Aplicação de leis de controle em sistema de levitação magnética

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, 
TECNOLOGICO 
DE MONTERREY •. 
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de 
Monterrey 
Campus Ciudad de México 
División de Ingeniería y Arquitectura 
Proyectos de Ingeniería Computacional CS95892. l 
Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electrónica 
Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
Autores: Armando Máximo Hernández Sánchez 
Fernando Augusto E usa Hernández 
Asesor: Dr. Ricardo Femández del Busto 
 
 
Noviembre 23, 2004. México D.F. 
Índice 
Índice .......................... .... .... ........ ... ............................................................................................. 3 
1. Introducción ............................ .... .... .... .... ........ .... .... ................... ............................................. 4 
1.1 Objetivos del trabajo ................................................................................... ...................... 4 
1.2 Descripción del trabajo .............. .... .... .... ........ .... .... .... ............... .... ..................................... 4 
1.3 Estado del Arte .................................................................................................................. 5 
1.3 .1 Aplicaciones de Levitación Magnética ........ ............ .... ............... .... .... ......................... 6 
2. Análisis del sistema ............................................................................................................... 14 
2.1 Modelo electromecánico ................ .... .... .... .... .... ........ ....... .... .... .... ....... .... .... ........... ........ 14 
2.2 Descripción del sistema fisico ......................................................................................... 18 
2.3 Descripción del dispositivo de control (DSP) ...... .... .... ................... ........ ... .... .... .... ........... 19 
3. Diseño del sistema de control ................................................................................................ 22 
3 .1 Análisis de estabilidad con controlador K ........................................................................ 22 
3.2 Diseño del compensador usando emulación ..................................................................... 23 
3 .3 Diseño del compensador usando técnicas de variables de estado ............ .... .... .... .............. 26 
3. 4 Resultados teóricos .......................................................................................................... 29 
4. Implementación ............................ .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... .... .... .... ........... .... .... .... ... ....... 32 
5. Conclusiones ......................................................................................................................... 41 
5 .1 Resultados ................................................................................................................. ...... 41 
5 .2 Perspectivas y trabajo a futuro ..... ........ .... ................ ....... .................... ........... ........ .......... 41 
6. Referencias .............................................................................................................. ............. 43 
Apéndice !_Deducción de las ecuaciones del modelo electromecánico ...... .... ........... .... .... .......... 46 
A-1.1 Ecuación mecánica ...................................................................................................... 46 
A-1.2 Ecuación eléctrica ........................................................................................................ 48 
A-1.3 Ecuación electromecánica ..... .... ............................... .... .... .... ........... ........ ..................... 48 
A-1.4 Ecuaciones del sistema .......................................... .... .... ........... .... .... .... ........... .... .... ..... 58 
Apéndice II_Linealización de las ecuaciones del sistema ........................................................... 60 
Apéndice IILPermeabilidad magnética del acero ............................... .... .... .... ... .... .... .... .... .... ..... 64 
Apéndice IV_Descripción del procesador digital de señales (DSP) ............................................ 68 
A-IV. l Características generales ........................................................................................... 68 
A-IV.2 Tarjeta de desarrollo ............ .... .... .............................................................................. 73 
A-IV.3 Code Composer Studio VI ...... ................... ............................................................... 80 
Apéndice V_ Código del controlador .................................................................. .... .... ........... ..... 81 
Apéndice VI_Sensores de posición ........................................................................ ....... ........ ..... 98 
A-Vl. l Diseño y construcción de un sensor para la posición ................................................. 98 
A-VI.2 Especificaciones del sensor ..................................................................................... 100 
A-Vl.3 Selección de alternativas ................. ........................................................................ 102 
Apéndice VII_Poster. ............................... .................................... ........ .................................... 105 
Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
3 
1. Introducción 
1.1 Objetivos del trabajo 
Uno de los grandes problemas existentes es el referente a la fricción entre distintos componentes 
metálicos de un sistema que reduce el tiempo de vida útil de los mismos así como la pérdida 
energética que se da por dicho efecto. Para solucionar este problema, se han desarrollado 
sistemas de suspensión electrodinámica capaces de mantener flotando los elementos metálicos 
ferromagnéticos mediante el equilibrio entre la fuerza de gravedad y la fuerza de atracción, de 
esta manera se evita el contacto directo entre ellos. Esos sistemas son conocidos como 
levitadores magnéticos y son usados en distintas aplicaciones como trenes o turbinas entre otras. 
El presente proyecto desarrolla un modelo a escala de un sistema antigravitatorio de levitación 
magnética con fines educativos y demostrativos de la aplicación de este principio fisico, así 
como el diseño del dispositivo de control. 
1.2 Descripción del trabajo 
El principal objetivos que se persigue en la realización de este proyecto es la construcción fisica 
de un modelo a escala de un sistema que permita demostrar el principio de atracción magnética 
dejando abierta la posibilidad de incluir nuevos controladores a los propuestos en este proyecto. 
En el trabajo se detallan las distintas áreas en las cuales es posible aplicar este principio fisico, se 
describe cómo se construye el sistema así como la modelación matemática del mismo, se 
proponen dos controladores y se realizan las pruebas y comparaciones entre ellos, a nivel 
simulación y en dispositivo fisico. Finalmente se detallan los trabajos futuros y las conclusiones. 
En la sección 1 se explica brevemente la motivación del proyecto así como el objetivo del 
trabajo, se describe el cuerpo del documento y se hace un recuento de las distintas aplicaciones 
que el principio de levitación magnética tiene hoy en día. La sección 2 detalla cómo se construyó 
el sistema fisico, expone las ecuaciones que lo describen así como algunas representaciones 
matemáticas ( diagrama de bloques, función de transferencia) y concluye con una descripción del 
microcontrolador que se utilizó para la realización del proyecto. La sección 3 explica un análisis 
Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
4 
de la estabilidad del sistema para continuar con la explicación de cómo se desarrollaron los 
controladores mediantetécnicas clásicas y mediante técnicas de espacio de estados. En la sección 
cuatro se presentan los resultados de la simulación aplicando los controladores que se 
desarrollaron en la sección 3 así como la implementación fisica en el sistema. La sección 5 
realiza un análisis sobre los resultados arrojados por la sección 5 y concluye presentando las 
perspectivas y el trabajo a realiza en el futuro. En la sección 6 se enumeran los distintos recursos 
que se consultaron para la realización del presente trabajo. 
En los apéndices se explica la deducción de las ecuaciones que describen al sistema en base al 
modelo electromecánico, la técnica mediante la cual se linealiza el sistema así como algunas 
características magnéticas que hay que tener en cuenta para la construcción del sistema fisico. 
Igualmente se incluye una descripción detallada de las principales características del 
microcontrolador utilizado así como el código en lenguaje C que se programó. 
1.3 Estado del Arte 
Desde sus primeros estudios, la levitación magnética ha sido aplicada en numerosos sistemas, 
como por ejemplo, rodamiento sin fricción, sistemas mecánicos de almacenamiento de energía y 
sistemas de transporte de alta velocidad. Existen dos principios de levitación que sustentan todas 
estas aplicaciones: repulsión y atracción. 
• En la levitación por repulsión ( electrodynamics suspens1on, EDS), las corrientes 
inducidas en un cuerpo conductor generan las fuerzas de levitación. Este sistema es 
estable en su eje vertical, y tiene un punto de equilibrio natural [23]. 
• Principio de levitación por atracción (electromagnetic suspension, EMS), un cuerpo es 
atraído por un flujo magnético en contra de la gravedad; el equilibrio que se produce 
entre la fuerza de atracción y de la gravedad es inestable, por lo que la levitación por 
atracción es impracticable sin la ayuda de un sistema de control [l]. 
Los sistemas electromagnéticos (EMS) dependen de las fuerzas atractivas entre los electroimanes 
y un material ferromagnético (objeto levitante). Debido a que la fuerza de atracción se 
incrementa a menor distancia, tales sistemas son inestables y las corrientes del imán deben 
controlarse cuidadosamente para mantener la altura de la suspensión deseada. Además el 
espaciado entre el electroimán y el objeto necesita ser pequeño (en los sistemas de transporte que 
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a un sistema de levitación magnética. 
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utilizan este fenómeno sólo es de unos centímetros a lo sumo). Por otro lado, utilizando EMS, es 
posible mantener la suspensión magnética incluso cuando el vehículo esta inmóvil, lo cual no es 
cierto para sistemas electrodinámicos (fuerza repulsiva). 
Los sistemas de levitación magnética han ganado considerable interés debido a su gran 
importancia en varios campos de ingeniería. 
El objeto de este proyecto es mantener una bola de metal suspendida en el aire, ajustando el 
campo de fuerza de un electroimán. La corriente del electroimán puede ser incrementada hasta 
que la fuerza magnética producida es igual o mayor que la fuerza gravitacional que actúa sobre la 
bola metálica. Variaciones en la corriente del electroimán pueden causar que la bola metálica 
caiga (cuando la corriente decrece) o que se pegue al electroimán (cuando la corriente aumenta). 
La retroalimentación de control nos da elementos para estabilizar la bola cuando hay distorsión 
en la corriente. 
Desde un punto de vista ingenieril, un maglev (sistema de levitación magnética) es un sistema 
complejo porque presenta no linealidad y es naturalmente inestable, en el sentido BIBO 
(Bounded Input Bounded Output). Además un sistema de levitación magnética nos permite 
estudiar diferentes estrategias de control, por ejemplo: 
• Controladores análogos 
• Controladores PID discretos 
• Controladores con técnicas modernas (espacio de estados, adaptivo, etc.) 
1.3.1 Aplicaciones de Levitación Magnética 
En este aparte se presentarán los subsistemas que constituyen cualquier sistema de levitación 
magnética. Luego de ello se hará una generalización de los dos sistemas más avanzados en el 
mundo en cuanto a levitación magnética aplicada al transporte, como son el caso alemán y 
japonés, respectivamente. 
La idea básica de un dispositivo de transporte que utilice la levitación magnética es aumentar la 
eficiencia del sistema. Para ello se elimina la fricción, por lo que no es necesaria energía 
adicional para hacer que el vehículo se siga moviendo luego del impulso inicial. Únicamente se 
necesita alimentar las pérdidas por la fricción entre el vehículo y el aire. A la vez que se mejora 
la eficiencia se incrementa la velocidad límite del vehículo, la cual se encuentra determinada por 
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a un sistema de levitación magnética. 
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su aerodinámica y por la capacidad de las piezas mecánicas, en el caso convencional, así mismo 
se reduce el gasto por mantenimiento debido a que no existen piezas móviles. 
Los componentes fundamentales de un sistema de transporte que utilice levitación magnética 
son: la propulsión, encargada de que el vehículo se mueva; la levitación, diferencia fundamental 
con el sistema tradicional; finalmente la estabilización, la cual impide que el vehículo se salga de 
la vía. 
Propulsión 
La energía que se gasta en este subsistema se utiliza para dar el impulso inicial al vehículo, 
mantener la velocidad nominal y frenarlo una vez que se completa el recorrido, en caso de 
emergencia o cuando se requiera. 
La idea básica es hacer que dos campos magnéticos se vean atraídos; uno de ellos está presente 
en la pista y el otro en el vehículo, de manera que el del vehículo sigua al de la pista. Este 
principio no es nuevo, pues ya existe en los motores. En ellos un campo en el rotor de la máquina 
sigue al campo presente en su estator, creándose así el movimiento. 
Es como estar jugando con dos imanes; uno bajo la mesa y otro sobre ella. Si se mueve el 
inferior se verá como se desplaza el superior sin aparente intervención humana. En cuanto a la 
propulsión, la diferencia entre los sistemas MagLev1 comerciales radica en la forma en que se 
genera cada uno de estos dos campos, como se verá adelante. 
Levitación 
Se constituye en la diferencia fundamental con respecto a los sistemas de transporte terrestre 
convencionales y en la razón de ser del proyecto en cuestión. La energía que se suministra a este 
subsistema se encarga de sustentar el vehículo a una distancia deseada conocida como 
entrehierro. 
La dificultad que presenta este sistema se ve resumida en el teorema de Earnshaw [31]. Este 
muestra como el sistema es por naturaleza inestable, razón por la cual se requieren 
configuraciones especiales de campos que se repelen, o de controladores actuando sobre la 
magnitud de la fuerza magnética cuando se utilizan campos que se atraen. 
1 Del ingles "Magnetic Levitation" 
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a un sistema de levitación magnética. 
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Para que el sistema fuera estable debería existir una región alrededor del punto de equilibrio en la 
cual todas las fuerzas que se generaran apunten hacia él. Cuando se trata de sustentar un objeto 
con campos magnéticos en contra del campo gravitacional se encuentra que esta región no existe, 
debido a que los dos campos son no divergentes. Este resultado se demuestra con el teorema de 
la divergencia, en la ecuación 1.1, teniendo en cuenta que divF =O. 
(1.1) 
S V 
Fes la fuerza que actúa en un punto en el espacio. Sin embargo, existen excepciones a esta ley 
que vale la pena mencionar: 
Efecto cuántico: a escala atómica no hay contacto real entre dos objetos 
• Realimentación: consiste en tomar una referencia de la posición del objeto para controlar 
la fuerza magnética, como se mencionó antes 
• Diamagnetismo: gracias a que los materiales superconductores no permiten ser 
atravesadospor campos magnéticos se pueden generar fuerzas que permitan la levitación 
• Campos oscilatorios: utilizando una señal de corriente alterna; un ejemplo de ello es el 
anillo de Thompson [32] 
• Rotación: un ejemplo puede estar en el caso denominado como diamagnetismo. En el 
medio académico se conoce por el prototipo comercial llamado Levitron [27] 
Estabilización 
Esta componente evita que el vehículo se desvíe de la pista o guía. Las razones por las que el 
vehículo se puede salir de línea son variadas; entre ellas está la fuerza centrifuga que se produce 
cuando hay curvas; aunque estas tengan radios muy grandes tienen una influencia amplia debido 
a las velocidades de trabajo, que son altas. Otra razón puede ser el desequilibrio que ocasiona la 
interacción entre el subsistema de propulsión y de levitación generando fuerzas que 
desequilibran el sistema en su conjunto, o el mismo viento. 
El trabajo del subsistema de estabilización es muy parecido al que realiza el subsistema de 
levitación, pero actuando en un grado de libertad diferente. En este caso se evita el 
desplazamiento en el sentido de las "Y'', como muestra la Figura Figl .1. De la misma manera el 
movimiento en el sentido de las "X'' será comandado por la propulsión y el eje "Z" por la 
levitación. 
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a un sistema de levitación magnética. 
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El principio de funcionamiento de la máquina es el siguiente: un conjunto de voltajes trifásicos 
genera corrientes igualmente trifásicas sobre los devanados del estator; estos a su vez generan 
campos magnéticos, los cuales sumados y observados en el tiempo se comportan como lo hace 
un conjunto de polos magnéticos fijos que se desplazan a lo largo del estator, o pista en este caso. 
Muestra de ello se encuentra en la Figura Figl.3. 
·---- - '"':-··------- -e+--
Figl .3. Generación de campo en la pista. Sistema Alemán [18] 
Si se cuenta con un campo que se desplaza por toda la pista, como ocurre en este caso, basta con 
ubicar polos magnéticos contrarios debajo de cada polo creado por la sumatoria del sistema 
trifásico. Este sistema tiene una ventaja importante: el vehículo viaja a la misma velocidad del 
campo en la pista, por lo cual la velocidad y por lo tanto la posición son fácilmente 
monitoreables y controlables a partir de las condiciones de alimentación del estator. No obstante, 
presenta un inconveniente económico que puede hacer que este sistema no se difunda con la 
rapidez esperada: el excesivo costo de los devanados trifásicos a lo largo de toda la pista. 
En el sistema alemán la levitación se basa en el principio de atracción de campos magnéticos; 
uno generado en la pista, y otro con magnitud variable y controlada, sobre el vehículo. El campo 
ubicado en el vehículo varía para garantizar un entrehierro adecuado . En la Figura Fig 1.4 puede 
verse el conjunto de electroimanes reemplazando el rotor del motor, que se abre para conformar 
los dos campos necesarios para el desplazamiento. El mismo conjunto de electroimanes que 
cumplen el trabajo de propulsión hace que el vehículo levite, reduciendo así la cantidad de piezas 
y el costo, pero haciendo más crítico el trabajo del control de posición. La ubicación de los 
electroimanes componentes de este sistema se aprecia en la Figura Fig 1. 4. 
_______________________________________________________________ 10 
Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
Figl .4. Levitaci6n por atracción 
La estabilización está a cargo de conjunto de electroimanes instalados en la parte lateral del 
vehículo; estos actúan una vez se supera una distancia mínima de seguridad, haciendo que el 
vehículo mantenga el recorrido paralelo a la pista. Una vista de la ubicación de este conjunto 
dentro del vehículo se presenta en el esquema Figl .5 [17]. 
Fig 1. 5. Ubicación del sistema de estabilización 
Adicional a los tres subsistemas mencionados, MagLev cuenta con sistemas redundantes que dan 
confianza con respecto al funcionamiento en condiciones de falla; adicionalmente cuenta con 
ruedas como sistema de seguridad, las cuales actúan cuando el suministro de energía falla o 
cuando el vehículo está detenido; ellas hacen que no se haya registrado ningún accidente hasta el 
momento. 
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a un sistema de levitación magnética. 
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Caso Japonés 
A diferencia del alemán, este sistema crea el campo magnético utilizando superconductores. Esto 
hace que se pueda llegar a magnitudes de campo superiores, pero también hace que sea necesario 
emplear sistemas de refrigeración que no se requerían en el caso alemán. 
El principio básico del subsistema de propulsión japonés es idéntico al caso alemán, es decir, se 
crea un campo magnético que se desplaza por las paredes de la pista y otro en el vehículo lo 
sigue. Para desarrollar este campo, en primera instancia se hace uso de la activación y 
desactivación de polos , tal como se muestran en la Figura Figl .6. Luego de ello y en la última 
versión del MagLev japonés se utiliza un sistema trifásico de voltajes que alimenta conjuntos de 
bobinas, al igual que el caso alemán . Los polos magnéticos que se ven atraídos por el campo en 
las paredes de la pista son creados en electroimanes superconductores. Los polos norte y sur 
instalados en la parte delantera del vehículo se verán atraídos a su vez por polos sur y norte en la 
pista, y repelidos por polos norte y sur, creándose de esta manera el movimiento. Dependiendo 
de la secuencia de encendido y apagado el vehículo irá en una dirección o en otra. 
e: 
! " - ' dm w 
Figl .6. Propulsión, sistema japonés 
La energía que se utiliza para levitación y para la estabilización o guía del vehículo se obtiene 
por medio de inducción magnética, es decir, no se necesita energía adicional para la levitación ni 
para la estabilización. Las bobinas ubicadas en la pared de la pista, como lo muestra la Fig l. 7, 
están configuradas como un ocho. De acuerdo con las leyes del electromagnetismo para la 
generación de voltajes, se crea un voltaje cuando un conductor que está en movimiento está 
inmerso dentro de un campo magnético, como se muestra en la ecuación 1.2. 
sind =-(ve/X B) • l (1.2) 
"vef' es la velocidad, "B" la densidad de campo magnético que atraviesa el conductor y "f' la 
longitud del conductor inmerso en el campo magnético. 
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a un sistema de levitación magnética. 
En este caso, el campo sobre el cual está inmerso el conductor es el campo que produce el imán 
superconductor en el vehículo, y aunque los devanados de levitación están estáticos sobre las 
paredes de la pista, se considera el movimiento del vehículo, es decir, el movimiento relativo 
entre la pista y el imán superconductor. El voltaje así inducido produce una corriente, y ésta un 
campo magnético. La interacción entre el campo del superconductor y el inducido genera la 
fuerza de levitación y de estabilización que se necesita para el funcionamiento del vehículo. 
Fig 1. 7. Levitación en el sistema japonés 
Otra aplicación que se le puede dar a los sistemas que utilizan campos magnéticos para mejorar 
el desempeño es una muñeca mecánica usada en robótica. Las referencias [20] y [21] describen 
una muñeca de movimiento fino con seis grados de libertad levitada magnéticamente. Este 
sistema se aplica para ensamblar automáticamente de una manera precisa, una vez que el brazo 
es colocado en posición y orientación correcta por la parte mecánica de los sistemas 
automatizados. Las ventajas que esta muñeca ofrece son muchas y varias como la precisión o la 
eliminación de la fricción estática. 
Fig 1. 8 Muñeca levitada magnéticamente 
Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
2.Análisis del sistema 
2. 1 Modelo electromecánico 
En la figura Fig2.1 se muestra el diagrama esquemático de un sistema de levitación magnética 
[ 1]: una esfera de acero de masa m se coloca bajo un electroimán fijo a una distancia z. El 
objetivo es que dicha esfera se mantenga en equilibrio estable en la posición z, contrarrestando la 
fuerza de gravedad que actúa sobre la esfera con la fuerza! que produce el electroimán. 
3 
r::'\ Esfer• de 
\.:::..) acero 
Fig2. 1. Diagrama de la situación 
Las ecuaciones que describen el comportamiento de este sistema se deducen en apéndice l son 
las siguientes tres: 
Ecuación eléctrica: 
Ecuación mecánica: 
Ecuación electromecánica: 
donde 
f = fuerza del electromagnética 
v = Ri + d(L(z)i) 
dt 
d
2
z ·) m dt2 = mg + f(z,z 
(2.1) 
(2.2) 
(2.3) 
14 ----------------------------------~~------------------------------Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
i = corriente de la bobina 
z = distancia entre el electroimán y la esfera de metal 
v = voltaje a través de la bobina 
R = resistencia de la bobina 
L = inductancia de la bobina 
m = masa de la esfera de metal 
g = aceleración de la gravedad. 
En estas ecuaciones se puede apreciar que es un sistema no lineal. Ya que no es posible aplicar 
las técnicas clásicas de control a sistemas no lineales, se procede a linealizar en el punto de 
operación deseado. Las variables en el punto de operación son representadas con el subíndice 'O' 
y las variables en la vecindad del punto de operación se representan con el subíndice '1 '. De esta 
manera y tomando C como una constante las ecuaciones lineales quedan expresadas en las 
ecuaciones 2.4, 2.5 y 2.6. La ecuación 2.5 expresa el punto de equilibrio en el cual ambas fuerzas 
son iguales, la aceleración es hacia abajo en el eje z, por lo que la fuerza de atracción cambia de 
signo. El procedimiento se detalla en el apéndice 11. 
Ecuación eléctrica: 
R. Ldi1 U= 11 + -
dt (2.4) 
Ecuación mecánica: 
d
2
z J( ·) mdt2=- Z,l 
(2.5) 
Ecuación electromecánica: 
(2.5) 
Tomando la transformada de Laplace de estas ecuaciones, el sistema en el dominio de la 
frecuencia queda 
U(s) = (R + Ls)J(s) 
ms 2 Z(s) = -F(s) 
F(s) d[J(s)- :: Z(s)] 
Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
(2.6) 
donde 
Una vez que se tienen las ecuaciones 2.6 podemos expresarla como un diagrama de bloques en el 
dominio s. El diagrama de bloques del sistema de levitación magnética se muestra en la figura 
Fig2.2. 
U(s) 
, 
L.s+R l(S) 
10 -zo 
Fig2.2 Diagrama de bloques de la planta 
De esta manera la función de transferencia de la planta queda expresada por la ecuación 2.7. 
(2.7) 
El sistema propuesto en este trabajo tiene el objetivo de mantener libre de perturbaciones (E(s)) 
al sistema y que la esfera se mantenga en el punto de equilibrio (Z(s)) deseado. Tomando en 
cuenta esto, el diagrama de bloques se muestra en Fig2.3 . 
(3;'.s) .,__ __ ....,.Z(s) 
+ 
li:s) 
Fig2.3. Diagrama de bloques simplificado donde G(s) 
es la planta y H(s) es el controlador 
~----------------------------------------------------------- 16 Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
Otra manera de representar el sistema para diseñar los controladores es la representación en 
espacio de estados. En esta representación utiliza dos ecuaciones, la de evolución de estado y la 
de salida (2.8). El sistema se representa mediante las matrices A, B, C y D respectivamente, los 
valores de dichas matrices se presentan en la sección 3.3 de este documento. 
x = Ax(t) + Bu(t) 
y = Cx(t) + Du(t) (2.8) 
El control que se va realizar es un controlador digital ya que se va a programar en procesador 
digital de señales. La señal continua de error se debe digitalizar antes de corregirla mediante la 
ley de control. Una vez generada la corrección es necesario convertirla una vez más en una señal 
analógica para amplificarla y alimentarla al electroimán. Esto se ilustra en la figura Fig2.4. 
e"º'-...... ~1 ..... _º_~_"_;._J_":"_'___. ............. ,,control 
er~--c-oo_~_ert_i_d_or_l •l .... _;_e_~_d_~_ ....... I ,-_c_oo_~_;_1_ido-r -~~rd 
Fig2.4 Esquema de la ley de control digital. 
La conversión debe realizarse con un periodo de muestreo T. La ley de control se va a pasar al 
dominio continuo mediante un retén de orden cero. 
errlll' ~ ----,..__~_oo_ytr-~e-1 __,, •I ..... -1--e_s -_Ts___.~~rd 
Fig2.5 Esquema del sistema de control 
------------------------------------------------------------- 17 Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
2.2 Descripción del sistema físico 
Para nuestros fines el modelo de la planta se construyó de acuerdo a la figura Fig2.6. El 
electroimán está hecho con 2500 vueltas de cable de densidad 25 enrolladas en un cilindro de 
acero dulce de un centímetro de diámetro por dieciséis centímetros de largo. La inductancia es de 
137.2 milihenrios así como la resistencia es de 22.3 ohms. El transductor para determinar la 
posición de la esfera consiste en un emisor receptor infrarrojo, siendo la posición y la corriente 
de equilibrio un centímetro y medio Amper, respectivamente. La esfera es de tres centímetros de 
diámetro y su masa es de 68 gramos. El sistema de control se implementa en un DSP de Texas 
Instruments 1MS320LF2407 y el análisis se realiza usando el programa computacional Matlab®. 
La función de transferencia de la planta se puede calcular en base a estos parámetros y por medio 
de la ecuación 2. 7. 
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1 1 
Fig2.6. Estructura es esquemática del sistema 
El circuito mediante el cual se va a obtener la distancia de la esfera del electroimán está formado 
por un led infrarrojo emisor y un fototransistor, colocando la esfera en medio de ellos, tal como 
Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
se ilustra en la figura Fig2. 7. De esta manera cuando la esfera esté totalmente pegada al 
electroimán la luz que el fotodiodo reciba será la menor, pues está cubriendo dicha luz. Al no 
estar presente la esfera, la luz que el fotodiodo va a recibir es la máxima. Para el punto de 
operación del proyecto se va a tomar una distancia y por lo mismo un voltaje constante. 
Objeto •n 
Levitmón 
Fig2. 7 Diagrama de la situación. 
Para lograr que el sistema funcione correctamente es necesario que el electroimán tenga la 
corriente y el voltaje necesario para sostener la esfera de metal. La salida que nos proporciona el 
integrado debe ser acondicionada mediante una etapa de potencia. Es necesario incluir un diodo 
para proteger los circuitos del efecto contraelectromotriz que se presenta cuando se le suprime el 
voltaje a la bobina. 
2.3 Descripción del dispositivo de control (DSPJ 
El sistema para controlar la planta es digital pues de esta manera obtenemos varias ventajas. 
Dentro de estas ventajas se pueden citar las siguientes: 
• Flexibilidad. No es necesario cambiar todo el diseño realizado, pues basta con programar 
la nueva ley de control en la memoria del sistema sin necesidad de realizar mayor cambio 
en el hardware. 
• Poder de cálculo y capacidad de memoria. Dentro de las desventajas que presenta el 
procesamiento digital se encuentra que el tiempo de respuesta no es instantáneo o que las 
cantidades representadas sólo pueden ser múltiplos finitos del cuanto. Sin embargo dado 
el potencial que tiene el procesador escogido, estas desventajas pueden ser minimizadas. 
• Linealidad y estabilidad paramétrica. Al utilizar estar la ley de control programada y no 
armada fisicamente con resistencias, capacitores y opams no se corre el riesgo de que 
-------------------------------------------------------------19 Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética.Asimismo, la compañía Texas Instruments proporciona el software necesario para realizar el 
desarrollo de la aplicación requerida. Este software es el Code Composer Studio VI que entre 
otras ventajas ofrece la posibilidad tanto de programar en lenguaje C como en el ensamblador del 
DSP. Cuenta además con la posibilidad de realizar emulaciones, graficar y demás ventajas que 
un ambiente de desarrollo integrado (IDE) ofrece. 
El DSP viene montado en una tarjeta de desarrollo eldsp'JMS320lf24074 creada por la compañía 
Spectrum Digital que ofrece la posibilidad de realizar pruebas sobre el sistema sin necesidad de 
realizar cableado extra. 
Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a W1 sistema de levitación magnética. 
Como se puede observar en el trazo del lugar geométrico de las raíces, no es posible estabilizar el 
sistema solamente ajustando la ganancia. La estrategia que se va a seguir es recorrer el lugar 
geométrico de las raíces del lazo cerrado a la izquierda del plano s para que el sistema pueda ser 
estabilizado ajustando la ganancia del compensador Gc(s). 
O( ) 
Gc(s)88235 
s = 1 + 
- (s + 7l)(s - 7l)(s + 162.5) 
Para lograr este propósito se utiliza una red de adelanto de la forma 
GJs)=K s+c 
s+p 
(3.3) 
(3.4) 
Los requerimientos deseados del sistema son factor de amortiguamiento 0.6 y la frecuencia 
natural no amortiguada de 60 radianes/segundo. Dados estos requerimientos los polos deseados 
se ubican en -36 + 48i. 
Ge( s) = K s + 7º 
s+700 
Siendo la ecuación característica del sistema compensado 
O(s) = 1 + 'K'(s + 70) 
- (s + 7l)(s - 71}(s + 162.5)(s + 700) 
donde 
K' = 88235K 
(3.5) 
(3.6) 
Trazando el lugar geométrico de las raíces utilizando este compensador (Fig3.4), haciendo variar 
la ganancia del parámetro K es posible observar que para ciertos valores de la ganancia K el 
sistema es estable. 
System:sys 
Gain: 121 
Pole: -36.1 + 4Si 
Dewnpilg: 0.801 
Oversnoct (%~ 9.42 
Frequency (rad/sec): 80.1 
Fig3.3 Resultados del comando rlocfind(sys). 
Los rangos de estabilidad de este sistema se obtuvieron con el comando rlocfind(sys) de 
Matlab®. La ganancia requerida se obtiene de 121 ( figura Fig3. 3) y asimismo se observa que 
_____________________________________________________________ 24 
Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
r 
o 
A= O 
819162 
1 
o 
5041 
B=[O O 88235f 
e= [1 o o] 
D=[O] (3.11) 
Antes de aplicar alguna técnica de control es necesario verificar que el sistema es controlable. 
Para esto se calcula la matriz de controlabilidad M. 
M = [ B I AB I A 2 B] 
M =r ~ 88~35 
88235 14338187.5 
88235 l 
14338187.5 
2774748103.75 
(3 .12) 
Con esta matriz es posible calcular el rango y el determinante, siendo estos 3 y diferente de cero 
respectivamente. En base a estos resultados podemos concluir que la matriz es no singular y 
completamente controlable, por lo que es posible calcular la ley de control mediante la ubicación 
de los polos deseados ya que estas son condiciones necesarias y suficientes para utilizar este 
método. 
La ley de control que se va a utilizar es la retroalimentación de estado. Este controlador tiene la 
forma 
u=-Kx (3.13) 
Para calcular los valores de la matriz K es necesario encontrar los polos del sistema una vez 
incorporado el controlador al sistema así como los polos deseados Los polos del sistema en lazo 
cerrado son los valores propios de la matriz característica del sistema (A- BK). Es decir las 
raíces del determinante. !A - BK - sII . 
Una vez que tenemos estas ecuaciones determinamos dónde queremos que estén los polos en 
lazo cerrado. Para determinar los polos dominantes deseados tomamos como índices de 
comportamiento dinámico el máximo sobrepaso de 10% y el tiempo de establecimiento en 0.1 
segundos. De esta forma la frecuencia natural. no amortiguada wn y la razón de amortiguamiento 
i; resultan. 
Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
1 
t=[l+( 7r J
2
]-
2 
=0.5912 
ln(0.10) 
4 
(/) = =60.06 
n <;*fe 
En base a las <; y w" es posible calcular los polos deseados dominantes. 
p = -36±48i 
Proponiendo un polo real no dominante en -40 la ecuación característica deseada es: 
(s + 36 + 48i)(s + 36- 48i)(s + 800) 
(3.14) 
(3.15) 
(3 .16) 
Para obtener la matriz K se utiliza la fórmula de Ackerman usando el programa Matlab® 
mediante la línea de comando Kp=acker(Ap,Bp,poles). La matriz resultante K tiene los 
siguientes valores. 
Kp=[K,,K 2 ,K3 ]=[41.924 0.7507 0.0117] (3.17) 
Una vez que tenemos el control diseñado mediante espacio de estados calculamos el sistema 
compensado y obtenemos la respuesta a un impulso unitario. Es importante obtener estas 
respuestas pues con ellas podemos hacer las comparaciones entre los controladores propuestos a 
pequeñas desviaciones del punto de equilibrio. Estas perturbaciones se simulan como una 
desviación de la distancia z que separa al electroimán de la esfera así como alteraciones en el 
voltaje de alimentación. 
28 
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-
Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
Soopt 
'----101111 IR1 - -< 
tff'lulaol611 
'-----1 01111 lftl - -<._ 
11troalil!'ltnUoi6n 
Fig3. 9 Esquema de simulación. 
Las gráficas obtenidas al realizar esta simulación se muestran en la figura Fig3 .11. La imagen 
superior corresponde a la respuesta del sistema a una perturbación inicial de un volt con el 
controlador diseñado mediante emulación en la sección 3.2, mientras que la curva inferior es la 
respuesta que exhibe el sistema compensado mediante la retroalimentación de estado. 
Out1 
121:tt-9470 
,+700 
Transter F one 
ln1 
Fig3 .1 O Diagrama de los controladores a) mediante emulación b) mediante retroalimentación de 
estado 
_______________________________________________________________ 30 
Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
... ... ' .... .... ~- .... .......... ·:· .......... .. '. 
. . . ' . . ' ... ~ .... ' .... -..... : ......... .... ... ~ ...... ... ' . ... . : .. ' -..... ..... . 
Fig3. l l Respuesta a un escalón de 1 volt al comienzo a) utilizando emulación b) utilizando 
retroalimentación de estado 
Una vez que tenemos estos resultados es posible hace una comparación entre ellos. Esta 
comparación se realiza en la sección cinco del presente proyecto. 
__________________________________________________ "'!'-___________ 31 
Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
4. Implementación 
El sistema físico se realizó según la sección 2.2 del presente documento. El sistema de control se 
programó en lenguaje C y se implementó en el DSP (Apéndice IV). El código y los distintos 
archivos utilizado& se incluyen el apéndice V. Contrario a lo que comúnmente se realiza, no se 
utilizó la amplificación directa de la señal de corrección dada por la ley de control para alimentar 
al sistema fisico, para este caso se generó una señal PWM para controlar ~l sistema. Usando la 
modulación por ancho de pulso (PWM por sus siglas en inglés) es posible mejorar la eficiencia 
del sistema completo, la metodología utilizada se puede encontrar en la referencia [8]. 
La constante de tiempo ( r = L/ R 17.25 milisegundos) debe ser mucho mayor que el periodo 
sobre el que se genera el PWM (20Khz). El voltaje de salida Vs corresponde a 3 volts y está 
modulado por la señal de control. El la conversión entre la señal de control y la variación en el 
ancho de pulso se realiza mediante el voltaje de rampa se realiza dentro del DSP. El esquema 
general de estas ideas se ilustra en la figura Fig4. l. 
n 
I i 
i l 
¡ ' 
Fig4 .1 Conversión entre una señal de control continua y PWM 
Dada la rapidez con que el sistema responde no se realizaron mayores pruebas fisicas más que 
revisarque efectivamente la esfera se mantenga en el punto de equilibrio deseado. El modelo 
armado se muestra en la fotografia Fig4.2. 
------------------------------------------------------------------Aplicación y comparación de distintas leyes-de control 
a un sistema de levitación magnética. 
32 
Fig4.2 Modelo fisico 
La señal que el fototransistor nos va a proporcionar es necesario amplificarla para poder con ella 
alimentar el convertidor analógico a digital que el procesador digital de señales tiene incluido. El 
voltaje que el ADC requiere es menor a 3.3 volts para que funcione correctamente, esta parte se 
realizó mediante un amplificador operacional, un arreglo de resistencias así como un transistor 
NPN. Las fuentes Vee y Vcc para este caso corresponden a voltajes de -5 y 5 volts 
respectivamente. En la Fig4.3b se muestra el diagrama eléctrico de esta amplificación 
Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a W1 sistema de levitación magnética. 
a) 
.------, b) 
lOOkQ 
'-.. '\. 
-
Vx 
Vcc • 
100 Q 
lOOkQ -
Vee 
Fig4.3 Circuito de detección de posición: a) emisor, b) receptor. 
La señal que el fototransistor nos proporciona se amplifica según el diseño mostrado en el 
diagrama esquemático Fig4.3b tomando en cuenta el esquema dado en la figura Fig2.7. El 
circuito emisor (Fig4.3a) consiste en una fuente de voltaje (Vcc) en serie con una resistencia de 
100 Ohms y el diodo emisor de luz infrarroja, que en todo momento está emitiendo una luz 
constante. El circuito receptor consiste en un arreglo de resistencia, un amplificador operacional 
y un transistor NPN, siendo el voltaje Vx quien nos proporciona el nivel al que se encuentra la 
esfera. Este voltaje está comprendido entre los cero y 3.3 volts que requiere el convertidor 
analógico digital del DSP para funcionar. 
Para calcular la ganancia que el transductor de posición nos brinda se tomaron diversas muestras 
con una distancia específica y se calcula la pendiente mediante una aproximación numérica 
lineal. 
Distancia Voltaje 
o 0.695 
0.005 0.725 
0.01 0.81 
0.015 1 
0.02 3 
La pendiente para este caso corresponde a 100 con una r2 de 0.6115 según se puede apreciar en 
la gráfica 4.4. 
Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
3.5 
3 
2.5 
i 2 
~ 1.5 
1 
0.5 
o 
o 
Ganacia del transductor 
0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 
metros 
Fig4.4 Grafico de la ganancia del transductor. 
El convertidor analógico digital nos convierte el voltaje analógico en un valor digital con el cual 
se van a realizar las correcciones necesarias. El procedimiento para calcular el voltaje consistió 
en proporciona a la entrada análoga del DSP un voltaje fijo y conocido y realizar la conversión 
para observar el valor que nos proporciona. La tabla con los valores se muestra a continuación. 
voltaje valor diaital 
3.3 1023 
3.206 1014 
3.1 980 
2.895 914 
2.6 821 
2.176 688 
1.792 567 
1.383 436 
1.083 342 
0.628 198 
0.109 35 
0.058 19 
Haciendo una interpolación de estos datos se genera una aproximación con mínimos cuadrados. 
La pendiente para este caso es de 314. 17, siendo una aproximación prácticamente lineal. De esta 
manera, tomando en cuenta tanto la ganancia del transductor como la del ADC, la ganancia total 
de la retroalimentación es de 3, 141. 
_____________________________________________________________ 35 
Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
1200 
1000 
800 
) 
600 • > 
400 
200 
o 
o 
Ganancia- del ADC 
0.5 1.5 2 
voltaje 
y=314.17x+ 1.8033 
R2 = 0.9998 
2.5 3 3.5 
Fig4. 5 Grafico de la ganancia del ADC. 
El circuito de potencia diseñado consiste en un transistor NPN ( modelo TIP4 l) y una resistencia 
de 75 Ohms calculada para polarizar al transistor. La entrada del circuito (PWM) se amplifica de 
esta manera y nos brinda la corriente deseada para el punto de operación de la bobina ( con 
resistencia Re inductancia L). La inclusión del diodo D protege al circuito de cualquier arco que 
pueda presentarse por el efecto contraelectromotriz producido por la bobina al mómento de 
eliminar la fuente de voltaje, pues colocando el diodo de esa manera la corriente inversa que se 
genera queda confinada en el circuito conformado por la bobina y el diodo hasta que se agote. La 
fuente nos proporciona una diferencia de potencial de 20 volts para que alcance a alimentar el 
voltaje necesario en la bobina y el voltaje generado entre el colector y el emisor del transistor. El 
circuito eléctrico de esta etapa se presenta en la figura Fig4.6. 
Aplicación y compaFacioo de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
Fig4.6 Circuito de potencia 
Los dos controladores que se diseñaron en la sección 3.2 y 3.3 están diseñados en el dominio del 
tiempo continuo, por lo que hay que encontrar el equivalente discreto de caqa uno de ellos para 
poder programarlos en el procesador digital de señales. 
Para encontrar este equivalente discreto existen diversas técnicas tomando en cuenta qué es lo 
que se quiere mantener equivalente, ya sea la respuesta a impulso invariante o bien el patrón de 
polos y ceros. Además es posible encontrar el equivalente mediante métodos d~ sustitución de 
aproximación de la derivada o métodos de integración numérica ya sea con rectángulo "a priori", 
rectángulo "a posteriori" o mediante el método de Tustin. 
Para encontrar la ecuación en diferencias que se va a programar del controlador diseñado en la 
sección 3 .2 se utiliza el mapeo de polo y ceros. De esta manera la función de transferencia en z 
del controlador con un periodo de muestreo de un milisegundo queda: 
G(z)= 30.43z-29.29 = U(z) 
z -0.5488 Z(z) 
(4.1) 
El equivalente discreto de la planta se calcula mediante un retén de orden cero a una frecuencia 
de muestreo de un kilohertz. 
G(z) =· 1.002 x l~-s z2 + 3.~51 x 10-s z + 9.734 x 10-6 
z -2.946z + 2.89z -0.9436 
(4.2) 
La traza del lugar geométrico de las raíces con esta compensación en el plano z se muestra en la 
figura Fig4.7. En ella es posible ver que para este caso el sistema se encuentra en el interior del 
círculo unitario, por lo que el sistema es estable. 
Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
Las variables de estado que se toman son la posición, la velocidad y la aceleración. La posición 
se obtiene directamente del transductor, sin embargo, la velocidad y la aceleración hay que 
calcularlas numéricamente. La velocidad se obtiene como la muestra actual menos la anterior 
entre el periodo de tiempo que transcurre entre estas muestras. Tomando el periodo igual al 
periodo de muestreo podemos simplemente calcular la velocidad como la diferencia entre la 
muestra actual menos la anterior. Para calcular la aceleración se sigue un método similar, siendo 
dicha aceleración la diferencia entre la velocidad actual menos la anterior. 
Este método resuelve el problema de tener un transductor para cada una de las cantidades que 
definen el estado del sistema (un sensor de velocidad, de posición y otro de aceleración) sin 
embargo la principal desventaja que este método presenta es el ruido que ~ed~ presentarse al 
hacer estos cálculos de manera numérica. Una forma de mejorar esto sería mediante 
observadores de estado, mas estos ya no implementarán durante el presente proyecto, quedando 
para futuros trabajos. Sin embargo la matriz de observabilidad se deduce con la representación 
de estados dada por la ecuación 3. 1 1, esta matriz se muestra en la ecuación y con ella podemos 
decir que el sistema es observable ya que su determinante es uno. 
Obs = [ C I CA I LA 2 } = O l O 
l
l o ºl 
Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
O O 1 
(4.5) 
5. Conclusiones 
5. 1 Resultados 
En la sección 4. T se presentaron las respuestas obtenidas sobre el modeladodel sistema 
antigravitatorio de levitación magnética y es posible hacer una comparación entre los distintos 
métodos de control que se propusieron en la sección 3.2 y 3.1. 
Comparando las respuesta que presentan ambos sistemas a una perturbación inicial de un 
centímetro (Fig3.6 y Fig3.7) se puede decir que el sistema controlado mediante retroalimentación 
de estado responde de una mejor manera pues el tiempo de establecimiento es alrededor de 0.25 
segundos, mientras que para el controlador diseñado mediante la técnica d~ emulación la 
respuesta tarda en alcanzar la banda del 2 por ciento en aproximadamente de 0.3 segundos. Sin 
embargo el pico máximo del compensador diseñado mediante emulación es significativamente 
menor a presentada por el segundo compensador. 
Analizando la respuesta en la posición de la esfera dada una perturbación en el voltaje de entrada 
(Fig3 .11) es posible decir que igualmente el controlador diseñado mediante espacio de estados 
alcanza el valor de estado estable en un tiempo menor que el controlador diseñado mediante 
emulación. Además el pico máximo que presenta este controlador es mucho menor a la misma 
entrada que el exhibido por el controlador diseñado en la sección J.2 del presente documento, sin 
embargo esto situación no es tan alarmante pues el ruido que se genera en el cable no es tan 
grande como un volt, pues la longitud del cable que conduce la señal de control a la bobina no es 
significativamente grande . 
. 5.2 Perspectivas y trabajo a futmo 
Una vez concluido los trabajos que se propusieron para el presente trabajo es. posible determinar 
cuáles serían los posibles trabajos que se realizarán en un futuro sobre el sistema de levitación 
magnética. 
El sistema fisico es posible mejorarlo mediante una interfaz conformada por µna pantalla de 
LCD y un teclado, ambos manejados por el DSP para de esta manera hacer totalmente auto 
contenido al sistema y poder prescindir de una computadora personal. Esta in.clusión no puede 
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-
Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
41 
afectar el tiempo de respuesta del microcontrolador pues la mayor parte del tiempo el DSP no 
está realizando otra tarea que esperar a que los timers se desborden ~ra realizar las tareas 
necesarias para la generación de la señal de control (PWM) y la corrección. 
Asimismo es recomendable incluir sensores de efecto hall para medir la corriente que el 
electroimán está recibiendo y de esta forma utilizar la corriente como otro parámetro que 
determina el estado del sistema. Actualmente la corriente se toma de una fuente del laboratorio, 
sin embargo sería recomendable que se construyera una fuente propia y sólo se conectara al 
enchufe corriente. Si se diseña una fuente de corriente para alimentar la bobina es posible reducir 
en un orden. 
Igualmente, dada la potencialidad del procesador digital de señales, es posible programar otros 
algoritmos de control más complejos para el control de la esfera. Algoritmos como control 
robusto, control mediante lógica difusa o modelando el sistema mediante la ~cuación de Euler-
Lagrange [20] y utilizar controladores utilizados en robótica como dinámica inversa. Sin 
embargo, para los propósitos del presente proyecto no se realizarán, quedando estos 
controladores para futuros desarrollos. 
El diseño de un sistema de medición de la posición más efectivo queda también para trabajos 
futuros, siendo recomendable la inclusión de una cámara de video y mediante técnicas de 
procesamiento de imágenes determinar la posición. 
Aplicación y comparación de. distintas leyes d.e-control 
a un sistema de levitación magnética. 
6. Referencias 
[l] T. H. Wong, Design of a magnetic Ievitation control system - An undergraduate 
project. IEEE trans. &fue., vol. E-29, pp. 196-200, 1986. 
[2] V. A. Oliveira, E. F. Costa y J. B. Vargas, Digital implementation of a magnetic 
suspension control system for laboratory experiments. IEEE trans. Edue., vol. 42, 
pp. 315-321, 1999. 
[3] K. Ogata, Ingeniería de control moderna. 3ª edición. Englewood Cliffs, NJ: 
Prentice-Hall, 1998. 
[ 4] Chapman. Stephen J. Máquinas eléctricas. J3 edición. Ed. Me Graw. Colombia, 
2003. 
[5] Thaler. Goerge J. y Wilcox Milton L. Manual de máquinas el~ctricas tomo 1. Ed. 
Limusa. México 1991. 
[6] Nise. Norman. Sistemas de control para ingeniería. 3ª edición. Ed. Grupo cultural 
patria, S.A. de C.V. México, 2004. 
[7] Franklin. Gene et al. Digital control of dynamic systems. 2~ edición. Ed. Addison-
Wesley publishing company. USA 1992. 
[8] W. G. Hurley, M. Haynes y W. H. Wolfle, PWM control of a magnetic 
suspension system, IEEE trans. &fue., vol. 47, pp. 165-172, 2004. 
[9] http :/ /focus. ti. com/lit/ug/ spru 160~/ spru l 60c. pdf 
[10] http://focus.ti.com/lit/ug/spru328b/spru328b.pdf 
[l I] http://www.fh-zwickau.de/tutorial/dsp 
[12] http://www.engin.umich.edu/group/ctm/digital/digital.html 
[13] eZdspTMLF2407 Technical Reference. ezdsp2407b.pdf 
[14] SIMUtlNK1mUser's guide Natick, MA: The Mathworks., 1992 
[ 15] http://www.rtri.or.jp 
[ 16] Sawada Kazuo. Development of magnetically levitated hi~h speed transport 
system in Japan. IEEE trans. on magneties, vol 32. Nº 4, pp 2230-2235, 1996. 
[17] http://www.acmaglev.com 
[18] http://www.calpoly.edu 
Aplicación y.comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
[19] http://www.epri.com/EPRI journal/jan.feb97/21.html 
[20] S. E. Salcudean, N. M. Wong, et al. Design and control of a force-reflecting 
teleoperation system with magnetically levitated master and wrist. IEEE trans. On 
robotics and automation, vol 1 l. Nº 6, pp 844-857, 1995. 
[21] S. R. Oh, R. L. Hollis y S. E. Salcudean. Precision Assembly with a Magnetically 
levitated wrist. IEEE pp. 127-135, 1993. 
[22] H. Yu, T. C. Yang et al. Modelling and control of magnetic suspensión systems. 
Proceedings of the 2002 IEEE international c01iference of control applications,pp 
944-949, 2002. 
[23} T. Ohji, S. Ichiyama, et al. Conveyance Test by Oscillation and Rotation to a 
Permanent Magnet Repulsive-Type Conveyor. IEEE transactions on magnetics, 
vol. 40, No 4, pp. 3057-3059, Julio 2004. 
[24] Mutambara. Arhutur, Design and analysis of control systems. CRC Press LLc. 
USA, 1999. 
[25] http://www.oz.net/-coilgun/levitation/home.htm 
[26] http://www.tbk.com 
[27] www.epfl.ch/Laboratories/levitation/LevitationFrame.html 
[28] Franklin, Gener F., POWELL J. David et al. Control de Sistemas Dinámicos con 
Retroalimentación. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana. México 1998. 
[29] J. Boehn, R. Gerber, N. R. C. Kiley, Sensors for magne1ic bearings. IEEE 
transactions on magnetics, vol. 29, No 6, pp. 2962-2964, noviembre 1993. 
[30] C. O. Kaminishikawahara, Levitayao magnética ou maglev (magn~tic levitation) 
[31] de Andrade Carmona. Humberto, Levita9ao Magnética. Física na Escola, v. 1, nl, 
Universidade Estadual do Ceará, Campus do Itaperi, 2000, 
[32] A. Villanueva y F. Suarez Ornani, Levitación magnética de un anillo. Anillo de 
thompson. Departamento de Física Universidad de Buenos Aires. Laboratorio IV 
Cátedra S. Gil 1998 
[33] Alvarado Javier, Sandoval Alexander. Diseño y construcción del estator de una 
máquina sincrónica lineal. Tesis de pregrado. Tecnología en Electricidad. 
Facultad Tecnológica, Universidad Distrital. Febrero 2003 
Aplicación y comparación de-distintas leyes de controt 
a un sistema de levitación magnética. 
[34] Chetelat. Oliver, Sustentation magnétique, synthese d'un régulateur. 
www.epfl.ch/Laboratories/levitation/LevitationF rame. html 
[35] Hayashiya H, Ohsaki H, Masada E. A combined Lift and propulsion system oda 
steel plate by transverse flux linear induction motors. IEEE 
[36] Rairan Danilo. Construcción de un sistema automático de medición de campo 
magnético utilizando el efecto hall. Universidad Nacional. Tesis de Maestría. 
45~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
Apéndice I 
Deducción de las ecuaciones del modelo electromecánico 
El propósito principal para lograr que un material flote por medios magnéticos se puede lograr de 
dos distintas maneras: utilizando la fuerza repulsiva magnética de las corrientes de "Eddy" ( en 
ocasiones llamada también corrientes de Foucault) y utilizando la fuerza de atracción 
electromagnética. El diseño que nos ocupa utiliza este último método. 
Para poder diseñar un efectivo sistema de control debemos determinar primero cuales son los 
parámetros de nuestra planta a controlar. El problema es el de un sistema antigravitatorio 
utilizando la fuerza de atracción electromagnética y en el mismo están involucrados varios 
conceptos que hay que tener claros. El objetivo consiste en mantener una esfera de metal en 
equilibrio alrededor de un punto determinado por medio de la fuerza de atracción 
electromagnética proporcionada por un electroimán como se muestra en la figura Al 1. 
AI.1. Diagrama de la situación. 
A-/. 1 Ecuación mecánica 
La fuerza (F) neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración (a) que sufre dicho 
cuerpo, siendo la masa del cuerpo (m) la constante de proporcionalidad, la ecuación EI.1 
describe matemáticamente este concepto. 
F=ma (EI.1) 
Donde 
46 
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
F = fuerza dada en Newton 
m = masa en kilogramos 
a= aceleración en metro sobre segundo cuadrado. 
Además sabemos de una ecuación elemental de física que la velocidad (v) está definida como la 
distancia (z) entre el tiempo (t): 
dx 
v=-
dt 
Siendo la aceleración (a) la derivada de la velocidad (El.2) con respecto al tiempo. 
dv d 2 z 
a=-=-
dt dt 2 
(EI.2) 
(El.3) 
En la figura AI. l se muestra el diagrama de cuerpo libre de nuestro modelo. En él se muestran 
las distintas fuerza que actúan sobre el cuerpo que nos interesa (la esfera de metal suspendida) y 
que actúan de manera opuesta entre ellas, estas fuerza son la de la gravedad y la producida por el 
electroimán. La primera está expresada como el producto de la masa (m) por la aceleración de la 
gravedad (g): mg y la segunda fuerza se representa como f (z, i). 
1(z,i) 
í 
0 
1 
mg 
Al.2. Diagrama de cuerpo libre 
De la segunda ley de Newton y en base al diagrama de cuerpo libre mostrado en Fig2 se obtiene 
la siguiente expresión de movimiento del sistema mecánico: 
d 2z 
m-º =mg + J(z,i) 
dtª (El.4) 
La fuerza que ejerce el electroimán depende de la distancia a la que la esfera se encuentra 
separada y a la corriente eléctrica que circule por la bobina. Esto se debe a cwe la fuerza que el 
electroimán ejerce depende del valor de la inductancia y esta a su vez cambia dependiendo de la 
distancia a la que se encuentra la esfera de metal. Al e.star la e.sfer.a en contacto con el 
_______________________________________________________________ 47 
Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
electroimán, la inductancia es mayor, disminuyendo a una constante conforme el esfera es 
alejada al infinito. La fuerza asimismo depende de la corriente pues el campo magnético 
generado que actúa sobre la esfera es proporcional a la corriente circulante, a mayor corriente, 
mayor campo y por lo mismo mayor fuerza. 
A-1.2 Ecuación eléctrica 
La figura AI.3 muestra un diagrama simplificado del circuito eléctrico que se implementa en el 
presente proyecto. 
&bv,a 
----~·\.,./'v~ .. \1~-. ·, 
r ·< 
·<L(z) 
~t 
AI.3. Diagrama eléctrico 
Donde r es la resistencia de la bobina, L(z) la inductancia de la bobina en funcióq de la distancia 
(z) de la esfera de metal a la bobina y v es el voltaje aplicado al circuito. La explicación del 
porqué la inductancia está en función de la distancia de la esfera a la bobina se desarrollará 
ampliamente en la siguiente sección. La ecuación diferencial del circuito queda expresada 
mediante la ecuación El. 5. 
v = Ri + d(L(z-)i) 
dt 
A-1.3 Ecuación electromecánica 
(EI.5) 
Para poder describir la fuerza que el electroimán ejerce sobre la esfera de metal es necesario 
conocer la inductancia (L) en función de la corriente que circula por ella y la distancia al que se 
encuentra dicha esfera. 
------------------------------------------------------------------~ Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
48 
El principio básico aplicado para poder generar la fuerza de suspensión de la esfera de metal se 
basa en los campos magnéticos producidos por la corriente en un cable. Para PQder explicar estas 
relaciones, es necesario definir primero ciertas cantidades como la densidad de flujo, intensidad 
de campo magnético, flujo magnético, inductancia y las relaciones que entre ellas existen. 
Densidad de flujo magnético 
De la referencia [5] obtenemos la ecuación mediante la cual se describe la densidad de flujo en 
un punto cualquiera dado producida por un elemento de corriente. Esta densidad de flujo está 
expresada por la ecuación EI.6 
dB = µ 0µ/ ca&adl 
p 41lr 2 
en donde: 
dBp = diferencial de la densidad de flujo en el punto p en webers/metro cuadrado 
µ0 = permeabilidad del espacio libre en webers/metro-ampere o henrys por metro 
A= permeabilidad relativa del medio en el sistema bajo consideración 
I = la corriente en amperes 
a, di, r se definen en el diagrama AI.4 tomando de [5]. 
I 
I 
/ 
/ 
I 
:i12..V~&:cos::.::a;:.=---:..=:~r~-~---- P 
Al. 4. Campo sobre un punto P 
(EI.6) 
Para poder calcular el campo magnético producido por objetos con alto grado de simetría es 
posible aplicar la ley de Ampere que se puede enunciar como sigue: 
-----------------------------------------------------------------49 Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
La integral de línea ( f/i •di) alrededor de cualquier trayectoria cerrada (C) es igual al producto 
de la corriente estable total que pasa a través de cualquier superficies delimitada por la 
tm 
trayectoria cerrada (1) y la constante de permeabilidad magnética del vacío µ 0 = 4í'Z" x 10-1 -A 
que, expresada matemáticamente resulta en la ecuación El. 7 
f/i•dl = µº/ (EI.7) 
Para encontrar el campo magnético de un objeto simétrico, la trayectoria C se escoge de tal 
- -
manera que el vector B sea paralelo al vector di en cualquier punto de la trayectoria. De esta 
manera el producto punto se simplifica a solamente Bdl. Además, si el campo magnético tiene el 
mismo valor en cualquier punto de la trayectoria, entonces la integral se reduce a BL, donde L es 
la longitud de la trayectoria amperiana. Aplicando estas condiciones es posible calcular la 
densidad de flujo en algún punto p como 
B= µof 
21lr (EI.8) 
El problema que nos ocupa en este proyecto es el de un solenoide, que es un alambre largo 
enrollado en forma de una bobina. Utilizando esta configuración es posible producir un campo 
magnético prácticamente uniforme en el interior de la bobina. Para que el campo magnético 
producido sea prácticamente uniforme, el solenoide tiene que ser muy largo con respecto a su 
diámetro: l » R. De esta manera las líneas de fuerza en la parte media del solenoide pueden 
considerarse como paralelas a su eje, no sólo en su centro exacto sino a travé&de toda la sección 
transversal del centro del solenoide y no existe flujo a una pequeña distancia fuera del solenoide 
mismo. El diagrama esquemático AI.5 tomado de [SJ muestra un corte de la situación. 
Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
c .. - IJ 
~-·· 
AI.5. Corte transversal de un solenoide. 
Para encontrar la expresión matemática para el campo magnético en el interior de un solenoide 
largo que conduceuna corriente 1, que según el diagrama Al.5 entra en página por los cables 
superiores y sale por los inferiores, se usará la ley de Ampere (El. 7). 
En este caso la trayectoria amperiana será un rectángulo con trayectoria a, b, c, d y la integral 
queda entonces: 
---)o -4 b-4 ---t e_,. ---+- d-:., -4 ª-+ -4 
fB•&=fB•&+JB•&+JB•&+fB•& 
a b e d (El.9) 
En donde la dirección del campo magnético B corre dentro del solenoide de derecha a izquierda 
según AI.5 y la diferencial de longitud es paralela a la trayectoria de integración que se siga para 
cada caso, es decir, en la trayectoria a b, di va de a hasta b de arriba hacia abajo en la página; en 
la trayectoria de b e la diferencial di es de derecha a izquierda y así sucesivamente. A 
continuación se toman varias consideraciones para simplificar los cálculos. 
Como el campo magnético fuera del solenoide es igual a cero, la integral de esa parte es: 
a----> ----> J B•dl = O 
d (EI.10) 
Así mismo, como en las trayectorias e, d y a, b el vector di forma un ángulo de 90º con el 
campo magnético ( B) se puede decir que: 
a (EI.11) 
- -
En la trayectoria b, e los vectores di y B son paralelos, por lo tanto el campo es constante, 
entonces: 
Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
e ---+ ---+ f B•dl = BL 
b (El. 12) 
Si la corriente encerrada en la trayectoria es la suma de las corrientes de las N vueltas de cable 
que la atraviesan (/ = NI) y sustituyendo la corriente encerrada en fa ley de Amper (EI.8), se 
obtiene la expresión El. 13. En esta ecuación la L es la integral de di y representa la longitud total 
de la bobina. 
(EI.13) 
Finalmente despejando de EI.13 la densidad de flujo (B) nos queda la expresión EI.14 en función 
de la permeabilidad magnética, el número de vueltas, la corriente y la longitud L del solenoide. 
B = µ 0Nl 
L 
(EI.14) 
En el caso que nos ocupa, dentro del solenoide va a existir una barra de acero, por lo cual la 
expresión sólo se modifica tomando en cuenta la permeabilidad relativa del acero ( µ,., valor 
obtenido en el apéndice 111): 
(EI.15) 
Intensidad del campo magnético 
Otra cantidad importante es la intensidad del campo magnético que está dada en Newton sobre 
weber. La intensidad del campo magnético (H) es la propiedad de una fuent~ magnética para 
magnetizar un medio y la relación con la densidad de flujo (B) está dada por la siguiente 
ecuación: 
(EI.16) 
donde 
µ0µr = producto de la permeabilidad del espacio, por la permeabilidad relativa del material 
H = intensidad del campo magnético 
B = densidad de flujo del campo magnético. 
Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
Flujo magnético 
El flujo magnético ( <I>) a través de una superficie (A) se calcula como la integral de área de la 
densidad de flujo del campo magnético (B) por la diferencial de área (da). 
et>= f Bda 
A (EI.17) 
Si la densidad de flujo (B) es uniforme y el área (A) es normal a dicha la densidad de flujo la 
ecuación El. 17 se reduce a El. 18. 
<I> = BA (EI.18) 
Fuerza electromotriz 
La fuerza electromotriz ( 3) en un solenoide está dada por el producto de la corriente circulante 
(/) en el solenoide por el número tota de espiras (N) de la bobina. Dicha fuerza se obtiene de la 
siguiente expresión. 
(EI.19) 
donde 
~ = <D 9t = fuerza electromotriz 
<I> = flujo total 
~n 2Jd 1 . , . ~· = = re uctanc1a magnetica 
µoµ,A 
l = longitud del solenoide 
A = área transversal del núcleo del solenoide 
Inductancia 
Para un medio magnético de permeabilidad constante, la inductancia de la bobina se define 
mediante la ecuación (EI.20) 
donde 
L = N<t> = 'I' 
I I 
Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
(EI.20) 
L = inductancia de la bobina 
N = número de vueltas del cable 
1 = coniente del cable 
<I> = flujo magnético 
'P = flujo concatenado. 
En esta ecuación podemos ver que la inductancia depende del flujo magriético y este a su vez 
depende de la densidad de energía. 
Energía y co-energía almacenada 
La energía almacenada (W) en un campo magnético por una bobina está dada por EI.21. 
tiW = ¡-cr, 2 Nid9 
J<l>¡ (EI.21) 
Esta ecuación define la energía almacenada en el campo magnético. Tomando en cuenta que el 
flujo <1> 1 es cero al inicio y se aplica corriente hasta alcanzar el flujo <1>2 , la energía se puede 
representarse por el área entre la curva y el eje </> mostrado en la figura AI.6 tomada de [5]. 
De igual manera, la co-energía está definida por ef área entre la curva y el eje NI, tomando 
igualmente al inicio una corriente igual a cero e incrementándola hasta alcanzar el valor i0. 
Gráficamente se puede apreciar este concepto en el diagrama AI.6. De esta forma la co-energía 
(W') está dada por la integral expresada en EI.22. 
Aw · = rNi¡ (jx}Ni 
jNi0 (EI.22) 
Estas relaciones indican claramente que la energía almacenada está relacionada al producto de la 
corriente por el flujo concatenado, lo que también puede expresase como un producto de la 
fuerza magnetomotriz por el flujo. 
Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
' Ni o i 
AI.6. Energía y Co-energía 
Si la función es lineal la curva de AI.6 es una línea recta y de esta manera la energía del campo 
magnético es igual a la co-energía magnética. Tomando en cuenta esta condición, las integrales 
se reducen a calcular el área de energía y se puede llegar a la conclusión de que la energía está 
dada por el producto del la corriente (NI) por el flujo concatenado (\JI) divido entre dos, de igual 
forma, en base a las ecuaciones anteriormente presentadas, la energía puede expresarse por la 
mitad del producto de la corriente cuadrada por la inductancia. 
W =J..\J'Nl =2-LT2 
2 2 
(EI.23) 
Deducción de la ecuación electromecánica 
Para lograr un trabajo mecánico ejecutado por el campo magnético se estudia la energía 
almacenada antes y después por el campo magnético. En general se dice que el trabajo mecánico 
es dado por el aumento de la co-energía y esto es siempre verdadero ya sea que el circuito 
magnético sea lineal o no [5]. 
La fuerza puede calcularse usando el principio de trabajo virtual como: 
fdx=+dW' (EI.24) 
Donde el trabajo diferencia (dW') está dado por el producto de la fuerza (f) por la diferencial de 
distancia (dx). Despejando la fuerza (f) se tiene: 
--------------------------------- 55 Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
f=(~consl 
f =-( :)~co~ 
(EI.25) 
Cada una de estas definiciones dependiendo si la corrientes es constante o bien si el flujo es el 
que se va a mantener constante. Si la función de energía es lineal se puede obtener de EI.23 y de 
EI.25 la expresión EI.26 
fdx = dW = _!_í--2 L 
2 
f = dW = _!_ i 2 dL 
dx 2 dx (EI.26) 
De esta manera, se puede observar que la fuerza (f) con la que el electroimán va a atraer a la 
esfera depende de la inductancia en función de la distancia ( en EI.26 x, sin embargo en el cuerpo 
del documento expresada como z) a la que la esfera se encuentra. Para encontrar la expresión de 
esta inductancia se utilizará un circuito magnético [ 4J, el esquema correspondiente está dado por 
la figura Al 7 b. 
+ 
.$ 
&:'\ o 
e!> 
--· b) 
<. ,;;;o 
< ·71~ 
····ill,,,,c; 
< :~- ;·.1.·,·,¡,:: 
Al. 7. Circuito magnético a) esquema físico b) circuito magnético equivalente 
donde 
~ = fuerza electromotriz 
9{-Nuclea = reluctancia del núcleo de la bobina 
_________________________________________________________________ 56 
Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación-magnética. 
9t Entre hierro = reluctancia del espacio entre ta bobina y la esfera 
iJtEsfera = reluctancia de la esfera 
91 
Espacio libre = reluctancia del espacio entre la esfera y el otro extremo de la bobina. 
<I> = flujo total 
En basea este esquema, es posible hacer una analogía entre un circuito magnético y un circuito 
eléctrico donde el voltaje, la resistencia y la corriente del circuito eléctrico son, respectivamente, 
en el circuito magnético la fuerza electromotriz, la reluctancia y el flujo magnético. Así mismo, 
haciendo la analogía, se puede aplicar la ley de Ohm para el circuito magnético. 
(EI.27) 
Para conocer cual es flujo total que va circular por el circuito magnético se realiza un análisis de 
mallas, quedando en la ecuación: 
3 
<l>=---------------
91 Esfera + 9{ Entre hierro + 9{ Esfera + 9{ EspacioLibre (EI.28) 
En esta ecuación la fuerza electromotriz es conocida y está dada por el producto de la corriente 
por el número de vueltas de la bobina (NI), La reluctancia es proporcional a la longitud del 
elemento e inversamente proporcional al área normal al desplazamiento del flujo. Para cada 
elemento la reluctancia puede obtenerse con la ecuación: 
9i = l 
PoP,A (EI.29) 
Para el cálculo de la reluctancia de cada uno de los elementos se hacen los sigi¡ient;es supuestos: 
o El rango de operación sobre el que la esfera va a moverse es pequeña, por lo que 
podemos tomar como constante la densidad de flujo y por lo tanto también la 
permeabilidad magnética del núcleo y la de la esfera. 
o El efecto marginal del entre hierro existente entre el núcleo y la esfera se desprecia, así 
como el del espacio libre. 
o Se supone que la longitud del espacio existente entre el otro extremo de la esfera y la 
bobina es igual la suma de la longitud del núcleo, el entre hierro y el diámetro de la 
esfera. Así mismo se toma el área igual a la existente en el núcleo. 
Aplicaciónycomparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
De esta manera es posible concluir que la reluctancia del núcleo y de la esfera son constantes, 
quedando el flujo en función de la distancia existente entre la bobina y la esfera, es decir, en 
función de la distancia del entre hierro. 
Una vez que se tiene el flujo como una función de la distancia del entre hierro se obtiene la 
inductancia del sistema con la siguiente ecuación, definida en {El.20): 
L = N<l> 
i 
Finalmente, de la ecuación de trabajo virtual (El.26) se obtiene una expresión de la fuerza 
electromagnética ejercida en función de la corriente y de la distancia entre el núcleo y la esfera, 
quedando la ecuación expresada en EI.30. 
f = dW =-_!_i 2 dL 
dx 2 dx (El.30) 
La inductancia (L) tiene un valor más grande cuando la esfera de metal está cerca de la bobina y 
decrece hasta una constante (L1 ) conforme la esfera se aproxima a infinito. Tomando esta 
distancia como z, se considera que la inductancia está dada por: 
L - L Laxo - ¡+ (El.31) 
X 
Tomando en cuenta esto, definiendo constantes y en base a álgebra la fuerza que ejerce el 
electroimán sobre la esfera de acero está dada por la siguiente expresión: 
f(x,i) ~ J,~, (:)' (EI.32) 
Donde L0 = L(O) - L( oo) y z es la distancia de la esfera a la bobina en el sistema de levitación. 
A-1.4 Ecuaciones del sistema 
Las ecuaciones que describen el comportamiento del sistema en la figura AI. l son ecuac10nes 
eléctricas, mecánicas y electromecánicas y están definidas de la siguiente forma: 
Ecuación eléctrica: 
v = Ri + _d(~L(_z)~i) 
dt 
Aplicación y compa(ación de distintas leyes de control 
a W1 sistema de levitación magnética. 
(EI.33) 
Ecuación mecánica: 
d
ry 
-z ( ·) m-
2
=mg+fz,, 
dt 
Ecuación electromecánica: 
J(z,i)= L;zo (; J 
donde 
Aplicaciónycomparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
(EI.34) 
(EI.35) 
(EI.36) 
Apéndice II 
Lineatización de las ecuaciones---Oel sistema 
Las ecuaciones que describen el comportamiento (EI.33, EI.34, EI.35) del sistema dadas las 
características del mismo, son no lineales, por lo que es necesario linealizarlas para poder aplicar 
los métodos de control clásicos a ellas. 
v = Ri + d(L(z)i) 
dt 
d
2
z J( ·) m-~ =mg+ z,1 
dr 
(Eil.1) 
(EII.2) 
(Eil.3) 
Para realizar esta operación se van a tomar en consideración varias restriccio~s. Como se puede 
apreciar en la ecuación (1 ), la inductancia de la bobina está en función de la distancia a la que se 
encuentra la esfera de acero levitando. Entre más cerca esté la esfera, mayor es la inductancia. Al 
estar completamente unidas la esfera y el núcleo de la bobina, la inductancia alcanza su mayor 
valor. Conforme la esfera se aleja a infinito la inductancia disminuye hasta tender a un valor 
constante. Como en nuestro caso, la esfera oscilará en un rango pequeño, suponemos que la 
inductancia es una constante. 
Al ser nuestro objetivo que la fuerza electromecánica contrarreste ta fuerza de gravedad se 
supone también que estas dos fuerzas serán iguales, en el estado de equilibrio. 
Finalmente, para linealizar la ecuación electromecánica se utilizará un método apropiado, ya que 
depende tanto de la corriente aplicada como de la distancia a la que la esfera se encuentra. 
Linealidad 
Para que un sistema sea lineal debe cumplir con el principio de superposición, que tiene dos 
condiciones [3]: la homogeneidad y la aditividad. 
o Aditividad: 
Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
o Homogeneidad: 
Si ambas condiciones se cumplen, entonces se dice que la ecuación es lineal. 
Condiciones para linealizar un-sistema 
Las condiciones que deben cumplirse para poder linealizar un sistema no lineal son las 
siguientes: 
o Las variables sólo se desvían ligeramente de alguna condición de operación. 
o El funcionamiento está restringido alrededor de la condición de operación. 
o El núcleo debe ser operado dentro de la región no saturada de la curva de magnetización 
(B vs. H). Esta condición se detalla en el apéndice 111. 
Dado que nuestra esfera sólo operará en un rango pequeño de distancia, podemos suponer que se 
van a cumplir estas condiciones. 
Método de linealización 
El procedimiento utilizado para linealizar un sistema se basa en la expansión de la función no 
lineal en series de Taylor del punto de operación [3]. Dicho método se explica a continuación. 
De la función no lineal y = f(x) se establecen las condiciones de operación normar x ', y'. La 
función se expresa como una serie de Taylor. 
d{f 1 d2f· , 
y= f(x')+-(x-x')+--, (x-x')" + ... 
dx 2! etc 
Se toma el término lineal y la primera derivada como la ecuación lineal, siendo esta: 
donde 
y'= f(x') 
K = d.f 
dx x=x' 
Para casos multivariables el procedimiento es similar. 
(EII.4) 
(EII.5) 
(EII.6) 
(EII.7) 
61 
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-
Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
La expansión queda como sigue 
Siendo la ecuación lineal: 
donde 
Lineal ización 
y'= f(x;,x~) 
K, = ofl 
ar1 . 
.r¡.::.r¡ 
K, = of 
- ax . 
2 xi =xz 
(EII.8) 
(EII.9) 
(Eil. l O) 
(EII.11) 
(EII.12) 
(EII.13) 
En base a la ecuación EII.1 O se toma como punto de operación (zo, io), se considera L (z) = L, 
f (i, z) = mg y se procede a linealizar las ecuaciones que describen el sistema de levitación 
magnética. 
(EII.14) 
Tomando en base a las ecuaciones EII.11, EII.12, EII. IJ es posible obtener las expresiones de 
Eil.14. 
/(i0,-0 ) =e(:, J' = mg 
a¡ 
K =-
1 ~-
ul .. 
1=10 ,z=z0 
óJ 2Ci; 
K2=- =---
oz i=io,Z=Zo zi 
Aplicaciónycomparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación magnética. 
(EII.15) 
Definiendo zz = z - zo, i/ = i -io y u =v -Rio las ecuaciones quedan: 
di 
u=Ri +L-1 
l dt 
d
2
z1 F( . ) 2Ci0 . 2Ci; m-2- = 11 Zz,lz =-2-lz --. -3-z1 
dt z0 z0 
(EII.16) 
(EII.17) 
Siendo estas últimas ecuaciones lineales, pues cumplen con el principio de superposición y de 
esta manera es posible ya trabajar con ellas mediante los métodos clásicos de control. 
Aplicación y comparación de distintas leyes de control 
a un sistema de levitación- magnética. 
Apéndice III 
Permeabilidad