptable, aumentando no sólo los beneficios económicos, sino 
también la seguridad del personal encargado de la operación y mantenimiento de 
dichas máquinas. 
 
 
Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización 
superior usando control difuso 
 
SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 1 
 
Capítulo I 
Estado del Arte. 
1.1 Introducción. 
 
El desarrollo de máquinas de mayor eficiencia, reduciendo los costos de 
mantenimiento es un importante reto para la investigación académica e industrial. 
Las vibraciones en las máquinas son uno de los principales problemas a resolver, 
ya que pueden traducirse en pérdidas económicas y humanas. La rotodinámica es 
una rama especializada de la mecánica aplicada que relaciona el comportamiento 
y el diagnóstico de las estructuras dinámicas. Ramas vinculadas a la rotodinámica 
son las vibraciones mecánicas, dinámica estructural ehidrodinámica. Las cuales 
avanzan paralelamente para caracterizar los efectos y problemas causados por el 
desbalance, la fisura, el desalineamiento, inestabilidades en los soportes, por 
nombrar algunos ejemplos a los que son sometidas las máquinas rotativas. 
 
Existen una serie de problemas de inestabilidad de maquinaria rotatoria conocidos 
y discutidos en la literatura internacional, cada uno de los cuales puede ocasionar 
vibraciones violentas de alta amplitud y tan perjudiciales que impiden operar la 
maquinaria afectada por los disparos automáticos del sistema de protección de la 
misma. Todas estas inestabilidades vibratorias pueden evitarse cuando existe un 
buen diseño mecánico y además la maquinaria se opera adecuadamente. Sin 
embargo el deterioro del equipo rotatorio, el mantenimiento inadecuado y/o poco 
frecuente, así como los cambios significativos en las condiciones de operación de 
la turbomáquina pueden ser los principales responsables de que maquinaria que 
opera normal y estable se convierta problemática y costosa de operar. 
 
En términos generales la rotodinámica es la disciplina que analiza y predice el 
comportamiento dinámico de maquinaria rotatoria (o también llamadas 
turbomáquinas). Las características rotodinámicas de una turbomáquina son 
influenciadas fuertemente por las chumaceras sobre las cuales se soporta para 
operar. El tipo de chumacera que se usa en maquinaria rotatoria varía de acuerdo 
a las necesidades, pero las más comunes son las chumaceras hidrostáticas, 
hidrodinámicas e híbridas, un campo un poco más nuevo son las chumaceras de 
levitación magnética las cuales son muchos más costosas que las anteriores. 
 
Comúnmente las chumaceras de película fluida son utilizadas para la operación 
industrial de maquinaria rotatoria pesada. Debido a que la película del fluido 
lubricante que separa las superficies en movimiento tiene un comportamiento 
similar al de un resorte de comportamiento complejo. Dicha película de lubricante 
presenta propiedades de amortiguamiento y rigidez; las cuales pueden alterar 
significativamente a la máquina en sus velocidades críticas, respuesta al 
desbalance y además pueden inducir inestabilidades. 
 
Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización 
superior usando control difuso 
 
SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 2 
 
La aparición de turbomaquinaria más moderna en la industria ha hecho que las 
chumaceras hidrodinámicas convencionales realicen algunas modificaciones en su 
diseño y manufactura. Lo anterior con el propósito de lograr que su 
comportamiento mecánico-dinámico mejore y permita satisfacer las exigencias de 
los nuevos tiempos, en los cuales la maquinaria es más compacta y trabaja a 
velocidades de operación cada vez mayores. 
 
Las características rotodinámicas de las máquinas son fuertemente influenciadas 
por los soportes del sistema. El control de vibraciones dentro de los soportes ha 
tenido un gran auge para disminuir la amplitud del movimiento cuando el sistema 
entra en resonancia, permitiendo una mayor vida útil de los soportes y ejes de la 
máquina [1]. Este control busca reducir la magnitud de la vibración hasta un punto 
de operación aceptable, aumentando no sólo los beneficios económicos, sino 
también la seguridad del personal encargado de la operación y mantenimiento de 
dichas máquinas. 
 
La presente investigación tiene como objetivo diseñar un sistema rotor chumacera 
el cual permita atenuar las vibraciones mecánicas aplicando control difuso en los 
soportes, que para este caso son chumaceras híbridas. En otras palabras al 
modificar las propiedades de rigidez y amortiguamiento del sistema, se pretende 
que el sistema trabaje por arriba de las velocidades umbrales y se pospongan sus 
inestabilidades. 
 
Para poder controlar un sistema rotodinámico es necesario antelar la respuesta 
del sistema para diseñar las leyes de control necesarias para reducir la vibración. 
Se puede partir de la obtención de un modelo matemático que describa el 
comportamiento de la posición de un sistema, y con esta referencia se puede 
analizar el sistema con anticipación bajo diferentes condiciones iníciales y de 
frontera. Además modificando la presión en la chumacera híbrida se puede 
observar el comportamiento del sistema identificando inestabilidades y atenuación 
de las vibraciones. 
 
1.2 Antecedentes de la rotodinámica y la teoría de vibraciones. 
 
La investigación en la rotodinámica abarca al menos 130 años de historia, una de 
las primeras publicaciones fue en el año 1869 realizada por Rankine sobre 
vibraciones en rotores [2]. Un avance significativo fue a finales del siglo XIX con 
las contribuciones de De Laval y otros investigadores. 
 
Los primeros estudios de un eje y una chumacera operando bajo condiciones 
completamente hidrodinámicas fueron realizados por F. A. Von Pauli en 1849 y 
por G. A. Hirn en 1854. En 1883 De Laval construyó la primera etapa de una 
turbina de vapor de reacción. Él fue el primero en utilizar un rotor rígido y 
posteriormente usó un rotor flexible y observó que era posible operar por encima 
de la velocidad crítica, operando a una velocidad de siete veces la velocidad 
crítica [3]. También en 1883 el célebre Ruso Nikilay Petroff concluyó que la fricción 
Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización 
superior usando control difuso 
 
SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 3 
 
en chumaceras se debía a un fenómeno hidrodinámico. Mr. Beauchamp Tower [4] 
en 1883 realizó experimentos y demostró por primera vez la existencia de un 
campo de presión en una chumacera hidrodinámica. Posteriormente Osborne 
Reynolds [5] en 1886 obtuvo una expresión matemática que explica este 
incremento de presión y que ha llegado a ser la base del análisis hidrodinámico 
del funcionamiento de las chumaceras. 
 
Dunkerley [6] en 1894 fue el primero en usar el término de velocidad crítica para la 
velocidad límite en la que por arriba de esta la deflexión del eje crece sin límite. 
 
Foppl en 1895 resolvió el problema analítico de la vibración rotacional síncrona por 
desbalance, explicando analíticamente el por qué es posible la operación por 
arriba de la velocidad crítica, tal como ya lo había demostrado experimentalmente 
De Laval. 
 
El primer fundamento registrado en la teoría de la rotodinámica se puede 
encontrar en una publicación escrita por Jeffcott en 1919. Jeffcott es citado por su 
contribución de un sistema de un rotor con un disco a la mitad llamado rotor 
Jeffcott [7,8]. Este sistema fundamental simplificado también es llamado rotor De 
Laval. La evolución de la rotodinámica comenzó a inicios del siglo XX, detallada en 
el libro escrito por Stodola en 1924. Este libro explica en detalle todo lo 
relacionado con turbinas de vapor [3]. 
 
En la década de 1920 la industria de las turbinas diseñó máquinas para operar con 
cargas substancialmente más altas, y a velocidades por arriba de la velocidad 
crítica fundamental; con esto los problemas modernos de la rotodinámica 
aparecieron, como el incremento de la amplitud de vibración después de la 
primera frecuencia crítica, estas vibraciones llamadas auto-excitadas se convierten 
en un serio problema. En los años 20, Newkirk y Kimball (1924) registraron que la 
fricción interna de los materiales en los ejes podría causar inestabilidades en el 
movimiento vibratorio. Newkirk y Taylor (1925) investigaron sobre la inestabilidad 
llamada oil whip, provocada por el aceite de las chumaceras. Este fenómeno que 
ordinalmente causa auto-excitaciones en las vibraciones amortiguadas atrajo la 
atención de numerosos investigadores [9,10]. 
 
Una década después, comenzó el estudio de sistemas de ejes asimétricos y 
sistemas de rotores asimétricos, los primeros son sistemas con diferentes 
direcciones de rigidez en el eje, y los segundos tienen diferentesdirecciones de 
inercia en el rotor. Un generador de dos polos y un rotor de hélice son ejemplos de 
cada uno. Estas diferencias de rotación del eje hacen que los coeficientes varíen 
con respecto al tiempo en las ecuaciones que gobiernan el sistema. Por lo tanto 
estos sistemas están en la categoría de sistemas paramétricamente excitados. 
Una de las características de los sistemas asimétricos es la aparición de 
vibraciones inestables en algunos rangos de la velocidad operacional. Un reporte 
de Smith (1933) fue el pionero en este tema. Varios fenómenos relacionados a los 
Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización 
superior usando control difuso 
 
SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 4 
 
rotores simétricos eran estudiados por Taylor a mediados del siglo XX (1940). 
Foote (1943), Brozen y Candall (1971), Yamamoto y Ota (1963,1964) [2]. 
 
Poritsky, H. (1953) usó la teoría de pequeños desplazamientos, obteniendo los 
coeficientes radiales de rigidez de la chumacera hidrodinámica y analizó el 
comportamiento bajo con el fenómeno llamado latigueo de aceite (oil whip). Él 
concluyó que el rotor se mantiene estable por debajo de dos veces la frecuencia 
crítica e indicó que el aumento de la flexibilidad en el rotor o en las chumaceras 
reducirá la velocidad umbral de inestabilidad. También propuso un criterio de 
estabilidad para un rotor basado en la rigidez del rotor chumacera. 
 
En 1955 Pinkus investigó el efecto oil whirl en varios tipos de chumaceras y 
concluyó lo siguiente: El desbalance en los rotores tiene el mínimo efecto en la 
inestabilidad, el umbral de la inestabilidad ocurre aproximadamente en la segunda 
velocidad crítica del rotor. En la región inestable, la frecuencia de giro se mantiene 
constante a la primera velocidad crítica independientemente de la velocidad de 
operación, a una velocidad de tres veces la velocidad crítica los movimientos de 
latigueo paran con un eje de rotor robusto, mientras con un rotor ligero no ocurre. 
Cargas altas, viscosidades altas, montajes flexibles y chumaceras asimétricas 
favorecen la estabilidad [11]. 
 
Se estudiaron también las oscilaciones de rotores con masa continua distribuida. 
Un modelo sencillo de rotor continuo corresponde a la viga de Euler que es el 
primer caso estudiado en el libro de Stodola (1924) [3]. En los años 50 y 60, 
Bishop (1959), Bishop y Glandell (1959), Bishop y Parkinson (1965) realizaron una 
serie de artículos donde reportaban la respuesta del desbalance y el balanceo de 
un rotor continuo. Eshleman y Eubanks (1969), derivaron las ecuaciones 
generales de movimiento considerando los efectos de inercia rotatoria, 
deformación cortante y momentos giroscópicos y realizando la investigación de 
estos efectos [12]. 
 
La eliminación del desequilibrio geométrico en el rotor es un procedimiento 
fundamental e importante, la técnica de balanceo de un rotor rígido se estableció 
relativamente en los principios del estudio de la rotodinámica. Un balanceo 
práctico de máquinas se basa en esta técnica y fue inventada en 1907 [13]. La 
introducción de máquinas rotativas de altas velocidades de operación hizo 
necesario el desarrollo de técnicas de balanceo de rotores flexibles. Dos métodos 
fueron propuestos, uno fue el método de balanceo modal propuesto en los años 
50 por Feder (1957), Bishop y Glawell (1959). El otro método es el de coeficientes 
de influencia propuesta a principio de los 60’s, desarrollándose con equipo de 
cómputo en los Estados Unidos [12]. 
 
Yamamoto (1955,1957) estudió varias clases de resonancias no lineales, y 
después reportó sobre resonancias sub-armónicas debido a los rodamientos de 
bola en 1955. También habló de sistemas con comportamiento no lineal débil que 
pueden ser expresados en series de Taylor de bajo orden. En 1965 Tondl estudió 
Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización 
superior usando control difuso 
 
SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 5 
 
resonancias debido a la película del aceite en las chumaceras. En 1970 Ruhl R. 
introdujo elemento finito en modelos de rotores flexibles para calcular frecuencias 
críticas y modos de vibración, estos modelos no incluían efectos giroscópicos y 
cargas axiales. Lund J. en 1974 con el método de matriz de transferencia calculó 
las frecuencias críticas amortiguadas de un rotor tomando en cuenta el 
acoplamiento transversal, término que introdujo él mismo [14]. 
 
En la práctica del diseño de maquinaria rotativa, es necesario conocer las 
frecuencias naturales, modos de vibración y respuestas de desbalance en su 
forma compleja. Las técnicas usadas para este propósito son los métodos de 
matriz de transferencia y elemento finito. Prohl (1945) usó el método de matriz de 
transferencia en el análisis de un sistema rotor expandido por el método Myklestad 
(1944). Este método analítico es particularmente utilizado para sistemas rotor-
chumacera y se ha desarrollado desde 1960 como se mencionó anteriormente. El 
método de elemento finito fue el primer avance en dinámica estructural y es usado 
en varios campos tecnológicos. Nelson y McVaugh (1946) extendieron el modelo 
de Lund J. en elemento finito incluyendo inercia rotatoria, efectos giroscópicos y 
cargas axiales [2]. 
 
Para prevenir serios accidentes y desarrollar un sistema vibratorio diagnóstico 
detector de fisura, se inicio la investigación de vibraciones en ejes fisurados. En 
1976 Gash, Henry y Okah-Avae investigaron vibraciones dando consideraciones 
de linealidad en la rigidez a través de mecanismos de abierto y cerrado. Ellos 
observaron que la región inestable aparece o desaparece en la velocidad crítica, 
dependiendo de la dirección del desbalance [13]. 
 
Kucherenko y Gómez Mancilla [15] derivaron el modelo de un sistema rotor-
chumacera donde fueron considerados los efectos no lineales relacionados con 
las fuerzas en las chumaceras. 
 
Antonio García, Gómez Mancilla y Nossov [16,17] reportan la obtención de 
expresiones explícitas de la velocidad del umbral de estabilidad en función de la 
excentricidad cuando se utilizan ambas configuraciones típicas del modelo de 
Jeffcott para rotores de eje rígido y eje flexible. Para la determinación de las 
velocidades umbrales utilizan el criterio de estabilidad de Lienard-Chipard. 
Utilizando coeficientes rotodinámicos para chumaceras infinitamente cortas 
(formulación de Ocvirk) y para chumaceras infinitamente largas, ellos presentan 
gráficas de la velocidad umbral como función de la excentricidad de equilibrio 
estático para diferentes valores de la flexibilidad del eje y para rotores de eje 
rígido. Una conclusión importante a la que se llega, es que las expresiones 
encontradas para el cálculo de la velocidad umbral de estabilidad por medio del 
criterio mencionado son más simples que los métodos proporcionados por la 
literatura. 
 
En estudios posteriores, también han obtenido expresiones analíticas aproximadas 
para calcular el perfil de presión, las fuerzas componentes y los coeficientes 
Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización 
superior usando control difuso 
 
SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 6 
 
rotodinámicos que se generan en la película del lubricante en chumaceras 
hidrodinámicas cilíndricas. Las expresiones se obtuvieron utilizando la ecuación de 
Reynolds, la cual es una simplificación de las ecuaciones de Navier-Stokes de la 
Mecánica de Fluidos. La ecuación de Reynolds fue resuelta de manera cerrada 
utilizando la teoría de chumaceras infinitamente largas y cortas. 
 
Los análisis realizados por Gómez Mancilla y Nossov [18,] muestran que el 
desalineamiento angular tiene una influencia importante en el comportamiento de 
la maquinaria rotatoria soportada en chumaceras hidrodinámicas. Los 
investigadoresque llevaron a cabo el estudio argumentan que el desalineamiento 
angular provoca la generación de proyecciones tridimensionales de las fuerzas de 
presión, induciendo al menos dos significativos momentos y una fuerza axial que 
previamente no existían en un rotor perfectamente alineado. 
 
Ordóñez Pantoja [19] propuso un diseño nuevo de chumacera con presurización 
externa que presenta características rotodinámicas semejantes a la chumacera de 
levitación magnética pero que tiene ventajas sobre ésta y además busca dar 
solución a los problemas típicos de la rotodinámica. 
 
En 1996 Dimarogonas y Gómez Mancilla aproximan los coeficientes rotodinámicos 
mediante un programa de elemento finito el cual resuelve de manera aproximada 
las ecuaciones de Reynolds [20]. 
 
En el año 2003, los investigadores brasileños I. F. Santos y F. Y. Watanabe [25] 
publicaron en el Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and 
Engineering, un trabajo en el cual se estudian chumaceras presurizadas con 
puertos múltiples de inyección de lubricante, este análisis se realiza 
numéricamente mediante la dinámica de fluidos computacional y técnicas de 
control. Mediante el control del flujo y la presión se obtienen cambios importantes 
en las fuerzas de la película de aceite, las cuales afectarán los valores de las 
rigideces de la chumacera. 
 
Ramírez Vargas, Nossov V., y Gómez Mancilla [21] analizaron el comportamiento 
de una chumacera corta que está sometida a presurización externa, dando como 
resultado un cambio radical en el comportamiento de las propiedades dinámicas 
de la película de lubricante. La presurización fue modelada con funciones 
especiales de impulso (la función Delta de Dirac), tal modelación fue la primera en 
su tipo para problemas similares de rotodinámica. Una conclusión importante es 
que el uso de la función de Dirac facilita, entre otros trabajos, calcular la respuesta 
de presión cuando se presuriza en uno o más puertos de inyección, logrando 
determinar la relación existente entre la presurización y el nuevo ángulo de 
attitude. Posteriormente se realizó el cálculo de los coeficientes rotodinámicos 
presurizados con inyección puntual [22], este estudio facilitará el diseño de leyes 
de control para atenuar las vibraciones en las chumaceras híbridas [23]. 
 
Torres Cedillo y Gómez Mancilla [30] presentan un trabajo de experimentación y 
Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización 
superior usando control difuso 
 
SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 7 
 
análisis del comportamiento del sistema chumacera híbrida presurizada con 
control activo que arroja resultados interesantes en el campo de atenuación de 
vibraciones mecánicas. 
 
1.2.1 Estudios experimentales en chumaceras con inyección. BENTLY-
NEVADA. 
 
Actualmente existen compañías dedicadas a la fabricación e investigación 
experimental de equipo rotatorio, una de ellas es BENTLY-NEVADA en EUA; la 
cual ha hecho experimentos con rotores de laboratorio que consisten en presurizar 
externamente a una chumacera colocando los puertos de inyección en forma 
simétrica [24]. En la figura 1.1 se muestra una chumacera presurizada con cuatro 
puertos de inyección, esta configuración es la que BENTLY usa para realizar sus 
experimentos. 
 
 
Fig. 1.1. Configuración de una chumacera presurizada usada por BENTLY. 
 
El objetivo inicial de Donald Bently (quien es el responsable de esta compañía) al 
usar este arreglo es tratar de que la presurización externa haga que el muñón se 
mantenga lo más cerca del centro geométrico de la chumacera y de esta manera 
el eje no tenga oscilaciones importantes.En el año 2002 Bently junto con Hatch y 
Grissom publicaron el libro: Fundamentals of Rotating Machinery Diagnostics [26]; 
el cual tiene por objetivo mostrar los aspectos prácticos más relevantes de la 
rotodinámica, haciendo énfasis en el diagnóstico de turbomáquinas. En este libro 
hay un capítulo (cap. 23) que por primera vez aparece como tal en la literatura 
internacional con el título “Externally Pressurized and Machinery Diagnostic” entre 
las conclusiones más destacadas que aparecen, se pueden citar: 
 
1.- Al presurizar externamente, las rigideces de las chumaceras se incrementan 
notablemente. 
Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización 
superior usando control difuso 
 
SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 8 
 
2.- La presurización puede producir inestabilidad. 
3.-Bajo ciertas condiciones la presurización externa puede modificar las 
velocidades de resonancia. 
4.- Si se ajustan adecuadamente los puertos de inyección, se puede modificar la 
excentricidad de equilibrio. 
5.- La variación de la presión puede permitir establecer un control adecuado de las 
rigideces en la chumacera, el control se puede hacer en uno más puertos de 
inyección. 
 
1.3. Clasificación de los cojinetes. 
 
Los cojinetes utilizados en maquinaria rotativa pesada se dividen en dos grandes 
grupos. Cojinetes de elementos rodantes y cojinetes de película de aceite (a este 
tipo de soporte también se le llama chumacera, en el presente trabajo a los 
soportes que utilizan algún tipo de fluido se les llamara “chumaceras”). Las 
chumaceras de película de aceite se subdividen en hidrodinámicas, hidrostáticas e 
híbridas. Los cojinetes de elementos rodantes Fig. 1.2 tienen diversas aplicaciones 
en maquinaria pequeña, con velocidades muy bajas o máquinas donde el peso y/o 
el suministro de lubricante sean muy complejos para justificar chumacera de 
película de aceite. Los cojinetes de rodamiento no permiten amplios 
desplazamientos del eje, debido a su alta rigidez y bajo amortiguamiento, que es 
independientemente a la carga que se somete el soporte [27]. 
 
 
Fig. 1.2. Cojinetes de rodamiento. 
 
Para proveer amortiguamiento a máquinas rotativas con cojinetes de elementos 
rodantes se utiliza usualmente el amortiguamiento de película comprimida (en 
inglés squeezefilm dampers), al diseñar los cojinetes con amortiguamiento de 
película comprimida, se reduce la rigidez del cojinete y los desplazamientos del 
rotor en el plano de medición del cojinete [11]. 
Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización 
superior usando control difuso 
 
SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 9 
 
Las chumaceras de película de aceite son usadas en numerosas máquinas 
rotativas, donde una delgada película de aceite separa la chumacera del eje. El 
espesor de la película es típicamente del orden de unas micras. El lubricante más 
utilizado es el aceite, también se puede utilizar como fluido de trabajo el gas o 
agua. Las chumaceras de película de aceite pueden ser de presurización interna, 
externa y híbrida (hidrodinámicas, hidrostáticas y ambas respectivamente). 
A continuación se realiza una descripción general y estudios realizados para el 
desarrollo de las chumaceras hidrodinámicas, hidrostáticas e híbridas, siendo 
estos los soportes flexibles analizados en el presente trabajo [13]. 
 
1.3.1. Chumaceras hidrodinámicas. 
 
Una chumacera hidrodinámica consiste en un cuerpo aproximadamente cilíndrico 
en el cual gira un eje, y es utilizado en gran parte de maquinaria rotativa para 
soportar cargas axiales ó simplemente como una guía de transmisión de torque 
con un mínimo de pérdida de energía y desgaste entre las superficies de contacto. 
La capacidad de carga es obtenida a través del campo de presión del lubricante 
dentro de la chumacera. El campo de presión es generado por la formación de una 
cuña de lubricante, el cual es arrastrado hacia un claro de superficies 
convergentes. Esta cuña se crea porque el muñón no gira concéntricamente con 
respecto al centro de la chumacera, sino mediante desplazamientos relativos 
alrededor del centro de la chumacera y se conocecomo excentricidad. La 
excentricidad se auto-ajusta hasta que la carga del rotor se iguala a la fuerza 
causada por la cuña generada por el campo de presión del fluido [27,22]. 
 
En la figura 1.3 se muestra una vista transversal de una chumacera hidrodinámica 
junto con el campo de presión por la película de lubricante, notar que el muñón 
esta ligeramente desalineado, generando una excentricidad. 
 
 
Figura 1.3. Descripción de fuerzas en una chumacera hidrodinámica. 
 
Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización 
superior usando control difuso 
 
SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 10 
 
1.3.2. Chumaceras hidrostáticas. 
 
En las chumaceras hidrostáticas la presurización es externa, en otras palabras el 
lubricante es presurizado por una fuente exterior utilizando usualmente bombas, 
como se observa en la Fig. 1.4. Si la inyección de presurización es continua y sin 
interrupciones, genera el espesor de película de lubricante adecuado entre el 
muñón y la chumacera manteniéndose incluso con velocidad nula. En 
consecuencia, es posible obtener coeficientes de fricción despreciables, 
permitiendo cargas altas de operación con el menor esfuerzo posible. Ambas 
chumaceras hidrodinámicas e hidrostáticas operan con un espesor de película 
relativamente grueso. 
 
El término hidrostático fue introducido para diferenciar el mecanismo de operación 
de la lubricación hidrodinámica donde la velocidad y el efecto de la cuña del 
campo de presión son los principales requisitos [13]. Las chumaceras hidrostáticas 
incluyen sistemas más complejos de lubricación y requieren de diseños 
especializados y aplicaciones prácticas. Sin embargo son utilizadas desde 
pequeñas herramientas de precisión, hasta grandes y pesados equipos rotativos. 
 
 
 
 
Figura 1.4. Esquema del suministro de aceite de una chumacera hidrostática. 
 
 
 
 
 
 
 
Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización 
superior usando control difuso 
 
SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 11 
 
1.3.3. Chumaceras híbridas. 
 
La chumacera controlada por inyección de lubricante presurizado puede 
conformarse por una chumacera cilíndrica plana (ver Fig. 1.5). 
 
 
 
Fig. 1.5. Geometría de una chumacera cilíndrica plana. 
 
Esta chumacera consiste en la combinación de la chumacera hidrodinámica y la 
hidrostática (ver Fig. 1.6), se considera sólo un puerto de inyección del lubricante 
el cual consta de su cavidad de inyección (o bajo relieve); su cavidad de inyección 
abarca el 25% de la superficie circunferencial de la chumacera. 
 
 
Fig. 1.6. Descripción de la Geometría de la chumacera 
controlada por inyección de lubricante presurizado. 
 
Las funciones del puerto de inyección son alimentar un suministro suficiente de 
lubricante para mantener el nivel necesario para que se pueda generar la presión 
hidrodinámica en la chumacera y generar una fuerza externa cuando sea 
requerido para el funcionamiento óptimo de la chumacera. 
 
Esta chumacera permite lograr las funciones fundamentales como facilitar el 
ensamble de la chumacera y el muñón, permite el espacio suficiente para la 
expansión debido al calentamiento del lubricante y dar tolerancia al 
Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización 
superior usando control difuso 
 
SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 12 
 
desalineamiento, doblamiento y deflexión del rotor. Pero la función principal es la 
de proveer soporte radial al rotor. 
 
Inicialmente y enumerados de manera simplista los elementos principales que 
componen a esta chumacera son: fluido lubricante (aceite de viscosidad dinámica) 
según sea el caso del diseño; los elementos de medición y monitoreo 
(proxímetros, ADRE): la bomba de presión variable que permite la inyección del 
fluido lubricante a presiones altas; los actuadores y sus válvulas; una 
computadora, tarjeta de adquisición y procesamiento de señales y comandos; y 
las leyes de control adecuadas e implementadas en un programa. 
 
1.4. Posición de equilibrio estático de las chumaceras hidrodinámicas. 
 
La posición de equilibrio estático del rotor (árbol) bajo la acción de una carga 
unidireccional, como puede ser la que genera el peso del rotor y/o el empuje radial 
por engranes, puede ser calculada al igualar las componentes de la carga con las 
fuerzas de presión integradas sobre la superficie del árbol donde existe película 
lubricante (ver Fig. 1.7). Es conveniente tomar dos componentes, una en la 
dirección a la excentricidad del árbol y otra normal a ésta. 
 
 
 
Fig. 1.7. Componentes de la fuerza F de la película del lubricante 
y el ángulo de proximidad ψ de la línea de centros. 
 
Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización 
superior usando control difuso 
 
SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 13 
 
Las dos integrales siguientes representan las componentes ortogonales orientadas 
de la reacción ejercida por la presión de la película del fluido lubricante sobre el 
árbol. 
fθ
0 0
cos ( , ) cos (1)
fL
rF F R P Z d dz
θ
ψ θ θ θ= = ∫ ∫ 
 
0 0
c ( , ) (2)
fL
rF F sen R P Z sen d dz
θ
ψ θ θ θ= = ∫ ∫ 
Estas integrales resultan ser funciones de la razón de excentricidad ε del árbol y 
del ángulo de proximidad ψ (Fig. 1.7), 
 
Donde la distribución de presión de la película del lubricante P (θ, Z) generalmente 
es una función no lineal de ε, al igual que de θ, Z y fθ representa la presión 
circunferencial hasta donde se considera que llega la película lubricante 
generalmente fθ = 𝜋𝜋 , ó 2 𝜋𝜋. Las ecuaciones (1) y (2) se pueden resolver para ε 
y ψ. Así se obtiene la posición de equilibrio estático del árbol, asumiendo que la 
carga aplicada F es conocida y que la forma de la función (o tabla numérica) para 
P (θ, Z) se conoce en términos de ε. 
 
La figura 1.8 muestra el conjunto de ubicaciones o localización geométrica de la 
posición de equilibrio del árbol para una chumacera corta cavitada (película - 𝜋𝜋). 
La excentricidad ε→1 y el ángulo de posición de mínima excentricidad ψ→0 
conforme la carga aplicada F aumenta y se aproxima a rozar a la chumacera. Este 
análisis para la obtención de la trayectoria de equilibrio se validó únicamente para 
el caso de existir un alineamiento perfecto entre líneas de centros del muñón y la 
chumacera, tampoco existe una fuerza radial desconocida de la resultante 
conocida. En situaciones más realistas y diferentes que lo anteriormente 
mencionado existirá el problema del desalineamiento, el cual puede ser del tipo 
radial y/o angular. 
 
Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización 
superior usando control difuso 
 
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Fig. 1.8. Localización o trayectoria de la posición de equilibrio del árbol, para 
una chumacera cavitada corta conforme se aumenta la carga sobre ella. 
 
1.5. Número de Sommerfeld 
El diseño de las chumaceras y su análisis se facilita al expresar la carga en 
términos adimensionales del número de Sommerfeld S (3): 
2N RS
p Cr
µ  =  
  , 
( )60 (3)
2
N ω
π
= 
 
Donde: 
Wp
LD
=
 
p es la carga por unidad de área proyectada, llamada “presión promedio sobre la 
chumacera”. 
Por lo que también es común encontrar la fórmula de la ecuación del Número de 
Sommerfeld de la siguiente manera (4): 
2
 (4)NLD RS
W Cr
µ  =  
  
Es importante mencionar que cuando se inyecta lubricante en la parte superior de 
la chumacera la excentricidad tiende a aumentar su valor mientras el número de 
Sommerfeld disminuye, el ángulo de attitude aumentacuando se incrementa el 
número de Sommerfeld y no dependen del tamaño de la presurización en la parte 
superior de la chumacera, de igual manera es notoria la existencia de un sólo 
punto de equilibrio, pues para cada valor dado del número de Sommerfeld existe 
uno y sólo un valor de excentricidad. 
Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización 
superior usando control difuso 
 
SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 15 
 
Es importante el parámetro de carga por unidad de área proyectada: 
 
Wp
LD
=
 
Con el valor de la carga por unidad de área proyectada, podemos determinar el 
valor de presión de inyección. Así si se hace referencia a un número de veces la 
presión de inyección, se interpreta así: 
 
0P.- La presión de inyección en este caso es para suministrar una cantidad 
suficiente de lubricante para mantener una capa de éste entre el árbol y la 
chumacera. 
 
3P.- Tres veces el valor de p. 
 
 6P.- Seis veces el valor de p. 
 
 
10P.- Diez veces el valor de p. 
 
Cero presión de inyección corresponde al caso tradicional de una chumacera 
convencional trabajando bajo el régimen de lubricación con alimentación clásica 
(se alimenta exactamente una cantidad de lubricante igual a la que se fuga por los 
lados de manera natural). En el caso 0P no quiere decir que no haya inyección del 
lubricante, sino que esta presión de inyección será sólo lo necesario para 
mantener una capa entre el árbol y la chumacera. Los siguientes valores nos 
indican que el valor de presión de inyección será tres veces, seis veces y diez 
veces el valor de carga por unidad de área proyectada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización 
superior usando control difuso 
 
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1.6. Clasificación de los sistemas de control de vibraciones. 
 
La clasificación en la literatura de los sistemas de control vibratorios son tres 
pasivos, activos y semi-activos (SA). Un sistema de control vibratorio se dice que 
es pasivo, activo ó SA, dependiendo de la energía externa que necesite para 
realizar la función requerida. 
 
 
Figura 1.9. Sistemas de control de vibraciones 1.9.1) Sistema Pasivo, 1.9.2) Sistema Activo, 
1.9.3) Sistema SA. 
 
El control pasivo de vibración consiste de un elemento resistente (rigidez) y un 
elemento disipador de energía (amortiguador) cualquiera para absorber la energía 
vibratoria. Este tipo de sistema de control vibratorio se realiza mejor dentro de la 
región de frecuencia de más alta sensibilidad. El ancho de banda de frecuencia de 
excitación, puede ser mejorado considerablemente optimizando los parámetros del 
sistema. Sin embargo, esta mejora se alcanza bajando las características de 
supresión de la banda estrecha. 
 
El control pasivo vibratorio tiene significativas limitaciones en aplicaciones 
estructurales donde los disturbios de la banda ancha son difíciles e inciertos de 
localizar. Para compensar estas limitaciones es utilizado un control vibratorio 
activo. Introduciendo una fuerza activa como parte de una subsección del 
amortiguador u(t), el sistema es controlado usando diferentes algoritmos para 
darle mayor respuesta a la excitación vibratoria. El sistema SA control vibratorio es 
una combinación de activo y pasivo, intenta reducir la cantidad de energía externa 
necesaria alcanzar las características de eficiencia deseada, este tipo de control 
se encuentra en desarrollo tecnológico y aun es de alto costo en aplicaciones 
industriales [12]. 
 
1.6.1. Características del funcionamiento de los Sistemas de control de 
vibraciones. 
 
El diseño de sistemas de control de vibraciones se realiza cuando se requiere 
operar la máquina rotativa por arriba de la banda ancha de carga y una gama de 
frecuencias que sea imposible de resolver con una sola opción de rigidez y 
Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización 
superior usando control difuso 
 
SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 17 
 
amortiguamiento. Si las características de la respuesta vibratoria deseada no 
pueden ser obtenidas, una atractiva opción es el control activo ya que puede 
proporcionar un control en cada banda ancha de excitación. Sin embargo induce 
inestabilidades causadas por el mismo control. Siendo un problema serio en la 
aplicación industrial [6]. Por otro lado los sistemas pasivos son obstaculizados por 
el fenómeno llamado “detuning”, el cual significa que el sistema no es capaz de 
atenuar la vibración para la cual fue diseñado. Las razones por las cuales ocurre 
esto es: 
 
1) El sistema de control de vibraciones se deteriora y los parámetros pueden estar 
lejos del diseño original de control. 
2) Los parámetros originales de los dispositivos de control se alteraron. 
3) La frecuencia natural o la fuerza de excitación pueden cambiar a cierto tiempo. 
 
1.6.2. Sistema de control pasivo de vibraciones. 
 
El control pasivo de vibraciones como su nombre lo indica, emplea controladores 
pasivos. Por definición los dispositivos pasivos no requieren de fuerzas externas 
para su operación. Los dos tipos de controladores pasivos son absorbedores 
dinámicos y amortiguadores. Por otro lado, la medición de la respuesta vibratoria 
es realizada implícitamente y el control es producido por la fuerza excitadora 
generada por los controladores pasivos. Un absorbedor dinámico de vibraciones 
es un mecanismo masa-resorte con poco o nada de amortiguamiento el cual 
puede absorber la excitación de vibración a través de la energía transferida a este, 
de tal modo que reduce las vibraciones del sistema primario. El amortiguador es 
puramente disipador de energía, que al contrario del absorbedor dinámico no 
almacena energía, la energía es disipada directamente. Por lo tanto desaprovecha 
energía, presentando problemas relacionados con desgaste y efectos térmicos. 
Una ventaja que presentan estos elementos es tener altas velocidades de 
operación. Algunos ejemplos de controladores pasivos son: muelles metálicos, 
elastómeros, etc. Fig. 1.10. 
 
 
Figura 1.10. Ejemplos de sistemas de control pasivo resortes. 
Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización 
superior usando control difuso 
 
SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 18 
 
1.6.3. Sistema de control activo de vibraciones. 
 
En la figura 1.11 se presenta un esquema del sistema de control activo en un 
sistema mecánico dinámico. La planta o el proceso es el origen de las vibraciones, 
el controlador es el dispositivo que genera la señal y regula las vibraciones en el 
sistema, siendo los dos principales elementos en un sistema de control: el 
controlador y la planta [12]. 
 
 
Figura 1.11. Sistema activo de control de vibraciones. 
 
La respuesta de la planta puede ser seguida y medida por sensores que a su vez 
retroalimentan al controlador. Entonces el controlador compara las señales 
medidas con la respuesta deseada, utilizando el error para generar una señal de 
control adecuada. De este modo se obtiene un sistema de control retroalimentado. 
En ausencia de un sensor y retroalimentación el control es de lazo abierto. Esto 
significa que no hay retroalimentación hacia el controlador para que éste pueda 
ajustar la acción de control. Es decir, la señal de salida no se convierte en señal 
de entrada para el controlador. Ambos sistemas de control pueden ser utilizados 
en el mismo sistema mecánico [28]. 
 
El actuador que recibe la señal de control y controla la planta es parte importante 
de la planta (por ejemplo, el motor que controla la cuchilla de una sierra), 
alternativamente puede ser añadido un componente externo para realizar el 
control (por ejemplo, un actuador piezoeléctricoo magnético para el control de las 
vibraciones en la cuchilla de la sierra). El primer paso es acondicionar la señal de 
control para que sea compatible con los actuadores existentes. El siguiente paso 
es diseñar el controlador y el actuador en paralelo para aplicarlo a la planta. 
Puesto que la señal del controlador es digital, para ser utilizada en los actuadores 
Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización 
superior usando control difuso 
 
SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 19 
 
se tendrá que convertir en análoga, por lo tanto el convertidor digital análogo 
(CDA) es un acondicionador de señal y es utilizado para los diseños de control 
pertinente. Además la señal analógica que se genera puede ser filtrada y 
amplificada a un nivel apropiado para ser utilizado en el actuador, se deduce que 
los amplificadores y filtros son acondicionadores de la señal de control y son útiles 
para el control de vibraciones. 
 
En el programa de control la señal de control es generada por la computadora, a 
esto se le llama controlador digital y en el hardware de control la señal es 
generada por el hardware digital sin la necesidad de programas de cómputo. 
Alternativamente el control analógico puede ser utilizado cuando la señal de 
control es generada directamente por un circuito analógico, este tipo de control es 
rápido y no requiere de convertidores digitales a analógicos (D/A). 
 
Un sistema retroalimentado (sistema de lazo cerrado) utiliza sensores para medir 
la respuesta de la planta, para determinar si la planta opera adecuadamente. Un 
sensor mide la respuesta del sistema y automáticamente convierte la señal 
(transducción de señal) en la forma adecuada para el controlador. Un acelerador 
piezoeléctrico mide la aceleración y la convierte en carga eléctrica, un tacómetro 
electromecánico mide la velocidad y la convierte en voltaje, un codificador del eje 
mide la posición angular del eje y la convierte en un código digital. Por lo tanto los 
términos sensor y transductor se utilizan alternativamente en la literatura de 
control de vibraciones, la señal generada por estos transductores necesita 
acondicionadores antes de ser conectados al controlador. 
 
Por ejemplo, la señal de carga del acelerómetro piezoeléctrico debe de ser 
convertida a voltaje utilizando un amplificador de carga y posteriormente digitalizar 
la señal utilizando un convertidor analógico/digital (A/D) para usar la señal en un 
controlador digital. Cabe señalar que el acondicionador de la señal debe de estar 
entre el transductor y el controlador, de la misma manera entre el controlador y el 
actuador. Los sensores activos emplean energía externa, los pasivos emplean 
energía autogenerada y no requieren de energía externa para su funcionamiento. 
La energía externa puede ser utilizada para acondicionar la señal de los sensores. 
Finalmente, las perturbaciones en el sistema son desconocidas siendo el 
problema en el control de vibraciones la identificación de las excitaciones y poder 
atenuarlas, son las principales razones para el diseño de leyes de control. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización 
superior usando control difuso 
 
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Capítulo 2 
Modelado y simulación numérica del sistema rotor-
chumacera con control pasivo y con control activo. 
2.1 Introducción. 
En este capítulo se desarrolla el modelo del sistema y se elaboran los programas 
para el sistema funcionando con control pasivo y con control activo. Una forma de 
poder atenuar y controlar la amplitud vibracional en maquinaria rotatoria radica en 
modelar correctamente el comportamiento dinámico de los soportes y junto con 
ello, caracterizar la película de lubricante con sus coeficientes rotodinámicos 
correspondientes. 
 
Cuando una chumacera hidrodinámica se presuriza externamente, es posible 
modificar las propiedades dinámicas de la película de aceite, haciendo que las 
inestabilidades y amplitudes vibracionales puedan disminuirse en forma marcada. 
 
La modelación en la rotodinámica es fundamental para el análisis y la 
aproximación a los comportamientos reales. La Fig. 2.1 muestra la geometría de 
una chumacera con presurización en la parte central superior, a cada valor de 
número de Sommerfeld, le corresponde uno y sólo un valor de excentricidad, 
también se observa que al incrementar la fuerza de presurización en la parte 
superior de la chumacera, la excentricidad aumenta tal y como se espera en la 
realidad pues el muñón tiende a moverse hacia abajo cada vez más. 
 
Fig. 2.1. Chumacera con presurización en la parte superior. Notar que se definen los valores 
de las coordenadas axial y circunferencial (𝜶𝜶 𝒚𝒚 𝜷𝜷 ) para especificar el punto en particular de 
inyección de lubricante. 
Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización 
superior usando control difuso 
 
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2.2 Descripción del sistema. 
Para facilitar el análisis, se emplea un modelo simple, muy bueno para simular los 
primeros modos de vibración de máquinas rotativas teniendo acoplamientos 
flexibles y bajos efectos giroscópicos. El sistema parece un rotor Jeffcott 
extendido, con 6 grados de libertad y un eje flexible, un disco en el centro de la 
barra el cual simula el peso del sistema y 2 masas en las orillas las cuales 
representan 2 chumaceras híbridas simétricas. Fig. 2.2. 
 
Fig. 2.2. Sistema rotor chumacera modelado como rotor Jeffcott. 
 
El sistema de inyección de nuestro sistema está en la parte central superior. Fig. 
2.3. 
 
Fig.2.3. Presurización central superior. 
 
 
 
 
Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización 
superior usando control difuso 
 
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Aplicando la segunda ley de newton a cada una de las masas derivamos las 
ecuaciones dinámicas para el disco y para las 2 chumaceras derecha e izquierda: 
{ }
o 0 0
d bl bl br br
x2
o 0 0 y
d bl b
d
d d
d d e d
d d
d
bl bll l
bl ij ij
l br br
0 e
bl bl
bl bl
x -x
1x - (x -x +x -x ) a cos(wt)2 w
a sen(wt)1-y - (y -y +y -y )
2
xkx -x
2
x
m +c +k =m , (disco)
y y y
x x
m +c +k =
y y
 
        
       
      
  
   
   
   
 
 
 
 
{ }
0 0 0
d d bl bl br br
x2
0 0 0 y
d d bl bl br br
0 0 0
d d bl bl br br
0 e
b
bl
br brr r
br ij ij
br br
r br
m , 
1-x - (x -x +x -x ) a cos(wt)2 + w
a sen(wt)1y -y - (y -y +y -y )
2
1x -x - (x -x
 (chum.
+x -x )k 2x -x
2
 izq.)
x x
 m +c +k =
y y
 
 
 
   
 
 
 
 
   

 
 
  
 
 
x2
0 0 0 y
d d bl bl br b
b
r
rm
a cos(wt)
+ w
a sen(wt)1y -y - (
, (chum. der
y -y +y -y
2
.
)
)
 
  
 
 
 








 
Donde la variable 𝑥𝑥𝑑𝑑 e 𝑦𝑦𝑑𝑑 definen la posición "𝑥𝑥" e "𝑦𝑦" del disco �̇�𝑥𝑑𝑑 , �̇�𝑦𝑑𝑑 , �̈�𝑥𝑑𝑑 e �̈�𝑦𝑑𝑑 
definen las velocidades y aceleraciones del disco en el eje adecuado, deducción 
similar para la chumacera izquierda y derecha, 𝑥𝑥𝑏𝑏𝑏𝑏 , 𝑦𝑦𝑏𝑏𝑏𝑏 , �̇�𝑥𝑏𝑏𝑏𝑏 , �̇�𝑦𝑏𝑏𝑏𝑏 , �̈�𝑥𝑏𝑏𝑏𝑏 e �̈�𝑦𝑏𝑏𝑏𝑏 
definen la posición, velocidad y aceleraciones de la chumacera izquierda mientras 
𝑥𝑥𝑏𝑏𝑏𝑏 , 𝑦𝑦𝑏𝑏𝑏𝑏 , �̇�𝑥𝑏𝑏𝑏𝑏 , �̇�𝑦𝑏𝑏𝑏𝑏 , �̈�𝑥𝑏𝑏𝑏𝑏 e �̈�𝑦𝑏𝑏𝑏𝑏 definen la posición, velocidad y aceleraciones de la 
chumacera derecha. Los parámetros usados en la simulación se muestran en la 
siguiente tabla 2.1: 
TABLA 2.1. 
Parámetros de la simulación 
 
𝑚𝑚𝑑𝑑 Masa del disco (1.7645kg) 
𝑚𝑚𝑏𝑏𝑏𝑏 ,𝑚𝑚𝑏𝑏𝑏𝑏 Masa de cada chumacera izq. Y der. (0.0645kg) 
𝑐𝑐𝑑𝑑Amortiguamiento del aire(0.521N·s/m) 
𝜔𝜔 Velocidad de operación (628.3 rad/s) 
𝑘𝑘𝑘𝑘 Rigidez del eje (194736.96192N/m) 
µ Viscosidad dinámica (0.015Pa·s) 
𝐶𝐶𝑏𝑏𝑏𝑏 ,𝐶𝐶𝑏𝑏𝑏𝑏 Claro radial para chumacera izq. Y der. (101.6μm) 
 
𝑎𝑎𝑥𝑥 , 𝑎𝑎𝑦𝑦 
 
Desbalance (30μm) 
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superior usando control difuso 
 
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2.3 Simulación numérica. 
Para empezar nuestra simulación se debe obtener la representación espacio-
estados del modelo. Una representación de espacio de estados es un modelo 
matemático de un sistema físico descrito mediante un conjunto de entradas, 
salidas y variables de estado; relacionadas por ecuaciones diferenciales de primer 
orden. 
1 7
2 8
3 9
4 10
5 11
6 12
7
d
o 0 0 2
d 7 e 1 d 3 bl 5 br
x = x Representación espacio-estados 
x = x
x = x
x = x
x = x
x = x 
1x = (
m
1-c x -k (x -x - (x -x +x -x ))+w a
2






 x 13
o 0 0 2
d 8 e 2 d 4 bl 6 br y 14
l l l 0 l 0 0 0 0 2e
xx 9 xy 10 xx 3 bl x
8
d
9
bl
10
b
y 4 bl 1 d 3 bl 5 br x 13
l l l 0 l
yx 9 yy 10 yx 3 bl
l
yy
1x
x ,
1-c x -k (x -y - (x -y +x -y ))+w a x ,
2
k 1-C x -C x -K (x -x )-K (x -y )+ (x -x - (x -x +x -x )))+w a x ,
2 2
-C x -C x -K (x
= (
m
1x =
-x
 (
m
1x = ( )-K (
m



0 0 0 0 2e
4 bl 2 d 4 bl 6 br y 14
r r r 0 r 0 0 0 0 2e
xx 11 xy 12 x11
br
12
x 5 br xy 6 br 1 d 3 bl 5 br x 13
r r r 0 r
yx 11 yy 12 yx 5 br yy 6
br
br
k 1x -y )+ (x -y - (x -y +x -y )))+w a x ,
2 2
k 1-C x -C x -K (x -x )-K (x -y )+ (x -x - (x -x +x -x )))+w a x ,
2 2
-C x -C x
1x = (
-K (x -x )-K (x
m
1x = (
m
-y


0 0 0 0 2e
2 d 4 bl 6 br y 1
13
4
14
1314 ,
k 1)+ (x -y - (x -y +x -y )))+w a x ,
2 2
wx ,x = -
x = wx


 
Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización 
superior usando control difuso 
 
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2.3.1. Aproximación de coeficientes rotodinámicos por el método 
de mínimos cuadrados. 
Para realizar la simulación de forma correcta, se necesito aproximar los 
coeficientes rotodinámicos, los de amortiguamiento 𝐶𝐶𝑥𝑥𝑥𝑥 ,𝐶𝐶𝑥𝑥𝑦𝑦 ,𝐶𝐶𝑦𝑦𝑥𝑥 ,𝐶𝐶𝑦𝑦𝑦𝑦 y los de 
rigidez 𝐾𝐾𝑥𝑥𝑥𝑥 ,𝐾𝐾𝑥𝑥𝑦𝑦 ,𝐾𝐾𝑦𝑦𝑥𝑥 ,𝐾𝐾𝑦𝑦𝑦𝑦 , para un continuo de velocidades de operación así como 
para un continuo de presiones de inyección. 
 Para esto se utilizaron las tablas que contienen los valores obtenidos de los 
coeficientes rotodinámicos 𝐶𝐶𝑥𝑥𝑥𝑥 ,𝐶𝐶𝑥𝑥𝑦𝑦 ,𝐶𝐶𝑦𝑦𝑥𝑥 ,𝐶𝐶𝑦𝑦𝑦𝑦 , 𝐾𝐾𝑥𝑥𝑥𝑥 ,𝐾𝐾𝑥𝑥𝑦𝑦 ,𝐾𝐾𝑦𝑦𝑥𝑥 ,𝐾𝐾𝑦𝑦𝑦𝑦 número de 
Sommerfeld, excentricidad y ángulo de equilibrio obtenidos con el programa 
CHUMA. En el apéndice A se presentan estas tablas las cuales se obtuvieron 
para presurizaciones de 0P, 3P, 6P Y 10P. Luego se aproximaron mediante el 
método de mínimos cuadrados, a través del programa dado en el apéndice B1, el 
cual que aproxima los valores de las tablas. Cabe hacer mención que los 
resultados de estas tablas se obtuvieron con una relación L/ D=1 que es la 
relación que considera en el sistema rotor-chumacera para esta investigación. 
De esta manera se logró aproximar cada coeficiente, excentricidad y ángulo de 
equilibrio para cada valor de número de Sommerfeld para valores entre 0P, 3P, 
6P, 10P, a través del método de mínimos cuadrados. Nótese que el margen de 
error es prácticamente nulo. El programa genera las gráficas con los valores del 
programa CHUMA y también las gráficas de los valores obtenidos por las 
aproximaciones por el método de mínimos cuadrados. 
A continuación se muestran las gráficas de las tablas con los valores que se 
obtuvieron en trabajos anteriores mediante el programa CHUMA para cada 
coeficiente de amortiguamiento y rigidez tanto directos como acoplados, 
excentricidades y ángulos de equilibrio. Al mismo tiempo se presentan las gráficas 
producidas por el programa que emplea mínimos cuadrados para aproximar cada 
valor. La primera gráfica es la de los valores del programa CHUMA y la gráfica que 
la sigue corresponde a la aproximación por mínimos cuadrados. Nótese que la 
aproximación por mínimos cuadrados aparece sobre de la que se obtuvo con los 
valores del programa CHUMA, la que se aproximó es fácil de identificar porque es 
más consistente en líneas. 
 
 
 
Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización 
superior usando control difuso 
 
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Coeficiente 𝑲𝑲𝒙𝒙𝒙𝒙 por CHUMA 
 
Figura 2.4. 
 
Coeficiente 𝑲𝑲𝒙𝒙𝒙𝒙 aproximado por mínimos cuadrados 
 
Figura 2.5. 
 
0
5
10
0
2
4
6
8
0
50
100
150
Num. veces P
Kxx de tabla CHUMA
Sommerfeld
K
xx
0
5
10
0
2
4
6
8
-50
0
50
100
150
Num. veces P
Aproximación Kxx
Sommerfeld
K
xx
Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización 
superior usando control difuso 
 
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Coeficiente 𝑲𝑲𝒙𝒙𝒚𝒚 por CHUMA 
 
Figura 2.6. 
 
Coeficiente 𝑲𝑲𝒙𝒙𝒚𝒚 aproximado por mínimos cuadrados 
 
Figura 2.7. 
 
 
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
0
20
40
60
80
100
Num. veces P
Kxy de tabla CHUMA
Sommerfeld
K
xy
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
0
20
40
60
80
100
Num. veces P
Aproximación Kxy
Sommerfeld
K
xy
Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización 
superior usando control difuso 
 
SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 27 
 
Coeficiente 𝑲𝑲𝒚𝒚𝒙𝒙 por CHUMA 
 
Figura 2.8. 
 
Coeficiente 𝑲𝑲𝒚𝒚𝒙𝒙 aproximado por mínimos cuadrados 
 
Figura 2.9. 
 
 
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
-100
-50
0
50
Num. veces P
Kyx de tabla CHUMA
Sommerfeld
K
yx
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
-100
-50
0
50
Num. veces P
Aproximación Kyx
Sommerfeld
K
yx
Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización 
superior usando control difuso 
 
SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 28 
 
Coeficiente 𝑲𝑲𝒚𝒚𝒚𝒚 por CHUMA 
 
Figura 2.10. 
 
Coeficiente 𝑲𝑲𝒚𝒚𝒚𝒚 aproximado por mínimos cuadrados 
 
Figura 2.11. 
 
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
0
10
20
30
40
Num. veces P
Kyy de tabla CHUMA
Sommerfeld
K
yy
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
0
10
20
30
40
Num. veces P
Aproximación Kyy
Sommerfeld
K
yy
Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización 
superior usando control difuso 
 
SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 29 
 
Coeficiente 𝑪𝑪𝒙𝒙𝒙𝒙 por CHUMA 
 
Figura 2.12. 
 
Coeficiente 𝑪𝑪𝒙𝒙𝒙𝒙 aproximado por mínimos cuadrados 
 
Figura 2.13. 
 
0
5
10
01
23
45
67
0
20
40
60
80
100
Num. veces P
Cxx de tabla CHUMA
Sommerfeld
C
xx
0
2
4
6
8
10
01
23
45
67
0
20
40
60
80
100
Num. veces P
Aproximación Cxx
Sommerfeld
C
xx
Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización 
superior usando control difuso 
 
SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 30 
 
Coeficiente 𝑪𝑪𝒙𝒙𝒚𝒚 por CHUMA 
 
Figura 2.14. 
 
Coeficiente 𝑪𝑪𝒙𝒙𝒚𝒚 aproximado por mínimos cuadrados 
 
Figura 2.15. 
 
0
5
10
012
345
67
0
5
10
15
20
25
Num. veces P
Cxy de tabla CHUMA
Sommerfeld
C
xy
0
5
10
01234
567
0
5
10
15
20
25
Num. veces P
Aproximación Cxy
Sommerfeld
C
xy
Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización 
superior usando control

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