Protótipo Didático para Estudo de Resonância por Desbalanceo Rotatório

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
 
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y 
ELÉCTRICA 
UNIDAD PROFESIONAL AZCAPOTZALCO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 México, D. F. 2009 
“PROTOTIPO DIDÁCTICO PARA EL ESTUDIO 
DEL FENÓMENO DE RESONANCIA 
PRODUCIDO POR DESBALANCEO 
ROTATORIO” 
T E S I S 
 
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE INGENIERO 
MECÁNICO Y ROBÓTICA INDUSTRIAL 
 
P R E S E N T A N: 
 
ALBERTO LEÓN ISLAS 
GRACIELA MONSERRAT RUBIO MORENO 
 
 Í N D I C E 
 
 PÁG
 
OBJETIVO i 
 
INTRODUCCIÓN i i 
 
ANTECEDENTES iv 
 
JUSTIFICACIÓN v 
 
CAPÍTULO 1 
MARCO TEÓRICO 
 
1.1 Generalidades 02 
1.1.1 Definiciones y Unidades. 04 
1.2 Elementos de un Sistema Vibratorio 06 
1.3 Clasificación de Vibraciones. 07 
1.4 Sistema vibratorio lineal, libre no amortiguado de un grado de libertad en 
 traslación 
 
09 
1.5 Vibración forzada excitada armónicamente 14 
1.5.1 Ecuación diferencial de movimiento 14 
1.5.2 Vibración forzada no amortiguada 15 
1.5.3 Vibración forzada con amortiguamiento viscoso 20 
1.6 Fuerza transmitida a la base 23 
1.7 Sistemas de dos grados de libertad 25 
1.8 Vibración libre no amortiguada 27 
1.8.1 Solución en forma matricial 32 
 
CAPÍTULO 2 
 
DESBALANCEO ROTATORIO Y CONTROL DE 
 VIBRACIONES 
 
 
2.1 Desbalance Rotatorio 36 
2.1.1 Introducción 36 
2.1.2 Demostración y fundamentos teórico matemáticos 38 
2.1.3 Fuerza transmitida 41 
2.2 Control mecánico de vibraciones 45 
2.2.1 Aislamiento de vibraciones 48 
2.2.2 Control de frecuencias naturales 49 
2.3 Amortiguador dinámico de vibraciones 49 
 
 
 
CAPÍTULO 3 
 
 SISTEMA ELECTROMECÁNICO Y CONTROL 
 ELECTRÓNICO 
 
 
 3.1 Microcontrolador 56 
 3.2 La pila 62 
 
 3.3 Software para PIC´S 66 
 
 
 
CAPÍTULO 4 
 
CARACTERIZACIÓN, DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DEL 
SISTEMA ELECTROMECÁNICO 
 
 
 4.1 Diseño del sistema mecánico de vibración 67 
 4.2 Diseño del amortiguador de vibraciones 73 
 
CAPÍTULO 5 
 
 CARACTERIZACIÓN, DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DEL 
SISTEMA ELECTRÓNICO COMPUTACIONAL 
 
 
 5.1 Material 78 
 5.2 Implementación de circuitos 81 
 
CONCLUSIONES 92 
 
BIBLIOGRAFÍA 
 
93 
 
 
 
 
 
 
i 
 
 
 
 
 
OBJETIVO 
 
 
 
 
 
 
 
DISEÑAR Y CONSTRUIR UN PROTOTIPO DIDÁCTICO PARA EL 
ESTUDIO DEL FENÓMENO DE RESONANCIA PRODUCIDO POR 
DESBALANCEO ROTATORIO DE UN MOTOR ELÉCTRICO, MONTADO 
EN UN VIGA EN VOLADIZO. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ii 
 
INTRODUCCIÓN 
 
 
Los fenómenos de vibraciones mecánicas son muy comunes, por ejemplo, 
permiten la comunicación, ya que los sonidos que escuchamos son el 
resultado de la vibración de al tas frecuencia de membranas que forman 
nuestros oídos, estímulos que procesa el cerebro separando las diversas 
frecuencias, con lo que se dist inguen las palabras y da signif icado y así se 
logra la comunicación. Como ejemplos de vibraciones de baja frecuencia en 
el cuerpo humano están la de los pulmones y el corazón. 
 
Un gran cantidad de equipo y maquinaria, que requieran para su 
funcionamiento movimiento rotatorios presentan una vibración, práct icamente 
inevitable (pero controlable) y es debida a desbalanceo de la masa de los 
componentes del sistema. Esto puede deberse a la fal ta de homogeneidad 
propia de todos los materiales usados en ingeniería, así como de defectos de 
manufactura normalmente inevitables dada la naturaleza propia de los 
procesos. La comprensión del fenómeno de desbalanceo ayuda a la 
reducción y control de esta si tuación que normalmente es indeseable, a 
menos que se induzcan vibraciones intencionalmente para mejorar ciertos 
procesos, pero aun en estos casos se debe tener un control del movimiento 
vibratorio, para un correcto diseño mecánico que permita una vida úti l 
adecuada del equipo o máquina por producir. 
 
Visual izar y entender el fenómeno de resonancia mecánica, no es tan simple, 
debido a que en desbalanceo rotatorio dicho fenómeno se presenta a una 
frecuencia de excitación relat ivamente baja, en comparación con las 
velocidades de operación normal de la maquinaria rotat iva; en principio se 
pudiera pensar que a mayor velocidad de rotación mayor respuesta 
desagradable o indeseable, pero no es así. 
 
Una vibración por desbalanceo no controlada produce esfuerzos excesivos en 
los componentes mecánicos lo que a su vez produce fal las prematuras, 
 
 
iii 
 
catastróficas e impredecibles, aparte de ser muy desagradables por la 
producción de ruido y malestar f ís ico al estar expuesto a dicha si tuación. 
Por todo lo antes mencionado resulta indispensable un estudio adecuado del 
fenómeno de desbalanceo rotatorio; por tal motivo se propone el desarrol lo 
de un disposit ivo que muestre los al tos valores de desplazamiento que se 
alcanzan durante la resonancia de un sistema mecánico. Para el lo se pensó 
en uno senci l lo, que consiste de un motor eléctr ico con velocidad controlada, 
que aumente desde cero a valores necesarios para alcanzar y luego rebasar 
los valores de giro donde se presenta la resonancia. Ese motor será 
sostenido mediante una viga en voladizo que es el elemento elástico que 
faci l i tará la osci lación de la masa del motor junto con su abrazadera. 
Posteriormente para proponer una forma de reducción de la ampli tud de 
vibración se colocará un sistema masa-resorte adicional a sistema masa-
resorte antes descrito, con lo que se observará una reducción importante en 
la ampli tud de vibración para la frecuencia en donde se presenta la 
resonancia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iv 
 
ANTECEDENTES 
Desgraciadamente cuando cursamos la asignatura de vibraciones mecánicas, 
tanto en la carrera de robótica como en la de mecánica, no tuvimos la 
oportunidad de asist i r a un laboratorio donde pudiéramos ver el fenómeno de 
resonancia mecánica, a pesar de ser una si tuación muy común en la vida 
cotidiana, por ejemplo sin percatarnos nos damos cuenta que al encender un 
automóvi l en su fase inicial el motor presenta una sacudida brusca 
momentánea, debido precisamente a la resonancia; también cuando se 
golpea fuertemente una l lanta del automóvi l se siente molestia en el volante 
cuando se alcanza cierta velocidad. No siempre estamos consientes de que 
es lo que sucede y mucho menos del porqué de esa si tuación. En una de la 
diversas visi tas industriales durante nuestros estudios profesionales, 
notamos que en cierta empresa que contaba con una grúa viajera, esta se 
balanceaba l igeramente cundo soltaba el material que transportaba. Con 
estos antecedentes se pensó en un sistema simple que nos indique dos de 
los elementos de un sistema vibratorio que son la elasticidad y la masa, así 
como del agente excitador que es debido a una pequeña masa des 
balanceada. Part iendo de los novedosos controles de velocidad de los 
motores eléctr icos se pensó en adaptarlo a nuestro sistema, añadiendo una 
pantal la que indique las revoluciones por minuto que se alcanzan al aumentar 
el voltaje suministrado al motor. Todo lo anterior montado en una base que 
sostiene una pequeña viga en voladizo, empotrada en un extremo y en el otro 
sosteniendo el motor de velocidad variable controlada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
v 
 
JUSTIFICACIÓN 
 
Este protot ipo está diseñado para la demostración y comprensión del 
fenómeno de resonancia para un programa de estudios como material 
didáct ico dedicado al diseño de sistemas mecánicos donde se puede 
presentar este t ipo de fenómeno regularmente, y así mediante la teoría 
elaborar practicas demostrat ivas que nos ayuden a anal izar y razonar el 
fenómeno que se presenta en sistemas vibratorios, ya que en la actual idad 
no se cuenta con este t ipo de apoyo didácticoConsiderando este prototipo un material didáctico para prácticas 
demostrat ivas encaminado al programa de estudios profesionales de 
Mecánica de Vibraciones podemos comprender mejor el fenómeno de 
resonancia y comprobar el comportamiento mediante el marco teórico y 
modelos matemáticos para su resolución donde este se presenta 
cotidianamente. Tomando en cuenta que en nuestra formación profesional no 
contamos con protot ipos que ayuden a visual izar este t ipo de fenómenos y 
así considerar esto como una aportación para mejorar y faci l i tar un estudio 
tan complejo y favorecer el desempeño del estudiante de ingeniería 
mecánica. 
 
 
 
 
 
 
IPN-ESIME MARCO TEÓRICO 
 
 ALBERTO LEON ISLAS MONSERRAT RUBIO MORENO 
1
 
 
MMAARRCCOO TTEEÓÓRRIICCOO 
 
 
 
 
 
Este Capítulo Trata Acerca De Los Conceptos Básicos De 
Vibración Mecánica Y Programación Que Nos Ayudarán Al 
Desarrollo De Nuestro Prototipo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2
 
 
 
1 .1 GENERALIDADES 
 
 
Vibraciones Mecánicas es el estudio del movimiento repetitivo de objetos relativo a un marco 
estacionario de referencia o posición nominal (usualmente la de equilibrio). Este movimiento 
puede ser de manera regular y repetirse continuamente o bien de manera irregular o de 
naturaleza aleatoria. Aunque el término vibración usualmente implica oscilación mecánica, 
condiciones similares prevalen en otras áreas, tales como circuitos eléctricos alternantes, 
ondas electromagnética y acústica. Sin embargo, sólo se tratará con vibración de sistemas 
mecánicos; ejemplos típicos de estos casos son el movimiento de una cuerda de guitarra, 
de un vehículo al transitar por caminos ondulados, o de edificios en un sismo. 
 
La explicación del fenómeno de vibraciones involucra el intercambio entre energía potencial 
y energía cinética. Las vibraciones inician cuando una masa (inercia) es desplazada de su 
posición de equilibrio debido a una energía impartida al sistema a través de una fuente 
externa. Una fuerza o momento restaurador jala a la masa a su posición de equilibrio. 
 
Tómese por ejemplo el péndulo simple mostrado. El trabajo 
mecánico, realizado sobre la esfera al desplazarla de su 
posición de equilibrio, desarrolla energía potencial ( h∆ ). 
Cuando la esfera es soltada la fuerza de gravedad la regresa a 
su posición de equilibrio, pero la energía potencial se comienza 
a convertir en energía cinética. Cuando la esfera pasa por la 
posición de equilibrio la energía potencial es cero pero la 
inercia de la esfera la obliga a continuar su movimiento. En 
ausencia de fuerzas no conservativas (rozamiento) la 
transferencia de energías es continua. 
 
Un sistema dinámico puede describirse en el siguiente esquema: 
 
 
h∆ 
 
 
 
 
 
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3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para describir los elementos anteriores, se sigue el siguiente orden respuesta, propiedades y 
por último la excitación. 
 
Todo análisis dinámico requiere un sistema de referencia, sobre el cual queden definidas las 
cantidades de posición, desplazamiento, velocidad y aceleración. Una selección adecuada 
facilita la aplicación de la herramienta matemática. 
 
En vibraciones mecánicas se puede utilizar cualquier coordenada que mida el 
desplazamiento (cartesiana, polar, etc.) Una coordina es una cantidad independiente que 
especifica la posición de una partícula. 
 
Un análisis adecuado de un sistema vibratorio exige una selección adecuada del sistema de 
coordenadas. Por ejemplo el análisis de un péndulo simple, puede utilizarse coordenadas 
cartesianas o rectangulares. Sin embargo este sistema tiene una restricción que es la 
longitud de la cuerda que sostiene la masa por lo que las coordenadas rectangulares están 
ligadas por la relación 222 lyx =+ , lo que tiene consecuencias importantes en el análisis del 
sistema. Esta restricción limita el movimiento de la masa. Así la posición de la masa puede 
ser descrita mediante la coordenada θ , ya que l es constante. 
 
Se define como grados de libertad de un sistema vibrante el número de parámetros 
independientes necesarios para definir su configuración, en cualquier instante. 
 
INERCIA 
RIGIDEZ 
AMORTIGUAMIENTO 
FUERZA 
MOMENTO 
DESPLAZAMIENTO 
DESPLAZAMIENTO 
VELOCIDAD 
ACELERACIÓN 
ESTIMULO, EXCITACIÓN 
O PERTURBACIÓN PROPIEDADES MECÁNICAS 
 
RESPUESTA
 
 
 
 
 
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4
 
Se denomina número de grados de l ibertad al número mínimo de coordenadas 
requeridas para describir completamente el movimiento de un sistema dinámico. 
 
El grupo de coordenadas que describen de manera generalizara y que reconocen las 
restricción se llaman coordenadas general izadas . 
 
Considérese que ahora el péndulo tiene movimiento de acuerdo a dos coordenadas 
angulares, θ y φ como se muestra en la figura. El movimiento de una coordenada es 
independiente de la otra. El movimiento en el que sólo una coordenada varía es llamado 
modo principal del movimiento. Analíticamente, la mayoría de los problemas no requieren 
el uso de coordenadas principales, pero su competo es sumamente importante. En sistemas 
lineales, todos los movimientos pueden ser descritos por la superposición de modos 
principales. 
 
 
 
1 .1 .1 DEFIN IC IONES Y UNIDADES 
 
 
Vibración: Una partícula experimenta una vibración mecánica cuando a 
intervalos iguales, pasa por las mismas posiciones animada por la misma 
velocidad. Se def ine por su desplazamiento, velocidad, aceleración y 
frecuencia. 
 
Vibración Mecánica: Movimiento periódico u osci latorio de un cuerpo, con 
respecto a su posición de equi l ibr io. 
 
Movimiento: Cambio de posición, desplazamiento, velocidad, aceleración. 
 
 
 
 
 
 
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5
Desplazamiento (amplitud): Es la distancia entre la posición de la partícula 
que vibra y su posición de reposo. Generalmente nos refer imos a la ampli tud 
máxima. Unidad: m 
 
Velocidad: Es la velocidad que anima a la partícula. Equivale a la derivada 
del desplazamiento con respecto al t iempo. Unidad: m/seg. 
Aceleración: Es la variación de la velocidad por unidad de t iempo y equivale 
a la segunda derivada del desplazamiento con respecto al t iempo. Unidad: 
m/seg2. 
 
Frecuencia propia del sistema: Es la frecuencia en la cual osci laría el 
sistema si se sacara de su estado de equi l ibr io. Es función de la masa y de 
la elast icidad de todos los sistemas que lo componen. Unidad: Hz. 
 
Resonancia: Cuando un sistema es excitado por una fuerza armónica 
externa, cuya frecuencia es igual a la frecuencia natural del sistema, la 
ampli tud de la vibración crece y se dice que el sistema está en la resonancia. 
 
Amortiguamiento: Cualquier inf luencia que extrae energía a un sistema en 
vibración se conoce como amortiguamiento. 
 
Sistema Vibratorio: Es todo cuerpo o conjunto de cuerpos, capaces de sufr i r 
v ibraciones mecánicas, que en general incluyen los siguientes partes:1) Un medio para almacenar energía potencial de deformación 
(elast icidad) 
 2) Un medio para almacenar energía cinética ( inercia –masa o 
momento de inercia) 
 3) Un medio para disipar energía gradualmente 
(amort iguamiento). 
 
Un Sistema vibrator io involucra la transferencia de energía potencial a 
cinética, y cinética a potencial , al ternadamente. El amortiguamiento disipa en 
cada ciclo energía hasta alcanzar el equi l ibrio cesa la vibración. 
 
 
 
 
 
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1 .2 ELEMENTOS DE UN SISTEMA VIBRATORIO. 
 
Elasticidad: Es la propiedad de los cuerpos físicos, que les permite deformarse y 
recuperar su forma y sus dimensiones originales, se mide mediante el módulo de elasticidad 
o rigidez, dependiendo del tipo de carga a que se someta el cuerpo durante la vibración. El 
elemento elástico de un sistema vibratorio se representa mediante un resorte con constante 
elástica k. Dado que el resorte es sólo una representación de una propiedad se considera 
carente de masa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inercia: Es la propiedad de los cuerpos rígidos en virtud e la cual ofrecen resistencia al 
cambio de su estado de movimiento. Si el cuerpo se mueva en traslación se mide mediante 
la masa, si el cuerpo esta rotando se mide mediante el momento de inercia respecto a su eje 
de giro. 
 
Amortiguamiento: Es el elemento disipador de energía, carece de masa y elasticidad, 
transforma la energía en calor y sonido. Su efecto tiende a reducir la amplitud de vibración 
con lo que se alcanza el estado de equilibrio. 
 
 
 
 
 
 
Nótese que los tres elementos descritos están relacionados con los parámetros cinemáticos 
de desplazamiento, aceleración y velocidad, respectivamente. 
 
 
 
 
 
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1.3 CLASIFICACIÓN DE VIBRACIONES. 
 
Las vibraciones mecánicas se clasifican de acuerdo con varios criterios, tomando en cuenta 
las características de los sistemas vibratorios: 
 
Tomando en cuenta el tiempo en que la excitación es aplicada al sistema puede ser: libre o 
forzada. 
 
Libre: Se presenta si el sistema es sometido a una perturbación inicial y continúa vibrando 
por si mismo 
 
Forzada: Se presenta cuando el sistema es sometido a una perturbación sostenida. 
 
Tomando en cuenta la disipación de energía puede ser no amortiguado o amortiguado. 
 
No amortiguada: Se presenta cuando la pérdida de energía es despreciable. 
Amortiguada: Considera la pérdida de energía en cada ciclo. 
 
Tomando en cuenta el comportamiento de los elementos que constituyen al sistema 
vibratorio: 
Lineal, se presenta si se consideran que los elementos de un sistema vibratorio (masa, 
elasticidad y amortiguamiento) tienen comportamiento mecánico lineal. 
 No Lineal, se presenta si se consideran que los elementos de un sistema vibratorio (masa, 
elasticidad y amortiguamiento) tienen comportamiento mecánico no lineal. 
 
De acuerdo con el número de grados de libertad, puede ser de un grado, de dos o de n 
grados de libertad. 
 
El método de análisis utilizado para resolver el problema matemático resultante de un 
modelo matemático de un sistema vibratorio depende de un gran número de factores. Un 
sistema con un número finito de grados de libertad, es un sistema discreto. La vibración de 
un sistema de un grado de libertad está regida por una ecuación diferencial ordinaria en la 
cual el tiempo es la variable independiente y la coordenada generalizada elegida es la 
 
 
 
 
 
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variable dependiente. La vibración de un sistema de varios grados de libertad está regida 
por un sistema de n ecuaciones diferenciales, donde n es el número de grados de libertad. 
Las variables dependientes son las coordenadas generalizadas elegidas mientras el tiempo 
es la variable independiente. Las ecuaciones diferenciales para el sistema de varios grados 
de libertad son sistemas generalmente acoplados. 
 
Un sistema continúo pero la aproximación a discreto por elemento finito es usada para 
resolver el problema. 
 
Un sistema alcanza vibración libre, cuando la vibración ocurre en ausencia de una excitación 
externa. Las vibraciones son iniciadas por el desarrollo de una energía cinética o potencial 
en el sistema. En ausencia de fuerzas no conservativas, vibración libre sostenida por si misa 
y en un movimiento periódico. Vibraciones que ocurren en la presencia de excitación 
externa son llamadas vibraciones forzadas. Si la fuerza de excitación es periódica, la 
excitación se dice ser armónica. Vibración forzada no periódica son llamadas vibraciones 
transitorias. 
 
Un sistema es lineal si está regido por una ecuación diferencial lineal. Un sistema es no 
lineal si su movimiento está gobernado por una ecuación diferencial no lineal. Bajo ciertas 
condiciones las vibraciones de sistema no lineales sometidos a excitación periódica pueden 
no ser periódicos. Tales sistemas son llamados caóticos. 
 
Si la fuerza de excitación es conocida en todo instante de tiempo, la excitación se dice ser 
determinística. Si la fuerza de excitación es desconocida, pero promedios y derivaciones 
normalizadas son conocidos, la excitación se dice ser aleatoria. En este caso la vibración 
resultante es también aleatoria, y no puede determinarse exactamente en cualquier instante 
de tiempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.4 SISTEMA VIBRATORIO LINEAL, LIBRE NO 
AMORTIGUADO DE UN GRADO DE LIBERTAD EN 
TRASLACIÓN 
 
En este caso sólo se desprecia el amortiguamiento, la excitación es una fuerza o movimiento 
inicial, así que sólo se considera la masa y elasticidad (Sistema Conservativo). 
 
Análisis Estático 
 
 
 
 
 
 
 
Análisis Dinámico 
 
 
 
 
 
 
La frecuencia natural, es la frecuencia con la cual un sistema mecánico vibra por sí sólo (sin 
fuerza externa), como resultado de una perturbación inicial. Es una medida de la 
susceptibilidad de un sistema a vibrar. 
 
F mxΣ = && → ( )estmg k x mxδ− + = && 
 
estmg k kx mxδ− − = && 
 
0mx kx+ =&& Ecuación de movimiento 
 
0kx x
m
+ =&& Si n
k
m
ω = 
 
nω → Frecuencia Circular Natural cuyas 
unidades son rads⎡ ⎤⎣ ⎦ 
 
2 0nx xω+ =&& Oscilador armónico mx&&
( )e estF k xδ= +
 mg
estδ 
e estF kδ=
estδ 
mg
 Por Equilibrio estmg kδ= 
 
 
 
 
 
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10
Para resolver la ecuación de movimiento, se asume la solución del tipo 
stx Ae= , derivándola 
dos veces da 
2 stx As e=&& , sustituyendo en la ecuación de movimiento. 
( ) ( )2 2 0t stnAs e Aeω+ = factorizando stAe se obtiene ( )
2 2 st
ns Aeω+ 0= 
de donde 
2 2 0ns ω+ = es la ecuación característica 
∴ 
2 2
ns ω= − ⇔ ns iω= ± 
 
entonces la solución es 
1 1
1 2
n ni t i ts t s tx x x ax bx ax bxω ω−= + = + = + 
esto es, las raíces son complejas y conjugadas. De la fórmula de Euler 
cosie isenθ θ θ± = ± 
( )cosni t n nax a t isentω ω ω= + 
 
( )cosni t n nbx b t isen tω ω ω= + 
 
 
sustituyendo en x, ( )cos n nx a t isen tω ω= + + ( )cos n nb t isen tω ω+ 
 
ordenado por función trigonométrica 
( ) ( )cos m nx a b t i a b sen tω ω= + + − 
o bien 
1 2cos n nx c t c sen tω ω= + 
o 
 ( )nx Xsen tω φ= + donde 
 
2 2
1 2X c c= + y 
1
2
1tan ccφ
−=
 ; derivando x 2 veces 
( )cosn nx X tω ω φ= +& ( )
2
n nx X sen tω ω φ= − +&& 
 
 
Los valores máximos se presentan cuando las funciones trigonométricas son iguales a uno. 
 
 
 
 
 
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11
x X= amplitud; m nx Xω=& ; 
2
m nx Xω= −&& 
 
Análisis del Movimiento Armónico Simple: En 0t = se presenta las condiciones iníciales 0x 
y 0x& , sustituyendo t y 0x , es la ec. de desplazamiento 
 
0 1 cos 0nx c ω= 2 nc sen tω+ ⇒ 0 1x c= 
en la ecuación de velocidad se tendrá 
0 1 0n nx c senω ω= −& 2 cos 0n nc ω ω+ ⇒ 
0
2
n
xc
ω
=
&
 
 
Sustituyendo 1c y 2c en la ec. de desplazamiento, se obtiene la respuesta x del oscilador 
armónico: 
 
0
0 cos n n
n
xx x t sen tω ω
ω
= +
&
( )nXsen tω φ= + 
 
Donde 
2
2 0
0
n
xX x
ω
⎛ ⎞
= + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
&
 y 
1 0
0
tan nx
x
ωφ −=
& 
 
 
Son tres las cantidades que definen la respuesta x, la amplitud X, en ángulo de fase f y la 
frecuencia natural nω . Las dos primeras dependen de la fuerza externa, especialmente de 
las condiciones iníciales, y el tercer de los factores de los parámetros del sistema, m y k. La 
frecuencia natural es una característica del sistema, siempre es la misma 
independientemente de las condiciones iníciales, de ahí el nombre de natural. 
 
Periodo y frecuencias de oscilación: de acuerdo con las definiciones 
 
 
 
 
 
 
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2
n
n
πτ
ω
=
 2
n
nf
ω
π
=
 
 
 
Conservación de la Energía: Para este sistema existen dos tipos de energía mecánica 
presentes, la cinética T, resultado del movimiento de la masa y la potencial V, resultado de la 
deformación del resorte desde su posición de equilibrio 
 
2 21 1
2 2; =T mx U kx= & 
 
La energía total E, es la suma de la cinética y la energía de deformación 
2 21 1
2 2 + E mx kx= & 
 
sustituyendo ( ) ( ) y cosn n nx Xsen t x X tω φ ω ω φ= + = +& 
 
( ) ( )
( ) ( )
2 21 1
2 2
2 2 2 21 1
2 2
 + cos
 = cos = 
n n n
n n
E m Xsen t k X t
kX sen t t kX
ω φ ω ω φ
ω φ ω φ
= + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦ 
 
Esto es la energía de sistema de libre no amortiguado de un grado de libertad es constante, 
para cualquier posición x. Dado que 
2
nk mω= 
 
2 2 21 1
2 2 = = = constantenE kX mXω 
 
Por tanto el sistema es conservativo 
Las gráficas de posición, velocidad y aceleración para un movimiento armónico simple que 
es el un sistema de un grado de libertad no amortiguado son las siguientes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 2
nXω 
Xω 
x 
 
 
 
 
 
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14
 
1 .5 VIBRACIÓN FORZADA EXCITADA 
ARMÓNICAMENTE 
 
 
Se presenta vibración forzada en un sistema mecánico, cuando se suministra 
permanentemente energía externa al sistema durante la vibración, ya sea por la aplicación 
de una fuerza o la imposición de un desplazamiento, si ambas excitaciones son armónicas, 
la respuesta de la masa también será armónica. 
 
1.5.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DE MOVIMIENTO. 
 
 
 
 
 
Dado que por equilibrio el peso mg y kxest se anulan, no se han considerado en el Diagrama 
de Cuerpo Libre. 
 
Aplicando la Segunda Ley de Newton ya ordenada, queda: 
 
( )F mx cx kx F tΣ = = − − +&& & 
 
∴ ( )mx cx kx F t+ + =&& & 
 
m 
 
c 
 
k xc& kx 
xm && 
F(t) 
 
F(t)=F0 sen ωft 
 
 
 
 
 
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15
 
Esta es una ecuación Diferencial Lineal Ordinaria no Homogénea de Segundo Orden, con 
Coeficientes Constantes, cuya solución consta de dos partes, la función complementaria xh y 
la solución particular xp, ph xxx += . La función complementaria, corresponde a la solución 
de la ecuación homogénea ( ) 0=tF , la cual es llamada solución transitor ia , ya que 
0hx → cuando el tiempo aumenta, por la función de decaimiento ( )nte ζω− ; que se debe a la 
presencia del amortiguamiento. La solución particular, representa la respuesta del sistema a 
la función fuerza F(t), y se denomina solución de estado estable , la cual ocurre de 
manera continua mientras la condición forzada esté presente. 
 
 
1.5.2 VIBRACIÓN FORZADA NO AMORTIGUADA. 
 
Primero se considera el caso en que el amortiguamiento es despreciable, la fuerza de 
excitación es armónica, es decir está en función del seno o del coseno, cuyo argumento 
contiene una frecuencia denominada f recuencia circular forzada y de la variable tiempo 
( )f tω , entonces la ecuación queda: ( ) 0 sen fmx kx F t F tω+ = =&& 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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16
La gráfica muestra la función F(t)=F0 sen ωf t en donde su periodo se define como 2
ff
π
ωτ = . 
 
 
 A continuación se obtendrá la solución particular, correspondiente a la respuesta del estado 
estable, la cual se obtiene suponiendo que la integral particular tiene la forma 
tBtAsenx ffp ωω cos+= 
 
Entonces la aceleración está dada por: ( )2 sen cosp f f fx A t B tω ω ω= − +&& pf x2ω−= 
Sustituyendo la aceleración y la respuesta en la ecuación de movimiento, se obtiene 
( ) ( ) tsenFtBtAsenktBtAsenm ffffff ωωωωωω 02 coscos =+++− , 
factorizando 
( ) ( ) tsenFtBmktAsenmk fffff ωωωωω 022 cos =−+− , 
 Igualando término a término 
2
0
fmk
FA
ω−
= y ( ) 0cos2 =− tBmk ff ωω ⇔ 0=B 
sustituyendo en px se obtiene: =px tsenmk
F
f
f
ω
ω 2
0
−
senf fX tω= 
donde fX = 20
fmk
F
ω−
 ampli tud de vibración forzada no amort iguada 
si se multiplica el numerador y denominador de la constante A por 1k 
( )
1
0 0
2
21 1
k
f
f
F XX
rk m
k
ω
= =
−−
 ∴ 0 02 21F f
F XX
k m rω
= =
− −
 
 →0X se denomina “desplazamiento estático”, es un desplazamiento 
ficticio que sirve de referencia y equivale al desplazamiento que produce Fo al resorte. 
 
n
fr
ω
ω
= → se denomina razón de frecuencias, la forzada entre la natural. 
Si 
2
0
1
1
fX
X r
β = =
−
, entonces 0 senp fx X tβ ω= donde →β se denomina factor de 
ampli f icación 
 
 
 
 
 
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17
 
Que es solución particular, la cual representa el movimiento de estado estable, si 
sen1f tω = ⇔ m fx X= 
0 0
0 2f
m
F FX X
k m
β β β
ω
= = = ⇒ 
2
2
0
1
1
f mX m
F r
ω
β = =
−
 
 
La variación del Factor de amplificación β está directamente ligada con la razón de 
frecuencias r. 
 
Dependiendo del valor de r, se pueden presentar tres casos: 
Caso 1. Cuando 0 < r < 1, es decir nf ωω < , el denominador 
21 r− es positivo, entonces se 
dice que la respuesta x del sistema está en fase con la fuerza externa, como se muestran 
en las gráficas. La fórmula de la respuesta no se altera. 
 
 
 
 
 
 
Caso 2. Cuando r > 1, es decir nf ωω > , el denominador es negativo, se acostumbre 
redefinir la respuesta x cambiando el signo del denominador, por lo que el factor de 
amplificación se define como 
 
2
1
1 r
β =
−
. En general 21 1rβ −= . 
 
0 sen fF F tω=
 
0F 
 
X 
px aτ 
t 
t 
 
 
 
 
 
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En este caso la fuerza de excitación y la respuesta están fuera de fase como muestran las 
gráficas. 
 
 
Caso 3. Cuando 1=r o nf ωω = , el denominador es cero, por lo que el factor de 
amplificación tiende a infinito ∞=β . Esta condición se conoce como Resonancia , la 
gráfica muestra que la amplitud de la respuesta crece lineal e indefinidamente con el tiempo, 
por tanto tsenXx fp ωβ0= , no define la variación del desplazamiento en el tiempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F 
0 sen fF F tω=
 
0F 
f tω 
px aτ 
f tω X 
2f tω π=
x 
f tω
 
 
 
 
 
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19
 
 
 
La influencia de la frecuencia forzada sobre la amplitud de vibración forzada Xf, puede 
estudiarse a través de la gráfica de r↔β , que muestra el valor absoluto del factor de 
amplificación como una función de la razón de frecuencias r. 
 
El factor de amplificación 211 rβ −= tiende a infinito cuando r se aproxima a 1, esto es cuando 
nf ωω = . 
 
 
 
 
 
Obsérvese que 1β = cuando r = 0 y 2r = , y sí r tiende a infinito ω, tiende a cero. 
Solución Completa. Sumando la solución homogénea y particular, en la forma de 
funciones armónicas se obtiene la solución completa: 
 
( ) 0h p a n fx x x X sen t X sen tω φ β ω= + = + + 
Respuesta: transitoria + estado estable 
 
Así el movimiento es la suma de dos curvas sinodales de diferente frecuencia. 
 
Esta ecuación contiene dos constantes arbitrarias X y φ , que pueden determinarse a partir 
de las condiciones iníciales. 
β 
r
 
 
 
 
 
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20
 
1 .5 .3 VIBRACIÓN FORZADA CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO 
 
La ecuación diferencial para este caso es ( )mx cx kx F t+ + =&& & 
Si la función forzada es ( ) tsenFtF fω0= entonces ( )tFkxxcxm =++ &&& tsenF fω0= 
 
Cuya solución para estado estable px puede suponerse en la forma 
 
tBtAsenx ffp ωω cos+= 
 
derivando dos veces y sustituyendo en la ecuación de movimiento: 
 
m ( )tBtAsen ffff 222 cosωωωω −− + c ( )tBsentA fff ωωω −cos +k ( )tBtAsen ff ωω cos+ =
tsenF fω0 
Ordenando y factorizando las funciones trigonométricas 
 
( ) ( )( )2 2sen cosf f f f f fk m A c B t c A k m B tω ω ω ω ω ω⎡ ⎤⎡ ⎤− − + + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ tsenF fω0= 
 
igualando términos se obtienen dos ecuaciones: 
 
( ) 02 FBcAmk ff =−− ωω ; ( ) 02 =−+ BmkAc ff ωω 
 
Para determinar el valor de las constantes A y B, se utiliza la Regla de Cramer: 
 
=
−
−−
−
−
=
2
2
2
0
0
ff
ff
f
f
mkc
cmk
mk
cF
A
ωω
ωω
ω
ω
( )
( ) ( )222
2
0
ff
f
cmk
mkF
ωω
ω
+−
−
; 
 
 
 
 
 
 
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21
=
−
−−
−
=
2
2
0
2
0
ff
ff
f
v
mkc
cmk
c
Fmk
B
ωω
ωω
ω
ω
( )
( ) ( )222
0
ff
f
cmk
cF
ωω
ω
+−
 
 
sustituyendo en xp, se obtiene 
 
 
=px
( )
( ) ( )
2
0
2 22
f
f f
F k m
k m c
ω
ω ω
−
− +
+tsen fω
( )
( ) ( )
0
2 22
f
f f
F c
k m c
ω
ω ω− +
tfωcos 
 
la cual puede escribirse como: 
 
=px
( ) ( )
0
2 22
f f
F
k m cω ω− +
( )fsen tω ψ− , donde 21tan
f
f
mk
c
ω
ω
ψ
−
= − 
 
Multiplicando por 1k , considerando mk n
2ω= , f
n
r
ω
ω
= , 
2 n
c
m
ζ
ω
= ⇔ nmc ωζ 2= 
 
y sustituyendo se obtiene =px
( ) ( )
0
2 221 2
X
r rζ− +
( )ψω −tsen f 
Donde 1 2
2tan
1
r
r
ζψ − ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠
 ángulo de fase entre la respuesta xp y la excitación F(t). 
 Además sí aβ =
( ) ( )2 22
1
1 2r rζ− +
 
 
La respuesta puede escribirse como 0p ax X β= ( )ψω −tsen f 
 
La amplitud de la respuesta forzada Xf, se presenta cuando el ( )ψω −tsen f = 1, así: 
 
 
 
 
 
 
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22
La gráfica corresponde a la función 
( ),a rβ ζ =
( ) ( )2 22
1
1 2r rζ− +
, 
y se conoce como curvas de respuesta amplificada – razón de frecuencias, en la cual se 
observa que: 
- Para r = 0 aβ =1. En este caso F(t) es una constante. 
- r ∞→ si aβ →0 . La amplitud de la respuesta forzada es pequeña para r grande 
 
( ) 00p f a amáx
Fx X X
k
β β= = = o bien 
ff k
FX β0= ⇒ 
( ) ( )
2
2 220 0
1
1 2
f f n
a
X k X m
F F r r
ω
β
ζ
= = =
− +
 
∴
0
f
a
X
X
β = , aβ es la relación entre amplitudes para vibración forzada amortiguada. 
 
 
 
 
Para cualquier valor de r, β decrece al aumentar ζ . 
 
El factor de amplificación es la cantidad por la que hay que multiplicar la amplitud X0 
(desplazamiento estático), para obtener Xf . 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
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23
Solución Completa: ( ) ( )0 sennta a a a fx X e sen t X tζω ω φ β ω ψ−= + + − 
 
Las constantes 0X y ψ dependen de las condiciones forzadas y aX y aφ de las 
condiciones iníciales. 
 
Son de interés los sistemas vibratorios sometidos a excitación armónica, cuando son 
sometidos a excitación por un periodo prolongado, como el caso de máquinas rotatorias, es 
decir cuando ∞→t , por lo que la solución de la parte homogénea tiende a cero; así que 
normalmente, sólo interesa la respuesta forzada permanente o de estado estable. 
 
 
 
1.6 FUERZA TRANSMITIDA A LA BASE 
 
Si se incrementa la rigidez k y el coeficiente de amortiguamiento c, la amplitud de vibración 
decrece, sin embargo aumenta la fuerza transmitida al soporte. La fuerza transitada al 
soporte en estado estable se determina a partir del Diagrama de Cuerpo Libre mostrado: 
 
T p pF kx cx= + & 
 
 
 
 
 
Sustituyendo los valores de x y x& en su forma compacta, se obtiene 
 
( ) ( ) ( ) ( )220 0 0cosT f f f f f f f f TF kX sen c X t X k c sen tβ ω ψ ω β ω ψ β ω ω ψ ψ= − + − = + − + 
 xc&
 
 mg 
 kx
 
 
 
 
 
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24
 
o bien ( ) ( )220T a f fF X k c sen tβ ω ω ψ= + − 
 
donde Tψψψ −=; además ( )ζ
ω
ψ r
k
c f
T 2tantan
11 −− =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
= 
 
También la Ecuación puede escribirse de la forma ( ) ( )20 1 2T a fF X k r sen tβ ζ ω ψ= + − 
 
Puesto que k
FX 00 = , la ecuación anterior queda como sigue: 
 
( ) ( )20 1 2T a fF F r sen tβ ζ ω ψ= + − o bien ( )0T T fF F sen tβ ω ψ= − 
 
donde ( )21 2T a rβ β ζ= + ( )
( ) ( )
2
2 22
1 2
1 2
r
r r
ζ
ζ
+
=
− +
 
 
El coeficiente Tβ , es la relación entre la amplitud de la fuerza transmitida y la amplitud de 
fuerza aplicada, es llamada Transmisibi l idad. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
r 
2
Tr
as
m
is
ib
ili
da
d 
 T
R
 
 
 
 
 
 
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25
La gráfica muestra la relación entre las cantidades rT ↔β , para diferentes valores de factor 
de amortiguamiento ζ . En esta gráfica se observa que 1>Tβ para 2<r , en esta región 
la amplitud de la fuerza transmitida es mayor que la fuerza aplicada. Para 2<r , la fuerza 
transmitida al soporte puede reducirse aumentando el factor ζ . Para 2>r se tendrá 
1<Tβ , esto es la amplitud de la fuerza transmitida es menor a la aplicada, y la amplitud de 
la fuerza trasmitida se incrementa al incrementar el factor ζ . 
 
 
 
 
1 .7 SISTEMAS DE DOS GRADOS DE LIBERTAD. 
 
El número de grados de libertad, necesarios para el análisis vibratorio de un sistema 
mecánico, es el número de coordenadas cinemáticamente independiente, requerido para 
especificar el movimiento de cada partícula contenida en el sistema; el número de grados de 
libertad se determina por: 
 
N° G.L.= N° de masas X N° de posibles tipos de movimiento de cada masa 
 
Así, un sistema de dos grados de l ibertad , requiere dos coordenadas cinemáticamente 
independientes para definir completamente su configuración; para cada coordenada se 
pueden escribir dos ecuaciones de movimiento, una para cada grado de libertad. Esas dos 
ecuaciones generalmente se presentan en forma de ecuaciones diferenciales acopladas, 
esto es, en cada ecuación se involucran las dos coordenadas independientes. Si se supone 
soluciones armónicas para cada ecuación de movimiento, se obtendrán dos frecuencias 
naturales, con lo que las amplitudes están relacionadas de una manera específica y dicha 
configuración es llamada, modo normal o modo principal o modo natural de 
vibración. Así un sistema de dos grados libertad tiene dos modos normales de vibración, 
correspondientes a las dos frecuencias naturales. La configuración de un sistema se 
especifica por un grupo de coordenadas independientes (una longitud y un ángulo, o dos 
longitudes, etc.). Al grupo de coordenadas utilizado se le llama coordenadas 
 
 
 
 
 
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26
general izadas. Las ecuaciones de movimiento de un sistema de dos grados de libertad, 
normalmente están acopladas, pero se podrá encontrar ecuaciones que contengan sólo una 
coordenada (desacoplar), y resolverse independientemente. Al grupo de coordenadas de las 
ecuaciones desacopladas se le llama coordenadas principales . 
 
 
COORDENADAS PRINCIPALES PARA DOS GRADOS DE LIBERTAD 
En un modo principal, si el movimiento de todas las partes del sistema pueden describirse 
por una coordenada simple sin referencia a cualquier otra, esta es una coordenada principal. 
Para definir el movimiento de n grados de libertar con una coordenada simple parece 
imposible, pero solo porque una coordenada principal es más una parámetro matemático 
que una coordenada geométrica por la posición que es directamente medido. En un sistema 
de tres grados de libertad, es simple expresar el movimiento en términos de dos o tres 
coordenadas, por las coordenadas ortogonales x, y y z, pero es difícil físicamente aceptar 
una coordenada principal que exprese todos los movimientos par las tres masas del sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.8 VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA 
 
 
Para m1 ( )1 1 1 1 1 2 2 1F m x k x k x xΣ = = − + −&& (1) 
 
Para 2m ( )2 2 2 2 2 1F m x k x xΣ = = − −&& (2) 
Ordenando 
( )1 1 2 1 1 2 2 0m x k k x k x+ + − =&& (3) 
 
1 1 2 1 2 2 0m x k x k x− + =&& (4) 
 
Cuyas soluciones son ( )φω += tsenXx n11 (5) 
 
( )φω += tsenXx n22 (6) 
 
Derivando dos veces respecto al tiempo 
 
( )21 1n nx X sen tω ω φ= − +&& (7) ( )22 2n nx X sen tω ω φ= − +&& (8) 
 
Sustituyendo 5-8 en 3 y 4 y reduciendo se obtiene: 
 
( )21 2 1 1 2 2 0nk k m X k Xω+ − − = (9) ( )22 2 2 2 1 0nk m X k Xω− − = (10) 
 
La solución no t r iv ia l se da solo sí el determinante de los coeficientes de 1X y de 2X es 
igual a cero 
2
1 2 1 2
2
2 2 2
n
n
k k m k
k k m
ω
ω
+ − −
=
− −
( )( )2 2 21 2 1 2 2 2 0n nk k m k m kω ω+ − − − = 
 
 
 
 
 
 
 
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28
O bien ( )4 21 2 1 2 2 1 2 1 2 0n nm m m k m k k k kω ω− + + + =⎡ ⎤⎣ ⎦ (11) 
 
Esta es la ecuación característica del sistema cuyas raíces son: 
 
2
2
1
4
2n
b b ac
a
ω − + −= y 
2
2
2
4
2n
b b ac
a
ω − − −= 
 
donde 21mma = ; −=b ( )1 2 2 1 2m k m k k+ +⎡ ⎤⎣ ⎦ ; =c 21kk 
 
Esto muestra que es posible tener dos soluciones armónicas no triviales, una para cada valor 
de nω . Falta determinar los valores de 1X y 2X para 1nω y 1X y 2X para 2nω . Puesto 
que las ecuaciones de movimiento son homogéneas, sólo se puede encontrar las relaciones 
( )
( )1
1
1
2
1 X
X
=β y 
( )
( )2
1
2
2
2 X
X
=β : 
 
 
( )21 2 1 1 2 2 0nk k m X k Xω+ − − = ⇔ ( )21 2 1 1 2 2nk k m X k Xω+ − = ⇒ 
 
( )
( )
1 2
1 2 1 12
1
21
nk k mX
kX
ω+ −
= 
 
( )22 2 2 2 1 0nk m X k Xω− − = ⇔ ( )22 2 21 2 1nk m X k Xω− = ⇒ 
( )
( )
2
2
12
2
1
1
1
2
mk
k
X
X
nω−
= 
∴ 
( )
( )1
1
1
2
1 X
X
=β
2
1 2 1 1
2
nk k m
k
ω+ −
= =
2
2
12
2
mk
k
nω−
 
 
donde ( )11X es la amplitud de la masa 1, 
( )1
2X amplitud de la masa 2, para la frecuencia 
natural uno. La solución correspondiente a 1nω , es 
 
( ) ( ) ( )1 11 1 1 1nx X sen tω φ= + ; ( ) ( ) ( )1 12 2 1 1nx X sen tω φ= + 
 
 
 
 
 
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29
 
o bien ( ) ( ) ( )111111 φω += tsenXx n ; ( ) ( ) ( )1111112 φωβ += tsenXx n 
 
Para la frecuencia natural 2 
( )
( )2
1
2
2
2 X
X
=β
2
1 2 2 1
2
nk k m
k
ω+ −
= =
2
2
22
2
mk
k
nω−
 
 
( ) ( ) ( )122121 φω += tsenXx n ; ( ) ( )122222 φω += tsenXx n 
 
 o bien ( ) ( ) ( )122121 φω += tsenXx n ; ( ) ( ) ( )1221122 φωβ += tsenXx n 
 
Las relaciones 1β y 2β se denominan modos de vibración o modos principales de 
vibración. 
 
La solución completa, x1 y x2, pueden obtenerse mediante la suma de las dos soluciones 
respectivas: 
 
( ) ( )++=+=1121121111 φωβ tsenXxxtx n ( )212212 φωβ +tsenX n 
 
( ) ( )++=+= 112122212 φω tsenXxxtx n ( )21222 φω +tsenX n 
 
Las cuatro constantes se determinan a partir de las condiciones iniciales, derivando las dos 
cauciones anteriores se obtiene: 
 
( ) ( )1 1 1 21 1 1n nx t X sen tω β ω φ= + +& ( )2122122 φωβω +tsenX nn 
 
( ) ( )2 1 21 1 1n nx t X sen tω ω φ= + +& ( )21222 φω +tsenX n 
 
Las condiciones iniciales se establecen de la siguiente manera: 
 
( ) 101 0 xx = ( )1 100x x=& & 
 
 
 
 
 
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30
( ) 202 0 xx = ( )2 200x x=& & 
 
Sustituyendo en las ecuaciones de la soluciones, quedan 
 
2222121110 φβφβ senXsenXx += 
22212120 φφ senXsenXx += 
10 1 1 21 1 2 2 22 2n nx X sen X senω β φ ω β φ= +& 
20 1 21 1 2 22 2n nx X sen X senω φ ω φ= +& 
 
Para el caso en el que m1 y m2 sean iguales a m; y k1 y k2 sean iguales a k, se obtiene: 
 
2ma = ; mkb 3−= 2kc = ⇒ 
( )2 2 2 22
2
3 9 4
2n
mk m k m k
m
ω
± − ⋅ ⋅
= 
 
∴ 1
53
4n
k k
m m
ω = + 0.382 k
m
= 2
53
4n
k k
m m
ω = + 2.618 k
m
= 
 
Sustituyendo en la ecuación 10 los valores de nω 
( )2 2 22 2 2 2 1 2
1 2 2
 n
n
X kk m X k X
X k m
ω
ω
− = ⇒ =
−
 
 
2
1
(1)
(1)
0.382 km
X k
X k
=
− ( )2 m
k
=
k 0.146 k−
1.171= 
 
2
1
(1)
(1)
2.618 km
X k
X k
=
− ( )2 m
k
=
k 6.854 k−
0.171= − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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31
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 1.171
1 -1.171 
 
 
 
 
 
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32
1.8.1 SOLUCIÓN EN FORMA MATRICIAL. 
 
 
Para sistemas vibratorios de más de un grado de libertad, es más conveniente utilizar la 
notación matricial, para escribir las ecuaciones de movimiento obteniéndose el vector modal 
y las frecuencias naturales como valores propios. Las ecuaciones 1 y 2 en forma matricial 
queda: 
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
1
0
0
m
m
 1
2
x
x
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
&&
&&
 + ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−+
22
221
kk
kkk
 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
1
x
x
 = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
0
0
 
 
o en su forma compacta [M][x] + [k][x] = [0] 
 
donde [x] y [x] son los vectores de desplazamiento y aceleración, y [M] y [K] son las 
matrices simétricas de masa y rigidez respectivamente, para un sistema de dos grados de 
libertad. 
 
La forma general de ambas matrices es: 
 
[M]= ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2221
1211
mm
mm
 ; [K]= ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2221
1211
kk
kk
 
 
Los subíndices reciben los nombres de, subíndices de masa o inercia, y subíndices de 
rigidez o elásticos, respectivamente. En este caso == 2112 mm 0 , por tanto la matriz es 
diagonal, entonces 1x&& y 2x&& , están dinámicamente desacopladas. No así las k, por tanto 1x 
y 2x están elásticamente acopladas. 
 
Procedimiento de Solución: Para resolver la ecuación en forma matricial, se sigue un 
procedimiento similar al establecido, para un sistema de un grado de libertad, se supone la 
solución de la forma: 
[x] = [X] ( )φω +tsen n donde [X] = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
1
X
X
 
 
 
 
 
 
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33
 
Derivando dos veces [ x&& ] = 2nω− [X] y sustituyendo 
 
-ω2[M] [X] ( )φω +tsen n + [K] [X] ( )φω +tsen n = 0 cuya ecuación característica es 
 
[K] -ω2 [M] = [0] 
 
Esta ecuación es no trivial su el determinante de sus coeficientes es igual a cero | [K] -ω2 [M] 
| = 0 
 
[K] –ω2[M] = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2221
1211
kk
kk
 -ω2 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2221
1211
mm
mm
 = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−−
22
2
2221
2
21
12
2
1211
2
11
mkmk
mkmk
nn
nn
ωω
ωω
 
 
| [K] -ω2 [M] | = 
22
2
2221
2
21
12
2
1211
2
11
mkmk
mkmk
nn
nn
ωω
ωω
−−
−− ( )( )2 211 11 22 22 .n nk m k mω ω− − ( )( )2 212 12 12 21 0n nk m k mω ω− − = 
 
haciendo la multiplicación y ordenando queda: 
 
( ) ( ) 0. 2112221111222211211221122211222112 =−+−++− kkkkkmkmkmkmmmmm nωω 
 
Si las matrices de masa y rigidez son simétricas, estos 2112 mm = y 2112 kk = , entonces 
 
( ) ( ) 02 2122211112222221212221222114 =−+−−+− kkkkmkmkmmmm nn ωω 
 
resolviendo para 1nω y 2nω se obtienen la solución siguiente: 
 
[x] = [X1] ( )φω +tsen n1 + [X2] ( )φω +tsen n2 
 
donde [X1] y [X2] son los vectores de las amplitudes dadas por [X1] = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
12
11
X
X
 ; 
 
 
 
 
 
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34
 [X2] = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
22
21
X
X
 
 
Las amplitudes se relacionan entre por 
21
11
1 X
X
=β ⇒ 21111 XX β= ; 
 
22
12
1 X
X
=β ⇒ 22112 XX β= 
 
Así los vectores [X1] y [X2] quedan [X1] = 21
1
21
211
1
X
X
X
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ ββ
 y [X2] = 
22
2
22
222
1
X
X
X
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ ββ
 
 
 
Finalmente La solución queda: 
 
[x] = =⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
1
x
x
 21
1
1
X⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡β ( )11 φω +tsen n + 2221 X⎥⎦
⎤
⎢
⎣
⎡β ( )22 φω +tsen n = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
11
21 ββ 
( )
( )⎥⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
2222
1121
φω
φω
tsenX
tsenX
n
n 
 
Para condiciones iníciales [x] = =⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
20
10
x
x
 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
11
21 ββ ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
222
121
φ
φ
senX
senX
 
 
 
 
 
 
 
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35
 
 
 
DDEESSBBAALLAANNCCEEOO RROOTTAATTOORRIIOO 
YY CCOONNTTRROOLL DDEE 
VVIIBBRRAACCIIOONNEESS.. 
 
 
 
 
 
EN ESTE CAPITULO HABLARA ACERCA DE LA DEFINICIÓN DE 
DESBALACEO ROTATORIO, DONDE OCURRE LAS 
CONSECUENCIAS Y SU COMPORTAMIENTO. 
 
 
 
 
 
 
 
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36
 
2 . 1 D E S B A L A N C E O R O T A T O R I O . 
 
2 .1 .1 INTRODUCCIÓN. 
 
Una muy común fuente problemática de vibración es la maquinaria rotatoria. Muchas máquinas 
y dispositivos tienen componentes rotatorios, usualmente manipulados por motores eléctricos. 
 
Pequeñas irregularidades en la distribución de la masa que rota pueden causar vibraciones 
substanciales. A este fenómeno se le conoce como desbalance rotatorio. 
 
El desbalance o desequilibrio es la no coincidencia del centro de gravedad con el centro de 
giro, que al girar induce una fuerza centrífuga no compensada que rota a la velocidad de giro. 
Cuando el sistema rotativo es esbelto el desbalance puede ser de los siguientes tipos: 
1. Desbalance estático: los ejes son paralelos, de manera que el centro de gravedad no 
está en el eje de giro. 
2. Desbalance de par: El eje central principal intercepta con el eje de giro en el centro 
de gravedad del rotor, se produce un efecto de par. 
3. Desbalance cuasi-estático: El eje central principal intercepta al eje de rotación pero 
no en elcentro de gravedad del rotor. 
4. Desbalance dinámico: Es el caso más común, combinación de los anteriores en que 
los ejes no se cruzan y están en cualquier posición en el espacio. 
 
Realizar el balanceo es añadir o remover pesos de corrección, de manera que el eje principal 
de inercias se aproxime al eje de giro hasta que la vibración residual está dentro de los niveles 
considerados como admisibles. 
 
Los niveles permisibles están definidos por la norma ISO 1940 que establece categorías de 
máquinas y considera para el cálculo el peso del rotor y la velocidad de giro. Además se 
proporcionan especificaciones para los rotores en un estado constante (rígido) y se especifican 
las tolerancias de equilibrio, el número necesario de planos de corrección, y métodos para 
 
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37
verificar el desequilibrio residual. 
 
El balanceo dinámico puede realizarse de dos formas, en banco de pruebas (el nivel final de 
vibración seguro para la máquina) o en sitio (en condiciones de servicio). 
 
 
 
Mediante el “Análisis de Vibraciones” se determina la condición de las máquinas rotativas 
definiendo no solo el grado de desbalance, sino también el desalineamiento, presencia de 
holguras mecánicas, bases y cimentaciones insuficientes, desgaste de piezas internas, 
interferencia de engranajes, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este Análisis requiere de toda la información de la cadena cinemática, el tipo de rodamientos, 
las velocidades de giro, el número de dientes del las ruedas dentadas, el número de aspas de 
los ventiladores, las condiciones de soporte, etc. 
 
 
 
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38
 
 
2 .1 .2 DEMOSTRACIÓN Y FUNDAMENTOS TEÓRICO 
MATEMÁTICOS. 
 
Se muestra el modelo de una máquina rotatoria de un grado de libertad, soportada por una 
base con elasticidad k y amortiguamiento c. La máquina de masa total m, tiene un rotor que 
gira con respecto al centro en el punto O, con velocidad angular Rω srad ; normalmente la 
masa no está distribuida uniformemente, lo que produce desbalanceo, el cual es equivalente a 
una masa excéntrica m', que gira con excentricidad e, del centro de giro del rotor, la fuerza 
centrífuga de la masa m' está dada por 2Rm eω′ y su componente vertical por 
2
Rm eω′ Rsen tω : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La ecuación diferencial del movimiento para este caso es: 
 
2
R Rmx cx kx m e sen tω ω′+ + =&& & 
 Si: 
=oF
2
Rm eω′ 
 Y además: 
n
k
m
ω = 
c k
 
cx& kx 
m 
 
 
 
m’ 2
0 RF meω=
 
 
Rtω 
x 
Rω 
mx&& 
O 
 mg
 
e 
 
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39
La solución de la ecuación para estado estable es de la forma ( )senR Rx X tω ψ= − , derivando 
esta solución dos veces, sustituyendo y desarrollando se obtienen expresiones similares al caso 
de vibración forzada amortiguada: 
 
( ) ( )
2
0
2 22
R
p
R R
F m ex
k m c
ω
ω ω
′=
=
− +
( )Rsen tω ψ−
( ) ( )
( )0
2 221 2
R
X sen t
r r
ω ψ
ζ
= −
− +
 
Donde: 
1
2
2tan
1
r
r
ζψ −=
−
 
 
Físicamente, es el ángulo entre el brazo de excentricidad y la referencia horizontal de Rtω . Dado 
que: 
k
FX 00 = ⇔ ( )0p a R
Fx sen t
k
β ω ψ= − 
Donde: 
( ) ( )2 22
1
1 2
a
r r
β
ζ
=
− +
 
 
O bien: 
2 2
20
0 2
R R
n
F m e m e m eX r
k k m m
ω ω
ω
′ ′ ′⎛ ⎞= = = = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
Sustituyendo 0X en px se obtiene: 
( ) ( )
( )2
2 22
1
1 2
p R
m ex r sen t
m r r
ω ψ
ζ
′⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠ − +
( )R R
m e sen t
m
β ω ψ
′⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
El desplazamiento, es el de la masa total del sistema m, no la de la masa excéntrica. 
Donde: 
( ) ( )
2
2 221 2
R
r
r r
β
ζ
=
− +
ar β
2= 
 
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40
 
 
La amplitud de desplazamiento ( )
máxpR
xX = , se presenta cuando el ( ) 1Rsen tω ψ− = 
por tanto: 
=RX R
m e
m
β
′
 
O bien: 
R
R
X m
m e
β =
′
 
 
 
La siguiente gráfica muestra los valores del factor de amplificación ( )ζβ ,rR contra la 
razón de frecuencias r: 
 
1. 0=Rβ si 0=r para todo valor de ζ . 
2. 1≈Rβ para r grande y todos los valores de 
ζ . 
3. Si r = 1 y ζ = 0, se presenta resonancia. 
4. Para 0 < ζ < 1
2
 Rmβ tiene su máximo para 
mr : 
2
1
1 2
mr
ζ
=
−
 
5. Para 0 < ζ < 1/ 2 el valor de Rmβ es: 
2
1
2 1
R
Rm
MX
me
β
ζ ζ
= =
−
 
6. Para ζ > 1
2
 Rmβ no tiene máximo, se 
aproxima a 1, al crecer r. 
 
 
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41
 
2 .1 .3 FUERZA TRANSMITIDA. 
 
Del diagrama de cuerpo se obtiene la fuerza transmita al soporte debido al desbalance de la 
masa: 
R p pF kx cx= + & 
Sustituyendo px y px =& ( )cosR r R R
m e t
m
ω β ω ψ
′⎛ ⎞ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
: 
 
( ) ( )cosR R R R R R R
m eF ksen t c t
m
β ω ψ ω ω ψ
′⎛ ⎞= − + −⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠
 
 
La cual puede también escribirse en la forma: 
 
( ) ( )22R R R Rm eF k k c sen tm β ω ω ψ
′⎛ ⎞= + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
Si se multiplica por k k , se transforma en: 
( ) ( )21 2R R Rm eF k r sen tm β ζ ω ψ
′⎛ ⎞= + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
Puesto que 2nk m ω= y definiendo: 
TRβ = Rβ ( )
21 2rζ+ =
( )
( ) ( )
22
2 22
1 2
1 2
r r
r r
ζ
ζ
+
− +
 
Su forma compacta queda como sigue: 
( ) ( )2. . .R n T R fF me sen tω β ω ψ= − 
 
El valor máximo de fuerza transmitida se presenta cuando: 
 
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42
( ) 1fsen tω ψ− = 
 
 
Y así: 
( ) TrnR meF βω 2= 
O bien: 
( )2TR n TRF meω β= 
 
 
 
CABECEO DE EJES ROTATORIOS. 
 
 
En el estudio previo de desbalance se considera al eje que sostiene al rotor como rígido; sin 
embargo, en la práctica existe una deformación (flecha) que aumenta los efectos vibratorios, 
aunado a efectos giroscópicos, al rozamiento del fluido en los rodamientos, la rigidez general, 
etc. Todo lo anterior produce un giro complejo del sistema eje- masas, que sostiene (engranes, 
turbinas, volantes, etc.), que se conoce como cabeceo, este se define, como la rotación del 
plano entre la línea de centros de los rodamientos y la línea elástica del eje. 
Asumiendo que el rotor está sometido a excitación de estado estable, debido al desbalanceo, 
las fuerzas actuantes en él son: la fuerza de inercia debida a la aceleración del centro de masa, 
la fuerza elástica debida a la elasticidad del eje y la fuerza de amortiguamiento externo e 
interno. 
 
( ) ( )ˆ ˆcos R RR x a t i y asen t jω ω= + + +
r
 
( ) ( )2 2ˆ ˆcosR R R RR x a t i y a sen t jω ω ω ω= + + +
r&& && &&
 
 
F mR= =∑
r
&& ( ) ( )2 2ˆ ˆcosR R R Rm x a t i y a sen t jω ω ω ω⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦&& && = ( )ˆ ˆk xi yj c− + − ( )ˆ ˆxi yj+& & 
 
 
 
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43
Ordenando: 
( )2 ˆRmx ma cx kx iω− + + +&& & ( )2 ˆ 0Rmy ma cy ky jω− + + =&& & 
 
 
 
Las ecuaciones escalares son: 
 
2 cosR Rmx cx kx ma tω ω+ + =&& & y 
2
R Rmy cy ky ma sem tω ω+ + =&& & 
 
Estas dos ecuaciones son muysimilares a las de desbalance, sus soluciones son: 
 
( ) ( )
( )
2
2 22
cos
1 2
R
arx t
r r
ω ψ
ζ
= −
− +
 y ( ) ( )
( )
2
2 221 2
R
ary sen t
r r
ω ψ
ζ
= −
− +
 
 
Estas soluciones están desfasadas 90°, además el ángulo ψ no depende de la fase de la 
fuerza de excitación, sino corresponde al ángulo entre las líneas OE y EG. 
 
( )
( ) ( )
tan tan
cos
R
R
R
sen ty t
x t
ω ψ
ψ ω ψ
ω ψ
−
= = = −
− si Rtθ ω ψ= − ⇔ Rθ ω=
&
 
Con θ& la velocidad de cabeceo (vibración lateral), que es el movimiento angular de un árbol 
deformado, respecto a su eje longitudinal. 
 
 
La amplitud de cabeceo del movimiento del centro del árbol respecto al eje longitudinal es la 
línea 
ˆ ˆOE xi yj= + . 
 
( ) ( )2 2cosR ROE X sen t t Xω ψ ω ψ= − + − = 
Donde: 
 
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44
( ) ( )
2
2 221 2
c
arX
r rζ
=
− +
 
 
 
 
 
 
La Velocidad Crítica ( crω ). 
 
La experiencia establece que para determinar la reacción de los rodamientos, primero se 
determina la deflexión del centro de masa del disco R, de la figura: 
 
22 2 2 cosR OE a OEa φ= + + 
( )
( ) ( )
2
2 22
1 2
1 2 2
r
R a
r
ζ
ζ
+
=
− +
 
 
Las reacciones se determinan a partir de la fuerza centrífuga 
2
Rm Rω , en la resonancia las 
frecuencias son iguales por tanto F kR= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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45
 
2 .2 CONTROL MECÁNICO DE VIBRACIONES 
 
Las vibraciones indeseables son aquel las que producen molestia o r iesgo a las 
personas, causan daño o fal las en las estructuras, deterioran la ejecución o 
funcionamiento de maquinaría y procesos; a continuación se esquematizan 
algunos sistemas mecánicos cometidos a vibraciones no deseables: 
 
Esta f igura representa una máquina alternativa montada en una cimentación 
rígida, la cimentación soporta la carga estática igual a su peso más una 
componente armónica debida a la inercia por desbalanceo. 
 
 
 
Esta f igura representa una prensa para forja montada en su cimentación. 
Durante su operación, el yunque es golpeado por un peso de manera súbita. El 
impacto causa una fuerza impulsiva, que se transmite a la cimentación, lo que a 
su vez produce vibraciones. 
 
 
 
Bomba que suministra l íquido. La velocidad de operación de la bomba puede 
ser cercana a la frecuencia natural de la l ínea de distr ibución, lo que puede 
producir resonancia. 
 
cimentación
 
 cimentación 
 
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46
 
 
 
Uno de los objetivos del anál is is de vibraciones es apl icar sus resultados en la 
comprensión de cómo las vibraciones indeseables pueden ser reducidas o 
el iminadas, desarrol la los pr incipios de diseño para el ais lamiento de sistemas. 
También puede introducirse elementos vibrator ios para contrarrestar las 
vibraciones del sistema mecánico principal, protegiéndose de la transmisión de 
fuerzas o movimientos indeseables. 
 
El control de vibraciones , es el uso del anál isis de vibraciones para desarrol lar 
métodos que el iminen o reduzcan vibraciones indeseables. 
 
Para el estudio del control de vibraciones, los sistemas se ideal izan de acuerdo 
con el s iguiente esquema: 
 
 
 
 
La mit igación de vibraciones está relacionada con cada una de las partes 
descri tas en este esquema: 
 
1. Aislamiento.- t iende a reducir la transferencia de fuerza o movimiento 
debida a la excitación de la vibración, F(t) 
2. Modif icar el diseño del sistema.- consiste en modif icar o rediseñar los 
Bomba
 EXCITACIÓN 
F(t) 
RESPUESTA 
x(t) 
SISTEMA MECÁNICO S 
 
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47
parámetros del sistema vibratorio de manera que para un mismo nivel de 
excitación, se obtenga una respuesta aceptable. Por tanto trata con el 
s istema S . 
3. Disipar.- consiste en absorber o disipar las vibraciones, ut i l izando aparatos 
externos. Trata con la respuesta x(t) 
 
Dentro de estas tres categorías, existen varios métodos para alcanzar el 
objetivo de mit igación de vibraciones, los cuales involucran corregir, diseñar y 
controlar los parámetros vibrator ios o incluir sistemas adicionales. 
 
La excitación puede reducirse mediante balanceo mecánico o agregando un 
aislador, el cual puede ser pasivo o act ivo. El aislador activo requiere controles 
especiales para su funcionamiento. Al cambiar cualquiera de los parámetros 
del sistema vibratorio (m, c, k) , la respuesta obtenida cambiará, por lo que un 
rediseño del sistema pudiera corregir una respuesta inapropiada. Por úl t imo, 
se puede agregar otro sistema vibrator io (amort iguador) al primario que reduzca 
su respuesta, en este caso también puede ser el amortiguador pasivo o act ivo. 
 
En la práctica es posible reducir vibraciones, pero no se pueden el iminar las 
fuerzas dinámicas que las producen, para controlarlas se pueden usar varios 
métodos como los siguientes: 
 
 
 
1. Controlar las Frecuencia Naturales del sistema evitando la resonancia 
debidas a excitaciones externas. 
2. Prevenir la respuesta excesiva del sistema o resonancia, mediante la 
introducción de mecanismos amort iguadores o disipadores de energía. 
3. Reducir o la transmisión de fuerzas de excitación de una de las partes de 
la máquina a otra, por el uso de aisladores de vibraciones. 
4. Reducir de la respuesta del sistema, por la adición de masas auxi l iares 
que neutral icen o absorban vibraciones. 
 
 
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48
 
2.2.1 AISLAMIENTO DE VIBRACIONES. 
 
Es un procedimiento que reduce los efectos indeseables de las vibraciones. 
Básicamente, involucra la inserción de un miembro elástico entre la masa 
vibrante y la fuente de la vibración, para reducir la respuesta dinámica del 
sistema. Los aisladores pueden ser act ivos o pasivos, dependiendo de sí 
requiere potencia externa o no para ejecutar su función aisladora. Un aislador 
pasivo consta de un miembro elástico y una disipador de energía 
(amortiguador), por ejemplo un resorte, corcho, f iel tro, resorte neumático, hule. 
Un aislador activo está compuesto de un servomecanismo con un censor, un 
procesador de señal y un actuador. La eficacia de un aislador es establecida 
en términos de su Transmisibi l idad (Tr) , la cual se def ine como la relación entre 
las ampli tudes de la fuerza transmit ida y la fuerza de excitación. 
 
Los aisladores puede usarse en dos si tuaciones: 1° La base o cimiento de la 
máquina se protege contra grandes fuerzas desbalanceadas (máquinas 
alternativas o rotator ias), o fuerzas impulsivas (prensas de forja o troquelado), 
en este caso la fuerza es trasmit ida a través del resorte y el amortiguador. En 
un sistema de un grado de l ibertad, la fuerza transmit ida está dada por: 
xckxFT &+= . Si la fuerza transmit ida varia armónicamente, como en el caso de 
desbalanceo alternat ivo, el esfuerzo resultante en los torni l los de la base varía 
armónicamente, lo que produce fal la por fat iga. Si no es trasmit ida 
armónicamente su magnitud está l imitada a valores permisibles seguros. 
 
El 2° t ipo, el sistema es protegido contra el movimiento de su base o cimiento 
(con enel cado de la protección de instrumento o equipo del icado). Si el 
instrumento es modelado como un sistema de un grado de l ibertad, la fuerza 
transmit ida está dada por; donde: ( ) ( )TF mx k x y c x y≡ ≡ − + −&& & & ( )yx − y 
( )x y−& & representan el desplazamiento y velocidad relat ivas del resorte y 
amortiguador respectivamente. 
 
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49
 
2.2.2 CONTROL DE FRECUENCIAS NATURALES. 
 
La característ ica más importante de la resonancia es el gran desplazamiento 
que sufre el sistema, lo que produce al tos esfuerzos, que a su vez provocan la 
fal la de los miembros mecánicos. Las frecuencias de osci lación pueden ser 
requerimientos funcionales; sin embargo deben ser modif icas para evitar la 
resonancia, ya sea variando a conveniencia la masa o la r igidez de los 
elementos del sistema. Normalmente se cambia la r igidez; por ejemplo en un 
eje de transmisión se puede al terar el material o la local ización de los apoyos. 
 
 
 
2.2.3 AMORTIGUADOR DINÁMICO DE VIBRACIONES 
 
Cuando un sistema mecánico de un grado de l ibertad, trabaja con frecuencia de 
operación cercana a la natural (resonancia), la respuesta armónica será 
grande; para reducir la magnitud de la respuesta se uti l iza un neutral izador de 
vibraciones o un amortiguador dinámico de vibraciones. Que consiste en 
agregar otro sistema masa-resorte al sistema principal; este sistema adicional 
se denomina amort iguador dinámico de vibraciones. Entonces el sistema 
principal, más el sistema amortiguador forman un sistema de dos grados de 
l ibertad, con dos frecuencia naturales de valores dist intos al valor de la 
frecuencia natural del sistema principal independiente. Los amort iguadores a 
menudo son uti l izados en máquinas que trabajan a velocidad constante, tales 
como máquinas al ternativas, compactadoras, rasuradoras eléctr icas, en l íneas 
de transmisión, etc. 
 
Un amort iguador de vibraciones es un sistema masa-resorte auxi l iar, que 
correctamente sintonizado (ajustado en resonancia del sistema principal) y 
unido a un cuerpo sometido a excitación armónica, provoca que el movimiento 
 
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50
de la masa principal cese ( )0PX = . 
 
El esquema muestra un sistema de un grado de l ibertad, al que se le ha 
agregado un amortiguador; por tanto el sistema completo es de dos grados de 
l ibertad. La masa principal Pm , está unida al soporte mediante un resortes Pk , 
la frecuencia natural de este sistema principal asi lado es P P Pk mω = ; y el del 
amortiguador de masa am y r igidez ak es a a ak mω = . Si el amortiguador está 
correctamente diseñado, la respuesta de la masa principal debe ser cero o de 
ampli tud mucho menor a la inicial . 
 
 
( ) 0 sen
 0
P P a P P a a f
P P a P a a
m x k k x k x F t
m x k x k x
ω+ + − =
− + =
&&
&& 
s i P P fx X sen tω= y a a fx X sen tω= 
( )
( )
2
0
2 0
P a f P P a a
a P a f a a
k k m X k X F
k X k m X
ω
ω
+ − − =
− + − =
 
2
0
2
 
 0
P
P
a
a
fa aP
P P ak
mP P P P
fa a
a P ak
ma a
k k Fkk X X
k k k k
k kk X X
k k
ω
ω
⎛ ⎞
÷ + − − =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
÷ − + − =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ 
Si 
;PP
P
k
m
ω =
 
;aa
a
k
m
ω =
 
0
0;
P
F X
k 
;fP
P
r
ω
ω
=
 
;fa
a
r
ω
ω
=
 
 
;P
a
q ω
ω
=
 
;a
P
m
m
µ =
 
2
2
2
a a a
P P P
k m q
k m
ω µ
ω
= =
 
entonces 
( ) ( )2 2 2 201 ; 1 1 0P P a P a aq r X q X X X r Xµ µ+ − − = − + − = 
 
Masa Principal ( mP) 
AMORTIGUADOR DINÁMICO 
 DE VIBRACIONES 
 
 ma 
 
 ak 
 x2 
 x1 
 
2
Pk 
2
Pk 
 
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51
Este sistema no homogéneo puede resolverse para las ampli tudes de estado 
estable PX y aX , como sigue: 
 
2 2
0
2 2
11
01 1
P a
a P
X Xr q
X q r
µ
µ
⎡ ⎤− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∆ − + − ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
∆ es el determinante de la matriz de coef icientes dado por: 
( )( )2 2 2 21 1a Pr q r qµ µ∆ = − + − − 
Pero como 
 a a
P
r
f P P a a Pr r r
ω
ωω ω ω= = ⇒ = 
 
( )( ) ( )2 2 2 2 2 4 2 21 1 = 1 1 1a P a ar q r q q r q rµ µ µ⎡ ⎤− + − − − + + +⎣ ⎦ 
 
( )
2 2 2
0
22 4 2 2
11
01 11 1 1
P P
a aa a
X Xq r q
X rq r q r
µ µ
µ
⎡ ⎤+ − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ − −− + + + ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ 
 
∴ ( )
2
2 4 2 2
0
1
1 1 1
aP
a a
rX
X q r q rµ
−
=
⎡ ⎤− + + +⎣ ⎦ y ( )
2 4 2 2
0
1
1 1 1
a
a a
X
X q r q rµ
=
⎡ ⎤− + + +⎣ ⎦ 
 
Si 1ar = , esto es a fω ω= entones 0PX = ; y el denominador 
( )2 4 2 21 1 1a aq r q rµ⎡ ⎤− + + +⎣ ⎦ 
 
se reduce a ( )
2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1q q q q q qµ µ µ⎡ ⎤− + + + = − − − + = −⎣ ⎦ ; 
0 0
0 02
1( ) P Pa
a P a a
F Fk kX X X
q k k k kµ
= = − = − = −
− 
 
La respuesta de estado estable de la masa del amort iguador está dada por 
0
a a f f
a
Fx X sen t sen t
k
ω ω= = −
 
 
 
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52
Como 0PX = , la fuerza ejercida sobre la masa principal por el resorte del 
amortiguador es: 
( ) 0 0r a a P a a a f f
a
FF k x x k x k sen t F sen t
k
ω ω
⎛ ⎞
= − = = − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠ 
Fr es igual a la fuerza de excitación pero en sentido contrar io, por lo que el 
desplazamiento es cero. 
 
Entonces, si se el igen valores apropiados de la constante del resorte y de la 
masa del amortiguador, el movimiento de la masa principal puede hacerse cero. 
Obsérvese que el sistema se convierte en uno de dos grados de l ibertad, por lo 
que tendrá dos frecuencias naturales. En resumen: 
 
 
P
P
P
k
m
ω =
 
f
P
P
r
ω
ω
=
 
a
a
a
k
m
ω =
 
f
a
a
r
ω
ω
=
 
 
 
Si el denominador se iguala a cero, entonces la frecuencia forzada coincide con 
las frecuencias naturales del sistema de dos grados de l ibertad. De manera 
que las raíces 1,2r , serán iguales a 1 1n ar ω ω= y 2 2n ar ω ω= , que se obtienen al 
resolver la ecuación cuadrát ica 
 
( ) ( ) ( )
2
22 4 2
1,2 2 2
1 1 1 1 2 1 1
2 2
q
r q q
q q
µ
µ µ
+ +
= + − − +m
 donde 
1,2
a
r ω
ω
=
 
 
s i se sintonizan las masas esto es 
1q =
, la ecuación se reduce a 
2
2
1,2 1 2 4
r µ µµ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
m
 
 
 
Frecuencia natural del 
sistema principal 
 
Frecuencia natural del 
sistema auxiliar 
 
Razón de frecuencias 
entre la forzada y la del 
sistema principal 
 
Razón de frecuencias entre 
la forzada y la del sistema 
auxiliar o amortiguador 
 
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53
de donde y considerando la frecuencia natural menor 
4
1
2
1
1 2r
r
µ += −
 
 
Para determinar las frecuencias naturales del sistema completo, es decir el de 
dos grados de l ibertad: 
 
( ) ( ) ( )22 4 21,2 1 1 1 2 1 12
P
n q q q
ωω µ µ µ= + + ± + + − +
 
s i 1q = 
( )1,2 2 42
P
n
ωω µ µ µ= + −m
 
 
Analizando la ecuación de la ampli tud principal PX y considerando que se 
pretende sea cero, entonces 
 
21 0ar− = ⇒ 
1 fa
a
r
ω
ω
= =
 ∴ 
a
f a
a
k
m
ω ω= =
 
En estas condiciones 
0
a
a
FX
k
=
 
 
En conclusión, un amortiguador puede ut i l izarse para el iminar vibraciones de 
estado estable, no deseadas, de un sistema de un grado de l