Formação de Portfólios Ótimos de Ações

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
 
ESCUELA SUPERIOR DE COMERCIO Y ADMINISTRACIÓN 
UNIDAD TEPEPAN 
 
 
 
SEMINARIO: 
ANÁLISIS DE INVERSIONES. 
 
 
 
TEMA: 
FORMACIÓN DE PORTAFOLIOS ÓPTIMOS CON LAS ACCIONES DE: ALSEA, GRUPO BIMBO, 
CORPORATIVO FRAGUA, GRUMA Y TELMEX. 
 
 
 
INFORME FINAL QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE CONTADOR PÚBLICO 
 
 
 
PRESENTAN: 
ANABELLA GARCÍA VILLA 
CARMEN ELISANDRA MARTÍNEZ FLORES 
CAROLINA PASCUAL ALVAREZ 
MAYTÉ ALEJANDRA MARTÍNEZ FLORES 
NOEMÍ CRUZ MARTÍNEZ 
 
 
 
CONDUCTOR DEL SEMINARIO: 
M. EN F. RAFAEL GUADALUPE RODRÍGUEZ CALVO 
 
 
 
 
MÉXICO, D.F. JUNIO DE 2009. 
AGRADECIMIENTOS. 
 
 
Dedicamos la presente como agradecimiento al apoyo brindado durante estos años de estudio y 
como un reconocimiento de gratitud al haber finalizado nuestra carrera. 
 
Al Instituto Politécnico Nacional por haber sido la pieza más importante en nuestra formación 
profesional, por permitirnos caminar siempre y en todo lugar con la frente muy en alto, porque 
sinceramente nos engrandece y llena de orgullo ser politécnicos. 
 
Expresamos un profundo agradecimiento a la Escuela Superior de Comercio y Administración que 
nos permitió crecer, aprender y abrirnos nuevos horizontes en nuestro caminar, logrando formar 
profesionistas auténticos y altamente competitivos. 
 
Agradecemos a todos los profesores que con su apoyo y comprensión nos alentaron a lograr esta 
hermosa realidad 
 
A todas aquellas personas que con su cariño, guía y apoyo hemos llegado a realizar uno de 
nuestros anhelos más grandes de nuestra vida, fruto del inmenso amor y confianza que en 
nosotras depositaron y con lo cual hemos logrado terminar nuestros estudios profesionales que 
constituyen el legado más grande que pudiéramos recibir y por lo cual les estaremos sinceramente 
agradecidas. 
 
Gracias… porque hoy, vemos llegar a su fin una de las metas más importantes en nuestras vidas. 
 
 
 
ABREVIATURAS Y SIGLAS. 
 
 
• AMAF: Asociación Mexicana de Arrendadoras Financieras. 
 
• BANXICO: Banco de México. 
 
• BMV: Bolsa Mexicana de Valores, S.A.B. de C.V. 
 
• BONDES: Bonos de Desarrollo. 
 
• CETES: Certificados de la Tesorería de la Federación. 
 
• CNBV: Comisión Nacional Bancaria y de Valores. 
 
• INPC: Índice Nacional de Precios al Consumidor. 
 
• LMV: Ley del Mercado de Valores. 
 
• PRLV’s: Pagaré con Rendimiento Liquidable al Vencimiento. 
 
• RNV: Registro Nacional de Valores. 
 
• SHCP: Secretaría de Hacienda y Crédito Público. 
 
• TIIE: Tasa de Interés Interbancaria de Equilibrio. 
 
• UDIS: Unidades de Inversión. 
 
 
 
 
 
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Índice. 3 
Introducción. 6 
 
CAPÍTULO I. MARCO TEÓRICO: TEORÍA MODERNA DE LA CARTERA. 7 
1.1. Inversión en valores. 7 
1.2. Relación de dominación entre acciones. 8 
1.3. Medición del rendimiento de un periodo. 9 
1.4. La inflación y el rendimiento real de las acciones. 15 
1.5. Medición del rendimiento promedio esperado real, para una 
inversión sencilla. 20 
1.6. Medición del riesgo de una inversión sencilla. 23 
1.7. Rendimiento esperado de una cartera con dos activos. 26 
1.8. Riesgo de una cartera con dos activos. 27 
1.9. Correlación de una cartera con dos activos. 28 
1.10. Cartera de dos activos, con un activo libre de riesgo. 34 
1.11. Cartera de tres activos, con un activo libre de riesgo. 51 
1.12. Apalancamiento de una cartera riesgosa con dos activos. 64 
 
CAPÍTULO 2. LA BOLSA MEXICANA DE VALORES. 74 
 
2.1. El sistema bursátil mexicano. 74 
2.2. Bolsa Mexicana de Valores. 74 
2.3. Funciones. 75 
2.4. Participantes. 76 
2.4.1. Entidades emisoras. 76 
‐ 4 ‐ 
2.4.2. Intermediarios bursátiles. 77 
2.4.3. Inversionistas. 79 
2.4.4. Autoridades y organismos autoregulatorios. 80 
2.5. Activos financieros negociados en el mercado. 80 
2.5.1. Mercado de deuda. 80 
2.5.1.1. Instrumentos de deuda gubernamentales. 81 
2.5.1.2. Instrumentos de deuda privada. 83 
2.5.2. Mercado de capitales. 87 
2.5.2.1. Acciones comunes. 89 
2.5.2.2. Acciones preferentes. 91 
2.5.2.3. Acciones en circulación. 93 
CAPÍTULO 3. PERFIL DE LAS EMPRESAS EMISORAS: ALSEA, BIMBO, 
FRAGUA, GRUMA Y TELMEX. 100 
 
3.1. Alsea, S.A. de C.V. 100 
3.1.1. Historia de la empresa. 101 
3.1.2. Misión y visión de la empresa. 102 
3.1.3. Productos y servicios. 103 
3.1.4. Consejo de administración. 105 
3.2. Grupo Bimbo, S.A. de C.V. 105 
3.2.1. Historia de la empresa. 106 
3.2.2. Misión y visión de la empresa. 106 
‐ 5 ‐ 
3.2.3. Productos y servicios. 108 
3.2.4. Consejo de administración. 110 
3.3. Corporativo Fragua, S.A.B. de C.V. 111 
3.3.1. Historia de la empresa. 111 
3.3.2. Misión y visión de la empresa. 113 
3.3.3. Productos y servicios. 114 
3.3.4. Consejo de administración. 115 
3.4. Gruma, S.A.B. de C.V. 116 
3.4.1. Historia de la empresa. 117 
3.4.2. Misión y visión de la empresa. 118 
3.4.3. Productos y servicios. 119 
3.4.4. Consejo de administración. 121 
3.5. Teléfonos de México S.A.B. de C.V. (Telmex). 122 
3.5.1. Historia de la empresa. 122 
3.5.2. Misión y visión de la empresa. 124 
3.5.3. Productos y servicios. 125 
3.5.4. Consejo de administración. 127 
 
CAPÍTULO 4. FORMACIÓN DE PORTAFOLIOS ÓPTIMOS CON LAS ACCIONES 
ALSEA, GRUPO BIMBO, GRUMA, CORPORATIVO FRAGUA Y TELMEX. 128 
 
‐ 6 ‐ 
4.1. Determinación del riesgo-rendimiento de las acciones. 128 
4.1.1. Alsea, S.A.B. de C.V. 128 
4.1.1.1. Medición del rendimiento esperado de Alsea. 128 
4.1.1.2. Medición del riesgo de Alsea. 129 
4.1.2. Grupo Bimbo, S.A. de C.V. 130 
4.1.2.1. Medición del rendimiento esperado de Grupo Bimbo. 130 
4.1.2.2. Medición del riesgo de Grupo Bimbo. 131 
4.1.3. Empresa Corporativo Fragua, S.A.B. de C.V. 131 
4.1.3.1. Medición del rendimiento esperado de Corporativo Fragua. 132 
4.1.3.2. Medición del riesgo de Corporativo Fragua. 132 
4.1.4 Empresa Gruma, S.A. de C.V. 133 
4.1.4.1 Medición de rendimiento esperado de Gruma. 133 
4.1.4.2. Medición del riesgo de Gruma. 134 
4.1.5. Empresa Telmex. 135 
4.1.5.1. Medición del rendimiento esperado de Telmex. 135 
4.1.5.2. Medición del riesgo de Telmex. 136 
4.2. Cartera de Riesgo con Dos Activos 137 
4.2.1. Cartera de riesgo con las acciones Alsea y Bimbo. 137 
4.2.2. Cartera de riesgo con las acciones Bimbo y Fragua. 140 
4.2.3. Cartera de riesgo con las acciones Fragua y Gruma. 144 
4.2.4. Cartera de riesgo con las acciones Gruma y Telmex. 147 
4.2.5. Cartera de riesgo con las acciones de Telmex y Alsea. 151 
4.3. Certificados de la Tesorería de la Federación (CETES) 142 
4.4. Carteras óptimas formadas con cetes. 155 
‐ 7 ‐ 
4.4.1. Carteras óptimas formadas con cetes y las acciones de 
Alsea “A” y Bimbo “B”. 155 
4.4.2. Carteras óptimas formadas con cetes y las acciones de 
Bimbo “B” y Fragua “F”. 157 
4.4.3. Carteras óptimas formadas con cetes y las acciones de 
Fragua “F” y Gruma “G”. 159 
4.4.4. Carteras óptimas formadas con cetes y las acciones de 
Gruma “G” y Telmex “T”. 160 
4.4.5. Carteras óptimas formadas con cetes y las acciones de 
Telmex “T” y Alsea “A”. 162 
 
Conclusión. 164 
Glosario. 165 
Bibliografía. 166‐ 1 ‐ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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‐ 6 ‐ 
INTRODUCCIÓN. 
 
 
Una inversión es un desembolso de dinero u otros recursos financieros con el propósito de obtener 
beneficios líquidos en el futuro. La mayoría de los instrumentos financieros tienen rendimientos 
inciertos, por lo que son activos riesgosos. El principal problema que enfrenta un inversionista es la 
toma de decisiones para la creación de un portafolio. Un portafolio es un conjunto de instrumentos, 
cuyo objetivo es obtener un buen rendimiento minimizando el riesgo. Esta técnica de selección de 
instrumentos se conoce como la Teoría Moderna de Portafolios. El problema de la selección de 
portafolios es obtener un portafolio óptimo entre un universo de posibles alternativas. Este 
portafolio deberá solucionar las necesidades de los inversionistas en cuanto a riesgo y rendimiento, 
por lo que el administrador del portafolio deberá maximizar el rendimiento dado el riesgo asumido. 
 
En el capítulo uno, teoría moderna de la cartera, se analiza la teoría de H. Markowitz con una serie 
de acciones con valores hipotéticos, con los cuales se determina riesgo, rendimiento y correlación 
entre la combinación de cada una de ellas. 
 
En el capítulo dos, se estudia la Bolsa Mexicana de Valores, todo el sistema financiero mexicano, 
sus elementos y respectivas funciones, puesto que es el origen de toda inversión u operación 
financiera. 
 
En el capítulo tres, se plasma el perfil de las empresas que cotizan en la Bolsa Mexicana de 
Valores: ALSEA, BIMBO, FRAGUA, GRUMA Y TELMEX, mismas que en capítulos posteriores 
serán estudiadas y analizadas a más detalle. 
 
En el capítulo cuatro, se forman portafolios óptimos con las acciones de las empresas ya 
mencionadas anteriormente, combinándose entre si y además con un activo libre de riesgo llamado 
Cetes a 364 días, y con ello determinar la frontera eficiente, para elegir el mejor portafolio de 
inversión. 
 
En general, se asume que los inversionistas son aversos al riesgo, lo cual significa que el 
inversionista escogerá el portafolio con el menor riesgo. 
 
 
 
 
‐ 7 ‐ 
CAPÍTULO I. MARCO TEÓRICO: TEORÍA MODERNA DE LA CARTERA. 
 
 
1.1. INVERSIÓN EN VALORES. 
 
 
La inversión consiste en renunciar al consumo de hoy con el fin de obtener un rendimiento 
esperado mayor de un bien en el futuro. El valor es un derecho financiero, representado por un 
documento sobre algún otro bien. 
 
La inversión requiere la reducción del consumo con la esperanza de aumentar las oportunidades 
de consumo en el futuro. El aumento en el consumo en periodos posteriores lo proporciona el 
rendimiento sobre la inversión; la esperanza de obtener rendimiento es lo que motiva al 
inversionista a reducir su consumo actual. 
 
Los inversionistas pueden seleccionar entre una amplia gama de inversiones; desde aquellas que 
prácticamente no tienen riesgo alguno, hasta aquellas con un alto nivel de riesgo. 
 
El problema a enfrentar por cualquier inversionista radica en asegurar el rendimiento deseado al 
mismo tiempo que se enfrenta a un riesgo mínimo; por lo cual debe invertir en valores que ofrezcan 
alto rendimiento y bajo riesgo. Sin embargo, las oportunidades de inversión con altos rendimientos 
esperados por lo regular tienen altos riesgos. 
 
Por lo tanto, la importancia de las inversiones reside en que los inversionistas tienen que buscar 
inversiones con la mejor combinación de riesgo y rendimiento. 
‐ 8 ‐ 
 
La meta de la inversión en valores consiste en obtener los mayores rendimientos posibles, pero; 
para ello se requiere que el inversionista seleccione algún nivel de riesgo, es por ello que la meta 
de la inversión se vuelve más difícil de especificar. 
 
Se supone que el inversionista está interesado solo en los beneficios monetarios de la inversión. 
También se supone que el inversionista prefiere tener más riquezas que menos, si los demás 
factores permanecen iguales. Por último, se supone que el inversionista siente aversión al riesgo; 
es decir, el inversionista prefiere evitar el riesgo siempre que sea posible. 
 
Esto no significa que el inversionista se negará a correr riesgos. Más bien significa que exigirá una 
compensación, bajo la forma de una mayor utilidad esperada de inversión, por correr riesgos. 
Las oportunidades de inversión que parecen ofrecer el mayor aumento en riqueza también tienden 
a ser las más riesgosas. 
 
Si no existiera el conflicto entre lo deseable de las grandes utilidades sobre la inversión y el riesgo 
que lleva consigo el buscar esas grandes utilidades, sería bastante sencillo establecer la meta de 
las inversiones en valores. 
 
Conociendo el hecho de que el inversionista está en una posición constante de tratar de asegurar 
altas utilidades sobre la inversión al mismo tiempo que trata de controlar la exposición al riesgo, la 
meta de la inversión se puede expresar en la forma siguiente: 
 
Para un determinado nivel de riesgo, asegurar el rendimiento esperado más alto posible o para una 
determinada tasa de rendimiento requerida, asegurar el rendimiento con el menor riesgo posible. 
 
 
1.2. RELACIÓN DE DOMINACIÓN ENTRE ACCIONES. 
 
 
Los inversionistas tienen una conducta racional a la hora de seleccionar su inversión y por lo tanto 
siempre buscan obtener la máxima rentabilidad sin tener que asumir un alto nivel de riesgo. 
 
Cuando un inversionista tiene oportunidades de inversión en las cuales no se confronta el 
intercambio de riesgo-rendimiento, una oportunidad de inversión “domina” a la otra. Lo anterior se 
ilustra en la siguiente gráfica: 
 
 
En base a las suposiciones de que los inversionistas prefieren rendimientos esperados más altos y 
desean evitar el riesgo, es evidente que cualquier inversionista: al comparar la acción “C” con la 
acción “D” todo inversionista preferirá la acción “C” a la acción “D”. Esto porque aunque “C” y “D” 
ofrecen el mismo nivel de rendimiento esperado, “C” tiene menos riesgo que “D”. 
 
‐ 9 ‐ 
‐ 10 ‐ 
Del mismo modo, todo inversionista preferirá la acción “C” a la acción “F”, debido a que “C” ofrece 
mayor rendimiento esperado con el menor riesgo. 
 
Basado en el análisis de la gráfica anterior, se pueden deducir los siguientes principios de 
dominación: 
 
A igual nivel de riesgo, el inversionista preferirá las acciones que tengan mayor rendimiento. 
 
A igual nivel de rendimiento, el inversionista prefiere los valores con el menor riesgo. 
 
El inversionista a mayor rendimiento y menor riesgo preferirá estos activos, a los activos que 
presenten menor rendimiento y mayor riesgo. 
 
Sin embargo, en ocasiones no es posible predecir que todos los inversionistas preferirán un valor a 
otro. Si se comparan las acciones “D” y “E” quizás algunos inversionistas preferirán la acción “E”, 
mientras que otros bien podrían preferir la acción “D”. Sus preferencias dependerían de su 
disposición a correr riesgos adicionales con el fin de obtener rendimientos esperados adicionales. 
 
 
1.3. MEDICIÓN DEL RENDIMIENTO DE UN PERIODO. 
 
 
Cuando se compra una acción de una empresa se obtienen rendimientos principalmente por: 
 
• La ganancia de capital, es el agregado del valor de un activo a lo largo de un periodo de 
inversión; se obtiene de la diferencia del precio en que se encuentra el día de hoy el valor 
de la acción menos el precio al que se adquirió, en otraspalabras, es la utilidad obtenida 
por el incremento del precio de la acción en el mercado de valores y que se traduce en una 
ganancia al tenedor de la acción por el simple hecho de haber comprado la acción y 
esperar a que el mercado le asigne un precio de acuerdo con las expectativas que se 
perciban de la empresa. 
 
• La ganancia de dividendo, es la proporción de las ganancias de la empresa que se decide 
distribuir entre los accionistas, y también se entiende como la cantidad que el consejo de 
accionistas de cualquier empresa decide pagar a los tenedores de acciones y normalmente 
está en función de las utilidades que se hayan logrado y el tipo de acciones de que se 
trate. 
 
 
El rendimiento de una inversión sencilla se determina utilizando la siguiente fórmula: 
 
 
 
 
 
‐ 11 ‐ 
 
Ganancia 
de Capital 
Ganancia de 
Dividendos 
 
 
Donde: 
 
= Rendimiento nominal. 
 
= Precio en el periodo 1. 
 
= Precio en el periodo 0. 
 
= Dividendo decretado en el periodo 1. 
 
 
Ejemplo 1. Acción “A”. 
 
Se adquiere la acción “A” en diciembre del año 2003 y se vende a los 5 años, obteniendo 
dividendos como se muestra en la siguiente tabla: 
 
 
 
 
Tabla de parámetros. 
Año 
Precio de la 
acción 
Dividendos 
Dic. 2003 $10.00 
Dic. 2004 $5.00 $0.00 
‐ 12 ‐ 
Dic. 2005 $8.00 $1.50 
Dic. 2006 $7.00 $2.50 
Dic. 2007 $12.00 $1.80 
Dic. 2008 $9.00 $0.00 
 
 
El rendimiento nominal en cada uno de los años de la acción “A” se muestra a continuación: 
 
 
Cálculo del rendimiento nominal anual de la acción “A”. 
Año 
Ganancia de 
capital 
 
Ganancia de 
dividendos 
 
Rendimiento 
nominal anual 
 
2004 -0.5000 0.0000 -0.5000 
2005 0.6000 0.3000 0.9000 
2006 -0.1250 0.3125 0.1875 
2007 0.7143 0.2571 0.9714 
2008 -0.2500 0.0000 -0.2500 
 
 
 
Ejemplo 2. Acción “C”. 
 
 
Se adquiere la acción “C” en diciembre del año 2003 y se vende a los 5 años, obteniendo 
dividendos como se muestra en la siguiente tabla: 
 
‐ 13 ‐ 
 
Tabla de parámetros. 
Año 
Precio de la 
acción 
Dividendos 
Dic. 2003 $4.00 
Dic. 2004 $5.00 $0.00 
Dic. 2005 $5.50 $0.50 
Dic. 2006 $7.00 $0.00 
Dic. 2007 $6.00 $1.00 
Dic. 2008 $8.50 $0.30 
 
 
El rendimiento nominal en cada uno de los años de la acción “C” se muestra a continuación: 
 
 
Cálculo del rendimiento nominal anual de la acción “C”. 
Año 
Ganancia de 
capital 
 
Ganancia de 
dividendos 
 
Rendimiento 
nominal anual 
 
2004 0.2500 0.0000 0.2500 
2005 0.1000 0.1000 0.2000 
2006 0.2727 0.0000 0.2727 
2007 -0.1429 0.1429 0.0000 
2008 0.4167 0.0500 0.4667 
 
 
 
Ejemplo 3. Acción “E”. 
‐ 14 ‐ 
 
 
Se adquiere la acción “E” en diciembre del año 2003 y se vende a los 5 años, obteniendo 
dividendos como se muestra en la siguiente tabla: 
 
 
Tabla de parámetros. 
Año 
Precio de la 
acción 
Dividendos 
Dic. 2003 $10.00 
Dic. 2004 $15.00 $0.00 
Dic. 2005 $13.00 $11.00 
Dic. 2006 $20.00 $15.00 
Dic. 2007 $30.00 $30.00 
Dic. 2008 $27.00 $40.00 
 
 
El rendimiento nominal en cada uno de los años de la acción “E” se muestra a continuación: 
 
 
Cálculo del rendimiento nominal anual de la acción “E”. 
Año 
Ganancia de 
capital 
 
Ganancia de 
dividendos 
 
Rendimiento 
nominal anual 
 
2004 0.5000 0.0000 0.5000 
2005 -0.1333 0.7333 0.6000 
2006 0.5385 1.1538 1.6923 
‐ 15 ‐ 
‐ 16 ‐ 
2007 0.5000 1.5000 2.0000 
2008 -0.1000 1.3333 1.2333 
 
 
 
Ejemplo 4. Acción “M”. 
 
 
Se adquiere la acción “M” en diciembre del año 2003 y se vende a los 5 años, obteniendo 
dividendos como se muestra en la siguiente tabla: 
 
 
Tabla de parámetros. 
Año 
Precio de la 
acción 
Dividendos 
Dic. 2003 $50.00 
Dic. 2004 $20.00 $0.00 
Dic. 2005 $18.00 $16.00 
Dic. 2006 $68.00 $10.00 
Dic. 2007 $70.00 $40.00 
Dic. 2008 $100.00 $44.00 
 
 
El rendimiento nominal en cada uno de los años de la acción “M” se muestra a continuación: 
 
 
Cálculo del rendimiento nominal anual de la acción “M”. 
Año 
Ganancia de 
capital 
 
Ganancia de 
dividendos 
 
Rendimiento 
nominal anual 
 
2004 -0.6000 0.0000 -0.6000 
2005 -0.1000 0.8000 0.7000 
2006 2.7778 0.5556 3.3333 
2007 0.0294 0.5882 0.6176 
2008 0.4286 0.6286 1.0571 
 
 
 
Ejemplo 5. Acción “N”. 
 
 
Se adquiere la acción “N” en diciembre del año 2003 y se vende a los 5 años, obteniendo 
dividendos como se muestra en la siguiente tabla: 
 
 
Tabla de parámetros. 
Año 
Precio de la 
acción 
Dividendos 
Dic. 2003 $10.50 
Dic. 2004 $11.00 $0.00 
Dic. 2005 $10.50 $1.00 
Dic. 2006 $8.00 $0.00 
Dic. 2007 $12.00 $0.50 
‐ 17 ‐ 
Dic. 2008 $10.00 $0.00 
 
 
El rendimiento nominal en cada uno de los años de la acción “N” se muestra a continuación: 
 
 
Cálculo del rendimiento nominal anual de la acción “N”. 
Año 
Ganancia de 
capital 
 
Ganancia de 
dividendos 
 
Rendimiento 
nominal anual 
 
2004 0.0476 0.0000 0.0476 
2005 -0.0455 0.0909 0.0455 
2006 -0.2381 0.0000 -0.2381 
2007 0.5000 0.0625 0.5625 
2008 -0.1667 0.0000 -0.1667 
 
 
1.4. LA INFLACIÓN Y EL RENDIMIENTO REAL DE LAS ACCIONES. 
 
 
Es razonable suponer que a los inversionistas les interesa más los rendimientos reales que los 
rendimientos nominales, porque los primeros reflejan su mejoría económica, representada por el 
poder adquisitivo del dinero. De acuerdo con esto necesitamos analizar los rendimientos reales de 
los valores. 
El rendimiento real de un inversionista es aproximadamente igual a la diferencia entre el 
rendimiento nominal del inversionista y la tasa de inflación. 
 
‐ 18 ‐ 
El rendimiento real de una acción se determina con la siguiente fórmula: 
 
 
 
 
Donde: 
 
= Rendimiento real. 
 
= Rendimiento nominal. 
 
= Tasa de inflación. 
 
 
La inflación puede tener un impacto significativo en las decisiones y resultados de la inversión. 
Midiendo así el cambio de porcentaje de un índice de costo de vida especifico en varios momentos. 
 
El que una medida de inflación sea relevante para un individuo dado depende en gran parte de la 
similitud entre las compras de esa persona y la composición del índice de precios. 
 
En México, la Inflación se mide con el Índice Nacional de Precios al Consumidor (INPC). La tasa de 
inflación de un periodo determinado se calcula aplicando la siguiente fórmula: 
 
 
‐ 19 ‐ 
 
 
 
En base a la fórmula anterior y al Índice Nacional de Precios al Consumidor a diciembre del periodo 
2003-2008 que se muestran en la siguiente tabla, se determina la tasa de inflación en cada uno de 
los años de dicho periodo: 
 
Cálculo de la tasa de inflación en el período 2003-2008. 
Año INPC 
Tasa de inflación 
 
2003 106.9960 0.0000 
2004 112.5500 0.0519 
2005 116.3010 0.0333 
2006 121.0150 0.0405 
2007 125.5640 0.0376 
2008 133.7610 0.0653 
 
 
 
Ejemplo 1. Acción “A”. 
 
Una vez determinada la tasa de inflación y al aplicar los efectos de la misma a los rendimientos 
nominales, se procede a calcular los rendimientos reales de la acción “A”: 
 
 
‐ 20 ‐ 
Cálculo del rendimiento real de la acción “A”. 
Año 
Rendimiento 
nominal anual 
Tasa de inflación
Rendimiento real 
anual 
 
2004 -0.5000 0.0519 -0.5247 
2005 0.9000 0.0333 0.8387 
2006 0.1875 0.0405 0.1412 
2007 0.9714 0.0376 0.9000 
2008 -0.2500 0.0653 -0.2960 
 
 
 
 
Ejemplo 2. Acción “C”. 
 
Una vez determinada la tasa de inflación y al aplicar los efectos de la misma a los rendimientos 
nominales, se procede a calcular los rendimientos reales de la acción “C”: 
 
 
Cálculo del rendimiento real de la acción “C”. 
Año 
Rendimiento 
nominal anual 
Tasa de inflación
Rendimiento real 
anual 
 
2004 0.2500 0.0519 0.1883 
2005 0.2000 0.0333 0.1613 
2006 0.2727 0.0405 0.2231 
2007 0.0000 0.0376 -0.0362 
‐ 21 ‐ 
2008 0.4667 0.0653 0.3768 
 
 
Ejemplo 3. Acción “E”. 
 
Una vez determinada la tasa de inflación y al aplicar los efectos de la misma a los rendimientos 
nominales, se procede a calcularlos rendimientos reales de la acción “E”: 
 
 
Cálculo del rendimiento real de la acción “E”. 
Año 
Rendimiento 
nominal anual 
Tasa de inflación
Rendimiento real 
anual 
 
2004 0.5000 0.0519 0.4260 
2005 0.6000 0.0333 0.5484 
2006 1.6923 0.0405 1.5874 
2007 2.0000 0.0376 1.8913 
2008 1.2333 0.0653 1.0965 
 
Ejemplo 4. Acción “M”. 
 
Una vez determinada la tasa de inflación y al aplicar los efectos de la misma a los rendimientos 
nominales, se procede a calcular los rendimientos reales de la acción “M”: 
 
 
Cálculo del rendimiento real de la acción “M”. 
‐ 22 ‐ 
Año 
Rendimiento 
nominal anual 
Tasa de inflación
Rendimiento real 
anual 
 
2004 -0.6000 0.0519 -0.6197 
2005 0.7000 0.0333 0.6452 
2006 3.3333 0.0405 3.1645 
2007 0.6176 0.0376 0.5590 
2008 1.0571 0.0653 0.9311 
 
 
Ejemplo 5. Acción “N”. 
 
Una vez determinada la tasa de inflación y al aplicar los efectos de la misma a los rendimientos 
nominales, se procede a calcular los rendimientos reales de la acción “N”: 
 
 
Cálculo del rendimiento real de la acción “N”. 
Año 
Rendimiento 
nominal anual 
Tasa de inflación
Rendimiento real 
anual 
 
2004 0.0476 0.0519 -0.0041 
2005 0.0455 0.0333 0.0117 
2006 -0.2381 0.0405 -0.2678 
2007 0.5625 0.0376 0.5059 
2008 -0.1667 0.0653 -0.2177 
 
1.5. MEDICIÓN DEL RENDIMIENTO PROMEDIO ESPERADO REAL, PARA UNA INVERSIÓN 
SENCILLA. 
‐ 23 ‐ 
 
 
El rendimiento sobre una inversión se mide como la ganancia o pérdida total que experimenta el 
inversionista en determinado periodo. 
 
La tasa de rendimiento esperada (o valor esperado) es el promedio ponderado de los resultados 
posibles. 
 
La tasa de rendimiento esperada se puede calcular por medio de la siguiente fórmula: 
 
 
 
 
 
Donde: 
 
 
= Rendimiento promedio esperado. 
 
= Rendimiento de la acción en el periodo . 
 
= Número de periodos. 
 
‐ 24 ‐ 
 
 
Ejemplo 1. Acción “A”. 
 
En base a los resultados obtenidos, la acción “A” arroja el siguiente rendimiento promedio 
esperado real: 
 
 
 
Cálculo del rendimiento promedio 
esperado de la acción “A”. 
Año 
Rendimiento 
real anual 
 
2004 -0.5247 
2005 0.8387 
2006 0.1412 
2007 0.9000 
2008 -0.2960 
 1.0593 
 5 
 0.2119 
 
 
Ejemplo 2. Acción “C”. 
 
En base a los resultados obtenidos, la acción “C” arroja el siguiente rendimiento promedio 
esperado real: 
‐ 25 ‐ 
Cálculo del rendimiento promedio 
esperado de la acción “C”. 
Año 
Rendimiento 
real anual 
 
2004 0.1883 
2005 0.1613 
2006 0.2231 
2007 -0.0362 
2008 0.3768 
 0.9133 
 5 
 0.1827 
 
 
Ejemplo 3. Acción “E”. 
 
En base a los resultados obtenidos, la acción “E” arroja el siguiente rendimiento promedio 
esperado real: 
Cálculo del rendimiento promedio 
esperado de la acción “E”. 
Año 
Rendimiento 
real anual 
 
2004 0.4260 
2005 0.5484 
2006 1.5874 
2007 1.8913 
2008 1.0965 
 5.5496 
 5 
‐ 26 ‐ 
 1.1099 
Ejemplo 4. Acción “M”. 
 
En base a los resultados obtenidos, la acción “M” arroja el siguiente rendimiento promedio 
esperado real: 
Cálculo del rendimiento promedio 
esperado de la acción “M”. 
Año 
Rendimiento 
real anual 
 
2004 -0.6197 
2005 0.6452 
2006 3.1645 
2007 0.5590 
2008 0.9311 
 4.6801 
 5 
 0.9360 
Ejemplo 5. Acción “N”. 
 
En base a los resultados obtenidos, la acción “N” arroja el siguiente rendimiento promedio 
esperado real: 
Cálculo del rendimiento promedio 
esperado de la acción “N”. 
Año 
Rendimiento 
real anual 
 
2004 -0.0041 
2005 0.0117 
2006 -0.2678 
‐ 27 ‐ 
2007 0.5059 
2008 -0.2177 
 0.0280 
 5 
 0.0056 
 
 
1.6. MEDICIÓN DEL RIESGO DE UNA INVERSIÓN SENCILLA. 
 
El riesgo se define como la posibilidad de enfrentar una pérdida financiera; es decir, se refiere a la 
posibilidad de que ocurra un evento desfavorable. Las inversiones que tienen mayores 
probabilidades de pérdida se consideran más arriesgadas que las que presentan menores 
posibilidades de pérdida. El término riesgo se emplea de manera indistinta con el término 
incertidumbre, para hacer referencia a la variabilidad de los rendimientos relacionados con una 
inversión específica. Cuanto más seguro sea el rendimiento de una acción, menor será la 
variabilidad y, por tanto, menor será su riesgo. 
 
La medida estadística utilizada para determinar el riesgo de un activo es: la desviación estándar la 
cual es un promedio ponderado de las desviaciones respecto al valor esperado. 
 
Por lo tanto, la ecuación para calcular el riesgo con la siguiente fórmula: 
 
 
 
Donde: 
 
 
‐ 28 ‐ 
= Desviación estándar. 
 
= Rendimiento de la acción en el periodo . 
 
= Rendimiento promedio esperado. 
 
= Número de periodos. 
 
 
Ejemplo 1. Acción “A”. 
 
A continuación, determinamos el riesgo de la inversión hecha en la acción “A”: 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2. Acción “C”. 
 
A continuación, determinamos el riesgo de la inversión hecha en la acción “C”: 
‐ 29 ‐ 
 
 
 
 
Ejemplo 3. Acción “E”. 
 
A continuación, determinamos el riesgo de la inversión hecha en la acción “E” 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 4. Acción “M”. 
 
A continuación, determinamos el riesgo de la inversión hecha en la acción “M”: 
 
 
 
‐ 30 ‐ 
 
 
 
Ejemplo 5. Acción “N”. 
 
A continuación, determinamos el riesgo de la inversión hecha en la acción “N”: 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.7. RENDIMIENTO ESPERADO DE UNA CARTERA CON DOS ACTIVOS. 
 
 
El rendimiento esperado de una cartera integrada por dos activos depende, exclusivamente, de los 
rendimientos esperados de los títulos que la componen y de su proporción dentro de la cartera. 
 
La ecuación para determinar dicho rendimiento esperado es la siguiente: 
‐ 31 ‐ 
 
 
 
 
 
Donde: 
 
 
= Rendimiento esperado del portafolio. 
 
= Proporción invertida en el activo “A”. 
 
= Rendimiento promedio esperado del activo “A”. 
 
= Proporción invertida en el activo “B”. 
 
= Rendimiento promedio esperado del activo “B”. 
 
 
Teniendo en cuenta la siguiente restricción monetaria: 
 
 
 
‐ 32 ‐ 
 
 
 
 
 
1.8. RIESGO DE UNA CARTERA CON DOS ACTIVOS. 
 
 
Los inversionistas para controlar el riesgo de sus inversiones deben diversificar; sus carteras deben 
incluir más de un valor porque la diversificación puede reducir el riesgo, medido por la desviación 
estándar. 
 
El riesgo mide hasta qué punto es probable que el resultado real difiera del resultado esperado. 
 
La desviación estándar de una cartera depende de las desviaciones estándar y de la proporciones 
de los valores que la componen así como de sus covarianzas entre sí. 
 
La ecuación para determinar el riesgo de una cartera integrada por dos activos es la siguiente: 
 
 
 
 
 
Donde: 
‐ 33 ‐ 
 
 
= Riesgo esperado del portafolio. 
 
= Proporción invertida en el activo “A”. 
 
= Riesgo del activo “A” 
 
= Proporción invertida en el activo “B”. 
 
= Riesgo del activo “B” 
 
=Coeficiente de correlación existente entre el activo “A” y el activo “B” 
 
 
 
1.9. CORRELACIÓN DE UNA CARTERA CON DOS ACTIVOS. 
 
 
La medida estadística conocida como correlación está estrechamente relacionada con la 
covarianza. La covarianza entre dos variables aleatorias es igual a la correlación entre las dos 
variables aleatorias por el producto de sus desviaciones estándar: 
 
‐ 34 ‐ 
El coeficiente de correlación reescala la covarianza para facilitar la comparación con los valores 
correspondientes de otros pares de variables aleatorias. Los coeficientes de la correlación siempre 
están entre -1 y +1. Un valor de -1 representa la correlación negativa perfecta, y un valor de +1 
representa la correlación positiva perfecta. La mayoría de los casos está entre estos dos valores 
extremos. 
 
• Si = -1 se dice que los rendimientos de los dos activos tienen una correlación perfecta 
negativa y significa que cuando uno de ellos crece, el otro decrece en la misma proporción. 
 
• Si = 1 setiene una correlación perfecta positiva entre los rendimientos de los activos, lo 
que significa que al crecer uno de ellos también lo hace el otro en la misma proporción. 
 
• Si = 0 los rendimientos se dicen incorrelacionados, esto significa que no existe ninguna 
relación entre los mismos. 
 
Por lo tanto el coeficiente de correlación está definido en la siguiente fórmula: 
 
 
 
 
 
Donde: 
 
 
= Covarianza de los rendimientos de “A” con “B” 
‐ 35 ‐ 
 
= Riesgo del activo “B” etc. 
A su vez la covarianza se determina utilizando la siguiente fórmula: 
 
 
 
 
 
Por último si se sustituye la ecuación anterior de la covarianza en la ecuación inicial se obtiene la 
ecuación desplegada como sigue: 
 
 
 
 
 
Donde: 
 
 
= Coeficiente de correlación. 
 
= Covarianza del activo “A” con el activo “B”. 
‐ 36 ‐ 
 
= Riesgo del activo “A”. 
 
= Riesgo del activo “B”. 
 
 
 
 
Ejemplo 1. Acción “A”. 
 
 
Antes de calcular el coeficiente de correlación entre las acciones “A” y “C”, es necesario conocer la 
covarianza entre ambas: 
 
Acción "A". Acción "C". 
Rendimientos 
reales 
Rendimiento 
promedio 
esperado 
Riesgo 
Rendimientos 
reales 
Rendimiento 
promedio 
esperado 
Riesgo 
-0.5247 0.1883 
0.8387 0.1613 
0.1412 0.2231 
0.9000 -0.0362 
-0.2960 
0.2119 0.5782 
0.3768 
0.1827 0.1325 
 
Sustituyendo datos obtenemos: 
 
‐ 37 ‐ 
Año 
2004 -0.7365 0.0057 -0.0042 
2005 0.6269 -0.0214 -0.0134 
2006 -0.0706 0.0405 -0.0029 
2007 0.6881 -0.2189 -0.1506 
2008 -0.5078 0.1941 -0.0986 
 SUMA -0.2696 
 
 
 
Por lo que procedemos a determinar el coeficiente de correlación: 
 
 
 
 
Ejemplo 2. Acción “C”. 
 
 
Antes de calcular el coeficiente de correlación entre las acciones “C” y “E”, es necesario conocer la 
covarianza entre ambas: 
 
Acción "C". Acción "E". 
Rendimientos 
reales 
Rendimiento 
promedio 
esperado 
Riesgo 
Rendimientos 
reales 
Rendimiento 
promedio 
esperado 
Riesgo 
‐ 38 ‐ 
0.1883 0.4260 
0.1613 0.5484 
0.2231 1.5874 
-0.0362 1.8913 
0.3768 
0.1827 0.1325 
1.0965 
1.1099 0.5695 
 
Sustituyendo datos obtenemos: 
 
Año 
2004 0.0057 -0.6839 -0.0039 
2005 -0.0214 -0.5615 0.0120 
2006 0.0405 0.4775 0.0193 
2007 -0.2189 0.7814 -0.1710 
2008 0.1941 -0.0134 -0.0026 
 SUMA -0.1462 
 
 
 
Por lo que procedemos a determinar el coeficiente de correlación: 
 
 
 
 
Ejemplo 3. Acción “E”. 
 
 
‐ 39 ‐ 
Antes de calcular el coeficiente de correlación entre las acciones “E” y “M”, es necesario conocer la 
covarianza entre ambas: 
 
Acción "E". Acción "M". 
Rendimientos 
reales 
Rendimiento 
promedio 
esperado 
Riesgo 
Rendimientos 
reales 
Rendimiento 
promedio 
esperado 
Riesgo 
0.4260 -0.6197 
0.5484 0.6452 
1.5874 3.1645 
1.8913 0.5590 
1.0965 
1.1099 0.5695 
0.9311 
0.9360 1.2340 
 
Sustituyendo datos obtenemos: 
 
Año 
2004 -0.6839 -1.5558 1.0640 
2005 -0.5615 -0.2908 0.1633 
2006 0.4775 2.2285 1.0641 
2007 0.7814 -0.3770 -0.2946 
2008 -0.0134 -0.0049 0.0001 
 SUMA 1.9970 
 
 
 
Por lo que procedemos a determinar el coeficiente de correlación: 
 
‐ 40 ‐ 
 
 
 
Ejemplo 4. Acción “M”. 
 
 
Antes de calcular el coeficiente de correlación entre las acciones “M” y “N”, es necesario conocer la 
covarianza entre ambas: 
 
Acción "M". Acción "N". 
Rendimientos 
reales 
Rendimiento 
promedio 
esperado 
Riesgo 
Rendimientos 
reales 
Rendimiento 
promedio 
esperado 
Riesgo 
-0.6197 -0.0041 
0.6452 0.0117 
3.1645 -0.2678 
0.5590 0.5059 
0.9311 
0.9360 1.2340 
-0.2177 
0.0056 0.2739 
 
Sustituyendo datos obtenemos: 
 
Año 
2004 -1.5558 -0.0097 0.0151 
2005 -0.2908 0.0061 -0.0018 
2006 2.2285 -0.2734 -0.6092 
2007 -0.3770 0.5003 -0.1886 
2008 -0.0049 -0.2233 0.0011 
‐ 41 ‐ 
 SUMA -0.7834 
 
 
 
Por lo que procedemos a determinar el coeficiente de correlación: 
 
 
 
 
Ejemplo 5. Acción “N”. 
 
 
Antes de calcular el coeficiente de correlación entre las acciones “N” y “A”, es necesario conocer la 
covarianza entre ambas: 
Acción "N". Acción "A". 
Rendimientos 
reales 
Rendimiento 
promedio 
esperado 
Riesgo 
Rendimientos 
reales 
Rendimiento 
promedio 
esperado 
Riesgo 
-0.0041 -0.5247 
0.0117 0.8387 
-0.2678 0.1412 
0.5059 0.9000 
-0.2177 
0.0056 0.2739 
-0.2960 
0.2119 0.5782 
 
Sustituyendo datos obtenemos: 
 
‐ 42 ‐ 
Año 
2004 -0.0097 -0.7365 0.0071 
2005 0.0061 0.6269 0.0038 
2006 -0.2734 -0.0706 0.0193 
2007 0.5003 0.6881 0.3443 
2008 -0.2233 -0.5078 0.1134 
 SUMA 0.4880 
 
 
 
Por lo que procedemos a determinar el coeficiente de correlación: 
 
 
 
 
1.10. CARTERA DE DOS ACTIVOS, CON UN ACTIVO LIBRE DE RIESGO. 
 
 
Un activo libre del riesgo es aquel que está libre del riesgo de falta de pago, por lo que hay la 
seguridad de que pague su rendimiento esperado. Por la misma razón tampoco puede existir 
varianza de los rendimientos del activo libre de riesgo. Por lo tanto, el rendimiento esperado del 
activo libre riesgo es un rendimiento cierto y su desviación estándar es cero. 
 
 
 
‐ 43 ‐ 
 
 
Un ejemplo de activos libre de riesgo son los Certificados de la Tesorería de la Federación 
(CETES) emitidos por el Gobierno Federal. 
 
El rendimiento esperado de una cartera compuesta por el activo libre de riesgo F y un activo 
riesgoso B es tan sólo el promedio ponderado de los dos rendimientos esperados, siendo las 
ponderaciones los porcentajes de los fondos asignados a los dos activos. Sin embargo, en el caso 
del activo libre de riesgo el rendimiento esperado es seguro debido a que no existe riesgo de falta 
de pago. Por lo tanto el rendimiento esperado para la cartera que incluye al activo libre de riesgo 
es: 
 
 
 
 
 
Donde: 
 
 
= Rendimiento esperado del portafolio. 
 
= Proporción invertida en el activo “A”. 
 
= Rendimiento promedio esperado del activo “A”. 
 
‐ 44 ‐ 
= Proporción de fondos invertidos en el activo “F”. 
 
= Rendimiento esperado del activo “F”. 
 
 
De igual forma sigue en vigor la ecuación original para la varianza de la cartera de dos activos, tal 
como se determinó mediante la ecuación siguiente: 
 
 
 
 
 
‐ 45 ‐ 
 
 
 
 
 
 
Donde: 
 
 
= Riesgo esperado del portafolio. 
 
= Proporción invertida en el activo “A”. 
 
= Riesgo del activo “A”. 
 
= Proporción de fondos invertidos en el activo “F”. 
 
= Riesgo del activo “F”. 
 
= Coeficiente de correlación existente entre el activo “A” y el activo “F”. 
 
 
No obstante, el hecho de que , está libre de riesgo tiene efectos dramáticos sobre la evaluación 
de la ecuación anterior. Debido a que está libre de riesgo: 
 
 
 
 
El coeficiente de correlación entre una constante , y una variable aleatoria, en este caso los 
rendimientos del activo A, es siempre cero. Así tiene que ser debido a que una constante no tiene 
covarianza con ningún otro activo. Como su nombre lo implica, una constante es un valor exacto 
constante. En la ecuación de la varianza cualquier término multiplicado por o será cero. 
Esto significa que en los términos primero y tercero se eliminaran y el riesgo de una cartera de dos 
activos, que incluye . 
 
‐ 46 ‐ 
Por lo que la desviación estándar de una cartera do dos activos, siendo uno de ellos un activo libre 
de riesgo, sólo depende del nivel de riesgo del activo riesgoso y de la proporción de los fondos 
asignados al mismo. 
 
 
Ejemplo 1. Activo libre de riesgo “F” y activo riesgoso “A”. 
 
Para ejemplificar estos principios se considerará una cartera integrada por el activo libre de riesgo 
F y un activo riesgoso A, los parámetros de dichos activos se muestran a continuación: 
 
Tabla de parámetros. 
Activos 
Concepto 
"F" "A" 
Rendimiento 0.06 0.2119 
Riesgo 0 0.5782 
Correlación 
F,A 
0 
 
Riesgo-rendimiento de los portafolios de inversión integrados por 
el activo libre de riesgo “F” y el activo riesgoso“A”. 
Portafolio WF WA 
Riesgo 
( 
Rendimiento 
( 
1 1 0 0 0.06 
2 0.8 0.2 0.1156 0.0904 
3 0.6 0.4 0.2313 0.1207 
4 0.4 0.6 0.3469 0.1511 
5 0.2 0.8 0.4626 0.1815 
6 0 1 0.5782 0.2119 
 
‐ 47 ‐ 
 
 
 
En la gráfica se muestra el activo libre de riesgo F (6%), y un activo riesgoso “A” y las carteras 
combinadas, 2a, 3a, 4a, 5a, en el espacio de riesgo-rendimiento. Mediante la combinación del 
activo F y del activo “A”, se han obtenido dichas carteras que se encuentra en una línea recta en el 
espacio de riesgo-rendimiento. 
 
En este ejemplo se combinó el activo de riesgo A y el activo libre de riesgo F, para formar carteras. 
Pero sabemos que los inversionistas pueden tener motivos para preferir cualquier otro activo de 
riesgo, además de A, a su vez para poder combinarlo con el activo libre de riesgo F. 
 
De tal manera se puede combinar F y C para lograr crear carteras en línea recta entre FC. Tal 
como se muestra en la siguiente tabla y gráfica: 
 
Tabla de parámetros. 
Activos 
Concepto 
"F" "C" 
‐ 48 ‐ 
Rendimiento 0.06 0.1827 
Riesgo 0 0.1325 
Correlación 
F,C 
0 
 
 
Riesgo-rendimiento de los portafolios de inversión integrados por 
el activo libre de riesgo “F” y el activo riesgoso “C”. 
Portafolio WF WC 
Riesgo 
( 
Rendimiento 
( 
1 1 0 0 0.06 
2 0.8 0.2 0.0265 0.0845 
3 0.6 0.4 0.053 0.1091 
4 0.4 0.6 0.0795 0.1336 
5 0.2 0.8 0.106 0.1581 
6 0 1 0.1325 0.1827 
 
 
 
 
‐ 49 ‐ 
En esta gráfica puede verse que las carteras en la línea FA está dominada por una cartera en la 
línea FC esto significa que los inversionistas preferirían conservar las carteras riesgosas entre FC, 
debido a que se encontrara en mejor situación en cuanto a riesgo-rendimiento. 
 
 
Ejemplo 2. Activo libre de riesgo “F” y activo riesgoso “C”. 
 
En este ejemplo se presenta una cartera que está integrada por un activo libre de riesgo F y un 
activo de riesgo C, la información se presenta en las siguientes tablas y gráficas: 
Tabla de parámetros. 
Activos 
Concepto 
"F" "C" 
Rendimiento 0.06 0,1827 
Riesgo 0.00 0,1325 
Correlación 
F,C 
0 
 
 
Riesgo-rendimiento de los portafolios de inversión integrados por 
el activo libre de riesgo “F” y el activo riesgoso “C”. 
Portafolio WF WC 
Riesgo 
( 
Rendimiento 
( 
1 1 0 0 0.06 
2 0.8 0.2 0.0265 0.0845 
3 0.6 0.4 0.053 0.1091 
4 0.4 0.6 0.0795 0.1336 
5 0.2 0.8 0.106 0.1581 
6 0 1 0.1325 0.1827 
 
 
‐ 50 ‐ 
 
 
En la gráfica se muestra el activo libre de riesgo F (6%), un activo riesgoso 1C y las carteras 
combinadas, 2c, 3c, 4c, 5c, en el espacio de riesgo-rendimiento. Mediante la combinación del 
activo F y del activo C, en la cual se han obtenido dichas carteras que se encuentran en una línea 
recta en el espacio de riesgo-rendimiento. 
 
En este ejemplo se combinó el activo riesgo C y el activo libre de riesgo F, para formar una cartera. 
Pero sabemos que los inversionistas pueden tener motivos para preferir cualquier otro activo de 
riesgo, además de C. 
 
De tal manera se puede combinar F y E para lograr crear carteras en línea recta entre FE. Tal 
como se muestra en las siguientes tablas y gráficas: 
 
 
Tabla de parámetros. 
Activos 
Concepto 
"F" "E" 
‐ 51 ‐ 
Rendimiento 0.06 1.1099 
Riesgo 0 0.5695 
Correlación 
F,E 
0 
 
 
Riesgo-rendimiento de los portafolios de inversión integrados por 
el activo libre de riesgo “F” y el activo riesgoso “E”. 
Portafolio WF WE 
Riesgo 
( 
Rendimiento 
( 
1 1 0 0 0.06 
2 0.8 0.2 0.1139 0.27 
3 0.6 0.4 0.2278 0.48 
4 0.4 0.6 0.3417 0.69 
5 0.2 0.8 0.4556 0.8999 
6 0 1 0.5695 1.1099 
 
 
 
 
‐ 52 ‐ 
 
 
En esta gráfica puede verse que cada cartera en la línea FC está dominada por una cartera en la 
línea FE esto significa que los inversionistas preferirían conservar las carteras riesgosas FE en 
lugar de las carteras FC, debido a que se encontrará en mejor situación en cuanto a riesgo-
rendimiento. 
 
 
Ejemplo 3. Activo libre de riesgo “F” y activo riesgoso “E”. 
 
Un ejemplo más de estos principios se considerará una cartera que estará combinada con el activo 
libre de riesgo F y un activo de riesgo E, los parámetros de dichos activos se muestran a 
continuación: 
 
Tabla de parámetros. 
Activos 
Concepto 
"F" "E" 
Rendimiento 0.06 1.1099 
Riesgo 0 0.5695 
Correlación 
F,E 
0 
 
Riesgo-rendimiento de los portafolios de inversión integrados por 
el activo libre de riesgo “F” y el activo riesgoso “E”. 
Portafolio WF WE 
Riesgo 
( 
Rendimiento 
( 
1 1 0 0 0.06 
2 0.8 0.2 0.1139 0.27 
3 0.6 0.4 0.2278 0.48 
‐ 53 ‐ 
4 0.4 0.6 0.3417 0.69 
5 0.2 0.8 0.4556 0.8999 
6 0 1 0.5695 1.1099 
 
 
 
 
 
En la gráfica se muestra el activo libre de riesgo F (6%), el activo riesgoso 1E y las carteras 
combinadas, 2e, 3e, 4e, 5e, en el espacio de riesgo-rendimiento. Mediante la combinación del 
activo F y del activo C, se han obtenido dichas carteras que se encuentra en una línea recta en el 
espacio de riesgo-rendimiento. 
 
De tal manera se puede combinar F y M para lograr crear carteras en línea FM. Tal como se 
muestra en las siguientes tablas y gráficas: 
 
Tabla de parámetros. 
Concepto Activos 
‐ 54 ‐ 
"F" "M" 
Rendimiento 0.06 0.936 
Riesgo 0 1.234 
Correlación 
F,M 
0 
 
 
Riesgo-rendimiento de los portafolios de inversión integrados por 
el activo libre de riesgo “F” y el activo riesgoso “M”. 
Portafolios WF WM 
Riesgo 
( 
Rendimiento 
( 
1 1 0 0 0.06 
2 0.8 0.2 0.2468 0.2352 
3 0.6 0.4 0.4936 0.4104 
4 0.4 0.6 0.7404 0.5856 
5 0.2 0.8 0.9872 0.7608 
6 0 1 1.234 0.936 
 
 
 
‐ 55 ‐ 
En esta gráfica puede verse que cada cartera en la línea FM está dominada por una cartera en la 
línea FE esto significa que los inversionistas preferirían conservar las carteras riesgosas FE en 
lugar de las carteras FM, debido a que se encontrará en mejor situación en cuanto a riesgo-
rendimiento. 
 
 
 
Ejemplo 4. Activo libre de riesgo “F” y activo riesgoso “M”. 
 
Un ejemplo de estos principios se considerará una cartera que se integra con el activo libre de 
riesgo F y una cartera con riesgo M, los parámetros de dichos activos se muestran a continuación: 
 
 
Tabla de parámetros. 
Activos 
Concepto 
"F" "M" 
Rendimiento 0.06 0.936 
Riesgo 0 1.234 
Correlación 
F,M 
0 
 
 
Riesgo-rendimiento de los portafolios de inversión integrados por 
el activo libre de riesgo “F” y el activo riesgoso “M”. 
Portafolios WF WM 
Riesgo 
( 
Rendimiento 
( 
1 1 0 0 0.06 
2 0.8 0.2 0.2468 0.2352 
3 0.6 0.4 0.4936 0.4104 
‐ 56 ‐ 
4 0.4 0.6 0.7404 0.5856 
5 0.2 0.8 0.9872 0.7608 
6 0 1 1.234 0.936 
 
 
 
 
 
 
En la gráfica se muestra el activo libre de F (6%), el activo riesgoso 1M y las carteras combinadas, 
2M, 3M, 4M, 5M, en el espacio de riesgo-rendimiento. Mediante la combinación del activo F y del 
activo M, se han obtenido dichas carteras que se encuentra en una línea recta en el espacio de 
riesgo-rendimiento entre F y M. 
 
En este ejemplo se mostraron las carteras que se integran en la línea de FM, en la cual los 
inversionistas pueden definir que cartera les conviene aprobar. 
 
‐ 57 ‐ 
De tal manera se puede combinar F y N para lograr crear carteras en línea FN. Tal como se 
muestra en las siguientes tablas y gráficas: 
 
Tabla de parámetros. 
Activos 
Concepto 
‐ 58 ‐ 
"F" "N" 
Rendimiento 0.06 0.0056 
Riesgo 0 0.2739 
Correlación 
F,N 
0 
 
Riesgo-rendimiento de los portafolios de inversión integrados por 
el activo libre de riesgo “F” y el activo riesgoso “N”. 
Portafolios WF WN 
Riesgo 
( 
Rendimiento 
( 
1 1 0 0 0.06 
2 0.8 0.2 0.0548 0.0491 
3 0.6 0.4 0.1095 0.0382 
4 0.4 0.6 0.1643 0.0274 
5 0.2 0.8 0.2191 0.0165 
6 0 1 0.2739 0.0056 
 
 
 
En esta gráfica puede verse que cada cartera en la línea FN está dominada por una cartera en la 
línea FM esto significa que los inversionistas preferirían conservar las carteras riesgosas FM enlugar de las carteras FN, debido a que se encontrará en mejor situación en cuanto a riesgo-
rendimiento. 
 
 
Ejemplo 5. Activo libre de riesgo “F” y activo riesgoso “N”. 
 
 
Otro ejemplo de estos principios se considerará una cartera que se a integrar con un activo libre de 
riesgo F y una cartera con riesgo N, los parámetros de dichos activos se muestran a continuación: 
Tabla de parámetros. 
Activos 
Concepto 
"F" "N" 
Rendimiento 0.06 0.0056 
Riesgo 0 0.2739 
‐ 59 ‐ 
Correlación 
F,N 
0 
 
Riesgo-rendimiento de los portafolios de inversión integrados por 
el activo libre de riesgo “F” y el activo riesgoso “N”. 
Portafolio WF WN 
Riesgo 
( 
Rendimiento 
( 
1 1 0 0 0.06 
2 0.8 0.2 0.0548 0.0491 
3 0.6 0.4 0.1095 0.0382 
4 0.4 0.6 0.1643 0.0274 
5 0.2 0.8 0.2191 0.0165 
6 0 1 0.2739 0.0056 
 
 
 
 
 
En la gráfica se muestra el activo libre de F (6%), el activo riesgoso 1N y las carteras combinadas, 
2n, 3n, 4n, 5n, en el espacio de riesgo-rendimiento. Mediante la combinación del activo F y del 
‐ 60 ‐ 
activo N, se han obtenido dichas carteras que se encuentra en una línea recta en el espacio de 
riesgo-rendimiento. 
 
En este ejemplo se combinó el activo riesgo N el activo libre de riesgo F, para formar cartera. Pero 
sabemos que los inversionistas pueden tener motivos para preferir cualquier otro activo de 
riesgoso, además de N, a su vez para poder combinarlo con el activo libre de riesgo F. 
 
De tal manera se puede combinar F y A para lograr crear carteras en línea FA. Tal como se 
muestra en las siguientes tablas y gráficas: 
 
 
Tabla de parámetros. 
Activos 
Concepto 
"F" "A" 
Rendimiento 0.06 0.2119 
Riesgo 0 0.5782 
Correlación 
F,A 
0 
 
 
Riesgo-rendimiento de los portafolios de inversión integrados por 
el activo libre de riesgo “F” y el activo riesgoso “A”. 
Portafolio WF WA 
Riesgo 
( 
Rendimiento 
( 
1 1 0 0 0.06 
2 0.8 0.2 0.1156 0.0904 
3 0.6 0.4 0.2313 0.1207 
4 0.4 0.6 0.3469 0.1511 
5 0.2 0.8 0.4626 0.1815 
6 0 1 0.5782 0.2119 
‐ 61 ‐ 
 
 
 
 
 
En esta gráfica puede verse que cada cartera en la línea FN está dominada por una cartera en la 
línea FA esto significa que los inversionistas preferirían conservar las carteras riesgosas FA en 
lugar de las carteras FN, debido a que se encontrara en mejor situación en cuanto a riesgo-
rendimiento. 
 
‐ 62 ‐ 
 
 
La mejor alternativa de inversión está determinada por las acciones del activo riesgoso “E”, dado 
que sus acciones no están dominadas por las otras alternativas y por consiguiente todas son 
buenas alternativas de inversión. 
 
 
1.11. CARTERA DE TRES ACTIVOS, CON UN ACTIVO LIBRE DE RIESGO. 
 
 
Los inversionistas están interesados en formar carteras con más de un activo riesgoso, por lo tanto 
ahora formaremos carteras con dos activos riesgosos y un activo libre de riesgo. 
 
Al combinar una cartera de un activo libre de riesgo con dos activos riesgosos, se podrá obtener 
solo un mejor portafolio de riesgo, mismo que todo inversionista racional elegiría para integrar su 
cartera. 
 
‐ 63 ‐ 
El portafolio óptimo de riesgo se encuentra trazando una línea recta tangente a la curva de 
portafolios de riesgo que parte del activo libre de riesgo F. 
 
El riesgo de una cartera formada por el portafolio riesgoso O y el activo libre de riesgo F se calcula 
con la siguiente fórmula: 
 
 
 
 
 = Riesgo del portafolio riesgoso O. 
 
 Riesgo del portafolio riesgoso O. 
 
 
Para el rendimiento esperado se obtiene con la siguiente formula de términos ya conocidos: 
 
 
 
 
Para calculara las proporciones de inversión que corresponden de cada peso a los activos 
riesgosos A y B que forman la cartera O se debe considerar que: 
 
 
 
‐ 64 ‐ 
 
 
 
 
 
Donde: 
 
 
 La proporción de inversión en el activo A en la cartera riesgosa O. 
 
 La proporción de inversión en el activo B en la cartera riesgosa O. 
 
A continuación se muestran algunos ejemplos para tener más claro el uso de estas formulas. 
 
 
Ejemplo 1. 
 
 
En la siguiente tabla se presentan los parámetros de los activos riesgosos A y C, y del activo libre 
de riesgo F: 
 
Tabla de parámetros. 
Activo 
Concepto 
F "A" "C" 
‐ 65 ‐ 
Rendimiento 
esperado 
0.06 0.2119 0.1827 
Riesgo 
esperado 
0 0.5782 0.1325 
Correlación 
F,A 
0 
Correlación 
F,C 
0 
Correlación 
A,C 
-0.704 
A continuación formaremos portafolios de inversión con los dos activos riesgosos A y C, con 
diferencias de veinte centavos por cada peso invertido y obtenemos los siguientes resultados: 
 
 
Riesgo-rendimiento de los portafolios de inversión riesgosos 
integrados por las acciones “A” y “C”. 
Portafolio WA WC 
Riesgo 
( 
Rendimiento 
( 
1 1 0 0.5782 0.2119 
2 0.8 0.2 0.4443 0.2061 
3 0.6 0.4 0.3119 0.2002 
4 0.4 0.6 0.1842 0.1944 
5 (O) 0.2 0.8 0.0857 0.1885 
6 0 1 0.1325 0.1827 
 
 
El portafolio óptimo es el número cinco en el cual se invierte un 20% en A y un 80% en C, como se 
observa en la tabla anterior. 
 
Para ejemplificar mejor se muestra a continuación la grafica con estos resultados: 
 
‐ 66 ‐ 
 
 
Para crear carteras que se encuentren en la línea desde F hasta O en inversionista tiene que 
conservar la cartera riesgosa O y también invertir fondos en un activo libre de riesgo. 
 
 
Tabla de parámetros. 
Concepto F WO (P5) 
Rendimiento 
esperado 
0.06 0.1885 
Riesgo 
esperado 
0 0.0857 
 
 
En la siguiente tabla se muestra los portafolios con su rendimiento y riesgo esperado, así como el 
desglose de la proporción de inversión en O, indicando la proporción que le corresponde al activo 
A y C, así mismo la proporción del activo libre de riesgo F: 
 
‐ 67 ‐ 
 
Riesgo-rendimiento de los portafolios integrados por el activo libre 
de riesgo “F” y el portafolio óptimo riesgoso (P5). 
WO 
‐ 68 ‐ 
WF 
WA WC 
Riesgo Rendimiento 
( ( 
1 0 0 0 0.06 
0.8 0.04 0.16 0.0171 0.0857 
0.6 0.08 0.32 0.0343 0.1114 
0.4 0.12 0.48 0.0514 0.1371 
0.2 0.16 0.64 0.0686 0.1628 
0 0.2 0.8 0.0857 0.1885 
 
 
Ejemplo 2: 
 
 
En la siguiente tabla se presentan los parámetros de los activos riesgosos C y E, y del activo libre 
de riesgo F. 
 
 
Tabla de parámetros. 
Activo 
Concepto 
F "C" "E" 
Rendimiento 
0.06 0.1827 1.1099 
esperado 
Riesgo 
0 0.1325 0.5695 
esperado 
Correlación 
0 
F,C 
Correlación 
0 
F,E 
Correlación 
-0.3876 
C,E 
 
 
A continuación formaremos portafolios de inversión con los dos activos riesgosos C y E, con 
diferencias de veinte centavos por cada peso invertido y obtenemos los siguientes resultados: 
 
 
Riesgo-rendimiento de los portafolios de inversión riesgosos 
integrados por las acciones “C” y “E”. 
‐ 69 ‐ 
Portafolio WC WE 
Rendimiento Riesgo 
( ( 
1 1 0 0.1325 0.1827 
2 (O) 0.8 0.2 0.1219 0.3681 
3 0.6 0.4 0.2102 0.5536 
4 0.4 0.6 0.3248 0.739 
5 0.2 0.8 0.446 0.9245 
6 0 1 0.5695 1.1099 
 
 
El portafolio óptimo es el número dos en el cual se invierte un 80% en C y un 20% en E, como se 
observa en la tabla anterior. 
 
 
 
Para ejemplificar mejor se muestra a continuación la grafica con estos resultados: 
 
 
 
 
 
Para crear carteras que se encuentren en la línea desde F hasta O en inversionista tiene que 
conservar la cartera riesgosa O y también invertir fondos en un activo libre de riesgo. 
 
 
Tabla de parámetros. 
Concepto 
‐ 70 ‐ 
F WO (P2) 
Rendimiento 
0.06 0.3681 
esperado 
Riesgo 
0 0.1219 
esperado 
 
 
En la siguiente tabla se muestra los portafolios con su rendimiento y riesgo esperado, así como el 
desglose de la proporción de inversión en O, indicando la proporción que le corresponde al activo 
C y E, así mismo la proporción del activo F. 
 
 
Riesgo-rendimiento de los portafolios integrados por el activo libre 
de riesgo “F” y el portafolio óptimo riesgoso (P2). 
WO 
‐ 71 ‐ 
WF 
WC WE 
Riesgo Rendimiento 
( ( 
1 0 0 0 0.06 
0.8 0.16 0.04 0.02440.1216 
0.6 0.32 0.08 0.0488 0.1832 
0.4 0.48 0.12 0.0731 0.2449 
0.2 0.64 0.16 0.0975 0.3065 
0 0.8 0.2 0.1219 0.3681 
 
 
Ejemplo 3: 
 
 
En la siguiente tabla se presentan los parámetros de los activos riesgosos E y M, y del activo libre 
de riesgo F. 
 
 
Tabla de parámetros. 
Activo 
Concepto 
F "E" "M" 
Rendimiento 
0.06 1.1099 0.936 
esperado 
Riesgo 
0 0.5695 1.234 
esperado 
Correlación 
0 
F,E 
Correlación 
0 
F,M 
Correlación 
0.5683 
E,M 
 
 
 
 
A continuación formaremos portafolios de inversión con los dos activos riesgosos E y M, con 
diferencias de veinte centavos por cada peso invertido y obtenemos los siguientes resultados: 
 
 
Riesgo-rendimiento de los portafolios de inversión riesgosos 
integrados por las acciones “E” y “W”. 
‐ 72 ‐ 
Portafolio WE WM 
Rendimiento Riesgo 
( ( 
1 (O) 1 0 0.5695 1.1099 
2 0.8 0.2 0.6295 1.075 
3 0.6 0.4 0.743 1.0403 
4 0.4 0.6 0.8898 1.0056 
5 0.2 0.8 1.0561 0.9708 
6 0 1 1.234 0.936 
 
 
El portafolio óptimo es el número uno en el cual se invierte un 100% en E y un 0.00% en M, como 
se observa en la tabla anterior. 
 
Para ejemplificar mejor se muestra a continuación la grafica con estos resultados: 
 
 
 
Para crear carteras que se encuentren en la línea desde F hasta O en inversionista tiene que 
conservar la cartera riesgosa O y también invertir fondos en un activo libre de riesgo. 
 
 
Tabla de parámetros. 
Concepto 
‐ 73 ‐ 
F WO (P1) 
Rendimiento 
0.06 1.1099 
esperado 
Riesgo 
0 0.5695 
esperado 
 
 
En la siguiente tabla se muestra los portafolios con su rendimiento y riesgo esperado, así como el 
desglose de la proporción de inversión en O, indicando la proporción que le corresponde al activo 
E y M, así mismo la proporción del activo F. 
 
 
Riesgo-rendimiento de los portafolios integrados por el activo libre 
de riesgo “F” y el portafolio óptimo riesgoso (P1). 
WO 
‐ 74 ‐ 
WF 
WE WM 
Riesgo Rendimiento 
( ( 
1 0 0 0 0.06 
0.8 0.2 0 0.1139 0.2699 
0.6 0.4 0 0.2278 0.4799 
0.4 0.6 0 0.3417 0.6899 
0.2 0.8 0 0.4556 0.8999 
0 1 0 0.5695 1.1099 
 
 
Ejemplo 4: 
 
 
En la siguiente tabla se presentan los parámetros de los activos riesgosos M y N, y del activo libre 
de riesgo F. 
 
Tabla de parámetros. 
Activo 
Concepto 
F "M" "N" 
Rendimiento 
0.06 0.936 0.0056 
esperado 
Riesgo 0 1.234 0.2739 
esperado 
Correlación 
0 
F,M 
Correlación 
0 
F,N 
Correlación 
-0.4636 
M,N 
 
 
A continuación formaremos portafolios de inversión con los dos activos riesgosos M y N, con 
diferencias de veinte centavos por cada peso invertido y obtenemos los siguientes resultados: 
 
 
Riesgo-rendimiento de los portafolios de inversión riesgosos 
integrados por las acciones “M” y “N”. 
‐ 75 ‐ 
Portafolio WM WN 
Rendimiento Riesgo 
( ( 
1 1 0 1.234 0.936 
2 0.8 0.2 0.963 0.7499 
3 0.6 0.4 0.6964 0.5638 
4 (O) 0.4 0.6 0.4421 0.3778 
5 0.2 0.8 0.2424 0.1917 
6 0 1 0.2739 0.0056 
 
 
El portafolio óptimo es el número cuatro en el cual se invierte un 40% en M y un 60% en N, como 
se observa en la tabla anterior. 
 
 
 
Para ejemplificar mejor se muestra a continuación la grafica con estos resultados: 
 
 
 
 
 
Para crear carteras que se encuentren en la línea desde F hasta O en inversionista tiene que 
conservar la cartera riesgosa O y también invertir fondos en un activo libre de riesgo. 
 
 
Tabla de parámetros. 
Concepto 
‐ 76 ‐ 
F WO (P4) 
Rendimiento 
0.06 0.3778 
esperado 
Riesgo 
0 0.4421 
esperado 
 
 
En la siguiente tabla se muestra los portafolios con su rendimiento y riesgo esperado, así como el 
desglose de la proporción de inversión en O, indicando la proporción que le corresponde al activo 
M y N, así mismo la proporción del activo F. 
 
 
Riesgo-rendimiento de los portafolios integrados por el activo libre 
de riesgo “F” y el portafolio óptimo riesgoso (P4). 
WO 
‐ 77 ‐ 
WF 
WM WN 
Riesgo Rendimiento 
( ( 
1 0 0 0 0.06 
0.8 0.08 0.12 0.0884 0.1236 
0.6 0.16 0.24 0.1768 0.1871 
0.4 0.24 0.36 0.2653 0.2507 
0.2 0.32 0.48 0.3537 0.3142 
0 0.4 0.6 0.4421 0.3778 
 
 
Ejemplo 5: 
 
 
En la siguiente tabla se presentan los parámetros de los activos riesgosos N y A, y del activo libre 
de riesgo F. 
 
 
Tabla de parámetros. 
Activo 
Concepto 
F "N" "A" 
Rendimiento 
0.06 0.0056 0.2119 
esperado 
Riesgo 
0 0.2739 0.5782 
esperado 
Correlación 
0 
F,N 
Correlación 
0 
F,A 
Correlación 
0.6162 
N,A 
 
 
A continuación formaremos portafolios de inversión con los dos activos riesgosos N y A, con 
diferencias de veinte centavos por cada peso invertido y obtenemos los siguientes resultados: 
Riesgo-rendimiento de los portafolios de inversión riesgosos 
integrados por las acciones “N” y “A”. 
‐ 78 ‐ 
Portafolio WN WA 
Rendimiento Riesgo 
( ( 
1 1 0 0.2739 0.0056 
2 0.8 0.2 0.3043 0.0469 
3 0.6 0.4 0.3568 0.0881 
4 0.4 0.6 0.4233 0.1294 
5 0.2 0.8 0.4981 0.1706 
6 (O) 0 1 0.5782 0.2119 
 
 
El portafolio óptimo es el número seis en el cual se invierte un 0.00% en N y un 100% en A, como 
se observa en la tabla anterior. 
 
Para ejemplificar mejor se muestra a continuación la grafica con estos resultados: 
 
 
 
 
Para crear carteras que se encuentren en la línea desde F hasta O en inversionista tiene que 
conservar la cartera riesgosa O y también invertir fondos en un activo libre de riesgo. 
 
Tabla de parámetros. 
Concepto 
‐ 79 ‐ 
F WO (P6) 
Rendimiento 
0.06 0.2119 
esperado 
Riesgo 
0 0.5782 
esperado 
 
 
En la siguiente tabla se muestra los portafolios con su rendimiento y riesgo esperado, así como el 
desglose de la proporción de inversión en O, indicando la proporción que le corresponde al activo 
N y A, así mismo la proporción del activo F. 
 
 
Riesgo-rendimiento de los portafolios integrados por el activo libre 
de riesgo “F” y el portafolio óptimo riesgoso (P6). 
WO 
‐ 80 ‐ 
WF 
WN WA 
Riesgo Rendimiento 
( ( 
1 0 0 0 0.06 
0.8 0 0.2 0.1156 0.0904 
0.6 0 0.4 0.2313 0.1208 
0.4 0 0.6 0.3469 0.1511 
0.2 0 0.8 0.4626 0.1815 
0 0 1 0.5782 0.2119 
 
 
1.12. APALANCAMIENTO DE UNA CARTERA RIESGOSA CON DOS ACTIVOS. 
 
 
El activo libre de riesgo cumple la función de permitir la construcción de portafolios con intercambio 
lineal entre rentabilidad y riesgo. 
 
La incorporación de un activo libre de riesgo presenta la posibilidad de que existan carteras 
acreedoras, que están formadas por préstamos adicionales a la inversión original. 
 
En el Mercado, la cartera juega un papel importante ya que al ser combinada con la cantidad 
deseada de endeudamiento o de préstamos libre de riesgos 
Los inversionistas como las personas físicas no pueden tomar préstamos a la tasa de libre de 
riesgo, en cambio las grandes instituciones en su calidad de personas morales si pueden tomar 
tasas muy cercanas a la tasa libre de riesgo. 
 
La fórmula para calcular carteras apalancadas de dos activos riesgosos con el activo libre de 
riesgo es la siguiente: 
 
 
 
 
 
 La fórmula que se presenta a continuación es la proporción de la inversión en el active libre de 
riesgo es negativa, ya que los prestamos que se adquieren a la tasa libre de riesgo se invierten 
en la cartera riesgosa. 
 
 
 
Con: 
 
 
 
 
Manteniéndose las restricciones presupuestarias largas son las siguientes: 
 
 
 
 
 
‐ 81 ‐ 
 
 
 
A continuación de muestra la fórmula del riesgo definida en el apartado anterior: 
 
 
 
 
 
Ejemplo 1. 
 
 
 Consideramos la situación en el cual el inversionista toma prestamos a la tasa 6% e 
invierte los fondos prestados más el capital original en la cartera de riesgo “O”. 
 
 
Tabla de parámetros. 
Concepto 
‐ 82 ‐ 
F O (P6) 
Rendimiento 
0.06 0.1885 
Esperado 
Riesgo 
0 0.0857 
Esperado 
 
 
El tomar el préstamo a la tasa libre de riesgo ( para invertirlo en una cartera riesgosa, no 
solamente aumentael rendimiento esperado, si no también aumenta el riesgo, esto es debido al 
uso de los prestamos o apalancamientos. 
 
En la tabla siguiente se mostraran los portafolios acreedores integrados por el activo libre de riesgo 
y el portafolio óptimo riesgoso: 
 
Riesgo-rendimiento de los portafolios acreedores integrados por 
el activo libre de riesgo y el portafolio óptimo riesgoso. 
‐ 83 ‐ 
Portafolio WF WO 
Rendimiento Riesgo 
( ( 
PO4 -0.4 1.4 0.12 0.2399 
PO5 -0.6 1.6 0.1371 0.2656 
PO6 -0.8 1.8 0.1543 0.2913 
 
La grafica que se muestra a continuación es el resultado de pedir préstamos a la tasa libre de 
riesgo ( con el fin de invertir dichos fondos en el portafolio óptimo (O) asimismo se muestra 
la cartera apalancada “S”; obsérvese que la cartera “S” se encuentra sobre la línea recta de “F” 
extendida después de “O”. En consecuencia todas las carteras apalancadas caerán sobre la línea, 
con la posibilidad de crear carteras con rendimientos esperados más altos incrementándose 
lógicamente el riesgo de las mismas. 
 
 
Existe solo una cartera riesgosa que no se encuentra dominada; es la cartera “O”, como 
consecuencia todos los inversionistas decidirán conservar esta cartera, algunos inversionistas 
invertirán una parte de sus fondos en “O” y otra en “F”. Otros inversionistas más osados, tomaran 
fondos a la tasa de y los invertirán en “O” junto con su valor original. 
 
Sin embargo todos los inversionistas que mantengan cualquier cantidad de sus fondos en activos 
riesgosos colocaran dichos fondos en la cartera “O”, de lo contario estarán eligiendo una cartera 
dominada, los inversionistas buscan rendimientos esperados mayores y desean el menor riesgo, 
cualquier inversión que no sea de la cartera “O” será irracional. 
 
 
Ejemplo 2. 
 
 Consideramos la situación en el cual el inversionista toma prestamos a la tasa 6 % e 
invierte los fondos prestados mas capital original en la cartera de riesgo “O”. 
 
‐ 84 ‐ 
Tabla de parámetros. 
Concepto 
‐ 85 ‐ 
F O (P3) 
Rendimiento 
0.06 0.3681 
Esperado 
Riesgo 
0 0.1218 
Esperado 
La siguiente tabla muestra las diferentes carteras con su respectivos rendimientos y riesgos 
esperados, estos se calcularon utilizando las formulas desarrolladas anteriormente. 
 
El tomar el préstamo a para invertirlo en una cartera riesgosa, no solamente aumenta el 
rendimiento esperado, si no también aumenta el riesgo, esto es debido al uso de los préstamos o 
apalancamientos. 
 
A continuación se mostrara a detalle la tabla anterior, la cual se desglosa la cartera optima (Wo), 
indicando la proporción al invertir en la acción “C” y “E”. 
 
Riesgo-rendimiento de los portafolios acreedores integrados por 
el activo libre de riesgo y el portafolio óptimo riesgoso. 
Portafolio WF WO 
Rendimiento Riesgo 
( ( 
PO4 -0.4 1.4 0.1705 0.4913 
PO5 -0.6 1.6 0.1949 0.553 
PO6 -0.8 1.8 0.2192 0.6146 
 
La grafica que se muestra a continuación es el resultado de pedir préstamos a con el fin de 
invertir en “O” y también la cartera apalancada, “T”, obsérvese que la cartera “T” se encuentra 
sobre la línea recta de “F” extendida después de “O”. En consecuencia todas las carteras 
apalancadas caerán sobre la línea, con la posibilidad de crear con carteras con rendimientos 
esperados altísimos. 
 
 
Ejemplo 3. 
 
 
 Consideramos la situación en el cual el inversionista toma prestamos a la tasa 6 % e 
invierte los fondos prestados mas capital original en la cartera de riesgo “O”. 
 
 
Tabla de parámetros. 
Concepto 
‐ 86 ‐ 
F O (P1) 
Rendimiento 
0.06 1.1099 
Esperado 
Riesgo 
0 0.5695 
Esperado 
 
 
El tomar el préstamo a para invertirlo en una cartera riesgosa, no solamente aumenta el 
rendimiento esperado, si no también aumenta el riesgo, esto es debido al uso de los préstamos o 
apalancamientos. 
 
A continuación se mostrara a detalle la tabla anterior, la cual se desglosa la cartera optima (Wo), 
indicando la proporción al invertir en la acción “E” y “M”. 
 
La siguiente tabla muestra las diferentes carteras con su respectivos rendimientos y riesgos 
esperados, estos se calcularon utilizando las formulas desarrolladas anteriormente. 
 
 
Riesgo-rendimiento de los portafolios acreedores integrados por el 
activo libre de riesgo y el portafolio óptimo riesgoso. 
‐ 87 ‐ 
Portafolio WF WO 
Rendimiento Riesgo 
( ( 
PO4 -0.4 1.4 0.7973 1.5299 
PO5 -0.6 1.6 0.9112 1.7398 
PO6 -0.8 1.8 1.0251 1.9498 
 
 
La gráfica que se muestra a continuación es el resultado de pedir préstamos a con el fin de 
invertir en “O” y también la cartera apalancada, “U”, obsérvese que la cartera “U” se encuentra 
sobre la línea recta de “F” extendida después de “O”. En consecuencia todas las carteras 
apalancadas caerán sobre la línea, con la posibilidad de crear con carteras con rendimientos 
esperados altísimos. 
 
 
 
 
 
Ejemplo 4. 
 
 
 Consideramos la situación en el cual el inversionista toma prestamos a la tasa 6 % e 
invierte los fondos prestados mas capital original en la cartera de riesgo “O”. 
 
 
Tabla de parámetros. 
Concepto F O (P1) 
Rendimiento 
Esperado 
0.06 0.3778 
Riesgo 
Esperado 
0 0.4421 
‐ 88 ‐ 
El tomar el préstamo a para invertirlo en una cartera riesgosa, no solamente aumenta el 
rendimiento esperado, si no también aumenta el riesgo, esto es debido al uso de los préstamos o 
apalancamientos. 
 
A continuación se mostrara a detalle la tabla anterior, la cual se desglosa la cartera óptima (Wo), 
indicando la proporción al invertir en la acción “M” y “N”. 
 
La siguiente tabla muestra las diferentes carteras con su respectivos rendimientos y riesgos 
esperados, estos se calcularon utilizando las formulas desarrolladas anteriormente. 
 
Riesgo-rendimiento de los portafolios acreedores integrados por 
el activo libre de riesgo y el portafolio óptimo riesgoso. 
Rendimiento Riesgo 
Portafolio WF WO 
( ( 
PO4 
‐ 89 ‐ 
-0.4 1.4 0.6189 0.5049 
PO5 -0.6 1.6 0.7074 0.5685 
PO6 -0.8 1.8 0.7958 0.632 
 
La gráfica que se muestra a continuación es el resultado de pedir préstamos a con el fin de 
invertir en “O” y también la cartera apalancada, “V”, obsérvese que la cartera “ V ” se encuentra 
sobre la línea recta de “F” extendida después de “O”. En consecuencia todas las carteras 
apalancadas caerán sobre la línea, con la posibilidad de crear carteras con rendimientos 
esperados más altos. 
 
 
Ejemplo 5. 
 
 
 Consideramos la situación en el cual el inversionista toma prestamos a la tasa 6 % e 
invierte los fondos prestados mas capital original en la cartera de riesgo “O”. 
 
 
Tabla de parámetro. 
Concepto 
‐ 90 ‐ 
F O (P6) 
Rendimiento 
0.06 0.2119 
Esperado 
Riesgo 
0 0.5782 
Esperado 
 
 
La siguiente tabla muestra las diferentes carteras con su respectivos rendimientos y riesgos 
esperados, estos se calcularon utilizando las formulas desarrolladas anteriormente. 
 
El tomar el préstamo a para invertirlo en una cartera riesgosa, no solamente aumenta el 
rendimiento esperado, si no también aumenta el riesgo, esto es debido al uso de los préstamos o 
apalancamientos. 
 
A continuación se mostrara a detalle la tabla anterior, la cual se desglosa la cartera optima (Wo), 
indicando la proporción al invertir en la acción “N” y “A”. 
 
 
Riesgo-rendimiento de los portafolios acreedores integrados por 
el activo libre de riesgo y el portafolio óptimo riesgoso. 
‐ 91 ‐ 
Portafolio WF WO 
Rendimiento Riesgo 
( ( 
PO4 -0.4 1.4 0.8095 0.2727 
PO5 -0.6 1.6 0.9251 0.303 
PO6 -0.8 1.8 1.0408 0.3334 
 
 
La gráfica que se muestra a continuación es el resultado de pedir préstamos a con el fin de 
invertir en “O” y también la cartera apalancada, “Y”, obsérvese que la cartera “ Y ” se encuentra 
sobre la línea recta de “F” extendida después de “O”. En consecuenciatodas las carteras 
apalancadas caerán sobre la línea, con la posibilidad de crear con carteras con rendimientos 
esperados altísimos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
‐ 92 ‐ 
‐ 93 ‐ 
 
 
CAPÍTULO 2. LA BOLSA MEXICANA DE VALORES. 
 
 
2.1. EL SISTEMA BURSÁTIL MEXICANO. 
 
 
Es el conjunto de organizaciones, tanto públicas como privadas, a través de las cuales se regulan y 
llevan a cabo actividades financieras, las cuales captan, administran, regulan y dirigen los recursos 
financieros, mediante títulos-valor que son negociadas en la Bolsa Mexicana de Valores, de 
acuerdo a lo dispuesto con la Ley del Mercado de Valores. 
 
Dichas operaciones son llevadas a cabo por los intermediarios bursátiles, quienes se encuentran 
inscritos en la Sección de Intermediarios del Registro Nacional de Valores e Intermediarios. 
 
La operación se lleva a cabo entre oferentes y demandantes, estos intercambian los recursos 
monetarios, obteniendo los primeros un rendimiento pagando los segundos un costo financiero y 
ambas partes se contactan a través de casas y agentes de bolsa. 
 
Las operaciones financieras se documentan mediante títulos-valor que son negociados en la Bolsa 
Mexicana de Valores, mediante el sistema automatizado, al cual están conectados las casas de 
bolsa y los propios agentes intermediarios. Todo ello supervisado por la Comisión Nacional 
Bancaria y de Valores, quién regula la realización de estas actividades, reglamentadas en la Nueva 
Ley del Mercado de Valores. 
 
‐ 94 ‐ 
Las empresas que requieren recursos (dinero) para financiar su operación o proyectos de 
expansión, pueden obtenerlo a través del mercado bursátil, mediante la emisión de valores 
(acciones, obligaciones, papel comercial, etc.) que son puestos a disposición de los inversionistas 
(colocados) e intercambiados (comprados y vendidos) en la BMV, en un mercado transparente de 
libre competencia y con igualdad de oportunidades para todos sus participantes. 
 
 
2.2. BOLSA MEXICANA DE VALORES. 
 
 
Institución privada, constituida como Sociedad Anónima Bursátil de Capital Variable, que tiene por 
objeto facilitar las transacciones con valores y procurar el desarrollo del mercado respectivo; 
establecer locales, instalaciones y mecanismos que faciliten las relaciones y operaciones de 
valores; proporcionar y mantener a disposición del público, información sobre los valores inscritos 
en la bolsa, los listados del sistema de cotizaciones y las operaciones que en ella se realicen; velar 
por el estricto apego de la actividad de sus socios a las disposiciones que les sean aplicables; 
certificar las cotizaciones en bolsa; y realizar aquellas otras actividades análogas o 
complementarias a las anteriores que autorice la Secretaría de Hacienda y Crédito Público. 
 
La Ley del Mercado de Valores establece que es facultad del Estado, por medio de la Secretaría 
de Hacienda y Crédito Público, otorgar la concesión para el funcionamiento de las Bolsas de 
Valores. En la actualidad la única autorización vigente es la de la Bolsa Mexicana de Valores. 
 
Derivado del seguimiento de las tendencias mundiales y de los cambios que se han dado en la 
legislación, la BMV concluyó con el proceso de desmutualización, convirtiéndose en una empresa 
cuyas acciones son susceptibles de negociarse en el mercado de valores bursátil, llevando a cabo 
el 13 de junio de 2008 la Oferta Pública Inicial de sus acciones representativas de su capital social. 
 
 
‐ 95 ‐ 
2.3. FUNCIONES. 
 
 
La Bolsa Mexicana de Valores, foro en el que se llevan a cabo las operaciones del mercado de 
valores organizado en México, siendo su objeto el facilitar las transacciones con valores y procurar 
el desarrollo del mercado, fomentar su expansión y competitividad, a través de las siguientes 
funciones: 
 
• Establecer los locales, instalaciones y mecanismos que faciliten las relaciones y 
operaciones entre la oferta y demanda de valores, títulos de crédito y demás documentos 
inscritos en el Registro Nacional de Valores (RNV), así como prestar los servicios 
necesarios para la realización de los procesos de emisión, colocación en intercambio de 
los referidos valores; 
 
• Proporcionar, mantener a disposición del público y hacer publicaciones sobre la 
información relativa a los valores inscritos en la BMV y los listados en el Sistema 
Internacional de Cotizaciones de la propia Bolsa, sobre sus emisores y las operaciones 
que en ella se realicen; 
 
• Establecer las medidas necesarias para que las operaciones que se realicen en la BMV 
por las casas de bolsa, se sujeten a las disposiciones que les sean aplicables; 
• Expedir normas que establezcan estándares y esquemas operativos y de conducta que 
promuevan prácticas justas y equitativas en el mercado de valores, así como vigilar su 
observancia e imponer medidas disciplinarias y correctivas por su incumplimiento, 
obligatorias para las casas de bolsa y emisoras con valores inscritos en la BMV. 
 
 
2.4. PARTICIPANTES. 
 
 
‐ 96 ‐ 
Para realizar la oferta pública y colocación de los valores, la empresa acude a una casa de bolsa 
que los ofrece (mercado primario) al público inversionista en el ámbito de la BMV. De ese modo, 
los emisores reciben los recursos correspondientes a los valores que fueron adquiridos por los 
inversionistas. 
 
Una vez colocados los valores entre los inversionistas en el mercado bursátil, éstos pueden ser 
comprados y vendidos (mercado secundario) en la BMV, a través de una casa de bolsa. 
 
El público inversionista canaliza sus órdenes de compra o venta de acciones a través de un 
promotor de una casa de bolsa. Estos promotores son especialistas registrados que han recibido 
capacitación y han sido autorizados por la CNBV. Las órdenes de compra o venta son entonces 
transmitidas de la oficina de la casa de bolsa al mercado bursátil a través del sofisticado Sistema 
Electrónico de Negociación, Transacción, Registro y Asignación (BMV-SENTRA Capitales) donde 
esperarán encontrar una oferta igual pero en el sentido contrario y así perfeccionar la operación. 
 
 
2.4.1. ENTIDADES EMISORAS. 
 
 
Son las entidades económicas que requieren de financiamiento para la realización de diversos 
proyectos. Además de requerir de financiamiento, cumplen con los requisitos de inscripción y 
mantenimiento establecidos por las autoridades para garantizar el sano desempeño del mercado. 
 
Son las sociedades anónimas, organismos públicos, entidades federativas, municipios y entidades 
financieras cuando actúen en su carácter de fiduciarias que, cumpliendo con las disposiciones 
establecidas y siendo representadas por una casa de bolsa, ofrecen al público inversionista, en el 
ámbito de la BMV, valores como acciones, títulos de deuda y obligaciones. 
 
‐ 97 ‐ 
En el caso de la emisión de acciones, las empresas que deseen realizar una oferta pública 
deberán cumplir con los requisitos de listado y, posteriormente, con los requisitos de 
mantenimiento establecidos por la BMV; además de las disposiciones de carácter general, 
contenidas en las circulares emitidas por la CNBV. 
 
Entre éstos se tienen: 
 
• Empresas Industriales, Comerciales y de Servicios. 
• Instituciones Financieras. 
• Gobierno Federal 
• Gobiernos Estatales. 
• Instituciones u Organismos Gubernamentales 
 
 
2.4.2. INTERMEDIARIOS BURSÁTILES. 
 
 
Son las casas de bolsa autorizadas para actuar como intermediarios en el mercado de valores y 
realizan, entre otras, las siguientes actividades: 
 
• Realizar operaciones de compraventa de valores. 
 
• Brindar asesoría a las empresas en la colocación de valores y a los inversionistas en la 
constitución de sus carteras. 
 
• Recibir fondos por concepto de operaciones con valores, y realizar transacciones con 
valores a través del los sistema BMV SENTRA Capitales, por medio de sus operadores. 
 
Los operadores de las casas de