Electromagnetismo__Cap_tulo_2__Tarea_1_p3_resnick

Vista previa del material en texto

Figura 2: Problema 18.
18. El campo eléctrico de un dipolo eléctrico a lo largo del eje del
dipolo está aproximado por las ecuaciones 22-8 y 22-9 del libro.
Si se hace una expansión binomial de la ecuación 22-7, ¿cuál es
el siguiente término de la expresión para el campo eléctrico del
dipolo a lo largo del eje del mismo? En la siguiente ecuación
¿qué es Enext?
E =
1
2πε0
qd
z3
+ Enext
SOLUCIÓN: La ecuación del campo eléctrico de un dipolo en un punto P con coordenadas ~r =
r r̂ (θ, φ), en donde r̂ (θ, φ) = cosφ sin θ x̂+ sinφ sin θ ŷ+ cos θ ẑ y d es la distancia entre las partículas
del dipolo, está dada por:
(Notas de clase)
~E(~r) =
q
4π ε0
(
r r̂ − d2 ẑ
(r2 + d
2
4 − rd cos θ)
3
2
−
rr̂ + d2 ẑ
(r2 + d
2
4 + rd cos θ)
3
2
)
Ya que el punto P está a lo largo del eje del dipolo, entonces φ = θ = 0, es decir, los ángulos se hacen
cero. Las coordenadas de dicho punto quedan como ~r = r r̂ = r ẑ. Además, ya que r representa la
distancia del origen al punto P, el cuál se encuentra sobre el eje z, se denotará por r = z.
Para este problema en particular, la ecuación anterior se escribe como:
~E(~r) =
q
4πε0
(
z ẑ − d2 ẑ
(z2 + d
2
4 − zd)
3
2
−
z ẑ + d2 ẑ
(z2 + d
2
4 + zd)
3
2
)
Ahora, suponemos que z >> d⇒ dz << 1. Observe que:
1
(z2 + d
2
4 − zd)
3
2
=
1
(z2)
3
2
1
(1 + 14 (
d
z )
2 − (dz ))
3
2
=
1
z3
f
(d
z
)
⇒ f
(d
z
)
=
(
1 +
1
4
(
d
z
)2
−
(
d
z
))− 32
Sea u = dz , entonces:
f(u) =
(
1 +
1
4
u2 − u
)− 32
Recordemos que:
f(u) = f(0) +
df
du
∣∣∣
u=0
u+
1
2
d2f
du2
∣∣∣
u=0
u2 + ...
7
Calculando:
f(0) = 1−
3
2 = 1
df
du
= −3
2
(
1 +
1
4
u2 − u
)− 52 (1
2
u− 1
)
df
du
∣∣∣
u=0
=
3
2
d2f
du2
= −3
2
(
−5
2
(
1 +
1
4
u2 − u
)− 72 (1
2
u− 1
)(
1
2
u− 1
)
+
1
2
(1 +
1
4
u2 − u)− 52
)
=
15
4
(
1
2
u− 1
)−7(
1
2
u− 1
)2
− 3
4
(
1
2
u− 1
)−5
d2f
du2
∣∣∣
u=0
=
15
4
(−1)−7(−1)2 − 3
4
(−1)−5 = −15
4
+
3
4
= −3
Por lo tanto:
f(u) ≈ f(0) + df
du
∣∣∣
u=0
u+
1
2
d2f
du2
∣∣∣
u=0
u2 + ... = 1 +
3
2
u− 3
2
u2...
Ahora trabajando con:
1
(z2 + d
2
4 + zd)
3
2
=
1
(z2)
3
2
1
(1 + 14 (
d
z )
2 + (dz ))
3
2
=
1
z3
g
(d
z
)
⇒ g
(d
z
)
=
(
1 +
1
4
(
d
z
)2
+
(
d
z
))− 32
g(u) =
(
1 +
1
4
u2 + u
)− 32
g(0) = 1
dg
du
= −3
2
(
1 +
1
4
u2 + u
)− 52 (1
2
u+ 1
)
dg
du
∣∣∣
u=0
= −3
2
d2g
du2
= −3
2
(
−5
2
(
1 +
1
4
u2 + u
)− 72 (1
2
u+ 1
)(
1
2
u+ 1
)
+
1
2
(1 +
1
4
u2 + u)−
5
2
)
=
15
4
(
1
2
u+ 1
)−7(
1
2
u+ 1
)2
− 3
4
(
1
2
u+ 1
)−5
d2g
du2
∣∣∣
u=0
= 3
Por lo tanto:
g(u) ≈ 1− 3
2
u+
3
2
u2
8
~E(~r) =
q
4πε0
(
z ẑ − d2 ẑ
(z2 + d
2
4 − zd)
3
2
−
z ẑ + d2 ẑ
(z2 + d
2
4 + zd)
3
2
)
=
q
4π�0z3
(
(z ẑ − d
2
ẑ)f(u)− (z ẑ + d
2
ẑ) g(u)
)
=
q
4π�0z3
(
(f(u)− g(u))z ẑ − d
2
(f(u) + g(u)) ẑ
)
Si u << 1. (u = dz ):
f(u) = 1 +
3
2
u− 3
2
u2
g(u) = 1− 3
2
u+
3
2
u2
f(u) + g(u) = 2
f(u)− g(u) = 3u− 3u2 = 3 d
z
− 3
(
d
z
)2
Recordemos que:
~E(~r) =
q
4π�0z3
(
(f(u)− g(u))z ẑ − d
2
(f(u) + g(u)) ẑ
)
=
q
4π�0z3
((
3
d
z
− 3
(
d
z
)2)
z ẑ − d
2
(2) ẑ
)
=
q
4π�0z3
((
3
d
z
− 3
(
d
z
)2)
z ẑ − dẑ
)
=
q
4π�0z3
(
3
d
z
z ẑ − 3d
2
z2
z ẑ − d ẑ
)
=
q
4π�0z3
(
2d ẑ − 3d
2
z
ẑ
)
=
qd ẑ
2π�0z3
− 3qd
2 ẑ
4π�0z4
21. Cuadrupolo eléctrico. La Figura 22-46 muestra un cuadrupolo eléctrico
genérico. Consiste en dos dipolos cuyos momentos dipolares son iguales
en magnitud pero tienen dirección opuesta. Mostrar que la magnitud de
~E sobre el eje del cuadrupolo eléctrico para el punto P a una distancia z
desde su centro (asumiendo z � d) está dado por
E =
3Q
4πε0z4
,
en el cual Q = 2qd2 es conocido como el momento cuadrupolar de la
distribución de cargas.
SOLUCIÓN: Por conveniencia se situará a las partículas que conforman
el cuadrupolo sobre el eje z en el sistema de referencia (el espacio xyz)
bajo las siguientes especificaciones:
9
1. La partícula 1 de carga q1 = q se encuentra a una distancia d sobre
el eje z positivo por lo que su vector de posición, denotado como ~r1, está
dado por ~r1 = d ẑ.
2. Puede suponerse que ambas partículas con carga −q se encuentran
en el origen del sistema de referencia, por lo que se considerarán como
una sola segunda partícula de carga q2 = −2q, cuyo vector de posición, ~r2,
estará dado por ~r2 = ~0, es decir, su vector de posición es idénticamente
nulo.
3. La tercera partícula cuya carga también es q3 = q, está situada a
una distancia d sobre el eje z negativo, por lo que su vector de posición es
~r3 = −d ẑ.
4. El punto P está situado en cualquier lugar del espacio, por lo que
es conveniente expresar a su vector de posición ~rP en coordenadas esféricas. Según el diagrama 22-46
está dado por ~rP = rP sinφ cos θ x̂+rP sinφ sin θ ŷ+rP cosφ ẑ = rP r̂P (φ, θ), donde rP es la magnitud
del vector y r̂P (φ, θ) = sinφ cos θ x̂ + sinφ sin θ ŷ + cosφ ẑ es el versor que apunta en la dirección del
punto P .
Ahora, se sabe que el campo eléctrico ~E en el punto P según el principio de superposición está
dado por ~E(~rP ) = ~E1 + ~E2 + ~E3, donde el sumando ~Ei con i = 1, 2, 3, está dado por:
~Ei =
1
4πε0
qi(~rP − ~ri)
|~rP − ~ri|3
.
Calculando ahora los vectores ~rP − ~ri y sus módulos, se tiene:
~rP − ~r1 = rp r̂P − d ẑ ⇒ |~rP − ~r1| = (rP 2 + d2 − 2 rP d cosφ)1/2
~rP − ~r2 = rp r̂P −~0⇒ |~rP − ~r2| = |~rP | = rP
~rP − ~r3 = rp r̂P + d ẑ ⇒ |~rP − ~r3| = (rP 2 + d2 + 2 rP d cosφ)1/2
Por lo tanto, se tiene que
~E(~rP ) =
1
4πε0
[
q
(rp r̂P − d ẑ)
(rP 2 + d2 − 2 rP d cosφ)3/2
− 2q rp r̂P
rP 3
+ q
(rp r̂P + d ẑ)
(rP 2 + d2 + 2 rP d cosφ)3/2
]
=
q
4πε0
[
(rp r̂P − d ẑ)
[rP 2(1 +
d2
rP 2
− 2 drP cosφ)]
3/2
− 2rp r̂P
rP 3
+
(rp r̂P + d ẑ)
[rP 2(1 +
d2
rP 2
+ 2 drP cosφ)]
3/2
]
=
q
4πε0 rP 3
[
(rp r̂P − d ẑ)
(1 + d
2
rP 2
− 2 drP cosφ)
3/2
− 2rp r̂P +
(rp r̂P + d ẑ)
(1 + d
2
rP 2
+ 2 drP cosφ)
3/2
]
.
Dado que d � rP , se cumple que drP � 1 y si este cociente se mantiene constante, al ser cercano a
cero se pueden considerar las funciones:
f
(
d
rP
)
=
(
1 +
d2
rP 2
− 2 d
rP
cosφ
)−3/2
y g
(
d
rP
)
=
(
1 +
d2
rP 2
+ 2
d
rP
cosφ
)−3/2
y al sustituir el valor u = drP � 1 en las funciones, el desarrollo de estas en series de Taylor en un
punto cercano a 0 es:
f(u) = (1 + u2 − 2u cosφ)−3/2 = f(0) + u f ′(0) + u2 1
2
f ′′(0) + . . .
= (1)−3/2 + u
(
− 3(2 · 0− 2 cosφ)
2(1 + 02 − 2 · 0 · cosφ)5/2
)
+ . . .
≈ 1 + 3u cosφ
10
y también
g(u) = (1 + u2 + 2u cosφ)−3/2 = g(0) + u g′(0) + u2
1
2
g′′(0) + . . .
= (1)−3/2 + u
(
− 3(2 · 0 + 2 cosφ)
2(1 + 02 + 2 · 0 · cosφ)5/2
)
+ . . .
≈ 1− 3u cosφ
Se han despreciado las potencias de u de orden mayor a 1 ya que los valores de ambas funciones en
ellos son muy pequeños. Por esto, se tiene nuevamente la expresión para el campo eléctrico como:
~E(~rP ) =
q
4πε0 rP 3
[
(rp r̂P − d ẑ)
(1 + d
2
rP 2
− 2 drP cosφ)
3/2
− 2rp r̂P +
(rp r̂P + d ẑ)
(1 + d
2
rP 2
+ 2 drP cosφ)
3/2
]
=
q
4πε0 rP 3
[(rp r̂P − d ẑ) f(u) + (rp r̂P + d ẑ) g(u)− 2rp r̂P ]
=
q
4πε0 rP 3
[(rP f(u) + rP g(u)− 2rP )r̂P + (d g(u)− d f(u))ẑ]
=
q
4πε0 rP 3
[rP (1 + 3u cosφ+ 1− 3u cosφ− 2)r̂P + d(1− 3u cosφ− 1− 3u cosφ)ẑ]
=
q
4πε0 rP 3
[0 r̂P − 6 d u cosφ ẑ]
= − 6qd
2
4πε0rP 4
cosφ ẑ.
Este último resultado indica que el campo eléctrico producido por un cuadrupolo situado en el
origen del plano xy en un punto cualquiera del espacio solo tiene componente en ẑ (las líneas de campo
eléctrico son paralelas al eje z) y varía según qué tanto esté alejado y desplazado hacia arriba o abajo
en el plano yz del centro del cuadrupolo. Además, se ha definido al momento cuadrupolar eléctrico
como Q = 2qd2, por lo que el campo eléctrico ahora puede ser expresado como:
~E(~rP ) = −
3Q
4πε0rP 4
cosφẑ
Además, el punto P se encuentra sobre el eje z positivo, por lo que rP = z, φ = 0 y por tanto cosφ = 1.
Finalmente la magnitud de ~E es:
| ~E| =
√
~E · ~E =
√(
− 3Q
2
4πε0z 4
)2
(ẑ · ẑ) = 3Q
2
4πε0z 4
.
11