Electromagnetismo___Cap_tulo_2__Tarea_2_resnick

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49.Una esfera sólida de radio a = 2.00 cm = 2.00 × 10−2m es concéntrica con un cascarón esférico
conductor de radio interior b = 2.00 a y radio exterior c = 2.40 a. La esfera tienen una carga neta
uniforme q1 = +5.00 fC; el cascarón tiene una carga neta de q2 = −q1. ¿Cuál es la magnitud del
campo eléctrico en las distancias radiales (a) r = 0 cm, (b) r = a/2.00, (c) r = a, (d) r = 1.50 a,
(e) r = 2.30 a y (f) r = 3.50 a? ¿Cuál es la carga neta en (g) la superficie interior y (h) la superficie
exterior del cascarón?
SOLUCIÓN. Para los incisos (a) y (b), se quiere encontrar el campo eléctrico en puntos dentro de
la esfera uniformemente cargada positivamente. Para eso se aplicará la ley de Gauss, donde el radio
dado en cada inciso será el radio de la esfera gaussiana concéntrica a las otras dos esferas, con la que
encerraremos cierta carga de interés. Siempre que la carga encerrada por alguna esfera gaussiana sea
positiva, la dirección del campo eléctrico debido a la carga encerrada y la dirección de los elementos
diferenciales de área sobre la superficie de dicha esfera serán iguales, por lo tanto, cos θ = cos 0 = 1 ,
donde θ es el ángulo ~E y d ~A.
De acuerdo a la ley de Gauss:
Φ =
∮
S
~E · d ~A =
∮
S
E(r)dA cos θ = E(r)
∮
S
dA = E(r)4πr2 =
q′
ε0
⇒ E(r) = q
′
4πε0r2
(1)
Donde r = |~r |, q′ es la carga encerrada por alguna esfera gaussiana concéntrica a las esferas del
problema, y (1) es la magnitud del campo eléctrico sobre la superficie de dicha esfera solo si esta no
se encuentra dentro de algún cuerpo macizo no conductor con carga distribuida.
Entonces el problema en estos dos incisos se limita a determinar cuál es la carga encerrada q′ en alguna
esfera gaussiana de radio r = 0m y r = a/2.00 para después poder aplicar la ley de Gauss. Como la
esfera maciza tiene distribuida la carga uniformemente sobre todo su volumen, es decir, la densidad
volumétrica de carga (definida como ρc) en cualquier parte debe ser la misma. Entonces:
qtotal
Vtotal
=
q1
V
= ρc =
dq′
dV
⇒ dq′ = ρcdV ⇒ q′ =
∮
V
ρcdV ⇒ q′ = ρc
∮
V
dV ⇒ q′ = q14
3πa
3
4
3
πr3
⇒ q′ =
( r
a
)3
q1
Sustituyamos este resultado en (1).
E(r) =
q1r
4πε0a3
(2)
Debemos notar que (2) es la magnitud del campo eléctrico cuando la esfera gaussiana que utilicemos
se encuentra dentro de alguna distribución de carga uniforme.
Ya que toda carga fuera de la esfera gaussiana no contribuye al flujo, por muy grande que sea la
carga o por muy cerca que esté de la esfera gaussiana, entonces la carga del conductor no influye dentro
de las esferas gaussianas que no encierran su carga y por lo tanto no tendrá relevancia al calcular el
campo eléctrico sobre superficies gaussianas con radio menor a b. Dicho esto, calculemos la magnitud
del campo eléctrico para los incisos a) y b).
a) r = 0m. No es posible construir una esfera gaussiana de radio r = 0m y por lo tanto tampoco es
posible encerrar algo de carga. Evaluando (2) en r = 0m, obtenemos lo siguiente:
E(0m) =
q1(0m)
4πε0a3
= 0
N
C
1
b) r = a/2.00. Evaluando (2) en r = a/2.00, se tiene lo siguiente:
E(a/2.00) =
q1a
8πε0a3
=
q1
8πε0a2
=
5× 10−15 C
8π(8.85× 10−12 C2/(Nm2))(0.02m)2
= 5.61× 10−2N
C
c) r = a. Cuando r = a podría decirse que la esfera gaussiana encierra toda la carga q1 de la esfera
maciza. En este caso, (1) y (2) son equivalentes, pues de la expresión obtenida para la carga encerrada,
tenemos:
q′ =
( r
a
)3
q1 =
(a
a
)3
q1 = q1
∴ E(a) =
q1a
4πε0a3
=
q1
4πε0a2
=
5× 10−15 C
4π(8.85× 10−12 C2/(Nm2))(0.02m)2
= 1.12× 10−1N
C
d) r = 1.50a. En este caso, la esfera gaussiana de radio r = 1.50a ya no está entre alguna distribución
de carga como lo estaba en los primeros incisos y la carga que encierra ahora resulta ser q1. Por lo
tanto, evaluemos (1) en r = 1.50a.
E(r) =
q′
4πε0r2
⇒ E(1.50a) = q1
4πε0(1.50a)2
=
5× 10−15 C
4π(8.85× 10−12 C2/(Nm2))(0.03m)2
= 4.99× 10−1N
C
e) r = 2.30a. De la información del problema determinamos que una esfera gaussiana con r = 2.30a
tendría todos sus puntos dentro del conductor. Sabemos que dentro de un conductor, el campo eléctrico
es cero, ya que si no lo fuera, el campo ejercería fuerzas en los electrones de conducción, quienes
están siempre presentes en un conductor, y por lo tanto siempre existiría una corriente dentro de un
conductor. Como no hay tal cosa como una corriente perpetua en un conductor aislado, el campo
eléctrico interno es cero.
∴ E′(2.30a) = 0
N
C
f) r = 3.50a. La carga encerrada dentro de una esfera gaussiana de radio r = 3.50a es la suma de la
carga de la esfera maciza y de la carga del cascarón esférico conductor. Por lo tanto: q′ = q1 + q2 =
q1−q1 = 0C. Si la carga encerrada en una esfera gaussiana es de 0C, la magnitud del campo eléctrico
en la esfera gaussiana debe ser de 0 N/C.
g) Carga neta en la superficie interior del cascarón. Si se considera una esfera gaussiana que esté dentro
del conductor, sabemos que el campo eléctrico es cero y por tanto, la carga encerrada debe ser cero.
En esa esfera gaussiana, sabemos que la carga encerrada es q1, que corresponde a la carga de la esfera
maciza, mientras que la carga en la superficie interior del cascarón conductor, Qi, es desconocida. Ya
que
q′ = q1 +Qi = 0⇒ Qi = −q1 = −5 fC
∴ Qi = −5 fC.
h) Carga neta en la superficie exterior del cascarón. Si la carga del conductor (q2) es de -5 fC, entonces
q2 debe ser igual a la suma de la carga en la superficie interior (Qi) y la carga en la superficie exterior
(Qe). Entonces:
q2 = Qi +Qe ⇒ Qe = q2 −Qi = −5 fC + 5 fC = 0 fC
∴ Qe = 0 fC.
2
Describa el comportamiento a largo plazo de la solución de la ecuación diferencial con la condición
inicial dada.
dy
dt
= y2 − 4y + 2, y(0) = −1
Solución.
La ecuación diferencial anterior es autónoma. Encontremos sus puntos de equilibrio, es decir, los
puntos en los que:
y2 − 4y + 2 = 0
y0 = 2−
√
2, y1 = 2 +
√
2
Línea de fase.y0 y y1 son los puntos en donde y2 − 4y + 2 se anula. Si hacemos una gráfica de y
contra f(y), donde f(y) = y2−4y+ 2, esta sería la gráfica de una parábola que abre
hacia arriba, cuyas raíces son los puntos y = 2±
√
2. Es necesario notar lo siguiente:
Si y < y0, f(y) > 0
Si y0 < y < y1, f(y) < 0
Si y > y1, f(y) > 0
La línea de fase de la ecuación diferencial es la que se encuentra a la derecha.
Ya que y(0) = −1 < y0, la solución de la ecuación diferencial
dy
dt
= y2 − 4y + 2, y(0) = −1
Será una curva que sea creciente en todo su dominio (ya que para y < y0, f(y) > 0), que viene desde
−∞ y que cuando t tienda a +∞, se pegará asintóticamente a la recta y = y0.
Figura 29-63.
35. La figura 29-63 muestra la sección transversal del cable
1: el cable es largo y recto, transporta una corriente de 4.00
mA fuera de la página y está a una distancia d1 = 2.40 cm
de la superficie. El cable 2, paralelo al cable 1 y también es
largo, está a una distancia horizontal d2 = 5.00 cm del cable
1 y transporta una corriente de 6.80 mA dentro de la página.
¿Cuál es la componente x de la fuerza magnética por unidad
de longitud en el cable 2 debdo al cable 1?
La magnitud de la fuerza magnética sobre el cable 2 debido al
cable 1 se define de la siguiente forma:
F21 =
µ0Li1i2
2πd
,
donde µ0 = 4π × 10−7T ·m/A, L es la longitud del cable 2, i1, t2 son las corrientes que transportan
los cables 1 y 2 respectivamente y d es la distancia entre ambos cables.
La distancia que separa a ambos cables es: d =
√
d21 + d
2
2. Con esta información, calculemos la mag-
nitud de ~F21.
F21 =
µ0Li1i2
2πd
=
Lπ(4.00× 10−7T ·m/A)(4.00× 10−3 A)(6.80× 10−3 A)
2π
√
3.076× 10−3 m2
.
3
Como se nos pide la magnitud de la fuerza magnética ~F21 por unidad de área, dividamos la expresión
de F21 por L.
F21
L
=
5.44× 10−12 T ·A√
3.076× 10−3
.
La fuerza ~F21 debe estar a lo largo de una línea que una a los cables 1 y 2 y que además sea
perpendicular a ambos. Por lo tanto, la componente de la fuerza magnética ~F21 a lo largo del eje x
se obtiene al multiplicar la magnitud F21 por el coseno del ángulo α que se encuentra en la figura.
Recordemos que:
cosα =
d2√
d21+ d
2
2
=
5× 10−2√
3.076× 10−3
.
Por lo tanto, la componente x de la fuerza magnética por unidad de longitud en el cable 2 debido al
cable 1 es igual a:
F21x =
(5.44× 10−12 T ·A)(5× 10−2)
3.076× 10−3
= 8.84× 10−11 N/m.
4