OPTIMIZACIAÔÇN-DEL-DISEAÔÇÿO-DE-UN-MUELLE-MULTIHOJAS-MEDIANTE-ANAüLISIS-NUMAÔÇRICOS-Y-EXPERIMENTALES

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
 
 
 
 ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA 
 
 
 
 SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN 
 
 
 
 
 
OPTIMIZACIÓN DEL DISEÑO DE UN MUELLE 
MULTIHOJAS MEDIANTE ANÁLISIS NUMÉRICOS Y 
EXPERIMENTALES 
 
 
 
 
 
T E S I S 
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE 
MAESTRO EN CIENCIAS 
C O N E S P E C I A L I D A D E N 
I N G E N I E R Í A M E C Á N I C A 
P R E S E N T A 
 
ING. ABRAHAM LICONA MAYETT 
 
 DIRECTOR: DR. JOSÉ MARTÍNEZ TRINIDAD 
 
 
 
 
 
 
 
MÉXICO D.F. 2008 
 
 
 
OPTIMIZACIÓN DEL DISEÑO DE UN MUELLE MULTIHOJAS MEDIANTE ANÁLISIS NUMÉRICOS Y 
EXPERIMENTALES 
 
ABRAHAM LICONA MAYETT 1 
 
 
 
CONTENIDO 
 
ÍNDICE 
 
INDICE DE FIGURAS 
 
ÍNDICE DE TABLAS 
 
RESUMEN 
 
ABSTRACT 
 
OBJETIVO 
 
JUSTIFICACIÓN 
 
INTRODUCCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPTIMIZACIÓN DEL DISEÑO DE UN MUELLE MULTIHOJAS MEDIANTE ANÁLISIS NUMÉRICOS Y 
EXPERIMENTALES 
 
ABRAHAM LICONA MAYETT 2 
 
ÍNDICE 
 
CAPÍTULO I.- GENERALIDADES DE LOS MUELLES MULTI-HOJAS 
 
1.1.- SUSPENSIÓN TIPO HOTCHKISS 
 
 1.1.1.- FUNCIÓN Y APLICACIÓN 
 1.1.2.- FLEXIBILIDAD 
 1.1.3.- LOCALIZACIÓN 
 
1.2.- MUELLES MULTI-HOJAS 
 
 1.2.1.- CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES 
 1.2.2.- CARACTERÍSTICAS FÍSICAS Y TÉRMINOS DESCRIPTIVOS 
1.2.2.1.- LÍNEAS Y ALTURAS 
1.2.2.2.- COMPONENTES DE UN MUELLE MULTI HOJAS 
 1.2.3.- MATERIALES Y PROCESOS DE MANUFACTURA 
 1.2.4.- CLASIFICACIÓN DE LOS MUELLES MULTI-HOJAS 
 
CAPÍTULO II.- MARCO TEÓRICO 
 
2.1.- ANÁLISIS DE ESFUERZOS DE MUELLES MULTI-HOJAS 
 
2.1.1.- MÉTODO DE EXPANSIÓN (CURVATURA COMÚN) 
2.1.2.- MÉTODO DE CONTACTO EN LOS EXTREMOS 
(PUNTOS DE CONTACTO) 
 
2.2.- TEORÍA DE FALLA 
 
2.2.1.- TEORÍA DE LA ENERGÍA DE DISTORCIÓN 
 DE VON MISES 
 
2.3.- VIBRACIONES 
 
2.3.1.- PERIODO 
2.3.2.- MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 
2.3.3.- FRECUENCIA NATURAL 
2.3.4.- VIBRACIÓN LIBRE O TRANSITORIA 
2.3.5.- VIBRACIÓN FORZADA 
2.3.6.- AMORTIGUAMIENTO 
2.3.7.- RESONANCIA 
2.3.8.- SISTEMA DE UN SOLO GRADO DE LIBERTAD 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
16 
16 
17 
 
18 
 
18 
21 
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45 
 
 
45 
 
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48 
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49 
50 
50 
 
 
 
 
OPTIMIZACIÓN DEL DISEÑO DE UN MUELLE MULTIHOJAS MEDIANTE ANÁLISIS NUMÉRICOS Y 
EXPERIMENTALES 
 
ABRAHAM LICONA MAYETT 3 
 
2.4.- FATIGA 
 
2.4.1.- GRÁFICA ESFUERZO-NÚMERO DE CICLOS (S-N) 
2.4.2.- ECUACIONES DE LA CURVA S-N 
 
CAPÍTULO III.- EVALUACIÓN DE RESULTADOS EXPERIMENTALES 
 
3.1.- CONDICIONES EXPERIMENTALES 
 
3.1.1.- CONDICIONES DEL ENSAYO 
3.1.2.- DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE 
3.1.3.- PROPIEDADES DE LOS MATERIALES 
 3.1.4.- CONDICIONES DE CARGA 
 
3.2.- PROCEDIMIENTO DEL ENSAYO 
 
3.2.1.- PROBETAS 
3.2.2.- DESCRIPCIÓN DE LA PRUEBA 
 
3.3.- ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 
 
3.3.1.- ENSAYO DE FATIGA 
3.3.2.- ENSAYO DE CARGA ESTÄTICA 
 
CAPÍTULO IV.- ANÁLISIS NUMÉRICO 
 
4.1.- MODELO I: GEOMETRÍA REAL 
 
4.1.1.- CONSTRUCCIÓN DE LA GEOMETRÍA 
4.1.2.- ANÁLISIS ESTÁTICO ESTRUCTURAL EN ANSYS 
 WORKBENCH 
 
4.2.- MODELO II: GEOMETRÍA SIMPLIFICADA 
 
4.2.1.- CONSTRUCCIÓN DE LA GEOMETRÍA 
4.2.2.- ANÁLISIS ESTÁTICO ESTRUCTURAL EN ANSYS 
 WORKBENCH 
4.2.3.- ANÁLISIS ESTÁTICO ESTRUCTURAL EN ANSYS 
 
4.3.- MODELO III: GEOMETRÍA OPTIMIZADA 
 
4.3.1.- CONSTRUCCIÓN DE LA GEOMETRÍA 
4.3.2.- ANÁLISIS ESTÁTICO ESTRUCTURAL EN ANSYS 
 WORKBENCH 
4.3.3.- ANÁLISIS ESTÁTICO ESTRUCTURAL EN ANSYS 
 
50 
 
51 
53 
 
 
 
56 
 
56 
57 
58 
58 
 
58 
 
59 
59 
 
59 
 
59 
60 
 
 
 
63 
 
63 
 
65 
 
70 
 
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82 
 
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OPTIMIZACIÓN DEL DISEÑO DE UN MUELLE MULTIHOJAS MEDIANTE ANÁLISIS NUMÉRICOS Y 
EXPERIMENTALES 
 
ABRAHAM LICONA MAYETT 4 
 
CAPÍTULO V.- ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE LOS RESULTADOS 
 
5.1.- MODELO I: GEOMETRÍA REAL 
 
5.1.1.- ANÁLISIS ESTÁTICO ESTRUCTURAL EN ANSYS 
 WORKBENCH 
5.1.2.- ANÁLISIS DE FATIGA 
5.1.3.- ANÁLISIS DE OPTIMIZACIÓN DE FORMA 
5.1.4.- ANÁLISIS MODAL 
 
5.2.- MODELO II: GEOMETRÍA SIMPLIFICADA 
 
5.2.1.- ANÁLISIS ESTÁTICO ESTRUCTURAL EN ANSYS 
 WORKBENCH 
5.2.2.- ANÁLISIS DE FATIGA 
5.2.3.- ANÁLISIS DE OPTIMIZACIÓN DE FORMA 
5.2.4.- ANÁLISIS MODAL 
5.2.5.- ANÁLISIS ESTÁTICO ESTRUCTURAL EN ANSYS 
 
5.3.- MODELO III: GEOMETRÍA OPTIMIZADA 
 
5.3.1.- ANÁLISIS ESTÁTICO ESTRUCTURAL EN ANSYS 
 WORKBENCH5.3.2.- ANÁLISIS DE FATIGA 
5.3.3.- ANÁLISIS DE OPTIMIZACIÓN DE FORMA 
5.3.4.- ANÁLISIS MODAL 
5.3.5.- ANÁLISIS ESTÁTICO ESTRUCTURAL EN ANSYS 
 
5.4.- ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 
 
CONCLUSIONES 
 
TRABAJO A FUTURO 
 
REFERENCIAS 
 
BIBLIOGRAFÍA 
 
ANEXOS 
 
ANEXO A 
ANEXO B 
ANEXO C 
ANEXO D 
ANEXO E 
 
 
 
95 
 
 
95 
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OPTIMIZACIÓN DEL DISEÑO DE UN MUELLE MULTIHOJAS MEDIANTE ANÁLISIS NUMÉRICOS Y 
EXPERIMENTALES 
 
ABRAHAM LICONA MAYETT 5 
 
ÍNDICE DE FIGURAS 
 
Figura 1.- Proceso de optimización de un diseño 
Figura 1.1.- Suspensión tipo Hotchkiss 
Figura 1.2.- Suspensión de eje sólido 
Figura 1.3.- Vista lateral de una suspensión con un muelle multi-hojas y un eje sólido. 
Figura 1.4.- Las fuerzas de Aceleración a) y Frenado b) deforman al muelle multi-hojas en 
forma de S 
Figura 1.5 a) Adición de una barra anti-trampa para guiar el eje sólido. b) Modelo cinemática 
equivalente. 
Figura 1.6.- Gráfica carga-altura típica de un muelle multi-hojas. 
Figura 1.7.- Líneas y ángulos de un muelle multi-hojas 
Figura 1.8.- Términos descriptivos 
Figura 1.9.- Corte Recto 
Figura 1.10.- Despunte 
Figura 1.11.- Despalme a) y Despalme con Recorte b) 
Figura 1.12.- Tipos de roleos 
Figura 1.13.- Mordaza central. 
Figura 1.14.- Eslabón o columpio 
Figura 1.15.- Tipos de abrazaderas 
Figura 1.16.- Muelle convencional 
Figura 1.17.- Constante elástica de un muelle convencional 
Figura 1.18.- Muelle progresiva de varias estaciones 
Figura 1.19.- Constante elástica de un muelle progresivo de varias estaciones 
Figura 1.20.- Muelle con constante elástica variable 
Figura 1.21.- Constante elástica variable 
Figura 2.1.- Diagrama de cuerpo libre de un muelle multi-hojas 
Figura 2.2.- Idealización de un muelle multi-hojas para aproximarse a una viga en voladizo 
Figura 2.3.- Diagrama de cuerpo libre de la viga en Cantilever 
Figura 2.4.- Curva S-N típica 
Figura 2.5.- Características de la curva S-N 
Figura 3.1.- Esquema del banco de pruebas para muelles multi-hojas 
Figura 3.2.- Ensayo de fatiga de un muelle multi-hojas 
Figura 3.3.- Diagrama de cuerpo libre de un muelle multi-hojas 
Figura 3.4.- Diagrama de cuerpo libre equivalente para un muelle multi-hojas 
Figura 3.5.- Gráfica carga-altura para el muelle multi-hojas. 
Figura 4.1- Detalles de los componentes de la geometría del MODELO I: a) Barrenos en los 
Extremos de la Hoja 02, b) Superficie inferior modificada de la Hoja 02, c) Inserto 9L34-
5586-AA con vástago modificado, d) Inserto 9L34-5586-AA montado entre las Hojas 01 y 02. 
Figura 4.2.- Geometría del MODELO I: a) Vista isométrica, b) Vista lateral. 
Figura 4.3.- Vista superior a) e inferior b) del ensamble del muelle multi hojas 
Figura 4.4.- Cargas aplicadas en los roleos delantero a) y trasero b) 
Figura 4.5.- Restricciones de desplazamiento en los barrenos centrales a) y superficie inferior 
de la hoja 3 
Figura 4.6.- Modelo del muelle multi-hojas con cargas y restricciones. 
Figura 4.7.- Modelo del muelle multi-hojas mallado. 
OPTIMIZACIÓN DEL DISEÑO DE UN MUELLE MULTIHOJAS MEDIANTE ANÁLISIS NUMÉRICOS Y 
EXPERIMENTALES 
 
ABRAHAM LICONA MAYETT 6 
 
Figura 4.8.- Extremos de la geometría simplificado sin roleos en los extremos. 
Figura 4.9.- Geometría simplificada, vista superior a) e inferior b). 
Figura 4.10.- Extremos delantero a) y trasero b) de la geometría simplificada, sin roleos. 
Figura 4.11.- Restricción de desplazamiento en los barrenos. 
Figura 4.12.- Carga aplicada al centro del muelle multi-hojas. 
Figura 4.13.- Modelo del muelle multi-hojas con cargas y restricciones. 
Figura 4.14.- Modelo del muelle multi-hojas mallado. 
Figura 4.15.- Detalles del mallado del modelo en el centro a) y en los extremos b). 
Figura 4.16.- Vista superior a) e inferior b) del ensamble del muelle multi hojas. 
Figura 4.17.- Cargas aplicadas en los roleos delantero a) y trasero b) 
Figura 4.18.- Restricciones de desplazamiento en los barrenos centrales a) y superficie inferior 
de la hoja 3. 
Figura 4.19.- Modelo del muelle multi-hojas con cargas y restricciones a) vista superior, b) 
vista inferior. 
Figura 4.20.- Geometría optimizada de la Hoja 03, la cual ha sido ampliada en su longitud y 
reducida en su espesor. 
Figura 4.21.- Geometría simplificada, vista superior a) e inferior b). 
Figura 4.22.- Extremos delantero a) y trasero b) de la geometría simplificada, sin roleos y 
simplemente apoyados sobre una arista. 
Figura 4.23.- Restricción de desplazamiento en los barrenos, solo se permite el desplazamiento 
vertical. 
Figura 4.24.- Carga aplicada al centro del muelle multi-hojas. 
Figura 4.25.- Modelo del muelle multi-hojas con cargas y restricciones. 
Figura 4.26.- Modelo del muelle multi-hojas mallado. 
Figura 4.27.- Detalles del mallado del modelo en el centro a) y en los extremos b). 
Figura 4.28.- Vista superior a) e inferior b) del ensamble del muelle multi hojas. 
Figura 4.29.- Cargas aplicadas en los roleos delantero a) y trasero b) 
Figura 4.30.- Restricciones de desplazamiento en los barrenos centrales a) y superficie inferior 
de la hoja 3. 
Figura 4.31.- Modelo del muelle multi-hojas con cargas y restricciones a) vista superior, b) 
vista inferior. 
Figura 5.1.- Esfuerzo equivalente (Von Mises); a) vista superior, b) vista inferior. 
Figura 5.2.- Deformación total; a) vista superior, b) vista inferior. 
Figura 5.3.- Daño acumulado. 
Figura 5.4.- Detalle del daño acumulado en la sección media del ensamble. 
Figura 5.5.- Factor de seguridad del muelle multi-hojas 
Figura 5.6.- Vista de la sección longitudinal del muelle multi-hojas 
Figura 5.7.- Vista de la sección longitudinal del muelle multi-hojas, sección delantera media. 
Figura 5.8.- Vista de la sección longitudinal del muelle multi-hojas, sección delantera extrema. 
Figura 5.9.- Material sugerido para ser removido; a) vista superior, b) vista inferior. 
Figura 5.10.- Modos de vibración del muelle multi-hojas. 
Figura 5.11.- Esfuerzo equivalente (Von Mises); a) vista superior, b) vista inferior. 
Figura 5.12.- Deformación total; a) vista superior, b) vista inferior. 
Figura 5.13.- Daño acumulado. 
Figura 5.14.- Detalle del daño acumulado en la sección media del ensamble. 
Figura 5.15.- Factor de seguridad del muelle multi-hojas 
OPTIMIZACIÓN DEL DISEÑO DE UN MUELLE MULTIHOJAS MEDIANTE ANÁLISIS NUMÉRICOS Y 
EXPERIMENTALES 
 
ABRAHAM LICONA MAYETT 7 
 
Figura 5.16.- Vista de la sección longitudinal del muelle multi-hojas, sección central. 
Figura 5.17.- Vista de la sección longitudinal del muelle multi-hojas, sección delantera media. 
Figura 5.18.- Vista de la sección longitudinal del muelle multi-hojas, sección delantera 
extrema. 
Figura 5.19.- Material sugerido para ser removido; a) vista superior, b) vista inferior. 
Figura 5.20.- Modos de vibración del muelle multi-hojas. 
Figura 5.21.- Esfuerzo equivalente (Von Mises); a) vista superior, b) vista inferior. 
Figura 5.22.- Esfuerzo equivalente (Von Mises) en la sección central; a) vista superior b) vista 
inferior. 
Figura 5.23.- Deformación total; a) vista superior, b) vista inferior. 
Figura 5.24.- Deformación total en la sección central; a) vista superior, b) vista inferior. 
Figura 5.25.- Deformacióntotal en el extremo; a) vista superior, b) vista inferior. 
Figura 5.26.- Vista lateral de la deformación total; a) general, b) en el extremo. 
Figura 5.27.- Esfuerzo equivalente (Von Mises); a) vista superior, b) vista inferior. 
Figura 5.28.- Deformación total; a) vista superior, b) vista inferior. 
Figura 5.29.- Daño acumulado. 
Figura 5.30.- Detalle del daño acumulado en la sección media del ensamble. 
Figura 5.31.- Factor de seguridad del muelle multi-hojas 
Figura 5.32.- Vista de la sección longitudinal del muelle multi-hojas, sección central. 
Figura 5.33.- Vista de la sección longitudinal del muelle multi-hojas, sección delantera media. 
Figura 5.34.- Vista de la sección longitudinal del muelle multi-hojas, sección delantera 
extrema. 
Figura 5.35.- Material sugerido para ser removido, a) vista superior, b) vista inferior. 
Figura 5.36.- Modos de vibración del muelle multi-hojas. 
Figura 5.37.- Esfuerzo equivalente (Von Mises); a) vista superior, b) vista inferior. 
Figura 5.38.- Esfuerzo equivalente (Von Mises) en la sección central; a) vista superior, b) vista 
inferior. 
Figura 5.39.- Deformación total; a) vista superior, b) vista inferior. 
Figura 5.40.- Deformación total en la sección central; a) vista superior, b) vista inferior. 
Figura 5.41.- Deformación total en el extremo; a) vista superior, b) vista inferior. 
 
ÍNDICE DE TABLAS 
 
Tabla 1.1.- Propiedades típicas medidas de muelles multi-hojas. 
Tabla 3.1.- Propiedades mecánicas de los materiales. 
Tabla 3.2.- Condiciones de carga. 
Tabla 3.4.- Resultados del ensayo de fatiga del muelle multi-hojas. 
Tabla 4.1.- Elementos omitidos en el Modelo I del muelle multi-hojas. 
Tabla 5.1.- Resultados de los desplazamientos máximos según los diferentes ensayos y 
modelos realizados. 
Tabla 5.2.- Frecuencia de los diferentes modos de vibración de la Geometría I. 
Tabla 5.3.- Frecuencia de los diferentes modos de vibración de la Geometría II. 
Tabla 5.4.- Frecuencia de los diferentes modos de vibración de la Geometría III. 
 
 
 
OPTIMIZACIÓN DEL DISEÑO DE UN MUELLE MULTIHOJAS MEDIANTE ANÁLISIS NUMÉRICOS Y 
EXPERIMENTALES 
 
ABRAHAM LICONA MAYETT 8 
 
RESUMEN 
 
En la industria de los muelles multi-hojas resulta muy complicado obtener un diseño cuyo 
desempeño sea congruente en su totalidad con la teoría de diseño que ha sido empleada para 
su desarrollo. Esto se debe en parte a que las bases de la teoría de diseño de los muelles multi-
hojas son ecuaciones elementales, método de prueba y error y teoría simple de vigas y por otra 
parte a que existen limitaciones de diversa naturaleza que lo hacen virtualmente imposible. 
Estas limitaciones pueden tener su origen en el proceso de manufactura, los materiales, los 
costos o las herramientas empleadas durante el proceso de fabricación y dan lugar a productos 
que presentan ciertos problemas como pueden ser contactos no deseados entre sus 
componentes, ruido, calentamiento o inestabilidad durante la operación. Este trabajo busca 
optimizar el diseño de un modelo específico de muelle multi-hojas que presenta los problemas 
antes mencionados. 
Dicha optimización se realizará mediante el empleo combinado de herramientas de Diseño e 
Ingeniería Asistidas por Computadora (conocidas también como CAD-CAE) y el Análisis 
Experimental de Esfuerzos. De tal manera que sea posible alcanzar una mayor correlación de 
los resultados numérico-experimentales con los teóricos. Así como también lograr un mejor 
aprovechamiento de los recursos disponibles. 
 
 El presente trabajo se realiza de manera conjunta con la empresa SAN LUIS RASSINI 
– PIEDRAS NEGRAS, e involucra información que por motivos de protección intelectual e 
industrial requiere de confidencialidad. 
 
ABSTRACT 
 
In the multi-leaf spring industry results very hard to achieve a design which fully matches the 
theory employed for its development. This is partially because the multi-leaf spring design 
theory bases are elemental equations, trial and error method and simple beam theory, and by 
other side there are diverse nature limitations which make it virtually impossible. These 
limitations may have its origin in the machine process, materials, costs or tools employed 
during the manufacture process and give place to problems like not desired contacts between 
its components, noise, heating or instability during operation. This work looks for optimize a 
specific multi-leaf spring design which presents some of the problems listed before. This 
optimization will be made employing both Computer Aid Engineering and Design tools and 
Experimental Stress Analyses. By this way, it would be possible to reach good agreement 
between numerical and theoretical results. 
 
OBJETIVO 
 
Este trabajo pretende optimizar el diseño de un muelle multi-hojas existente, mejorando su 
desempeño durante todo el espectro de deformaciones al que se encuentra sometido durante su 
operación. 
Para lo anterior será necesario emplear herramientas CAD-CAE para modelar y analizar el 
diseño del muelle multi-hojas, lo cual permitirá una comparación y evaluación de los 
resultados numéricos y experimentales del elemento mecánico que dará como resultado una 
solución para la optimización del diseño, que también será sometida a ensayos numéricos. 
OPTIMIZACIÓN DEL DISEÑO DE UN MUELLE MULTIHOJAS MEDIANTE ANÁLISIS NUMÉRICOS Y 
EXPERIMENTALES 
 
ABRAHAM LICONA MAYETT 9 
 
JUSTIFICACIÓN 
 
Actualmente los ingenieros de la industria automotriz son requeridos para desarrollar diseños 
que reduzcan el consumo de energía. Al mismo tiempo deben cumplirse los estándares de 
seguridad, los cuales se vuelven cada vez más rigurosos. Para alcanzar con éxito la 
combinación de estos dos requerimientos contradictorios es necesario llevar a cabo una larga 
serie de costosas pruebas experimentales. Los análisis numéricos de vida útil de los 
componentes así como de optimización del diseño puede reducir el número de iteraciones 
experimentales necesarias, reduciendo también costos y tiempo. 
 
INTRODUCCIÓN 
 
DISEÑO ORIGINAL 
 
Se considera como un diseño original a todo trabajo intelectual que implica el desarrollo de un 
proceso, ensamble o componente que no exista previamente o cuya información de operación, 
fabricación y/o composición no esté al alcance del diseñador. 
 
Aunque la mayoría de los problemas de diseño como configuraciones, selecciones y 
parámetros se pueden representar por ecuaciones, reglas o algún otro esquema lógico, los 
problemas de los diseños originales usualmente no pueden ser reducidos a ningún algoritmo. 
Cada uno representa algo nuevo y único. 
 
De esta manera los problemas de diseño tales como la selección, configuración y parámetros 
se pueden considerar como simples restricciones del diseño original. Las soluciones 
potenciales se limitan a una lista, un arreglo o un conjunto de valores de caracterización. Por 
lo tanto, si se cuenta con una metodología clara para desarrollar un diseño original, es posible 
solventar cualquier problema de diseño con un conjunto más limitado de soluciones [1]. 
 
REDISEÑO 
 
El rediseño se refiere a cualquier modificación que se realice a un producto existente para 
satisfacer nuevos requerimientos. Los problemas de rediseño se vuelven rutinarios cuando se 
tiene un dominio tal del proceso, componente o sistema, que el método puede plasmarse en un 
manual como una serie de reglas y fórmulas [2]. 
 
DISEÑO MADURO 
 
Se aplicará el término diseño maduro a todos los diseños a partir del momento en el cual sus 
características funcionales permanecen inalteradas, debido a que se tiene un pleno 
conocimiento y dominio sobre ellas, por lo que realmente quedan pocas innovaciones que 
puedan realizarse sobre el diseño y pocas cosas nuevas que aprender al respecto. 
Generalmente los diseños maduros no dan paso a diseños mejorados o actualizados en lo que 
se refiere a funcionalidad, sin embargo algunasveces es posible modificarlos para cubrir 
nuevas necesidades, atraer nuevos clientes, aprovechar nuevos materiales, procesos de 
manufactura o conocimientos [1]. 
OPTIMIZACIÓN DEL DISEÑO DE UN MUELLE MULTIHOJAS MEDIANTE ANÁLISIS NUMÉRICOS Y 
EXPERIMENTALES 
 
ABRAHAM LICONA MAYETT 10 
 
OPTIMIZACIÓN DEL DISEÑO 
 
Optimización significa minimización o maximización. Existen principalmente dos tipos de 
diseño: el diseño funcional y el diseño optimizado. 
Un diseño funcional es aquel que cumple con todos los requerimientos preestablecidos, pero 
que permite la realización de ciertas mejoras en áreas específicas del diseño. 
Un diseño optimizado es aquel que ha surgido de un proceso de transformación que tiene 
como fin maximizar alguna característica favorable o deseable y/o minimizar características 
nocivas o indeseables. Por lo tanto, en muchos casos el diseño optimizado es la última 
expresión del diseño original previa a la obsolescencia [2]. 
La optimización del diseño siempre está basada y limitada por algunos criterios como pueden 
ser: costo, resistencia, tamaño, peso, factibilidad, ruido o desempeño [3]. 
 
 
 
Figura 1.- Proceso de optimización de un diseño 
 
 
 
 
 
 
Diseño 
inicial 
Análisis de 
desempeño 
Evaluación 
de los 
resultados 
del análisis 
¿Puede 
mejorarse 
el diseño? 
Diseño 
final 
Diseño 
modificado 
No 
Si 
OPTIMIZACIÓN DEL DISEÑO DE UN MUELLE MULTIHOJAS MEDIANTE ANÁLISIS NUMÉRICOS Y 
EXPERIMENTALES 
 
ABRAHAM LICONA MAYETT 11 
 
Otro hecho importante para tener en consideración es que mientras un sistema de ingeniería 
está compuesto por varios componentes, la optimización de componentes individuales que 
forman parte de un sistema no conduce necesariamente a la optimización de todo el sistema. 
Tradicionalmente, las mejoras en un diseño comienzan con un diseño inicial, al cual se le 
realiza un análisis de desempeño, se observan los resultados y finalmente se toma una decisión 
de lo que se puede mejorar o no del diseño inicial. Este procedimiento se muestra en la Figura 
1. 
 
Se han creado diversos métodos que tienen como fin maximizar los resultados de un proceso 
de optimización, tales como el FORM, MDO, MSDO, SORM, RBO, siendo la principal 
diferencia entre éstos, las herramientas aplicadas para su validación, sin embargo todas se 
basan en las mismas etapas y conceptos [4]: 
 
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA 
 
La formulación del problema es generalmente la parte más difícil del proceso. Consiste en la 
selección de las variables de diseño, restricciones, objetivos y modelos. Una consideración 
mas profunda es el análisis de la fuerza y el alcance de la compatibilidad interdisciplinaria del 
problema. 
 
VARIABLES DE DISEÑO 
 
Una variable de diseño es una especificación que es controlable desde el punto de vista del 
diseñador. Éstas pueden ser continuas (el ala de un avión) o discretas (una costilla o un 
larguero). Generalmente los problemas con variables continuas son más fáciles de resolver. 
Las variables deben estar bien limitadas, ó sea, deben tener valores máximo y mínimo bien 
establecidos. Dependiendo del método de solución éstas pueden considerarse como 
restricciones o pueden considerarse por separado. 
 
RESTRICCIONES 
 
Una restricción es una condición que necesita cumplirse para que el diseño sea factible. 
Además de leyes físicas, las restricciones pueden reflejar limitaciones tecnológicas, 
económicas, requerimientos del usuario o límites en la validación de los modelos de análisis. 
 
OBJETIVOS 
 
Un objetivo es un valor numérico a ser maximizado o minimizado. Muchos métodos de 
solución trabajan solamente con objetivos individuales, por lo tanto, cuando el diseñador 
emplee dichos métodos deberá sopesar los diversos objetivos y unirlos en un solo objetivo. 
 
 
 
 
 
 
OPTIMIZACIÓN DEL DISEÑO DE UN MUELLE MULTIHOJAS MEDIANTE ANÁLISIS NUMÉRICOS Y 
EXPERIMENTALES 
 
ABRAHAM LICONA MAYETT 12 
 
MODELOS 
 
El diseñador debe escoger modelos que permitan relacionar las restricciones y los objetivos a 
las variables de diseño. Estos modelos dependen de la disciplina involucrada. Éstos pueden ser 
Modelos Empíricos o Modelos Teóricos, cualquiera que sea la opción elegida, se debe 
considerar la relación Fidelidad Obtenida-Tiempo de Análisis. 
La naturaleza multidisciplinaria de la mayoría de los problemas de diseño complica la elección 
y aplicación del modelo. Serán necesarias varias iteraciones entre los enfoques de las 
diferentes disciplinas para encontrar los valores más apropiados para los objetivos y las 
restricciones. 
 
FORMULACIÓN ESTÁNDAR 
 
Una vez que las variables de diseño, restricciones, objetivos y las relaciones entre ellas hallan 
sido establecidas, el problema puede expresarse en la siguiente forma: 
 
Encontrar X que minimice J(X) sujeto a G (X) ≤ 0, H(X) = 0 
 
Xlb ≤ X ≤ Xub 
 
Donde J es un objetivo, X es un vector de variables de diseño, G es un vector de restricciones 
de in equidad, H es un vector de restricciones, y Xlb y Xub son vectores para los límites 
superior o inferior de las variables de diseño. Los problemas de Maximización pueden 
convertirse en problemas de minimización al multiplicar el objetivo por -1. Las restricciones 
pueden transformarse de una manera similar. Las restricciones equilibradas pueden sustituirse 
por dos restricciones parciales. 
 
SOLUCION DEL PROBLEMA 
 
El problema se resuelve normalmente utilizando técnicas adecuadas del campo de la 
optimización. Estas incluyen algoritmos basados en gradientes, algoritmos basados en 
población, etc. Algunos problemas muy simples pueden expresarse linealmente, en estos casos 
las técnicas de programación lineal son aplicables. Para este caso en particular se empleará un 
programa de cómputo cuya base de funcionamiento es el Método del Elemento Finito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPTIMIZACIÓN DEL DISEÑO DE UN MUELLE MULTIHOJAS MEDIANTE ANÁLISIS NUMÉRICOS Y 
EXPERIMENTALES 
 
ABRAHAM LICONA MAYETT 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GENERALIDADES DE LOS 
MUELLES MULTI-HOJAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
En el Capítulo I se describe la función, aplicación y 
constitución de una suspensión tipo Hotchkiss; También se 
describe detalladamente la función, aplicación, constitución 
y clasificación de los muelles multi-hojas los cuales son el 
componente principal de las suspensiones tipo Hotchkiss. 
 
 
OPTIMIZACIÓN DEL DISEÑO DE UN MUELLE MULTIHOJAS MEDIANTE ANÁLISIS NUMÉRICOS Y 
EXPERIMENTALES 
 
ABRAHAM LICONA MAYETT 14 
 
1.1.- SUSPENSIÓN TIPO HOTCHKISS 
 
La suspensión de un vehículo es el sistema que une los neumáticos con el resto del cuerpo del 
automóvil permitiendo cierto movimiento relativo. Las ruedas a través del arreglo de la 
suspensión, deben propulsar, dirigir, detener al vehículo y soportar las fuerzas asociadas. 
 
 
Figura 1.1.- Suspensión tipo Hotchkiss 
 
 
 
Figura 1.2.- Suspensión de eje sólido 
 
La manera más sencilla de sujetar un par de ruedas a un vehículo es montarlas en los extremos 
opuestos de un eje sólido, tal como se muestra en la Figura 1.2 [5]. 
 
 
 
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EXPERIMENTALES 
 
ABRAHAM LICONA MAYETT 15 
 
El eje sólido debe estar sujeto a la carrocería de tal manera que sea posible el movimiento de 
arriba abajo en la dirección z, así como el movimiento de rotación alrededor del eje x. De esta 
manera no es posible un movimiento de traslación lateral ni hacia el frente ni un movimiento 
de rotación alrededor del eje z. Existen muchas combinaciones de resortes y conexiones que 
pueden proporcionar los requerimientos cinéticos y dinámicos. La manera mas simple consiste 
en unir el eje a la sección media de un par de muelles con sus extremos fijados o eslabonados 
a la estructura del automóvil como se muestra en la en la Figura1.3, donde se aprecia la vista 
lateral del ensamble de un muelle multi-hojas con un eje sólido. Una suspensión con una 
conexión sólida entre la rueda izquierda y la derecha se determina Suspensión dependiente. 
 
 
Figura 1.3.- Vista lateral de una suspensión con un muelle multi-hojas y un eje sólido. 
 
Es posible mejorar el desempeño de una suspensión muelle-eje sólido añadiendo un arreglo 
para guiar el eje cinemáticamente y proveer soporte dinámico para sobrellevar las fuerzas en 
las direcciones x y y. 
 
La combinación de muelle-eje sólido es una herencia de los carruajes tirados por caballos para 
la industria automotriz. 
 
Cuando un eje sólido vivo es conectado al chasis únicamente con muelles se le conoce como 
suspensión tipo Hotchkiss, en alusión al primer tipo de carro en el cual fue empleado. Las 
principales desventajas de la suspensión tipo Hotchkiss, mostrada en la figura, son ubicar el 
eje bajo fuerzas longitudinales y laterales y su bajo coeficiente de masas ε = ms / mu, donde 
ms es la masa suspendida la cual se refiere a toda la masa soportada por el resorte como puede 
ser la carrocería, el motor etc., y mu la masa no suspendida la cual se refiere a todas las masas 
que están unidas mas no soportadas por el resorte como por ejemplo las ruedas, el eje y los 
frenos [5]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXPERIMENTALES 
 
ABRAHAM LICONA MAYETT 16 
 
1.1.1.- FUNCIÓN Y APLICACIÓN 
 
1.1.2.- FLEXIBILIDAD 
 
Los sistemas de suspensión de eje sólido con muelles longitudinales tienen varios 
inconvenientes. El problema principal recae en el hecho de que los resortes por si mismos 
actúan como miembros locativos. Se supone que los resortes deben flexionarse cuando se les 
aplica una carga, pero su flexibilidad es necesaria solamente en una dirección. Sin embargo la 
naturaleza de los muelles es torcerse y doblarse lateralmente en un plano distinto al de las 
llantas. Los muelles no son apropiados para soportar correctamente las fuerzas de tracción, 
frenado y conducción. Esas fuerzas tienden a deformar el muelle en forma de S como se 
muestra en la Figura 1.4. Las flexibilidades de conducción y frenado de los muelles generan 
un efecto negativo e incrementan la inestabilidad. 
Los muelles largos proveen una mayor estabilidad, sin embargo exageran su torcimiento y 
deformación bajo diferentes condiciones de carga. 
 
 
a).- Aceleración 
 
 
b).- Frenado 
 
Figura 1.4.- Las fuerzas de Aceleración a) y Frenado b) deforman al muelle multi-hojas en 
forma de S 
 
Para reducir el efecto de una fuerza horizontal y la deformación en S propios de un eje sólido 
acoplado a un muelle, el eje puede sujetarse al chasis mediante una barra longitudinal como se 
muestra en la Figura 1.5 a), Esta barra es conocida como barra anti-trampa y es la solución 
más simple para los problemas longitudinales de la suspensión tipo Hotchkiss 
Un eje sólido con barra anti-trampa puede ser representado cinemáticamente por un arreglo de 
4 elementos como se muestra en la Figura 1.5 b). A pesar de que una barra anti-trampa puede 
controlar la forma del muelle introduce un problema de ángulo de torsión cuando el eje se 
mueve hacia arriba y hacia abajo. 
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EXPERIMENTALES 
 
ABRAHAM LICONA MAYETT 17 
 
El eje sólido se emplea comúnmente para ayudar a mantener las ruedas perpendiculares al 
suelo. 
 
1.1.3.- LOCALIZACIÓN DEL MUELLE 
 
Las ruedas frontales necesitan espacio para poder girar hacia la derecha o hacia la izquierda, 
por lo cual los muelles no pueden ser ubicados cerca del centro de las ruedas y tienen que 
situarse cerca de la parte media del eje, esto significa una base estrecha para el muelle, lo cual 
se traduce en una pequeña fuerza lateral que puede hacer oscilar o ladear el cuerpo del 
vehículo alrededor del eje sólido debido a la transferencia de peso. Este movimiento no es 
confortable para vehículos de pasajeros además de que puede producir efectos nocivos para el 
gobierno del vehículo. 
 
El eje sólido previene el cambio de alabeo debido al giro del cuerpo, las llantas se mantienen 
perpendiculares con respecto al suelo y no giran hacia un lado. Sin embargo un eje sólido 
cambia lateralmente de su plano estático y su centro no permanece en el eje longitudinal del 
vehículo bajo el efecto de una carga lateral. 
 
Por lo anterior lo más recomendable es ubicar la suspensión tipo muelle en el o los ejes 
traseros, con el arreglo tal como se muestra en la figura 1.1, en el eje delantero este arreglo es 
poco viable sobre todo si éste es direccional por el poco espacio disponible para él, además, la 
mayor parte de la carga se concentra generalmente en la parte trasera del vehículo. 
 
 
 
a) 
 
 
b) 
 
Figura 1.5 a) Adición de una barra anti-trampa para guiar el eje sólido. b) Modelo cinemática 
equivalente. 
 
 
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ABRAHAM LICONA MAYETT 18 
 
1.2.- MUELLES MULTI-HOJAS 
 
Un muelle multi hojas, al igual que los demás tipos de resortes, se emplea para absorber, 
almacenar y posteriormente liberar energía. La cantidad de energía que puede almacenar un 
muelle durante este ciclo de carga es limitada, ya que los esfuerzos aplicados no deben 
exceder un cierto límite para evitar una deformación permanente o una falla por fractura [6]. 
 
Considerando la energía por unidad de masa, los muelles multi-hojas pueden absorber una 
cantidad más limitada de energía que otros tipos de resortes (helicoidales o barras de torsión). 
A pesar de esta desventaja, los muelles multi-hojas siguen siendo una opción viable en el 
diseño de sistemas de suspensión ya que pueden utilizarse como elementos estructurales o de 
fijación. 
 
1.2.1.- CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES 
 
CARGA (P) 
 
Es la fuerza que se requiere aplicar al muelle para obtener una altura o altura total 
especificada. Esta fuerza es mayor durante la aplicación de carga en el muelle (carga de 
compresión) que durante la descarga. La carga debería ser el promedio de la carga de 
compresión y la carga de descarga. 
 
Por razones prácticas, la carga como la constante elástica son medidas solamente en términos 
de carga de compresión. 
 
La tolerancia de la carga es usualmente expresada como un rango de carga el cual equivale a 
una deflexión (diferencia de altura) a la constante elástica nominal. 
 
CONSTANTE ELÁSTICA (k) 
 
Es el cambio en carga por unidad de deflexión del muelle, se expresa en unidades de fuerza 
por unidad de longitud. Para muelles multi-hojas ésta es determinada midiendo la carga a una 
altura mayor de 25 mm y menor de 25 mm de la altura especificada de la carga. 
 
A
PP
k






 (1.1) 
 
Donde 
 
δ.- deflexión del centro de la muelle en unidades de longitud. 
 
ΔP.- P2-P1 diferencia de cargas en unidades de fuerza. 
 
ΔA.- A2-A1 diferencia de alturas en unidades de longitud. 
 
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ABRAHAM LICONA MAYETT 19 
 
Algunos fabricantes acostumbran medir cargas en más de 3 puntos durante la carga y descarga 
construyendo una gráfica carga – altura (carga – deflexión) completa, en lugar de medir las 
cargas en la altura especificada y 25 mm arriba y debajo de ésta. Estos diagramas son 
obtenidos preferiblemente cargando y descargando continuamente y graficando los datos; la 
carga y la constante elástica pueden ser obtenidas de la gráfica, Figura 1.6. 
 
 
Figura 1.6.- Gráfica carga-altura típica de un muelle multi-hojas. 
 
Cuando se mide la carga, los extremos del muelle deben estar libres para moverse en dirección 
horizontal, éstos usualmente están montados en carros con ruedas que se desplazan sobreuna 
mesa rígida. La carga debe aplicarse verticalmente arriba de la hoja más corta en el centro del 
muelle. 
Cabe destacar que si estas propiedades son medidas sin emplear las placas de asiento y el 
eslabón para ensamble, que normalmente se emplean en el ensamble del muelle en el vehículo, 
se obtendrían las propiedades a muelle libre. Estas propiedades no serán las mismas que 
presentará el muelle instalado en el vehículo (propiedades a muelle ensamblada). Si es 
necesario obtener las propiedades a muelle ensamblado es indispensable emplear las placas de 
asiento y el eslabón para ensamble (columpio) durante las pruebas. 
 
TEORÍA DE DEFLEXIÓN 
 
Cuando se flexione un muelle con hojas de sección transversal constante escalonadas 
apropiadamente para aproximarse a la condición de esfuerzo uniforme, se asumirá que esta 
tomara la forma de un arco circular bajo todas las cargas desde 0 hasta la carga máxima. 
 
El comportamiento de la mayoría de los muelles se aproxima bastante a éstas condiciones, por 
lo que la forma circular se puede emplear para calcular sus propiedades geométricas. 
 
 
 
 
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ABRAHAM LICONA MAYETT 20 
 
FACTOR DE RIGIDEZ (FR) 
 
En la práctica los muelles multi-hojas no son vigas de resistencia uniforme. Que tanto se 
puedan aproximar los muelles a una viga de sección constante depende principalmente de la 
influencia de la longitud de las hojas y del tipo de extremos de las hojas, dicha influencia se 
considera mediante un “Factor de Rigidez”. 
 
El valor de FR es exactamente 1 cuando las longitudes de las hojas así como sus espesores son 
seleccionados para obtener una viga (muelle) de resistencia uniforme y la curvatura resultante 
de dicha muelle a flexión es un arco circular con un radio R. El valor máximo de FR es 1.50 y 
corresponde a un muelle con todas las hojas que lo componen de longitud completa o cuando 
el muelle está compuesto solamente por una hoja de ancho y espesor constantes. Un muelle 
como éstos se conoce como “muelle de sección uniforme”. 
 
Para cálculos preliminares de diseño se pueden considerar los siguientes valores para FR: 
 
FR = 1.10.- Muelles para vehículos de pasajeros o camiones ligeros con puntas despalmadas y 
esfuerzo de diseño más o menos uniforme: 
 
FR = 1.15.- Muelles para vehículos de pasajeros o camiones ligeros con puntas despalmadas y 
hojas de longitud extendida: 
 
FR = 1.15.- Muelles para camión con puntas sin despalme y esfuerzo de diseño más o menos 
uniforme: 
 
FR = 1.20.- Muelles para camión con puntas sin despalme y dos hojas de longitud completa: 
 
FR = 1.25.- Muelles para camión con puntas sin despalme y tres hojas de longitud completa: 
 
FR = 1.40.- Para la primera etapa de un muelle de constante elástica variable o progresiva, 
antes del contacto con la segunda etapa: 
 
FR = 1.50.- Para muelles con todas las hojas de longitud completa: 
 
Para la segunda etapa de un muelle de constante elástica variable o progresiva, con todas las 
hojas trabajando: 
 
FR = 1.10 considerando puntas con despalme 
 
FR = 1.15 considerando puntas sin despalme 
 
 
 
 
 
 
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DURABILIDAD 
 
La durabilidad está expresada como el número de ciclos de flexión en los que un muelle se 
mantendrá sin presentar falla bajo una prueba de durabilidad equivalente, definiéndose como 
falla la fractura de alguna de sus hojas. 
 
Debe entenderse que el número de ciclos de durabilidad estimados es un promedio estadístico 
y que los resultados de durabilidad mostraran cierta dispersión a pesar de que las pruebas se 
realicen en condiciones controladas. La magnitud de la dispersión dependerá de la 
consistencia de la condición superficial, fabricación y calidad general de los muelles que estén 
siendo evaluados. 
 
Una prueba de durabilidad equivalente se define como una prueba de fatiga de amplitud 
constante que produce la misma durabilidad media que la historia real de cargas. Son un 
método acelerado para examinar las muelles para propósitos de evaluación del diseño y 
control de calidad. 
 
En pruebas de campo, un muelle utilizado en un sistema de suspensión de un vehículo estará 
sometido a un número muy elevado de ciclos de pequeña amplitud cerca de la posición de 
carga de diseño. Por lo que una prueba de amplitud constante de unos pocos cientos de miles 
de ciclos de máxima deflexión posible, reproducirá la historia de campo de manera apropiada. 
Las razones para esto son: 1) grandes amplitudes generan mayor daño de fatiga y 2) el uso en 
campo es tan diverso que cualquier historia de campo sería tan equivocada como una prueba 
de amplitud constante. 
 
Además de grandes amplitudes (esfuerzos elevados) la dispersión de los resultados es 
teóricamente reducida, lo que significa que un número menor de pruebas producirá un cierto 
grado de precisión en la durabilidad estimada de la población. Mientras que a esfuerzos bajos 
se obtendrían resultados más realistas, ya que simularían con mayor precisión las condiciones 
reales de servicio de la muelle, los resultados tendrían una mayor dispersión. 
 
Durante las pruebas de durabilidad, se simula el montaje de la muelle en el vehículo utilizando 
las placas de asiento y el columpio. 
 
 1.2.2.- CARACTERÍSTICAS FÍSICAS Y TÉRMINOS DESCRIPTIVOS 
 
1.2.2.1.- LÍNEAS Y ALTURAS 
 
Hojas 
 
Son cada una de las placas que forman el muelle. Las hojas son designadas por números, 
empezando por la hoja principal (normalmente la hoja de mayor longitud) la cual es la número 
1, hasta llegar a la última hoja. 
 
 
 
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ABRAHAM LICONA MAYETT 22 
 
Superficie de tensión. 
 
Superficie de una hoja que durante su trabajo estará expuesta a esfuerzos normales de tensión, 
normalmente es la superficie cóncava de la hoja. 
 
Línea base. 
 
Línea que sirve de referencia de diversas dimensiones. En muelles con ojos o roleos, la línea 
base atraviesa por los centros de éstos. En muelles sin roleos esta línea cruza por los puntos en 
los extremos del muelle donde se aplican las cargas., en otros tipos de muelles, pasa a través 
de los puntos donde la carga es aplicada cerca de los extremos del muelle. Estos puntos deben 
quedar ubicados en el dibujo de detalle. 
 
Línea base del ángulo de asiento 
 
Línea de referencia dibujada a través de los puntos terminales de la longitud activa en cada 
extremo del muelle, tomados a lo largo de la superficie de tensión de la hoja principal. Para 
muelles con ojos tipo Berlín, el punto terminal es la intersección de la proyección del contorno 
de la superficie de tensión con una línea perpendicular al centro de los ojos. En muelles sin 
roleos la línea base coincide con la línea base del ángulo de asiento. 
 
 
 
 
Figura 1.7.- Líneas y ángulos de un muelle multi-hojas 
 
Longitud con carga (Lc) 
 
Distancia entre los centros de los roleos cuando el muelle es flexionado a la posición de carga 
especificada. En muelles sin ojos, es la distancia entre los puntos en los extremos del muelle 
donde se aplican las cargas. 
 
Longitud recta (L) 
 
Distancia entre los centros de los ojos cuando la superficie de tensión de la hoja principal, en 
la línea de centro del tornillo de centro, está en el plano de la línea base del ángulo de asiento. 
 
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ABRAHAM LICONA MAYETT 23 
 
Longitud de asiento (Ls) 
 
Longitud del muelle que esta en pleno contacto con la placa de asiento cuando el muelle se 
encuentra montado en el vehículo. Siempre es mayor que la longitud inactiva. 
Longitud inactiva (Li) 
 
Longitud del muelle quese mantienen inactiva (sin deformación) por la acción de las placas 
de asiento y los pernos “U”. Cuando se utilizan placas de asiento de metal, esta longitud se 
asume a ser igual a la distancia entre la parte interior de los pernos “U”. 
 
Ángulo de asiento (a) 
 
Angulo entre la tangente de la superficie de tensión de la hoja No. 1 en el centro del muelle y 
la línea base del ángulo de asiento. 
 
Espesor de paquete (Ep) 
 
Suma de los espesores nominales de todas las hojas del muelle, incluyendo a cualquier 
espaciador o placa que sea parte del ensamble en el área de asiento. 
 
Altura (A) 
 
Distancia de la línea base al punto en la superficie de tensión de la hoja No. 1 donde está 
situada la línea de centro del tornillo de centro. 
 
Altura total (H) 
 
Altura mas el espesor de paquete. La altura y la altura total pueden ser positivas o negativas. 
 
Posición metal-metal (AM) 
 
Altura o altura total de máxima deflexión a la que estará expuesto el muelle en 
funcionamiento. 
 
Claro (c) 
 
Diferencia en altura, o altura total, entre la altura de diseño y la posición metal-metal. 
 
Curvatura (1/R) 
 
Es el recíproco del radio de curvatura de la superficie de tensión de una hoja. La curvatura es 
cero si la hoja está recta (“plana”), la curvatura se considera positiva en la dirección en la cual 
ésta se reduce cuando la carga se incrementa (corresponde a una altura positiva) 
 
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ABRAHAM LICONA MAYETT 24 
 
 
Figura 1.8.- Términos descriptivos 
 
1.2.2.2.- COMPONENTES DE UN MUELLE MULTI-HOJAS 
 
HOJAS 
 
Para suspensiones automotrices, se han adoptado soleras de acero planas con extremos 
redondos como un estándar por SAE desde 1938. Las barras deben de ser de acero rolado con 
dos superficies planas y dos extremos redondos. El arco de curvatura de los extremos 
cóncavos puede variar entre el 65% y el 85% del espesor de la barra. 
 
ACABADOS DE LOS EXTREMOS DE LAS HOJAS. 
 
Hay diferentes acabados de extremos o formas de extremos los cuales se emplean 
dependiendo de la aplicación de la muelle (Figuras 1.9- 1.11) 
 
CORTE RECTO 
 
Es el acabado más fácil de producir, pero es usualmente insatisfactorio, ya que causa 
concentración en la presión ente las hojas, dando como resultado una fricción elevada. Con 
este tipo de acabado se obtiene una pobre aproximación del muelle teórico triangular de 
resistencia uniforme, y por lo tanto, una muelle más pesada de lo necesario. 
 
 
Figura 1.9.- Corte Recto 
 
 
 
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ABRAHAM LICONA MAYETT 25 
 
DESPUNTE 
 
Este acabado logra una mejor aproximación al muelle de resistencia uniforme omitiendo el 
exceso de material, éste mejora la distribución de presión entre las hojas. 
 
 
 
 
Figura 1.10.- Despunte 
 
DESPALME 
 
Este acabado puede realizarse para aproximar de una manera cercana la forma ideal del muelle 
de resistencia uniforme. Debido a la flexibilidad del extremo de la hoja, la distribución de 
presión en las áreas de contacto es mejorada y la fricción entre las hojas es altamente reducida. 
 
 
 
a) b) 
 
Figura 1.11.- Despalme a) y Despalme con Recorte b) 
 
 
ACABADOS DE LOS EXTREMOS DEL MUELLE 
 
Los acabados de los extremos de un muelle multi-hojas son las formas de los extremos de la 
primera y segunda hoja que definen el tipo de ensamble de la muelle en el vehículo (Figura 
1.12) 
 
ROLEOS 
 
Estos acabados son de forma circular u ovalada, se emplean con el objeto de obtener un 
alojamiento para un buje, lo cual nos permitirá conseguir una articulación en el ensamble del 
muelle del vehículo. La forma y tamaño de roleo dependen del tipo de buje, espacio disponible 
para el ensamble del muelle, aplicación del muelle, etc. 
 
 
 
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EXTREMO PLANO. 
 
Este acabado es construido con una hoja recta sobre un apoyo curvo, o una hoja curva sobre 
un apoyo recto, lo emplean los muelles progresivos o de constante elástica variable ya que 
permite que la primera hoja se deslice sobre el apoyo, originando un cambio en el punto de 
aplicación de la carga (cambio de la longitud efectiva de la muelle). 
 
 
Figura 1.12.- Tipos de roleos 
 
TORNILLO DE CENTRO 
 
El tornillo de centro es requerido para mantener las hojas de la muelle en contacto con el 
centro de la misma, y la cabeza del tornillo se utiliza como una referencia durante la 
instalación del muelle en el vehículo. Por lo general, los tornillos centrales sufren de grandes 
esfuerzos durante el montaje o durante la operación del muelle, por lo anterior, tanto los 
tornillos como las tuercas deben poseer óptimas propiedad mecánicas. El diámetro del barreno 
para el tornillo de centro debe de poseer un diámetro equivalente al espesor del la hoja más 
gruesa del conjunto para poder perforar en frío la solera, de lo contrario será necesario calentar 
la hoja antes de ser perforada. 
 
MORDAZA CENTRAL 
 
Este elemento mantiene unidos permanentemente a los elementos principales que conforman 
un muelle multi-hojas. Impide la ruptura de las hojas del muelle en el área del tornillo de 
centro al sujetarlas firmemente con el asiento, impidiendo a la vez que el tornillo de centro se 
rompa por la acción de fuerzas horizontales entre las hojas del conjunto. Está compuesta 
principalmente por los tornillos o pernos “U” y por loas placas de asiento. 
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ABRAHAM LICONA MAYETT 27 
 
 
 
Figura 1.13.- Mordaza central. 
 
ABRAZADERAS 
 
 Las abrazaderas son utilizadas para evitar que las hojas giren. Existen diferentes tipos de 
éstas, las cuales se utilizan para diferentes aplicaciones 
 
BUJES 
 
 Los bujes son elementos que se insertan en los extremos circulares (ojos o roleos) de las 
muelles, los cuales permiten un fácil ensamble del muelle en el vehículo y forman parte de la 
articulación en los extremos de cada muelle. Existen diferentes tipos de bujes de diversos 
materiales los cuales se emplean de acuerdo al tipo de aplicación del muelle. 
 
PLACAS SEPARADORAS E INSERTOS DE PUNTA 
 
Estos elementos se ubican entre las diferentes hojas que componen el ensamble de un muelle 
multi-hojas en el centro (placas separadoras) y entre los extremos (insertos de punta) para 
reducir la fricción entre las mismas. 
 
ESLABÓN O COLUMPIO 
 
Este elemento sirve para facilitar el desplazamiento longitudinal del muelle, aliviando la 
concentración excesiva de esfuerzos y permitiendo de esta manera un suave desplazamiento en 
el eje vertical que proporciona una mayor comodidad durante el manejo. 
 
 
Figura 1.14.- Eslabón o columpio 
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Figura 1.15.- Tipos de abrazaderas 
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1.2.3.- MATERIALES Y PROCESOS DE MANUFACTURA 
 
ACERO 
 
El principal requisito de un acero destinado a formar un muelle es que debe contar con la 
suficiente templabilidad para asegurar una estructura martensítica a través de toda su sección 
ya que productos de transformación no martensíticos van en detrimento de las propiedades de 
fatiga. 
 
Los muelles multi-hojas destinados a suspensiones automotrices por lo general se fabrican con 
aleaciones de aceros de granos finos como por ejemplo: 
 
G92600 (SAE 9260) 
G40680 (SAE 4068) 
G41610 (SAE 4161) 
G61500 (SAE 6150) 
G86600 (SAE 8660) 
G51600 (SAE 5160) 
G51601 (SAE 51B60) 
H51600(SAE 5160H) 
G50601 (SAE 50B60 
 
PROPIEDADES MECÁNICAS 
 
Aceros con la misma dureza en su condición martensítica tienen aproximadamente la misma 
resistencia última a la tensión y resistencia a la fluencia. La ductilidad, medida como 
elongación y reducción de área, es inversamente proporcional a la dureza. Basándose en la 
experiencia, las propiedades mecánicas óptimas para las aplicaciones de muelles multi-hojas 
se obtienen dentro del rango de durezas Brinell que van del número 388 al 461. Este rango 
contiene 6 números de dureza Brinell estándar, los números 388, 401, 415, 429, 444 y 461 
(correspondientes a los indentadores esféricos de diámetros 3.10, 3.05, 3.00, 2.95, 2.90 y 
2.85mm y con una carga aplicada de 3000 kg). 
 
Dureza 
Bhn 388-461 (3000kg masa) 
Diámetro del indentador Brinell 3.10- 
2.85mm 
Rockwell C 42-49 
Esfuerzo tensil 1300-1700 MPa 
Esfuerzo último 1170-1550 MPa 
Reducción de 
área 
25% min 
Elongación 7% min 
 
Tabla 1.1.- Propiedades típicas medidas de muelles multi-hojas: 
 
 
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EXPERIMENTALES 
 
ABRAHAM LICONA MAYETT 30 
 
DECARBURIZACIÓN SUPERFICIAL 
 
La decarburización superficial puede reducir la durabilidad (resistencia a la fatiga) del muelle 
multi-hojas, por lo tanto es importante reducirla al mínimo. 
Las barras de acero roladas en caliente tal como salen de fábrica, tienen algo de 
decarburización, al menos del Tipo 3, donde más del 50% del contenido de carbono base 
permanece en la superficie. 
Si la decarburización es del Tipo 2, donde 50% o menos del contenido de carbono base 
permanece en la superficie, normalmente no se excede una profundidad de 0.25mm para 
espesores de solera de 5.00 a 12.50mm, ni una profundidad de 0.50mm para espesores de 
solera de 12.50 a 37.50mm. 
 
PRE ESFUERZO MECÁNICO 
 
El pre esfuerzo mecánico aplicado a temperatura ambiente, tiene como fin aumentar la 
durabilidad (resistencia a la fatiga) del muelle multi-hojas sin la necesidad de aumentar sus 
dimensiones. Por lo general la aplicación de métodos de pre esfuerzo es más efectiva que el 
cambio de material. 
 
Cuando se aplica una carga a un muelle multi-hojas, las superficies externas de las hojas están 
sujetas a los esfuerzos máximos de flexión. La superficie de la hoja que normalmente es 
cóncava estará sometida a tensión y la superficie opuesta, que normalmente es convexa, estará 
sometida a compresión. Las fallas por fatiga en un muelle generalmente se presentan en o 
cerca de la superficie del lado sometido a tensión. Ya que los esfuerzos son algebraicamente 
aditivos a los esfuerzos de carga, la introducción de esfuerzos residuales de compresión en la 
superficie a tensión por pre esfuerzo mecánico, reduce el nivel de esfuerzo operativo, por lo 
cual se incrementa la durabilidad. 
 
GRANALLADO 
 
El granallado es el método más práctico de producir esfuerzos residuales. Pequeñas esferas 
son disparadas a gran velocidad contra la superficie a tratar, impactándose y dejando tras de sí 
pequeños cráteres, produciendo de esta forma fluencia local. El regreso del material de la 
superficie a su estado anterior después de la deformación plástica produce esfuerzos de 
compresión. La intensidad del granallado es especificada en números Almen. 
 
La intensidad del granallado para muelles ligeros o medianos usualmente va de 10A a 20A. 
Para muelles de gran capacidad, la intensidad del granallado por lo general va de 6C a 14C. La 
superficie tratada en ambos casos debe de ser equivalente al 90% 
 
NÚMENROS ALMEN 
 
Éstos números sirven para especificar la intensidad del proceso de granallado. La intensidad 
de este proceso se especifica de la siguiente manera: 
 
XXX mm X 
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EXPERIMENTALES 
 
ABRAHAM LICONA MAYETT 31 
 
Donde XXX indica la altura del arco producido a una placa Almen después de someterse al 
proceso de granallado. 
 
mm- unidades en que se mide el arco (milímetros). 
 
X- tipo de placa Almen empleada en la medición (A, C o N) 
 
ACABADOS SUPERFICIALES Y RECUBRIMIENTOS PROTECTORES 
 
ACABADO SUPERFICIAL 
 
 Se define como en estado en el que se encuentran las superficies del muelle una vez formado 
y tratado térmicamente, y antes de cualquier recubrimiento superficial. Normalmente las hojas 
para uso automotriz se emplean en condiciones de “tratadas térmicamente” o “granalladas”, 
las primeras presentan una ligera capa de oxido producto de los tratamientos de temple y 
revenido y ostentan un color azul o azul-negro y las segundas presentan un acabado mate 
metálico, ya que se ha retirado la capa de óxido por la acción del proceso de granallado. 
 
RECUBRIMIENTO PROTECTOR 
 
Se refiere a un material añadido ya sea individualmente a cada una de las superficies de las 
hojas que forman parte del ensamble o a las superficies expuestas del mismo. Su principal 
función es prevenir la corrosión en condiciones tanto operativas como de almacenaje. Todas 
las superficies expuestas a ser recubiertas deben estar libres de agentes ajenos al material base. 
Las superficies con tratamiento de granallado deben ser recubiertas lo más pronto posible con 
el fin de evitar cualquier tipo de corrosión. Un área sin proteger o la ruptura del recubrimiento 
puede favorecer la corrosión y por lo tanto a reducir la resistencia a la fatiga del muelle. Antes 
de escoger algún tipo de recubrimiento (grasa, aceite, polímeros, pintura) deben ser evaluados 
sus efectos sobre la fatiga del ensamble; también es importante considerar los espesores del 
recubrimiento para que las tolerancias queden dentro de las especificaciones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPTIMIZACIÓN DEL DISEÑO DE UN MUELLE MULTIHOJAS MEDIANTE ANÁLISIS NUMÉRICOS Y 
EXPERIMENTALES 
 
ABRAHAM LICONA MAYETT 32 
 
1.2.4.- CLASIFICACIÓN DE LOS MUELLES MULTI HOJAS 
 
MUELLE CONVENSIONAL 
 
 
Figura 1.16.- Muelle convencional 
 
Poseen la característica de que su constante elástica es constante a lo largo de todo el rango de 
carga de funcionamiento. Su comportamiento elástico queda completamente definido con los 
siguientes parámetros: altura de diseño (Ad), carga de diseño (Pd) y constante elástica (k), el 
cual puede ser representado por la ecuación de una recta. 
 
   AAdkPdAP  (1.2) 
 
En 
 
AlAAm  
 
Donde: 
 
Al Altura libre o altura de la muelle sin carga 
 
Ad
k
Pd
Al  (1.3) 
 
Figura 1.17.- Constante elástica de un muelle convencional 
 
OPTIMIZACIÓN DEL DISEÑO DE UN MUELLE MULTIHOJAS MEDIANTE ANÁLISIS NUMÉRICOS Y 
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ABRAHAM LICONA MAYETT 33 
 
MUELLE PROGRESIVO DE VARIAS ESTACIONES 
 
 
Figura 1.18.- Muelle progresiva de varias estaciones 
 
Son muelles que normalmente poseen 2 rangos de carga donde su constante elástica es 
constante pero diferente en cada uno de ellos. Su comportamiento elástico queda 
completamente definido con los siguientes parámetros: constante elástica de la primera 
estación (k1), constante elástica de la segunda estación (k2), primera altura (Ac), altura de 
diseño (Ad), primera carga (Pc) y carga de diseño (Pd), el cual puede ser definido por las 
ecuaciones de las rectas: 
 
   AAckPcAA  1 (1.4) 
 
En 
 
1aAAt  
 
   AAdkPdAA  2 (1.5) 
 
En 
 
AtAAm  
 
Donde A altura total teórica de transición o inicio de e contacto. 
 
   
 12
12
kk
AckPcAdkPd
At


 (1.6) 
 
Ac
k
Pc
Al
1
 (1.7) 
 
Este tipo de muelle es bastante popular entre camiones ligeros y camionetas. Su existencia se 
debe a que en algunas ocasiones es requerido un muelle con una constante elástica baja, como 
por ejemplo cuandoviaja solamente el operador del vehículo con una pequeña carga y en 
algunas otras ocasiones el mismo vehículo debe trabajar a carga plena requiriendo de un 
muelle con una constante elástica elevada. 
 
OPTIMIZACIÓN DEL DISEÑO DE UN MUELLE MULTIHOJAS MEDIANTE ANÁLISIS NUMÉRICOS Y 
EXPERIMENTALES 
 
ABRAHAM LICONA MAYETT 34 
 
Este tipo de muelle cuenta con la ventaja de ajustarse de una mejor manera a una amplia gama 
de condiciones de manejo. 
 
 
Figura 1.19.- Constante elástica de un muelle progresivo de varias estaciones 
 
Durante la fase de carga ligera, la o las hojas de la segunda etapa se encuentran in operativas. 
Conforme la carga se va incrementando, la primera etapa entra en contacto gradualmente con 
la segunda etapa. Cuando se ha realizado un contacto pleno entre la primera y la segunda 
etapa, el muelle se encuentra operando en el rango de constante elástica elevada. 
 
Para que un muelle de constante elástica progresiva responda de manera adecuada, las 
especificaciones deben establecer claramente el tipo de carga-deformación, obteniendo el 
contacto inicial entre las dos etapas a una carga mayor a la carga de curva, y el contacto pleno 
a una carga inferior a la carga de diseño. Mientras que para los muelles de constante elástica 
fija es suficiente con especificar solamente la carga de diseño y su altura correspondiente, para 
los muelles con constante elástica variable es necesario especificar la carga de curva y su 
altura para la primera etapa, así como la carga de diseño junto con su altura para la segunda 
etapa. Se recomienda que se dibuje la curva deseada, mostrando una transición gradual de la 
primera etapa a la segunda etapa y esta gráfica debe ser parte integral de las especificaciones 
del muelle. 
 
MUELLE CON CONSTANTE ELÁSTICA VARIABLE 
 
 
Figura 1.20.- Muelle con constante elástica variable 
 
Estas muelles se caracterizan por presentar una constante elástica variable a lo largo de su 
rango de carga de función. Puesto que la longitud efectiva de trabajo de la muelle es variable 
debido a que se apoyan sus extremos sobre camas que permiten el deslizamiento de los 
OPTIMIZACIÓN DEL DISEÑO DE UN MUELLE MULTIHOJAS MEDIANTE ANÁLISIS NUMÉRICOS Y 
EXPERIMENTALES 
 
ABRAHAM LICONA MAYETT 35 
 
mismos. Su comportamiento elástico queda definido por: constante elástica a altura de diseño 
(k), carga de diseño (Pd) y altura de diseño (Ad), la cual puede ser representada por la 
ecuación de la curva. 
 
  32 AdAcAbaAP  (1.8) 
 
Donde a, b, c y d son constantes que están determinadas por la geometría de los apoyos y las 
dimensiones de la muelle. 
 
 
Figura 1.21.- Constante elástica variable 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPTIMIZACIÓN DEL DISEÑO DE UN MUELLE MULTIHOJAS MEDIANTE ANÁLISIS NUMÉRICOS Y 
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ABRAHAM LICONA MAYETT 36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MARCO TEÓRICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
En el Capítulo II se describen las dos diferentes teorías de 
diseño para muelles multi-hojas más empleadas, así como la 
teoría de energía de distorsión de Von Mises, la cual sirve 
para evaluar el estado de esfuerzos de un elemento 
mecánico, también se incluyen las teorías de vibración y de 
fatiga, las cuales también son de gran importancia para 
evaluar la vida útil de un elemento sometido a esfuerzos 
repetitivos mecánicos. 
 
 
OPTIMIZACIÓN DEL DISEÑO DE UN MUELLE MULTIHOJAS MEDIANTE ANÁLISIS NUMÉRICOS Y 
EXPERIMENTALES 
 
ABRAHAM LICONA MAYETT 37 
 
2.1.- ANÁLISIS DE ESFUERZOS DE MUELLES MULTI-HOJAS 
 
A partir de la forma en que se encuentra ensamblado un muelle multi-hojas en el vehículo y 
del diagrama de cuerpo libre del mismo, puede ser considerado como una viga de resistencia 
uniforme compuesto de varias hojas con igual ancho y diferentes espesores, longitudes y 
radios de curvatura. Esta viga de resistencia uniforme estará sometida a una carga transversal 
concentrada en el centro y apoyada sobre sus extremos en dos articulaciones, una fija y otra 
móvil [6]. 
 
Esta aproximación es justificada para la mayoría de los muelles con una precisión adecuada 
(con ciertos factores de corrección) para estimar las características de longitud, espesor, ancho 
y número de hojas que debe poseer. También puede servir como base para cálculos más 
detallados. 
 
Las longitudes de las hojas, junto con los espesores y los radios de curvatura individuales, 
determinan la distribución de esfuerzos a lo largo de cada hoja. Además de éstos también 
determinan la forma de la muelle bajo cargas. 
 
Por lo general, en la industria automotriz, los muelles están compuestos de hojas de 2 ó 3 
espesores diferentes. Normalmente la primera hoja junto con las adyacentes a ésta, son de 
espesor mayor mientras que las hojas más pequeñas o últimas son de los espesores menores. 
 
Esto es así por varias razones, para dar a la primera hoja mayor resistencia en los extremos que 
son los puntos donde la muelle recibe las cargas, para permitir mayores tolerancias en los 
radios de curvatura de las hojas más cortas, para compensar en los esfuerzos la diferencia en 
los radios individuales de las hojas y porque con las combinaciones de diferentes espesores se 
tiene una mayor flexibilidad para obtener un valor muy cercano al especificado de la constante 
elástica del muelle. 
 
La curvatura individual de cada una de las hojas que conforman un muelle es diferente a la de 
las demás. Los radios de curvatura van reduciéndose a partir del mayor para la primera hoja 
hasta el menor para la última. Cuando el muelle es ensamblado, las hojas son presionadas una 
contra la otra y se establece una curvatura común. 
 
Las hojas del muelle ensamblado en posición libre (sin carga) están bajo cierto esfuerzo. En la 
primera hojas los esfuerzos de ensamble son del signo contrario al de los esfuerzos de carga; 
en las hojas más cortas los esfuerzos del ensamble son del mismo signo que el de los esfuerzos 
de carga. Esto es así para reducir los esfuerzos en la primera hoja, ya que éstos son aditivos y 
para asegurar que los extremos de las hojas estén en contacto con las hojas adyacentes. 
Además ayuda para obtener una distribución de esfuerzos uniforme a lo largo de las hojas. 
 
La longitud de cada una de las hojas se determina con el fin de obtener una viga de resistencia 
uniforme con una constante elástica determinada, que junto con una buena distribución de 
esfuerzos de ensamble permite obtener una distribución uniforme de esfuerzos a lo largo de la 
longitud de cada hoja a una determinada carga y obtener una forma circular o recta según se 
requiera. 
OPTIMIZACIÓN DEL DISEÑO DE UN MUELLE MULTIHOJAS MEDIANTE ANÁLISIS NUMÉRICOS Y 
EXPERIMENTALES 
 
ABRAHAM LICONA MAYETT 38 
 
Ya que la distribución de esfuerzos puede ser mejorada con una buena combinación de 
espesores, radios de curvatura y longitud de las hojas, la constante elástica del muelle es la 
misma para un muelle con o sin esfuerzos de ensamble, es decir, con diferentes radios de 
curvatura individuales en las hojas. Lo que significa que la constante elástica del muelle 
depende únicamente de los espesores, la longitud y el acabado de las hojas [6]. 
 
Existen dos modos diferentes para el análisis de esfuerzos en muelles multi hojas utilizando la 
teoría de resistencia de materiales, los cuales se describen a continuación. 
 
 
Figura 2.1.- Diagrama de cuerpo libre de un muelle multi-hojas 
 
En la Figura 2.1 se presenta el diagrama de cuerpo libre de un muelle multi-hojas y algunas 
otras características que a continuación se describen: 
 
a) P.- Carga transversal aplicada al centro de la muelle 
 
b) P/2.- Reacciones originadas en los extremos de la muelle debido a la aplicación de la carga 
P. En este caso, ya que la muelle es simétrica, las fuerzas de reacción son de igual magnitud y 
correspondena la mitad de la carga aplicada P. En el caso de muelles asimétricas las cargas de 
reacción en los extremos deben calcularse por medio de las ecuaciones de estática: 
 
LPbaPMa  0 (2.1) 
 
  PbPaPFy 0 (2.2) 
 
Donde: 
 
Pa.- Fuerza de reacción originada en el extremo a del muelle. 
Pb.- Fuerza de reacción originada en el extremo b del muelle. 
a.- Longitud del centro del muelle al extremo a. 
b.- Longitud del centro del muelle al extremo b. 
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ABRAHAM LICONA MAYETT 39 
 
L.- Longitud total del muelle. 
 
c) Ro.- Radio de curvatura inicial del muelle sin carga (curvatura establecida después del 
ensamble de las hojas) 
 
d) R.- Radio de curvatura del muelle a una carga P. 
 
e) f.- Deflexión del centro del muelle provocada por la aplicación de la carga P. 
 
2.1.1.- MÉTODO DE EXPANSIÓN (CURVATURA COMÚN) 
 
SUPOSICIONES 
 
a) Todas las hojas del muelle están en contacto con las hojas adyacentes en toda su longitud. 
 
b) La curvatura de todas las hojas es igual en cada sección de las mismas. 
 
Estas suposiciones llevan a cálculos muy simples. Esto es justificado en todos los puntos de 
una hoja donde está rodeado por otras. 
 
PROCEDIMIENTO 
 
Normalmente, para simplificar los cálculos, se acostumbra dividir el muelle en 2 elementos 
que se analizan por separado. Obteniéndose así dos vigas en voladizo empotradas en uno de 
sus extremos y con una carga transversal concentrada en su extremo libre. Esto se justifica ya 
que idealmente la derivada de la deflexión del muelle en su centro es cero, que es la misma 
condición que se presenta en el extremo fijo de una viga empotrada. 
 
0
 baxdx
df
 (2.3) 
 
La idea general y básica de un muelle multi-hojas es la siguiente: 
 
La Figura 2.2 muestra una viga en voladizo de un muelle multi-hojas y la misma viga 
reacomodando las hojas para hacer la comparación con la viga triangular de resistencia 
uniforme, la cual es mostrada con líneas ocultas. 
 
Ya que la curvatura del muelle y de las hojas es pequeña, es decir, el radio de curvatura es 
grande comparado con la altura de su sección transversal, puede obtenerse una buena 
aproximación suponiendo que estos elementos son rectos. 
 
De la Figura 2.3 se puede observar que un muelle puede ser considerado como una viga en 
voladizo con una sección transversal variable sometida a una carga concentrada en su extremo 
libre. 
 
OPTIMIZACIÓN DEL DISEÑO DE UN MUELLE MULTIHOJAS MEDIANTE ANÁLISIS NUMÉRICOS Y 
EXPERIMENTALES 
 
ABRAHAM LICONA MAYETT 40 
 
 
Figura 2.2.- Idealización de un muelle multi hojas para aproximarse a una viga en voladizo 
 
 
Figura 2.3.- Diagrama de cuerpo libre de la viga en Cantilever 
 
Cuando la viga es sometida a una carga transversal, ésta ocasiona tanto esfuerzos normales σx 
como esfuerzos cortantes τxy en una sección transversal cualquiera de la viga, los cuales 
pueden calcularse con las siguientes ecuaciones: 
 
a) Esfuerzos normales: 
 
   
 xI
y
xMiyx
x
x ,, (2.4) 
OPTIMIZACIÓN DEL DISEÑO DE UN MUELLE MULTIHOJAS MEDIANTE ANÁLISIS NUMÉRICOS Y 
EXPERIMENTALES 
 
ABRAHAM LICONA MAYETT 41 
 
Donde: 
 
σx (x,y).- Esfuerzo normal longitudinal en una sección transversal cualquiera de la i-ésima 
hoja. 
M(x).- Momento flector en la sección transversal, y para este caso M(x) = P ∙ x. 
Ix(x).- Momento de inercia de la sección transversal del muelle. Esta sección transversal 
puede estar constituida por una o varias hojas, dependiendo del valor de x. 
 
Como la sección transversal de una hoja es aproximadamente rectangular (I = A ∙ e
3
 / 12), el 
momento de inercia de la sección transversal es igual a: 
 
   
3
012 i
n
i
x xe
A
xI 

 (2.5) 
 
Donde: 
 
x.- Distancia del extremo del muelle a una sección transversal cualquiera. 
y.- Distancia del eje neutro de una hoja a cualquier punto de la misma. 
P.- Carga aplicada en un extremo del muelle. 
A.- Ancho de las hojas. 
e (x)i .- Espesor de la i-ésima hoja en una sección dada. 
n.- Número de hojas presentes en la sección transversal. 
 
Dentro del intervalo elástico, el esfuerzo normal longitudinal σx(x,y)i, en una sección dada de 
una hoja varía linealmente contra la distancia al eje neutro y es máximo en el punto más 
alejado del eje y, que es en la superficie externa de las hojas (y = ± e(x)/2). 
 
Así el valor máximo σx(x)maxi del esfuerzo normal longitudinal en cualquier sección de una 
hoja del muelle puede obtenerse: 
 
 
 
 xI
xe
xPx
x
i
ix
2
max  (2.6) 
 
b) Esfuerzos cortantes: 
 
 
 
 
y
xI
xQ
Vyx
x
ixy
, (2.7) 
 
Donde: 
 
Q(x).- Momento de primer orden del área de la sección transversal del muelle. 
V.- Carga transversal (V = P) 
 
Para una viga con sección prismática: 
 
OPTIMIZACIÓN DEL DISEÑO DE UN MUELLE MULTIHOJAS MEDIANTE ANÁLISIS NUMÉRICOS Y 
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ABRAHAM LICONA MAYETT 42 
 
 
 
 xAr
xc
y
Pyx ixy
2
1
3,
2
2









 (2.8) 
Donde: 
 
Ar (x).- Área de la sección transversal. 
c (x).- Altura de la sección transversal. 
 
El esfuerzo cortante τxy en una sección transversal es máximo en el eje neutro (y = 0). Como 
τxy depende de la fuerza cortante V y el área de la sección, su valor máximo ocurrirá donde la 
sección transversal sea mínima, ya que el valor de V es constante a lo largo del muelle. Así el 
valor máximo del esfuerzo cortante en la i-ésima hoja puede obtenerse: 
 
 
 xAr
P
x ixy
2
3max  (2.9) 
 
Por el método de superposición los esfuerzos axiales totales son iguales a la suma del esfuerzo 
axial de carga más el esfuerzo axial de ensamble, solamente cuando todas las hojas tienen la 
misma curvatura, el esfuerzo total axial es igual al esfuerzo de carga. Así el esfuerzo total 
axial máximo de la i-ésima hoja en cualquier sección es: 
 
      iixixt xaxx maxmaxmax   (2.10) 
 
Donde: 
 
σa(x)maxi .- Esfuerzo de ensamble máximo de la i-ésima hoja en una sección cualquiera 
 
En la mayoría de los muelles multi-hojas las curvaturas individuales de las hojas son 
diferentes. En el ensamble una curvatura común se establece, la cual es variable a lo largo del 
muelle a pesar de que todas las hojas tienen forma de arcos circulares. 
 
La curvatura común puede ser calculada a partir de la condición de que todos los momentos 
internos de flexión de todas las hojas deben cancelarse mutuamente cuando la muelle está 
ensamblada pero sin carga. 
 
    0, 2  ii xeyxa (2.11) 
 
 
  
 


3
3
i
ii
xe
xeq
xqo (2.12) 
 
Donde: 
 
σa(x,y)i .- Esfuerzo de ensamble de la i-ésima hoja en una sección cualquiera. 
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EXPERIMENTALES 
 
ABRAHAM LICONA MAYETT 43 
 
qi .- Curvatura individual de la i-ésima hoja antes del ensamble (inverso del radio de curvatura 
qi = 1/Ri) 
qo(x).- Curvatura del muelle después del ensamble. Qo(x) = 1/Ro(x) 
 
El esfuerzo de ensamble puede ser calculado para cada hoja en cada sección, obteniendo la 
deformación de la hoja a partir del cambio de la curvatura y multiplicándolo por el módulo de 
elasticidad del material E, de la siguiente manera: 
 
    ii qxqoEyyxa , (2.13) 
 
Donde: 
 
y.- Distancia del eje neutro a cualquier punto de la hoja y es máxima en la superficie externa 
de la misma 
 
y = ± e(x)i / 2 
 
De aquí que los esfuerzos axiales máximos de ensamble en una sección transversal dada de 
cualquier hoja se encuentran en las superficies externas del material y puede obtenerse