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ESPECIALIDAD EN MÉTODOS ESTADÍSTICOS FA C U LTA D DE ESTA D ÍST IC A E IN FO R M Á T IC A U N IV ER SID A D V ER A C R U ZA N A . | --------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------- CONTROL ESTADÍSTICO DE CALIDAD Una recopilación de técnicas aplicables a la supervisión en los procesos de producción. Trabajo recepdonal que como requisito parcial para obtener el diploma de esta Especialidad presenta; / EMMANUEL CAMPOS ROBLES. TUTOR ACADEMICO; MERO. SERGIO HERNANDEZ GONZALEZ Xalapa,Ver. Diciembre de 1995 Deseo expresar mi agradecimiento al personal de la especialidad en Métodos Estadísticos: DIRECTIVO Y COORDINADOR DE ASESORIA DOCENTE AUXILIAR DE DOCENCIA SECRETARIAL IGUALMENTE AL PERSONAL DE SERVICIOS Con cada uno de ellos estoy en deuda por sus orientaciones, por sus enseñanzas, su voluntad de ayuda y paciencia y por sus atenciones. e . Ct DATOS DEL AUTOR, Nacido en la Ciudad de México, D. F. el 25 de diciembre de 1936, Emmanuel Campos Robles, recibió su Educación Primaria en la Escuela España; la Educación Secundaria y Normal en la Escuela Nacional de Maestros; el Bachillerato lo cursó en la Escuela Nacional Preparatoria número 3, nocturna, la Especialidad en Electrónica y Comunicaciones Eléctricas en el Centro Nacional de Enseñanza Técnica Industrial. De 1955 a 1966, trabajó para la Secretaría de Educación Pública, primero como Profesor de Enseñanza Primaria y después en Segunda Enseñanza En 1966, ingresó a Comisión Federal de Electricidad como Instructor. Laboró en las áreas de capacitación y de seguridad industrial, jubilándose en 1992. El Comité Académico de la Especialidad en Métodos Estadísticos, y el respectivo tutor del trabajo recepcional “ CONTROL ESTADISTICO DE CALIDAD. Una recopilación de técnicas aplicables a la supervisión en los procesos de producción ”, una vez cubiertos todos los requisitos académicos y administrativos establecidos, autorizan la impresión y la constitución del jurado para la defensa del mismo. POR EL Dr. MarioMiguelSjedá Ramírez Mtro. idez González PROLO GO Una aportación importante de la Estadística al campo de la producción es d control de la calidad de los bienes y servicios que se ofrecen a la comunidad, y que representan la conclusión del esfuerzo de los trabajadores tanto operativos como directivos Independientemente de la remuneración económica que corresponda por dicha producción, es conveniente no soslayar el hedió de que los productos de alta calidad remuneran emodonalmente, de manera satisfactoria, a quienes han estado involucrados en su proceso, y desestiman esa parte del "salario" cuando su calidad es mediocre. Aparte de este aspecto que indde en d clima laboral de las empresas, la calidad de la producáón es uno de los factores que determinan la imagen de las organizaciones ante la sociedad y esto trasciende hasta influir, a través de su penetración en el mercado, en la economía local, regional o nacional. Esta es la razón por la cuál el autor de la presente recopilación de las Técnicas Estadísticas para el Control de Calidad, la ha considerado pertinente como temática de su Trabajo Recepdonal. El propósito de este trabajo es constituir unas notas que tenga alguna utilidad para consulta, cuando en la Especialidad de Métodos Estadísticos se implemente la materia CONTROL DE CALIDAD. CONTENIDO PAG. INTRODUCCION. 2 I. VARIABLE DE CALIDAD, CAUSAS ATRIBUIBLES Y VARIACION 6 ALEATORIA. II. DIAGRAMA DE "X" PARA EL CONTROL DE LA MEDIA. 8 III. DIAGRAMA DE "R" PARA EL CONTROL DE LA VARIACION 10 DEL PROCESO. IV. DIAGRAMA DE "P" PARA EL CONTROL DEL NUMERO DE 24 DEFECTOS POR UNIDAD. V. DIAGRAMA DE "C" PARA EL CONTROL DEL NUMERO DE 27 DEFECTOS POR UNIDAD. VI. PRUEBAS DE NO ALEATORIEDAD. 3 9 - RACHAS. - NORMAL ESTANDAR * BIBLIOGRAFIA. 49 * REFERENCIAS. 51 * ANEXO. TABLAS ESTADISTICAS. 52 - DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD BINOMINAL Y NORMAL. - FACTORES A2,D 3,D 4 PARA DIAGRAMAS DE CONTROL. - DISTRIBUCION DEL NUMERO DE RACHAS PARA (n1? n2) < 10 En todo trabajo hay dispersión. Los datos sin dispersión son datos falsos. Sin análisis estadístico(análisis de calidad y de proceso) no puede haber un control eficaz. E l C.C. empieza con un cuadro de control y termina con un cuadro de control. KAORUISHIKAWA(1) 1 INTRO DUCCIO N. La aplicación de los métodos estadísticos en d control de calidad, se inidó, de acuerdo con la información obtenida, en la década de los años 30, en los laboratorios Bell de los Estados Unidos de Norteamérica, con la uíilizadón de un cuadro de control ideado por d Dr. W. A Shewhart Este tipo de control de calidad se utilizó ampliamente durante la Segunda Guerra Mundial, optimizando la producción en la industria norteamericana. Posteriormente fize adoptada por Japón donde su práctica coadyuvó a mejorar la manufactura de diversos productos permitiendo incrementar sensiblemente las exportaciones de este país. La definición dd control de calidad que expresan las Normas Industriales Japonesas dicea&í:íz) "Un sistema de métodos de producción que económicamente genera bienes o servicios de calidad, acordes con los requisitos de los consumidores. E l control de calidad moderno utiliza métodos estadísticos y suele llamarse control de calidad estadístico". 2 El control de calidad estadístico en su modalidad japonesa se enfoca al control del proceso: investigación de mercado- diseño- producción- ventas, a diferencia del control de calidad basado en la inspección de productos terminados. Como explica K. Ishikawaí3). “si en vez de acudir a la inspección dejamos de producir artículos defectuosos desde el comienzo, en otras palabras, si controlamos los factores del proceso que ocasionan productos defectuosos ahorraremos mucho dinero que de otra manera se gastaría en inspección”. Este enfoque ocasionó que la actividad de control de calidad restringida a los niveles supervisores, emergiera para ocupar la atención de la Dirección de las empresas cambiando radicalmente las ideas sobre la Administración Esta modalidad entre cuyos precursores están el Dr. W. Edwards Deming, el Dr. J. M. Juran y el Dr.Kaoru Ishikawa, involucra conceptos novedosos como la consideración de los clientes como parte del proceso, o la promoción e institución de círculos voluntarios de control de calidad y la utilización de herramientas estadísticas relativamente simples pero que permiten seleccionar decisiones más racionales que intuitivas. Al respecto Ish ik aw ad ice : "... hasta un 95% de los problemas de una empresa se pueden resolver con estas herramientas" refiriéndose a las siguientes: • Cuadro de pareto (principio de los pocos vitales, muchos triviales) • Diagrama de causa y efecto o Diagrama de espina de pescado. • Estratificación • Hoja de verificación 3 • Diagrama de dispersión. • Gráficas y cuadros de control (de Shewart) Por su grado de dificultad, Ishikawa denomina estas 7 técnicas como método estadístico elemental. Considera como métodos estadísticos intermedios: • Teoría del muestreo. • Inspección estadística por muestreo. • Estimaciones y pruebas estadísticas. • Pruebas sensoriales. • Diseño de experimentos Y como método estadístico avanzado establece: • Métodos avanzados de diseño de experimentos • Análisis multivariado • Investigación de operaciones. Por su parte Deming d i c e "La posibilidad de que la gente esté orgulloso de su trabajo significa más, para el trabajador, que los gimnasios, campos de tenis y áreas de recreo... Las personas necesitan en su carrera, más que él dinero, oportunidades para añadir algo, material o de otro tipo, a la sociedad". Como puede observarse, la práctica del control de calidad en este orden de ideas, implica d control en cada fase del proceso de producdón de bienes o servidos, amplía el concepto de diente ubicándolo a lo largo de toda la cadena de producdón de manera quecada grupo de trabajo que agrega valor a la materia 4 prima es "cliente" del grupo anterior y sirve al siguiente grupo, hasta llegar al consumidor final. En cada fase el control Estadístico, al tomar en cuenta la variabilidad natural del proceso, proporciona elementos de juicio al trabajador para tomar decisiones sólo en casos de que aparezca una causa de variación que sea ajena al sistema, y deja a la Dirección o Gerencia la oportunidad y ía responsabilidad de innovar para efectuar cambios que reduzcan la variabilidad natural, pudiendo así mejorar continuamente la calidad, siempre en función de los requerimientos del consumidor final. Las herramientas básicas para que ésto se lleve a efecto son los cuadros de control que constituyen el contenido de este trabajo. Respecto al uso de planes de muestreo para aceptación de lotes, es interesante transcribir las palabras del Dr. Deming <£>: "Si se utilizan para la auditoría de calidad del producto fin a l tal como sale por la puerta, lo que hacen es garantizar que algunos clientes reciban productos defectuosos... increíblemente, los cursos y libros sobre los métodos estadísticos todavía dedican tiempo y páginas a l muestreo de aceptación". En este trabajo se presenta el procedimiento para elaborar las gráficas para el control de la mediaba variación del proceso, la proporción de defectuosos y el número de defectuosos por unidad. La utilización de estos elementos de control por parte de supervisores y operarios bien entrenados, es sencilla y permite lograr una producción de alta calidad. 5 I VARIABLE DE CALIDAD. CAUSAS ATRIBUIBLES Y VARIACION ALEATORIA. Una variable de calidad es una característica de un producto o de un proceso, susceptible de sea* medida y para la cual se ha establecido una especificación de su magnitud, aceptando que varíe dentro de ciertos límites previamente convenidos. La variacaóm dt; las mediciones que se hacen & una variable de calidad ocurren en el tiempo y sus causas pueden ser múltiples y producir cambios según un patrón identificable o sucederse al azar. En el primer caso se traía de una variación cuya CAUSA ATRIBUIRLE debe ser definida y eliminada; el segundo caso se considera una VARIACION ALEATORIA y cuando esto ocurre se dice que el proceso está bajo control estadístico, independientemente de que las mediciones proporcionen valores dentro de los límites convenidos o queden fuera de dios. Entonces d procedimiento lógico «insiste en lograr que el proceso esté bajo control (estadístico), eliminando las "causas atribúibles" de variación y después disminuir las variaciones de modo que las mediciones de la variable de calidad produzcan valores dentro dd intervalo especificado como aceptable. Esta condición se muestra en la figura 1. 6 En las condiciones mostradas, es importante establecer un control o medio dé verificación a fin de detectar, cuando ocurran, valores medios que se ubiquen más allá de tres desviaciones estándar alrededor de la media / a, . Igualmente es importante detectar cambios en la varianza de la distribución de las mediciones. Estos controles se efectúan por medio del diagrama de X (diagrama de medias) y el diagrama de R (diagrama de variabilidad). En dichos diagramas se grafican los valores X (media muestral) y R (rango muestral) obtenidos de las muestras que deberán tomarse periódicamente. 7 D. DIAGRAMA DE X PARA EL CONTROL DE LA MEDIA. Cuando el proceso está bajo control, se sabe que las medias muéstrales X deben variar aleatoriamente alrededor de la media pobladonal / t y quedar comprendidas en casi su totalidad dentro del intervalo - 3<rx £ ^ 3<rx JJ, se estima con la media X de, preferentemente 25 o más medias muéstrales. 3 <tz se calcula utilizando la media de los rangos muéstrales y un factor A2, cuyo valor está en función dd tamaño de muestra n y se halla tabulado (ver tabla 19 en d enexo) . Es decir 3ax = A2R donde R = ( Z R¿ )/K siendo K ^ 25 d número de muestras que se obtienen a intervalos de tiempo determinados. La figura 2 muestra un diagrama de X Fig.2 x JX= x 0 limite superior de control ( LSC ) / \ y 3 o * / limite inferior de control V 3<Jv, (L IC ) i__i i ■ « i i < <__i i i í — 1.1 i__1.1 i i__i i i i /número de la muestra 8 OBSERVACIONES.-^ El estimador a = — ;d2 es un número que depende de "n" y se halla«2 tabulado. Sirve para hacer de a un estimador insesgado si el muestreo se efectúa en una población con distribución normal Por lo tanto a R /d 2 R>/n Vñ d2V« Para efecto de calcular los límites de control, 3 ax = = 4 queda 3<tx -A¿ R donde A2 es un factor que, como se mencionó, se halla tabulado. 9 m. DIAGRAMA DE R PARA EL CONTROL DE LA VARIACION DEL PROCESO. En la medida que la varianza de la variable de calidad es menor, (y la media se halle dentro de las especificaciones) es más probable que las mediciones que se hagan a dicha variable se ubiquen dentro del intervalo especificado como aceptable. Para vigilar esa variación se utiliza el diagrama de R, que se construye como sigue: 1. - El eje del diagrama corresponde al valor de la media de los rangos muéstrales Mr = R- 2. - Los límites de control (LSC y LIC) se determinan sumando y sustrayendo la cantidad 3 ctr al valor de R Como en el caso del diagrama de X, se simplifica el cálculo utilizando los factores D3 y D4 que se hallan tabulados en función del tamaño "n" de las muestras. En consecuencia, los LIMITES DE CONTROL se obtienen así: LIC = D3R l s c = d 4r 10 Ejemplo. Imaginemos un ejecutivo interesado en optimizar su tiempo de traslado diario, para lo cual registra los minutos que utiliza cada día en esa actividad Se muestran los datos de 10 semanas y la gráfica de x resultante. TIEMPO DE VIAJE® PASO 1: SEMANA 1 I 2 M 1 4 1 5 6 1 7 1 8 I 9 i° 55 90 100 70 55 754 120 65 70 100 75 95 75 110 65 85 110 65 85 80 MINUTOS 65 60 75 65 95 65 65 90 60 65 80 60 65 60 70 65 85 90 65 60 80 55 65 60 70 65 70 60 75 80 X = 71 72 76 73 71 71 90 74 71 77 R = 25 40 35 50 40 20 55 30 25 40 PASO 2: PASO 3: n = 5; A2= 0.577 ;D 3= 0 ;D 4 = 2. 115. x = 74. 6 LSC = X + A2 R =74.6 + (0.577) (36) = 95.37. UC = X -A 2R = 74.6-(0.577) (36) = 53. 83. R = 36 LSC = D4R=(2.115) (36) = 76.14. LIC D3 R =(0) (36) = 0 11 PASO 4: GRAFICA DE X X = 74.6 EJEM PLO CONTROL DE PEDIDOS GRAFICA DE R EF número de pedidos cumplimentados se registra cada media hora Cada punto del gráfico procede de cuatro medias horas consecutivas; X es el número medio de pedidos cumplimentados en cuatro medias horas consecutivas; R es el recorrido entre estos cuatro números. El cálculo de los límites de control sigue las fórmulas usuales: 12 x= 1200, R= 1372 ParaX: LCS LCI = X + A 2R = =1200+ (0.729) (1372) = Í2200 [200 Para R: LCS = DJL = (2.282) (1372) = 3131 L C I= D 3R = 0 donde los valores numéricos de las constantes A2 =0.729, D3 =0 y D4 =2.282 proceden de la tabla 19 que se halla a i el anexo. 13 EJERCICIOS 1.- Se calcularon las medias y las amplitudes de 30 muestras de tamaño n=10 para un proceso que se consideró bajo control. Las medias de los 30 valores de x y de los 30 valores de R , fueron x = 20.74 y R = 3.49. a) Estimación de a del proceso mediante R b) ¿Por qué S calculada a partir de 300 observaciones de 30 muestras podría producir una mejor estimación de ct que la estimación mediante el rango? c) Determinar los límites superior e inferior de control para una gráfica d) ¿Cuál es el propósito de un diagrama de x ? e) Construir un diagrama de x para el proceso ¿cómo se puede aplicar? SOLUCIONES d2 = 3.078 ( ver tabla 19 anexo ) ct = 1.134 b) Por que el estimador de ct es s c) LSC = 1 + A2 R Con A2 = 0.308 LSC = 20.74 + (0.308) (3.49) LIC = f -A 2 R LIC =20.74-(0.308) (3.49) LSC = 21.815 LIC = 19.665 d) El propósito de un diagrama de x es verificar sistemáticamente que los promedios de las muestras obtenidas no se apartan de la media en más de 3ctx. Principalmente permite observar la variacióndel proceso y determinar si dicha variación es aleatoria o por causa a trtb iiib le . 14 21.81 20.74 19.66 LSC x LIC i i i i-----------------------------1—i- i - MUESTRAS DE LA 1 A LA 30 2.- Se calcularon las medías y las amplitudes de 40 muestras de tamaño n = 5 para un proceso que se consideró bajo control. Las medias de los 40 valores de x y de los 40 valores de R, fueron x = 155.9 y R = 17.2. a) Señale una estimación mediante la amplitud para la desviación estándar a del proceso. b) Determine los limites superior e inferior de control para un diagrama d eX . c) Construir un diagrama de x para el proceso y explicar como se puede usar. a) SOLUCIONES.- c = R_d 2 b) para n = 5 d2 = 2.326 L S C = X + A 2 R Paian = 5 entonces a = 17.2/2.326 =7.39 LSC = 155.9 + (0.577) (17.2) = 165.8 LIC = X -A 2R A2 = 0.577 LIC = 155.9 - (0.577) (17.2) = 145.9 15 C) 1 Se ubica el promedio I de cada muestra en la unidad de tiempo que le corresponde y en su magnitud. 2. - Si una media no esta dentro de los límites de control es "una advertencia de un posible cambio en la media del proceso", que requiere un análisis del proceso para determinar la causa. 3. - Se debe verificar la VARIACION ALEATORIA o DETERMINAR LAS CAUSAS ATRIBUIBLES DE LA VARIACION. 3.- Utilice la información del ejercicio 1 para elaborar un diagrama de R. ¿ Cuál es el propósito de una gráfica de R ? solución: La recta central del diagrama de R se ubica en el estimado de p* = R . Los límites de control LSC = }1R+ 3a„ y LIC = J1R - 3a„ se reduce a : LSC = D4R y D 3R D3 = 0.223 D4 = 1.777 16 620 3.49 0.78 LSC R LIC l- l f - l-H----------------------------------------- MUESTRAS DE LA 1 A LA 30 H -4 El proposito de una gráfica de R es detectar posibles cambios en la variación del proceso . Cuando la amplitud R de alguna muestra queda fuera de los límites de control deberá investigarse el porqué de ese valor anormalmente grande o pequeño de R Puede deberse a cambios en la materia prima, o en cualquiera de las variables que afectan el proceso. 4 .- Utilice la información del ejercicio 2 para trazar una gráfica de R ¿ Cual es el propósito de un diagrama de R ? SO LU CIO N : LSC = D4R = (2.115) (17.2) = 36.38; LIC = D3R = (0) (17.2) = 0 17 Un diagrama de R se dibuja para trabajar en él la gráfica de los rangos muéstrales. 5.- Un casino registra y gráfica la media y la amplitud de las ganancias o pérdidas diarias en cinco mesas de juego en gráficas de X y R . Las medias de las medias y de las amplitudes para 40 semanas fueron X=$10752 y R=$6425 a) trazar una gráfica de X para la ganancia media diaria por mesa de juego. b) ¿ Qué ventajas obtendría el gerente del casino con la gráfica de X? SOLUCIONES.-Con n = 5 a) Para el diagrama de X : A2R = (0.577)(6425) = 3707.23 Línea central: 10752 LSC = 10752 + 3707.23 = 14459.23 LIC = 10752 - 3707.23 = 7044.77 18 14459 LSC 10752 7044 _________x LIC MUESTRAS DE LA 1 A LA 40 b) Puede determinar periódicamente : * Si todas las X están dentro de los límites de control en caso contrario debe investigar la causa del cambio de la media * Si la variación de las X es aleatoria o existe una causa atribuible de variación. 6.- Trazar una gráfica de R para la ganancia diaria por mesa de juego del ejercicio 5. ¿Qué ventajas obtendrá con esta gráfica el gerente del casino? n = 5 X $10752 ; R = $6425 LSC = D4 R = (2.115)(6425) = 13588.87 ; LIC = D3 R = (0)(6425) = 0 MUESTRAS DE LA 1 A LA 40 La amplitud de las muestras debe variar aleatoriamente alrededor del eje central R y permanecer dentro de los límites de control , en caso contrario debe existir alguna variable que afecte, lo cual es de interés primordial. 19 7.- El gerente del casino del ejercicio 5 también gráfico las ganancias o pérdidas diarias para cada mesa de juego. La ganancia media para la mesa 1,calculada según 40 días fue x = $ 10940 y la desviación estándar de la muestra fue $ 5130. a) Si la ganancia x para el que reparte los naipes en la mesa 1 tuviera una distribución con media jj, y desviación estándar a, ¿dentro de que límites esperarían que cayera x casi todos los días ? b) Ya que se dispone de estimaciones para \x y a , trazar una gráfica X (n =1) para las ganancias diarias de la mesa 1. c) ¿Qué valor tendría la gráfica del inciso b) para el gerente del casino? SOLUCIONES.- a) b) Para la m esa 1 en 4 0 d ía s , n = 40; x = 10940; - = - =—^¡M — =811.121 fa J4Q LSC = x + 3 CTX = 10940 +3(811.12) = 13373.36 LIC = x - 3 crx = 10940 - 3(811.12) = 8506.64 13373 10940 8506 LSC x LÍC DÍAS DEL 1 AL 40 c) La gráfica anterior le permitirá al gerente controlar la mesa 1. 8.- Los datos del la tabla miden la radioactividad ( en milésimas de la unidad correspondiente ) en partículas de aire dentro de una planta de energía nuclear. Se registraron 4 mediciones semanarias durante 26 semanas. Trazar un diagrama de x y localizar los 26 valores de x. ¿ cómo se aprovechará la gráfica ? 20 Sem. f í m e d id a s d e la ra d n c ttn . X t X 2 X s X « x R Sem.# medidas de la radraorin. X t Xz X s X * ~x R 1 31 32 30 31 3 1 .0 0 2 14 29 2 8 2 9 2 9 2 8 .7 5 1 2 25 26 25 25 25.2 5 1 15 31 2 9 30 31 3 0 .2 5 2 3 29 29 31 30 2 9 .7 5 2 16 14 16 16 17 15.75 3 4 35 37 34 35 3 5 .2 5 3 17 19 19 21 2 0 19.75 2 5 2 2 24 22 2 3 2 2 .7 5 2 18 2 4 2 4 24 2 5 2 4 2 5 1 6 3 0 29 30 30 2 9.7 5 1 19 29 2 7 28 2 8 28JOO 2 7 19 19 18 19 18.75 1 2 0 32 3 0 31 3 0 3 0 .7 5 2 8 27 28 28 28 2 7.7 5 1 21 41 41 3 8 3 9 4 0 4 » 4 9 34 32 33 33 3 3 4 » 2 2 2 34 3 6 3 6 3 5 3 5 2 5 2 10 17 16 18 18 17.25 2 2 3 21 22 24 22 2 2 2 5 3 11 2 2 2 0 2 0 21 2 0 .7 5 2 24 29 29 30 29 2 9 2 5 1 12 16 18 17 17 17J00 2 25 16 17 17 16 16.5 0 1 13 15 17 10 17 16.75 3 26 20 21 28 22 2 0 .7 5 2 A2R = (0.729X1.92) = 1.4 ; LSC = 25.63 + 1.4 = 27.03 ; LIC = 25.63 -1 .4 = 24.23 X — -6^ = 25.63 R = 26 40* 30 ■ L S C - 2 7 25.6 ■ LIC = 24.2 20 * n ' - ' 1 ' l o 1 1 [ ] ¡5i 111 j o 1 1 1 1 ¿ 1 M UESTRAS 21 BIBLIOTECA CHIBAD DOCENTE INTEfiDlSClPUNAAÜ DE ECONOMIA Y ESTADISTICA Aunque la variación parece ser aleatoria, hay demasiadas medias fuera de los limites de control que indican causas atribulóles que deben identificarse y eliminarse. 9.- Elabora un diagrama de R para los datos del ejercicio ? 8 . ¿Cómo se utilizará la gráfica? DATOS.- n = 4 EJE CENTRAL-R = 1.92 D3= 0 LSC = D4R = (2.282) (1.92) = 4.38 ; LIC = D3R = 0 La gráfica de variabilidad parece ser una sucesión aleatoria y estar dentro de los límites de control. 10.- Una planta energética que quema carbón, prueba y mide tres muestras de combustible diariamente para vigilar el porcentaje de ceniza en éste. Las medias de las medias y amplitudes muéstrales fueron: x = 7.24 y R = 0.27 a) Trazar una gráfica de x para el proceso y explicar qué ventajas puede obtener de ella el superintendente de la planta. 22 b) Construir una gráfica de R para el proceso. Explicar qué beneficios se pueden obtener del diagrama á) GRAFICA DE X : n = 3 A2= 1.023 A2R=0.28 LSC= 7.24+0.28 = 7.52 LIC=7.24 - 0.28 = 6.96 Ventajas.- Saber si existen causas atribuibles de variación para investigarlas y corregirlas, b) GRAFICA DE R .- D4=2.575; D3=0 LSC=2.575 (0.28)=0.721 LIC=0 0.72 0.27 O LSC LIC H —I—H ----------------- MUESTRA R La gráfica de R sirve para controlar la variación del proceso. 23 IV.DIAGRAMA DE P PARA EL CONTROL DE LA PROPORCION DE ARTICULOS DEFECTUOSOS. Cuando los artículos producidos se clasifican solamente como buenos o defectuosos al comparados con las especificaciones, una muestra aleatoria de dichos artículos tendrá una distribución de probabilidad binomial. Para verificar si el proceso está bajo control, se procede (de manera similar a los casos anteriores) a elaborar un diagrama de "p" (proporción de defectuosos), y a tomar muestras de tamaño “n” periódicamente. Se obtiene la estimación media de defectuosos promediando las Pt proporciones muéstrales,es decir, p = ^ ~ 7 — donde pt son las proporcionesA muéstrales y K 25 el número de muestras. La estimación de la desviación estándar se calcula con: Íp CT- t' =i ~ p) El eje dd diagrama corresponde al valor de p y los límites de control son: LSC=P+ 3 j p Q - p ) 24 4 L/C: ■ — J 1 2 ? H ejemplo que sigue ® diagrama de p. pone de manifiesto una manera de utilizar el EJEM PLO (10). Inspección defectuosa causada por el miedo. En el gráfico de control de la fig. se muestra el registro diario, durante dos meses, de la proporción de unidades defectuosas encontradas en la auditoría final de un producto listo para enviar. La proporción media de unidades defectuosas en los dos meses era de 8,8 por 100. Los límites de control son: n = 225 LCS LC1 p = 0.088 ú 8.8% p ± 3 ^ p ( l - p ) / n = 0-088 ± ( 3 ) (0,0189) = 0,144 ó 14,4% 0,031 ó 3,1% V3 4 co 151—COO 3 Límite de control superior, 14,4 o-o ®T3 -2*acoucQ_ 1 0 H Línea central 8,8 A A A - >A.Ak ^ Limite de control inferior. 3,1 _L 10 15 20 25~ ■- Enero Febrero Número ordinal del día de la semana La figura 5 indica una situación curiosa Los movimientos hada arriba y hada abajo de los puntos son demasiado estrechos, a la vista de los límites de control. Dos posibles explicadones acuden a lamente: 1. La uniformidad de la proporción de unidades defectuosas ha sido incorporada Esto no es en absoluto extraño. Por ejemplo, 12 plataformas que giran para la estampadón. Una de las plataformas va mal. Las otras 11 siguen fundonando 25 bien. El producto resultante tiene una estampación defectuosa por cada 12; 1/12 es el 8,3 por 100 que aparece en el gráfico. 2. Las cifras del gráfico no tienen ningún significado. Descartamos la primera explicación al conocer íntimamente el proceso y las circunstancias. La segunda explicación nos parecía plausible. El inspector no estaba seguro, tenía miedo. Corría d rumor por la planta de que d director cerraría la planta y se desharía de ella si la propordón de unidades defectuosas en la auditoría final llegaba cualquier día al 10 por 100. El inspector estaba protegiendo el trabajo de 300 empleados. Vemos nuevamente que cuando hay temor, hay cifras erróneas. La organización fúndona según la idea que los trabajadores tienen metida en la cabeza No importa en absoluto si a i realidad d director quiere cerrar con un 10 por 100 de unidades defectuosas. Comunicamos a la alta direcdón nuestra explicadón: d miedo, El problema desapareció cuando el gerente de esta planta se buscó otro trabajo, y entró un nuevo gerente. \ 26 V. DIAGRAMA DE C PARA EL CONTROL DEL NUMERO DE DEFECTOS POR UNIDAD. Si se requiere controlar d número de defectos por artículo producido, se utiliza un diagrama de C. "C" es el número de defectos por unidad, es decir, por artículo producido o por unidad de área, longitud o volumen del artículo que se produce. En este caso se considera que "C" tiene una distribución de probabilidad de Poisson. El diagrama de control, similar a los anteriores requiere también de k > 25 muestras obtenidas a intervalos determinados de tiempo en las cuales se determina “C” El eje del diagrama corresponde al valor de pie y los límites de control sé) determinan agregando y disminuyendo a P*. el triple de su raíz cuadrada, ya que para la distribución de probabilidad de Poisson la varianza es igual a la media - T iaEntonces se tiene parad eje C=-~, -con k^25k y los límites de control: LSC = C + 3 J e U C = C -3 V ? El ejemplo que sigue ilustra una aplicación interesante/11̂ 27 Las equivocaciones que aquí se cuentan podrían ser errores al llevar los libros, equivocaciones a i los planos de ingeniería, errores de cálculo, errores de los operadores de montaje o cualquier otra cosa Nombre Número de equivcadones Juanita........... - ......................................... ........... 10 Andrés.................................................................... 15 Guille.----............................................................. 11 Paco................................................. - ......... - ......... 4 Ricar.do................................................ 17 Caditos.................................................................... 23 Alicia...................................................................... 11 Tomás........... ......... ................................- .......... 12 Jóana...................................................................... 10 Total 113 Ya es hora de hacer las evaluaciones y las recomendaciones para los aumentos. ¿A quien se premia? ¿A quien se penaliza? Primero, ¿qué márgenes se deberían dejar para los efectos del sistema en el que trabajan las personas? Los cálculos, a continuación: 113 =12,55 Cálculo de los límites de variación atribuibles al sistema: Límite superior \ Límite inferior =12,55± 3^12,55 = 23,2 1,9 28 Por tanto, ninguna de las nueve personas cae fuera de los límites calculados. Las diferencias aparentes entre las nueve personas bien podrían adscribirse a la acción del resto del sistema La misma fórmula que tenga la compañía para los aumentos de salario se debería aplicar a todas las personas. 29 11.- Explique la diferencia entre los diagramas p y C El diagrama p sirve para d control de la "propordón de defectuosos" (fracción de defectuosos). El diagrama C sirve para el control del numero de defectuosos por unidad. diagrama p diagrama C k = c = | c ¡ / k LSC\= C ± 3 j cLIC / (k> 25) C : # de defectos por unidad Nota :LIC > 0 ya que C puede Nota : si el LIC resulta negativo se toma ser negativo. como su valor cero, es decir LIC > 0 por que p no puede ser negativo. P = W k i= l LSC LIC } 4 ± 3 \ 0(1-5) k : # de muestras ( k > 25) n :tamaño de la muestra p : Fracción de defectuosos 12.- Se seleccionaron muestras de n = 100 artículos cada hora durante 100 horas y se calculó la proporción muestral de defectuosos por h o ra . La media de las 100 proporciones muéstrales fue 0.035 a) Utilice los datos para obtener LSC y LIC para un diagrama de p. b) Trace una gráfica de p para el proceso y explique como se puede aprovechar. SOLUCIONES a) p = 0.035 L S C \ LIC / A=p + * atay ~ N n = 0.035 + O f0 035¥0.9fiS) J 100 30 LSC = 0.035 + 0.0551 = 0.0901 LIC = 0.035 - 0.0551 =-0.0201 ( es decir 0 ) b) MUESTRA Si el proceso esta bajo control las proporciones muéstrales deben estar dentro de los límites de control y tener una distribución aleatoria respecto al eje del diagrama 13.- Se seleccionaron muestras horarias de n = 200 artículos durante 100 horas y se calculó la proporción muestral de defectuosos por hora La media de las 100 proporciones muéstrales filé de 0.041 a) Utilice los datos hallar los LSC y LIC para una gráfica de p. b) Construya un diagrama de p para el proceso y explique cómo se puede utilizar S o lu c ió n : a) p =0.041 Ls<n>=0.041 ± 3 LIC ) \| (0.0411(0.959) 200 LSC = 0.041 +0.042 = 0.083 L IC = 0.041 — 0.042 —*■ 0 31 \ b) M UESTRA Sirve para controlar la proporción de defectuosos. Si el proceso está bajo control, las proporciones muéstrales deben ubicarse dentro de los límites de control y distribuirse aleatoriamente. 32 14.- Se registró el número de C de defectos horarios por unidad durante 100 horas, y el número medio de defectos por unidad fúé 0.7. a) Use los datos para obtener los LSC y LIC para una gráfica de C. b) Construya un diagrama de C y explique cómo se puede aplicar. SOLUCIONES .- a) C = 0.7 = íi LSC _ /— ____ ^ > ^ C ± 3 jc ; 3 JC = 3.J0.7 = 2.5 . LSC = 0.7 + 2.5 = 3.2 LIC = 0.7 - 2.5 ----- v o b) MUESTRA Los números de defectos por unidad en cada hora deben ubicarse dentro de los límites de control y distribuirse aleatoriamente para considerar el proceso bajo control. 15.- Se registró el número C de defectos por unidad cada hora durante 200 horas, y el número medio de defectos por unidad fué 1.3 a) Obtenga LSC y LIC para una gráfica de C. 33b) Construya tal gráfica y explique cómo se puede emplear SOLUCIONES: a) — AC = f l= 1.3 h L SC _■ =c + \LIC 1 “ ^ LSC = 1.3+ 3.42 = 4.72 LIC = 1.3-3.42 b) MUESTRA Sirve para controlar el número de defectos por unidad. Dicho número en cada hora debe quedar ubicado a i la gráfica, dentro de los límites de control y distribuirse aleatoriamente respecto al eje C. 16.- Un fabricante de remaches de latón muestrea 400 piezas cada hora y calcula la proporción de defectuosos en la m uestra La proporción muestral media, calculada para 200 muestras, filé igual a 0.021 . Trazar una gráfica de control para la proporción de defectuosos en muestras de 400 remaches. Explicar qué ventajas puede lograr el administrador con la gráfica de control. 34 SOLUCION.- p = 0.021 LSC1 u c r 0 021 ± O ÍO. 020(0.979) “ S 400 LSC = 0.021 + 0.0215 = 0.0425 LIC = 0.021 - 0.0215 ->*0 El fabricante puede controlar la proporción de defectuosos. 17.- Un director de personal localiza el número de accidentes personales en la planta por Pies en una gráfica de control. En un periodo de 30 meses, el promedio de número de accidentes por mes fue de 3.7 . Elabore un diagrama de control y explique cómo se puede utilizar. SOLUCION C = 3.7 LSCLIC } = C ± 3 n C = 3.7 + 3 J 3J LSC = 3.7 + 5.77 = 9.47 LIC = 3.7 - 5 .7 7------ >- 0 35 MUESTRA Sirve para verificar que los accidentes son los que correponden a las condiciones de seguridad de la planta, mientras su promedio mensual este dentro de los límites de control y su distribución sea aleatoria. 18.- Una compañía registra y localiza en una gráfica de control el número de quejas recopiladas durante 52 semanas, fue de 4.9 quejas semanales. Trazar una gráfica de control para el número de quejas de clientes por semana Diga que'' valor representa la gráfica de control para un administrador o gerente. SOLUCION.- C = 4.9 L S C L1C ^ = 4 .9 ± 3 N4.9 LSC = 4.9 + 6.64 = 11.54 LIC = 4.9 -6 .6 4 — ► 0 36 A través de la gráfica de control puede observarse si el promedio semanalde quejas es normal para las condiciones de atención a los clientes. Si la variación deja de ser aleatoria deberá encontrarse alguna causa aíribuible. 19.- El director de una compañía de materiales para la construcción muestrea al azar madera nueva a fin de comprobar si satisfacen las especificaciones de calidad. Se examinaron 100 piezas de madera de 2 x 4 pulgadas, de cada cargamento y se juzga según si son de primera clase aceptables) o de segunda (defectuosas). Las proporciones de las piezas 2 x 4 de segunda clase, registradas para 30 cargamentos, fueron: 0.14, 0.21, 0.19, 0.18, 0.23, 0.20, 0.25, 0.19, 0.22, 0.17, 0.21, 0.15, 0.23, 0.12, 0.19, 0.22, 0.15, 0.26, 0.22, 0.21, 0.14, 0.20, 0.18, 0.22, 0.21, 0.13, 0 .20 ,0 .23 ,0 .19 ,0 .26 . 37 Construir una gráfica de control para la proporción de piezas de segunda clase en muestras de 100 de los envíos. ¿ que“" utilidad puede tener el diagrama de control para el gerente de la compañía ? SOLUCION ÍS = ^ = 0 .1 9 f i LSCLIC 0.196 + LSC-0 .19 6 + 0.119 = 0.315 LIC = 0.196 - 0.119 = 0.077 Si las propofciones muéstrales p futuras se mantienen dentro de los límites y su distribución es aleatoria los cargamentos tendrán una calidad estable. 38 VI PRUEBA DE NO ALEATORIEDAD. En cada uno de los diagramas de control que se han mencionado, se acepta que el proceso o fenómeno que muestran está "bajo control" si los valores graficados se ubican aleatoriamente a ambos lados del eje de la gráfica. Para verificar tal aleatoriedad o su inexistencia es necesario incluir en este reporte la prueba correspondiente. La prueba de "rachas" tiene el siguiente procedimiento: Io. Ho: La sucesión de puntos de la gráfica resulta de un proceso aleatorio. Ha' La sucesión de puntos de la gráfica resulta de un proceso no aleatorio. 2o. Se cuenta el número de rachas r, así como el número de puntos arriba y abajo del eje de la gráfica, ni y n2 respectivamente, (ni y n2 no deben ser mayores de 10. Para valores mayores de n i y n2 se realiza otra prueba) 3o. Con ayuda de la tabla 20 del anexo que da la distribución del total de rachas, se determina la "región de no rechazo de Ho" fijando r^ según n !, n2 y a o a!2 según que la prueba sea unicolar o bicolar. 4o. De acuerdo con el valor de roes. se rechaza o no Ho. 39 Número de radias. R e g ió n d e re c h a z o R e g ió n d e n o re c h a z o R e g ió n d e re c h a z o P{r<,r¿) = o c / 2 H r Í < r < r 2 ) = 1 — «= P ( r ^ r 2 ) = o c / 2 Ti r2 El manejo de la tabla 20 del anoto que se menciona, se muestra con el ejemplo que sigue. ( A p u n to a r r ib a d e l e je B : p u n to b a jo d g e ) . n j= 6 (seis puntos A) n2= 5 (cinco puntos B) t = 1 radias (4 sucesiones de A y 3 sucesiones de B) 3o. Uso de la tabla de la distribudón de radias. Prueba de 2 colas, a =0.1 aJ2 = 0.05 40 (ai 112) 2 3 4 ____ 8 9 1ll0 ¡ (2.3) (2.4) (3,3) (5,5) (5,6) 0.004 0.024 0.110 0.911 0.976 0.998 Para definir ri: lo más cercano a a /2= 0.05 es 0.024 ri = 3 Para definir r2: 1-0.05 = 0.95; lo más próximo es 0.976 r2 = 9 3 9 RACHAS REGION *OBS =7 REGION DE DE RECHAZO RECHAZO r l r2 P(r < 3) = 0.024 P (r> 9) = 1-0.976 = 0.024 a = 0.024 + 0.024 = 0.048 con a = 0.048 no se rechaza Ho. Es decir, no hay evidencia para considerar que la sucesión de puntos haya sido generada por un proceso no aleatorio. En el caso de que ni >10 y n2 >10 la prueba de rachas se verifica transformando la r (total de rachas) en Z (estadística para una prueba normal estándar). 41 v>on las mismas mpoiesis nmay aiiema, ei proceoimienio es: z calculando fi, = 2”i”271,+Wj + 1 calculando ar = 2nt (ni+«2) fa + « i - l ) Región de rechazo. - Para la prueba de una cola Z < - Z a Para la prueba de dos colas: Z < -Z a /2 ó Z > Z a /2 42 20.- Para una sucesión aleatoria de n i letras A y n2 letras B, encuentre la probabilidad de que el numero de rachas r se menor o igual a rq para los siguientes c.asos. SOLUCION : (ver tabla 20 en el enexo) a) n¡ = 5 , n2 = 7 , ro = 4 P (r< 4) = 0.076 b) ni = 6 TfIIar\c-IIG ¿a ►■i IA h o o Ui c) n i = 8 , n2 = 10 , r0 = 7 P (r< 7 ) = 0.117 d) ni = 10 , n2 = 10 , r0 = 5 P(r < 5) = 0.004 21.- Para una sucesión aleatoria de n t letras A y n2 letras B, obtenga el numero de rachas r0, tal que P (r < r0) 0.05, para los siguientes casos. SOLUCION : ( ver tabla 20 en el anexo ) a) n¡ = 4 n2 = 10 io = 4 b) n¡ = 6 n2 = 10 r0 = 5 c) ni = 7 n2 = 8 rO = 5 d) ni = 3 n2 = 4 r0 = 4 22.- Para una sucesión aleatoria de n i letras A y n2 letras B, encuentre el numero de rachas r0, tal que P (r < r0) 0.10, para los siguientes casos. SOLUCION : ( ver tabla 20 en el anexo ) a) ni = 5 ol-HIIs1 O* II b) ni = 4 ii r0 = 3 c) nj = 8 00IIG* ro = 6 d) ni = 10 OIIG* o1 II 00 23.- Determine jir y u r cuando nt =20 y n2 = 15 2 1 1 ^ + l ^ n1+n2 2(20)05) 20+15 + 1 = 18.14 43 2 n 1n2(2n1n2-n1-n2) (nrf-ns^C iM +iia-l) N 2(20)05) [2(20X15)- 20 ,-lS] (20+ 15)2 (20+15-1) = 2.85 24.- Calcule p, ry a r cuando ni =25 y n2 = 30 SOLUCION: Mt = 2(25)(30)2 5 + 3 0 = + 1=28.27 Or = N 2(25)(30) [2(25)(3Q) - 25 - 30] (25 + 30)2 (25 + 30-1) = 3.64 25.- Utilice la aproximación normal para, muestras grandes de la distribución del numero de radias r en una sucesión aleatoria de nx = 10 letras A y n2 = 10 letras B, para calcular P (r < 8). Comparar la aproximación con el valor exacto dado en la tabla 20 del anexo. SOLUCION: 20ffl0ffl + i = l l 1CH-10 Nj 2aQ¥io)r2no)no)-io-ioi = 217 (10+ 10)2 (10+ 10-1) 7 S - l l 2.17 26.- Utilice la prueba de rachas para probar la inaleatoriedad de las desviaciones respecto al eje para los 26 valores de x del ejercicio 8. A A A A B A B A A B B B B A A B B B A A A A B A B B nj = 14, n2 = 12 r = 12 Hq La sucesión es aleatoria Como nx y n2 son mayores de 10 se utiliza la prueba normal estandár Z . = 1.382 que corresponde a un a=0.5 - 0.4162= 0.0838 por lo tanto con aproximación nonnal P (r < 8) =0.0838y en la tabla 20 se encuentra para n x= n 2= 10 , P (r < 8) = 0.128. 44 f l = 2Q4)(12) + 1 = 1 3 9 2 r 14+12 2(14X12) f 2(14X12) -14 -121 J (14 + 12)2 (14 + 12-1) 2 . 4 8 Z = r - J í f r = 12 - 13-92- = - 0.7741 a r 248 Para la prueba de una cola con = 0.05, Z = - 1.645 que define la región de rechazo de Ho para valores menores a este. Como Z cale, es mayor, se considera que no hay evidencia para rechazar la hipótesis de que la sucesión de las desviaciones fue generada por un proceso aleatorio. 27.- Aplique la frecuencia de rachas para probar la inaleatoriedad de las desviaciones |respecto al eje páralos 30 valores de p del ejercicio 19. SOLUCION: B A B B A A A B A B A B A B B A B A A A B A B A A B A A B A ni = 17 n2 = 13 r = 22 Ho = La sucesión es aleatoria Como n j y n2 son mayores de 10 se utiliza la estadística Z de la prueba normal estándar = 207 )0 3 ) = + 1 = 1 5 .73 17+13 ° r= Nj 2(17X13)12(17X13)-17-13] _ 2 ,64 (17 + 13)2 (17 + 13-1) = r-jXf = 2 2 -,,1 5 .?3 = 2 . 3 7 52.64 Para - 0.05 en la prueba de una cola, Z = 1.625 y como el valor calculado para Z es mayor, se rechaza Hq con un nivel de significancia de 5% 45 28. - La empresa matriz de una corporación selecciona a sus ejecutivos de entre el personal de sus dos subsidiarias, la CIA. A y la CIA. B La empresa matriz seleccionó, durante los últimos 3 años, 9 ejecutivos de las subsidiarias, el primero de la CIA B, el segundo de A, etc. La sucesión siguiente muestra el orden en el cual se seleccionaban los ejecutivos y la subsidiaria de donde provinieron : B A A A B A A A B ¿ Proporciona esta sucesión selectiva suficiente evidencia para implicar una inaleatoriedad en la selección de los ejecutivos por parte de la empresa matriz de entre sus subsidiarias ? nj = 6 n2 = 3 r = 5 para a = 0.05 Hq : La sucesión es aleatoria En una prueba de 2 colas, = 0.025 (ver tabla 20 del anexo) el valor más próximo es 0.024 que define r¡ = 2 como límite de la zona inferior de rechazo. Luego 1 - 0.024 = 0.976 ; el valor cercano en la tabla 20 es 0.881 que define T2 = 6 como límite de la zona superior de rechazo. Entonces a = 0.024 + (1 - 0.881) = 0.024 + 0.119 = 0.143 Como r = 5 rachas queda en la zona de no rechazo, ( entre r2 y r2 ), No hay evidencia para rechazar Hq con = 0.143 29. - Se ha elaborado una gráfica de control para cierta característica medible de artículos tomados de un transportador industrial en un punto dado de una línea de producción. Las mediciones obtenidas hoy en orden cronológico, so n : 46 68.2, 71.6, 69.3, 71.6, 70.4, 65.0, 63.6, 64.7 X= 544.4 tot. = 1082.7 65.3, 64.2, 67.6, 68.6, 66.8, 68.9, 66.8, 70.1 2 = 538.3 a) Clasifique las mediciones de esta serie de tiempo como "arriba" o " abajoMe la media muestral y determinar ( con la prueba de rachas ) si observaciones consecutivas indican falta estabilidad en el proceso de producción. b) Divida el tiempo en dos partes iguales y compare las medias, utilizando la prueba T de student. ¿ proporcionan los datos evidencia de un desplazamiento en el nivel medio de la característica de calidad ? SOLUCIONES: a) X = - 1082-7 = 67j6716 Ho : la sucesión es aleatoria Prueba de 1 co la.- Rechaza Hq si r < r l Con a = 0.10 A A A A A B B B B B B A B A B A nj = 8 n2 = 8 r = 7 En la tabla 0.1 = p (r < 6) entonces r = 7 > r¡ = 6 Por lo tanto no se rechaza Hq b) x, = — .'4-1.4 68 05 X = — 538 3 - 67.29 8 * H 0:5 j - x 2 = 0 ¿ H ^ . X j - x ^ O ; ct = 0.05 X S I + i\ n l n2 c 2= S f e 2 f e j - x z f = 122.4._ = g 74 n 1+n , - 2 M 68.05-67.29= n 2.95 1 18 s = 2.95 ^ ia b~ *0.025,14 2.145 47 632 88JJ5 y2- 23L52 ( 7tt4 - 6&05 f - 5JS 2 ( 853 - 6729 3L96 ( 66JB - 6729)*> 024 71.6-68.05)2= 1Z69 < 65 - 68.05 9.30 (642-6729)^9.54 <6&9-6729)|= Z59 (69l3-68l05)*= 1.56 <63^-6&05)*=19J)8 ( 67j6-6729)*= a096<66.8-6729f= 024 [71.6-68.05) = 12.60 (64,7-68l05) =1122 <68tf-6729) = 1.72 < 70.1 - 6729 > = 7.89 ( X I -X 1 )2= 96.12 (X I -X Z )2 =26276 Te = 0.52 < T TAB = 2.145 No se : No «e ha desplazado el nivel medio. rechaza HO 48 BIBLIOGRAFIA. 1. - Principios de estadística no paramétrica ALBERTO CASTILLO M., M. MIGUEL OJEDA R , U. VERACRUZANA. 2. - Estadística para administradores. WELLIAM MENDENHALL. Editorial Iberoamericana. 3. - Calidad, Productividad y competitividad. W. EDWARDS DEMING. Ediciones Díaz de Santos,S. A. 4 - Cómo Administrar con el Método Deming. MARY WALTON. Editorial Norma 5. - ¿Qué es el control total de calidad? La modalidad japonesa KAORUISHIKAWA Editorial Norma 6. - Control de Calidad Estadística EUGENE L. MONTGOMERY. C.E.C.S.A. 7. Control Estadístico de la Calidad DOUGLAS C. MONTGOMERY Editorial Iberoamericana 49 NOTA.- Los números que se presentan numerados del 1 al 29 son propuestos en el capitulo 16 del libro "Estadistica para Administradores” de W. Mendelhall. De la misma obra se han tomado las tablas estadísticas que constituyen el anexo. 50 REFERENCIAS DE LA OBRA: REF.NÚM. PÁG. A.-¿Qué es el control total de calidad? 1 191 2 40 3 17 4 192 B.-Calidad, Productividad y Competitividad. 5 65 6 102 9 266 10 204,205,206 11 87 C.- Cómo administrar con el método Deming. 8 126,127 D.- Estadística para Administradores. 7 702 13 759 a 762, 768, 798 a 800 51 A N E X O . TA BLA S E ST A D IST IC A S. 52 TABLA 1 Probabilidades binomiales Los valores tabulados son P(x < a) =£/>(*)• (Los cálculos se redondean a x=0 la tercera cifra decimal). (a) n = 5 a 0.01 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 í 0.50 ) 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95 0.99 a 0 0.951 0.774 0.590 0.328 0.168 0.078 0.031 0.010 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0 1 0.999 0.977 0.919 0.737 0.528 0.337 0.188 0.087 0.031 0.007 0.000 0.000 0.000 1 2 1.000 0.999 0.991 0.942 0.837 0.683 0.500 0.317 0.163 0.058 0.009 0.001 0.000 2 3 1.000 1.000 1.000 0.993 0.969 0.913 0.812 0.663 0.472 0.263 0.081 0.023 0.001 3 4 1.000 1.000 1.000 1.000 0.998 0.990 0.969 0.922 0.832 0.672 0.410 0.226 0.049 4 (continuación) (b) n = 10 a 0.01 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 P0.60 0.70 0.80 0.90 0.95 0.99 a 0 0.904 0.599 0.349 0.107 0.028 0.006 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0 1 0.996 0.914 0.736 0.376 0.149 0.046 0.011 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1 2 1.000 0.988 0.930 0.678 0.383 0.167 0.055 0.012 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 2 3 1.000 0.999 0.987 0.879 0.650 0.382 0.172 0.055 0.011 0.001 0.000 0.000 0.000 3 4 1.000 1.000 0.998 0.967 0.850 0.633 0.377 0.166 0.047 0.006 0.000 0.000 0.000 4 5 1.000 1.000 1.000 0.994 0.953 0.834 0.623 0.367 0.150 0.033 0.002 0.000 0.000 5 6 1.000 1.000 1.000 0.999 0.989 0.945 0.828 0.618 0.350 0.121 0.013 0.001 0.000 6 7 1.000 1.000 1.000 1.000 0.998 0.988 0.945 0.833 0.617 0.322 0.070 0.012 0.000 7 8 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.998 0.989 0.954 0.851 0.624 0.264 0.086 0.004 8 9 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.999 0.994 0.972 0.893 0.651 0.401 0.096 9 53 (c) 11 = 15 a 0.01 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 P0.60 0.70 0.80 0.90 0.95 0.99 a 0 0.860 0.463 0.206 0.035 0.005 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0 1 0.990 0.829 0.549 0.167 0.035 0.005 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1 2 1.000 0.964 0.816 0.398 0.127 0.027 0.004 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 2 3 1.000 0.995 0.944 0.648 0.297 0.091 0.018 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 3 4 1.000 0.999 0.987 0.836 0.515 0.217 0.059 0.009 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 4 5 1.000 1.000 0.998 0.939 0.722 0.403 0.151 0.034 0.004 0.000 0.000 0.000 0.000 5 6 1.000 1.000 1.000 0.982 0.869 0.610 0.304 0.095 0.015 0.001 0.000 0.000 0.000 6 7 1.000 1.000 1.000 0.996 0.950 0.787 0.500 0.213 0.050 0.004 0.000 0.000 0.000 7 8 1.000 1.000 1.000 0.999 0.985 0.905 0.696 0.390 0.131 0.018 0.000 0.000 0.000 8 9 1.000 1.000 1.000 0.000 0.996 0.966 0.849 0.597 0.278 0.061 0.002 0.000 0.000 9 10 1.000 1.000 1.000 1.000 0.999 0.991 0.941 0.783 0.485 0.164 0.013 0.001 0.000 10 11 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.998 0.982 0.909 0.703 0.352 0.056 0.005 0.000 11 12 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.996 0.973 0.8730.602 0.184 0.036 0.000 12 13 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.995 0.965 0.833 0.451 0.171 0.010 13 14 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.995 0.965 0.794 0.537 0.140 14 54 continuación, (d) n = 20 a 0.01 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 P 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95 0.99 a 0 0.818 0.358 0.122 0.012 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0 1 0.983 0.736 0.392 0.069 0.008 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1 2 0.999 0.925 0.677 0.206 0.035 0.004 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 2 3 1.000 0.984 0.867 0.411 0.107 0.016 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 3 4 1.000 0.997 0.957 0.630 0.238 0.051 0.006 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 4 5 1.000 1.000 0.989 0.804 0.416 0.126 0.021 0.002 0.000 . 0.000 0.000 0.000 0.000 5 6 1.000 1.000 0.998 0.913 0.608 0.250 0.058 0.006 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 6 7 1.000 1.000 0.000 0.968 0.772 0.416 0.132 0.021 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 7 S 1.000 1.000 1.000 0.990 0.887 0.596 0.252 0.057 0.005 0.000 0.000 0.000 0.000 8 9 1.000 1.000 1.000 0.997 0.952 0.755 0.412 0.128 0.017 0.001 0.000 0.000 0.000 9 10 1.000 1.000 1.000 0.999 0.983 0.872 0.588 0.245 0.048 0.003 0.000 0.000 0.000 10 11 1.000 1.000 1.000 1.000 0.995 0.943 0.748 0.404 0.113 0.010 0.000 0.000 0.000 11 12 1.000 1.000 1.000 1.000 0.999 0.979 0.868 0.584 0.228 0.032 0.000 0.000 0.000 12 13 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.994 0.942 0.750 0.392 0.087 0.002 0.000 0.000 13 14 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.998 0.979 0.874 0.584 0.196 0.011 0.000 0.000 14 15 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.994 0.949 0.762 0.370 0.043 0.003 0.000 15 16 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.999 0.984 0.893 0.589 0.133 0.016 0.000 16 17 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.996 0.965 0.794 0.323 0.075 0.001 17 18 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1,000 1.000 0.999 0.992 0.931 0.608 0.264 0.017 18 19 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.999 0.988 0.878 0.642 0.182 19 55 continuación, (e) n = 25 a 0.01 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 P 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95 0.99 a 0 0.778 0.277 0.072 0.004 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0 1 0.974 0.642 0.271 0.027 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1 2 0.998 0.873 0.537 0.098 0.009 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 2 3 1.000 0.966 0.764 0.234 0.033 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 3 4 1.000 0.993 0.902 0.421 0.090 0.009 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 4 5 1.000 1.999 0.967 0.617 0.193 0.029 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 5 6 1.000 1.000 0.991 0.780 0.341 0.074 0.007 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 6 7 1.000 1.000 0.998 0.891 0.512 0.154 0.022 0.001 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 7 S 1.000 1.000 1.000 0.953 0.677 0.274 0.Ö54 0.004 0.005 0.000 0.000 0.000 0.000 8 9 1.000 1.000 1.000 0.983 0.811 0.425 0.115 0.013 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 9 10 1.000 1.00Ó 1.000 0.994 0.902 0.586 0.212 0.034 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 10 11 1.000 1.000 1.000 0.998 0.956 0.732 0.345 0.078 0.006 0.000 0.000 0.000 0.000 11 12 1.000 1.000 1.000 1.000 0.983 0.846 0.500 0.154 0.017 0.000 0.000 0.000 0.000 12 13 1.000 l.ÒOO 1.000 1.000 1.994 0.922 0.655 0.268 0.044 0.002 0.000 0.000 0.000 13 14 1.000 1.000 1.000 1.000 1.998 0.966 0.788 0.414 0.098 0.006 0.000 0.000 0.000 14 15 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.987 0.885 0.575 0.189 0.017 0.000 0.000 0.000 15 16 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.996 0.946 0.726 0.323 0.047 0.000 0.000 0.000 16 17 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.999 0.978 0.846 0.488 0.109 0.002 0.000 0.000 17 18 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.993 0.926 0.659 0.220 0.009 0.000 0.000 18 19 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.998 0.971 0.807 0.383 0.033 0.001 0.000 19 20 1.000 1.000 1.000 l.'OOO 1.000 1.000 1.000 0.991 0.910 0.579 0.098 0.007 0.000 20 21 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.998 0.967 0.766 0.236 0.034 0.000 21 22 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.991 0.902 0.463 0.127 0.002 22 23 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.998 0.973 0.729 0.358 0.026 23 24 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.996 0.928 0.723 0.222 24 56 TABLA 4. Áreas bajo la curva normal. z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.4753 0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879 0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224 0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549 0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852 0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133 0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389 1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621 1.1 0.3643 0.665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015 1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319 1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441 1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545 1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.44582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633 1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706 1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767 2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817 2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857 2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890 2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916 2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936 2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952 2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0. 4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964 2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974 2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0. 4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981 2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0. 4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986 3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0. 4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990 57 NUM. D E OBSERVACIONES EN LA MUESTRA: TABLA 19. (FRAGMENTO) n a 2 d 3 d 4 2 1.880 0 3.276 3 1.023 0 2.575 4 0.729 0 2.282 5 0.577 0 2.115 6 0.483 0 2.004 7 0.419 0,076 1.924 8 0.373 0.136 1.864 9 0.337 0.184 1.816 10 0.308 0.223 1.777 11 0.285 0.256 1.744 12 0.266 0.284 1.719 13 0.249 0.308 1.692 14 0.235 0.329 1.671 15 0.223 0.348 1.652 16 0.212 0.364 1.636 17 0.203 0.379 1.621 18 0.194 0.392 1.608 19 0.187 0.404 1.596 20 0.180 0.414 1.586 21 0.173 0.425 1.575 22 0.167 0.434 1.566 23 0.162 0.443 I .557 24 0.157 0.452 1.548 25 0.153 0.459 1.541 58 TABLA 20. Distribución del número total de rachas r en muestra de tamaño (ni, n2), P(r< r0)_______________________________________________— a ( b u ni), 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2,3) 0.200 0.500 0.900 1.000 (2 ,4) 0.133 0.400 0.800 1.000 (2,5) 0.095 0.333 0.714 1.000 (2,6) 0.071 0.286 0.643 1.000 (2,7) 0.056 0.250 0.583 1.000 (2,8) 0.044 0.222 0.533 1.000 (2,9) 0.036 0.200 0.491 1.000 (2,10) 0.030 0.182 0.455 1.000 (3,3) 0.100 0.300 0.700 0.900 1.000 (3,4) 0.057 0.200 0.543 0.800 0.971 1.000 (3,5) 0.036 0.143 0.429 0.714 0.929 1.000 (3,6) 0.024 0.107 0.345 0.643 0.881 1.000 (3,7) 0.017 0.083 0.283 0.583 0.833 1.000 (3,8) 0.012 0.067 0.236 0.533 0.788 1.000 (3,9) 0.009 0.055 0.200 0.491 0.745 1.000 (3,10) 0.007 0.045 0.171 0.455 0.706 1.000 (4,4) 0.029 0.114 0.371 0.629 0.886 0.971 1.000 (4,5) 0.016 0.071 0.266 0.500 0.786 0.929 0.992 1.000 (4,6) 0.010 0.048 0.190 0.405 0.690 0.881 0.976 1.000 (4,7) 0.006 0.033 0.1420.333 0.606 0.833 0.954 1.000 (4,8) 0.004 0.024 0.109 0.279 0.533 0.788 0.929 1.000 (4,9) 0.003 0.018 0.085 0.236 0.471 0.745 0.902 1.000 (4, 10) 0.002 0.014 0.068 0.203 0.419 0.706 0.874 1.000 ( 5,5) 0.008 0.040 0.167 0.357 0.643 0.833 0.960 0.992 1.000 ( 5,6) 0.004 0.024 0.110 0.266 0.522 0.738 0.911 0.976 0.998 ( 5,7) 0.003 0.015 0.076 0.197 0.424 0.652 0.854 0.955 0.992 ( 5,8) 0.002 0.010 0.054 0.152 0.347 0.576 0.793 0.929 0.984 ( 5,9) 0.001 0.007 0.039 0.119 0.287 0.510 0.734 0.902 0.972 (5, 10) 0.001 0.005 0.029 0.095 0.239 0.455 0.678 0.874 0.958 (6,6) 0.002 0.013 0.067 0.175 0.392 0.608 Ó. 825 0.933 0.987 (6,7) 0.001 0.008 . 0.043 0.121 0.296 0.500 0.733 0.879 0.966 (6,8) 0.001 0.005 0.028 0.086 0.226 0.413 0.646 0.821 0.937 (6,9) 0.000 0.003 0.019 0.063 0.175 0.343 0.566 0.772 0.902 (6, 10) 0.000 0.002 0.013 0.047 0.137 0.288 0.497 0.706 0.864 ( 7,7) 0.001 0.004 0.025 0.078 0.209 0.383 0.617 0.791 0.922 (7,8) 0.000 0.002 0.015 0.051 0.149 0.296 0.514 0.704 0.867 ( 7.9) 0.000 0.001 0.010 0.035 0.108 0.231 0.427 0.622 0.806 ( 7,10) 0.000 0.001 0.006 0.024 0.080 0.182 0.355 0.549 0.743 ( 8,8) 0.000 0.001 0.009 0.032 0.100 0.214 0.405 0.595 0.786 ( 8,9) 0.000 0.001 0.005 0.020 0.069 0.157 0.319 0.500 0.702 ( 8,10) 0.000 0.000 0.003 0.013 0.048 0.117 0.251 0.419 0.621 (9,9) 0.000 0.000 0.003 0.012 0.044 0.109 0.238 0.399 0.601 (9,10) 0.000 0.000 0.002 0.008 0.029 0.077 0.179 0.319 0.510 ( 1° , ! 0) 0.000 0.000 0.001 0.004 0.019 0.051 0.128 0.242 0.414 59 TABLA 20 (Concluye) a 11 12 13 14 . 15 16 17 18 19 20 PAP<0PAmPA PA p aW0> OA<3̂ PA 0Æ PA O ft OAOlO) PA «A PA PA PA PA P.lft OA <54 1.000 PA 1.000 PA 1000 PA L0Û0 OJA 1000 m 0603 IjOOO <6.7) 0692 0666 LOCO <<&> 0684 0666 IjOOO <6» 0673 0664 1.000 W ft 095a 0660 IjOOO 0.7) 0675 0666 0666 1800 OA 0646 0683 0993 \OQQ PA 0616 0675 0664 066» OJA 0876 Û6S7- 0660 0603 <8ft 0600 0663 0661 0666 <8A oao 0636 0680 0606 A 10) 0783 0603 0664 0600 PA 0762 0661 0656 0683 WA 0681 0334 0603 0674 OVA 0586 0758 0872 0646 IjOOO 1.000 I jOOO 1800 1.000 0666 IjOOO IjOOO 0608 LOOO LOOO 0607 1.000 IjOOO 1.000 0600 0660 LOOO 1600 1600 0631 0606 0600 1.000 LOOO 60
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