Electromagnetismo__Cap_tulo_2__Tarea_1_p4_resnick

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29. La figura 22-52a muestra una varilla no conductora
con carga uniformemente distribuida +Q. La varilla
forma un semicírculo de radio R y produce un campo
eléctrico de Earc en el centro de su curvatura P. Si el
arco colapsa a un sólo punto a una distancia R desde
P (Como se muestra en la figura), ¿Por qué factor se
multiplicará la magnitud del campo eléctrico de P?
SOLUCIÓN: Como se puede observar en la imagen,
se tienen 2 sistemas diferentes en los cuales el campo eléctrico será distinto para P. Para poder conocer
la razón por la cual se debe multiplicar uno con otro, procederemos a calcular cada campo de forma
separada. una vez hecho eso buscamos un α tal que si lo multiplicamos por un campo nos de el otro.
Comenzaremos calculando el campo eléctrico ~Earc, sabemos que el campo eléctrico para una circunfe-
rencia está dado de la siguiente forma:
d ~Earc(~r) =
dq′
4π�0
(~r − ~r ′)
|~r − ~r ′|3
Sin embargo la densidad de carga λ viene dada
mediante la relación λ = dqds por lo que ajustando los
diferenciales observamos que dq=λ ds.
De la misma forma ya que el punto P está en el ori-
gen debido al sistema de referencia que usamos en la
imagen de la izquierda, vemos que ~r = 0 y ~r ′ = ~R
por lo que podemos reordenar nuestra ecuación de la
siguiente forma:
d ~Earc(~r) =
λds
4π�0
~R
|~R|3
Ya que estamos en un plano bidimensional, nuestro
vector no tiene componente en z.
Analizando el diagrama de la izquierda, vemos que
si tomamos cualquier diferencial ds y lo tratamos co-
mo una partícula, hay un campo eléctrico que el ele-
mento crea.
Sin embargo de la misma forma hay otro campo
creado por su elemento simétrico de la misma mag-
nitud y ángulo, por lo que eventualmente las compo-
nentes en y se anularán, dejándonos únicamente con
las componentes en x. Esto nos permite transformar
el vector unitario en la dirección de ı̂, lo que nos deja
con lo siguiente:
dEarc =
λds
4π�0
1
|~R|2
ı̂
Ahora vemos que Cos(θ) = dExdEarc por lo que po-
demos obtener a d ~Ex = d ~EarcCosθ, con la ecuación
que teníamos podemos sustituir de la siguiente for-
ma:
dEx = dEarcCos(θ) =
λds
4π�0
Cosθ
|~R|2
ı̂
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En el diagrama igualmente podemos notar que pode-
mos reescribir ds respecto a θ mediante ds = |~R|dθ
por lo que al sustiruír queda de la siguiente manera:
dEx =
λ|~R|dθ
4π�0
Cosθ
|~R|2
ı̂
Simplificando y reorganizando términos vemos que:
dEx =
λ
4π�0|~R|
Cosθ · dθı̂
Por lo que se puede ahora integrar con respecto de θ,
debido a que se está integrando respecto al ángulo tenemos que la integral se hace desde -90° hasta
90° ya que estamos hablando de un semicírculo.∫
dEx =
∫ 90
−90
λ
4π�0|~R|
Cosθ · dθı̂
Ex =
λ
4π�0|~R|
∫ 90
−90
Cosθ · dθı̂
Ex =
λ
4π�0|~R|
[Sin(90)− Sin(−90)]̂ı
Ex =
2λ
4π�0|~R|
ı̂
Como podemos ver, λ = QL , pero como la longitud es de un semicírculo, tenemos que L = π|~R|, por
lo tanto λ = Q
π|~R|
. Sustituyendo en la ecuación:
Ex =
( Q
π|~R|
)
2π�0|~R|
ı̂
Ex =
Q
2π2�0|~R|2
ı̂
Ya que el vector ~Earc no tiene componentes en ~Ey se ve que ~Earc = ~Ex, por lo tanto concluimos que:
~Earc =
Q
2π2�0|~R|2
ı̂
Ahora calcularemos el campo que produce el se-
gundo sistema, debido a que es un campo producido
por una carga puntual tenemos que:
~E2 =
1
4π�0
Q~R
|~R|3
Debido a que es un vector en 2 dimensiones no tiene
componentes en z, de la misma forma no tiene com-
ponente y ya que anda en el eje x por lo que el vector
unitario sería ı̂. Entonces:
~E2 =
Q
4π�0|~R|2
ı̂
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Donde ~E2 es el campo en el segundo sistema. ahora teniendo ambos campos, buscamos un escalar α
tal que ~Earc = α~E2, entonces:
Q
2π2�0|~R|2
ı̂ = α
Q
4π�0|~R|2
ı̂
Simplificando términos tenemos lo siguiente:
1
2π2
= α
1
4π
α =
2
π
30. La figura 22-53, muestra dos anillos concéntricos,
de radios R y R′ = 3.00R que están sobre el mis-
mo plano. El punto P está sobre el eje central z a
una distancia D = 2.00R desde el centro de los ani-
llos. El anillo más pequeño tiene carga uniformemente
distribuida +Q. En términos de Q, ¿cuál es la carga
uniformemente distribuida sobre el anillo más largo si
el campo eléctrico neto en P es cero (0)?
SOLUCIÓN: Calcularemos la expresión general pa-
ra el campo eléctrico producido por un anillo con den-
sidad de carga constante en un punto P, que se encuen-
tra en el eje z como se muestra en la figura. Tomemos
un diferencial de carga y un diferencial de distancia y
definamos así nuestra densidad de carga lineal:
λ(~r ′) =
dq′
ds′
⇒ dq′ = λ(~r ′)ds′
Además, el campo eléctrico para cada carga dq’ está dado por
d ~E(~r) =
dq′
4π�0
(~r − ~r ′)
|~r − ~r ′|3
=
λ(~r ′)ds′
4π�0
(~r − ~r ′)
|~r − ~r ′|3
~r es el vector de posición de P , mientras que ~r ′ es el vector de posición de nuestra carga dq′, entonces:
~r = z ẑ ∧ ~r ′ = x′ x̂+ y′ ŷ
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Sea L el radio del circulo, entonces tomemos un diferencial de ángulo dθ′ tal que ds′ = Ldθ′. Además,
como se muestra en siguiente figura, podemos definir x′ y y′ en términos de θ:
x′ = L cos θ′
y′ = L sin θ′
⇒ ~r ′ = L (cos θ x̂+ sin θ ŷ)
⇒ ~r − ~r ′ = z ẑ − L cos θ x̂− L sin θ ŷ
⇒ |~r − ~r ′|2 = z2 + L2 cos2 θ′ + L2 sin2 θ′ = z2 + L2
Por lo tanto:
d ~E(~r) =
λ (−L cos θ′ x̂− L sin θ′ ŷ + z ẑ)Ldθ′
4π�0 (z2 + L2)
3
2
~E(~r) =
λ
4π�0
2π∫
0
L[−L cos θ′ x̂− L sin θ′ ŷ + z ẑ]dθ′
[z2 + L2]
3
2
=
λL
4π�0(z2 + L2)
3
2
−
L 2π∫
0
cos θ′dθ′
 x̂−
L 2π∫
0
sin θ′dθ′
 ŷ + z 2π∫
0
dθ′ ẑ

Puesto que:
2π∫
0
cos θ′d′ = 0
2π∫
0
sin θ′dθ′ = 0
Entonces:
~E(~r) =
λL z 2π ẑ
4π�0(z2 +R2)
3
2
Como λ es constante:
λ =
q′
2πL
→ 2πLλ = q′
Por lo tanto:
~E(~r) =
q′z ẑ
4π �0(z2 + L2)
3
2
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Lo anterior es el campo eléctrico producido por una densidad de carga constante λ distribuida sobre
una circunferencia de radio L en ~r = z ẑ. (Notas de clase)
Las coordenadas del punto P están dadas por ~r = 2R ẑ ⇒ z = 2R. Así, para el anillo con R′ = 3R
como radio, se tiene que:
~E1(~r) =
q1 2R ẑ
4π ε0 ((2R)2 + (3R)2)
3
2
=
q1R ẑ
2π ε0 ((2R)2 + (3R)2)
3
2
Y para el anillo con radio R se tiene que:
~E2(~r) =
q2 2R ẑ
4π ε0 ((2R)2 +R2)
3
2
=
Q 2R ẑ
4π ε0 ((2R)2 +R2)
3
2
=
QR ẑ
2π ε0 ((2R)2 +R2)
3
2
Entonces el campo eléctrico neto está dado por:
~E = ~E1 + ~E2
Ya que el campo eléctrico neto en el punto P es igual a 0 entonces
~0 = ~E1 + ~E2 =
q1R ẑ
2π ε0 ((2R)2 + (3R)2)
3
2
+
QR ẑ
2π ε0 ((2R)2 +R2)
3
2
=⇒ q1R ẑ
2π ε0 ((2R)2 + (3R)2)
3
2
= − QR ẑ
2π ε0 ((2R)2 +R2)
3
2
=⇒ q1
((2R)2 + (3R)2)
3
2
= − Q
((2R)2 +R2)
3
2
=⇒ q1 = −
((2R)2 + (3R)2)
3
2
((2R)2 +R2)
3
2
Q = − ((4R
2 + 9R2)
3
2
(4R2 +R2)
3
2
Q
= − (13R
2)
3
2
(5R2)
3
2
Q = − (13)
3
2
(5)
3
2
Q
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