Electromagnetismo__Cap_tulo_4__Tarea_2_resnick

Vista previa del material en texto

13.¿Cuáles son a) la carga y b) la densidad de carga en la superfi-
cie de una esfera conductora de radio r = 0.15 m cuyo potencial
eléctrico es igual a 200 V (con V∞ = 0)?
SOLUCIÓN: a) Suponemos un punto P en el origen de nuestro
sistema de coordenadas, por lo cual todos los puntos de la su-
perficie de la esfera equidistan de este punto en |~r| y dado que
el problema nos da V∞ = 0, tenemos la siguiente relación para
calcular el potencial eléctrico:
V(~r) =
Q
4π�0|~r|
(1)
Ahora despejamos Q de la ecuación (1).
⇒ Q = V(~r)
[
4π�0|~r|
]
Al sustituir con los datos del problema se obtiene lo siguiente:
⇒ Q = (200V)
[
4π(8.85 × 10−12
C2
N · m2
)(0.15m)
]
= 3.37 × 10−9C
b) La densidad de carga superficial se encuentra dada por:
σ =
Q
A
Sustituimos con los datos del problema:
σ =
3.37 × 10−9C
4πr2
=
3.37 × 10−9C
4π(0.15m)2
= 12 × 10−9
C
m2
14. Considerando una partícula con carga q = 1.0 µC y los puntos A y B a una distancia d1 = 2.0 m y d2 = 1.0
m de q, respectivamente. (a) Si A y B se encuentran en direcciones diametralmente opuestas como en la Figura
24-36a, ¿qué valor tiene la diferencia de potenciales eléctricos VA − VB? (b) ¿Qué valor tiene la diferencia de
potenciales eléctricos si A y B están posicionados como en la Figura 24-36b?
SOLUCIÓN: (a) Para el caso en que A y B son diametralmente opuestos, pongamos el origen de nuestro
sistema de referencia sobre la partícula cargada positivamente de tal forma que los puntos A y B queden
posicionados sobre el eje x. Por lo tanto, ~rq = 0 m x̂ + m ŷ, ~rA = d1 x̂ y ~rB = −d2 x̂, los cuales son vectores de
posición de la partícula cargada y de los puntos A y B, respectivamente. Recordando la definición del potencial
eléctrico, tenemos lo siguiente:
V(~r) =
q
4πε0|~r − ~rq|
Donde ~r representa el vector de posición de algún punto en donde se desee medir el campo eléctrico. Notemos
que:
|~rA − ~rq| =
√
(d1 x̂) · (d1 x̂) = |d1| = d1
|~rB − ~rq| =
√
(−d2 x̂) · (−d2 x̂) = |d2| = d2
Se igualaron |d1| y |d2| a d1 y d2 respectivamente por ser ambos mayores a cero. Por lo tanto:
V(~rA) =
q
4πε0|~rA − ~rq|
=
q
4πε0d1
V(~rB) =
q
4πε0|~rB − ~rq|
=
q
4πε0d2
La diferencia de potencial VA − VB podemos representarla de la siguiente manera:
V(~rA) − V(~rB) =
q
4πε0d1
−
q
4πε0d2
=
q
4πε0
(
1
d1
−
1
d2
)
= −
1 × 10−6 C
8π(8.85 × 10−12 C/(N ·m))
= −4.5 kV
(b) Para el caso en que A y B estén localizados como en la figura 24-36b, notamos que pese a que B tiene un
vector de posición distinto al que tenía en la figura 24-36a, la distancia de ambos puntos a la carga q sigue
siendo la misma que se calculó en el inciso a). De la expresión para el potencial eléctrico, vemos que V no
depende del vector de posición de algún punto con respecto a la carga puntual, sino solamente de la distancia
que separa a la carga de dicho punto. Por tanto, VA y VB para esta segunda configuración son los mismos que
se calcularon anteriormente, es decir: VA − VB = −4.5 kV.
17. En la figura 24-38, ¿cuál es el potencial eléctrico neto del punto P debido a las cuatro partículas si V = 0
en el infinito, q = 5.00 fC y d = 4.00 cm?
SOLUCIÓN: Primero desarrollaremos la expresión para una
partícula y después usaremos el principio de superposición. Re-
cordando que
∆V = −
∫ f
i
~E · d~s
Supongamos que el punto inicial está en el infinito, de esta for-
ma, la partícula no tiene interacción con el campo eléctrico y
por lo tanto Vi = 0. Además, llamemos a V f como V;
V = −
∫ f
∞
~E · d~s
Ya que esto es cierto para cualquier trayectoria desde infinito
hasta el punto f , consideremos el camino más sencillo, aquel
que forma una linea recta con el punto f y la partícula que produce el campo eléctrico. De esta forma se tiene
que el ángulo entre el vector r̂ (el vector radial del campo eléctrico) y el vector de trayectoria d~s es de 180
grados, entonces podemos reescribir d~s = −d~r:
~E · d~s = ~E · (−d~r) = −E cos θ dr = E dr
En donde la magnitud E del campo eléctrico está dada por:
E =
1
4π�0
q
r2
donde r es la distancia que existe entre un punto arbitrario y la partícula que produce el campo eléctrico.
Se sigue que
V = −
∫ f
∞
~E · d~r
= −
∫ f
∞
E dr
= −
∫ f
∞
1
4π�0
q
r2
dr
= −
q
4π�0
∫ f
∞
1
r2
dr
= −
q
4π�0
[
−
1
r
] f
∞
=
q
4π�0 f
Pongamos la distancia que existe entre la partícula que produce el campo eléctrico y el punto f como r. De esta
forma, tenemos que la ecuación para el potencial eléctrico V debido a una carga puntual q es:
V =
q
4π�0r
(1)
Del principio de superposición,
V =
n∑
i=1
Vi =
1
4π�0
n∑
i=1
qi
ri
Sustituyendo los datos para obtener el potencial eléctrico debido a cada partícula,
V =
1
4π�0
(
q1
r1
+
q2
r2
+
q3
r3
+
q4
r4
)
=
1
4π�0
(q
d
+
q
d
+
−q
d
+
−q
2d
)
=
q
8π�0d
=
5 × 10−15 C
(8π) 8.85 × 10−12 C
2
N·m2 4 × 10
−2 m
= 0.562 mV