Electromagnetismo__Cap_tulo_1_parte_2_resnick

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11. En la figura 21-25, las partículas tienen cargas q1 = −q2 = 100nC y q3 = −q4 = 200nC y están a
una distancia a = 5.00 cm. ¿Cuáles son las componentes (a) x y (b) y de la fuerza electrostática neta
sobre la partícula 3?
Datos:
a = 0.05m
q1 = −q2 = 100× 10−9 C
q3 = −q4 = 200× 10−9 C
SOLUCIÓN. Dada la ley de Coulomb para partículas puntuales cargadas eléctricamente y por
el principio de superposición, tenemos que la fuerza electrostática neta ejercida sobre la partícula 3
está dada por:
~F3neta =
1
4πε0
4∑
i=1 6=3
q3qi(~r3 − ~ri)
|~r3 − ~ri|3
=
1
4πε0
[
q3q1(~r3 − ~r1)
|~r3 − ~r1|3
+
q3q2(~r3 − ~r2)
|~r3 − ~r2|3
+
q3q4 (~r3 − ~r4)
|~r3 − ~r4|3
]
Esta expresión vectorial nos dará las componentes en los ejes x y y de la fuerza electrostática neta
sobre la partícula 3.
Continuemos definiendo a los vectores ~r1, ~r2, ~r3 y ~r4. La partícula 3 se encuentra en el origen de nuestro
sistema de referencia, por lo tanto, su vector correspondiente es el vector cero.
~r1 = 0x̂+ aŷ
~r2 = ax̂+ aŷ
~r3 = 0x̂+ 0ŷ
~r4 = ax̂+ 0ŷ
Ahora, hallamos las diferencias de vectores:
~r3 − ~r1 = −aŷ
~r3 − ~r2 = −ax̂− aŷ
~r3 − ~r4 = −ax̂
Dada la igualdad entre |~v| =
√
~v · ~v obtenemos lo siguiente:
|~r3 − ~r1| =
√
(−aŷ) · (−aŷ) =
√
a2(ŷ · ŷ) = a
|~r3 − ~r2| =
√
(−ax̂− aŷ) · (−ax̂− aŷ)
=
√
a2(x̂ · x̂) + a2(ŷ · ŷ) =
√
2a2 = a
√
2
|~r3 − ~r4| =
√
(−ax̂) · (−ax̂) =
√
a2(x̂ · x̂) = a
Note que el producto punto del vector unitario x̂ por sí mismo es igual a 1. Lo mismo sucede con el
vector unitario ŷ.
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Sustituyendo los valores obtenidos en los cálculos anteriores sobre la expresión para la fuerza electros-
tática neta sobre la partícula 3 tenemos:
~F3neta =
q3
4πε0
[
q1(~r3 − ~r1)
|~r3 − ~r1|3
+
q2(~r3 − ~r2)
|~r3 − ~r2|3
+
q4 (~r3 − ~r4)
|~r3 − ~r4|3
]
=
q3
4πε0
[
q1(−aŷ)
(a)3
+
q2(−ax̂− aŷ)
(a
√
2)3
+
q4 (−ax̂)
(a)3
]
=
−q3
4πε0a2
[
q1ŷ +
q2(x̂+ ŷ)
2
√
2
+ q4 x̂
]
=
−q3
4πε0a2
[(
q4 +
q2
2
√
2
)
x̂+
(
q1 +
q2
2
√
2
)
ŷ
]
=
−
(
8.99× 109 Nm
2
C2
)
(200× 10−9 C)
(0.05m)2
(
−200× 10−9 C+ (−100× 10
−9 C)
2
√
2
)
x̂
−
(
8.99× 109 Nm
2
C2
)
(200× 10−9 C)
(0.05m)2
(
100× 10−9 C+ (−100× 10
−9 C)
2
√
2
)
ŷ
Por lo tanto, la fuerza electrostática neta sobre la partícula 3 es:
~F3neta = (0.169267 x̂− 0.046492 ŷ)N
13. En la figura 21-26 tenemos la partícula q1 de carga 1.0µC y la partícula q2 de carga -3.0µC
ambas separadas una distancia L = 10 cm = 0.1 m sobre el eje x. Si tenemos la partícula q3 de carga
desconocida que esta sometida a la fuerza electrostática debida por las partícula 1 y 2. ¿Cuáles son
las coordenadas de la partícula q3 para que la fuerza neta sobre ella sea nula?
SOLUCIÓN. Primero obtendremos la magnitud de los vectores ~r3−~r1 y ~r3−~r2 para posteriormente
sustituirlos en la ley de Coulomb.
~r1 = 0x̂+ 0ŷ
~r2 = Lx̂+ 0ŷ
~r3 = xx̂+ yŷ
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~r3 − ~r1 = xx̂+ yŷ
~r3 − ~r2 = (x− L)x̂+ yŷ
|~r3 − ~r1| =
√
(xx̂+ yŷ) · (xx̂+ yŷ) =
√
x2 + y2
|~r3 − ~r2| =
√
((x− L)x̂+ yŷ) · ((x− L)x̂+ yŷ) =
√
(x− L)2 + y2
Queremos que la fuerza neta sobre la partícula 3 sea ~0 es decir: ~F3neta = ~F31 + ~F32 = ~0.
Desarrollamos esta última expresión:
1
4πε0
q3q1(~r3 − ~r1)
|~r3 − ~r1|3
+
1
4π�0
q3q2(~r3 − ~r2)
|~r3 − ~r2|3
= ~0
1
4πε0
[
q3q1(xx̂+ yŷ)
(x2 + y2)3/2
+
q3q2((x− L)x̂+ yŷ)
((x− L)2 + y2)3/2
]
= ~0[
q1
x
(x2 + y2)3/2
+ q2
(x− L)
((x− L)2 + y2)3/2
]
x̂+
[
q1
y
(x2 + y2)3/2
+ q2
y
((x− L)2 + y2)3/2
]
ŷ = ~0
está claro que los escalares que multiplican a los vectores unitarios x̂ y ŷ deben ser 0
q1
x
(x2 + y2)3/2
+ q2
(x− L)
((x− L)2 + y2)3/2
= 0 ∧ q1
y
(x2 + y2)3/2
+ q2
y
((x− L)2 + y2)3/2
= 0
De q1 x(x2+y2)3/2 + q2
(x−L)
((x−L)2+y2)3/2 = 0 podemos determinar que x − L no es cero Si lo fuera, x sería
igual a L y no hay forma de satisfacer q1 L(L2+y2)3/2 = 0, pues el numerador nunca se anularía. Haciendo
una consideración análoga, vemos que x tampoco puede ser cero.
Como x − L no es cero, podemos dividir por él en ambos lados de la ecuación anterior. Después,
podemos obtener la siguiente expresión
−q1
q2
x
(x2 + y2)3/2(x− L)
=
1
((x− L)2 + y2)3/2
Sustituyendo esta equivalencia en
q1
y
(x2 + y2)3/2
+ q2
y
((x− L)2 + y2)3/2
obtenemos lo siguiente:
q1
y
(x2 + y2)3/2
+ q2y
1
((x− L)2 + y2)3/2
= q1
y
(x2 + y2)3/2
+ q2y
(
−q1
q2
x
(x2 + y2)3/2(x− L)
)
= 0
⇒ q1
y
(x2 + y2)3/2
= q1
xy
(x2 + y2)3/2(x− L)
(x− L)y = xy
pero (x− L) no puede ser x porque L 6= 0, por lo tanto, la única solución es que y sea 0. Ahora que
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sabemos que y es 0, podemos sustituirlo en
q1
x
(x2 + y2)3/2
+ q2
(x− L)
((x− L)2 + y2)3/2
= 0
⇒ q1
x
(
√
x2)3
+ q2
(x− L)
(
√
(x− L)2)3
= 0
⇒ q1
x
|x|3
+ q2
(x− L)
|x− L|3
= 0
Primer caso x > 0 y x > L es decir (x− L) > 0
q1
x
|x|3
+ q2
(x− L)
|x− L|3
= 0
q1
x2
+
q2
(x− L)2
= 0
q1
x2
= − q2
(x− L)2
q1(x− L)2 = −q2x2
q1x
2 − q12xL+ L2q1 = −q2x2
(q1 + q2)x
2 − q12Lx+ L2q1 = 0
sustituyendo obtenemos
−(2µC)x2 − (0.2µCm)x+ 0.01µCm2 = 0
aplicando la fórmula general para ecuaciones de segundo orden
x1,2 =
−(−0.2µCm)±
√
(−0.2µCm)2 − 4(−2µC)(0.01µCm2)
2(−2µC)
entonces tenemos los siguientes resultados:
x1 = −0.136m x2 = 0.036m
pero ya establecimos que x > 0 y x > L por lo que ningún resultado cumple estas dos condiciones.
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Segundo caso: x < 0 y x < L es decir (x− L) < 0
q1
x
|x|3
+ q2
(x− L)
|(x− L)|3
= 0
como x < 0 y (x− L) < 0
− q1
x2
− q2
(x− L)2
= 0
− q1
x2
=
q2
(x− L)2
−q1(x− L)2 = q2x2
−q1x2 + q12xL− L2q1 = q2x2
(−q1 − q2)x2 + q12Lx− L2q1 = 0
sustituyendo obtenemos
(2µC)x2 + (0.2µCm)x− 0.01µCm2 = 0
aplicando la fórmula general para ecuaciones de segundo orden
x1,2 =
−(0.2µCm)±
√
(0.2µCm)2 − 4(2µC)(−0.01µCm2)
2(2µC)
Entonces obtengo
x1 = −0.136m, x2 = 0.036m
Pero ya establecimos que x < 0 entonces nuestro resultado válido es x1 = −0.136m
Tercer caso: L < x < 0 y (x− L) > 0
q1
x
|x|3
+ q2
(x− L)
|(x− L)|3
= 0
como x < 0 y (x− L) > 0
− q1
x2
+
q2
(x− L)2
= 0
− q1
x2
= − q2
(x− L)2
−q1(x− L)2 = −q2x2
−q1x2 + q12xL− L2q1 = −q2x2
(−q1 + q2)x2 + q12Lx− L2q1 = 0
sustituyendo obtenemos
(−4µC)x2 + (0.2µCm)x− 0.01µCm2 = 0
aplicando la fórmula general para ecuaciones de segundo orden
x1,2 =
−(0.2µCm)±
√
(0.2µCm)2 − 4(−4µC)(−0.01µCm2)
2(−4µC)
Pero para este caso nos da soluciones no reales por lo que descartamos este resultado, además para
(x− L) > 0, L tendría que ser negativo lo cual ya vimos que no es cierto.
cuarto caso: x > 0 y (x− L) < 0
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q1
x
|x|3
+ q2
(x− L)
|(x− L)|3
= 0
como x > 0 y (x− L) < 0
q1
x2
− q2
(x− L)2
= 0
q1
x2
=
q2
(x− L)2
q1(x− L)2 = q2x2
q1x
2 − q12xL+ L2q1 = q2x2
(q1 − q2)x2 − q12Lx+ L2q1 = 0
sustituyendo obtenemos
(4µC)x2 − (0.2µCm)x+ 0.01µCm2 = 0
aplicando la fórmula general para ecuaciones de segundo orden
x1,2 =
(0.2µC m)±
√
(0.2µC m)2 − 4(4µC)(0.01µCm2)
2(4µC)
Para este caso también nos da soluciones imaginarias por lo que descartamos este resultado.
Entonces a partir del segundo caso, el único resultado válido es:
x1 = −0.136m
Por lo que el vector de posición de la partícula q3 es:
~r3 = (−0.136 x̂+ 0 ŷ)m
Entonces, las coordenadas de la partícula q3 son −0.136m en el eje x y 0m en el eje y.
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