Electromagnetismo__Cap_tulo_7__Tarea_

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Lázaro R. Diaz Lievano
30/10/2022
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Electromagnetismo

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Capítulo 7: Campo magnético
Solución de los ejercicios 2, 3, 6, 7, 9, 17 y 41.
2. Una partícula con masa de 10 g y carga de 80 µC se mueve a través de un campo magnético uniforme en una
región donde la aceleración de caída libre es −9.8ĵ ms2 . La partícula tiene una velocidad constante de 20 î
km
s , la
cual es perpendicular al campo magnético. Entonces, ¿cuál es el campo magnético?
Figura 2a. Diagrama del problema 2 donde se muestran fuerzas implicadas y las direcciones de ~v y ~B.
SOLUCIÓN: Comenzaremos notando que la partícula tiene una velocidad constante, esto significa que la fuer-
za neta sobre la partícula es ~0, además, sólo consideramos que las fuerzas implicadas son la fuerza gravitatoria
y la fuerza magnética, esto es
~FB + ~Fg = ~0
Entonces
~FB = − ~Fg
q~v × ~B = −m~a
q~v × ~B = −ma(− ĵ) = ma( ĵ)
De aquí podemos ver que el producto cruz entre los vectores ~v y ~B deben dar un vector con dirección en el eje ĵ
positivo dado que la carga q de la partícula es positiva, además, sabemos que el vector ~v solo tiene componente
a lo largo del eje î positivo por lo que ~B debe estar dado como ~B = B(−k̂) tal que cumpla
~v × ~B = î × (−k̂) = ĵ
1
Luego, como las magnitudes de ~Fg y ~FB son iguales, la magnitud de ~B esta dado por
B =
FB
qv sin φ
=
Fg
qv sin 90
=
ma
qv
=
(0.01kg)
(
9.8 ms2
)
(80 × 10−6C)
(
20 × 103 ms
) = 0.06125 kg
C · s
= 61.25 miliTeslas
Por lo tanto, el campo magnético es
~B = 61.25 mT (−k̂)
3. Un electrón que tiene una velocidad instantánea de ~v = vx î + vy ĵ = (2.0×106m/s)î + (3.0×106m/s)ĵ se mueve
a través de un campo magnético uniforme ~B = Bx î + By ĵ = (0.03 T)î − (0.15 T)ĵ. (a) Hallar la fuerza que actúa
sobre el electrón debido al campo magnético. (b) Realizar el mismo cálculo para un protón que tiene la misma
velocidad.
SOLUCIÓN: Se sabe que la fuerza ~FB que ejerce un campo magnético ~B sobre una partícula de carga q en
movimiento y cuya velocidad es ~v está dada por la ecuación
~FB = q~v × ~B,
por lo tanto, al desarrollar esta expresión y sustituir los datos conocidos para (a), donde q = −e, se tiene:
~FB = −e
∣∣∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
vx vy 0
Bx By 0
∣∣∣∣∣∣∣∣ = −e(vxBy − vyBx) k̂
= −(1.60 × 10−19C)((2.0 × 106m/s)(−0.15 T) − (0.03 T)(3.0 × 106m/s)) k̂
= (6.25 × 10−14 N) k̂.
Finalmente, dado que el protón tiene carga q = e, bajo las mismas condiciones se tiene que la fuerza que
el campo magnético ejerce sobre este tiene la misma magnitud a fuerza calculada anteriormente y apunta en la
dirección contraria a ella. Es decir, ~FB = −(6.25 × 10−14 N) k̂.
6. Un protón se mueve a través de un campo magnético uniforme dado por ~B = (10î − 20 ĵ + 30k̂) mT. En el
tiempo t1, el protón tiene una velocidad dada por ~v = vx î + vy ĵ + (2.0 kms )k̂ y la fuerza magnética sobre el protón
es ~FB = (4.0 × 10−17N)î + (2.0 × 10−17N) ĵ. En ese instante, ¿qué son (a) vx y (b) vy?
SOLUCIÓN: Inicialmente, recordemos que la carga eléctrica del protón se encuentra dada por q = 1.6 ×
10−19C. Además por conveniencia, expresamos al componente z del vector ~v en unidades de metros sobre
segundos. 20 kms = 2 × 10
3 m
s .Y de igual manera, expresamos al vector ~B en unidades de Tesla: ~B = (0.01î −
0.02 ĵ + 0.03k̂)T
Sabemos que la fuerza magnética se encuentra dada por:
~FB = q~v × ~B =
∣∣∣∣∣∣ î ĵ k̂q(vx) q(vy) q(vz)Bx By Bz
∣∣∣∣∣∣
Al desarrollar la expresión:
~FB = (qvyBz − qvzBy)î + (qvzBx − qvxBz) ĵ + (qvxBy − qvyBx)k̂
~FB = q(vyBz − vzBy)î + q(vzBx − vxBz) ĵ + q(vxBy − vyBx)k̂
Igualamos los vectores componente a componente y obtenemos las siguientes ecuaciones:
(1)FBx = q(vyBz − vzBy)
(2)FBy = q(vzBx − vxBz)
(3)FBz = q(vxBy − vyBx)

2
De la ecuación (2), buscamos despejar vx
FBy = q(vzBx − vxBz)
FBy = qvzBx − qvxBz
qvxBz = qvzBx − FBy
vx =
qvzBx−FBy
qBz
Al sustituir con los datos del ejercicio:
vx =
(1.6×10−19C)(2×103 ms )(0.01T )−(2×10
−17N)
(1.6×10−19C)(0.03T )
vx = −3.5 × 103 ms
De manera análoga, de la ecuación (1) podemos despejar vy
FBx = q(vyBz − vzBy)
FBx = qvyBz − qvzBy
qvyBz = FBx + qvzBy
vy =
FBx+qvzBy
qBz
Sustituimos con los datos del ejercicio:
vy =
(4.0×10−17N)+(1.6×10−19C)(2×103 ms )(−0.02T )
(1.6×10−19C)(0.03T )
vy = 7 × 103 ms
7. Un electrón tiene una velocidad inicial de (12.0 ̂ + 15.0k̂)km/s, y una aceleración constante de 2.00 ×
1012 ı̂m/s2, en una región en la que están presentes campos eléctricos y magnéticos uniformes. Si ~B = (400µT )ı̂
encuentre el campo magnético ~E
3
SOLUCIÓN: El electrón se encuentra sometido a dos fuerzas, aplicando la segunda ley de newton tenemos:
~F = ~FE + ~fB
recordando las definiciones de fuerza eléctrica y magnética
~F = e~E + e~V × ~B = e(~E + ~V × ~B)
m~a = e(~E + ~V × ~B)
m~a
e
= (~E + ~V × ~B)
m~a
e
− (~V × ~B) = ~E
es necesario realizar ese producto vectorial el cual queda de la siguiente manera
~V × ~B =
∣∣∣∣∣∣∣∣
ı̂ ̂ k̂
0 Vy Vz
Bx 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (VzBx) ̂ − (VyBx)k̂
podemos ahora sustituir el resultado, recordemos que ~a solo tiene componente en ı̂
~E =
ma
e
ı̂ − (VzBx) ̂ + (VyBx)k̂
usando el producto punto para encontrar cada componente de ~E
~E • ı̂ = Ex =
ma
e
=
(9.11 × 10−31kg)(2.00 × 1012m/s2)
−1.6 × 10−19C
= −11.38
V
m
~E • ̂ = Ey = −(VzBx) = (1.5 × 104m/s)(4 × 10−4T ) = −6.00
V
m
~E • k̂ = Ez = −(VyBx) = (1.2 × 104m/s)(4 × 10−4T ) = 4.80
V
m
por lo tanto el campo electrico nos queda de la siguiente manera
~E = (−(11.38)ı̂ − (6.00) ̂ + (4.80)k̂)
V
m
9. En la figura 28-32 un electrón se aceleró desde el reposo a través
de una diferencia de potencial V1 = 1.00kV que entra en el espacio de
separación de dos placas d = 20.0mm y una diferencia de potencial
V2 = 100V . La placa inferior está en el potencial más bajo. Desprecie
los límites y asuma que el vector velocidad del electrón es perpen-
dicular al vector del campo eléctrico entre las placas, en notación de
vectores unitarios, ¿ Cuál es el campo magnético que permite que el electrón viaje por linea recta por la brecha?
SOLUCIÓN: Dado que el problema nos dice que el vector de la velocidad es perpendicular al vector del campo
electrostático, y además que la placa inferior está en el potencial más bajo, sabemos que el vector del campo va
en dirección al eje y negativo, misma dirección que tiene el vector de la fuerza electrostática. Partiendo de que
buscamos que el electrón se desplace en linea recta, esto en términos físicos nos indica que la suma total de las
fuerzsa que actúan en medio de las placas debe ser cero. Para que esto ocurra, se coloca en el diagrama al vector
~FB (el vector de la fuerza magnética) en dirección contraria al vector ~FE(vector de la fuerza electrostática)
∑
~F = ~FB + ~FE = ~0
⇒ | ~FB| = | ~FE | (1)
⇒ q|~v × ~B| = q!~E!
4
⇒ |~v × ~B| = |~E| (1)
Buscamos encontrar los valores de |~v × ~B| y |~E|
Dado que el vector velocidad es perpendicular al campo magnético (para este ejercicio) sabemos que |~v × ~B| =
|~v||~B|(2) (por propiedades de vectores).
Para encontrar la magnitud de la velocidad, llamaremos el momento t1 al instante donde el electrón se encuentra
en reposo y con una energía potencial(U) a causa de la deferencia de potencial, al momento de ser acelerado,
esta energía potencial es transformada en energía cinética(K).
La ley de conservación de la energía actúa de la siguiente manera en este caso:
4K = −4U
⇒ 12 mv
2 = −qV1
⇒ v =
√
−2qV1
m (3)
Además sabemos que la magnitud del campo electrostático para dos placas paralelas se encuentra dado por:
|~E| = Vd , para nuestro caso |~E| =
V2
d (4)
Al combinar las cuatro relaciones ya establecidas, obtenemos una nueva relación que nos permite calcular la
magnitud del campo magnético:
|~v||~B| = |~E|
⇒
∣∣∣∣∣ √−2qV1m ∣∣∣∣∣ |~B| = ∣∣∣V2d ∣∣∣
⇒ |~B| = V2d
√
m
−2qV1
Sustituyendo con los datos que nos brinda el problema:
|~B| = 100V0.02m
√
9.1×10−31kg
(−2)(−1.6×10−19C)(1000V)
|~B| = 2.67 × 10−4T
Basándonos en el esquema y utilizando la regla de la mano derecha sabemos que para que el vector ~FB se
proyecte en la dirección positiva del eje y, el vector~B debe proyectarse en la dirección negativa del eje z, es
decir que:
~B = −(2.67 × 10−4T )k̂
17. Una partícula alfa puede ser producida en ciertos decaimientos radioactivos de núcleos y consiste en dos
neutrones y dos protones. La partícula tiene una carga de q = 2e y una masa de 4.00 u donde u es la unidad
de masa atómica, con 1u = 1.661 × 10−27 kg. Suponga que una partícula alfa viaja en un camino circular de
radio 4.50 cm en un campo magnético uniforme con B = 1.20 T. Calcular (a) su rapidez, (b) su periodo de
revolución, (c) su energía cinética, y (d) la diferencia de potencial sobre la cual tuvo que ser acelerada para
lograr esa energía.
SOLUCIÓN: Se sabe que para que la partícula realice un camino circular la dirección de la fuerza debe ser
centrípeta, así la magnitud de la fuerza magnética se expresa como:
Fb = m
v2
r
Además, se sabe que la magnitud del campo magnético se expresa como:
Fb = | q | v B sin θ
5
Adicionalmente, para que la fuerza magnética sea centrípeta, el ángulo θ entre la velocidad y el campo magné-
tico siempre debe ser θ = 90°. Entonces sin θ = sin 90° = 1. Se llega a que:
| q | v B = m
v2
r
De la fórmula anterior se despeja la velocidad y se tiene:
v =
r | q | B
m
=
0.045 m | 2(1.602 × 10−19 C) |1.20 T
4.00(1.661 × 10−27 kg)
= 2.6 × 106
m
s
El periodo por definición está dado como
T =
2πr
v
=
2π(0.045 m)
2.6 × 106
m
s
= 0.109 µs
La energía cinética está dada por
K =
1
2
mv2
=
1
2
4(1.661 × 10−27 kg)(2.6 × 106
m
s
)2
= 2.25 × 10−14 J
La diferencia de potencial está dada por:
∆V =
∆K
q
=
2.25 × 10−14 J
2(1.602 × 10−19 C)
= 70 kV
6
Figura 28-41. 41.Un cable de 13 g y longitud L = 62.0 cm está suspendi-
do por un par de conductores flexibles en un campo mag-
nético uniforme de magnitud 0.440 T (fig. 28-41). ¿Cuáles
son la (a) magnitud y (b) la dirección (a la izquierda o a la
derecha) de la corriente requerida para remover la tensión
en los conductores?
SOLUCIÓN: La expresión para la fuerza magnética sobre
un cable con capacidad de corriente es la siguiente:
FB = iLB sin Φ
Donde FB es la magnitud de la fuerza magnética, i es la
corriente, L es la longitud del cable, B es la magnitud del campo magnético y sin Φ es el seno del ángulo entre
las direcciones de ~L y de ~B. Por lo tanto:
i =
FB
LB sin Φ
Diagrama de cuerpo libre para el cable.
El ángulo Φ es de 90◦, ya que el campo magnético apunta
hacia adentro de la página (eso quiere decir el arreglo de cruces
verdes en el gráfico). Analicemos el diagrama de cuerpo libre
para el cable de longitud L que se encuentra a la derecha. En él
apreciamos únicamente la fuerza magnética y el peso del cable
de longitud L, ya que la tensión al ser cero no necesita ser di-
bujada (si fuera distinta de cero, tendría que ir en dirección ŷ).
Debido a que el cable está suspendido, la fuerza magnética y
el peso deben tener magnitudes iguales, por lo tanto, podemos
calcular la corriente i de la siguiente manera:
i =
FB
LB
=
(0.013 kg)(9.8 m/s2)
(0.62 m)(0.440 T)
= 0.467 A.
Para saber cuál es la dirección de la corriente, recordemos que
~FB = i~L × ~B, donde ~L es un vector de longitud de magnitud L que está dirigido a lo largo del cable en la
dirección de la corriente. Ya que i es positiva, vemos que la fuerza magnética ~FB tiene la dirección del producto
cruz entre ~L y ~B. Ya que ~FB va en dirección ŷ, ~B va en dirección −ẑ y el cable está sobre el eje x, ~L debe
estar necesariamente en la dirección ~x para que el producto vectorial −x̂ × ẑ = ŷ, lo cual podemos verificarlo
fácilmente con la regla de la mano derecha. Por lo tanto, la corriente tiene que ir hacia la derecha.
7