SANCHEZ-GONZALEZ-MAYRA-JACARANDA

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE FÍSICA Y
MATEMÁTICAS
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E
INVESTIGACIÓN
La gráfica de Dalitz en
decaimientos K0l3: La región de
cuatro cuerpos
TESIS
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
MAESTRA EN CIENCIAS FISICOMATEMÁTICAS
PRESENTA:
Mayra Jacaranda Sánchez González
DIRECTORES:
Dr. Alfonso Mart́ınez Valdez
Dr. Juan José Torres Manŕıquez
Ciudad de México Junio 2016
Agradecimientos
A mi papá Ariel, por enseñarme a ser fuerte, por alentarme a estudiar y por llevarme y
traerme a mis cursos de f́ısica y matemáticas.
A mi mamá Maŕıa Luisa, por enseñarme que la fuerza no tiene que ser violenta, por ser mi
mayor apoyo y por su amor incondicional.
A mi hermana Mariela, por ser una inspiración en mi vida.
A Jairo, por motivarme a iniciar este viaje que hemos compartido y que con esta tesis llega
a su fin, aśı como por brindarme su apoyo en todas las formas que un compañero puede apoyarte.
A Carmen y Mónica, por dejarme dormir cuando no pod́ıa más y luego despertarme para que
me pusiera a trabajar, por las risas y las lágrimas, porque sin ustedes habŕıa perdido la cordura.
A Miguel Neri Rosas y Carlos Juárez-León, quienes en múltiples ocasiones a lo largo de la
maestŕıa me brindaron ayuda.
A mis directores de tesis Alfonso Mart́ınez Valdez y Juan José Torres Manŕıquez, quienes
tuvieron la paciencia para dirigir esta tesis. Ambos son un ejemplo para mi, no solo como pro-
fesionistas, sino también como personas.
A los miembros del jurado por su tiempo, aśı como por sus valiosos comentarios y sugeren-
cias.
IV
Índice general
Resumen 1
Abstract 1
Introducción 2
1. Propiedades de los mesones y de sus decaimientos 4
2. Decaimientos Kl2 y Kl3 10
2.1. Procesos Kl2 ó decaimientos leptónicos del kaón . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.1. Amplitud de transición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2. Razón diferencial de decaimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. Decaimientos Kl3 o decaimientos semileptónicos del kaón . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1. Amplitud de transición en Kl3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2. Razón diferencial de decaimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3. La amplitud bremsstrahlung de los procesos Kl3 con emisión de fotón 20
3.1. Teorema de Low . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.1. Amplitud de Low . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.2. Forma compacta de la amplitud de Low . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2. Norma de la amplitud de Low . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4. Razón diferencial de decaimiento 29
4.1. Gráfica de Dalitz. Regiones de tres y cuatro cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.1.1. Región de tres cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.1.2. Región de cuatro cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2. Razón diferencial de decaimiento para la región de cuatro cuerpos . . . . . . . . 30
5. Forma anaĺıtica de la gráfica de Dalitz 38
5.1. Resultados anaĺıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2. Resultados numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Conclusiones 42
Apéndices 43
A. Reglas para los diagramas de Feynman 43
A.1. Diagramas de Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
A.2. Ĺıneas externas con esṕın s = 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
A.3. Propagadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
A.4. Factores de vértice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
A.5. Propiedades de las matrices γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
V
A.6. Regla de oro de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
B. La integral divergente 46
B.1. Las integrales I20 e I02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
B.2. I11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
B.2.1. Integración de I11 sobre la variable η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
C. Integrales sobre las variables del fotón 52
Referencias 54
VI
Resumen
En esta tesis se estudia la región de cuatro cuerpos de la gráfica de Dalitz para los decai-
mientos semileptónicos de kaones neutros (K0l3). Se obtiene su contribución a las correcciones
radiativas (CR) en los decaimientos K0l3 , la cual se presenta hasta orden (α/π)(q/M1), donde q
es la cuadritransferencia de momento y M1 es la masa del kaón. A este orden de aproximación
las CR son independientes de modelo y se pueden emplear en análisis experimentales que no
dependen de los valores de los factores de forma. Los resultados se presentan de dos maneras,
una donde las integrales sobre las variables del fotón pueden efectuarse numéricamente y otra
donde la expresión es completamente anaĺıtica. Ambos resultados pueden emplearse para de-
terminar el elemento |Vus| de la matriz de Cabbibo-Kobayashi-Maskawa.
Abstract
In this thesis the four body region of the Dalitz plot for the semileptonic decays of neutral
kaons (K0l3) is studied. The contribution to the radiative corrections (RC) to the decays K
0
l3
is obtained and presented up to order (α/π)(q/M1), where q is the four-momentum transfer
to the leptons and M1 is the kaon mass. To this order of approximation the RC are model-
independent and are not compromised to fixing the form factor at predetermined values of the
form factors. The results are presented in two forms, in the first one the integrals over the
photon variables are ready to be performed numerically and in the other one the expressions
are completely analytical. Both results can be used for the determination of the |Vus| element
of the Cabbibo-Kobayashi-Maskawa matrix.
1
Introducción
Dentro del Modelo Estándar, la determinación de los elementos de la matriz de Cabbibo-
Kobayashi-Maskawa (CKM) y la unitariedad correspondiente, son temas fundamentales. Uno
de los elementos de esta matriz, el Vus, se obtiene con mayor precisión al considerar los de-
caimientos semileptónicos de kaones. Estos son denotados como K±l3 , para kaones cargados, y
como K0l3 , para kaones neutros.
Una determinación de |Vus| a un nivel de 1 %, requiere de la inclusión de las correcciones
radiativas (CR). Estas correcciones ya han sido obtenidas en toda la región de la gráfica de
Dalitz para los decimientos de kaones cargados K±l3 [1]- [2] y también para los decaimientos de
kaones neutros K0l3 [3]. Sin embargo, en este último caso el cálculo de las CR se efectúo en la
región de tres cuerpos de la gráfica de Dalitz, quedando pendiente el cálculo de las correspon-
dientes CR en la región de cuatro cuerpos.
En esta tesis, obtenemos tales correcciones de la región de cuatro cuerpos, a orden (α/π)(q/M1),
completando aśı el cálculo de las CR a la gráfica de Dalitz en K0l3 . La contribución de esta re-
gión es importante en el cálculo de otras observables, entre ellas, la razón de transición de estos
procesos, aśı como en la determinación del elemento Vus.
En este trabajo no consideraremos la aproximación
1
p2 · k
≈ 1
p1 · k
+
q · k
(p1 · k)2
, (1)
que se empleó en el cálculo de los decaimientos semileptónicos de bariones neutros, pues dicha
aproximación que es válida a orden q/M1, es insuficiente para los decaimientos Kl3 , pues en este
caso q/M1 = 0.7 y términos como (q/M1)
2 = 0.5, (q/M1)
3 = 0.35, que son de tamaño similar,
son despreciados, dejando resultados no muy precisos para estas CR. En (1), p1, p2 y k, son
los cuadrimomentos del kaón, pión y fotón, respectivamente, q = p1 − p2, y M1 es la masa del
kaón.
La tesis se desarrolla como sigue. En el Caṕıtulo 1 presentamos propiedadesy resultados
generales de los decaimientos Kl2 y Kl3 .
En el Caṕıtulo 2 introducimos nuestras convenciones y notación y determinamos la gráfica
de Dalitz para los decaimientos Kl3 a orden cero, esto es, sin CR.
En el Caṕıtulo 3 obtenemos la amplitud bremstrahlung que involucra la emisión de un fotón
real en Kl3 , lo cual nos lleva a la expresión de esta amplitud acorde al teorema de Low [4].
En el Caṕıtulo 4 determinamos la razón del decaimiento bremstrahlung correspondiente a
esta región de la gráfica, dejando indicadas las integrales sobre las variables energéticas E del
leptón cargado y E2 del pión. La expresión aśı obtenida se conoce como la gráfica de Dalitz.
2
En este mismo caṕıtulo presentamos nuestro primer resultado en términos de ciertas integrales
sobre las variables del fotón, las cuales quedan pendientes por realizar, pero que sin embargo
pueden calcularse en forma numérica.
En el Caṕıtulo 5 damos un paso adelante efectuando anaĺıticamente las integrales sobre las
variables del fotón que quedaron indicadas en el Caṕıtulo 4. Con ello presentamos finalmente
nuestro resultado para las CR a la gráfica de Dalitz de los decaimientos K0l3 en la región de
cuatro cuerpos.
Finalmente, discutimos nuestros resultados y presentamos nuestras conclusiones.
Adicionalmente se incluyen tres apéndices. En el Apéndice A se encuentran reglas para los
diagramas de Feynmann, además de propiedades de las matrices gamma y la regla de oro de
Fermi. En los Apéndices B y C se encuentran integrales importantes para el desarrollo del
Caṕıtulo 4 y 5.
3
Caṕıtulo 1
Propiedades de los mesones y de sus
decaimientos
En este caṕıtulo daremos un breve repaso de las propiedades de las part́ıculas a estudiar;
mesones, espećıficamente kaones, y el Modelo Estándar, para luego introducir conceptos que
se utilizarán a lo largo del desarrollo de esta tesis, tales como las reglas que deben cumplir sus
decaimientos.
Actualmente se sabe que toda la materia conocida está constituida de part́ıculas elementales
que interactúan entre śı, debido a cuatro fuerzas, también elementales. Éstas fuerzas son:
La fuerza fuerte: encargada de mantener unido al núcleo y a los quarks que constituyen al
protón, neutrón, etc.
La fuerza electromagnética: encargada de la interacción entre part́ıculas cargadas.
La fuerza débil : responsable de los procesos radioactivos como el decaimiento beta en los núcleos,
etc.
La fuerza gravitacional : responsable de la atracción entre cuerpos con masa. En el universo es
una fuerza preponderante, pero a nivel de part́ıculas es insignificante.
Dentro del llamado Modelo Estándar (ME ) de las part́ıculas elementales existen diversas
maneras de clasificar a dichas part́ıculas. Una gran clasificación divide a las part́ıculas en fer-
miones y bosones .
Los fermiones tienen esṕın semi-entero, satisfacen el principio de exclusión de Pauli y obe-
decen la estad́ıstica de Fermi- Dirac. Todos los fermiones fundamentales (electrones, neutrones
y protones) tienen esṕın s = 1
2
.
Los bosones por otro lado tienen esṕın entero y obedecen la estad́ıstica de Bose- Einstein.
Dentro de estas part́ıculas se encuentran los mediadores de la fuerza débil W± y Z, los media-
dores de la fuerza electromagnética que son los fotones (γ), y los gluones que son los mediadores
de la interacción fuerte. Todos con esṕın s = 1.
Otra manera de clasificar a las part́ıculas elementales es mediante sus interacciones. Aśı que,
a las part́ıculas que interactúan mediante la fuerza fuerte se les conoce como hadrones (por
ejemplo los protones y neutrones), mientras que las que no lo hacen son llamadas leptones (por
ejemplo el electrón).
4
Los leptones, cuyo nombre significa ligero, tienen esṕın s = 1
2
y no tienen estructura. Existen
seis leptones, el electrón e−, el muón µ−, el tau τ− (que ya no es tan ligero pues su masa es de
1776.8 MeV ) y sus correspondientes neutrinos νe, νµ y ντ , las cuales se agrupan en familias o
generaciones como se observa en la Ec. (1.1) y por supuesto, también sus antipart́ıculas. Los
neutrinos únicamente interactúan débilmente y son muy dif́ıciles de detectar experimentalmen-
te.
1ra gen.(
νe
e
) 2da gen.(
νµ
µ
) 3ra gen.(
ντ
τ
)
. (1.1)
Por otro lado, los hadrones están formados de constituyentes más básicos llamados quarks.
Los quarks, se dice, tienen un número cuántico llamado sabor, existiendo seis de estos, que son:
up (u), down (d), charm (c), strange (s), top (t) y bottom (b). Todos los quarks tienen carga
fraccionaria; los quarks u, c, t tienen carga q = 2
3
, mientras que los quarks d, s, b tienen carga
q = −1
3
. Todos los quarks tienen además esṕın s = 1
2
. Como en el caso de los leptones los quarks
se agrupan en familias, como se muestra en la siguiente ecuación.
1ra gen.(
u
d
) 2da gen.(
c
s
) 3ra gen.(
t
b
)
. (1.2)
Los quarks siempre están en estados ligados y nunca se han encontrado libres. Conforme al
número de quarks los hadrones se dividen en bariones y mesones.
Expĺıcitamente, los bariones, cuyo nombre significa pesado, se componen de 3 quarks. Son
fermiones que decaen en otro barión hasta que finalmente decaen en protones (p), que son los
bariones más ligeros.
Los mesones, cuyo nombre significa peso medio, se componen de un quark y un antiquark.
Los mesones son bosones, cuyos decaimientos no necesariamente producen mesones.
Los bariones y mesones se ordenan de acuerdo al Modelo de Octete de M. Gell-Man [5],
conforme a su carga (Q) y extrañeza (S). Por ejemplo, los mesones de esṕın s = 0 se arreglan
en la figura siguiente
Figura 1.1: Octete de mesones.
llamada octete de mesones. Además de la extrañeza, hay otra propiedad llamada isoesṕın (I) de
las part́ıculas que es muy importante para obtener los arreglos geométricos de M. Gell-Mann.
El isoesṕın es un número cuántico que fue introducido por Heisenberg debido a que las fuerzas
nucleares son independientes de la carga electromagnética. Heisenberg consideró esta simetŕıa
copiando prácticamente el formalismo del esṕın para el isoesṕın. Él trató al protón y al neutrón
como una sola part́ıcula, el nucleón, asignándole un valor I = 1/2, con proyección I3 = ±1/2
5
en el eje z de un espacio abstracto de isoesṕın. Aśı, cuando I3 = 1/2 tendremos que el nucleón
corresponde al protón y cuando I3 = −1/2 se tiene el neutrón. Aqúı [I, I3] = 0, como en el
caso del esṕın, teniéndose una multiplicidad de 2I + 1. Esta idea se extendió a otras part́ıculas,
aśı por ejemplo, al pión se le asigna I = 1 y su multiplicidad da (2I + 1) = 3, por lo que los
valores posibles para I3 son ±1, 0. Para I3 = −1 se tiene el pión negativo (π−), con I3 = 0 se
tiene el pión neutro (π0), y con I3 = 1 el pión positivo (π
+). Este número cuántico de isoesṕın
se relaciona con la carga Q mediante la relación de Gell-Mann-Nishijima:
Q = e
(
I3 +
1
2
Y
)
(1.3)
donde I3 es la proyección de isoesṕın e Y la hipercarga formada con el número bariónico
1 (A)
y la extrañeza2 (S) mediante la relación Y = A + S. Esta relación fue muy útil al formar los
arreglos de Gell-Mann, tal como se muestra en la tabla siguiente
Y \I3 −1 −1/2 0 1/2 1
1 n,K0 p,K+
0
Σ−, π− Σ0, π0 Σ+, π+
Λ, η
-1 Ξ−, K− Ξ0, K0
Tabla 1.1: Componentes de la representación de octete, en términos de I3 e Y .
Como ya se mencionó tanto bariones como mesones decaen en hadrones más ligeros. To-
dos los decaimientos donde los productos sean hadrones más leptones (llamados decaimientos
semileptónicos) detectados experimentalmente se pueden clasificar de acuerdo a las reglas de
selección de los números cuánticos de la corriente hadrónica [6], en dos grupos:
1. Procesos que no cambian extrañeza ∆S = 0:
Cumplen que ∆Q = ∆I3 = ±1.
Donde ∆Q = Qf −Qi es el cambio en la carga de la corriente hadrónica y ∆I3 = I3f − I3i
es el cambio en la componente z del isoesṕın, también de la corriente hadrónica. Ejemplos
donde se cumple esta regla son los decaimientosa) π∓ → π0 + e+ νe,
b) n→ p+ e+ νe,
c) Σ∓ → Λ + e+ νe.
Para verlo notemos que la corriente hadrónica de los procesos a) y b) tienen extrañeza
S = 0 antes y después del decaimiento, mientras que el proceso c) tiene extrañeza S = −1
antes y después del decaimiento, por lo cual se cumple ∆S = 0. El proceso a) tiene
Qi(π
∓) = ∓1 y Qf (π0) = 0 además de I3i(π∓) = ∓1 e I3f (π0) = 0, por lo cual satisfacen
∆Q = ∆I3 = ±1. Algo similar ocurre con los procesos b) y c), de tal forma que también
cumplen la regla anterior.
1A = 1/3 para quarks y A = −1/3 para antiquarks, aśı A = ±1 para bariones y antibariones, respectivamente
y A = 0 para mesones y antimesones.
2S = −1 para el quark s y S = 1 para el antiquark s̄.
6
2. Procesos que cambian extrañeza: ∆Q = ∆S = ±1, cumplen |∆I3| = 12 .
Los valores posibles para el isoesṕın son |∆I| = 1
2
, 3
2
, sin embargo experimentalmente se
ha determinado que los procesos con |∆I| = 3
2
están muy suprimidos ( 10−9 %). Ejemplos
de estos procesos son
a) K∓ → π0 + l + νl,
b) K0(K0)→ π+(−) + l + νl,
c) Λ→ p+ l + νl,
d) Σ− → n+ l + νl.
Para la corriente hadrónica del proceso a) hay un cambio de extrañeza ya que Si(K
∓) =
∓1 y Sf (π0) = 0, mientras que Qi(K∓) = ∓1 y Qf (π0) = 0, por lo tanto ∆Q = ∆S = ±1,
además I3i(K
∓) = ∓1/2 e I3f (π0) = 0 por lo que |∆I3| = 1/2. Del mismo modo puede
verse que los procesos b), c) y d) safisfacen ∆Q = ∆S = ±1 y |∆I3| = 12 .
En esta tesis trataremos los decaimientos de los kaones. Los kaones son mesones extraños
pues tienen extrañeza S = ±1; y tienen la propiedad de ser pseudo- escalares. El nombre de
“escalar” es porque tienen esṕın s = 0, mientras que el “pseudo” es porque tienen paridad
negativa P = −1. El contenido en quarks de los kaones, se muestra en la Tabla 1.2.
K+ = us̄
K0 = ds̄
K0 = d̄s
K− = ūs
Tabla 1.2: Contenido en quarks de los kaones.
De aqúı en adelante nos enfocaremos en los decaimientos leptónicos y semileptónicos
de los kaones. Los cuales deben satisfacer las leyes de conservación del ME y las reglas de
selección anteriormente mencionadas.
Se dice que un decaimiento es leptónico cuando los productos finales del decaimiento son
exclusivamente leptones. Aśı, se tiene que únicamente los kaones cargados pueden decaer a
través de modos de decaimiento leptónicos; tales modos son
K+ → e+ + νe,
K+ → µ+ + νµ,
K− → e− + νµ,
K− → µ− + ν̄µ.
 (1.4)
Los decaimientos K0 → e+ + e− y K0 → µ+ +µ− están muy suprimidos (ocurren el 10−9 %
de las veces) y violan la simetŕıa CP (carga-paridad).
Los decaimientos leptónicos de la Ec. (1.4) se denotan como Kl2 , donde el sub́ındice l2 se
refiere a los dos leptones salientes, l puede representar tanto a un electrón como a un muón.
El formalismo que desarrollaremos en los caṕıtulos siguientes es aplicable a cualquiera de los dos.
Los decaimientos semileptónicos, además de tener como producto a dos leptones, pueden
tener, uno o más mesones. Algunos modos de decaimientos semileptónicos para los kaones
cargados son
7
K+ → π0 + e+ + νe,
K+ → π0 + µ+ + νµ.
}
(1.5)
K+ → π0 + π0 + e+ + νe,
K+ → π+ + π− + e+ + νe,
K+ → π+ + π− + µ+ + νµ,
K+ → π0 + π0 + π0 + e+ + νe.
 (1.6)
Note que en las Ecs. (1.5) y (1.6) se muestran únicamente decaimientos de kaones positivos.
Los decaimientos de kaones negativos son simplemente los conjugados de carga de los decai-
mientos de kaones positivos.
El kaón neutro (K0) y el antikaón neutro (K0) no son eigenestados de CP , sin embargo
pueden expresarse como combinaciones lineales de los eigenestados de CP denotados por K0S y
K0L. Los sub́ındices S y L, de short : corto y long : largo respectivamente, se refieren al tiempo
de vida de los eigenestados. Del mismo modo podemos escribir a los estados K0S y K
0
L como
combinaciones lineales de K0 y K0, las cuales (sin considerar violación de CP ) tienen la forma
K0S =
1√
2
(
K0 −K0
)
, (1.7)
K0L =
1√
2
(
K0 +K0
)
. (1.8)
Una vez introducidos estos conceptos veamos algunos de los modos de decaimiento semi-
leptónicos para los kaones neutros
K0S → π± + e∓ + νe, (1.9)
K0L → π± + e∓ + νe,
K0L → π± + µ∓ + νµ,
}
(1.10)
K0L → π0 + π± + e∓ + νe,
K0L → π± + e∓ + νe + e+ + e−.
}
(1.11)
En la Tabla 1.3 se incluyen las razones Γi/Γ de los decaimientos mostrados en las Ecs. (1.9)
y (1.10).
Modo de decaimiento Conocido como Razón (Γi/Γ)
K0S → π± + e∓ + νe - (7.04± 0.08)× 10−4
K0L → π± + e∓ + νe K0e3 (40.55± 0.12) %
K0L → π± + µ∓ + νµ K0µ3 (27.04± 0.07) %
Tabla 1.3:
Los decaimientos de las Ec. (1.5), (1.9) y (1.10) se denotan por Kl3 , pues tienen, como
producto de sus decaimientos tres cuerpos, dentro de los cuales hay leptones. Más aún los
decaimientos de la Ec. (1.5) y los respectivos decaimientos para kaones negativos, se denotan
mediante Kl3
±; donde se escoge entre el signo positivo o negativo de acuerdo a la carga del
kaón. Análogamente, los decaimientos del kaón neutro dados en las Ecs. (1.9) y (1.10) se deno-
tan Kl3
0. Como en el caso de los decaimientos leptónicos, l puede denotar un electrón o un muón.
8
De acuerdo a las reglas de selección los decaimientos semileptónicos de los kaones pertenecen
al segundo grupo. Esto es, el grupo donde se tiene el cambio de extrañeza y que satisfacen
∆Q = ∆S. Por ello es posible discriminar sus canales de decaimiento. Aśı por ejemplo, los
decaimientos
K0
Si=1
Qi=0
→ π− + l+ + νl
Sf=0
Qf=−1
, (1.12)
y
K0
Si=−1
Qi=0
→ π+ + l− + ν̄l
Sf=0
Qf=1
, (1.13)
si están permitidos pues ∆S = ∆Q. Mientras que los procesos
K0
Si=1
Qi=0
→ π+ + l− + ν̄l
Sf=0
Qf=1
, (1.14)
y
K0
Si=−1
Qi=0
→ π− + l+ + νl
Sf=0
Qf=−1
, (1.15)
están prohibidos, ya que ∆S = −∆Q.
Para finalizar, es conveniente mencionar que además de los decaimientos anteriores, existen
los decaimientos hadrónicos donde las part́ıculas salientes sólo son hadrones. Por ejemplo
K+ → π+ + π−,
K+ → π+ + π+ + π−,
K0 → π+ + π−.
En particular en esta tesis nos ocuparemos del proceso
K0 → π− + e+ + νe, (1.16)
el cual cumple que ∆S = ∆Q y |∆I3| = 1/2, y forma parte del canal del decaimiento de K0L
conforme vimos en la Ec. (1.8). Para el estudio de este decaimiento utilizaremos las convenciones
y notaciones de la referencia [1], las cuales difieren de las convenciones de [7]. Las diferencias
están explicitadas en el Apéndice A.
9
Caṕıtulo 2
Decaimientos Kl2 y Kl3
En este caṕıtulo se obtendrá la amplitud de transición para procesos del tipo
K → l + νl, (2.1)
llamados Kl2 , donde los productos del decaimiento de un kaón son un leptón cargado y su
correspondiente neutrino o antineutrino. La amplitud de transición será empleada en el cálculo
de la razón diferencial de decaimiento de dichos procesos.
Lo anterior lo haremos con el fin de familiarizarnos con las integrales que surgen en el cálculo
de la razón de decaimiento de estos procesos y generalizar el procedimiento para encontrar la
razón diferencial de decaimiento correspondiente a procesos Kl3 los cuales tienen la forma
M →M ′ + l + νl. (2.2)
En la ecuación anterior M denota un mesón (en este caso un kaón), M ′ representa un mesón
más ligero que el mesón que decae (un pión) y como en el caso de la Ec. (2.1) l y νl representan
el leptón cargado y su correspondiente neutrino.
La amplitud de transición M0 del proceso (2.2) es importante pues brinda información
acerca de los factores de forma f+ y f− aśı como del elemento Vus de la matriz de Cabibbo-
Kobayashi-Maskawa (CKM) que no se puede determinar de primeros principios. Calcularemos
M0 a nivel árbol para estos procesos semileptónicos, para después tratar con sus correcciones
radiativas.
2.1. Procesos Kl2 ó decaimientos leptónicos del kaón
En esta sección estudiaremos los decaimientos Kl2 :
K+ → l+ + νl,
K− → l− + ν̄l.
}
(2.3)
En la Figura 2.1, se muestra el diagrama de Feynman1 de los decaimientos leptónicos Kl2 .
K representa al kaón cargado, l un electrón o muón y νl su correspondiente neutrino o antineu-
trino, según corresponda, p, pν y l son sus cuadrimomentos,respectivamente. La ‘bola’ denota
nuestro desconocimiento de lo que ocurre entre las tres interacciones que se dan en el vértice.
1Las ĺıneas viajando al pasado (en contra de la evolución del tiempo) representan antipart́ıculas.
10
Figura 2.1: Diagrama de Feynman para los decaimientos Kl2 .
2.1.1. Amplitud de transición
Ya que la interacción débil es la responsable de los decaimientos Kl2 , la amplitud de tran-
sición de los decaimientos Kl2 , es de la forma corriente-corriente
M0 =
GF√
2
WµL
µ, (2.4)
donde GF es la constante de Fermi y Wµ es un cuadrivector que representa la corriente hadrónica
y Lµ la corriente leptónica. Como Wµ sólo depende del cuadrimomento p del kaón, su forma
más general, covariante de Lorentz, está dada por
Wµ = apµ, (2.5)
con a una constante a conocer. Por conservación de cuadrimomento
Wµ = apµ = a (lµ + pνµ) , (2.6)
donde l y pν son los cuadrimomentos del leptón cargado y de su neutrino, respectivamente. Por
otro lado la corriente leptónica Lµ es, de acuerdo a la teoŕıa V-A
Lµ = ūlγ
µ (1 + γ5) vν , (2.7)
donde ul y vν son las funciones de onda (espinores) del leptón cargado y el neutrino, respecti-
vamente.
Introduciendo las expresiones dadas en las Ecs. (2.6) y (2.7), la amplitud del decaimiento,
Kl2 , queda
M0 =
GF√
2
a (lµ + pνµ) ūlγ
µ (1 + γ5) vν
=
GF√
2
a
[
ūl/l (1 + γ5) vν + ūl/pν (1 + γ5) vν
]
. (2.8)
Haciendo uso de la ecuación de Dirac, se tiene que ūl/l = mūl (siendo m la masa del electrón
o muón) y /pν (1− γ5) vν = (1 + γ5) /pνvν = (1 + γ5)mνvν . Esta última relación se anula debido
a que dentro del ME los neutrinos tienen masa cero; mν = 0, aunque existe f́ısica más allá del
ME que solo se explica asignando pequeñas masas a los neutrinos. Aśı, la ecuación de Dirac
nos dice que /pνvν = 0, lo cual permite que la Ec. (2.8) se simplifique obteniéndose finalmente
que
M0 =
GF√
2
am [ūl (1 + γ5) vν ] . (2.9)
11
2.1.2. Razón diferencial de decaimiento
Con la amplitud de transición obtenida en la sección anterior es posible calcular, mediante la
regla de oro de Fermi, la razón diferencial de decaimiento del proceso (2.3). Para ello se requiere
calcular la norma al cuadrado de la amplitud de transición al promediar sobre los esṕınes de
las part́ıculas entrantes y sumar sobre todos los esṕınes de las part́ıculas salientes. Esto es,
〈
|M |2
〉
≡
∑
s
G2F
2
|a|2m2 [ūl (1 + γ5) vν ] [v̄ν (1− γ5)ul] . (2.10)
La suma sobre los esṕınes de la ecuación anterior se realiza de manera usual, obteniéndose
〈
|M |2
〉
=
G2F
2
|a|2m2Tr
[
(1 + γ5)
(
/pν −mν
2mν
)
(1− γ5)
(
/l −m
2m
)]
=
G2F |a|
2m2
4mmν
4l · pν . (2.11)
En esta última ecuación hemos recurrido a propiedades de la traza del producto de matrices
γ del Apéndice A. Nótese que la masa del nuetrino mν aparece en el denominador supo-
niéndose diferente de cero. Al final se cancelará con la que aparace en el espacio fase de la razón
diferencial de decaimiento.
Para calcular la razón diferencial de decaimiento en el marco de referencia de la part́ıcula
inicial con masa M1 y cuadrimomento p1, recurrimos a la fórmula dada en la Ec. (A.6) la cual
es conocida como la regla de oro de Fermi para decaimientos. Por lo tanto, se tiene que la razón
diferencial de los decaimientos Kl2 en el marco de referencia del kaón es
dΓ =
∑
s |M0|
2
2M1
mmν
(2π)2
d3
−→
l
E
d3−→pν
Eν
δ4 (p1 − l − pν) , (2.12)
donde m es la masa del leptón cargado, E su enerǵıa y
−→
l su trimomento, mientras que mν ,
Eν y
−→pν son los correspondientes masa, enerǵıa y trimomento del neutrino. Nótese la aparición
de mν en el numerador del espacio fase. Ésta se cancelará con la mν en el denominador de (2.11).
En la Ec. (2.12) la función delta de Dirac δ4 (p1 − l − pν) se puede separar en una delta de
enerǵıa y una delta de trimomentos, de la manera siguiente
δ4 (p1 − l − pν) = δ (M1 − E − Eν) δ3
(−→
0 −
−→
l −−→pν
)
(2.13)
donde se ha empleado que p1 =
(
M1,
−→
0
)
. Realizando el cambio señalado e insertando el valor
de la amplitud obtenida en la Ec. (2.11), se tiene que
dΓ = G2F |a|
2m2
l · pν
2M1 (2π)
2
d3−→pν
EEν
δ (M1 − E − Eν) δ3
(
−
−→
l −−→pν
)
d3
−→
l . (2.14)
Después de realizar la integral sobre d3
−→
l mediante la delta de trimomentos la razón dife-
rencial del decaimiento es
dΓ =
G2F
2
|a|2m2
(
EEν +
−→pν
2
)
M1 (2π)
2EEν
d3−→pνδ (M1 − E − Eν) , (2.15)
12
donde se utilizó que
−→
l · −→pν = −−→pν 2, ya que −→p1 = 0 =
−→
l +−→pν .
En coordenadas esféricas,
d3−→pν = |−→pν |
2
d |−→pν | dΩν , (2.16)
donde haciendo uso del invariante m2 = E2 −−→p 2 se obtiene que 2EνdEν = 2 |−→pν | d |−→pν |, por lo
que
d3−→pν = |−→pν |EνdEνdΩν , (2.17)
además como mν = 0, Eν = |−→pν |, y la razón diferencial se reescribe como
dΓ =
G2F
2
|a|2m2 Eν (E + Eν)
M1 (2π)
2EEν
E2νdEνdΩνδ (M1 − E − Eν) . (2.18)
La integración de dΩν dará 4π y para poder realizar la integral sobre dEν se recurre a la
siguiente propiedad para la función delta de Dirac
δ (f(y)) =
n∑
i=1
δ (y − yi)
|f ′ (yi)|
, (2.19)
donde yi son los ceros de la función f(y).
En nuestro caso f(Eν) = M1 − E − Eν ; por lo que
Eν0 =
M21 −m2
2M1
, (2.20)
y
∂f
∂Eν
= −Eν + E
E
. (2.21)
Aśı pues, la Ec. (2.18) adquiere la forma
dΓ =
G2F
2π
|a|2m2 (E + Eν)
M1E
E2νdEνδ (Eν − Eν0)
E
Eν + E
. (2.22)
Finalmente al realizar la integral sobre dEν mediante la delta de Dirac se obtiene la proba-
bilidad de transición por unidad de tiempo en el marco en reposo del kaón.
Γ =
G2F
2π
|a|2m2E
2
ν0
M1
=
G
8π
|a|2m2M1
(
1− m
2
M21
)2
. (2.23)
2.2. Decaimientos Kl3 o decaimientos semileptónicos del
kaón
En esta sección estudiaremos los decaimientos Ml3 , M por mesones, 3 por que decaen a
tres cuerpos y l porque son semileptónicos (hay leptones y hadrones como producto final).
Tales decaimientos son decaimientos de mesones pseudoescalares (en éstos su esṕın s = 0) y se
representan como
13
M →M ′ + l + νl. (2.24)
Su diagrama de Feynman se muestra en la Figura 2.2.
Figura 2.2: Diagrama de Feynman para los decaimientos Kl3 .
Como en el caso Kl2 el ćırculo en la Figura 2.2 representa el desconocimiento de lo que
sucede en el vértice de interacción débil.
Espećıficamente nos enfocaremos en decaimientos de kaones Kl3 del proceso dado en la Ec.
(2.25) pero el cálculo se puede generalizar al decaimiento de los mesones D′s y B′s realizando
los cambios adecuados.
K0 → π− + l+ + νl. (2.25)
El proceso K0 → π+ + l−+ νl está muy suprimido (del orden de 10−4) porque no cumple la
regla de selección ∆S = ∆Q. Es por eso que no se hablará más de él.
2.2.1. Amplitud de transición en Kl3
Consideremos ahora el decaimiento dado en (2.25). La amplitud de transición es nuevamente,
como en el caso de Kl2 del tipo corriente-corriente; y está dada por
M0 = ck
GF√
2
V ∗usWµ (p1, p2)L
µ. (2.26)
En la ecuación anterior el elemento V ∗us de la matriz CKM debe incluirse pues existe un
cambio de sabor en la corriente hadrónica, ya que el antiquark s̄ contenido en el kaón neutro
cambia a un antiquark ū que forma parte del contenido en quarks del pión negativo.
En la (2.26), Lµ representa la corriente leptónica, dada como
Lµ = ūν (pν) γ
µ (1 + γ5) vl(l) = ūν (pν)O
µvl(l), (2.27)
y Wµ (p1, p2) representa el vértice de interacción débil, el cual está dado de forma general
covariante de Lorentz a través de factores de forma f1, f2 y los cuatrovectores p1µ y p2µ como
Wµ (p1, p2) = f1p1µ + f2p2µ, (2.28)
que se reescribe en términos de p1µ y qµ de la manera siguiente
14
Wµ (p1, p2) = f+ [2p1µ + (ξ − 1) qµ] = f+Γµ, (2.29)
donde ξ = f−
f+
y tras un poco de álgebra se puede ver que f1 = f+ + f− y f2 = f+(1− ξ) [6].
Nótese que como Wµ sólo depende de p1µ y p2µ, no pueden existir términos axiales como
�µαβδ pues no se agotaŕıan sus ı́ndices con sólo estos dos cuadrivectores. Además, los experimen-
tos [6] confirman la forma de Wµ (p1, p2) dada en la Ec. (2.28). Otras contribuciones escalares
o tensoriales se pueden agregar peroestán muy suprimidas.
Con las Ecs. (2.26), (2.27) y (2.29) es posible calcular el cuadrado de la amplitud de transi-
ción de los decaimientos Kl3 sumando sobre los esṕınes iniciales y promediando sobre los esṕınes
finales.
∑
s
|M0|2 =
(
cKGF√
2
)2
|Vus|2 |f+|2 ΓµΓ∗α [ūνOµvl]
[
ūνŌαvl
]∗
; (2.30)
definiendo A ≡
(
cKGF√
2
)2
|Vus|2 |f+|2 y sumando sobre espines de la manera usual [5] la Ec.
(2.30) adquiere la forma∑
s
|M0|2 =
A
4mνm
ΓµΓ
∗
αTr
[
/pνO
µ/lOα +mνO
µmOα
]
. (2.31)
El último término de la ecuación anterior se anula por la anticonmutación de las matrices
γ con γ5. Queda aśı sólo el primer término el cual se reescribe∑
s
|M0|2 =
A
4mνm
ΓµΓ
∗
αTr
[
/pνO
µ/lOα
]
=
A
4mνm
ΓµΓ
∗
αTr
[
/pνγ
µ (1 + γ5) /lγ
α (1 + γ5)
]
=
A
4mνm
ΓµΓ
∗
αTr
[
/pνγ
µ/lγα (1 + γ5)
2
]
=
2A
4mνm
ΓµΓ
∗
αTr
[
/pνγ
µ/lγα (1 + γ5)
]
.
(2.32)
Usando propiedades de las trazas del Apéndice A, se obtiene que∑
s
|M0|2 =
2A
4mνm
ΓµΓ
∗
α4
[
pν
µlα − pν · lgµα + pναlµ − i�θµλαpνθlλ
]
. (2.33)
Usando el valor expĺıcito del producto ΓµΓ
∗
α se tiene
∑
s
|M0|2 =
2A
mνm
[4p1µp1α + 2 (ξ
∗ − 1) p1µqα + 2 (ξ − 1) qµp1α + (ξ − 1) (ξ∗ − 1) qµqα]
×
[
p− νµlα − pν · lgµα + pναlµ − i�θµλαpνθlλ
]
, (2.34)
que se reduce a
∑
s
|M0|2 =
4A
mνm
{
2 (p1 · l) (p1 · pν)− p21 (pν · l) + l2 (2Reξ − 1) (p·pν)
+p2ν (Reξ − 1) (p1 · l)
+
(
|ξ|2 − 2Reξ + 1
)
4
[
(l · pν)
(
l2 + p2ν
)
+ 2p2νl
2
]}
. (2.35)
15
Dado que Reξ − 1 = −Re (1− ξ) y |ξ|2 − 2Reξ + 1 = |1− ξ|2, además del invariante
relativista pµp
µ = m2 y el valor de A se tiene finalmente que
∑
s
|M0|2 =
4
(
cKGF√
2
)2
|Vus|2 |f+|2
mνm
{
2 (p1 · l) (p1 · pν)−M21 (pν · l)
−m2Re (1− ξ) (p1 · pν) +
m2
4
|1− ξ|2 (l · pν)} . (2.36)
Esta ecuación aún se puede llevar a una expresión más conveniente. Para ello se expresan
los productos invariantes en el sistema de referencia del kaón
p1 · l = M1E, (2.37)
p1 · pν = M1Eν , (2.38)
pν · l = M1 (Wπ − E2) , (2.39)
donde Wπ es la enerǵıa máxima del pión [5] dada por
Wπ =
M21 +M
2
2 −m2
2M1
, (2.40)
donde M2 es la masa del pión.
Aśı pues el cuadrado de la amplitud de transición adquiere la forma
∑
s
|M0|2 =
4
(
cKGG√
2
)2
|Vus|2 |f+|2M1
mνm
{(
2M1E −m2Re (1− ξ)
)
Eν
−
(
M21 −
m2
4
|1− ξ|2
)
(Wµ − E2)} . (2.41)
2.2.2. Razón diferencial de decaimiento
Ahora es posible emplear la Ec. (A.6) para obtener la razón diferencial de decaimiento Kl3
para el decaimiento dado en la Ec. (2.25). Entonces
dΓ =
∑
s |M0|2
2M1
mmν
(2π)5
d3
−→
l
E
d3−→pν
Eν
d3−→p2
2E2
δ4 (p1 − pν − p2 − pl) , (2.42)
donde m es la masa del leptón cargado, E su enerǵıa y
−→
l su trimomento, mientras que mν , Eν
y −→pν son los correspondientes masa, enerǵıa y trimomento del neutrino y E2 y −→p2 son la enerǵıa
y el trimomento del pión.
En la Ec. (2.42) la función delta de Dirac δ4 (p1 − pν − p2 − pl) se puede separar en una
delta de enerǵıa y una delta de trimomentos, como se hizo en el caso de Kl2 de manera que se
tiene δ4 (p1 − pν − p2 − pµ) = δ (M1 − Eν − E2 − E) δ3
(
−−→pν −−→p −
−→
l
)
.
Realizando la integral de d3−→pνδ3
(
−−→pν −−→p2 −
−→
l
)
resulta
16
dΓ =
∑
s |M0|2mmν
4M1 (2π)
5
d3
−→
l d3−→p2
EEνE2
δ (M1 − Eν − E2 − E) , (2.43)
donde se debe cumplir que −→pν = −−→p −
−→
l .
Para poder realizar las integrales que faltan es conveniente utilizar coordenadas esféricas,
entonces, siguiendo un procedimiento análogo al que se empleó para obtener la Ec. (2.17) se
encuentra que
d3−→p2 = |−→p2 |E2dE2dΩ2, (2.44)
y
d3
−→
l =
∣∣∣−→l ∣∣∣EdEdΩl. (2.45)
Por lo que la Ec. (2.43) se modifica y adquiere la forma
dΓ =
∑
s |M0|
2mmν
4M1 (2π)
5
∣∣∣−→l ∣∣∣EdEdΩl |−→p2 |E2dE2dΩ2
EEνE2
δ (M1 − Eν − E2 − E) . (2.46)
Las tres part́ıculas salientes tendrán diferentes direcciones, pero sin pérdida de generalidad
se puede alinear el sistema de referencia tal que el eje z coincida con la dirección con la que
emerge el leptón cargado; como se muestra en la Figura 2.3.
Figura 2.3:
Y como se ve en la Figura 2.3.
l̂ · p̂2 = cosθ2 ≡ y. (2.47)
Aśı pues
dΩ2 = senθ2dθ2dφ2 = d (−cosθ2) dφ2 = −dydφ2. (2.48)
Empleando esto en la Ec. (2.46) se tiene
dΓ = −
∑
s |M0|
2mmν
4M1 (2π)
5
∣∣∣−→l ∣∣∣ |−→p2 | dEdΩldE2dydφ2
Eν
δ (M1 − Eν − E2 − E) . (2.49)
Para poder continuar con la integración es necesario notar que el argumento de la función
delta es función de y; i.e. f(y) = M1 − Eν − E2 − E. Es claro que M1 por ser invariante no
17
depende de y y E tampoco tiene dependencia de y pues arbitrariamente se ha elegido
−→
l = lẑ.
Notemos que E2 =
√
M22 +
−→p22 tampoco tiene dependencia en y, sin embargo Eν si depende
de y,
Eν =
√
−→pν
2
=
√(
−−→p2 −
−→
l
)2
=
√
−→p2
2
+
−→
l
2
+ 2
−→
l · −→p2 . (2.50)
Entonces la Ec. (2.49) se reescribe
dΓ = −
∑
s |M0|
2mmν
4M1 (2π)
5
∣∣∣−→l ∣∣∣ |−→p2 | dEdΩldE2dydφ2
Eν
δ (f(y)) . (2.51)
Para seguir con la integración recurramos ahora a la propiedad de la función delta dada en
la Ec. (2.19) considerando que en el presente cálculo f(y) = 0 = M1 − Eν − E2 − E, lo que
conduce a
Eν
2 = (M1 − E2 − E)2 ≡
(
E0ν
)2
. (2.52)
Y, de acuerdo a la Ec. (2.50), se sigue que
y0 =
(E0ν)
2 −−→p2
2 −
−→
l
2
2
∣∣∣−→l ∣∣∣ |−→p2 | . (2.53)
Por lo que f(y) sólo tiene una ráız, dada por la Ec. (2.53). Además
df
dy
∣∣∣∣
y=y0
=
dEν
dy
∣∣∣∣
y=y0
= −1
2
1
Eν
2
∣∣∣−→l ∣∣∣ |−→p2 |∣∣∣∣
y=y0
= −
∣∣∣−→l ∣∣∣ |−→p2 |
E0ν
. (2.54)
Entonces usando (2.53) y (2.54) en (2.19) se tiene que
δ (f(y)) =
δ (y − y0)
|f ′ (yi)|
=
δ (y − y0)∣∣∣∣−|−→l ||−→p2|E0ν
∣∣∣∣ =
E0νδ (y − y0)∣∣∣−→l ∣∣∣ |−→p2 | , (2.55)
que al emplearse en (2.51) resulta
dΓ = −
∑
s |M0|
2mmν
4M1 (2π)
5 dEdΩldE2dydφ2δ (y − y0)
= −
∑
s |M0|
2mmν
4M1 (2π)
5 dEdΩldE2dφ2. (2.56)
Como
∑
s |M0|
2 tiene simetŕıa axial, al integrar dφ2 se tiene 2π. Mientras que para dΩl se
tiene 4π, pues en este caso existe simetŕıa esférica. Entonces
dΓ
dEdE2
=
∑
s |M0 (y = y0)|
2mmν
2M1 (2π)
3 . (2.57)
En esta última expresión hemos dejado indicados dE y dE2 en el lado izquierdo pues
dΓ
dEdE2
es la llamada gráfica de Dalitz que más adelante se estudiará. Ésta es una observable f́ısica
importante muy utilizada en los análisis experimentales de los procesos Kl3 y otros. Nótese
que en la Ec. (2.57) se puede integrar la enerǵıa E2 y obtener el espectro β
+ del positrón, o
bien, integrar la enerǵıa E del leptón cargado y obtener el espectro del pión. Finalmente, si
18
integramos ambas variables obtendremos la razón de decaimiento de los procesos Kl3 .
Otra forma conveniente de expresar la razón diferencial de decaimiento dada en la Ec. (2.57)
es como
dΓ0(Kl3) = A0dΩ, (2.58)
donde
A0 = A
(0)
1 |f+(q2)|2 + A
(0)
2 Re[f+(q
2)f−(q
2)] + A
(0)
3 |f−(q2)|2, (2.59)
y
dΩ = C2KG
2
F
|Vus|2
32π3
M31dEdE2. (2.60)
En la Ec. (2.59) los coeficientes A
(0)
i , los cuales encontramos en las ecuaciones (16) a (19)
de la referencia [1], surgen del cuadrado de la norma de la amplitud dada en la Ec. (2.41), la
cual reproducimos a continuación:
∑
s
|M0|2 =
4
(
cKGG√
2
)2
|Vus|2 |f+|2M1
mνm
{(
2M1E −m2Re (1− ξ)
)
Eν
−
(
M21 −
m2
4
|1− ξ|2
)
(Wµ − E2)
}
. (2.61)
La conveniencia de la expresión dada en la Ec. (2.58) se verá en el caṕıtulo 4 cuando se
incluyan las correcciones radiativas a la razón diferencial de decaimientos Kl3 .
19
Caṕıtulo 3
La amplitud bremsstrahlung de los
procesos Kl3 con emisión de fotón
El objetivo de este caṕıtulo es obtener la amplitud bremsstrahlung MB, de los decaimientos
semileptónicos de kaones neutros con emisión de fotón real:
K0 → π− + e+ + ν̄e + γ. (3.1)
El objetivo de obtener la amplitud bremsstrahlung es poder calcular las correciones radia-
tivas a orden (α/π) (q/M1) a la razón de decaimiento de los procesos antes mencionados, de tal
manera que sean independientes de modelo.
3.1. Teorema de Low
Son tres los diagramas que contribuyen a la amplitud bremsstrahlung del proceso (3.1).
Tales diagramas se muestran en la Figura 3.1.
(a) (b) (c)
Figura 3.1: Diagramas de Feynmanpara el cálculo de la amplitud bremsstrahlung. La evolución
en el tiempo de estos diagramas es de abajo hacia arriba.
Como puede verse en la Figura 3.1, en los diagramas (a) y (b) la emisión del fotón ocurre
desde una ĺınea externa; desde el pión cargado y desde el leptón cargado, respectivamente.
Mientras que en el diagrama (c) la emisión del fotón ocurre desde el vértice de interacción
débil. Este último diagrama debe incluirse ya que las interacciones electromagnéticas, como es
el caso de la radiación bremsstrahlung, deben satisfacer invariancia de norma.
20
Para obtener la amplitud bremsstrahlung seguiremos el procedimiento usual, aplicando las
reglas de Feynman a tales diagramas. El resultado final nos conducirá al teorema de Low [4] el
cual nos afirma que a orden 1/k y k0 (k es el momento del fotón) la amplitud bremsstrahlung
sólo dependerá de los parámetros involucrados en la amplitud M0, donde no se tiene la emisión
de un fotón real.
3.1.1. Amplitud de Low
El teorema de Low nos permite separar la amplitud bremsstrahlung en dos partes, una in-
dependiente de estructura hasta orden k0, y otra dependiente de estructura que empieza desde
orden k en adelante. Aqúı k es el cuadrimomento del fotón.
Para obtener la amplitud Bremsstrahlung de los decaimientos M0l3 de acuerdo al teorema
de Low daremos los siguientes pasos:
1. Encontrar la amplitud de los diagramas donde el fotón se emite desde una ĺınea externa
cargada y escribir la suma de tales contribuciones. A tal amplitud se le denotará comoMex.
2. Hacer un desarrollo en serie de Taylor de la amplitud Mex alrededor de k = 0, con el fin
de distinguir los distintos órdenes en k.
3. Obtener M ′ex, la cual es el resultado de quitar de Mex todos los términos independientes
de k, ó de orden k ≥ 1.
4. Para calcular la contribución del diagrama correspondiente a Figura 3.1(c), donde el fotón
emitido sale del vértice, recurriremos a la invariancia de norma de la amplitud del proceso
que debe prevalecer en las interacciones electromagnéticas.
Procedamos de acuerdo al paso 1. Para ello consideremos el diagrama de la Figura 3.1(a)
donde la emisión del fotón es desde la ĺınea externa, del pión cargado.
De acuerdo a las reglas de Feynman, la amplitud está dada por
Ma =
G√
2
(
−ieΓπ−µ (p2, p2 + k) �µ
)(
iSπ
−
F (p2 + k)
2
)
Wλ (p1, p2 + k)L
λ, (3.2)
donde Wλ (p1, p2 + k) es el vértice débil, iS
π−
F (p2 + k)
2 es el propagador vestido del pión, y
−ieΓπ−µ (p2, p2 + k) �µ es el correspondiente vértice vestido electromagnético. Lλ la corriente
leptónica. La forma covariante de esta última es
Lλ = ūνγ
λ (1 + γ5) vl, (3.3)
donde uν es el espinor del neutrino, γ
λ (1 + γ5) es el vértice puntual y vl el espinor del leptón
cargado.
El vértice de interacción débil se construye de manera análoga a la Ec. (2.28), pero con el
cambio p2 → p2 + k. Aśı se tiene que
Wλ (p1, p2 + k) = f1
(
(q − k)2
)
p1λ + f2
(
(q − k)2
)
(p2 + k)λ . (3.4)
21
Por otra parte se define el factor de forma F π
−
µ de π
− fuera de su capa de masa, a través de
Γπ
−
µ (p2, p2 + k)S
π−
F (p2 + k) ≡
1
(p2 + k)
2 −M22
F π
−
µ (p2, p2 + k) , (3.5)
donde
F π
−
µ (p2, p2 + k) = (p2 + p2 + k)µ Fπ
(
(p2 + k)
2 ,M22
)
= (2p2 + k)µ Fπ
(
α′,M22
)
,
con α′ = (p2 + k)
2.
Empleando las Ecs. (3.3), (3.4) y (3.5), en la Ec. (3.2) se tiene que la amplitud para el
diagrama de la Figura 3.1(a) es
Ma =
eG√
2
[
f1
(
(q − k)2
)
p1λ
+f2
(
(q − k)2
)
(p2 + k)λ
] (2p2 + k) · �
2p2 · k
Fπ
(
α′,M22
)
ūνγ
λ (1 + γ5) vl. (3.6)
Para el diagrama de la Figura 3.1(b) procedemos de manera similar al caso anterior obte-
niéndose la amplitud siguiente
Mb =
G√
2
Wλ (p1, p2) ūνO
λ i
−/l −m+ i�
(−ieγµ�µ) vl
= e
G√
2
Wλ (p1, p2) ūνO
λ−
(
/l + /k
)
+m(
/l + /k
)2 −m2 /�vl
= −e G√
2
Wλ (p1, p2) ūνO
λ2l · �+ /k/�
2l · k
vl. (3.7)
Entonces sumando las Ecs. (3.6) y (3.7) se tiene que la amplitud proveniente de la emisión
de un fotón por las ĺıneas cargadas externas es
Mex = −e
G√
2
{
Wλ (p1, p2) ūνO
λ2l · �+ /k/�
2l · k
vl
+Fπ (α
′)
p2 · �
p2 · k
[
f1
(
(q − k)2
)
p1λ − f2
(
(q − k)2
)
(p2 + k)λ
]
Lλ
}
. (3.8)
Ahora, como se indica en el paso 2 hagamos el desarrollo en Taylor. Para ello tomaremos
α = p22 = M
2
2 , α
′ = (p2 + k)
2, β = q2 y β′ = (q − k)2. Entonces
Fπ (α
′) = F (α′ = α) + (α′ − α) ∂Fπ
∂α′
∣∣∣∣
α′=α
+ · · ·,
donde podemos definir la notación ∂Fπ
∂α′
∣∣∣
α′=α
= Fπ,α. Aśı que usando esta notación y desarro-
llando el término que acompaña a dicha derivada parcial tenemos
Fπ (α
′) = 1 + 2p2 · kFk,α + · · ·. (3.9)
22
Para los factores de forma f1 ((q − k)2) y f2 ((q − k)2) los desarrollos son, (i = 1, 2)
fi = fi (β
′, α′) = fi (β
′ = β, α′ = α) + (β′ − β) ∂fi
∂β′
∣∣∣∣
β′=β
+ (α′ − α) ∂fi
∂α′
∣∣∣∣
α′=α
+ · · ·
= fi (β, α)− 2q · kfi,β + p2 · kfi,α + · · ·. (3.10)
Introduciendo las Ecs. (3.9) y (3.10) en la Ec. (3.8) se tiene
Mex = −e
G√
2
{Wλ (p1, p2) ūνOλ
2l · �+ /k/�
2l · k
vl
+ [1 + 2p2 · kFπ,α + · · ·]
p2 · �
p2 · k
[(fi (β, α)− 2q · kf1,β + p2 · kf1,α) p1,λ
− (f2 (β, α)− 2q · kf2,β + p2 · kf2,α) (p2 + k)λ]L
λ
}
, (3.11)
que se puede reescribir como
Mex = −e
G√
2
{Wλ (p1, p2)
(
l · �
l · k
− p2 · �
p2 · k
)
Lλ +Wλ (p1, p2) ūνO
λ /k/�
2l · k
vl
+
p2 · �
p2 · k
2q · k ∂
∂β
(f1p1λ + f2p2λ)L
λ − f2
p2 · �
p2 · k
kλL
λ
+2� · p2 [f1,αp1λ + f2,αp2λ + Fπ,αWλ (p1, p2)−
q · k
p2 · k
f2,βkλ
− f2,αkλ]Lλ − Fπ,α [2q · k (f1,βp1λ + f2,β (p2 + k)λ)
+2p2 · k (f1,αp1λ + f2,α(p2 + k)λ)L
λ + · · ·
]}
(3.12)
En esta ecuación observamos que desde el quinto término en adelante, todos los términos
que aparecen son independientes de k o de orden k ≥ 1; es por ello que para satisfacer el punto
3) se eliminan, por lo que
M ′ex = −e
G√
2
{
Wλ (p1, p2)
(
l · �
l · k
− p2 · �
p2 · k
)
Lλ +Wλ (p1, p2) ūνO
λ /k/�
2l · k
vl
+
2p2 · �
p2 · k
p1 · k
∂
∂q2
(
WλL
λ
)
− f2
p2 · �
p2 · k
kλL
λ
}
. (3.13)
Para obtener la amplitud MBc del diagrama, Figura 3.1(c), utilizaremos la invariancia de
norma. Esto es
kµMBµ = k
µ
(
M ′extµ +MBcµ
)
= 0, (3.14)
de donde
kµMBcµ = −kµM ′exµ . (3.15)
El término M ′exµ que surge en la Ec. (3.15) se obtiene a partir del escalar M
′
ex el cual se
puede expresar como un producto punto:
M ′ex = �
µM ′exµ . (3.16)
Entonces, empleando las Ec. (3.13) y (3.16) en la Ec. (3.15) se tiene que
23
kµMBcµ = −kµ
{(
lµ
l · k
−
p2µ
p2 · k
)
Wλ (p1, p2)L
λ +Wλ (p1, p2) ūνO
λ /kγµ
2l · k
vl
+
2p1 · k
p2 · k
p2µ
∂
∂q2
(
WλL
λ
)
− f2
p2µ
p2 · k
kλL
λ
}
. (3.17)
Es claro que el primer término de la Ec. (3.17) se anula es decir, es una corriente conservada,
el segundo término se omite porque es de orden k2; aśı que
kµMBcµ = −2p1 · k
∂
∂q2
(
WλL
λ
)
+ f2kλL
λ. (3.18)
Multiplicando MBcµ por �µ obtenemos la contribución del diagrama de la Figura 3.1(c), a
la amplitud Bresmsstrahlung, ésta es
MBc = k
µ∆mµ = −2p1 · �
∂
∂q2
(
WλL
λ
)
+ f2�λL
λ. (3.19)
Por lo tanto, la amplitud Bresmsstrahlung conforme al teorema de Low queda como
MB = M
′
exµ + ∆M
= − eG√
2
{Wλ (p1, p2) Lλ
(
l · �
l · k
− p2 · �
p2 · k
)
+Wλ (p1, p2) ūνO
λ /k/�
2l · k
vl
−f2
(
p2 · �
p2 · k
kλ − �λ
)
Lλ + 2
(
−p1 · �+
p2 · �
p2 · k
p1 · k
)
∂
∂q2
(
WλL
λ
)
+O(k)} , (3.20)
donde se aprecia que el primer término es de oden 1
k
y los restantes son de orden k0. Nótese
que no aparecen nuevos factores de forma, prevaleciendo sólo los factores de forma f± (q
2)- el
factor f2 = f+(1− ξ))- que ya son conocidos de la amplitud a nivel árbol M0. Es aśı que la Ec.
(3.20) corresponde a la amplitud de Low.
3.1.2. Forma compacta de la amplitud de Low
Como en la siguiente sección se obtendrá el cuadrado de la amplitud de Low, es conve-
niente simplificarla. Para lograr dicho objetivo apliquemos la Ec. de Dirac en el invariante
Wλ (p1, p2)L
λ
WλL
λ = (f+p+λ + f−qλ) ūνO
λvl = f+ūν (1− γ5)
[
2/p1 +mξ
′
]
vl − f2ūν/k (1 + γ5) vl. (3.21)
Además, como
Wλ (p1, p2) ūνO
λ /k/�
2l · k
vl = f+[2p1λ − ξ′qλ]ūνγλ (1 + γ5)
/k/�2l · k
vl, (3.22)
donde reescribiendo /q = /l + /pν + /k, podemos aprovechar los hechos de que ūν/pν = 0 y /k/k = 0,
para obtener
WλūλO
λ /k/�
2l · k
vl = f+ūν (1− γ5)
[
2/p1 +mξ
′
] /k/�
2l · k
vl
−f2ūν (1− γ5) /�vl + f2
l · �
l · k
ūν (1− γ5) /kvl, (3.23)
24
empleando (3.21) y (3.23) en (3.20) y considerando que f2 = f+ξ
′ se tiene que
MB = −
eG√
2
{
f+ūν (1− γ5)
[
2/p1 +m (1− ξ)
] [ l · �
l · k
− p2 · �
p2 · k
+
/k/�
2l · k
]
vl
+2
(
p2 · �
p1 · k
p2 · k
− p1 · �
)
∂
∂q2
[
f+ūν (1− γ5)
[
2/p1 +mξ
′
]
vl
]}
, (3.24)
que finalmente adquiere la forma
MB = −
eG√
2
{
f+ūν (1− γ5)
[
2/p1 +m (1− ξ
′)
] [ l · �
l · k
− p2 · �
p2 · k
+
/k/�
2l · k
]
vl
+2
(
p2 · �
p1 · k
p2 · k
− p1 · �
)
Λ+ūν (1− γ5)
[
2/p1 +m (1− η)
]
vl
}
, (3.25)
donde Λ± ≡ ∂f±∂q2 y η =
Λ−
f+
.
Esta forma de escribir la amplitud de Low es más compacta y conveniente para realizar el
cálculo de la razón diferencial. Como podemos ver nos permite separarla en la forma
MB = MB1 +MB2 ,
donde
MB1 = −
eG√
2
f+ūν (1− γ5)
[
2/p1 +m (1− ξ
′)
] [ l · �
l · k
− p2 · �
p2 · k
+
/k/�
2l · k
]
vl, (3.26)
y
MB2 = +2
(
p2 · �
p1 · k
p2 · k
− p1 · �
)
Λ+ūν (1− γ5)
[
2/p1 +m (1− η)
]
vl.
Esta manera de escribir la amplitud es conveniente pues al obtener la norma al cuadrado de
la amplitud de Low tendremos que la única parte que contribuye es (3.26), pues los términos
cruzados y el término |MB2 | son de orden O (q2) los cuales estamos despreciando en las CR. El
cálculo del cuadrado de la norma se realizará en la sección siguiente.
3.2. Norma de la amplitud de Low
Nuevamente como en el caso de Kl2 y Kl3 , para obtener la razón diferencial de decaimiento
es necesario obtener la norma al cuadrado de la amplitud de dicho decaimiento, para lo que
debemos sumar sobre todos los posibles valores de los esṕınes finales (s) de los leptones y sobre
todas las polarizaciones del fotón (�).
La suma sobre esṕınes se realiza de manera usual recurriendo a propiedades de las matrices
γ. Mientras que para suma de polarizaciones se tiene que la regla covariante∑
�µ�α → −gµα, (3.27)
es aplicable en todos los términos en los cuales no exista divergencia infrarroja.
Para el caso divergente infrarrojo se aplica la regla de Coéster [8] para considerar el grado
longitudinal de polarización del fotón debido a que el tratamiento de la divergencia infrarroja
25
requiere de la introducción de una pequeña masa del fotón; λ2 = ω2 − k2 6= 0.
Sin embargo, en la región cinemática que se tratará en este trabajo -llamada de cuatro
cuerpos- la enerǵıa del fotón no será cero, por lo cual no hay términos infrarrojos. Aśı que
simplemente escribimos la amplitud al cuadrado como sigue:
∑
�,s
|MB|2 =
[
eG√
2
]2
23 |f+|2
mmν
(B1 +B2 +B3) , (3.28)
siendo
B1 =
∑
�
(
l · �
l · k
− p2 · �
p2 · k
)2 [
2p1 · pνl · p1 − p21l · pν −Reξ′m2p1 · pν +
m2
4
|ξ′|2 l · pν
]
, (3.29)
B2 =
1
l · k
[
2p1 · pνp1 · k − p21k · pν +
m2
4
|ξ′|2 k · pν
]
, (3.30)
B3 = −
1
l · k
{
2p1 · pνp1 · k
(
l2
l · k
− l · p2
p2 · k
)
− 2p1 · pνl · k
(
p1 · l
l · k
− p1 · p2
p2 · k
)
+
[(
l2
l · k
− l · p2
p2 · k
)
k · pν − l · k
(
pν · l
l · k
− pν · p2
p2 · k
)](
−M21 +
m2
4
|ξ′|2
)}
. (3.31)
Los resultados anteriores se pueden reescribir en el sistema propio del kaón que decae, donde
−→p1 = 0; aśı que p1 =
(
E1,
−→
0
)
=
(
M1,
−→
0
)
. Con
l =
(
E,
−→
l
)
,
p2 = (E2,
−→p2) ,
k =
(
ω,
−→
k
)
,
pν = (Eν ,
−→pν ) .
Además se considera que ξ′ = 1− ξ.
Entonces para la Ec. (3.29), se tiene que
B1 =
(
8
M21
)(
bdiv1 + b
c
1
)
, (3.32)
donde
bdiv1 =
∑
�
(
l · �
l · k
− p2 · �
p2 · k
)2{
EE0ν − l2 − lp2y0 −m2
(
E0ν
M1
− EEν + l
2 + lp2y0
4M21
)
+Reξ
[
m2E0ν
M1
− m
2
2M21
(
EEν + l
2 + lp2y0
)]
+ |ξ|2 m
2
4M21
(
EE0ν + l
2 + lp2y0
)}
, (3.33)
bc1 =
∑
�
(
l · �
l · k
− p2 · �
p2 · k
)2
ω
{
−2E +D + ED′ + m
2
M1
− m
2
4M21
(D + ED′)
−Reξm
2
M1
(
1− D + ED
′
2M1
)
− |ξ|2 m
2
4M21
(D + ED′)
}
. (3.34)
26
Es claro de la Ec. (3.33) que la integración en las variables del fotón del espacio fase deja∫
bdiv1
k2dk
ω
=
∫
dk
k
≈ lnk, (3.35)
de manera que en tres cuerpos se presenta una divergencia infrarroja i.e. cuando k → 0. Por
esta razón bdiv1 lleva el supeŕındice div correspondiente a dicha divergencia, aún cuando como
hemos dicho, en la región de cuatro cuerpos no se presentará tal divergencia.
Por otro lado si en analoǵıa con la (3.32) se definen
B2 =
(
8
M21
)
b2, B3 =
(
8
M21
)
b3, (3.36)
se tiene de la Ec. (3.30)
b2 =
(
M21
8
)
1
ED′
(
2E0ν − 2ω −D +
m2
4M21
D − 2Reξ m
2
4M21
D + |ξ|2 m
2
4M21
D
)
. (3.37)
Y del mismo modo de la Ec. (3.31) se encuentra que
b3 =
(
M21
8
){
− 1
ED′
(
l2
l · k
− l · p2
p2 · k
)[
2E0ν − 2ω +D
(
−1 + m
2
4M21
|1− ξ|2
)]
+2
(
E0ν − ω
) [ E
l · k
− E2
p2 · k
]
+
[(
l · q
l · k
− p2 · q
p2 · k
)
−
(
l2
l · k
− l · p2
p2 · k
)](
−1 + m
2
4M21
|1− ξ|2
)}
. (3.38)
Como puede verse de las Ecs. (3.34), (3.37) y (3.38) los elementos b′s pueden separarse en
distintos coeficientes que acompañan a los factores de forma |f+|2, Ref+f− y |f−|2. Expĺıcita-
mente se tiene
bc1 = b11 |f+|
2 + b12Re
(
f+f
∗
−
)
+ b13 |f−|2 , (3.39)
b2 = b21 |f+|2 + b22Re
(
f+f
∗
−
)
+ b23 |f−|2 , (3.40)
b3 = b31 |f+|2 + b32Re
(
f+f
∗
−
)
+ b33 |f−|2 , (3.41)
donde
b11 = −
∑
�
(
l · �
l · k
− p2 · �
p2 · k
)2
ω
[
2E − (D + ED′)
(
1− m
2
4M21
)
− m
2
M1
]
, (3.42)
b12 = −
∑
�
(
l · �
l · k
− p2 · �
p2 · k
)2
ωm2
M1
(
1− D + ED
′
2M1
)
, (3.43)
b13 = −
∑
�
(
l · �
l · k
− p2 · �
p2 · k
)2
ωm2
4M21
(D + ED′) , (3.44)
b21 =
1
ED′
[
2E0ν − 2ω −D +
m2
4M21
D
]
, (3.45)
27
b22 = −
m2
2M21
D
ED′
, (3.46)
b23 = −
1
2
b22, (3.47)
b31 =
(
m2
l · k
− p2 · l
p2 · k
)[
−2 (E
0
ν − ω)
ED′
−
(
D
ED′
+ 1
)(
−1 + m
2
4M21
)]
+2
(
E0ν − ω
)( E
l · k
− E2
p2 · k
)
+
(
l · q
l · k
− p2 · q
p2 · k
)(
−1 + m
2
4M21
)
, (3.48)
b32 =
m2
2M21
[(
m2
l · k
− p2 · l
p2 · k
)(
D
ED′ + 1
)
−
(
l · q
l · k
− p2 · q
p2 · k
)]
, (3.49)
b33 = −
1
2
b32. (3.50)
El resultado presentado en la Ec. (3.28) se utilizará en el cálculo de la gráfica de Dalitz que
se dará en el caṕıtulo siguiente.
28
Caṕıtulo 4
Razón diferencial de decaimiento
En este caṕıtulo se obtendrá la razón diferencial de decaimiento para las correcciones radia-
tivas bremsstrahlung en la región de cuatro cuerpos de la gráfica de Dalitz a los procesos Kl3 .
Para ello consideremos el decaimiento
K0 → π− + e+ + νe + γ. (4.1)
Dado que dicho cálculo ya ha sido realizado para la región de tres cuerpos de la gráfica de
Dalitz, la aportación de este trabajo consistirá en efectuar el mismo cálculo pero ahora en la
llamada región de cuatro cuerpos de dicha gráfica. Es conveniente entonces, antes de realizar los
cálculos, estudiar la cinemática del proceso (4.1) para saber cúal es esta gráfica y sus correspon-
dientes regiones. Una vez definidas éstas procederemos a la obtención de la razón diferencial,
la cual se calculará hasta el nivel conocido como la gráfica de Dalitz .
4.1. Gráfica de Dalitz. Regiones de tres y cuatro cuerpos
4.1.1. Región de tres cuerpos
La gráfica de Dalitz es una gráfica de la región cinemáticamente permitida para las enerǵıas
E del leptón cargado y E2 del mesón saliente. Esto es, es una región de puntos (E,E2) que
cuando se tiene sólo tres cuerpos
K0 → π− + e+ + νe, (4.2)
las enerǵıas E y E2 satisfacen las cotas
E−2 ≤ E2 ≤ E+2 , (4.3)
m ≤ E ≤ Em, (4.4)
donde
E±2 =
1
2
(M1 − E ± l) +
M22
2 (M1 − E ± l)
, (4.5)
y Em es la enerǵıa máxima del leptón cargado,
Em =
M21 −M22 +m2
2M1
. (4.6)
29
En la gráfica siguiente se muestra tal región (indicada con III).
Figura 4.1: Gráfica de Dalitz para los decaimientos Kl3 .
4.1.2. Región de cuatro cuerpos
Ahora bien, cuando se tienen cuatro cuerpos en el decaimiento semileptónico del kaón neutro:
K0 → π− + e+ + νe + γ, (4.7)
γ es el cuarto cuerpo yrepresenta al fotón con cuadrimomento k =
(
ω,
−→
k
)
. A diferencia de la
región de tres cuerpos, donde γ puede o no aparecer, en esta región de cuatro cuerpos el fotón
siempre aparecerá teniendo al menos un mı́nimo de enerǵıa diferente de cero. La cinemática
relativista dicta que las enerǵıas E y E2 satisfacen
M2 ≤ E2 ≤ E−2 , (4.8)
m ≤ E ≤ EB, (4.9)
donde
EB =
(M1 −M2)2 +m2
2 (M1 −M2)
. (4.10)
Como ya se mencionó, en este trabajo nos avocaremos a calcular la razón de decaimiento
en función de E y E2 para esta región. Esto se conoce como la gráfica de Dalitz para la región
de cuatro cuerpos.
4.2. Razón diferencial de decaimiento para la región de
cuatro cuerpos
Para calcular la razón diferencial de decaimiento dΓB para el proceso (4.7) recurrimos a la
Ec. (A.6), que ahora adquiere la forma
30
dΓB =
1
(2π)8
1
2M1
mmν
4E2EEνω
d3−→p2d3
−→
l d3−→pνd3
−→
k δ4 (p1 − p2 − l − pν − k)
∑
s,�
|MB|2, (4.11)
Como se hizo en el caṕıtulo 2, la δ4 se reescribe como δ4(p1 − p2 − l − pν − k) = δ(M1 −
E2−E −Eν −ω)δ3(
−→
0 −−→p2 −
−→
l −
−→
k ) y entonces con la δ3 se pueden realizar las integrales de
trimomento del neutrino por lo que se obtiene
dΓB =
1
(2π)8
1
2M1
mmν
4E2EEνω
d3−→p2d3
−→
l d3
−→
k δ (M1 − E2 − E − Eν − ω)
∑
s,�
|MB|2. (4.12)
Para realizar las integrales en d3−→p2 , d3
−→
l y d3
−→
k expresemos los elementos de volumen en
coordenas esféricas, esto es
d3−→p2 = |−→p2 |2d|−→p2 |dΩ2 = p22dp2dΩ2, (4.13)
y análogamente
d3
−→
l = l2dldΩl, (4.14)
d3
−→
k = k2dkdΩk. (4.15)
Además consideremos que
dΩ2 = senθ2dθ2dφ2
= −dcosθ2dφ2, (4.16)
y definiendo
cosθ2 = y, (4.17)
se tiene al emplear (4.16) y (4.17) en (4.13) que
d3−→p2 = p2E2dE2(−dy)dφ2. (4.18)
De manera análoga
d3
−→
k = ω2dω(−dx)dφk, (4.19)
donde se ha definido
cosθk = x. (4.20)
En las ecuaciones (4.18) y (4.19) se observa que aparecen −dy y −dx, tales signos invertirán
los ĺımites de integración en la razón diferencial de decaimiento, haciendo que tales variables se
integren en el intervalo [−1, 1].
Empleando los resultados anteriores en la Ec. (4.12) la sección diferencial de decaimiento
adquiere la forma
31
dΓB =
1
(2π)8
1
8M1
mmν
Eν
(p2dE2dydφ2) (ldEdΩl) (ωdωdxdφk) δ(M1−E2−E−Eν−ω)
∑
s,�
|MB|2 .
(4.21)
En la ecuación anterior se puede usar el resultado de la Ec. (3.28):
∑
s,�
|MB|2 =
[
eG√
2
]2
23|f+|2
mmν
3∑
i=1
Bi, (4.22)
con lo cual es posible separar la razón diferencial de decaimiento como
dΓB = dΓB1 + dΓB2 + dΓB3 , (4.23)
donde cada una de estas dΓBi contienen a las correspondientes Bi que componen a la norma al
cuadrado de la amplitud y que están dadas en las Ecs. (3.29), (3.30) y (3.31).
Realizando la integración sobre dω con la delta de enerǵıas, además de la integración sobre
dφ2dΩl que arroja 8π
2 y recordando que
dΩ = C2K
G2F |Vus|2
32π3
M31dEdE2, (4.24)
cada una de las dΓBi que aparecen en (4.23) adquiere la forma
dΓBi =
α
π
dΩ
lp2
4π
∫ 1
−1
dx
∫ 1
−1
dy
∫ 2π
0
dφk
ω
D
Bi. (4.25)
Para continuar con el cálculo de estas dΓBi , comenzaremos con dΓB1 , la cual se puede
expresar como
dΓB1 = dΓ
div
B1
+ dΓcB1 , (4.26)
pues como se señaló en la (3.32), B1 puede dividirse en dos partes, en analoǵıa con la región de
tres cuerpos.
Trabajemos primero con la parte equivalente a las integrales convergentes en la región de
tres cuerpos, que de acuerdo a (3.32) y (4.25) es
dΓcB1 =
α
π
dΩ
lp2
4π
∫ 1
−1
dx
∫ 1
−1
dy
∫ 2π
0
dφk
ω
D
(
8
M21
)
bc1. (4.27)
Como se vio en la (3.39) bc1 puede escribirse como una combinación bilineal de los factores
de forma, por lo cual
dΓcB1 =
α
π
dΩ
8
M2i
lp2
4π
∫ 1
−1
dx
∫ 1
−1
dy
∫ 2π
0
dφk
ω
D
[
b11|f+|2 + b12Re|f+f−|
+b13|f−|2
]
. (4.28)
La ecuación anterior puede escribirse de manera más compacta como
dΓcB1 =
α
π
dΩ
{
ΛF1n|f+|2 + ΛF2nRe|f+f−|+ ΛF3n|f−|2
}
. (4.29)
Para trabajar con dΓdivB1 es conveniente utilizar la equivalencia
32
dΓBi =
α
π
dΩ

lp2
4π
∫ 1
−1 dx
∫ 1
−1 dy
∫ 2π
0
dφk
ω
D
[
8
M2i
(bi1 + bi2 + bi3)
]
,
1
4
∫ ηM
ηm
dη 1
2π
∫
d3−→p ν
Eν
d3
−→
k
ω
δ4 (p1 − p2 − pν − l − k)
[
8
M2i
(bi1 + bi2 + bi3)
]
.
(4.30)
En la Ec. (4.30), η es la masa invariante del neutrino y el fotón; η ≡ (pν + k)2 = 2lp2 (y0 − y),
con valores mı́nimo (ηm) y máximo (ηM) dados por
ηm = 2lp2(y0 − 1), ηM = 2lp2(y0 + 1). (4.31)
El primer renglón de la Ec. (4.30) corresponde a integrales del tipo ΛFin, que son integra-
les en las variables cinemáticas del fotón, mientras que el segundo renglón son integrales tipo
Ginsberg [9] las cuales son más convenientes a la hora de trabajar con dΓdivB1 .
Dado que en B1 se tiene que realizar la suma sobre polarizaciones del fotón, la regla cova-
riante para efectuar tal suma, dada por∑
�
�µ�α → −gµα (4.32)
nos deja
−
∑
�
(
l · �
l · k
− p2 · �
p2 · k
)2
= −
∑
�
[(
lµ
l · k
− p2µ
p2 · k
)
�µ
]2
= −
∑
�
(
lµ
l · k
− p2µ
p2 · k
)(
lα
l · k
− p2α
p2 · k
)
�µ�α
=
l2
(l · k)2
− 2l · p2
(l · k) (p2 · k)
+
p22
(p2 · k)2
, (4.33)
y ya que dΓdivB1 está dada por
dΓdivB1 =
α
π
dΩ
1
4
∫ ηM
ηm
dη
1
2π
∫
d3−→pν
Eν
d3
−→
k
ω
δ4(p1 − p2 − pν − l − k)
8
M21
bdiv1
=
α
π
dΩA0
1
4
∫ ηM
ηm
dη
1
2π
∫
d3−→pν
Eν
d3
−→
k
ω
δ4(p1 − p2 − pν − l − k)
∑
�
(
l · �
l · k
− p2 · �
p2 · k
)2
, (4.34)
con la Ec. (4.33) ésta adquiere la forma
dΓdivB1 =
α
π
dΩA0
1
4
∫ ηM
ηm
dη
1
2π
∫
d3−→pν
Eν
d3
−→
k
ω
δ4(p1 − p2 − pν − l − k)
×
∑
�
[
− m
2
(l · k)2
+
2l · p2
(l · k)(p2 · k)
− M
2
2
(p2 · k)2
]
. (4.35)
Entonces
dΓdivB1 =
α
π
dΩA0I
F
0n. (4.36)
33
En la ecuación anterior A0 corresponde a la norma al cuadrado de la amplitud de decaimiento
a nivel árbol dada en la Ec. (2.59) e IF0n corresponde a
IF0n =
1
4
∫ ηM
ηm
dη
[
−m2I20 + 2l · p2I11 −M22 I02
]
. (4.37)
En el Apéndice B se definen las integrales Imn de la Ec. (4.37), y se indica el procedimiento
para resolverlas. A continuación se citan únicamente los resultados para dichas integrales.
I20 =
4
m2η
, (4.38)
I02 =
4
M22 η
, (4.39)
e
I11 =
2
ηγl2
ln
[
l · p2 + γl2
l · p2 − γl2
]
, (4.40)
donde
γl2 =
√
(l · p2)2 −m2M22 . (4.41)
Sustituyendo las Ecs. (4.38) a (4.40) en la Ec. (4.37) se tiene
IF0n =
1
4
∫ ηM
ηm
dη
[
−8
η
+ 2l · p2
(
2
ηγl2
ln
[
l · p2 + γl2
l · p2 − γl2
])]
. (4.42)
En la Ec. (4.42) queda por realizar la integración sobre la variable η. La integral para el
primer sumando es fácil de realizar, ya que es proporcional a∫ ηM
ηm
dη
η
= lnη|ηMηm = ln
(
y0 + 1
y0 − 1
)
. (4.43)
El procedimiento para realizar la integración del segundo sumando de la Ec. (4.42) es basante
largo para ser incluido aqúı, pero puede verse en el Apéndice B. Aqúı reportamos únicamente
el resultado
∫
2l · p2I11dη = 16 tanh−1 β tanh−1 β2
+
8
β′
{
lnuM
[
ln
(
1− uM
u+
)
− ln
(
1− uM
u−
)]
− lnum
[
ln
(
1− um
u+
)
− ln
(
1− um
u−
)]
+Li2
(
uM
u+
)
− Li2
(
uM
u−
)
− Li2
(
um
u+
)
+ Li2
(
um
u−
)}
. (4.44)
Entonces, insertando los resultados de las Ecs. (4.43) y (4.44) en la Ec. (4.42) se tiene que
34
IF0n = −2 ln
(
y0 + 1
y0 − 1
)
+ 4 tanh−1 β tanh−1 β2
+
2
β′
{
lnuM
[
ln
(
1− uM
u+
)
− ln
(
1− uM
u−
)]
− lnum
[
ln
(
1− um
u+
)
− ln
(
1− um
u−
)]
+Li2
(
uM
u+
)
− Li2
(
uM
u−
)
− Li2
(
um
u+
)
+ Li2
(
um
u−
)}
. (4.45)
Para dΓcB1 se tiene que las integrales sobre las variables del fotón son
ΛF1n =
8
M21
lp2
4π
∫ 1
−1
dx
∫ 1
−1
dy
∫ 2π
0
dφk
ω
D
[b11]
=
8
M21
lp2
4π
∫ 1
−1
dy
∫
dΩk
ω2
D
{
−
∑
�
(
l · �
l · k
− p2 · �
p2 · k
)2 [
2E − (D + ED′)
(
1− m
2
4M21
)
−m
2
M21
]}
, (4.46)
ΛF2n =
8
M21
lp2
4π
∫ 1
−1
dx
∫ 1
−1
dy
∫ 2π
0
dφk
ω
D
[b12]
=
8
M21
lp2
4π
m2
M1
∫ 1
−1
dy
∫
dΩk
ω2
D
(
m2
(l · k)2
− 2l · p2
(l · k) (p2 · k)
+
M22
(p2 · k)2
)
×
(
1− D + ED
′
2M1
)
, (4.47)
ΛF3n =
8
M21
lp2
4π
∫ 1
−1
dx
∫ 1
−1
dy
∫ 2π
0
dφk
ω
D
[b13]
=
8
M21
lp2
4π
m2
4M21
∫ 1
−1
dy
∫
dΩk
ω2
D
(
m2
(l · k)2
− 2l · p2
(l · k) (p2 · k)
+
M22
(p2 · k)2
)
× (D + ED′) . (4.48)
De manera análogaal caso de dΓcB1 para el caso de dΓB2 se tiene
dΓcB2 =
α
π
dΩ
{
ΛF4n|f+|2 + ΛF5nRe|f+f−|+ ΛF6n|f−|2
}
. (4.49)
por lo que se tienen que realizar las siguientes integrales sobre las variables del fotón
ΛF4n =
8
M21
lp2
4π
∫ 1
−1
dx
∫ 1
−1
dy
∫ 2π
0
dφk
ω
D
[b21]
=
8
M21
lp2
4π
∫ 1
−1
dy
∫
dΩk
ω
D
1
ED′
(
2E0ν − 2ω −D +
m2
4M21
D
)
, (4.50)
ΛF5n =
8
M21
lp2
4π
∫ 1
−1
dx
∫ 1
−1
dy
∫ 2π
0
dφk
ω
D
[b22]
=
8
M21
lp2
4π
∫ 1
−1
dy
∫
dΩk
ω
D
(
− 1
ED′
m2
2M21
D
)
, (4.51)
35
ΛF6n =
8
M21
lp2
4π
∫ 1
−1
dx
∫ 1
−1
dy
∫ 2π
0
dφk
ω
D
[b23]
=
8
M21
lp2
4π
∫ 1
−1
dy
∫
dΩk
ω
D
(
1
ED′
m2
M21
D
)
. (4.52)
Finalmente para dΓB3 :
dΓcB3 =
α
π
dΩ
{
ΛF7n|f+|2 + ΛF8nRe|f+f−|+ ΛF9n|f−|2
}
. (4.53)
por lo cual las integrales a realizar son
ΛF7n =
8
M21
lp2
4π
∫ 1
−1
dx
∫ 1
−1
dy
∫ 2π
0
dφk
ω
D
[b31]
=
8
M21
lp2
4π
∫ 1
−1
dy
∫
dΩk
ω
D
{(
m2
l · k
− p2 · l
p2 · k
)[
−2 (E
0
ν − ω)
ED′
−
(
D
ED′ + 1
)(
−1 + m
2
4M21
)]
+ 2
(
E0ν − ω
)( E
l · k
− E2
p2 · k
)
+
(
l · q
l · k
− p2 · q
p2 · k
)(
−1 m
2
4M21
)}
, (4.54)
ΛF8n =
8
M21
lp2
4π
∫ 1
−1
dx
∫ 1
−1
dy
∫ 2π
0
dφk
ω
D
[b32]
=
8
M21
lp2
4π
∫ 1
−1
dy
∫
dΩk
ω
D
{(
l2
l · k
− l · p2
p2 · k
)(
D
ED′
+ 1
)
−
(
l · q
l · k
− p2 · q
p2 · k
)}
m2
2M21
, (4.55)
ΛF9n =
8
M21
lp2
4π
∫ 1
−1
dx
∫ 1
−1
dy
∫ 2π
0
dφk
ω
D
[b33]
=
8
M21
lp2
4π
∫ 1
−1
dy
∫
dΩk
ω
D
{(
l2
l · k
− l · p2
p2 · k
)(
D
ED′
+ 1
)
−
(
l · q
l · k
− p2 · q
p2 · k
)}(
−m
2
M21
)
. (4.56)
En resumen, la razón diferencial de decaimiento dΓB puede expresarse de manera compacta
como
dΓB(E,E2) =
α
π
dΩ
[
A0I
F
0n + A
′
Bn
]
, (4.57)
donde
A′Bn = A
(B)
1n
∣∣f+ (q2, p+ · q)∣∣2 + A(B)2n Re [f+ (q2, p+ · q) f ∗− (q2, p+ · q)]
+A
(B)
3n
∣∣f− (q2, p+ · q)∣∣2 , (4.58)
siendo
36
A
(B)
1n = Λ1n + Λ4n + Λ7n,
A
(B)
2n = Λ2n + Λ5n + Λ8n,
A
(B)
3n = Λ3n + Λ6n + Λ9n,
(4.59)
y A0 defininda en la Ec. (2.59).
Las integrales Λkn, k = 1, 2, ..., 9 están indicadas en las ecuaciones (4.46) a (4.56) con-
forman el primer resultado de esta tesis, ya que estas integrales pueden realizarse en forma
numérica. En el siguiente caṕıtulo daremos un paso adelante y calcularemos anaĺıticamente
tales integrales, lo cual consitutirá nuestro segundo resultado para las CR a la gráfica de Dalitz
de los procesos K0l3 .
37
Caṕıtulo 5
Forma anaĺıtica de la gráfica de Dalitz
5.1. Resultados anaĺıticos
La integración anaĺıtica de las ecuaciones (4.46) a (4.56) se puede realizar siguiendo las
técnicas de otros trabajos involucrados con el decaimiento semileptónico de bariones [10], mu-
chas de estas integrales son prácticamente las mismas y simplemente copiamos el resultado [11].
Sin embargo, hay otras que requieren de la elección adecuada del trimomento del pión saliente,
aśı como de la utilización de la simetŕıa de los correspondientes integrandos. En el Apéndice C
se muestran las técnicas esenciales para el cálculo anaĺıtico de dichas integrales. Aqúı solamente
presentamos los resultados para cada una de las Λin.
ΛF1n =
4lp2
M21
{
a′1
[(
1− β2
)
θF2 +
(
1− β22
)
θ′F2
]
− a
′
1
M1
[
2E2θ
F
3 −
2
E
ζF11 + 2Eθ
′F
3
− 2
E2
ζ ′F11 + 4J
′F
1
]
− a2
[
2ηF0 +
(
1− β2
)
EθF3 +
(
1− β22
) (
M1θ
′F
2 − E2θ′F3
)
−2Eθ′F3 +
2
E2
ζ ′F11 − 4J ′F1
]}
, (5.1)
donde
a′1 = 2E −
m2
M1
, a2 = 1−
m2
4M21
. (5.2)
ΛF2n =
4lp2
M21
{
m2
M1
[(
1− β2
)
θF2 +
(
M2
E2
)2
θ′F2
2
]
− m
2
M21
[
2E2θ
F
3 + Eθ
′F
3 −
2
E
ζF11 −
1
E2
ζ ′F11
+
E
2
(
1− β2
)
θF3 + η
F
0 −
M22
E2
θ′F3
2
+ 2J ′F1
]}
, (5.3)
ΛF3n =
4lp2
M21
{(
m2
4M21
)[
2ηF0 + E
(
1− β2
)
θF3 +
(
M2
E2
)2 (
M1θ
′F
2 − E2θ′F3
)
−2Eθ′F3 +
2
E2
ζ ′F11 − 4J ′F1
]}
, (5.4)
ΛF4n =
4lp2
M21
{
θF3
[
−2E0ν − 3E + βl − βp2y0
(
1− m
2
4M21
)]
+ θF4
(
2E0ν + 3E
)
+ θF7
E0ν
E
+θF5 (3l)−
1
2E
θF9 +
1
E
(
1− m
2
4M21
)
ζF11
}
, (5.5)
38
ΛF5n =
4lp2
M21
(
− m
2
2M21
)[
βp2y0θ
F
3 −
ζF11
E
]
, (5.6)
ΛF6n = −
1
2
ΛF5n, (5.7)
ΛF7n = 2
[
M21
m2
− 1
4
]
ΛF8n +
8lp2
M21
{
−
(
1− β2
) [
E0νθ
F
2 − E
(
θF3 − θF2
)
− θ
F
6
2
]
+ E0ν
(
θF3 − θ′F3
)
−
[
E
(
θF4 − θF3
)
− E2
(
θ′F4 − θ′F3
)
+
θF7
2
− θ
′F
7
2
]
+
E0ν
M1
[
E2θ
F
3 −
ζF11
E
+ Eθ′F3 −
ζ ′F11
2
+ 2J ′F1
]
−EE2
M1
[
θF4 − θF3 + θ′F4 − θ′F3 +
θF7
2E
+
θ′F7
2E2
]
+
1
2M1
[
ζF21
E
+
ζ ′F21
E2
]
− 1
M21
[
a
2
[
p2ly0θ
F
3 − ζF11
E
+
p2ly0θ
′F
3 − ζ ′F11
E2
]
+
IF13
4E
+
I ′F13
4E2
+ E2EJ
′F
2 − aJ ′F1
]}
, (5.8)
ΛF8n =
2lp2
M21
(
m2
M21
){
2ηF0 +
[
E
(
1− β2
)
+ E2 −M1
]
θF3 +
[
M1E2 −M22
E2
− E
]
θ′F3 −
ζF11
E
+
ζ ′F11
E2
− 2J ′F1
}
, (5.9)
ΛF9n = −
1
2
ΛF8n. (5.10)
En estas expresiones las funciones (de E y E2) θ
F
i , ζ
F
i y η
F
0 están dadas en [12]. Las funciones
J ′F1 , J
′F
2 , I
F
13 e I
′F
13 se dan en el Apéndice C. Las funciones θ
′F
1 se obtienen de las correspon-
dientes θFi intercambiando l↔ p2, E ↔ E2 y m↔M2.
Con estas Λin se pueden obtener los coeficientes A
B
in de la Ec. (4.59), que a su vez constituyen
el A′Bn de la Ec. (4.58) que es parte fundamental de nuestro resultado final para la gráfica de
Dalitz que se presenta en la Ec. (4.57) y el cual repetimos a continuación
dΓB(E,E2) =
α
π
dΩ
[
A0I
F
0n + A
′
Bn
]
. (5.11)
La forma anaĺıtica de las CR de dΓB(E,E2) se verifica evaluándola en algunos puntos (E,E2)
de la gráfica de Dalitz y comparándola con la correspondiente integración numérica, para cada
una de las Λin. Por otra parte la forma anaĺıtica será más útil en una simulación Monte-Carlo,
ahorrando tiempo de computación al no requerir la triple integración en las variables del fotón
en cada paso de la simulación para la determinación de los factores de forma f± o el elemento
|Vus| de la matriz CKM .
5.2. Resultados numéricos
A continuación presentamos una evaluación numérica de las CR presentandas en la Ec.
(5.11), donde no se han empleado valores predeterminados para los factores de forma. Para
realizar dicha evaluación se emplearon los resultados de las Ecs.(2.59) y (4.58) en la Ec. (5.11),
con lo cual fue posible expresar la razón diferencial de decaimiento como
39
dΓB (E,E2) =
α
π
dΩ
{
A1|f+(q2)|2 + A2Re[f+(q2)f−(q2)] + A3|f−(q2)|2
}
, (5.12)
donde
Ai = A
(0)
i I
F
0n + A
(B)
in , (5.13)
con las A
(0)
i dadas en las ecuaciones (16) a (19) de la referencia [1], el término I
F
0n obtenido en
la Ec. (4.45) y las A
(B)
in definidas en la Ec. (4.59).
Las tablas que a continuación se presentan corresponden al decaimiento K0e3, donde el leptón
cargado es un electrón
E2 \E 0.0123 0.0370 0.0617 0.0864 0.1111 0.1358 0.1604
0.2592 173.6 213.8 160.6 67.5 -40.1 -142.5 -220.0
0.2468 1.08396 228.9 214.5 142.2 42.8 -61.6 -150.1
0.2345 0.737205 187.0 215.2 163.0 74.5 -25.5 -114.9
0.2222 0.515153 1.06765 194.6 166.4 91.1 -1.9 -88.9
0.2098 0.356737 0.678765 149.5 158.8 99.3 15.1 -67.7
0.2975 0.239893 0.43582 0.779807 139.9 101.1 27.8 -49.2
0.1851 0.153142 0.270401 0.44983 0.871073 96.6 36.8 -33.0
0.1728 0.0894905 0.155295 0.247874 0.419529 83.4 42.2 -18.7
0.1604 0.0443525 0.0764287 0.119168 0.189639 0.341285 43.0 -6.2
0.1481 0.0148042 0.0258581 0.0402445 0.0620204 0.100427 0.204346 4.2
Tabla 5.1: Coeficiente A1×10−2 que acompaña a |f+(q2)|2 en la razón diferencial de decaimiento
para el proceso K0 → π− + e+ + ν̄e + γ. Las unidades de E y E2 están dadas en GeV .
En la tabla anterior los números en negritas corresponden a la contribución a las CR de
la región de cuatro cuerpos, los otros números corresponden a la región de tres cuerpos. Los
resultados de la región de tres cuerpos fueron tomados de [3].
En las tablas siguientes ND := no definido
E2 \E 0.0123 0.0370 0.0617 0.0864 0.1111 0.1358 0.1604
0.2592 ND ND ND ND ND ND ND
0.2468 4.15091 ND ND ND ND ND ND
0.2345 1.4357 ND ND ND ND ND ND
0.2222 0.568526 7.01875 ND ND ND ND ND
0.2098 0.151164 3.34264 ND ND ND ND ND
0.2975 -0.078017 1.82074 6.94829 ND ND ND ND
0.1851 -0.2049 1.00114 3.65542 13.8084 ND ND ND
0.1728-0.264864 0.513594 2.08448 5.66105 ND ND ND
0.1604 -0.272439 0.216341 1.16853 2.97728 7.97564 ND ND
0.1481 -0.226851 0.0463759 0.576411 1.49116 3.3404 10.2154 ND
Tabla 5.2: Coeficiente A2 × 10−8 que acompaña a Re[f+(q2)f−(q2)] en la razón diferencial de
decaimiento para el proceso K0 → π− + e+ + ν̄e + γ. Las unidades de E y E2 están dadas en
GeV .
Los resultados presentados en las Tablas 5.1 a 5.3 son los mismos para el caso en el que se
toman los resultados anaĺıticos y se evalúan en ciertos puntos de E y E2, como en le caso en
40
E2 \E 0.0123 0.0370 0.0617 0.0864 0.1111 0.1358 0.1604
0.2592 ND ND ND ND ND ND ND
0.2468 2.23623 ND ND ND ND ND ND
0.2345 2.59668 ND ND ND ND ND ND
0.2222 2.86859 6.48241 ND ND ND ND ND
0.2098 3.00508 5.60063 ND ND ND ND ND
0.1975 3.0162 5.16468 10.0723 ND ND ND ND
0.1851 2.90823 4.74488 7.91926 20.1905 ND ND ND
0.1728 2.67773 4.23403 6.52772 11.8516 ND ND ND
0.1604 2.30395 3.56368 5.23018 8.42887 17.5555 ND ND
0.1481 1.71824 2.61461 3.70968 5.59186 9.59964 24.7506 ND
Tabla 5.3: Coeficiente A3×10−9 que acompaña a |f−(q2)|2 en la razón diferencial de decaimiento
para el proceso K0 → π− + e+ + ν̄e + γ. Las unidades de E y E2 están dadas en GeV .
el que se usan las expresiones que se dejaron listas para la integración numérica. Aśı que se ha
verificado por ambos métodos la validez de los resultados aqúı reportados.
41
Conclusiones
En este trabajo se ha obtenido la contribución de la región de cuatro cuerpos a las CR a
la gráfica de Dalitz de los decaimientos semileptónicos de kaones neutros. El orden de apro-
ximación de los cálculos es (α/π)(q/M1), donde q es la cuadritransferencia de momento y M1
la masa del kaón. A este orden de aproximación las CR son independientes de modelo y no
requieren alguna especificación de los valores de los factores de forma.
Los resultados se presentan de dos maneras. La primera, llamada forma integral, está dada
en la Ec. (4.37), junto con las Ecs. (4.46) a (4.56) y está expresada en función de las integrales
del fotón las cuales están listas para una evaluación numérica. En la segunda forma, tales inte-
grales se han efectuado anaĺıticamente y el resultado se presenta en términos de funciones que
solo dependen de las varialbes E y E2 y que se han obtenido en otros trabajos. Dicha forma se
da en las Ecs. (4.45) junto a las Ecs. (5.1) a (5.10), y es llamada la forma anaĺıtica.
La ventaja de la forma anaĺıtica sobre la numérica reside en que en una simulación Monte-
Carlo no tiene que calcularse la triple integral en cada paso de la simulación, lo cual reduce el
tiempo de computación. Además, la forma numérica nos permite cotejar los resultados anaĺıti-
cos, ya que en una evaluación numérica ambos deben coincidir. Esto se realizó en la obtención
de las Tabla 5.1 a 5.3. Lo anterior nos permite tener una buena confianza en ellos.
Con los resultados de la región de cuatro cuerpos se complementa el cálculo de las CR
en toda la gráfica de Dalitz, hasta el orden señalado. De esta manera, la razón diferencial de
decaimiento se puede escribir como
dΓB(K
0
l3
) = dΓIIIB + dΓ
IV
B , (2)
donde dΓIIIB está dada en [3] e incluye las CR tanto virtuales como bremsstrahlung de la región
de tres cuerpos, mientras que dΓIVB corresponde a la dΓB calculada en esta tesis para la región
de cuatro cuerpos.
En virtud de la independencia de modelo, la razón diferencial de decaimiento, expresada en
la Ec. (2), puede emplearse para determinar al elemento de matriz |Vus| o los factores de forma
f+ y f−.
Finalmente, mencionaremos que los resultados presentados en la Ec. (2) no solo son apli-
cables a los procesos K0l3 . También pueden utlizarse en otros decaimientos semileptónicos de
mesones pseudoescalares, tales como D0 → K−+l++νl y B0 → D−+l++νl, de los cuales puede
obtenerse información acerca de los elementos de la matriz CKM , |Vcs| y |Vcb|, respectivamente.
42
Apéndice A
Reglas para los diagramas de Feynman
A.1. Diagramas de Feynman
(a) Leptones (b) Quarks
Figura A.1: Vértices fundamentales para interacción débil cargada.
A.2. Ĺıneas externas con esṕın s = 1/2
Part́ıcula entrante: u.
Antipart́ıcula entrante: v̄.
Part́ıcula saliente: ū.
Antipart́ıcula saliente: v.
A.3. Propagadores
Electrones y positrones: i(γ
µqµ+mc)
q2−m2c2 .
Fotones: − igµν
q2
.
A.4. Factores de vértice
igeγ
µ,
donde ge = e
√
4π/}c =
√
4πα.
43
A.5. Propiedades de las matrices γ
1. La traza de un número impar de matrices gamma es cero.
2. Tr(1)=4.
3. Tr(γµγν)=4gµν .
4. Tr(γµγνγλγσ)=4( gµνgλσ − gµλgνσ + gµσgνλ).
Como γ5 = iγ0γ1γ2γ3, entonces el producto de un número impar de matrices gamma por γ5 es
cero.
1. Tr(γ5)=0.
2. Tr(γ5γµγν)=0.
3. Tr(γ5γµγνγλγσ)=4i�µνλσ.
donde
�µνλσ =

−1 si µνλσ es una permutación par de 0123,
+1 si µνλσ es una permutación impar,
0 si cualquiera dos ı́ndices son los mismos.
También fue útil para el cálculo de las trazas la siguiente relación
γµγνγα = γµgνα − γνgµα + γαgµν + i�µναβγβγ5, (A.1)
con �µναβ el tensor totalmente antisimétrico que toma el valor −1 si µναβ es una permutación
par de 0123 y 1 si la permutación es impar. De otra manera vale cero. Además
�0123 = �0123 = −1. (A.2)
Las convenciones para esta tesis son
γ5 = iγ0γ1γ2γ3, (A.3)
σµν =
1
2
[γµ, γν ] =
1
2
(γuγν − γνγµ). (A.4)
Los espinores se consideran normalizados a dos veces la masa de la part́ıcula.
Todos nuestros cálculos se referirán al sistema centro de masa de la part́ıcula que decae.
La métrica utilizada es
gµν = Diag(1,−1,−1,−1). (A.5)
Las matrices de Dirac están dadas en [7].
44
A.6. Regla de oro de Fermi
La razón diferencial de decaimiento del proceso
1→ 2 + 3 + · · ·n,
está dada [7], en el marco de referencia de la part́ıcula que decae con masa M1, por
dΓ =
S
2M1
∑
s
|M0|2
d3
−→
k1
2ω1 (2π)
3 . . .
d3
−→
kn
2ωn (2π)
3 (2π)
4 δ4
(
p1 −
n∑
i=1
ki
)
, (A.6)
donde ki son los cuadrimomentos de las part́ıculas salientes, ωi las enerǵıas de las mismas y
S = 1
m!
un factor estad́ıstico, donde m es el número de part́ıculas idénticas en el estado final.
La Ec. (A.6) es aplicable únicamente a part́ıculas con spin s = 0 y a fotones. Para poder
emplearla en procesos donde los productos finales son leptones, es necesario realizar el cambio
1
2ωi
→ m
Ei
, el cual es válido para part́ıculas de Dirac.
45
Apéndice B
La integral divergente
En el cálculo de las CR a la gráfica de Dalitz de los decaimientos K0l3 en la región de tres
cuerpos surge la integral
I0n = ĺım
λ→0
1
4
∫ ηM
λ4
dη
1
2π
∫
d3−→pν
Eν
d3
−→
k
ω
δ4(p1 − p2 − q)
[
− l
2
(l cot k)2
+
2l · p2
(l · k)(p2 · k)
− p
2
2
(p2 · k)2
]
, (B.1)
la cual proviene de la parte B1 que contiene la suma sobre polarizaciones del fotón del término∑
�
(
l · �
l · k
− p2 · �
p2 · k
)2
. (B.2)
En ésta región la integral de la Ec. (B.1) es divergente infrarroja ya que en dicha región
la enerǵıa del fotón puede ser cero (ω = 0). Para tratar con dicha divergencia se introduce el
parámetro λ, correspondiente a una pequeña masa para el fotón, en el ĺımite inferior de integra-
ción de la variable η. Ésta es la masa invariante del par netrino-fotón dada por η = 2lp2(y0−y)
cuyo valor máximo es ηM = 2lp2(y0 + 1).
Para trabajar con la integral de la Ec. (B.1) E. W. Ginsberg [9] propuso las siguientes
integrales invariantes
Imn =
1
2π
∫
d3−→pν
Eν
d3
−→
k
ω
1
(l · k)m(p2 · k)n
δ4(p1 − p2 − l − pν − k), (B.3)
donde m, n son cero o enteros positivos o negativos.
Usando la definición de la Ec. (B.3) en la Ec. (B.1) la integral I0n adquiere la forma
I0n(E,E2) = ĺım
λ→0
1
4
∫ ηM
λ2
dη
[
2l · p2I11 −M22 I02 −m2I20
]
, (B.4)
en donde aparecen las integrales I11(m = n = 1), I02(m = 0, n = 2) e I02(m = 2, n = 0).
En la región de cuatro cuerpos de la gráfica de Dalitz, la integral de la Ec. (B.1) ya no es
divergente debido a que en esta región siempre existe un fotón real con ω 6= 0. Debido a lo
anterior ya no es necesario realizar el proceso