Electromagnetismo__Cap_tulo_3__Tarea_1_p1_resnick

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Capítulo 3: Ley de Gauss
1. En la figura 23-30, una superficie cuadrada de 3.2 mm de lado es inmerso en un campo eléctrico uniforme,
con magnitud E = 1800 N/C, y las lineas del campo eléctrico lo atraviesan con un ángulo θ = 35 respecto a la
normal de la superficie. Calcular el flujo eléctrico en la superficie.
SOLUCIÓN: Por definición de producto punto tomamos las magnitudes de ~E y d ~A, y el angulo que hay entre ellos
Φ =
∫
s
~E · d ~A =
∫
s
EdA cos (π − θ),
tomando el ángulo π − θ mostrado en la figura 23-30
Φ =
∫
s
E dA cos (π − θ),
Φ = E cos (π − θ)
∫
s
dA = E cos (π − θ)
∫ a
0
∫ a
0
dx dy = x|a0 y|
a
0 = E cos (π − θ) a
2.
Finalmente, calculamos el flujo eléctrico sustituyendo por los valores dados en el problema
Φ = −(1800
N
C
)(cos 145)(0.0032m)2 = −0.015
Nm2
C
.
4. En la figura 23-32, una red de mariposas está en un campo
eléctrico uniforme de magnitud E = 3.0 mNC . El borde, un círculo
de radio a = 11 cm, está alineado perpendicularmente al campo.
La red contiene una carga neta nula. Encontrar el flujo eléctrico
a través de la red.
SOLUCIÓN. Se considerará a la red junto con el disco que en-
cierra la circunferencia formada por el aro como un mismo cuer-
po cerrado. Debido a que el campo eléctrico tiene una dirección
perpendicular al disco, se deduce que ~E tiene la misma direc-
ción que ŷ según el sistema de referencia mostrado. Además, se
nota que dicha superficie cumple que cada elemento d~A también
tiene la misma dirección que ŷ y, al no haber carga sobre la red, por la ley de Gauss sabemos que el flujo
eléctrico en la superficie cerrada es igual a 0.
Conociendo esto, expresamos el flujo eléctrico de la siguiente forma:
Φ =
∮
S
~E · d~A =
∫
S red
~E · d~A +
∫
S crculo
~E · d~A =
∫
S red
E dA cos (~E, d~A) +
∫
S crculo
E (ŷ) · dA (ŷ) =
∫
S red
E dA cos (~E, d~A) +
∫
S crculo
E dA ( ŷ · ŷ )
⇒
∫
S red
E dA cos (~E, d~A) +
∫
S crculo
E dA = 0 ⇒
∫
S red
E dA cos (~E, d~A) = −
∫
S crculo
E dA.
Entonces, desarrollamos la integral del flujo eléctrico en la superficie del círculo:
− E
∫
S crculo
dA = − E
∫ 2π
0
∫ a
0
r′ dr′ dθ′ = − E
(
r′2
2
∣∣∣∣∣∣a
0
) (
θ|2π0
)
⇒ − E
(
a2
2
−
0
2
)
(2π − 0) = − E
a2
2
2π = − E a2 π
Finalmente, calculamos el valor del flujo eléctrico en la superficie de la red sustituyendo los valores dados del
problema en la expresión que obtuvimos:
− E a2 π = − (0.003
N
C
)(0.11 m)2 π = − (0.003) (0.0121) π
N m2
C
= − 1.14 x10−4
N m2
C