Modelo de Tasa de Interés y Planes de Retiro

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Parametrización del Modelo de Tasa de Interés Cox-
lngersoll-Ross y su aplicación en Planes de Retiro 
(Pensiones) mediante Floorlets/Caplets. 
Biblioteca 
Ctlrnpug Chdadde "-b, 
TECNOLÓGICO 
DE MONTERREY~ 
Instituto Tecnológico de Monterrey, (Campus Ciudad de México). 
Angel Flores Fuentes. 
Maestría en Finanzas. 
Tutor: Dr. lgor P. Rivera 
1r· , _, 
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• 
Índice. 
Abstract 
Introducción 1 
Capitulo 1 Contexto de las pensiones 4 
Capitulo 2 Va1loración de Pasivos Actuariales 8 
Capitulo 3 DE!finiciones y conceptos Instrumentos finanderos Derivados 16 
Capitulo 4 Prioblema de Tasa de Descuento Mark to Market 23 
a. Caps v Floors 24 
b. Construcción de parámetros de Modelo de Simulación 25 
c. Parámetros del Cox-lngersoll-Ross (CIR) 28 
Resultados 37 
Condu~ones 41 
Anexo A: Determinación de parámetros (a,b) modelo CIR 
Anexo B: Información Macroeconómica de los últimos 8 años 
Anexo C: Diagrama de Flujo para obtener los parámetros del Modelo CIR 
Anexo D: Validez de un proceso de simulación, probabilística - ,estadística 
Anexo E: Curva de largo plazo. 
Bibliografía 
Abstract 
Los principales dos riE!sgos relacionados con los temas de pensiones, son: la expectativa de vida y 
la tasa de interés técnico (descuento para determinar el valor pre-sente de los flujos de pago 
esperado), dependiendo la estructura del plan puede surgir una ter,:era que corresponde con el 
crecimiento del beneficio del mismo. La tasa de descuento, introduce una volatilidad al marcar a 
mercado (mark to market), el valor presente de los pasivos futuros, particularmente en las 
empresas que patrocinan planes de Beneficio Definido o Híbridos; por lo que representa una 
afectación en su situación patrimonial de manera importante, al cierre fiscal de cada año en, 
virtud del efecto por movimientos en la tasa. Al no existir papeles financieros a los plazos de 
vencimiento de estas obligaciones, existe una imposibilidad a inmunizar (eliminar mediante el 
calce de los flujos pasivos-activos) los efectos de los movimientos en la tasa. Lo anterior da pie a la 
pregunta natural de si existe la alternativa de utilizar los productos financieros derivados a fin de 
suavizar los efectos de estos impactos a lo largo del tiempo, y de ser así, como debería 
determinarse la estrategia tratándose de pasivos de muy largo y el potencial seguro que se pueda 
comprar a través de un Cap o Floor. Si esto fuera así, de manera natural parece conveniente el 
asegurar periodos de mediano plazo (i.e. menores a 10 años), toda vez que las tasas de largo plazo 
se van recalibrando de manera suave, en función de los ajustes macroeconómicos, sin embargo a 
través de modelos de tasa de interés se puede pronosticar su ajuste !esto viene a ser un corolario 
de las conclusiones arrojadas por este documento). 
El trabajo utiliza una estrategia de caplets y floorlets (cadenas de caps y floors), para determinar 
un rango de variación en el que se permite la fluctuación de la tasa, claramente observando que 
existe una relación inversa entre el rango y el costo de la prima por la cobertura ante los 
movimientos de la tasa de interés en el mercado; lo cual evita las pérdidas y ganancias en el corto 
plazo, que representa movimientos de capital patrimonial y en ocasiones volatilidad en el estado 
de resultados de las compañías tenedoras de planes de Pensiones de Beneficio Definido o 
Híbridos. 
Además de lo anterior, el uso de un modelo de tasa de interés, coma el aquí presentado, permite 
la estimación de la tasa de largo plazo, que es justo la razón central de este documento, ya que se 
puede convenir el uso de ésta para determinar el valor presente de los pasivo a este plazo, en 
sustitución de la tasa actual de mercado, lo cual evita las variaciones mencionadas en el párrafo 
anterior. 
Por último y no menos importante sabemos que todos los derivados de tasa de interés son los más 
difíciles de valuar (HULL (2009) Options, Futures & Other Derivatives), ya que: es necesario 
desarrollar un modelo que describa el comportamiento total de la curva cupón cero, además de 
que las volatilidades son diferentes en cada punto de la curva. Por e:;to es que el modelo de tasa 
aquí presentado supera cada uno de estas complicaciones, obteniendo así una manera de 
pronosticar cada uno de los nodos de la curva, mediante métodos de simulación. 
Introducción 
Cada vez que se tiene que medir el valor presente de una cadena de flujos esperados, con plazos 
de vencimiento de mtís de 30 años, la pregunta natural es: ¿Qué tasa de descuento debo utilizar?, 
como se justifica en E!I muy largo plazo esto?. Más aún ¿Existe la posibilidad de cubrirnos contra 
movimientos en la tasa seleccionada para cuantificar el valor actual ele estos flujos?. Sabemos que 
los modelos matemático-actuariales aplicados a la finanzas y economía, no es más que una 
simplificación de la realidad observada; por lo que el modelo aquí planteado apunta en esta 
dirección, con el objetivo de ofrecer alternativas de solución al planteamiento arriba mencionado. 
Dado un plan de pensiones que requiere determinar el valor presente del costo de los beneficios 
otorgados a través del mismo, es necesario establecer el conjunto de hipótesis actuariales para 
determinar el valor de estos costos, entre ellas destacan fundamenUlmente la tasa de descuento; 
esta tasa suele referirse en la literatura como tasas futuras de largo plazo. Existen varias 
aproximaciones, tales como aquella tasa a la cual se pueden extinguir las obligaciones con un 
tercero, aquella tasa que se puede obtener en el mercado para financiar estas obligaciones, entre 
otras01. Esta tasa de descuento o también llamada dentro de la literatura como Interés Técnico, se 
nombra mucho, pero pocas veces se habla de las metodologías para su construcción. Suelen 
establecerse métodos tales como bonos que tengan una duración :;imilar y asignar la implícita al 
vencimiento (Yield to Maturity del mercado) al momento de su valuación, se considera como una 
posible tasa o bien tasas selectas y ultimas al momento del vencimiento de estos flujos; entre 
otras aproximaciones. Una natural y que marca a mercado el valor de los compromisos por 
pensiones al menos en los estados financieros de las compañías es la tasa cupón cero tomando 
como nodo el equivalente al valor de la duración de los pasivos. 
El trabajo propone el uso de instrumentos financieros para acotar dentro de una banda de 
tolerancia que esta tasa fluctúe sin la necesidad de reconocer en los estados financieros, de los 
patrocinadores de este tipo de planes, un ajuste derivado de las ganancias o pérdidas (actuaria les) 
generadas por estos movimientos de la tasa. Otra alternativa es que esta fluctuación se permute 
por la selección de una tasa de descuento de largo plazo de la curvc1 cupón cero. 
El trabajo está divido en 4 capítulos. 
Capitulo 1.- se establecen las definiciones de los tipos de planes de pensiones, según su 
naturaleza, se da un vistazo en México de cómo se encuentran compuestos, los supuestos 
utilizados para determinar el valor de pasivo. 
O/Para mayor información revisar las normas de información financiera en el apartado de t;isa de descuento 
Página 1 
Capitulo 2.- se presentan las fórmulas utilizadas para determinar el valor presente del pasivo, 
particularmente del indicador por excelencia que se termina reflejando en los estados financieros 
como es la OBD, de la obligación total VPOT y el costo de un año de envejecimiento y el concepto 
del costo Neto del periodo como cargo a resultados de aquellos que financian un plan de retiro 
por pensiones. Calculado en un año fijo x se presenta la forma en la que se proyecta (estima) un 
año (x+l), por inducción su estimación n años después (x+n), particularmente este proyección es 
de gran utilidad ya que sirve como base para proyectar el valor del Nocional a pagar n años 
después cuando se está comprandoun Floor/Cap de la tasa y este valor es necesario para 
determinar el monto a cubrir. 
Se da una breve descripción de las normas contables que obligan a las empresas públicas a valorar 
estos pasivos bajo principios de contabilidad generalmente aceptados los cuales en su esencia son 
similares y solo tienen algunas diferencias de relevación, presentación y en algunos casos registro. 
Capítulo 3.- un breve repaso a los conceptos de los instrumentos financieros derivados, entre ellos 
se definen los conceptos de Floor/Cap que sirven como base para ,~I análisis del presente trabajo, 
particularmente cadenas de estos conocidos como Floorlets / Caplets respectivamente. Cuyo 
subyacente es el valor de la tasa de rendimiento (tasa de descuento) que se espera esté en el 
mercado en 1,2, 3, .. , n, años a fin de tener una cobertura con estos instrumentos. Toda vez que 
es necesario el uso de un modelo para determinar el comportami,ento de las tasas futuras, se da, 
una introducción a los conceptos de variable aleatoria, procesos de Levy y el caso particular de 
Wiener cuya función de distribución es Normal, pasando por el movimiento browniano (caminata 
aleatoria), para llegar al modelo de Ornstein-Uhlenbeck, cuya a•;:ilicación al comportamiento de 
tasas fue dado por Oldrich Vasicek y posteriormente refinado por Cox-lngersoll-Ross (Modelo CIR) 
los cuales agregaron un factor al término estocástico implícito (proceso de Wiener) equivalente a 
la raíz cuadrada del valor de la tasa, el cual evita que se generen tasas negativas durante la 
simulación del proceso estocástico. Todos los conceptos aclarcdos en este capítulo pretenden 
simplemente poner en contexto al lector de este documento de la herramienta atrás de los 
modelos estocásticos, para entender de una manera sencilla lo que subyace al modelo de 
simulación. Ya que con solo utilizar un buen generador de números aleatorios es posible simular 
posibles trayectorias de tasa de interés. 
Capitulo 4.- finalmente dados los ingredientes para entrar al modelo, se complementa el concepto 
de Duración y Duración Modificada para entender la importancia del dato y su uso en el presente 
trabajo. Este capítulo presenta el modelo, los parámetros usados, así como su validez estadística, 
para lo cual es importante presentar como se encuentra estructurado: 
1) Se presenta el modelo de tasas de interés para simular el comportamiento futuro de las 
tasas. 
2) Se obtienen las tasas cupón cero mensuales de mercado de los últimos 8 años, de estas 
curvas se hace un corte transversal para tomar un solo plazo y se observa el 
comportamiento de las tasas. 
Página 2 
3) Se determinan los valores de los parámetros CIR. 
4) Se simulan trayectorias de tasas interés. Se corren 10,000 simulaciones para determinar el 
valor de los Floorlets/Caplets. 
5) Se presentan los resultados para duraciones de 10, 15, 20 y 25 años. 
En las conclusiones se presentan los resultados, además de los comentarios sobre la importancia 
de que los intermediaras financieros los puedan ver como un potencial producto de mercado, 
sabiendo que no existen instrumentos financieros de cobertura para este plazo de duraciones. Es 
decir ante la imposibilidad de calzar compromisos de tan larga duración lo conveniente es poder 
tener en el mercado mecanismos que permitan la cobertura de estos instrumentos, de tal manera 
que con el pago de una prima se tenga acceso a un contrato como este. El detalle del proceso de 
construcción del mecanismo para determinar el precio de estos mecanismos mediante Floorlets y 
Caplets en este documento se muestran todos los detalles para el caso del nodo a 15 años (5400 
días, base 360), donde con base en 96 curvas cupón cero (8x12 Enero 2004 a Diciembre 2011) se 
pueden estimar trayectorias mediante métodos de simulación a través del modelo de CIR para 
proyectar estas rutas, obtenidos los parámetros de estos 96 elatos históricos. El proceso fue 
repetido para 10 años, 20 años y 25 años, que son duraciones promedio de planes de retiro, el 
caso de un plan "joven", pueden tener hasta 25 años de duración mientras que planes ya muy 
maduros (viejos y con población cerrada pueden tener duracionei; cercanas a 10 años). 
Vale la pena destacar que el análisis aquí presentado corresponde a las curvas cupón cero 
gubernamentales, pero se puede aplicar a cualquier curva de plazos. Con lo que cual este modelo 
puede ser ampliamente utilizado. 
Por último es importante señalar que todas las ideas presentadas son propias del autor con base 
en su formación y experiencia en este ámbito, sin embargo al final (bibliografía) se presenta, para 
cada capítulo, literatura de apoyo, así como referencias de páginas electrónicas de internet. Este 
apartado se encuentra al final del documento. 
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Dedicatoria: a Dios y Maria, a mis 2 mujeres, (Guille, la que me dio la vida y Paola la que ocupara 
gran parte de ella), a mi familia. Asimismo a BBVA Bancomer por hacer posible este estudio 
mediante el financiamiento del mismo. 
México D.F. Marzo 25, 2012. 
Angel Flores Fuentes. 
Página 3 
Capitulo 1 
Contexto de los planes de Pensiones. 
Según la naturaleza del tipo de beneficio establecido mediante ur plan de pensiones se puede 
clasificar en tres grandes tipos de planes: 
1) Beneficio Definido 
2) Contribución Definida 
3) Híbridos 
Beneficio Definido, planes en donde como su nombre lo indica llegado el retiro (la jubilación) el 
beneficio es conocido (i.e. la pensión se determina mediante una fórmula conocida y el beneficio 
termina dependiendo del ingreso al final de vida laboral, de ahí que en la literatura anglosajona 
también se les conoce como "Final Salary", por estar en función ele este). Los viejos esquemas de 
la seguridad social publica de los países tendían a financiar este tipo de esquemas, sin embargo al 
basarse en esquemas solidarios, esto es los jóvenes financiaban a los "viejos", esperando en dos 
generaciones esto ser así, ante las descomposiciones de las pirámides poblacionales, el 
crecimiento de expectativa de vida y la falta de financiamiento d,~ estos planes a través de cálculos 
actuariales sólidos generó su complicación y transformación. Este temor mal infundado en los 
planes de beneficio definido se generalizó en las empresas privadas patrocinadoras de estos 
planes que decidieron congelar, cambiar y en algunos casos cancelar sus p)anes de beneficio 
definido. Efectivamente se volvió imperante el ajuste de los esquemas, pero la sugerencia es 
migrar a esquemas híbridos que definiremos más adelante. 
Ben= f(x,h,Sx) 
Años de servicios \ Edad x 
Ben= Beneficio Acumulado. 
Página 4 
x:= Edad 
h:= Antigüedad 
Sx:= Sueldo 
El beneficio es función del sueldo al retiro mediante una fórmula clara de acumulación y sobre los 
últimos sueldos percibidos se determina una pensión que se será pagada al momento de la 
jubilación (Vitalicia, Mancomunada, con Garantía, etc). En el caso de la seguridad social bajo la ley 
anterior (1973) estableció el sueldo promedio de los últimos 5 años. 
Contribución Definida, son aquellos planes que establecen el monto a aportar a una cuenta Y el 
patrimonio constituido al retiro se constituye solo de estas aportaciones mas los rendimientos 
obtenidos. En este esquema el beneficio es contingente de carc1 al participante del plan y está 
sujeto al monto de aportaciones y la gestión de las inversiones. Suelen establecerse subcuentas a 
favor de cada participante para que a su retiro reciban el saldo acumulado. La mayoría de los 
esquemas de seguridad social pública así como las empresas privadas desde los 90s han iniciado 
con una migración masiva a este tipo de modelos de pensiones. Toda vez que la responsabilidad 
en este tipo de planes termina hasta el depósito de la aportación acordada, no existe pasivo 
adicional que reconocer. En el caso de México este es el esquema nuevo de la seguridad social 
administrado por las Afore's y cuyos entidadesencargadas de le, inversión de estos fondos son las 
Siefores. 
Modelo Híbrido, este esquema es una combinación de los dos anteriores, sin embargo existe una 
interdependencia, i.e. no se pueden separar el Beneficio Definido de Contribución Definida (a 
diferencia de los planes mixtos en donde pueden convivir de manera independiente). Un ejemplo 
de ellos son aquellos planes que establecen una garantía mínima de beneficio en caso de que la 
contribución definida (aportaciones y rendimientos) no sean lo suficiente para alcanzar un monto 
mínimo, se realizan proyecciones financieras y actuarialmente se determina el valor presente del 
pasivo potencial por garantizar este mínimo (floor plan conocido en la literatura americana). 
Existen esquemas que son combinaciones que se pueden analizar por separado, en su 
componente de Beneficio Definido y de Contribución Definida a estos se les denomina planes 
Mixtos. 
Página 5 
Migración a Planes de Contribución Definida 
los primeros tipos de plan tanto privados como públicos (financiados por el Gobierno) que se 
establecieron fueron planes de Beneficio Definido, cuyos derechos adquiridos en su mayoría 
{Condiciones para ser inalienables los beneficios bajo el plan), se obtenían hasta la edad de 
jubilación (con ciertos requisitos mínimos de antigüedad o cotización). En la medida que se 
tuvieron poblaciones grandes patrocinadas por el plan además de que las pirámides poblaciones 
se fueron desconfigurando (invirtiendo), la consecuencia fue que representaban en valor presente 
actuaria! cantidades importantes que ante movimientos en expectativa de vida, tasas de interés, 
crecimiento de beneficios, los costos asociados han representado cantidades significativas que a 
empresarios y gobiernos han puesto a temblar. Esto ha originado una migración masiva desde los 
años 90 a Planes Híbridos ó de Contribución Definida. Algunos otros planes fueron cerrados, otros 
congelados (No se incrementó el beneficio a partir de cierta fecha prefijada), ó simplemente 
fueron cancelados pagando derechos adquiridos. 
Migración del Esquema Público en México. 
En los 90's se dio en América latina la migración masiva a nivel público (Seguridad Social), de 
esquemas de Beneficio Definido a Contribución Definida siendo el primero Chile en emprender 
este camino11 y en el caso de México a la entrada de la presidencia de Ernesto Zedilla (1995), fue 
que se empezó con los trabajos para la instalación de los planes de Contribución Definida del 
Estado, a través de entidades que operan el plan cuya denominación comercial fue 
Administradoras de Fondos para el Retiro (Afore's), cuyos recursos eran invertidos a través de las 
Sociedades de Inversiones de Afores (SIEFores), formalmente instalados a partir del 1 º de Julio de 
1997. En donde todo nuevo cotizante al IMSS, tendrá derecho a crearle una cuenta individual y lo 
acumulado mediante aportaciones Tripartita Patronales, Empleados y Gobierno mas rendimientos 
constituirán el fondo para el retiro del trabajador. Aquellos empleados que hubieran ingresado a 
cotizar antes de esta fecha tienen derecho a escoger entre el máximo de los beneficios. 
Actuarialmente está comprobado que el beneficio del esquema anterior del seguro social21 es un 
esquema mucho mas benévolo (i.e. le conviene jubilarse mediante la ley 1973), con lo cual 
ninguna persona con una carrera laboral completa le convendría la Afore, salvo que tuviésemos 
tasa de interés reales de 2 dígitos en el largo plazo, aparte que desde el punto de vista económico 
una persona puede obtener una utilidad de hasta 10 veces, si asumimos que la fuerza laboral 
general del país gana en promedio alrededor de 4 Salarios mínimos, y que un empleado una vez 
retirado puede por medio de continuación voluntaria al régimen obligatorio inscribirse en un tope 
de hasta 25 salarios mínimos y recibir una pensión cercana a esta importe con cotizar solo poco 
mas de 2.5 años adicionales a este nivel de sueldo. No ahondaremos más en este tema porque 
tampoco la pretensión de este documento es dar ideas en perjuicio de las finanzas públicas. 
1/ Flores, Angel (2002) Pensiones: Esquemas de funcionamiento, valuación y papel en la e-conomía. Tesis Facultad de Ciencias UNAM. 
2/ Ley Vieja del Seguro Social 1973 (Vigente hasta 1º de Julio de 1997 Nueva Ley SS (Afores). 
Página 6 
Planes Privados de Pensiones en México. 31 
Según datos de la CONSAR, en México se tienen registrados a Mayo 2011: 1946 Planes de 
pensiones privados patrocinados por 1761 empresas diferentes, (datos del boletín informativo 
publicado por Consar en su página). 
Con activos de 412.59 mil millones de pesos (equivalentes al 3.2% del PIB). De los cuales el 56% 
son de Beneficio Definido, 10% de Contribución Definida y el 34% ei;quemas de tipo Híbrido. (Hace 
5 años esta composición era de 72% BD, 10% CD y 18% híbridos), lo cual muestra el claro cambio 
de los esquemas de Beneficio Definido. Importante mencionar que las edades de jubilación 
fluctúan entre los 50 y 65 años, 48% de los planes lo permiten antes de los 60 años. 
Adquisición de Derechos sobre un Plan de Pensiones en México. 
Los planes de pensiones privados en México de Beneficio D:!finido normalmente otorgan 
beneficios solamente cumplidas las condiciones de edad y antigüedad al retiro. (Después de los 50 
años de edad). Antes se tiene solo una esperanza de recibir el beneficio y de ahí el sentido de 
determinar probabilísticamente la posibilidad de llegar a recibir los beneficios (considerando los 
supuestos actuariales de rotación, invalidez, mortalidad, etc); el valor presente actuaria! se 
controla justamente con una indicadora cuando se ha cumplido con estas condiciones. 
Supuestos Actuariales de los planes de Retiro. 
Para determinar el valor presente de los compromisos es importante utilizar hipótesis económico-
financiera-demográficas (ya en el capítulo 2 se hablará de este tema) que reflejen de manera 
razonable las condiciones del entorno. Y claro está en el mediano plazo se puede ir ajustando a 
factores que se pueden observar de largo plazo. Entre las principales hipótesis usadas para 
determinar el valor de los compromisos esta: 
Financieras Demográficas. 
Tasa de Descuento Mortalidad 
Económicas Rotación 
Tasa de proyección de los Beneficios Invalidez 
Inflación/Costo de Vida Retiro Anticipado 
Inflación Médica 
Salario mínimo 
3/ Información publicada en la página de la CONSAR en el apartado de estadísticas. http://www.consar.gob.mx/re¡¡istro2011/ {Marzo 
25, 2012) 
Página 7 
Capitulo 2. 
Valoración Actuaria! de los Planes de Pensiones. 
Planes de Contribución Definida, el compromiso termina hasta por la aportación normal pactada 
en el plan de pensiones, {leemos como aportación normal aquella que de manera semanal 
quincenal, mensual, anual se realiza a favor de los participantes;,, según se establecen en las 
condiciones del plan. Solo en el caso que se tengan condiciones de aportaciones extraordinarias-
especiales a realizar en periodos específicos, constituyen un pasivo actuaria!, que habrá que 
cuantificarlos mediante un cálculo actuaria!, que asume las probabilidades llegar a cobrar esas 
aportaciones extraordinarias, así como los efectos del valor del dinero en el tiempo, según sea el 
caso. 
Ejemplo de lo anterior, suponga un plan que ha pactado otorgar una aportación mensual 
equivalente al 5% del sueldo base en el mismo periodo, esto constituye un pasivo hasta el 
momento que el participante trabaje y "devengue" esta aportación mensual. Sin embargo en 
adición se le ha ofrecido el otorgarle una aportación especial a los 10 de años de servicio 
equivalente a un 50% de lo acumulado en su cuenta de aportaciones voluntarias al plan si es que 
el participante ha realizado estas. Este constituye un pasivo actuaria! y habría que dotarlo 
mediante una valoración actuaria! (que se explicará más adelante como corolario de aplicación de 
los planes de BeneficioDefinido). 
Planes de Beneficio Definido, como ya se mencionó tradicionalmente dependen de una formula 
claramente establecida y esta a su vez es función del último sueldo que el participante recibía al 
momento de hacerse acreedor el Beneficio sea porque haya alcanzado la edad y antigüedad 
necesarias para su retiro (jubilación) o bien porque tiene derechos adquiridos antes de llegar a los 
supuestos de jubilación. (A ejemplo de esto, existen planes que otorgan beneficio de un 
porcentaje del sueldo como pensión después de los 10 años de servicios, digamos un 20% como 
pensión pagadera de forma diferida al momento que el empleado llegara a cumplir las condiciones 
de retiro. (i.e. si el participante del plan saliera de la empresa en la cual trabaja habiendo 
cumplido 10 años de servicio, podrá venir a cobrar en el momento que alcance las condiciones de 
edad y antigüedad al retiro). En este ejemplo, la empresa posee un plan con derechos adquiridos 
previo al retiro. Este tipo de planes privados era comunes en países desarrollados, en donde el 
empleado iba formando su patrimonio según las empresas que tré1baja y todas ellas, agregadas 
constituirían la pensión total que recibiría al retiro el empleado. 
Sin embargo en el caso de América Latina los planes de Beneficio Cefinido, normalmente prevén 
derechos adquiridos hasta cumplida cierta edad avanzada para el 1·etiro, (i.e. después de los 50 
años de edad), antes de esta edad se tiene una expectativa de beneficio. 
Página 8 
A continuación se definen algunas variables necesarias para el cálculo de las obligaciones 
actuaria les: 
x == Edad Actual (al momento de la medición) 
y== Edad de ingreso al plan (normalmente edad de ingreso a la empresa) 
h := X - y (antiguedad) 
w1 := Primer edad de retiro 
w 2 := Ultima edad de retiro 
nP! = probabilidad de que una persona de edad x alcance la edad x + n 
El superíndice T indica que bajo Todos los decrementos posibles (rotación, invalidez, etc) 
qI = probabilidad de que una persona se retire a la edad x (con beneficio x ~ w) 
a~ = Anualidad actuarial anticpada a edad x con tasa i de descuento 
Pensx = Pensión alcanzada a edad x funcion de x, h y Sueldo 
I F . , 1 d. d { 1 si x ~ w X,!:w = uncwn n Lea ora 
0 e.o.e 
V POT; = Valor presente de la obligación total valuado al momento x a tasa i 
Wz 
VPOT; = L lk~W1 (k - x)P! * qk * (1 + o-(k-wi) * Pensk :+ a~ (Ecc 2.1) 
k=x 
El indicador arriba señalado establece el valor actuaria! total de la obligación medido al momento 
x, sin embargo según la norma contable se requiere presentar en el balance aquel importe que 
refleje el valor de las obligaciones "devengadas" (acreditadas, según el método de Crédito Unitario 
Proyectado) en función de los años de servicio, un proxy intuitivo de esto, es : 
Pasivo en Balance:= fx*VPOTx (Donde fx es factor de devengo al momento x). 
La idea atrás de esto es que el valor del pasivo en la contabilidad converja al VPOT conforme x 
tiende a w (la edad de retiro o jubilación), como se muestra en el siguiente gráfico 
<VPOJ~ 
Página 9 
Este pasivo se conoce según las normas de información financiera como "Obligación por 
Beneficios Definidos" (OBD, o DBO por siglas en ingles), el cual se !;ube al Balance General de los 
Estados Financieros (EEFF) compensado con el valor del fondo de los activos afectos al plan de 
Pensiones. (Este diferencial sea positivo se presente como un pasivo de pensiones siendo negativo 
como un pago anticipado al plan de pensiones). La manera de córro calcularlo actuarialmente es 
como sigue (según las mismas definiciones anteriores): 
OBD! = r:~x /k~W¡ * k-:+h * (k - x)P! * qf; * (1 + o-(k-x) * Pensk * a~ (Ecc 2.2) 
Asimismo como parte del cargo a los resultados de la compañía, se incluye el Costo Laboral 
(Service Cost), el cual no es más que el envejecimiento de 1 año de la población, con este CL se 
determina como sigue: 
CL~ = r:~x /k~W¡ * k-:+h * (k - x)P! * qf; * (1 + o-(k-x) * Pensk * a~ (Ecc 2.3) 
Todos los valores actuariales arriba se calculan persona por persona y el agregado de ellos es el 
OBD, VPOT, CL, respectivo. 
Otro dato adicional que se obtiene es la vida laboral promedio esperada que sirve como base para 
amortizar partidas pendientes de reconocer en balance si es que existieran, también podemos 
poner en su representación algebraica sin embargo no es la intención de este documento dar un 
curso de cálculo actuarial41 : 
Con base en estos datos se puede determinar el Cargo a Resultados como sigue; 
Costo Laboral:= Como presentado en la última ecuación, mas el interés del año. 
+ 
Costo Financiero:= Interés del año de la OBD: = (OBD-Pagos/2)*i 
Rendimientos esperado de los activos del plan:= (VAP-Pagos/2)*TREAP 
+ 
Amortización del año de Partidas pendientes por reconocer en el Balance 
= 
Costo Neto del Periodo (Cargo a los resultados de ejercicio año x+l del patrocinador del Plan) 
CNP= CL+CF-REAP+APPA (Ecc 2.4) 
4/ Flores, Angel (2002) Pensiones: Esquemas de funcionamiento, valuación y papel en la ecor,omía. Tesis Facultad de Ciencias UNAM. 
1 Página 10 
Proyección a un año del Pasivo Actuaria! (Roll Forward) 
Se puede estimar la OBD de x a x+l como sigue: 
OBDf+i = (OBDf + Clx) * (1 + i) - (1- fi) * Pagosx Ecc 2.5 
Donde todas las variables son como la definición anterior y fes la prcporción de estacionalidad. 
La mayor de las veces se utiliza/ igual a ½ si los pagos se realizan de manera uniforme en el año. 
Una regla sencilla es asignar a/ el valor porcentual de los pagos acumulados a la mitad del año. 
El Costo Laboral se puede estimar como sigue: 
Cl~ = CL~(l + i)p Ecc 2.6 
Donde p es un factor de ajuste según los decrementos múltiples y población, a veces por 
simplicidad se usa igual a l. 
Con base en lo anterior se puede estimar el OBD de x a x+n, sin embargo es conveniente para 
estimaciones razonables no usar n>S. 
Por inducción la fórmula quedaría como sigue: 
OBDf+n = (OBD:+n-l + CLx+n-i) * (1 + i) - (1 + f i) * Pagosx+n- 1 Ecc 2.7 
Con lo que si tenemos una buena estimación de los pagos se podrá tener una buena proyección. 
Ganancia/Pérdida Actuaria! 
A la diferencia entre el OBD esperada (estimada en el momento x+:L) comparada contra la OBD 
real (al tiempo x+l) se le conoce como variaciones en supuestos y Ajuste por experiencia o 
Ganancia/Perdida Actuaria!. 
Perdida Actuaria[ = OBD:+i - OBDf+:. 
Lo mismo sucede con el valor de las inversiones: 
Perdida Actuaria[ = V AP;+ 1 - V AP:+i 
(E de Esperado y R de Real) 
En este caso el Valor Esperado de los Activos del plan se estiman como sigue: 
VAPf+i = (VAP; + Apx * p) * (1 + Tr) - (1 + f i) * Pagosx Ecc 2.8 
Donde Apx es la aportación a realizar en el fondo y Tr la tasa de rendi'Tliento del fondo. p,f, como 
antes definidos. Estos conceptos nos servirán en el capítulo 4. 
Página 11 
Conceptos Importantes en las normas de información Financiera 5/. 
Obligación por Beneficios Definidos -080- (antes conocida como Obligación por Beneficios 
Proyectados, o Projected Benefit Obligaction PBO en Ingles), es el indicador por excelencia que 
presenta el monto a tener registrado en el balance, sea el reconocimiento a través de los 
resultados o bien ajustes al capital contable acumulado de ejercicios anteriores. 
Valor de los Activos del Plan -VAP-, representan las inversiones, fondos, instrumentos financieros 
o activos afectos a financiar las obligaciones surgidas por el plan de pensiones. 
Partidas Pendientes por Amortizar-PPA- se dividen básicamente en 2: 
Servicios Anteriores y/o Modificaciones al Plan surgidas por reconocimiento retroactivo en el plan. 
Y que constituyen modificaciones que el momento de ser valoradas actuarialmente representan 
un in/de cremento en las obligaciones del plan. 
Ganancias/Perdidas Actuariales, representan las variaciones realizadas por los cambios en los 
supuestos actuariales utilizadas o bien por las modificaciones que la experiencia demuestra al 
contrastarse con los supuestosutilizados, la diferencia entre la obligación esperada y la real al final 
del periodo representa una pérdida (en caso de ser mayor la obligación real que la esperada) o 
una ganancias (a la inversa), o bien el caso de los activos del plan la diferencia es una perdida 
(cuando se esperaba un mayor activo al real en la cartera valorada, normalmente a mercado). 
Estas partidas pendientes por reconocer en el Balance se amortizan durante la vida laboral 
promedio remanente actuaria! esperada y forman parte del cargo a resultados del ejercicio (costo 
neto del periodo como fue explicado arriba) 
La posición de los activos plan se presenta en resumen como sigue: 
OBD 
Menos 
Valor de los Activos del Plan 
Menos 
Partidas pendientes por Amortizar: es igual a 
Balance a reflejar en el Estado Financiero (Pasivo/(Activo) Neto dt! Beneficio Definido) 
Lo anterior aunado al Costo del Periodo, que fue explicado en el apartado anterior (Ecc 2.9) 
representa los conceptos fundamentales en las normas de informc1ción contable y financiera. Que 
serán abordadas en la siguiente sección. 
5/ En México Aplica la norma de Información Financiera NIF 0-3 emitida por el CINIF (www.cinif.org.mx (Marzo 201..,.2) ____ __, 
-· 1 
. Página 12 
Normas de información Contable y Financiera61. 
Cada norma contable, establece criterios diferentes para reconocimiento en resultados de las 
obligaciones, sin embargo las diferencias se centran en el tratamiento de las partidas pendientes 
por amortizar. El resto de las definiciones son aplicables a todas las normas de información 
financiera más importantes (FASB -EEUU, IAS -Internacionales, I\IIF -Mx, FRS -UK, etc, por sus 
siglas). Destacar que la norma por excelencia relativa a estas obligaciones es la FAS Numero 87 
(norma americana Financia! Accounting Standard # 87), de la cual :;e han obtenido el resto de las 
normas, con pequeñas diferencias pero el concepto general de medición, reconocimiento, 
revelación, dado por esta es de manera casi magistral. 
lnternational Accounting Standard Board# 19 (IASB) 
Es la norma de información contable lnternational usada para efectos de medición y 
comparabilidad en Europa y por entidades que teniendo su corporativo en algún país, además de 
filiales en el resto del mundo pretende consolidar su información para sus accionistas. 
Esta norma a partir de 2013 presenta de manera agregada el Costo Financiero y las Rendimientos 
del Plan y toma como Tasa de Rendimiento Esperado de los Activos del Plan (TREAP) la tasa de 
descuento del OBD (i), de tal suerte que una forma sencilla de calcular el cargo a resultados (Costo 
neto del periodo por Pensiones), es al costo laboral sumarle el diferencial entre la OBD y el VAP 
(valor de los activos del plan) multiplicados por la tasa de descuento (i), y si no existen partidas 
pendientes por amortizar en balance este constituye el costo Neto del Periodo, en caso contrario 
se agrega la amortización respectiva. 
Financia/ Accounting Standard# 87. (US GAAP) 
Es la norma pilar del resto de escritos en el ámbito de reconocimiento, medición y revelación de 
los pasivos por Planes de Pensiones, asentó las bases de los indicadores principales de medición Y 
la forma de presentarlos para su revelación de una manera sencilla y clara. Como en cada una de 
las normas se establecen las definiciones además de la recomendación en el momento de 
seleccionar las hipótesis de cálculo. Establece los conceptos con claridad de qué hacer cuando 
existen eventos abruptos que violentan los supuestos actuariales de largo plazo (p. ej. En caso de 
existir recortes de de la plantilla, pago anticipados que extinguen o liquidan obligaciones, entre 
otros). 
Norma de Información Financiera Mexicana 
6/ Ver la pagina del comité de normas de información financiera Internacional: wwv, :FRS.or¡; (Marzo 25, 2012) 
Página 13 
En México hace casi 7 años que fueron modificados los Boletines y Circulares del Instituto 
Mexicano de Contadores Públicos (IMCP) por Normas de Información Financiera, establecidas por 
el comité de normas de información. Asociación civil formada por expertos en la materia y con 
representatividades de diversos sectores de la economía y del sistema financiero, entre ellos la 
banca. Particularmente la NIF D-3 es la encargada de establecer lo:; conceptos fundamentales (si 
bien es cierto haber sido originalmente una copia ajustada al contexto mexicano del FAS87), los 
supo adecuar particularmente en los 90s cuando se tuvo alto crecimientos en los precios; las 
inflaciones de 2 dígitos oscilaban entre 15% y 30% (llegando a ser del 52% en 1995). En donde la 
valoración de los compromisos se realizó en su componente real (tasas descontadas del efecto 
inflacionario) con lo cual todas la partidas anualmente se ree>:presaban a la inflación real 
observada en el año. 
Financia/ Reporting Standard (UK) 
Es la norma que se solía utilizar (hasta antes de las aplicación de normas internacionales) en el 
Reino Unido particularmente la número 17 hablaba sobre los compromisos al retiro de personal 
derivados de planes de pensiones. En ella se usaba un concepto muy fácil y pragmático de 
reconocer en el balance de manera inmediata la diferencia entre el OBD y el Valor de los activos 
ajustando en resultados o en capital dependiendo la naturaleza de la diferencia el monto 
necesario para llegar reconocer el 100% del pasivo. 
Existen muchas otras normas locales en cada país pero ahora con la convergencia hacia las normas 
internacionales muchas de ellas han desaparecido y el remanent1:'! son una copia de estas, las 
cuales a su vez lo fueron de las US GAAP, particularmente en temas complicados como: Pensiones, 
Derivados, entre otros. 
En resumen se tienen una gran cantidad de normas de información financiera pero todas se 
centran el mismo tema, determinar el valor presente de la obligación por Beneficios Definidos 
(OBD), el Costo Laboral (CL) y el cálculo de la vida laboral remanentEi promedio esperada, para que 
con base en esto se determine el valor de los compromisos en la contabilidad. 
Por otra parte vale la pena señalar que las normas contables no se refieren a la obligación de 
constituir activos para financiar las obligaciones y existen países como México en donde no es 
necesario el contar con requerimientos mínimos de fondeo legales. Los incentivos existen desde el 
punto de vista fiscal al deducir las aportaciones realizadas a los fondos de pensiones de la base de 
impuestos. En la mayoría de países europeos se tienen establecid,:,s requerimientos mínimos de 
fondeo, los cuales corresponden al 100% del pasivo OBD, como es el caso del Reino Unido, en 
donde antes no se tenía este requerimiento, pero con la entrada de los fideicomisos como 
vehículo de financiamiento de estos pasivos se volvió una obligación el fondeo al 100%71. 
7 ¡ Pugh C(2006) "Funding Rules and Actuaria! Methods, OCDE Working Papers on insurance ,,nd Prívate Pensions Nol. OCDE Publishing 
1 Página 14 1 
Fondeo de Obligaciones (Aportaciones para financiar el Plan) 
Por otra parte la forma de inversión en el caso de México solo es legislada por la autoridad 
hacendaria en donde se tienen en consideración límites mínimos y máximos de inversión, ejemplo 
se deben invertir al menos 30% en valores emitidos por el Gobiem::> Federal y como Máximo 70% 
en sociedades de inversión de instrumentos autorizados por la CI\IBV81 (Comisión Bancaria y de 
Valores). 
Normalmente para financiar los compromisos por pensiones se utiliza como aportación el Costo 
Neto del Periodo, sin embargo se pueden hacer valoraciones actuariales adicionales de 
financiamiento, a estas se les denomina Valoraciones Actuariale~; de Fondeo, dependiendo el 
método se utilizaran conceptos diferentes. Una manera generalmente usada es el método 
colectivo el cual establece como aportación el diferencial entre el VPOT y el Valor de los activos 
del plan en la proporción que la nómina representadel Valor presente de los Sueldos Futuros. 
(VPSF), este valor actuarialmente es equivalente a lo que sigue: 
wL-x-1 T ((l + ts))k 
VPSFx = kPx * Nx * 
(1 + í) 
k=O 
(Ecc 2.10) 
El valor de todas las variables es como definida antes y Nx:= es el valor de la nómina anual al 
momento x, ts,el crecimiento de esta. 
Si se obtiene el valor de Nx/VPSFx respecto del diferencial del VPOTx y el VAP esto se le conoce 
como método colectivo y se resume en la siguiente ecuación. 
Nx 
AMCx = (VPOTx - VAPx) * VPSFx 
Ecc 2.6 
De manera resumida se ha presentado tanto la determinación del pasivo actuaria! como el nivel de 
fondeo el cual no tiene que ver con la forma de reconocer los pasivos, i.e. cada uno puede tener 
métodos diferentes de reconocimiento. Como se mencionó al principio de este capítulo en el caso 
del reconocimiento contable se usa el método de crédito unitario proyectado, i.e. asigna una 
unidad del total (antigüedad) por año de servicio y su base de deslizamiento es el valor de la 
nómina, mientras que el fondeo puede utilizar cualquier otro método actuaria l. 
8/ Ley del Impuesto sobre la Renta (LISR} Articulo 33. 
Página 15 
Capitulo 3 
Instrumentos Financieros Derivados. 
La idea de este documento nos es robar espacio con todos los conceptos usados en los mercados 
financieros de productos Derivados91, para esto tenemos muy buena literatura (el típico usado por 
estudiantes de cursos básicos en finanzas de Derivados, John Hull, Options Futures and Other 
Derivatives) que da definiciones amplias y claras del tema. Sin embargo abordaremos los 
conceptos y definiciones básicas que darán contexto al entendimiento de lo que requerimos, 
además daremos un vistazo general de manera intuitiva para aquellos que no posean 
conocimientos sobre este tema. 
Iniciaremos diciendo qugl mercado de derivados surge ante la nec,esidad de pactar hoy precios, 
tasas o tipos de camb 'Jros, por lo que sirven como herramienta fundamentalmente de 
cobertura, aunque exis'. :n agentes en el mercado que han abusado de su uso y los han utilizado 
para condiciones de arbitraje (utilidad sin riesgo y sin poner recursos alguno en el caso de 
derivados), esto ha llevado a personajes que han sacado mucha ventaja económico (riqueza) de 
los mercados financieros, (Warren Buffet declaro que los Instrumentos Financieros Derivados son 
"Armas de Destrucción Masiva", lo cual es un claro desconocimiento clel origen de los mismos o en 
su caso de la clase de intermediarios con los que opera). 
Existen dos clases de mercados: Regulados y No-Regulados, en los primeros se operan bajo 
condiciones, requerimientos y reglas específicas y las operaciones se hacen mediante bolsa, en los 
segundos se operan cualquier tipo de negociaciones sin mediar un .·egulador (los denominados 
OTC, over the counter). El mercado de futuros pertenece al mercado regulado mientras que el de 
los Forwards al segundo. 
Definiciones Básicas 
Subyacente.- cualquier bien que posee un precio en el mercado y del cual se quiera realizar algún 
tipo de negociación o intercambio. (ejemplo, tasas de interés, tipo de cambio, maíz, arroz, 
cualquier producto agrícola, etc) 
Precio Spot- Precio que se puede pactar hoy en el mercado para intercambiar un bien o producto 
dentro de las próximas 48 horas. 
Precio Futuro.- Precio que se pacta hoy para la entrega en el futuro de un subyacente. 
Strike.- Precio Futuro de ejercicio pactado hoy en un contrato con un tercero. 
Vencimiento.- Fecha futura que se establece en el contrato para ejercerlo. 
Posición Larga.- El que tiene el derecho de tomar la decisión. 
Posición Corta.- Al que cedió el derecho (compro la obligación a un tercero) de ejercer una 
decisión. 
9/ Hull John (2009), Options, Futures and Other Derivatives, texto clásico en esta materia de Derivados, a nivel básico. 
Página 16 
Futuro.- un contrato derivado en donde se pacta el precio futuro al vencimiento del subyacente el 
día de hoy. En este contrato se pacta la cantidad a entregar al precio respectivo pactado. 
Opción. Contrato derivado en donde a cambio de una prima (v;; lar de la opción) se pacta la 
posibilidad de comprar (Call) o Vender (Put) a un cierto precio futuro un subyacente. El pago de 
esta prima otorga el derecho más No la obligación de ejercer la decisión (Compra o Venta). 
Ejemplo: 
Opción Call.- Otorga el Derecho de Comprar a un precio futuro (strike), el subyacente. 
Opción Put.- Otorga el Derecho de Vender a un precio futuro, el subyacente. 
En ambos casos el derecho no impone la obligación de operarlo (comprarlo o venderlo) 
Swap.- Intercambio de flujos. Ejemplos: variables por fijos, fijos por fijos en diferente moneda, o 
mezclas de ellos. 
Swaption.- una Opción sobre un swap. 
Cross Currency Swap.- Swap en dos monedas diferentes. 
Cap.- Derivado de tasa de interés, el que tiene la posición larga tiene el derecho de ejercer el cap, 
si la tasa de interés al vencimiento es mayor que la tasa pactada (Strike). 
Floor.- igual que el Cap solo que se ejerce cuando la tasa de interés al vencimiento es menor que la 
tasa Strike. 
Caplet\Floolet.- Cadena de Cap\Floor. 
Hasta aquí se han definido los conceptos fundamentales de la jerga lingüística de los productos 
financieros derivados; el concepto suena interesante y sencillo, sin embargo lo complicado inicia 
en el momento de su modelación, aunque aquí es importante decir que se han desarrollado tanto 
herramientas analíticas (formulas cerradas) como modelos de simulación estocástica 
(aproximación numérica) que permiten estimaciones razonables (al ser contrastadas con la 
realidad), del valor de las primas por riesgo que compensan el evento cubierto. 
Un resultado muy importante obtenido en 1972, al que fueron acree·dores de un premio Nobel, 
fue la determinación de la Fórmula de Black-Scholes-Merton (BSM), a partir de un resultado muy 
bien conocido denominado Lema de Kiyosi Ita. Hablaremos de esta fórmula y de su deducción ya 
que nos sirve como preámbulo al modelo de tasas que utilizaremos. para nuestra simulación y 
Página 17 
entendiéndose este concepto el resto es razonablemente sencillo de obtener, ya que entre otros 
no utilizaremos el modelo de BSM para tasas ya que un supuesto importante que se hace no se 
cumple (supuesto de volatilidad constante). 
Definiciones de Conceptos Matemáticos de Procesos Estocásticos101 • 
Decimos que una función es conjuntista si mapea subconjuntos en subconjuntos, toda vez que una 
función asigna del Dominio uno y solo un valor en el codominio (imagen), la definición es que dado 
un subconjunto del codominio, viene originado por algún subconjunto del Dominio. 
Para hablar de una estructura de subconjuntos de un conjunto, dentro de la matemática se habla 
fundamentalmente de 2 conceptos de colecciones de conjuntos, las Topologías y las Sigma-
Algebras. 
La primera (Topología) es un concepto más general del cual se crean estructuras muy interesantes, 
amplia y profundamente estudiadas, la Segunda (Sigma-Algebra) es un concepto que se usa en el 
campo de estudio de Teoría de la Medida y la Teoría de la Probabilidad. A Continuación 
procederemos a definir esta estructura de Sigma Algebra. 
Algebra. 
Sea .O. * 0 un conjunto, sea pzn el conjunto potencia, sea 1f una coleccion de p 2n, ==> 
Decimos que 1f es un algebra si cumple con lo siguiente: 
i) .íl. E 1f 
ii) Si A E 1f ==> fl\A E 1f 
Una algebra cuyas uniones infinitas-numerable pertenecen a 1f se llama sigma-algebra i.e. (la 
palabra sigma proviene de que uniones numerables como conjunto pertenecen al algebra). 
Resaltar también que dado una conjunto omega se pueden obtener varias sigmas algebras. 
En el caso de topología el punto ii) cambia por intersecciones finitas pertenecen a la colección 
candidata a ser topología y se permuta lo infinito numerable por colecciones infinitas no-
numerables (efectivamente hay infinitos más grandes que otros), a partir de esto se construye 
matemática seriay alto grado de abstracción. 
10/ ASH, Robert B (2000) "Probability and Measure Theory", <Hardcourt Academic London, DUDLEY, Richard M (1999) "Real Analysis 
and Probability" <Chapman and Hall New York, textos clásicos en teoría de probabilidad 
Página 18 
Con base en lo anterior en Teoría de probabilidad se define a un espacio de probabilidad a la 
triada: 
(il, Hn, P)donde P es una medida de probabilidad 
Procederemos a definir la siguiente función conjuntista; 
Sea X: Hn-----, 'BR una función de una sigma algreba de omega a la sigma algebra de R 
Entonces X es una variable aleatoria 
Proceso Estocástico. 
Sea {Xtlt2:o una colección de Variables Aleatorias dependientes t E {O} LJ R+ 
Entonces la colección anterior es un proceso estocástico en tiempo i:ontinuo, (t puede pertenecer 
a un conjunto no continuo digamos los números Naturales entonces se tice que es un proceso en 
tiempo Discreto, asimismo el valor de la variable X puede tomar sus valores en un conjunto 
continuo o discreto) 
Tenemos ahora el ingrediente básico para pasar a definir un proceso de Levy, (en honor al 
matemático francés Paul Levy que entre 1930 y 1940 desarrollo varios trabajos en este campo). 
Proceso Estocástico con las siguientes propiedades 
i) X0 = O 
ii) si h > O y t > O => Xt+h - Xt - Xh i. e. tiene distribucion estacional. 
iii) si h > O y t > O => Xt+h - Xt l. Xh para toda h :5 t 
Una propiedad adicional es que es el proceso es continuo por la Derecha y con Límite por la 
izquierda (denominado por su etimología en Francés como funciones Cadlág, a la colección de 
todas la funciones con esta propiedad en un cierto dominio se conoce como espacio Skorokhod). 
Ahora podemos definir un proceso de Wiener (en honor al matemático del MIT Norbert Wiener 
que fue un profundo investigador en temas de teoría de probabilidad). 
Es un proceso de Levy cuya función de distribución de Xh es una Normal con media cero y varianza 
h, además de que la propiedad Cádlág es más potente al ser un pro:::eso continuo (P-a.s.) : 
Xh - N(xlO, h) Proceso de Levy 
De aquí se puede observar una propiedad muy importante del proceso de Wiener, denominado 
infinitamente divisible, lo cual es : 
Xh = (Xh - Xh¡z) + Xh¡z sabemos que Xh se distribuye N(xl O,~) 
2 2 
Página 19 
Dado que son independientes tenemos que la suma de normales es normal con media la suma de 
las medias y varianza la suma de las varianzas. 
Esto nos lleva hacerla divisible tanto como se quiera, se toma u ,a partición de n puntos del 
intervalo [O,h) de hk para k=O hasta k=n y se toman las diferencias como sigue, 
Con base en lo anterior dado un proceso de Wiener lo podemos segmentar en los cohortes, a 
conveniencia de tal forma que en el agregado se obtenga el valor de la variable acumulada. Este es 
el principio fundamental que subyace al problema que abordaremos. La forma más sencilla es 
hacer esta partición uniforme del intervalo (i.e. de la misma longitud cada subintervalo h/n) 
obtener el proceso 
h 
Xh•(k+1)/n - Xh•k/n - N(xlO,~) para k=0,1,2, ... , n-1 
Vale la pena destacar las propiedades del proceso de Wiener (renombraremos X como W) 
E(Wh) = O 
Var(Wh) = E(W; ) = h 
Cov(Wh, Wh,) = Min(h, h') 
Corr(Wh, Wh,) = Min(h, h')/~ 
Con base en lo anterior podemos ahora definir un proceso gener21I de Wiener como sigue; 
Ecc 3.1 
Este proceso posee una media (drift) µt, y varianza a 2 t 
Si quisiéramos tener el incremento pequeño de la ecuación 1, esto se reduciría a: 
Lo anterior se puede leer como el incremento en x resulta de los incrementos en el drift los 
incrementos del proceso de Wiener. Así las cosas: 
Página 20 
dXt = µdt + a-dW Ecc 3.2 
Lo cual es su expresión diferencial del proceso de Wiener o la velocidad de propagación, este el 
denominado movimiento Browniano Aritmético (en el caso del geométrico se multiplica el lado 
derecho de la ecuación 2 por Xr) 
En la ecuación 2 se asume que el drift (coeficiente de difusión) y la varianza son constantes, sin 
embargo estos pueden suponerse variables en función del tiempo del vector (x,t) con lo cual la 
cual la ecuación 2 se puede escribir de la siguiente forma: 
dXt = a(x, t)dt + b(x, t)dW Ecc 3.3 
A este proceso se le conoce como Proceso de Ita o Difusión de lto y existe un resultado muy 
importante denominado Lema de Ita que nos dice: 
Dado el proceso de la ecuación 3, cualquier función diferenciab1e de 2 variables (x,t), tiene la 
propiedad de que: 
(
a t a t 1 a 2 t ) a t 
df(Xc, t) = -a + -a(Xt, t) +--2 b(Xt, t) 2 dt +-b(Xt, t)dW Ecc 3.4 t axt 2 axt axt 
Con base en lo anterior un resultado práctico es que si se tiene un movimiento proceso browniano 
geométrico: 
Ecc 3.5 
Entonces: 
dXc - = µdt + a-dW es Browniano Aritmetico 
xt 
Luego Entonces lnXtsigue este proceso y si usamos el lema de Ita 
f(x,t)= ln(x) 
ar= 0 at ' 
ar 1 -=-ax X 1 
¿121 = 
ax 2 
1 
xi 
Sustituyendo en la ecuación 4 y considerando ecuación 5 se tiene: 
G 1 1 ) 1 df (Xt, t) = -µXt - --2-(a-Xt)2 dt + -X a-XtdW t 2 X t t 
De aquí que 
dln(x) = (µ -½ (a-)2) dt + a-dW 
A X se le llama una función log normal ya que su logaritmo natural sigue una distribución normal. 
Página 21 
Si ahora observamos detenidamente nos damos cuenta que si llamarnos Xt al valor de la acción al 
tiempo t, nos daremos cuenta que podemos estimar de una buena manera el valor de la acción, 
usando toda la herramienta que sobre la función normal conocemoi;, claro el punto será conocer 
mu y la varianza, los cuales se pueden estimar a partir de datos históricos. 
Una vez entendido la potencia de esta herramienta en las finanzas regresamos al proceso de 
difusión de lto que sigue la ecuación. 
dXt = a(x, t)dt + b(x, t)dW 
Un proceso que surge de la física del movimiento de partículas es el conocido como proceso de 
Ornstein-Uhlenbeck en donde los valores de a(.) y b(.) son como sigue: 
a(x, t) = 0(µ - Xt) y b(x, t) = CI 
El cual nos dice que el proceso dXt tiene una reversión en el largo plazo al valor de la media Mu y 
factor de reversión es Theta, ya que cuando Xt es menor que la media el diferencial mu menos xt 
es impulsado a una tasa theta hacia arriba y viceversa. En el ámbito de las finanzas este modelo 
hace mucho sentido para suponer el movimiento que puede describir una tasa de rendimiento. 
Esto lo supuso en 1977 Oldrich Vasicek, como sigue: 
Ecc 3.6 
Donde: 
rt es la tasa de interés del proceso 
b es la tasa de largo plazo a donde se revierte el proceso 
a es el factor (velocidad) de reversión 
Sigma es la volatilidad constante del proceso (raíz de la varianza) 
Sin embargo este modelo puede generar tasas rt negativas con lo cual se propuso otro modelo 
denominado Cox-lngersoll-Ross (CIR), en honor a las personas que lo propusieron y es una 
variante del modelo de Vasicek en que la volatilidad se multiplicé1 por un factor de equivalente a la 
raíz de la tasa rt, quedando como sigue: 
Ecc 3.7 
Este modelo es mucho más robusto para lo que pretendemos modelar sin embargo tiene un 
pequeño defecto, que asume la volatilidad constante. Y r,~cordemos que en estimaciones 
regresivas se tiene que a periodos económicos de alta incertidumbre le siguen volatilidades altas, 
a la inversa en periodos de estabilidad, de aquí que el factor sigma sea un dato relevante. 
Para el modelo de este documento se asumirá, dado que estamos utilizando un modelo de 
simulación numérica, también variable la volatilidad es decir rit 
( Página 22 l 
Capitulo 4 
Valuación de Caplets y Floorlets para Tasas de Descuento de Compromisos Afectos a Pensiones. 
Tenemos ya todos los ingredientes necesarios para plantear el problema que nos ocupa. 
Dado un plan de pensiones en su modalidad de Beneficio Definido o Jn Plan Híbrido y un grupo de 
individuos cubiertos por este plan, se puede obtener mediante una valoración actuaria! el pasivo 
que fue explicado en el Capitulo 2, cuyo indicador es el DBO, el cual Caeteris Paribus, es solo 
función de la tasa de descuento (i.e. estamosasumiendo que el resto de supuestos, tablas de 
decrementos múltiples, tasas de proyección de beneficio y expectativa de vida son las correctas y 
no se modifican durante el periodo de análisis). Este DBO al ser función de (i) se le puede calcular 
su Duración y Duración Modificada. 
Concepto de Duración y Duración Modificada 
En general cuando tenemos el Valor presente de una serie de flujos a una tasa efectiva anual i 
podemos calcular el concepto de Duración de Macaulay como un valor esperado de los años 
tomando como medida de probabilidad el valor presente del pago i.e. 
n 
VP(i) = L flkVk 
k=l 
Donde: 
f lk =flujo en el año k - esimo 
i = Tasa de interes anual efectiva 
Si calculamos el Valor esperado de los años promedio del valor presente (Duración de Macaulay) 
. ( ) L~=l kflkVk 
Dur(t) = E klvP(i) = VP = ko 
Donde Ka es el año en donde se puede equivaler un solo pago único la cadena de flujos. 
Si observamos en el numerador de la ecuación anterior salvo una contante tenemos la derivada 
del VP, respecto de la tasa i, sabemos que: 
Con base en esto se obtiene: 
( Página 23 l 
a In (VP(i)) 
ai = -VDur(i) 
Si observamos el lado derecho de la ecuación tenemos la derivada del logaritmo natural del valor 
presente de VP, como se sabe matemáticamente nos da la razón de cambio porcentual por una 
unidad de cambio de i, (i.e. por un 100%). A este nuevo concepto se le conoce como Duración 
Modificada (Dur M) y es el cambio porcentual que sufre el valor del Valor Presente. Esto se reduce 
a que dada una tasa efectiva anual de i, se tiene: 
DurM(i) = -VDur(i) 
Nota (cuando la tasa i es convertible de manera continua) la Duración y Duración Modificada son 
iguales (i.e. desaparece el factor V)). 
Problema de Marcar a Mercado el valor del pasivo actuaria!. 
De esta forma podemos Calcular tanto la Duración y Duración Modificada del DBO. Y el problema 
central que nos ocupa es, dado que las normas de contabilida el refieren el valorar el pasivo 
actuaria! (en los estados financieros) DBO en la contabilidad ¿a qué tasa de descuento? 
El criterio es utilizar una tasa de descuento de largo plazo. Hoy una práctica que se está adoptando 
es: 
Determinar la curva de plazos de la tasa cupón cero, tomar el valor del nodo al valor de la 
Duración (Ko), dada esta tasa marcar el valor del Pasivo DBO (determinar el valor presente a esta 
tasa de descuento). Luego entonces ¿qué pasa ante fluctuaciones de la tasa de descuento? 
Claro está que tenemos ajustes importantes en el capital de las empresas. 100 puntos base (1%) 
nos lleva a perder el equivalente aproximado a DurM(i), ¿parecería esto conveniente para los 
estados financieros de la empresa?, sea este capital o resultados del ejercicio. Si nos ponemos más 
finos en ajustar, podemos aproximar con el valor de la convexidad. 
La pregunta natural ¿Podemos utilizar los instrumentos financieros derivados, con fines de 
cobertura para evitar estas fluctuaciones en un cierto periodo? 
La respuesta es positiva mediante Caps y Floor y si se decide hacer por un cierto periodo, ejemplo 
5 años esto nos lleva a utilizar Caplets y Floorlets para su cobertura. 
Cuando utilizar Floor. 
Si tenemos una caída en las tasas, esto propicia un incremento en el valor del DBO. Lo natural es 
que una entidad (empresa) esté dispuesta a asumir un cierto rango de tamaño Épsilon (digamos 
50 basis) hacía abajo, de tal suerte que si excede este importe se reciba el pago del Floor. 
Página 24 
Cuando Utilizar Cap. 
Si tenemos un aumento en las tasas, esto propicia un decremento del valor de la cartera al 
marcarla a mercado, acorde al dato de su duración. En el caso de México, la duración del Pasivo 
(OBD) puede ser de entre 2.5 y hasta 4 veces la duración de la ec1rtera de los activos del plan. Un 
ejemplo sería como sigue cubrir el agujero del GAP. 
Como sigue 
k~ la duración del pasivo 
kg la duración del activo 
VAP 
fr = OBD el nivel de fondeo del pasivo. 
La diferencia entre las duraciones sería: 
(k~ - frk~) * OBD 
Luego entonces aunque a nuestro favor, nos puede interesar cubrir un aumento de tasas de este 
valor. Claro al igual que el pasivo se puede estar dispuesto a tolerar un rango de tamaño Delta. 
(Ejemplo 25, 50 puntos base). 
Planteado el problema iniciaremos por utilizar los conceptos descritos en el capítulo 2 y 3 a fin de 
abordar el problema. Separando en los siguientes 4 pasos siguientes: 
1) Obtención de curvas de mercado111 a diferentes Nodos. Particularmente en el trabajo 
presenta el evolutivo de construcción para 15 años, pero se presentan los resultados a 10, 
15, 20 y 25 años. 
2) Determinación de Volatilidad, Mediante Uso de Modelos GARCH (1,1) 
3) Comparación de Volatilidad Contantes VS GARCH(l,l) 
4) Estimación de Parámetros del Modelo CIR volatilidad contante 
5) Simulación Estocástica, de trayectorias de Tasas de Interés 
6) Determinación del Valor de Caplet y Floorlet para un horizonte de 5 años. 
11/ Información obtenida de la página de Valmer de manera mensual de Enero 2004 a Diciembre 2011. www.valmer.com.mx 
/ Página 25 
Obtención de curvas de mercado a diferentes Nodos. El desglose aquí presentado es para 15 años. 
Se obtuvieron las Curvas Cupón Cero de plazos del Mercado (Proveedor Valmer) de manera 
mensual de Enero 2004 a Diciembre 2011 (i.e. 96 Curvas de plazo) 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
Años Vencimiento 
Se toman los diferentes comportamientos por Nodo, en este caso se valúa el Nodo a 15 años, el 
cual presenta la siguiente trayectoria: 
Página 26 
14% 
12% 
10% 
8% 
6% 
4% 
2% 
0% 
m ~ st st 
u, u, u, <J) <J) <J) " " " Cl0 Cl0 Cl0 a, a, e, o o 9 9 o 9 9 o 9 o o o o o 9 9 o C> u i 6 u .D 6 u .D 6 u i 6 u i 6 u .D 6 " 'o 00 'o 00 'o 00 'o 00 'o 00 'o 00 ~; "' "' "' "' "' "' "' "' "' "' "' "' 
Determinación de Volatilidad, Mediante Uso de Modelos GARCH (1,1) 
0.0002 
0.00018 
0.00016 
0.00014 
0.00012 
0.0001 
0.00008 
0.00006 
0.00004 -1-------------------------
0.00002 
o 
1 4 7 1013161922252831343740434649525558616467707376798285889194 
Datos Mensuales. Enero 2004 
Diciembre 2011 {96 datos) 
V 
o o o .... .... .... 
'-;' .... '-;' .... .... '-;' 
.D 6 u .D 6 u 00 'o 00 'o "' "' "' "' 
-Real 
-Pronosticada 
Página 27 
Los parámetros obtenidos son como sigue para el modelo GARCH{l,1) {Nodo a 15 años) 
ªº 0.00001511 
bl 0.00209451 
b2 0.90278023 
Si asumimos que 
Donde: 
h1p = Varianza de Largo Plazo 
Obtenemos que; 
h¡p =0.000158873 
Cuando comparamos esta con la varianza de la muestra de rendimientos históricos de {rtl se 
observa que la varianza histórica es de: 
Var(rt)= 0.000153734 
Lo cual es casi similar a la varianza de largo plazo determinada por el CiARCH {1,1) a un 97% 
Con base en esta información decidimos utilizar: 
a) Para pronosticar los parámetros del modelo CIR con la varianza histórica 
b) Una vez parametrizado el modelo CIR, simularas las tray1:!ctorias usando Volatilidad 
variable, según con base en los parámetros del GARCH(l,l) 
Estimación de Parámetros del Modelo CIR volatilidad contante 
Mediante métodos de regresión lineal (Anexo A) se estimaron los parámetros del CIR (Ecuación 7) 
obteniendo de acuerdo con lo siguiente: 
Página 28 
CIR: 
Lo reescribimos como sigue: 
drt abdt artdt 
-1 =--1 ---1-+dW 
ar2 ar2 ar2 t t t 
Nuestras variables a Estimar son (a*b) y a, obteniendo los siguientes resultados: 
ab:= 0.06134544 
a:= 0.71104258 
b:= 0.08627534 
Lo cual produce el siguiente modelo: 
L/2 drt = 0.71104258 * (. 08627534 - rt) + atrt dW 
En este modelo se observa que la tasa de largo plazo (b) es del 8.62% por lo que si bien es cierto 
que a Diciembre de 2011 su valor era de 7.65% en el largo plazo debería de converger a 8.62% 
Ahora la justificación de la tasa b de largo de plazo se observa congruente con los fundamentales 
de la economía en las condiciones de hoy (Ver Anexo B). 
8.64% 
Inflación 4.00% 1.040Riesgo País 1.90% 1.019 
Premio LP 1.50% 1.015 
Tasa real 1.00% 1.010 
En la siguiente gráfica se observa la dispersión de los factores de regresión (a,b) de las líneas de 
regresión para cada curva de plazos. En el eje de las ordenadas se tiene el premio (b) por año al 
vencimiento y en el eje de las abscisas se tiene el valor base de la regresión (a) de la ecuación a+bx 
Página 29 
-0.0005 
0.002 
0.0015 
0.001 
0.0005 
o 
-0.0005 
o 
Premio por año al 
vencimiento según 
pendiente de 
regresión lineal 
• • • 
• 
• 
• • 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
••• •• • • ... • • • • 
• 1111 
1 • • • 
Comparativo de coeficiente!; de 
regresión lineal (y=a+bx) para cada 
curva cupón cero Nodo a 15 años. 
(Eje x=b, Eje y=a) 
• 
• 
• 
0.0005 0.001 0.0015 
• 
• • .. 
• 
0.002 
11 11 t I i t! i 1 1 i 1 11 i 1 1 1 1 11 t 1 1 1 1 1 it 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I I l 1 1 
4 7 10 1316 19 22 25 28 3134 37 40 43 46 49 52 55 58 6164 67 70 73 76 79 82 85 88 9194 
Numero de Observaciones (Enero 
2004 Diciembre 2011) 
Página 30 
Simulación Estocástica, de trayectorias de Tasas de Interés 
Dado el modelo se procedieron a realizar 10000 simulaciones de trayectorias con las tasa de 
interés a continuación se presenta un par de corridas que se pueden ejecutar mediante el 
programa del archivo (descrito en Anexo C): 
13.00% 
< Datos Históricos Datos Simulados > 
12.00% 
11.00% 
10.00% 
-seriel 
-serie2 
9.00% 
8.00% 
7.00% 
6.00% 
O 00 <.O 'SI" N O 00 <.O 'SI" N O 00 <.O 'SI" N O 00 <.O 'SI" N O 00 <.O 'SI" N 
rl N rrl 'SI" 'SI" U1 <.O r-.. 00 00 °' 0 rl N N rrl 'SI" U, <.O <.O r-- 00 °' 
rl rl rl rl rl rl rl rl rl rl rl rl 
<Periodos en Meses> 
El valor histórico real de la tasa a 15 años se muestra hasta el periodo 96 (8 años por mes Enero 
2004 a Diciembre 2011), a partir de este valor se generan las simulaciones que uno puede jugar 
con ellas: (Según el archivo XLS: RES volestocas.xlsm) 
Página 31 
Determinación del Valor de Caplet y Floorlet para un horizonte de 5 años. 
Una vez que tenemos un modelo estocástico de proyección de tasa!i se vuelve muy fácil el tener la 
valoración de un Cap / Floor con volatilidad estocástica a fin de poder ofrecer un producto que 
cubra ante los movimientos (subidas y bajas) de la tasa de interés. 
Como ya se mencionó se generan 10000 simulaciones de trayectorias de los próximos 8 años de 
manera mensual. Se hacen cohortes en cada simulación de la tasa :;imulada proyectada a 12, 24, 
36, 48 y 60 meses. Con base en estas tasas se calcula el valor del Floor / Cap según sea el caso, a 
cada año y se determina a Valor presente el costo de este pasivo, así como el costo de cobertura. 
La información se presenta tomando como referencia un pasivo de $1,000 mdp, del cual se le 
establecen diferentes duraciones (15, 10, 20, 25 años). Asimismo usando las ecuaciones 2.4 a 2.7 
se puede proyectar a un momento x+n los montos, esto es nernsario ya que se requiere el 
nocional para determinar el valor del pago del cap/floor, o bien se puede hacer llevando las costos 
de crecimientos a razones para simplificar el cálculo como se hacen las proyecciones en este 
documento, tanto para la OBD como para el Fondo, estos se pueden estimar de manera sencilla a 
través del cociente del costo de crecimiento sobre el monto inicial, o bien si se pretende hacer una 
proyección sofisticada puede ser con ayuda de un actuario consultor en el tema de pensiones. 
Por último importante destacar que como en el largo plazo estas deberían converger al valor de 
largo plazo de esta tasa (asumiendo los fundamentales de la economía hoy caeteris paribus) es 
importante asumir que las tasas deberían reflejar esto también en el precio del derivado, lo cual 
efectivamente se muestra en el valor del costo. 
Para la estimación se utilizaron los siguientes supuestos, la duración según el ejercicio fue 
cambiando en este primer ejercicio se tomo 15 años: 
Duración 15.00 8 
OBD\VAP 1,000,000,000 800,000,000 
Dm(o) (Ko} 13.92% 7.48% 
f 5.00% 10.00% 
tio 7.75% i'.00% 
Página 32 
Donde f:= factor de crecimiento considerando la ecuación 2.4 se puede ver como el (CL/OBD) 
asumiendo que los pagos son cero, suponiendo que no existen jubilados en curso de pago. 
A continuación se muestran cortes de simulación cada 100 simulaCiones para una duración de 15 
años: 
Numero 
de Proyección a los respectivos años: 
Simulacion 1 2 3 4 5 
100 7.94% 8.00% 8.57% 9.21% 8.83% 
200 8.67% 8.36% 8.26% 8.44% 9.06% 
300 8.35% 8.43% 8.66% 8.17% 8.20% 
400 7.57% 7.91% 8.30% 8.35% 8.18% 
500 7.79% 7.98% 8.15% 8.47% 8.27% 
600 8.26% 8.31% 8.61% 8.48% 9.05% 
700 8.33% 8.63% 8.34% 8.41% 8.16% 
800 8.00% 8.06% 8.23% 7.85% 8.22% 
900 8.21% 8.69% 9.04% 9.04% 9.05% 
1000 8.22% 8.41% 8.72% 8.79% 9.19% 
1100 8.00% 8.03% 8.36% 8.31% 8.18% 
1200 7.89% 8.25% 8.38% 8.56% 8.65% 
1300 8.05% 8.64% 8.37% 8.41% 8.62% 
1400 7.82% 8.32% 8.40% 8.83% 8.73% 
1500 7.96% 8.20% 8.78% 8.57% 8.90% 
1600 8.25% 8.39% 8.95% 9.10% 8.67% 
1700 8.02% 8.76% 8.78% 8.42% 8.70% 
1800 8.17% 7.93% 8.41% B.59% 8.34% 
1900 8.28% 8.41% 8.71% ;~.68% 8.48% 
2000 8.05% 7.80% 8.00% 8.34% 8.67% 
2100 7.84% 8.75% 8.66% 8.50% 8.44% 
2200 8.01% 8.19% 8.56% B.79% 8.38% 
2300 8.43% 8.28% 8.20% }.89% 8.14% 
2400 8.59% 8.81% 9.26% B.81% 8.40% 
2500 7.81% 8.39% 8.80% 9.05% 8.77% 
2600 8.14% 8.63% 8.59% 9.04% 9.00% 
2700 8.02% 8.37% 8.72% E:.14% 8.24% 
2800 7.99% 8.20% 8.18% 8.28% 8.90% 
2900 7.77% 7.96% 8.42% 8.92% 8.35% 
3000 8.50% 8.76% 8.64% 8.89% 8.62% 
3100 8.15% 8.36% 8.13% 8.51% 8.44% 
3200 7.80% 8.24% 8.70% 8.64% 8.52% 
3300 8.13% 8.02% 8.63% 8.78% 9.05% 
Página 33 
Simulación 1 2 3 4 5 
3500 8.56% 8.39% 8.33% 8.52% 8.66% 
3600 8.37% 8.68% 8.73% 8.78% 8.69% 
3700 8.51% 8.59% 8.73% 8.05% 8.46% 
3800 8.13% 8.61% 8.69% 8.75% 8.71% 
3900 8.63% 8.97% 8.80% 8.36% 8.53% 
4000 8.01% 8.53% 8.45% 8.27% 8.39% 
4100 8.51% 8.58% 8.22% 8.25% 8.62% 
4200 8.28% 8.27% 8.72% 8.45% 8.57% 
4300 8.57% 8.56% 8.47% 8.12% 8.30% 
4400 8.30% 8.67% 8.62% 8.70% 8.37% 
4500 8.07% 8.05% 8.30% 8.57% 8.57% 
4600 8.31% 8.43% 8.24% 8.26% 8.41% 
4700 8.47% 8.58% 8.64% 8.76% 8.58% 
4800 8.24% 8.60% 9.05% 8.69% 8.49% 
4900 8.48% 8.52% 8.69% 8.18% 7.96% 
5000 7.41% 7.57% 7.77% 8.35% 8.22% 
5100 8.52% 8.55% 8.28% 8.30% 8.16% 
5200 7.64% 8.27% 8.43% 8.55% 8.47% 
5300 8.35% 8.24% 8.69% 8.72% 8.29% 
5400 7.80% 8.12% 8.21% 8.48% 8.48% 
5500 8.17% 8.38% 8.29% 8.57% 8.46% 
5600 8.27% 8.35% 8.50% 8.52% 8.58% 
5700 7.98% 8.25% 8.95% 8.94% 8.87% 
5800 8.49% 8.57% 8.77% 9.12% 8.81% 
5900 8.57% 8.35% 8.71% 8.55% 8.70% 
6000 8.26% 8.60% 8.18% 8.61% 8.43% 
6100 8.26% 8.25% 8.58% 8.44% 8.57% 
6200 7.64% 8.03% 8.17% 8.44% 8.39% 
6300 7.97% 8.32% 8.52% 8.48% 8.52% 
6400 7.78% 8.16% 8.45% 8.96% 8.73% 
6500 8.46% 9.08% 8.86% 9.08% 9.07% 
6600 7.75% 8.40% 8.39% 8.05% 9.12% 
6700 8.12% 8.96% 9.02% 9.04% 8.66% 
6800 7.99% 8.37% 8.78% 9.56% 9.36% 
6900 7.95% 8.41% 8.23% !t99% 8.77% 
7000 8.17% 8.33% 8.46% ~.51% 8.33% 
7100 8.24% 8.22% 8.45% 8.71% 8.65% 
7200 7.58% 7.90% 8.87% 8.64% 8.82% 
7300 8.28% 8.77% 8.65% 8.30% 8.31% 
7400 7.99% 8.69% 8.49% B.34% 8.50% 
Página 34 
Simulación 1 2 3 4 5 
7500 8.43% 8.51% 8.30% 8.48% 8.17% 
7600 7.94% 8.54% 8.32% 8.01% 7.98% 
7800 8.01% 7.72% 8.21% 8.42% 8.27% 
7900 8.00% 8.60% 8.35% 8.73% 8.64% 
8000 8.44% 8.71% 8.34% 8.51% 8.85% 
8100 7.92% 7.97% 7.82% 8.54% 8.98% 
8200 8.74% 9.02% 8.23% 8.23% 8.44% 
8300 7.94% 8.35% 8.18% 8.36% 8.04% 
8400 7.69% 8.06% 8.24% 8.43% 8.68% 
8500 8.58% 8.38% 8.52% 8.88% 9.07% 
8600 8.19% 8.53% 8.41% 8.47% 8.19% 
8700 8.51% 8.60% 8.94% 8.82% 8.95% 
8800 7.92% 8.67% 8.46% 8.30% 8.09% 
8900 8.45% 8.71% 8.76% 8.22% 8.79% 
9000 8.33% 8.53% 8.47% 8.85% 9.12% 
9100 8.45% 8.62% 8.50% 8.76% 8.70% 
9200 8.31% 8.63% 8.98% 8.82% 8.90% 
9300 8.20% 8.34% 8.58% 8.75% 8.74% 
9400 7.86% 8.22% 8.54% 8.59% 8.22% 
9500 8.14% 8.74% 8.37% 8.69% 8.86% 
9600 8.50% 9.17% 8.73% 8.33% 8.52% 
9700 7.97% 8.14% 8.56% 8.56% 8.50%9800 8.03% 8.23% 8.50% 9.00% 8.28% 
9900 7.75% 8.15% 8.14% 7.92% 8.39% 
10000 7.79% 8.42% 8.28% 8.60% 8.30% 
Los resultados obtenidos tomando un Floorlet y Caplet de 5 años con base en estas tasas 
simuladas es: 
Tasa de Descuento 
Duración 
Duración Modificada 
7.75% Tasa Largo Plaza 
15.00x 
13.92% 
Escenario OBD Funding Spread Total Tasa Equiva 
1 1,000,000,000 80.0% 25 230,736,108 
2 1,000,000,000 80.0% 50 129,138,335 
3 1,000,000,000 80.0% 75 56,793,135 
4 1,000,000,000 80.0% 100 18,174,711 
5 1,000,000,000 80.0% 125 3,957,284 
8.63% 
ente Anualidades % del Costo 
5.50% 54,029,888 5.40% 
5.52% 30,257,231 3.03% 
5.54% 13,315,477 1.33% 
5.57% 4,264,160 0.43% 
5.59% 929,115 0.09% 
Página 35 
Repitiendo las simulaciones a 10, 20 y 25 años (calculando sus respectivas volatilidades, 
parámetros del modelo CIR y generando 10000 simulaciones de comportamiento de tasas) se 
obtienen los resultados siguientes 
A 10 años: 
Tasa de Descuenta 
Duración 
Duración Modificada 
6.759G Tasa de Largo Plazo 
10.00x 
9.37% 
8.16%, 
Escenario 080 Funding Spread Total Tasa Equiv lente Anualidades % del Costo 
1 1,000,000,000 80.0% 25 179,732,871 5.49% 42,074,272 4.21% 
2 1,000,000,000 80.0% 50 129,764,330 5.50% 30,390,549 3.04% 
3 1,000,000,000 80.0% 75 83,591,619 5.53% 19,588,978 1.96% 
4 1,000,000,000 80.0% 100 45,142,319 5.55% 10,586,361 1.06% 
5 1,000,000,000 80.0% 125 18,460,638 5.58% 4,332,592 0.43% 
A 20 años: 
Tasa de Descuentq 8.75~ Tasa de Largo Plazq 9.08~ 
Duración 20.00x 
Duración Modificada 18.39% 
Escenario 080 Funding Spread Total Tasa Equiv lente Anualidades % del Costo 
1 1,000,000,000 80.0% 25 95,458,169 .:i.48% 22,343,870 2.23% 
2 1,000,000,000 80.0% 50 21,463,722 :i.51% 5,027,325 O.SO% 
3 1,000,000,000 80.0% 75 2,424,864 :i.54% 568,417 0.06% 
4 1,000,000,000 80.0% 100 93,992 ::i.59% 22,062 0.00% 
5 1,000,000,000 80.0% 125 2,472 ':i.78% 583 0.00% 
A 25 años: 
Tasa de Descuentd 9.50% Tasa de Largo Plazo 9.32%1 
Duración 25.00x 
Duración Modificada 22.83% 
Escenario 080 Funding Spread Total Tasa Equiv lente Anualidades % del Costo 
1 1,000,000,000 80.0% 25 76,751,258 5.46% 17,953,547 1.80% 
2 1,000,000,000 80.0% 50 7,497,284 5.47% 1,754,483 0.18% 
3 1,000,000,000 80.0% 75 209,637 5.48% 49,065 0.00% 
4 1,000,000,000 80.0% 100 158 5.49% 37 0.00% 
5 1,000,000,000 80.0% 125 5.49% 0.00% 
Página 36 
RESULTADOS'121• 
Dado un modelo de tasa de interés que se ha parametrizado con base en la información histórica, 
parece natural proyectar, a partir de éste, el comportamiento futuro de las tasas de interés 
(proceso estocástico, ver Anexo C y D). Conociendo el valor que tomará en el futuro el problema 
de determinar el precio esperado se vuelve en un sencillo promedio aritmético de estos valores. 
Luego entonces proyectados a m=l, 2, .. , 5 años y dados los nocionales {Nm}~=l podemos 
asignar el precio de la cadena de floors {Fm}~=l y Caps {Cm}~=l que permiten tener el valor del 
floorlet / Caplet generando un intervalo de fluctuación de la tasa. Lo cual permite una cobertura 
de movimientos en tasa fuera de este rango. 
Podemos escoger el rango que convenga a las necesidades de permisibilidad en la fluctuación, que 
de manera intuitiva, inferíamos la existencia de relación inversa entre el tamaño del intervalo y el 
costo de la cobertura y esto se confirma con los resultados presentados. 
Si observamos cada uno de los resultados a las diferentes duraciones el valor del pasivo actuaria! 
marcado a mercado está en casi todos los casos por debajo de la tasa que se espera de largo plazo, 
esto produce que el valor del Floor cueste menos que el del Cap lo cual efectivamente se 
corrobora cuando segregamos el resultado. En el siguiente gráfico se observa la correlación entre 
cubrir una duración con diferentes "spread" a una duración de 15 años, sin perder de vista que el 
pasivo se marco al 7.75% y la tasa de largo plazo es de 8.62%: (i.e. +87bp) 
0.25 
0.2 
0.15 
0.1 
o.os 
o 
25 50 75 100 
-costo Corberura UN solo pago -Duración 
Eje x: "Spread" 
en Puntos Base 
• 
0.0040 
125 
12/ La información aquí presentada es estrictamente el punto de vista del autor, con base en la información analizada en este 
documento, además de los modelos probabilísticos desarrollados de manera propia y no son obtenidos de ninguna otra fuente. 
1 Página 37 
Si este costo lo diluimos a lo largo de 5 años que se tiene la cobert1Jra se observa lo siguiente: 
16.00% 
14.00% 
12.00% 
10.00% 
8.00% 
• 
25 
• • • • 
so 75 100 125 
- Pagos Fraccionados 5 años -Duración 
El ejercicio para el resto de las duraciones es consistente como estos para el resto de las 
duraciones: 
10 años con una marca a mercado de 6.75% y largo plazo del 8.1Ei% es como sigue: 
0.2 
0.1797 
0.18 
0.16 
0.14 
0.12 
0.1 
0.08 
0.06 
0.04 
0.02 
o 
25 so 75 100 125 
- Costo Corberura UN solo pago -Duración 
Página 38 
A 20 años con una marca a mercado de 8.75% y tasa de largo plaw: 9.08% 
0.2 
0.18 
0.16 
0.14 
0.12 
0.1 
0.08 
0.06 
0.04 
0.02 
o 
20.00% 
18.00% 
16.00% 
14.00% 
12.00% 
10.00% 
8.00% 
6.00% 
4.00% 
2.00% 
0.00% 
18.39% 
1 
0.0955 
0.0024 0.0001 
25 so 75 100 
-Costo Corberura UN solo pago ___ c,uración 
Comparativo pagos Fraccionado en 5 aí\os. 
25 so 75 100 
- Pagos Fraccionados 5 años ---Duración 
• 
0.0000 
125 
125 
Página 39 
A 25 años con una marca a mercado de 9.5% y tasa de largo plazo de 9.32% 
0.25 22.83% 
• • • • • 
0.2 
0.15 
0.1 0.0768 
o.os 
0.0002 0.0000 0.0000 
o 
25 so 75 100 125 
- Costo Corberura UN solo pago -DL1ración 
Comparativo pagos Fraccionado en 5 años. 
25.00% 
• • • • • 
20.00% 
15.00% 
10.00% +-------------------·-------
5.00% 
0.00% 
25 so 75 100 125 
- Pagos Fraccionados 5 años -Duración 
Con base en este conjunto de resultados la pregunta sería si algún intermediario financiero estaría 
dispuesto a vender este tipo de productos de cobertura??. Podría ser un área de negocio, con los 
Página 40 
riesgos que esto conlleva. sin embargo dejamos el planteamiento abierto a fin de que pueda ser 
discutido el tema, con los debidos ajustes tales como ofrecer solo las coberturas por separado de 
Floor y Cap sin necesidad de establecer esta banda de fluctuación. O bien ofrecerse el Cap 
solamente si el Gap de duraciones es negativo. 
CONCLUSIONES. 
Los temas centrales de este documento de trabajo se pueden concretar como sigue: 
1) Modelo de valuación de floorlets/caplets para instrumentos vinculados a tasas de 
interés, en este caso su aplicación directa es pasivos derivados de planes de retiro. 
2) Generación de un modelo de tasas de interés para todos los nodos de la curva, lo cual 
es replicable a cualquier curva de plazos. Particularmente la trabajada en este 
documento es la cupón cero gubernamental, pero con los modelos desarrollados solo 
se substituyen los valores y se generan los resultados para otras curvas. 
3) Determinación de una curva de largo plazo (convergericia de las curvas spot) (Anexo 
D). 
Por último, se habla de las fortalezas y debilidades que como todo modelo presenta en sus 
fundamentales, mismos que pueden discutirse y ajustarse en función de las mediciones que con 
este se pretenda ejercer. 
Modelo de Floorlets / Caplets 
Nada extraño observar en los resultados presentados en el apartado anterior, que el tener una 
cobertura mediante floors/caps de tasa de interés, tiene un costo inverso al tamaño de intervalo 
en el que se permite la fluctuación de la tasa, en este caso la tasa de interés técnico (tasa de 
descuento de los pasivos derivados por pensiones). Estas primas tienen un costo razonable en 
función de los plazos y fluctuaciones de tasa que se considera cubrir, como se pudo observar en el 
apartado anterior. 
Tasa de Largo Plazo. 
El Modelo CIR, permite identificar el valor de convergencia de largo plazo de la tasa, con base en 
esto podemos observar que las tasas de largo plazo