LeonSalazarMercedes

Vista previa del material en texto

Universidad V eracruzana
________________ ___________________________________________ L
FACULTAD DE ESTADISTICA E INFORMATICA 
ESPECIALIZACIÓN EN M ÉTODOS ESTADÍSTICOS
M A N U A L DE A P L IC A C IÓ N D E L O S D ISEÑ O S 
E XPER IM EN TALES B Á SIC O S EN EL 
PAQ U ETE N C SS.
TRABAJO RECEPCIONAL
(PRACTICO ED U CATIVO )
QUE COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL 
DIPLOMA DE ESTA ESPECIALIZACIÓN 
PRESENTA:
Mercedes\León Salazar
TUTOR:
L.E. JULIÁN FELIPE DÍAZ CAMACHO
XALAPA, VER., NOVIEMBRE DE 2002
El Comité Académico de la Especialización en Métodos Estadísticos y el 
Tutor de este trabajo recepcional, autorizan la impresión y la constitución del 
jurado para la defensa.
COMITÉ ACADÉMICO
ESPECIALIZACIÓN
M. C. C. Alma Rosa García Gaona 
DIRECTORA DE LA FACULTAD DE 
ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA
DATOS DEL AUTOR
Mercedes León Salazar nació en Coatzacoalcos, Veracruz, el día 2 de Mayo 
de 1976. Cursó sus estudios básicos en la población de Coatzacoalcos y de nivel 
medio superior en la población de Xalapa, Veracruz, perteneciente al municipio 
del mismo nombre. En el año 200 egresó de la carrera de Licenciado en 
Estadística de la Universidad Veracruzana. En 1998 apoyo al Grupo de 
Evaluación Institucional, en el procesamiento de los datos de una evaluación 
aplicada a educandos de telebachilleratos de la DGEMS Y S, a través del 
Laboratorio de Investigaciones y Asesoría Estadística (LINAE).
GENERACIÓN :2002 SEDE: Xalapa
TÍTULO:
Manual de aplicación de los diseños experimentales básicos en el 
paquete NCSS.
AUTOR:
Mercedes León Salazar
TUTOR:
L.E. Julián Felipe Díaz Camacho
TIPO DE TRABAJO:
Reporte Monografía o TPE Desarrollo
RESUMEN:
En este trabajo se presenta una breve descripción de la aplicación del paquete NCSS en 
los diseños experimentales básicos, como son: el diseño completamente al azar, 
bloques al azar y cuadrado latino. Así mismo se expone el tema de comparación 
múltiple de medias para cada unos de los diseños mencionados. En cada uno de los 
temas mencionados se presenta una breve descripción del diseño y se presenta un 
ejemplo manual acompañado de los resultados que nos proporciona el paquete NCSS. 
Realizándose encada caso las conclusiones pertinentes.
M ETODOLOGÍA ESTADÍSTICA:
a) Diseño 
Muestreo 
Experimento 
Estudio observacional
b) Análisis 
Exploratorio 
Descriptivo básico 
Inferencia Básica 
Métodos multivariados 
Regresión
ANOVA y MANO VA 
Control de calidad 
Métodos no paramétricos 
Modelos especiales 
Técnicas avanzadas 
Series de tiempo
X
AGRADECIMIENTOS
A DIOS:
Por que nunca me abandonaste 
y me diste la oportunidad de 
llegar hasta este momento.
A MI HIJO:
Por ser el tesoro más grande de 
mi vida y por hacerme muy feliz. 
Te quiero mucho Rolis.
A MIS PADRES:
Por haber creído en mi 
dándome la oportunidad de 
seguir adelante y por ese 
gran esfuerzo, dedicación y 
amor que me han brindado. 
Los quiero mucho.
A MIS HERMANAS:
Por que en las buenas y en 
las malas nunca nos 
abandonamos. Sigan
adelante.
A MI NOVIO:
Por haberme acompañado en esta 
etapa de mi vida, por haberme 
motivado para seguir adelante y 
por tu cariño.
AL MAESTRO:
Julián Felipe Díaz Camacho 
por su incondicional 
dedicación y apoyo, por su 
gran y bonita amistad y por 
ser un gran maestro y amigo. 
Mil gracias.
A MIS AMIGOS:
A todos mis amigos queme 
han dado su amistad y 
compañía. Un cordial saludo 
a todos mis maestros y 
amigos de la especialidad.
C O N T E N I D O
Pag.
[INTRODUCCIÓN 1
II. PRINCIPIOS BÁSICOS DEL DISEÑO DE EXPERIMENTOS 3
1.1 Introducción 3
1.2 Elementos básicos de un diseño experimental 9
II. DISEÑOS COMPLETAMENTE AL AZAR (D.C.A.) 14
II. 1 Diseño Completamente al azar con igual número de
repeticiones. 14
11.1.1 Descripción 15
11.1.2 Análisis de varianza 16
II. 1.3 Ejemplo. 17
11.2 Diseños completamente al azar con desigual numero de
repeticiones 22
11.2.1 Descripción 22
11.2.2 Análisis de varianza 23
11.2.3 Ejemplo 24
[II. DISEÑOS DE BLOQUES COMPLETAMENTE AL AZAR (D.B.C.A.) 28
111.1 Descripción 28
111.2 Análisis de varianza 29
111.3 Ejemplo 31
IV. DISEÑOS CUADRADO LATINO (D.C.L.) 39
IV.l Descripción 39
IV.2 Análisis de varianza 40
IV. 3 Ejemplo 42
V. COMPARACIONES MÚLTIPLES (ANÁLISIS DE MEDIAS DE
TRATAMIENTOS) ' 48
V. I Diferencia mínima significativa (D.M.S.) 48
V .l.l Descripción para un D.C.A. con Igual número de 48
repeticiones por tratamiento
V.1.2 Ejemplo 50
V.2 Prueba de Tukey
V.2.1 Descripción para un D.C.A. con igual número de 51
repeticiones por tratamiento.
V.2.2 Ejemplo 52
V.3 Prueba de Duncan 54
V.3.1 Descripción para un D.C.A. con igual número de repeticiones por
tratamiento. 54
V.3.2 Ejemplo 55
REFERENCIAS
ANEXOS
Tabla 1. Distribución F 63
Tabla 2. Distribución t de Student 69
Tabla 3. Prueba de Tukey 70
Tabla 4. Prueba de Duncan 62
INTRODUCCIÓN
En años recientes la computadora ha tenido un gran afecto en casi todos los 
aspectos de la vida. El campo de la estadística no es la excepción, en la estadística 
se emplean técnicas repetitivas: fórmulas utilizadas para calcular magnitudes 
estadísticas descriptivas, procedimientos para obtener representaciones gráficas 
de datos, métodos para formular inferencias estadísticas. La computadora es muy 
útil en la realización de tales operaciones repetitivas. Es muy común que alguien 
que necesite analizar un conjunto de datos busque la ayuda de otra persona que 
sepa emplear una computadora. Si en esa computadora esta instalado algún 
programa de análisis estadístico, será fácil llevar acabo los cálculos deseados 
mediante algunos de los programas (en paquetes) más conocidos, tales como: 
MINITAB, SYSTAT,tSTATA, STATISTICA, NCSS, SPSS Y SAS.
No obstante, los análisis estadísticos deseados serán fáciles de realizar si se 
tiene conocimiento de la operatividad del paquete que se pretende utilizar. En 
este sentido, y con el propósito de ilustrar el uso del paquete NCSS en una 
introducción a los Diseños Experimentales Básicos, se elabora el presente trabajo.
El presente trabajo esta compuesto de cinco capítulos. En el primer 
capítulo, se presentan los principios básicos del diseño de experimentos donde se 
mencionan los elementos más importantes que describen a los diseños 
experimentales. En el segundo capítulo se presenta el diseño completamente al 
azar con igual número de repeticiones y desigual número de repeticiones, estos 
diseños se presentan con una pequeña introducción cada uno, se da una 
descripción sobre el desarrollo y se ilustra mediante un ejemplo con su respectiva 
salida en el paquete NCSS. En el tercer capítulo se presenta el diseño de bloques 
completamente al azar co n la misma presentación del segundo capitulo. En el
1
cuarto capitulo se presenta el diseño cuadrado latino con igual desarrollo que los 
capítulos dos y tres. En el ultimo capítulo cinco se presenta el tema de 
comparación múltiple de medias. Entre ellas la diferencia mínima significativa, 
Tukey y Duncan. Estas pruebas se presentan con una pequeña descripción y 
desarrollo, se ilustran mediante la elaboración de ejemplos con sus respectivos 
resultados en el paquete NCSS. Finalmente se incluye un apéndice que contiene 
las tablas de la distribución F, t de Student, Tukey y Duncan, así como la 
bibliografía consultada para la realización del presente trabajo.
2
I. PRINCIPIOS BÁSICOS DEL DISEÑO DE EXPERIMENTOS
I.l Introducción
Antes de comenzar el experimento se debe especificar claramente el problema 
y las preguntas que la investigación debe contestar; es decir, lo que podría 
denominarse las “pruebas de interés” . Por otro lado, es necesario hacer una 
reflexión sobre los aspectos anteriores estructurándolos mediante una serie de 
preguntas cuyas respuestas ayudan a diseñar correctamente el experimento. 
Diversos autores han presentado su visión sobre este tema, de modo que un 
conjunto mínimo de ellas citan a continuación:
1. ¿Qué uariables(s) identifican el problema? Se debe decir cuantas y que 
variables definenel problema propuesto. En primer lugar, cuántas; es 
decir, si se trata de un problema de una o varias variables. Si, por ejemplo, 
se está haciendo una tipología de las mieles de una cierta región del estado 
de Veracruz en relación a su calidad, la variable “calidad” se identificará 
con varias variables, como color, humedad, acidez libre, presencia de 
azúcares, etc. En otro caso, podría definirse un caso univariado el resultado 
de un panel de degustadores. Si se está estudiando la gravedad de un 
ataque de hongos sobre una fruta, debe decidirse si se medirá el diámetro, 
área o el número total de lesiones mayores de un cierto grado.
2. ¿Cómo debe cuantificarse la variable? Definida(s) la(s) variable(s), es 
necesario dotar la(s) de unos valores que podrán ser cuantitativos o 
cualitativos. Así, en el caso del panel de degustación es necesario definir el 
rango de puntuaciones deseado. Si se determina la densidad óptica de un
estudio serológico, es necesario determinar que correcciones se deben
3
establecer sobre el valor observado de un pocilio en una placa con objeto de 
hacerlo comparable a otros pocilios de otras placas. Si la variable es 
categórica, deben definirse sin ambigüedad el número y características de 
las clases; si es cuantitativa, las condiciones experimentales en las que se 
efectúa la medición, así como la precisión deseada.
3. ¿Qué factores influyen sobre la variable? Este es un punto fundamental 
dentro del proceso. En él, el experimentador debe hacer una lista lo más 
exhaustiva posible de todos y cada uno de los factores (causas) que pueden 
tener influencia sobre la variable (medición) que se va a estudiar. 
Posteriormente se clasificarán en los tres puntos siguientes.
a) ¿Cuáles de ellos son importantes e interesantes para la investigación? 
Esto es sencillo, pues es el objetivo de la investigación tal como se ha 
definido en la fase de concepción.
b) . ¿Cuáles son importantes, pero no interesantes para la investigación? En
este punto el investigador reconoce la existencia de una serie de causas 
que influyen de forma importante sobre la variable, pero en principio 
no está interesado en estudiarlas, pues no es un objetivo prioritario de 
su investigación, o no puede evaluarlas experimentalmente, o son 
demasiado costosas, etc.
c) ¿Cuáles no son importantes? Estos factores no están considerados en el 
diseño, pues se sabe que su influencia s pequeña. Sin embargo, es 
necesario reconocer que pueden representar un ruido de fondo 
relativamente importante que no permita detectar estadísticamente la 
influencia de los diferentes niveles de los factores definidos en a).
4
datos para que puedan ser considerados como una muestra representativa 
de la población bajo estudio.
6. ¿Cuántas veces y de que forma repetirá el experimento? Esta suele ser una 
pregunta muy repetida en la conversación investigador estadístico. Es 
necesario determinar el tamaño mínimo del experimento con objeto de que 
el diseño sea eficiente. Sin embargo, la contestación ansiada por el 
investigador no es siempre fácil. A esta pregunta contesta el estadístico, a 
su vez con una serie de preguntas: cuál es la variabilidad de los datos, que 
diferencia mínima se quiere detectar, conque probabilidad, cual es la 
comparación de mayor interés o más critica. Después de esa lluvia de 
preguntas, el investigador, queda descorazonado, pues a una sencilla y 
vital pregunta no le da una respuesta concreta a no ser que, a su vez, haya 
contestado de forma concreta a la que le han planteado a él. Si el 
investigador conoce las respuestas, el cálculo es sencillo. Si no dispone de 
respuestas, lo normal es llegar a un compromiso basado en el número 
máximo de unidades experimentales que es capaz de manejar de forma 
homogénea, siempre que el presupuesto del proyecto lo permita. Dentro de 
este apartado es oportuno hacer un par de matizaciones. Primero, cuando 
se está hablando de número de repeticiones puede interpretarse como 2 
conceptos totalmente diferentes. Por un lado, se trata de repetir el 
conjunto del experimento varias veces: esta definición está unida al 
concepto de bloques o tandas. Por otro lado, tal como, lo entendemos aquí, 
se refiere a obtener más de una observación por unidad experimental 
igualmente tratada. La repetición permite interpretar las diferencias entre 
unidades tratadas de forma diferente al compararlas con la variación entre 
unidades igualmente tratadas. No debe confundirse esta interpretación con 
el hecho de tomar submuestras dentro de las unidades experimentales. Por 
ejemplo, si se está estudiando diversos factores que afectan la presencia de
6
microorganismos en el champiñón enlatado al repetir la determinación a 
base de tomar 2 muestras de un mismo bote, no debe considerarse como 
una repetición. La segunda matización se refiere a una llamada de atención 
para los experimentos que estén basados en mediciones expresadas en 
porcentajes. Supongamos que se está estudiando el porcentaje de botes que 
han resultado contaminados después de haber aplicado dos tratamientos 
distintos. Si se parte de 10 botes por tratamiento, un simple bote 
contaminado en más en menos en u tratamiento dado, se traduce en un 
salto de un 10% en el valor medido. Ello implica que el error de medida es 
como mínimo del 10%. En esta situación, cómo se puede pretender detectar 
diferencias pequeñas entre los tratamientos si partimos de un error 
intrínseco del 10%. Si se hubieran tomado, por ejemplo, 100 muestras por 
tratamiento, este error sería sólo del 1%.
7. ¿ Que trascendencia tendrán las conclusiones? De acuerdo con la 
importancia de rechazar la hipótesis nula cuando es cierta el investigador 
debe fijar el nivel de significación con que realizará las pruebas 
estadísticas. Esta decisión ha de ser previa a la adquisición de cualquier 
dato, no posterior a la vista de lo que más interese. Si por ejemplo, se está 
estudiando el nivel de contaminación de un alimento, uno debería tener 
una lata probabilidad de no equivocársela decir que no está contaminado, 
cuando sí que lo está, aunque casos de no-contaminación fueran 
diagnosticados como contaminados. En este supuesto habría que elegir un 
nivel de significación muy bajo (1 ó 0.1%). En otras situaciones 
experimentales interesa aumentar el nivel de significación al 10 ó 15% para 
protegerse contra el error de aceptar la hipótesis nula cuando es falsa.
7
8. ¿Cómo se tomarán los datos? Aun que podría pensarse que la adquisición
de los datos es una tarea sencilla y sin problemas, esto no es así. Debe 
tenerse en cuenta que los análisis estadísticos se realizan sobre datos y la 
presencia de una dato erróneo puede dar al traste con una buena 
realización del experimento. Hay que evitar el trasiego y copia de datos de 
un documento (cuaderno de campo) a otro. Deben diseñarse las hojas de 
adquisición de forma que inequívocamente identifiquen la unidad 
experimental que se esté registrando y que sea utilizada directamente para 
introducir los datos en el ordenador. Más aún, existen en el equipo de 
computo disponible.
El objetivo final de todo experimento es proporcionar el máximo de 
información sobre el problema estudiado. Sin embargo, esta información debe ser 
obtenida de una forma eficiente tanto practica como estadísticamente. Mediante 
un buen diseño se puede maximizar la cantidad de información con un mínimo 
uso de recursos. Una forma de mejorar la eficiencia es considerar el análisis de 
los datos incluso antes de haber sido obtenidos. Un conocimiento previo de qué se 
va a hacer con los resultados del experimento conducirá a evitar un diseño 
absurdo.
Una vez decidido el experimento se describirá en forma matemática mediante 
un modelo estadístico que dará lugar a un análisis de los datos. Tal como se ha 
indicado anteriormente, este análisis retroalimentará la fase de diseño para 
probar su eficiencia. Por tanto, existeuna cadena fundamental problema-diseño- 
modelo-análisis-diseño. Por ello se ha de señalar el peligro que encierra la 
utilización “a ciegas” tanto de los diseños clásicamente descrito (bloques al azar, 
cuadrado latino, etc.) como de los programas enlatados de ordenador. Cada 
investigación trata de resolver un problema muy especifico, y tan especifico como
8
BIBLIOTECA
UNIDAD ACADEMICA ECONOMIA 
ESTADISTICA E INFORMATICA 2 4 ENE. 2003
es el problema será sü diseño. Si el problema coincide en su estructura con alguno 
de los que originó un diseño clásico, debe usarse tal diseño, de lo contrario, no.
1.2 Elementos básicos de un diseño experimental
Las tres columnas básicas de los diseños experimentales son:
1. Repetición
2. Control de la variación
3. Aleatorización
4. Confusión
Este último surge de la consideración conjunta de los dos últimos.
A continuación se presenta brevemente una descripción de cada uno de
ellos.
Repetición
Por repetición se entiende obtener más de una observación por combinación 
de tratamiento; es decir que la combinación de tratamientos más amplia se aplica 
a más de una unidad experimental. Otra forma de entender “repetición” es que se 
repite el experimento entero (en otro bloque, localidad, año, etc.), no es éste el 
enfoque de este apartado. Las razones por las que es recomendable la repetición 
son las siguientes:
9
1. Permite tener una estimación de la varianza del error experimental. Esta 
varianza actúa como unidad de medida de la variación no controlada con la 
que, en general, comparar la variación controlada por los factores del diseño. 
De todas formas, hay veces en que no es necesaria la repetición, sin embargo, 
esos casos implican un conocimiento previo del problema que se está 
estudiando.
2. Permite obtener estimaciones más precisas de las medias de los tratamientos 
y, por tanto, de las diferencias entre los tratamientos que es, en definitiva, el 
objetivo final del estudio. Recordemos que la varianza de una media esta dada 
por =0 p = o y /n por lo que cuanto mayor sea n, menor será Op.
3. Aunque ya se ha hecho hincapié en el error experimental al hablar de tipos de 
causas que influyen en una variable, sería conveniente aclarar más lo que 
implica el concepto de error experimental. Este error expresa el hecho que dos
unidades igualmente tratadas (las dos han recibido la misma combinación de
c
tratamientos) no produzcan exactamente el mismo resultado. En el error 
experimental se incluye una serie de causas (que no necesariamente errores) 
entre la que se pueden citar:
a) Errores de medida
b) Errores de observación
c) Las causas tipo 3
d) Aquellas causas tipo 2 que se decidió actuar por aleatorización
e) El conjunto de causas que desconocemos que influyen sobre la variable y, 
por tanto, fueron incluidas en la lista inicial.
El error experimental se puede reducir de diferentes formas, siendo estas las 
siguientes
a) Usando material más homogéneo
10
b) Teniendo cuidado en la obtención de los datos
c) Utilizando un diseño más eficiente; por ejemplo empleando bloques para 
controlar la variación de unidades experimentales (fertilidad, inclinación de 
terreno, insolación, etc.)
d) Utilizando información de variables concomitantes. Por ejemplo, el 
rendimiento final de un cultivo puede estar influenciando por el porcentaje 
de nascencia.
Control de la variación
Representa el “diseño” del experimento en lo que se refiere a la localización, 
asignación y disposición especial de las unidades experimentales. En si 
representa las agrupaciones, bloques y el equilibrio del diseño.
Por agrupación se entiende la colocación de las unidades experimentales en 
grupos de modo que cada grupo de unidades recibe una combinación diferente de 
tratamientos. Por ejemplo, si se tienen 14 parcelas y queremos efectuar 4 
tratamientos diferentes de herbicidas, efectuaremos cuatro lotes o grupos por 
sorteo de forma que dos tendrán tres parcelas y tros dos, cuatro parcelas; por 
sorteo se asignarán al primer lote un tipo de herbicida; al segundo, otro, y así 
sucesivamente.
Cuando se hacen bloques, se quiere indicar que se asignan las unidades 
experimentales a unos lotes o bloques de tal manera que dentro de cada bloque 
las condiciones experimentales son más homogéneas y la mayor parte de la 
variación de las unidades experimentales se encuentra en variación entre los 
bloques. Con ello, se reduce el error experimental, teniendo un diseño más 
eficiente. Supongamos, por ejemplo, que una industria farmacéutica esta 
estudiando la facilidad de asimilación y efecto de un cierto medicamento. El
11
experimento consistió en inyectar cuatro dosis diferentes del mismo a unas ratas. 
Si se dispone de 12 ratas y se sabe que cuatro de ellas pertenecen a una camada; 
otras cuatro a otra, y otras cuatro a una tercera, sería natural efectuar tres 
bloques de cuatro rayas de modo que las camadas actuaran como bloques. 
Posteriormente, se asignarían al azar las dosis a las ratas dentro de cada bloque.
El equilibrio implica que después de efectuar las agrupaciones y bloques, el 
esquema del diseño tiene una configuración compensada. El ejemplo de los 
herbicidas presentaba un diseño desequilibrado; por otro lado, el de las camadas 
era equilibrado con respecto a los bloques, si en cada bloque había las mismas 
cuatro dosis, era completamente equilibrado. En lo posible es recomendable un 
diseño equilibrado; sin embrago, con la disponibilidad de herramientas de cálculo, 
es cada vez menos preocupante el desequilibrio.
Aleatorización.
La suposición más importante para que las pruebas que hemos citado y se 
verán en próximos temas, sean validas es que las observaciones sean 
independientes. ¿Cómo podremos asegurar que las observaciones, y por tanto, los 
errores experimentales, sean independientes?. En general no se puede asegurar 
pues, como mínimo, comparten u mismo terreno, mano de obra, etc. Sin embargo, 
si se aleatoriza la toma de muestra y se asignan aleatoriamente los tratamientos 
a las unidades, las pruebas actúan como si la anterior suposición fuera cierta. No 
es que la aleatorización asegure la independencia sino que permite actuar como si 
lo fuera.
Hay casos que la total aleatorización del experimento no solo es imposible 
sino, además no recomendable. Los grave no es restringir la aleatorización si no
12
tenerla en cuenta en el análisis de los datos y en las conclusiones que se obtengan 
del análisis. Una gran parte de los diseños clásicamente empleados y 
ampliamente descritos en las publicaciones como los bloques al azar, parcela 
dividida “cross-over”, etc., tienen algún tipo de falta de aleatorización; incluso 
existen diversos diseños totalmente sistemáticos. Estos últimos, los análisis 
basados en la descomposición de la variación y la posterior prueba de 
significación mediante la distribución F, no son aplicables.
Confusión
Como consecuencia de las agrupaciones, bloques y aleatorización puede 
ocurrir que algún efecto clasificado con el diseño esté “fundido” o confundido con 
otra causa no diseñada que puede invalidar los resultados de los diseños. Por 
ejemplo si se está estudiando diversos tipos de cubierta de invernadero sobre el 
crecimiento de unas plantas y se utiliza un solo invernadero por cada tipo de 
cubierta, se estará confundiendo el efecto “cubierta” no solo con el efecto 
“invernadero” si no también con las circunstancias experimentales de ubicación, 
riego, etc.
Como consecuencia de las contestaciones obtenidas en las tres fases 
definidas anteriormente, se decidirá un diseño optimo que responda 
eficientemente a las preguntas intrínsecas al problema. El diseño se plasmara de 
acuerdo con unas normas que más adelante se explicaran, en un modelo 
matemático. Este modelo dictará de forma sencilla el proceso de análisis 
matemático a seguir. Este análisis servirá para cuestionar la eficiencia del 
diseño. Por lo tanto, se puededecir que: “Para cada problema un diseño, para 
cada diseño un modelo y para cada modelo un análisis”
13
II. DISEÑOS COMPLETAMENTE AL AZAR (D.C.A.)
Los tratamientos en un diseño completamente al azar son asignados 
aleatoriamente a las unidades experimentales y esto también se da en caso 
contrario. En la distribución de los tratamientos a las unidades experimentales, 
el diseño no pone restricciones. El diseño completamente al azar es 
ampliamente usado gracias a que es un diseño simple de realizar, su aplicasión 
se da cuando se estudian más tratamientos y su uso se limita a las siguientes 
situaciones:
> Donde las unidades experimentales son relativamente homogéneas, tal 
como laboratorios, invernaderos, etc.,
> En caso de que una parte del experimento se pierda y puede decirse que 
las unidades experimentales deben tener la misma capacidad de 
respuesta.
> Si se tiene un experimento pequeño y donde la mayor presición de otras 
distribuciones no compensan la perdida de grados de libertad del error.
En este diseño puede probarse cualquier número de tratamientos, pero no 
es obligatorio asignar el mismo número de de unidades experimentales a cada 
tratamiento, ya que puede ser un diseño con igual número de repeticiones o con 
desigual número de repeticiones.
Cabe aclarar que las fórmulas de la suma de cuadrados medios cambia para 
cada caso.
II. 1 Diseño Completamente al Azar con igual número de repeticiones
14
Es aquel diseño en el que el número de unidades experimentales por 
tratamiento es igual para todos los tratamientos, esto es en n¡ = n.
II .l .l Descripción
El modelo lineal de un diseño completamente al azar esta dado por
Yij = p + x i + eij
para i = 1, 2, ...,t
j = 1, 2, ...,ni
donde
yij = Observación correspondiente a la j-ésima unidad experimental que 
recibió el i-ésimo tratamiento 
p = Media general 
x i = Efecto del i-ésimo tratamiento 
eij = Error aleatorio
La hipótesis de interés en este diseño se plantea como:
H0: Tl= X2 =...= Tk
H l: Al menos uno de los tratamientos es diferente.
La aplicación de un D.C.A. requiere que se cumplan los siguientes supuestos:
S Normalidad 
S Independencia 
✓ Homocedasticidad
15
En la Tabla 2.1 se presentan las fuentes de variación, los grados de 
libertad, la suma de cuadrados, el cuadrado medio y el estadístico de la 
distribución F para un análisis de varianza de un diseño completamente al 
azar con igual número de repeticiones.
I I .l .2 Análisis de varianza
Tabla 2.1. Análisis de varianza para un diseño completamente al azar.
Fuente de 
variación
G rados
de
libertad
Suma de cuadrados C uadrado
m edio
Fc
Tratamientos t-1
SC Tra, = Z « . ( i 7,. - y - f 
i - l
C M t„,
CM e
Error N-t
s c , = i t ( y u - y , )
<=1 7=1
C M, = 5C ‘ 
N - t
Total N -l ' / \2 
SCTol
,=1 v=l
Regla de decisión:
Si Fc > FiTa hipótesis nula Ho se rechaza.
Para fines prácticos se recomiendan las fórmulas siguientes:
SCm = £ £ y , ; -
¡= ' 7 = 1
z l i
N
16
donde
SC°Wra( - J.T
¡-i «, N
se = scri - se,,error Tot trat
, 2 2
N = t , n ,
1=1
fi
X . 'V
í=\
FC =
y ■ ■ • t t yt>•=1 2=1
II. 1.3 E jem plo
E jem plo 2.1 Considere el problema de un ingeniero, que desea comparar los 
efectos relativos de cuatro tratamientos respecto a la vida activa de un tipo 
particular de baterías térmicas. Suponga que se dispone para la 
experimentación de 20 baterías relativamente homogéneas obteniéndose los 
datos que se presentan en la Tabla 2.2.
Tabla 2.2 Tiempo de activado de veinte baterías térmicas.
R ep etic ion es Tratam ientos
1 2 3 4 Total
1 73 • 74 68 71
. 2 73 74 69 71
3 73 74 69 72
4 75
/
74 69 72
5 75 75 70 73
T ota l 369 ' 371 345 359 1.444
BIBLIOTECA
UNIDAD ACADEMICA ECONOMIA 
ESTADISTICA E INFORMATICA ENE. 2003
17
Solución
Las hipótesis a probar son:
Ho = TI = T2 —X3 = t4 = 0 
H i = Al menos un ti * 0
Cálculo de la suma de cuadrados:
F = (144f ) - = 104256.8
c 20
SC„ = [(73)2 + (73 )2 +... + (73)2 j - Fc = 95.2 
5C,ra( = M 2 +(37l)2 + (345)2 + (359)2l ^ = g4 g
SCError =95.2-84.8 = 10.4 
Cálculo de los cuadrados medios:
CMrrat =— = 28.27
CMe = - ^ 1 = 43.29 
£ .65
sustituyendo los cálculos obtenidos en la Tabla 2.1, se obtiene la Tabla 2.3
18
Tabla 2.3. Análisis de varianza del tiempo de activado de veinte baterías 
térmicas
Fuente De Grados de Suma de Cuadrado Fc F a
Variación libertad cuadrados medio
Variedades 3 84.8 28.27 43.49 3.24
Error 16 10.4 0.65 .65
total 19 95.2
Regla de decisión
Puesto que Fc = 43.49 > F.o5(3.i6) = 3.24, la hipótesis nula Ho se rechaza y 
se concluye que existe diferencia en el tiempo de activado en, por lo menos, 
una batería térmica con una significancia del 5%.
□ Solución con el paquete NCSS
En la Figura 2.1 se aprecia la forma como se crea la base de datos
19
El análisis de varianza de un diseño completamente al azar se obtiene 
ubicándonos en Análisis y seleccionamos GLM ANOVA, tal como se muestra 
en la Figura 2.2
Figura 2.2
Posteriormente damos un click izquierdo y obtendremos la ventana que 
se presenta en la Figura 2.3
20
En F actors - 1 ubicándonos en Response Variable(s) se selecciona la 
variable respuesta y en Factor 1 Variable (A) la variable de los tratamientos.
En R eporte, como se muestra en la Figura 2.4, se puede seleccionar el 
tipo de prueba o estudio que se desea, en nuestro caso solo ANOVA
Figura 2.4
Damos Run y obtendremos los resultados que se presentan en la Tabla 
2.4.
Tabla 2.4. Análisis de varianza del tiempo de activado de veinte baterías 
térmicas
Analysis of Variance Table
Source- Sum of Mean Prob Power
Term DF Squares Square F-Ratio Level (Alpha=0.Q5)
A (C2) 3 84.8 28.26667 43.49 0.000000*
S 16 10.4 0.65
Total (Adjusted) 19 95.2
Total 20
* Term significant at alpha = 0.05
21
Regla de decisión
La probabilidad level de 0.000000 indica que la hipótesis nula Ho se 
rechaza y se concluye que existe diferencia en el tiempo de activado en, por 
lo menos, una batería térmica con una significancia del 5%.
II. 2 Diseños completamente al azar con desigual número de 
repeticiones
1
En este diseño las n¡ unidades experimentales se sujetan al enésimo 
tratamiento (i = 1... t), es decir que el número de unidades experimentales por 
tratamiento no es el mismo.
II.2.1 Descripción
El modelo lineal de un diseño completamente al azar esta dado por:
para
Yij = [i. + x i + Cij
i = 1, 2,..., t 
j = 1, 2,..., m
donde
yij = Observación correspondiente a la j-ésima unidad experimental que 
recibió el i-ésimo tratamiento.
p = Media general 
x i = Efecto del i-ésimo tratamiento. 
Cij = Error aleatorio.
22
La hipótesis de interés en este diseño se plantea como:
Hc>: T1= X2 =... = Xk
Hi: Al menos uno de los tratamientos es diferente.
En la aplicación de un D.C.A. es necesario que se cumplan los siguientes 
supuestos:
S Normalidad
S Independencia ‘
S Homocedasticidad
II.2.2 Análisis de varianza
En la Tabla 2.9 se muestra la fuente de variación, los grados de libertad, 
la suma de cuadrados, el cuadrado medio y el estadístico de la distribución F 
para un análisis de varianza de un diseño completamente al azar con desigual 
número de repeticiones.
Tabla 2.5 Análisis de varianza para un diseño completamente al azar.
Fuente de 
variación
G rados de 
libertad
Sum a de cuadrados C uadrado
m edio
Fe
Tratamientos t-1
SCTra, ~ y - f 
i-1 CA^ ' = 7 f f
C M Trat
C M e
Error N-t
s c e = H (y& - y i ),=i j=\
CMS= SCe 
e N - t
Total N-l
SCTo, = É Z k -J 7,")
(=1 j=1
23
Regla de decisión:
Si Fc > Ft por lo tanto la hipótesis nula Ho se rechaza
Para fines prácticos se recomiendan las fórmulas siguientes:
donde
S C „ = ± ± y , ' - y
s e
N
SCTm= t ^ - ^ r
m nt N
error ~ Tot ~ SC ¡rai
N = '¡r n¡
i = 1
>v = ¿ y¡j
f c = N
n¡
¡ = 1 >- = 2 Z y,
II.2.3 Ejemplo
Ejemplo 2.2 Se desea evaluar sí para una zona dada existen diferencias 
significativas en el crecimiento en altura de cinco variedades de plantas de 
Pinus Montezumae.Para tal efecto, se plantó material de cada una de las 
variedades en seis parcelas de igual superficie. Las mediciones se hicieron a 
los diez años de efectuada la plantación, observándose que para entonces se 
habían perdjdo dos parcelas de la variedad 1 y una parcela de la variedad 5. 
Los datos obtenidos se presentan en la Tabla 2.6.
24
Tabla 2.6 Crecimiento en altura de cinco variedades de plantas de Pinus
Montezumae.
Repeticiones Tratamientos
1 2 3 4 5 Total
1 8.4 12.3 4.3 8.2 5.1
2 7.6 15.2 5.6 10.1 7.2
3 8.2 10.6 4.7 10.4 6.7
4 10.8 11.7 4.9 12.6 6.5
5 12.5 6.1 9.8 6.3
6 15.6 5.2 11.7
Total 35 77.9 31.1 62.8 31.8 238.6
Solución
Las hipótesis a probar son:
Ho = Tl = T2 = 13 = X4 = X5 = 0 
H i = Al menos un ti * 0
Cálculo de la suma de cuadrados:
Fr =
(238.ó)2 _
27
= 2108.52
S C „ = [ M ! + (7.6)2 +... + (6.3)! ]- F„ = 272.3
SC,„, = (35>2 ' , (31.8)’ - F ’ =229.59
S C Error = 272.3 - 229.59 == 42.71
BIBLIOTECA 
UNIDAD ACADEMICA ECONOMIA| 
ESTADISTICA E INFORMATICA
25
Cálculo de los cuadrados medios:
CMTrat
229.59
4
57.39
CMe 42.71
22
1.94
Sustituyendo los cálculos antes realizados en la Tabla 2.5 obtenemos la 
Tabla 2.7
Tabla 2.7 Análisis de varianza para del crecimiento en altura de cinco 
variedades de plantas de Pinus Montezumae.______________________ ____________
Fuente De Grados de Suma de Cuadrado Fc F a
Variación libertad cuadrados medio
Variedades 4 229.59 57.39 29.58 2.82
Error 22 42.71 1.94
total 26 272.30
Regla de decisión:
Puesto que Fc = 29.58 > F 0.05(4,22) = 2.82 la hipótesis nula Ho se rechaza y 
concluimos que por lo menos existe una variedad de pino diferente a las demás, 
con una significancia del 5%.
□ Solución con el paquete NCSS
26
El análisis de varianza y la captura de la base de datos de un diseño 
completamente al azar con desigual número de repeticiones se obtiene de 
manera similar a la de un diseño completamente al azar con igual número de 
repeticiones.
Los resultados obtenidos para el Ejemplo 2.2 se presentan en la Tabla
2.8.
Tabla 2.8 Análisis de varianza para del crecimiento en altura de cinco 
variedades de plantas de Pinus Montezumae. _______________________________
Analysis of 
Variance Table
Source Sum of Mean Prob Power
Term DF Squares Square
F-
Ratio Level (Alpha=0.05)
A (VARIEDADES) 4 229.891 57.47274 29.81 0.000000* 1
S 22 42.412 1.927818
Total (Adjusted) 26 272.3029
Total 27
* Term significant 
at alpha = 0.05
Regla de decisión:
El p-level de 0.000000 indica que Ho se rechaza y concluimos que por lo 
menos existe una variedad de pino diferente a las demás, con una significancia 
del 5%.
27
III. Diseño en bloques completamente al azar (D.B.C.A.)
Es el diseño experimental de mayor uso ya que tiene grandes ventajas si 
él número de tratamiento no excede de 15, se pueden agrupar las unidades 
experimentales en estratos o bloques uniformes logrando que la variabilidad de 
las unidades experimentales sea mínima a un que la variabilidad entre los 
estratos y bloques sea alta, en este diseño el número de unidades 
experimentales dentro de un bloque tiene que ser igual al número de 
tratamientos por investigar.
El diseño en bloques completamente al azar se usa en los casos 
siguientes:
> Cuando el número de tratamientos es de 3 a 15.
> Cuando el número de tratamientos es de 3 a 5, en cuyo caso deben 
tenerse como mínimas seis repeticiones para contar con suficientes 
grados de libertad del error experimental.
> Cuando se conoce el gradiente de la variabilidad, en cuyo caso los 
bloques deben orientarse perpendicularmente al gradiente y las 
unidades experimentales deben tener su mayor dimensión en la misma 
dirección y sentido que dicho gradiente.
III. 1 Descripción
El modelo lineal de un diseño en bloques completamente al azar esta dado por
yij = p + x ¡ + 6j +eij
28
para
i = 1, (tratamientos) 
j = 1, 2,..., b(bloques)
donde
yij = Es la observación o respuesta del i-ésimo tratamiento asociada al j-ésimo 
bloque.
p = Media general.
x i = Es el efecto del i-ésimo tratamiento.
Bj = Efecto del j-ésimo bloque, 
eij = Error aleatorio.
La hipótesis de interés en este diseño se plantea como:
H o • Ti= T2 =...= X x
H l: Al menos uno de los tratamientos es diferente.
III.2 Análisis de varianza
En la Tabla 3.1 apreciamos el análisis de varianza de un diseño de 
bloques completamente al azar, se presentan las fuentes de variación, los 
grados de libertad, la suma de cuadrados, el cuadrado medio y el estadístico de 
la distribución F con sus respectiva fórmulas.
29
Tabla 3.1. Análisis de uarianza para un diseño por bloques completamente al 
azar
Fuente de 
variación
Grados
de
libertad
Suma de cuadrados Cuadrado
medio
Fc
Tratamientos t-1
s ç „ , = b t l {ÿr-ÿ -Y
i-4
C A Í „ ,= ^ '
CMTral
CMc
Bloques b-1
5 Q ,^ = í ¿ ( p . j - r - ) 2
i-l
CMmoq
CMe
Error (t-l)(b-l)
s c e = Y L f a - ÿ r - ÿ - j - ÿ - ) 
/=! 7=1
CM -
' ( < - # - ! )
Total tb-1
SCTot
«=1 y=l
Regla de decisión:
Si Fc < Ft por lo tanto Ho no se rechaza
Para fines prácticos se recomiendan las fórmulas siguientes:
t b
s c lol = 'Z T .y , j 2 - F c
i=1 7=1
SCr r « = t r r - F c
/-i b
b y .
S C „„ = t , ^ — Fc
7-1
5Cc„ r =SCr„,-S C „,,-S C e%
30
donde
* = I » .
y
I b
II J-
<=1 J=I
V
III.3 Ejemplo
Ejemplo 3.1 Una química desea probar el efecto que tienen cuatro agentes 
químicos sobre la resistencia de un tipo particular de tela. Como puede haber 
variabilidad entre un rollo de tela y otro, decide utilizar un diseño aleatorizado 
por bloques, considerándolos rollos de telas como bloques. Ella selecciona 5 
rollos y les aplica los cuatro agentes químicos en orden aleatorio. A 
continuación, se proporcionan los resultados de la resistencia a la tensión.
Tabla 3.2 Efecto que tienen cuatro agentes químicos sobre lá resistencia en 
cinco rollos de un tipo particular de tela._________________________ _______
Tratam ientos B loques Total M edia
A gentes qu ím icos Ì IÎ III IV V (T I) ( ñ
1 ( A ) 73 68 74 71 67 353 70.6
2 ( B ) 73 67 75 72 70 357 71.4
3 ( C ) 75 68 78 73 68 362 72.4
4 ( D ) 73 71 75 75 69 363 72.6
Total bloque (Tb) 294 274 302 291 274 1435 71.8
Media del bloque ( T ) 73.5 68.5 75.5 72.75 68.5
9
31
Solución
Las Hipótesis a probar son:
Ho = TI = t2 —X3 = X4 = 0 
Hi = Al menos un n * 0
Cálculo de la suma de cuadrados:
= (1435) =1Q2961 3 
c 20
SC,ot = [(73)2 + (73)2 + ... + (69)2 J- FC = 103153 -1 02961.3 = 191.7
SC^ =
(353 y + (357 y +...+(363 )2 
5
-F C = 102742 - 102961 . = 129
SCüloq ~
(294)2 + (274)2 +... + (2743Ó3)2 
4 -F C = 103118.3 -102961.3 = 157
SCError = 191.7-12.9-157 = 21.8
Cálculo de los cuadrados medios:
12 9CMTral = ^ = 4.3 157CMBhg= -^ - = 393
CM = — = 1.82 
e 12
Fc
4 3
F0(l) = — = 2.36 
0(,) 1.82 F o ( b ) -
39.3
1.82
21.6
Sustituyendo los cálculos obtenidos en la Tabla 3.1, se obtiene la Tabla 
3.3.
Tabla 3.3. A n álisis de varianza p a ra un d iseñ o de bloques com pletam ente a l a za r d e l efecto 
que tienen cu a tro agen tes quím icos so b re la resisten cia en cinco ro llo s d e un tipo 
p a rticu la r de tela._____________ ____________________________ ______________________ -
Fuente De G rados de Suma de C uadrado Fc F a
V ariación libertad cuadrados m edio
Tratamientos 3 12.9 4.3 2.36 3.49
bloques 4 157 39.3 21.6
Error 12 21.8 1.82
total 19 191.7
Regla de decisión:
Ya que Fc = 21.6 > Fo.o5(3.i2) = 3.49, por lo tanto Ho se rechaza y 
concluimos que al menos uno de los tratamientos químicos son diferentes con 
un a = 0.05
□ Solución con el paquete NCSS
En la Figura 3.1 se aprecia la forma como se crea la base de datos.
BIBLIOTECA
UNIDAD ACADEMICA ECONOMIA - ■ 33
ESTADISTICA E INFORMATICA 2 4 ENE. 2003
Figura 3.1
Como podemos observar en la Figura 3.5, para obtener nuestro análisis 
de bloques, nos vamos a la opción Analysis y seleccionamos MANOVA
34
Al dar Run en MANOVA obtenemos la ventana que se presenta en la 
Figura 3.3.Figura 3.3
En esta ventana, seleccionaremos nuestras variables, Respofase 
Variables nos indica seleccionar nuestra variable respuesta, en Factor Variable 
(A) nos pide nuestra variable factor 1, es decir, de los tratamientos y en Factor 
Variable (B) nuestra variable del segundo factor, es decir, de los bloques.
Donde aparece la opción Type hay que seleccionar Random, ya que al no 
seleccionarlo no aparecerán los valores de F-Ratio y Prob. Level
En la opción M odel, Write model in no se tomara en cuenta al igual que 
Custom model, solo en Which model seleccionamos Full model como se aprecia 
en la Figura 3.4
35
Figura 3.4
Posteriormente la opción R eports nos promociona una variedad de 
pruebas que se deseen realizar ver Figura 3.5.
Figura 3.5
36
Üna vez que se han seguido las indicaciones anteriores, damos Run y 
obtendremos los resultados de la Tabla 3.4
Otra manera de obtener un diseño de bloques completamente al azar es 
ubicándonos en Analysis e irnos a ANOVA y seleccionar Analysis o f Variance 
apareciendo la ventana que se presenta en la Figura 3.6.
Figura 3.6
Si seleccionamos en Type, Random en los tratamientos, y Randorn en los 
bloques del efecto que tienen los cuatro agentes químicos sobre la resistencia 
en cinco rollos de un tipo particular de tela, se obtienen los resultados que se 
presentan en la Tabla 3.4.
37
Tabla 3.4 Análisis de Varianza del efecto que tienen los cuatro agentes químicos sobre 
la resistencia en cinco rollos de un tipo particular de tela. _______
Analysis of Variance Table 
for RESISTENCIA
\
Source Sum of Mean Prob Power
Term DF Squares Square F-Ratio Level (Alpha=0.05)
A (A G E N T E .Q J 3 12.95 4.316667 2 .3 8 ^ 0.371724
B (ROLLOS)
J
4 157 39.25 21.61 o.oooogi*) 0.999982
21.8 ■ - 1.816667
S C^o~ 0 -
Total (Adjusted^ 19 191.75
Total 20
* Term significant at alpha = 
0.05
Regla de decisión: (
El p-level dejQ.000021* nos indica que Ho se rechaza y concluimos que ál 
menos uno de los^íratamientos químicos son diferentes con un a = 0.05
38
IV. DISEÑO CUADRADO LATINO (D.C.L.)
Este diseño tiene grandes aplicasiones en la industria y en la 
agricultura, es muy eficiente cuando el número de tratamientos está entre 4 y 
10. Nos permite delimitar con segurirdad los efectos relativos de varios 
tratamientos, esto cuando se impone a las unidades experimentales una 
restricción de tipo doble bloqueo. Desde este punto de vista el diseño cuadrado 
latino es una extensión lógica del diseño en bloques al azar.
IV. 1 Descripción
El modelo lineal de un diseño en cuadrado latino esta dado por
yijk = p + ai + 6j + x ¡k +eijk
para
i = j = k = l , 2,...,t
donde
ŷ k = La respuesta al i-ésimo renglón, de la j-ésima columna del k-ésimo 
tratamiento, 
p = Media general 
cti = Efecto de i-ésimo renglón 
Bj =. Efecto de la j-ésima columna 
x i = Es el efecto del k-ésimo tratamiento, 
eijk = Error aleatorio.
39
La hipótesis de interés en este diseño se plantea como:
H0: x i= X2 = ...= Tik= 0 
H l: x k ^ 0
IV.2 Análisis de varianza
%
En la Tabla 4.1 se presenta el análisis de varianza para un diseño 
cuadrado latino y nos muestra las fuentes de variación, grados de libertad, la 
suma de cuadrados, el cuadrado medio y el estadístico de la distribución F
Tabla 4.1 Análisis de varianza para un diseño cuadrado latino
Fuente de 
variación
Grados
de
libertad
Suma de cuadrados Cuadrado
medio
Fc
Hileras t-1
t h - y - ' f
j
CMTrat
c m £
Columnas t-1
£ ¡ » - y J
i
CMcot = SCco!
C0‘ t - 1
Tratamiento t-1
i
CM _ SCtra¡ 
trat t - 1
Error (t-l)(t-2)
Z Z Z J V + 2*")i j k
CM -
K (t~ 1X/-2)
Total t2-l
i É É G ' i » - y - )
i j k
40
Regla de decisión:
Si Fc > Ft por lo tanto Ho se rechaza
Para fines prácticos se recomiendan las fórmulas siguientes
Suma de cuadrados:
■ s c „ = ¿ t í y » ~ Fc
i j k
t
S C e rro r ~ S C tQt S C Mera -scC0l-sctrat
donde
* = 2 > ,
1=1
y i
í = i j=i
Cuadrados medios:
CM ulera~
SÇ iileras 
t - 1 c " » ' = 7 r f
CM = -~ 'raI- 
tra' t - 1
CMc
41
CM Trat
Fc =- CMr nos permite probar la hipótesis de igualdad de efectos de
tratamientos.
IV.3 E jem plo.
E jem plo 4.1 Un experimentador quiere estudiar el efecto de cinco fórmulas 
diferentes de la mezcla de dinamita sobre la fuerza explosiva observada. Cada 
fórmula se prepara usando un lote de materia prima, lo suficientemente 
grande para que solo de hagan cinco mezclas. Más a un, las mezclas las 
preparan varios operadores, pudiendo existir una diferencia sustancial en 
habilidad y experiencia entre ellos. El diseño apropiado para este problema 
consiste en probar cada fórmula exactamente una vez, utilizando cada lote de 
materia prima, y en que cada fórmula sea preparada exactamente una vez por 
cada uno de cinco operadores.
Tabla 4.2. Efecto cTe cinco fórmulas diferentes de la mezcla de dinamita sobre la
fuerza explosiva observada
/ Lotes de 
m ateria prim a 
(hileras)
O peradores (colum nas)
1 2 3 4 5
Total del 
tratam iento 
(Tx)
\ ' A = 24 B = 20 C = 19 D = 24 E = 24 111
2 B = 17 C = 24 Ö i¡ 00 o E = 27 A = 36 134
' 3'
■'A /'
C = 18
0000IIQ E = 26 A = 27 B = 21 130
/ 4 D = 26 E = 31 A = 26 B = 23 C = 31 128
' .5' . E = 22 ---
--
1
> ii 00 o B = 20 C = 29 D = 31 132
Total de la 
hilera (Th)
107 143 121 130 134 635
42
Solución
Las Hipótesis a probar son:
Ho = XI = T2 =T3 = U = X5 = 0 
Hi = Xk * 0 para al menos un k
Cálculo de la suma de cuadrados:
SC,„ = + (l 7 )2 + ... + (31)2 ] - FC =16805 -1 6 1 2 9 = 676
s c u =
5Cco, =
(lll )2 + (134 )2 + ... + (132 )2 
5
(107)2 +(143)2 +... + (l34)2
- FC = 16197 - 16129 = 68
-F C = 16279-16129 = 150
Tabla 4.3. Totales de los tratamientos.
Tratamientos Total de
tratamientos
A y.i. = 143
B y.2 . =101,
C y.3. -112
D y .4=149
E y .5=130
SC., (l43)2 + (l 07 )2 +... + (l30)2 
5
-F C = 16459 -16129 = 330
SCerror = 6 7 6 -6 8 -1 5 0 - 330 = 128
43
Cálculo de los cuadrados medios:
, . . . - 1 5 0 - V 7 <CM ¡ - -37.5
4
CM = — = 82.5
C M e = — = 10.7 
e 12
82.5 
Fe: 10.7
= 7.7
Sustituyendo los cálculos obtenidos en la Tabla 4.1 obtenemos los 
resultados de la Tabla 4.4
Tabla 4.4. Análisis de varianza del efecto de cinco fórmulas diferentes en cinco 
mezclas de dinamita sobre la fuerza explosiva observada.______________________
TABLA ANVA PARA UN D.C.L.
Fuente De Grados de Suma de Cuadrado Fe Fa
Variación libertad cuadrados medio
Lotes(hileras) 4 68 17 1.59 3.26
Operadores(coL) 4 150 37.5 3.5
Tratamientos 4 330 82.5 7.7
Error 12 128 10.7
total 24 676
Regla de decisión:
Como Fe = 7.7 > F 0.05 (4.12) = 3.26, la hipótesis nula Ho se rechaza y 
podemos concluir que existe diferencia significativa entre la fuerza explosiva 
media en por lo menos una de las cinco fórmulas diferentes.
44
En la Figura 4.1 podemos observar como crear la base de datospara un 
diseño cuadrado latino
□ Solución con el paquete NCSS
Una ves creada la base de datos, damos un click a Analysis y seleccionamos 
GLM ANOVA y veremos la ventana que se presenta en la Figura 4.2.
45
En la Figura 4.2 elegiremos nuestras variables, en Response Variable(s) 
seleccionamos la variable respuesta, en Factor 1 Variable (A) elegimos a los 
tratamientos, Factor 2 Variable(B) nos pide la variable columna, en nuestro 
caso OPERADORES y en Factor 3 Variable(C) la variable hileras en nuestro 
caso LOTES.
Si damos click en M odel, en Which Model Terms seleccionaremos la 
opción Custom Model y en Custom Model, abajo, daremos el modelo que se 
aprecia en la figura 4.3
Figura 4.3
damos Run y obtendremos los resultados que se presentan en la Tabla 4.5
Tabla 4.5 Análisis de varianza del efecto de cinco fórmulas diferentes en cinco 
mezclas de dinamita sobre la fuerza explosiva observada ________ ___________
R esponse F U E R Z A
A n alysis o f V a ria n ce T able
Source S u m o f M ean Prob P ow er
T erm D F S q u a res Square F -R atio L evel (A lp h a=0.05)
A (FORMULA) 4 330 82.5 7.73 0.002537*0.871395
B (OPERADORES) 4 150 37.5 3.52 0.040373*1 0.509843
C (LOTES) 4 68 17 1.59 0.239059 0.244765
S 12 1281 10.66667
Total (Adjusted) 24 676 -
Total 25
* Term significant at alpha = 0.05
Regla de decisión:
Se concluye que con p-level = 0.002537* Ho se rechaza y podemos 
concluir que existe diferencia significativa entre la fuerza explosiva media en 
por lo menos una de las cinco fórmulas diferentes.
47
V. COMPARACIONES MÚLTIPLES. (ANÁLISIS DE MEDIAS 
DE TRATAMIENTOS)
Cuando la prueba del ANOVA resulta significativa, es decir, que Ho: Los 
efectos de los tratamientos son iguales, no se acepta, quiere decir que se tienen 
medias iguales y diferentes, ya que se puede dar el caso que en una serie de 
tratamientos la prueba nos indique diferencias en el conjunto, pero igualdad en 
un par en particular.
Cuando Ho se rechaza y se utilizan varios tratamientos, es necesario realizar una 
comparación de las medias de los tratamientos para poder elegir el mejor de 
ellos.
Para identificar que tratamientos deben considerarse iguales o diferentes, 
se realizan pruebas de significancia de diferencias entre las medias de los 
tratamientos, para lo cual estudiaremos los métodos siguientes.
> Diferencia mínima significativa D.M.S.
> Prueba de Tukey
> Prueba de Duncan
V .l Diferencia mínima significativa (D.M.S.)
V .l .l Descripción para un D.C.A con Igual número de repeticiones por 
tratamiento
Esta prueba es una alternativa de la prueba t de estudent, se aplica cuando 
las medias son independientes y las comparaciones son planeadas antes de ser 
examinados los datos, es adecuada para hacer comparaciones de tratamientos con 
un tratamiento estándar.
El número de comparaciones se obtiene aplicando la expresión
aja - 1)
2
donde a es él número de tratamientos.
Suponga que interesa probar la siguiente hipótesis de medias de 
tratamientos por pareja:
Ho: = |ij 
Ha: pi ^ pj
para toda i í j ; i,j = 1,2,3,...t
La fórmula para calcular la D.M.S. esta dada por:
donde
D .M .S. 2 5 2 
n
* t a g.l. error
t = Es un valor de tablas. Se obtiene con el nivel de significancia y el número de 
grados de libertad del error.
S2 = Varianza o cuadrado medio de error experimental 
n = Número de repeticiones
49
La regla de decisión para este tipo de pruebas es la siguiente:
1. Sí IY¡ ~YJ/> DMS, las medias de los tratamientos son estadísticamente
diferentes
2. Sí /Y¡-Yj / < DMS, las medias son estadísticamente iguales.
Si tenemos igual número de repeticiones por tratamiento aplicaremos la 
siguiente fórmula:
t g.l. error a / 2 * S d
donde
Sd = ^ S 2(l/n,. + 1 / « , ) = ^ S 2(ni + n J/nixnj )
Ejemplo 5.1 Realizar la comparación de medias para los datos del Ejemplo 2.1. 
Solúción:
Del Ejemplo 2.1 se tienen los datos siguiente:
n — 5 G.L.error = 16 S 2error = 0.65 a = 4 t.05(i6) =2.120 (Tabla A2)
por lo tanto se obtiene que
D.M .S.~ j * t a g.l. error = = 0 .5099
50
D .M .S. = 0.599 * 2.120 = 1.081
El número de comparaciones que se tienen que realizar para los datos del 
ejemplo 5.1 resulta ser igual a
A continuación se presentan los resultados de las seis comparaciones para 
el presente ejemplo:
x 4 - x3 = 71.8 - 6 9 = / 2.8 / > 1.081, entonces son estadísticamente diferentes 
x 4 - x 2 = 71.8 -74 .2 = /-2.4 / > 1.081, entonces son estadísticamente diferentes 
x 4 - x, = 71.8 - 73.8 = 1-21 > 1.08, entonces son estadísticamente diferentes 
x 3 - x 2 = 69 - 74.2 = /-5.2 / > 1.081, entonces son estadísticamente diferentes 
x 3 - = 69 - 73.8 = / -4.8 / > 1.081, entonces son estadísticamente diferentes
x 2 - x¡ = 74.2 - 73.8 = /.4 / < 1.081, entonces son estadísticamente iguales
Conclusión:
Se concluye que las medias de los tratamientos 1 y 2 con respecto a la vida 
activa de un tipo particular de batería térmicas son estadísticamente iguales 
resultando ser diferentes en las comparaciones restantes.
V.2 Prueba de Tukey
V.2.1 Descripción para un D.C.A. con igual número de repeticiones por 
tratamiento
51
Para realizar todas las posibles comparaciones con a tratamientos se aplica 
la siguiente fórmula:
D = q S j = w ; w = q a ( P, m )S¿
donde
S2 = Varianza del error experimental, 
n = Número de repeticiones.
q = Valor de tablas que se busca con el número de tratamientos a= P y los 
grados de libertad del error experimental = n2 para un Q igual al nivel de 
significancia.
El número de comparaciones se obtiene aplicando la expresión
a{a - 1)
2 '
donde con a es el número de tratamientos
La regla de decisión para este tipo de prueba es la siguiente:
1. Sí /Yl■ - Yj / > q.osSj, entonces la diferencia entre las medias es significativa
2. Sí /Y¡-Yj/> q.oiSj, entonces la diferencia entre las medias es altamente 
significativa
3. Sí /Y¡-Yj /< q.oi S j , entonces la diferencia entre las medias se consideran 
iguales y es estadísticamente no significativa
E jem plo 5.2 Realizar la comparación de medias para los datos del Ejemplo 2.1
~~~ bíbC1o t o 5a ~~ ~
UNIDAD ACADEMICA ECONOMIA 
ESTADISTICA E INFORMATICA
52
Solución
Del Ejemplo 2.1 se tienen los datos siguientes: 
P = a = 4 n2 = l 6 n = 5 S 2error = 0 .6 5'error a = 0.05
X,= 73.8 A 2 =74.2 X 3=69 X 4=71.8 qo.o5(4, i6) = 4.05 ( Tabla A3)
D = q Sjp= 4.05 * .361 = 1.46
El número de comparaciones que se tienen que realizar para los datos, del 
ejemplo 5.1 resulta ser igual a:
A continuación se presentan los resultados de las seis comparaciones para 
el preste ejemplo:
x 4 — x 3 = 71.8 - 69 = / 2.8 / >1.46, entonces son estadísticamente diferentes 
x 4 - x 2 = 71.8 -74.2 = /-2.4 / > 1.46, entonces son estadísticamente diferentes 
x 4 — x x = 71.8 - 73.8 = 1-21 > 1.46, entonces son estadísticamente diferentes 
J3 - J 2 = 69 - 74.2 = /-5.2 / > 1.46, entonces son estadísticamente diferentes 
* 3 — x { = 69 - 73.8 = / -4.8 / > 1.46, entonces son estadísticamente diferentes
por tanto
2 2
53
x 2 - X\ = 74.2 - 73.8 = /.4 / < 1.46, entonces son estadísticamente iguales
tratamientos 1 y 2 respecto a la vida activa de un tipo particular de baterías 
térmicas y se detecta diferencia significativa en las comparaciones restantes.
V.3 Prueba de Duncan.
V.3.1 Descripción para un D.C.A. con igual número de repeticiones por 
tratamiento.
puede aplicarse aún cuando la prueba F no sea significativa. En su apliación se 
usa un valor t tabulado por Duncan para a = 0.05 y a = 0.01 y n2 grados de 
libertad del error experimental.
El procedimiento para este tipo de prueba es el siguiente:
1. Ordenar las medias de los tratamientos de manera ascendentes.
2. Calcular Sj por medio de
En conclusión no hay diferencia significativa entre las medias de los
La prueba de Duncan permite efectuar
donde
S2 = Cuadrado medio del error, 
n = Es el número repeticiones
54
= Es el error estándar de las medias
ta = t múltiple obtenida de las tablas de Duncan para a = 0.05 y a = 0.01, se 
obtiene con los grados de libertad del error = n2 y él número de tratamientos.
3. Se calcula el número de medias en la serie que separan a las dos medias que 
se están comparando.
4. Calcular t múltiple (tablas) a = 0.05 y a = 0.01
5. Calcular L.S,. aplicando la fórmula siguiente
L.S. = t a ^ -
6. Regla de decisión para este tipo de prueba es el siguiente:
1. Se consideran diferentes o significativas dos medias cuando su diferencia es 
mayor que el L.S. calculado.
2. Se consideran estadísticamente iguales o no significativas en caso contrario 
(N.S.)
Para el caso de desigual número de repeticiones por tratamientos se realiza 
lo siguientes: 1 2
1. Se calculan los valores de t múltiple (Tabla A4)
2. Se multiplican por S en lugar de para el tratamiento i con el j y 
finalmente por -J\/2{\/n¡ +1 /n j ) es decir:
L.S. = t a * S * V 1/2 (l/w i y )
E jem plo 5.3 Realizar la comparación de medias para los datos del Ejemplo 2.1.
55
Del Ejemplo 2.1 se tienen los datos siguientes:
P = a = 4 n2 =g.l.= 16 n = 5 S2error = 0.65 a = 0.05
Siguiendo el procedimientodescrito se tiene que:
1. Ordenamiento de medias de los tratamientos de manera ascendente
Tratamientos 3 4 1 2
X 69.0 71.8 73.8 74.2
2. Se calcula S^ , resultando
3. Cálculo del número de medias en comparación
« M ) 4(4 -1 )
2 2
Una vez que se tiene el número de comparaciones a realizar se procede a 
obtener el número de medias que se para a cada comparación. Para saber cuantas 
medias separan a la comparación 2 y 3, contamos, en la Tabla de las medias 
ordenas, el tratamiento 2, considerando este, hasta el tratamiento 3 el cual 
también se considera, dando como resultado 4 medias que las separan, de esta
56
forma obtenemos el número de medias que se paran a la siguiente comparación 
así sucesivamente obteniéndose los resultados que se presentan en la tabla 
siguiente:
C om p aración de 
m edias
N úm ero de m edias 
que las separan
2 y 3 4
2 y 4 3
2 y 1 2
1 y 3 3
l y 4 2
4 y 3 2
4. Cálculo de los valores de t múltiple (Tabla A4)
t.o5(4,16) ( Tabla A4 ) = 3.23 
t.05(3,16) (Tabla A4 ) = 3.15 
t.05(2,16) (Tabla A4 ) = 3.00
5. Calculo de L.S.
L.S. = t a S¿= 3.23 * .361 = 1.16 
L.S. = t a S¿= 3.15 * .361= 1.13 
L.S. = t a = 3.0 * .361= 1.08
6. Para decidir en las comparaciones correspondientes se realizan los cálculos 
siguientes
BIBLIOTECA
UNIDAD ACADEMICA ECONOMIA 
ESTADISTICA E INFORMATICA 2 4 ENE. 2003
57
N úm ero de 
m edias
4 3 2
t m últip le 
(tablas) a = 0.05
3.23 3.15 3
L.S. entre dos 
m edias
1.16 1.13 1.08
x 2 - x3 = 74.2 - 6 9 = I 5.2 / > 1.16, entonces son estadísticamente diferentes 
x 2 - x 4 = 74.2 - 71.8 = / 2.4 / > 1.13, entonces son estadísticamente diferentes 
x 2 - x x = 74.2 -73.8 = / 0.4 / < 1.08, entonces son estadísticamente iguales 
x { - x3 = 73.8 - 69 = / 4.8 / > 1.13, entonces son estadísticamente diferentes 
J1-Jé4 = 7 3 . 8 - 7 1 . 8 = / 2 / >1.08, entonces son estadísticamente diferentes 
x4 - x3 = 71.8 - 69 = / 2.8 / > 1.08, entonces son estadísticamente diferentes
En conclusión podemos decir que no hay diferencia significativa 
entre las medias de los tratamientos 1 y 2 respecto a la vida activa de un tipo 
particular de baterías térmicas y son estadísticamente diferentes las demás 
comp ar aciones.
□ S olución con el p a q u ete NCSS
En la Figura 5.1, se observa la base de datos del Ejemplo 2.1.
58
tS-".».-.nii>-.~«W
Figura 5.1
Una vez capturada la base de datos nos dirigimos a Analysis, después a 
ANOVA y seleccionamos la opción Analysis of Variance como se puede ver en la 
Figura 5.2
Figura 5.2
Luego damos un click en esta opción y nos despliega la Figura 5.3
59
En Response Variable(s) se selecciona la variable respuesta de nuestro 
problema y en Factor 1 Variable (A) seleccionamos la variable de los tratamientos. 
Al dirigirnos a R eports podemos seleccionar el tipo de prueba que se desee como 
se aprecia en la ventana de la Figura 5.4
Figura 5.4
60
En nuestro caso seleccionamos las opciones Fisher’s L.S.D. (Diferencia 
Mínima significativa), Tukey y Duncan’s y damos al opción Run, .obteniéndose los 
resultados que se presentan en las Tablas 5.1, 5.2, 5.3 y 5.4.
Tabla 5.1 Análisis de varianza del tiempo de activado de 20 baterías térmicas
Response TIEM P
A n a ly sis o f 
V a ria n ce T able
Sou rce Su m o f M ea n P rob P ow er
T erm D F Squares S q u are F -R a tio L evel (A lph a=0.05)
A (TRATA) 3 84.8 28.26667 43.49 0.000000* 1
S 16 10.4 0.65
Total (Adjusted) 19 95.2
Total 20
* Term significant at 
alpha = 0.05
Tabla 5.2
F ish er's LSD M u ltip le-C o m p a riso n T e st
Alpha = 0.050 Error Term = S DF = 16 M SE = 0.65 Critical Value = 2.1199C
D ifferen t
G roup C ou nt M ea n F rom G roup s
3 5 69 4, 1 .2
4 5 71.8 3. 1. 2
1 5 73.8 3 ,4
2 5 74.2 3 ,4
Tabla 5.3
T u k ey -K ra m er M u ltip le -C o m p a riso n T est
Alpha = 0.050 Error Term = S DF = 1 6 M SE = 0.65 Critical Value = 4.0461
D ifferen t
G roup C ou n t M ean F ro m G roups
3 5 69 4, 1 ,2
4 5 71.8 3, 1, 2
1 5 . 73.8 3 ,4
2 5 74.2 3 ,4
61
Tabla 5.4
D u n can 's M u ltip le -C o m p a riso n T est
Alpha = 0.050 Error Term = S DF = 16 M SE = 0.65
D ifferen t
G ro u p C ou nt M ean F ro m G ro u p s
3 5 69 4, 1 ,2
4 5 71.8 3, 1, 2
1 5 73.8 3 ,4
2 5 74.2 3 ,4
Como se puede observar todas las pruebas nos arrojan el mismo resultado y 
podemos decir en forma general que el tratamiento 3 es diferente a los 
tratamientos 4, 1 y 2, el tratamiento 4 es diferente a los tratamientos 3, 1 y 2, él 
tratamiento 1 es diferente a dos tratamientos 3 y 4 y por último el tratamiento 2 
es diferente de los tratamientos 3 y 4. En conclusión los tratamientos 1 y 2 son 
los mejores ya que no presentan diferencias entre ellos y podemos observar que 
las medias de estos dos son las más altas. El mejor método para la comparación
de medias es aquel que declara menos diferencias entre los tratamientos.
' ■' '
•fe
Cabe aclarar que en él capitulo 2 éste análisis se realizó en la opción GLM 
ANOVA, como podemos observar cualquiera de las dos opciones Analysis of 
Variance y GLM ANOVA nos permite realizar este tipo de análisis obteniendo el 
mismo resultado.
62
REFERENCIAS
Montgomery C. Douglas. (1991). D iseño y Análisis de E xperim entos. Grupo 
Editorial Iberoamérica S.A. de C.V.
Padrón Corral Emilio (1996). D iseños E xperim entales con ap lica ción en 
la agricu ltu ra y la ganadería. Trillas, México
G. Cochran. W. (1990). E xperim ental Desings. Trillas, México
Ostle Vernard (1977). Estadística Aplicada. Editorial Limusa, S.A. México D.F.
Reyes Castañeda Pedro. (1980). D iseños de E xperim entos ap licados. 
Editorial Trillas.
Dr. L. Hintze Jerry (1997)., NCSS 97, ststistical system for W indow s 
U ser’s G uide - I. Kaysville. Utah84037
Dr. L. Hintze Jerry (1997)., NCSS 97, ststistical system fo r W indow s 
U ser’ s G uide - II. Kaysville. Utah84037
L de la Loma J. (1982) Experimentación Agrícola. Unión tipográfica Editorial 
Hispano - Americana, S. A. de C.V.
P. Box George E, HunterWilliam G.y Hunter J. Stuart. (1993). Estadística para 
Investigadores. Editorial Reverté, S.A.
Arnau Gras Jaime. (1997). D iseños E xperim entales e esquem as. 
Universidad de Barcelona. Le Partument de Metodología de les Ciencies del 
Comportament
Sánchez Zamudio, J. Francisco y Alvarado Segura Arturo A. (1996) Análisis 
de d iseñ os E xperim entales co igual núm ero de subm uestras
Universidad Autónoma Capingo División de Ciencias Forestales.
Tabla A - 1. Valores para la Distribución F
G.L. del 
denomi­
nador
Probabi­
lidad
G.L. del numerador
1 2 3 4 5 6
1 05 161.4 199.5 215 .7 224 .6 230.2 234.0
01 4 052 4 999.5 5 403 5 625 5 764 5 859
2 05 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33
01 98.50 99.00 99 .17 99 .25 99.30 99.33
3 05 10.13 9.55 9 .28 9 .12 9.01 8.94
01 34.12 30.82 29 .46 28.71 28.24 27.91
4 05 7.71 6.94 6 .59 6 .39 6.26 6 .16
01 21.20 18.00 16.69 15.98 15.52 15.21
5 05 6.61 5.79 5.41 5 .19 5.05 4.95
01 16.26 13.27 12.06 11.39 10.97 10.67
6 05 5.99 5 .14 4 .7 6 4 .53 4 .39 4 .28
01 13.75 10.92 9 .78 9 .15 8.75 8.47
7 05 5.59 4 .74 4 .35 4 .12 3.97 3.87
01 12.25 9.55 8 .45 7 .85 7 .46 7 .19
8 05 5.32 4 .46 4 .07 3 .84 3.69 3.58
01 11.26 8.65 7 .59 7.01 6.63 6 .37
9 05 5.12 4 .26 3 .86 3.63 3.48 3 .37
01 10.56 8.02 6 .99 6 .42 6 .06 5 .80
10 05 4.96 4 .10 3.71 3 .48 3.33 3.22
01 10.04 7 .56 6 .55 5 .99 5.64 5 .39
11 05 4 .84 3.98 3 .59 3 .36 3.20 3.09
01 9.65 7.21 6 .22 5 .67 5.32 5 .07
12 05 4.75 3 .89 3 .49 3 .26 3.11 3 .00
01 9.33 6.93 5 .95 5.41 5.06 4 .82
13 05 4.67 3.81 3.41 3 .18 3.03 2 .92
01 9.07 6 .70 5 .74 5.21 4 .86 4 .62
14 05 4.60 3.74 3 .34 3.11 2.96 2.85
01 8.86 6.51 5 .56 5 .04 4 .69 4 .46
63
Tabla A - 1. (Continuación)
G.L. del numerador
7 8 9 10 12 15 20
G.L. del 
denomi­
nador
236.8 238.9 240 .5 241 .9 243 .9 245.9 248 .0 1
5 928 5 982 6 022 6 056 6 106 16 157 6 209
19.35 19.37 19.38 19.40 19.41 19.43 19.45 2
99 .36 99 .37 99 .39 99 .40 99 .42 99.43 99 .45
8 .89 8 .85 8.81 8 .79 8 .74 8 .70 8 .66 3
27.6727 .49 27 .35 27.23 27.05 26.87 26 .69
6 .09 6 .04 6 .00 5 .96 5.91 5 .86 5 .8 0 4
14.98 14.80 14.66 14.55 14.37 14.20 14.02
4 .88 4 .82 4 .77 4 .74 4.681 4 .62 4 .56 5
10.46 10.29 10.16 10.05 9 .89 9 .72 9 .55
4.21 4 .15 4 .1 0 4 .0 6 4 .00 3 .94 3 .87 6
8 .26 8 .10 7 .98 7 .87 7 .72 7 .56 7 .4 0
3 .79 3.73 3 .68 3 .64 3 .57 3.51 3 .44 7
6 .99 6 .84 6 .72 6 .62 6 .47 6.31 6 .1 6
3 .50 3 .44 3 .39 3 .35 3.28 3 .22 3 .15 8
6 .18 6.03 5.91 5.81 5 .67 5 .52 5 .36
3 .29 3.23 3 .18 3 .14 3.07 3.01 2 .94 9
5.61 5 .47 5 .35 5 .2 6 5.11 4 .96 4.81
3 .14 3 .07 3 .02 2 .98 2.91 2.85 2 .77 10
5 .20 5 .06 4 .9 4 4 .85 4.71 4 .5 6 4.41
3.01 2 .95 2 .90 2 .85 2 .79 2 .72 2 .65 11
4 .89 4 .74 4 .63 4 .54 4 .40 4 .25 4 .1 0
2.91 2 .85 2 .80 2 .75 2 .69 2 .62 2 .5 4 12
4 .64 4 .5 0 4 .3 9 4 .3 0 4 .16 4.01 3 .86
2.83 2 .77 2.71 2 .67 2 .60 2 .53 2 .4 6 13
4 .44 4 .30 4 .1 9 4 .1 0 3 .96 3 .82 3 .66
2 .76 2.70 2 .65 2 .60 2.53 2 .46 12.39 14
4 .28 4.14 4 .03 3 .94 3 .80 3 .66 3.51
64
Tabla A - 1. (Continuación)
G.L. del 
denomi­
nador
Probabi­
lidad
G.L. del numerador
24 30 40 60 120 X
1 05 249.1 250.1 251.1 2*2.2 253.3 254.3
01 6 235 6 261 6 287 6 313 6 339 6 366
2 05 19.45 19.46 19.47 19.48 19.49 19.50
01 99.46 99 .47 99.47 99.48 99.49 99 .50
3 05 8.64 8 .62 8 .59 8 .57 8.55 8 .53
01 26.60 26 .50 26.41 26.32 26.22 26.13
4 05 5.77 5 .75 5 .72 5 .69 5 .66 5.63
01 13.93 13.84 13.75 13.65 13.56 13.46
5 05 4.53 4 .5 0 4 .46 4.43 4 .40 4 .36
01 9.47 9 .38 9 .29 9 .20 9.11 9 .02
6 05 3.84 3.81 3.77 3 .74 3 .70 3 .67
\ 01 7.31 7 .23 7 .14 7 .06 6 .97 6 .88
7 05 3.41 3 .38 3 .34 3 .30 3.27 3.23
01 6.07 5 .99 5.91 5.82 5 .74 5 .65
8 05 3.12 3 .08 3 .04 3.01 2 .97 2.93
01 5.28 5 .20 5.12 5.03 4 .95 4 .86
9 05 2.90 2 .86 2.83 2 .79 2.75 2.71
01 4.73 4 .65 4 .57 4 .48 4 .40 4.31
10 05 2.74 2 .7 0 2 .66 2.62 2.58 2 .54
01 4.33 4 .25 4 .17 4 .08 4 .00 3.91
11 05 2.61 2 .57 2.53 2 .49 2 .45 2 .40
01 4.02 3 .94 3 .86 3.78 3 .69 3 .60
12 05 2.51 2 .47 2.43 2.38 2 .34 2 .30
01 3.78 3 .70 3.62 3 .54 3.45 3 .36
13 05 2.42 2 .38 2 .34 2 .30 2 .25 2.21
01 3.59 3.51 3.43 3 .34 3 .25 3 .17
14 05 2.35 2.31 2 .27 2.22 2 .18 2.13
01 3.43 3 .35 3 .27 3.18 3 .09 3.00
Tabla A -1 . (Continuación)
G.L. del 
denomi­
nador
Probabi­
lidad
G.L. del numerador
1 2 3 4 5 6
15 05 4 .54 3 .68 3 .29 3 .06 2 .90 2 .79
01 8 .68 6 .3 6 5 .42 4 .8 9 4 .56 4 .32
16 05 4 .49 3.63 3 .24 3.01 2.85 2 .74
01 8.53 6 .23 5 .29 4 .7 7 4 .44 4 .20
17 05 4 .45 3 .59 3 .20 2 .9 6 2.81 2 .70
01 8 .40 6.11 5 .18 4 .67 4 .34 4 .10
18 05 4.41 3 .55 3 .1 6 2 .93 2 .77 2 .66
01 8 .29 6.01 5 .09 4 .58 4 .25 4.01
19 05 4 .38 3 .52 3*13 2 .90 2 .74 2.63
01 8 .18 5 .93 ,5 .0 1 4 .5 0 4 .17 3 .94
- 20 05 4 .35 3 .49 3 .10 2 .87 2.71 2 .60
01 8 .10 5 .85 4 .94 4 .43 4 .10 3 .87
21 05 4 .32 3 .47 3 .07 2 .8 4 2 .68 2 .57
01 8.02 5 .78 4 .87 4 .3 7 4 .04 3.81
22 05 4 .3 0 3 .44 3 .05 2 .82 2 .66 2.55
01 7 .95 5 .72 4 .82 4.31 3 .99 3 .76
23 05 4 .28 3 .42 3 .03 2 .8 0 2 .64 2.53
01 7.88 5 .66 4 .76 4 .2 6 3 .94 3.71
24 05 4 .26 3 .40 3.01 2 .78 2 .62 2.51
01 7 .82 5.61 4 .72 4 .2 2 3 .9 0 3.67
25 05 4 .24 3 .39 2 .99 2 .76 2 .60 2 .49
01 7 .77 5 .57 4 .68 4 .18 3.85 3.63
26 05 4 .23 3 .37 2 .98 2 .74 2 .59 2 .47
01 7.72 5.53 4 .64 4 .1 4 3 .82 3 .59
27 05 4.21 3 .35 2 .96 2 .73 2 .57 2 .46
01 7 .68 5 .49 4 .6 0 4.11 3.78 3 .56
28 05 4 .20 3 .34 2 .95 2.71 2 .56 2.45
01 7 .64 5 .45 4 .5 7 4 .0 7 3.75 3.53
Tabla A - 1. (Continuación)
G L . del 
denomi­
nador
Probabi-
lidad
G J j. d el num erador
7 8 9 10 12 15 20
¡5 05 2.71 2.64 2.59 2.54 2.48 2.40 2.33
01 4.14 4.00 3.89 3.80 3.67 3.52 3.37
16 05 2.66 2.59 2.54 2.49 2.42 2.35 2.28
01 4.03 3.89 3.78 3.69 3.55 3.41 3.26
17 05 2.61 2.55 2.49 2.45 2.38 2.31 2.23
01 3.93 3.79 3.68 3.59 3.46 3.31 3.16
18 05 2.58 2.51 2.46 2.41 2.34 2.27 2.19
01 3.84 3.71 3.60 3.51 3.37 3.23 3.08
19 05 2.54 2.48 2.42 2.38 2.31 2.23 2.16
01 3.77 3.63 3.52 3.43 3.30 3.15 3.00
20 05 2.51 2.45 2.39 2.35 2.28 2.20 2.12
01 3.70 3.56 3.46 3.37 3.23 3.09 2.94
21 05 2.49 2.42 2.37 2.32 2.25 2.18 2.10
01 3.64 3.51 3.40 3.31 3.17 3.03 2.88
22 05 2.46 2.40 2.34 2.30 2.23 2.15 2.07
01 3.59 3.45 3.35 3.26 3.12 2.98 2.83
23 05 2.44 2.37 2.32 2.27 2.20 2.13 2.05
01 3.54 3.41 3.30 3.21 3.07 2.93 2.78
24 05 2.42 2.36 2.30 2.25 2.18 2.11 2.03
01 3.50 3.36 3.26 3.17 3.QT 2.89 2.74
25 05 2.40 ¿34 2.28 2.24 2.16 2.09 2.01
01 3.46 3.32 3.22 3.13 2.99 2.85 2.70
26 05 2.39 2.32 2.27 2.22 2.15 2.07 1.99
01 3.42 3.29 3.18 3.09 2.96 2.81 2.66
27 05 2.37 2.31 2.25 2.20 2.13 2.06 1.97
01 3.39 3.26 3.15 3.06 2.93 2.78 2.63
28 05 2.36 2.29 2.24 2.19 2.12 2.04 1.96
01 3.36 3.23 3.12 3.03 2.90 2.75 2.60
67
Tabla A - 1. (Continuación)
GJL. del GX. del numeradorjaenomi- íTOOdOl̂
nador lidad 24 30 40 60 120 00
15 05 2.29 2.25 2.20 2.16 2.11 2.0701 3.29 3.21 3.13 3.05 2.96 2.87
16 05 2.24 2.19 2.15 2.11 2.06 2.0101 3.18 3.10 3.02 2.93 2.84 2.75
17 05 2.19 2.15 2.10 2.06 2.01 1.9601 3.08 3.00 2.92 2.83 2.75 2.65
18 05 2.15 2.11 2.06 2.02 1.97 1.9201 3.00 2.92 2.84 2.75 2.66 2.57
19 05 2.11 2.07 2.03 1.96 1.93 1.8801 2.92 2.84 2.76 2.67 2.58 2.49
20 05 2.08 2.04 r.99 1.95 1.90 1.8401 2.86 2.78 2.69 2.61 2.52 2.42
21 05 2.05 2.01 1.96 1.92 1.87 1.8101 2.80 2.72 2.64 2.55 2.46 2.36
22 05 2.03 1.96 1.94 1.89 1.84 1.7801 2.75 2.67 2.58 2.50 2.40 2.31
23 05 2.01 1.96 1.91 1.86 1.81 1.7601 2.70 2.62 2.54 2.45 2.35 2.26
24 05 1.96 1.94 1.89 1.84 1.79 1.7301 2.66 2.58 2.49 2.40 2.31 2.21
25 05 1.96 1.92 1.87 1.82 1.77 1.7101 2.62 2.54 2.45 2.36 2.27 2.17
26 05 1.95 1.90 1.85 1.80 1.75 1.6901 2.58 2.50 2.42 2.33 2.23 2.13
27 05 1.93 1.88 1.84 1.79 1.73 1.6701 2.55 2.47 2.38 2.29 2.20 2.10
28 05 1.91 1.87 1.82 1.77 1.71 1.6501 2.52 2.44 2.35 2.26 2.17 2.06
68
Ta
bl
a 
A
 - 
2.
 D
is
tr
ib
uc
ió
n 
t d
e 
St
ud
en
t
o
o ISiliSSpi llsSSälsls GSSgSS. Igaiia^^nnnnn rancie* Mietete* 6« N nnN cio«««« ai
s
©
2co—o-ceírat-c jooo <o»©e*«g©«t»e«t» o
S i< & ^ * * l 0 '«>Q >C S C >)0 - « O Í N O M O l O n « - « Q Q C S C 0 r ~ r - O O > O n
aOa><oc»ra — a>ao&oc. s o o o a > a n i a i a i a *S
M « « n n n e « N N « i c«i ci e* e* e>*e* eieieie» e» «rae* eie* eira cío* o» co ¡
S
2> I POe*«—ĉ mícpm« -oouíNpoHrt«!; q*i® ̂ © « « » míw o> I oQoonn̂ cooon ©r'-o^eoS*-*©©«; n s o p e ^ to ttt «. i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 o
i eĵ Pí«NNNNNci cicicic ic ic ic ic ic ¡c i¡¡ vtNeieieÍNcicieici h
I * o e o « i o c o M 3 0 c o e 9 < D N N H « o o f C » M ) , ^ N ^ P 4 a o e e 9 « < A N 5. l ««mmScom̂ oocom ©«r»©«V.^wcío* nm^ moooooo 3 
O I COOeO^OOOOOOQOQO N N t - t ^ N S N N Ï ^ N N N N N N N N N O « «
3C9 I » « « e o o o o t ^ c p e * co®©M3**r*eoo«M3 co»*© « © m3*j»co^ o •* 1 tropeo cor« ̂ <1-4 000 «ioM5^*«cocowe*ei ei e« * * * * * * * * * * 0© « © « ^ c ^ ^ e o c o c o coco co co co co; co co co co co co co co co co co co <0 » a
I *̂ *̂ *̂ *̂ *̂ *̂ *̂ *̂ *̂ *̂ f4
CO I W Ö Q O O ^ O COO CO C O » O ) < 0 ^ K 9 N ( 
• I ® « w3 © m3 c* 3 ~ © c © o o o o r^ r^ r- t^ O c o c 
O I O C O N ^ w m ^ p - i^ O O O O O O O jO O C
co ̂ o o ooor« o «oio©OOW3K3M3M3M3M3M3OOOOOOOOOO s
« H C O N o e o o n o o c o Q O o o e o c 4 * * Q © « « k o o k im *-*^ •*
I N 9 N 9 N O P flOOC^ N N N O O O ( 0 O ( 0 O « M3 M3 M} M3 m3 M3 MS « «Q « 
I C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 Q O «oco000000co00co00« 0000000000«CO« « « 00
U ^ O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O o
\
M3
© ,, . w _ _ -M t t m ■»■ -,—t TTj —, .j mj OQ ÖQ OÖ Ö0 90 QO fió 00fl8 '>«t*.h»t̂ t'»r»r»t'-r'- cooooocooc 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
I ̂ ’ooooooood ddddoddddd od©dodo©od d
3OM3-*K«~«©C0O KM3̂M*-«OOeOfiOr« ootoo^©^N-wOOO OOOOOO«««« -------
o
d
! •• 5«^»oowoooc^ oooonoo^^çî« ©«e*——•*•■«©©© 
N f lo © ic u 3 ^ « ^ « i ^ co eow co « c o co co co co co eo co co co e) co « c o m 
3 IO « «M 3 «O « M3 «Q M3M3M3M3M3M3M3M3W3M3 >OM3M3iQM3M3iQM3tOlQ «
oddddddodd dodo©©©©©© ddddddoddd d
2I o * f ì < r ^ 00i N Q 00N « to n te o co « e t« » « * « « - tO O O O O O O O o « 
U ^ N - O O O O O O O O O O O O O O O O 0 0 0 0 0 0 « « « « « 
l« * *« *» * * • * ^ * a c o c o to « c o co co co co co co co co « co co co co coro « c o co «
ddddddoddd ddddddoddd dddddddddo d
« «5Ph«hiof5N*4Q QOo«««r*r*r»r% so to o co o o o o «
M C C N N O O O O O O « M3 « m3 M3 « M3 M3 « M3 M3 M3 M3 M3 M3 M3 M3 M3 M3 M3 M3
O | « N N N W M N W N C I W N N N N N W N N N C lC 4C 4C 4C <C 4nC 40C 4 CI
dddddddddo dooddddddd dddddddddo d
o
° I S ö f c S Ö S S S ® ® o » « » « « « f ^ t 4 * r ^
B I i 2 2 ! 2 2 : 2 £ 2 £ 2 £ 2 £ ! * ! c i M c i o c i e i c i c i M c « «
** Ioooooooóoó dodoodoodo dddddddddo d
V■o-D) <3 I
o w i ^w«^«j©Nflooo ¡¡S 2 SS® 5 2 2 § ScScicScìS&cSStS ® 
"o Jo iw * 1y
69
Tabla A • 3. Prueba de Tukey.
G.L. del 
error a
a - número de promedios de los tratamientos
2 3 4 5 6 7 8 9
5 05 3.64 4.60 5.22 5.67 6.03 6.33 6.58 6.8001 5.70 6.97 7.80 8.42 8.91 9.32 9.67 9.97
6 05 3.46 ,4.34 4.90 5.31 5.63 5.89 6.12 6.3201 5.24 633 7.03 7.56 7.97 8.32 8.61 8.87
7 05 3.34 4.16 4.68 5.06 5.36 5.61 5.82 6.00
8
01 4.95 5.92 6.54 7.01 7¿7 7.68 7.94 8.17
05 3.26 4.04 4.53 4.89 5.17 5.40 5.60 5.7701 4.74 5.63 6.20 6.63 6.96 7.24 7.47 7.68
9 05 3.20 3.95 4.42 4.76 5.02 5.24 5.43 5.6001 4.60 5.43 5.96 6.35 6.66 6.91 7.13 7.32
10 05 3.15 3.88 4.33 4.65 4.91 . 5_J2.. 5.30 5.46
11
01 4.48 5.27 5.77 6.14 6.43 6.67 6.87 7.05
05 3.11 3.82 4.26 4.57 4.82 5.03 5.20 5.35
12
01 4.39 5.14 5.62 5.97 6.25 6.48 6.67 6.84
05 3.08 .3.77 4.20 4.51 4.75 4.95 5.12 5.27
13
01 4.32 5.04 5.50 5.84 6.10 6.32 6.51 6.67
05 3.06 3.73 4.15 4.45 4.69 4.88 5.05 5.19
14
01 4.26 4.96 5.40 5.73 5.98 6.19 6.37 6.53
05 3.03 3.70 4.11 4.41 4.64 4.83 4.99 5.13
15
01 4.21 4.89 5.32 5.63 5.88 6.08 6.26 6.41
05 3.01 3.67 4.08 4.37 4.60 4.78 4.94 5.08
16
01 4.17 4.83 5.25 5.56 5.80 5.99 6.16 6.31
05 3.00 3.65 4.05 4.33 4.56 4.74 4.90 5.03
17
01 4.13 4.78 5.19 5.49 5.72 5.92 6.08 6.22
05 2.98 3.63 4.02 4.30 4.52 4.71 4.86 4.99
18
01 4.10 4.74 5.14 5.43 5.66 5.85 6.01 6.15
05 2.97 3.61 k 4.00 4.28 4.49 4.67 4.82 4.%
19
01 4.07 4.70 5.09 5.38 5.60 5.79 5.94 6.08
05 2.96 3.59 3.98 4.25 4.47 4.65 4.79 4.92
20
01 4.05 4.67 5.05 5.33 5.55 5.73 5.89 6.02
05 2.95 3.58 3.% 4.23 4.45 4.62 4.77 4.90
24
01 4.02 4.64 5.02 5.29 5.51 5.69 5.84 5.97
05 2.92 3.53 3.90 4.17 4.37 4.54 4.68 4.81
30
01 3.96 4.54 4.91 5.17 5.37 5.54 5.69 5.81
05 2.89 3.49 3.84 4.10 4.30 4.46 4.60 4.72
40
01 3.89 4.45 4.80 5.05 5.24 5.40 5.54 5.65
05 2.86 3.44 3.79 4.04 4.23 4J9 4.52 4.63
60
01 3.82 4.37 4.70 4.93 5.11 5.27 5.39 5.50
05 2.83 3.40 3.74 3.98 4.16 4.31 4.44 4.55
120
01 3.76 4.28 4.60 4.82 4.99 5.13 5.25 5.36
05 2.80 3.36 3.69 3.92 4.10 4.24 4.36 4.4801 3.70 4.20 4.50 4.71 4.87 5.01 5.12 5.21
X 05 2.77 3.31 3.63 3.86 4.03 4.17 4.29 4.3901 3.64 4.12 4.40 4.60 4.76 4.88 4.99 5.08 70
Tabla A - 3. (Continuación)
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
6.99 7.17 7.32 7.47 7.60 7.72 7.83 7.93 8.03 8.12 8.21
10.24 10.48 10.70 10.89 11.08 11.24 11.40 11.55 11.68 11.81 11.93
6.49 6.65 6.79 6.92 7.03 7.14 7.24 7.34 7.43 7.51 7.59
9.10 9.30 9.49 9.65 9.81 9.95 10.08 10.21 10.32 10.43 10.54
6.16 6.30 6.43 6.55 6.66 6.76 6.85 6.94 7.02 7.09 7.17
8.37 8.55 8.71 8.86 9.00 9.12 9.24 9.35 9.46 9.55 9.65
5.92 6.05 6.18 6.29 6.39 6.48 6.57 6.65 6.73 6.80 6.87
7.87 8.03 8.18 8.31 8.44 8.55 8.66 8.76 8.85 8.94 9.03
5.74 5.87 5.98 6.09 6.19 6.28 6.36 6.44 6.51 6.58 6.64
7.49 7.65 7.78 7.91 8.03 8.13 8.23 8.32 8.41 8.49. 8.57
5.60 5.72 5.83 5.93 6.03 6.11 6.20 6.27 6.34 6.40 6.47
7.21 7.36 7.48 7.60 7.71 7.81 7.91 7.99 8.07 8.15 8.22
5.49 5.61 5.71 5.81 5.90 5.99 6.06 6.14 6.20 6.26 6.33
6.99 7.13 7.25 7.36 7.46 7.56 7.65 7.73 7.81 7.88 7.95
5.40 5.51 5.62 5.71 5.80 5.88 5.95 6.03 6.09 6.15 6.21
6.81 6.94 7.06 7.17 7.26 7.36 ^.44 7.52 7.59 7.66 7.73
5.32 5.43 5.53 5.63 5.71 5.79 5.86 5.93 6.00 6.05 6.11
6.67 6.79 6.90 7.01 7.10 7.19 7.27 7.34 7.42 7.48 7.55
5.25 5.36 5.46 5.55 5.64 5.72 5.79 5.85 5.92 5.97 6.03
6.54 6.66 6.77 6.87 6.% 7.05 7.12 7.20 7.27 7.33 7.39
5.20 5.31 5.40 5.49 5.58 5.65 5.72 5.79 5.85 5 .9 0 5 .9 66.44 6.55 6.66 6.76 6.84 6.93 7.00 7.07 7.14 7.20 7.26
5.15 5.26 5.35 5.44 5.52 5.59 5.66 5.72 5.79 5.84 5.90
6.35 6.46 6.56 6.66 6.74 6.82 6.90 6.97 7.03 7.09 7.15
5.11 5.21 5.31 5.39 5.47 5.55 5.61 5.68 5.74 5.79 5.84
6.27 6.38 6.48 6.57 6.66 6.73 6.80 6.87 6.94 7.00 7.05
5.07 5.17 5.27 5.35 5.43 5.50 5.57 5.63 5.69 5.74 5.79
6.20 6.31 6.41 6.50 6.58 6.65 6.72 6.79 6.85 6.91 6.%
5.04 5.14 5.23 5.32 5.39 5.46 5.53 5.59 5.65 5.70 5.75
6.14 6.25 6.34 6.43 6.51 6.58 6.65 6.72 6.78 6.84 6.89
5.01 5.11 5.20 5.28 5.36 5.43 5.49 5.55 5.61 5.66 5.71
6.09 6.19 6.29 6.37 6.45 6.52 6.59 6.65 6.71 6.76 6.82
4.92 5.01 5.10 5.18 5.25 5.32 5.38 5.44 5.50 5.54 5.59
5.92 6.02 6.11 6.19 6.26 6.33 6.39 6.45 6.51 6.56 6.61
4.83 4.92 5.00 5.08 5.15 5.21 5.27 5.33 5.38 5.43 5.48
5.76 5.85 5.93 6.01 6.08 6.14 6.20 6.26 6.31 6.36 6.41
4.74 4.82 4.91 4.98 5.05 5.11 5.16 5.22 5.27 5.31 5.365.60 5.69 5.77 5.84 5.90 5.% 6.02 6.07 6.12 6.17 6.21
4.65 4.73 4.81 4.88 4.94 5.00 5.06 5.11 5.16 5.20 5.24
5.45 5.53 5.60 5.67 5.73 5.79 5.84 5.89 5.93 5.98 6.02
4.56 4.64 4.72 4.78 4.84 4.90 4.95 5.00 5.05 5.09 5.135.30 5.38 5.44 5.51 5.56 5.61 5.66 5.71 5.75 5.79 5.83
4.47 4.55 4.62 4.68 4.74 4.80 4.85 4.89 4.93 4.97 5.015.16 5.23 5.29 5.35 5.40 5.45 5.49 5.54 5.57 5.61 5.65
Tabla A - 4. Prueba de Duncan
G L . del 
error a
a= número de promedios incluidos en el rango
2 3 4 5 6 7 8
1 05 18.0 18.0 18.0 18.0 18.0 18.0 18.001 90.0 90.0 90.0 90.0 90.0 90.0 90.0
2 05 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.0901 14.0 14.0 14.0 14.0 14.0 14.0 14.0
3 05 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50 4.5001 8.26 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.9
4 05 3.93 4.01 4.02 4.02 4.02 4.02 4.0201 6.51 6.8 6.9 7.0 7.1 7.1 7.2
5 05 3.64 3.74 3.79 3.83 3.83 3.83 3.8301 5.70 5.% 6.11 6.18 6.26 6.33 6.40
6 05 3.46 3.58 3.64 3.68 3.68 3.68 3.6801 5.24 5.51 5.65 5.73 5.81 5.88 5.95
7 05 3.35 3.47 3.54 3.58 3.60 3.61 3.61
- 01 4.95 5.22 5.37 5.45 5.53 5.61 5.69
8 05 3.26 3.39 3.47 3.52 3.55 3.56 3.5601 4.74 5.00 5.14 5.23 5.32 5.40 5.47
9 05 3.20 3.34 3.41 3.47 3.50 3.52 3.5201 4.60 4.86 4.99 5.08 5.17 5.25 5.32
10 05 3.15 3.30 3.37 3.43 3.46 3.47 3.4701 4.48 4.73 4.88 4.96 5.06 5.13 5.20
11 05 3.11 3.27 3.35 3.39 3.43 3.44 3.4501 4.39 4.63, 4.77 4.86 4.94 5.01 5.06
12 05 3.08 3.23 3.33 3.36 3.40 3.42 3.4401 4.32 4.55 4.68 4.76 4.84 4.92 4.96
13 05 3.06 3.21 3.30 3.35 3.38 3.41 3.4201 4.26 4.48 4.62 4.69 4.74 4.84 4.88
14 05 3.03 3.18 3.27 3.33 3.37 3.39 3.4101 4.21 4.42 4.55 4.63 4.70 4.78 4.83
15 05 3.01 3.16 3.25 3.31 3.36 3.38 3.4001 4.17 4.37 4.50 4.58 4.64 4.72 4.77
72
Tabla A - 4. (Continuación)
G L del
a = número de promedios incluidos en el rango
error a 9 10 12 14 16 18 20
1 05 18.0 18.0 18.0 18.0 18.0 18.0 18.001 90.0 90.0 90.0 90.0 90.0 90.0 90.0
2 05 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.090.1 14.0 14.0 14.0 14.0 14.0 14.0 14.0
3 05 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50 4.5001 9.0 9.0 9.0 9.1 9.2 9.3 9.3
4 05 4.02 4.02 4.02 4.02 4.02 4.02 4.0201 7.2 7.3 7.3 7.4 7.4 7.5 7.5
5 05 3.83 3.83 3.83 ‘ 3.83 3.83 3.83 3.830! 6.44 6.5 6.6 6.6 6.7 6.7 6.8
6 05 3.68 3.68 3.68 v 3.68 3.68 3.68 3.6801 6.00 6.0 6.1 6.2 6.2 6.3 6.3
7 05 3.61 3.61 3.61 3.61 3.61 3.61 3.6101 5.73 5.8 5.8 5.9 5.9 6.0 6.0
8 05 3.56 3.56 3.56 3.56 3.56 3.56 3.56- 01 5.51 5.5 5.6 5.7 5.7 5.8 5.8
9 05 3.52 3.52 3.52 3.52 3.52 3.52 3.5201 5.36 5.4 5.5 5.5 5.6 5.7 5.7
10 0$ 3.47 3.47 3.47 3.47 3.47 3.47 3.4801 5.24 5.28 5.36 5.42 5.48 5.54 5.55
11 05 3.46 3.46 3.46 3.46 3.46 3.47 3.4801 5.12 5.15 5.24 5.28 5.34 5.38 5.39
12 05 3.44 3.46 3.46 3.46 3.46 3.47 3.4801 5.02 5.07 5.13 5.17 5.22 5.24 5.26
13 os 3.44 3.45 3.45 3.46 3.46 3.47 3.4701 4.94 4.98 5.04 5.08 5.13 5.14 5.15
14 05 3.42 3.44 3.45 3.46 3.46 3.47 3.4701 4.87 4.91 4.% 5.00 5.04 5.06 5.07
15 05 3.42 3.43 3.44 3.45 3.46 3.47 3.4701 4.81 4.84 4.90 4.94 4.97 4.99 5.00
73
Tabla A - 4. (Continuación)
G L . del 
error a
a =número de promedios incluidos en el rango
9 10 12 14 16 18 20
16 05 3.41 3.43 3.44 3145 3.46 3.47 3.4701 4.76 4.79 4.84 4.88 4.91 4.93 4.94
17 05 3.40 3.42 3.44 3.45 3.46 3.47 3.4701 4.72 4.75 4.80 4.83 4.86 4.88 4.89
18 05 3.39 3.41