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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN UNIDAD PROFESIONAL "ADOLFO LOPEZ MATEOS" “ATENUACIÓN DE VIBRACIONES DE CHUMACERAS HÍBRIDAS INTERMEDIAS L/D=1 POR PRESURIZACIÓN SUPERIOR USANDO CONTROL DIFUSO” T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA MECÁNICA P R E S E N T A: ING. EDGAR MIGUEL VILLANUEVA ALVARADO DIRECTOR DE TESIS: DR. JESÚS ALBERTO MEDA CAMPAÑA MÉXICO, D.F. AÑO 2011 Página i Í N D I C E Índice general i Índice de figuras iv Índice de tablas viii Nomenclatura ix Resumen xi Abstract xii Objetivo xiii Justificación xiii Introducción xiii Capítulo I Estado del Arte. 1.1 Introducción. 1 1.2 Antecedentes de la rotodinámica y la teoría de vibraciones. 2 1.2.1 Estudios experimentales en chumaceras con inyección. BENTLY- NEVADA. 7 1.3. Clasificación de los cojinetes. 8 1.3.1. Chumaceras hidrodinámicas. 9 1.3.2. Chumaceras hidrostáticas. 10 1.3.3. Chumaceras híbridas. 11 1.4. Posición de equilibrio estático de las chumaceras hidrodinámicas. 12 1.5. Número de Sommerfeld. 14 1.6. Clasificación de los sistemas de control de vibraciones. 16 1.6.1. Características del funcionamiento de los Sistemas de control de vibraciones. 16 1.6.2. Sistema de control pasivo de vibraciones. 17 1.6.3. Sistema de control activo de vibraciones. 18 Capítulo 2 Modelado y simulación numérica del sistema rotor-chumacera con control pasivo y con control activo. 2.1. Introducción. 20 2.2. Descripción del sistema. 21 2.3. Simulación numérica. 23 2.3.1. Aproximación de coeficientes rotodinámicos por el método de mínimos cuadrados. 24 2.4. Programa en Simulink para sistema presurizado con control pasivo. 36 2.5. Programa en Simulink para sistema presurizado con control activo. 37 Página ii Capítulo 3 Velocidad umbral y frecuencia natural. 3.1. Introducción. 38 3.2. Cálculo de velocidad umbral y frecuencia natural. 39 3.2.1. Validación de la frecuencia natural por diagrama de Campbell. 40 3.3. Comportamiento del sistema en la frecuencia natural. 43 3.4. Comportamiento del sistema en la velocidad umbral. 45 3.5. Identificación del modo de vibración. 46 Capítulo 4 Resultados de simulaciones, comparaciones entre sistema presurizado con control pasivo y sistema presurizado con control activo. 4.1. Resultados de simulaciones para sistema rotor-chumacera a velocidades bajas (2000 rpm). 49 4.2. Resultados de simulaciones para sistema rotor-chumacera a velocidades cerca de la velocidad umbral (4000 rpm). 59 4.3. Resultados de simulaciones para sistema rotor-chumacera a velocidades arriba de la velocidad umbral (6000 rpm). 69 Capítulo 5 Control difuso aplicado en el modelo del sistema rotor chumacera. 5.1. Lógica difusa. 73 5.2. Aplicaciones de la lógica difusa. 74 5.3. Variable lingüística. 74 5.4. Conjuntos clásicos y conjuntos difusos diferencias. 74 5.5. Funciones de membresía. 76 5.6. El controlador difuso. 76 5.7. Desarrollo del control difuso. 78 5.8. Programa en Simulink del sistema rotor-chumacera con control difuso a velocidad constante. 79 5.9. Funcionamiento del sistema con control difuso a velocidad constante. 80 5.9.1. 2000 rpm. 80 5.9.2. 4000 rpm. 80 5.9.3. 6000 rpm. 81 5.9.4. 2500 rpm. 82 5.9.5. 5500 rpm. 82 5.10. Programa en Simulink del sistema rotor-chumacera con control difuso a velocidades de arranques variables. 84 5.11. Funcionamiento y resultados del sistema con control difuso a velocidades de arranques variables. 85 5.11.1. Sistema funcionando entre 1500 a 2500 rpm. 85 5.11.2. Sistema funcionando entre 3500 a 4500 rpm. 86 5.11.3. Sistema funcionando entre 5500 a 6500 rpm. 87 Página iii Capítulo 6 Conclusiones y trabajos futuros 6.1 Conclusiones 89 6.2 Trabajos futuros. 91 Apéndices Apéndice A 92 Apéndice B 97 Referencias 127 Página iv ÍNDICE DE FIGURAS C A P Í T U L O 1 Figura TÍtulo de la figura Página Fig. 1.1. Configuración de una chumacera presurizada usada por BENTLY. 7 Fig. 1.2. Cojinetes de rodamiento. 8 Fig. 1.3. Descripción de fuerzas en una chumacera hidrodinámica. 9 Fig. 1.4. Esquema del suministro de aceite de una chumacera hidrostática. 10 Fig. 1.5. Geometría de una chumacera cilíndrica plana. 11 Fig. 1.6. Descripción de la Geometría de la chumacera controlada por inyección de lubricante presurizado. 11 Fig. 1.7. Componentes de la fuerza F de la película del lubricante y el ángulo de proximidad ψ de la línea de centros. 12 Fig. 1.8. Localización o trayectoria de la posición de equilibrio del árbol, para una chumacera cavitada corta conforme se aumenta la carga sobre ella. 14 Fig. 1.9. Sistemas de control de vibraciones 1.9.1) Sistema Pasivo. 1.9.2) Sistema Activo. 1.9.3) Sistema SA. 16 Fig. 1.10. Ejemplos de sistemas de control pasivo resortes. 17 Fig. 1.11. Sistema activo de control de vibraciones. 18 C A P Í T U L O 2 Figura Título de la figura Página Fig. 2.1. Chumacera con presurización en la parte superior. 20 Fig. 2.2. Sistema rotor chumacera modelado como rotor Jeffcott. 21 Fig.2.3. Presurización central superior. 21 Fig.2.4. Coeficiente 𝐾𝐾𝑥𝑥𝑥𝑥 por CHUMA. 25 Fig.2.5. Coeficiente 𝐾𝐾𝑥𝑥𝑥𝑥 aproximado por mínimos cuadrados. 25 Fig.2.6. Coeficiente 𝐾𝐾𝑥𝑥𝑥𝑥 por CHUMA. 26 Fig.2.7. Coeficiente 𝐾𝐾𝑥𝑥𝑥𝑥 aproximado por mínimos cuadrados. 26 Fig.2.8. Coeficiente 𝐾𝐾𝑥𝑥𝑥𝑥 por CHUMA. 27 Página v Fig.2.9. Coeficiente 𝐾𝐾𝑥𝑥𝑥𝑥 aproximado por mínimos cuadrados. 27 Fig.2.10. Coeficiente 𝐾𝐾𝑥𝑥𝑥𝑥 por CHUMA. 28 Fig.2.11. Coeficiente 𝐾𝐾𝑥𝑥𝑥𝑥 aproximado por mínimos cuadrados. 28 Fig.2.12. Coeficiente 𝐶𝐶𝑥𝑥𝑥𝑥 por CHUMA. 29 Fig.2.13. Coeficiente 𝐶𝐶𝑥𝑥𝑥𝑥 aproximado por mínimos cuadrados. 29 Fig.2.14. Coeficiente 𝐶𝐶𝑥𝑥𝑥𝑥 por CHUMA. 30 Fig.2.15. Coeficiente 𝐶𝐶𝑥𝑥𝑥𝑥 aproximado por mínimos cuadrados. 30 Fig.2.16. Coeficiente 𝐶𝐶𝑥𝑥𝑥𝑥 por CHUMA. 31 Fig.2.17. Coeficiente 𝐶𝐶𝑥𝑥𝑥𝑥 aproximado por mínimos cuadrados. 31 Fig.2.18. Coeficiente 𝐶𝐶𝑥𝑥𝑥𝑥 por CHUMA. 32 Fig.2.19. Coeficiente 𝐶𝐶𝑥𝑥𝑥𝑥 aproximado por mínimos cuadrados. 32 Fig.2.20. Excentricidad por CHUMA. 33 Fig.2.21. Excentricidad aproximada por mínimos cuadrados. 33 Fig.2.22. Ángulo de equilibrio por CHUMA. 34 Fig.2.23. Ángulo de equilibrio aproximado por mínimos cuadrados. 34 C A P Í T U L O 3 Figura Título de la figura Página Fig. 3.1. Diagrama de Campbell para localizar frecuencias. 41 Fig. 3.2. Acercamiento diagrama de Campbell frecuencia natural a 3028 rpm. 41 Fig.3.3. Acercamiento diagrama de Campbell frecuencia natural a 3162 rpm. 42 Fig. 3.4. Acercamiento diagrama de Campbell segunda frecuencia natural. 42 Fig. 3.5. Comportamiento del sistema a 3028 rpm. 43 Fig. 3.6. Comportamiento del sistema a 3162 rpm. 44 Fig. 3.7. Comportamiento del sistema a 4940 rpm. 45 Fig. 3.8. Modo de Vibración del eje del sistema rotor- chumacera. 46 Fig. 3.9. Forma del modo de vibración del eje del sistema por método Graham Bell. 48 Páginavi C A P Í T U L O 4 Figura Título de la figura Página Fig. 4.1. Resultados Control pasivo contra control activo a 2000 rpm. 50 Fig. 4.2. Resultados control pasivo contra control activo a 2000 rpm y 5p. 53 Fig.4.3. Resultados control pasivo contra control activo a 2000 rpm y 10p. 56 Fig. 4.4. Resultados control pasivo contra control activo a 4000 rpm y 0p. 60 Fig. 4.5. Resultados control pasivo contra control activo a 4000 rpm y 5p. 63 Fig. 4.6. Resultados control pasivo contra control activo a 4000 rpm y 10p. 66 Fig. 4.7. Resultados control activo a 6000 rpm y 0p. 69 Fig. 4.8. Resultados control activo a 6000 rpm y 5p. 70 Fig. 4.9. Resultados control activo a 6000 rpm y 10p. 71 C A P Í T U L O 5 Figura Título de la figura Página Fig. 5.1. Conjuntos clásicos y conjuntos difusos. 75 Fig. 5.2. Funciones de membresía más utilizadas. 76 Fig.5.3. Estructura de un controlador difuso. 77 Fig. 5.4. Desarrollo teórico del control difuso. 78 Fig. 5.5. Control difuso aplicado en el sistema a una velocidad de 2000 rpm. 80 Fig. 5.6. Control difuso aplicado en el sistema a una velocidad de 4000 rpm. 81 Fig. 5.7. Control difuso aplicado en el sistema a una velocidad de 6000 rpm. 81 Fig. 5.8. Control difuso aplicado en el sistema a una velocidad de 2500 rpm. 82 Fig. 5.9. Control difuso aplicado en el sistema a una velocidad de 5500 rpm. 83 Fig. 5.10. Control difuso aplicado en el sistema velocidad variable de 1500 a 2500 rpm. 85 Fig. 5.11. Comportamiento del sistema control difuso 1500-2500 rpm. 86 Fig. 5.12. Control difuso aplicado en el sistema velocidad variable de 3500 a 4500 rpm. 87 Fig. 5.13. Fig. 5.13. Comportamiento del sistema control difuso 3500-4500 rpm. 87 Página vii Fig. 5.14. Control difuso aplicado en el sistema velocidad variable de 5500 a 6500 rpm. 88 Fig. 5.15. Comportamiento del sistema control difuso 5500-6500 rpm. 88 Página viii ÍNDICE DE TABLAS CAPÍTULO 2 Tabla Título Página Tabla 2.1. Parámetros de la simulación. 22 Tabla 2.2. Datos del sistema. 35 CAPÍTULO 4 Tabla Título Página Tabla 4.1. Resultados chumacera control pasivo 2000 rpm. 51 Tabla 4.2. Resultados chumacera control activo 2000 rpm 0p. 51 Tabla 4.3. Resultados chumacera control pasivo 2000 rpm 5p. 54 Tabla 4.4 Resultados chumacera control activo 2000 rpm 5p. 54 Tabla 4.4. Resultados chumacera control pasivo 2000 rpm 10p. 57 Tabla 4.6. Resultados chumacera control activo 2000 rpm 10p. 57 Tabla 4.7. Resultados chumacera control pasivo 2000 rpm 0p,5p,10p. 57 Tabla 4.8. Resultados chumacera control activo 2000 rpm 0p,5p,10p. 58 Tabla 4.9. Resultados chumacera control pasivo 4000 rpm 0p. 61 Tabla 4.10. Resultados chumacera control activo 4000 rpm 0p. 61 Tabla 4.11. Resultados chumacera control pasivo 4000 rpm 5p. 64 Tabla 4.12. Resultados chumacera control activo 4000 rpm 5p. 64 Tabla 4.13. Resultados chumacera control pasivo 4000 rpm 10p. 67 Tabla 4.14. Resultados chumacera control activo 4000 rpm 10p. 67 Tabla 4.15. Resultados chumacera control pasivo 4000 rpm 0p,5p,10p. 67 Tabla 4.16. Resultados chumacera control activo 4000 rpm 0p,5p,10p. 68 Tabla 4.17. Resultados chumacera control activo 6000 rpm 0p,5p,10p. 72 Página ix NOMENCLATURA Símbolo Descripción Unidad S Número de Sommerfeld. Adimensional µ Viscosidad dinámica. Pa.seg N Número de revoluciones por minuto. rpm p Carga por unidad de área proyectada. N/𝑚𝑚2 R Radio. m Cr Claro Radial. m ω , w Velocidad angular. Rad/seg L Longitud de la chumacera. m D Diámetro de la chumacera m W Carga. N dm Masa del disco. Kg. blm Masa de la chumacera izquierda. Kg. brm Masa de la chumacera derecha. Kg. dx Aceleración del disco plano “x”. 𝑚𝑚/𝑠𝑠 2 dy Aceleración del disco plano “y”. 𝑚𝑚/𝑠𝑠 2 blx Aceleración de la chumacera izquierda plano “x”. 𝑚𝑚/𝑠𝑠2 bly Aceleración de la chumacera izquierda plano “y”. 𝑚𝑚/𝑠𝑠 2 brx Aceleración de la chumacera derecha plano “x”. 𝑚𝑚/𝑠𝑠 2 bry Aceleración de la chumacera derecha plano “y”. 𝑚𝑚/𝑠𝑠 2 dc Amortiguamiento del aire. 0.521 𝑁𝑁/𝑚𝑚 2 l ijc Matriz de amortiguamiento chumacera izquierda. r ijc Matriz de amortiguamiento chumacera derecha. dx Velocidad del disco plano “x”. 𝑚𝑚/𝑠𝑠 dy Velocidad del disco plano “y”. 𝑚𝑚/𝑠𝑠 blx Velocidad de la chumacera izquierda plano “x”. 𝑚𝑚/𝑠𝑠 bly Velocidad de la chumacera izquierda plano “y”. 𝑚𝑚/𝑠𝑠 brx Velocidad de la chumacera derecha plano “x”. 𝑚𝑚/𝑠𝑠 bry Velocidad de la chumacera derecha plano “y”. 𝑚𝑚/𝑠𝑠 ek Rigidez del eje. 𝑁𝑁/𝑚𝑚 Página x l ijk Matriz de rigideces chumacera izquierda. r ijk Matriz de rigideces chumacera derecha. dx Posición “x” del disco. dy Posición “y” del disco. blx Posición plano “x” de la chumacera izquierda. brx Posición plano “x” de la chumacera derecha. o dx Posición de equilibrio del disco en plano “x”. o dy Posición de equilibrio del disco en plano “y”. 0 blx Posición de equilibrio de la chumacera izquierda en plano “x”. 0 brx Posición de equilibrio de la chumacera derecha en plano “x”. bly Posición plano “y” de la chumacera izquierda. bry Posición plano “y” de la chumacera derecha. 0 bly Posición de equilibrio de la chumacera izquierda en plano “y”. 0 bry Posición de equilibrio de la chumacera derecha en plano “y”. xa Desbalance en plano “x”. m ya Desbalance en plano “y”. m 𝐾𝐾𝑥𝑥𝑥𝑥 ,𝐾𝐾𝑥𝑥𝑥𝑥 Coeficientes de rigideces directos. 𝐾𝐾𝑥𝑥𝑥𝑥 ,𝐾𝐾𝑥𝑥𝑥𝑥 Coeficientes de rigideces acoplados. 𝐶𝐶𝑥𝑥𝑥𝑥 ,𝐶𝐶𝑥𝑥𝑥𝑥 Coeficientes de amortiguamiento directos. 𝐶𝐶𝑥𝑥𝑥𝑥 ,𝐶𝐶𝑥𝑥𝑥𝑥 Coeficientes de amortiguamiento acoplados. Página xi RESUMEN La presente investigación parte de un modelo matemático previo de un sistema dinámico, el sistema es un rotor Jeffcott extendido el cual simula un sistema rotor chumacera, el sistema tiene un disco en el centro el cual simula el peso del sistema (rotor), y en los extremos dos masas simétricas que representan a los muñones dentro de las chumaceras. Se caracterizó el sistema funcionando a distintas velocidades y presurizaciones mediante programas en Matlab. El objetivo de la investigación es lograr la atenuación de vibraciones mecánicas, posponer la velocidad umbral del sistema. Para llevar a cabo estos objetivos se usaron chumaceras híbridas con presurización central superior, para la presurización del lubricante en las chumaceras se implementó un sistema de control difuso. La presurización externa es una manera de cambiar artificialmente las propiedades de rigidez y amortiguamiento en la película de lubricante de una chumacera hidrodinámica, haciendo que se modifique la conducta de una máquina rotatoria. El primer paso fue hacer una comparación entre las amplitudes de vibración del sistema funcionando con presurización por control pasivo y el sistema funcionando con presurización por control activo, en esta comparación es importante elegir el mejor sistema de control. Se eligió el sistema con presurización por control activo, este sistema a su vez se aplicó a diferentes rangos de operación del número de veces la presión de inyección clásica. Se eligió el sistema con 5 veces la presión de inyección clásica para diferentes velocidades de operación. Es importante hacer mención que altas velocidades, altas presiones de inyección y el propio control generan inestabilidades, así que es importante en el diseño de estos sistemas hacer un análisis que permita elegir el mejor diseño para el funcionamiento óptimo de la maquinaria rotatoria. Página xii ABSTRACT This work considers a previously developed mathematicalmodel of a rotor- dynamic system. Such a model describes the behavior of an extended Jeffcott rotor which can be used to simulate a rotor bearing system. The system has a disk in the center, which represents the weight of the system (rotor), and two journal bearings. This mathematical model can be simulated in Matlab and Simulink at different rotor speeds with different injection pressure. In previous works, it has been shown that the external pressurization is a way to artificially modify the properties of stiffnes and damping in the lubricant film of a hydrodinamic journal bearing. In this way, the behavior of the rotor-dynamic system can be modified as well. Therefore, the research goal is to design a fuzzy controller capable of achieving attenuation of mechanical vibrations and to postpone the threshold speed of the system. The control variables are the pressure of injection in the two bearings, and they are given in terms of classical injection pressure. Comparisons between the vibration amplitudes vibration of the system with passive control and with active control are given, and the best controller can be chosen. After several simulations, the active control showing the best results was the one designed around the linearization of five times the classical injection pressure. So, the overall fuzzy controller is constructed on the basis of linear optimal regulators designed at different rotor speeds around five times the classical injection pressure. Página xiii OBJETIVO La presente investigación tiene como objetivo diseñar un sistema rotor chumacera en el cual se logren atenuar las vibraciones mecánicas aplicando control difuso en los soportes considerando chumaceras híbridas, tal que se modifiquen las propiedades de rigidez del sistema, y así lograr que el sistema trabaje por arriba de las velocidades umbrales y se pospongan inestabilidades. Para poder controlar un sistema rotodinámico es necesario antelar la respuesta del sistema para diseñar las leyes de control necesarias para reducir la vibración. Se puede partir de la obtención de un modelo matemático que describa el comportamiento de la posición de un sistema, y con esta referencia se puede analizar el sistema con anticipación bajo diferentes condiciones iníciales y de frontera. Por otro lado al modificar la presión en la chumacera híbrida se puede observar el comportamiento del sistema identificando inestabilidades y atenuación de las vibraciones. JUSTIFICACIÓN Debido a las vibraciones mecánicas en los ejes de las máquinas rotatorias, se han venido estudiando diferentes tipos de soportes, uno de ellos es la chumacera híbrida presurizada. Los estudios realizados en este sistema son relativamente recientes, en este trabajo se experimentará y simulará en el programa MATLAB y se analizará, añadiendo el control difuso en busca de la reducción de amplitudes de vibración, para conocer el sistema real y rediseñar mejor en consecuencia. Por otra parte, el poder postergar la inestabilidad en las chumaceras y diseñar un Control difuso, aumentaría la vida útil de este soporte. Una vez validado el modelo y añadiendo términos matemáticos se podrán analizar otros efectos rotodinámicos por ejemplo el desalineamiento, fisura, doblamiento, etc. Que son de interés tanto en la industria y la investigación. INTRODUCCIÓN El desarrollo de máquinas de mayor eficiencia, reduciendo los costos de mantenimiento son los principales retos para la investigación académica e industrial. Las vibraciones en las máquinas son uno de los principales problemas a resolver, se requieren de técnicas, modelos, etc. La rotodinámica es una rama especializada de la mecánica aplicada que relaciona el comportamiento y el diagnostico de las estructuras dinámicas. Otras ramas vinculadas a la rotodinámica son las vibraciones mecánicas, dinámica estructural e hidrodinámica. Que avanzan paralelamente para caracterizar los efectos y problemas causados, por el desbalance, la fisura, el desalineamiento, inestabilidades en los soportes, por nombrar algunos ejemplos a los que es sometida las máquinas rotativas. Página xiv Existen una serie de problemas de inestabilidad de maquinaria rotatoria conocidos y discutidos en la literatura internacional, cada uno de los cuales puede ocasionar vibraciones violentas de alta amplitud y tan perjudiciales que impiden operar la maquinaria afectada por los disparos automáticos del sistema de protección de la misma. Todas estas inestabilidades vibratorias pueden evitarse cuando existe un buen diseño mecánico y además la maquinaria se opera adecuadamente. Sin embargo el deterioro del equipo rotatorio, el mantenimiento inadecuado y/o poco frecuente, así como los cambios significativos en las condiciones de operación de la turbomáquina pueden ser los principales responsables de que maquinaria que opera normal y estable se convierta en otra problemática y costosa de operar. En términos generales la rotodinámica es la disciplina que analiza y predice el comportamiento dinámico de maquinaria rotatoria (o también llamadas turbomáquinas). Las características rotodinámicas de una turbomáquina son influenciadas fuertemente por las chumaceras sobre las cuales se soporta para operar. El tipo de chumacera que se usa en maquinaria rotatoria varía de acuerdo a las necesidades, pero las más comunes son las chumaceras hidrostáticas, hidrodinámicas e híbridas, un campo un poco más nuevo son las chumaceras de levitación magnética las cuales son muchos más costosas que las anteriores. Comúnmente las chumaceras de película fluida son utilizadas para la operación industrial de maquinaria rotatoria pesada. Debido a que la película del fluido lubricante que separa las superficies en movimiento tiene un comportamiento similar al de un resorte de comportamiento complejo, dicha película de lubricante presenta propiedades de amortiguamiento y rigidez; las cuales pueden alterar significativamente a la máquina en sus velocidades críticas, respuesta al desbalance y además pueden inducir inestabilidades. La aparición de turbomaquinaria más moderna en la industria ha hecho que las chumaceras hidrodinámicas convencionales realicen algunas modificaciones en su diseño y manufactura. Lo anterior con el propósito de lograr que su comportamiento mecánico-dinámico mejore y permita satisfacer las exigencias de los nuevos tiempos, en los cuales la maquinaria es más compacta y trabaja a velocidades de operación cada vez mayores. Las características rotodinámicas de las máquinas son fuertemente influenciadas por los soportes del sistema. El control de vibraciones dentro de los soportes ha tenido un gran auge para disminuir la amplitud del movimiento cuando el sistema entra en resonancia, permitiendo una mayor vida útil de los soportes y ejes de la máquina [1]. Este control busca reducir la magnitud de la vibración hasta un punto de operación aceptable, aumentando no sólo los beneficios económicos, sino también la seguridad del personal encargado de la operación y mantenimiento de dichas máquinas. Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización superior usando control difuso SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 1 Capítulo I Estado del Arte. 1.1 Introducción. El desarrollo de máquinas de mayor eficiencia, reduciendo los costos de mantenimiento es un importante reto para la investigación académica e industrial. Las vibraciones en las máquinas son uno de los principales problemas a resolver, ya que pueden traducirse en pérdidas económicas y humanas. La rotodinámica es una rama especializada de la mecánica aplicada que relaciona el comportamiento y el diagnóstico de las estructuras dinámicas. Ramas vinculadas a la rotodinámica son las vibraciones mecánicas, dinámica estructural ehidrodinámica. Las cuales avanzan paralelamente para caracterizar los efectos y problemas causados por el desbalance, la fisura, el desalineamiento, inestabilidades en los soportes, por nombrar algunos ejemplos a los que son sometidas las máquinas rotativas. Existen una serie de problemas de inestabilidad de maquinaria rotatoria conocidos y discutidos en la literatura internacional, cada uno de los cuales puede ocasionar vibraciones violentas de alta amplitud y tan perjudiciales que impiden operar la maquinaria afectada por los disparos automáticos del sistema de protección de la misma. Todas estas inestabilidades vibratorias pueden evitarse cuando existe un buen diseño mecánico y además la maquinaria se opera adecuadamente. Sin embargo el deterioro del equipo rotatorio, el mantenimiento inadecuado y/o poco frecuente, así como los cambios significativos en las condiciones de operación de la turbomáquina pueden ser los principales responsables de que maquinaria que opera normal y estable se convierta problemática y costosa de operar. En términos generales la rotodinámica es la disciplina que analiza y predice el comportamiento dinámico de maquinaria rotatoria (o también llamadas turbomáquinas). Las características rotodinámicas de una turbomáquina son influenciadas fuertemente por las chumaceras sobre las cuales se soporta para operar. El tipo de chumacera que se usa en maquinaria rotatoria varía de acuerdo a las necesidades, pero las más comunes son las chumaceras hidrostáticas, hidrodinámicas e híbridas, un campo un poco más nuevo son las chumaceras de levitación magnética las cuales son muchos más costosas que las anteriores. Comúnmente las chumaceras de película fluida son utilizadas para la operación industrial de maquinaria rotatoria pesada. Debido a que la película del fluido lubricante que separa las superficies en movimiento tiene un comportamiento similar al de un resorte de comportamiento complejo. Dicha película de lubricante presenta propiedades de amortiguamiento y rigidez; las cuales pueden alterar significativamente a la máquina en sus velocidades críticas, respuesta al desbalance y además pueden inducir inestabilidades. Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización superior usando control difuso SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 2 La aparición de turbomaquinaria más moderna en la industria ha hecho que las chumaceras hidrodinámicas convencionales realicen algunas modificaciones en su diseño y manufactura. Lo anterior con el propósito de lograr que su comportamiento mecánico-dinámico mejore y permita satisfacer las exigencias de los nuevos tiempos, en los cuales la maquinaria es más compacta y trabaja a velocidades de operación cada vez mayores. Las características rotodinámicas de las máquinas son fuertemente influenciadas por los soportes del sistema. El control de vibraciones dentro de los soportes ha tenido un gran auge para disminuir la amplitud del movimiento cuando el sistema entra en resonancia, permitiendo una mayor vida útil de los soportes y ejes de la máquina [1]. Este control busca reducir la magnitud de la vibración hasta un punto de operación aceptable, aumentando no sólo los beneficios económicos, sino también la seguridad del personal encargado de la operación y mantenimiento de dichas máquinas. La presente investigación tiene como objetivo diseñar un sistema rotor chumacera el cual permita atenuar las vibraciones mecánicas aplicando control difuso en los soportes, que para este caso son chumaceras híbridas. En otras palabras al modificar las propiedades de rigidez y amortiguamiento del sistema, se pretende que el sistema trabaje por arriba de las velocidades umbrales y se pospongan sus inestabilidades. Para poder controlar un sistema rotodinámico es necesario antelar la respuesta del sistema para diseñar las leyes de control necesarias para reducir la vibración. Se puede partir de la obtención de un modelo matemático que describa el comportamiento de la posición de un sistema, y con esta referencia se puede analizar el sistema con anticipación bajo diferentes condiciones iníciales y de frontera. Además modificando la presión en la chumacera híbrida se puede observar el comportamiento del sistema identificando inestabilidades y atenuación de las vibraciones. 1.2 Antecedentes de la rotodinámica y la teoría de vibraciones. La investigación en la rotodinámica abarca al menos 130 años de historia, una de las primeras publicaciones fue en el año 1869 realizada por Rankine sobre vibraciones en rotores [2]. Un avance significativo fue a finales del siglo XIX con las contribuciones de De Laval y otros investigadores. Los primeros estudios de un eje y una chumacera operando bajo condiciones completamente hidrodinámicas fueron realizados por F. A. Von Pauli en 1849 y por G. A. Hirn en 1854. En 1883 De Laval construyó la primera etapa de una turbina de vapor de reacción. Él fue el primero en utilizar un rotor rígido y posteriormente usó un rotor flexible y observó que era posible operar por encima de la velocidad crítica, operando a una velocidad de siete veces la velocidad crítica [3]. También en 1883 el célebre Ruso Nikilay Petroff concluyó que la fricción Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización superior usando control difuso SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 3 en chumaceras se debía a un fenómeno hidrodinámico. Mr. Beauchamp Tower [4] en 1883 realizó experimentos y demostró por primera vez la existencia de un campo de presión en una chumacera hidrodinámica. Posteriormente Osborne Reynolds [5] en 1886 obtuvo una expresión matemática que explica este incremento de presión y que ha llegado a ser la base del análisis hidrodinámico del funcionamiento de las chumaceras. Dunkerley [6] en 1894 fue el primero en usar el término de velocidad crítica para la velocidad límite en la que por arriba de esta la deflexión del eje crece sin límite. Foppl en 1895 resolvió el problema analítico de la vibración rotacional síncrona por desbalance, explicando analíticamente el por qué es posible la operación por arriba de la velocidad crítica, tal como ya lo había demostrado experimentalmente De Laval. El primer fundamento registrado en la teoría de la rotodinámica se puede encontrar en una publicación escrita por Jeffcott en 1919. Jeffcott es citado por su contribución de un sistema de un rotor con un disco a la mitad llamado rotor Jeffcott [7,8]. Este sistema fundamental simplificado también es llamado rotor De Laval. La evolución de la rotodinámica comenzó a inicios del siglo XX, detallada en el libro escrito por Stodola en 1924. Este libro explica en detalle todo lo relacionado con turbinas de vapor [3]. En la década de 1920 la industria de las turbinas diseñó máquinas para operar con cargas substancialmente más altas, y a velocidades por arriba de la velocidad crítica fundamental; con esto los problemas modernos de la rotodinámica aparecieron, como el incremento de la amplitud de vibración después de la primera frecuencia crítica, estas vibraciones llamadas auto-excitadas se convierten en un serio problema. En los años 20, Newkirk y Kimball (1924) registraron que la fricción interna de los materiales en los ejes podría causar inestabilidades en el movimiento vibratorio. Newkirk y Taylor (1925) investigaron sobre la inestabilidad llamada oil whip, provocada por el aceite de las chumaceras. Este fenómeno que ordinalmente causa auto-excitaciones en las vibraciones amortiguadas atrajo la atención de numerosos investigadores [9,10]. Una década después, comenzó el estudio de sistemas de ejes asimétricos y sistemas de rotores asimétricos, los primeros son sistemas con diferentes direcciones de rigidez en el eje, y los segundos tienen diferentesdirecciones de inercia en el rotor. Un generador de dos polos y un rotor de hélice son ejemplos de cada uno. Estas diferencias de rotación del eje hacen que los coeficientes varíen con respecto al tiempo en las ecuaciones que gobiernan el sistema. Por lo tanto estos sistemas están en la categoría de sistemas paramétricamente excitados. Una de las características de los sistemas asimétricos es la aparición de vibraciones inestables en algunos rangos de la velocidad operacional. Un reporte de Smith (1933) fue el pionero en este tema. Varios fenómenos relacionados a los Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización superior usando control difuso SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 4 rotores simétricos eran estudiados por Taylor a mediados del siglo XX (1940). Foote (1943), Brozen y Candall (1971), Yamamoto y Ota (1963,1964) [2]. Poritsky, H. (1953) usó la teoría de pequeños desplazamientos, obteniendo los coeficientes radiales de rigidez de la chumacera hidrodinámica y analizó el comportamiento bajo con el fenómeno llamado latigueo de aceite (oil whip). Él concluyó que el rotor se mantiene estable por debajo de dos veces la frecuencia crítica e indicó que el aumento de la flexibilidad en el rotor o en las chumaceras reducirá la velocidad umbral de inestabilidad. También propuso un criterio de estabilidad para un rotor basado en la rigidez del rotor chumacera. En 1955 Pinkus investigó el efecto oil whirl en varios tipos de chumaceras y concluyó lo siguiente: El desbalance en los rotores tiene el mínimo efecto en la inestabilidad, el umbral de la inestabilidad ocurre aproximadamente en la segunda velocidad crítica del rotor. En la región inestable, la frecuencia de giro se mantiene constante a la primera velocidad crítica independientemente de la velocidad de operación, a una velocidad de tres veces la velocidad crítica los movimientos de latigueo paran con un eje de rotor robusto, mientras con un rotor ligero no ocurre. Cargas altas, viscosidades altas, montajes flexibles y chumaceras asimétricas favorecen la estabilidad [11]. Se estudiaron también las oscilaciones de rotores con masa continua distribuida. Un modelo sencillo de rotor continuo corresponde a la viga de Euler que es el primer caso estudiado en el libro de Stodola (1924) [3]. En los años 50 y 60, Bishop (1959), Bishop y Glandell (1959), Bishop y Parkinson (1965) realizaron una serie de artículos donde reportaban la respuesta del desbalance y el balanceo de un rotor continuo. Eshleman y Eubanks (1969), derivaron las ecuaciones generales de movimiento considerando los efectos de inercia rotatoria, deformación cortante y momentos giroscópicos y realizando la investigación de estos efectos [12]. La eliminación del desequilibrio geométrico en el rotor es un procedimiento fundamental e importante, la técnica de balanceo de un rotor rígido se estableció relativamente en los principios del estudio de la rotodinámica. Un balanceo práctico de máquinas se basa en esta técnica y fue inventada en 1907 [13]. La introducción de máquinas rotativas de altas velocidades de operación hizo necesario el desarrollo de técnicas de balanceo de rotores flexibles. Dos métodos fueron propuestos, uno fue el método de balanceo modal propuesto en los años 50 por Feder (1957), Bishop y Glawell (1959). El otro método es el de coeficientes de influencia propuesta a principio de los 60’s, desarrollándose con equipo de cómputo en los Estados Unidos [12]. Yamamoto (1955,1957) estudió varias clases de resonancias no lineales, y después reportó sobre resonancias sub-armónicas debido a los rodamientos de bola en 1955. También habló de sistemas con comportamiento no lineal débil que pueden ser expresados en series de Taylor de bajo orden. En 1965 Tondl estudió Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización superior usando control difuso SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 5 resonancias debido a la película del aceite en las chumaceras. En 1970 Ruhl R. introdujo elemento finito en modelos de rotores flexibles para calcular frecuencias críticas y modos de vibración, estos modelos no incluían efectos giroscópicos y cargas axiales. Lund J. en 1974 con el método de matriz de transferencia calculó las frecuencias críticas amortiguadas de un rotor tomando en cuenta el acoplamiento transversal, término que introdujo él mismo [14]. En la práctica del diseño de maquinaria rotativa, es necesario conocer las frecuencias naturales, modos de vibración y respuestas de desbalance en su forma compleja. Las técnicas usadas para este propósito son los métodos de matriz de transferencia y elemento finito. Prohl (1945) usó el método de matriz de transferencia en el análisis de un sistema rotor expandido por el método Myklestad (1944). Este método analítico es particularmente utilizado para sistemas rotor- chumacera y se ha desarrollado desde 1960 como se mencionó anteriormente. El método de elemento finito fue el primer avance en dinámica estructural y es usado en varios campos tecnológicos. Nelson y McVaugh (1946) extendieron el modelo de Lund J. en elemento finito incluyendo inercia rotatoria, efectos giroscópicos y cargas axiales [2]. Para prevenir serios accidentes y desarrollar un sistema vibratorio diagnóstico detector de fisura, se inicio la investigación de vibraciones en ejes fisurados. En 1976 Gash, Henry y Okah-Avae investigaron vibraciones dando consideraciones de linealidad en la rigidez a través de mecanismos de abierto y cerrado. Ellos observaron que la región inestable aparece o desaparece en la velocidad crítica, dependiendo de la dirección del desbalance [13]. Kucherenko y Gómez Mancilla [15] derivaron el modelo de un sistema rotor- chumacera donde fueron considerados los efectos no lineales relacionados con las fuerzas en las chumaceras. Antonio García, Gómez Mancilla y Nossov [16,17] reportan la obtención de expresiones explícitas de la velocidad del umbral de estabilidad en función de la excentricidad cuando se utilizan ambas configuraciones típicas del modelo de Jeffcott para rotores de eje rígido y eje flexible. Para la determinación de las velocidades umbrales utilizan el criterio de estabilidad de Lienard-Chipard. Utilizando coeficientes rotodinámicos para chumaceras infinitamente cortas (formulación de Ocvirk) y para chumaceras infinitamente largas, ellos presentan gráficas de la velocidad umbral como función de la excentricidad de equilibrio estático para diferentes valores de la flexibilidad del eje y para rotores de eje rígido. Una conclusión importante a la que se llega, es que las expresiones encontradas para el cálculo de la velocidad umbral de estabilidad por medio del criterio mencionado son más simples que los métodos proporcionados por la literatura. En estudios posteriores, también han obtenido expresiones analíticas aproximadas para calcular el perfil de presión, las fuerzas componentes y los coeficientes Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización superior usando control difuso SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 6 rotodinámicos que se generan en la película del lubricante en chumaceras hidrodinámicas cilíndricas. Las expresiones se obtuvieron utilizando la ecuación de Reynolds, la cual es una simplificación de las ecuaciones de Navier-Stokes de la Mecánica de Fluidos. La ecuación de Reynolds fue resuelta de manera cerrada utilizando la teoría de chumaceras infinitamente largas y cortas. Los análisis realizados por Gómez Mancilla y Nossov [18,] muestran que el desalineamiento angular tiene una influencia importante en el comportamiento de la maquinaria rotatoria soportada en chumaceras hidrodinámicas. Los investigadoresque llevaron a cabo el estudio argumentan que el desalineamiento angular provoca la generación de proyecciones tridimensionales de las fuerzas de presión, induciendo al menos dos significativos momentos y una fuerza axial que previamente no existían en un rotor perfectamente alineado. Ordóñez Pantoja [19] propuso un diseño nuevo de chumacera con presurización externa que presenta características rotodinámicas semejantes a la chumacera de levitación magnética pero que tiene ventajas sobre ésta y además busca dar solución a los problemas típicos de la rotodinámica. En 1996 Dimarogonas y Gómez Mancilla aproximan los coeficientes rotodinámicos mediante un programa de elemento finito el cual resuelve de manera aproximada las ecuaciones de Reynolds [20]. En el año 2003, los investigadores brasileños I. F. Santos y F. Y. Watanabe [25] publicaron en el Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering, un trabajo en el cual se estudian chumaceras presurizadas con puertos múltiples de inyección de lubricante, este análisis se realiza numéricamente mediante la dinámica de fluidos computacional y técnicas de control. Mediante el control del flujo y la presión se obtienen cambios importantes en las fuerzas de la película de aceite, las cuales afectarán los valores de las rigideces de la chumacera. Ramírez Vargas, Nossov V., y Gómez Mancilla [21] analizaron el comportamiento de una chumacera corta que está sometida a presurización externa, dando como resultado un cambio radical en el comportamiento de las propiedades dinámicas de la película de lubricante. La presurización fue modelada con funciones especiales de impulso (la función Delta de Dirac), tal modelación fue la primera en su tipo para problemas similares de rotodinámica. Una conclusión importante es que el uso de la función de Dirac facilita, entre otros trabajos, calcular la respuesta de presión cuando se presuriza en uno o más puertos de inyección, logrando determinar la relación existente entre la presurización y el nuevo ángulo de attitude. Posteriormente se realizó el cálculo de los coeficientes rotodinámicos presurizados con inyección puntual [22], este estudio facilitará el diseño de leyes de control para atenuar las vibraciones en las chumaceras híbridas [23]. Torres Cedillo y Gómez Mancilla [30] presentan un trabajo de experimentación y Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización superior usando control difuso SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 7 análisis del comportamiento del sistema chumacera híbrida presurizada con control activo que arroja resultados interesantes en el campo de atenuación de vibraciones mecánicas. 1.2.1 Estudios experimentales en chumaceras con inyección. BENTLY- NEVADA. Actualmente existen compañías dedicadas a la fabricación e investigación experimental de equipo rotatorio, una de ellas es BENTLY-NEVADA en EUA; la cual ha hecho experimentos con rotores de laboratorio que consisten en presurizar externamente a una chumacera colocando los puertos de inyección en forma simétrica [24]. En la figura 1.1 se muestra una chumacera presurizada con cuatro puertos de inyección, esta configuración es la que BENTLY usa para realizar sus experimentos. Fig. 1.1. Configuración de una chumacera presurizada usada por BENTLY. El objetivo inicial de Donald Bently (quien es el responsable de esta compañía) al usar este arreglo es tratar de que la presurización externa haga que el muñón se mantenga lo más cerca del centro geométrico de la chumacera y de esta manera el eje no tenga oscilaciones importantes.En el año 2002 Bently junto con Hatch y Grissom publicaron el libro: Fundamentals of Rotating Machinery Diagnostics [26]; el cual tiene por objetivo mostrar los aspectos prácticos más relevantes de la rotodinámica, haciendo énfasis en el diagnóstico de turbomáquinas. En este libro hay un capítulo (cap. 23) que por primera vez aparece como tal en la literatura internacional con el título “Externally Pressurized and Machinery Diagnostic” entre las conclusiones más destacadas que aparecen, se pueden citar: 1.- Al presurizar externamente, las rigideces de las chumaceras se incrementan notablemente. Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización superior usando control difuso SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 8 2.- La presurización puede producir inestabilidad. 3.-Bajo ciertas condiciones la presurización externa puede modificar las velocidades de resonancia. 4.- Si se ajustan adecuadamente los puertos de inyección, se puede modificar la excentricidad de equilibrio. 5.- La variación de la presión puede permitir establecer un control adecuado de las rigideces en la chumacera, el control se puede hacer en uno más puertos de inyección. 1.3. Clasificación de los cojinetes. Los cojinetes utilizados en maquinaria rotativa pesada se dividen en dos grandes grupos. Cojinetes de elementos rodantes y cojinetes de película de aceite (a este tipo de soporte también se le llama chumacera, en el presente trabajo a los soportes que utilizan algún tipo de fluido se les llamara “chumaceras”). Las chumaceras de película de aceite se subdividen en hidrodinámicas, hidrostáticas e híbridas. Los cojinetes de elementos rodantes Fig. 1.2 tienen diversas aplicaciones en maquinaria pequeña, con velocidades muy bajas o máquinas donde el peso y/o el suministro de lubricante sean muy complejos para justificar chumacera de película de aceite. Los cojinetes de rodamiento no permiten amplios desplazamientos del eje, debido a su alta rigidez y bajo amortiguamiento, que es independientemente a la carga que se somete el soporte [27]. Fig. 1.2. Cojinetes de rodamiento. Para proveer amortiguamiento a máquinas rotativas con cojinetes de elementos rodantes se utiliza usualmente el amortiguamiento de película comprimida (en inglés squeezefilm dampers), al diseñar los cojinetes con amortiguamiento de película comprimida, se reduce la rigidez del cojinete y los desplazamientos del rotor en el plano de medición del cojinete [11]. Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización superior usando control difuso SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 9 Las chumaceras de película de aceite son usadas en numerosas máquinas rotativas, donde una delgada película de aceite separa la chumacera del eje. El espesor de la película es típicamente del orden de unas micras. El lubricante más utilizado es el aceite, también se puede utilizar como fluido de trabajo el gas o agua. Las chumaceras de película de aceite pueden ser de presurización interna, externa y híbrida (hidrodinámicas, hidrostáticas y ambas respectivamente). A continuación se realiza una descripción general y estudios realizados para el desarrollo de las chumaceras hidrodinámicas, hidrostáticas e híbridas, siendo estos los soportes flexibles analizados en el presente trabajo [13]. 1.3.1. Chumaceras hidrodinámicas. Una chumacera hidrodinámica consiste en un cuerpo aproximadamente cilíndrico en el cual gira un eje, y es utilizado en gran parte de maquinaria rotativa para soportar cargas axiales ó simplemente como una guía de transmisión de torque con un mínimo de pérdida de energía y desgaste entre las superficies de contacto. La capacidad de carga es obtenida a través del campo de presión del lubricante dentro de la chumacera. El campo de presión es generado por la formación de una cuña de lubricante, el cual es arrastrado hacia un claro de superficies convergentes. Esta cuña se crea porque el muñón no gira concéntricamente con respecto al centro de la chumacera, sino mediante desplazamientos relativos alrededor del centro de la chumacera y se conocecomo excentricidad. La excentricidad se auto-ajusta hasta que la carga del rotor se iguala a la fuerza causada por la cuña generada por el campo de presión del fluido [27,22]. En la figura 1.3 se muestra una vista transversal de una chumacera hidrodinámica junto con el campo de presión por la película de lubricante, notar que el muñón esta ligeramente desalineado, generando una excentricidad. Figura 1.3. Descripción de fuerzas en una chumacera hidrodinámica. Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización superior usando control difuso SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 10 1.3.2. Chumaceras hidrostáticas. En las chumaceras hidrostáticas la presurización es externa, en otras palabras el lubricante es presurizado por una fuente exterior utilizando usualmente bombas, como se observa en la Fig. 1.4. Si la inyección de presurización es continua y sin interrupciones, genera el espesor de película de lubricante adecuado entre el muñón y la chumacera manteniéndose incluso con velocidad nula. En consecuencia, es posible obtener coeficientes de fricción despreciables, permitiendo cargas altas de operación con el menor esfuerzo posible. Ambas chumaceras hidrodinámicas e hidrostáticas operan con un espesor de película relativamente grueso. El término hidrostático fue introducido para diferenciar el mecanismo de operación de la lubricación hidrodinámica donde la velocidad y el efecto de la cuña del campo de presión son los principales requisitos [13]. Las chumaceras hidrostáticas incluyen sistemas más complejos de lubricación y requieren de diseños especializados y aplicaciones prácticas. Sin embargo son utilizadas desde pequeñas herramientas de precisión, hasta grandes y pesados equipos rotativos. Figura 1.4. Esquema del suministro de aceite de una chumacera hidrostática. Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización superior usando control difuso SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 11 1.3.3. Chumaceras híbridas. La chumacera controlada por inyección de lubricante presurizado puede conformarse por una chumacera cilíndrica plana (ver Fig. 1.5). Fig. 1.5. Geometría de una chumacera cilíndrica plana. Esta chumacera consiste en la combinación de la chumacera hidrodinámica y la hidrostática (ver Fig. 1.6), se considera sólo un puerto de inyección del lubricante el cual consta de su cavidad de inyección (o bajo relieve); su cavidad de inyección abarca el 25% de la superficie circunferencial de la chumacera. Fig. 1.6. Descripción de la Geometría de la chumacera controlada por inyección de lubricante presurizado. Las funciones del puerto de inyección son alimentar un suministro suficiente de lubricante para mantener el nivel necesario para que se pueda generar la presión hidrodinámica en la chumacera y generar una fuerza externa cuando sea requerido para el funcionamiento óptimo de la chumacera. Esta chumacera permite lograr las funciones fundamentales como facilitar el ensamble de la chumacera y el muñón, permite el espacio suficiente para la expansión debido al calentamiento del lubricante y dar tolerancia al Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización superior usando control difuso SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 12 desalineamiento, doblamiento y deflexión del rotor. Pero la función principal es la de proveer soporte radial al rotor. Inicialmente y enumerados de manera simplista los elementos principales que componen a esta chumacera son: fluido lubricante (aceite de viscosidad dinámica) según sea el caso del diseño; los elementos de medición y monitoreo (proxímetros, ADRE): la bomba de presión variable que permite la inyección del fluido lubricante a presiones altas; los actuadores y sus válvulas; una computadora, tarjeta de adquisición y procesamiento de señales y comandos; y las leyes de control adecuadas e implementadas en un programa. 1.4. Posición de equilibrio estático de las chumaceras hidrodinámicas. La posición de equilibrio estático del rotor (árbol) bajo la acción de una carga unidireccional, como puede ser la que genera el peso del rotor y/o el empuje radial por engranes, puede ser calculada al igualar las componentes de la carga con las fuerzas de presión integradas sobre la superficie del árbol donde existe película lubricante (ver Fig. 1.7). Es conveniente tomar dos componentes, una en la dirección a la excentricidad del árbol y otra normal a ésta. Fig. 1.7. Componentes de la fuerza F de la película del lubricante y el ángulo de proximidad ψ de la línea de centros. Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización superior usando control difuso SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 13 Las dos integrales siguientes representan las componentes ortogonales orientadas de la reacción ejercida por la presión de la película del fluido lubricante sobre el árbol. fθ 0 0 cos ( , ) cos (1) fL rF F R P Z d dz θ ψ θ θ θ= = ∫ ∫ 0 0 c ( , ) (2) fL rF F sen R P Z sen d dz θ ψ θ θ θ= = ∫ ∫ Estas integrales resultan ser funciones de la razón de excentricidad ε del árbol y del ángulo de proximidad ψ (Fig. 1.7), Donde la distribución de presión de la película del lubricante P (θ, Z) generalmente es una función no lineal de ε, al igual que de θ, Z y fθ representa la presión circunferencial hasta donde se considera que llega la película lubricante generalmente fθ = 𝜋𝜋 , ó 2 𝜋𝜋. Las ecuaciones (1) y (2) se pueden resolver para ε y ψ. Así se obtiene la posición de equilibrio estático del árbol, asumiendo que la carga aplicada F es conocida y que la forma de la función (o tabla numérica) para P (θ, Z) se conoce en términos de ε. La figura 1.8 muestra el conjunto de ubicaciones o localización geométrica de la posición de equilibrio del árbol para una chumacera corta cavitada (película - 𝜋𝜋). La excentricidad ε→1 y el ángulo de posición de mínima excentricidad ψ→0 conforme la carga aplicada F aumenta y se aproxima a rozar a la chumacera. Este análisis para la obtención de la trayectoria de equilibrio se validó únicamente para el caso de existir un alineamiento perfecto entre líneas de centros del muñón y la chumacera, tampoco existe una fuerza radial desconocida de la resultante conocida. En situaciones más realistas y diferentes que lo anteriormente mencionado existirá el problema del desalineamiento, el cual puede ser del tipo radial y/o angular. Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización superior usando control difuso SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 14 Fig. 1.8. Localización o trayectoria de la posición de equilibrio del árbol, para una chumacera cavitada corta conforme se aumenta la carga sobre ella. 1.5. Número de Sommerfeld El diseño de las chumaceras y su análisis se facilita al expresar la carga en términos adimensionales del número de Sommerfeld S (3): 2N RS p Cr µ = , ( )60 (3) 2 N ω π = Donde: Wp LD = p es la carga por unidad de área proyectada, llamada “presión promedio sobre la chumacera”. Por lo que también es común encontrar la fórmula de la ecuación del Número de Sommerfeld de la siguiente manera (4): 2 (4)NLD RS W Cr µ = Es importante mencionar que cuando se inyecta lubricante en la parte superior de la chumacera la excentricidad tiende a aumentar su valor mientras el número de Sommerfeld disminuye, el ángulo de attitude aumentacuando se incrementa el número de Sommerfeld y no dependen del tamaño de la presurización en la parte superior de la chumacera, de igual manera es notoria la existencia de un sólo punto de equilibrio, pues para cada valor dado del número de Sommerfeld existe uno y sólo un valor de excentricidad. Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización superior usando control difuso SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 15 Es importante el parámetro de carga por unidad de área proyectada: Wp LD = Con el valor de la carga por unidad de área proyectada, podemos determinar el valor de presión de inyección. Así si se hace referencia a un número de veces la presión de inyección, se interpreta así: 0P.- La presión de inyección en este caso es para suministrar una cantidad suficiente de lubricante para mantener una capa de éste entre el árbol y la chumacera. 3P.- Tres veces el valor de p. 6P.- Seis veces el valor de p. 10P.- Diez veces el valor de p. Cero presión de inyección corresponde al caso tradicional de una chumacera convencional trabajando bajo el régimen de lubricación con alimentación clásica (se alimenta exactamente una cantidad de lubricante igual a la que se fuga por los lados de manera natural). En el caso 0P no quiere decir que no haya inyección del lubricante, sino que esta presión de inyección será sólo lo necesario para mantener una capa entre el árbol y la chumacera. Los siguientes valores nos indican que el valor de presión de inyección será tres veces, seis veces y diez veces el valor de carga por unidad de área proyectada. Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización superior usando control difuso SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 16 1.6. Clasificación de los sistemas de control de vibraciones. La clasificación en la literatura de los sistemas de control vibratorios son tres pasivos, activos y semi-activos (SA). Un sistema de control vibratorio se dice que es pasivo, activo ó SA, dependiendo de la energía externa que necesite para realizar la función requerida. Figura 1.9. Sistemas de control de vibraciones 1.9.1) Sistema Pasivo, 1.9.2) Sistema Activo, 1.9.3) Sistema SA. El control pasivo de vibración consiste de un elemento resistente (rigidez) y un elemento disipador de energía (amortiguador) cualquiera para absorber la energía vibratoria. Este tipo de sistema de control vibratorio se realiza mejor dentro de la región de frecuencia de más alta sensibilidad. El ancho de banda de frecuencia de excitación, puede ser mejorado considerablemente optimizando los parámetros del sistema. Sin embargo, esta mejora se alcanza bajando las características de supresión de la banda estrecha. El control pasivo vibratorio tiene significativas limitaciones en aplicaciones estructurales donde los disturbios de la banda ancha son difíciles e inciertos de localizar. Para compensar estas limitaciones es utilizado un control vibratorio activo. Introduciendo una fuerza activa como parte de una subsección del amortiguador u(t), el sistema es controlado usando diferentes algoritmos para darle mayor respuesta a la excitación vibratoria. El sistema SA control vibratorio es una combinación de activo y pasivo, intenta reducir la cantidad de energía externa necesaria alcanzar las características de eficiencia deseada, este tipo de control se encuentra en desarrollo tecnológico y aun es de alto costo en aplicaciones industriales [12]. 1.6.1. Características del funcionamiento de los Sistemas de control de vibraciones. El diseño de sistemas de control de vibraciones se realiza cuando se requiere operar la máquina rotativa por arriba de la banda ancha de carga y una gama de frecuencias que sea imposible de resolver con una sola opción de rigidez y Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización superior usando control difuso SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 17 amortiguamiento. Si las características de la respuesta vibratoria deseada no pueden ser obtenidas, una atractiva opción es el control activo ya que puede proporcionar un control en cada banda ancha de excitación. Sin embargo induce inestabilidades causadas por el mismo control. Siendo un problema serio en la aplicación industrial [6]. Por otro lado los sistemas pasivos son obstaculizados por el fenómeno llamado “detuning”, el cual significa que el sistema no es capaz de atenuar la vibración para la cual fue diseñado. Las razones por las cuales ocurre esto es: 1) El sistema de control de vibraciones se deteriora y los parámetros pueden estar lejos del diseño original de control. 2) Los parámetros originales de los dispositivos de control se alteraron. 3) La frecuencia natural o la fuerza de excitación pueden cambiar a cierto tiempo. 1.6.2. Sistema de control pasivo de vibraciones. El control pasivo de vibraciones como su nombre lo indica, emplea controladores pasivos. Por definición los dispositivos pasivos no requieren de fuerzas externas para su operación. Los dos tipos de controladores pasivos son absorbedores dinámicos y amortiguadores. Por otro lado, la medición de la respuesta vibratoria es realizada implícitamente y el control es producido por la fuerza excitadora generada por los controladores pasivos. Un absorbedor dinámico de vibraciones es un mecanismo masa-resorte con poco o nada de amortiguamiento el cual puede absorber la excitación de vibración a través de la energía transferida a este, de tal modo que reduce las vibraciones del sistema primario. El amortiguador es puramente disipador de energía, que al contrario del absorbedor dinámico no almacena energía, la energía es disipada directamente. Por lo tanto desaprovecha energía, presentando problemas relacionados con desgaste y efectos térmicos. Una ventaja que presentan estos elementos es tener altas velocidades de operación. Algunos ejemplos de controladores pasivos son: muelles metálicos, elastómeros, etc. Fig. 1.10. Figura 1.10. Ejemplos de sistemas de control pasivo resortes. Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización superior usando control difuso SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 18 1.6.3. Sistema de control activo de vibraciones. En la figura 1.11 se presenta un esquema del sistema de control activo en un sistema mecánico dinámico. La planta o el proceso es el origen de las vibraciones, el controlador es el dispositivo que genera la señal y regula las vibraciones en el sistema, siendo los dos principales elementos en un sistema de control: el controlador y la planta [12]. Figura 1.11. Sistema activo de control de vibraciones. La respuesta de la planta puede ser seguida y medida por sensores que a su vez retroalimentan al controlador. Entonces el controlador compara las señales medidas con la respuesta deseada, utilizando el error para generar una señal de control adecuada. De este modo se obtiene un sistema de control retroalimentado. En ausencia de un sensor y retroalimentación el control es de lazo abierto. Esto significa que no hay retroalimentación hacia el controlador para que éste pueda ajustar la acción de control. Es decir, la señal de salida no se convierte en señal de entrada para el controlador. Ambos sistemas de control pueden ser utilizados en el mismo sistema mecánico [28]. El actuador que recibe la señal de control y controla la planta es parte importante de la planta (por ejemplo, el motor que controla la cuchilla de una sierra), alternativamente puede ser añadido un componente externo para realizar el control (por ejemplo, un actuador piezoeléctricoo magnético para el control de las vibraciones en la cuchilla de la sierra). El primer paso es acondicionar la señal de control para que sea compatible con los actuadores existentes. El siguiente paso es diseñar el controlador y el actuador en paralelo para aplicarlo a la planta. Puesto que la señal del controlador es digital, para ser utilizada en los actuadores Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización superior usando control difuso SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 19 se tendrá que convertir en análoga, por lo tanto el convertidor digital análogo (CDA) es un acondicionador de señal y es utilizado para los diseños de control pertinente. Además la señal analógica que se genera puede ser filtrada y amplificada a un nivel apropiado para ser utilizado en el actuador, se deduce que los amplificadores y filtros son acondicionadores de la señal de control y son útiles para el control de vibraciones. En el programa de control la señal de control es generada por la computadora, a esto se le llama controlador digital y en el hardware de control la señal es generada por el hardware digital sin la necesidad de programas de cómputo. Alternativamente el control analógico puede ser utilizado cuando la señal de control es generada directamente por un circuito analógico, este tipo de control es rápido y no requiere de convertidores digitales a analógicos (D/A). Un sistema retroalimentado (sistema de lazo cerrado) utiliza sensores para medir la respuesta de la planta, para determinar si la planta opera adecuadamente. Un sensor mide la respuesta del sistema y automáticamente convierte la señal (transducción de señal) en la forma adecuada para el controlador. Un acelerador piezoeléctrico mide la aceleración y la convierte en carga eléctrica, un tacómetro electromecánico mide la velocidad y la convierte en voltaje, un codificador del eje mide la posición angular del eje y la convierte en un código digital. Por lo tanto los términos sensor y transductor se utilizan alternativamente en la literatura de control de vibraciones, la señal generada por estos transductores necesita acondicionadores antes de ser conectados al controlador. Por ejemplo, la señal de carga del acelerómetro piezoeléctrico debe de ser convertida a voltaje utilizando un amplificador de carga y posteriormente digitalizar la señal utilizando un convertidor analógico/digital (A/D) para usar la señal en un controlador digital. Cabe señalar que el acondicionador de la señal debe de estar entre el transductor y el controlador, de la misma manera entre el controlador y el actuador. Los sensores activos emplean energía externa, los pasivos emplean energía autogenerada y no requieren de energía externa para su funcionamiento. La energía externa puede ser utilizada para acondicionar la señal de los sensores. Finalmente, las perturbaciones en el sistema son desconocidas siendo el problema en el control de vibraciones la identificación de las excitaciones y poder atenuarlas, son las principales razones para el diseño de leyes de control. Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización superior usando control difuso SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 20 Capítulo 2 Modelado y simulación numérica del sistema rotor- chumacera con control pasivo y con control activo. 2.1 Introducción. En este capítulo se desarrolla el modelo del sistema y se elaboran los programas para el sistema funcionando con control pasivo y con control activo. Una forma de poder atenuar y controlar la amplitud vibracional en maquinaria rotatoria radica en modelar correctamente el comportamiento dinámico de los soportes y junto con ello, caracterizar la película de lubricante con sus coeficientes rotodinámicos correspondientes. Cuando una chumacera hidrodinámica se presuriza externamente, es posible modificar las propiedades dinámicas de la película de aceite, haciendo que las inestabilidades y amplitudes vibracionales puedan disminuirse en forma marcada. La modelación en la rotodinámica es fundamental para el análisis y la aproximación a los comportamientos reales. La Fig. 2.1 muestra la geometría de una chumacera con presurización en la parte central superior, a cada valor de número de Sommerfeld, le corresponde uno y sólo un valor de excentricidad, también se observa que al incrementar la fuerza de presurización en la parte superior de la chumacera, la excentricidad aumenta tal y como se espera en la realidad pues el muñón tiende a moverse hacia abajo cada vez más. Fig. 2.1. Chumacera con presurización en la parte superior. Notar que se definen los valores de las coordenadas axial y circunferencial (𝜶𝜶 𝒚𝒚 𝜷𝜷 ) para especificar el punto en particular de inyección de lubricante. Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización superior usando control difuso SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 21 2.2 Descripción del sistema. Para facilitar el análisis, se emplea un modelo simple, muy bueno para simular los primeros modos de vibración de máquinas rotativas teniendo acoplamientos flexibles y bajos efectos giroscópicos. El sistema parece un rotor Jeffcott extendido, con 6 grados de libertad y un eje flexible, un disco en el centro de la barra el cual simula el peso del sistema y 2 masas en las orillas las cuales representan 2 chumaceras híbridas simétricas. Fig. 2.2. Fig. 2.2. Sistema rotor chumacera modelado como rotor Jeffcott. El sistema de inyección de nuestro sistema está en la parte central superior. Fig. 2.3. Fig.2.3. Presurización central superior. Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización superior usando control difuso SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 22 Aplicando la segunda ley de newton a cada una de las masas derivamos las ecuaciones dinámicas para el disco y para las 2 chumaceras derecha e izquierda: { } o 0 0 d bl bl br br x2 o 0 0 y d bl b d d d d d e d d d d bl bll l bl ij ij l br br 0 e bl bl bl bl x -x 1x - (x -x +x -x ) a cos(wt)2 w a sen(wt)1-y - (y -y +y -y ) 2 xkx -x 2 x m +c +k =m , (disco) y y y x x m +c +k = y y { } 0 0 0 d d bl bl br br x2 0 0 0 y d d bl bl br br 0 0 0 d d bl bl br br 0 e b bl br brr r br ij ij br br r br m , 1-x - (x -x +x -x ) a cos(wt)2 + w a sen(wt)1y -y - (y -y +y -y ) 2 1x -x - (x -x (chum. +x -x )k 2x -x 2 izq.) x x m +c +k = y y x2 0 0 0 y d d bl bl br b b r rm a cos(wt) + w a sen(wt)1y -y - ( , (chum. der y -y +y -y 2 . ) ) Donde la variable 𝑥𝑥𝑑𝑑 e 𝑦𝑦𝑑𝑑 definen la posición "𝑥𝑥" e "𝑦𝑦" del disco �̇�𝑥𝑑𝑑 , �̇�𝑦𝑑𝑑 , �̈�𝑥𝑑𝑑 e �̈�𝑦𝑑𝑑 definen las velocidades y aceleraciones del disco en el eje adecuado, deducción similar para la chumacera izquierda y derecha, 𝑥𝑥𝑏𝑏𝑏𝑏 , 𝑦𝑦𝑏𝑏𝑏𝑏 , �̇�𝑥𝑏𝑏𝑏𝑏 , �̇�𝑦𝑏𝑏𝑏𝑏 , �̈�𝑥𝑏𝑏𝑏𝑏 e �̈�𝑦𝑏𝑏𝑏𝑏 definen la posición, velocidad y aceleraciones de la chumacera izquierda mientras 𝑥𝑥𝑏𝑏𝑏𝑏 , 𝑦𝑦𝑏𝑏𝑏𝑏 , �̇�𝑥𝑏𝑏𝑏𝑏 , �̇�𝑦𝑏𝑏𝑏𝑏 , �̈�𝑥𝑏𝑏𝑏𝑏 e �̈�𝑦𝑏𝑏𝑏𝑏 definen la posición, velocidad y aceleraciones de la chumacera derecha. Los parámetros usados en la simulación se muestran en la siguiente tabla 2.1: TABLA 2.1. Parámetros de la simulación 𝑚𝑚𝑑𝑑 Masa del disco (1.7645kg) 𝑚𝑚𝑏𝑏𝑏𝑏 ,𝑚𝑚𝑏𝑏𝑏𝑏 Masa de cada chumacera izq. Y der. (0.0645kg) 𝑐𝑐𝑑𝑑Amortiguamiento del aire(0.521N·s/m) 𝜔𝜔 Velocidad de operación (628.3 rad/s) 𝑘𝑘𝑘𝑘 Rigidez del eje (194736.96192N/m) µ Viscosidad dinámica (0.015Pa·s) 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑏𝑏 ,𝐶𝐶𝑏𝑏𝑏𝑏 Claro radial para chumacera izq. Y der. (101.6μm) 𝑎𝑎𝑥𝑥 , 𝑎𝑎𝑦𝑦 Desbalance (30μm) Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización superior usando control difuso SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 23 2.3 Simulación numérica. Para empezar nuestra simulación se debe obtener la representación espacio- estados del modelo. Una representación de espacio de estados es un modelo matemático de un sistema físico descrito mediante un conjunto de entradas, salidas y variables de estado; relacionadas por ecuaciones diferenciales de primer orden. 1 7 2 8 3 9 4 10 5 11 6 12 7 d o 0 0 2 d 7 e 1 d 3 bl 5 br x = x Representación espacio-estados x = x x = x x = x x = x x = x 1x = ( m 1-c x -k (x -x - (x -x +x -x ))+w a 2 x 13 o 0 0 2 d 8 e 2 d 4 bl 6 br y 14 l l l 0 l 0 0 0 0 2e xx 9 xy 10 xx 3 bl x 8 d 9 bl 10 b y 4 bl 1 d 3 bl 5 br x 13 l l l 0 l yx 9 yy 10 yx 3 bl l yy 1x x , 1-c x -k (x -y - (x -y +x -y ))+w a x , 2 k 1-C x -C x -K (x -x )-K (x -y )+ (x -x - (x -x +x -x )))+w a x , 2 2 -C x -C x -K (x = ( m 1x = -x ( m 1x = ( )-K ( m 0 0 0 0 2e 4 bl 2 d 4 bl 6 br y 14 r r r 0 r 0 0 0 0 2e xx 11 xy 12 x11 br 12 x 5 br xy 6 br 1 d 3 bl 5 br x 13 r r r 0 r yx 11 yy 12 yx 5 br yy 6 br br k 1x -y )+ (x -y - (x -y +x -y )))+w a x , 2 2 k 1-C x -C x -K (x -x )-K (x -y )+ (x -x - (x -x +x -x )))+w a x , 2 2 -C x -C x 1x = ( -K (x -x )-K (x m 1x = ( m -y 0 0 0 0 2e 2 d 4 bl 6 br y 1 13 4 14 1314 , k 1)+ (x -y - (x -y +x -y )))+w a x , 2 2 wx ,x = - x = wx Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización superior usando control difuso SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 24 2.3.1. Aproximación de coeficientes rotodinámicos por el método de mínimos cuadrados. Para realizar la simulación de forma correcta, se necesito aproximar los coeficientes rotodinámicos, los de amortiguamiento 𝐶𝐶𝑥𝑥𝑥𝑥 ,𝐶𝐶𝑥𝑥𝑦𝑦 ,𝐶𝐶𝑦𝑦𝑥𝑥 ,𝐶𝐶𝑦𝑦𝑦𝑦 y los de rigidez 𝐾𝐾𝑥𝑥𝑥𝑥 ,𝐾𝐾𝑥𝑥𝑦𝑦 ,𝐾𝐾𝑦𝑦𝑥𝑥 ,𝐾𝐾𝑦𝑦𝑦𝑦 , para un continuo de velocidades de operación así como para un continuo de presiones de inyección. Para esto se utilizaron las tablas que contienen los valores obtenidos de los coeficientes rotodinámicos 𝐶𝐶𝑥𝑥𝑥𝑥 ,𝐶𝐶𝑥𝑥𝑦𝑦 ,𝐶𝐶𝑦𝑦𝑥𝑥 ,𝐶𝐶𝑦𝑦𝑦𝑦 , 𝐾𝐾𝑥𝑥𝑥𝑥 ,𝐾𝐾𝑥𝑥𝑦𝑦 ,𝐾𝐾𝑦𝑦𝑥𝑥 ,𝐾𝐾𝑦𝑦𝑦𝑦 número de Sommerfeld, excentricidad y ángulo de equilibrio obtenidos con el programa CHUMA. En el apéndice A se presentan estas tablas las cuales se obtuvieron para presurizaciones de 0P, 3P, 6P Y 10P. Luego se aproximaron mediante el método de mínimos cuadrados, a través del programa dado en el apéndice B1, el cual que aproxima los valores de las tablas. Cabe hacer mención que los resultados de estas tablas se obtuvieron con una relación L/ D=1 que es la relación que considera en el sistema rotor-chumacera para esta investigación. De esta manera se logró aproximar cada coeficiente, excentricidad y ángulo de equilibrio para cada valor de número de Sommerfeld para valores entre 0P, 3P, 6P, 10P, a través del método de mínimos cuadrados. Nótese que el margen de error es prácticamente nulo. El programa genera las gráficas con los valores del programa CHUMA y también las gráficas de los valores obtenidos por las aproximaciones por el método de mínimos cuadrados. A continuación se muestran las gráficas de las tablas con los valores que se obtuvieron en trabajos anteriores mediante el programa CHUMA para cada coeficiente de amortiguamiento y rigidez tanto directos como acoplados, excentricidades y ángulos de equilibrio. Al mismo tiempo se presentan las gráficas producidas por el programa que emplea mínimos cuadrados para aproximar cada valor. La primera gráfica es la de los valores del programa CHUMA y la gráfica que la sigue corresponde a la aproximación por mínimos cuadrados. Nótese que la aproximación por mínimos cuadrados aparece sobre de la que se obtuvo con los valores del programa CHUMA, la que se aproximó es fácil de identificar porque es más consistente en líneas. Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización superior usando control difuso SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 25 Coeficiente 𝑲𝑲𝒙𝒙𝒙𝒙 por CHUMA Figura 2.4. Coeficiente 𝑲𝑲𝒙𝒙𝒙𝒙 aproximado por mínimos cuadrados Figura 2.5. 0 5 10 0 2 4 6 8 0 50 100 150 Num. veces P Kxx de tabla CHUMA Sommerfeld K xx 0 5 10 0 2 4 6 8 -50 0 50 100 150 Num. veces P Aproximación Kxx Sommerfeld K xx Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización superior usando control difuso SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 26 Coeficiente 𝑲𝑲𝒙𝒙𝒚𝒚 por CHUMA Figura 2.6. Coeficiente 𝑲𝑲𝒙𝒙𝒚𝒚 aproximado por mínimos cuadrados Figura 2.7. 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 0 20 40 60 80 100 Num. veces P Kxy de tabla CHUMA Sommerfeld K xy 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 0 20 40 60 80 100 Num. veces P Aproximación Kxy Sommerfeld K xy Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización superior usando control difuso SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 27 Coeficiente 𝑲𝑲𝒚𝒚𝒙𝒙 por CHUMA Figura 2.8. Coeficiente 𝑲𝑲𝒚𝒚𝒙𝒙 aproximado por mínimos cuadrados Figura 2.9. 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 -100 -50 0 50 Num. veces P Kyx de tabla CHUMA Sommerfeld K yx 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 -100 -50 0 50 Num. veces P Aproximación Kyx Sommerfeld K yx Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización superior usando control difuso SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 28 Coeficiente 𝑲𝑲𝒚𝒚𝒚𝒚 por CHUMA Figura 2.10. Coeficiente 𝑲𝑲𝒚𝒚𝒚𝒚 aproximado por mínimos cuadrados Figura 2.11. 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 0 10 20 30 40 Num. veces P Kyy de tabla CHUMA Sommerfeld K yy 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 0 10 20 30 40 Num. veces P Aproximación Kyy Sommerfeld K yy Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización superior usando control difuso SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 29 Coeficiente 𝑪𝑪𝒙𝒙𝒙𝒙 por CHUMA Figura 2.12. Coeficiente 𝑪𝑪𝒙𝒙𝒙𝒙 aproximado por mínimos cuadrados Figura 2.13. 0 5 10 01 23 45 67 0 20 40 60 80 100 Num. veces P Cxx de tabla CHUMA Sommerfeld C xx 0 2 4 6 8 10 01 23 45 67 0 20 40 60 80 100 Num. veces P Aproximación Cxx Sommerfeld C xx Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización superior usando control difuso SEPI-ESIME-IPN Ing. Edgar Miguel Villanueva Alvarado Página 30 Coeficiente 𝑪𝑪𝒙𝒙𝒚𝒚 por CHUMA Figura 2.14. Coeficiente 𝑪𝑪𝒙𝒙𝒚𝒚 aproximado por mínimos cuadrados Figura 2.15. 0 5 10 012 345 67 0 5 10 15 20 25 Num. veces P Cxy de tabla CHUMA Sommerfeld C xy 0 5 10 01234 567 0 5 10 15 20 25 Num. veces P Aproximación Cxy Sommerfeld C xy Atenuación de vibraciones de chumaceras híbridas intermedias L/D=1 por presurización superior usando control
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