Electromagnetismo__Cap_tulo_4__Tarea_4_resnick

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37. ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico en el punto (3.00î − 2.00 ĵ + 4.00k̂) m si el potencial eléctrico de
la región está dado por V = 2.00xyz2, donde V está en voltios y las coordenadas x, y, z en metros?
SOLUCIÓN: Primero, recordemos que:
~E(~r) = −∇V(~r) (4)
Del enunciado, tenemos que:
V(x, y, z) = 2.00xyz2
Reescribiendo (1), nos queda:
~E(x, y, z) = −∇V(x, y, z)
= −∇(2.00xyz2)
Calculando las derivadas parciales de V con respecto de x, y, z:
∂V
∂x
= 2yz2
∂V
∂y
= 2xz2
∂V
∂z
= 4xyz
Entonces se tiene que:
∇V =
∂V
∂x
x̂ +
∂V
∂y
ŷ +
∂V
∂z
ẑ
= 2yz2 x̂ + 2xz2 ŷ + 4xyz ẑ
Por lo tanto:
~E(x, y, z) = −(2yz2 x̂ + 2xz2 ŷ + 4xyz ẑ)
Evaluando la función anterior en (3,−2, 4):
~E(3,−2, 4) = −(2(−2)(42) x̂ + 2(3)(42) ŷ + 4(3)(−2)(4) ẑ)
V
m
= (64 x̂ − 96 ŷ + 96 ẑ)
V
m
Calculando la magnitud:
|~E| =
√
~E · ~E
=
√
(2yz2)2 + (2xz2)2 + (4xyz)2
=
√
(−64)2 + (96)2 + (−96)2
V
m
= 150.09
V
m
Figura 24-5243. ¿Cuánto trabajo se necesita para configurar el arreglo de la
Figura 24-52 si q = 2.30 pC, a = 64.0 cm y las partículas ini-
cialmente están infinitamente lejos entre sí?
SOLUCIÓN: El sistema al que tenemos que llegar es aquel en
el que los vectores de posición finales de las partículas 1, 2, 3 y
4 sean los siguientes:
~r1 = 0 m x̂ + 0 m ŷ
~r2 = a x̂ + 0 m ŷ
~r3 = 0 m x̂ + a ŷ
~r4 = a x̂ + a ŷ
Tomaremos a la partícula 1 en la posición en la que está original-
mente y ahí pondremos el origen de nuestro sistema coordenado.
No se ejerció ningún trabajo sobre el sistema al hacer esto, pues la partícula 1 no cambió su posición.
Debido a que en este sistema la energía se conserva, si no interactúan agentes externos sobre él, podemos
plantear una ecuación para la conservación de la energía de la siguiente forma:
Ui + Ki = U f + K f
En este problema, nosotros como agentes externos tenemos que configurar el arreglo de las partículas, por
tanto, debemos sumar el trabajo que aplicamos al sistema al cambiarlas de posición. Entonces, la ecuación
anterior quedaría de la siguiente manera:
Ui + Ki + Wapl = U f + K f
Donde Wapl es el trabajo realizado sobre nuestro sistema de una partícula. Podemos reagrupar los términos en
la ecuación anterior y expresarla de la siguiente manera:
∆K = Wapl − ∆U
Como las partículas en el momento inicial y en el momento final se encuentran en reposo, el cambio en la
energía cinética del sistema ∆K será de 0 J.
Por lo tanto, podemos expresar el trabajo necesario para mover a la partícula 2 hasta la posición deseada de la
siguiente manera:
Wapl = ∆U = q2(V f − Vi)
Donde q2 es la carga de la partícula 2, la cual movimos y V f − Vi es la diferencia de potencial eléctrico debido
a la partícula 1. Veamos explícitamente los valores para V f y Vi.
Vi =
q1
4πε0ri
V f =
q1
4πε0r f
= V f =
q1
4πε0|~r2 − ~r1|
Donde debemos resaltar que ri y r f son las distancias entre las partículas 1 y 2 en el momento inicial y final
de su trayectoria, respectivamente. Debido a que ri es infinitamente grande, Vi es 0 V y r f = a, de acuerdo al
diagrama. Por lo tanto, el trabajo necesario para poner a la partícula 2 en la posición deseada viene descrito de
la siguiente manera
|~r2 − ~r1| =
√
(a x̂) · (a x̂) = a⇒ Wapl = q2V f =
q2q1
4πε0|~r2 − ~r1|
= −
q2
4πε0a
. (1’)
Se hará el mismo procedimiento al traer la partícula 3. En este caso, notemos que Vi sigue siendo igual a 0 V,
mientras que V f viene dado como la suma del potencial debido a las partículas que ya están acomodadas en
nuestro sistema, es decir, las partículas 1 y 2. Entonces
Wapl = q3V f =
q3
4πε0
[
q1
|~r3 − ~r1|
+
q2
|~r3 − ~r2|
]
|~r3 − ~r1| =
√
(a ŷ) · (a ŷ) = a
|~r3 − ~r2| =
√
(−a x̂ + a ŷ) · (−a x̂ + a ŷ) = a
√
2
∴ Wapl =
1 −
√
2
√
2
q2
4πε0a
(2’)
Por último, al acomodar la partícula 4, V f viene dado como la suma algebraica del potencial eléctrico debido a
las partículas 1, 2 y 3. Entonces
Wapl = q4V f =
q4
4πε0
[
q1
|~r4 − ~r1|
+
q2
|~r4 − ~r2|
+
q3
|~r4 − ~r3|
]
|~r4 − ~r1| =
√
(a x̂ + a ŷ) · (a x̂ + a ŷ = a
√
2
|~r4 − ~r2| =
√
(a ŷ) · (a ŷ) = a
|~r3 − ~r2| =
√
(−a x̂ + a ŷ) · (−a x̂ + a ŷ) = a
√
2
∴ Wapl =
1 − 2
√
2
√
2
q2
4πε0a
(3’)
Para calcular el trabajo necesario para acomodar a todas las partículas como en la configuración del diagrama,
sumemos los resultados obtenidos en (1’), (2’) y (3’).
W =
q2
4πε0a
2 − 4√2√
2
 = q24πε0a (√2 − 4)
=
(2.3 × 10−12 C)2(
√
2 − 4)
4π(0.64 m)(8.85 × 10−12) C2/(N ·m)
= −1.92 × 10−13 J.