Álgebra lineal Unidad 2 Matrices y determinantes Tema 3 clasificación

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ÁLGEBRA LINEAL 
 
CLASIFICACIÓN DE MATRICES 
 
Definición: Sea A Mn×n(R). Diremos que A = (aij)n×n es 
 
1. Triangular superior si aij = 0 para i, j {1, . . . , n} con i > j. 
2. Triangular inferior si aij = 0 para i, j {1, . . . , n} con i < j. 
3. Diagonal si aij = 0 para i, j {1, . . . , n} con i6= j, es decir, A es triangular superior e 
inferior simultáneamente. 
4. Escalar si es diagonal y existe Λ R tal que aii = Λ para i {1, . . . , n}. 
 
Observación: Una matriz cuadrada es triangular superior (respectivamente inferior) si y 
solo si todas sus componentes bajo (respectivamente sobre) la diagonal principal son 
iguales a cero. 
Observación: Cuando A Mn×n(R) es diagonal y las componentes en la diagonal 
principal son Λ 1, Λ 2, . . . , Λ n R, entonces escribiremos A = diag(Λ 1, Λ 2, . . . , Λn) 
 
Ejemplos 
1. Para cada n Z+, In y 0n son matrices escalares, y por lo tanto diagonales y 
consecuentemente triangulares superior e inferior. 
1. Para cada n Z+, In y 0n son matrices escalares, y por lo tanto diagonales y 
consecuentemente triangulares superior e inferior. 
2. A = es triangular superior. 
 MATRICES Y DETERMINA NTES 
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3. A = es triangular inferior. 
 
4. A = es diagonal, en cuyo caso podemos escribir A = diag 
(6,−3,−5, 0). 
 
5. A = es escalar, en cuyo caso podemos escribir A = diag(8, 8, 
8, 8). 
Definición: Sean A,B Mm×n(R). Diremos que A y B son matrices iguales, lo cual 
denotaremos por A = B, si la componente ij-ésima de A es igual a la componente 
ijésima de B para cada i {1, . . . ,m} y cada j {1, . . . , n}, es decir, si A = (aij)m×n y B 
= (bij)m×n, diremos que A y B son iguales si aij = bij para cada i {1, . . . ,m} y cada j 
{1, . . . , n} 
Observación: Nótese que para que dos matrices sean iguales, en primer lugar deben 
ser del mismo orden. 
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Ejemplo: Si A = entonces 
A≠B pues ni siquiera son del mismo orden; B = C si y sólo si x = 5 e y = −3. 
El siguiente teorema es una consecuencia directa de la definición de igualdad de 
matrices. 
 
Otros tipos de matrices: 
 
Matriz fila: 
 
 
Matriz columna: 
 
 
Matriz traspuesta 
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene 
cambiando ordenadamente las filas por las columnas 
 
 
Propiedades: 
(At)t = A 
(A + B)t = At + Bt 
(α ·A)t = α· At 
(A · B)t = Bt · At 
 
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Matriz regular 
Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa. 
 
Matriz singular 
Una matriz singular no tiene matriz inversa. 
 
Matriz idempotente 
Una matriz A, es idempotente si: 
A2 = A. 
 
Matriz involutiva 
Una matriz, A, es involutiva si: 
A2 = I. 
 
Matriz simétrica 
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: 
A = At. 
 
Matriz antisimétrica o hemisimétrica 
Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica: 
A = -At. 
 
Matriz ortogonal 
Una matriz es ortogonal si verifica que: 
A · At = I 
 
 
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