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Instituto Tecnológico Superior de Irapuato ÁLGEBRA LINEAL TRANSFORMACIONES ELEMENTALES POR RENGLÓN. ESCALONAMIENTO DE UNA MATRÍZ. RANGO DE UNA MATRÍZ. TRANSFORMACIONES ELEMENTALES POR RENGLÓN Las operaciones elementales por filas son herramientas usadas con mucha frecuencia en la resolución de los sistemas de ecuaciones lineales al igual que en cálculo de la inversa de una matriz cuadrada. Estas operaciones las usaremos a lo largo de todo el curso, por ello deben ser manejadas con la mayor perfección posible por parte del estudiante que desee aprender la materia. Comencemos por definir dichas operaciones. Denotemos por Fm(R) el conjunto formado por todas las matrices reales con m filas. Definición. Una operación elemental por filas (OEF) es una función f : Fm(R) → Fm(R) la cual es de uno de los siguientes tipos OEF Tipo 1. Una de las Filas de A es multiplicada por un escalar no nulo y el resto de las filas permanecen iguales. Por comodidad, en lugar de escribir B = f(A), escribiremos OEF Tipo 2. A una fila de A le sumamos un múltiplo escalar de alguna otra fila de A, distinta de la primera, dejando el resto de las filas intactas. Al igual que antes, en lugar de escribir B = f(A), escribiremos OEF Tipo 3. Intercambiamos dos filas de A y dejamos el resto sin alterar. Nuevamente, en lugar de escribir B = f(A), escribiremos Observación: De manera análoga a como se definieron las operaciones elementales por filas, pueden definirse operaciones elementales por columnas (OEC), sin embargo, estas últimas sólo se usarán para el cálculo de determinantes y no para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales ni para hallar la inversa de una matriz cuadrada, en estos últimos dos problemas sólo usaremos las operaciones elementales por filas. MATRICES Y DETERMINA NTES Instituto Tecnológico Superior de Irapuato ESCALONAMIENTO DE UNA MATRIZ Definición: Sea A = (aij) m×n Mm×n(R). Diremos que A es una matriz Escalonada, si: 1.- Todas las filas cero están en la parte inferior de la matriz. 2.- El primer elemento no nulo de cada fila, llamado pivote, está a la derecha del pivote de la fila anterior (esto supone que todos los elementos debajo de un pivote son cero) Si en cada fila el pivote es el único elemento no nulo de su columna, se dice que es escalonada reducida por filas. Reducida por Filas (RF) 1. Si A (i) es una fila no nula de A, entonces la primera componente no nula de A(i) es igual a 1 (uno), dicha componente es llamada pivote. 2. Si A (j) es una columna de A que tiene un pivote, entonces el resto de las componentes de A(j) son iguales a 0 (cero). Escalonada Reducida por Filas (ERF) si es escalonada y reducida por filas simultánea mente. Instituto Tecnológico Superior de Irapuato Ejemplo: El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento a seguir para hallar la forma escalonada reducida por filas (FERF) de una matriz. Hallar la FERF de Solución: Instituto Tecnológico Superior de Irapuato Así que la FERF de A es RANGO DE UNA MATRIZ El rango de una matriz Es el número de filas (o columnas) linealmente independientes. Ejemplo: Cálculo del rango de una matriz Instituto Tecnológico Superior de Irapuato Podemos descartar una fila (o columna) si: • Todos sus coeficientes son ceros. • Hay dos filas (o columnas) iguales. • Una fila (o columna) es proporcional a otra. • Una fila (o columna) es combinación lineal de otras. Suprimimos la tercera columna porque es combinación lineal de las dos primeras: c3 = c1 + c2. Comprobamos si tiene rango mayor o igual que 1, para ello se tiene que cumplir que al menos un elemento de la matriz no sea cero y por tanto su determinante no será nulo. |2|=2≠0 Tendrá rango mayor o igual que 2 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 2, tal que su determinante no sea nulo. Tendrá rango mayor o igual que 3 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 3, tal que su determinante no sea nulo Como todos los determinantes de las submatrices son nulos tiene rango menor que 3, por tanto r(B) = 2.
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