Nuevas Ideas de Física en Finanças

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1Nueva ideas de física en finanzas
Guillermo Sierra Juárez 
UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA 
PHYNANCE 
Nuevas ideas de física en finanzas 
CENTRO UNIVERSITARIO DE CIENCIAS ECONÓMICO ADMINISTRATIVAS 
2 Phynance
 
 
 
 
 
Phynance 
Nuevas ideas de Física en Finanzas 
 
Guillermo Sierra Juárez 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidad de Guadalajara 
2017 
3Nueva ideas de física en finanzas
 
 
 
 
 
Phynance 
Nuevas ideas de Física en Finanzas 
 
Guillermo Sierra Juárez 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidad de Guadalajara 
2017 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Primera edición, 2017 
D.R. © Universidad de Guadalajara 
 Centro Universitario de 
 Ciencias Económico Administrativas 
 Periférico Norte 799 
 Núcleo Universitario Los Belenes 
 C.P. 45100, Zapopan, Jalisco, México 
 
ISBN 
 
Editado y hecho en México 
Edited and made in Mexico 
: 978-607-742-983-8
4 Phynance
 
 
Contenido 
Prólogo a la primera edición 9 
Capítulo 1 14 
El mundo de la Física y el mundo de las Finanzas 14 
Capítulo 2 29 
Ecuación Black-Scholes y Volatilidad 29 
2.1 Modelo de Black-Scholes 29 
2. 2 Volatilidad 32 
Capítulo 3 45 
Modelación con Procesos Brownianos Fraccionales
 45 
3.1 Introducción 45 
3.2 Procesos Hurst 49 
3.3 Ecuación Black-Scholes y Opciones Financieras 
Europeas en un Mercado Fraccional 55 
3.4 Modelo de Tasas Vasicek con Movimiento 
Browniano Fraccional 62 
3.5 Planteamiento del Problema del Consumidor 
Estocástico 69 
3.6 Volatilidad con Metodología Rango Reescalado 
(𝑅𝑅/𝑆𝑆) 74 
3.7 Método H-J-B con MBF para Volatilidad 
Estocástica 76 
3.8 Volatilidad Implícita de una opción europea 
modelada con un MBF 82 
3.9 El Índice de Volatilidad Vimex 85 
3.10 Conclusiones 88 
5Nueva ideas de física en finanzas
 
 
Contenido 
Prólogo a la primera edición 9 
Capítulo 1 14 
El mundo de la Física y el mundo de las Finanzas 14 
Capítulo 2 29 
Ecuación Black-Scholes y Volatilidad 29 
2.1 Modelo de Black-Scholes 29 
2. 2 Volatilidad 32 
Capítulo 3 45 
Modelación con Procesos Brownianos Fraccionales
 45 
3.1 Introducción 45 
3.2 Procesos Hurst 49 
3.3 Ecuación Black-Scholes y Opciones Financieras 
Europeas en un Mercado Fraccional 55 
3.4 Modelo de Tasas Vasicek con Movimiento 
Browniano Fraccional 62 
3.5 Planteamiento del Problema del Consumidor 
Estocástico 69 
3.6 Volatilidad con Metodología Rango Reescalado 
(𝑅𝑅/𝑆𝑆) 74 
3.7 Método H-J-B con MBF para Volatilidad 
Estocástica 76 
3.8 Volatilidad Implícita de una opción europea 
modelada con un MBF 82 
3.9 El Índice de Volatilidad Vimex 85 
3.10 Conclusiones 88 
 
 
Capítulo 4 92 
Geometría Diferencial y Modelo de Volatilidad SABR
 92 
4.1 Introducción 92 
4.2 Antecedentes 94 
4.3 Nociones de Geometría Diferencial 96 
4.4 Nociones de Geometría Diferencial en Teoría de 
la Relatividad 99 
4.5 El Modelo SABR 102 
4.6 Solución del modelo SABR 105 
4.7 Volatilidad estocástica y geometría de curvas 
complejas 109 
4.8 Modelo λ-SABR y geometría hiperbólica 117 
4.9 Interpretación geométrica 120 
4.10 Aplicación del modelo SABR a la valuación de 
opciones en la estrategia de acumulación de 
reservas del Banco de México 126 
4.11 Conclusiones 135 
Apéndice I 137 
Apéndice II 139 
CAPITULO 5 142 
Modelación con Teoría de la Medida y Norma en 
FinanzasCuantitativas 142 
5.1 Introducción 142 
5.2 Conceptos Básicos 144 
5.3 Haz Fibrado en Finanzas y dinámica del campo 
de Normalización 149 
6 Phynance
 
 
5.4 Modelo de Normalización para determinar 
precios de derivados 164 
5.5 Derivación de la Ecuación de Black-Scholes 169 
5.6 Arbitraje de Flujo de dinero 171 
5.7 Modelo Fenomenológico de precios con 
arbitraje virtual 175 
5.8 Ecuación efectiva para precios de derivados 177 
5.9 Soluciones explicitas 179 
5.10 Función Generadora de Movimiento 
Browniano Restringido 181 
5.11 Ecuación para un portafolio libre de riesgo en 
presencia de arbitraje virtual 185 
5.12 Conclusiones 189 
Anexo 1 apéndice 190 
Capítulo 6 194 
Optimización de Portafolio con Agentes 
Heterogéneos 194 
6.1 Introducción 194 
6.2 Una primera propuesta de Modelo 198 
6.2. Una primera propuesta de Modelo 203 
6.3 Resultados 206 
6.4 Conclusiones 209 
Capítulo 7 212 
Finanzas Cuánticas Aplicadas 212 
7.1 Equivalencia ecuación Schrödinger-Black-
Scholes 212 
7.2. Introducción al cómputo cuántico 217 
7Nueva ideas de física en finanzas
 
 
5.4 Modelo de Normalización para determinar 
precios de derivados 164 
5.5 Derivación de la Ecuación de Black-Scholes 169 
5.6 Arbitraje de Flujo de dinero 171 
5.7 Modelo Fenomenológico de precios con 
arbitraje virtual 175 
5.8 Ecuación efectiva para precios de derivados 177 
5.9 Soluciones explicitas 179 
5.10 Función Generadora de Movimiento 
Browniano Restringido 181 
5.11 Ecuación para un portafolio libre de riesgo en 
presencia de arbitraje virtual 185 
5.12 Conclusiones 189 
Anexo 1 apéndice 190 
Capítulo 6 194 
Optimización de Portafolio con Agentes 
Heterogéneos 194 
6.1 Introducción 194 
6.2 Una primera propuesta de Modelo 198 
6.2. Una primera propuesta de Modelo 203 
6.3 Resultados 206 
6.4 Conclusiones 209 
Capítulo 7 212 
Finanzas Cuánticas Aplicadas 212 
7.1 Equivalencia ecuación Schrödinger-Black-
Scholes 212 
7.2. Introducción al cómputo cuántico 217 
 
 
7.3 Elementos de la Mecánica Cuántica 222 
7. 4 Caminata Aleatoria Cuántica 227 
7.5 Resultados 230 
7.6 Oscilador Armónico 232 
7.7 Conclusiones 237 
7.8 Apéndice 237 
Bibliografía 241 
 
 
8 Phynance
 
 
 
 
 
9Nueva ideas de física en finanzas
 
 
 
 
 
 
 
Prólogo a la primera edición 
Estimado Lector 
Le agradezco su interés por acercarse a leer o 
simplemente revisar este libro. Si bien el presente 
trabajo tiene fundamentalmente características 
técnicas, lo más importante del mismo es el factor de la 
novedad de las técnicas avanzadas de física 
incursionadas a problemas del ambiente financiero 
cuantitativo. 
Desde el trabajo seminal de Black Scholes desde hace ya 
varias décadas, los nuevos desarrollos en finanzas 
cuantitativas en los temas de derivados financieros, las 
curvas de estructura de plazos de tasas de interés y la 
teoría de riesgos (considerando los distintos tipos de 
riesgos) han sido recurrentemente modelados con 
procesos estocásticos utilizando básicamente los 
movimientos geométricos brownianos. 
La aparición de la econofísica por parte de Mantegna y 
Stanley desde hace una décadas y sus aplicaciones 
fundamentadas en gran medida en una estadística más 
avanzada como mecánica estadística y en funciones 
estadísticas más generales para la modelación, como las 
funciones de Levy, de colas anchas y de leyes de 
potencia han generado una visión complementaria 
desde el punto de vista de la física a problemas de 
economía. 
La presente publicación también revisa la aplicación de 
teorías que han tenido gran éxito dentro de la ciencia 
10 Phynance
 
 
básica especialmente la física y la teoría de sistemas 
aplicadas a temas de finanzas cuantitativas. Tal es el 
caso de la teoría de fractales y de procesos con o sin 
memoria medidos con el coeficiente Hurst, las métricas 
y curvaturas y las teorías de Gravitación, los haces 
fibrados y las teorías de Norma, así como las teorías de 
transición de fase y las aplicaciones de mecánica 
cuántica. A esta relación de dos áreas de la ciencia y 
conocimiento se le podría reconocer como phynance. 
Este libro toma como fundamento el desarrollo de los 
capítulos las obras de investigación en la frontera de 
conocimiento de obras propias y del estado del arte de 
arte ya existentes de distintos autores, así como 
principalmente los trabajos seminales. La obra no es 
exhaustiva sino más viene selectiva en los temas y 
técnicas más novedosas y que da oportunidad a 
continuarla con nuevas perspectivas en ediciones 
futuras. Seguramente existen temas muy trascendentes 
que no han podido ser incluidos pero que podamos ir 
incluyendo enreediciones posteriores. 
El primer capítulo es una presentación y reflexión de 
ideas, teoremas y teorías generales unificadoras dentro 
de física, matemáticas y la teoría de sistemas, así como 
un resumen histórico de la aparición de los hechos 
académicos en finanzas y conceptos e ideas básicas y 
nuevas como son los mercados eficientes, el concepto de 
cisne negro y los dragons-kings, para posteriormente en 
el capítulo dos presentar un resumen de la ecuación 
Black-Scholes, los diferentes tipos de volatilidad. 
El capítulo tres presenta la aplicación de los brownianos 
fraccionales en las finanzas cuantitativas y de los 
11Nueva ideas de física en finanzas
 
 
básica especialmente la física y la teoría de sistemas 
aplicadas a temas de finanzas cuantitativas. Tal es el 
caso de la teoría de fractales y de procesos con o sin 
memoria medidos con el coeficiente Hurst, las métricas 
y curvaturas y las teorías de Gravitación, los haces 
fibrados y las teorías de Norma, así como las teorías de 
transición de fase y las aplicaciones de mecánica 
cuántica. A esta relación de dos áreas de la ciencia y 
conocimiento se le podría reconocer como phynance. 
Este libro toma como fundamento el desarrollo de los 
capítulos las obras de investigación en la frontera de 
conocimiento de obras propias y del estado del arte de 
arte ya existentes de distintos autores, así como 
principalmente los trabajos seminales. La obra no es 
exhaustiva sino más viene selectiva en los temas y 
técnicas más novedosas y que da oportunidad a 
continuarla con nuevas perspectivas en ediciones 
futuras. Seguramente existen temas muy trascendentes 
que no han podido ser incluidos pero que podamos ir 
incluyendo en reediciones posteriores. 
El primer capítulo es una presentación y reflexión de 
ideas, teoremas y teorías generales unificadoras dentro 
de física, matemáticas y la teoría de sistemas, así como 
un resumen histórico de la aparición de los hechos 
académicos en finanzas y conceptos e ideas básicas y 
nuevas como son los mercados eficientes, el concepto de 
cisne negro y los dragons-kings, para posteriormente en 
el capítulo dos presentar un resumen de la ecuación 
Black-Scholes, los diferentes tipos de volatilidad. 
El capítulo tres presenta la aplicación de los brownianos 
fraccionales en las finanzas cuantitativas y de los 
 
 
procesos Hurst para la valuación de opciones, curvas de 
estructura de plazos de tasas de interés, la ecuación de 
Black-Scholes y la medida de volatilidad. 
En el capítulo cuatro se presenta la deducción de uno de 
los modelos más técnicos y prácticos de la volatilidad, el 
Modelo SABR, a partir de geometría diferencial y su 
interpretación geométrica, al final del capítulo se 
plantea una aplicación a la corrección de un tipo 
especial de opciones que utiliza el Banco de México. 
En capítulo cinco presenta la valuación del modelo de 
Black-Scholes y del CAPM considerando la presencia de 
arbitraje pero analizando el problema a partir de la 
teoría de medida y norma. Y en el capítulo 6 se presenta 
y soluciona un problema de optimización donde los 
agentes a optimizar son heterogéneos, es un caso 
interesante cuando los agentes optimizadores pueden 
ser más bien seguidores que actuar racionalmente. 
Al final del capítulo siete se presenta la equivalencia 
matemática entre las ecuaciones de Schrödinger y la 
ecuación Black-Scholes y una aplicación de la mecánica 
cuántica al problema de cómputo que podría aplicarse a 
las simulaciones estocásticas. 
Este trabajo de investigación está fundamentado en 
publicaciones pioneras sobre cada una de las áreas 
mencionadas y sobre investigaciones y aplicaciones 
realizadas de esos trabajos de varios años de trabajo en 
investigación y docencia. 
Agradezco a Dios, a mis Padre mis hermanos, hermana 
y sus familias por su apoyo que siempre me han 
12 Phynance
 
 
brindado. También deseo al Consejo Nacional de Ciencia 
y tecnología (CONACYT) en particular al Sistema 
Nacional de Investigadores (S.N.I.) por tener a bien 
considerarme como Investigador Nacional, de la misma 
manera estoy agradecido con la Universidad de 
Guadalajara (al Centro Universitario de Ciencias 
Económico Administrativa CUCEA) por todos los 
apoyos brindados a mis trabajos de investigación. En 
forma especial me gustaría agradecer la entusiasta 
labor de apoyo de edición y gestión para la publicación 
de esta obra de la Lic. Sandra Ivett Portugal Padilla y de 
Paula Malinali De la Cruz Cómer, así como el apoyo y 
comentarios de colegas, amigos y colaboradores. Es 
justo además mencionar que cualquier error u omisión 
es responsabilidad del autor. 
Espero que la lectura de esta obra genere la inquietud 
sobre estas nuevas áreas de estudio y anime a los 
estudiantes e investigadores en continuar trabajos de 
investigación futuros en alguna de esas áreas de 
conocimiento. 
 
 
 
 
 
 
13Nueva ideas de física en finanzas
 
 
brindado. También deseo al Consejo Nacional de Ciencia 
y tecnología (CONACYT) en particular al Sistema 
Nacional de Investigadores (S.N.I.) por tener a bien 
considerarme como Investigador Nacional, de la misma 
manera estoy agradecido con la Universidad de 
Guadalajara (al Centro Universitario de Ciencias 
Económico Administrativa CUCEA) por todos los 
apoyos brindados a mis trabajos de investigación. En 
forma especial me gustaría agradecer la entusiasta 
labor de apoyo de edición y gestión para la publicación 
de esta obra de la Lic. Sandra Ivett Portugal Padilla y de 
Paula Malinali De la Cruz Cómer, así como el apoyo y 
comentarios de colegas, amigos y colaboradores. Es 
justo además mencionar que cualquier error u omisión 
es responsabilidad del autor. 
Espero que la lectura de esta obra genere la inquietud 
sobre estas nuevas áreas de estudio y anime a los 
estudiantes e investigadores en continuar trabajos de 
investigación futuros en alguna de esas áreas de 
conocimiento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPITULO 1 
14 Phynance
 
 
Capítulo 1 
El mundo de la Física y el mundo de las Finanzas 
 
Los sorprendentes resultados en los últimos años en los 
campos de las matemáticas, la física, la biología, la 
medicina y en general en las ciencias básicas ha 
extendido el uso del método científico a distintas áreas 
del conocimiento por ejemplo las ciencias sociales, las 
ciencias administrativas y en particular la economía y 
finanzas. 
 
No se trata solamente de una extensión del lenguaje 
técnico y de las herramientas básicas cuantitativas sino 
la adopción de campos prácticamente completos del 
conocimiento, sobre todo de la física y matemáticas 
para explicar y pronosticar fenómenos económico-
financieros. 
 
Sin embargo, a pesar de la relativa novedosa adopción 
de estas técnicas, los hechos estilizados de la misma 
realidad económico financiera ha provocado una 
evolución hacia herramientas cada más sofisticadas y 
completas con tal de obtener mejores resultados, ese 
será uno de los propósitos de este volumen. 
 
El uso de las teorías de la física tales como la mecánica 
cuántica, la gravitación, la teoría de norma y la mecánica 
estadística en la solución de problemas financieros, 
como se presenta en los siguientes capítulos, conduce 
obligadamente a una serie de reflexiones sobre la 
validez de la técnica en la solución de ese tipo de 
problemas y a la interpretación y comprobación de sus 
resultados. Los capítulos siguientes presentaran los 
15Nueva ideas de física en finanzas
 
 
Capítulo 1 
El mundo de la Física y el mundo de las Finanzas 
 
Los sorprendentes resultados en los últimos años en los 
campos de las matemáticas, la física, la biología, la 
medicina y en general en las ciencias básicas ha 
extendido el uso del método científico a distintas áreas 
del conocimiento por ejemplo las ciencias sociales, las 
ciencias administrativas y en particular la economía y 
finanzas. 
 
No se trata solamente de una extensión del lenguajetécnico y de las herramientas básicas cuantitativas sino 
la adopción de campos prácticamente completos del 
conocimiento, sobre todo de la física y matemáticas 
para explicar y pronosticar fenómenos económico-
financieros. 
 
Sin embargo, a pesar de la relativa novedosa adopción 
de estas técnicas, los hechos estilizados de la misma 
realidad económico financiera ha provocado una 
evolución hacia herramientas cada más sofisticadas y 
completas con tal de obtener mejores resultados, ese 
será uno de los propósitos de este volumen. 
 
El uso de las teorías de la física tales como la mecánica 
cuántica, la gravitación, la teoría de norma y la mecánica 
estadística en la solución de problemas financieros, 
como se presenta en los siguientes capítulos, conduce 
obligadamente a una serie de reflexiones sobre la 
validez de la técnica en la solución de ese tipo de 
problemas y a la interpretación y comprobación de sus 
resultados. Los capítulos siguientes presentaran los 
 
 
modelos y soluciones para problemas financieros con la 
teoría utilizada de física en cada caso. En este primer 
capítulo se propone una breve compilación y una 
reflexión sobre los avances en esta área de 
conocimiento. 
 
Durante décadas se ha buscado en el campo de la física 
una teoría que explique todos los fenómenos de la 
naturaleza. La teoría de la Gran Unificación (TGU o 
GUT: 1 por sus siglas en inglés) trata de unificar tres de 
las cuatro fuerzas fundamentales en la naturaleza: la 
fuerza nuclear débil, fuerza nuclear fuerte y la fuerza 
electromagnética. La fuerza de gravedad no es 
considerada aún en las teoría de Gran Unificación, pero 
sí en una eventual Teoría del Todo (TOE) que 
consideraría las cuatro interacciones fundamentales. La 
teoría unificada de campos trata de reconciliar las 
cuatro fuerzas fundamentales (o campos) de la 
naturaleza. 
 
La Teoría del Todo es una teoría de la física teórica que 
explica y conecta en una sola todos los fenómenos 
físicos conocidos, otros nombres empleados para 
referirse a la misma teoría son: teoría unificada, gran 
teoría unificada, teoría de campos unificada y teoría del 
campo unificado. 
 
La mayor dificultad de proponer una teoría unificada ha 
consistido en armonizar correctamente leyes que 
gobiernan sólo un reducido ámbito de la naturaleza y 
transformarlas en una única teoría que la explique en su 
totalidad, tanto en su mundo micro como macroscópico 
que explique la existencia de todas las interacciones 
16 Phynance
 
 
fundamentales: las fuerzas gravitatoria, 
electromagnética, nuclear fuerte y nuclear débil. 
 
Se ha buscado la TGU durante varios años y no se ha 
podido terminar de construir la teoría para fenómenos 
naturales y la interacción entre ellos, pero si esta teoría 
trata de explicar todos los fenómenos de la naturaleza 
esta debería incluir al mismo comportamiento del ser 
humano, de la sociedad y de sus acciones en masas en 
especial en las acciones económico y financieras ó ¿o 
acaso estos fenómenos económico-sociales deberían 
quedar fuera de tales teorías universales? En cierta 
forma parecería lógico no tener teorías distintas en un 
mismo universo, en particular los mercados no están 
fuera del Universo Físico que todos conocemos, incluso 
considerando el carácter aleatorio intrínseco. 
 
Si esto fuera así, entonces mundos que aparentemente 
no tienen nada en común como el universo de lo muy 
pequeño (escala sub-atómica) o de lo muy grande 
(escala de galaxias) y en mundos completamente ajenos 
como los económico financieros, donde el 
comportamiento de precios, rendimientos volatilidad y 
riesgos deberían poder explicarse bajo la misma 
estructura matemática y conceptual. 
 
Sobre el mismo tema de unificación, paralelamente a la 
dificultad de combinar la unificación de fuerza tenemos 
desde una perspectiva distinta el Teorema de Gödel que 
demuestra la mismas matemáticas con incompletas lo 
que introduce una nueva perspectiva al estudio. La 
demostración de tal teorema es realmente complicada 
pero la idea central es sencilla y profunda. 
 
17Nueva ideas de física en finanzas
 
 
fundamentales: las fuerzas gravitatoria, 
electromagnética, nuclear fuerte y nuclear débil. 
 
Se ha buscado la TGU durante varios años y no se ha 
podido terminar de construir la teoría para fenómenos 
naturales y la interacción entre ellos, pero si esta teoría 
trata de explicar todos los fenómenos de la naturaleza 
esta debería incluir al mismo comportamiento del ser 
humano, de la sociedad y de sus acciones en masas en 
especial en las acciones económico y financieras ó ¿o 
acaso estos fenómenos económico-sociales deberían 
quedar fuera de tales teorías universales? En cierta 
forma parecería lógico no tener teorías distintas en un 
mismo universo, en particular los mercados no están 
fuera del Universo Físico que todos conocemos, incluso 
considerando el carácter aleatorio intrínseco. 
 
Si esto fuera así, entonces mundos que aparentemente 
no tienen nada en común como el universo de lo muy 
pequeño (escala sub-atómica) o de lo muy grande 
(escala de galaxias) y en mundos completamente ajenos 
como los económico financieros, donde el 
comportamiento de precios, rendimientos volatilidad y 
riesgos deberían poder explicarse bajo la misma 
estructura matemática y conceptual. 
 
Sobre el mismo tema de unificación, paralelamente a la 
dificultad de combinar la unificación de fuerza tenemos 
desde una perspectiva distinta el Teorema de Gödel que 
demuestra la mismas matemáticas con incompletas lo 
que introduce una nueva perspectiva al estudio. La 
demostración de tal teorema es realmente complicada 
pero la idea central es sencilla y profunda. 
 
 
 
El teorema de Gödel es una de las construcciones mejor 
fundamentadas de las matemáticas de todos los 
tiempos, utilizó el rigor de las matemáticas para 
demostrar que las matemáticas mismas son 
incompletas. En su artículo de 1931, Gödel demuestra 
que en cualquier sistema lógico basado en axiomas y 
reglas de inferencia, existen enunciados cuya verdad o 
falsedad no vamos a poder decidir, basándonos en la 
propia lógica matemática del sistema. Antes de los 
trabajos de Gödel esto ni siquiera se consideraba, pues 
lo interesante de un enunciado era poder demostrar que 
era verdadero o bien era falso. A partir de Gödel aparece 
una diferencia muy sutil entre verdad/falsedad y 
demostrabilidad. 
 
El primer teorema de incompletitud afirma que bajo 
ciertas condiciones, ninguna teoría matemática formal 
capaz de describir los números naturales y la aritmética 
con suficiente expresividad, es a la 
vez consistente y completa. Es decir, si los axiomas de 
dicha teoría no se contradicen entre sí, entonces existen 
enunciados que no pueden probarse ni refutarse a 
partir de ellos. 
 
Si no es posible tener la certeza de enunciados 
(verdaderos o falsos)en áreas tan ampliamente 
conocidas del mundo como la aritmética valdría la pena 
reflexionar que podríamos esperar resultados todavía 
más extremos en la construcción del edificio de la 
economía y las finanzas. 
 
De lo anterior se ha expuesto que no sería posible 
aplicar leyes y técnicas distintas a las de las leyes 
naturales en casos deterministas pero sobre todo en los 
18 Phynance
 
 
casos aleatorios como si el mundo social y económico se 
tratara de universos ajenos. Además hay otro elemento 
adicional que se debe considerar y que efectivamente 
no es aplicable en el caso de los eventos naturales y es 
el relacionado al comportamiento y sobre todo la mente 
humana y de las computadoras. 
 
Sobre este tema Roger Penrose (1996) hace una 
reflexión en torno a lo que significa pensar o entender 
lo que es la mente y si esta debería estar sujeta a las 
leyes de la física. El autor plantea que la incomprensión 
de las leyes fundamentales de la física es la que impide 
aprender el concepto de mente en términos físicos o 
lógicos y entonces es cuando se adopta el punto de vista 
operacional, idealista, subjetivo, entonces se diráque 
la computadora piensa siempre y cuando actué del 
mismo modo que lo hace una persona cuando está 
pensando. 
 
Para mostrar lo anterior Penrose utiliza la prueba de 
Turing para poder decidir si una computadora pudiera 
pensar. De acuerdo con esta prueba si se ocultará a un 
entrevistador si el entrevistado es una computadora o 
algún voluntario humano y el entrevistador y tratara de 
diferenciar entre computadora y humano mediante el 
procedimiento de plantear preguntas de cada uno de 
ellos, sí la computadora fuera capaz de responder todas 
las preguntas que se plantean de manera indistinguible 
ha como lo haría un ser humano entonces la conclusión 
sería que la computadora piensa y siente, ya que no hay 
forma de distinguir entre ambos. 
 
De este modo Penrose plantea que es factible la creación 
de la inteligencia artificial y lo fundamenta en que la 
19Nueva ideas de física en finanzas
 
 
casos aleatorios como si el mundo social y económico se 
tratara de universos ajenos. Además hay otro elemento 
adicional que se debe considerar y que efectivamente 
no es aplicable en el caso de los eventos naturales y es 
el relacionado al comportamiento y sobre todo la mente 
humana y de las computadoras. 
 
Sobre este tema Roger Penrose (1996) hace una 
reflexión en torno a lo que significa pensar o entender 
lo que es la mente y si esta debería estar sujeta a las 
leyes de la física. El autor plantea que la incomprensión 
de las leyes fundamentales de la física es la que impide 
aprender el concepto de mente en términos físicos o 
lógicos y entonces es cuando se adopta el punto de vista 
operacional, idealista, subjetivo, entonces se dirá que 
la computadora piensa siempre y cuando actué del 
mismo modo que lo hace una persona cuando está 
pensando. 
 
Para mostrar lo anterior Penrose utiliza la prueba de 
Turing para poder decidir si una computadora pudiera 
pensar. De acuerdo con esta prueba si se ocultará a un 
entrevistador si el entrevistado es una computadora o 
algún voluntario humano y el entrevistador y tratara de 
diferenciar entre computadora y humano mediante el 
procedimiento de plantear preguntas de cada uno de 
ellos, sí la computadora fuera capaz de responder todas 
las preguntas que se plantean de manera indistinguible 
ha como lo haría un ser humano entonces la conclusión 
sería que la computadora piensa y siente, ya que no hay 
forma de distinguir entre ambos. 
 
De este modo Penrose plantea que es factible la creación 
de la inteligencia artificial y lo fundamenta en que la 
 
 
actividad mental consiste simplemente en una 
frecuencia bien definida de operaciones, 
frecuentemente llamadas algoritmo. 
 
Las reflexiones anteriores de Penrose nos hacen 
plantearnos si las mismas ideas de mente y las formas 
de desarrollar algoritmos para seres humanos y 
máquinas deberían tomarse encuentra al momento de 
diseñar modelos de los agentes que compran y venden 
en los mercados financieros y también considerar en la 
modelación de precios de los activos ya que nos hace 
reflexionar sobre la racionalidad de los participantes. 
 
Por otra parte, además de la justificación de la 
utilización de las teorías de física y matemáticas en los 
medios económicos y financieros existe evidencia 
empírica o hechos estilizados que motivan la búsqueda 
de explicaciones más consistentes y profundas a las 
primeras aproximaciones de los comportamientos, 
sobre todo de las personas que operan y toman 
decisiones en los mercados financieros. 
 
Uno de los supuestos simplificadores sobre el 
comportamiento de los mercados es la distribución 
gaussiana en los rendimientos de los mercados. Pero 
este se ha ido derrumbando con las evidencias 
empíricas y se ha ido complementando con la 
propuesta de nuevas distribuciones. 
 
Durante varios años los financieros y economistas han 
tratado de analizar, explicar y cuantificar el rendimiento 
y el riesgo en los mercados. Las probabilidades de ruina 
financiera en una economía de mercado han sido 
permanente subestimadas, a lo largo del siglo XX se 
20 Phynance
 
 
utilizaron las carteras de inversión y la volatilidad de 
los mercados pero los hachos han obligado a 
reconsiderar si es correcta la forma de medición. 
 
En 1900 Louis Bachelier, un matemático francés tuvo la 
valentía de estudiar los mercados financieros en una 
época en que los matemáticos despreciaban el dinero 
como materia de estudio. Bachelier puso en marcha un 
nuevo modelo de teoría de la probabilidad aplicándolo 
también a bonos del estado francés, aplicando lo que se 
conocería más adelante como caminata aleatoria y que 
afirma que los precios subirán o bajaran con la misma 
probabilidad al igual que sucede con los volados águila 
o sol pero si los lanzamientos ocurrieran de manera 
muy frecuente. 
 
El trabajo de Bachelier estableció los cimientos de la 
teoría financiera y formuló las cuestiones básicas sobre 
el movimiento de los precios y propuso soluciones 
preliminares para algunos otros problemas. A pesar de 
sus contribuciones Bachelier murió en el anonimato y 
tuvo que pasar más de medio siglo para que su tesis 
fuera redescubierta, sus ideas construyeron una teoría 
de mercado, inversiones y finanzas, como cambian los 
precios , como piensan los inversionistas, como 
administrar el dinero y como definen el riesgo. 
 
Posteriormente los economistas desarrollaron el CAPM 
(Capital Asset Pricig modelo) toda una herramienta 
matemática para analizar los mercados a partir de la 
medición de las medias y varianzas. Según un estudio 
donde se pregunta a empresarios en su método para 
estimar el costo de capital, el método más usado es el 
CAPM emplean el 73.5 %de los encuestados. El CAPM 
21Nueva ideas de física en finanzas
 
 
utilizaron las carteras de inversión y la volatilidad de 
los mercados pero los hachos han obligado a 
reconsiderar si es correcta la forma de medición. 
 
En 1900 Louis Bachelier, un matemático francés tuvo la 
valentía de estudiar los mercados financieros en una 
época en que los matemáticos despreciaban el dinero 
como materia de estudio. Bachelier puso en marcha un 
nuevo modelo de teoría de la probabilidad aplicándolo 
también a bonos del estado francés, aplicando lo que se 
conocería más adelante como caminata aleatoria y que 
afirma que los precios subirán o bajaran con la misma 
probabilidad al igual que sucede con los volados águila 
o sol pero si los lanzamientos ocurrieran de manera 
muy frecuente. 
 
El trabajo de Bachelier estableció los cimientos de la 
teoría financiera y formuló las cuestiones básicas sobre 
el movimiento de los precios y propuso soluciones 
preliminares para algunos otros problemas. A pesar de 
sus contribuciones Bachelier murió en el anonimato y 
tuvo que pasar más de medio siglo para que su tesis 
fuera redescubierta, sus ideas construyeron una teoría 
de mercado, inversiones y finanzas, como cambian los 
precios , como piensan los inversionistas, como 
administrar el dinero y como definen el riesgo. 
 
Posteriormente los economistas desarrollaron el CAPM 
(Capital Asset Pricig modelo) toda una herramienta 
matemática para analizar los mercados a partir de la 
medición de las medias y varianzas. Según un estudio 
donde se pregunta a empresarios en su método para 
estimar el costo de capital, el método más usado es el 
CAPM emplean el 73.5 %de los encuestados. El CAPM 
 
 
es un método simple para valorar un activo sea una 
acción por comprar o una fábrica por construir fue 
concebido por el economista norteamericano Wlliam 
Sharpe a principios de los años 70 y es otra herramienta 
inspirada por en la teoría de Bachelier para la 
construcción moderna de la teoría moderna de 
portafolio. 
 
Una nueva teoría que aparece a escena es la ecuación 
de Black-Scholes para la valoración de contratos de 
opciones y riesgos, sus inventores el matemático Fisher 
Black de Harvard University y el economista canadiense 
Myron Scholes transformaron con su publicaciónseminal en el Journal Political Economy. Al principio 
incluyeron a Robert Merton pero luego trabajaron de 
manera independiente. Su trabajo dio origen a toda una 
nueva rama de conocimiento en las finanzas 
cuantitativas. 
 
Black y Scholes no se quedaron solo en su modelo 
teórico de la deducción de una ecuación diferencial para 
determinar la prima de riesgo de una opción sino lo 
pusieron en la práctica. Miles de empresas se emplean 
para valorar las opciones de la bolsa que conceden a las 
empresas líderes y ha permitido un tipo de comercio 
enteramente nuevo basado en la volatilidad. 
 
Por otra parte, de acuerdo con hechos históricos en 
1997 el índice Dow Jones (DJ) cayó 7.7 % en un solo día 
(la probabilidad de ocurrencia es 1 entre 50,000 
millones). En julio de 2002 el índice registro tres caídas 
en una semana (una probabilidad de 1 entre 4,000, 000) 
y el 19 de octubre de 1987 el peor día de la bolsa en 
menos de un siglo el índice cayó 29.2 % (la probabilidad 
22 Phynance
 
 
es inferior a 10-50). Esta caída tomo a todos por sorpresa, 
¡algo no estaba funcionando bien! Según los académicos 
afirmaban que la ocurrencia de un evento así era 
prácticamente era imposible de ocurrir. 
 
Todos los modelos de las ciencias básicas o aplicadas 
necesariamente distorsionan la realidad de una u otra 
manera, por lo tanto se deben de reconsiderar algunos 
de los supuestos de la teoría financiera ortodoxa. 
 
En el caso de las finanzas y en particular de los 
mercados en primer lugar los agentes son racionales y 
entonces su única meta es enriquecerse, en el lenguaje 
económico se diría que mayor riqueza y bienestar 
maximizan la utilidad, es decir, inversionistas 
racionales constituyen un modelo racional del mercado. 
Sin embargo, en la realidad no solamente se piensa en 
una utilidad teórica medible y no siempre los agentes 
actúan racionalmente y en interés propio. 
 
Por otro lado, el supuesto de que todos los 
inversionistas tienen los mismos objetivos y un mismo 
horizonte de inversión de tiempo tampoco es 
completamente cierto en la realidad. En los mercados 
se cuentan con distintos horizontes de inversión, 
patrimonios y no todas las personas son iguales. De 
igual forma, el supuesto de que el cambio en los precios 
se mueven de forma continua no es completamente 
verdad, si se revisan las series financieras se presenta 
saltos que pueden modelarse con la teoría de valores 
extremos. 
 
Además del supuesto de modelación de que los precios 
de los activos financieros siguen un movimiento 
23Nueva ideas de física en finanzas
 
 
es inferior a 10-50). Esta caída tomo a todos por sorpresa, 
¡algo no estaba funcionando bien! Según los académicos 
afirmaban que la ocurrencia de un evento así era 
prácticamente era imposible de ocurrir. 
 
Todos los modelos de las ciencias básicas o aplicadas 
necesariamente distorsionan la realidad de una u otra 
manera, por lo tanto se deben de reconsiderar algunos 
de los supuestos de la teoría financiera ortodoxa. 
 
En el caso de las finanzas y en particular de los 
mercados en primer lugar los agentes son racionales y 
entonces su única meta es enriquecerse, en el lenguaje 
económico se diría que mayor riqueza y bienestar 
maximizan la utilidad, es decir, inversionistas 
racionales constituyen un modelo racional del mercado. 
Sin embargo, en la realidad no solamente se piensa en 
una utilidad teórica medible y no siempre los agentes 
actúan racionalmente y en interés propio. 
 
Por otro lado, el supuesto de que todos los 
inversionistas tienen los mismos objetivos y un mismo 
horizonte de inversión de tiempo tampoco es 
completamente cierto en la realidad. En los mercados 
se cuentan con distintos horizontes de inversión, 
patrimonios y no todas las personas son iguales. De 
igual forma, el supuesto de que el cambio en los precios 
se mueven de forma continua no es completamente 
verdad, si se revisan las series financieras se presenta 
saltos que pueden modelarse con la teoría de valores 
extremos. 
 
Además del supuesto de modelación de que los precios 
de los activos financieros siguen un movimiento 
 
 
browniano considerando los supuestos de 
independencia y normalidad tampoco es 
completamente cierto en los hechos empíricos. 
 
Paralelamente a las observaciones de los párrafos 
anteriores, Stanley y Mantegna y más adelante D. 
Sornette han ido planteando y desarrollando una nueva 
rama de conocimiento que se ha denominado 
econofísica. Esta área multidisciplinaria utiliza 
fundamentalmente herramientas de física estadística en 
la solución de problemas económicos donde un punto 
importante a considerar es la utilización de leyes de 
potencia en sustitución de funciones gaussianas. 
 
Si se analiza detenidamente el comportamiento de los 
rendimientos de los activos se encuentra que siguen una 
distribución muy parecida a la campana de Gauss pero 
las colas no se van adelgazando hasta hacerse 
imperceptibles sino que siguen un Ley de potencia. En 
economía, la Ley de Pareto describe la distribución de 
los ingresos en la capa superiores de la sociedad, en 
donde gran parte de la riqueza de la sociedad se 
concentra en unos pocos, una campana de Gauss 
tendría mayor equidad pues distribuiría los ingresos de 
manera más simétrica en torno a la media. 
 
Otra reciente aportación proviene de las aportaciones 
de Nicolas Taleb quien analiza el mundo del azar para 
mostrar el gran impacto de los sucesos de baja 
probabilidad en nuestra vida. Introduce un nuevo tipo 
de suceso con tres propiedades: 1) Es un evento raro 2) 
Produce un efecto dramático en nuestra existencia 3) Es 
tan importante que no podemos evitar empeñarnos en 
buscarle explicaciones luego de lo ocurrido. Las guerras 
24 Phynance
 
 
y los colapsos financieros son los mejores ejemplos de 
este tipo de eventos conocidos como cisnes negros. El 
punto central de su trabajo es que los individuos fallan 
en la correcta identificación de estos dos mundos y a 
menudo tratan a fenómenos con gran aleatoriedad e 
impredecibles como predecibles y donde el promedio 
es representativo. 
 
Existe otra propuesta de D. Sornette sobre eventos 
extremos es la conocida como Dragon-Kings por 
Sornette que corresponde a los outliers significativos 
que se encuentran coexistiendo con leyes de potencia en 
la distribución de eventos bajo un amplio rango de 
condiciones en una gran variedad de sistemas. Estos 
Dragons-Kings revelan la existencia de mecanismos de 
auto organización que están aparentemente en otra 
dirección de las distribuciones del mismo tipo. 
 
Es importante mencionar que los Dragon-Kings 
aparecen sobre todo en los puntos de inflexión, las 
transiciones de fase, las bifurcaciones o catástrofes. 
Algunos ejemplos usan las leyes de potencia derivadas 
de los métodos anteriores para entender y predecir 
crisis y burbujas financieras. 
 
Finalmente un tema de suma importancia es el hecho 
relacionado a la Hipótesis de Mercados Eficientes de los 
mercados financieros. El paradigma más comúnmente 
aceptado en el mundo financiero es que el mercado es 
altamente eficiente en la determinación del precio más 
racional. La hipótesis de mercados eficiente fue 
originalmente formulada en 1960 y se dice en términos 
generales que un mercado es eficiente si toda la 
información disponible es instantáneamente procesada 
25Nueva ideas de física en finanzas
 
 
y los colapsos financieros son los mejores ejemplos de 
este tipo de eventos conocidos como cisnes negros. El 
punto central de su trabajo es que los individuos fallan 
en la correcta identificación de estos dos mundos y a 
menudo tratan a fenómenos con gran aleatoriedad e 
impredecibles como predecibles y donde el promedio 
es representativo. 
 
Existe otra propuesta de D. Sornette sobre eventos 
extremos es la conocida como Dragon-Kings por 
Sornette que corresponde a los outliers significativos 
que se encuentran coexistiendo con leyes de potenciaen 
la distribución de eventos bajo un amplio rango de 
condiciones en una gran variedad de sistemas. Estos 
Dragons-Kings revelan la existencia de mecanismos de 
auto organización que están aparentemente en otra 
dirección de las distribuciones del mismo tipo. 
 
Es importante mencionar que los Dragon-Kings 
aparecen sobre todo en los puntos de inflexión, las 
transiciones de fase, las bifurcaciones o catástrofes. 
Algunos ejemplos usan las leyes de potencia derivadas 
de los métodos anteriores para entender y predecir 
crisis y burbujas financieras. 
 
Finalmente un tema de suma importancia es el hecho 
relacionado a la Hipótesis de Mercados Eficientes de los 
mercados financieros. El paradigma más comúnmente 
aceptado en el mundo financiero es que el mercado es 
altamente eficiente en la determinación del precio más 
racional. La hipótesis de mercados eficiente fue 
originalmente formulada en 1960 y se dice en términos 
generales que un mercado es eficiente si toda la 
información disponible es instantáneamente procesada 
 
 
en cuando llega y es inmediatamente reflejada en un 
nuevo precio de los activos que se están comerciando. 
 
El fundamento de la hipótesis de mercados eficientes 
también se plantea desde el trabajo de Bachelier y su 
propuesta de comportamiento de los precios en un 
mercado puede ser a través de un proceso estocástico. 
La formulación de Samuelson (1965) mostró que los 
precios anticipados fluctúan aleatoriamente. Usando la 
hipótesis del comportamiento racional y los mercados 
eficientes se demostró que el valor esperado del precio 
en la unidad de tiempo siguiente (𝑡𝑡 + 1) dada la 
información hasta ese momento es el valor del precio 
en el tiempo 𝑡𝑡. 
 
Los procesos estocásticos que cumplen esa propiedad 
son llamadas martingalas que explicado en términos 
intuitivos se trata de modelos probabilísticos de juegos 
justos, donde las ganancias son compensadas por la 
pérdidas y la riqueza futura esperada de los jugadores 
debe corresponder con los valores presentes de los 
jugadores. La conclusión del juego justo sobre el cambio 
observado en los precios en un mercado financiero es 
equivalente a establecer que no se pueden hacer 
ganancias en los activos simplemente usando los datos 
históricos de las fluctuaciones de los precios, es decir, 
que la forma débil de la hipótesis de mercados que los 
cambios en los precios de las series financieras son 
prácticamente imposibles de predecir. 
 
Desde 1960 se han desarrollado un gran número de 
investigaciones empíricas dedicadas a probar la 
hipótesis de los mercados eficientes y la mayoría de 
estos estudios la han apoyado. Sin embargo, desde 1980 
26 Phynance
 
 
utilizando además la información del valor presente de 
las proporciones ganancias/precios, dividendos y 
variables estructurales es posible hacer predicciones de 
las tasas de rendimiento a escalas mayores. En este caso 
las observaciones han desafiado la forma más estricta la 
hipótesis de los mercados eficientes. 
 
De lo anterior se concluye que las series financieras son 
impredecibles y sus valores futuros esencialmente 
imposibles de predecir, esta propiedad no es una 
manifestación del hecho que las series de tiempo 
financieras de precios no reflejen información 
importante. 
 
Los mercados eficientes son idealizaciones de los 
mercados reales es una forma muy común de cómo 
trabajan en ciencias básicas. Efectivamente el uso de los 
sistemas idealizados en investigación científica ha sido 
instrumental en el desarrollo de la física como 
disciplina. La física utiliza abstracciones con el objeto 
de desarrollar teoría y diseñar experimentos que 
siempre tienen en mente que son sistemas idealizados 
son solo aproximaciones a la realidad que siempre se 
desviara de los ideales. Algo parecido puede ser tomado 
en el estudio de los sistemas financieros, se asume 
condiciones realistas como ideal la existencia de un 
mercado eficiente perfecto y dentro de un sistema ideal. 
La validez de los resultados dependerá de la validez en 
los supuestos considerados. 
 
De manera general la Hipótesis de Mercados Eficientes 
(HME) descansa en tres argumentos los cuales son 
progresivamente más débiles. La primera es que los 
inversionistas se asumen racionales y valoran sus 
27Nueva ideas de física en finanzas
 
 
utilizando además la información del valor presente de 
las proporciones ganancias/precios, dividendos y 
variables estructurales es posible hacer predicciones de 
las tasas de rendimiento a escalas mayores. En este caso 
las observaciones han desafiado la forma más estricta la 
hipótesis de los mercados eficientes. 
 
De lo anterior se concluye que las series financieras son 
impredecibles y sus valores futuros esencialmente 
imposibles de predecir, esta propiedad no es una 
manifestación del hecho que las series de tiempo 
financieras de precios no reflejen información 
importante. 
 
Los mercados eficientes son idealizaciones de los 
mercados reales es una forma muy común de cómo 
trabajan en ciencias básicas. Efectivamente el uso de los 
sistemas idealizados en investigación científica ha sido 
instrumental en el desarrollo de la física como 
disciplina. La física utiliza abstracciones con el objeto 
de desarrollar teoría y diseñar experimentos que 
siempre tienen en mente que son sistemas idealizados 
son solo aproximaciones a la realidad que siempre se 
desviara de los ideales. Algo parecido puede ser tomado 
en el estudio de los sistemas financieros, se asume 
condiciones realistas como ideal la existencia de un 
mercado eficiente perfecto y dentro de un sistema ideal. 
La validez de los resultados dependerá de la validez en 
los supuestos considerados. 
 
De manera general la Hipótesis de Mercados Eficientes 
(HME) descansa en tres argumentos los cuales son 
progresivamente más débiles. La primera es que los 
inversionistas se asumen racionales y valoran sus 
 
 
títulos racionalmente. La segunda es que algunos 
inversionistas no son racionales y sus transacciones son 
aleatorias por lo tanto cancelan entre ellos sin afectar 
los precios. Y tercero, extender que los inversionistas 
son irracionales en forma similar ellos entran en el 
mercado por arbitraje racional que elimina su influencia 
en los precios. 
 
Cuando los inversionistas son racionales ellos valoran 
cada título por su valor fundamental, el valor presente 
neto de su flujo futuro descontado utilizando las 
características de su riesgo. Cuando los inversionistas 
aprenden algo sobre los valores fundamentales de los 
títulos, ellos rápidamente responden incrementando los 
precios cuando la noticia es buena y disminuyéndola 
cuando es mala. Como consecuencia los precios de los 
títulos incorporan toda la información disponible casi 
inmediatamente y los precios se ajustan a los nuevos 
niveles correspondientes al nuevo valor presente del 
flujo de efectivo. 
 
Como se ha visto de los párrafos anteriores, desde su 
inicio las finanzas cuantitativas han ido evolucionado 
acompañadas de niveles cada vez más sofisticados de 
matemáticas y de las concepciones generales de la 
ciencia en general. Además de la parte técnica de la 
modelación conviene reflexionar sobre la dirección e 
interpretación que se le están dando a los resultados y 
como las teorías y herramientas más avanzadas y 
contemporáneas de la física se pueden ir vinculando a 
las finanzas, al final todos los fenómenos existen en el 
mismo universo. 
 
28 Phynance
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPITULO 2 
29Nueva ideas de física en finanzas
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPITULO 2 
 
 
Capítulo 2 
Ecuación Black-Scholes y Volatilidad 
 
2.1 Modelo de Black-Scholes 
 
Recordemos que una opción financiera es un contrato 
que le da al tenedor o comprador el derecho, más no la 
obligación, de comprar o vender algún activo financiero 
en una fecha predeterminada a un precio 
preestablecido (call option). Una opciónde venta le da 
al tenedor el derecho, más no la obligación, de vender 
un valor hasta una fecha predeterminada y a un cierto 
precio preestablecido. 
Por su duración las opciones se dividen en opciones 
europeas y americanas. Las primeras sólo pueden ser 
ejercidas en la fecha de vencimiento, mientras que las 
segundas son aquellas que se pueden ejercer durante la 
vida de la opción, en cualquier momento antes de la 
expiración. 
El modelo Black-Scholes (1973) fue desarrollado por 
Fischer Black, Myron Scholes y Robert Merton y 
propone una técnica para la estimación de precios de 
opciones sobre acciones, posteriormente, Merton 
analizó la valoración de derivados suponiendo procesos 
estocásticos más complejos para el precio del activo 
subyacente, tales como discontinuidades. Este modelo 
ha tenido una gran influencia en la manera en que se 
determina el precio de las opciones, así como en sus 
30 Phynance
 
 
coberturas. El desarrollo de esta teoría les valió a Black, 
Scholes y Merton el premio Nobel de Economía en 1997. 
El modelo Black-Scholes asume que el comportamiento 
de los precios sigue una distribución lognormal y 
considera una posición de cobertura con un portafolio 
que contenga el subyacente (posición larga) y una de 
opciones (posición corta). Mediante argumentos de 
arbitraje se va llegando a la construcción de una 
ecuación diferencial parcial de segundo orden cuya 
solución representa el precio de la prima. Este modelo 
es sólo aplicable a opciones europeas. A continuación se 
presenta la expresión para la valuación de opciones de 
compra Call (De Lara, 2003): 
Los supuestos principales del modelo Black-Scholes son 
los siguientes: 
1) La tasa libre de riesgos de corto plazo y la volatilidad 
del subyacente son conocidas y constantes durante la 
vida de la opción. 
 
2) Para precio del valor subyacente se modela el 
comportamiento como movimiento geométrico 
browniano (una caminata aleatoria continua). 
 
3) Es posible pedir prestado una parte del valor 
subyacente, no hay costos de transacción en la compra 
o venta del subyacente o la opción, ni pago de 
dividendos. 
 
31Nueva ideas de física en finanzas
 
 
coberturas. El desarrollo de esta teoría les valió a Black, 
Scholes y Merton el premio Nobel de Economía en 1997. 
El modelo Black-Scholes asume que el comportamiento 
de los precios sigue una distribución lognormal y 
considera una posición de cobertura con un portafolio 
que contenga el subyacente (posición larga) y una de 
opciones (posición corta). Mediante argumentos de 
arbitraje se va llegando a la construcción de una 
ecuación diferencial parcial de segundo orden cuya 
solución representa el precio de la prima. Este modelo 
es sólo aplicable a opciones europeas. A continuación se 
presenta la expresión para la valuación de opciones de 
compra Call (De Lara, 2003): 
Los supuestos principales del modelo Black-Scholes son 
los siguientes: 
1) La tasa libre de riesgos de corto plazo y la volatilidad 
del subyacente son conocidas y constantes durante la 
vida de la opción. 
 
2) Para precio del valor subyacente se modela el 
comportamiento como movimiento geométrico 
browniano (una caminata aleatoria continua). 
 
3) Es posible pedir prestado una parte del valor 
subyacente, no hay costos de transacción en la compra 
o venta del subyacente o la opción, ni pago de 
dividendos. 
 
 
 
La ecuación de Black – Scholes es una ecuación 
diferencial parcial de segundo orden y de los supuestos 
anteriores se puede deducir 
 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕 +
1
2 𝜎𝜎
2𝑆𝑆2 𝜕𝜕
2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑆𝑆2 + 𝑟𝑟𝑆𝑆𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑆𝑆𝑡𝑡
− 𝑟𝑟𝑟𝑟 = 0 (2.1) 
 
Con la condición de frontera 
 
𝑟𝑟(𝑆𝑆𝜏𝜏𝑇𝑇) = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀(𝑆𝑆𝜏𝜏 − 𝐾𝐾, 0) (2.1 a) 
y cuya solución para el caso de la opción call es 
ampliamente conocida 
𝑟𝑟 = 𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑑𝑑1) − 𝐾𝐾𝑒𝑒−𝑟𝑟𝑇𝑇𝑆𝑆(𝑑𝑑2) 
(2.2) 
𝑑𝑑1 =
𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑆𝑆𝐾𝐾)+[𝑟𝑟+
𝜎𝜎2
2 ]𝑇𝑇
𝜎𝜎√𝜕𝜕 (2.2 a) 
𝑑𝑑2 = 𝑑𝑑1 − 𝜎𝜎√𝑇𝑇 (2.2 b) 
en donde 
 
𝑆𝑆 = precio de inicio del activo subyacente 
𝐾𝐾 = precio del ejercicio 
𝑟𝑟 = tasa libre de riesgo 
𝑇𝑇 = periodo de vencimiento de la opción 
σ = volatilidad del bien subyacente 
𝑆𝑆(𝑑𝑑1)y 𝑆𝑆(𝑑𝑑2)= valores que corresponden a la función 
de distribución normal estandarizada. 
 
32 Phynance
 
 
2. 2 Volatilidad 
 
En economía y finanzas el tema de la volatilidad se 
relaciona a un indicador de la incertidumbre de los 
rendimientos y generalmente está asociado al 
estimador estadístico de desviación estándar de un 
activo. 
 
Aunque existen diferentes definiciones de la volatilidad, 
típicamente se le reconoce como una medida de 
dispersión de la información alrededor de la media. La 
volatilidad no tiene porque ser una constante y puede 
ser analizada como un proceso que varía en el tiempo. 
Existen distintas formas de modelar la volatilidad como 
pueden ser: la estimación paramétrica, la histórica con 
promedio móvil, utilizando series de tiempo 
(𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐺𝐺𝐴𝐴𝐴𝐴𝐺𝐺𝐺𝐺), con procesos estocásticos la 
volatilidad implícita y volatilidad local. 
 
De los hechos estilizados se ha observado dos 
características importantes: el efecto clustering donde 
que las volatilidades altas tienden a persistir por 
periodos prolongados antes de alcanzar un equilibrio de 
largo plazo. Y la segunda conocida como 
apalancamiento afirma que la volatilidad aumenta más 
que proporcionalmente cuando los rendimientos 
aumentan que cuando los rendimientos disminuyen. 
 
El método paramétrico para estimar la volatilidad es el 
más sencillo pero el menos preciso de los métodos. La 
volatilidad es un parámetro que no cambia en el tiempo 
y mantiene su mismo valor durante toda la muestra de 
tamaño y corresponde a la varianza o desviación 
estándar muestral. La principal desventaja de este 
33Nueva ideas de física en finanzas
 
 
2. 2 Volatilidad 
 
En economía y finanzas el tema de la volatilidad se 
relaciona a un indicador de la incertidumbre de los 
rendimientos y generalmente está asociado al 
estimador estadístico de desviación estándar de un 
activo. 
 
Aunque existen diferentes definiciones de la volatilidad, 
típicamente se le reconoce como una medida de 
dispersión de la información alrededor de la media. La 
volatilidad no tiene porque ser una constante y puede 
ser analizada como un proceso que varía en el tiempo. 
Existen distintas formas de modelar la volatilidad como 
pueden ser: la estimación paramétrica, la histórica con 
promedio móvil, utilizando series de tiempo 
(𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐺𝐺𝐴𝐴𝐴𝐴𝐺𝐺𝐺𝐺), con procesos estocásticos la 
volatilidad implícita y volatilidad local. 
 
De los hechos estilizados se ha observado dos 
características importantes: el efecto clustering donde 
que las volatilidades altas tienden a persistir por 
periodos prolongados antes de alcanzar un equilibrio de 
largo plazo. Y la segunda conocida como 
apalancamiento afirma que la volatilidad aumenta más 
que proporcionalmente cuando los rendimientos 
aumentan que cuando los rendimientos disminuyen. 
 
El método paramétrico para estimar la volatilidad es el 
más sencillo pero el menos preciso de los métodos. La 
volatilidad es un parámetro que no cambia en el tiempo 
y mantiene su mismo valor durante toda la muestra de 
tamaño y corresponde a la varianza o desviación 
estándar muestral. La principal desventaja de este 
 
 
modelo se debe a que el pronósticode volatilidad 
corresponde a la estimación de la volatilidad pasada. 
 
La volatilidad histórica de promedio móvil abre una 
ventana móvil de un cierto horizonte de tiempo que se 
va recorriendo sobre el periodo completo. La volatilidad 
no es un parámetro sino un proceso que va 
evolucionando en el tiempo, a diferencia del caso 
anterior. Con el método de promedio móvil para una 
muestra, en cada estimación de la varianza se añade 
una nueva observación al final de la serie y 
simultáneamente se elimina la primera de ellas. El 
inicio y fin del proceso dependerá del tamaño total de 
la muestra. Las principales desventajas de este método 
es su sensibilidad al número de observaciones del 
promedio móvil o del tamaño de la ventana y además 
que la ponderación que cada observación recibe es la 
misma independientemente de si la información pueda 
ser reciente o lejana. De la misma forma que en los casos 
anteriores el pronóstico será igual a la volatilidad 
vigente. 
 
Considerando series de tiempo el modelo 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 
(modelo autoregresivo y de promedios móviles) toma 
en cuenta que el promedio de los rendimientos es de 
cero y modela la varianza de los rendimientos o el 
cuadrado de los rendimientos mediante una regresión 
lineal con el cuadrado de los rendimientos de periodos 
anteriores. Este modelo se puede pensar como una 
generalización del caso anterior donde los coeficientes 
o pesos están determinados mediante un proceso de 
regresión. El modelo tiene las ventajas de que es capaz 
de realizar pronósticos de la estructura intertemporal 
34 Phynance
 
 
de la volatilidad y de disminuir la estimación del efecto 
clustering y explotar el efecto de apalancamiento. 
 
Otro modelo de la familia de series de tiempo es el 
modelo 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 (Generalized Autoregressive 
Condicional Heteroskedasticity) que pretende estimar 
la varianza no condicional de los rendimientos de los 
activos financieros. En el caso más simple GARCH (1,1) 
mediante una regresión lineal supone que la varianza 
condicional como función de un término independiente, 
del error del periodo anterior y de la varianza del 
periodo anterior que corresponde al termino 
autoregresivo. Para que en modelo sea estacionario se 
requiere que los estimadores o coeficientes de la 
regresión sean positivos (incluyendo el término 
independiente) y que la suma de los dos primeros sea 
menor o igual a uno. Para la estimación de la varianza se 
requiere de la media que a su vez se estima también 
mediante una regresión donde el periodo actual se 
explica por el rendimiento del periodo anterior más un 
término aleatorio. 
 
Entre las principales ventajas de este modelo se puede 
mencionar que se puede hacer un pronóstico de la 
volatilidad en cualquier periodo futuro y de esta forma 
construir la estructura temporal de la volatilidad, 
además de capturar el efecto de clustering y no 
sobresestimar el efecto de apalancamiento. 
 
Por otra parte, dentro de la familia de volatilidad 
estocástica existe una gran cantidad de modelos, en 
general consiste en estimar mediante un movimiento 
geométrico browniano el comportamiento de la 
varianza de un activo compuesto por un término de 
35Nueva ideas de física en finanzas
 
 
de la volatilidad y de disminuir la estimación del efecto 
clustering y explotar el efecto de apalancamiento. 
 
Otro modelo de la familia de series de tiempo es el 
modelo 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 (Generalized Autoregressive 
Condicional Heteroskedasticity) que pretende estimar 
la varianza no condicional de los rendimientos de los 
activos financieros. En el caso más simple GARCH (1,1) 
mediante una regresión lineal supone que la varianza 
condicional como función de un término independiente, 
del error del periodo anterior y de la varianza del 
periodo anterior que corresponde al termino 
autoregresivo. Para que en modelo sea estacionario se 
requiere que los estimadores o coeficientes de la 
regresión sean positivos (incluyendo el término 
independiente) y que la suma de los dos primeros sea 
menor o igual a uno. Para la estimación de la varianza se 
requiere de la media que a su vez se estima también 
mediante una regresión donde el periodo actual se 
explica por el rendimiento del periodo anterior más un 
término aleatorio. 
 
Entre las principales ventajas de este modelo se puede 
mencionar que se puede hacer un pronóstico de la 
volatilidad en cualquier periodo futuro y de esta forma 
construir la estructura temporal de la volatilidad, 
además de capturar el efecto de clustering y no 
sobresestimar el efecto de apalancamiento. 
 
Por otra parte, dentro de la familia de volatilidad 
estocástica existe una gran cantidad de modelos, en 
general consiste en estimar mediante un movimiento 
geométrico browniano el comportamiento de la 
varianza de un activo compuesto por un término de 
 
 
tendencia y una parte estocástica de un movimiento 
browniano. 
 
La estimación de la volatilidad futura en los mercados 
financieros es uno de los grandes problemas abiertos en 
la investigación de las finanzas cuantitativas. Los 
trabajos seminales sobre el tema realizado por Derman 
y Dupire y otros autores proporcionan los elementos 
básicos iniciales para el desarrollo de nuevas teorías. A 
continuación presentamos un resumen de sus trabajos. 
 
El concepto de volatilidad implícita Σ(𝑆𝑆, 𝑡𝑡, 𝐾𝐾, 𝑇𝑇) de una 
opción financiera se puede aproximar al promedio de 
las volatilidades locales 𝜎𝜎(𝑆𝑆, 𝑡𝑡) sobre la vida de la opción 
entre el precio del subyacente y el precio de ejercicio. 
La idea es análoga al del yield to maturity de bonos 
cupon cero sobre un promedio de tasas forward de las 
tasas de interés. 
 
Dado el precio de una acción para un tiempo inicial 
𝑡𝑡0 , 𝑆𝑆0, con vencimiento en 𝑇𝑇 el conjunto de valores de 
primas de opciones descontados para distintos valores 
de precio de ejercicio 𝐾𝐾 con una función de densidad 
neutral al riesgo 𝜑𝜑 de valor final del precio esta dado 
por 
 
𝐶𝐶(𝑆𝑆0,𝐾𝐾, 𝑇𝑇) = ∫ 𝑑𝑑𝑆𝑆𝑇𝑇
∞
𝐾𝐾 𝜑𝜑(𝑆𝑆𝑇𝑇,𝑇𝑇; 𝑆𝑆0)(𝑆𝑆𝑇𝑇 − 𝐾𝐾) (2.3) 
 
derivando dos veces respecto a la misma variable 
 
𝜑𝜑(𝐾𝐾, 𝑇𝑇; 𝑆𝑆0) = 
𝜕𝜕2𝐶𝐶
𝜕𝜕𝐾𝐾2 (2.4) 
 
 
36 Phynance
 
 
Dado un precio final 𝑆𝑆 𝑇𝑇 en el vencimiento 𝑇𝑇 
condicionada al precio spot inicial 𝑆𝑆0 . Dupire [1994] 
demuestra que hay solo un único proceso de difusión 
neutral al riesgo el cual es capaz de generar tal 
distribución, es decir, dado un universo de precios de 
opciones europeas se podría determinar la forma 
funcional del parámetro de difusión (llamada 
volatilidad local) del único proceso de difusión neutral 
al riesgo el cual genera esos precios, haciendo notar que 
la volatilidad local en general será una función del 
precio actual 𝑆𝑆0 . 
 
 Se propone un activo que sigue un proceso geométrico 
browniano 
 
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑 = 𝜇𝜇𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝜎𝜎(𝑆𝑆𝑡𝑡,𝑡𝑡; 𝑆𝑆0) 𝑑𝑑𝑑𝑑 (2.5) 
 
Aplicando el lema de Ito junto con la neutralidad del 
riesgo se podrá deducir una ecuación diferencial parcial 
para las funciones del precio de la acción la cual es una 
generalización directa de Black Scholes, en particular la 
seudo densidad de probabilidad debe satisfacer la 
ecuación de Fokker-Planck. 
 
Lo anterior conduce al siguiente precio de la opción 
descontado en términos del precio strike 
 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑇𝑇 =
𝜎𝜎2𝐾𝐾2
2 
𝜕𝜕2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝐾𝐾2 + (𝑟𝑟𝑡𝑡 − 𝑑𝑑𝑡𝑡) (𝐶𝐶 − 𝐾𝐾
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝐾𝐾) (2.6) 
 
donde 𝑟𝑟𝑡𝑡 es la tasa libre de riesgo, 𝑑𝑑𝑡𝑡 son los dividendos 
y 𝐶𝐶 es el valor de la prima de la opción call. 
 
37Nueva ideas de física en finanzas
 
 
Dado un precio final 𝑆𝑆 𝑇𝑇 en el vencimiento 𝑇𝑇 
condicionada al precio spot inicial 𝑆𝑆0 . Dupire [1994] 
demuestra que hay solo un únicoproceso de difusión 
neutral al riesgo el cual es capaz de generar tal 
distribución, es decir, dado un universo de precios de 
opciones europeas se podría determinar la forma 
funcional del parámetro de difusión (llamada 
volatilidad local) del único proceso de difusión neutral 
al riesgo el cual genera esos precios, haciendo notar que 
la volatilidad local en general será una función del 
precio actual 𝑆𝑆0 . 
 
 Se propone un activo que sigue un proceso geométrico 
browniano 
 
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑 = 𝜇𝜇𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝜎𝜎(𝑆𝑆𝑡𝑡,𝑡𝑡; 𝑆𝑆0) 𝑑𝑑𝑑𝑑 (2.5) 
 
Aplicando el lema de Ito junto con la neutralidad del 
riesgo se podrá deducir una ecuación diferencial parcial 
para las funciones del precio de la acción la cual es una 
generalización directa de Black Scholes, en particular la 
seudo densidad de probabilidad debe satisfacer la 
ecuación de Fokker-Planck. 
 
Lo anterior conduce al siguiente precio de la opción 
descontado en términos del precio strike 
 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑇𝑇 =
𝜎𝜎2𝐾𝐾2
2 
𝜕𝜕2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝐾𝐾2 + (𝑟𝑟𝑡𝑡 − 𝑑𝑑𝑡𝑡) (𝐶𝐶 − 𝐾𝐾
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝐾𝐾) (2.6) 
 
donde 𝑟𝑟𝑡𝑡 es la tasa libre de riesgo, 𝑑𝑑𝑡𝑡 son los dividendos 
y 𝐶𝐶 es el valor de la prima de la opción call. 
 
 
 
Supongamos que el proceso de difusión tiene una 
tendencia neutral al riesgo 𝜇𝜇𝑡𝑡 = 𝑟𝑟𝑡𝑡 − 𝑑𝑑𝑡𝑡 con volatilidad 
local 𝜎𝜎(𝑆𝑆, 𝑡𝑡) 
 
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑 = 𝜇𝜇𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝜎𝜎(𝑆𝑆𝑡𝑡,𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑 (2.7) 
 
donde el valor de una opción europea con precio strike 
𝐾𝐾 y vencimiento 𝑇𝑇 esta dado por 
 
𝐶𝐶(𝑆𝑆0,𝐾𝐾, 𝑇𝑇) = ∫ 𝑑𝑑𝑆𝑆𝑇𝑇
∞
𝑘𝑘 𝜑𝜑(𝑆𝑆𝑇𝑇,𝑇𝑇; 𝑆𝑆0)(𝑆𝑆𝑇𝑇 − 𝐾𝐾) (2.8) 
 
donde 𝜑𝜑(𝑆𝑆𝑇𝑇, 𝑇𝑇; 𝑆𝑆0) es la seudo densidad de probabilidad 
del spot final en el tiempo 𝑇𝑇, de acuerdo a la ecuaciónd 
Fokker-Planck 
 
1
2
𝜕𝜕2
𝜕𝜕𝑑𝑑𝑇𝑇2
(𝜎𝜎2𝑆𝑆𝑇𝑇2𝜑𝜑) − 𝑆𝑆
𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑑𝑑𝑇𝑇
(𝜇𝜇 𝑆𝑆𝑇𝑇𝜑𝜑) =
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑇𝑇 (2.9) 
 
Derivando respecto a 𝐾𝐾 dos veces la función anterior 
 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕 = − ∫ 𝑑𝑑𝑆𝑆𝑇𝑇𝜑𝜑(𝑆𝑆𝑇𝑇,𝑇𝑇; 𝑆𝑆0)
∞
𝜕𝜕 
(2.10) 
𝜕𝜕2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕2 = 𝜑𝜑(𝐾𝐾, 𝑇𝑇; 𝑆𝑆0) (2.10 a) 
 
derivando ahora respecto al tiempo 
 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑇𝑇 = ∫ 𝑑𝑑𝑆𝑆𝑇𝑇
∞
𝑘𝑘 {
𝜕𝜕2
𝜕𝜕𝑑𝑑𝑇𝑇2
(𝜎𝜎2𝑆𝑆𝑇𝑇2𝜑𝜑) −
𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑑𝑑𝑇𝑇
(𝜇𝜇 𝑆𝑆𝑇𝑇𝜑𝜑)} (𝑆𝑆𝑇𝑇 − 𝐾𝐾)}} 
 (2.11) 
 
integrando por partes se llega 
 
38 Phynance
 
 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕 =
𝜎𝜎2𝐾𝐾2
2
𝜕𝜕2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝐾𝐾2 + 𝜇𝜇 (𝑇𝑇) (−𝐾𝐾
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝐾𝐾) (2.12) 
 
la expresión anterior se conoce como la ecuación de 
Dupire, cuando la acción o activo subyacente tiene una 
tendencia neutral al riesgo y el precio forward de la 
acción en el tiempo 𝑇𝑇 esta dado por 
 
𝐹𝐹𝜕𝜕 = 𝑆𝑆0 exp {∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜇𝜇𝑡𝑡}
𝜕𝜕
0 (2.13) 
 
siguiendo la misma expresión menos el término de 
tendencia 
 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕 =
1
2 𝜎𝜎
2𝐾𝐾2 𝜕𝜕
2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝐾𝐾2 (2.14) 
 
donde 𝐶𝐶 representa la prima de la opción 𝐶𝐶(𝐹𝐹𝜕𝜕, 𝐾𝐾, 𝑇𝑇) y 
después de despejar la varianza nos queda 
 
𝜎𝜎2(𝐾𝐾, 𝑇𝑇, 𝑆𝑆0) = 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
1
2𝐾𝐾
2 𝜕𝜕2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝐾𝐾2
 (2.15) 
 
La expresión anterior corresponde a la definición de 
volatilidad local de un cierto proceso estocástico. Los 
precios de mercado de las opciones generalmente están 
en términos de la volatilidad implícita 𝜎𝜎𝐵𝐵𝐵𝐵(𝐾𝐾, 𝑇𝑇) de la 
siguiente manera 
 
𝐶𝐶(𝑆𝑆0, 𝐾𝐾, 𝑇𝑇) = 𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵((𝑆𝑆0,𝐾𝐾, 𝑇𝑇), 𝑇𝑇) (2.16) 
 
lo que más conveniente es trabajar en términos de dos 
variables adimensionales donde la varianza total 
implícita Black-Scholes 𝜔𝜔 está definida por 
 
39Nueva ideas de física en finanzas
 
 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕 =
𝜎𝜎2𝐾𝐾2
2
𝜕𝜕2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝐾𝐾2 + 𝜇𝜇 (𝑇𝑇) (−𝐾𝐾
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝐾𝐾) (2.12) 
 
la expresión anterior se conoce como la ecuación de 
Dupire, cuando la acción o activo subyacente tiene una 
tendencia neutral al riesgo y el precio forward de la 
acción en el tiempo 𝑇𝑇 esta dado por 
 
𝐹𝐹𝜕𝜕 = 𝑆𝑆0 exp {∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜇𝜇𝑡𝑡}
𝜕𝜕
0 (2.13) 
 
siguiendo la misma expresión menos el término de 
tendencia 
 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕 =
1
2 𝜎𝜎
2𝐾𝐾2 𝜕𝜕
2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝐾𝐾2 (2.14) 
 
donde 𝐶𝐶 representa la prima de la opción 𝐶𝐶(𝐹𝐹𝜕𝜕, 𝐾𝐾, 𝑇𝑇) y 
después de despejar la varianza nos queda 
 
𝜎𝜎2(𝐾𝐾, 𝑇𝑇, 𝑆𝑆0) = 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
1
2𝐾𝐾
2 𝜕𝜕2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝐾𝐾2
 (2.15) 
 
La expresión anterior corresponde a la definición de 
volatilidad local de un cierto proceso estocástico. Los 
precios de mercado de las opciones generalmente están 
en términos de la volatilidad implícita 𝜎𝜎𝐵𝐵𝐵𝐵(𝐾𝐾, 𝑇𝑇) de la 
siguiente manera 
 
𝐶𝐶(𝑆𝑆0, 𝐾𝐾, 𝑇𝑇) = 𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵((𝑆𝑆0,𝐾𝐾, 𝑇𝑇), 𝑇𝑇) (2.16) 
 
lo que más conveniente es trabajar en términos de dos 
variables adimensionales donde la varianza total 
implícita Black-Scholes 𝜔𝜔 está definida por 
 
 
 
𝑤𝑤(𝑆𝑆0, 𝐾𝐾, 𝑇𝑇) ∶= 𝜎𝜎𝐵𝐵𝐵𝐵2 (𝑆𝑆0,𝐾𝐾, 𝑇𝑇)𝑇𝑇 (2.17) 
 
y considerando el logaritmo del precio de ejercicio 
sobre el precio forward de las acción en el tiempo 0, se 
define 
 
𝑦𝑦 = log ( 𝐾𝐾𝐹𝐹𝑇𝑇) (2.18) 
 
reordenando se tiene la formula Black-Scholes para el 
valor futuro de la opción 
 
𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵(𝐹𝐹𝑇𝑇,𝑦𝑦, 𝑤𝑤) = 𝐹𝐹𝑇𝑇{𝑁𝑁(𝑑𝑑1) − 𝑒𝑒𝑦𝑦𝑁𝑁(𝑑𝑑2)} (2.19) 
 
o bien 
 
= 𝐹𝐹𝑇𝑇{𝑁𝑁 (−
𝑦𝑦
√𝑤𝑤 + 
√𝑤𝑤
2 ) − 𝑒𝑒
𝑦𝑦𝑁𝑁(− 𝑦𝑦√𝑤𝑤 − 
√𝑤𝑤
2 )} (2.19 a) 
 
y considerando lo anterior la ecuación de Dupire se 
convierte en 
 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑇𝑇 = 
𝑣𝑣𝐿𝐿
2 {
𝜕𝜕2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦2 −
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦} + 𝜇𝜇 (𝑇𝑇) 𝐶𝐶 (2.20) 
 
donde 𝜐𝜐𝐿𝐿 = 𝜎𝜎2(𝑆𝑆0,, 𝐾𝐾, 𝑇𝑇) representa la varianza local, 
estimando ahora las derivadas de Black- Scholes 
 
𝜕𝜕2𝜕𝜕𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝑤𝑤2 = (− 
1
8 − 
1
2𝑤𝑤 + 
𝑦𝑦2
2𝑤𝑤2)
𝜕𝜕𝜕𝜕𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝑤𝑤 (2.21 a) 
 
𝜕𝜕2𝜕𝜕𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝑦𝑦𝜕𝜕𝑤𝑤 = ( 
1
2 − 
𝑦𝑦
𝑤𝑤)
𝜕𝜕𝜕𝜕𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝑤𝑤 (2.21 b) 
 
40 Phynance
 
 
𝜕𝜕2𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝑦𝑦2 −
𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝑦𝑦 = 2 
𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝜕𝜕 (2.21 c) 
 
se puede transformar la ecuación para dejarla en 
términos de la varianza implícita 
 
𝜕𝜕𝐶𝐶
𝜕𝜕𝑦𝑦 = 
𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝑦𝑦 + 
𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝜕𝜕 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦 (2.22 a) 
 
𝜕𝜕2𝐶𝐶
𝜕𝜕𝑦𝑦2 = 
𝜕𝜕2𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝑦𝑦2 + 2 
𝜕𝜕2𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝑦𝑦𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦 + 
𝜕𝜕2𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝜕𝜕2 (
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦)
2 + 𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕𝜕𝜕 
𝜕𝜕2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦2(2.22 b) 
 
𝜕𝜕𝐶𝐶
𝜕𝜕𝜕𝜕 = 
𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝜕𝜕 + 
𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕 = 
𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝜇𝜇 (𝑇𝑇)𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵 (2.22 c) 
 
donde la última igualdad supone que la única 
dependencia explicita del precio de la opción en 𝑇𝑇 en la 
ecuación es del precio forward 𝐹𝐹𝜕𝜕 , la ecuación queda 
como 
𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝜕𝜕 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑇𝑇 
= 𝑣𝑣𝐿𝐿2 {−
𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐶𝐶
𝜕𝜕𝜕𝜕 + 
𝜕𝜕2𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝜕𝜕2 − 
𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐶𝐶
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
+ 2 𝜕𝜕
2𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕 + 
𝜕𝜕2𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝜕𝜕2 (
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕 )
2
+ 𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕2 } 
 
𝑣𝑣𝐿𝐿
2
𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝜕𝜕 {2 −
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦 + 2 (
1
2 −
𝑦𝑦
𝜕𝜕) 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦 + (−
1
8 −
1
2𝜕𝜕 +
𝑦𝑦2
2𝜕𝜕2)(
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦)
2 + 𝜕𝜕
2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦2 } (2.23 a) 
 
Tomando el factor 𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕𝜕𝜕 y simplificando 
41Nueva ideas de física en finanzas
 
 
𝜕𝜕2𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝑦𝑦2 −
𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝑦𝑦 = 2 
𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝜕𝜕 (2.21 c) 
 
se puede transformar la ecuación para dejarla en 
términos de la varianza implícita 
 
𝜕𝜕𝐶𝐶
𝜕𝜕𝑦𝑦 = 
𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝑦𝑦 + 
𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝜕𝜕 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦 (2.22 a) 
 
𝜕𝜕2𝐶𝐶
𝜕𝜕𝑦𝑦2 = 
𝜕𝜕2𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝑦𝑦2 + 2 
𝜕𝜕2𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝑦𝑦𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦 + 
𝜕𝜕2𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝜕𝜕2 (
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦)
2 + 𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕𝜕𝜕 
𝜕𝜕2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦2 
 (2.22 b) 
 
𝜕𝜕𝐶𝐶
𝜕𝜕𝜕𝜕 = 
𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝜕𝜕 + 
𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕 = 
𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝜇𝜇 (𝑇𝑇)𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵 (2.22 c) 
 
donde la última igualdad supone que la única 
dependencia explicita del precio de la opción en 𝑇𝑇 en la 
ecuación es del precio forward 𝐹𝐹𝜕𝜕 , la ecuación queda 
como 
𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝜕𝜕 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑇𝑇 
= 𝑣𝑣𝐿𝐿2 {−
𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐶𝐶
𝜕𝜕𝜕𝜕 + 
𝜕𝜕2𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝜕𝜕2 − 
𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐶𝐶
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
+ 2 𝜕𝜕
2𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕 + 
𝜕𝜕2𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝜕𝜕2 (
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕 )
2
+ 𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕2 } 
 
𝑣𝑣𝐿𝐿
2
𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝜕𝜕 {2 −
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦 + 2 (
1
2 −
𝑦𝑦
𝜕𝜕) 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦 + (−
1
8 −
1
2𝜕𝜕 +
𝑦𝑦2
2𝜕𝜕2)(
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦)
2 + 𝜕𝜕
2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦2 } (2.23 a) 
 
Tomando el factor 𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕𝜕𝜕 y simplificando 
 
 
 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝑣𝑣𝐿𝐿 {1 −
𝑦𝑦
𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦 +
1
4 (−
1
4 − 
1
𝜕𝜕 + 
𝑦𝑦2
𝜕𝜕2)(
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦)
2 + 12
𝜕𝜕2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦2 } 
 (2. 23 b) 
 
Al final despejando se llega al resultado final 
𝑣𝑣𝐿𝐿 = 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
1−𝑦𝑦𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦+
1
4(−
1
4−
1
𝜕𝜕+ 
𝑦𝑦2
𝜕𝜕2)(
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦)
2+ 12
𝜕𝜕2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦2
 (2.24) 
 
Supongamos el caso que no hay skew o que 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑦𝑦 es cero 
entonces tenemos 
 
𝑣𝑣𝐿𝐿 =
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕 (2.25) 
 
en este caso la varianza local se reduce la varianza 
implícita Black-Scholes de una curva forward entonces 
la solución es 
 
𝑤𝑤 (𝑇𝑇) = ∫ 𝑣𝑣𝑙𝑙 (𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑡𝑡
𝜕𝜕
0 (2.26) 
 
el resultado anterior es importante y fue deducido de 
manera independiente por Dupire (1996) y Derman y 
Kani (1998) y si se asume un proceso estocástico para 
el precio de la ecuación pero la escribimos en términos 
de lo siguiente 
 
 𝐹𝐹𝜕𝜕 = 𝑆𝑆0 exp {∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜇𝜇𝑡𝑡}
𝜕𝜕
0 
 
𝑑𝑑𝐹𝐹𝑡𝑡, 𝑇𝑇 = √𝑣𝑣𝑡𝑡 𝐹𝐹𝑡𝑡,𝜕𝜕𝑑𝑑𝑑𝑑 (2.27) 
 
42 Phynance
 
 
se nota que 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑇𝑇,𝑇𝑇 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑇𝑇 , el valor descontado de una 
opción europea con precio de ejercicio 𝐾𝐾 y vencimiento 
en 𝑇𝑇 está dado por 
 
𝐶𝐶(𝑑𝑑0,𝐾𝐾, 𝑇𝑇) = 𝔼𝔼 [(𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾)+] (2.28) 
 
derivando respecto al precio de ejercicio 𝐾𝐾, se tiene 
 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕 = −𝔼𝔼[𝜃𝜃(𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾)] (2.29) 
 
donde 𝜃𝜃(. ) es la función Heaviside, deferenciando otra 
vez respecto a 𝐾𝐾 y 𝛿𝛿(. ) es la función 𝛿𝛿 de Dirac. 
 
𝜕𝜕2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕2 = 𝔼𝔼[𝛿𝛿(𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾)] (2.30) 
 
Del lema de Ito para el pago terminal de la opción 
(𝑑𝑑𝑑𝑑𝑇𝑇,𝑇𝑇 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑇𝑇) se llega a la siguiente indentidad 
 
𝑑𝑑(𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾)+ = 𝜃𝜃(𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑇𝑇 +
1
2 𝑣𝑣𝑇𝑇𝑑𝑑𝑇𝑇
2𝛿𝛿(𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾) 𝑑𝑑𝑇𝑇 
 (2.31) 
 
tomando expectativas condicionales de cada lado y 
usando el hecho que 𝑑𝑑𝑡𝑡,𝑇𝑇 es una martingala se tiene 
 
𝑑𝑑𝐶𝐶 = 𝑑𝑑𝔼𝔼[ (𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾)+] =
1
2 𝔼𝔼 [𝑣𝑣𝑇𝑇𝑑𝑑𝑇𝑇
2𝛿𝛿(𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾)] 𝑑𝑑𝑇𝑇 (2.32) 
 
que puede escribirse de la siguiente manera 
 
𝔼𝔼[𝑣𝑣𝑇𝑇𝑑𝑑𝑇𝑇2𝛿𝛿(𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾)] = 𝔼𝔼 [𝑣𝑣𝑇𝑇|𝑑𝑑𝑇𝑇 = 𝐾𝐾] 
1
2 𝐾𝐾
2𝔼𝔼[𝛿𝛿(𝑑𝑑𝑇𝑇 −
𝐾𝐾] = 𝔼𝔼 [𝑉𝑉𝑇𝑇|𝑑𝑑𝑇𝑇 = 𝐾𝐾] 
1
2 𝐾𝐾
2 𝜕𝜕2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕2 (2.33) 
43Nueva ideas de física en finanzas
 
 
se nota que 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑇𝑇,𝑇𝑇 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑇𝑇 , el valor descontado de una 
opción europea con precio de ejercicio 𝐾𝐾 y vencimiento 
en 𝑇𝑇 está dado por 
 
𝐶𝐶(𝑑𝑑0,𝐾𝐾, 𝑇𝑇) = 𝔼𝔼 [(𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾)+] (2.28) 
 
derivando respecto al precio de ejercicio 𝐾𝐾, se tiene 
 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕 = −𝔼𝔼[𝜃𝜃(𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾)] (2.29) 
 
donde 𝜃𝜃(. ) es la función Heaviside, deferenciando otra 
vez respecto a 𝐾𝐾 y 𝛿𝛿(. ) es la función 𝛿𝛿 de Dirac. 
 
𝜕𝜕2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕2 = 𝔼𝔼[𝛿𝛿(𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾)] (2.30) 
 
Del lema de Ito para el pago terminal de la opción 
(𝑑𝑑𝑑𝑑𝑇𝑇,𝑇𝑇 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑇𝑇) se llega a la siguiente indentidad 
 
𝑑𝑑(𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾)+ = 𝜃𝜃(𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑇𝑇 +
1
2 𝑣𝑣𝑇𝑇𝑑𝑑𝑇𝑇
2𝛿𝛿(𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾) 𝑑𝑑𝑇𝑇 
 (2.31) 
 
tomando expectativas condicionales de cada lado y 
usando el hecho que 𝑑𝑑𝑡𝑡,𝑇𝑇 es una martingala se tiene 
 
𝑑𝑑𝐶𝐶 = 𝑑𝑑𝔼𝔼[ (𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾)+] =
1
2 𝔼𝔼 [𝑣𝑣𝑇𝑇𝑑𝑑𝑇𝑇
2𝛿𝛿(𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾)] 𝑑𝑑𝑇𝑇 (2.32) 
 
que puede escribirse de la siguiente manera 
 
𝔼𝔼[𝑣𝑣𝑇𝑇𝑑𝑑𝑇𝑇2𝛿𝛿(𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾)] = 𝔼𝔼 [𝑣𝑣𝑇𝑇|𝑑𝑑𝑇𝑇 = 𝐾𝐾] 
1
2 𝐾𝐾