Introdução ao Maple V para Matemática

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TTuuttoorriiaall 
22001111 
Contenidos 
 
 
 
 
 
 
 
DDeeppttoo.. ddee 
MMaatteemmááttiiccaass 
UU ddee GG 
 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUCCIÓN 
 
OPERACIONES ELEMENTALES 
 
ÁLGEBRA ELEMENTAL 
 
GRÁFICAS CON MAPLE V 
 
CÁLCULO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 UUnniivveerrssiiddaadd ddee GGuuaaddaallaajj aarraa 
 2
OObbjjeettoo ddee EEssttuuddiioo 11 
Introducción a Maple V 
 
OObbjjeettiivvoo ddee AApprreennddiizzaajjee 
 
El estudiante conocerá las funciones básicas en el manejo del software Maple 
V, así como la habilidad de trabajar en las líneas de comando y hoja de trabajo 
(Worksheet). 
 
CCoommppoonneenntteess pprriinncciippaalleess ddeell oobbjjeettoo ddee eessttuuddiioo 
 
1. Hoja de trabajo (Worksheet). 
2. Línea de Comando (prompt). 
3. Secciones y Subsecciones de la hoja de trabajo. 
 
 
AACCTTIIVVIIDDAADD PPRREELLIIMMIINNAARR 
 
AAll ccoommeennzzaarr:: 
n Para iniciar con el software Maple V Release 5, hay que hacer “clic” en 
icono Maple V5.lnk , o tal y como se muestra en la siguiente cadena: 
 
Inicio programas Matemáticas Maple V Release 5 Maple V Release 5. 
 
NOTA: Aunque la guía de la cadena anterior puede cambiar, dependiendo de 
la carpeta en donde se encuentre instalado Maple V. 
 3
 
Después aparecerá la ventana de trabajo semejante a la siguiente: 
 
 
n Para guardar el documento usa la opción Save As (menú File). Esto genera un 
documento con el mismo contenido que el presente. 
 
n Al momento de nombrar el documento, se presentarán cinco opciones para salvar el 
documento, las cuales son, Maple Worksheet, Maple Text, Text, HTML Source, LaTex 
Source. Las opciones se muestran en la ventana Guardar como archivo de, dentro de la 
ventana Guardar como, tal y como se muestra en la siguiente figura. 
 4
 
Por el momento y para el presente curso, agregar al nombre escogido la extensión mws 
(nombre.mws). 
 
n Antes de terminar con la sesión de trabajo de Maple V, el documento se guarda con 
Save del menú File, aunque, se recomienda guardar el documento constantemente. 
 
n Para iniciar una nueva sesión de trabajo con una hoja en blanco, debe seleccionarse la 
opción New del menú File. 
 
 
Actividad Preliminar: Iniciar con el software Maple V, y nombrar en 
una nueva hoja de trabajo con la extensión Maple Worksheet. La 
hoja que guardarás, será el documento que trabajarás a lo largo del 
presente Objeto de Estudio 1. 
 
 AACCTTIIVVIIDDAADDEESS PPAARRAA EELL AAPPRREENNDDIIZZAAJJEE 
 
Al iniciar una sesión de Maple V, emerge un documento llamado Worksheet (Hoja de 
Trabajo). La hoja de trabajo cuenta con las facetas y propiedades comunes de procesadores 
y editores de texto (ver menú Edit y botones del tablero en la parte superior de la hoja). En 
la figura que se muestra a continuación se muestra los diferentes componentes de la hoja de 
trabajo: 
 5
 
 
 Input: Zona de entrada de instrucciones (comandos) por ejecutar, ésta zona, 
siempre está caracterizada por la presencia del prompt ([>). 
 Output: Despliegue de instrucciones ejecutadas. El output, puede ser una expresión 
o una parte de una expresión, y puede ser reclicado a un input, es decir, puede tener 
la forma de una expresión matemática en particular. 
 Comentarios: Texto y fórmulas que Maple no ejecuta. 
 Gráficas: Existen en dos y tres dimensiones, además de animaciones. 
 
CCoonn llaa aayyuuddaa ddeell iinnssttrruuccttoorr,, ddeessaarrrroollllaa llaass ssiigguuiieenntteess aaccttiivviiddaaddeess:: 
 
Actividad 1: Elabora en una línea de comando dentro de la hoja de 
trabajo, el escrito “Para determinar la solución de la integral 
∫ dxxex del método de integración por partes”. 
 
Actividad 2: Dentro de una sección, con título “Solución de la 
Integral”, ejecuta la integral de la actividad 1. 
 
 
 6
Actividad 3: Abrir una subsección, titulada “Grafica” dentro de la 
sección de la actividad 2, y ejecutar la gráfica de la función 
xx exexf −=)( , en el intervalo de [-2,2]. 
 
 
Actividad 4: Dentro de la hoja de trabajo, buscar la información de 
la instrucción plot, por medio de las hojas de ayuda. 
 
Actividad 5: En la subsección llamada “Gráfica”, en la última línea 
de comando, escribir “REGRESAR” y hacer una hiperconección con 
la sección principal . 
 
AACCTTIIVVIIDDAADD IINNTTEEGGRRAADDOORRAA 
 
Guarda una hoja de trabajo con el nombre “Caso Integrador 
OE1”, en la primera línea de comando, abre una sección bajo el 
título “Integración y Diferenciación”, el texto debe tener 24 
puntos de tamaño, letra tipo Arial, en color azul. Dentro de 
ésta sección, integra y deriva las siguientes funciones: 
)sin()( xexf x= )2cos()( xxf = 
)ln()( 2xxxf = 42)( 2 ++= xxxf 
Cierra la sección anterior y genera otra línea de comando, en la 
cual, abrirás una nueva sección titulada “Graficación”, con las 
mismas características de tamaño y tipo de letra. En ésta 
nueva sección, grafica las funciones anteriores. Adecua los 
intervalos, de tal forma que la gráfica tenga la mejor 
visibilidad. 
 
 
 
 7
OObbjjeettoo ddee EEssttuuddiioo 22 
Operaciones Elementales 
 
OObbjjeettiivvoo ddee AApprreennddiizzaajjee 
 
El estudiante analizará las operaciones elementales e instrucciones para 
asignar y evaluar variables (nombres), funciones, sumatorias y productos de 
números. 
 
CCoommppoonneenntteess pprriinncciippaalleess ddeell oobbjjeettoo ddee eessttuuddiioo 
 
1. Operaciones elementales: suma, resta, multiplicación y división. 
2. Asignación de nombres. 
3. Evaluación y sustitución de expresiones. 
4. Cálculos numéricos. 
 
 
AACCTTIIVVIIDDAADD PPRREELLIIMMIINNAARR 
 
Algo de teoría:Algo de teoría: 
El software Maple V Release 5 es un lenguaje estructurado. Esto quiere decir que a cada 
objeto matemático definido y utilizado le corresponde un tipo de estructura bien definida. 
En los diversos tipos de estructura está la diferencia entre el usuario marginal o elemental 
(que solo conoce la sintaxis) y el usuario experto. 
 
Operaciones Básicas. 
Al igual que en un curso básico de matemáticas, los signos de operaciones aritméticas son: 
• + suma 
• - resta 
• * producto 
• / división 
• ^ potencia 
Una combinación de números, nombres validos y funciones, operados con estos símbolos 
nos da una expresión. Por ejemplo: 
[> 3*x^2+x*tanh(x+1); 2*N[1](y)+N[2](y)*cos(x+alpha); sin(x)+cos(x); 
[> 3*x^2+x*tanh(x+1); 
 8
Símbolos de relación. 
 Los símbolos de relación son: 
• = (igual) 
• < (menor) 
• > (mayor) 
• <= (menor o igual) 
• >= (mayor o igual) 
• <> (desigual) 
Nombres. 
Son símbolos alfanuméricos de posibles variables (variables simbólicas). 
Nombres simples. 
[> hola; Zitacuaro; E; S12; alpha; alpha0; Omega11; Omega_11; 
 
Nombres indexados. 
El índice (que en realidad es un subíndice) va entre corchetes “[]” junto al nombre simple., 
por ejemplo: 
[> hola[hola]; GARO[exacto]; E[12]; S[1,2]; alpha[0]; Omega[11]; 
 
Nombres NO VALIDOS 
No todo símbolo alfanumérico puede ser un nombre valido de Maple V. Al teclear nombres 
inválidos aparece un mensaje de error. 
Nombres con caracteres reservados para operadores y otras instrucciones 
[> %3; 
[> @xc; 
[> Sara"23; 
[> R'suave; 
Nombres con caracteres reservados para programación: if, while, do, elif, end 
[> if; 
[> do; 
[> while; 
Nombres que empiezan con números 
[> 6CF; 
Nombres que violan la sintaxis (paréntesis sin cerrar, etc) 
[> 8(Sar; 
[> R[34); 
 
Operador Flecha y Asignación de Nombres. 
Un tipo de estructura muy útil es el operador flecha, basado en la idea intuitiva del "mapeo" 
o la "transformación", del concepto de álgebra lineal. La sintaxis es la siguiente: 
 
nombre -> expresión o función; 
(nombre_1, nombre_2, etc) -> expresión o función; 
Podemos definir la variable “x” como una expresión, por ejemplo: 
[> x -> x*sin(x); 
 9
Y se evalúa de la siguiente forma: 
[> (x -> x*sin(x))(3); 
Por medio del operador flecha se puedendefinir funciones, a continuación se muestran 
algunos ejemplos: 
[>f:=x->x^2; 
[>g:=x->sin(2*x); 
[>h:=x->(1-x)/(2-x); 
Como se observa en el ejemplo anterior, es posible asignar un NOMBRE (simple o 
indexado) a cualquiera de las estructuras mencionadas anteriormente. El operador de 
asignación es := (dos puntos e igual). Maple V Release 5 reconoce al nombre asignado 
como representante del objeto. 
Asignar un nombre a otro nombre 
[> f:=amigo; 
[> f; 
[> f^2+1; 
Asignar un nombre a un numero 
[> s[1]:=3.3376; 
[> s[1]; 
[> s[1]^2+1; 
Asignar un nombre a una función 
[> func:=FF(x,y,z); 
[> func; 
[> func^2+1; 
 
Actividad Preliminar: Asignar los nombres E,L,V y S a las 
expresiones siguientes: 31 θ+ , )cos(1 x− , y , )2sin( xe x +− )ln( 2x
respectivamente y formar las expresiones: 
a) E+L+V 
b) 
VS
E
−
. 
c) (1+E)(2-L)(S/E) 
 
 AACCTTIIVVIIDDAADDEESS PPAARRAA EELL AAPPRREENNDDIIZZAAJJEE 
 
En la actividad integradora se analizó las operaciones básicas y la asignación de nombres y 
funciones, éste último por medio del operador flecha. Ahora, procederemos a evaluar las 
variables y/o funciones, para ello, nos auxiliaremos de los siguientes comandos 
(instrucciones) de Maple V Release 5. 
 
 10
El primer comando es subs, este comando sustituye un valor (o una serie de valores) en una 
expresión matemática definida, la sintaxis es la siguiente: 
subs(V1=valor1,V2=valor2,.....Vn=valor n, expresión) 
La otra instrucción es eval, el cual evalúa una expresión específica, como se muestra a 
continuación la sintaxis: 
eval(expresión, V1=valor1) 
eval(expresión, ecuación) 
eval(expresión) 
Ambos comandos se pueden utilizar en la misma línea de comando y a la misma vez. 
 
Actividad 1 :En una hoja de trabajo, abre una sección bajo el 
nombre “Los comandos subs y eval “, en la primer prompt escribe la 
ecuación cuadrática y sustituye los siguientes cbxaxy ++= 2
valores: 
i). a=1, b=-2, c=-3 
ii) a=4, b=-3, c=2 
iii) a=-3, b=1/2, c=-5, x=2. 
 
Actividad 2: En la misma ecuación de la actividad anterior y en una 
nueva línea de comando, sustituye los valores a=sin(z), b=cos(z), 
c=tan(2z). En la siguiente línea de comando, sustituir z=Pi, 
posteriormente, evaluar la expresión dada. 
 
Actividad 3: Ejecuta la misma actividad anterior, pero utiliza una 
sola línea de comando. 
 
Actividad 4: Por medio del comando evalf, encuentra 30 decimales 
de los siguientes números irracionales: π, e, 2 . 
 
Dentro de las intrusiones que pertenece a la evaluación de funciones, está la sumatoria 
(series) y el producto de números, la sintaxis es sencilla y se muestra a continuación. 
 
• para la suma: sum (expresión, k=valor 1..valor n-ésimo) 
• en el producto: product( expresión, k= valor 1..valor n-ésimo) 
Si la primera letra de las instrucciones anteriores es mayúscula (S y P, respectivamente), 
Maple V ejecuta la expresión en forma simbólica. Realiza las siguientes actividades en 
donde te auxiliarás de las instrucciones anteriores. 
 
 11
Actividad 5: Elabora las sumas y productos dados a continuación, 
por medio del comando “sum”, con la letra inicial en minúscula y 
mayúscula. 
i. ii. iii.∑
=
n
k
k
1
3 ∑
=
20
2
)ln(
k
kk ∑
= −
+20
3 2
2
k k
k iv.∏
= +
+10
1
2
4
2
k k
kk 
 
 
AACCTTIIVVIIDDAADD IINNTTEEGGRRAADDOORRAA 
 
Guarda una hoja de trabajo con el nombre “Caso Integrador 
OE2”, abre una sección titulada “La sumatoria y el producto”. 
Utiliza la regla de correspondencia (operador flecha), de tal 
forma que la salida (output), la sumatoria y el producto estén 
expresados en forma simbólica. Asigna el nombre “S”, para la 
sumatoria y “P” para el producto y evalúa para n=10, n=20 y 
n=30 las expresiones hasta obtener 30 dígitos en la misma línea 
de comando (prompt). 
 
∑
= −
n
k k
kk
2
2
22
1
)ln( ∏
= +
+n
k k
k
1 3
2 
 
 12
OObbjjeettoo ddee EEssttuuddiioo 33 
Álgebra Elemental 
 
OObbjjeettiivvoo ddee AApprreennddiizzaajjee 
 
El estudiante analizará por medio de Maple V Release 5, la forma de 
simplificar, desarrollar y factorizar expresiones matemáticas de manera 
instantánea . 
 
CCoommppoonneenntteess pprriinncciippaalleess ddeell oobbjjeettoo ddee eessttuuddiioo 
 
Las instrucciones: 
 Simplify. 
 Normal 
 Combine 
 Expand 
 Factor 
 Collect 
 Solve. 
 
 
AACCTTIIVVIIDDAADD PPRREELLIIMMIINNAARR 
 
Algo de teoría:Algo de teoría: 
 
SSiimmpplliiffiiccaarr,, ddeessaarrrroollllaarr yy ffaaccttoorriizzaarr eexxpprreessiioonneess.. 
 
Maple V Release 5 simplifica de manera automática las expresiones como: sumas, 
productos, cocientes, potencias de números enteros y racionales, números racionales 
expresados en forma fraccional, reducción de polinomios semejantes y expresiones 
asociativas. Las instrucciones que se utilizarán a lo largo del presente objeto de estudio para 
simplificar desarrollar y factorizar expresiones son: simplify; normal; expand; combine; 
factor; collect; y solve. A continuación se describe las instrucciones anteriores. 
 
La sintaxis del comando simplify es simplify(expresión), en esta misma sintaxis, después 
del argumento expresión (seguido de una coma), se puede agregar (opcional), alguna 
 13
estructura o procedimiento reconocido por Maple V, por ejemplo: trig, hypergeom, radical, 
power,exp, ln. Estas estructura predefinidas por el programa, simplifican las expresiones en 
forma trigonométrica, hipergeométrica, etc. 
 
Para simplificar la expresión 
se escribe en la línea de comando: 
)2cos()(sin2)(cos2)(sin)(cos 2245 xxxxx −−++
[>simplify(cos(x)^5 + sin(x)^4 + 2*cos(x)^2 - 2*sin(x)^2 - cos(2*x)); 
5 4 
cos(x) + cos(x) 
En cambio, para simplificar la expresión en el cual se considere los factores comunes de la 
expresión, se utiliza el comando normal, cuya sintaxis es: 
normal (expresión) 
Por ejemplo para simplifica la expresión 
( )3
22
yx
yx
−
−
 por medio de la instrucción normal, se 
escribe de la siguiente forma: 
[>normal( (x^2-y^2)/(x-y)^3 ); 
y + x 
--------- 
 2 
(-x + y) 
Si lo que se desea es desarrollar alguna expresión matemática, nos auxiliaremos del 
siguiente comando: 
expand(expresión) 
A continuación se presenta un ejemplo con la instrucción anterior. 
[> z:=(x+y)^2 + 9*(2+x)*(x+y); 
 
[> expand(z); 
 
 
El comando que factoriza expresiones es factor(expresión), si factorizamos la expresión 
 ( )322 18181011 xyxxyy ++++
[>a:=(y^2+11*y*x+10*x^2+18*y+18*x)^3; 
 2 2 3 
a := (y + 11 y x + 10 x + 18 y + 18 x) 
[>factor(%); 
 
El comando combine, se aplica para juntar los términos de los productos, sumas y 
potencias. En algunos casos funcionan como instrucción inversa con respecto a expand. La 
sintaxis es combine(expresión). El comando combine, básicamente adquiere el concepto 
 14
de linealidad, es decir ),(),(),( rangozxfrangozfrangoxf βαβα +⇒+ . Por 
ejemplo: 
[>combine(Diff(x^3,x)-Diff(x^2,x)); 
 d 3 2 
-- (x - x ) 
 dx 
El comando collect(expresión, variable), se puede agrupar los términos de la expresión 
con respecto a la variable o variables que se indican. 
[>f := a*ln(x)-ln(x)*x-x: 
[>collect(f,ln(x)); 
(a - x) ln(x) - x 
 
[> g := int(x^2*(exp(x)+exp(-x)),x): 
[> collect(g,exp(x)); 
 2 
 2 -2 x - 2 - x 
 (2 + x - 2 x) exp(x) + ------------- 
 exp(x) 
 
Actividad Preliminar: 
a) Simplifica las expresiones siguientes: 
 i. ( ii. iii.) 3323 −− yx 448 yxx −
xxx
xx
+−
−
23
2
2
22 
b) Desarrolla las expresiones: 
 i. ( )( )22 422 aaxxax +−+ ii. )653)(32( 2 +−− yyy
c) El resultado de las expresiones del inciso anterior, evalúa 
asignando los valores x=-2, y=4, a=5 hasta 20 dígitos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15
 AACCTTIIVVIIDDAADDEESS PPAARRAA EELL AAPPRREENNDDIIZZAAJJEE 
Para resolver una ecuación, Maple V utilizala instrucción solve el cual la sintaxis es la 
siguiente: 
solve(ecuación, variable) 
La ecuación puede ser una expresión matemática definida como una variable, es decir, 
ecua:=expresión. El segundo argumento “variable” del comando solve es la variable a la 
cual se encontrará las raíces, es recomendable que la variables esté entre el símbolo de 
“llaves”, es decir, {x}. 
 
 
Actividad 1: En la hoja de trabajo abrir una sección con el nombre 
“Solución de Ecuaciones”, y resuelve las ecuaciones siguientes: 
i. ii.01072 =+− xx
3
5
3
10
6
13
3
13
2
22
3 axaxxaxx −+=+− 
iii. iv. 0=+ −xx ee 0)arctan()arccos( =− xx 
 
Actividad 2: Comprueba las soluciones obtenidas (raíces) de la 
actividad 1. 
 
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de m ecuaciones por n incógnitas, en el 
primer argumento del comando solve, se escribe entre el símbolo “llaves” {}, el conjunto 
de ecuaciones. En el segundo argumento, de la misma forma, se escribe el conjunto a 
variables. 
 
Actividad 3: Utiliza el comando solve, para resolver el sistema de 
ecuaciones dado y comprueba las soluciones obtenidas. 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=−
=+−
3
12
523
z
zy
zyx
 
Por medio del mismo comando solve puede resolver desigualdades (inecuaciones), la 
sintaxis es la misma que se utilizó en la actividad anterior. 
Actividad 4: Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: 
2/1,1;1 22 ≤+≤< yxyx 
 
 16
 
AACCTTIIVVIIDDAADD IINNTTEEGGRRAADDOORRAA 
 
1. Guarda una hoja de trabajo con el nombre “Caso Integrador 
OE3”, abrir una sección y define las reglas de correspondencia 
f1 y f2. Evalúa las funciones para los valores de [x,y] dados 
por [1,1],[2,3],[5,6] en cada función. Resuelve el sistema 
formado por f1 y f2, cada función igualar a cero. 
202
651
22
33
−+=
−+=
xyyxf
yxf
 
2. La instrucción para graficar dos o más expresiones o 
funciones es: 
plot({expresión1,expresión2...expresión n}, variable=rango); 
 
Grafica 3 rectas que pasan por el punto (2,3) y comprueba 
resolviendo el sistema por medio del comando solve. 
 
 17
OObbjjeettoo ddee EEssttuuddiioo 44 
Gráficas con Maple V Release 5 
OObbjjeettiivvoo ddee AApprreennddiizzaajjee 
 
El estudiante analizará por medio de Maple V Release 5, los comandos 
básicos para visualizar las gráficas de funciones en R2 y R3, en los diferentes 
sistemas coordenados. 
CCoommppoonneenntteess pprriinncciippaalleess ddeell oobbjjeettoo ddee eessttuuddiioo 
 
Las comandos: 
 Plot 
 Implicitplot 
 With(plot) 
 Animate2d 
 Animate3d 
 
 
AACCTTIIVVIIDDAADD PPRREELLIIMMIINNAARR 
 
Algo de teoría:Algo de teoría: 
 
A continuación se presenta algunos de los comandos que se utilizarán para la 
representación gráfica de funciones expresadas en forma explícita, paramétrica, en el 
espacio bidimensional y tridimensional, coordenadas polares y superficies en el espacio 
tridimensional. 
 
RReepprreesseennttaacciióónn ggrrááffiiccaa ddee uunnaa ffuunncciióónn eexxpprreessaaddaa eenn ffoorrmmaa eexxppllíícciittaa 
La gráfica de una función se obtiene a través del comando plot, cuya sintaxis es : 
plot(f, x=a..b, opción). 
El resultado es la representación gráfica de la función )(xfy = en el intervalo [ ]ba, . 
Por ejemplo: 
>plot(x+sin(x),x=-2*Pi..2*Pi); 
 
 
 
 
 18
El argumento opción corresponde a ninguno, uno o más parámetros que determinarán el 
aspecto del gráfico representado. Dentro de éstas opciones se encuentran: title; style; 
xtickmarks; ytickmarks; line; scaling; color; symbol; por mencionar algunas. Tales 
opciones se describen a continuación: 
 
La opción title, inserta un título al gráfico representado, por ejemplo: 
> plot(x+sin(x),x=-2*Pi..2*Pi,title=`Gráfica de y=x+sen(x)`); 
 
La opción style, determina el aspecto de líneas o de puntos del gráfico, en ésta opción se 
incluye style=forma, donde el argumento forma, adquiere dos valores posibles POINT ó 
LINE, por ejemplo: 
> g:=ln(sin(x)); 
>plot(g,x=-infinity..infinity,style=POINT,title=`Gráfica de g(x)=ln(sen(x)), 
en forma de puntos`); 
> plot(g,x=-infinity..infinity,style=LINE,title=`Gráfica de g(x)=ln(sen(x)), 
en forma de líneas`); 
 
Las opciones xtickmarks e ytickmarks, determinan el número de divisiones que se 
realizarán en los ejes, la abscisa y ordenada respectivamente. 
> h:=x^2*sin(1/x); 
> plot(h,x=-1/10..1/10,xtickmarks=4,ytickmarks=4); 
> a:=sin(x^3)/x^3 ; 
 
 La opción scaling modifica la escala de representación entre los dos ejes. Las posibilidades 
son CONSTRAINED y UNCONSTRAINED, ésta última es el valor asignado por defecto 
a la opción escala. La diferencia entre éstas dos opciones, puede verse en el siguiente 
ejemplo: 
> plot(a,x=-2*Pi..2*Pi); 
> plot(a,x=-2*Pi..2*Pi,scaling=CONSTRAINED); 
 
La opción color, establece el color de la línea (curva) de la función, ésta opción se 
determina por medio del parámetro color = tipo. El argumento tipo corresponde al nombre 
de algún color, entre siguientes: 
aquamarine black blue navy coral cyan 
brown gold green gray grey khaki 
magenta maroon orange pink plum red 
sienna tan turquoise violet wheat white 
yellow 
 
> plot(sin(x),x=-2*Pi..2*Pi,color=gold); 
> plot(sin(x),x=-2*Pi..2*Pi,color=violet); 
> plot(sin(x),x=-2*Pi..2*Pi,color=navy); 
> plot(sin(x),x=-2*Pi..2*Pi,color=magenta); 
 19
El parámetro symbol=tp determina el aspecto de los puntos de la línea (curva) y adquiere 
alguna de las sentencias como: BOX, CROSS, CIRCLE, POINT y DIAMOND. 
Ejemplo: 
> plot(cos(Pi/x),x=-Pi/2..Pi/2,style=POINT,symbol=CROSS); 
 
RReepprreesseennttaacciióónn GGrrááffiiccaa ddee uunnaa FFuunncciióónn EExxpprreessaaddaa eenn FFoorrmmaa PPaarraammééttrriiccaa ((FFuunncciióónn 
vveeccttoorriiaall)).. 
El comando plot con la notación plot([f1(t),f2(t),t=a..b],opción). Representa la gráfica de 
una función en el plano representada vectorialmente por jtfitftr )(2)(1)( += en el 
intervalo [ . Por ejemplo: ]ba,
>plot([t*cos(t),t+sin(t),t=-4*Pi..4*Pi],`title`=`Gráfica de la función 
vectorial r(t)=[tcos(t)]i+[t+sin(t)]j`); 
 
> plot([cos(t),sin(t),t=-2*Pi..2*Pi],`title`=`Gráfica de la función vectorial 
r(t)=cos(t)i+sen(t)j`); 
> 
> plot([2*ln(t+1),t^2,t=-5..10],`title`=`Gráfica de la función vectorial 
r(t)=2ln(t+1)i+t^2j`); 
 
CCuurrvvaass eenn eell EEssppaacciioo 
Para realizar las gráficas de curvas en el espacio (forma vectorial), se efectúa por medio del 
comando spacecurve(L,opción), el argumento L es la función vectorial que se desea 
graficar, es importante recalcar que para este tipo de gráficas es necesario escribir de 
antemano el comando with(plots): por lo menos una vez, en el caso de que no se 
especifique éste comando , Maple V no ejecuta la gráfica. Por ejemplo: 
 
> with(plots):spacecurve([cos(t),sin(t),t],t=0..4*Pi,`title`=`Gráfica de la 
Hélice`); 
> 
> spacecurve([cos(t),sin(t),sin(2*t)],t=0..4*Pi); 
 
RReepprreesseennttaacciióónn ggrrááffiiccaa ddee ffuunncciioonneess ((ssuuppeerrffiicciieess)) eenn eell eessppaacciioo 
La gráfica de una función de dos variables expresada por ),( yxfz = , se efectúa a través 
del comando plot3d(f, x=a..b,y=c..d,opción) 
donde: 
 f = Es la función de dos variables. 
 x, y = Son intervalos en para los ejes "x" y "y", respectivamente. 
Opción = Es una o más de la diversas opciones que se muestran arriba. 
 
>plot3d(100-x^2-y^2,x=-15..15,y=-15..15,`title`=`Gráfica de la 
Paraboloide`); 
> plot3d(1/(4*x^2+y^2),x=-20..20,y=-20..20,numpoints=1000); 
> plot3d(exp(-y)*cos(x),x=-2*Pi..2*Pi,y=-10..10); 
 20
> plot3d((x*y(x^2-y^2))/(x^2+y^2),x=-1000..1000,y=-1000..1000); 
> plot3d(y^2-y^4-x^2,x=-100..100,y=-100..100); 
> plot3d((x^2-x*y)/(sqrt(x)-sqrt(y)), x=-100..100, y=-100..100); 
 
RReepprreesseennttaacciióónn ssiimmuullttáánneeaa ddee vvaarriiaass ffuunncciioonneess 
La representación gráfica en una misma ventana de varias funciones, se consigue utilizando 
el comando plot3d con la sintaxis siguiente: plot3d({f,g,....},x=a..b,y=c..d,opción) 
siendo f, g,... las funciones que desean representar.Por ejemplo: 
 
> f:=100-x^2-y^2; 
> g:=0; 
> plot3d({f,g},x=-15..15,y=-15..15); 
 
RReepprreesseennttaacciióónn ssiimmuullttáánneeaa ddee ffuunncciioonneess aanniimmaaddaass.. 
Al representar funciones animadas, nos auxiliamos del comando animate, el cual está 
compuesto por los siguientes argumentos: 
Para una gráfica en el plano: animate(F(x,t),x=a..b,t=c..d) 
Para una gráfica en el espacio: animate3d(F(x,y,t), x=a..b,y=c..d,t=e..f) 
donde ),( txF y ),,( tyxF son funciones reales en términos de x,t y x,y,t respectivamente, 
el parámetro t permite hacer la gráfica (movimiento con respecto a t) . Cabe mencionar que 
el comando animate, puede ser sólo ejecutado anteponiendo el comando with(plots). 
A continuación se presentan algunos ejemplos. 
> with(plots): 
> animate(sin(x*t),x=-10..10,t=1..4,frames=100); 
> animate(t*sin(t*x),x=-10..10,t=1..2,frames=20); 
> animate(t*sin(x)*cos(x),x=-10..10,t=1..5,frames=20); 
> animate(exp(x*t),x=-infinity..infinity,t=0..5,frames=50); 
> animate(t*exp(x),x=-infinity..infinity,t=0..10,frames=50); 
> animate3d(cos(t*x)*sin(t*y),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,t=1..2); 
> plot3d(exp(cos(x^2+y^2)),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi); 
> animate3d(t*exp(cos((x^2+y^2))),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,t=0..5,frames=20); 
>animate3d(exp(t*cos(sqrt(x^2+y^2))),x=-Pi..Pi,y=-
Pi..Pi,t=0..2,frames=20); 
> animate3d(-x*y*t*exp(-x^2-y^2),x=-2..2,y=-2..2,t=0..5,grid=[49,49]); 
>animate3d(t*sin(sqrt(x^2+y^2)),x=-4*Pi..4*Pi,y=-
4*Pi..4*Pi,t=0..2,grid=[49,49],frames=20); 
 
Actividad Preliminar: Realiza cada ejemplo que se muestra en la 
teoría de este apartado. 
 21
 
 AACCTTIIVVIIDDAADDEESS PPAARRAA EELL AAPPRREENNDDIIZZAAJJEE 
En el apartado anterior, se menciona las características que conlleva el comando plot, ante 
esto, desarrolla las siguientes actividades: 
 
Actividad 1: En una hoja de trabajo, con la sección titulada 
“Graficas de Funciones”, en la primera línea de comando, escribe el 
comando restart; y realiza la gráfica de alguna función que tu 
elijas (diferente a los ejemplos) que involucre a los comandos: plot, 
animate2d y animate3d. 
 
La instrucción plot contiene una serie de comandos que puedes visualizar, escribiendo en la 
línea de comando with(plots); al instante se carga el paquete de gráficas. Alguna de estas 
gráficas las mencionamos arriba. En ocasiones se requiere que aparezcan acotaciones de 
texto en las gráficas. Esto se hace bajo la instrucción texplot. A continuación se presentan 
algunos ejemplos: 
with(plots): 
> textplot([1,2,`un punto en 2d`],align={ABOVE,RIGHT}); 
> textplot({[1,2,`primer punto en 2d`],[3,2,`segundo punto in 2d`]}); 
>textplot([[2,3,`primer punto 2d`],[2,1,`segundo punto en 
2d`]],color=yellow); 
 
Dentro del mismo paquete de graficas, se encuentra el comando display, el cual despliega 
estructuras gráficas diferentes superpuestas. La sintaxis es: 
display([grafica1, grafica2, ...grafica n], opción); 
Se puede usar el comando display para hacer la gráfica en un mismo plano con diferentes 
estructuras, es decir, una gráfica que utilice la función exponencial y otra con texto. Por 
ejemplo: 
 
> p := plot(sin(x),x=-Pi..Pi): delta := 0.05: 
> t1 := textplot([Pi/2,1+delta,`Máximo Local (Pi/2, 1)`],align=ABOVE): 
> t2 := textplot([-Pi/2,-1,`Mínimo Local (-Pi/2, -1)`], align=BELOW): 
> display({p,t1,t2}); 
 
 
 
 
 22
 Actividad 2: Investiga por medio de la hoja de ayuda la instrucción 
“shpereplot” y grafica la funciones )2sin(
3
4 ϕ
θ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ y ϕπ
4
, establece 
los rangos adecuados para tener la mejor visualización en cada 
gráfica. 
 
Actividad 3: Las gráficas de las funciones de la actividad 1, asignar 
una variable y auxiliarse del comando display, para representar en 
el mismo espacio tridimensional las funciones, además de escribir el 
texto “Coordenadas Esféricas”, por medio del comando textplot3d. 
 
Actividad 4: Investiga la instrucción “showtangent”, y grafica la 
recta tangente de la función , en el punto x=4. xxey =
 
CCAASSOO IINNTTEEGGRRAADDOORR 
 
Guarda en una hoja de trabajo con el nombre “Caso Integrador 
de OE4”. Abrir una sección titulada “Graficas de con Maple”. 
Dentro de la sección, abrir subsecciones para cada uno de los 
ejercicios siguientes: 
 
 Trazar en coordenadas polares el rayo de longitud igual a 
2, con ángulo 40=θ grados. 
 Trazar un circulo de radio r=1 junto con los ocho rayos 
que dividen al círculo en ocho partes iguales. 
 Trazar la gráfica que corresponde a una elipse en forma 
paramétrica (en coordenadas cartesianas) agregando la 
opción cords=polar. 
 Construir la gráfica . 433 =− xyzz
 En coordenadas cilíndricas construye . )2cos(2 ϕrz =
 Trazar en un mismo plano las gráficas 
 23
242
1;
2
1);cos(
422 xxxgxf +−−== en el intervalo 
adecuado para tener mejor visualización. 
 Investiga la instrucción inequal para trazar las 
desigualdades siguientes: 
4≤+ yx 83 ≤+ yx 0≥x 0≥y 
 
 24
OObbjjeettoo ddee EEssttuuddiioo 55 
Cálculo con Maple V Release 5 
 
OObbjjeettiivvoo ddee AApprreennddiizzaajjee 
 
El estudiante determinará el cálculo de límites, derivadas e integrales por 
medio de los comandos básicos de Maple V Release 5, así como analizará los 
marcos algebraico y geométrico de las Ecuaciones Diferenciales. 
 
CCoommppoonneenntteess pprriinncciippaalleess ddeell oobbjjeettoo ddee eessttuuddiioo 
 
Las comandos: 
 Limit 
 Diff 
 Int 
 dsolve 
 Desolve. 
 
 
AACCTTIIVVIIDDAADD PPRREELLIIMMIINNAARR 
 
Algo de teoría:Algo de teoría: 
 
Para el presente objeto de estudio, iniciamos con el concepto que define al cálculo, que es 
el límite de funciones. En Maple V Release 5, la instrucción propia para el cálculo de 
límites es Limit (f, ax = ), el argumento f es la función y ax = es el valor al cual tiende 
el límite, posteriormente se evalúa por medio de los comandos conocidos evalf o value. Si 
desea encontrar el límite de manera directa la sintaxis es limit (f, ax = ). 
>limit(sin(x)/x, x=0); 
>limit(exp(x), x=infinity); 
>limit(exp(x), x=-infinity); 
Es posible calcular los límites por la derecha o izquierda, solo con agregar en la instrucción 
el argumento (separado de coma) right o left respectivamente. 
> limit(1/x, x=0, right); 
> limit(1/x, x=0, left); 
> limit(1/x,x=0); 
 25
Para el cálculo de derivadas, se obtiene a partir de la función diff o Diff cuya sintaxis es 
diff (f, variable 1, variable 2, variable n ). Este comando permite calcular las derivadas 
con respecto a cada una de las variables. 
> diff(exp(x)*cos(x),x); 
> diff(ln(x^2+y^2),x); 
> diff(ln(x^2+y^2),y); 
> diff(x^2*cos(x),x); 
> diff(cos(x^2),x); 
 
Actividad Preliminar: Encuentra la deriva de la función 
)2sin(2)( xxf = , por medio del concepto del límite (método de 
Newton), y verifícalo con la instrucción diff. 
 
 AACCTTIIVVIIDDAADDEESS PPAARRAA EELL AAPPRREENNDDIIZZAAJJEE 
 
 
Actividad 1: Encuentra el limite y las derivadas de las siguientes 
funciones: 
i.
3
25lim
3
3 −
−+
→ x
x
x
 ii. 
x
x x
x
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+∞→ 1
lim iii. )2tan(
3
1)( 2 xxxf −= 
 iv. xx eexf −= )arctan()( . 
 
Actividad 2: Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica 
)cot()csc()( xxxf = en el punto ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ 2,
4
π . 
 
Actividad 3: Grafica la función de la actividad anterior y la 
ecuación de la recta tangente, por medio del comando display, 
utiliza la instrucción textplot para indicar la recta tangente, así 
como, las intrusiones arrow y circle que pertenecen al paquete 
plottools . 
 
 26
Actividad 4: Encuentra la derivada de las siguientes funciones: 
i. yx ffyx
xyyxf ,)sin(),( 22 +
= . ii. yx ffxyyxyxf ,53),(
22 −+=
 
 
Actividad 5: Investiga la sintaxis del comando int, para realizar las 
siguientes integrales: 
i. ∫ + dxx
x
12
2
 ii. ∫ ))ln(ln()ln( xxx
dx iii. ∫ dxxx )sinh( 
iv. ∫ −
)2ln(
0
1dxex v. ∫ ++
1
0
2 54xx
dx 
 
Actividad 6: Hallar las sumas de las series dadas por medio de la 
instrucción sum: 
i.∑
∞
= +1 )1(
1
n nn
 ii. ∑
∞
=
−
−
− ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
+
1
1
1
1 )3(2
)1(
2
3
n
n
n
n iii. ( )∑
∞
=
++−+
1
12
n
nnn 
 
Algo de teoría:Algo de teoría: 
 
A continuación se muestran los comandos para resolver ecuaciones diferenciales. 
La instrucción que resuelve ecuaciones diferenciales es (dsolve), cuya sintaxis es: 
dsolve( ecuación); 
dsolve( {ecuación, conds_ini}, fun(var), opciones) 
Descripción: 
 
La ecuación puede ser dada en términos de diff o D, derivada aplicada a una función u 
operador diferencial, respectivamente. Si no hay signo "=", Maple V Release 5 considera 
por default la igualdad de la ecuación diferencial a cero. Las condiciones iniciales son una 
secuencia de ecuaciones de la forma 
 
> x(t[0]) = x[0],D(x)(t[0]) = dx[0]; 
 
donde t[0],x[0],dx[0]; son constantes simbólicas o valores numéricos las opciones son 
varios tipos (ver hoja de ayuda [dsolve]), por ejemplo: 
 
type=series Solución aproximada en series de potencias. 
type-numeric Solución numérica. 
output=procedurelist Despliegue en forma de lista. 
 27
value=array([x0,x1,.....xn]) Despliegue como arreglo de valores. 
 
Odeplot 
Para graficar soluciones numéricas usamos la instrucción (odeplot) que pertenece al 
paquete plots. La sintaxis es: 
> odeplot(F,[x, y(x)],x1 .. x2,opciones); 
donde F es un nombre asignado a la solución numérica, x1, x2; son valores numéricos del 
rango de la variable independiente, las opciones son las de plot. 
Es importante mencionar que antes de ejecutar la instrucción odeplot, se debe escribir el 
comando with(plots): 
 
Paquete DEtools 
 
Es un paquete de graficación de soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales, campos 
de pendientes (isoclinas), espacios de fase, etc. Se recomienda consultar la hoja de ayuda 
(DEtools). 
 
 
AACCTTIIVVIIDDAADD IINNTTEEGGRRAADDOORRAA 
 
Guarda en una hoja de trabajo con el nombre “Caso Integrador 
de OE5”. Resuelve la ecuación diferencial ( ) 0)cos( =′++ yyxee yy 
sujeta a la condición inicial y(0)=0. Grafica la solución particular 
con el comando plot. En el mismo plano grafica el campo de 
direcciones y la solución particular en el comando Deplot. 
 
 
 
 28
	INTRODUCCIÓN
	OPERACIONES ELEMENTALES
	Introducción a Maple V
	Objetivo de Aprendizaje 
	Componentes principales del objeto de estudio 
	 ACTIVIDADES PARA EL APRENDIZAJE
	ACTIVIDAD INTEGRADORA
	Operaciones Elementales
	Objetivo de Aprendizaje 
	Componentes principales del objeto de estudio 
	Algo de teoría:
	Nombres NO VALIDOS
	Asignar un nombre a otro nombre
	Asignar un nombre a un numero
	Asignar un nombre a una función
	 ACTIVIDADES PARA EL APRENDIZAJE
	ACTIVIDAD INTEGRADORA
	Álgebra Elemental 
	Objetivo de Aprendizaje 
	Componentes principales del objeto de estudio 
	Algo de teoría:
	 ACTIVIDADES PARA EL APRENDIZAJE
	ACTIVIDAD INTEGRADORA
	Gráficas con Maple V Release 5 
	Objetivo de Aprendizaje 
	Componentes principales del objeto de estudio 
	Algo de teoría:
	Representación gráfica de una función expresada en forma explícita
	Curvas en el Espacio
	Representación gráfica de funciones (superficies) en el espacio
	Representación simultánea de varias funciones
	 ACTIVIDADES PARA EL APRENDIZAJE
	CASO INTEGRADOR
	Cálculo con Maple V Release 5 
	Objetivo de Aprendizaje 
	Componentes principales del objeto de estudio 
	Algo de teoría:
	 ACTIVIDADES PARA EL APRENDIZAJE
	Algo de teoría:
	Paquete DEtools
	ACTIVIDAD INTEGRADORA